ENERGÍA Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO

MÉTODOS DE LA ENERGÍA Y LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO

Se utilizara el método del trabajo y la energía por el método impuesto y el de la cantidad de movimiento lineal en el análisis de movimiento de un plano de los cuerpos rígidos y de los sistemas rígidos

PRINCIPIO DEL TRABAJO Y LA ENERGÍA

Este principio se utilizara ahora para analizar el movimiento plano de cuerpos rígidos. Aquí utilizaremos los parámetros de velocidad y desplazamiento, no es necesario el cálculo de la aceleración. También debemos observar que estas cantidades, trabajo y energía cinética, son cantidades escalares.

Recordar, que también debemos suponer que el cuerpo rígido está formado por n partículas de masa ∆mi

T1+U1-2=T2

Donde T1 y T2, valor inicial y final de la Energía Cinética Total de las partículas que forma el cuerpo rígido.

U1-2 trabajo de todas las fuerzas que actúan sobre las diversas partículas del cuerpo rígido.

La energía Cinética Total:

T=12∑i=1

n

∆ mi . vi2

U1-2, representa el trabajo que realizan todas las fuerzas que actúan en un cuerpo rígido, tanto interno como externo.

Por definición de cuerpo rígido, U i-2, Interno es cero; pues la distancia es la misma y las fuerzas internas son iguales, la misma dirección, sentido opuesto.

U 1-2, se reduce al trabajo de las fuerzas externas y estas actúan sobre el cuerpo durante el desplazamiento considerado.

TRABAJO DE LAS FUERZAS QUE ACTÚAN SOBRE UN CUERPO RÍGIDO Y UN MOMENTO DE PAR

El trabajo de una fuerza F, durante un desplazamiento de su punto de aplicación desde A1 hasta A2, es

U 1−2=∫A 1

A 2

F .dv U 1−2=∫x1

x2

(Fcosα ) . ds

F = magnitud de la Fuerza

α = ángulo que forma con la dirección del movimiento de su punto de aplicación A y

S = es la variable de interacción que mide la distancia recorrida por A, a lo largo de su trayectoria.

Al calcular el trabajo de las fuerzas externas que actúan sobre un cuerpo rígido, es a menudo conveniente determinar el trabajo de un par sin considerar por separado el trabajo de cada una de las fuerzas que lo forman. Considere las dos fuerzas F y -F que forman un par de momento M y que actúan sobre un cuerpo rígido

Cualquier desplazamiento pequeño del cuerpo rígido que lleve a A y B, respectivamente, hacia A´ y B´ puede dividirse en dos partes: en una parte los puntos A y B experimentan iguales desplazamientos dr1; en la otra, A´ permanece fija mientras que B´ se mueve hacia B´´ a lo largo de un desplazamiento d r2 de magnitud ds2 = r dθ. En la primera parte del movimiento, el trabajo de F es igual en magnitud y opuesto en signo al trabajo de -F y su suma es cero. En la segunda parte del movimiento sólo trabaja la fuerza F, y su trabajo es dU = Fds2 = Fr dθ. Pero el producto Fr es igual a la magnitud M del momento del par. De tal modo, el trabajo de un par de momento M que actúa sobre un cuerpo rígido es

dU = M dθ

Donde dθ es el pequeño ángulo, expresado en radianes, que el cuerpo gira. Adviértase de nuevo que el trabajo debe expresarse en unidades obtenidas al multiplicar unidades de fuerza por unidades de longitud. El trabajo del par durante una rotación finita del cuerpo rígido se obtiene integrando ambos miembros de (dU = M dθ) desde el valor inicial θ1 del ángulo θ hasta su valor final θ2. Se escribe

U 1−2=∫θ1

θ2

M .dθ

Cuando el momento M del par es constante, la fórmula se reduce a

U 1−2=M (θ2−θ1)

