Encontrar la ecuación de la parábola que tiene el eje vertical y pasa por los puntos (�8; 5), (4; 8) y (16;�7).

Solución:

Al ser el eje de la parábola vertical, la ecuación de la parábola es necesariamente de la forma

(x� h)2 = 4a (y � k)

donde el vertice esta en (h; k) y el foco está en (h; k + a).

Tenemos ahora tres incógnitas: h; k y a.

Tenemos tres ecuaciones, una para cada uno de los puntos,

(�8� h)2 = 4a (5� k)

(4� h)2 = 4a (8� k)

(16� h)2 = 4a (�7� k)

Que quedan como

h2 + 16h� 20a+ 4ak + 64 = 0

h2 � 8h� 32a+ 4ak + 16 = 0

h2 � 32h+ 28a+ 4ak + 256

Restando la segunda de la primera, obtenemos

24h+ 12a+ 48 = 0

24h� 60a� 240 = 0

Volviendo a restar la segunda de la primera, nos da

72a+ 288 = 0

cuya solución es

a = �4

Sustituyendo ahora en la ecuación obtenida más arriba,

24h+ 12a+ 48 = 0

llegamos a que

24h+ 12 (�4) + 48 = 24h = 0

es decir,

h = 0:

Finalmente sustituyendo en alguna de las primeras, digamos en la primera,

h2 + 16h� 20a+ 4ak + 64 = 0

tenemos

�20 (�4) + 4 (�4) k + 64 = 0

que tiene como solución

1

k = 9

Así que la parábola tiene vertice en el punto (0; 9) y foco en el punto (0; 5).

Sustituyendo los valores de h; k y a en la ecuación

(x� h)2 = 4a (y � k)

llegamos a

x2 � 4 (�4) (y � 9) = x2 + 16y � 144 = 0

que es la ecuación de la parábola.

A continuación, como comprobación, sustituimos los valores de los tres puntos (�8; 5), (4; 8) y (16;�7) en la ecuaciónde la parábola y vemos que la satisfacen:

(�8)2 + 16 (5)� 144 = 0

(4)2+ 16 (8)� 144 = 0

(16)2+ 16 (�7)� 144 = 0

Finalmente la grá�ca es

­20 ­10 10 20

­10

­5

5

10

x

y

donde hemos puesto con la cruz, el círculo y el rombo a los tres puntos.

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