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Engranajes: Generalidades 1 Engranajes: Cinemática y Cálculo Indice de Temas 1. Introducción: ............................................................................................................................................. 2 2. Transmisión del movimiento: ............................................................................................................... 4

2.1. Superficies Conjugadas: .................................................................................................................... 6 2.2. Transmisión entre ejes paralelos: .................................................................................................... 7 2.3. Métodos para obtener pares de superficies conjugadas: ............................................................. 9

3. Superficies conjugadas utilizadas en la práctica: .........................................................................11 3.1 Cicloides ..................................................................................................................................................11 3.2. Evolventes ...........................................................................................................................................11

4. El perfil de Evolvente: ...........................................................................................................................13 4.1. Terminología y normalización de los dientes rectos de evolvente ..........................................13 4.2. Ecuaciones del perfil:........................................................................................................................16 4.3. Trazado de la evolvente ....................................................................................................................17

5. Características cinemáticas del engrane: ........................................................................................19 5.1. Flanco activo: .....................................................................................................................................19 5.2. Arco de engrane: ................................................................................................................................19 5.3. Grado de recubrimiento:...................................................................................................................20 5.4. Interferencia: .......................................................................................................................................21

6. Diseño y cálculo de engranajes: ..........................................................................................................24 6.1. Fórmula de Lewis: .............................................................................................................................24 6.2. Fórmula de Lewis-Barth: .................................................................................................................29 6.3. Fórmula de Buckingham – Cargas dinámicas: ............................................................................30 6.4. Concentración de Tensiones: ..........................................................................................................34 6.5. Fallas de los dientes de engranajes: ...............................................................................................35

6.5.1. Desgaste: .........................................................................................................................................36 6.5.2. Deformación plástica: ..................................................................................................................36 6.5.3. Fatiga superficial o picado (pitting): ........................................................................................36 6.5.4. Rotura de diente:............................................................................................................................39

6.6. Ecuaciones de la American Gear Manufacturers Association (AGMA): ..............................39 6.6.1. Ecuación para el esfuerzo por flexión: .....................................................................................40 6.6.2. Ecuación de desgaste: ..................................................................................................................48

6.7. Consideraciones generales sobre el diseño de engranajes: .......................................................51 6.7.1. Tipos funcionales de engranes: ..................................................................................................52 6.7.2. Materiales para engranes: ...........................................................................................................53 6.7.3. Elección del número de dientes: .................................................................................................55 6.7.4. Cargas en los apoyos:...................................................................................................................56

7. Engranajes Helicoidales: ......................................................................................................................59 7.1. Geometría: ...........................................................................................................................................59 7.2. Cinemática: .........................................................................................................................................62 7.3. Diseño y cálculo: ...............................................................................................................................63

7.3.1. Fórmula de Lewis: .........................................................................................................................63 7.3.2. Fórmula de Lewis-Barth: .............................................................................................................64 7.3.3. Fórmula de Buckingham – Cargas dinámicas: .......................................................................64 7.3.4. Fatiga superficial o picado (pitting): ........................................................................................65

7.4. Cargas en los apoyos: .......................................................................................................................65 8. Bibliografía: ..............................................................................................................................................67

Engranajes: Generalidades 2

1. Introducción: En este capítulo se tratará la cinemática, geometría y diseño del engranaje. El engranaje (rueda dentada) es el instrumento que permite transmitir, y mantener constante, el movimiento de rotación a un eje de un mecanismo o máquina. También puede cambiar la dirección del eje de rotación y puede transformar un movimiento rotatorio en uno lineal.

El inventor de los engranajes en todas sus formas fue Leonardo da Vinci, quien a su muerte en la Francia de 1519, dejó para nosotros sus valiosos dibujos y esquemas de muchas de los mecanismos que hoy utilizamos diariamente. En la primer figura se aprecia un mecanismo para repeler ataques enemigos, consiste de aspas al nivel del techo movidas por un eje vertical, unido a un "engranaje", el movimiento lo producen soldados que giran una rueda a nivel del piso y provocando que los enemigos que han alcanzado el techo sean expulsados. Leonardo se dedica mucho a la creación de máquinas de guerra para la defensa y el ataque, sus materiales son madera, hierro y cuerdas las que se elaboran en forma rudimentaria, pero sus esquemas e invenciones trascienden el tiempo y nos enseñan las múltiples alternativas que nos brindan mecanismos básicos de palancas, engranes y poleas unidas entre si en una

máquina cuyo diseño geométrico es notable. En la segunda figura se puede apreciar la transmisión trasera para un carro, el eje vertical mueve el "engrane" que impulsa las ruedas hacia adelante o atrás. En la última figura una manivela mueve un elemento que llamaremos tornillo sin fin el que a su vez mueve la rueda unida a él. En este caso, el mecanismo se utiliza como tecle para subir un balde Han existido desde la invención de la maquinaria rotativa. Debido a sus propiedades de multiplicador de la fuerza, los ingenieros los usaron para levantar cargas pesadas tales como materiales para construcción. Su ventaja mecánica se usó también para elevadores de anclas de

embarcaciones y pre-tensionado de catapultas. Se hicieron de madera, con espigas o estacas cilíndricas por dientes, y eran lubricados con grasas de origen animal. También se utilizaron en maquinarias accionadas por agua o viento. En la Figura 1 se observa un sistema usado para accionar maquinarias textiles, como la velocidad de rotación de una rueda accionada por agua, o por caballo, era muy lenta para utilizarse, se necesitaba usar un par de engranajes de madera para incrementar la velocidad a un nivel adecuado.

Figura 1 – Sistema utilizado en el siglo 18

Engranajes: Generalidades 3

Durante la Revolución Industrial en Gran Bretaña, en el siglo 18, se produjo una “explosión” en el uso de engranajes de metal. Durante el siglo 19 se desarrolló rápidamente la ciencia para la fabricación y diseño del engranaje. Hoy en día, los desarrollos más importantes están en el área de los materiales utilizados. La metalurgia moderna ha incrementado mucho la vida útil de los engranajes industriales y automotrices, y el nivel de consumo de productos electrónicos ha llevado a utilizar engranajes plásticos de acción silenciosa, confiable y sin lubricación. En algunas transmisiones “compite” con las correas y las cadenas. Ninguna de estas tres transmisiones mecánicas es la más adecuada para todos los sistemas de máquinas. La siguiente comparación muestra las ventajas de cada una de ellas donde se observan regiones parcialmente superpuestas en las que cualquiera puede ser el sistema de primera elección para el diseñador, una vez realizada la selección en base de la resistencia y la vida esperada, generalmente se consideran los factores económicos antes de tomar la decisión final: costo original, costos de mantenimiento y costo de producción perdida durante el tiempo de paros. - Correas:

1. Aislamiento eléctrico, no hay contacto metal con metal entre conductor y conducido. 2. Menos ruido que las cadenas. 3. Las planas se pueden utilizar para grandes distancias entre centros, en los que el peso

de la cadena resultaría excesivo o se necesitaría un tren de engranajes. 4. Las planas se pueden utilizar a altas velocidades, donde la inercia de las cadenas

debe considerarse en la tensión de la rueda dentada y de la cadena. 5. No se requiere lubricación 6. La variación de la distancia entre centros y la alineación de los ejes son menos

críticos que para transmisiones por engranajes o cadenas. - Cadenas:

1. La variación de la distancia entre centros se puede acomodar más fácilmente que en los engranajes.

2. Son más fáciles de instalar y reemplazar que las correas, debido a que la distancia entre centros no necesita ser reducida para la instalación.

3. No requieren tensión sobre el lado flojo, por lo que las cargas sobre los apoyos se ven reducidas.

4. No deslizan ni resbalan, como sí lo hacen las correas (salvo las dentadas). 5. Son más compactas debido a que los diámetros de las ruedas dentadas son menores y

las cadenas más angostas que las poleas y las correas para la misma potencia. 6. No desarrollan cargas estáticas. 7. No se deterioran con el tiempo, el calor, el aceite ni la grasa. 8. Funcionan a temperaturas más altas que las correas.

- Engranajes:

1. Son más compactas que las anteriores, debido a que las distancias entre centros son mínimas.

2. Tienen la mayor capacidad de velocidad. 3. Tienen límites más amplios de relaciones de velocidad que las cadenas. 4. Pueden transmitir mejor la potencia alta a velocidad elevada. 5. Los metálicos no se deterioran con el tiempo, el calor, el aceite ni la grasa. 6. Los metálicos no desarrollan cargas eléctricas estáticas.

Engranajes: Cinemática 4

2. Transmisión del movimiento: Para adoptar decisiones a la hora del diseño y cálculo del engranaje son imprescindibles las consideraciones cinemáticas, así como también la nomenclatura y la normalización.

A continuación se analiza un mecanismo (Figura 2) que realiza la transmisión del movimiento de un cuerpo (C1), que gira solidariamente unido a un eje (E1) con velocidad angular (W1), a otro cuerpo (C2), que girar solidariamente unido a un eje (E2) con velocidad angular (W2), de forma tal que los ejes de rotación permanecen en la misma posición relativa y que su relación de velocidades (i) es constante en el tiempo:

Este mecanismo es una cadena cinemática compuesta por tres elementos: un elemento fijo (B) y dos elementos móviles (C1 y C2).

1. Elemento fijo: es el bastidor, con respecto a él permanecen fijos los ejes de los elementos móviles, aún cuando éste se desplace.

2. Elemento móvil C1: se lo denomina elemento motor (transmite el movimiento a otro elemento

móvil), está vinculado al bastidor por medio de una cupla rotoide de eje X1, que permitirá rotaciones relativas con respecto al mismo.

3. Elemento móvil C2: se lo denomina elemento conducido, está vinculado al bastidor por medio

de otra cupla rotoide de eje X2, que permitirá rotaciones relativas con respecto al mismo. El movimiento relativo de C1 con respecto a C2 se puede obtener en función de los movimientos absolutos de éstos respecto de B. El movimiento absoluto de C2, puede obtenerse como superposición del movimiento relativo de C2 respecto de C1 y del movimiento de arrastre de C1, resultando:

C2 / B = C2 / C1 + C1 / B

entonces el movimiento relativo:

C2 / C1 = C2 / B - C1 / B = Ω2 - Ω1 = Ω21 El movimiento relativo queda entonces definido por los vectores Ω2 (X2,W2) y - Ω1 (X1,-W1); la recta de acción del vector rotación relativa Ω21 es el eje central Yi que, dado que las rotaciones Ω2 y -Ω1 se mantienen en relación constante, se mantiene invariable respecto de los ejes y en consecuencia también respecto del bastidor. El lugar geométrico, respecto de cada uno de los cuerpos, de las sucesivas posiciones del eje central Yi se denomina superficie primitiva (es el axoide del movimiento relativo). Puesto que, como ya se mencionó, W2/W1 es constante:

i = W2(t) / W1(t) = Cte. y, en consecuencia, la posición del eje central Yi se mantiene invariable respecto de los ejes X2 y X1, las superficies primitivas son superficies de revolución que se pueden concebir generadas por la rotación de Yi en torno de dichos ejes.

Figura 2 – Mecanismo de transmisión


Algunos de los casos que pueden presentarse son: - Ejes paralelos:

El movimiento relativo es una rotación, cuyo vector (Ω21) es paralelo a los ejes del movimiento y coincide con el eje central (Yi), las superficies primitivas son dos cilindros. El movimiento relativo puede obtenerse mediante una rodadura, sin resbalamiento, de un cilindro primitivo sobre el otro. En la Figura 3 se observan el resultado cuando los ejes tienen distinto sentido de giro, para el caso de ejes que tienen igual sentido de giro se obtienen dos superficies cilíndricas interiores. Se recuerda que cuando el sentido de giro es distinto entre los ejes paralelos la resultante vectorial (Ω21) se encuentra en el espacio entre los vectores Ω1 y Ω2; y cuando los ejes tienen igual sentido de giro dicho vector resultante es exterior al espacio entre los vectores mencionados.

- Ejes concurrentes:

El movimiento relativo es una rotación alrededor de un eje que pasa por el punto de concurrencia de los ejes (es la resultante del paralelogramo de vectores -Ω1 y Ω2) y que coincide con el eje central, las superficies primitivas son dos conos (Figura 4). El movimiento relativo puede obtenerse haciendo rodar, sin resbalar, un cono primitivo sobre el otro.

- Ejes alabeados:

El movimiento relativo es una roto traslación, las superficies primitivas son dos hiperboloides reglados de revolución (Figura 5). El movimiento relativo puede obtenerse haciendo rodar (existe resbalamiento) un hiperboloide sobre el otro, combinado con un desplazamiento a lo largo de la generatriz de contacto (que es otra recta alabeada).

Entonces, para transmitir el movimiento entre dos cuerpos, que giran cada uno en torno a un eje con una determinada velocidad angular, de forma tal que se mantengan constantes la posición relativa de sus ejes y su relación de velocidades angulares, podemos utilizar las superficies primitivas o axoides del movimiento relativo. Dicha transmisión se logra por el rodamiento lineal de una superficie sobre la otra, combinado en el caso más general con un resbalamiento o traslación relativa a lo largo de la generatriz de contacto. Las ruedas de fricción son mecanismos en los cuales la transmisión se realiza por contacto de las superficies primitivas mencionadas, que constituyen la periferia de los elementos. Su capacidad de transmitir potencia depende del rozamiento y, por lo tanto están expuestas al resbalamiento, no manteniendo una relación de velocidad definida e invariable. Sólo se obtendrá un accionamiento positivo sin resbalamiento, si se disponen dientes sobre esas superficies para constituir engranajes.

Figura 3 – Ejes paralelos

Figura 4 – Ejes concurrentes

Figura 5 – Ejes alabeados


Figura 6 – Rectos Figura 7 – Helicoidales Figura 8 – Cónicos Figura 9 – Tornillo sinfín

Existen distintos tipos de engranajes (Tabla 1), algunos de los cuales se ven en las Figuras 6 a 9.

Posición de los ejes Forma de las ruedas Clase de ruedas

Paralelos Cilíndricas Dientes Rectos Dientes Helicoidales

Se cortan (coplanares) Cónicas Dientes Rectos Dientes Inclinados

Se cruzan (no coplanares) Cilíndricas Helicoidales

Tornillo Sinfín-Rueda Helicoidal Cónicas Hipoidales Hiperbólicas Hiperbólicas

Tabla 1 – Tipos de Engranajes

2.1. Superficies Conjugadas: El problema básico resuelto por los engranajes es asegurar que los discos gruesos, en contacto, giren uno contra el otro sin deslizarse. La acción de que los dientes adicionados a estos discos no interfieran con la rotación uniforme que uno de los discos induce en el otro, se conoce como acción conjugada o ley de engrane. La declaración formal de la ley de engrane es que para transmitir un movimiento rotatorio uniforme de un eje a otro por medio del engrane, la perpendicular a un perfil de dientes en su punto de contacto con un diente del otro engrane siempre debe pasar a través de un punto fijo sobre la línea de centros entre los dos ejes. Las curvas que satisfacen esta ley se llaman curvas o superficies conjugadas. A continuación se fundamentan estas afirmaciones. Se pueden crear pares de superficies S1 y S2 solidarias a los cuerpos C1 y C2 respectivamente, en las que S2 (solidaria también a la primitiva P2) es envolvente de las sucesivas posiciones de la superficie S1 (solidaria a la primitiva P1) en el movimiento relativo C2/C1. Esta propiedad es recíproca, es decir que S1 es a la vez envolvente de las sucesivas posiciones de S2. A este par de superficies se las denomina: superficies conjugadas. Entonces la transmisión del movimiento se puede realizar por medio de este tipo de superficies. Las transmisiones por engranajes se realizan por contacto de superficies conjugadas que forman los flancos de los dientes. De los tipos de engranajes mencionados anteriormente, el engranaje recto es el más sencillo y, por esta razón, se utilizará para desarrollar las relaciones cinemáticas primarias de la forma de los dientes. En el análisis que sigue se supone que los dientes están perfectamente formados, son lisos y absolutamente rígidos, por supuesto que esta hipótesis no concuerda con la realidad debido a las limitaciones de las máquinas utilizadas para formar los dientes y a que la aplicación de fuerzas origina deflexiones.


Al actuar entre sí para transmitir el movimiento de rotación, los dientes de engranes conectados actúan de modo semejante a las levas (Figura 10). En teoría puede seleccionarse arbitrariamente un perfil para un diente y luego hallar el perfil de dientes en el engrane conjugado, en la práctica se adoptan pares de curvas que tengan condiciones aptas desde el punto de vista de la transmisión y su fabricación. Cuando una superficie empuja a la otra, el punto de contacto queda donde las dos son tangentes entre sí (punto c) y, en cualquier instante, las fuerzas están dirigidas a lo largo de la normal común (ab) a las dos curvas; esta recta, que representa la dirección en que actúan las fuerzas, se denomina línea de acción; cortará a la línea de centros (O-O) en un punto I. Las circunferencias trazadas por I (P en la Figura), con centro en los puntos O, se denominan circunferencias primitivas, y el radio de

cada una, radio primitivo, el punto I es el punto primitivo. Para transmitir movimiento con relación constante de velocidades angulares, el punto primitivo debe permanecer fijo, es decir, todas las líneas de acción para todo punto de contacto instantáneo deben pasar por el mismo punto I. Para una mayor compresión del concepto de curvas conjugadas vea el ejemplo práctico que se encuentra en la sección que sigue. 2.2. Transmisión entre ejes paralelos: Se aplica a continuación lo analizado anteriormente para el caso de una transmisión entre ejes paralelos. Como se ha visto, los axoides del movimiento relativo son dos cilindros. Cualquiera de los puntos del eje central Yi tiene la misma velocidad absoluta supuesto vinculado al cuerpo C1 o al C2 (ruedan sin resbalar): V = W1 x R1 = W2 x R2, y la relación de transmisión resulta: i = W2/W1 = R1/R2

Es posible estudiar el movimiento espacial C2/C1 en el plano con las figuras que se obtienen seccionando el sistema con planos normales a los ejes del movimiento (Figura 11). Las circunferencias primitivas (Cp1 y Cp2) son entonces la intersección de dicho plano con los cilindros primitivos (S1 y S2), el punto de contacto de las mencionadas circunferencias (I) es el punto primitivo. El movimiento relativo C2/C1 se puede obtener también por el rodamiento sin resbalamiento de Cp2 sobre Cp1. Si se une solidariamente a la circunferencia primitiva Cp2 una curva plana cualquiera S2, en el movimiento relativo de las circunferencias primitivas, las sucesivas posiciones de dicha curva respecto de la otra primitiva Cp1, serán envueltas por una curva S1 solidaria a la mencionada circunferencia. Las curvas estarán en todo instante en contacto en un punto N (punto característico), y tendrán una tangente y una normal común, esta última pasa en todo instante por el punto primitivo I. Ambas curvas son recíprocamente envuelta y envolvente, son curvas conjugadas. El movimiento relativo Cp2/Cp1, y en consecuencia el C2/C1, puede describirse por el S2/S1, siendo el último un movimiento de rodamiento con resbalamiento.

Figura 10 – Acción Conjugada

Figura 11 – Primitivas de ejes paralelos

Figura 12 – Conjugadas de ejes paralelos


A continuación se presenta un ejemplo práctico para determinar una curva conjugada a partir de una curva existente a fin de visualizar el concepto de que una curva “envuelve” las sucesivas posiciones de la otra. Para ello se utilizarán curvas evolventes, cuya definición y propiedades se dan en la sección 3.2, que son generadas a partir de una circunferencia llamada circunferencia base y que están en contacto siempre en un punto situado sobre la línea de acción, que a la vez es tangente a dichas circunferencias. - Se trazan las circunferencias primitivas (Cp1 y

Cp2) de igual diámetro (Figura 13). - Utilizando los mismos centros (O1 y O2) se trazan

dos circunferencias (circunferencias bases Cb1 y Cb2) de igual diámetro.

- Se traza la tangente común a estas últimas (línea de acción) que pasará por el punto I.

- Se traza una evolvente (S1), en el punto de tangencia de Cb1 y la línea de acción (punto A), que está solidariamente unida con Cb1.

- Se divide esta circunferencia (Cb1) en un número de partes iguales, y se copia en cada uno de esos puntos la evolvente anterior.

Ahora bien, considerando que la rueda Cb1 se mueve en sentido antihorario, las evolventes dibujadas (Figura 13) representan las distintas posiciones que ocuparía la misma al acompañar a aquella en su giro por estar solidariamente unidas. Las circunferencias primitivas ruedan una sobre otra sin resbalar siendo testigos del movimiento sincrónico. Por lo tanto, al girar S1 a la próxima posición (Figura 14), el arco recorrido (RS) será igual para ambas; los puntos R y S se obtienen prolongando los radios de los puntos sucesivos de división de Cb1, hasta Cp1. En la posición inicial (punto A) se puede considerar que coinciden un punto A1, perteneciente a la curva S1 conocida, y uno A2, perteneciente a una curva S2 que se quiere determinar (solidaria con Cb2), porque A se encuentra sobre el lugar geométrico donde tiene lugar el contacto entre las curvas (línea de acción o de engrane).

Cuando se produce el giro mencionado (Figura 14), el punto A2 se desplaza según un arco que tiene su radio de giro en O2, su origen en A y recorre un ángulo igual al del arco RS (por ser ambas circunferencias de igual diámetro). Uniendo este punto con el que en ese instante sea punto de contacto (punto B), se encuentra un tramo de la curva S2. Entonces, S1 (de A1 a B) se mantuvo en contacto con S2 (de A2 a B) siempre en un único punto situado sobre el segmento AB, el cual forma parte de la línea de acción que es normal común de las curvas y pasa por el punto I.

O1

O2

Cp1

Cp2 Cb2

Cb1

S1A

B

IC

D

Figura 13

O1

O2

S1

AA1R

S

A2

Figura 14


En la Figura 15 se repite el procedimiento para la siguiente posición y en la Figura 16 se observa la máxima longitud utilizable de S1 (punto D), que es en el origen de S2.

Como ya se ha mencionado el movimiento S2/S1 es de rodamiento con resbalamiento: el punto de contacto N (Figura 17) se mueve con una velocidad tangencial VN2 que será perpendicular a O2-N si se lo considera como perteneciente a Cp2. Si se considera dicho punto como perteneciente a Cp1, se tiene VN1 que es perpendicular a O1-N. Las velocidades tienen la misma proyección sobre el eje normal, de otro modo no se mantendría el contacto, pero sobre el eje tangencial existe una diferencia de velocidades que produce el resbalamiento citado. El movimiento relativo es solamente posible a lo largo de la recta tangencial y por lo tanto ésta debe ser normal al radio de giro instantáneo, con lo cual se demuestra que la normal al punto de contacto pasa siempre por el punto I.