Fuerzas que no realizan trabajo

Son fuerzas aplicadas en puntos fijos o que actúan en una dirección perpendicular al desplazamiento de su punto de aplicación. Entre las fuerzas que no trabajan se han listado las siguientes: la reacción en un pasador sin fricción cuando el cuerpo soportado gira alrededor del pasador; la reacción en una superficie sin fricción cuando el cuerpo en contacto se mueve a lo largo de la superficie, y el peso del cuerpo cuando

su centro de gravedad se mueve horizontalmente. Además es posible agregar ahora que cuando un cuerpo rígido rueda sin deslizarse sobre una superficie fija, la fuerza de fricción F en el punto de contacto C no realiza trabajo. La velocidad v c del punto de contacto C es cero, y el trabajo de la fuerza de fricción F durante un desplazamiento pequeño del cuerpo rígido es

dU = F dsc = F(Vc dt) = 0

ENERGÍA CINÉTICA DE UN CUERPO RÍGIDO EN MOVIMIENTO PLANO

Considere un cuerpo rígido de masa m en movimiento plano. Si la velocidad absoluta vi de cada partícula Pi del cuerpo se expresa como la suma de la velocidad v del centro de masa G del cuerpo y de la velocidad vi´ de la partícula relativa al sistema de referencia Gx´y´ fijo en G y de orientación fija, la energía cinética del sistema de partículas que forman al cuerpo rígido puede escribirse en la forma

T=12mv2+1

2∑i=1

n

∆mi vi´ 2

Pero la magnitud vi´ de la velocidad relativa de Pi es igual al producto ri´ ω de la distancia ri´ de Pi desde el eje que pasa por G perpendicular al plano de movimiento y de la magnitud ω de la velocidad angular del cuerpo en el instante considerado. Al sustituir en la ecuacion anterior, se tiene

T=12mv2+1

2 (∑i=1

n

∆miri ´2)ω2o, puesto que la suma representa el momento de inercia I del cuerpo alrededor del eje que pasa por G,

T=12mv2+1

2I ω2

Hay que observar que en el caso particular de un cuerpo en traslación (ω = 0), la

expresión que se obtiene se reduce a 12mv2, en tanto que en el caso de una rotación

centroidal (v = 0), se reduce a 12I ω2. Se concluye que la energía cinética de un

cuerpo rígido en movimiento plano puede descomponerse en dos partes: 1) la energía

cinética 12mv2 asociada con el movimiento del centro de masa G del cuerpo, y 2) la

energía cinética 12I ω2 asociada con la rotación del cuerpo alrededor de G.

ROTACIÓN NO CENTROIDAL

La relación T=12mv2+1

2I ω2

es válida para cualquier tipo de movimiento plano y, en consecuencia, se usa para expresar la energía cinética de un cuerpo rígido que gira con una velocidad angular ω alrededor de un eje fijo que pasa por O.

Sin embargo, en ese caso la energía cinética del cuerpo puede expresarse de manera más directa al notar que la velocidad vi de la partícula Pi es igual al producto riω de la distancia ri de Pi desde el eje fijo y la magnitud ω de la velocidad angular del cuerpo en el instante considerado. Al sustituir en

T=12∑i=1

n

∆ mivi2

Se escribe

T=12∑i=1

n

∆ mi(riω)2 = 12 (∑i=1

n

ri2∆mi)ω2O, ya que la última suma representa el momento de inercia IO del cuerpo alrededor del eje fijo que pasa por O

T=12I oω

2

Observe que los resultados obtenidos no están limitados al movimiento de placas planas o al de cuerpos que son simétricos con respecto al plano de referencia, y es

posible aplicarlos al estudio del movimiento plano de cualquier cuerpo rígido, sin que importe su forma. Sólo se aplica en casos que implican rotación no centroidal.

SISTEMAS DE CUERPOS RÍGIDOS

Cuando un problema implica varios cuerpos rígidos, cada cuerpo rígido puede considerarse por separado y el principio del trabajo y la energía aplicarse a cada cuerpo. Al sumar las energías cinéticas de todas las partículas y al considerar el trabajo de todas las fuerzas que participan, es posible escribir también la ecuación del trabajo y la energía para el sistema completo. Así, se tiene

T1 + U 1−2= T2

Donde T representa la suma aritmética de las energías cinéticas de los cuerpos rígidos que forman al sistema (todos los términos son positivos) y U1-2 representa el trabajo de todas las fuerzas que actúan sobre los distintos cuerpos, ya sea que estas fuerzas sean internas o externas consideradas desde el punto de vista de un todo.

