elementos del lenguaje de la dinámica de sistemas · 2018-04-08 · elementos del lenguaje de la...

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Elementos del lenguaje de la Dinámica de Sistemas

Dpto. de Informática y Automática de la UNED

Sebastián Dormido Canto

Conceptos sobre Dinámica de Sistemas

Ejemplo completo de un sistema simulado mediante Dinámica de Sistemas

Introducción al programa VENSIM

Ejemplo completo de un sistema simulado mediante VENSIM PLE

Estructura de la sesión:

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Conceptos sobre Dinámica de Sistemas

Proceso de modelado

Estructuras de realimentación Estructuras sencillas:

Bucle de realimentación negativo

Bucle de realimentación positivo

Estructuras complejas: Arquetipo del crecimiento sigmoidal

Arquetipo de la adicción

Arquetipo de la inversión insuficiente

Diagramas de Forrester

Variables de estado

Variables de flujo

Variables auxiliares

Programación del modelo en un computador

¿ En qué se basa la dinámica de sistemas?

En el comportamiento de sistemas mediante la

construcción de un modelo de simulación informática

que ponga de manifiesto las relaciones entre la

estructura del sistema y su comportamiento

¿ Cuál es el objetivo de la dinámica de sistemas?

Conceptos sobre Dinámicas de Sistemas (1/39)

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Modelado mediante Dinámica de Sistemas

Proceso de modelado: proceso mediante el cual se construye un modelo de un aspecto problemático de la realidad. En Dinámica de sistemas comprende 4 pasos fundamentales:

1. Modelo mental

2. Diagrama de influencias

3. Diagrama de Forrester

4. Modelo informático


Modelo mental: representación informal de un cierto aspecto de la realidad, pero que recoge la experiencia que poseen los especialistas en el problema correspondiente. (punto de partida del proceso de modelado)

Diagrama de Influencias: grafo donde sus nodos son los elementos del sistema y cuyas aristas indican las influencias entre ellos. Constituye una representación gráfica de la estructura del sistema.

Pero para alcanzar el objetivo de conocer el comportamiento global del sistema se requiere que la relación entre las partes de un sistema posea un contenido matemático más rico que el simple establecimiento de las relaciones de influencia.

Diagrama de Forrester


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MUNDOREAL

MODELOMENTAL

MODELOFORMAL

CONCEPTUALIZACIÓN

FORMULACIÓN

EVALUACIÓN

Tiempo

Diagrama de Influencias


Modelo Informático


Fases de construcción de un modelo

Estructuras de realimentación simple

Bucle de realimentación negativa

Bucle de realimentación positiva


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Estructuras complejas de realimentación

En la práctica es frecuente que la estructura de un sistema presente múltiples bucles de realimentación entrelazados

Arquetipos sistémicos:

Arquetipo del crecimiento sigmoidal


Arquetipo del crecimiento de la inversión insuficiente


Arquetipo del crecimiento sigmoidal

Consideremos como ejemplo el crecimiento de una población en un hábitat que es capaz de sustentarla pero en el que los recursos son limitados.

Existen dos bucles, uno positivo que es el responsable del proceso de crecimiento y otro negativo que limita el crecimiento (condición limitadora).


6

En la fase inicial, cuando se desencadena el crecimiento de la población, la limitación de los recursos no es perceptible domina el bucle positivo.

Al crecer la población la limitación de los recursos comienza a manifestarse domina el bucle negativo.

Bucle positivo

Bucle negativo

Crecimiento exponencial

Crecimiento asintótico


Ejemplos de procesos con crecimiento sigmoidal:

proceso de difusión de una innovación tecnológica

introducción de un nuevo producto en el mercado

la difusión de un rumor en un medio social

la propagación de una epidemia

Se tiene una fase inicial en la que se produce un crecimiento exponencial y a medida que se alcanzan los límites como consecuencia del carácter finito del medio donde se desarrollan se produce una limitación que aborta el crecimiento.


7

¿Cómo tratar de atenuar los efectos negativos que pueda tener la limitación al crecimiento?

Intuitivamente se intenta fomentar el propio crecimiento cuando este parece abortarse actuar sobre el bucle positivo (actuación ineficiente)

Solución: Se debe de identificar y cambiar el efecto limitador que es el verdadero responsable de los límites del crecimiento, siempre que sea posible.