Si las curvas S1 y S2 son proyecciones de pares de superficies conjugadas de generatrices paralelas a los ejes de rotación, conforman los flancos de los dientes de engranajes rectos. También las generatrices pueden ser no paralelas a los ejes, pero manteniendo la condición de que las curvas obtenidas con cualquier sección normal a los ejes de giro sean conjugadas en el movimiento plano, como por ejemplo las que determinan los flancos de los dientes de engranajes helicoidales. 2.3. Métodos para obtener pares de superficies conjugadas: Se analiza en el sistema plano equivalente (sección del sistema espacial con un plano normal a los ejes de rotación). Si las superficies conjugadas son de generatrices paralelas a los ejes, el sistema plano se obtiene también proyectando el sistema espacial sobre un plano normal, si las superficies conjugadas tienen generatrices que no son paralelas, se deben utilizar las secciones normales necesarias para definirlas. Se estudia un método general para obtener superficies conjugadas y se ejemplifica con un método geométrico en particular.

Figura 17 – Velocidades en el contacto

O1

O2

S1

BA1

A2

B2A1

A2

I

Figura 15

O1

O2

Cp1

Cp2 Cb2

Cb1

S1

A2

D

A1

S2

Figura 16


Método general: Se tiene una superficie S1 cualquiera, unida solidariamente a Cp1 y se tiene que encontrar la conjugada S2, solidaria a Cp2 (Figura 18).

Se hace rodar, sin resbalar, a Cp1 sobre Cp2 y se determinan las sucesivas posiciones de S1 respecto de Cp2, la envolvente de esas posiciones será la curva S2, conjugada de S1. En cada posición, la normal común a las superficies conjugadas en su punto de contacto, pasa por el centro instantáneo de rotación relativa, es decir, pasa por el punto de contacto de las primitivas. El método descrito se denomina método de las envolventes. Método geométrico: Se tiene que trazar una superficie conjugada a otra ya conocida. El que sigue se denomina método de las envolventes, se aplica el método general analizado en el párrafo anterior (Figura 19). Se tiene una curva S1, solidaria a Cp1, se obtiene el punto de contacto con S2 (punto N) trazando la normal a S1 por el punto primitivo I, el punto N es también un punto de S2. El punto 1 es uno cualquiera de la primitiva Cp1, cuando llegue a I estará en contacto con el punto 1’ de la primitiva Cp2, verificándose que el arco I1 = arco I1’ (rodamiento puro), ambos puntos (1 y 1’) coincidirán en I, las conjugadas estarán en contacto en N1 de S1, que se obtiene trazando por 1 la normal a S1, con N1’ de S2 que se debe determinar. En ese instante O1-1 y O2-1’ coinciden con

O1-O2 y las rectas 1-N1 y 1’-N1’ con la normal común al contacto (N1-I = N1’-I). El ángulo Ú, que forma la recta de los centros con la normal común a S1 y S2, es el mismo que forman O1-1 con la normal a S1: N1-1, y O2-1’ con la normal a S2: N1’-1’. Para obtener N1’ se trazará entonces por 1’ una recta que forme un ángulo Ú con 1’-O2, sobre la cual estará ubicado dicho punto a una distancia: N1’-1’ = N1-1, se puede trazar una tangente a la conjugada por este punto que será normal a N1’-1’. La curva conjugada se obtiene en consecuencia por puntos y tangentes. Con el trazado de las superficies conjugadas se definen ciertos elementos geométricos que son importantes en el diseño de engranajes (Figura 20):

• Línea de engrane: lugar geométrico de los puntos en los

cuales se verifica el contacto de las conjugadas. • Línea de acción: recta de acción de la fuerza con la que el

perfil de la rueda conductora actúa sobre el perfil de la rueda conducida, en cada instante coincide con la normal común a los perfiles.

• Angulo de presión(∝): el que se forma entre la recta de acción y la tangente común a las circunferencias primitivas.

Figura 18 – Método general

Figura 19 – Método geométrico

Figura 20 – Elementos geométricos

Engranajes: Conjugadas prácticas 11

3. Superficies conjugadas utilizadas en la práctica: Pueden utilizarse diversas curvas rodantes generadoras, pero solamente son dos las empleadas en la construcción de engranajes: cíclicas y evolventes. 3.1 Cicloides Fue uno de los primeros usados para engranajes, aunque las dificultades encontradas en producir con exactitud este perfil lo han hecho caer gradualmente en desuso.

Se generan como trayectorias de puntos de una circunferencia que rueda sin resbalar sobre otra circunferencia (o recta en el caso de tener radio infinito). La circunferencia que rueda se denomina ruleta o generatriz, la circunferencia sobre la cual se mueve aquella se denomina base. • Cicloide (Figura 21)

la base es una recta. • Epicicloide (Figura 22) la ruleta rueda exteriormente sobre la base. • Hipocicloide (Figura 23) la ruleta rueda interiormente sobre la base.

Los engranajes (Figura 24) están formados por un perfil epicicloide (cabeza del diente) y uno hipocicloide (raíz del diente) 3.2. Evolventes La curva evolvente constituye la base de casi todos los perfiles de diente actualmente en uso general. La evolvente o desarrollante de círculo puede concebirse como la trayectoria de un punto de una recta que rueda sin resbalar sobre un círculo o circunferencia base (Figura 25).

Tiene como propiedades geométricas: • La longitud del arco de la circunferencia base comprendido entre el punto de arranque de la evolvente (A) y el punto de tangencia (T) de una recta tangente a la circunferencia, es igual a la longitud del segmento de tangente comprendido entre T y el punto en que intercepta a la evolvente (P). • Una recta tangente a la circunferencia base es normal a la evolvente. • El segmento de tangente TP es el radio de curvatura de la evolvente en el punto P.

Figura 21 – Cicloide Figura 22 – Epicicloide Figura 23 – Hipocicloide

Figura 24 – Engranaje Cicloidal

Figura 25 - Evolvente


Si dos evolventes se hallan en contacto en un punto P, al girar una de las bases, la evolvente mueve por contacto directo a la otra evolvente; teniendo en cuenta las propiedades generales de las curvas conjugadas y las particulares de las evolventes, las curvas evolventes en contacto tienen las siguientes propiedades (Figuras 26 y 27):

• El punto de tangencia de dos evolventes en contacto se halla ubicado sobre la tangente común a las circunferencias bases. En el punto de tangencia las curvas tienen una normal común, que deben ser a la vez tangentes a las circunferencias bases. • La relación entre las velocidades angulares de las circunferencias bases se mantiene constante, dependiendo exclusivamente de los radios de las mismas. La evolvente e1 se mueve alrededor del centro O1 con velocidad angular w1. Esta evolvente impulsa por contacto directo a la evolvente e2 que se mueve alrededor del centro O2, con velocidad angular w2. Cada evolvente se encuentra solidariamente unida a su circunferencia base (radio ⟨). Para que se verifique el engrane, la velocidad lineal del punto P, supuesto perteneciente a una u otra evolvente, deberá ser la misma. La velocidad de P supuesto perteneciente a e1 es:

Vp = w1 x ρ1 La velocidad de P supuesto perteneciente a e2 es: Vp = w2 x ρ2 Entonces: w1 x ρ1 = w2 x ρ2 y w1 / w2 = ρ2 / ρ1 • Variando la distancia entre centros de las circunferencias bases, no se pierde el contacto y no varía la relación de transmisión.

Si se supone una de las circunferencias fija y se hace rodar sin resbalar la otra sobre la tangente común, el contacto se mantiene, y como la relación de velocidades depende de sus radios, no varía respecto de la que correspondía a la posición original. Si se comparan los engranajes con dientes de perfil cicloidal con los de perfil evolvente, los primeros tienen, entre otras, las siguientes ventajas e inconvenientes: • Ventajas:

§ Mejor engrane, ya que una curva convexa (epicicloide) engrana con una cóncava (hipocicloide), entonces la superficie de contacto es mayor, el contacto más íntimo y suave, con lo cual es desgaste es menor. § El engrane se realiza sin interferencia con un menor número de dientes.

• Inconvenientes:

Figura 26 – Propiedades de evolventes

Figura 27 – Propiedades de evolventes


§ La distancia entre centros no se puede variar ya que el engrane no se verificaría entre

puntos correspondientes de los perfiles conjugados, requiere por lo tanto montajes muy precisos, mientras que en los engranajes a evolvente aún cuando se modifique dicha distancia por causas fortuitas o montaje deficiente, el engrane se conserva correcto. § El perfil del diente consta de dos curvas, con curvaturas en sentidos contrarios, lo que

dificulta su construcción, mientras que el perfil a evolvente es de una sola curva con curvatura en un solo sentido, lo que permite su fabricación con facilidad y exactitud. § A igualdad de paso, los dientes a evolventes resultan más gruesos en la raíz que los

cicloides. Debido a lo enunciado, el engranaje cicloidal ha sido desechado de la mecánica general y su empleo ha quedado reducido a trabajos de precisión (relojería), donde las ruedas no son talladas sino matrizadas. 4. El perfil de Evolvente: Se presenta la terminología utilizada, luego se analizan las ecuaciones que gobiernan el perfil de un diente y, posteriormente, el trazado del mismo; no para pensar en el dibujo para su fabricación en el taller, sino lo que interesa es dibujar los dientes del engranaje para adquirir conocimientos acerca de los problemas que entraña la conexión o engrane de los dientes de dos ruedas dentadas. 4.1. Terminología y normalización de los dientes rectos de evolvente Se estudiarán las características del dentado en el sistema plano (normal al eje de giro, Figura 28). Mecánicamente no se hace uso de un solo par de superficies conjugadas para la transmisión del movimiento ya que materialmente es posible emplear una parte de las mismas. Entonces en ambos lados de la circunferencia primitiva se debe desenrollar la cuerda de un disco imaginario (circunferencia base) cuyo radio rb es más pequeño que el de la primitiva rp. De la Figura 28 se deduce la relación entre los radios mencionados:

rb = rp cos Ø

Así, el ángulo de presión Ø determina el contorno de los dientes porque lo define la relación del radio base con el radio primitivo; los valores más utilizados son de 20°, 22 ½° y 25°, aunque alguna vez se utilizó 14 ½ °. Se utiliza entonces una pequeña porción cercana a la circunferencia primitiva ya que los deslizamientos durante la transmisión son menores. Los límites son la circunferencia exterior (De) ó de addendum y la circunferencia interior (Di) o de dedendum. La distancia radial entre la circunferencia primitiva y la exterior es la altura de cabeza o addendum (a) y la distancia radial entre la primitiva y la interior es la altura de raíz o dedendum (d). Este sector de conjugada transmitirá el movimiento durante un arco reducido de giro, es necesario entonces disponer de nuevas superficies conjugadas igualmente espaciadas sobre la circunferencia primitiva, este arco de primitiva entre dos dientes consecutivos se denomina paso circular p. Además, por razones resistentes, es necesario darle cierta envergadura a estas porciones de superficies limitadas; entonces, para permitir la transmisión del movimiento en ambos sentidos, estas superficies se limitan lateralmente por otras simétricas. Este cuerpo así formado se llama diente, siendo el espesor (e) del mismo sobre la primitiva (lleno del diente) igual a la mitad del paso circular. El espacio, medido sobre la primitiva, entre los dientes

Engranajes: El perfil de evolvente 14

se conoce como vacío entre dientes. Las superficies laterales se denominan flancos y la dimensión de la generatriz de los flancos es el ancho (b).

La altura total del diente es igual al addendum más el dedendum, la altura de trabajo es la distancia radial desde la circunferencia exterior a la circunferencia de huelgo que marca la distancia que el diente conjugado proyecta en el espacio entre dientes (es tangente a la de addendum del engrane conectado), es la suma de los addemdums de las ruedas conjugadas. La diferencia entre la altura total y la altura de trabajo es el juego radial (c), necesario para permitir el libre movimiento de los dientes del engrane complementario. Debido a las tolerancias en la fabricación siempre quedará un espacio entre la cara posterior de un diente y la anterior del siguiente del otro engranaje (Figura 29), esta distancia se conoce como juego circunferencial, y es la magnitud que el engranaje conductor podrá girar sin mover el engranaje conducido cuando la dirección de rotación es invertida. Este juego entonces, es necesario para prevenir los errores e inexactitudes en la separación y en la forma del diente, para proveer el espacio destinado al lubricante entre los dientes y para prevenir la dilatación de los dientes debida al

Figura 28 – Terminología de los engranajes para perfil de evolvente


aumento de temperatura. Pero atenta contra el perfecto funcionamiento y, por ello, se procura eliminarlo mejorando los procedimientos de fabricación. Se puede expresar como ángulo o como la distancia equivalente a lo largo de la circunferencia primitiva. Entre otros términos utilizados generalmente se encuentran: la menor de dos ruedas dentadas se llama piñón y la mayor simplemente rueda o engranaje; el ángulo de presión de funcionamiento que está determinado por la distancia entre centros, ya que, como se ha visto, los engranajes se pueden separar, incrementándose por lo tanto el juego radial, y, sin embargo, funcionar correctamente sin cambio alguno en la relación de velocidades, un aumento en la distancia entre centros, por ejemplo, provoca el aumento del ángulo de presión y el distanciamiento o separación de las primitivas.

De acuerdo con las definiciones anteriores, el paso circular para un engrane con Z dientes resulta:

p = π Dp / Z , entonces el diámetro primitivo Dp = ( p / π ) Z La condición para que el diámetro primitivo sea un número racional, es que lo sea también el cociente ( p / π ), en cuyo caso p es irracional. En la práctica no se mide p sino los diámetros y el número de dientes, por ello tales dimensiones deben ser números racionales. Estas circunstancias han llevado a adoptar en una unidad como característica del dentado, que se estandariza y en función de la cual se expresan las dimensiones del engranaje. En el sistema métrico decimal esta unidad se llama Módulo y vale: M [mm] = p / π = Dp / Z En el sistema inglés se llama Diametral Pitch (paso diametral) : Pd [1/pulg] = π / p = Z / Dp Ambos valores son inversamente proporcionales entre sí : M [mm] = 25.4 / Pd [pulg] Las dimensiones del dentado se expresan entonces en función de M o Pd. Cuando se especifica un módulo (o un paso diametral) se procura siempre que corresponda a un valor para el cual existan herramientas de corte de tipo comercial. La lista de módulos de un fabricante de engranajes no tiene que ser necesariamente igual a la de otros; por lo tanto, para la selección de proyecto se puede adoptar preferentemente alguno de los siguientes: Módulos recomendados: 1, 1.25, 1.5, 2, 2.5, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 16, 20, 25, 32, 50 como segunda opción: 1.125, 1.375, 1.75, 2.25, 2.75, 3.5, 4.5, 5.5, 7, 9, 11, 14, 18, 22, 28, 36, 45 Si se trata de los pasos diametrales son de paso ancho: 2, 2.25, 2.5, 3, 4, 6, 8, 10, 12, 16 y pasos diametrales finos: 20, 24, 32, 40, 48, 64, 80, 96, 120, 150, 200. La relación de transmisión o de velocidades, como ya fue definida, y, de acuerdo a lo anterior, vale: W1 Vt / rp1 Dp2 / 2 M Z2 Z2

i = ---- = --------- = -------- = ------- = --- W2 Vt / rp2 Dp1 / 2 M Z1 Z1 Un sistema de dientes constituye una norma que especifica las relaciones que deben existir entre adendo, dedendo, altura de trabajo, grueso del diente y ángulo de presión. La finalidad de esto es que se puedan intercambiar los engranes de cualquier número de dientes pero del mismo ángulo de

Figura 29 – Juego circunferencial


presión y paso. De esta forma es posible diseñar engranes que funcionarán en casi cualquier aplicación y que pueden ser hechos con herramientas normales. Claro que no siempre es necesario o deseable que los engranajes sean intercambiables, y se han desarrollado varios sistemas para satisfacer condiciones particulares de algunas industrias. En estos sistemas el dedendum, addendum, ángulo de presión y la distancia entre centros se eligen para cada instalación, para obtener las mejores condiciones de operación y los dientes más robustos. A título de ejemplo se cita a la firma Gleason, para engranajes cónicos, que con su diseño obtiene menos interferencia, piñones más fuertes, mejor lubricación, menos desgaste y marcha más silenciosa.

Los perfiles de engranajes rectos de evolvente estándar, tanto en unidades del sistema inglés como en el métrico, han sido establecidas por la Asociación Americana de Fabricantes de Engranajes (AGMA), y algunos han sido adoptados por el Instituto Americano de Estándares Nacionales (ANSI). Las proporciones que se observan en la Figura 30 se han resumido de ellos para los engranajes de profundidad completa ( a + b = 2 M ), para todos los ángulos de presión, para los engranajes de paso ancho (Pd < 9.99) y para paso fino (20≤Pd≤120).

Con estos datos podemos determinar los elementos geométricos de las ruedas, por ejemplo:

Diámetro exterior: De = Dp + 2 a para a = M: De = (Z + 2) M que nos permite calcular el módulo de una rueda ya construida, midiendo De. 4.2. Ecuaciones del perfil: Se pueden derivar de la geometría que se observa en la Figura 31. La longitud de la cuerda imaginaria desde A hasta B es rb . γ, debido a que la longitud de la cuerda estaba originalmente enrollada alrededor del círculo base desde B hasta el principio de la evolvente. Dado que OBA es un ángulo recto, se tiene:

r2 = rb2 + (rb . γ )2 y r = rb . (1 + γ 2 ) 1/2 A partir de este triángulo y de la definición de la evolvente, se ve que:

rb . tg(γ - ξ ) = rb . γ, de donde ξ = γ - arctg γ

a: addendum b + c: deddendum a + b: profundidad de trabajo p: paso M: módulo Ø: ángulo de presión a = b = ⇔ . M ⇔ = 1 para engranajes estándares ⇔ = 0.8 para dientes cortos de 20° Paso ancho: c = 0.250 M para 20° y 25° c = 0.157 M para 14.5° c = 0.200 M para dientes cortos de 20° Paso fino: c = 0.200 M + 0.0508 mm para todos los ángulos de presión

Figura 30 – Perfiles estándares


Así, la curva evolvente está definida en términos de las ecuaciones paramétricas, donde el parámetro γ se puede incrementar desde 0 hasta γa para generar un perfil de diente desde el círculo de base hasta el círculo exterior:

γa = [ (ra / rb) 2 – 1] ½

como rb . (θ + Ø) = rb . tg Ø

resulta θ = tg Ø – Ø,

que se conoce como función de evolvente.

La descripción de ambos lados de un diente de evolvente se puede simplificar expresando el perfil de evolvente en términos de un ángulo ψ desde la línea de centros de cada diente al radio r desde el centro del círculo primitivo. Como el ancho del diente en el círculo primitivo está dado por π/Z es evidente de la Figura 32 que :

ψ = θ + π / (2 . Z) - ξ Un lado de un diente respecto a su línea de centros se puede dibujar o cortar incrementando γ de γd a γa y para cálculo de γ el r y ψ correspondientes. El otro lado del diente se puede formar a partir de los mismos datos reemplazando ψ por -ψ . Los dientes subsiguientes se pueden generar a partir de estos datos girando la línea de centros a través de un múltiplo de 2π/Z. El espacio entre dientes puede consistir en segmentos del círculo interior unidos a los perfiles de evolvente de los dientes por los filetes o por cualquier otra curva que proporcione la resistencia necesaria, así como el huelgo para los dientes del engrane complementario.

4.3. Trazado de la evolvente Con lo analizado en los puntos 4.1 y 4.2 se tienen los elementos para trazar la evolvente por medio de una planilla de cálculo y/o un programa de CAD, también se puede utilizar el método aproximado que se detalla a continuación. Los datos que en general se poseen son el módulo (M) del engranaje, el número de dientes del par de ruedas dentadas (Z1 y Z2) y el ángulo de presión (Ø). Con tales datos es posible trazar las circunferencias primitivas (Dp = M Z), las de base (rb = rp cos Ø), la línea de acción o recta de

Figura 31 – Geometría del diente

Figura 32 – Angulos para definir la evolvente


engrane (ángulo Ø), la tangente común a las primitivas y la línea que une a los centros que con la tangente común determinan el punto primitivo (I), donde se supone que tiene lugar el contacto (Figura 33). A continuación se realizan lo siguiente:

- El perfil a evolvente es la trayectoria de I supuesto perteneciente a la recta de acción, cuando esta rueda sin resbalar sobre la primitiva. Para trazar dicha trayectoria dividimos el segmento IN en partes iguales extendiendo las divisiones más allá de N.

- Sobre la circunferencia base se toman, a partir de N, arcos iguales a los segmentos en que se ha dividido la línea de acción, hasta llegar al punto de arranque de la evolvente (A), también se trazan unos arcos más desde N hacia el otro lado.

- Se trazan las tangentes a la circunferencia base en cada uno de los puntos determinados sobre ella.

- Sobre cada tangente se puede determinar un punto de la evolvente tomando sobre dicha tangente tantas divisiones como arcos se encuentren desde el punto A, hasta su punto de contacto con la circunferencia base, dado que la distancia desde la evolvente al punto de contacto de la tangente con la circunferencia base es igual al arco que media entre el punto de contacto y A.

- Se traza la evolvente y se la limita con las circunferencias exterior ( De = (Z + 2) . M ) y la

circunferencia interior (Di = Dp – 2 d, por ejemplo dedendum d = 1.25 M). - Conocido el paso del dentado (p) se determina el espesor del diente (e = p/2, a efectos del

trazado se considera también que el vacío del diente es igual al espesor del mismo) y se completa éste con el otro flanco que será simétrico al ya trazado con respecto a un eje con centro en O2 y que corte a la primitiva en un punto ubicado, desde I, a una distancia p/4.

- Con el paso también se pueden construir los flancos homólogos y por lo tanto se completa el trazado de los demás dientes del engranaje.