El método del trabajo y la energía es particularmente útil al resolver problemas que implican miembros conectados por medio de pasadores, bloques y poleas que se conectan mediante cuerdas inextensibles, y engranes dentados. En todos estos casos, las fuerzas internas se presentan por pares de fuerzas iguales y opuestas, y los puntos de aplicación de las fuerzas en cada par se mueven distancias iguales durante un pequeño desplazamiento del sistema. Como resultado, el trabajo de las fuerzas internas es cero, y U1-2 se reduce al trabajo de las fuerzas externas al sistema.

CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA

Cuando un cuerpo rígido, o un sistema de cuerpos rígidos, se mueven bajo la acción de las fuerzas conservativas, el principio del trabajo y la energía enunciado en la se expresa en una forma modificada.

T1 + V1 = T2 + V2

La fórmula indica que cuando un cuerpo rígido, o un sistema de cuerpos rígidos, se mueve bajo la acción de fuerzas conservativas, la suma de la energía cinética y de la energía potencial del sistema permanece constante. Hay que observar que en el caso del movimiento plano de un cuerpo rígido, la energía cinética del cuerpo debe incluir

tanto el término traslacional 12mv2 y el término rotacional

12I ω2.

PRINCIPIO DEL IMPULSO Y LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO PARA EL MOVIMIENTO PLANO DE UN CUERPO RÍGIDO

El principio del impulso en la cantidad de movimiento se aplicará ahora al análisis del movimiento plano de cuerpos rígidos y de sistemas de cuerpos rígidos. El método del impulso y la cantidad de movimiento se adapta particularmente bien a la solución de problemas que incluyen el tiempo y las velocidades. Además, el principio del impulso y la cantidad de movimiento proporciona el único método práctico para la solución de problemas en los que intervienen el movimiento o impacto impulsivo.

Considerando de nuevo un cuerpo rígido conformado por un gran número de partículas Pi, hay que recordar que el sistema formado por las cantidades de movimiento de las partículas en el tiempo t1 y el sistema de los impulsos de las

fuerzas externas aplicadas desde t1 hasta t2 son en conjunto equipolentes al sistema formado por las cantidades de movimiento de las partículas en el tiempo t2. Puesto que los vectores asociados con un cuerpo rígido pueden considerarse como vectores deslizantes, se concluye que el sistema de vectores que se muestra en la figura

no sólo son equipolentes, sino verdaderamente equivalentes en el sentido de que los vectores en el lado izquierdo del signo de igualdad pueden transformarse en los vectores del lado derecho mediante el uso de las operaciones fundamentales. Por lo tanto, se escribe

Sist. Cant. Mov.1 + Sist. Imp. Ext.1-2 = Sist. Cant. Mov.2

Pero las cantidades de movimiento vi ∆mi de las partículas se reducen a un vector fijo en G, igual a su suma

L=∑i=1

n

∆mivi

y un par de momento igual a la suma de sus momentos alrededor de G

HG=∑i=1

n

r ´i x vi ∆mi

L y HG definen, respectivamente, la cantidad de movimiento lineal y la cantidad de movimiento angular alrededor de G del sistema de partículas que forman al cuerpo rígido

Se observa que L = mv. Por otro lado, restringiendo el presente análisis al movimiento plano de una placa rígida o de un cuerpo rígido simétrico con respecto al plano de referencia, se recuerda de la ecuación HG =Iω. Por lo tanto, concluimos que el sistema de las cantidades de movimiento vi∆ mi es equivalente al vector de cantidad de movimiento lineal mv fijo en G y al par de momento angular Iω

Al observar que el sistema de cantidades de movimiento se reduce al vector mv en el caso particular de una traslación (ω = 0) y al parIω en el caso particular de una rotación centroidal (v= 0), verificamos una vez más que el movimiento plano de un cuerpo rígido simétrico con respecto al plano de referencia puede descomponerse en una traslación o en el centro de masa G y una rotación alrededor de G.