Formulación matemática del crecimiento sigmoidal

A este diagrama puede asociarse la ecuación: F2F1dt xd

donde los flujos, en el caso de una influencia lineal son:

Xk1F1

X)-(Xdk2Dk2F2

Sustituyendo: Xdk2Xk2)-(k1dt xd


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Según el valor relativo de K1 y K2 tenemos:

F

X

K2 < K1F

X

K2 = K1F

X

K2 > K1

X

tiempo

K2 < K1X

tiempo

K2 = K1X

tiempo

K2 > K1

En ninguno de estos casos se produce crecimiento sigmoidal


El crecimiento sigmoidal se produce cuando la relación entre flujos se cortan entre sí:

F1

-F2

Formas no lineales de las relaciones entre F y XX

El flujo conjunto F = F1 + F2 será:

Fmax

X

F

+ -


9


La adicción se presenta cuando: Hay un síntoma problemático que requiere atención.

El síntoma está generado por un problema cuya solución es difícil o no se conoce bien.

Se tratan los síntomas en lugar del problema.

Se obtienen éxitos a corto plazo, pero el problema fundamental sigue subyacente.

Un ejemplo lo presenta el problema del estrés que produce el exceso de trabajo.

Si nuestro trabajo se incrementa más allá de nuestra capacidad de acometerlo y como consecuencia de ello caemos en una situación de estrés, la única solución es autolimitarnos con respecto a la aceptación de más trabajo.


FÁRMACOS

ESTRÉS

DISMINUCIÓNDEL TRABAJO

DEPENDENCIA

+-

-

+

-

+

+

--


Única solución (solución fundamental): autolimitarnos con la aceptación de más trabajo.

Solución adoptada (solución sintomática): aliviar el estrés mediante acciones duras (alcohol, fármacos, ...) Estas actuaciones no resuelven el problema del exceso de trabajo, sólo lo enmascaran temporalmente aliviando el estrés.

El problema sigue latente y periódicamente reaparece, con lo que se incrementa la dependencia y se llega a la adicción.

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SOLUCIÓNSINTOMÁTICA

SÍNTOMA

SOLUCIÓNFUNDAMENTAL

EFECTO COLATERAL

+-

-

+

-

+

+

--


Se tienen dos procesos de realimentación negativa.

Los dos tratan de corregir el mismo síntoma problemático.

EL superior persigue una solución rápida y superficial, el inferiortiene un cierto retraso (los efectos tardan más tiempo en ser evidentes).

Con frecuencia, se presenta un bucle adicional positivo, generado por los efectos colaterales de la solución sintomática hacen más difícil llegar a la solución fundamental.

IMPORTACIÓN

ESCASEZDE ENERGÍA

AHORRO Y DESARROLLO

DE ENERGÍA PROPIA

ADICCIÓN A LA IMPORTACIÓN

+-

+

-

+

+

--

-

Este tipo de estructura permite explicar una amplia variedad de comportamientos en los que soluciones bien intencionadas a corto plazo empeoran las cosas a largo plazo.


Diagrama de Influencias del arquetipo de la dependencia energética

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ACCIONES PARAMODIFICAR METAS

DISCREPANCIA

-

+

+

-

--

METAS

LOGROS

ACCIONES PARAALCANZAR METAS

+

+


Un caso especial que se deriva del arquetipo de la adicción se produce cuando existe un proceso de erosión de metas.

Ocurre cuando existe una discrepancia entre nuestros objetivos yel estado que hemos alcanzado con respecto a ellos.

CONCLUSIÓN: Las soluciones sintomáticas son necesarias en muchas situaciones, pero siempre que se reconozcan como tales y se combinen con estrategias a largo plazo.

Arquetipo del crecimiento con inversión insuficiente

Es una combinación de los arquetipos anteriores.

Ejemplo: Comportamiento de una empresa que desarrolla un nuevo tipo de producto de gran éxito inicial. Hay una gran demanda para su producción y no existen “aparentemente”problemas de financiación.


Años

Ventas

1 2 3

Durante los 3 primeros años las ventas se duplican.

Situación inicial:

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Problema: la cartera de pedidos empieza a crecer en el segundo año el suministro de los pedidos comienza a retrasarse.