- Con una construcción similar puede trazarse el flanco de los dientes de la otra rueda. Finalmente se menciona, luego de analizar los tipos de curvas y perfiles, que las condiciones que deben cumplir dos ruedas dentadas para que engranen son: - Los flancos de sus dientes deben ser superficies conjugadas. - Deben tener igual paso (o módulo). - Deben tener cierto juego radial. - Deben tener cierto juego circunferencial

Figura 33 – Trazado de la evolvente

Engranajes: Características Cinemáticas 19

5. Características cinemáticas del engrane: Se determinan magnitudes tales como arco de engrane, grado de recubrimiento o relación de contacto y número mínimo de dientes para evitar la interferencia. Son importantes porque afectan tanto a la potencia que puede ser transmitida de un engrane a otro, como a la suavidad del movimiento transferido en presencia de los defectos de fabricación. 5.1. Flanco activo: No todo el flanco de los dientes de una rueda se pone en contacto con los dientes de la otra rueda. Es importante determinar el flanco activo a fin de evitar la interferencia. La parte del flanco de los dientes que toma contacto con los dientes de la otra rueda se llama flanco activo. Evidentemente, todos los puntos de la cabeza de un diente (desde el diámetro primitivo hasta el diámetro exterior) pertenecen al flanco activo, pero no todos los puntos de la raíz (desde el diámetro primitivo hasta el diámetro interior). Para determinar este último punto se deberá encontrar el punto de la raíz que se pone en contacto con el punto extremo de la cabeza de los dientes de la otra rueda.

Los puntos de la raíz del diente (Figura 34) de la rueda 1 comprendidos entre I y A1 (último punto en contacto) tomarán contacto con los puntos de la cabeza de los dientes de la rueda 2. A1, punto a determinar, tomará contacto con el extremo A2 de la cabeza del diente de la rueda 2. De igual manera, los puntos de la raíz de los dientes de la rueda 2 comprendidos entre 1 y B2 tomarán contacto con los puntos de la cabeza de los dientes de la rueda 1. Los flancos activos son entonces el Arco A1B1 para la rueda 1 y el Arco A2B2 para la rueda 2. Para determinar A1 y B2 es necesario conocer el segmento de engrane AB, que es la porción de la línea de engrane sobre la cual se realiza el contacto entre los dientes. Este se encuentra limitando la línea de engrane por las circunferencias exteriores de las ruedas. El punto en que toma contacto A2 con A1 se obtiene en la

intersección de la circunferencia exterior con centro en O2 (lugar de las sucesivas posiciones de A2) con la línea de engrane (punto A). Trazando con centro en O1 una circunferencia que pase por A se obtiene en la intersección con el flanco del diente de la rueda 1 el punto A1 de la raíz que engrana con A2 (esta circunferencia trazada es el lugar de las sucesivas posiciones de A1). De la misma forma puede determinarse B2. En la Figura 34 se observa que las longitudes de los flancos que se pondrán en contacto son distintas, razón por la cual existirá un deslizamiento tangencial, lo que se traduce en una pérdida de potencia. 5.2. Arco de engrane: Mientras dura el contacto de un par de dientes una primitiva rueda sin resbalar sobre la otra, el arco barrido durante este contacto se llama arco de engrane, y, de acuerdo a lo enunciado, vale lo mismo para cualquiera de las ruedas. El contacto del punto A (Figura 34) con su conjugado tiene lugar cuando el punto r (determinado por la normal al perfil en A2) de la primitiva C2 pase por I (A2-r será normal común). Entonces, mientras los puntos de C2 comprendidos en el arco r-I van pasando por I, entran en contacto los puntos de la cabeza del perfil de la rueda 2: I-A2 con los puntos de la raíz de la rueda 1: I-A1. De igual forma, el contacto del punto B1 con su conjugado tendrá lugar cuando el punto q (determinado por la normal al perfil en B1) de la primitiva C1 pase por I. Entonces, mientras los

Figura 34 – Flanco activo


puntos de C1 comprendidos en el arco I-q pasan por I, entran en contacto los puntos de la cabeza del perfil de la rueda 1: I-B1 con los puntos de la raíz del perfil de la rueda 2: I-B2. El arco de engrane es entonces:

Ae = Arco r-I + Arco I-q El arco r-I se denomina arco de acceso o aproximación y el arco I-q arco de receso o retroceso.

Una medida más fácil de obtener es el segmento de engrane o longitud de contacto ya definido antes, y que en la Figura 35 está representado por A-B. El mismo se obtiene sumando L1 y L2 y resulta: A-B = ( re2

2 - rb22 )1/2 + ( re1

2 - rb12 )1/2 – ( rp2 + rp1 ) sen Ø

donde re es el radio exterior, rb es el radio base y rp es el radio primitivo. Esta expresión es aplicable únicamente cuando las intersecciones de las circunferencias exteriores y la línea de engrane están entre los puntos de tangencia de dicha línea y las circunferencias bases, a estos últimos se los denomina puntos de interferencia (ver 5.4.)

5.3. Grado de recubrimiento: Cuando dos engranajes están engranados debe haber al menos un par de dientes en contacto. El método generalmente empleado para indicar cuántos dientes están en contacto es el grado de recubrimiento o relación de contacto.

Cuando el arco de engrane es exactamente igual al paso, o sea Ae = p, un diente y el espacio consecutivo ocuparán todo el arco AB (Figura 36), es decir, que cuando un diente empieza justo el contacto en a, el anterior termina simultáneamente su contacto en b. De modo que durante la acción desde a hasta b, habrá exactamente un par de dientes en contacto.

Si el arco de engrane es mayor que el paso, por ejemplo Ae = 1.2 p, cuando un par de dientes entra en contacto, otro par, ya en contacto, no habrá llegado todavía a b. Así, en un corto lapso habrá dos pares de dientes en contacto, uno en la proximidad de A y otro cerca de B. A medida que avance el engrane de los dientes, el par de dientes cercano a B debe salir del contacto dejando sólo un par de dientes en contacto y, luego, se repetirá esta operación. Debido a la naturaleza de esta acción entre dientes, de uno o de dos pares de ellos en contacto, conviene definir la relación de contacto o grado de recubrimiento como:

Rc = Ae / p

Figura 35 – Segmento de engrane

Figura 36 – Relación de contacto


número que indica el promedio de dientes en contacto. Por ejemplo una relación de 1.4 indica que siempre habrá contacto entre un par de dientes y que el 40% del tiempo que dura el engrane de dicho par, habrá en contacto un segundo par de dientes. Por lo general, los engranajes no deben diseñarse con relaciones de contacto menores que 1.2, aproximadamente, porque las inexactitudes en el montaje podrían reducir aún más esta relación, acrecentando la posibilidad de choques entre los dientes, así como elevando el nivel de ruido. La relación de contacto también se puede determinar en función del segmento de engrane (A-B ver 5.2), como ab es tangente a la circunferencia base, al prolongarla debe emplearse el paso base pb (distancia medida sobre la circunferencia de base entre puntos correspondientes de dientes adyacentes) para calcular Rc en vez del paso circular p: Rc = A-B / pb, siendo pb = p cos Ø. 5.4. Interferencia: Se analizan los problemas que se presentan en el contacto de los dientes.

En primer lugar consideramos dos evolventes (e1 y e2), al girar una de las bases, la de centro O2 por ejemplo, la evolvente rígidamente vinculada a ella (e2) mueve por contacto directo a la otra evolvente (e1), que solidaria a su base la hace girar. Esta transmisión del movimiento no puede prolongarse indefinidamente con ese par de evolventes ya que, según se observa en la Figura 37, cuando e2” corta a la línea de engrane en el punto b, luego de haber pasado por el punto de arranque de e1 (x), ya no es tangente a esta sino que la corta, entonces, un perfil interfiere en el otro y el engrane no es posible; en realidad el engrane se produciría pero con la otra rama de e2 (línea de puntos en la figura) no materializada en los perfiles de los dientes de engranajes. En segundo término se tiene el siguiente caso (Figura 38): A2, sobre la circunferencia base, es el punto de arranque del perfil del piñón que engrana en y con el punto A1 del perfil de la rueda. El resto de la cabeza de la rueda, en caso de prolongarse más allá de A1, no tiene perfil conjugado correspondiente en el piñón; el diente de éste a partir de A2 se completa entonces con curvas o rectas arbitrarias para permitir entrar el resto de la cabeza de la rueda de A1 a A1’, que no son conjugadas de la evolvente de la rueda. El engrane de esta parte de la cabeza de los dientes de la rueda con la raíz del diente del piñón es imperfecto por no verificarse entre superficies conjugadas, en determinado momento el perfil de cabeza “interfiere” en el perfil del piñón.

De acuerdo a lo anterior, la interferencia se produce cuando el engrane se extiende fuera del segmento xy (punto v en la figura 38), los puntos x e y se denominan puntos de interferencia. La interferencia limita la cabeza del diente, y es evidente que, a medida que decrece el diámetro del piñón, la longitud permisible de la cabeza del diente de los engranajes más grandes se hace más pequeña.

Figura 37 - Interferencia

Figura 38 – Interferencia entre dientes


Si se aumenta el diámetro del piñón, es decir si se supone que se aumenta su número de dientes Zp (manteniendo el paso constante), el punto y tiende hacia v. La condición límite surge cuando el extremo de la cabeza de la rueda (A1) debe engranar con el punto de inicio de la evolvente del piñón (A2), es decir y≡v.

Si se considera la altura de cabeza expresada en términos del módulo, a = λ M (ver Figura 30), siendo λ un número que depende de las proporciones elegidas, de la Figura 39, el radio exterior máximo del engranaje 1 es:

Re1 max = rp1 + λ M = ( rb1

2 + xy2 )1/2

rp1 + λ M = [ rp12 cos2 Ø + ( rp1 + rp2 ) 2 sen2 Ø ] 1/2

como rp1 = Z1 M / 2 y rp2 = Z2 M / 2,

sustituyendo y desarrollando en la expresión anterior:

Z22 + 2 Z1 Z2 = 4 λ ( Z1 + λ ) / sen2 Ø

nos da el valor del número de dientes del piñón (Z2) para evitar la interferencia en función del número de dientes de la rueda (Z1), el ángulo de presión (Ø) y la relación entre la altura de cabeza (λ) y el módulo (M) del dentado. La curva que expresa los valores límites de Z2 en función de Z1, para valores constantes de Ø y de la relación λ (Figura 40), es una hipérbola de asíntota horizontal para Z1 = ∞ (cremallera); para este último caso el número mínimo de dientes del piñón resulta:

Z2 = 2 λ / sen2 Ø que para el caso de un diente de altura completa (λ = 1) y un ángulo de presión de 20° vale 17 (Tabla 2), lo que significa que un piñón con 17, o más dientes, no tendrá interferencia con una cremallera o con cualquier otra rueda; esto último es importante desde el punto de vista de la intercambiabilidad, ya que un piñón con ese número de dientes podrá ser utilizado con cualquier otra rueda sin inconvenientes. En caso de utilizar un número de dientes menor habrá que determinar que número mínimo requiere la rueda. Se tienen varios métodos disponibles para evitar la interferencia:

1. El rebaje es un procedimiento en el cual la parte del diente debajo de la circunferencia de base es cortado o rebajado. Por consiguiente, no se tendrá contacto en la parte del diente con perfil no conjugado. Este método tiene dos desventajas: primero, se reduce la relación de contacto y se obtiene un engrane ruidoso y áspero; segundo, se reduce el valor del módulo de sección en la base del diente (aumentándose el esfuerzo), siendo ésta la parte más débil del diente (Ver cálculo de engranajes).

Figura 39 – Número mínimo de dientes

Figura 40 – Valores límites del número de dientes

Angulo hélice

Angulo de presión normal Øn (=Ø para rectos)

14.5° 20° 25° 0 (rectos) 32 17 12

5 32 17 12 10 31 17 12 15 29 16 11 20 27 15 10 23 25 14 10 25 24 13 9 30 21 12 8 35 18 10 7 40 15 8 6 45 12 7 5

Tabla 2 – Número mínimo de dientes del piñón para: adendo = M; altura total = 1.25 M


2. Reducción del perfil del diente en su parte superior. Nuevamente el resultado se traduce en una reducción de la relación de contacto.

3. Aumentando el ángulo de presión, disminuyéndose el diámetro de la circunferencia de base. Con esto se incrementa la porción de la evolvente del perfil del diente y, por lo tanto, se elimina la interferencia. Sin embargo, el aumento del ángulo de presión hace que se incremente la fuerza de separación entre los engranes (ver 6.Cálculo de engranajes).

4. Los engranes pueden cortarse con dientes de adendo a corto y largo. Por ejemplo, el motor puede fabricarse aumentándole el adendo (se disminuye proporcionalmente el dedendo) mientras que al engrane impulsado se le disminuye el adendo. Obviamente, estos engranes no son estándar, por esta razón no son intercambiables y resultan ser más caros.

Entonces, la interferencia debe eliminarse, pero el método a usar dependerá principalmente de la aplicación y experiencia del diseñador.

Engranajes: Diseño y Cálculo 24

6. Diseño y cálculo de engranajes: Se analiza el diseño de engranajes para resistir la falla por flexión de los dientes y el desgaste de las superficies de los mismos. El diseño de engranajes es un problema difícil porque principalmente es un procedimiento del método de tanteos. Sin embargo, hay varios métodos que pueden usarse para desarrollar un diseño. Se seguirá un procedimiento de primer diseño por el procedimiento más simple (ecuación de Lewis) y después se analizará y modificará este diseño por el método de la AGMA. Este enfoque tiene la ventaja de mostrar los caminos disponibles sin forzar a decidir por uno a usar en un procedimiento dado, más tarde, cuando hayan obtenido alguna experiencia, estarán en posición de juzgar el método a seguir para obtener mejores resultados en un problema específico. La determinación de los engranajes adecuados para usar en una aplicación particular constituye un problema complejo en razón de los múltiples factores en juego. En primer lugar, los engranajes deben operar sin interferencia de los dientes, con una apropiada longitud de contacto, y sin demasiado ruido. La solución de este problema requiere el conocimiento de la geometría de los mismos. En segundo lugar, los dientes de los engranajes deben ser capaces de transmitir las cargas aplicadas sin fallar, y con un cierto margen de seguridad. Esto implica la capacidad para resistir no solamente el esfuerzo correspondiente a la potencia transmitida, sino también para resistir los incrementos de esfuerzo debidos al choque (inexactitud del contorno del diente, deformación del mismo, aceleraciones), y a la concentración de tensiones en la raíz de los dientes, o resistencia a la fatiga. En tercer lugar, debe considerarse la resistencia al desgaste. Hasta aproximadamente 1932, el cálculo de los engranajes se basaba en la resistencia estática del diente (Lewis), a fin de tener en cuenta las características de su fabricación y los esfuerzos adicionales por impacto, se modificaba además la tensión de cálculo por un factor de velocidad (Barth). Desde 1932, como un resultado de los estudios de Earle Buckingham, el cálculo se basa en la carga dinámica, en el límite de fatiga del material y en el esfuerzo de desgaste. La base de cálculo utilizada por los métodos actuales (AGMA, etc.) es la fórmula de la resistencia a la flexión tal como fuera desarrollada por Wilfred Lewis. 6.1. Fórmula de Lewis: Wilfred Lewis fue el primero que presentó una fórmula para calcular el esfuerzo por flexión en dientes de engranajes, en la que interviene la forma de los mismos. Fue publicada en 1892 y en la actualidad sigue siendo fundamental para la mayor parte del diseño de engranajes.

Antes de analizar el método en sí, se procede a estudiar las fuerzas que actúan sobre el diente y los efectos que producen en el mismo. La fuerza Fn que actúa entre las superficies de contacto de los dientes es normal a las mismas, es decir,

está situada sobre la línea generatriz o línea de engrane, y su línea de aplicación se desplaza desde la parte superior (o inferior) del diente hasta la parte inferior (o superior) del mismo, en la Figura 41 (a) se muestra cuando el contacto está justamente comenzando o terminando, que, considerando éste como una viga en voladizo, es la posición en que produce las tensiones más altas cuando la relación de contacto es igual a la unidad. En el punto en que la línea de engrane corta a la línea

Figura 41 – Esfuerzos en los dientes


central o eje geométrico del diente, esta fuerza puede descomponerse en sus componentes tangencial Ft y radial Fr, actuando perpendicular y paralelamente al eje del diente. La componente radial produce esfuerzo de compresión sobre la sección transversal del diente y es absorbida por el eje del engranaje y transmitida a los soportes. La componente tangencial produce un esfuerzo flexionante y es la fuerza libre que hace girar la rueda conducida (Figura 41-c). Por lo general, el esfuerzo de compresión es muy pequeño comparado con el flexionante de modo que puede ser ignorado en la determinación de la resistencia del diente. Además, para justificar esta suposición, incluir dicho esfuerzo hará que se aumente el esfuerzo por flexión en el lado de la compresión del diente y que se disminuya el esfuerzo resultante en el lado de tensión. Para muchos materiales usados en engranajes que son más resistentes a la compresión que a la tensión, la suposición dará como resultado un diseño de diente más resistente. El argumento final que confirma el por qué se ignora este esfuerzo es: debido a que los dientes están sujetos a falla por fatiga y las fallas por fatiga empiezan en el lado de tensión del diente, el esfuerzo de compresión reduce el valor del esfuerzo resultante de tensión y, por lo tanto, robustece más al diente. El método de cálculo de Lewis utiliza las siguientes hipótesis simplificativas (Figura 42) : - Al diente lo considera como una viga empotrada en el cuerpo del engrane. - Solicitado únicamente a la flexión. - La solicitación es estática. - La fuerza se encuentra distribuida uniformemente a lo largo del ancho del diente. - La posición más desfavorable de la fuerza Fn tiene lugar cuando el contacto se verifica en el

extremo de la cabeza del diente a calcular.

Su objetivo es determinar la fuerza tangencial máxima que puede transmitir el engranaje, es decir, la capacidad del diente para la transmisión del movimiento. Para determinar la sección más comprometida, que se considerará como sección de empotramiento, se utiliza el concepto de sólido de igual resistencia (forma que tendría el diente para que todas sus secciones transversales estuvieran igualmente solicitadas). Para una viga empotrada, en su extremo fijo VE (Figura 41-a), actuando Ft sobre B con un brazo de palanca h, siendo la sección resistente del diente de un ancho t y largo b, es esfuerzo puede obtenerse como:

σ = momento flector / módulo resistente = Ft h / ( b t2 / 6 )

entonces, Ft = ( b t2 / 6 ) σ / h

En un diente de engrane de resistencia uniforme el esfuerzo es constante, y ya que el ancho del engranaje y la carga son también constantes:

h = (σ b / 6 Ft ) t2 = constante . t2

Está claro que es la ecuación de una parábola. La sección más débil del diente VGE, puede obtenerse inscribiendo la parábola a través del punto B, y localizando los puntos para los cuales la parábola es tangente al perfil del diente en V y en E. Por lo tanto la expresión para la Ft fue obtenida para la sección de esfuerzo máximo ya que el diagrama de momentos flectores será el mismo tanto para el diente como para el sólido de igual resistencia a la flexión y, en cualquier sección por encima de ésta el diente estará en condiciones más favorables que dicho sólido por tener mayor momento de inercia.

Figura 42 – Superficie resistente


Las dimensiones h y t que resultan incómodas se pueden reemplazar utilizando la proporción:

x / ( t / 2 ) = ( t / 2 ) / h

por los triángulos semejantes BVG y GVH (de lados correspondientes perpendiculares), de donde: h = t2 / ( 4 x ) entonces: Ft = b ( 2 x / 3 ) σ multiplicando y dividiendo por el paso p: Ft = b ( 2 x / 3 p ) p σ

debido a que x y p son propiedades geométricas que dependen del tamaño y forma del diente, es posible definir un factor:

y = 2 x / 3 p que es llamado factor de forma, cuya magnitud depende de la forma del diente (que es función del número de dientes para un valor particular del ángulo de presión Ø) y del punto de aplicación de la carga. La ecuación de Lewis se puede escribir:

Ft = b y p σ

ó Ft = b ( Y / Pd ) σ

siendo: p = π / Pd y Y = π y

Los valores del factor de forma han sido calculados para los sistemas de engranes estándar y están disponibles en la Tabla 3.

Si se adoptan otra forma de los dientes, se dibuja el perfil a escala adecuada y puede determinarse por tanteos la sección para la cual se obtiene el valor mínimo del segmento x, dado que la sección comprometida corresponde al menor valor de y. Se debe elegir cualquier punto V cerca de la parte más estrecha del diente, trazar BV y luego VH perpendicular a la anterior, trazar además VG perpendicular al eje del diente, e interpretar a escala GH, repetir la operación para varios puntos cercanos a V. Con unas pocas pruebas se determinará el valor mínimo de GH, o sea de x. La carga tangencial máxima admisible, objetivo de Lewis, puede ahora obtenerse si se conoce el valor del esfuerzo admisible utilizado del material del engrane. Para evitar confusión, designamos como Fb a la carga admisible y, entonces, la ecuación de Lewis se puede escribir:

Fb = b y p σadm

La tensión de trabajo admisible en la ecuación de Lewis, depende del material, del tratamiento térmico, de la exactitud de fabricación, y de la velocidad periférica de la circunferencia primitiva. Usualmente se supone que son un tercio de la resistencia a la rotura (Tabla 4).

Z Ø = 14.5° Ø = 20° Stub Ø = 20° Ø = 25° 10 0.056 0.064 0.083 0.076 12 0.067 0.078 0.099 0.088 13 0.070 0.083 0.103 0.093 14 0.072 0.088 0.108 0.098 15 0.075 0.092 0.111 0.102 16 0.077 0.094 0.115 0.106 17 0.080 0.096 0.117 0.109 18 0.083 0.098 0.120 0.112 19 0.087 0.100 0.123 0.115 20 0.090 0.102 0.125 0.118 21 0.092 0.104 0.127 0.120 23 0.094 0.106 0.130 0.124 25 0.097 0.108 0.133 0.128 27 0.100 0.111 0.136 0.131 30 0.102 0.114 0.139 0.135 34 0.104 0.118 0.142 0.140 38 0.107 0.122 0.145 0.144 43 0.110 0.126 0.147 0.148 50 0.112 0.130 0.151 0.152 60 0.114 0.134 0.154 0.156 75 0.116 0.138 0.158 0.161

100 0.118 0.142 0.161 0.166 150 0.120 0.146 0.165 0.171 300 0.122 0.150 0.170 0.176

Cremallera 0.124 0.154 0.175 0.180 Tabla 3 – Factor de forma


Cuando dos engranajes son del mismo material, el diente del piñón es más débil (yp < yg), cuando los materiales son diferentes, se admite que el diente de menor σadm . y es el más débil. La obtención de la ecuación de Lewis está basada en el supuesto de que la carga esté distribuida uniformemente en todo el ancho. Algunas veces esto dista mucho de la realidad, debido a desalineación o alabeo de los dientes, soportes elásticos, etc. Una causa de rotura del diente es la concentración de la carga en un extremo de su ancho, lo que origina esfuerzos mayores que cuando la carga está distribuida. Para paliar esta clase de perturbación, el ancho de la cara b no debe ser demasiado grande en comparación con el paso p del diente ( b = ρ . p ). En ausencia de consideraciones especiales, se consideran como buenas las siguientes proporciones:

2.5 p < b < 4 p ó 8 M < b < 12.5 M Los límites arriba señalados son sólo sugerencias, y podrá haber muchas excepciones. Sin embargo, el diseñador deberá investigar muy bien los posibles efectos de la distribución no uniforme de la carga cuando se excedan los límites recomendados. Entre las excepciones se puede mencionar, por ejemplo, los engranajes de transmisión de automóviles que tienen caras más cortas por ser necesaria una disposición compacta. En general, cuanto más ancho es el diente y más rígido el material del mismo, más exactos deben ser los perfiles y la alineación del eje para conseguir una larga duración y un funcionamiento exento de averías. A fin de evitar una concentración de la carga en un extremo de un diente, éstos se hacen a veces “bombeados”, es decir, se raspan o cepillan con una reducción elíptica desde el centro del diente hasta el extremo de aproximadamente 0.0003 cm por cm en cada lado.