La ecuación (Sist. Cant. Mov.1 + Sist. Imp. Ext.1-2 = Sist. Cant. Mov.2) puede expresarse en forma gráfica como se muestra en la figura

Dibujando tres diagramas que representen, respectivamente, al sistema de las cantidades de movimiento iniciales del cuerpo, los impulsos de las fuerzas externas que actúan sobre el cuerpo y el sistema de las cantidades de movimiento finales del cuerpo. Al sumar e igualar de manera respectiva las componentes x, las componentes y y los momentos alrededor de cualquier punto dado de los vectores que se indican en la figura, se obtienen tres ecuaciones de movimiento que pueden resolverse respecto a las incógnitas deseadas.

En problemas que tienen que ver con varios cuerpos rígidos conectados, cada cuerpo puede considerarse de manera separada, o, si no intervienen más de tres incógnitas, es posible aplicar el principio del impulso y la cantidad de movimiento al sistema completo, considerando sólo los impulsos de las fuerzas externas.

SISTEMAS DE CUERPOS RÍGIDOS

Es posible analizar el movimiento de varios cuerpos rígidos aplicando el principio del impulso y la cantidad de movimiento a cada cuerpo por separado. Sin embargo, al resolver problemas que no incluyen más de tres incógnitas (entre las que se cuentan los impulsos de reacciones desconocidas), muchas veces es conveniente aplicar el principio del impulso y la cantidad de movimiento al sistema considerado como un todo. Los diagramas de cantidad de movimiento e impulso se dibujan para el sistema

completo de cuerpos. Para cada parte móvil del sistema, los diagramas de cantidades de movimiento deben incluir un vector de cantidad de movimiento, un par de cantidad de movimiento o ambos. Es posible omitir los impulsos de las fuerzas internas al sistema del diagrama de impulso, ya que ocurre en pares de vectores iguales y opuestos. Al sumar e igualar de manera sucesiva las componentes x y las y, así como los momentos de todos los vectores que intervienen, se obtienen tres relaciones que expresan que las cantidades de movimiento en el tiempo t1 y los impulsos de las fuerzas externas forman un sistema equipolente al sistema de las cantidades de movimiento en el tiempo t2.De nuevo, es necesario ser cuidadosos y no sumar de manera indiscriminada cantidades de movimiento lineales y angulares; cada ecuación debe verificarse para asegurar que se han utilizado unidades consistentes.

CINÉTICA DE CUERPOS RIGIDOS EN TRES DIMENSIONES

Este capítulo se dedica al análisis cinético de movimiento de cuerpos rígidos en tres dimensiones.

Se pudo observar que las dos ecuaciones fundamentales para el movimiento de un sistema de partículas

∑ F=ma∑MG=H G

Proporcionan el fundamento del análisis. El cálculo de la cantidad de movimiento angular HG del cuerpo y de su derivada H G.

Las componentes rectangulares de la cantidad de movimiento angular HG de un cuerpo rígido pueden expresarse en términos de las componentes de su velocidad angular y de sus momentos y productos centroidales de inercia de la manera siguiente:

H x=+ I xωx−I xyω y−I xzωz

H y=−I yxωx+ I yω y−I yzωz

H z=−I zxωx−I zyωy+ I zωz

Si se usan los ejes principales de inercia Gx´y´z´, estas relaciones se reducen a

H x´=I x´ωx ´ H x´=I x´ωx ´ H z ´=I z ´ωz ´

Se observó que, en general, la cantidad de movimiento angular HG y la velocidad angular ω no tienen la misma dirección. Sin embargo, la tendrán si ω está dirigida a lo largo de uno de los ejes principales de inercia del cuerpo.

