elementos de maquinas y vibraciones

UUUNNNIIIVVVEEERRRSSSIIIDDDAAADDD PPPÚÚÚBBBLLLIIICCCAAA DDDEEE NNNAAAVVVAAARRRRRRAAA ––– NNNAAAFFFAAARRRRRROOOAAAKKKOOO UUUNNNIIIBBBEEERRRTTTSSSIIITTTAAATTTEEE PPPUUUBBBLLLIIIKKKOOOAAA

DDDDEPARTAMENTO DE EPARTAMENTO DE EPARTAMENTO DE EPARTAMENTO DE IIIINGENIERÍA NGENIERÍA NGENIERÍA NGENIERÍA MMMMECÁNICAECÁNICAECÁNICAECÁNICAEEEENERGÉTICA Y DE NERGÉTICA Y DE NERGÉTICA Y DE NERGÉTICA Y DE MMMMATERIALESATERIALESATERIALESATERIALES

IIIINGENIARITZA NGENIARITZA NGENIARITZA NGENIARITZA MMMMEKANIKOA EKANIKOA EKANIKOA EKANIKOA EEEENERGETIKOANERGETIKOANERGETIKOANERGETIKOAETA ETA ETA ETA MMMMATERIALEEN ATERIALEEN ATERIALEEN ATERIALEEN SSSSAILAAILAAILAAILA

ELEMENTOS DE MÁQUINASELEMENTOS DE MÁQUINASELEMENTOS DE MÁQUINASELEMENTOS DE MÁQUINASYYYY

VIBRACIONESVIBRACIONESVIBRACIONESVIBRACIONES

JESÚS Mª PINTOR BOROBIADR. INGENIERO INDUSTRIALDPTO. DE INGENIERÍA MECÁNICAENERGÉTICA Y DE MATERIALES

DDEEPPAARRTTAAMMEENNTTOO DDEEIINNGGEENNIIEERRÍÍAA MMEECCÁÁNNIICCAA,,EENNEERRGGÉÉTTIICCAAYY DDEE MMAATTEERRIIAALLEESS INDICE

33ºº DDEE IINNGGEENNIIEERRÍÍAA IINNDDUUSSTTRRIIAALL

EELLEEMMEENNTTOOSS DDEE MMÁÁQQUUIINNAASS YY VVIIBBRRAACCIIOONNEESS - 0.1 -




Indice




1. INTRODUCCIÓN1.1 Introducción.1.2 Concepto de vibración.1.3 Concepto de grado de libertad: sistemas continuos y discretos.1.4 Modelización de un sistema mecánico.1.5 Sistemas lineales y sistemas no lineales.1.6 Sistemas definidos y sistemas semidefinidos.1.7 Vibraciones libres y vibraciones forzadas.1.8 Planteamiento de las ecuaciones del sistema.

2. NOTACIÓN Y DEFINICIONES

3. SISTEMAS DE 1 GRADO DE LIBERTAD3.1 Introducción.3.2 Componentes del sistema discreto básico de un grado de libertad.3.3 Vibraciones libres en sistemas de 1 gdl.

3.3.1 Vibraciones libres no amortiguadas.3.3.2 Vibraciones libres con amortiguamiento viscoso.

3.4 Vibraciones forzadas en sistemas de 1 gdl.3.4.1 Excitación sísmica.3.4.2 Excitaciones armónicas.3.4.3 Función de Transferencia.3.4.4 Factor de Amplificación Dinámica.3.4.5 Excitaciones impulso, escalón o rampa.3.4.6 Excitación de tipo general: Integral de convolución.

4. SISTEMAS DE 2 GRADOS DE LIBERTAD4.1 Introducción.4.2 Ecuaciones del movimiento: Formulación matricial.4.3 Vibraciones libres no amortiguadas. Modos de vibración.4.4 Coordenadas naturales. Introducción al Análisis Modal.4.5 Vibraciones forzadas. Condiciones de resonancia.




5. SISTEMAS DE N GRADOS DE LIBERTAD5.1 Planteamiento matricial.

5.1.1 Matrices de rigidez, inercia y amortiguamiento5.2 Vibraciones libres de sistemas no amortiguados.

5.2.1 Apéndice de Algebra Lineal: Problema de VVPP.5.2.2 Vibración del sistema según un modo de vibración.

5.3 Vibraciones forzadas en sistemas no amortiguados.5.3.1 Excitación de un solo modo de vibración del sistema.

5.4 Vibraciones en sistemas amortiguados.5.4.1 Sistemas con amortiguamiento proporcional.5.4.2 Sistemas con amortiguamiento no proporcional: integración paso a paso.5.4.3 Vibraciones forzadas en sistemas con amortiguamiento no proporcional:

matriz de transferencia.5.5 Análisis de Fourier5.6 Análisis Modal.

5.6.1 Concepto.5.6.2 Fundamentos teóricos.5.6.3 Ejemplo de resonancia: Puente de Tacoma.

5.7 Métodos aproximados.5.7.1 Métodos de Condensación.5.7.2 Métodos de síntesis de componentes.

6. CONTROL DE VIBRACIONES6.1 Introducción y metodologías.6.2 Control de las frecuencias naturales.6.3 Introducción de amortiguamiento.6.4 Aislamiento de vibraciones: Transmisibilidad.

6.4.1 Reducción de la fuerza transmitida a la base.6.4.2 Reducción de la fuerza transmitida por la base al sistema.6.4.3 Consideraciones prácticas sobre la transmisibilidad.

6.5 Aislamiento de impactos.6.6 Absorbedores dinámicos de vibraciones.

6.6.1 Absorbedor dinámico de vibraciones sin amortiguamiento.6.6.2 Absorbedor dinámico de vibraciones con amortiguamiento.




7. NORMATIVA SOBRE VIBRACIONES7.1 Introducción.7.2 Tipos de normas.7.3 Tipos de maquinaria.7.4 Normas sobre la instrumentación y sistemas de medida.7.5 Normas y guías sobre la severidad de las vibraciones.

7.5.1 Carta de Rathbone.7.5.2 Normas ISO.

7.6 Normativa de carácter nacional.

8. VIBRACIONES EN MÁQUINAS. MANTENIMIENTOPREDICTIVO

8.1 Análisis de vibraciones para el mantenimiento predictivo.8.2 Causas de las vibraciones en las máquinas.8.3 Parámetros para la monitorización de maquinaria de producción.

8.3.1 Máquinas rotativas.8.3.2 Máquinas con movimiento alternativo.8.3.3 Máquinas con movimiento lineal.

8.4 Dinámica de máquinas.8.4.1 Cojinetes.

8.4.1.1 Rodamientos.8.4.1.2 Cojinetes de casquillo

8.4.2 Engranajes.8.4.3 Alabes y palas.8.4.4 Correas de transmisión8.4.5 Velocidades de funcionamiento: nominales y críticas.

8.5 Causas más comunes de fallo.8.5.1 Desequilibrado.8.5.2 Desalineamiento.8.5.3 Falta de apriete en elementos de unión.8.5.4 Desgaste mecánico.

8.6 Causas más comunes de avería en máquinas de producción8.6.1 Motores eléctricos.




8.6.2 Cajas de cambio.8.6.3 Ventiladores y soplantes.8.6.4 Compresores.8.6.5 Bombas.8.6.6 Líneas de proceso continuo.

9. BIBLIOGRAFÍA9.1 Teoría de vibraciones mecánicas.9.2 Teoría y práctica del Análisis Modal.9.3 Mantenimiento predictivo

A. ANEXO: ANÁLISIS DE FOURIERA.1 Introducción.A.2 Series de Fourier.

A.2.1 Forma exponencial compleja de la Serie de Fourier.A.2.2 Valor cuadrático medio de una señal periódica.A.2.3 Respuesta de un sistema de 1 gdl ante una fuerza periódica.

A.3 Integral de Fourier.A.3.1 Simetría de la Transformada de Fourier.A.1.2 Transformada de Fourier de una función periódica.A.3.3 Teorema de Convolución.A.3.4 Convolución con la función impulso δ(t-a).A.3.5 Ejemplos y tabla de Transformadas de Fourier.

A.3.5.1 Ejemplo 1: TDF de una función constante.A.3.5.2 Ejemplo 1: TDF de un pulso rectangular.A.1.1.3 Ejemplo 1: TDF de un tren de impulsos.

A.3.6 Transformada de Fourier Finita (TDFF).A.3.7 Densidad espectral.A.3.8 Respuesta de un sistema de 1 gdl ante una fuerza cualquiera por el método

de la TDF.A.4 Transformada de Fourier discreta (TDFD).

A.4.1 Concepto de TDFDA.4.2 Propiedades de la TDFD.A.4.3 Teorema de la Convolución discreta.




A.4.4 Errores de la TDFD.A.4.4.1 Aliasing.A.4.4.2 Leakage.

A.5 Transformada Rápida de Fourier (FFT).

DDEEPPAARRTTAAMMEENNTTOO DDEEIINNGGEENNIIEERRÍÍAA MMEECCÁÁNNIICCAA,,EENNEERRGGÉÉTTIICCAAYY DDEE MMAATTEERRIIAALLEESS TEMA 1 – INTRODUCCIÓN



Introducción




1.1 IntroducciónLa experiencia demuestra que el comportamiento de un sistema mecánico es muydiferente cuando los esfuerzos aplicados varían con el tiempo que cuando no lo hacen,aunque el orden de magnitud de dichos esfuerzos sea similar.En los métodos de análisis que se podría llamar "tradicionales" se ignora este caráctervariable de los esfuerzos y se realiza un cálculo estático, afectando a la magnitud de losesfuerzos o a la tensión admisible del material con el correspondiente coeficiente deseguridad. Cuando el carácter variable o "dinámico" de las cargas es importante, o cuandohay fenómenos tales como choques, estos coeficientes de seguridad tienen valores muyelevados - hasta 10 ó 15 - en previsión de lo que pudiera suceder.Si el sistema mecánico que se trata de diseñar es de cierto compromiso, eldesconocimiento de la seguridad real que el método de cálculo utilizado comporta, obliga aconstruir un prototipo o un modelo a escala y realizar ensayos que simulen las condicionesreales de funcionamiento. Estos ensayos determinan modificaciones en el diseño inicialtanto más profundas y costosas cuanto menos racionalmente haya sido realizado eldiseño. El proceso se prolonga con sucesivas modificaciones y ensayos tanto másnumerosos cuanto más a ciegas, y por tanto con menos acierto, se realizan dichasmodificaciones.La aparición de las computadoras y el avance de los métodos teóricos de análisis, hanvenido a modificar substancialmente esta situación. En la actualidad, es posible prever lascaracterísticas y el comportamiento dinámico de un sistema con gran precisión, a pesar dela enorme complejidad de las ecuaciones diferenciales que gobiernan el problemadinámico. Aunque dichas ecuaciones se conocen hace más de siglo y medio, sólo unospocos casos muy sencillos y de limitada relevancia práctica han sido susceptibles derecibir solución analítica. Los métodos numéricos, utilizados conjuntamente con lascomputadoras, han permitido obtener - con más o menos esfuerzo - soluciones a todo tipode problemas.Se van a analizar, a continuación, las vibraciones en sistemas mecánicos. Los objetivosprimarios serán: comprender su naturaleza, estudiar algunos casos sencillos, proporcionarla base necesaria para acometer el estudio de problemas prácticos más complicados, eintroducir los conceptos y magnitudes utilizados en los modernos equipos de medidasdinámicas.




1.2 Concepto de vibraciónLos términos movimiento, oscilación y vibración no son sinónimos. Toda vibración esuna oscilación y toda oscilación es un movimiento, pero esta afirmación no puede hacerseen sentido inverso. Así, una rueda se mueve pero no oscila, y un péndulo simple oscilapero no vibra.La diferencia específica que delimita el significado del concepto de vibración puede serencontrada haciendo intervenir el concepto de energía. Tanto las oscilaciones como lasvibraciones se prolongan en el tiempo mediante un proceso de conversión entre distintostipos de energía. Así, en el péndulo simple los tipos de energía que intervienen son laenergía cinética y la energía potencial gravitatoria. Pues bien, para que se pueda hablar devibración de un sistema mecánico es necesario que aparezca un tipo de energía especial:la ENERGÍA de DEFORMACIÓN o la ENERGÍA POTENCIAL ELÁSTICA (oelastoplástica).Existen o pueden existir PROBLEMAS DE VIBRACIONES allí donde se presentenesfuerzos variables con el tiempo, o bien aportaciones de energía que puedan dar lugar afenómenos de vibraciones autoexcitadas. En cualquier caso, la resolución del problemacomporta la disminución - en la medida de lo posible - de los esfuerzos dinámicos, y unadecuado diseño para dar suficiente rigidez dinámica al sistema mecánico estudiado.




1.3 Concepto de gdl:sistemas continuos y

discretosSe llaman GRADOS DE LIBERTAD (gdl) o coordenadas generalizadas de un sistemamecánico a los parámetros independientes que definen la posición y la configuracióndeformada de dicho sistema.En algunos sistemas (Figura 1), los grados de libertad vienen determinados por la propiaconfiguración del sistema. Si el sistema tiene masas concentradas, las posiciones de cadauna de las masas son los grados de libertad del problema. En sistemas o estructurasformados por barras esbeltas de nudos articulados o nudos rígidos, es habitual tomar losdesplazamientos (y los giros, en el caso de nudos rígidos) de los nudos como grados delibertad del problema.

Figura 1En un medio continuo (Figura 2), esimposible especificar su posición o suconfiguración deformada con un númerofinito de grados de libertad. En este caso,son posibles infinitos modos independientesde deformarse y para que una configuracióndeformada quede definida hay queespecificar la posición de cada punto, lo queexige infinitos parámetros independientes. Figura 2




Se llama SISTEMA DISCRETO a aquél cuya posición deformada puede determinarsemediante un número finito de grados de libertad, y SISTEMA CONTINUO cuando estenúmero es infinito. En la práctica, en la mayor parte de las ocasiones hay que conformarsecon una solución aproximada, que se obtiene resolviendo un modelo matemáticodiscretizado del sistema real (Figura 3), con un número finito de grados de libertad. Estoes discretizar un problema continuo: establecer un modelo matemático en el que el númerode grados de libertad sea finito y por tanto resoluble con la ayuda de un computador.

Figura 3.a – Suspensión. Sistema real Figura 3.b – Modelo matemático discretizado




1.4 Modelización de unsistema mecánico

Cuando se desea analizar un sistema real, lo primero que debe hacerse es determinar unmodelo matemático de dicho sistema en el que queden recogidas las características opropiedades físicas del modelo real. Estas propiedades reciben el nombre de parámetros.Parámetros de un sistema mecánico son: la RIGIDEZ (k), la MASA (m) y elAMORTIGUAMIENTO (c); relacionados con los tres tipos de fuerzas más característicasde los problemas de vibraciones: las fuerzas elásticas, las fuerzas de inercia y las fuerzasde disipación de energía, respectivamente.La rigidez, la masa y el amortiguamiento deben ser datos en un problema de análisisteórico de vibraciones. Ordinariamente, se supondrá que no varían ni con el tiempo ni conla deformación del sistema. En un problema experimental, la medición de estos parámetrospuede ser precisamente el objetivo del estudio.Los sistemas físicos reales son siempre de parámetros continuos. No se concibe unelemento o parte de elemento de una máquina sin masa, o que se deforme sin laaplicación de ninguna fuerza. Sin embargo, en muchas ocasiones, pueden obtenersemodelos matemáticos de una aproximación razonable y mucho más fáciles de analizar,concentrando en determinados elementos o puntos las distintas características delsistema.Por ejemplo, atribuyendo a resortesideales toda la capacidad deabsorción de energía elástica, amasas indeformables toda la energíacinética, y a amortiguadores viscosostoda la capacidad de disipación deenergía (Fig. 4). Estos modelosmatemáticos tienen un número finitode gdl (sistemas discretos) y sellaman sistemas discretos deparámetros concentrados.

Figura 4 – Modelo de 4 gdl de la suspensión de unautomóvil




Existen también - y presentan un considerable interés práctico - modelos discretos quetienen sus parámetros distribuidos, es decir, son modelos en los que cada uno de loselementos tiene masa, se deforma y disipa energía. Los sistemas discretos deparámetros distribuidos permiten analizar modelos matemáticos (Figura 5) mucho másaproximados al sistema físico real que los de parámetros concentrados. El Método de losElementos Finitos (M.E.F.), una potente herramienta existente para el análisis de éstos yotros muchos problemas, no es en el fondo más que un método de discretización quepermite reducir un sistema continuo a un modelo discreto de parámetros distribuidos.

Figura 5 – Modelización por Elementos Finitos




1.5 Sistemas lineales ysistemas no lineales

Se puede definir un sistema lineal como aquél en el que se cumple el Principio deSuperposición. Un primer y quizá poco académico enunciado de dicho Principio podríaser el siguiente: "un sistema cumple el Principio de Superposición si su respuesta ante unconjunto de solicitaciones es la suma de las respuestas a cada una de las solicitacionespor separado".Cuando el tiempo interviene como variable independiente del problema, como sucede enlas vibraciones y en la dinámica de sistemas, se podría establecer el siguiente enunciadopara el Principio de Superposición: "se dice que un sistema dinámico cumple el Principiode Superposición y que por lo tanto es lineal si dadas dos entradas x1(t) y x2(t) y susrespuestas correspondientes y1(t) e y2(t), la respuesta a una entrada Ax1(t+t1) + Bx2(t+t2)es precisamente Ay1(t+t1) + By2(t+t2), siendo A, B, t1 y t2 cuatro constantes cualesquiera".En la práctica, ¿cuándo un sistema es lineal y cuándo no lo es? En sentido estricto, casipuede decirse que los sistemas lineales no existen, pero también es verdad que la granmayoría de los sistemas reales presentan un comportamiento muy aproximadamente linealpara un amplio rango de sus variables dependientes. Como el estudio de los sistemas nolineales presenta considerables dificultades (precisamente por la imposibilidad de aplicar elPrincipio de Superposición), lo que puede hacerse casi siempre que no hay poderosasrazones que obliguen a actuar de modo contrario, es suponer un comportamiento lineal, yen esta hipótesis realizar los cálculos. En la mayor parte de los casos el error cometidoserá despreciable.Tres son las fuentes principales de no-linealidad:

grandes deformaciones: cuando los desplazamientos son grandes, las ecuacionesde equilibrio no se pueden plantear sobre la geometría inicial del problema,conocida, sino sobre la final. Además, en las relaciones entre deformación unitaria ydesplazamiento deben retenerse los términos cuadráticos, resultando relacionesasimismo no lineales.

determinados tipos de rozamiento o amortiguamiento: el ejemplo más claro deno linealidad de esta clase es el rozamiento de Coulomb o rozamiento seco, unejemplo particularmente sencillo de no cumplimiento del Principio de Superposición.




no-linealidad en las ecuaciones constitutivas del material: algunos materialescomo el acero, presentan esta no-linealidad sólo para valores grandes de losesfuerzos. La plasticidad es un caso típico de no-linealidad.

A lo largo de este curso se hará referencia casi exclusiva a los sistemas lineales. Estahipótesis de linealidad implica que la rigidez, la masa y el amortiguamiento del sistema nodependen de los desplazamientos o deformaciones, y tampoco de sus derivadas respectoal tiempo.




1.6 Sistemas definidos ysistemas semidefinidos

En la mayor parte de los casos, los desplazamientos son las incógnitas primarias delproblema. Otras funciones incógnita tales como las deformaciones unitarias y lastensiones, pueden obtenerse a partir de ellas por derivación y multiplicación por lasconstantes propias del material.Siempre que en un sistema mecánico haya velocidad distinta de cero habrá energíacinética mayor que cero. Sin embargo, no es cierto que siempre que haya desplazamientosdistintos de cero haya energía potencial elástica positiva. Hay muchos sistemas mecánicos- aviones, automóviles, etc. - que tienen posibilidad de movimiento de sólido rígido. Talesdesplazamientos no producen deformaciones ni tensiones ni, por consiguiente, energíaelástica. Otros sistemas mecánicos, por ejemplo una torre convenientemente anclada ensus cimientos, no pueden moverse sin deformarse. Estos últimos sistemas se llamansistemas definidos y aquéllos, sistemas semidefinidos.




1.7 Vibraciones libres yvibraciones forzadas

Las vibraciones se pueden definir como un caso particular de la dinámica de sistemasmecánicos en el que hay intercambio de energía elástica y una oscilación alrededor de unaposición de equilibrio. Se sabe, por experiencia, que si se saca un sistema de su posiciónde equilibrio y se suelta, comienza a vibrar con una amplitud que se va amortiguando máso menos rápidamente (según el sistema disponga de mayor o menor facilidad para disiparenergía). A estas vibraciones que tienen lugar en un sistema en ausencia de fuerzasexteriores y son debidas únicamente a unas determinadas condiciones iniciales develocidad y/o desplazamiento, se les conoce como VIBRACIONES LIBRES.Por el contrario, las vibraciones que tienen lugar en presencia de fuerzas variables con eltiempo, reciben el nombre de VIBRACIONES FORZADAS; y se pueden clasificar según lavariación en el tiempo de las fuerzas excitadoras:

excitaciones armónicas (varían sinusoidalmente), excitaciones periódicas (repiten valores cada cierto tiempo), impulsos o choques (fuerzas de una gran intensidad que actúan durante tiempos

infinitesimales), fuerzas que varían de un modo arbitrario con el tiempo. Contemplan el caso más

general. Comprenden, por ejemplo, las cargas móviles que se desplazan sobre elsistema, o las excitaciones armónicas de frecuencia variable, problema que aparececon cierta frecuencia en máquinas.

