ellos indican como es la mixtura de identicos procesos independientes (i.i.p.), manteniendo la...
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Ellos indican como es la mixtura de identicos procesos independientes (i.i.p.), manteniendo la relacion entre la mayor y la menor escala invariante y finita, tambien orientandose a valores universales en el limite donde el numero de procesos tienden al infinito.
Así, los valores de c(γ) y K(q) estan dependiendo de los parametros “α” y ”C1” (Indice de Levy y la Codimension
media); a aquellos
Figura 8. Reconstrucción de lluvia.
CARACTERIZACIÓN DE PRECIPITACIÓN DE LLUVIA Y PERMEABILIDAD HIDRÁULICA USANDO PARÁMETROS UNIVERSALES MULTIFRACTALES
Christian Yarlequé1, Adolfo Posadas1,2,*, Roberto Quiroz1
1Centro Internacional de la Papa, Apartado Postal 1558, Lima 12-Perú,2 Facultad de Ciencias Físicas, DAFI, UNMSM, Lima 1, Perú*Autor para correspondencia: [email protected]
1. IntroducciónEl comportamiento espectral (serie de tiempo) de los eventos naturales de lluvia y Permeabilidad hidráulica, son caracterizados mediante unos parametros multifractales que nos brindan un comportamiento universal en un respectivo rango de escala. Estos parametros son obtenidos experimentalmente mediante la Tecnica del Momento Doble Traza. Los resultados son validados por la literatura con datos del mismo tipo de los que son presentados. 2. Datos y Procesamiento
En la Figura 2, Los poros se representan como áreas negras, y δi es el tamaño de la cuadrícula. En el análisis fractal, todas las cuadriculas contienen la misma dimensión fractal. En el multifractal, se discierne mediante las singularidades en la existencia de la densidad de la materia, en cada cuadricula
Se observa una mejor correlación de los datos reconstruidos vrs los datos originales (R2 ≈ 0.73 diario y R2
≈0.82 decadal), comparados con correlaciones en anteriores trabajos de reconstrucciones de lluvia (alrededor de R2 ≈ 0.70 mensual, anual [1][4]). La importancia de este Modelo es el de obtener datos diarios de lluvias. El Modelo busca una funcion generatriz de lluvia, o ruido caracteristico, como se observa en el nivel D=2, asi en posteriores trabajos se puede procesar la obtencion de lluvia en diferentes intervalos de tiempo, con tan solo los datos de NDVI y el ruido (generatriz) de Lluvia mostrada en la Figura 7, siendo un metodo economico comparado con el hecho de realizar mediciones de Lluvia con una Estacion Climatica.
4. Conclusiones y Discusion
5. Referencias
[5] MARIAN PRUTSCHER (1998), Series de Fourier, http://www.e-technik.uni-ulm.de/world/lehre/basic_mathematics/fourier/node2.php3[6] GONZÁLES Rafael C. and Richard E. Woods, (1992), Digital Image Processing, Editorial Addison-Wesley Publishing Company INC,Firts edition.[7] POLIKAR ROBI, (1996), “The Wavelet Tutorial”, 329 Durham Computation Center Iowa State University. http://users.rowan.edu/~polikar/WAVELETS/WTtutorial.html[8] RUSS Jhon C., THE IMAGE PROCESSING North Carolina Handbook, Biblioteca del CIP. Editorial CRC Press LLC, third Edition, año 1999.[9] FOUFOULA-GEORGIOU Efi and KUMAR Praveen, (1994), Wavelets in Geophysics, editorial Academic Press inc, Primera edición.
3. Resultados y métodos
Fractal
Un fractal es un objeto que exhibe auto-similaridad, en cualquier escala. Otra característica importante de objetos fractales es su dimensión fraccionaria. El término “Fractal” fue dado por el Matemático Benoit Mandelbrot 1983, en la publicación "The fractal geometry of Nature".
PARÁMETROS UNIVERSALES MULTIFRACTALES, “α,C1,H”
Figura 1. Curva de Koch y el Triangulo de Sierpinnski.
Figura 3. NDVI diario.
Tabla 1. Indice de Levy y C1.
Figura 10. Correlacion decadal.
En un proceso de cascada, ha medida que el numero de niveles de cascada se incrementa (n∞), simultaneamente se incrementa el rango de escalas. En este marco de trabajo, valores universales no son posibles de obtener. Asi que una forma de obtener universalidad (en la caracterizacion cuantica) fue planteado por Schertzer et. Al [1991]:
Proceso Multifractal
Los multifractales es la generalizacion de los Fractales, para el tratamiento de campos los cuales tiene un comportamiento en cada uno de sus puntos. El analisis se realiza al interior de un cierto campo (objeto), en pequeñas particiones (diferentes escalas) las cuales contienen una dimension Fractal y masa diversas entre si.
Figura 2. Sistema de Poros en el Suelo.
Metodo del Momento de Doble Traza (MDT)
Propuesto por D. Lavallée[1991], para la obtencion de los parametros universales “α”,”C1”. Este consta de obtener el parametro K(q=h,n) mediante una doble ponderacion de ordenes de momentos “h”, “η”. Con este proseso se analiza el comportamiento estadistico multifractal en un rango de escala factible.