Material σadm [lbg/plg2] HB Fundición gris ASTM 25 8.000 174 ASTM 35 12.000 212 ASTM 50 15.000 223 Acero Vaciado (bajo carbono) 0.20% C (sin tratamiento térmico) 20.000 180 0.20% C (templado en agua y revenido) 25.000 250 Acero al carbono forjado SAE 1020 (endurecimiento sup. y templado en agua y revenido) 18.000 156 SAE 1030 (sin tratamiento) 20.000 180 SAE 1035 (sin tratamiento) 23.000 190 SAE 1040 (sin tratamiento) 25.000 202 SAE 1045 (sin tratamiento) 30.000 215 SAE 1045 (endurecido por templado en agua y revenido) 32.000 205 SAE 1050 (endurecido por templado en aceite y revenido) 35.000 223 Aceros aleados SAE 2320 (endurecimiento sup. y templado en agua y revenido) 50.000 225 SAE 2345 (endurecido por templado en aceite y revenido) 50.000 475 SAE 3115 (endurecimiento sup. y templado en aceite y revenido) 37.000 212 SAE 3145 (endurecido por templado en aceite y revenido) 53.000 475 SAE 3245 (endurecido por templado en aceite y revenido) 65.000 475 SAE 4340 (endurecido por templado en aceite y revenido) 65.000 475 SAE 4640 (endurecido por templado en aceite y revenido) 55.000 475 SAE 6145 (endurecido por templado en aceite y revenido) 67.500 475 Materiales a base de Cobre SAE 43 (ASTM B147-52, 8A) (manganeso bronce) 20.000 100 SAE 62 (ASTM B143-52, 1A) (bronce de cañón) 10.000 80 SAE 65 (ASTM B144-52, 3C) (fósforo bronce) 12.000 100 SAE 68 (ASTM B148-52, 98) (aluminio bronce tratado term.) 22.000 180 No metales Baquelita, Micarta, Celerón 8.000

Tabla 4 – Tensiones Admisibles de la ecuación de Lewis


Ahora, es necesario considerar el efecto de otra suposición hecha en la determinación de la ecuación de Lewis. Se supuso que la carga total transmitida actúa en la parte superior del diente. Debido a que casi todos los engranajes están diseñados con una relación de contacto superior a 1.2, es claro que cuando la carga actúa sobre la parte superior de un diente, otro diente continúa en contacto, y la carga total no actúa solamente en un diente. El estudio de los dientes en movimiento muestra que las cargas más altas se presentan aproximadamente en la parte media del diente. Por lo tanto, el esfuerzo máximo probablemente se producirá mientras un solo par de dientes soporta la carga completa en un punto donde otro par se encuentra a punto de hacer contacto. En la Figura 41 (b) se ha desplazado la carga desde la parte superior del diente hasta un punto cerca del centro del diente. La obtención de la ecuación de Lewis se puede hacer igual que antes. La única diferencia que se tiene es en los valores del factor de forma. Esta forma de la ecuación reduce el tamaño y el peso de los engranes porque se usa un esfuerzo real menor. Sin embargo, se usa sólo para aquellos diseños donde la reducción de peso y tamaño es de mucha importancia. Tampoco tuvo en cuenta la concentración de tensiones que se produce en la raíz del filete (ver 6.4), por lo que se puede refinar la ecuación de Lewis por medio de un factor Kr que vale 1 para engranajes de precisión, 0.75 para alto grado comercial, y 0.5 para grado comercial.

La capacidad del diente para transmitir el movimiento en un diseño adecuado debe ser igual o superior a la fuerza tangencial (P) necesaria para la transmisión del movimiento. Esta se obtiene por la potencia o por el momento torsional aplicado, dado que en el proyecto se conoce ordinariamente la potencia transmitida y las velocidades angulares de los engranajes. Aunque la fuerza aplicada varía algo cuando el punto de aplicación se desplaza desde la parte superior al fondo del diente (o viceversa), en el proyecto se utiliza la fuerza nominal actuante en la circunferencia primitiva (Figura 43), además, el brazo de palanca de Fb es algo mayor que el radio

primitivo, entonces al adoptar la posición tangente a la primitiva para compararla con P se está en una posición más segura, por otra parte la diferencia no es importante y no existe interés práctico en considerarla. En función de la potencia transmitida N, del número de revoluciones por unidad de tiempo de la rueda dentada n y del radio primitivo R, es posible calcular P:

Mm = P . R = N / n

de donde, y expresando en las unidades correspondientes, resulta:

P [Kg] = 71620 . N [HP] / ( n [rpm] . R [cm] ) , debiendo verificarse: Fb ≥ P

Esta expresión de P es válida para engranajes que operen bajo condiciones de carga estables. Los engranajes en servicio real, lo mismo que otros elementos de máquinas, están sometidos a tal variedad de condiciones de funcionamiento, que la única alternativa práctica es introducir un coeficiente de experiencia, que consiste esencialmente en aumentar el coeficiente de seguridad para compensar en lo posible la falta de conocimiento completo. Para un funcionamiento mayor de 10 Hs. por día y cuando hay choques, la

fuerza tangencial deberá modificarse de acuerdo con los factores de servicio de la Tabla 5, resultando la potencia de cálculo No = N / fs.

Figura 43 – Fuerza tangencial

Tipo de carga Tipos de servicio

24 Hs 8 a 10 Hs 3 Hs por día por día por día

Estable 0,80 1,00 1,25 Choque pequeño 0,65 0,80 1,00 Choque mediano 0,55 0,65 0,80 Choque severo 0,50 0,55 0,65 Para engranajes no encerrados, lubricados con grasa, tomar el 65% de los valores tabulados.

Tabla 5 – Factores de Servicio


Como la fuerza tangencial que resiste el diente debe ser por lo menos igual a la fuerza tangencial que lo solicita a la tensión, igualando dichos valores y teniendo en cuenta que: para b = ρ p , resulta Fb = Kr ρ y p2 σadm y como Dp = ( p / ◊ ) Z , resulta P = 71620 No / [ n ( p Z / 2 π ) ] = 450.000 No / ( n p Z )

p = 76,6 [ No / ( Kr ρ y σadm n Z ) ]1/3 Esta expresión es útil para hacer el prediseño del engranaje ya que será el valor mínimo a adoptar para las verificaciones que se tratan más adelante, y el valor final del paso se alejará de éste en tanto y en cuanto las condiciones reales de funcionamiento difieran de las supuestas por Lewis. Como la potencia y el número de revoluciones, así como la relación de transmisión, son condiciones a cumplir por el diseño, es decir: son datos, deben adoptarse: el ángulo de presión (ver 5.4, generalmente 20°), el material para el engranaje y el número de dientes a utilizar según recomendaciones o criterios adecuados a tal efecto, por ejemplo, adoptar el número mínimo de dientes necesarios para que no se produzca interferencia a fin de obtener las mínimas dimensiones exteriores (Tabla 2). Con el valor obtenido se calcula el módulo, el cual se redondea hasta el valor estandarizado inmediato superior; después de esto, por los valores de ρ y Z, se determinan los diámetros de las ruedas y su ancho, luego de acuerdo a las proporciones estándar (ver 5.4) se obtienen las restantes dimensiones: diámetro exterior e interior, etc. 6.2. Fórmula de Lewis-Barth: Cuando un engranaje funciona a velocidades moderadas o altas y se genera ruido, es seguro que existen efectos dinámicos. Puesto que los perfiles de los dientes no son evolventes perfectas, y puesto que la separación entre los dientes no es rigurosamente exacta, que además el árbol y sus soportes se deforman bajo carga y que una carga deforma a los dientes aunque inicialmente sean perfectos, la ley de engrane no se cumple rigurosamente y es inevitable que se produzcan aceleraciones locales y por lo tanto se originan cargas dinámicas. Después que Lewis enunció su ecuación para la resistencia de los dientes de engranaje, la experimentación demostró que es necesario aplicar un coeficiente de velocidad para obtener un esfuerzo de cálculo a fin de llegar a un mejor acuerdo entre los cálculos de proyecto y los resultados de ensayo, lo que equivale a decir que la carga dinámica es función únicamente de la velocidad. Esto no es rigurosamente cierto, pero sí lo es aproximadamente en intervalos limitados de velocidad y para una clase particular de engranajes que los coeficientes de velocidad se utilizan todavía ampliamente. Carl G. Barth, investigador del siglo XIX, fue el primero que expresó el factor de velocidad (denominado factor dinámico) en la ecuación:

Kv = 183 / ( 183 + vp ) donde vp [m/min] es la velocidad en la circunferencia primitiva. Esta ecuación se conoce como ecuación de Barth, y se sabe que está basada en pruebas de engranes de hierro fundido con dientes colados. También es altamente probable que se llevaran a cabo pruebas con respecto a dientes de perfil cicloidal, en vez de perfil de evolvente. Los dientes cicloidales eran de uso general en aquella época debido a que se podían producir por fundición más fácilmente que los de evolvente. Este factor afecta directamente a la tensión admisible del material (disminuyendo su valor), con lo que la expresión de Lewis-Barth resulta:

Fb = b y p σadm Kv y se aplica para engranajes industriales corrientes que operen a velocidades de hasta 600 m/min.


La ecuación de Barth a menudo se modifica a la forma:

Kv = 366 / ( 366 + vp )

para engranajes exactamente tallados que operen a velocidades de hasta 1200 m/min;

Kv = 43 / ( 43 + vp1/2 )

para engranajes de precisión, tallados con un alto grado de exactitud, y que operen a velocidades de 1200 m/min y mayores. 6.3. Fórmula de Buckingham – Cargas dinámicas: Hasta aproximadamente 1932, el cálculo de los engranajes se basaba en la resistencia estática del diente. A fin de tener en cuenta las características de fabricación del diente y los esfuerzos adicionales por impacto, se modificaba además la tensión de cálculo por un factor de velocidad. Desde 1932, como un resultado de los estudios de Earle Buckingham, el cálculo de los engranajes se basa en la carga dinámica, en el límite de fatiga del material y en el esfuerzo de desgaste. En 1949 Buckingham publicó su “Analytical Mechanics of Gears”, donde propuso una nueva ecuación para calcular el esfuerzo dinámico, basada en la determinación de la masa efectiva actuante sobre las circunferencias primitivas de los engranajes, en los esfuerzos debidos a las aceleraciones, en la discriminación de perfiles, y en las cargas de impacto. Sin embargo, el método presentado en lo que sigue es el primero, en razón de que al presente es el más universalmente usado. Como se ha mencionado, los pequeños errores del tallado, y la deformación de los dientes bajo carga, originan aceleraciones, por lo tanto fuerzas de inercia, y fuerzas de impacto sobre los dientes, con un efecto similar a aquel de una carga variable superpuesta a una carga constante. El esfuerzo máximo total instantáneo sobre el diente, o esfuerzo dinámico, está constituido por la carga transmitida más un incremento dinámico de carga. Puesto que su magnitud depende de las masas de los engranajes, sólo se puede aplicar a una cierta clase de engranajes. Así, para engranajes de masa normal con masas conectadas, también de tipo normal:

Pd = P + ∆P 0,113 vp[m/min] ( P[Kg] + b[cm] C[Kg/cm] )

siendo: ∆P[Kg] = ------------------------------------------------------ 0,113 vp + ( P + b C )1/2 donde C es un factor que depende de la magnitud del error y de los módulos de elasticidad de los engranajes (E1 y E2 [Kg/cm2]):

C[Kg/cm] = k[cm] E1 E2 / ( E1 + E2 )

siendo k función del error efectivo o total compuesto del diente e, que debe ser menor a velocidades más altas. k = 0,107 e para dientes de 141/2 ° y altura completa, k = 0,111 e para dientes de 20 ° y altura completa, k = 0,115 e para dientes cortos de 20 °. Aún cuando la fuerza exterior que actúa sobre el engranaje sea constante, la carga que incide sobre cada uno de los dientes es variable en el tiempo, porque el contacto de cada diente se verifica en una fracción de la vuelta completa del mismo. Para tener en cuenta este efecto se toma como tensión de comparación el límite de fatiga admisible a la flexión, en la Tabla 6 se dan valores de límites de fatiga (σlím). La carga dinámica así determinada se introduce en la fórmula de Lewis, resultando el estado de tensiones:

σ = Pd / ( b y p ) ≤ σlím adm


En la Figura 44 se dan los errores máximos que permiten un funcionamiento relativamente suave para distintas velocidades tangenciales de la circunferencia primitiva (vp). Conociendo el método de fabricación del diente requerido, el error probable se elige de la Figura 45 y C de la Tabla 7. Cuanto mayor sea vp, mayores son las reacciones dinámicas que se originan por los errores diversos de los dientes. Por otra parte, la magnitud relativa del ruido de un par de dientes metálicos conjugados es un indicador o índice de la magnitud de los errores: en general, cuanto más intenso es el ruido para una velocidad, paso y ambiente determinados, mayor es el error. Las altas velocidades requieren, pues, mayores exactitudes para que el

funcionamiento sea satisfactorio. En la Figura 44 se observa que para velocidades más altas de 1500 m/min, el error del diente debe ser del orden de 0,00127 cm; la Figura 45 sugiere que los dientes pequeños (módulo < 5 mm) son, por consiguiente, ventajosos. La manera de utilizar las mencionadas figuras en el proyecto es determinar previamente el error admisible por la Figura 44, después de haber sido calculada la velocidad. Esto es una indicación de la exactitud necesaria de fabricación. Después, una vez conocido o supuesto el módulo, se entra en la Figura 45, se decide acerca de la calidad de fabricación y se usa el valor de e deducido por la curva inferior inmediata, en el cálculo de C en la ecuación de Buckingham. En general, los dientes no deben ser más exactos que lo necesario a causa de que frecuentemente una mayor exactitud implica mayor costo, lo cual indica la conveniencia del uso en el proyecto del error admisible siempre que éste sea menor que el correspondiente a

Material HB Límite de fatiga

σlím [Kg/cm2]

Fundición gris 160 840 Semiacero 200 1260 Bronce fosforoso 100 1680 Acero 150 2520

200 3500 σlím = 17,5 x HB 240 4200

250 4340 para HB > 400 280 4900

σlím = 7000 300 5250 320 5600 350 5950 360 6300 400 7000

Tabla 6 – Límites de fatiga

Figura 44 (arriba) Errores máximos - Figura 45 (abajo) Errores probables


dientes tallados de tipo comercial. En la Figura 45, la curva designada como Engranajes comerciales de primera clase representa los resultados que se pueden esperar de los engranajes cortados mediante fresas circulares de forma o tornillos-fresa cilíndricas o fresas-madre, si se pone el cuidado necesario para realizar la tarea y si las máquinas y las herramientas están en buen estado. La curva designada Engranajes tallados esmeradamente (o clase 2) representa los resultados que se pueden obtener con fresas-madre o herramientas cuchilla-piñón afiladas con precisión, cuando el corte de acabado se efectúa en un lado y después en el otro. La curva designada Engranajes de precisión (o clase 3) representa el grado de exactitud que se puede esperar en dientes esmerilados cuidadosamente o raspados, o dientes tallados con un cuidado extremado empleando fresas exactamente afiladas y montadas en máquinas conservadas en las mejores condiciones. Con dureza Brinell de hasta 450, los dientes deben ser acabados por raspado, que es un proceso de acabado de precisión. Puede producir el perfil de evolvente con una tolerancia de 0,0005 cm y un error de separación dentro de 0,0007 cm. La operación de raspado debe hacerse preferiblemente antes del tratamiento térmico. En condiciones favorables, el error puede ser reducido hasta 0,0007 a 0,0010 cm por rectificado. El raspado es el proceso más rápido y el rectificado el más lento. Cuando los engranajes son tratados térmicamente después de tallados los dientes, el error de perfil aumenta. En condiciones del más cuidadoso control, el aumento de error debido al tratamiento térmico se ha mantenido tan pequeño como 0,0012 cm. Para tratamientos térmicos de menos exactitud, el alabeo puede ser considerablemente mayor; en algunos casos, tanto que los dientes tratados térmicamente no rectificados tienen una vida más corta que los dientes no tratados térmicamente. Para un servicio exacto de alta capacidad, los dientes templados deben ser acabados por rectificado. ΔP tiene en cuenta el efecto dinámico derivado de los errores de trazado, que se manifiestan cualquiera sea la naturaleza de las fuerzas exteriores que actúan sobre el engranaje. Debe considerarse también el incremento de carga debido a la aplicación dinámica de las cargas. Este efecto ha sido tenido en cuenta en el método de Lewis-Barth. También podría tenerse en cuenta en el método de Buckingham al calcular P, pero es más común considerarla comparando la carga dinámica Pd que soporta el diente con la resistencia estática del diente a la flexión Fb. Algunos autores, entre ellos Kimbell, adoptan este criterio, debiendo cumplirse en un correcto diseño:

k Pd ≤ Fb Siendo k = 1.25 para cargas constantes, 1.35 para cargas oscilantes y 1.50 para cargas aplicadas en forma violenta.

Materiales Forma del Error [cm]

diente 0,00127 0,00254 0,00508 0,00762 0,01016 0,01270

Fundición y Fundición 71,4 142,9 285,8 428,6 571,5 714,4 Fundición y Acero 14,5° 98,2 196,5 392,9 589,4 785,8 982,0 Acero y Acero 142,9 285,8 571,5 857,3 1143,0 1428,8

Fundición y Fundición 74,1 148,2 296,5 444,7 592,9 741,2 Fundición y Acero 20° 101,8 201,8 407,2 610,8 814,4 1018,0 Acero y Acero 148,2 296,5 592,9 889,4 1185,9 1482,4

Fundición y Fundición 76,8 153,6 307,2 460,8 614,4 768,0 Fundición y Acero 20° mocho 105,4 210,7 421,5 632,2 843,0 1053,7

Acero y Acero 153,6 307,2 614,4 921,6 1228,8 1536,0 El semiacero y el bronce tienen aproximadamente los mismos valores que la fundición.

Tabla 7 – Factor dinámico C [Kg/cm]


Los llamados engranajes de tipo normal o promedio pueden distinguirse mejor si se menciona primero aquellos que no son de este tipo, por ejemplo los empleados en aeronáutica, en que las masas móviles, considerando las cargas respectivas, son menores que las de tipo medio y los engranajes están conectados por ejes cortos a volantes pesados cuyas masas y rigidez son mayores que las promedias. También los engranajes pequeños que transmiten baja potencia, o los de alta velocidad ligeramente cargados. La influencia predominante que existe sobre los engranajes de gran tamaño y velocidad moderada es la de las masas conectadas. Pero para pequeños engranajes, especialmente los montados sobre ejes pequeños que se retuercen fácilmente con un ángulo de deformación que es equivalente al error efectivo de diente, las masas de los propios engranajes es el factor predominante, y la carga dinámica es mucho menor que la dada por la ecuación dada. No hay manera fácil de definir una línea divisoria entre las diferentes categorías, pero si el eje es tan pequeño como 1,27 cm (y probablemente hasta 5 cm), el engranaje seguramente pertenecerá a esta categoría (no es del tipo promedio). Si la potencia es menor que 10 ó 20 CV, el uso de la ecuación será excesivamente previsor. Para estas pequeñas potencias se recomienda aplicar las ecuaciones de Lewis-Barth, para la carga dinámica. Como el origen de estas ecuaciones es distinto, no es lógico esperar que las cargas dinámicas coincidan, excepto en ciertas condiciones de funcionamiento (Figura 46).

Se ha desarrollado un considerable trabajo de investigación sobre las cargas dinámicas que actúan sobre los dientes de los engranajes: Buckingham (1932 y 1949), Tuplin (1950 y 1953), Strauch (1953), Reswick (1954), Attia (1956), Niemann y Rettig (1958), Zeman (1957), Harris (1957) y Kohler (1959). Además, se han hecho investigaciones que no fueron publicadas por numerosas compañías. La mayoría de las investigaciones, por no decir que la totalidad, no están

El análisis detallado de Buckingham, curva A, es para una carga transmitida constante de 453 Kg y los datos siguientes: b=12,5 cm, 20°, altura completa, Zp=30, i= 4, engranajes de hierro fundido, e=0,0025 cm, la masa conectada sobre el eje del piñón y la masa del piñón son 23,8 y 3,7 Kg, la masa conectada sobre el eje de la rueda y la masa de la rueda son 59,5 y 19,3 Kg respectivamente. Las curvas de trazos B y C corresponden a la ecuación media de Buckingham y los otros datos son los mismos. Los coeficientes de velocidad son naturalmente independientes de la elasticidad de los materiales y de la anchura de la cara. Obsérvese que la curva C correspondiente a hierro fundido y e=0,0050 cm es la misma que se obtendría para acero y e=0,0025 cm. Los valores de Fd de las curvas A, B, C, tienen las relaciones indicadas con las de D, E, F, G, sólo para Ft=453 Kg; las posiciones relativas de estas curvas diferirán en general para otros valores de Ft. Se podrían hacer estudios similares con otra variable independiente, como Fd en función de la potencia a velocidad constante.

Figura 46 – Carga dinámica según diferentes ecuaciones


completamente de acuerdo sobre la manera de evaluar los efectos de las cargas dinámicas. Sus trabajos hacen destacar el hecho de que no ha sido encontrado un método eficiente para la determinación de las cargas dinámicas y el diseñador queda abandonado a sus propios recursos, se han tenido que basar en experiencias pasadas, aplicando niveles de esfuerzos más bajos que los permitidos, factores de seguridad para el servicio, valores experimentales aplicables dentro de límites estrechos para casos específicos, etc., con el fin de asegurar el éxito en el funcionamiento de sus engranajes.