Las deformaciones estáticas no varían con el tiempo. Las dinámicas, evidentemente, sí.Pero, dentro de esta carácter variable con el tiempo que por naturaleza tienen las variablesdinámicas, hay una división importante:

Se dice que un sistema dinámico está en RÉGIMEN ESTACIONARIO cuando suvariación con el tiempo reviste un carácter periódico. Forma parte esencial delcarácter de periodicidad de un fenómeno el que todas las variables del problemarepiten valores cada T segundos. A T se le llama período.




Cuando la dependencia temporal de las variables del problema es arbitraria ocarece del carácter periódico se dice que el sistema está en RÉGIMENTRANSITORIO.

Hasta ahora se ha supuesto que las fuerzas aplicadas eran perfectamente conocidas.Cuando sucede así o, mejor dicho, cuando se supone que sucede así, se dice que se estáen un caso de VIBRACIONES DETERMINISTAS.Sin embargo, no es esa la situación real ordinaria: los esfuerzos a que se ve sometida lasuspensión de un automóvil por una mala carretera, los que sufre el ala de un avión alatravesar una tormenta, aquellos que padece un edificio bajo la acción del viento, o, engeneral, los que aparecen en el funcionamiento normal de una máquina, de ningún modopuede suponerse que son conocidos. Realmente, en estos y otros casos semejantes, atodo lo que se puede aspirar es a conocer algunos valores estadísticos de los esfuerzosaplicados, tales como su valor medio, su varianza, su composición en frecuencia, etc. Lateoría de las VIBRACIONES ALEATORIAS estudia estos casos y consigue relacionar losvalores estadísticos de la respuesta con los valores estadísticos de la excitación, prestandofundamento teórico a muchos de los modernos métodos de medida experimental demagnitudes dinámicas.




1.8 Planteamiento de lasecuaciones del sistema

Los métodos que pueden aplicarse para plantear las ecuaciones de la dinámica delsistema, son los mismos que se utilizan para llegar a las del sólido rígido:

Ecuaciones de Newton. Debe aplicarse la segunda ley de Newton, igualando,según cada grado de libertad, la suma de las fuerzas exteriores al producto de lamasa por la aceleración.

Principio de D´Alembert. Puede verse como una variante de las ecuaciones deNewton o como un método diferente. Básicamente consiste en introducir las fuerzasde inercia e imponer la condición de equilibrio.

Método de los Trabajos Virtuales. El trabajo de las fuerzas exteriores en unpequeño desplazamiento virtual de las coordenadas del sistema es igual alincremento de energía potencial elástica producido por dicho desplazamiento.Este desplazamiento virtual debe cumplir las condiciones de ser pequeño, para queno varíe la magnitud de las fuerzas y la geometría del sistema, y compatible con lasligaduras cinemáticas de dicho sistema. A veces, es más cómodo utilizarvelocidades que desplazamientos y, entonces, en lugar de hablar del Método de losTrabajos Virtuales se habla del Método de las Potencias Virtuales.

Ecuaciones de Lagrange. Son el punto de partida de la Mecánica Analítica. Seestablece una ecuación por cada grado de libertad o coordenada generalizada:

n,,3,2,1iQqL

qL

dtd

iii

==∂∂−

∂∂

L=T-U es la función Lagrangiana, igual a la diferencia entre la energía cinética y laenergía potencial, y Qi es la fuerza generalizada según el gdl i.

Principio de Hamilton. Es un principio variacional, y establece que de todas lasposibles formas de evolucionar el sistema entre dos instantes de tiempo t1 y t2, laque verdaderamente se produce es la que hace mínima la integral respecto altiempo de la función Lagrangiana.

2

1

t

tLdt

DDEEPPAARRTTAAMMEENNTTOO DDEEIINNGGEENNIIEERRÍÍAA MMEECCÁÁNNIICCAA,,EENNEERRGGÉÉTTIICCAAYY DDEE MMAATTEERRIIAALLEESS TEMA 2 – NOTACIÓN Y DEFINICIONES



Notación yDefiniciones




ABSORBEDOR DINÁMICO DE VIBRACIONES o AMORTIGUADOR DINÁMICO:se trata de un sistema mecánico masa-resorte(-amortiguador) que se añade alsistema a estudio, diseñándolo de tal forma que las frecuencias naturales delsistema resultante se encuentren alejadas de la frecuencia de excitación. Laselección de la masa m2 y la rigidez k2 del absorbedor se realiza de forma que:

11222 mkmk ==ω

siendo ω la frecuencia de excitación que coincide, o casi, con la frecuencia naturaldel sistema original: 11

2 mk=ω

AMORTIGUAMIENTO CRÍTICO: parámetro intrínseco de un sistema de un gradode libertad amortiguado. Su valor es: ω= m2c , siendo m la masa del sistema y ωsu frecuencia natural.

AMORTIGUAMIENTO PROPORCIONAL: se denomina así a aquella hipótesis demodelización del amortiguamiento que permite desacoplar las ecuaciones delmovimiento de sistemas de N gdl. En tal caso, la matriz [C] debe poder serdiagonalizada junto con [K] y [M]. Por ello, en la expresión que se adopte para [C]deberán intervenir [K] y [M]. Así, [C] será diagonalizable cuando pueda serexpresada como combinación lineal de las matrices de rigidez e inercia:

[ ] [ ] [ ]KMC 10 ⋅α+⋅α=

AMORTIGUAMIENTO RELATIVO o RELACIÓN DE AMORTIGUAMIENTO:relación de amortiguamiento (ξ) de un sistema es el cociente entre elamortiguamiento del sistema c y el valor de su amortiguamiento crítico ( c ):

ω==ξ

m2c

cc

ANÁLISIS MODAL: es el proceso de determinación de las características dinámicasinherentes a un sistema mecánico y necesarias para la posterior formulación de unmodelo matemático del comportamiento dinámico de dicho sistema. Estamodelización dinámica se lleva a cabo en base a los parámetros modales(frecuencias naturales, modos naturales de vibración y relaciones deamortiguamiento) propios del sistema, y que dependen de la distribución de suscaracterísticas de masa, rigidez y amortiguamiento.

ANTIRESONANCIA: fenómeno que tiene lugar cuando la amplitud de vibración dela máquina o sistema mecánico es cero.




COORDENADAS NATURALES: Es el sistema de coordenadas resultante deaplicar al sistema mecánico a estudio un cambio de coordenadas basado en lamatriz de modos [ ]X :

[ ] x~Xx ⋅=

En estas nuevas coordenadas x~ , el sistema de N ecuaciones diferenciales con Nincógnitas se desacopla y transforma en N ecuaciones de una sola incógnita; esdecir, en N problemas de 1 gdl.

DESALINEAMIENTO: El desalineamiento es una de las principales causas deavería en las máquinas. Se suele hablar de desalineamiento en los casos de ejesde una máquina unidos entre sí mediante un acoplamiento, pudiendo presentarsecuando los ejes la máquina son paralelos entre sí estando en el mismo plano(desalineamiento paralelo) o cuando los ejes no son paralelos entre sí(desalineamiento angular).

DESEQUILIBRIO: El desequilibrio constituye la principal causa de avería de tipomecánico en máquinas rotativas. Este fenómeno es debido a la distribución nouniforme de masas sometidas a rotación.

DESGASTE: El desgaste mecánico constituye otra de las causas frecuentes deavería en elementos de máquinas debiéndose a la fricción existente entre diversaspartes de los componentes de las máquinas, como por ejemplo entre el eje y elmetal de un casquillo antifricción de un cojinete, o entre una parte del rotor y lacarcasa de un motor eléctrico.

DESPLAZAMIENTO ESTÁTICO: es el desplazamiento que tendría lugar en unsistema de un grado de libertad de rigidez k y sometido a la acción de una carga f0aplicada estáticamente (frecuencia de excitación ω = 0). Su valor es: f0/k.

EXCITACIÓN SÍSMICA: se dice que se está ante un caso de excitación sísmicacuando las vibraciones de un sistema mecánico analizado no vienen generadas porla aplicación externa de unas cargas exteriores que sean función conocida deltiempo, sino por unos movimientos conocidos (al menos hasta cierto punto) delsoporte o base sobre la que se encuentra el sistema. Los terremotos y latransmisión de vibraciones de sistema a otro, son ejemplos significativos de estetipo de solicitaciones.

FACTOR DE AMPLIFICACIÓN DINÁMICA (D): es la relación existente entre laamplitud de las vibraciones de un sistema de un grado de libertad sometido a unaexcitación de tipo armónico y el desplazamiento estático (cuando la carga esaplicada estáticamente). El valor de D es:




( ) ( )222 21

1Dξβ+β−

=

FRECUENCIA DE ADQUISICIÓN DE DATOS: La frecuencia de adquisición dedatos viene dada por la necesidad de establecer una base de datos que de lugar alconocimiento tanto de las condiciones iniciales de funcionamiento de una máquina,como de la tendencia de las averías y tiempo estimado para que estas sepresenten. La frecuencia de adquisición de datos varía desde 2 hasta 10 semanaspor ciclo según el tipo de máquina.

FRECUENCIA DE EXCITACIÓN: Es la frecuencia (Hz) asociada a una acciónexterior actuante sobre el sistema mecánico a estudio y que varía armónicamenteen un problema de vibraciones forzadas debidas a una excitación armónica. Si ω esla frecuencia natural del sistema y ω la de excitación, a la relación entre ambasfrecuencias se le llama β: ωω=β .

FRECUENCIA NATURAL (frecuencia propia): En sistemas mecánicos de 1 gdl esla frecuencia del movimiento armónico que resulta al introducir un desplazamientoy/o una velocidad inicial a un sistema de un grado de libertad, que está en posiciónde equilibrio, y dejarlo vibrar libremente sin amortiguamiento (problema devibraciones libres no amortiguadas). Su valor es:

mk=ω (Hz)En sistemas con N grados de libertad, cada modo natural de vibración (vectorpropio) tendrá una frecuencia natural (valor propio) asociada que será la delmovimiento armónico resultante al desplazar los nudos del sistema respecto de suposición de equilibrio estático en la forma del modo natural correspondiente. Cadafrecuencia natural será el cociente entre la rigidez modal y la inercia modalcorrespondiente:

rr2r mk=ω

En cualquier caso, la o las frecuencias naturales constituyen un parámetro modalintrínseco al sistema y sólo dependerán de la rigidez (k) e inercia (m) del sistema (yde su distribución por el sistema en el caso del N gdl), pero no del tiempo ni de lascondiciones iniciales. Sean cuales sean estas condiciones iniciales, el sistemasiempre tendrá la misma o mismas frecuencia.

FRECUENCIA NATURAL AMORTIGUADA: frecuencia del movimiento armónicoque resulta al introducir un desplazamiento y/o una velocidad inicial a un sistema deun grado de libertad amortiguado, que está en posición de equilibrio, y dejarlo vibrarlibremente (problema de vibraciones libres amortiguadas). Su valor es:




2D 1 ξ−ω=ω (Hz)

No es la frecuencia natural, pero cabe esperar que sea muy parecida si la relaciónde amortiguamiento (ξ) es pequeña.

FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA (función compleja de respuesta en frecuencia):dado un sistema de 1 grado de libertad sometido a una excitación armónica:

( ) ti0eftf ω=

la Función de Transferencia - ( )ωH - es aquella función, tal que la respuesta delsistema ante dicha solicitación puede expresarse:

( ) ( ) ti0efHtx ωω=

El valor de ( )ωH es:

( )i21

k1H 2 ξβ+β−=ω

GRADOS DE LIBERTAD (GDL): o coordenadas generalizadas de un sistemamecánico son los parámetros independientes que definen la posición y laconfiguración deformada de dicho sistema.

INERCIA MODAL (mr): escalar asociado al modo natural de vibración “r” y obtenidodel triple producto [ ] rsr

rTs mXMX δ= .

MATRIZ DE AMORTIGUAMIENTO [C]: Está constituida por los coeficientes deamortiguamiento cij: fuerza que hay que aplicar según el grado de libertad i paraque aparezca una velocidad unidad según el grado de libertad j y cero según todoslos demás grados de libertad.

MATRIZ DE INERCIA [M]: Está constituida por los coeficientes de inercia mij:fuerza que hay que aplicar según el grado de libertad i para producir unaaceleración unidad según el grado de libertad j y cero según todos los demásgrados de libertad.

MATRIZ DE MODOS [ ]X : matriz cuyos vectores columnas son los modos naturalesde vibración. En virtud de las propiedades de ortogonalidad de los modos, secumple que:

[ ] rsrrTs mXMX δ= y [ ] rsr

rTs kXKX δ=

donde mr, y kr, son las llamadas inercia y rigidez modal.




Si los modos se dicen normalizados con respecto a la matriz de inercia, elloequivale a escalar los modos haciendo que mr = 1 para todos ellos. En tal caso, lacondición de ortogonalidad asociada a la matriz de rigidez tomará la forma:

[ ] rs2r

rTs XKX δω=

MATRIZ DE RIGIDEZ [K]: Está constituida por los coeficientes de rigidez kij:fuerza que hay que aplicar según el grado de libertad i para producir undesplazamiento unidad según el grado de libertad j, y cero según todos los demásgrados de libertad.

MATRIZ DE TRANSFERENCIA [H(ωωωω)]: Es una matriz que juega en los sistemascon N grados de libertad el mismo papel que la función de transferencia juega enlos sistemas con 1 grado de libertad: la respuesta de un sistema con N grados delibertad ante una excitación armónica se obtiene multiplicando el vector deamplitudes de las fuerzas excitadoras por la matriz de transferencia:

( ) ( )[ ] ti0

ti efHeXtx ωω ⋅⋅ω=⋅=

Si las fuerzas de excitación f(t) no son armónicas, pero admiten transformada deFourier (TDF), el vector f(t) podrá expresarse como suma de infinitas componentesarmónicas de frecuencias distintas, y la matriz de transferencia [H(ω)] relacionarádirectamente la TDF de la excitación y de la respuesta:

( ) ( )[ ] ( ) ω⋅ω=ω FHX

La matriz de transferencia puede expresarse en función de los modos y frecuenciasde vibración (en el caso en que no exista amortiguamiento) en la forma:

( )[ ] =

ωω−

⋅=ωn

1r2r

2r

Trr

1k

XXH

MODO NATURAL DE VIBRACIÓN: Los modos naturales de vibración de unsistema mecánico no son otra cosa sino los posibles movimientos armónicos quepueden tener lugar en el sistema en condiciones de excitación nula. Habrá tantosmodos naturales como grados de libertad tenga el sistema. Al tratarse de unproblema de vibraciones libres, vendrán dados (cuando no haya amortiguamiento)por la resolución del sistema de ecuaciones:

[ ] [ ]( ) 0XKM2 =⋅+ω−




problema de valores y vectores propios generalizado en el que los vectores propiosson los modos naturales.Cada modo (vector propio) establece la relación existente entre las amplitudes delos movimientos armónicos síncronos (cuando no se considera la presencia deamortiguamiento) de los diferentes grados de libertad del sistema.Si se desplaza el sistema respecto de su posición de equilibrio estático en la formade un modo natural o vector propio iX , el sistema comienza a oscilararmónicamente alrededor de dicha posición de equilibrio, siendo la posiciónadoptada por el sistema en cualquier instante de tiempo el resultado de multiplicarel modo natural correspondiente por un determinado valor escalar. Estasoscilaciones se producen a la frecuencia natural (ωi) asociada ese modo.

MOVIMIENTO ARMÓNICO SÍNCRONO: movimiento que tiene lugar en un sistemaconstituido por dos o más masas y caracterizado por que todas ellas vibran, enfase, con la misma frecuencia.

NORMALIZAR LOS MODOS: Como las amplitudes de un modo natural devibración no están determinadas más que en la relación existente entre ellas, esuna práctica habitual normalizarlos con respecto a la matriz de inercia haciendo quela inercia modal sea igual a la unidad para todos ellos de forma que se cumpla:

[ ] 1XMX jTj =⋅⋅ j = 1, …, N

NUDOS: conjunto de puntos empleados para llevar a cabo la discretización de unsistema continuo. Los grados de libertad que se consideren en esos puntos(habitualmente los desplazamientos) serán los grados de libertad del problema. Unsistema con N gdl es aquél que precisa de N parámetros o coordenadas para quesu posición y configuración deformada quede definida. La hipótesis dediscretización realizada para pasar del sistema continuo a uno de N gdl implica queel desplazamiento de un punto cualquiera puede ser calculado a partir de losdesplazamientos de dichos nudos.

RÉGIMEN ESTACIONARIO: un sistema dinámico se dice que está en régimenestacionario cuando su variación con el tiempo reviste un carácter periódico. Todaslas variables que caracterizan el problema repiten valores cada T segundos(T=periodo).

RÉGIMEN TRANSITORIO: un sistema dinámico se dice que está en régimentransitorio cuando la dependencia temporal de las variables del problema esarbitraria o carece del carácter periódico.




RESONANCIA: se dice que un sistema está en condición de resonancia o que tienelugar un fenómeno de resonancia, cuando la frecuencia de la excitación que actúasobre el mismo ( ω ) coincide con alguna de sus frecuencias naturales (ω). Es decir,en el caso de sistemas con 1 gdl, en la resonancia β=1. Para frecuencias deexcitación próximas a alguna frecuencia natural, la amplitud del desplazamientoresultante puede ser varias veces el desplazamiento estático que se obtendríaaplicando estáticamente una fuerza de la misma amplitud. Así mismo, en laresonancia, el desfase de la respuesta del sistema respecto a la excitación essiempre de 90º (independientemente del valor del amortiguamiento relativo ξ).

RIGIDEZ MODAL (kr): escalar asociado al modo natural de vibración “r” y obtenidodel triple producto [ ] rsr

rTs kXKX δ= .

SISTEMA CONTINUO: sistema mecánico que precisa de un número infinito degrados de libertad para determinar su posición deformada.

SISTEMA DISCRETO: sistema mecánico cuya posición deformada puededeterminarse mediante un número finito de grados de libertad.

TRANSMISIBILIDAD (Tr): puede definirse como el cociente entre la amplitud de lafuerza transmitida por un sistema y la de la fuerza de excitación que se introduce enel mismo.Al analizar el problema de la transmisión de vibraciones de un sistema mecánico asu base o soporte, se define el concepto de transmisibilidad como la relación entreel módulo de la fuerza transmitida al soporte Ft y el módulo de la fuerza excitadoraf0. Recordando la definición del Factor de Amplificación Dinámica (D):

( )2

0

tr 21D

fFT ξβ+==

Al analizar el problema de la transmisión de vibraciones de una base o soporte a susistema mecánico, se define el concepto de transmisibilidad como la relación entrela amplitud del desplazamiento del sistema de masa m y la del desplazamiento de labase. La expresión correspondiente en este caso para Tr sigue siendo la misma.

VIBRACIONES ALEATORIAS: vibraciones que tienen lugar debido a la aplicaciónsobre el sistema de unos esfuerzos exteriores de los que, como mucho, todo lo quese puede aspirar a conocer es algunos valores estadísticos tales como su valormedio, su varianza, su composición en frecuencia, etc.

VIBRACIONES DETERMINISTAS: vibraciones que tienen lugar debido a laaplicación sobre el sistema de unos esfuerzos exteriores conocidos.




VIBRACIONES FORZADAS: vibraciones que tienen lugar debido a la presencia defuerzas exteriores variables con el tiempo actuando sobre el sistema - f(t) ≠ 0 -.

VIBRACIONES LIBRES: vibraciones que tienen lugar en ausencia de fuerzasexteriores - f(t) = 0 - y sólo son debidas a unas determinadas condiciones inicialesde desplazamiento y/o velocidad - ( ) ( )0000 txx,txx == -.

DDEEPPAARRTTAAMMEENNTTOO DDEEIINNGGEENNIIEERRÍÍAA MMEECCÁÁNNIICCAA,,EENNEERRGGÉÉTTIICCAAYY DDEE MMAATTEERRIIAALLEESS TEMA 3 – SISTEMAS DE 1 GRADO DE LIBERTAD



Sistemas de1 Grado deLibertad




3.1 IntroducciónSe estudian aquí las vibraciones de sistemas con un grado de libertad, al tiempo que seintroducen algunos conceptos importantes a los que se hará referencia posteriormente. Lossistemas con un grado de libertad (1 gdl) tienen una excepcional importancia en la Teoríade las Vibraciones porque:

Son los sistemas más sencillos, lo que hace pedagógicamente necesario comenzarpor su estudio.

Muchos problemas prácticos pueden ser suficientemente aproximados por sistemascon 1 gdl (Fig. 6).

Muchas de las propiedades de estos sistemas se presentan también en sistemascon más grados de libertad.

Mediante la técnica del "análisis modal" los sistemas lineales con n gdl puedenresolverse superponiendo n sistemas con 1 gdl.