Como el sistema de cantidades de movimiento de las partículas que forman a un cuerpo rígido puede reducirse al vector mv asociado a G y al par HG

Una vez que se ha determinado la cantidad de movimiento lineal mv y la cantidad de movimiento angular HG del cuerpo rígido, la cantidad de movimiento angular HO del cuerpo alrededor de cualquier punto O puede obtenerse al escribir

H o=r x m v+HG

En el caso particular de un cuerpo rígido restringido a girar alrededor de un punto fijo O, las componentes de la cantidad de movimiento angular HO del cuerpo alrededor de O se obtienen directamente de las componentes de su velocidad angular y de sus momentos y productos de inercia con respecto a los ejes que pasan por O. Se escribió

H x=+ I xωx−I xyω y−I xzωz

H y=−I yxωx+ I yω y−I yzωz

H z=−I zxωx−I zyωy+ I zωz

El principio del impulso y la cantidad de movimiento para un cuerpo rígido en movimiento tridimensional se expresa mediante la misma fórmula fundamental.

Cant. Mov. Sist.1 + Imp. Ext. Sis.1-2 = Cant. Mov. Sist.2

Aunque los sistemas de la cantidad de movimiento inicial y final ahora deben representarse como se indica en la figura

y es necesario calcular HG a partir de las relacionesH x´=I x´ωx ´ H x´=I x´ωx ´ H z ´=I z ´ωz ´

H x=+ I xωx−I xyω y−I xzωz

H y=−I yxωx+ I yω y−I yzωz

H z=−I zxωx−I zyωy+ I zωz

La energía cinética de un cuerpo rígido en movimiento tridimensional puede dividirse en dos partes, una asociada con el movimiento de su centro de masa G y la otra con su movimiento con respecto a G. Utilizando los ejes centroidales principales x´,y´,z´, se escribió

T=12mv2+1

2( I x ´ω2x ´+ I y´ω2y´+ I z ´ω2 z ´ )

Donde:

v = velocidad del centro de masaω = velocidad angularm = masa del cuerpo rígidoI x ´,I y ´,I z ´ Momentos de inercia centroidales principales

En el caso de un cuerpo rígido restringido a girar alrededor de un punto fijo O, la energía cinética del cuerpo puede expresarse como

T=12

(I x ´ω2x´+ I y ´ω2y ´+ I z ´ω2z ´ )Donde los ejes x´, y´ y z´ son los ejes principales de inercia del cuerpo en O.

Utilización de un sistema de referencia en rotación para escribir las ecuaciones de movimiento de un cuerpo rígido en el espacio

En esta parte se dedica a la aplicación de las ecuaciones fundamentales al movimiento de un cuerpo rígido en tres dimensiones

∑ F=ma∑MG=H G

HG representa la cantidad de movimiento angular del cuerpo relativa al sistema de referencia centroidal GX ´Y´Z´ de orientación fija y que H G en la ecuación representa la razón de cambio de HG con respecto a ese sistema de referencia.

Cuando el cuerpo gira, sus momentos y productos de inercia con respecto al sistema de referencia GX ´Y´Z´ cambian en forma continua. Por lo tanto, resulta más conveniente utilizar un sistema de referencia en rotación Gxyz cuando se descompone ω en componentes y se calculan los momentos y productos de inercia que se usarán para determinar. Sin embargo, puesto que HG en la ecuación∑MG=H G representa la razón de cambio de HG con respecto al sistema de referencia GX ´Y´Z´ de orientación fija, se debe utilizar

HG=˙(H ¿¿G)Gxyz+Ω xHG¿¿

Donde:

HG = cantidad de movimiento angular del cuerpo con respecto al sistema de referencia GX´Y´Z´de orientación fija

(HG)Gxyz = razón de cambio de HG con respecto al sistema de referencia en rotación Gxyz

Ω = velocidad angular del sistema de referencia en rotación Gxyz

Al sustituir HG de la ecuación anterior en ∑MG=H G se obtiene

∑MG=˙(H ¿¿G)Gxyz+Ω xHG¿¿

Si el sistema de referencia en rotación está realmente sujeto al cuerpo, su velocidad angular Ω es idénticamente igual a la velocidad angular ω del cuerpo. Sin embargo, hay muchas aplicaciones en las que tiene ventajas utilizar un sistema de referencia que no está asociado con el cuerpo, sino que gira de una manera independiente.