Con el fin de proporcionar al lector la ventaja de conocer lo que se ha logrado hasta la fecha en el campo de las investigaciones sobre las cargas dinámicas, es conveniente repasar los resultados obtenidos en esta acumulación de datos experimentales. Zeman ha desarrollado una buena labor, recopilando y resumiendo estos datos desde un punto de vista práctico. En la Figura 47 se muestra una gráfica tomada de una de sus publicaciones, en donde se ha trazado la carga dinámica con la relación que guarda con la velocidad periférica, para un juego determinado de engranajes rectos (relación 1:1, 30 dientes, Pd 2.54, distancia entre centros 11.8”, acero, carga 420 y 120 Kg); En la Figura: (a) corresponde a Zeman, perturbación simple, (b) Zeman, error continuo, (c) antiguas de Buckingham, 420 Kg, (d) antiguas de Buckingham, 120 Kg, (e) nuevas de Buckingham, 420 Kg, (f) nuevas de Buckingham, 120 Kg, (g) nueva de Niemann, (h) antigua de Niemann, (k) Tuplin.

En todas las curvas se observa una tendencia de aumento de las cargas dinámicas conforme aumenta la velocidad. La mayoría de los resultados indica también que se alcanza cierto valor máximo de la carga dinámica, después de lo cual empiezan a nivelarse las curvas de las gráficas. Kohler afirma que sus trabajos de prueba revelaron, independientemente del error, que la carga dinámica nunca llega a exceder del triple de la carga de diseño. Se puede observar, en los resultados de la curva superior de Buckingham, que la carga dinámica equivale a 2.38 veces la carga de diseño. Observando el problema desde el punto de vista estricto del diseño se estima que la teoría de Buckingham sobre las cargas dinámicas, es el método más apropiado que se debe seguir, considerando el estado actual de las investigaciones. Sin embargo, el establecimiento de nuevas teorías irrebatibles y un número mayor de investigaciones físicas revelan que las aproximaciones fijadas por Buckingham resultan anticuadas, aún cuando hasta la fecha parecen ser el método más lógico y directo de asegurar a los usuarios, que los engranajes diseñados, probados y embarcados, funcionarán en el sitio de trabajo de acuerdo con lo prescrito. 6.4. Concentración de Tensiones: La identificación de la raíz del diente con la corona se realiza por medio de una transición curva cuyo radio suele estar estandarizado en función del módulo y del tipo de dentado. A pesar del acuerdo curvo, tiene lugar en la sección de empotramiento un efecto de concentración de tensiones. Consecuencia de este efecto es que una parte de las roturas de engranajes se deben a fisuras que se producen en la zona de concentración (Figura 48).

Figura 47


El valor exacto del factor de concentración de tensiones depende del material, del espesor del diente en la raíz, de la posición del esfuerzo sobre el diente, del radio de acuerdo y del ángulo de presión. A causa de esta complejidad, los coeficientes que se usan ordinariamente son estimaciones razonables de los valores verdaderos. Dolan y Broghamer propusieron las siguientes ecuaciones empíricas de acuerdo con sus estudios foto elásticos (Figura 49):

Kt = 0.22 + ( a / ρ )0.2 ( a / h )0.4 para φ = 14 ½ °

Kt = 0.18 + ( a / ρ )0.15 ( a / h )0.45 para φ = 20 °

Kt = 0.14 + ( a / ρ )0.11 ( a / h )0.5 para φ = 25 ° siendo ρ el radio del filete en la raíz del diente, a el espesor del diente en la base del mismo y h la distancia medida por arriba de la sección débil del diente hasta la línea de acción de la carga.

Debido a que la concentración de tensiones obtenida a partir de las ecuaciones anteriores es para un diente de engrane sujeto a esfuerzo estático y a que el engrane está además sujeto a esfuerzos por fatiga, los factores obtenidos deberán modificarse por factores de sensibilidad a las entallas (q, Kf=1+ q (Kt – 1) ), pero cuando los dientes están templados o endurecidos, el valor de q es casi igual a la unidad, excepto para radios muy pequeños, también para los aceros aleados de alta resistencia; para los aceros al carbono y de baja aleación oscila entre 0.6 y 0.8; para las fundiciones grises es igual a cero. Con un coeficiente de reducción de resistencia Kf, la ecuación de Buckingham se convierte en:

σ = Kf Pd / ( b y p ) Buckingham enuncia que si se supone que la carga actúa en la punta del diente (Fb) y se establece comparación con su carga dinámica, esto es tan previsor que no es necesario coeficiente alguno de concentración de tensiones. El valor de Kf generalmente está en el intervalo de 1,2 a 1,7 cuando se aplica la carga en la punta del diente, pero es más alto, 1,4 a 2 por ejemplo, cuando la carga se aplica cerca de la parte central. 6.5. Fallas de los dientes de engranajes: Un buen diseñador de engranajes debe poder reconocer y analizar las fallas propias de los engranes. Las fallas deben ser debidamente investigadas, tomando las medidas de corrección necesarias, procurando también que estos datos sirvan de base para posteriores experiencias.

La capacidad operativa de un engranaje viene determinada por su diseño y las variables de funcionamiento como ser: temperatura de trabajo, materiales de construcción, velocidad y torque. Es el aceite lubricante el que debe cubrir los requerimientos de fricción para minimizar los efectos del desgaste y rotura acelerada. En un engranaje hay cuatro tipos de fallas características: por desgaste, picadura (pitting), deformación plástica y rotura del diente. En la Figura 50 se representa una curva típica, donde, en función de la velocidad y torque, quedan delimitadas las zonas de falla según sea la condición operativa.

Figura 48 – Concentración de tensiones

Figura 49 – Estudios fotoelásticos

Figura 50 – Tipos de fallas


6.5.1. Desgaste: Es un fenómeno de mucha importancia, sobre todo para aquellos engranajes de alta velocidad que tienen que funcionar durante períodos ilimitados de tiempo. El desgaste queda definido como el deterioro que sufren los dientes y por el cual son removidas de sus superficies capas de metal, de manera más o menos uniforme. Las causas más comunes del desgaste son: contacto de metal contra metal, como consecuencia de una película inadecuada de aceite lubricante; la presencia de partículas abrasivas en el suministro del aceite; desplazamiento de la película de aceite en el área de contacto ocasionando un desgaste rápido o la formación de rayas o estriado; y el desgaste de origen químico, provocado por la composición del aceite y de sus aditivos. Las áreas marcadas con 1, 2 y 3 (Figura 50), son las zonas en donde ocurren los desperfectos en combinación con el fenómeno del desgaste. En el área 1, el engranaje no gira con la rapidez necesaria como para formar una película de aceite, mientras que en la zona del área 2 la velocidad tiene la suficiente rapidez como para formar dicha película y el engranaje marchará así durante un período de tiempo indefinido, en el supuesto caso de que el aceite esté enteramente libre de materiales extraños y no sea corrosivo. En el área 3 se producirá el rayado o escarificado (scoring) con rapidez, puesto que aquí la carga y la velocidad son lo suficientemente altas para romper la película de aceite destinada a la lubricación. Hay que tener en cuenta, para el área 1, que si bien se puede aumentar la velocidad de funcionamiento (para trabajar en la zona sin fallas), también se incrementa la fricción y la temperatura debido al calor generado (aumenta con el cuadrado de la velocidad), lo que hace necesario refrigerar la caja de engranajes con: intercambiadores de calor, disipadores, mayor caudal y/o volumen del carter de aceite para mantener la viscosidad del aceite dentro de los parámetros recomendados, también se puede recurrir a aceites de mayor viscosidad o al uso de aditivos mejoradores de fricción. El escarificado (área 3) ocurre cuando el calor generado por la fricción de los dientes es tan grande como para romper la película de lubricante, produciéndose entonces el contacto metal-metal, elevada fricción con aumento de la temperatura hasta producir la fusión y soldadura de los materiales de las superficies. Para atenuar su efecto se debe recurrir a: modificar condiciones operativas (operar a menor régimen), disminuir la viscosidad del aceite (al valor mínimo recomendado) y aumentar el caudal de lubricación para obtener una mayor refrigeración. 6.5.2. Deformación plástica: Los engranajes pueden fallar a consecuencia del deslizamiento plástico, cuando la superficie cede y se deforma debido a cargas demasiado pesadas. Por lo general este tipo de falla se produce cuando los engranajes están hechos de materiales suaves o semiduros. En general se caracteriza por la presencia de material laminado que sobresale de las puntas de los dientes. También se pueden formar ondulaciones y surcos. Por lo regular se pueden mejorar estas condiciones de trabajo agregando al aceite lubricante aditivos para presiones extremas, mejorando simultáneamente la distribución del aceite. La reducción de la carga que se transmite es un paliativo, aún cuando no siempre es practicable. 6.5.3. Fatiga superficial o picado (pitting): Está considerada como una falla de la superficie que sobreviene al ser superado el límite de la resistencia superficial de los materiales. Los engranajes que funcionan con carga, desarrollan esfuerzos superficiales constantes y si las cargas tienen la suficiente intensidad y el ciclo de esfuerzos se repite con bastante frecuencia, sobreviene la fatiga en algunos fragmentos del metal en la superficie, dando origen a las picaduras. La mayor parte de las fallas por picado de dientes se debe a un mal diseño del engranaje, incorrecta selección del material constructivo y condiciones operativas extremas (área 4 de la Figura 50).


La carga aplicada se distribuye en una pequeña área, las tensiones de contacto que se desarrollan en esas superficies de contacto dan lugar a un campo de tensiones normales y tangenciales en el interior del diente. Como las tensiones de contacto son variables lo serán también las del campo interior, de las cuales las más importantes son las tangenciales y de éstas las correspondientes a elementos superficiales orientados a 45° respecto de las tensiones de contacto (Figura 51). Las máximas tensiones tangenciales se producen en las proximidades de la superficie de contacto, a una distancia del mismo orden que la deformación derivada de la

acción de las cargas, y dan lugar a un fenómeno de fatiga y conducen a la formación de pequeñas fisuras en cualquier irregularidad estructural, desarrollándose gradualmente, éstas salen a la superficie formando una erupción puntual. En la ulterior etapa los defectos puntuales se agrandan y se fusionan en cadenas; en los sectores entre las cadenas se exfolian y desmenuzan las partículas gruesas de metal. Este fenómeno se llama picadura. Producido el picado, el fenómeno es luego creciente por cuanto al reducirse las superficies en contacto se incrementan las tensiones, acelerándose la formación de pocitos o picaduras derivadas de la fatiga del material. El aumento de la velocidad del movimiento relativo (rodamiento con resbalamiento) ejerce en cierto grado influencia favorable: la capa deteriorada, en el proceso de desgaste, se elimina gradualmente, gracias a lo cual no surge el desmenuzamiento. La duración depende de la intensidad del desgaste abrasivo que varía en el curso del tiempo la forma primaria de las superficies de contacto. La picadura se concentra en los sectores del diente próximos al círculo primitivo, dado que en esos sectores soporta la carga él solo; en los sectores próximos a la cabeza y a la raíz, la carga la reciben dos dientes. Además, en los sectores centrales del perfil tiene lugar rodamiento sin resbalamiento, mientras que en los sectores de la cabeza y de la raíz tiene lugar también el resbalamiento, estos sectores se someten a una acción bruñidora de las superficies conjugadas que eliminan los deterioros superficiales, pero con el tiempo conduce a la distorsión del perfil evolvente. También la presencia de lubricante contribuye a la división de las superficies metálicas. Dada la complejidad de factores existen varias teorías para explicar el fenómeno además de la enunciada, aún prescindiendo del origen del picado, lo real e importante es que se ha determinado experimentalmente que después de un cierto número de revoluciones, si el engranaje no es apto para resistir el desgaste, sufre un picado superficial. Salvo que en el engranaje se haga notorio un desalineamiento considerable, que en la mayoría de los casos puede ser corregido, la presencia de picaduras significa que el diseño no corresponde a la capacidad de carga que se transmite y de ser éste el caso, es necesario dar los pasos que procedan para mejorar la capacidad de carga, por ejemplo, los engranes de endurecimiento medio pueden ser sometidos a un endurecimiento máximo, lo que aumentará el límite de resistencia de la superficie del material. También puede sustituirse el material de los engranes, ya sea por un metal nitrurizado de alta capacidad de resistencia o por otro carburizado superficialmente. Con frecuencia, los cambios de material y de tratamiento térmico no son suficientes y es preciso rediseñar el engranaje. El aumento del ancho reducirá la carga por centímetro cuadrado de cara de los dientes, aumentando así la resistencia contra las picaduras.

Buckingham encontró una buena correlación entre el fallo por fatiga superficial y el esfuerzo de contacto de Hertz cuando el contacto tiene lugar en el punto primitivo. Entonces, para deducir la ecuación de desgaste de Buckingham se parte de la ecuación de Hertz para calcular el esfuerzo en la superficie de dos cilindros en contacto rodante, quien se basó en la hipótesis de que la distribución de esfuerzos normal a la superficie de contacto es elíptica. En la Figura 52 se muestran dos cilindros y las dimensiones usadas para obtener la ecuación de esfuerzo de Hertz:

Figura 51 – Tensiones tangenciales

Figura 52 – Cilindros en contacto


F ( 1 / r1 + 1 / r2 ) σ2 = --------------------------------------------------

π b [( 1-µ12) / E1] + [(1-µ2

2) / E2] donde: σ : esfuerzo en la superficie r1 : radio del cilindro menor r2 : radio del cilindro mayor b : longitud de contacto de los cilindros µ : relación de Poisson E : módulo de elasticidad

Entonces, si F es sustituida por la carga admisible al desgaste Fw, r1 y r2 por rcp y rcg que son los radios de curvatura de los dientes de los respectivos engranes (piñón y engrane) en el punto de contacto y σ por Sc que es el límite de fatiga superficial, teniendo en cuenta que rc = r sen Ø (Figura 53), y suponiendo que los engranajes son hechos de materiales que tengan el mismo valor de relación de Poisson µ = 0.3 (es un valor razonable para casi todos los engranes metálicos), resulta: Sc

2 sen Ø ( 1 / Ep + 1 / Eg ) Fw = -----------------------------------

0.35 ( 1 / rp + 1 / rg ) La carga admisible al desgaste es una fuerza normal, debido a que Buckingham la comparó con la carga dinámica, es necesario efectuar algunas manipulaciones a la ecuación, si: K = ( Sc

2 sen Ø / 1.4) ( 1 / Ep + 1 / Eg )

Q = 2 Dg / ( Dp + Dg ) = 2 Zg / ( Zg E Zp )

( - es para engranajes interiores )

resulta: Fw = Dp b Q K ≥ Pd Los valores de Sc y K se encuentran en la Tabla 8. La expresión revela que es proporcional al producto ( D . b ), superficie de la sección del cilindro primitivo del engranaje con un plano que pasa por su eje, lo cual implica

el hecho corroborado por la experiencia, de que no se modifica la resistencia al desgaste aumentando el módulo, cuando se mantiene el diámetro primitivo y el ancho del engranaje.

Figura 53 – Relaciones entre radios

Materiales del piñón y del engrane Sc K [lb/plg2]

[lb/plg2] 14,5° 20° 25° Acero y Acero HB promedio para piñón y engrane

150 50.000 30 41 51 175 60.000 43 58 72 200 70.000 58 79 98 225 80.000 76 103 127 250 90.000 96 131 162 275 100.000 119 162 200 300 110.000 144 196 242 325 120.000 171 233 288 350 130.000 196 270 333 375 140.000 233 318 384 400 150.000 268 366 453

Acero (HB 150) y Fundición 50.000 44 60 74 Acero (HB 200) y Fundición 70.000 87 119 147 Acero (HB 250) y Fundición 90.000 144 196 242 Acero (HB 150) y Bronce Fosforoso 59.000 46 62 77 Acero (HB 200) y Bronce Fosforoso 65.000 73 100 123 Acero (HB 250) y Bronce Fosforoso 85.000 135 184 228 Fundición y Fundición 90.000 193 264 327 Fundición y Bronce Fosforoso 83.000 170 234 288

Tabla 8 – Factor de carga al desgaste K y límite de fatiga superficial Sc


Cuando el trabajo a que se hallan sometidos los engranajes es continuo y las velocidades son altas, la resistencia al desgaste juega un papel preponderante, por el contrario, cuando las transmisiones son de baja velocidad y trabajan en breves lapsos entre grandes intervalos, el desgaste tiene mucha menos importancia. 6.5.4. Rotura de diente: La rotura de diente se produce en forma inmediata y en casi todos los casos produce daños graves en la transmisión dejando inmediatamente fuera de servicio el equipo. La rotura total de un diente o de una parte considerable del mismo, es el resultado de una falla que se originó, ya sea por sobrecarga, golpes, o por el fenómeno más común de la fatiga. Las fallas por fatiga son ocasionadas por sobrecarga que proviene de omisiones en el diseño, rebabas de la fresa en los filetes de la raíz, adherencias, agrietamientos provocados por el tratamiento térmico y desalineamientos. Las rupturas originadas por sobrecarga se producen por un desalineamiento repentino, desperfectos en los cojinetes que tienden a paralizar la transmisión del engranaje o partículas grandes de materiales extraños que pasan entre los engranajes en movimiento. Con frecuencia es la ruptura de los dientes sólo un efecto secundario del exceso, ya sea de desgaste, o de formación de picaduras. 6.6. Ecuaciones de la American Gear Manufacturers Association (AGMA):

Las ecuaciones finales presentadas son las de la Asociación Americana de Fabricantes de Engranajes. La AGMA ha sido por muchos años la autoridad responsable de la divulgación de información referente al diseño y análisis de los engranes. Los métodos que presenta esta organización son de uso común en Estados Unidos cuando la resistencia y el desgaste son las consideraciones primordiales. En vista de este hecho es importante que el enfoque de AGMA a este tema se exponga aquí sin ningún cambio.

El enfoque general de AGMA requiere un gran número de diagramas y gráficas, aquí se han omitido muchos de ellos eligiendo algunos ángulos de presión y utilizando sólo dientes de tamaño o altura completa. El estándar o norma que se utiliza es: AGMA Standard for Rating Pitting Resistance and Bending Strength of Spur and Helical Involute Gear Teeth, AGMA 218.01, Diciembre de 1982. La que sigue es una cita tomada del prólogo de la norma mencionada: “Este estándar de AGMA y publicaciones relativas están basados en datos, condiciones o aplicaciones típicos o promedio. Los estándares están sujetos a mejoramiento, revisión o anulación continuos, según lo dicte la experiencia acrecentada. Cualquier persona que consulte publicaciones técnicas de AGMA deberá cerciorarse de que obtenga la información más reciente disponible de la asociación acerca del tema en cuestión. Se pueden citar o extractar en su totalidad tablas u otras secciones completas o independientes. La línea de acreditación debe indicar (por ejemplo): ‘Extractado de .....(nombre y número de norma), con autorización del editor, American Gear Manufacturers Association’. “ Esta norma no produce respuestas únicas porque contiene factores que no están definidos en forma objetiva, el Ingeniero debe asignar los valores con base en su experiencia anterior. En efecto, en la página 1 se dice: “El conocimiento y el juicio que se requieren para evaluar los diversos factores nominales vienen de años de experiencia que se ha ido acumulando en el diseño, fabricación y operación de unidades de engranaje. Los factores empíricos dados en este estándar son de naturaleza general. Las normas de aplicación de AGMA pueden utilizar otros factores empíricos que se adecuen más estrechamente al uso particular. Esta norma está orientada al diseñador experimentado de engranes, capaz de seleccionar valores razonables para estos factores. No está dirigido hacia el uso masivo de la ingeniería pública en general.”


A Pesar de lo enunciado, debido a que casi todos los factores son obtenidos de modo empírico, puede conservarse la ecuación y cambiar los valores de los mismos en caso de tener más información acerca del comportamiento del engrane (fabricación de un prototipo o modelo, realización de experiencias o ensayos sobre diseños similares existentes, etc.). Los factores indican cuáles, y en que medida, son las variables que afectan la capacidad de transmitir carga de un determinado mecanismo. En el enfoque de AGMA se utilizan dos fórmulas fundamentales, una para el esfuerzo por flexión y una para la resistencia a la picadura. Los resultados que se obtienen con ellas reciben el nombre de números de esfuerzo, y se designan mediante una letra minúscula s, en lugar de σ que se ha usado en este apunte. 6.6.1. Ecuación para el esfuerzo por flexión: Esta ecuación es particularmente útil al diseñador porque se aplican los factores de corrección a la ecuación original de Lewis con lo que se compensan algunas de las suposiciones erróneas establecidas en la obtención de la misma, así como también algunos factores importantes que no se consideraron originalmente. La resistencia de los dientes de los engranajes rectos, helicoidales, doble helicoidales y cónicos, puede determinarse por medio de una ecuación básica de esfuerzo flexionante:

st = ( Wt Ko / Kv ) . ( Pd / F ) . ( Ks Km / J ) ≤ sad = sat . KL / ( KT KR )

siendo: st : esfuerzo calculado en la raíz del diente [lb/plg2] sad: esfuerzo de diseño máximo admisible [lb/plg2] sat : esfuerzo admisible según el material [lb/plg2] Wt: carga tangencial transmitida [lb] Ko: factor de sobrecarga Kv: factor de velocidad Pd : paso diametral [1/plg] F : ancho del engrane [plg] Ks : factor de tamaño Km: factor de distribución de carga J : factor de geometría KL: factor de duración KT: factor de temperatura KR: factor de confiabilidad

Obsérvese que en el esfuerzo calculado hay tres grupos de términos, el primero está relacionado con la carga, el segundo con el tamaño de los dientes y el tercero con la distribución de esfuerzos. Estos términos se explicarán y evaluarán a continuación. • Carga tangencial transmitida (Wt): Es calculada directamente de la potencia transmitida a través del juego de engranajes.

Wt = 126.000 N / ( np Dp ) donde: N [HP] : Potencia transmitida np [rpm] : Velocidad del piñón Dp [plg] : Diámetro primitivo del piñón


• Factor de sobrecarga (Ko): El factor de sobrecarga o de aplicación considera el hecho de que, mientras que Wt es el valor promedio de la carga transmitida, la carga máxima real puede ser hasta dos veces mayor debido a choques que se tengan ya sea en el sistema motor o en el impulsado. La sección 9.1 de los estándares trata de este factor y en parte se lee: “El factor de aplicación toma en cuenta cualesquiera cargas aplicadas externamente en exceso de la carga tangencial nominal, Wt. Los factores de aplicación solamente se pueden establecer después de una experiencia de campo considerable obtenida en una aplicación en particular.” Aplíquense los valores de la Tabla 9 para las condiciones detalladas en la Tabla 10.