Figura 6.a – Farola modelizada como un sistema de 1 gdl

Figura 6.b – Suspensión de una motocicleta modelizada como un sistema de 1 gdl




3.2 Componentes delsistema discreto básico

de 1 gdlSe conoce como sistema discreto básico de un grado de libertad al sistema de parámetrosconcentrados que puede observarse en la Figura 7.La energía cinética del sistema sealmacena en la masa indeformablem, la energía potencial elástica en elresorte sin masa de constante k, y lacapacidad de disipación de energíaen el amortiguador viscoso que semueve con velocidad proporcional ala fuerza, con constante deproporcionalidad c. Figura 7 – Sistema discreto básico de 1 gdl

El sistema queda totalmente definidomediante la coordenada x (Figura 7).Para que el sistema sea lineal losparámetros k, m, y c deben serconstantes y no depender de lavariable x. Las fuerzas presentes sinla acción de una acción exterior sonlas de la Figura 8. Figura 8 – Fuerzas actuantesSi se aplica una fuerza f(t) sobre la masa m, en la dirección positiva de x, la ecuación delmovimiento del sistema discreto básico, común a todos los sistemas lineales con 1 gdl,puede establecerse aplicando D’Alembert, introduciendo la fuerza de inercia, yestableciendo el equilibrio de fuerzas en la dirección x:

( ) ( ) ( )tfkxtxctxm =++




3.3 Vibraciones libres ensistemas de 1 gdl

Todos los sistemas lineales con 1gdl conducen a la ecuación diferencial ordinaria de orden2 vista en el apartado anterior: ( ) ( ) ( ) ( )tftkxtxctxm =++

Cuando se trata de un caso de vibraciones libres, en las que no existen accionesexteriores sobre el sistema, f(t) = 0, y sí unas condiciones iniciales distintas de la trivialnula, ( ) ( )0000 txx,txx == , se buscan soluciones en la forma: x(t) = Cest

Derivando y sustituyendo en la ecuación diferencial resulta:C(ms2 + cs + k) est = 0

La expresión x(t) = Cest representará una solución para todos aquellos valores de s quesatisfagan la ecuación anterior. Estos valores son las raíces de la ecuación característicams2 + cs + k = 0:

( ) mk

m2c

m2cs

2−±−=

VIBRACIONES LIBRES NO AMORTIGUADAS

Como k/m es una constante positiva, podemos hacer mk2 =ω y en la ecuacióncaracterística resultan para s los valores:

is 2 ω±=ω−±=

En tal caso, la solución general de la ecuación diferencial vendrá dada por la expresión:

x(t) = C1eiωt + C2e-iωt

donde C1 y C2 son constantes que pueden ser reales o complejas.

Teniendo en cuenta la relación de Euler (e±iωt = cosωt ± isenωt), la solución general puedeponerse en la forma:

x(t) = A·cosωt + B·senωt




Y haciendo A=X·cosθ, B=X·senθ:

( ) ( )θ−ω= tcosXtx

Las constantes A, B, X y θ son siempre reales y serán determinadas con ayuda de lascondiciones iniciales. Por ejemplo, para determinar A y B:

( ) 00 xA0.B1.Ax0x =+==

( ) ω=ω+ω−== 00 xB1..B0..Ax0x

Luego la solución del problema será:

( ) tsenxtcosxtx 00 ω

ω+ω=

y determinando X y θ a partir de A y B,

( )

ω−ω

ω+=

0

02

202

0 xxarctgtcosxxtx

La solución de las vibracioneslibres no amortiguadas es (Figura9) una función armónica defrecuencia mk=ω , quedepende sólo de los parámetrosfísicos del problema k y m, perono del tiempo ni de lascondiciones iniciales.

Figura 9 – Vibraciones libres no amortiguadas:Respuesta armónica

El sistema siempre vibrará en la misma frecuencia, que por esta razón se denominaFRECUENCIA PROPIA o NATURAL.

VIBRACIONES LIBRES CON AMORTIGUAMIENTO VISCOSO

Volviendo a la expresión ( ) mk

m2c

m2cs

2−±−= , las dos raíces pueden ser reales y

distintas, reales e iguales, o complejas conjugadas, según el signo del radicando. El casolímite es aquél en el que dicho radicando es cero. Entonces,

ω=ω== m2cmkm2c




A este valor del amortiguamiento ( c ) se le llama AMORTIGUAMIENTO CRÍTICO. Sedenomina AMORTIGUAMIENTO RELATIVO o RELACIÓN DE AMORTIGUAMIENTO ξξξξ deun sistema al cociente entre su amortiguamiento c y el amortiguamiento crítico c :

ω==ξ

m2c

cc

Utilizando la definición de ξ, resultará para los valores de s la expresión:1s 2222 −ξω±ξω−=ω−ωξ±ξω−=

Si ξξξξ<1 ( cc < ) se dice que se está en un caso de AMORTIGUAMIENTO SUBCRÍTICO (elradicando es negativo y las raíces son complejas conjugadas) y si ξξξξ>1 ( cc > ) en un casode amortiguamiento supercrítico (raíces reales y distintas):

Para amortiguamientocrítico (ξξξξ=1), resulta el casoen que s=-ω (raiz doble), conlo que la solución delproblema tiene la forma:

x(t) = (c1 + c2t)e-ωt

solución que no tiene carácteroscilatorio (Fig. 10) y nopresenta mayor interés para ladinámica de máquinas. Figura 10 – Respuestas no oscilatorias

Para amortiguamiento supercrítico (ξξξξ2>1), se podrá hacer 12 −ξω=ω , y lasolución general es:

( ) ( )tsenhBtcoshAetx t ω+ω= ξω−

que no es de tipo oscilatorio tampoco (Fig. 10) y, por lo tanto, tampoco interesa,pues se sabe que la mayor parte de los sistemas mecánicos oscilan al sacarlos desu posición de equilibrio.

Para amortiguamiento subcrítico (ξξξξ2<1), puede escribirse 21is ξ−ω±ξω−= y

haciendo 2D 1 ξ−ω=ω se obtiene para la solución general la expresión:

( ) ( )θ−ω= ξω− tcosXetx Dt




Es decir, la solución es (Figura11) una función armónica defrecuencia ωD (frecuencia devibración amortiguada), ycon amplitud que tiendeexponencialmente a cero. Lasconstantes X y θ se calculanconsiderando las condicionesiniciales:

Figura 11 – Amortiguamiento subcrítico.Respuesta armónica amortiguada

( )

ωξω+−ω

ωξω++= ξω−

D0

00D

t2

D

0020 x

xxarctgtcosexxxtx




3.4 Vibraciones forzadasen sistemas de 1 gdl

La cuestión de fondo que se plantea es cómo caracterizar o definir el comportamientodinámico de un sistema mecánico. Si no se tiene este problema resuelto, no será posiblecomprobar los resultados teóricos obtenidos sobre un modelo matemático, con resultadosexperimentales obtenidos sobre el modelo real.Lo ideal sería comprobar un modelo con las solicitaciones reales a que va a estarsometido. Sin embargo, en la mayoría de los casos esto no es posible por lo variables ycomplejas que pueden llegar a ser. Las condiciones que las solicitaciones de prueba ode test deben reunir son las de ser universales (servir para el mayor número y tipo posiblede sistemas), fáciles de realizar y de reproducir (en el laboratorio y sobre el papel) yrepresentativas del comportamiento dinámico del sistema en la práctica. Estascaracterísticas deseables conducen a los casos siguientes:

Respuesta a una excitación armónica: Las fuerzas que varían armónicamenteson fáciles de reproducir físicamente y de estudiar teóricamente. Además,estudiando la respuesta del sistema para toda una gama de frecuencias deexcitación, se tiene caracterizado su comportamiento dinámico.

Respuesta a una función impulso, a una función escalón y a una funciónrampa: Son las funciones más simples y relativamente fáciles de reproducir en unlaboratorio o taller. También caracterizan el comportamiento dinámico del sistematotalmente.

Respuesta a una excitación aleatoria: Incluyen a todas las anteriores.Las vibraciones forzadas están gobernadas por la ecuación diferencial:

( ) ( ) ( ) ( )tftkxtxctxm =++

La solución de esta ecuación diferencial se obtendrá sumando a la solución general de laecuación homogénea (problema ya resuelto en el apartado de vibraciones libres:

x(t) = X e-ξωt cos(ωDt-θ))una solución particular de la ecuación completa (Fig. 12).




Figura 12 – Solución completa

EXCITACIÓN SÍSMICA

En ocasiones, las vibraciones de un sistema mecánico no vienen generadas por laaplicación externa de unas cargas exteriores que sean función conocida del tiempo, sinopor unos movimientos conocidos (al menos hasta cierto punto) del soporte o basesobre la que se encuentra el sistema. Los terremotos y la transmisión de vibraciones deuna estructura a otra o a una máquina, son ejemplos significativos de este tipo desolicitaciones. En la Figura 13, se representa el sistema discreto básico de 1 gdlcorrespondiente a esta situación.




Sea x(t) el desplazamiento absoluto dela masa m, ( )tx el relativo de la masarespecto del soporte móvil y xi(t) eldesplazamiento absoluto del soporte.

Las variables dependientes x(t), ( )tx yxi(t) están relacionadas mediante laexpresión: Figura 13 – Excitación sísmica

( ) ( ) ( )txtxtx i +=

Si se establece el equilibrio de las fuerzas que actúan sobre la masa m:

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )tftxtxktxtxctxm ii =−+−+

Restando a ambos miembros ( )txm i y teniendo en cuenta la ecuación diferencial quegobierna las vibraciones forzadas de sistemas de un grado de libertad:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )txmtftxktxctxm i −=++

Ecuación análoga a la del sistema discreto básico, pero aplicada al movimiento relativosistema-soporte. El resultado puede verse también como una aplicación del Teorema de laDinámica que establece que la 2ª ecuación de Newton puede aplicarse al movimientorelativo, siempre que se introduzcan como fuerzas exteriores las fuerzas de inercia dearrastre (- ( )txm i ) y de Coriolis (que no existen en este caso).

EXCITACIONES ARMÓNICAS

En muchos casos, los esfuerzos que actúan sobre un sistema mecánico varíanarmónicamente (senoidal o cosenoidalmente), por ejemplo en el caso de un rotordesequilibrado. Pero además, cualquier función periódica (y aún no periódica) puedeexpresarse como serie (o integral) de funciones armónicas - ANÁLISIS DE FOURIER -.Supóngase que la fuerza excitadora que actua sobre el sistema tiene la forma:

( ) ( )tsenitcosfeftf 0ti

0 ω+ω== ω

Una fuerza compleja no tiene sentido físico, pero es un artificio matemático muy útil.Suponiendo un término independiente complejo en la ecuación diferencial, la solución serátambién compleja. Como dicha ecuación debe cumplirse tanto para la parte real como parala imaginaria, si la fuerza realmente presente varía sinusoidalmente, bastará quedarse conla parte imaginaria de la solución compleja, y con la parte real si la fuerza excitadora varíacosenoidalmente.




Siendo ω la frecuencia natural del sistema y ω la frecuencia de la fuerza excitadora,a la relación entre ambas frecuencias se va a llamar β:

ωω=β

La respuesta de un sistema de 1 gdl a una excitación armónica (problema de vibracionesforzadas con excitación armónica) resulta:

( ) ( ) ti2

0D

t ei21

1kftcosXetx ωξω−

ξβ+β−+θ−ω=

En concreto, la solución se obtendrá tomando el primer sumando de la ecuación y la parteimaginaria o la parte real del segundo, según la fuerza excitadora varíe sinusoidal ocosenoidalmente.Los dos sumandos tienen una importancia y un significado muy diferente:

El primero representa una componente transitoria de la respuesta, quedesaparece con el tiempo al tender su amplitud exponencialmente a cero.

El segundo sumandorepresenta, sin embargo, larespuesta estacionaria yes mucho más interesante,porque está presentemientras esté presente laexcitación (Figuras 12 y 14). Figura 14 –Transitorio y estacionario

FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA

En la solución general obtenida para el caso de vibraciones forzadas con excitaciónarmónica, aparecen dos sumandos: el primero representa una componente transitoria de larespuesta que desaparece con el tiempo y el segundo la respuesta estacionaria presentemientras esté presente la excitación. Reteniendo este término exclusivamente:

( ) ti2

0 ei21

1kftx ω

ξβ+β−=

A partir de aquí, se define una función ( )ωH denominada función compleja de respuestaen frecuencia o FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA:

( )i21

k1H 2 ξβ+β−=ω




Esta Función de Transferencia tiene la propiedad de que si sobre el sistema actúa unafuerza que responde a la expresión:

( ) ti0eftf ω=

el sistema proporciona una respuesta:

( ) ( ) ti0efHtx ωω=

FACTOR DE AMPLIFICACIÓN DINÁMICA

Analizando la componente estacionaria de las vibraciones forzadas resultantes en unsistema de un grado de libertad sometido a la acción de una excitación de tipo armónico yexpresándola de forma polar:

( )( ) ( )

( )Φ−ωωΦ−

ω =ξβ+β−

=ξβ+β−

= titi

222

i0ti

20 Xee

21

ekfe

i211

kftx

Expresión donde:

( )212arctg

β−ξβ=Φ : desfase presente entre la excitación y la respuesta del sistema.

( ) ( )222

0

21

1kfX

ξβ+β−= : amplitud de la vibración resultante en el sistema.

El primer factor (f0/k) de la expresión se llama desplazamiento estático, y es eldesplazamiento que tendría el sistema si la carga fuera aplicada estáticamente (confrecuencia nula). Por otro lado, se llama FACTOR DE AMPLIFICACIÓN DINÁMICA D a larelación existente entre el módulo de la respuesta dinámica (amplitud de la vibraciónresultante, X) y el desplazamiento estático:

( ) ( )222 21

1Dξβ+β−

=

Observando las expresiones del factor de amplificación dinámica y del módulo de lafunción de transferencia se deduce que ambos están relacionados a través de unaconstante (la rigidez k).

La Figura 15 representa el factor de amplificación dinámica D en función de ωω=β ,para varios valores del amortiguamiento relativo ξ.




Para un valor del amortiguamientorelativo que puede considerarse normalde ξ=0.1, la figura muestra como parafrecuencias de excitación próximas a lafrecuencia natural (β≅ 1), la amplitudresultante del desplazamiento puede serhasta 5 veces el que se obtendríaaplicando estáticamente una fuerza de lamisma amplitud. Sin embargo, parafrecuencias de excitación que excedanen más de un 50% la frecuencia natural,el desplazamiento dinámico es muchomenor que el estático.De ahí la importancia de hacer un diseñodinámico adecuado y escoger losparámetros k y m de modo que lasposibles frecuencias de excitación esténlejos de la frecuencia natural del sistema.Cuando la frecuencia de excitacióncoincide con la frecuencia natural (ββββ=1),se dice que se está en la CONDICIÓNDE RESONANCIA.

Figura 15 – Factor de Amplificación Dinámica

Figura 16 – Desfase de la respuesta

Por otro lado, la Figura 16 representa el desfase de la respuesta del sistema (la vibración)respecto a la excitación y permite apreciar como en la resonancia el desfase es siempre90º, independientemente del valor del amortiguamiento relativo ξ.Los valores máximos del factor de amplificación dinámica D se obtienen derivandorespecto a β e igualando a cero, obteniéndose que el máximo se produce para

221 ξ−=β -ligeramente inferior a 1- y su valor es:

2máx121D

ξ−ξ=

Que para valores pequeños de ξ===

=puede aproximarse por Dmáx ≈≈≈≈1/2ξξξξ.




EXCITACIONES IMPULSO, ESCALÓN O RAMPA

Estas funciones (Figura 17) estánrelacionadas entre sí: la funciónescalón es la derivada de la funciónrampa y la función impulso es laderivada de la función escalón.Gracias a ello, para analizar larespuesta de un sistema a estostres tipos de funciones bastará concalcular la respuesta a la funciónescalón. A partir de ahí, lasrespuestas a la funciones impulso yrampa se podrán obtener porderivación e integración,respectivamente. Figura 17 – Funciones impulso, escalón y rampa

La función impulso δ(t-a) es una función que toma valor infinito en el punto t=a, y es ceroen todos los demás puntos. Matemáticamente, se define como una función tal que:

( ) ( ) ( )afdttfat =−δ∞

∞−

Para determinar la respuesta de un sistema ante una entrada escalón, hay que integrar laecuación diferencial

( ) ( ) ( ) ( )tEtkxtxctxm 0=++

siendo E0(t) la función escalón.La solución particular de la ecuación completa es

( ) ( )tEk1tx 0p =

Y la solución general de la ecuación diferencial se obtiene sumando a esta soluciónparticular la solución general de la ecuación homogénea (la correspondiente al problema,ya resuelto, de vibraciones libres):

( ) ( ) ( ) 0ttEk1tcosXetx 0D

t ≥+θ−ω= ξω−

Las condiciones iniciales - ( ) ( ) 00x,00x == - permitirán determinar las constantes X y θ,de forma que la respuesta a la entrada escalón resulta (Figura 18):




( ) ( ) 0ttEk1

1arctgtcose

1k1tx 02D

t2

≥+

ξ−

ξ−ωξ−

−= ξω−

Figura 18 – Respuesta en vibración de un sistema ante una entrada escalón

Derivando la respuestaobtenida para el sistemaante una entrada de tipoescalón, se tendrá(Figura 19) la respuestah(t) a la funciónimpulso unidad: Figura 19 – Respuesta ante una excitación impulso

( ) tsenmeth D

D

tω

ω=

ξω−

E integrando la respuesta a una función rampa. Se puede comprobar (Figura 20) que larespuesta a una función rampa tiende, al tender t a infinito, a otra función rampa paralela:

ωξ−=

ξ−ω

ξ−ξ− 2t

k1

112t

k1

2

2

donde ωξ2 es el retraso de la respuesta respecto a la excitación.




De las tres funciones -impulso, escalón yrampa- estudiadas la más sencilla dereproducir físicamente es la primera deellas.También la función escalón se utiliza aveces en análisis experimental devibraciones, y por lo general se simulapor medio de una fuerza aplicada que seretira (se hace cero) súbitamente. Figura 20 – Respuesta a una rampa

EXCITACIÓN DE TIPO GENERAL: INTEGRAL DE CONVOLUCIÓN

El método más sencillo para calcular la respuesta de un sistema de un grado de libertadante una excitación de tipo general, conocido como Método de la Integral deConvolución, está basado en la respuesta a un impulso unitario h(t):

h(t) = 0 t < 0

( ) tsenmeth D

D

tω

ω=

ξω−

t ≥ 0

Si el impulso no es de magnitud unitaria, para calcular la respuesta bastará multiplicar lafunción h(t) por la magnitud del impulso.Una fuerza excitadora de tipo general puede tener una forma como la de la Figura 21.El comportamiento dinámico delsistema en un instante t, puedeverse como el resultado de unconjunto de impulsos elementalesanteriores de magnitud F(τ)∆τ=(Fig.22.a). Cada uno de estos impulsosinfluye en la respuesta en elinstante t en función del tiempo (t-τ)transcurrido entre ambos. Cadaimpulso en τ influye en t en laforma: F(τ)∆τ ·h(t-τ) (Fig. 22.b) Figura 21 – Fuerza excitadoraLa respuesta total será la suma de las respuestas a todos estos impulsos elementalesanteriores

( ) ( ) ( ) τττ−=∞−

dFthtxt




Figura 22

Integral que recibe el nombre deINTEGRAL DE CONVOLUCIÓN.

Como está extendida desde -Tno hay que considerarcondiciones iniciales.

Si la fuerza excitadoracomenzase a actuar en elinstante t=0 y las condicionesiniciales no fuesen nulas, habríaque superponer el transitoriocorrespondiente según lasexpresiones deducidas al tratarel problema de vibracioneslibres.

DDEEPPAARRTTAAMMEENNTTOO DDEEIINNGGEENNIIEERRÍÍAA MMEECCÁÁNNIICCAA,,EENNEERRGGÉÉTTIICCAAYY DDEE MMAATTEERRIIAALLEESS TEMA 4 – SISTEMAS DE 2 GRADOS DE LIBERTAD

33ºº IINNGGEENNIIEERRÍÍAA IINNDDUUSSTTRRIIAALL


Sistemas de2 Grados deLibertad




4.1 IntroducciónHasta el momento, se han estudiado los sistemas con 1 gdl viéndose que:

Si un sistema no amortiguado es sacado de su posición de equilibrio y dejado enlibertad, comienza a oscilar armónicamente con una frecuencia característica delsistema llamada frecuencia natural.

El fenómeno de la resonancia se presenta al excitar el sistema con una fuerzaarmónica de frecuencia igual a la frecuencia natural.

Los sistemas con 2 gdl presentan importantes diferencias respecto a los sistemas con 1gdl; de hecho, su comportamiento es cualitativamente muy similar al de un sistema con Ngdl. Sin embargo, si bien los conceptos matemáticos y físicos que aparecen en lossistemas con 2 gdl son idénticos a los de sistemas con N gdl, tienen la ventaja de que susecuaciones algebraicas son todavía relativamente manejables y los ejemplos accesibles.Permiten, por ello, una formulación analítica sencilla y no dependiente del álgebra matricial.

Figura 23 – Sistemas mecánicos con 2 gdlSe verá como si un sistema con 2 gdl sin amortiguamiento es desplazado de su posiciónde equilibro y dejado en libertad, no siempre realiza un movimiento armónico y ni tansiquiera periódico, sino sólo para determinadas formas (tantas como gdl) de perturbar elequilibrio. Sólo para dos tipos (2 gdl) de perturbaciones el movimiento subsiguiente esarmónico y, en general, con distinta frecuencia para cada tipo de perturbación.Un sistema con 2 gdl tendrá, por lo tanto, dos frecuencias naturales y, sometido a unaexcitación armónica, llegará a la condición de resonancia para dos frecuencias deexcitación diferentes. El estudio del comportamiento dinámico de este tipo de sistemasfacilitará la introducción de conceptos como respuesta síncrona, frecuencias y modosnaturales de vibración y análisis modal.




4.2 Ecuaciones delmovimiento:

Formulación matricialSea el sistema discreto con 2 gdl de la Figura 24.a. En este caso tan sencillo, lasecuaciones diferenciales del movimiento pueden obtenerse aplicando a cada una de lasmasas el Principio de D’Alembert y estableciendo el equilibrio de fuerzas en la dirección delmovimiento.