)20( paraq
A
A
A
d
xd
xd'
' ),(
'
hK
i
hi
AMDT
,1)(
,1)(11,,
1
1
qLogqC
qqC
hKhK
Contrario al concepto previo, el proceso de cascada canonico no define los valores de cada punto del campo multifractal en un proceso de cascada ha menores escalas. Aquí la la cualidad canonica, conserva indicadores estadisticos como la esperanza, en diferentes escalas del campo (E):
l
L0
Existen dos tipos de procesos de cascada: Canonico y Microcanonico. El estudio del microcanomico se refiere a la discretizacion del campo multifractal, el cual se rige por limites de valores extremos (δ 0, figura 2) en este contexto el orden de las singularidades son del carácter “local”.
La relacion de escala λ esta definida por la relacion de la escala mayor L0 (inicial) y una menor l (final):
1EE
Donde: “d” dimension euclidiana; “γ” orden de singularidad si γ>0 (o regularidad si γ <0); “c(γ)”funcion de Codimension; “K(q)” momento de multiescalamiento; “H” parametro de anisotropia.
64 datos de Permeabilidad
-20
0
20
40
60
80
0 10 20 30 40 50 60 70
Número de datos
Val
ore
s d
e P
erm
eab
ilid
ad
1024 datos de Precipitacion
05
101520253035
0 200 400 600 800 1000 1200
Numero de datos
Pre
cip
itac
ion
(m
m)
Obtension de los K(q) mediante la pendiente de la Grafica de LogDTM(q) vr LogLanda;
Precipitacion.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
LogDTM(q)
Lo
gL
and
a
q=1
q=2
q=3
q=4
q=5
q=6
q=7
Grafica de Log[DTM(q)] vrs Loglanda, para obtener K(q) igual a cada pendiente de respectivo
q; Permeabilidad.
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
0 0.5 1 1.5 2
LogLanda
Lo
gD
TM
q=0.0
q=0.5
q=1.0
q=1.5
q=2.0
q=2.5
Linear (q=2.5)
Linear (q=2.0)
Linear (q=1.5)
Linear (q=1.0)
Linear (q=0.5)
Linear (q=0.0)
Gráfica de K(q) vrs q, de los datos de Permeabilidad.
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
orden de momento estadistico "q".
Mo
men
to e
sta
dis
tico
"K
(q)"
.
Grafica del indice de Levy: "alfa"=pendiente de la recta en comun.
LogK(1.1,n) = 1.6668Logn(n) - 1.5288
LogK(1.2,n) = 1.6517Logn(n) - 1.196
LogK(1.4,n) = 1.6174Logn(n) - 0.843
LogK(1.6,n)= 1.5798Logn(n) - 0.6267
LogK(1.8,n)= 1.5412Logn(n) - 0.47
LogK(2.0,n)= 1.5029Logn(n) - 0.3476
LogK(1.3,n) = 1.6351Logn(n) - 0.9922
-3.5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1
Log[n]
Lo
g[K
(q,n
)]
q=1.1
q=1.2
q=1.4
q=1.6
q=1.8
q=2.0
q=1.3
Linear (q=1.1)
Linear (q=1.2)
Linear (q=1.4)
Linear (q=1.6)
Linear (q=1.8)
Linear (q=2.0)
Linear (q=1.3)
alfa de levy C11.64275 +/- 0.02 0.24 +/- 0.005rango de escala orden de momento
2 {̂1 a 6} 0 - 1.4
Grafica de Multifractalidad: Kq vr q
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
0 1 2 3 4 5 6 7
Orden de Momento "q"
Mo
men
to e
stad
isti
co "
K(q
)"
Grafica del alfa de Levy igual a la pendiente de LogK[q,n] vrs Log[n], en la parte lineal comun .
-1.8
-1.6
-1.4
-1.2
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1
Log[n]
Lo
g[K
(q,n
)]
q=1.1
q=1.3
q=1.5
q=2
q=2.5
q=3.0
Grafica para la obtencion alfa de Levy mediante la pendiente de LogK[q,n] vrs Log[n]
LogK(1.1,n) = 0.4993Logn - 1.6759
LogK(1.3,n) = 0.4894Logn - 1.1564
LogK(1.5,n) = 0.4817Logn - 0.9004
LogK(2.0,n) = 0.4643Logn - 0.5353
LogK(2.5,n) = 0.4451Logn - 0.3129LogK(3.0,n) = 0.4245Logn - 0.1526
-1.8
-1.6
-1.4
-1.2
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
Log[n]
Lo
g[K
(q,n
)]
1.1
1.3
1.5
2
2.5
3.0
Linear (1.1)
Linear (1.3)
Linear (1.5)
Linear (2)
Linear (2.5)
Linear (3.0)
Grafica general para la obtencion del indice de Levy: "alfa"=pendiente de la recta en comun.
-4
-3.5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1
Log[n]
Lo
g[K
(q,n
)]
q=1.1
q=1.2
q=1.4
q=1.6
q=1.8
q=2.0
(1) Media de ponderados de valores del campo en el area A (local).(2) Traza de los valores de sumas de las medias ponderados a diferentes escalas.(3) Momento de Escalamiento dependiente de los ordenes h (=q) y η. “α” es el indice de Levy.
(1) (2) (3)
Tabla2. Indice de Levy y C1.
alfa de levy C10.48 +/- 0.015 0.23 +/- 0.018
rango de escala orden de momento2 {̂7 a 10} 0 - 2.5
Figura 1. Datos de Permeabilidad de Hidraulica y Precipitacion de
Lluvia del Altiplano peruano - Puno.