Solución: Aumentar la capacidad de producción

Situación real de la empresa: se retrasa la decisión de aumentar la producción empieza el descenso de las ventas.

Situación adoptada por la empresa: intenta aumentar las ventas mediante incentivos y campañas publicitarias



Años

Ventas

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Se alternan periodos de crecimiento y crisis bancarrota.

CONCLUSIÓN: la empresa no puede adaptarse al mercado. En condiciones normales hubiese tenido un crecimiento sostenido y un éxito a largo plazo.

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Inicialmente hay un proceso de crecimiento bucle positivo.

Análisis mediante arquetipos sistémicos

VENTASPROMOCIÓN +

+

+

La empresa apuesta por incrementar la capacidad del dpto. de ventas.


Todo proceso de crecimiento lleva asociado el proceso que lo limita.

En el ejemplo considerado la limitación al crecimiento debería producirse porque el mercado alcanza sus propios límites.

Lo que sucede: el límite es causa de los retrasos acumulados en el suministro del producto.

VENTASPROMOCIÓN +

+

+

RETRASO ENSUMINISTRO

+

-

-

CAPACIDADPRODUCCIÓN

-

Se tiene una estructura de crecimiento sigmoidal

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Error: actuar sobre el bucle positivo (incentivar las ventas).

Solución: Cambiar el efecto limitador (disminuir el retraso aumentar la capacidad de producción.

¿Por qué no se detecta a tiempo el problema del retraso en los suministros?

VENTAS-



INVERSIONES

ESTÁNDAR DESUMINISTRO

+

++

+

-

-

-

Solución sintomática

Síntoma

Solución fundamental

Se actúa sobre la solución sintomática (promocionar las ventas) arquetipo de la dicción


Combinando el arquetipo sigmoidal y el de la adicción se obtiene el arquetipo del proceso de crecimiento con inversión insuficiente.

VENTASPROMOCIÓN



INVERSIONES

ESTÁNDAR DESUMINISTRO

-

-

+

+

+

-

-+ +

+

+

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Años

Ventas

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Comportamiento satisfactorio de la empresa mediante un modelo de simulación


Los distintos elementos que constituyen el Diagrama de Influencias se representan por medio de variables (v. estado, v. flujo y v. auxiliares).

Para entender el significado de estas clases de variables recurrimos a un símil hidrodinámico:

Se representan 3 depósitos donde se acumulan 3 niveles las variaciones de los niveles vienen determinadas por las actuaciones sobre unas válvulas.

La decisión sobre la apertura de estas válvulas se toma teniendo como única información los valores alcanzados por los niveles (en el instante de tiempo considerado).

De forma análoga, los valores alcanzados por los niveles dependen de los valores tomados por las variables de flujo que alimentan dichos niveles.


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F1

F2

F3

F4

X1

X3

X2

Símil hidrodinámico de un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden


Símbolos que aparecen en los Diagramas de Forrester

Nube: representa una fuente o un pozo; puede representarsecomo un nivel que no tiene interés y es inagotable.

Estado o Nivel: representa una acumulación de un flujo, esla variable de estado.

Flujo: representa la variación de un nivel, representa un en el estado del sistema.

Canal de material: canal de transmisión de una magnitud física, que se conserva.

Canal de información: canal de transmisión de una cierta información, que no es necesario que se conserve.


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Variable auxiliar: variable que representa un paso intermedioen el cálculo de una variable de flujo.

Constante: un elemento del modelo que no cambia de valor.

Variable exógena: representa una acción del medio sobre elsistema.

Retardo: un elemento que simula retrasos en la transmisión de información o material


Variables de Estado

Es el conjunto de variables cuya evolución es significativa para el estudio del sistema.

Las variables de estado representan magnitudes que acumulan los resultados de acciones tomadas en el pasado; esta función de acumulación puede asimilarse a la del nivel alcanzado por un líquido en un depósito, de ahí viene su denominación de variable de nivel.

La elección de los elementos que se representan por variables de estado depende del problema específico que se esté considerando (aquí será muy importante la experiencia del diseñador del modelo).

Una característica común a todos los estados es que cambian lentamente en respuesta a las variaciones de otras variables.