Figura 24 – Sistema con dos grados de libertadAsí, teniendo en cuenta que la fuerza en el resorte y amortiguador centrales dependen dela posición y velocidad relativas entre ambas masas, estableciendo el equilibrio defuerzas en dirección x (Fig.24.b) resulta:

( ) ( ) ( ) 0tFxxcxxkxcxkxm 1122122111111 =+−⋅+−⋅+−−−

( ) ( ) ( ) 0tFxxcxxkxcxkxm 2122122232322 =+−⋅−−⋅−−−−




Ecuaciones diferenciales, que no son independientes y constituyen un sistema ya queambas incógnitas x1(t) y x2(t) aparecen en las dos, y pueden expresarse matricialmente:

=

⋅

+−−+

+

⋅

+−−+

+

⋅

)t(F)t(F

xx

kkkkkk

xx

cccccc

xx

m00m

2

1

2

1

322

221

2

1

322

221

2

1

2

1

o, de forma más abreviada, con notación matricial: [ ] [ ] [ ] )t(FxKxCxM =++

Las matrices [M], [C] y [K], llamadas respectivamente matriz de inercia, matriz deamortiguamiento y matriz de rigidez, son simétricas, como se puede observar.Se observa, además, en este ejemplo que la matriz [M] es diagonal. Esta es unacaracterística de los sistemas de parámetros discretos que no se presenta en muchasotras ocasiones. Si en la expresión las tres matrices [M], [C] y [K] fueran diagonales, lasdos ecuaciones serían independientes o estarían desacopladas, siendo en tal casoresolubles cada una de ellas por las técnicas desarrolladas para los sistemas con 1 gdl.




4.3 Vibraciones libres noamortiguadas.

Modos de vibraciónLa resolución del problema de vibraciones libres no amortiguadas permitirá ladeterminación de los parámetros modales característicos del sistema de dos grados delibertad: sus dos frecuencias naturales y sus dos modos naturales de vibración.Suponiendo que no hay fuerzas exteriores aplicadas al sistema y que los términosdisipativos de energía son nulos, el sistema de ecuaciones del movimiento se reduce a(k11=k1 + k2 k22=k2 + k3):

=

⋅

−−

+

⋅

00

xx

kkkk

xx

m00m

2

1

222

211

2

1

2

1

La solución de este sistema de ecuaciones diferenciales puede abordarse por distintosprocedimientos. Estando interesados en la posibilidad de que el sistema realice unmovimiento armónico síncrono, se supondrán, análogamente a como se hacía consistemas de 1 gdl, soluciones de la forma: x1(t)=X1⋅eiωt, x2(t)=X2⋅eiωt

Sustituyendo estos valores y sus derivadas segundas se obtendrán dos ecuaciones:

( ) 0XkXkm 221112

1 =−⋅+ω−

( ) 0XkmXk 2222

212 =⋅+ω−+−

lo que constituye un sistema de ecuaciones en X1 y X2. Para que dicho sistema tengasolución distinta de la idénticamente nula, se tendrá que cumplir que el determinante delsistema sea nulo. Desarrollando el determinante y ordenando, se obtiene una ecuaciónbicuadrática cuyas raices son:

( ) ( )21

2221

2112221

21

1122212

mm2kmm4kmkm

mm2kmkm +−

±+=ω




Si ω12 y ω22 son las dos soluciones de la ecuación, sólo podrá tener lugar movimientoarmónico en estas dos frecuencias ωωωω1 y ωωωω2 que son las frecuencias naturales delsistema.El sistema de dos ecuaciones en X1 y X2 puede ponerse, a su vez, en la forma:

12

11

2

2

1

mkk

XX

ω−=

2

22

22

2

1

kmk

XX ω−=

Sustituyendo en cualquiera de estas expresiones los valores de ω12 y ω22 se determina larelación existente entre las amplitudes de los movimientos de las dos masas. Losmovimientos síncronos que cumplen esta relación de amplitudes son armónicos, y recibenel nombre de modo natural de vibración. Hay dos modos naturales, (X11, X21) y (X12, X22),uno para cada frecuencia, ω12, ω22. Al desplazar el sistema de su posición de equilibriosegún un modo natural y soltarlo, comenzará a oscilar libre y armónicamente a lafrecuencia del modo.Se puede demostrar que, ambos modos son ortogonales entre sí respecto a lasmatrices de inercia y rigidez; es decir:

0XX

m00m

X,X 22

21

2

112

11 =

⋅

⋅ 0

XX

kkkk

X,X 22

21

222

21112

11 =

⋅

−−

⋅

Como las dos amplitudes de un modo no están determinadas más que en la relaciónexistente entre ellas, es una práctica habitual el normalizar los modos de forma que:

1XX

m00m

X,X j2

j1

2

1j2

j1 =

⋅

⋅ j = 1,2




4.4 Coordenadasnaturales. Introducción

al Análisis ModalAdemás de las coordenadas x1(t) y x2(t) empleadaspara definir el movimiento del sistema (Fig. 25), uncambio de coordenadas interesante es:

( ) ( ) ( )tyXtyXtx 2211

111 ⋅+⋅=

( ) ( ) ( )tyXtyXtx 2221

122 ⋅+⋅=

o bien, matricialmente:

[ ] yXyy

XXXX

xx

x2

122

12

21

11

2

1 ⋅=

⋅

=

=

donde se ha llamado matriz [X] a la matriz cuyascolumnas son los modos naturales de vibración -matriz de modos -.Introduciendo esta transformación de coordenadas enla ecuación matricial de movimiento del sistema ypremultiplicando por [X]T: Figura 25 – Sistema de 2 gdl

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 0yXKXyXMX TT =⋅⋅⋅+⋅⋅⋅

Teniendo en cuenta las ortogonalidades y ortonormalidad resulta:

=

⋅

ωω

+

⋅

00

yy

00

yy

1001

2

122

21

2

1

o bien, teniendo en cuenta que las matrices presentes son diagonales:

( ) ( ) 0tyty 1211 =⋅ω+ ( ) ( ) 0tyty 2

222 =⋅ω+




Estas dos ecuaciones son independientes, y puede cada una de ellas resolverse con losmétodos estudiados para los sistemas con 1 gdl.A las coordenadas y1(t) e y2(t), definidas con este cambio de variable se les denominacoordenadas naturales, y en ellas las ecuaciones del movimiento estándesacopladas. El método seguido a la hora de desacoplar las ecuaciones del sistemaconstituye la técnica de análisis modal.Cabría ahora, por tanto, pensar en la posibilidad de estudiar las vibraciones libres conamortiguamiento. Pero surge entonces una nueva dificultad por el hecho de que, engeneral, esta transformación de coordenadas, que diagonaliza las matrices de rigidez einercia, no hace lo mismo con la matriz de amortiguamiento. Este caso no se estudiaráahora, pero se puede considerar incluido en el que se realizará posteriormente parasistemas de N gdl.




4.5 Vibraciones forzadas.Condiciones de

resonanciaSe estudia el caso en que no existe amortiguamiento, y se prescindirá también de lacomponente de la respuesta debida a las condiciones iniciales (sin amortiguamiento, estacomponente no desaparecerá nunca, pero como ya se han estudiado las vibracioneslibres, se prescindirá de ellas en virtud del Principio de Superposición).Supóngase actuando sobre el sistema una excitación armónica síncrona de modo quelas ecuaciones diferenciales del movimiento del sistema respondan a la expresión:

ti

2

1

2

1

222

211

2

1

2

1 eff

xx

kkkk

xx

m00m ω⋅

=

⋅

−−

+

⋅

Suponiendo soluciones en la forma ( ) ( ) ti22

ti11 eXtx,eXtx ωω ⋅=⋅= , sustituyendo estos

valores y sus derivadas segundas en la ecuación anterior y reordenando, se obtiene elsiguiente sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:

( ) 1221112

1 fXkXkm =−⋅+ω−

( ) 22222

212 fXkmXk =⋅+ω−+−

Aplicando la regla de Cramer para resolver este sistema de ecuaciones se obtienen losvalores de las amplitudes de los movimientos armónicos que se están buscando:

( )( ) ( ) 2

22

2222

111

222

22211 kmkmk

fkmkfX−ω−⋅ω−

+ω−=

( )( ) ( ) 2

22

2222

111

122

11122 kmkmk

fkmkfX−ω−⋅ω−

+ω−=

que pueden expresarse:




( )( ) ( )2

222

12

21

222

22211 mm

fkmkfXω−ω⋅ω−ω

+ω−⋅=

( )( ) ( )2

222

12

21

122

11122 mm

fkmkfXω−ω⋅ω−ω

+ω−⋅=

amplitudes que se hacen infinitas cuando la frecuencia de excitación ω coincide concualquiera de las dos frecuencias naturales. Por lo tanto, un sistema de 2 gdl tiene doscondiciones de resonancia.En el ejemplo representado en la Figura 26, pueden apreciarse las amplitudes de losmovimientos de las dos masas para diferentes valores de la frecuencia de excitación,observándose claramente la presencia de dos resonancias alrededor de las frecuencias de8 y 12 Hz, aproximadamente.

Figura 26 – Doble resonanciaConsidérese ahora el caso en el que hay amortiguamiento viscoso lineal. En el casomás general, las ecuaciones de equilibrio serán

ti

2

1

2

1

2221

1211

2

1

2221

1211

2

1

2221

1211 eff

xx

kkkk

xx

cccc

xx

mmmm ω⋅

=

⋅

+

⋅

+

⋅

Haciendo como antes y suponiendo soluciones de la forma

( ) ( ) ti22

ti11 eXtx,eXtx ωω ⋅=⋅=

Se obtendrá




( ) ( )( ) ( )

=

⋅

ωωωω

2

1

2

1

2221

1211

ff

XX

ZZZZ

donde,

( ) ijijij2

ij kcimZ +ω+ω−=ω

son las llamadas impedancias mecánicas.Despejando por la regla de Cramer X1 y X2 de la expresión matricial del sistema deecuaciones y teniendo en cuenta que la matriz de impedancias es simétrica

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )ω−ω⋅ω

ω⋅−ω⋅=ω 2122211

1222211 ZZZ

ZfZfX

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )ω−ω⋅ω

ω⋅−ω⋅=ω 2122211

1211122 ZZZ

ZfZfX

expresiones que se suelen escribir en la forma

( ) ( )( ) ( ) [ ] FHX

ff

HHHH

XX

2

1

2221

1211

2

1 ⋅=

⋅

ωωωω

=

donde los términos ( )ωijH representan algo análogo al papel que la función detransferencia desempeñaba en los sistemas con 1 gdl. Así, a la matriz [H] se la denominamatriz de transferencia.

Mediante la ecuación anterior se puede estudiar la respuesta estacionariade cualquier sistema ante unas fuerzas armónicas síncronas deamplitudes conocidas.

DDEEPPAARRTTAAMMEENNTTOO DDEEIINNGGEENNIIEERRÍÍAA MMEECCÁÁNNIICCAA,,EENNEERRGGÉÉTTIICCAAYY DDEE MMAATTEERRIIAALLEESS TEMA 5 – SISTEMAS DE N GRADOS DE LIBERTAD



Sistemas deN Grados deLibertad




5.1 Planteamientomatricial

Se van a extender los resultados de 2 gdl al caso general de N gdl. El estudio general delos sistemas con N gdl, no obstante, no es posible sin echar mano de la formulaciónmatricial y del uso intensivo de resultados y propiedades del Álgebra Lineal. Por ello, sólose llevará a cabo un tratamiento breve y simplificado del problema; centrándose la atenciónen aquellos aspectos conceptuales que añadir a lo visto en sistemas de 1 y 2 gdl.Así, no se aborda el planteamiento del sistema de ecuaciones diferenciales delmovimiento, sino que se parte ya de dicho sistema. Para analizar este planteamiento hayque utilizar algún método de discretización del continuo tal como el Método de lasDiferencias Finitas o el Método de los Elementos Finitos (MEF), cuya teoría nocorresponde desarrollar aquí.Por otro lado, en este estudio de los sistemas con N grados de libertad, sí se va a prestaruna especial atención al problema del desacoplamiento de las ecuaciones diferenciales delmovimiento por medio del Análisis Modal.

MATRICES DE RIGIDEZ, INERCIA Y AMORTIGUAMIENTO

Un sistema con N gdl es aquél que precisa de N parámetros o coordenadas para que suposición y configuración deformada quede definida. Por regla general, aunque no siempre,se suelen tomar como coordenadas del sistema los desplazamientos de un conjunto depuntos llamados NUDOS. La hipótesis de discretización realizada para pasar del sistemacontinuo a uno de N gdl implica que el desplazamiento de un punto cualquiera puede sercalculado a partir de los desplazamientos de dichos nudos.Una vez elegidos los grados de libertad del sistema, pueden definirse los coeficientes derigidez, inercia y amortiguamiento del modo siguiente:

Coeficiente de rigidez kij: fuerza que hay que aplicar según el gdl i para producirun desplazamiento unidad según el gdl j, y cero según todos los demás gdl.

Coeficiente de inercia mij: fuerza que hay que aplicar según el gdl i para produciruna aceleración unidad según el gdl j y cero según todos los demás gdl.




Coeficiente de amortiguamiento cij: fuerza que hay que aplicar según el gdl i paraque aparezca una velocidad unidad según el gdl j y cero según todos los demás gdl.

El modo de calcular los coeficientes kij, mij y cij es propio del método de discretización quese adopte; en este caso, se supondrán conocidos. A su vez, los coeficientes kij, mij y cij sepueden agrupar formando matrices llamadas matriz de rigidez [K], matriz de inercia [M]y matriz de amortiguamiento [C].Puestos a calcular las ecuaciones diferenciales del movimiento de un sistema de N gdl, siel sistema es lineal, se podrá aplicar el Principio de Superposición: la fuerza exterior queactúa sobre un grado de libertad debe estar en equilibrio con las fuerzas que producen eldesplazamiento, velocidad y aceleración, en ese grado de libertad y en todos los demás.Utilizando los coeficientes definidos, esta condición puede establecerse analíticamente:

( )tfxmxcxk i

n

1jjij

n

1jjij

n

1jjij =⋅+⋅+⋅

===

i = 1, 2, ..., n

sistema de N ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden, que puedeestablecerse con notación matricial en la forma:

[ ] [ ] [ ] ( ) tfxKxCxM =⋅+⋅+⋅

Estas son las ecuaciones diferenciales del movimiento buscadas. Obsérvese la analogíaexistente con la ecuación del sistema de 1 gdl o la del sistema de 2 gdl.




5.2 Vibraciones libres desistemas no

amortiguadosSuponiendo que no actúan cargas exteriores y que no hay términos disipativos, lasecuaciones diferenciales de equilibrio se reducen a: [ ] ( ) [ ] ( ) 0txKtxM =⋅+⋅ , con lascondiciones iniciales ( ) ( ) 00 x0x,x0x ==

APÉNDICE DE ALGEBRA LINEAL. PROBLEMA DE VVPP

Si se analiza el trabajo de las fuerzas elásticas en un sistema mecánico, éste es igual a laenergía elástica almacenada por el sistema y sólo puede tomar valores positivos o nulos(cuando los desplazamientos x correspondan a desplazamientos de un sólido rígido y,por tanto, no comporten deformación elástica). De aquí se deduce que [K] es una matrizpositivo-definida (si no son posibles movimientos de sólido rígido) o positiva-semidefinida (cuando sí lo son).Análogamente, puede estudiarse el trabajo realizado contra las fuerzas de inercia, queserá igual a la energía cinética del sistema. Puesto que una energía cinética negativa onula no tiene sentido cuando las velocidades son distintas de cero, la matriz de inercia [M]será positivo-definida.Estas propiedades de [K] y [M] permiten deducir importantes consecuencias, aplicando elÁlgebra al siguiente problema de valores y vectores propios (VVPP) generalizado:

[ ] [ ] iii XMXK ⋅⋅λ=⋅

donde λ i es el iésimo valor propio y iX el correspondiente vector propio asociado, que sesupondrá normalizado respecto a la matriz [M]; esto es:

[ ] 1XMX iTi =⋅⋅

Si las matrices [K] y [M] son ambas positivo-definidas, los valores propios λ i son todospositivos. A su vez, si [K] es positivo-semidefinida habrá uno o más valores propios iguales




a cero. Por lo tanto, en ningún caso habrá valores propios negativos y, por lo tanto, sepodrá hacer: λ i = ωi2, siendo ωi2 ≤ ωi+12.De esta forma, el problema de VVPP generalizado podrá expresarse para todos losvectores propios a la vez:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]2XMXK ω⋅⋅=⋅

donde [ ]X es una matriz cuyas columnas son los vectores propios normalizados respectoa la matriz de inercia, y [ω2] es una matriz diagonal cuyos elementos son los valorespropios ωi2.Los vectores propios tienen la propiedad de ser ortogonales respecto a las matrices [K] y[M]. Como además están normalizados, se dice que son ortonormales. Las ecuaciones denormalización, juntamente con las de ortogonalidad, pueden escribirse para todos losvectores propios:

[ ] [ ] [ ] [ ]IXMX T=⋅⋅

[ ] [ ] [ ] [ ]2T XKX ω=⋅⋅

Con la matriz [ ]X , cuyas columnas son los vectores propios normalizados respecto a lamatriz de inercia, se lleva a cabo el cambio de variable

[ ] x~Xx ⋅=

en el sistema

[ ] [ ] 0xKxM =⋅+⋅

Premultiplicando por [ ]TX y considerando la ortonormalidad de los vectores propios conrespecto a [M] y [K], resulta:

[ ] [ ] 0x~x~I 2 =⋅ω+⋅

Sistema de ecuaciones desacopladas; es decir, en la ecuación i:

0x~x~ i2ii =⋅ω+

no interviene más que la variable ix~ .




Al igual que lo visto en sistemas de 2 gdl, en las coordenadas x~ , llamadasCOORDENADAS NATURALES, el sistema de N ecuaciones diferenciales con Nincógnitas se transforma en N ecuaciones de una incógnita, cuya solución ya se abordó alestudiar los sistemas de 1 gdl. Del mismo modo, a los vectores propios iX se les llamaMODOS NATURALES DE VIBRACIÓN, y sus valores propios no son otra cosa sino loscuadrados de las FRECUENCIAS NATURALES asociadas al vector propio (modo natural)correspondiente.

VIBRACIÓN DEL SISTEMA SEGÚN UN MODO DE VIBRACIÓN

Veamos qué ocurre si se resuelve el siguiente problema: todas las condiciones iniciales develocidad y desplazamiento son nulas excepto las correspondientes a la coordenadanatural i, de forma que

( ) 00x~i = ( ) 0ii x~0x~ =

La ecuación diferencial correspondiente:

0x~x~ i2ii =⋅ω+

tiene por solución

( )tcosx~x~ iioi ω⋅=

siendo todas las demás jx~ idénticamente nulas para j≠i. En tal caso, la solución en lascoordenadas originales x es:

[ ] ( )tcosx~Xx~Xx~X...x~X...x~Xx~Xx~Xx iioi

ii

nn

ii

22

11 ω⋅⋅=⋅=⋅++⋅++⋅+⋅=⋅=

La solución resulta ser una función armónica en la que todos los puntos del sistema oscilanalrededor de la posición de equilibrio con la misma frecuencia. Por lo tanto, si se desplazael sistema respecto de su posición de equilibrio estático en la forma de un modonatural o vector propio iX , el sistema comienza a oscilar armónicamente alrededorde dicha posición de equilibrio, siendo la posición adoptada por el sistema en cualquierinstante de tiempo el resultado de multiplicar el modo natural correspondiente por undeterminado valor escalar. Estas oscilaciones se producen a la frecuencia propia deese modo natural (ωi).Si el desplazamiento del sistema respecto de la posición de equilibrio se hace no según undeterminado modo natural, sino según una combinación de modos, la solución esasimismo una combinación de varios movimientos armónicos de distinta frecuencia. Elresultado final de tal combinación no es - en general - ni armónico, ni periódico.




5.3 Vibraciones forzadasen sistemas no

amortiguadosEl tratamiento de las vibraciones forzadas en sistemas sin amortiguamiento es análogo alrealizado para las vibraciones libres. La ecuación matricial de equilibrio es en este caso:

[ ] ( ) [ ] ( ) ( ) tftxKtxM =⋅+⋅

Realizando el cambio [ ] x~Xx ⋅= y premultiplicando por [ ]TX :

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] fXx~XKXx~XMX TTT⋅=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅

Introduciendo las condiciones de ortonormalidad de los modos con respecto a [M] y [K], elsistema se reduce a

( ) [ ] ( ) ( ) tf~tx~tx~ 2 =⋅ω+

donde ( ) [ ] ( ) tfXtf~ T⋅= .

Las ecuaciones diferenciales del sistema resultante están también desacopladas y puedenresolverse por los métodos vistos en sistemas con 1 gdl.

EXCITACIÓN DE UN SOLO MODO DE VIBRACIÓN DEL SISTEMA

Se parte del planteamiento de la pregunta siguiente: ¿cómo tendrían que ser las fuerzasintroducidas al sistema, f(t), si se quisiera que sólo la componente i de ( ) tf~ fueradistinta de cero?

Recordando que [ ] [ ] [ ] [ ]IXMX T=⋅⋅ y premultiplicando la expresión por [ ] 1T

X−

resulta:

[ ] [ ] [ ]XMX1T

⋅=

−




lo que nos permite despejar el vector f(t) de ( ) [ ] ( ) tfXtf~ T⋅= :

( ) [ ] [ ] ( ) [ ] ( )tf~XMtf~XMtf ii ⋅⋅=⋅⋅=

donde ( ) 0tf~j = para todo j≠i

El vector f(t) de fuerzas actuantes sobre el sistema en estas condiciones se caracterizapor:

( ) [ ] ( ) ( )tf~tf~XMXtfX iijiiTjTj ⋅δ=⋅⋅⋅=⋅

siendo δij la función δ de Dirac.Es decir, este vector f(t) particular es un vector ortogonal a todos los restantes modos; olo que es lo mismo, no da trabajo con ningún otro modo natural que no sea el i. Además, eltrabajo que da con el modo i es precisamente igual (numéricamente) a la fuerza ( )tf~i quese trata de sintetizar. Sólo el modo i se activa, porque sólo al modo i se le transfiereenergía, y los modos no pueden transmitírsela de unos a otros. El movimientoresultante en tal caso será la vibración del sistema según el modo natural de vibración i.