• Factor de Velocidad (Kv): Como se vio antes, se utilizan factores dinámicos para tomar en cuenta imprecisiones en la fabricación y engrane de los dientes. El error de transmisión se define como la desviación respecto de la velocidad angular uniforme en el par de engranajes. Depende de: - Imprecisiones producidas en la generación del perfil del diente; entre éstas se cuentan errores en

el espaciamiento entre dientes, el avance del perfil y acabado. - Vibración de los dientes durante la conexión debida a rigidez o inflexibilidad de los dientes. - Magnitud de la velocidad en la línea de paso. - Desequilibrio dinámico de los elementos giratorios o rotatorios. - Desgaste y deformación permanente de partes de contacto de los dientes. - Desalineamiento del eje o árbol del engrane, y deflexión lineal y angular en el mismo. - Fricción entre los dientes. En un intento por controlar hasta cierto punto estos efectos, la AGMA ha definido un conjunto de índices (o números) de control de calidad (AGMA 390.01), que definen las tolerancias para engranes de diversos tamaños fabricados para una clase de calidad específica. Las clases 3 a 7 incluirían a la mayoría de los engranes de calidad comercial. Las clases 8 a 12 son las de calidad de precisión. El índice de nivel de exactitud en la transmisión Qv de la AGMA, se puede considerar también como índice de calidad. Las ecuaciones que siguen del factor dinámico están basadas en estos números Qv:

Kv = [ A / ( A + vp½ ) ]B

donde: A = 50 + 56 ( 1 – B ) B = (12 – Qv)2/3 / 4 Vp [pie/min]

Sistema Característica Ejemplos

Motriz

Uniforme Motores eléctricos, turbinas

Choques ligeros Motores de combustión interna, multicilíndricos

Choques medianos Motores de combustión interna, monocilíndricos

Impulsado

Uniforme Ventiladores centrífugos, agitadores de líquidos, transportadores de banda (alimentación uniforme)

Choques moderados Ventiladores del tipo de lóbulo, agitadores de líquidos y sólidos, transportadores de banda (alimentación variable)

Choques intensos Trituradoras de mineral, compresores monocilíndricos, transportadores recíprocos

Tabla 10 – Tipos de sistemas motores e impulsados

Sistema motriz

Sistema impulsado

Uniforme Choques moderados

Choques intensos

Uniforme 1,00 1,25 ≥1,75

Choques ligeros 1,25 1,50 ≥2,00

Choques medianos 1,50 1,75 ≥2,25

Para transmisiones de incremento de velocidad de rectos y cónicos auméntese 0,01 (ZG/ZP)2. Para helicoidales se requieren otras consideraciones. Si se aplica un factor se sobrecarga específico úsese 1 para KR(CR) y KL(CL).

Tabla 9 – Factor de sobrecarga Ko


Los valores que se obtienen por la ecuación se grafican en la Figura 54 para tener un intervalo de valores útiles de Qv. El extremo de cada curva corresponde a la máxima velocidad permitida en la línea de paso para el nivel de exactitud dado.

A modo de guía: - Kv = 1 para engranajes rectos de alta precisión, con dientes acepillados o acabados a esmeril;

para engranajes helicoidales y doble helicoidales de alta precisión; para engranajes cónicos tallados que tienen la plantilla de contacto entre los dientes más conveniente, exactitud en el espaciamiento entre los dientes y en la concentricidad. Siempre que el sistema de transmisión no desarrolle cargas dinámicas apreciables.

- Qv = 9 para engranajes rectos tallados o rectificados a esmeril; helicoidales de alta precisión; para el planeamiento de engranajes cónicos espirales grandes. Cuando la carga dinámica es ligera.

- Qv = 6 para engranajes rectos, helicoidales o doble helicoidales de alta precisión acepillados o rectificados a esmeril, cuando es posible que se desarrolle una carga dinámica (este valor es recomendado para engranajes helicoidales y doble helicoidales del tipo comercial para aplicaciones industriales en general).

- Qv = 5 para engranajes rectos acabados por corte o fresa o acepillado, cuando se espera tener carga dinámica moderada; para el planeamiento de engranajes cónicos rectos comerciales.

Cuando se tallen dientes inexactos deberán usarse factores dinámicos más bajos que los anteriormente indicados. • Factor de tamaño (Ks): El objetivo original del factor de tamaño es considerar cualquier falta de uniformidad de las propiedades del material. Depende principalmente de: paso de los dientes, diámetro de las ruedas, relación del tamaño entre los dientes y el diámetro de la rueda, ancho de la cara, esfuerzos máximos y gradiente de esfuerzos, relación entre la profundidad del temple superficial y el espesor de los dientes, templabilidad y tratamiento térmico de los materiales. La recomendación de la AGMA es que se utilice un factor igual a la unidad “para la mayoría de los engranajes siempre que se haga una

Figura 54 – Factor de Velocidad Kv


elección adecuada del acero para el tamaño de la pieza y el tratamiento térmico y el proceso de templado o endurecimiento.”

Se le puede dar un valor equivalente a la unidad para la mayoría de los engranajes rectos y helicoidales. Cuando se emplean dientes de paso grande con endurecimiento superficial por carburación, puede ser conveniente reducir la carga nominal para compensar el pequeño efecto tensor de las fuerzas de compresión superficial desarrolladas por la corteza endurecida, por ejemplo, si para un engranaje de paso diametral 10 se aplica un factor equivalente a la unidad, uno de 1.25 puede ser el adecuado para otro engrane de paso diametral 1, con dientes superficialmente endurecidos. Para los engranajes cónicos se dispone de factores estandarizados (Tabla 11).

• Factor de distribución de carga (Km): El factor de distribución de carga se emplea para tomar en cuenta: desalineamiento de los ejes geométricos de rotación por algún motivo, errores de alineamiento originados por inexactitudes de los dientes, deflexiones elásticas causadas por la carga en ejes o árboles, cojinetes o en el alojamiento. Los errores indicados pueden combinarse de tal manera que el contacto con el engranaje oponente sea menor que el ancho íntegro de la cara, o que el contacto sea completo, pero carente de uniformidad. En el estándar se presentan dos métodos, uno empírico y el otro analítico. Ambos métodos son muy extensos y están fundamentados en muchas definiciones nuevas. La AGMA reconoce que el método empírico produce resultados similares a los que se obtienen en estándares anteriores. Por ese motivo se utiliza un enfoque más simple para determinar su valor, que se obtuvo de un estándar anterior. Hay que tener presente que los errores del alineamiento de operación no siempre pueden evaluarse con facilidad, por lo que se presentan las Tabla 12 (rectos y helicoidales) y 13 (cónicos) con valores representativos que corresponden a engranes del tipo comercial.

• Factor de geometría (J): El factor de geometría evalúa la forma (o perfil) del diente, la posición en la cual se le aplica la carga más peligrosa, concentración de tensiones y corrección debido a la forma geométrica y a la repartición de la carga entre uno o más pares de dientes:

J = Y / ( Kf mN ) siendo: Y : factor de forma Kf : factor de concentración de tensiones mN: relación de repartición de carga en los dientes

Paso Diametral Ks

1 1,00

2 0,84

3 0,76

4 0,71

6 0,64

8 0,59

10 0,56

Σ16 0,50 Tabla 11 – Factor de tamaño Ks

para engranajes cónicos

Condición de soporte Ancho de cara F [mm]

Tipo de montaje Aplicación

Ρ 50 150 225 400 Ind. General Automóviles Aviones

Montaje exacto, bajas holguras de cojinetes, deflexiones mínimas, engranes de precisión

1,3 (1,2)

1,4 (1,3)

1,5 (1,4)

1,8 (1,7)

Ambos engranes en montaje interior 1-1,00 1-1,00 1-1,25

Montajes menos rígidos, engranes menos precisos, contacto a todo lo ancho de la cara

1,6 (1,5)

1,7 (1,6)

1,8 (1,7)

2,0 (2,0)

Un engrane en montaje exterior 1,10-1,25 1,10-1,25 1,10-1,40

Exactitud y montaje de modo que exista contacto incompleto con la cara

> 2,0 (> 2,0)

Ambos engranes en montaje exterior 1,25-1,40 - 1,25-1,50

Los valores en ( ) son para engranajes helicoidales Tabla 12 – Factor de montaje Km (engranajes rectos y helicoidales) Tabla 13 – Factor de montaje Km (engranajes cónicos)


El factor de forma Y no es el factor de forma de Lewis, aquí se obtiene trazando un croquis del perfil del diente en el plano normal y está basado en el punto más alto de contacto con un solo diente. La forma del diente depende de la geometría del sistema de diente, es decir, de factores tales como el ángulo de presión, número de dientes, y si son de profundidad completa o de sistema corto. El factor de concentración de tensiones Kf está basado en las fórmulas ya analizadas de Dolan-Broghamer (ver 6.4) derivadas de una investigación foto elástica que se realizó hace más de 40 años. La relación de repartición de carga mN es igual al ancho de cara dividido entre la longitud total mínima de las líneas de contacto. En el caso de engranajes rectos mN = 1, para engranajes helicoidales que tienen una relación de contacto con la cara (ancho dividido paso axial) mayor a 2, una aproximación conservadora está dada por:

mN = pbN / (0.95 Z) donde pbN es el paso base normal y Z es la longitud de la línea de acción en el plano transversal (segmento de engrane). En la Figura 55 se obtiene el factor geométrico J para engranajes rectos de Ø = 20°, la Figura 56 para engranajes rectos de Ø = 25°, la Figura 57 (en conjunto con la Figura 58) para engranajes helicoidales de ØN = 20°, la Figura 59 para engranajes cónicos rectos de Ø = 20° y ángulo entre flechas de 90°.

Las figuras presentadas suponen que el factor teórico de concentración de tensiones no se afecta grandemente por factores tales como acabado de la superficie, plasticidad, esfuerzos residuales u otros factores. Como puede observarse en las Figuras 55 y 56, el conjunto de curvas de la parte superior se usan cuando la carga es aplicada en el punto más alto en un simple contacto del diente, mientras que la curva inferior se usa cuando la carga actúa en la parte superior del diente. La Tabla 14 proporciona las variaciones permitidas en el paso base entre engrane y piñón y pueden usarse independientemente que la carga sea o no compartida. Las curvas superiores de las Figuras 55 y 56 pueden usarse con el error obtenido a partir de dicha tabla si su valor es menor a los indicados en las columnas situadas a la izquierda del centro de la tabla. Se usará la curva inferior si los errores son mayores a los indicados en las columnas situadas a la derecha del centro de la tabla.

Figura 55 – Factor de Geometría J (Engranajes Rectos 20°)


Figura 56 - Factor de Geometría J (Engranajes Rectos 25°)

Figura 57(arriba) – Factor de Geometría J (Engranajes helicoidales) – Figura 58 (abajo) – Modificador J


• Esfuerzo admisible según el material (Sat): El esfuerzo admisible para los materiales de los engranajes varía con factores tales como calidad, tratamiento térmico, material forjado o vaciado y con la composición del material. Es un esfuerzo de diseño con 10 millones de ciclos de operación con carga (Tabla 16) y se le determina por experiencias prácticas de trabajo para cada material y para cada condición del citado material. Son valores nominales y se entienden para aplicaciones generales. Si la aleación del acero o el tratamiento térmico que recibe, no son los adecuados para un caso concreto, se tendrán que aplicar valores proporcionalmente más bajos. En algunos casos se puede permitir la aplicación de valores más altos, siempre que se sigan cuidadosos procedimientos de diseño y de fabricación de los engranajes, elección de los aceros tratamiento superficial con chorro de perdigones y la aplicación de los mejores procedimientos de tratamiento térmico. Aplíquese el 70% de estos valores para engranes intermedios, o en donde los dientes reciban cargas en ambas direcciones. Cuando un engranaje esté sujeto a sobrecargas intensas, momentáneas y poco frecuentes, el esfuerzo admisible se determina más bien por sus propiedades de resistencia al límite de fluencia que por la resistencia a la fatiga del material. En la Tabla 15 se encuentra una lista de valores que se sugieren para dicha resistencia. • Factor de duración (KL): Como se mencionó en el punto anterior, las resistencias están basadas en 107 ciclos de carga en los dientes. El objetivo del factor de duración (Tabla 17) consiste en modificar dichas resistencias para obtener duraciones distintas. Los esfuerzos que se desarrollan en los engranajes no son directamente proporcionales a las cargas y la concentración de tensiones varía con el número de ciclos, por lo que resulta evidente que es difícil determinar un factor de vida exacto. Cuando se requiere una vida útil larga debe tenerse en cuenta el desgaste normal de los engranajes y de sus apoyos, así como los efectos que esto pueda tener sobre las condiciones de contacto. Cuando el criterio sea el de la resistencia a la fluencia el factor de duración vale 1. • Factor de temperatura (KT): Se utiliza para ajustar el valor del esfuerzo admisible tomando en consideración la temperatura. En los engranajes en los que el aceite o los cuerpos de los engranes trabajan con temperaturas que no exceden de 250°F (120°C), al factor de temperatura se le puede asignar el valor de 1.

Figura 59 – Factor de Geometría J (Engranajes cónicos 20°) Altura completa, piñón de adendo largo, engrane de adendo corto

Zp

Error permisible: Carga repartida

Error permisible: Carga no repartida

Carga [lb/plg cara] Carga [lb/plg cara] 500 1000 2000 500 1000 2000

15 0,0004 0,0007 0,0014 0,0006 0,0011 0,0023 20 0,0003 0,0006 0,0011 0,0006 0,0011 0,0023 25 0,0002 0,0005 0,0009 0,0006 0,0011 0,0023

Tabla 14 – Límite del error de funcionamiento en los engranajes rectos de acero (variación en el paso base)

Tratamiento térmico HB Say

[lb/plg2]

Recocido o normalizado

150 30.000

200 50.000

250 75.000

Templado y revenido

200 60.000

250 85.000

300 110.000

350 135.000

400 160.000 Tabla 15 – Tensiones de fluencia admisibles


En algunos casos es necesario aplicar un valor superior a la unidad para engranes con endurecimiento superficial por carburación y temperaturas de operación mayores que 160°F (71°C). Una fórmula básica generalmente aceptada para la corrección de engranajes cónicos y que algunas veces se aplica también para engranajes rectos y helicoidales es la siguiente:

KT = 460 + TF / 620 donde TF es la temperatura máxima de trabajo del aceite en °F.

Material Clase AGMA

Designación comercial Tratamiento térmico Dureza mín. en

superficie Dureza núcleo Sat [lb/plg2] Sac [lb/plg2]

Acero

De A-1 a A-5

Templado completo y revenido

Ρ 180 HB 25-33.000

(14.000) 85-95.000

(85.000)

240 HB 31-41.000 105-115.000

300 HB 36-47.000 (19.000)

120-135.000 (120.000)

360 HB 40-52.000 145-160.000

400 HB 42-56.000 155-170.000

(450 HB) (25.000) (145.000)

Endurecido por flameo o inducción (patrón A)

50 HB 45-55.000

170-190.000

54 HB 175-195.000

Endurecido por flameo o inducción (patrón B)

22.000

Carburizado y endurecido en la superf.

55 HRC

55-65.000 (27.500)

180-200.000 (180.000)

60 HRC 55-70.000 (30.000)

200-225.000 (200.000)

AISI 4140

Nitrurizado

48 HRC

300 HB

34-45.000 155-180.000

AISI 4340 46 HRC 36-47.000 150-175.000

Nitrallos 135M 60 HRC 38-48.000 170-195.000

2 1/2%Cromo 54 HRC

350 HB 55-65.000 155-172.000

60 HRC 192-216.000

Fundición

20

Según es fundido

-

5.000 (2.700)

50-60.000 (50.000)

30 175 HB 8.500 (4.600)

65-75.000 (65.000)

40 200 HB 13.000 (7.000)

75-85.000 (75.000)

Fundición Nodular

A-7-a 60-14-18

Recocido, templado y revenido

140 HB

90-100% de Sat para acero de la misma

dureza (ídem)

90-100% de Sac para acero de la misma dureza

(ídem)

A-7-c 80-55-06

180 HB

A-7-d 100-70-03 230 HB

A-7-e 120-90-02 270 HB

Fundición Maleable

A-8-c 45007

165 HB

10.000 72.000

A-8-e 50005 180 HB 13.000 78.000

A-8-f 53007 195 HB 16.000 83.000

A-8-i 80002 240 HB 21.000 94.000

Bronce

Bronce 2 (10-12% estaño)

AGMA 2C Fund. en molde de arena Resist. mín. a la tensión 40.000

lb/plg2

5.700 (3.000)

30.000 (30.000)

Al/Br 3 ASTM B-148-52 Aleación 9C Tratado térmicamente

Resist. mín. a la tensión 90.000

lb/plg2

23.600 (12.000)

65.000 (65.000)

Los valores entre ( ) corresponden a Engranajes Cónicos. Tabla 16 – Tensiones admisibles a la fatiga y a la fatiga superficial


• Factor de confiabilidad (KR):

El factor de seguridad o de confiabilidad forma parte de la ecuación a fin de asegurar alta confiabilidad, o en algunos casos para permitir diseñar con ciertos riesgos calculados. Las resistencias de la AGMA presentadas se basan todas en una confiabilidad R=0.99 correspondiente a 107 ciclos de duración (Figura 60). Para obtener otras confiabilidades utilícese la Tabla 18.

Debe señalarse que aunque algunos de estos factores son menores a uno, normalmente éstos se utilizan para resistencia por fatiga del material, por lo tanto, una falla simplemente indicará que el engrane tendrá una vida menor que la mínima para la cual fue diseñado. En la Tabla 19 se muestran los factores de confiabilidad que se utilizan para engranes no carburizados que se aplican sólo al esfuerzo de fluencia del material, y a la carga máxima a la cual los engranes están sujetos. Actualmente se tiene toda la información necesaria para calcular el esfuerzo real flexionante y comparar este esfuerzo con el máximo admisible. 6.6.2. Ecuación de desgaste:

La ecuación presentada por AGMA tiene su base, al igual que Buckingham, en la ecuación de Hertz para dos cilindros en contacto. Se vio que el radio de curvatura de dichos cilindros coincide con el radio de curvatura instantánea de los perfiles en el punto de contacto. Sin embargo la presión calculada no coincide con la presión real en los flancos de las ruedas dentadas, ya que al existir entre éstas una rodadura, un movimiento adicional de deslizamiento y una capa de lubricante, se presentan cambios fundamentales no sólo en la magnitud de la presión, sino también en la ley de distribución de la misma (Figura 61). Por ello la misma es afectada por coeficientes empíricos, algunos de los cuales son de igual valor, o dependen de los mismos parámetros, que los analizados en la ecuación de flexión. La ecuación, que es válida para engranajes rectos, helicoidales, doble helicoidales y cónicos, es: sc = Cp [ ( Wt Co / Cv ) . ( 1 / F Dp ) . ( Cs Cm Cf / I ) ] ½

≤ sad = sac . CL CH / ( CT CR )

N° de ciclos CL

KL

160 HB 250 HB 450 HB Carb. sup. Cónicos Carb. Sup.

1.000 - 1,6 2,4 3,4 2,7 4,6

10.000 1,5 1,4 1,9 2,4 2,0 3,1

100.000 1,3 1,2 1,4 1,7 1,5 2,1

1.000.000 1,1 1,1 1,1 1,2 1,1 1,4

10.000.000 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0

≥100.000.000 1,0 1,0-0,8 1,0-0,8 1,0-0,8 1,0-0,8 1,0

Superficie carburizada se refiere de 55 a 63 HRC Tabla 17 – Factor de duración KL y CL para engranajes de acero

Confiabilidad CR, KR

0,9 0,85

0,99 1,00

0,999 1,25

0,9999 1,50

Tabla 18 – Factor de Confiabilidad KR (fatiga)

Confiabilidad CR, KR

Alta ≥3,00

Diseño normal 1,33 Tabla 19 – Factor de Confiabilidad KR (fluencia)

Figura 60

1- Ley de distribución de presiones según Hertz 2- Distribución de la presión hidrodinámica (cuerpos

indeformables) 3- Distribución real de presiones (cuerpos deformados,

en movimiento y actuando una capa de lubricante)

Figura 61 – Distribución de tensiones


donde: sc : esfuerzo de contacto [lb/plg2] sad: esfuerzo de diseño máximo admisible [lb/plg2] sac : esfuerzo admisible por contacto [lb/plg2]

Wt: carga tangencial transmitida [lb] Cp: coeficiente elástico Co: factor de sobrecarga Cv: factor de velocidad Dp : diámetro primitivo [plg] F : ancho del engrane [plg] Cs : factor de tamaño Cm: factor de distribución de carga Cf : factor de estado o condición de la superficie I : factor de geometría CL: factor de duración CH: factor de relación de dureza CT: factor de temperatura CR: factor de confiabilidad • Carga tangencial transmitida (Wt) y Factores (Co, Cv, Cs, Cm, CR, CT): Co = Ko, Cv = Kv, Cs = Ks, Cm = Km, CR = KR, CT = KT; ver 6.6.1. • Coeficiente elástico (CP):

Es un coeficiente que depende de las propiedades elásticas de los materiales de los engranes, de la teoría de las superficies de contacto cilíndricas (ver 6.5.3) se observa que el denominador contiene cuatro constantes elásticas, dos para el piñón y dos para su rueda, como un medio sencillo de combinar y tabular los resultados de diversas combinaciones de materiales de piñón y engrane, la AGMA define un coeficiente elástico por la ecuación:

CP2 = k / π. [( 1-µ1

2) / E1] + [(1-µ22) / E2]

donde: µ : relación de Poisson E : módulo de elasticidad k : constante (1 para engranajes rectos y helicoidales, 3/2 para engranajes cónicos: se obtiene a partir de un análisis de esfuerzo de Hertz de esferas en contacto)

En la Tabla 20 se encuentran tabulados los valores de Cp para distintas combinaciones de materiales.

