Fısica Computacional I

Sesion 03

14 de mayo de 2015

Reporte de la sesion

En esta sesion comenzamos a utilizar metodos numericos para resolver ecuaciones dife-renciales. El primero de ellos y mas sencillo, es el metodo de Euler. Para complementar elenlace proporcionado en la sesion, utilize el libro que incluyo en la bibliografıa.Al leer la informacion, hice un breve resumen. Esto me ayudo a escribir la especificacioncorrespondiente para guiarme al hacer el programa en Fortran. Probe el correcto funciona-miento del programa con el ejemplo que indica el libro que consulte y despues lo aplique a laley de enfriamiento de Newton, con distintos anchos de paso. Agrego las dos especificacionescorrespondientes al metodo de Euler y a la Ley de enfriamiento.Para seguir adquiriendo la habilidad de programar en Phyton, resolvı el problema en eseentorno de programacion.En la carpeta de archivos se incluyen los archivos de datos arrojados por el programa. Cadauno nombrado por el valor del ancho de paso correspondiente.

Metodo de Euler

Especificacion

Se pretende crear un programa para integrar ecuaciones diferenciales ordinarias numeri-camente.El metodo numerico a usar es el de Euler.Sigue la siguiente estructura:

Nuevo valor = valor anterior + (pendiente x ancho de paso)

Se toma como punto de partida un valor de la funcion conocida para un cierto valor dela variable independiente.

ENTRADA: lımite inferior, lımite superior, valor inicial, tamano de pasoSALIDA: valores aproximados de la funcion

1. Obtener lımites de integracion

2. Obtener valor inicial

3. Obtener tamano de paso

4. Calcular numero de pasos- (lımite superior - lımite inferior)/ancho de paso

1

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5. Calcular primer valor de la funcion- primer valor de la funcion = valor inicial + pendiente de la funcion x ancho de paso

6. Calcular demas valores de la funcion por cada paso- valores de la funcion = valor anterior + pendiente x ancho de paso

7. Mostrar valores de la funcion

8. Crear archivo de texto con los valores de la funcion

9. Terminar

Pseudocodigo

1. Pedir lımites de integracion (a, b)

2. Pedir valor inicial (yi)

3. Pedir tamano de paso (h)

4. Calcular numero de pasos (n)(b− a)/h

5. Mostrar primer valor de la funcion en el tiempo 0(t, yi)

6. Calcular valores de la funciony = y + phi(x) ∗ hx = x + h

7. Mostrar y

8. Abrir archivo de datos

9. Escribir y

10. Cerrar archivo

11. Terminar

Ley de Enfriamiento de Newton

Especificacion

Se pretende utilizar el metodo de Euler para resolver un problema de Ley de enfriamiento

dT (t)

dt= −k(T (t)− Tm)

En un intervalo de tiempo de 0 a 100; temperatura del ambiente de 20 grados centigrados,temperatura inicial de 100 grados centigrados, constante k = 0.07. Utilizando anchos de pasode 2,5 y 10.

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Solucion analıtica

Integrar la ecuacion diferencial y resolver para T :

∫T

To

dT

(T − Tm)= −k

∫t

0

ln|T − Tm

To − Tm

| = −kt

T = e−kt(To − Tm) + Tm

ENTRADA: tiempo inicial, tiempo final, temperatura inicial, tamano de pasoSALIDA: temperaturas aproximadas

1. Obtener temperatura del ambiente

2. Obtener valor de la constante

3. Obtener intervalo de tiempo

4. Obtener temperatura inicial

5. Obtener ancho de paso

6. Calcular numero de pasos- (lımite superior - lımite inferior)/ancho de paso

7. Mostrar temperatura inicial en el tiempo 0

8. Calcular valores de la funcion- valores de la funcion = valor anterior + pendiente x ancho de paso

9. Mostrar valores de la funcion

10. Crear archivo de datos

11. Terminar

Pseudocodigo

1. Pedir temperatura del ambiente (Tr)

2. Leer Tr

3. Pedir valor de la constante (k)

4. Leer k

5. Pedir intervalo de tiempo (a, b)

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6. Leer a, b

7. Pedir temperatura inicial (T i)

8. Leer T i

9. Pedir tamano de paso (h)

10. Leer h

11. Calcular numero de pasos (n)

n = (b−a)h

12. Mostrar temperatura inicial en el tiempo 0(t, T i)

13. Calcular valores de la funcionT = T i + dT

dth

T = T itiempo = tiempo + h

14. Mostrar T

15. Abrir archivo de datos

16. Escribir T

17. Cerrar archivo

18. Terminar

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0 20 40 60 80 100

h = 2h = 5

h = 10Soluciˆ‡n analˆ›tica

Figura 1: Graficas para los tres anchos de paso.

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Bibliografıa

1. Chapra,Canale,Metodos numericos para ingenieros, 5ta edicion, 2007.

2. Rosetta code,Euler Method link:

http://rosettacode.org/wiki/Euler method

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