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Expresión matemática de una variable de estado y su aproximación por el método de EULER de integración numérica (esta aproximación es la que se emplea comúnmente en Dinámica de Sistemas):

dt ) FF (X(0)X(t)FFdtX d

se

T

0

se

) (t)F - (t)F ( tX(t)) tt X( se


Variables de Flujo

Las variables de flujo determinan las variaciones en los niveles del sistema.

Se trata de variables que no son medibles en sí, sino por los efectos que producen en los estados o niveles con los que están relacionadas.

Siguiendo el símil hidrodinámico las variables de flujo se pueden asociar a válvulas que regulen los caudales que alimentan determinados depósitos (variables de estado o nivel).

El bloque de una variable de flujo admite, como señal de entrada, la información que viene de los estados, de las variables auxiliares o de las constantes y suministra como salida el flujo que alimenta a un estado.


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Las unidades en que se mide una variable de flujo deben ser consistentes con las de las variables que relaciona.

Una variable de flujo vendrá siempre medida por la unidad del estado o nivel al que alimenta partido por la unidad de tiempo que se considere.

Dos variables de flujo no pueden conectarse entre sí (basta con fijarse en el símil hidrodinámico).


Variables Auxiliares

Las variables auxiliares representan pasos o etapas en que se descompone el cálculo de una variable de flujo.

Ejemplo: Las variables VA1 y VA2 como pasos intermedios en la determinación de F1 en función de X1, X2 y X3.

X3X1

X2

VA2 VA1

F1


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Las variables auxiliares se pueden utilizar para representar las no linealidades que aparecen en el sistema.

Si las variables A y B están ligadas por una expresión de la forma B= f(A), donde f(A) es una función no lineal, su representación será:

BBA


Programación del modelo en el computador

El siguiente paso es desarrollar el modelo del sistema en el computador, es decir, realizar un programa que permita simularlo.

Para ello es necesario definir de forma unívoca el sistema dinámico que se pretende simular.

Con el diagrama de Forrester sólo quedan definidas las ecuaciones de las variables de estado. Es necesario especificar las relaciones del resto de las variables.

El modelo se puede programar con cualquier lenguaje de alto nivel (FORTRAN, PASCAL, C, etc.).

Preferible utilizar los entornos informáticos de simulación que utilizan lenguajes específicos parta la dinámica de sistemas: DYNAMO, STELLA, POWERSIM o VENSIM.


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Aunque utilizando un lenguaje de alto nivel el programador se libera de aprender un nuevo entorno de programación (incluso en muchos casos del coste de adquisición del nuevo paquete informático). Existen desventajas que convienen tener en cuenta:

Es necesario programar métodos numéricos de integración de ecuaciones diferenciales.

El orden en el que se escriben las ecuaciones no es indiferente, por lo que se debe invertir un cierto tiempo y esfuerzo en ordenarlas.

No se dispone de herramientas adicionales para la gestión de los resultados de las diversas simulaciones que se realicen.


La programación de modelos en los entornos específicos de simulación se puede realizar de dos maneras distintas:

Escribiendo las ecuaciones en un lenguaje determinado, de manerasimilar a como se hace en un lenguaje de alto nivel, con las ventajas mencionas anteriormente.

Convencional DYNAMO

Ec. de estado X(t+t) = X(t)+t[FE(t)-FS(t)] N.K = N.J+DT(FE.JK-FS.JK)

Ec. de flujo F(t) = TN M(t) N(t) F.KL = TN M.K N.K

No linealidad A = f(B) A.K= TABLE(AT,B.K,B1,B5,)

AT = A1/A2/A3/A4/A5

Utilizando un entorno gráfico con el que se dibuja el diagrama de influencias o el de Forrester y se escriben después las ecuaciones que definen cada variable.


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Ejemplo completo de un sistema simulado mediante Dinámica de Sistemas

Enunciado: Se pretende estudiar, con un modelo, la evolución de la población en una determinada región en los próximos cien años.