5.4 Vibraciones ensistemas amortiguados

La presencia de amortiguamiento complica considerablemente la resolución del problema,tanto en su formulación analítica como en las implicaciones conceptuales que conlleva.Así, en ocasiones, el método más eficaz de resolver las ecuaciones diferenciales delmovimiento será el de integrarlas numéricamente paso a paso.La ecuación diferencial matricial que gobierna el movimiento de un sistema de N gdl conamortiguamiento viscoso lineal tiene la forma:

[ ] ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) ( ) tftxKtxCtxM =⋅+⋅+⋅

A diferencia de los visto hasta ahora en los problemas de vibraciones mecánicas desistemas con N gdl, la transformación de coordenadas:

( ) [ ] ( ) tx~Xtx ⋅=

empleada en los casos de vibraciones sin amortiguamiento para diagonalizar las matrices[K] y [M] y desacoplar los grados de libertad no tiene porqué diagonalizar también la matriz[C]. De hecho, en general la matriz [C] no podrá ser diagonalizada y, por tanto, lasecuaciones del movimiento no podrán ser desacopladas. Esta limitación en la aplicación delas técnicas del análisis modal convencional a los problemas con amortiguamiento, esresponsable de las especiales dificultades que presentan estos problemas.De cualquier forma, las condiciones en las que actúa el amortiguamiento en los sistemasreales no suelen ser conocidas, lo que obliga a realizar hipótesis simplificativas sobre elvalor y la forma que adopta el amortiguamiento. En tal caso, se puede, a veces sindificultades adicionales, adoptar para el amortiguamiento un modelo matemático quepermita diagonalizar la matriz [C], al mismo tiempo que las matrices [K] y [M]. De estamanera, el análisis modal seguirá siendo la herramienta óptima para la resolución delproblema.Se llama AMORTIGUAMIENTO PROPORCIONAL a aquella hipótesis de modelización delamortiguamiento que permite desacoplar las ecuaciones del movimiento. En el caso másgeneral, cuando no es posible esta diagonalización de la matriz [C], se dice que se está enel caso de AMORTIGUAMIENTO NO PROPORCIONAL.




SISTEMAS CON AMORTIGUAMIENTO PROPORCIONAL

Si la matriz [C] debe ser diagonalizada junto con [K] y [M], en la expresión que se adoptepara [C] lógicamente deberán intervenir las matrices [K] y [M]. Así, la matriz [C] esdiagonalizable cuando puede ser expresada como combinación lineal de las matrices derigidez e inercia. Sea la expresión

[ ] [ ] [ ]KMC 10 ⋅α+⋅α=

aplicando la transformación [ ]X :

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]210

T1

T0

T IXKXXMXXCX ω⋅α+⋅α=⋅⋅⋅α+⋅⋅⋅α=⋅⋅

De esta manera, la matriz [C] diagonalizada es una matriz cuyos elementos puedenadoptar la forma:

ii12i0 2 ω⋅ξ⋅=α⋅ω+α

Los términos de la diagonal de la matriz [C] se hacen igual a (2ξiωi) para mantener laanalogía con los sistemas de 1 gdl, permitiendo determinar el valor del amortiguamientorelativo correspondiente al modo i:

22i1

i

0i

ωα+ω

α=ξ

Existen otras formas más generales de la matriz [C] que también se diagonalizan con lamatriz de modos naturales [ ]X y que no se van a ver aquí, pero pueden encontrarse en labibliografía especializada.Suponiendo pues que la matriz [C] sea diagonalizable y aplicando la consiguientetransformación que pasa a las coordenadas naturales, se llega a un sistema de ecuacionesdesacopladas:

( ) [ ] ( ) [ ] ( ) ( ) tf~tx~tx~2tx~ 2 =⋅ω+⋅ξω+

que consta de N ecuaciones diferenciales de la forma:

( ) ( ) ( ) ( )tf~tx~tx~2tx~ ii2iiiii =ω+ωξ+

Cada ecuación habrá de ser complementada con sus correspondientes condicionesiniciales. Ni en la ecuación i, ni en sus condiciones iniciales intervienen para nada lasrestantes coordenadas y fuerzas modales. Dos son las consecuencias que puedendeducirse y que caracterizan a estos sistemas distinguiéndolos de los sistemas conamortiguamiento no proporcional:




Como la ecuación es idéntica a la del sistema básico con un gdl, si se desplaza elsistema de la posición de equilibrio según la coordenada natural ix~ y se deja libre,comenzará un movimiento armónico (para amortiguamiento subcrítico) cuyaamplitud decrecerá exponencialmente. Considerando este movimiento del sistemasegún el modo natural i, resulta que todos los puntos del sistema vibran en fase,esto es, todos pasan al mismo tiempo por la posición de equilibrio y todos alcanzanal mismo tiempo sus valores máximos y mínimos.

Con un desplazamiento inicial según un determinado modo (todas las condicionesiniciales de velocidad y desplazamiento nulas excepto las correspondientes a lacoordenada natural i: ( ) 00x~i = , ( ) 0ii x~0x~ = ) en las vibraciones libres subsiguientesno se inicia ningún movimiento según las restantes coordenadas naturales, debido aque los modos están completamente desacoplados.

SISTEMAS CON AMORTIGUAMIENTO NO PROPORCIONAL:INTEGRACIÓN PASO A PASO

El método más general de análisis de vibraciones es el método de integración paso a pasodel sistema de ecuaciones diferenciales del movimiento. Existen varios métodos numéricospara realizar esta integración. Teóricamente muchos de ellos son semejantes y en suaplicación práctica se diferencian tan sólo en el valor numérico de algunos coeficientes.Las características deseables en estos métodos - y desde cuya perspectiva unos métodosson superiores a otros - son: estabilidad, precisión y economía.El fundamento de muchos de estos métodos de integración paso a paso es el mismo:dado el valor del desplazamiento, velocidad y aceleración en el instante tn = t (y eninstantes anteriores según algunos métodos), determinar el desplazamiento, velocidad yaceleración en el instante tn+1 = t+∆t. No obstante, el análisis con detalle de los diferentesmétodos de integración constituye un campo que se aparta de los objetivos perseguidos enesta asignatura de Teoría y Cálculo de Vibraciones.Sin embargo, y a modo de referencia, se va a describir a continuación brevemente una delas más conocidas y utilizadas familias de métodos de integración paso a paso: elMÉTODO DE NEWMARK. Este método parte de la ecuación de equilibrio dinámicoparticularizada para el instante tn+1:

[ ] [ ] [ ] 1n1n1n1n fxKxCxM ++++ =⋅+⋅+⋅

En esta expresión los vectores desplazamiento, velocidad y aceleración son desconocidos,pero bajo determinadas hipótesis el desplazamiento y la velocidad pueden ponerse enfunción de la aceleración 1nx +

y de los resultados de la etapa anterior, con lo que queda




un único vector incógnita. Para expresar la velocidad y el desplazamiento en función de laaceleración Newmark utiliza las siguientes expresiones:

( ) ( )1nnn1n xx1txx ++ ⋅γ+⋅γ−⋅∆+=

( ) ( ) ( )1nn

2

nn1n x2x212txtxx ++ ⋅β+⋅β−⋅∆+⋅∆+=

Siendo γ y β dos parámetros cuyos valores caracterizan a los distintos métodos de lafamilia. La primera expresión puede interpretarse como una corrección de la velocidad nx obtenida mediante integración de una aceleración interpolada linealmente en un puntodeterminado por el parámetro γ, y puede hacerse una interpretación análoga para lasegunda expresión.Sustituyendo ambas expresiones en la ecuación de equilibrio se obtiene:

[ ] [ ] ( ) [ ]( ) [ ]

[ ] [ ]( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] n2

n

n1n1n2

xK2t21Ct1xKtC

xKfxKtCtM

⋅

⋅∆⋅β−+⋅∆⋅γ−−⋅⋅∆+−

−⋅−=⋅⋅∆⋅β+⋅∆⋅γ+ ++

En una primera, pero atenta, observación de la expresión se aprecia que si - como eshabitual en muchas ocasiones - las matrices [M] y [C] se toman como matrices diagonales,el sistema de ecuaciones resultante es particularmente fácil de resolver cuando se tomaβ=0, ya que no hay que triangularizar ninguna matriz. Los métodos que poseen estacaracterística se denominan explícitos, e implícitos aquéllos que no la poseen.Los métodos explícitos requieren muchas menos operaciones aritméticas por etapa que losimplícitos, pero son condicionalmente estables, el hecho de que converjan o no a unasolución depende del tamaño de etapa ∆t de integración. En general, sus campos deaplicación son diferentes: los métodos implícitos son preferibles en problemas cuyarespuesta está gobernada por los modos de frecuencias más bajas. A estos problemas seles llama problemas de tipo sísmico, pues el cálculo de la respuesta a terremotos es unode sus ejemplos mas significativos. En ellos es conveniente utilizar matrices de inercia yamortiguamiento consistentes (no diagonales) y el tamaño de etapa ∆t viene determinadoexclusivamente por consideraciones de precisión.Cuando la respuesta viene gobernada por los modos de frecuencias más altas se dice queestá en un problema de propagación de ondas. Los problemas de impacto y ondaselásticas son ejemplos significativos de esta clase de problemas. En los problemas depropagación de ondas suele ser conveniente el utilizar métodos explícitos con matrices deinercia y amortiguamiento diagonales, pues esto además de facilitar los cálculos mejora las




condiciones de estabilidad. En estos problemas, el tamaño de etapa ∆t se determina porconsideraciones de precisión y de estabilidad.En ocasiones, pueden utilizarse métodos distintos en diferentes instantes del análisis. Porejemplo, en los problemas de impacto predominan los modos altos en los primerosmomentos después del choque, pero poco a poco va creciendo la influencia de los modosbajos hasta llegar a ser a su vez predominantes.Se han desarrollado también métodos mixtos que utilizan simultáneamente, métodosdiferentes en distintas partes del sistema. Así por ejemplo, en un problema de interacciónterreno-estructura puede utilizarse un método para el terreno y otro diferente para laestructura, o bien un mismo método pero con tamaños de etapa diferentes. Los métodosmixtos tratan de aprovechar al máximo las características del problema y de los distintosmétodos, con objeto de minimizar el trabajo necesario para realizar la integración.

VIBRACIONES FORZADAS EN SISTEMAS CONAMORTIGUAMIENTO NO PROPORCIONAL: MATRIZ DETRANSFERENCIA

En el caso general de sistemas con N gdl, el sistema de ecuaciones diferenciales delmovimiento que hay integrar se reduce a:

[ ] ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) ( ) tftxKtxCtxM =⋅+⋅+⋅

Análogamente a como se planteó el problema de vibraciones forzadas en sistemas de 1gdl, supóngase una excitación armónica en la forma

( ) ti0 eftf ω⋅=

Se van a buscar soluciones armónicas estacionarias en la forma

( ) tieXtx ω⋅=

Introduciendo estas expresiones resulta:

[ ] [ ] [ ]( ) ti0

ti2 efeXKCiM ωω ⋅=⋅⋅+⋅ω+⋅ω−

Llamando matriz de impedancia mecánica a la matriz

[Z(ωωωω)] = -ω2·[M]+iω·[C]+[K]

y definiendo su inversa [H(ω)]=[Z(ω)]-1, la solución de la ecuación diferencial será:

( ) ( )[ ] ti0

ti efHeXtx ωω ⋅⋅ω=⋅=




La matriz [H(ωωωω)] juega en los sistemas con N gdl el mismo papel que la función detransferencia jugaba en los sistemas con 1 grado de libertad. Por esto, a dicha matriz se lellama MATRIZ DE TRANSFERENCIA: la respuesta de un sistema con N grados delibertad ante una excitación armónica se obtiene multiplicando el vector deamplitudes de las fuerzas excitadoras por la matriz de transferencia [H(ωωωω)].

ANÁLISIS DE FOURIER (ver ANEXO)

Si las fuerzas introducidas en el sistema f(t) no son armónicas, pero admitentransformada de Fourier (TDF), el vector f(t) podrá expresarse como suma de infinitascomponentes armónicas de frecuencias distintas, mediante las bien conocidas expresionesde la TDF y la TDFI (transformada de Fourier Inversa), respectivamente:

( ) ( ) dtetf21F ti ⋅⋅π

=ω ω−∞

∞−

( ) ( ) ω⋅⋅ω= ω∞

∞−

deFtf ti

En tal caso, si el sistema es lineal, su respuesta ante la fuerza f(t) será la suma de lasrespuestas para cada una de sus componentes en frecuencia, es decir:

( ) ( )[ ] ( ) ( ) ω⋅⋅ω⋅ω=∞

∞−

ω deFHtx ti

Pero esta expresión coincide con la de la TDFI, luego:

( ) ( )[ ] ( ) ω⋅ω=ω FHX

Expresión que relaciona la TDF de la excitación y de la respuesta a través de la matriz detransferencia [H(ω)]. La expresión es representativa de todo un método de resolución de laecuación del movimiento para sistemas con N gdl.Existe también el método de la Integral de Convolución análogo al visto para sistemasde 1 gdl, y en el que la respuesta del sistema se calculaba mediante la expresión del tipo:

( ) ( ) ( ) τ⋅τ⋅τ−=∞

∞−

dhtftx

siendo h(t) la respuesta ante un impulso unitario.




Para generalizar este método a sistemas de N gdl se define la función hij(t), que es larespuesta según el grado de libertad i a un impulso unitario según el grado de libertad j. Ental caso, la respuesta real del sistema según el grado de libertad i será la suma de lasintegrales de Convolución entre este grado de libertad y todos los demás:

( ) ( ) ( )=

∞

∞−

τ⋅τ⋅τ−=n

1jijji dhtftx

o bien matricialmente:

( ) ( )[ ] ( ) τ⋅τ−⋅τ=∞

∞−

dtfhtx

Para ver la relación existente entre [H(ω)] y [h(t)], supóngase una excitación impulso segúnel grado de libertad j y ninguna excitación según los demás grados de libertad. Aplicando laTDF:

( ) ( )∞

∞−

ω−

π=⋅⋅δ

π=ω

21dtet

21F ti

j

y para k≠j: ( ) 0Fk =ω

Recordando que ( ) ( )[ ] ( ) ω⋅ω=ω FHX , en este caso:

( ) ( ) ωπ

=ω jH21X

donde Hj(ω) es la columna j de la matriz [H(ω)]. Por otra parte, teniendo en cuenta ladefinición de TDF, el vector X(ω) será:

( ) ( ) ∞

∞−

ω− ⋅⋅π

=ω dtetx21X ti

Considerando las dos últimas expresiones y teniendo en cuenta que, por definición de hij(t),x(t) es la columna j de [h(t)]:

( ) ( ) ∞

∞−

ω− ⋅⋅=ω dtethH tijj

y como la columna j es una columna cualquiera:

( )[ ] ( )[ ]∞

∞−

ω− ⋅⋅=ω dtethH ti

expresión que indica que la matriz de transferencia [H(ωωωω)] es (2ππππ) por la TDF de lamatriz de respuestas a impulsos unitarios [h(t)].




5.5 Análisis modal

CONCEPTO

El Análisis Modal es el proceso de determinación de las características dinámicasinherentes a un sistema mecánico y necesarias para la posterior formulación de unmodelo matemático del comportamiento dinámico de dicho sistema. Estamodelización dinámica se lleva a cabo en base a los parámetros modales (frecuenciasnaturales, modos de vibración y relaciones de amortiguamiento) propios del sistema, y quedependen de la distribución de sus características de masa, rigidez y amortiguamiento.El Análisis Modal parte de la hipótesis lineal de considerar que la respuesta en vibración deun sistema puede ser expresada como una combinación de una serie de movimientosarmónicos simples llamados modos naturales de vibración, intrínsecos al sistema ydeterminados por el valor y distribución de su masa, rigidez y amortiguamiento. Cada modose define a partir de sus parámetros modales: frecuencia natural, amortiguamiento modal yforma característica de desplazamiento. El grado de participación de cada modo en el totalde la vibración viene determinado por las características de la excitación que actúa sobreel sistema y por las formas de las modos.Por regla general, no es necesario tener en cuenta un gran número de modos yfrecuencias naturales, sino que basta considerar los modos asociados a las frecuenciascomprendidas en un determinado rango de interés. Así, cabe esperar un buencomportamiento dinámico del sistema si sus frecuencias naturales están suficientementealejadas de las velocidades de funcionamiento. No obstante, en muchas ocasiones, estasvelocidades vienen prefijadas, lo que obliga a diseñar con restricciones sobre lasfrecuencias naturales. El Análisis Modal ayuda a realizar correctamente este diseño:

Se plantea un diseño previo y se determinan - analítica o experimentalmente - lasfrecuencias y modos naturales de vibración.

A la vista de las frecuencias, es posible que interese aumentar o disminuir algunode dichos valores. El correspondiente modo proporciona la información acerca dequé hacer: para aumentar una frecuencia natural basta rigidizar el sistema de formaque se obstaculice la deformación del modo correspondiente, o bien disminuir lamasa de las partes del sistema que tienen los desplazamientos de mayor amplitud.




El Análisis Modal incluye técnicas tanto de carácter teórico, como experimental. Desde elpunto de vista teórico, se basa en el establecimiento de un modelo físico del sistemadinámico a estudio que incluya sus propiedades de masa, rigidez y amortiguamiento. Unmodelo realista deberá incluir asimismo la distribución espacial de esas propiedades lo queda lugar a la definición de las llamadas matrices de inercia, rigidez y amortiguamiento; quedeberán ser incorporadas al sistema de ecuaciones diferenciales del movimiento delsistema. La aplicación del Principio de Superposición permite transformar ese sistema deecuaciones diferenciales en un problema típico de valores y vectores propios, cuyaresolución proporcionará los parámetros modales del sistema, tal y como se ha descrito alanalizar los sistemas de N grados de libertad.

FUNDAMENTOS TEÓRICOS

El fundamento teórico de la aplicación del método de Análisis Modal estriba en la relaciónexistente entre la matriz de transferencia [H(ωωωω)] y las frecuencias y modos naturales devibración. Dado el carácter introductorio de la presente documentación, sólo se incluye acontinuación el desarrollo correspondiente al caso con amortiguamiento nulo, ya que susencillez permitirá introducir conceptualmente el problema.Para un sistema de N gdl sin amortiguamiento sometido a la acción de unas accionesexternas f(t), la ecuación de equilibrio dinámico era:

[ ] ( ) [ ] ( ) ( ) tftxKtxM =+

Para el desarrollo que aquí se pretende, se van a buscar los desplazamientos armónicosque resultan cuando las fuerzas de excitación son también armónicas. Es decir:

( ) ( ) titi eXtx,eFtf ωω ==

donde X, vector amplitud de la respuesta, es precisamente la incógnita del problema.Derivando x(t) respecto al tiempo, sustituyendo y eliminando el término exponencial, seobtiene la expresión que relaciona las amplitudes de la respuesta y la excitación:

[ ] [ ]( ) FXKM2 =⋅+ω−

La solución X de la ecuación se expresará en función de los modos naturales devibración del sistema. En realidad, dichos modos no son otra cosa sino los posiblesmovimientos armónicos que pueden tener lugar en el sistema en condiciones de excitaciónnula; es decir, que vendrán dados por la resolución de:

[ ] [ ]( ) 0XKM2 =⋅+ω−




En términos algebraicos, (tal y como se recoge en este mismo apartado de sistemas de Ngdl al analizar las vibraciones libres sin amortiguamiento), éste es un problema de valoresy vectores propios generalizado. Sean dichos valores propios

2n

2r

22

21 ,...,,...,, ωωωω

y los vectores propios asociados nr21 X,...,X,...,X,X

que coinciden respectivamente con las frecuencias y modos naturales de vibración.Además, los modos de vibración son ortogonales respecto a [M] y [K]; es decir:

[ ] rsrrTs mXMX δ= [ ] rsr

rTs kXKX δ=

donde mr, y kr, son las llamadas inercia y rigidez modal.Particularizando la ecuación para el valor y vector propio “r”:

[ ] [ ] 0XKXM rr2r =+ω−

y premultiplicando por TrX resulta:0km rr

2r =+ω−

Ecuación que indica como cada frecuencia natural es el cociente entre la rigidez modaly la inercia modal correspondiente, es decir:

rr2r mk=ω

Expresión totalmente similar a la empleada para definir la frecuencia natural de un sistemade 1 grado de libertad.

Por otro lado, los vectores propios rX forman un sistema de N vectores linealmenteindependientes que pueden formar una base en un espacio vectorial de dimensión N. Portanto, el vector incógnita X se podrá expresar como una combinación lineal - concoeficientes de valor desconocido γ - de los vectores de la base:

=

γ=n

1r

rr XX

Sustituyendo esta expresión de X en

[ ] [ ]( ) FXKM2 =⋅+ω−

premultiplicando por el vector TrX y teniendo en cuenta las condiciones de ortogonalidad,se llega a la expresión:




( ) FXkm Trrrr

2 ⋅=γ⋅+ω−

De donde se puede despejar el coeficiente

( )rr2Tr

r kmFX +ω−=γ

Con lo que el vector X resulta:

( )

==

ωω−

=+ω−

=n

1r

r

2r

2r

Trn

1r rr2

rTrX

1k

FXkm

XFXX

Expresión muy importante ya que, entre otras cosas:

Establece que cuando la frecuencia de excitación ωωωω coincide con una de lasfrecuencias naturales ωωωωr, la amplitud de la respuesta según el correspondientemodo natural se hace infinita, pues hay un denominador igual a cero. Es decir,tiene lugar un fenómeno de RESONANCIA (Fig. 27).