Material del Piñón

Material del Engrane

Acero Fundición Maleable

Fundición Nodular Fundición Bronce de

Aluminio Bronce de

Estaño

Acero 2300 (2800) 2180 2160 2100

(2450) 1950

(2400) 1900

(2350)

Fundición Maleable 2180 2090 2070 2020 1900 1850

Fundición Nodular 2160 2070 2050 2000 1880 1830

Fundición 2100 (2450) 2020 2000 1960

(2250) 1850

(2200) 1800

(2150)

Bronce de Aluminio

1950 (2400) 1900 1880 1850

(2200) 1750

(2150) 1700

(2100)

Bronce de Estaño

1900 (2350) 1850 1830 1800

(2150) 1700

(2100) 1650

(2050)

Relación de Poisson = 0,30 - Los valores entre ( ) son para engranajes cónicos Tabla 20 – Coeficiente elástico Cp


• Factor de estado o condición de la superficie (Cf): El factor depende del acabado superficial (según sea afectado por el cortado, acepillado, pulimentado, rectificado,etc.), de los esfuerzos residuales y de los efectos plásticos (endurecimiento por el trabajo). Puede tomarse como la unidad, a menos que las pruebas o experiencias en el sitio de trabajo indiquen otra cosa. • Factor de geometría (I):

El factor toma en cuenta el efecto de las proporciones dimensionales, tales como la curvatura del perfil durante el contacto, el ángulo de presión y la repartición de la carga. Surge de la suma de los radios recíprocos de la ecuación de Hertz analizada en 6.5.3:

I = Cc / mN donde: mN: factor de repartición de carga, ver 6.6.1. Cc :factor de curvatura en la línea primitiva Cc = (cos Øt sen Øt / 2 ) [ mG / ( mG ±1 ) ]

(- para engranajes interiores) Se reemplazó Ø por Øt (ángulo de presión transversal) de manera que la relación se aplicará también en engranajes helicoidales, y mG = ZG / Zp = DG / Dp es la relación de velocidad. El factor geométrico para engranajes rectos se obtiene de la Figura 62, para engranajes cónicos de la Figura 63, para engranajes helicoidales hay que calcularlo ya que el ángulo de la hélice no está normalizado. • Esfuerzo admisible por contacto (Sac): Este esfuerzo depende de la composición del material, de las propiedades mecánicas, del número de ciclos, de la temperatura, del tamaño, de los esfuerzos residuales y del endurecimiento por el trabajo. En la Tabla 16 (ver 6.6.1) se dan a conocer valores característicos. • Factor de duración (CL): Al igual que KL, el objetivo de este factor consiste en modificar la resistencia AGMA para obtener duraciones distintas de 107. Se obtiene de la Tabla 17 ya mencionada en 6.6.1.

(a) 20° altura completa; (b) 20° altura completa;(c)20° dientes cortos Figura 62 – Factor de Geometía I (Engranajes Rectos)

Figura 63 – Factor de Geometría I

(Engranajes Cónicos 20°, ángulo entre ejes 90°)


• Factor de relación de dureza (CH):

El piñón tiene un menor número de dientes que su rueda y, en consecuencia, está sujeto a un mayor número de ciclos de esfuerzo de contacto. Si el piñón y la rueda de un engranaje han de ser endurecidos por completo, puede obtenerse una resistencia de superficie uniforme haciendo que el piñón sea más duro que el engrane. Se puede lograr un efecto similar cuando un piñón con endurecimiento superficial se conecta con un engrane endurecido en su totalidad. En la Tabla 21 se muestran algunas combinaciones típicas de dureza para engrane y piñón que pueden usarse en algunas aplicaciones.

El factor de relación de dureza se utiliza sólo para el engrane, su objetivo es el de ajustar las resistencias de las superficies para ese efecto. Aunque es obvio que sea función de la dureza de los dos engranes, también depende de la relación de velocidades. Los valores se obtienen por la ecuación:

CH = 1 + A (mG – 1)

donde: A = 0.00898 ( HBp / HBG) – 0.00829

La misma está graficada en la Figura 64 y es válida cuando la relación de durezas es menor o igual a 1,70. Para una dureza superficial del piñón igual o mayor a 49 HRC y para una dureza del engrane entre 180 y 400 HB:

CH = 1 + B (450 + HBG) donde: B = 0.00075 e-0.0112f siendo f [µplg] el acabado de la superficie del piñón

Actualmente se tiene toda la información necesaria para calcular el esfuerzo de contacto real y comparar este esfuerzo con el máximo admisible. 6.7. Consideraciones generales sobre el diseño de engranajes: Como se ha visto, en una transmisión de engranajes intervienen muchas variables y aún no se ha desarrollado ningún procedimiento sencillo de aplicación general que de las soluciones correctas, pero esto ocurre en todas las cuestiones de ingeniería y más en lo que respecta a los engranajes que a muchos otros elementos de máquinas. Obviamente, la experiencia es un factor muy importante al momento de tomar decisiones sobre los valores a adoptar para las distintas variables, a falta de la misma hay que aplicar las recomendaciones de los distintos autores y especialistas en el tema, la idea es que dichas recomendaciones sumadas a la experiencia que se vaya acumulando formen un

HB Engrane HB piñón 180 210

210 245

225 245

265 285

255 270

300 315

285 300

335 350

Tabla 21-Combinaciones de durezas

Figura 64 – Factor de relación de durezas CH


criterio para tomar decisiones, y, de esta forma, que no sean valores tomados al azar. Es sobre la base de esto que se presentan a continuación algunas consideraciones a tener en cuenta a la hora del diseño. El primer problema al diseñar un juego de engranes es el seleccionar la clase adecuada. El diseñador de una transmisión debe considerar todos los tipos posibles de engranes y después escoger el tipo que mejor cubra las necesidades del diseño. Hasta este punto, el procedimiento de diseño puede ser de método de tanteos debido a que el tamaño, forma del diente y dimensiones del engrane deben conocerse antes de que la carga y los esfuerzos reales puedan ser determinados. Entonces es claro que el tipo más sencillo de análisis deberá ser usado para determinar valores preliminares (ver 6.1), y después usar un procedimiento más preciso para finalizar el diseño (ver 6.6). Una consideración importante en el diseño de sistemas que utilizan engranes para transmitir potencia es la selección adecuada de los rodamientos que soportan la flecha en la que están montados los engranajes, esto básicamente indica calcular las cargas resultantes en los mencionados apoyos. 6.7.1. Tipos funcionales de engranes: Un factor que influye para escoger el engrane adecuado es el arreglo geométrico del aparato que necesita la transmisión. Los engranes pueden transmitir movimiento desde flechas orientadas prácticamente en cualquier dirección (Tabla 1 y Figuras 2 a 5 al principio del capítulo). Otros factores adicionales que afectan la elección son: equipo existente para la fabricación, experiencia de ingeniería disponible para el diseño, y las limitaciones de espacio y peso. También están comprendidos los requerimientos específicos tales como resistencia a las vibraciones y grado de ruido. Una comparación general de los diferentes tipos de engranes se presenta en la Tabla 22.

Tipo de Engrane Eficiencia Ancho máximo nominal b

Tipo de carga en apoyos Reducción Vel. Tang. Máx[m/min]

Alta precisión Comercial Ejes paralelos

Recto externo

97-99,5

b = d

Radial

1:1-5:1 6.000

1.200

Recto interno Impuesto por el engrane acoplado 1:5-7:1 6.000

Helicoidal externo b = d

Radial y axial

1:1-10:1 12.000

Helicoidal interno Impuesto por el engrane acoplado 1:5:1-10:1 6.000

Ejes que se intersectan

Cónico recto

97-99,5

1/3 distancia al vértice

Radial y axial 1:1-8:1

3.000 300

Cónico Zerol 28% de distancia al vértice 3.000 300

Cónico en espiral 1/3 distancia al vértice 7.500 1.200

Ejes alabeados

Sinfín cilíndrico 50-90 bt = 5 tn cos λ

Radial y axial

3:1-100:1

3.000

1.500 bg = 0,67 d

Sinfín de doble evolvente 50-98

bt = 0,90 D 3:1-100:1 1.200

bg = 0,90 d

Hipoide 90-98 bg = 1/3 distancia al vértice 1:1-10:1 1.200

Spiroide 50-97 bp = 0,24 D

9:1-100:1 1.800 bg = 0,14 D

d: diámetro primitivo piñón; D: diámetro primitivo engrane; λ: ángulo avance; tn: paso normal Los engranes con relación 100:1 pueden ser construidos con relaciones de hasta 300:1, la relación 100:1 se muestra como límite máximo normal.

Tabla 22 – Comparación general de tipos de engranes


Todos estos engranes han sido producidos para cubrir una necesidad. La selección del tipo de engrane que se va a emplear puede ser efectuada por el diseñador, después que él estime todos los requerimientos mencionados. 6.7.2. Materiales para engranes: La industria de engranajes usa una amplia variedad de aceros, hierros fundidos, bronces, aluminio, laminados fenólicos, plásticos y otros materiales. En algunos casos, las prácticas industriales, el equipo de taller disponible para hacer engranes o los requisitos de diseño específicos dejan al diseñador poco margen de selección para el material a usar. En otros casos puede ser posible considerar una amplia variedad de materiales, entonces el costo del material en bruto, capacidad relativa de carga para un tamaño dado, adaptabilidad para procesos de producción en masa y la resistencia a la corrosión, entran en juego para elegirlo. Como un ejemplo, en muchos juguetes y artefactos se usan engranes estampados de bronce. Esta no es una materia prima barata, pero pueden hacerse engranes de bajo costo por estampado y este material además, resiste la corrosión.

Los materiales férricos (aceros, hierro fundido) representan el máximo tonelaje en comparación con otros materiales, para la fabricación, ya sea de engranajes propiamente dicho o de cajas para los mismos. Sus propiedades varían bastante y por lo general dependen de su composición y del tratamiento térmico. La Tabla 23 muestra en forma de bosquejo el rango general de las propiedades obtenibles. La fundición tiene bajo costo, buena maquinabilidad, alta resistencia al desgaste, la principal desventaja es su baja resistencia a la tensión, lo

cual hace que el diente del engrane sea débil a la flexión y sea necesario utilizar un diente de mayor altura. La fundición nodular tiene agregados de Magnesio o Cerio y es un material que tiene una resistencia muy alta a la tensión y buenas características de desgaste y maquinabilidad. Generalmente los engranajes de fundición se utilizan en máquinas grandes y de baja velocidad (inferior a 180 m/min). Los engranes de acero tienen la ventaja, sobre el hierro, de ser de resistencia alta sin un costo excesivo. Sin embargo, generalmente, requieren de tratamiento térmico para producir un endurecimiento de superficie suficiente para obtener resistencia satisfactoria al desgaste. Debido a que los aceros aleados están sujetos a menor distorsión debido al tratamiento térmico que los aceros al carbono, con frecuencia se les da preferencia. La dureza de un acero es generalmente una función del tratamiento térmico y no de su composición, si bien es cierto que la dureza máxima obtenible para un acero dado está determinada por su composición. La resistencia a la tensión es una función muy directa de la dureza Brinell. En la Tabla 24 se muestran algunos grados de dureza y el significado que tienen en la industria manufacturera de engranes. El procedimiento básico que se sigue para el endurecimiento de los aceros consiste en calentarlos al rojo, hasta cierto grado, para someterlos a un enfriamiento rápido o temple, por inmersión en agua o aceite, recalentándolos a continuación para darles el grado de dureza final, o sea el revenido. Los engranes generalmente se fabrican dentro del rango de 200 a 350 HB, teniendo 0.40 a 0.60% de Carbono. Un bajo contenido de Carbono, como 0.10 a 0.20%, es útil, sin embargo, para el corazón del material de un engrane que es carburizado superficialmente después de cortar los dientes.

Material %C HB Elasticidad[lb/plg2]

Densidad [lb/plg3]

Fluencia [lb/plg2]

Tensión [lb/plg2]

AISI 1020 0.2 180

28.5 x 106 0.283

54.000 89.000

AISI 1040 0.4 200 350

63.825 93.000

99.000 123.000

AISI 4140 0.4 200 350

60.500 155.000

95.000 170.000

AISI 4340 0.4 220 350

68.500 166.000

108.000 175.000

AISI 1060 0.6 350 550

168.000 265.000

175.000 275.000

AGMA 20 3.5

150 12 x 106 0.255 - 20.000 AGMA 40 175 16 x 106 0.260 - 40.000 AGMA 60 200 20 x 106 0.265 - 60.000 ASTM 80-60-3 (dúctil) 3.5 200 24 x 106 0.265 60.000 80.000

Tabla 23 – Propiedades generales de aceros y fundiciones


Los datos existentes muestran que un amplio rango de propiedades pueden obtenerse por medio del tratamiento térmico apropiado de un acero. También el contenido de aleación y el contenido de Carbono de un acero afectan profundamente las reacciones a un tratamiento térmico dado. Debido a la gran cantidad de tipos de aceros disponibles para la fabricación de engranes, a continuación se dan algunos lineamientos generales para facilitar su selección: - Elíjase un acero con un contenido de agregados de aleación no mayor del precisamente

necesario, para poder templar correctamente el engrane, de acuerdo con su tamaño. - Si el desgaste es un problema, un contenido más alto de Carbono puede ser de gran utilidad. - Si el problema es la dificultad del maquinado, será ventajoso emplear aceros con contenido de

Carbono más bajo. - Hay que considerar los precios del acero en bruto y los costos para convertirlo en engranajes,

seleccionándose el material que arroje el costo total más bajo del engrane adecuado, capaz de dar el rendimiento que se requiere.

La Tabla 25 muestra, de una manera general, que aceros deben tomarse en cuenta para piezas de engranajes de diferentes tamaños y durezas, la misma está limitada al mostrar únicamente algunos aceros tipo que deben usarse para los tamaños anotados. Muchas otras aleaciones no indicadas aquí han sido usadas con buenos resultados en ciertas aplicaciones. La durabilidad superficial de los dientes es aproximadamente proporcional al cuadrado de la dureza superficial. Esto significa que los dientes con una dureza de 600 HB en la superficie pueden soportar 9 veces la carga de un engrane que tiene

Dureza Maquinabilidad Comentarios HB RC 150-200 - Muy fácil Dureza muy baja. Capacidad mínima para soportar la carga

200 250

- 24 Fácil Dureza baja, capacidad de carga moderada. Ampliamente usada

en trabajos industriales 250 300

24 32 Moderadamente duro para cortar Dureza media. Buena capacidad de carga. Ampliamente usada

en trabajos industriales

300 350

32 38

Materiales duros para cortar, se les considera como el límite extremo de la maquinabilidad

Dureza alta. Capacidad de carga excelente. Se les emplea en trabajos en los que se requieren altos rendimientos y peso reducido

350 400

38 43

Muy dura para cortar. Muchos talleres no pueden manejarla

Dureza alta. Excelente capacidad de carga a condición de que el tratamiento térmico desarrolle la estructura apropiada

500 550

51 55

Requiere de rectificado para su acabado

Dureza muy alta. Buena capacidad para el desgaste. Puede carecer de resistencia

587

58 63

Requiere de rectificado para su acabado

Dureza completa. Usualmente obtenida como una dureza superficial por medio de carburización o cementación superficial. Muy alta capacidad de carga para engranes de aeronáutica, automotrices, camniones, tanques, etc.

65 70

Puede endurecerse superficialmente después del maquinado final

Superdureza. Generalmente se obtiene por nitruración. Muy alta capacidad de carga

Tabla 24 – Niveles de dureza relativos para engranes de acero y fundición

Paso Pd

Espesor de pared[plg] Dureza Aceros para engranajes

Endurecimiento total

10–30 ½ 200 HB 1045, 1137, 1335, 4047 300 HB 1045, 1060, 3140, 4047

5 - 15 1 200 HB 1045, 1060, 3140, 4047 300 HB 2340, 3140, 3250, 4140, 4340,4640

2 ½ - 8 2 200 HB 1060, 2340, 3250, 4340, 5145,52100 300 HB 2340, 3250, 4340, 4640, 8640, 9840

1 ¼ - 4 4 200 HB 2340, 3250, 4140, 4340, 4640, 9840 300 HB 3250, 4340

Carburización 10–30 ½ 58 RC 1015, 1025, 1118, 1320, 4023, 9310 5 - 15 1 58 RC 2137, 4620, 6120, 8260, 9310

2 ½ - 8 2 58 RC 4620, 9310 El espesor de pared se basa en la sección más gruesa de la llanta, del plato, o de la flecha misma, elementos que deben mantener el mínimo de dureza en toda su extensión. Las durezas indicadas representan valores mínimos; 300 HB indican un márgen entre 300 y 350 HB.

Tabla 25 – Recomendaciones generales sobre aceros para diferentes tamaños


únicamente una dureza superficial de 200 HB. Generalmente, el límite de maquinabilidad es de alrededor de 350 HB. Además de esto, la resistencia a la flexión de los dientes de endurecimiento

integral alcanza su máximo en el rango de 350 a 400 HB y disminuye ligeramente en las durezas más altas. La situación plantea el problema de cómo aprovechar la ventaja de la alta durabilidad superficial de los engranes en rangos de dureza arriba de 350 HB y, al mismo tiempo, tener buena resistencia a la flexión y un medio de hacer los engranes con dientes exactos. La respuesta a este problema está en el endurecimiento localizado de los dientes. La Tabla 26 muestra cinco métodos comúnmente usados para el citado endurecimiento.

La mayoría de los materiales usados para engranes, que no sean los aceros, no están sujetos a control de dureza por medio de tratamiento térmico. La composición, más que el tratamiento térmico, es la que determina la dureza de la mayoría de los bronces, zinc, plásticos y laminados. Las aleaciones de cobre conocidas como bronce, son útiles cuando la resistencia a la corrosión es un factor importante y también cuando se tienen velocidades de deslizamiento altas, debido a su habilidad para reducir la fricción y el desgaste estos materiales son muy usados en reductores de engranajes de ruedas de tornillos sinfín. Las aleaciones de aluminio y zinc son usadas en la fabricación de engranes por el proceso de fundición a troquel. Los engranajes no metálicos o de materiales “plásticos” se aplican con frecuencia para reducir ruidos objecionables en un medio ambiente especial. También amortiguan choques y vibraciones y son económicos. Las principales desventajas son la baja capacidad para soportar carga y la baja conductibilidad de calor, que produce distorsión en los dientes. Recientemente se han utilizado resinas termoplásticas reforzadas con fibra de vidrio y un lubricante como aditivo, que tienen gran capacidad de carga, expansión térmica reducida, grandes resistencias al desgaste y a la fatiga, sin embargo, el principal problema con que el diseñador se enfrenta es el que muestran una gran variación en sus propiedades. 6.7.3. Elección del número de dientes: Debe adoptarse el número de dientes del piñón lo más bajo posible dentro de las condiciones de funcionamiento normales a efectos de tener una transmisión compacta. El número de dientes de la rueda o engrane surgirá, lógicamente, de la relación de transmisión deseada.

Contemplando solamente la resistencia, sin tener en cuenta el desgaste, el valor más bajo que puede adoptarse está limitado por la interferencia (Tabla 2). Recién hay un balanceo entre estas dos fuerzas para aproximadamente 25 dientes siendo Ø = 20°, para ángulos de presión menores los valores del número de dientes son mayores. Si aumentamos el número de dientes la resistencia empieza a ser crítica con respecto al desgaste, principalmente pasando los 25 dientes; llegado a un valor de 50 dientes, si bien se consigue una excelente resistencia a desgaste y muy buen resultado en lo que se refiere al ruido de la transmisión, sólo cumple las condiciones de resistencia si se lo hace trabajar a grandes velocidades, o sea, donde baja

Método Descripción del método

Carburizado Los dientes son usualmente acabados por corte, carburizados y rectificados. Algunas veces los engranes de D < 12” son terminados antes del carburizado y la distorsión es lo suficientemente baja como para permitir el uso sin rectificado

Nitrurado Los dientes son usualmente acabados antes del endurecido. Si esto se hace de manera adecuada, los engranes nitrurados no se distorsionan mucho. Además el nitrurado superficial es tan delgado que puede ser dañado por el rectificado

Endurecimiento por inducción

Los dientes son usualmente acabados antes del endurecido. Si esto se hace de manera adecuada y el paso no es tan tosco, la deformación es muy baja. Estos engranes tienen una capa endurecida profunda y pueden ser rectificados sin peligro excepto en el caso de engranes aeronáuticos que tienen que soportar cargas críticas

Endurecimiento poco profundo Los dientes pueden o no, ser rectificados

Carbonitrurado Los dientes son usualmente acabados antes del carbonitrurado Tabla 26 – Métodos para el endurecimiento localizado de los dientes de engranes

Zp Relación i

Paso Pd

[plg] Dureza

19-60 1 - 1.9 1 - 19.9 200 - 240 HB 19-50 2 - 3.9

19-45 4 - 8.0 19-45 1 - 1.9

1 - 19.9 33 - 38 RC 19-38 2 - 3.9 19-35 4 - 8.0 19-30 1 - 1.9

1 – 19.9 58 - 63 RC 17-26 2 - 3.9 15-24 4 - 8.0

Tabla 27 – Recomendaciones generales sobre números de dientes del piñón para engranajes rectos y

helicoidales


el valor de la fuerza tangencial. Todo aumento del número de dientes debe ir acompañado con una mayor velocidad. Lógicamente, la cantidad de dientes para lograr el mencionado equilibrio también es función de la dureza del material del engrane, en la Tabla 27 se dan valores orientativos. 6.7.4. Cargas en los apoyos:

No importando la perfección con la que sea diseñado y se fabrique un engranaje, éste debe ser montado correctamente, manteniendo todas sus reacciones y momentos dentro de las condiciones previstas, si es que ha de tener un funcionamiento libre de fallas. La función principal de un engrane es transmitir movimiento y/o potencia. La función principal del cuerpo de soporte es neutralizar o crear un estado de equilibrio. Como un engrane es un cuerpo que gira o está en movimiento, debe obtenerse un estado de “equilibrio dinámico”, es decir, la totalidad de las fuerzas de trabajo y momentos de entrada deben ser igualados por la totalidad de fuerzas y trabajo de salida. Para obtener el equilibrio dinámico es preciso observar todas las leyes de la dinámica y todas las fuerzas operantes deben tener dirección, magnitud y punto de aplicación. Para reducir las reacciones de los engranajes y al mismo tiempo los cálculos necesarios sobre las cargas de sus puntos de apoyo a su forma más simple, sin importar el número de momentos o de fuerzas que actúen sobre un engrane, todos pueden concretarse a dos tipos básicos de carga que son: axial y radial (Figura 65). A su vez, todas las reacciones de los engranajes pueden ser descompuestas en fuerza tangencial, fuerza radial o separadora y empuje axial (Figura 66). La única regla básica que debe ser aplicada a todos los montajes de engranes y a los análisis mecánicos correspondientes es que “la suma de todas las fuerzas debe ser igual a cero y que la suma de todos los momentos debe ser igual a cero.”