Modelo sencillo de población

Las ecuaciones que definen el modelo:

(t) POB TN(t) NAC (2)

(t) MU(t) NACdt

(t) POB d (1)

TVM(t) POB

(t) MU (3)

Ejemplo de Dinámica de Sistemas (1/6)

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Definición de las variables:

POB: Población

NAC: Número de nacimientos

MU: Número de fallecimientos

TN: Tasa de natalidad

TVM: Tiempo de vida medio

Diagrama de influencias:


Clasificación de las variables, especificar sus unidades:

Variables de estado: POB: personas

Variables de flujo: NAC: personas / año

MU: personas / año

Constantes: TN: año-1

TVM: año

Ejemplo del cálculo de las unidades de TN y TVM:

De la ecuación (2) 1-añopersonas

añopersonas

(t) POB(t) NAC

TN

De la ecuación (3) año

añopersonas

personas(t) MU(t) POB

TVM


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Diagrama de Forrester:

POB

TVMTN

Tratamiento de las ecuaciones en ausencia de un programa de modelado y simulación:

NAC MU

tx(t)-t)(tx

tdxd


(t) MU(t) NACdt

(t) POB d (1)

] (t) MU-(t) NAC [t(t) POBt)(t POB (1)

(t) POB TN(t) NAC (2)

TVM(t) POB

(t) MU (3)

+

+Condiciones iniciales, condiciones de simulación y constantes:

80TVM y 0.04TN , año 1 t , 1600 (2002) POB


25

t = 2002

1600 (2002) POB

6416000.04(2002) POB TN (2002) NAC

2080

1600TVM

(2002) POB (2002) MU

t = 2003

1644] 20-64 [ 11600

] (2002) MU-(2002) NAC [ t(2002) POB (2003) POB

6516440.04(2003) POB TN (2003) NAC

2080

1644TVM

(2003) POB (2003) MU

...


Introducción al programa VENSIM

VENSIM PLE 6.2 (Personal Learning Edition)

http://www.vensim.com

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Vensim es una herramienta visual de modelización que permite conceptualizar, documentar, simular,

analizar y optimizar modelos de dinámica de sistemas.

Definición:

27

Barra de Título Menú

Herramientas de dibujo

Zona dedibujo

Herramientas de análisis

Barra principal de herramientas

Herramientas de formato

Introducción al programa VENSIM (1/6)

Herramientas de dibujo

puntero

Ctes yauxiliares

Variable de estado

Flecha (Canal)

Variable de flujo

Variable “shadow” comentario

borrador

Editor de ecuaciones

Herramientas de simulación

Inicialización de una simulación

Nombre de lasimulación

Selección de lasimulación Simular

Modificación interactivade los parámetros


28

Herramientas de análisis

Relaciones de influencia de la variable seleccionada

Bucles que afectan a la variable seleccionada

Información textual del modelo completo (ecuaciones, unidades, ...)

Muestra todos los gráficos de las variables queafectan a la variable seleccionada

Muestra el gráfico de la variable seleccionada

Genera la tabla de valores de la variable seleccionada

Devuelve las diferencias (constantes y tablas) entre dos simulaciones


Información textual de la variable seleccionada (ec., unidades)

Otras opciones

Panel decontrol


29

Construir un nuevo modelo o abrir uno existente: Dibujo del modelo

Ecuaciones

Unidades de las variables

Verificar el modelo y sus unidades

Examinar la estructura del modelo con las herramientas de análisis.

Simular el modelo.

Examinar el comportamiento en el modelo con las herramientas de análisis.

Realizar distintos experimentos para entender o refinar el modelo.

Fases del modelado y simulación con Vensim


VENSIM PLE PLUS

Test de sensibilidad.

Optimización de funciones de coste.

Herramientas estadísticas.

Permite tomar datos de otros programas (hojas de cálculo como Excel y Lotus).

Permite crear controles de entrada y salida personalizados para cada modelo.

Puede proporcionar múltiples vistas.


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Ejemplo completo de un sistema simulado mediante VENSIM PLE

Modelo sencillo de población con Vensim

1. Arrancar Vensim

2. Pulsar el botón de nuevo modelo: File > New Model

password

Ejemplo con VENSIM (1/32)

31

3. Dibujar el correspondiente diagrama de Forrester


4. Escribir las ecuaciones del modelo

La estructura del modelo está completa. Sin embargo, para poder simularson necesarias las ecuaciones que describen las relaciones entre variables


Todas las variables del modelo se ponen negras

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Variable de estado: POB Nombre de la variable

1600

Variables relacionadas

personas


Ecuación de estadoNAC-MU

Variables de flujo: NAC y MU Nombre de la variable

Variables relacionadas

Muy importante

Vensim (ecuac.)