Permite también determinar fácilmente la expresión de la MATRIZ DETRANSFERENCIA [H(ωωωω)]. Por un lado, sabemos que la matriz de transferenciarelaciona la amplitud del desplazamiento y la fuerza en la forma: ( )[ ] FHX ⋅ω= .Por otro, el numerador de la fracción es un escalar, y por tanto su producto por elvector propio es conmutativo. Luego, reordenando la expresión,

F1k

XXXn

1r2r

2r

Trr⋅

ωω−

⋅==

y comparando se concluye que la MATRIZ DE TRANSFERENCIA puedeexpresarse en función de los modos y frecuencias de vibración (en el caso en queno exista amortiguamiento) en la forma:

( )[ ] =

ωω−

⋅=ωn

1r2r

2r

Trr

1k

XXH

El problema inverso, es decir, la determinación de las frecuencias y modos naturales apartir del conocimiento de la matriz de transferencia constituye el núcleo del AnálisisModal Experimental. La herramienta matemática usada para resolverlo es un ajuste defunciones basado en la ecuación anterior y en la que los parámetros a determinar son losmodos y frecuencias naturales.




EJEMPLO DE RESONANCIA: PUENTE DE TACOMA

La importancia de un diseño dinámico adecuado que evite la aparición de resonanciasqueda reflejada de forma explícita en un ejemplo tan conocido como el del Puente deTacoma, pequeña ciudad del estado de Washington de cerca de 200.000 habitantes. Decara a salvar las dificultades orográficas de la zona, ya en 1928 la Cámara de Comercio deTacoma inició las consultas con vistas a la posible construcción de un puente colgante.Finalmente, en 1938 se inició la construcción del puente adoptando una solución basadaen un puente colgante con dos pilares.El proyecto del puente, en su momento el tercero del mundo en cuanto a sus dimensiones,no consideró la hipótesis de viento como potencial causante de inestabilidadesestructurales pese a que ya para aquél entonces existían casos documentados en talsentido. La apertura al tráfico se produjo el 1 de Julio de 1940 y ya desde un principio sedetectó la tendencia de la estructura a oscilar transversalmente debido a la acción devientos de una determinada gama de intensidades.Aunque se ensayaron diferentes métodos para reducir estas vibraciones, ninguno de ellosllegó a ser realmente eficaz. Las vibraciones eran siempre transversales (verticales),dándose entre 0 y 8 nodos en el tablero entre pilares y provocadas por el viento a partir de7 km/h. Un modo típico con dos nodos entre pilares presentaba una amplitud de 1.5 m auna frecuencia de 0.2 Hz.El 7 de noviembre, de 1940, en plenamadrugada, los vientos alcanzaron unavelocidad de 70 km/h (la máxima desde suapertura) haciendo oscilar el puente demanera importante y obligando a la policia acortar el tráfico. A las 9:30 AM el puenteoscilaba con una amplitud de 0.9m y unafrecuencia de 0.6 Hz. A las 10:00 AM unarotura de uno de los amarres del cable desuspensión del tablero en la cara norte delpuente introdujo en el sistema un modo devibración a torsión a 0.23 Hz cuyos nodosestaban situados en la mitad del puente y enlos pilares (Fig. 27.a). Figura 27.a – Vibración a torsiónEste fue el primer (y último) caso de un modo a torsión en el puente. En unos instantes, laoscilación angular alcanzaba los 35º (Fig. 27.b) y los pilares sufrían deflexiones de cercade 3.6 m en su extremo superior, 12 veces los parámetros utilizados en sudimensionamiento.




A partir de aquí, la situación se mantuvo inalterable durante cerca de una hora hasta que alas 11:00 AM se desprendió en primer pedazo de pavimento. Finalmente, el puente terminórompiéndose por completo a las 11:10 AM cayendo al río (Fig. 27.c).

Figura 27.b – Desnivel en centro del vano Figura 27.c – Rotura del puente




5.6 Métodos aproximadosA la hora de estudiar la dinámica de los sistemas con N grados de libertad, el cálculo de larespuesta dinámica del sistema en el tiempo ante la acción de determinadas fuerzasexcitadoras, cuando el sistema es no lineal, o cuando en la respuesta del mismointervienen significativamente un número muy alto de modos (por ejemplo, en problemasde propagación de ondas), los métodos de integración paso a paso de las ecuacionesdiferenciales globales del movimiento son la única o la más favorable alternativadisponible. En los restantes casos, dicha integración numérica resulta un procesoexcesivamente caro computacionalmente hablando, y casi siempre es más ventajosodesacoplar las ecuaciones del movimiento o determinar la Matriz de Transferenciamediante un cálculo previo de las frecuencias naturales de vibración contenidas en undeterminado rango de frecuencias y de los modos naturales de vibración asociados. Eséste un problema que aborda la Teoría del Análisis Modal.En muchos problemas prácticos, sin embargo, el número de grados de libertad del sistemaes tan elevado, que los métodos habituales resultan asimismo prohibitivos. Con el objetode resolver esta dificultad, se han desarrollado métodos aproximados para el cálculo defrecuencias y modos naturales de vibración que, sin afectar significativamente a laprecisión de los resultados obtenidos, permiten reducir en casi un orden de magnitud lostiempos de cálculo necesarios para resolver el problema.Algunos de estos métodos aproximados, como los métodos de condensación, sonsimples caminos para reducir el número de grados de libertad; otros, como los métodos desíntesis de componentes, tienen una mayor importancia física, pues son verdaderosmétodos de subestructuras, que permiten estudiar el comportamiento dinámico desistemas más complejos a partir del comportamiento de sus componentes, estudiadostanto teórica como experimentalmente. En los subapartados siguientes, se lleva a cabouna mínima introducción al fundamento de algunos de estos métodos.

MÉTODOS DE CONDENSACIÓN

En varios de los métodos generales de análisis dinámico citados anteriormente aparece elproblema de VVPP generalizado:

[ ] [ ] i2i

i XMXK ⋅⋅ω=⋅




La resolución de este problema puede ser muy laboriosa cuando su tamaño N es muygrande, como ocurre con frecuencia en la práctica del análisis dinámico de sistemasreales.Los métodos de condensación (CONDENSACIÓN ESTÁTICA y CONDENSACIÓNDINÁMICA O DE GUYAN) permiten resolver este problema de un modo aproximado,efectuando un número muy inferior de operaciones aritméticas, sobre la base de utilizar unsistema reducido o condensado, de tamaño muy inferior al inicial.El fundamento de los métodos de condensación esta en el hecho, demostradomatemáticamente, de que el problema de valores y vectores propios generalizado esmucho menos sensible a los errores o perturbaciones en la matriz de inercia, que a loserrores o perturbaciones en la matriz de rigidez. En consecuencia, se trata de aprovecharel hecho de que modificando la matriz de inercia, puede llegarse a un problema de valoresy vectores propios mucho más fácil de resolver.Para la aplicación de los métodos de condensación, se separaran los grados de libertaddel sistema en "grados de libertad conservados" (nc) y "grados de libertad eliminados" (ne)(siendo nc <<< ne), y se tratará de transformar el problema de VVPP inicial en otro detamaño nc, cuya solución sea una aproximación suficientemente buena de la soluciónexacta.Los métodos de condensación son muy utilizados en el análisis dinámico de sistemascomplejos por su sencillez de implementación y de uso. No obstante, conviene advertir queuna utilización incorrecta de ellos puede dar lugar a resultados erróneos, y que el problemafundamental para su aplicación está en la selección de los grados de libertad a conservaren el modelo condensado, tanto en el número de los mismos, como en su distribución.Se puede decir, de manera general, que se eliminarán aquellos grados de libertad enlos que exista aplicada poca masa y gran rigidez. Esto es lo mismo que decir que seseleccionarán como ecuaciones a conservar en el problema condensado aquéllas en lasque haya la mayor proporción de masa frente a rigidez. Esta selección debe hacerse acriterio del analista, en función de la distribución de masa y rigidez del problema concreto.Sin embargo, existen métodos para la selección automática de las ecuaciones a conservar.Entre ellos el más sencillo es el de seleccionar aquellas ecuaciones cuya relación entre lostérminos de la diagonal de las matrices de rigidez e inercia (mii/kii) sea máxima. Estemétodo puede dar muy buenos resultados en muchos casos, pero puede producirasimismo resultados erróneos cuando el sistema presente zonas de rigidez y masa muydiferentes unas de otras, pero de razón masa/rigidez similar.




MÉTODOS DE SÍNTESIS DE COMPONENTES

Los métodos de síntesis (CON FRONTERAS FIJAS, CON FRONTERAS MÓVILES)constituyen una interesante alternativa a los métodos de condensación, con importantesventajas prácticas.El fundamento de estos métodos está en considerar que el sistema estudiado estádividida en varios componentes o subestructuras distintos. Esta división puede estarbasada o no en las características físicas del sistema a analizar.Los métodos de síntesis se basan en el estudio dinámico de cada componente porseparado, en una primera etapa, para estudiar seguidamente el comportamiento dinámicodel conjunto, en un proceso de síntesis de los distintos componentes individuales.Una importante ventaja práctica de algunos de los métodos de síntesis, está en el hechode que permiten estudiar algunos de los componentes teóricamente y otrosexperimentalmente, según sea más conveniente uno u otro método.El objetivo de los métodos de síntesis de componentes es el cálculo aproximado de lasfrecuencias y modos naturales de vibración del sistema completo, para luego aplicarcualquiera de los métodos de análisis que hacen uso de estas características dinámicas.

DDEEPPAARRTTAAMMEENNTTOO DDEEIINNGGEENNIIEERRÍÍAA MMEECCÁÁNNIICCAA,,EENNEERRGGÉÉTTIICCAAYY DDEE MMAATTEERRIIAALLEESS TEMA 6 – CONTROL DE VIBRACIONES



Control deVibraciones




6.1 Introducción ymetodologías

En la práctica, existen un gran número de situaciones en las que es posible reducir, perono eliminar las fuerzas de carácter dinámico (variables en el tiempo) que excitan nuestrosistema mecánico (Fig. 28) dando lugar a la aparición de un problema de vibraciones. Eneste sentido, existen diferentes métodos o formas de plantear el control de lasvibraciones; entre todos ellos cabe destacar:

El conocimiento y control de las frecuencias naturales del sistema de cara aevitar la presencia de resonancias bajo la acción de excitaciones externas.

La introducción de amortiguamientoo de cualquier tipo de mecanismodisipador de energía de cara a preveniruna respuesta del sistema excesiva(vibraciones de gran amplitud), inclusoen el caso de que se produzca unaresonancia.

El uso de elementos aislantes devibraciones que reduzcan latransmisión de las fuerzas deexcitación o de las propias vibracionesentre las diferentes partes queconstituyen nuestro sistema.

Figura 28 – Esquema de un motor decuatro cilindros

La incorporación de absorbedores dinámicos de vibraciones o masas auxiliaresneutralizadoras de vibraciones, llamados también amortiguadores dinámicos, conel objetivo de reducir la respuesta del sistema.




6.2 Control de lasfrecuencias naturales

Sabemos que cuando la frecuencia de excitación coincide con una de las frecuenciasnaturales del sistema, tiene lugar un fenómeno de resonancia. La característica másimportante de la resonancia es que da lugar a grandes desplazamientos, al amplificar demanera importante las vibraciones del sistema. En la mayor parte de los sistemasmecánicos, la presencia de grandes desplazamientos es un fenómeno indeseable ya queprovoca la aparición de tensiones y deformaciones igualmente grandes que puedenocasionar el fallo del sistema.En consecuencia, las condiciones de resonancia deben de tratar de ser evitadas en eldiseño y construcción de cualquier sistema mecánico. No obstante, en la mayor parte delos casos, las frecuencias de excitación no pueden controlarse al venir impuestas por losrequerimientos de carácter funcional del sistema (por ejemplo, velocidades de giro). En talcaso, el objetivo será el control de las frecuencias naturales del sistema para evitar lapresencia de resonancias.Tal y como se deduce de la definición vista para un sistema de un grado de libertad (1 gdl),la frecuencia natural de un sistema mk=ω puede cambiarse variando tanto lamasa (m) como la rigidez (k) del mismo. Aunque la definición se haya establecido paraun sistema de 1 gdl, la conclusión obtenida es, en general, igualmente aplicable a sistemasde N grados de libertad. En muchas situaciones en la práctica, sin embargo, la masa noresulta fácil de cambiar, ya que su valor suele venir determinado por los requerimientosfuncionales del sistema (por ejemplo, la masa del volante de inercia de un eje vienedeterminada por el valor de la energía que se quiere almacenar en un ciclo). Por ello, larigidez del sistema es el parámetro que se modifica de forma más habitual a la hora dealterar las frecuencias naturales de un sistema mecánico. Así, por ejemplo, la rigidez de unrotor puede modificarse cambiando el número y colocación de los puntos de apoyo(cojinetes).




6.3 Introducción deamortiguamiento

Aunque el amortiguamiento es a menudo despreciado de cara a simplificar el análisis deun sistema, especialmente en la búsqueda de sus frecuencias naturales, todos lossistemas mecánicos reales poseen amortiguamiento en mayor o menor medida. Supresencia resulta de gran ayuda en la mayor parte de los casos, e incluso en sistemascomo los parachoques de los automóviles y en muchos instrumentos de medida devibraciones, el amortiguamiento debe ser introducido para satisfacer los requerimientosfuncionales.Si el sistema se encuentra en un caso de vibraciones forzadas, su respuesta (la amplitudde la vibración resultante) tiende a amplificarse en las cercanías de la resonancias, tantomás cuanto menor sea el amortiguamiento. La presencia de amortiguamiento siemprelimita la amplitud de la vibración. Si la fuerza o fuerzas de excitación son de frecuenciasconocidas, será posible evitar las resonancias cambiando la frecuencia natural del sistemay alejándola de aquella o aquellas. Sin embargo, en el caso de que el sistema tenga queoperar en una determinada banda de velocidades (como es el caso de un motor eléctricode velocidad variable o de un motor de combustión), puede que no resulte posible evitar laresonancia en todo el rango de condiciones de operación. En tales casos, podremos tratarde aportar amortiguamiento al sistema con el objetivo de controlar su respuesta dinámica,mediante la introducción de fluidos (agua, aceites, …) que envuelvan al sistema aportandoamortiguamiento externo, o el uso de materiales estructurales con un altoamortiguamiento interno: hierro fundido, laminado, materiales tipo sándwich, …En ciertas aplicaciones de carácter estructural, también es posible introduciramortiguamiento a través de las uniones. Por ejemplo, las uniones atornilladas oremachadas, al permitir un cierto deslizamiento entre superficies, disipan más energía encomparación con las uniones soldadas. Por lo tanto, de cara a aumentar elamortiguamiento de una estructura (su capacidad de disipación de energía) resultan másrecomendables las uniones atornilladas o remachadas. Sin embargo, este tipo de unionesreducen la rigidez del sistema y generan mayores problemas de corrosión comoconsecuencia de las partículas que se desprenden debido precisamente a esedeslizamiento en la unión. Pese a todo, si se precisa diseñar una estructura con un valoralto del amortiguamiento, estas uniones deben ser una posibilidad a tener en cuenta.




Otra posibilidad es hacer uso de materiales viscoelásticos que proporcionan valores muyaltos de amortiguamiento interno. Cuando se emplean este tipo de materiales en el controlde vibraciones, se les hace estar sometidos a la acción de tensiones de cortante otensiones principales. Existen diferentes tipos de disposiciones. La más sencilla es colocaruna capa de material viscoelástico sujeta a otra de material elástico. Otra, más habitual yque da muy buenos resultados, es la formada por una capa de viscoelástico entre dos dematerial elástico. Una desventaja importante asociada al uso de los materialesviscoelásticos es que sus propiedades mecánicas se ven muy afectadas por latemperatura, la frecuencia de las cargas aplicadas sobre ellos y la tensión a la que estánsometidos.




6.4 Aislamiento devibraciones.

TransmisibilidadSe conoce como aislamiento de vibraciones a todo aquél procedimiento que permitereducir los efectos indeseables asociados a toda vibración. Básicamente, ello suelesuponer la introducción de un elemento elástico (aislante) entre la masa vibrante y lafuente de vibración, de forma que se consigue reducir la magnitud de la respuestadinámica del sistema, bajo unas determinadas condiciones de la excitación en vibración.Un sistema de aislamiento de vibracionespuede ser activo o pasivo, dependiendo de sise precisa una fuente externa de potencia o nopara que lleve a cabo su función.Un control pasivo está formado por unelemento elástico (que incorpora una rigidez) yun elemento disipador de energía (que aportaun amortiguamiento). Ejemplos de aislantespasivos (Fig. 29) son: un muelle metálico, uncorcho, un fieltro, un resorte neumático, unelastómero, … Figura 29 – Aislantes pasivosUn control activo de vibración está formado por un servomecanismo que incluye unsensor, un procesador de señal y un actuador. El control mantiene constante una distanciaentre la masa vibrante y un plano de referencia. Cuando la fuerza aplicada al sistema varíaesa distancia, el sensor lo detecta y genera una señal proporcional a la magnitud de laexcitación (o de la respuesta) del sistema. Esta señal llega al procesador que envía unaorden al actuador para que desarrolle un movimiento o fuerza proporcional a dicha señal.La efectividad de un aislante de vibraciones se establece en términos de sutransmisibilidad. La TRANSMISIBILIDAD (Tr) puede definirse como el cociente entre laamplitud de la fuerza transmitida y la de la fuerza de excitación.Los problemas principales que el aislamiento de vibraciones plantea pueden encuadrarsedentro de una de estas dos situaciones:




Aislar un sistema que vibra de la base que lo soporta para que ésta no sufray/o no transmita la vibración a su entorno.

En este caso, las fuerzas que excitan alsistema dando lugar a la vibración puedentener su origen en desequilibrios,desalineamientos, … cuando se trata desistemas mecánicos con elementosalternativos (Fig. 30) o rotativos; o puedentratarse de fuerzas de carácter impulsivo, esel caso de sistemas de prensa, estampación,explosiones, … Figura 30 – Pistón-biela-manivela

Aislar el sistema mecánico a estudio de la base que lo soporta y que estávibrando (excitaciones sísmicas, Fig. 31).

Este puede ser el caso de la protección de uninstrumento o equipo delicado del movimientode su contenedor o su base soporte. En lapráctica, el problema por ejemplo puede serdiseñar correctamente un embalaje para evitarla transmisión de fuerzas de magnitudimportante al instrumento delicado o equipoque se quiere transportar. Figura 31 – Mesa vibrante

REDUCCIÓN DE LA FUERZA TRANSMITIDA A LA BASE

Si el sistema se modeliza como un sistema de un grado de libertad, la fuerza de excitaciónse transmite a la fundación o base a través del muelle y el amortiguador y su valor (Ft(t))viene dado por la suma de ambas componentes: ( ) ( ) ( )txctkxtFt += .

Si la fuerza transmitida a la base Ft(t) varía deforma armónica (como es el caso de sistemascon elementos rotativos, Fig. 32), las tensionesy deformaciones que tendrán lugar sobre loselementos de unión a la fundación tambiénvariarán armónicamente, lo que podría llegar aprovocar un fallo por fatiga. Incluso en el casode que la fuerza transmitida no sea armónica,su magnitud deberá limitarse por debajo deunos valores de seguridad. Figura 32.a – Máquina rotativa




Cuando una máquina rotativa se sujetadirectamente sobre una fundación rígida,ésta se verá sometida a la acción de unafuerza armónica debida al desequilibrio de lamáquina rotativa que se superpondrá a lacarga estática asociada a su peso. Por ello,se colocará un elemento elástico entre lamáquina y la fundación que trate de reducirlas fuerzas transmitidas a esta última. Figura 32.b – Ventilador en voladizo

El sistema puede ser idealizado como un sistema de un grado de libertad (Fig. 33). Elelemento elástico incorpora tanto una rigidez (muelle k) como un amortiguamiento(amortiguador c).Suponiendo que el funcionamiento de lamáquina da lugar a una fuerza deexcitación que actúa sobre el sistema yvaría de forma armónica (el álgebracompleja permite considerar de formasimultánea tanto el caso senoidal como elcosenoidal):

( ) ( )tsenitcosfeftf 0ti

0 ω+ω== ω Figura 33 – Sistema de 1 gdl

La respuesta estacionaria del sistema ante dicha excitación armónica será el producto dela excitación por la función de transferencia H( ω ). Es decir, recordando lo visto al definir lafunción de transferencia en sistemas de 1 gdl:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )Φ−ωΦ−ωω =

ξβ+β−=ω= titi

220ti

0 eXe21k

1fefHtx

La fuerza transmitida a la fundación será la resultante de las fuerzas de resorte yamortiguador:

( ) ( ) ( )txctkxtFt += .

La magnitud de esa fuerza será igual a la composición de los módulos de las dos fuerzasanteriores: Xk2XM2XcF,XkF ck βξ=ωξω=ω== .