Hay dos tipos básicos de estructuras de montaje: doble soporte y voladizo o cantilever. En la estructura de dos soportes laterales, Figura 67 izquierda, la carga se reparte en proporciones inversas a las distancias de los puntos de aplicación en relación con la distancia total entre los apoyos. Las reacciones de los apoyos actúan en dirección opuesta a la de las cargas producidas por los engranajes. En el montaje en voladizo, Figura 67 derecha, la carga actúa hacia fuera de los dos apoyos lo que origina una reacción o carga mayor en el apoyo que queda más cerca del

Figura 65 – Reacciones de carga en un rodamiento

W:carga combinada

Wr:carga radial a 90° del eje de rotación Wx:carga de empuje a lo largo del eje de rotación

W’r:fuerza separadora Wt:fuerza tangencial

Figura 66 – Reacciones de los dientes de un engrane

que recibe carga en tres planos

Figura 67 – Ejemplos de montaje


punto sobre el que actúa la carga, mientras que el apoyo más lejano recibe una carga menor. Las cargas no actúan en el mismo sentido ya que la reacción en el apoyo más cercano al punto de carga es opuesta a dicha carga, mientras que la reacción en el más distante actúa en el mismo sentido que el de la carga aplicada. Una vez que se han calculado las cargas para los apoyos de un engranaje cualquiera es conveniente seguir ciertas reglas y recomendaciones inequívocas que han sido dadas por la experiencia, la destreza y el sentido común. Dichas reglas son válidas en lo general para cualquier clase de engranajes que se monten: - Manténganse las estructuras de soporte de los apoyos para los engranajes tan cerca de sus caras

como sea posible, pero dejando el espacio libre necesario para aplicar la lubricación y ejecutar los ajustes necesarios. En esta forma se eliminan los momentos grandes, reduciéndose los problemas de vibración.

- En cuanto sea posible colóquense sólo dos apoyos para cada flecha de un engrane. Al momento de proyectar la distancia entre centros para proporciones determinadas de engranajes se deben considerar también las flechas, chavetas y chaveteros, así como el tamaño de los apoyos y las capacidades de carga, ya que estos factores pueden imponer condiciones restrictivas.

- Los dientes de los engranajes deben tener el apoyo necesario (Figura 68), tanto por parte de la llanta o corona (parte del disco del engrane que queda exactamente debajo de los dientes) como del plato o alma del disco. La corona debe tener un espesor de metal mínimo equivalente a la altura total de los dientes. El espesor del alma, que es la parte que tiene que soportar a la corona, debe tener una medida de 2 a 3 veces el equivalente de la altura total, para fines comerciales (para aeronaves o cohetería, por ejemplo, 100 a 70% de la altura total de los dientes). Con mucha frecuencia el alma lleva agujeros o huecos de aligeramiento, la medida del cuerpo metálico entre los agujeros no debe ser menor que el ancho de éstos. La decisión de si se usa pieza sólida o con alma depende del tamaño del diente y del diámetro de la circunferencia primitiva, como una guía, los diámetros máximos de pieza sólida son: para Pd = 3, D = 7”, Pd = 4, D = 6”, Pd = 5, D = 5”, Pd = 6-10, D = 4”, Pd = 12-20, D = 3”; engranes mayores se hacen con brazos, masas y llantas.

- En los engranes montados con apoyos en ambos extremos la distancia entre los mismos debe ser

de aproximadamente el 70% del diámetro primitivo como mínimo. Cuando sólo uno de los engranes puede ser montado entre apoyos, debe elegirse para esto el engrane que lleva la mayor carga radial. En los engranes montados en voladizo, la distancia entre apoyos debe ser el 70% del diámetro primitivo del engrane y la medida entre los mismos tiene que ser por lo menos el doble de la medida del voladizo.

- En general, en todos los tipos de engranajes, las fuerzas tangenciales que se aplican a las superficies de contacto son diametralmente opuestas al sentido de rotación del engranaje de mando. Los esfuerzos radiales tienden al alejamiento de las superficies de los dientes. En el engranaje impulsado, las fuerzas actúan invariablemente en dirección opuesta a la del piñón o fuerza impulsora. Invirtiendo el sentido de rotación cambia también la dirección de las cargas

Figura 68 – Construcciones típicas


tangenciales impulsoras, en cambio, las fuerzas separatistas tienen la tendencia a mantener la misma dirección, la de alejamiento de los dientes (hacia el centro). Los empujes o cargas axiales varían con todos los diferentes tipos de engranajes, pero estas fuerzas también invierten su dirección si se cambia el sentido de la rotación, exceptuando los engranajes Zerol y los cónicos rectos.

- Todas las flechas de los engranajes tienen que ser verificadas en su resistencia a la torsión y en su capacidad de carga a la flexión. La distancia entre apoyos y el diámetro de la flecha tienen que diseñarse de preferencia en tal forma, que la velocidad de operación quede por abajo del primer grado de velocidad crítica.

En la figura que sigue se muestran las cargas sobre los apoyos en los engranajes rectos (Figura 69).

Figura 69 – Cargas sobre los rodamientos en los engranes rectos

Engranajes Helicoidales: Diseño y Cálculo 59

7. Engranajes Helicoidales: Se analiza geometría, cinemática, diseño y cálculo de los engranajes helicoidales; se utiliza mucho de lo visto en capítulos anteriores, se hace destacar las diferencias y cambios. La transmisión del movimiento entre ejes paralelos puede realizarse también con ruedas de dientes inclinados, dientes cuyos flancos no son superficies de generatrices paralelas a los ejes de las ruedas: engranajes helicoidales (Figura 70). Mientras que en los engranajes rectos el corte de los dientes es paralelo al eje del engrane, los dientes de los engranajes helicoidales están cortados en forma de hélices teniéndose un ángulo constante con respecto al eje del engrane. Debido a que el ángulo de la pendiente de la hélice puede ser en dirección hacia arriba o hacia abajo, se usan los términos engrane helicoidal hélice o mano derecha y hélice o mano izquierda para distinguir los dos tipos. Los engranajes rectos se usan para aplicaciones de velocidad baja y para aquellos casos donde el control del ruido no sea importante. El uso de engranajes helicoidales es adecuado si se tienen velocidades altas, transmisiones de potencia altas o donde el abatimiento del ruido es un factor importante. Una calidad comercial de engranaje helicoidal es aproximadamente tan silenciosa como los engranajes rectos de precisión, y su costo es menor. Los engranajes están montados en flechas paralelas, que es la situación más común usada, sin embargo, a veces se usan con flechas no paralelas, que no se intersectan, se les denomina engranajes helicoidales cruzados (Figura 71).

7.1. Geometría: Se analiza previamente la superficie denominada helicoide desarrollable, posteriormente los elementos geométricos y la normalización. También se define el número virtual de dientes que posteriormente se utilizará en el cálculo. Si sobre un cilindro (cilindro base) de radio rb se traza una hélice (hélice de retroceso) de paso p y ángulo βr (de inclinación o retroceso, respecto del plano normal al eje del cilindro), el lugar geométrico de todas las tangentes a dicha hélice es una superficie reglada denominada: helicoide desarrollable. Como las generatrices de una superficie reglada desarrollable son tangentes a una curva denominada arista de retroceso de la superficie, por lo tanto, el helicoide desarrollable es una superficie reglada desarrollable cuya arista de retroceso es la curva que se ha llamado hélice de retroceso (Figura 72). Las principales propiedades de este helicoide son: - Es una superficie reglada desarrollable. - Las generatrices de la superficie, tangentes a la

Figura 70 – Engranaje helicoidal

Figura 71 – Engranaje helicoidal cruzado

Figura 72 – Helicoide desarrollable


hélice de retroceso, forman un ángulo constante con el eje del cilindro base, complemento del ángulo de retroceso de la hélice.

- Los planos tangentes al cilindro base (π) cortan al helicoide según una de las rectas generatrices.

- Las secciones del helicoide con planos normales al eje del cilindro base (γ) son evolventes del círculo directriz del cilindro, con su punto de arranque sobre la hélice de retroceso.

- Las secciones del helicoide con cilindros concéntricos al cilindro base y de radio R > rb, son hélices de igual paso que la de retroceso y, en consecuencia, de menor ángulo de inclinación (β)

p = 2 π rb tg βr = 2 π R tg β , por lo tanto, tg βr = tg β R/ rb

Entonces, el helicoide desarrollable puede concebirse generado por las sucesivas posiciones de una evolvente de un círculo que se desplaza con un movimiento helicoidal guiada por una hélice trazada

sobre un cilindro concéntrico con el cilindro cuya directriz es el círculo base de la evolvente. Si una pieza de papel cortada en la forma de un paralelogramo (Figura 73) se enrrolla alrededor de un cilindro, el borde mayor del papel se convierte en una hélice; si desenrrollamos dicha tira, cada punto del borde citado genera una curva evolvente, esta superficie obtenida cuando todo punto del flanco genera una evolvente recibe el nombre de helicoide de evolvente. La forma del flanco del diente es una helicoide de evolvente. Se denomina rueda frontal equivalente a la rueda de dientes rectos, que resulta de seccionar a la rueda de dientes helicoidales, con un plano normal al eje de giro (sección A-A Figura 74). rb y βr definen al helicoide desarrollable que limita en sus flancos al diente de la rueda helicoidal cuyo perfil frontal (rueda frontal equivalente) tiene un ángulo de presión φt y determina en su traza con el cilindro primitivo una hélice de ángulo de inclinación β. Siendo R = rp el radio primitivo:

rb = rp cos φt y tg βr = tg β / cos φt Otros elementos geométricos que se definen en las ruedas helicoidales son: - Angulo de inclinación del diente ψ: es el

comprendido entre una tangente a la hélice primitiva y un elemento del cilindro primitivo que la corta y que es paralelo al eje, se cumple: ψ + β = 90°

No hay valores estándar para los ángulos de la hélice debido a que raras veces se intercambian los engranes, lo

usual es tener ángulos entre 15 y 30°. Algunas veces se hacen con ángulos fuera de esta gama de valores, sin embargo, como se verá más adelante, la carga axial varía directamente con la magnitud de la tangente del ángulo de la hélice, hay un límite superior para su valor a fin de prevenir cargas axiales excesivas. También es necesario tener un límite inferior para asegurar tener una transferencia suave de la carga.

Figura 73

Figura 74 – Elementos geométricos


Se pueden emplear ángulos entre 30 y 45° con engranajes helicoidales dobles, éste consiste de un engranaje helicoidal con la mitad de su cara cortada con hélice en dirección opuesta a la hélice de la otra mitad de la cara, cancelándose las cargas axiales para cada par de dientes (Figura 75). - Angulo de presión normal φn: es el ángulo que forma la normal al plano

tangente común de los helicoides desarrollables en correspondencia con la generatriz de contacto, con el plano tangente común a los cilindros primitivos. De la Figura 76:

tg φn = gc / pg = ( ab / pg ) ( ap / ap) = ( ab / ap ) ( ap / pg ) = tg φt cos ψ

Las proporciones de diente intercambiable con ángulo de presión de 20° se suelen utilizar para engranajes helicoidales aunque no existe otra razón que la comodidad de fabricación, excepto cuando pueda producirse interferencia. Cuando sea adecuado, se pueden adoptar addendums desiguales. Con ángulo de presión constante en el plano diametral, las superficies exteriores en la cara superior de los dientes se estrechan cuando aumenta el ángulo de la hélice; esto da lugar a dificultades en el tratamiento térmico, cuando los dientes son casi puntiagudos, la punta se hace excesivamente dura y frágil y puede originar averías por rotura. Una disposición a adoptar en este caso es acortar algo los dientes con lo que éstos tienen menos punta, algunos fabricantes adoptan un ángulo de

presión de 25° y proporciones de altura completa, lo que contribuye a mejorar la capacidad y uniformar la acción cinemática en comparación con los dientes cortos o truncados.

- Paso normal pn: distancia entre las hélices determinadas sobre el cilindro primitivo por los flancos homólogos de dos dientes consecutivos, medida sobre una normal a las mismas.

- Paso circunferencial o transversal pt: paso de la rueda medido sobre la circunferencia primitiva de una sección normal, no es sino el paso de la rueda frontal equivalente.

- Paso axial pa: es la distancia entre puntos correspondientes sobre dientes adyacentes medida en dirección axial.

pn = pt cos ψ y pa = pt / tg ψ Si el ángulo del diente se reduce a cero, el paso normal se hace igual al paso transversal, el paso axial tiende hacia el infinito y el diámetro del cilindro primitivo se convierte en el diámetro primitivo del círculo primitivo del engrane recto que resulta. Si los engranajes helicoidales están fabricados con fresas-madre cilíndricas normalizadas, lo que es una práctica común, el módulo normal Mn es el normalizado:

Mn = pn / π Los engranajes helicoidales fabricados con cuchillas-piñón están basados en el módulo circunferencial Mc:

Mc = pt / π = Dp / Z

Figura 75 – Doble helicoidal

Figura 76


- Ancho del engranaje b: con objeto de asegurar una transferencia suave de la carga, el ancho de la cara de un engranaje helicoidal por lo general se hace un 20% más grande que el paso axial, este es sólo un valor mínimo sugerido, de hecho algunos diseñadores prefieren que el ancho de la cara sea por lo menos el doble del paso axial.

- Número virtual o equivalente de dientes Zv: es el número de dientes del engranaje recto equivalente en el plano normal. La Figura 77 ilustra un cilindro cortado por un plano oblícuo ab según un ángulo ψ a una sección recta. Dicho plano corta un arco (al cortar todo el cilindro es una elipse) que tiene un radio de curvatura R. En el caso de la condición de que ψ = 0°, R = D/2. Si el ángulo ψ varía lentamente de 0 a 90°, se verá que R comienza en un valor de D/2 y aumenta hasta infinito. El radio R es el radio primitivo de un diente de un engranaje helicoidal cuando se observa en la dirección de los elementos de los dientes. Un engrane recto del mismo paso (en dicho plano) y con el radio R tendrá un mayor número de dientes en virtud del aumento en la longitud del radio, a éste se lo conoce como número virtual de dientes. El número equivalente de dientes, en vez del número real, define la forma del diente en el plano

normal. Es necesario conocer este número en el diseño por resistencia a la flexión y también, en algunas ocasiones, al cortar dientes helicoidales. Este radio de curvatura aparentemente mayor significa que se pueden utilizar menos dientes en engranajes helicoidales, puesto que habrá menor rebaje. Por geometría analítica: R = D / 2 cos2 ψ, de acuerdo a lo mencionado anteriormente:

Zv = 2 R / Mn = D / Mn cos2 ψ = D / Mc cos3 ψ = Z / cos3 ψ

Para que dos engranajes helicoidales puedan engranar en flechas paralelas, sus ángulos de hélices deben ser de dirección opuesta, además deben tener el mismo paso e igual ángulo de presión. 7.2. Cinemática: Se analizan las características del engrane, se determinan arco de engrane y grado de recubrimiento.

Para analizar el engrane helicoidal se lo considera dividido en ruedas de ancho infinitésimo que se suponen de dientes rectos y cuyo perfil es el de la rueda frontal equivalente, dichas ruedas elementales están desplazadas relativamente a lo largo de una hélice trazada sobre el cilindro primitivo. El lugar de las líneas de engrane de todas las ruedas elementales determina la superficie de engrane, que es un plano dado que la línea de engrane de cada una de ellas es una recta inclinada según el ángulo de presión transversal φt respecto de la tangente común a las circunferencias primitivas y que pasa por el punto primitivo I, tal línea de engrane es además tangente a las circunferencias bases de las evolventes que definen los perfiles en contacto. Entonces, los puntos de engrane se hallan sobre un plano tangente a los cilindros bases de los helicoides, que pasa por lo tanto por la generatriz de contacto de los cilindros primitivos y forma un

Figura 77 – Número virtual de dientes

Figura 78 – Líneas de engrane


ángulo φt con el plano tangente común a aquellos. Los puntos de engrane de todas las ruedas elementales determinan en cada instante una curva de engrane o curva de contacto, que resulta de la intersección del plano del engrane con el flanco del diente. Como la intersección del helicoide desarrollable con un plano tangente al cilindro base es una recta generatriz del mismo, las curvas de contacto son en cada instante rectas tangentes a la hélice de retroceso del flanco del diente, que forman un ángulo constante con el eje de la rueda, las ruedas de contacto son alabeadas entre sí. Como se observa en la Figura 78, los dientes no entran en contacto íntegramente en forma instantánea, como en las ruedas de dientes rectos, sino que el engrane comienza y termina paulatinamente, en forma gradual. Debido a esto los dientes no golpean al entrar en contacto. El engrane comienza con el contacto del extremo de la cabeza del perfil frontal de una cara o frente y finaliza con el contacto del extremo activo de la raíz del perfil de la otra cara o frente. El arco de engrane de un diente helicoidal abarcará entonces: - arco de engrane de la rueda frontal equivalente Aef: a-b - arco entre los ejes de los dos perfiles frontales tomado sobre la primitiva, salto del diente s: b-c Entonces el grado de recubrimiento resulta: (a-b) + (b-c) (a-b) (b-c) s

Rc = -------------- = ------ + ------ = Aef + ---- si s ~ b tg ψ , entonces Rc = Aef + b tg ψ / pt pt pt pt pt La duración del engrane de las ruedas helicoidales resulta entonces mayor que la duración del engrane de la rueda frontal equivalente de dientes rectos, lo cual trae como consecuencia que se tenga un mayor número de dientes en contacto simultáneamente, favoreciendo con ello la suavidad del movimiento y disminuyendo la solicitación que soporta cada uno de los dientes. 7.3. Diseño y cálculo: Los fundamentos de los métodos de cálculo son los mismos que se analizaron para engranajes rectos, por lo tanto se analizarán las diferencias que surgen en dicho cálculo debido a la geometría del engranaje helicoidal. 7.3.1. Fórmula de Lewis: Antes de analizar los cambios del método en sí, al igual que lo realizado con los engranajes rectos, se procede a analizar las fuerzas a las que está sometido el diente del engranaje helicoidal. En la Figura 76 se observan las fuerzas que actúan sobre un diente de un engranaje helicoidal que está suficientemente lubricado para que las fuerzas de fricción sean despreciables. Estas fuerzas son componentes de un vector de fuerza normal a la cara del diente. Dado que esta fuerza normal se encuentra en un plano perpendicular a la dirección del diente y a un ángulo φn en relación con un plano tangente al cilindro primitivo sus componentes, expresadas en función de la fuerza tangencial porque esta componente está relacionada directamente con la potencia transmitida, están dadas por: Ft, componente tangencial, fuerza libre que transmite el movimiento, que solicita al diente a la flexión. Fa, componente axial, solicita al diente a la flexión, se transmite al eje y deberá ser absorbida por un apoyo apropiado: Fa = Ft . tg ψ Fr, componente radial, solicita al diente a la compresión: Fr = Ft tg φn / cos ψ El cálculo de los dientes se encara en la misma forma que para los engranajes rectos, para ser consistentes con el uso de la relación de Lewis, la fuerza utilizada debe ser la componente


tangencial perpendicular a la cara del diente (F´t), el ancho ha de ser el ancho de la cara medida a lo largo del eje del mismo diente (b´), y el paso es el normal (pn).

F´t = b´ y pn σ El factor de forma puede obtenerse de la Tabla 3 (para engranajes de dientes rectos) pero ingresando con el número virtual de dientes (Zv) y el ángulo de presión normal (φn).

Como F´t = 22ta FF + = Ft ψ21 tg+ = Ft / cos ψ y b´ = b / cos ψ resulta Ft = b y pn σ

Entonces, la carga tangencial máxima admisible es:

Fb = b y pn σadm

Para los engranajes helicoidales, generalmente se sugiere:

4 pt < b < 6,5 pt Al igual que lo analizado para engranajes de dientes rectos, se puede obtener una expresión del paso mínimo para realizar un prediseño del engranaje, para ello: en función de la potencia transmitida N, del número de revoluciones por unidad de tiempo de la rueda dentada n y del radio primitivo R, es posible calcular la fuerza tangencial que está siendo transmitida al engranaje P:

Mm = P . R = N / n

de donde, y expresando en las unidades correspondientes, se tiene:

P [Kg] = 71620 . N [HP] / ( n [rpm] . R [cm] ) , debiendo verificarse: Fb ≥P

para b = ρ pn , Fb = Kr ρ y pn2 σadm

y como Dp = ( pt / π ) Z y pn = pt cos ψ , resulta

P = 71620 No / [ n ( pt Z / 2 π ) ] = 450.000 No cos ψ / ( n pn Z )

pn = 76,6 3

admro n Z y K

cos Nσρ

Ψ

7.3.2. Fórmula de Lewis-Barth: Debido al contacto más suave y el efecto dinámico de las cargas más reducido que en las ruedas de dientes rectos, el término correctivo de Barth utilizado es:

Kv = 43 / ( 43 + vp1/2 )

7.3.3. Fórmula de Buckingham – Cargas dinámicas: Se utiliza una expresión similar a la ya analizada para engranajes de dientes rectos, en general la carga dinámica será más pequeña que la correspondiente sobre dientes rectos sometidos a carga similar:

Pd = P + ∆P


0,113 vp[m/min] cos ψ ( P[Kg] + b[cm] C[Kg/cm] cos2 ψ)

siendo: ∆P[Kg] = ----------------------------------------------------------------------- 0,113 vp + ( P + b C cos2 ψ)1/2 6.5.4. Fatiga superficial o picado (pitting): La carga límite o resistencia al desgaste resulta también superior a la que corresponde a ruedas dentadas de dientes rectos similares, lo cual revela que las ruedas de dientes helicoidales resisten mas al desgaste:

Fw = Dp b Q Kg / cos2 ψ Los símbolos tienen el mismo significado que para los engranajes cilíndricos rectos, Kg está basada en el ángulo de presión normal. 7.4. Cargas en los apoyos: En las figuras que siguen se muestran las cargas sobre los apoyos en los engranajes helicoidales:

Figura 79 – Dirección de la carga de empuje axial en engranajes helicoidales


Figura 80 – Cargas sobre los rodamientos originadas por los engranajes helicoidales


8. Bibliografía: Cátedra de Mecánica (Bs. As.); Apuntes de mecanismos (Tomo II). Cosme, Héctor; Mecánica aplicada. Deutschman, Aaron D. – Michels, Walter J. – Wilson, Charles E.; Diseño de máquinas. Dudley, Darle W.; Manual de Engranajes. Faires, Virgil M.; Diseño de elementos de máquinas. Orthwein, William C.; Diseño de componentes de máquinas. Shigley, Joseph E. – Mischke, Charles R.; Diseño en ingeniería mecánica. Vallance, Alex – Doughtie, Venton L.; Cálculo de elementos de Máquinas.

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