V. Flujo

=

V. Auxiliar

personas/años


TN*POB

33

POB / TVM

personas/años


Constantes o prámetros: TN y TVM

0.04

1 / años


34

80

años


5. Salvar el modelo

poblacion_1.mdl

6. Análisis de influencias en el modelo

7. Verificar la sintaxis del modelo y los errores de unidades

Model > Check Model Model > Units Check


35

Provoquemos un error en las unidades

Por ejemplo en TN: 1 / años años

Model > Units Check


8. Simular el modelo

8.1 Dar nombre a la simulación

8.2 Inicializar la simulación (EULER)

8.3 Simular

9. Análisis de simulación

9.1 Hacer doble click sobre la variable que se quiera analizar

9.2 Seleccionar el tipo de análisis

por ejemplo POB


36


¿ números reales ?

NAC > MU

POB creciente


37

Intentamos buscar un ejemplo para que NAC < MU

antes (Simulac_1)

TN = 0.04

TVM = 80

ahora (Simulac_2)

TN = 0.01

TVM = 60

POB decreciente


Comparamos las simulaciones Simulac_1 y Simulac_2


Explicar la opción “Datasets” del panel de control

38

Ejercicio: Realizar la simulación Simulac_3 con los datos de la simulación Simulac_1 pero utilizando el método de integraciónde Runge Kutta. Comparar sus resultados de forma gráfica y enforma de tabla.


Hasta ahora el valor de MU es directamente proporcional al tamaño de POB

Algunos comentarios sobre el modelo sencillo de población

POB

MU

1TVM

Esto no significa que MU se incrementa linealmente con el tiempo. Lo que significa es que MU crece a la misma velocidad que POB

Para expresar esa dependencia lineal se podía haber construido una tabla, pero es más sencillo utilizar una constante (la pendiente de la recta)


39

Lo que queremos conseguir ahora es que la velocidad en que se producen las muertes sea superior al crecimiento de la población cuando ésta haya alcanzado un cierto límite.

Hipótesis real (en las poblaciones grandes se pueden alcanzar los límites de los recursos)

¿ Cómo se puede representar ésto ?

POB

MU

TABLA


En nuestro modelo poblacion_1 introducimos dos nuevas variables:

NMAX: Número de personas a partir del cual el exceso de poblaciónafecta al número de muertes

FAMU: Factor que afecta al número de muertes debido al exceso de población

¿Cómo cambian las ecuaciones del modelo?

La ecuación (3) cambia a: (t) FAMUTVM

(t) POB(t) MU

NMAX(t) POB

f(t) FAMU (4)


40

Clasificación de las nuevas variables, especificar sus unidades:

Variables auxiliares: FAMU: adimensional

Constantes: NMAX: personas

Valores para la simulación:

NMAX = 5000POB(t)

NMAXFAMU (t)

0 0.9

1 1

2 5

3 10

4 16


Diagrama de Forrester en Vensim:


41

Completar y modificar las ecuaciones :

5000

personas


POB / NMAXValor de entrada a la tabla

Dmnl


42

POB / NMAX FAMU

0 0.91 12 53 104 16



43

La ecuación de MU hay que modificarla

(POB / TVM)•FAMU


A continuación:

- Dar nombre a la simulación

- Inicializar la simulación

- Simular

- verificar el modelo y la consistencia de unidades

- Simular el modelo:

(EULER)

¿ Qué ocurre con la salida del modelo ?

Ejercicio: Comparar en una misma gráfica los resultados dela simulación Simulac_1 con los de la simulación Simulac_4


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Domina el bucle positivo: NAC

Domina el bucle positivo: MU

Punto de inflexión



45

Personalización de la salida gráfica con Vensim


Gráfico_1

MODELO SENCILLO DE POBLACIÓN

Time Tiempo (años)

POB

POB

POB

POB

Simulac_1

Simulac_2

Simulac_3

Simulac_4

Crec-EULER

Decr-EULER

Crec-RUNGE

TABLA

4

4

4

4

person

person

person

person


46


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