( )22c

2kt 21XkFFF ξβ+=+=

Se define así el concepto de TRANSMISIBILIDAD como la relación entre el módulo de lafuerza transmitida al soporte Ft y el módulo de la fuerza excitadora f0. Recordando ladefinición del Factor de Amplificación Dinámica (D):




( ) ( )( )

( )2

0

2220

0

tr 21D

f

2121k

1kf

fFT ξβ+=

ξβ+ξβ+β−

==

Reducción de la fuerza transmitida a la fundación debida al desequilibrio del rotor

Resulta un caso particular del presenteproblema muy habitual. En estasituación, la fuerza que excita el sistemaen esta situación (Figura 34) es lacomponente vertical de la fuerzacentrífuga de la masa m que gira convelocidad angular ω :

( ) ( )ti22 eImrmtsenrmtf ω⋅ω=ω⋅ω= Figura 34 – Transmisión del desequilibrioDe forma análoga a lo descrito anteriormente, la respuesta del sistema ante dichaexcitación será la parte imaginaria del producto de la fuerza compleja por la función detransferencia H( ω ). La transmisibilidad entendida como la relación entre el módulo F dela fuerza transmitida al soporte y el módulo de la fuerza excitadora será idéntica a la vista:

( ) ( )( )

( )22

222

2

r 21Drm

2121

1rMmk

T ξβ+=ω

ξβ+ξβ+β−

β

=

REDUCCIÓN DE LA FUERZA TRANSMITIDA POR LA BASE AL

SISTEMA

Si el sistema se modeliza como un de un grado de libertad, la fuerza transmitida Ft(t)vendrá dada por la resultante de las componentes debidas al muelle y al amortiguador:

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]txtxctxtxktF iit −+−=

Considerese el sistema de la Figura 35, en el que la base está sometida a un movimientoarmónico:

( ) ( )tsenitcosXeXtx iti

ii ω+ω== ω




Se trata de un caso de excitaciónsísmica (excitación por la base), luegola ecuación diferencial del sistemadiscreto básico se cumple aplicada almovimiento relativo entre la masa m yla base, introduciendo como fuerzasexteriores las fuerzas de inercia dearrastre:

( ) tii

2i eXmxmtf ωω=−= Figura 35 – Vibraciones sísmicas

El movimiento relativo resultante será:

( ) ( ) tii

2 eXmHtx ωω⋅ω=

y el absoluto será la suma del movimiento de arrastre xi(t) y relativo ( )tx :

( ) ( ) ( )( ) ti2i

ti2i

tii eHm1XemXHeXtx ωωω ωω+=ω⋅ω+=

De donde, el módulo del desplazamiento resultante X será:

( ) ( ) ( ) ( )2i2

2

i2

i 21DXi21

1XHm1XX ξβ+=ξβ+β−

β+=ωω+=

Se define en este caso la TRANSMISIBILIDAD como la relación entre la amplitud deldesplazamiento del sistema de masa m y la del desplazamiento de la base.

( )2

ir 21D

XXT ξβ+==

Que resulta ser la misma expresión que en el caso anterior.

CONSIDERACIONES PRÁCTICAS SOBRE LA TRANSMISIBILIDAD

El que tanto en un caso como en otro la transmisibilidad tenga la misma expresión anima arepresentarla gráficamente (Fig. 36), de modo análogo a como se hizo con el factor deamplificación dinámica D en sistemas de 1 grado de libertad:

Para poder decir que se ha conseguido el aislamiento es preciso que laTransmisibilidad sea < 1. Puede observarse que ello obliga a que la frecuenciade excitación ω sea, por lo menos, 2 veces la frecuencia natural delsistema ωωωω.




Para valores de ωω=βpróximos a la unidad, el sistemaactúa no como un aislante, sinocomo un amplificador,transmitiendo esfuerzos odesplazamientos muy superioresa los originales.

Para una frecuencia de excitacióndada ω , puede reducirse el valorde transmisibilidad disminuyendola frecuencia natural ω delsistema (lo que equivale aaumentar la ββββ). Figura 36 - Transmisibilidad

Por lo que al amortiguamiento se refiere, la transmisibilidad también puedereducirse disminuyendo la relación de amortiguamiento (ξξξξ) ya que si β es > 2 , laTr disminuye al hacerlo ξξξξ.Sin embargo, este planteamiento resulta perjudicial si el sistema se ve obligado apasar por la resonancia, por ejemplo durante situaciones de arranque y parada. Porello, en cualquier caso, siempre será necesario un cierto amortiguamiento que eviteamplitudes de vibración infinitamente grandes en el paso por la resonancia.




6.5 Aislamiento deimpactos

Los impactos son cargas aplicadas durante un intervalo de tiempo muy corto, normalmenteinferior a una vez el periodo natural del sistema: martillos de fragua, prensa, estampación,explosiones, … son ejemplos de fuerzas de impacto. El aislamiento de impactos puededefinirse como todo aquél procedimiento mediante el cual se pretende reducir losefectos indeseables de un impacto. Los principios presentes en este tipo de problemasson similares a los vistos en el aislamiento de vibraciones, aunque las ecuaciones sondiferentes debido a la naturaleza transitoria del la excitación por impacto.Un carga por impacto de corta duración F(t), aplicada a lo largo de un intervalo de tiempoT, puede ser considerada como un impulso:

( )=T

0dttFF~

que al actuar sobre una masa m, le comunicará una velocidad mF~v =

Es decir, que la aplicación de una carga de impacto de corta duración puede serconsiderada equivalente al establecimiento de una velocidad inicial en el sistema. Ental caso, la respuesta del sistema bajo la carga de impacto puede determinarse apartir de la resolución de un problema de vibraciones libres con velocidad inicial.Asumiendo como condiciones iniciales: ( ) ( ) vx0x,0x0x 00 ====

el problema de vibraciones libres de un sistema de un grado de libertad conamortiguamiento viscoso tiene una respuesta x(t) que puede expresarse:

( ) tsenevtx DD

tω

ω⋅=

ξω−

La fuerza transmitida a la fundación Ft(t) será, una vez más, la resultante de lacomposición de las fuerzas de resorte y amortiguador: ( ) ( ) ( )txctkxtFt += . La aplicaciónen esta ecuación de la expresión obtenida para la respuesta del sistema permitirádeterminar el valor máximo de la fuerza transmitida a la fundación, así como ladependencia de los parámetros que influyen en su valor.




6.6 Absorbedoresdinámicos de

vibracionesUna máquina o sistema mecánico puede experimentar unos niveles excesivos de vibraciónsi opera bajo la acción de una frecuencia de excitación cercana a alguna de las frecuenciasnaturales del sistema. En estos casos, el nivel de vibración puede reducirse tambiénhaciendo uso de un absorbedor dinámico de vibraciones, que no es otra cosa sino otrosistema masa-resorte que se añade al sistema. En este sentido, el absorbedor dinámico devibraciones se diseña de tal forma que las frecuencias naturales del sistema resultante seencuentren alejadas de la frecuencia de excitación. El análisis de este tipo de sistemaspara el control de vibraciones se llevará a cabo idealizando la máquina o sistema mecánicomediante un sistema de un grado de libertad.

ABSORBEDOR DINÁMICO DE VIBRACIONES SIN AMORTIGUAMIENTO

Sea un sistema (Fig. 37) de masa m1 sujeto a laacción de una fuerza excitadora de carácterarmónico ti

0eFF ω= en el caso más general(senoidal en el ejemplo de la figura 38). Siañadimos una masa auxiliar m2, el resultado es unsistema de dos grados de libertad.Planteando las ecuaciones del movimiento,suponiendo una solución armónica:

( ) ( ) ti22

ti11 eXtx,eXtx ωω ⋅=⋅=

y resolviendo el sistema de forma similar a lodesarrollado en el apartado de sistemas de 2 gdl,obtendremos las amplitudes de las vibracionesestacionarias de ambas masas:

Figura 37 – Absorbedor dinámico noamortiguado




( )( ) ( )2

222

12

21

2220

1 mmmkFX

ω−ω⋅ω−ωω−⋅= ( ) ( )2

222

12

21

022 mm

FkXω−ω⋅ω−ω

=

El objetivo es reducir X1, amplitud de la vibración correspondiente al sistema inicial demasa m1, por lo que interesará que el numerador correspondiente sea nulo. Si, además,inicialmente el sistema estaba operando cerca de la resonancia, es decir

1112 mk ω=≅ω , se deduce que el absorbedor deberá diseñarse de forma que su masa y

rigidez cumplan:

11

12

2

22

mk

mk ω==ω==ω

Así, la amplitud de vibración de lamáquina o sistema originaloperando en su frecuencia deresonancia original será cero(antiresonancia). Es decir, no esque se haya reducido la amplitudde la vibración desde un valorinfinito a un valor finito, comoocurriría si lo que hiciésemosfuera introducir amortiguamiento,sino que la hemos reducido acero (Fig. 38). Figura 38 – 1X frente a β

En cualquier caso, existen consideraciones que han de tenerse en cuenta, algunas de lascuales pueden observarse en la figura:

La introducción de absorbedor dinámico de vibraciones elimina la vibración a lafrecuencia de excitación ω , pero introduce dos nuevas frecuencias de resonanciaΩ1 y Ω2 en las que las amplitudes de vibración de ambas masas se vuelve infinita.

Puede comprobarse que dichas frecuencias de resonancia Ω1 y Ω2 se encuentranpor encima y por debajo respectivamente de la frecuencia de resonancia original ω.Por lo tanto, si el sistema se va a ver sometido a situaciones de arranque o paradahasta la frecuencia de operación ω , pasará por la nueva resonancia Ω1 dandolugar a amplitudes de vibración importantes que habrán de ser tomadas enconsideración.

La separación entre estas dos nuevas frecuencias de resonancia Ω1 y Ω2 sedenomina banda de absorción (anchura de banda de amplitudes mínimas devibración alrededor de la resonancia original) y será tanto mayor cuanto mayores




sean los valores seleccionados para m2 y k2. Si los valores de masa y rigidez delabsorbedor son grandes, la banda de absorción será más ancha y eldesplazamiento 2X de la masa m2 añadida será pequeño, pero nuestro sistemahabrá de ser capaz de admitir la introducción de una masa importante. Si, por elcontrario, los valores seleccionados son pequeños, no habrá problemas enintroducir una pequeña masa m2 al sistema; pero la banda de absorción será muchomás estrecha y al ser k2 igualmente pequeña, la amplitud de la vibración 2X de estanueva masa será importante por lo que el diseño de nuestro sistema habrá de sercapaz de permitirla.

Como el absorbedor dinámico está sintonizado a una frecuencia de excitacióndeterminada ( ω ), la amplitud de vibración del régimen estacionario del sistemaserá cero sólo a esa frecuencia. Si el sistema funciona a otras frecuencias o lafuerza de excitación que actúa sobre el sistema tiene contenido en variasfrecuencias, la amplitud global de la vibración de la máquina o sistema puede llegara ser mayor.

La solución adoptada mediante un absorbedor de estas características permite controlar larespuesta en vibración del sistema sin añadir más amortiguamiento ni disipar más energía,simplemente redistribuyendo la energía de vibración con una nueva masa. Una aplicacióntípica de este tipo de sistemas es la reducción del nivel de vibración en líneas de corrientede alta tensión. El amortiguador dinámico empleado en estos casos tiene la forma que sepuede observar en la Figura 39. Recibe este nombre aunque no aporte propiamenteamortiguamiento, lo único que ocurre es que la energía que antes “estaba haciendo vibrar”el cable, ahora “hará vibrar” el amortiguador.

Figura 39 – Esquema de un amortiguador dinámico para cables de alta tensión

ABSORBEDOR DINÁMICO DE VIBRACIONES CON

AMORTIGUAMIENTO

El absorbedor dinámico de vibraciones descrito en el apartado anterior elimina el pico deresonancia original en la curva de respuesta del sistema, pero introduce dos nuevos picosde resonancia (Fig. 38) provocando amplitudes de vibración importantes durante losprocesos de arranque y parada del sistema.




No obstante, este problema puedereducirse considerando la introducciónde un absorbedor dinámico devibraciones que incluya, asimismo (Fig.40), un determinado amortiguamiento(c2). En tal caso, hay que constatar:

Si el amortiguamiento introducidoes nulo (c2=ξ2=0) estaríamos enla situación anterior con dosfrecuencias de resonancia noamortiguadas Ω1 y Ω2. Figura 40 - Absorbedor dinámico amortiguado

Si el amortiguamiento tiende a infinito (ξ2→∞), las dos masas m1 y m2 resultanrígidamente unidas y el sistema se comporta como si se tratara de un sistema de 1grado de libertad de masa (m1+m2) y rigidez k1 que presenta una resonancia en laque 1X → ∞ para un valor de

12 mm11

+=ω

ω=β .

Por lo tanto, la amplitud de vibracióndel sistema 1X se puede hacerinfinita (resonancia) tanto para ξ2=0como para ξ2=∞; sin embargo, entreambos límites existe un punto en elque 1X se hace mínimo (Fig. 41). Ental caso, se dice que el absorbedorde vibraciones está sintonizado deforma óptima. Figura 41 - 1X frente a β

Puede comprobarse que un absorbedor de vibraciones está óptimamente sintonizadocuando el diseño de su masa (m2) y rigidez (k2) es tal que cumple la condición:

12

22

mm11mk

+=

ω

a la vez que un valor óptimo para la relación de amortiguamiento utilizada en el diseño deeste tipo de absorbedores es:

3

12

12

2óptimo

mm18

mm3

+

⋅=ξ




En este tipo de absorbedores cabe constatar dos aspectos a considerar en su diseño:

La amplitud del movimiento vibratorio de la masa del absorbedor ( 2X ) siempre serámucho mayor que la de la masa principal del sistema ( 1X ). Por lo tanto, el diseñodeberá de tener esta cuestión en cuenta de cara a posibilitar la amplitud devibración del absorbedor.

Dado que las amplitudes de m2 se esperan que sean importantes, el resorte delabsorbedor (k2) necesitará ser diseñado desde el punto de vista de la resistencia a fatiga.

DDEEPPAARRTTAAMMEENNTTOO DDEEIINNGGEENNIIEERRÍÍAA MMEECCÁÁNNIICCAA,,EENNEERRGGÉÉTTIICCAAYY DDEE MMAATTEERRIIAALLEESS TEMA 7 – NORMATIVA SOBRE VIBRACIONES

CCUURRSSOO DDEE DDOOCCTTOORRAADDOO::IINNTTRROODDUUCCCCIIÓÓNN AALL FFEENNÓÓMMEENNOO DDEE LLAASS VVIIBBRRAACCIIOONNEESS MMEECCÁÁNNIICCAASS - 7.1 -

NormativasobreVibraciones



7.1 IntroducciónUna buena norma debe representar una opinión consensuada de un número importante deusuarios, debe ser de fácil comprensión, fácil de usar y no contener ambigüedades. Todanorma debe de contener aquella información que permita comparar, con criteriosconsensuados, procedimientos habituales de medida y evaluación de datos. En estesentido, los objetivos a alcanzar por una norma pueden ser, entre otros:

Establecer criterios para la clasificación del rendimiento de un equipo o material. Proporcionar una base para la comparación de las cualidades de mantenimiento de

los componentes o piezas de un equipo del mismo tipo. Examinar un equipamiento o instalación cuyo funcionamiento continuado es preciso

para asegurar la seguridad industrial o pública. Establecer una base a partir de la cual llevar a cabo la selección de equipos o

materiales. Determinar procedimientos para la calibración de equipos.

Así, algunas normas establecen clasificaciones para los equipos indicando cómo han dellevarse a cabo las medidas y cómo han de analizarse los datos obtenidos; definiendo, delmismo modo, las condiciones de operación del equipo durante el procedimiento de ensayo.En este capítulo, se va a hacer mención principalmente a la normativa relacionada con lavibración en máquinas y sus posibles clasificaciones. En general, no se van a introducirotros posibles campos como podrían ser:

Normas para la calibración de transductores. Normas para el diseño de máquinas de ensayo por impacto. Normas asociadas a procedimientos de ensayo para la caracterización de

materiales elastómeros empleados en dispositivos de aislamiento de vibraciones eimpactos (normas de la ASTM – American Society for Testing and Materials).

Normas para la evaluación, ensayo y uso de máquinas de equilibrado. Normas relativas a los métodos de ensayo y caracterización de materiales de

protección para embalajes. Normas relativas a los efectos de los impactos y las vibraciones en el hombre.



7.2 Tipos de normasAtendiendo al ámbito de desarrollo y de aplicación pueden distinguirse los siguientes tiposde normas:

Normas Internacionales (ISO – International Standards Organization). Seconsideran de máxima prioridad en transacciones internacionales, siendo en lapráctica el punto de partida para valorar la severidad de vibraciones. El principalinconveniente que presentan dichas normas es su carácter general.

Normas Europeas (EN). Dentro del ámbito de la Unión Europea, las normas odirectrices europeas van constituyendo en los últimos años la referencia a la queadecuar las correspondientes Normas de carácter nacional. Así, es habitual que lasmismas incorporen en su preámbulo una afirmación del tipo:

“Esta norma europea deberá recibir el carácter de norma nacional, bien porla publicación de un texto idéntico, bien por ratificación lo más tarde en enerode 1998 y las normas Internacionales en contradicción con ella deberán serretiradas lo más tarde en enero de 1998”.

Normas Nacionales (UNE). Por ejemplo, la norma UNE 20-180-86, que secomentará posteriormente. Esta norma debería ser la más utilizada para determinarla severidad de la vibración en un determinado tipo de máquinas, aunque seconsidera más como recomendación que como mandato legal.

Recomendaciones y guías de los fabricantes. Son recomendaciones de losfabricantes sobre los niveles de vibración permisibles por sus equipos. En la mayorparte de los casos, se limitan al área de la turbomaquinaria, aunque hay una grantendencia a exigir este tipo de información al fabricante cada vez que se adquiereun equipo crítico.

Normas internas. Resulta recomendable desarrollar normativas internas propias devibraciones por ser las que mejor se adaptan a los equipos tipo de cada plantaproductiva. Esta en una de las tareas más difíciles dentro del MantenimientoPredictivo, pero se ve recompensada a medio plazo por los excelentes resultadosobtenidos.



7.3 Tipos de maquinariaDesde el punto de vista de la medida y evaluación de la vibración, las máquinas puedensubdividirse básicamente en cuatro categorías:

Máquinas de movimiento alternativo con componentes tanto rotativos comoalternativos (motores diesel y ciertos tipos de bombas y compresores). En estoscasos, la vibración se mide normalmente en la estructura principal de la máquina abajas frecuencias.

Máquinas rotativas con rotores rígidos (ciertos tipos de motores eléctricos,bombas monoetapa y bombas de baja velocidad). La vibración habitualmente semide en la estructura principal de la máquina (tapas de cojinetes o soportes) dondelos niveles de vibración resultan indicativos de las fuerzas de excitación generadasen el rotor como consecuencia de desequilibrios, rozamientos, deformacionestérmicas, vórtices y otros tipos de excitación.

Máquinas rotativas con rotores flexibles (grandes generadores de turbina devapor, bombas multietapa y compresores). La máquina puede vibrar de acuerdo conmás de un modo de vibración según pasa por una o más de sus velocidades críticashasta alcanzar la velocidad correspondiente al régimen de servicio. En este tipo demáquinas, la medida de la amplitud de vibración en un elemento de la estructurapuede no ser indicativa del estado vibracional del rotor. Por ejemplo, un rotor flexiblepuede experimentar desplazamientos en vibración de gran amplitud que den lugar aun rápido fallo de la máquinas, aunque el nivel de vibración medido en la tapa delcojinete resulte ser muy pequeño. En estos caso, por tanto, puede resultar esencialmedir directamente la vibración en el eje.

Máquinas rotativas con rotores semirígidos (turbinas de vapor de baja presión,compresores de flujo axial y ventiladores). En este tipo de máquinas, el tipo de rotorflexible que les caracteriza permite que la medida de amplitud de vibración en latapa del cojinete resulte indicativa de la vibración del eje.



7.4 Normas sobre lainstrumentación y

sistemas de medidaEstas normas se refieren a las características de los equipos y sistemas de medida yadquisición, analizadores de vibraciones y sensores, empleados en la medida y análisis devibraciones. Engloban aspectos muy diversos como calibración, pruebas de seguridad,agitación y temperatura, etc. Al mismo tiempo, es importante destacar el hecho de comohay que cuidar particularmente el aspecto de los sensores, si se piensa utilizar el aparatoen zonas potencialmente explosivas (es decir, en estos casos, tanto el aparato como elsensor han de ser intrínsecamente seguros). Algunas de las normas más habituales quesuelen cumplir los aparatos y sensores de medida pueden ser las denominadas como: IEC,MIL y CISPR.Entre las normas nacionales (UNE) que hacen referencia a estos aspectos, se puedendestacar las siguientes:

UNE 21 328 75 (1) “Características relativas a los transductoreselectromecánicos destinados a la medida de choques y vibraciones”.

UNE 21 328 75 (2) “Clases de captadores de vibraciones y elementos sensiblesempleados en estos captadores”.

UNE 95 010 86 “Vibraciones y choques, terminología”.A su vez, entre las normas ISO cabe mencionar la ISO 2954 “Vibración mecánica enmaquinaria rotativa y alternativa – Requerimientos para los instrumentos de medidade la severidad de vibración”.No obstante, es importante constatar como un número importante de aparatos de medidade vibraciones no cumple, en general, ninguna norma internacional. En la mayor parte delos casos, se confía en el renombre de ciertas marcas como garantía suficiente. Sinembargo, el cumplimiento de las normas de aparatos puede ser punto de conflicto en losperitajes.



7.5 Normas y guías sobrela severidad de las

vibracionesA la hora de llevar a cabo una clasificación de la severidad de la vibración en una máquina,la variable del movimiento a considerar (desplazamiento, velocidad o aceleración de lavibración) depende del tipo de norma y del rango de frecuencias a analizar, amén de otrosfactores. Por ejemplo:

El análisis del estado vibracional de una máquina en el rango de 10 a 1.000 Hz, sesuele llevar a cabo a menudo en función de la velocidad de vibración, al resultar unparámetro prácticamente independiente de la frecuencia en este rango, lo quefacilita el llevar a cabo una medida sencilla de la severidad de las vibraciones enuna máquina.

Cuando se trata de analizar un movimiento armónico simple, puede llevarse a caboel estudio midiendo valores pico a pico, o valores rms, del desplazamiento envibración. Sin embargo, para máquinas cuyo movimiento es más complejo, el usode estos dos índices da lugar a resultados claramente diferentes debido al distintopeso aportado por los armónicos de más alta frecuencia.

En máquinas rotativas con velocidad de giro dentro del rango de 600 a 12.000 RPM,el valor rms de las amplitudes de la velocidad de vibración suele correspondersebastante bien con el nivel de severidad de la vibración. Así, la InternationalStandards Organization (ISO) define como “severidad de la vibración” el mayorvalor rms de la amplitud de velocidad de vibración obtenido en la banda defrecuencia 10 – 1.000 Hz y medido en unos puntos preestablecidos de la estructura(normalmente medidas triaxiales en la tapa de los cojinetes o en los soportes).

Por lo tanto, por regla general, las normas de severidad de vibraciones de maquinaria sebasan en dos parámetros de la vibración: amplitud y frecuencia. A continuación, se van acomentar algunas de ellas y su aplicación a los diferentes tipos de maquinaria establecidosanteriormente.



CARTA DE RATHBONE

Es la primera guía (nonorma) de amplia aceptaciónen el ámbito industrial. Fuedesarrollada en los añostreinta y perfeccionadaposteriormente. La Cartadispone de dos escalaslogarítmicas: frecuencial enhercios (Hz) y amplitudes endesplazamiento (Pico),mediante las que se podrádeterminar directamente laseveridad de la vibración.Las principales limitacionesde dicha carta son lassiguientes:

No tiene en cuenta eltipo de máquina, lapotencia y la rigidezde los anclajes.

La carta es aplicablesolamente a losequipos rotativos y noa los alternativos o aotros sistemasindustriales. Carta Rathbone

Cuanto mayor es la frecuencia, la amplitud de vibración en desplazamiento tieneque ser menor para que se conserve la misma severidad. Es decir, si un equipovibra a 300 RPM con 100 micras P-P, la severidad es “buena”, pero si la mismaamplitud corresponde a una frecuencia de 4.000 CPM, entonces la severidad es“muy severa”. La vibración a baja frecuencia es menos peligrosa, que la vibración aalta frecuencia, de ahí que las averías de engranajes y rodamientos, que seproducen generalmente a alta frecuencia, sean muy peligrosas. Este es el motivopor el que las amplitudes de baja frecuencia se miden en desplazamientos y las dealta frecuencia, en velocidad o aceleración. La carta de Rathbone fue creada paramáquinas de bajas RPM y hoy se considera obsoleta.



NORMAS ISO

La normalización internacional (INTERNATIONAL STANDARD ORGANIZATION) sobre laseveridad de vibraciones de máquinas tiene una extensa gama de normas, entre las cualespueden citarse:

ISO 2372-1974. “Vibración mecánica de máquinas con velocidades deoperación entre 10 y 200 rev/s. Bases para la especificación de estándares deevaluación”.Es aplicable a máquinas rotativas con rotores rígidos y a máquinas rotativas conrotores flexibles en los que la medida de vibración en la tapa del cojinete resultaindicativa del comportamiento vibracional de eje.Sólo estudia vibración global, sin bandas de frecuencias.Los datos que se requieren para su aplicación son el nivel global de vibración envelocidad - valor eficaz RMS, en un rango de frecuencia entre 10 y 1.000 Hz(severidad de la vibración, según ISO). Por ello, cuando se trabaja enmantenimiento predictivo haciendo análisis por bandas, puede resultar muy útildefinir siempre una banda ISO de 10 Hz a 1KHz, de cara a tener una referenciapara posibles informes o reclamaciones.El análisis de este rango de frecuencias permite incluir, para estas velocidades deoperación, las acusas más comunes de vibración en máquinas rotativas:

• Excitaciones de carácter asíncrono debidas a rozamientos.

• Desequilibrio del rotor.

• Excitaciones de carácter eléctrico y sus armónicos.

• Armónicos de excitaciones asíncronas del rotor.De cara al establecimiento de la severidad de vibración admisible, se distinguenvarias clases de máquinas rotativas:

• CLASE I – Componentes individuales, totalmente conectados al conjunto de lamáquina en condiciones normales de operación. Por ejemplo, pequeñosmotores eléctricos hasta 15 Kw.

• CLASE II – Máquinas de tamaño medio. Por ejemplo, motores eléctricos de 15a 75 Kw o hasta 300 Kw en motores con cimentación especial.

• CLASE III – Motores principales grandes, con cimentación rígida y pesada.

• CLASE IV - Motores principales grandes montados sobre cimentación blanda yligera. Por ejemplo, Turbomaquinaria (equipos con RPM > velocidad crítica).



El criterio de severidad en vibración admisible para cada una de las CLASES demáquinas mencionadas, es el reflejado en la Tabla:

Como puede observarse en al tabla, la severidad de vibración se divide en cuatrorangos: A-Buena, B-Satisfactoria, C-Insatisfactoria o D-Inaceptable. Para utilizar lanorma ISO 2372, basta con clasificar la máquina en estudio dentro de la clasecorrespondiente y, una vez obtenido el valor global (RMS) de vibración entre 600 y60.000 CPM, localizar en la tabla la zona en la que se encuentra. La clasificación dela máquina se llevará a cabo en base a una serie de consideraciones:

• El tipo y tamaño de la máquina.

• El tipo de servicio que la misma va a proporcionar o proporciona.

• El sistema de soporte de la máquina.

• El efecto de la vibración en la máquina sobre el entorno de la misma(instrumentación, equipos adyacentes, personas, ...)

En general, se suele considerar que la severidad de vibración de la máquina semantiene invariable si presenta siempre el mismo valor RMS de amplitud develocidad de vibración en el rango de frecuencias 10 – 1.000 Hz.

ISO 3945. “Medida y evaluación de la severidad de vibración en grandesmáquinas rotativas , in situ; velocidades de operación entre 10 y 200 rev/s”:Esta norma, como su mismo título indica, permite clasificar la severidad de vibraciónde grandes máquinas rotativas “in situ”, para velocidades de operación tambiénentre 600 y 1.200 RPM, mediante la Tabla de la página siguiente. Se aplica a losgrandes motores principales, Clases III y IV definidas arriba.



En este caso, la clasificación de la severidad de vibración depende de lascaracterísticas de flexibilidad o rigidez del sistema soporte que presenta la máquina:

• Se dice que los soportes son flexibles si la frecuencia fundamental de lamáquina sobre dichos soportes es menor que la principal frecuencia deexcitación.

• Los soportes se dicen rígidos si la frecuencia fundamental de la máquina sobrelos mismos es menor que la principal frecuencia de excitación.

ISO 10816. “Vibración mecánica. – Evaluación de la vibración en una máquinamediante medidas en partes no rotativas”.Es una normativa más reciente que las anteriores (de los 90). Recoge una serie denormas, incluidas en la Tabla siguiente, que describen los procedimientos para laevaluación de la vibración en máquinas en base a medidas realizadas en partes norotativas de las mismas.

Cada una de las partes de esta norma proporciona un estándar individual para unaserie de máquinas y define información específica y criterios aplicables únicamentea esas máquinas.



El criterio general relaciona el monitorizado en condiciones de operación y elensayo de aceptación de la máquina; y se expresa tanto en términos de magnitudde vibración como de variación en dicha magnitud. Es decir, no hace referencia sóloa valores absolutos, sino también a valores relativos, a variaciones y tendencias.No sólo habla de velocidad, sino también de aceleración y desplazamiento.

ISO 7919. “Vibración mecánica de máquinas no alternativas – Medidas en ejesrotativos y evaluación”Una máquina rotativa que tiene una carcasa relativamente rígida y/o pesada encomparación con su masa rotativa, a menudo puede llegar a considerarse comoque tiene un eje rotor flexible.En tal caso, las condiciones de vibración han de ser evaluadas con un mayor gradode sensibilidad si las medidas son llevadas a cabo sobre los elementos rotativos yno sobre los componentes estáticos de la máquina.Para este tipo de máquinas resulta preferible aplicar la normativa recogida en laserie de normas englobada por esta ISO 7919 y que se reflejan en la Tablasiguiente, antes que considerar la ISO 2372 o la ISO 3945. Estas dos últimaspueden no caracterizar adecuadamente las condiciones de funcionamiento de lamáquina; aunque la realización de las medidas de acuerdo con lo establecido enestas dos normas sí pueden resultar útiles.

ISO 10817-1. “Sistemas de medida de vibración en ejes rotativos, Parte 1:Señal relativa y absoluta de la vibración radial de ejes rotativos”.En el caso de motores eléctricos y generadores, las normas de la ISO, la ANSI(American National Standards Institute) la NEMA (National Electrical ManufacturersAssociation y la API (Americal Petroleum Institute) establecer una serie de criteriosde clasificación para los niveles de vibración admisibles en motores eléctricos.Estos sistemas de clasificación no son iguales en todos los casos. Algunos estánbasados en el desplazamiento en vibración del eje PICO a PICO, mientras queotros utilizan bien el valor RMS o el valor PICO de la amplitud de vibración en



velocidad medida sobre la estructura (sobre los alojamientos de los cojinetes o lossoportes), como es el caso de esta norma ISO 10817-1.En cualquier caso, en cada norma se especifica las condiciones de ensayo y elprocedimiento a seguir, incluido el montaje para el soporte de la máquina, lainstrumentación y el método de ensayo.

ISO 2373. “Vibración mecánica en cierta maquinaria eléctrica rotativa conalturas de eje entre 80 y 400 mm – Medida y evaluación de la severidad devibración”.Esta norma constituye una adaptación especial de la ISO 2372 para motoreseléctricos, y se aplica a motores de corriente alterna trifásica y a motores decorriente continua con alturas de eje (distancia vertical entre la base del motor y lalínea central del eje) entre 80 y 400 mm.En este caso, el criterio de severidad de vibración (el mismo que el de la ISO 2372)se toma en términos del valor RMS de amplitud de vibración en velocidad, en elrango de 10 a 1.000 Hz, cuando la medida se lleva a cabo con una instrumentaciónque cumple los requerimientos establecidos por la ISO 2954.Las medidas se realizan con la máquina suspendida libre (por ejemplo, suspendidao montada sobre un soporte elástico de muelles o material elastomérico). El motoropera a la frecuencia nominal (para los motores AC) y a su velocidad nominal.Cuando se trata de máquinas que disponen de varias velocidades o velocidadesvariables, los ensayos son llevados a cabo a diferentes velocidades de operación.Salvo que se diga lo contrario, las medidas de la severidad de vibración deben derealizarse sin carga de operación y a la temperatura alcanzada por el motordespués de un periodo suficiente de operación en situación de no carga.La tabla siguiente establece los límites recomendados de la severidad en vibraciónpara varios tamaños de motor.



7.6 Normativa decarácter nacional

Además de las normas internacionales mencionadas en el apartado anterior, hay quevolver a recordar la existencia de normas españolas como la UNE 20-180-86 “VibracionesMecánicas de determinadas Máquinas Eléctricas Rotativas de Altura de Eje Igual oSuperior a 56 mm”, basada en la norma ISO 2372, antes comentada.En aquellos casos en los que se dispongan de sistemas de motorizado en continuo demaquinaria rotativa con sensores de proximidad (sin contacto), es conveniente consultartambién otras normas como la API (Americam Petroleum Institute), en particular la normaAPI 670 y la norma VDI 2056.También hay que hacer obligada mención a toda aquella normativa que está surgiendo enlos últimos años en base a la obligada adecuación de carácter nacional de las sucesivasNormas y Directivas Europeas que van siendo desarrolladas por el Comité Europeo deNormalización (CEN); ya que, de acuerdo con las Reglas internas del CEN, los siguientespaíses están obligados a adoptar estas normas europeas: Alemania, Austria, Bélgica,Dinamarca, España, Finlandia, Francia, Grecia, Irlanda, Islandia, Italia, Luxemburgo,Noruega, Países Bajos, Portugal, Reino Unido, República Checa, Suecia y Suiza.Se recogen a continuación de forma resumida algunos de los aspectos más importantes detres recientes normas UNE surgidas de las normas europeas elaboradas por el ComitéTécnico CEN/TC 231 "Vibraciones y choques mecánicos", cuya Secretaría desempeñaDIN y por el Comité Técnico AEN/CTN 81 "Prevención y Medios de ProtecciónPersonal y Colectiva en el Trabajo", cuya Secretaría desempeña AMYS-INSHT:

UNE–EN 12096 (1997). Vibraciones mecánicas. Declaración y verificación de losvalores de Emisión vibratoria.

UNE–EN 1299 (1997). Vibraciones y choques mecánicos. Aislamiento de lasvibraciones de las máquinas. Información para la aplicación del aislamiento en lafuente.

UNE–CR 1030-1 (1995). Vibraciones mano-brazo. Directrices para la reducción delos riesgos por vibraciones. Parte 1: Métodos de ingeniería para el diseño demáquinas.



UNE–EN 12096

Los descriptores que encabezan esta norma son: Máquina, seguridad, vibración, medida,intensidad vibratoria, valor máximo, verificación, análisis estadístico, ergonomía, cuerpohumano. Constituye la versión española de la Norma Europea aprobada por CEN el 03-07-1997 y lleva por título: Vibraciones mecánicas. Declaración y verificación de losvalores de emisión vibratoria.En la INTRODUCCIÓN a la norma, se destaca el hecho de como los usuarios,diseñadores, constructores y autoridades tienen la necesidad de tener información sobre laemisión de vibraciones generadas por las máquinas, por ejemplo para cumplir con lasobligaciones descritas en las Directivas Europeas 89/392/CEE y 91/368/CEE sobremáquinas. Esta información es necesaria para comparar las emisiones de vibraciones dediferentes productos y para evaluar las vibraciones frente a los requisitos de vibraciones.Para que los valores de emisión de vibraciones sean útiles, son necesarios métodosuniformes que permitan conseguir los OBJETIVOS siguientes:

La medida de los valores de vibración. La determinación del valor declarado de emisión de vibración. La presentación del valor declarado de emisión de vibración. La verificación del valor declarado de emisión de vibración.

En este sentido, esta norma establece los requisitos para la declaración y la verificación delos valores de emisión de vibraciones:

Proporciona indicaciones sobre la declaración de los valores de emisión devibración.

Describe la información sobre las vibraciones y el producto a incluir en losdocumentos técnicos suministrados por el fabricante a los usuarios.

Especifica el método para verificar los valores declarados de emisión devibraciones, establecidos por el fabricante.

Los valores a utilizar para la declaración de emisión de vibraciones son valores eficaces(rms) de aceleración ponderada, medidos, preferentemente, según un código de ensayo devibraciones. Los métodos estadísticos utilizados para la declaración y la verificación sonequivalentes a los dados en acústica (Norma EN 27574).La norma incorpora, a su vez, disposiciones de OTRAS REGLAMENTACIONES.

ENV 25349 - Vibraciones mecánicas. Directrices para la medida y evaluación de laexposición humana a las vibraciones transmitidas por la mano. (ISO 5349: 1986)



ENV 28041 - Respuesta humana a las vibraciones. Instrumentos de medida. (ISO8041:1990 + corrigendum 1:1993)

ISO 2631-1 - Vibraciones y choques mecánicos. Evaluación de la exposiciónhumana a las vibraciones de cuerpo completo. Parte 1: Requisitos generales.

Para los fines de la norma se aplican una serie de DEFINICIONES agrupadas en doscategorías: definiciones generales y definiciones ligadas a las vibraciones.

Definiciones generales:Máquina: Conjunto de piezas u órganos unidos entre ellos, de los cuales uno por lomenos habrá de ser móvil y, en su caso, de órganos de accionamiento, circuitos demando y de potencia, etc., asociados de forma solidaria para una aplicacióndeterminada, en particular para la transformación, tratamiento, desplazamiento yacondicionamiento de un material. También se considerará como máquina a unconjunto de máquinas que, para llegar a un mismo resultado, están dispuestas yaccionadas para funcionar solidariamente.Familia de máquinas: Máquinas de tipo o diseño similar, destinadas a cumplir lasmismas funciones.Conjunto (lote) de máquinas: Grupo de máquinas de una misma familiadestinadas a cumplir la misma función, producido en cantidad, fabricado según lasmismas especificaciones técnicas y caracterizado por el mismo valor declarado deemisión de vibraciones. El lote puede ser, bien una producción en serie completa, obien una de sus fracciones.Modo de funcionamiento: Condición bajo la cual la máquina cumple la funciónpara la que ha sido concebida, pudiendo ser simulada artificialmente, como seespecifica en una norma correspondiente.Código de ensayo de vibraciones: Norma relativa a una familia, subfamilia o tipoespecífico de máquinas. Proporciona toda la información necesaria para efectuar deuna manera eficaz la determinación de las características de emisión devibraciones, precisa para la declaración y la verificación según esta norma europea.Asegura la compatibilidad y permite la comparación de los resultados del ensayo.

Definiciones ligadas a las vibraciones:Aceleración: Valor eficaz (rms) de la aceleración de la vibración.Aceleración ponderada mano-brazo, ah,w: Aceleración en el punto de medidadeterminada por medidas utilizando un filtro de ponderación conforme a la NormaENV 25349. Se expresa en m/s2.



Aceleración ponderada de cuerpo completo, awx, awy, awz y aw : Aceleración en elpunto de medida determinada por medidas utilizando filtros de ponderaciónconformes a las Normas ENV 28041 e ISO 2631-1. Se expresa en m/s2.Valor medio de emisión de vibraciones, a: Valor que representa el valor medidode emisión de vibraciones de una sola máquina o el valor medio obtenido de unamuestra razonablemente grande de un lote de máquinas. Se expresa en m/s2. Elvalor medido de emisión de vibraciones no se redondea.Incertidumbre, K: Valor que representa la incertidumbre de la medida delvalor medido de emisión de vibraciones, a, y también, en el caso de lotes, lasvariaciones en la producción de las máquinas. Se expresa en m/s2.Valor declarado de emisión de vibraciones, a y K: Valor medido de emisión devibraciones, a, y su incertidumbre asociada, K. La suma de a y K indica el límite pordebajo del que se encuentra el valor de vibraciones de una sola máquina y/o unaamplia proporción especificada de valores de vibraciones de un lote de máquinas,cuando éstas son nuevas.Declaración de emisión de vibraciones: Información sobre la emisión devibraciones generadas por una máquina, dada por el fabricante o el suministradoren los documentos técnicos o en cualquier otro documento, relativa a los valores deemisión de vibraciones. La declaración de emisión de vibraciones se presenta comoun valor con dos números.

La DECLARACIÓN DEL VALOR DE EMISIÓN DE VIBRACIONES, a y K, de las máquinases responsabilidad única del fabricante. Los valores declarados de emisión de vibracionesde una máquina debe determinarse según el modo de funcionamiento descrito en el códigode ensayo de vibraciones correspondiente. En ausencia de código de ensayo devibraciones, se deberá utilizar el modo de funcionamiento más representativo.En el caso de que los datos requeridos para la determinación de K no estén disponibles enotras normas aplicables a la máquina en particular, puede utilizarse como directriz paraestimar la incertidumbre K la tabla siguiente.

Valor medido, aVibraciones mano-brazo Vibraciones cuerpo completo Incertidumbre, K

2.5 m/s2 < a ≤ 5 m/s2

a > 5 m/s20.5 m/s2 < a ≤ 1 m/s2

a > 1 m/s20.5 a0.4 a

Las DIRECTRICES PARA LA DETERMINACIÓN DE LOS VALORES DECLARATIVOSDE EMISIÓN DE VIBRACIONES de máquinas permiten que los valores declaradospuedan verificarse conforme a los procedimientos establecidos en la norma. En estesentido, los valores de emisión de vibraciones, a, se miden para cada modo defuncionamiento especificado en el código de ensayo de vibraciones para cada tipo de



máquina, o, si no existe tal código, el modo de funcionamiento seleccionado a partir delmétodo básico, por ejemplo de las Normas EN 28662-1 ó EN 1033 para las vibracionesmano-brazo o de la Norma EN 1032 para las vibraciones de cuerpo completo.El fabricante declara el valor de emisión de vibraciones, a y K de una sola máquina o el deuna producción en serie de máquinas, basado en las medidas y en el conocimiento de laprecisión con que pueden efectuarse las medidas. Para una producción en serie demáquinas, el fabricante debería tener en cuenta la desviación típica de producción.

Determinación del valor declarado de emisión de vibraciones para una solamáquina:Se determina el valor declarado de emisión de vibraciones, a y K, para una máquinaa partir del valor medido de emisión de vibraciones, a, y con la relación siguiente:

• a es el valor medido de emisión de vibraciones para la máquina

• R65.1K σ=donde σσσσR es la desviación típica de reproducibilidad como se especifica en elcódigo de ensayo de vibraciones. Si no hay código de ensayo de vibraciones osi el código de ensayo de vibraciones no especifica σσσσR, entonces se utilizacomo estimación:

2rec

2opR σ+σ=σ

donde σrec y σop son las desviaciones típicas de los valores registrados a partirdel mismo operador y de los diferentes operadores, respectivamente.

Determinación del valor declarado de emisión de vibraciones para un lote demáquinas:Se determina el valor declarado de emisión de vibraciones, a y K para el lote demáquinas, donde a es la estimación del valor medio y K es igual a 1,5 veces ladesviación típica total:

t5.1K σ=

Este valor de K se basa en la Norma EN 27574-4 y resulta de aceptar un riesgo derechazo del 5% para una muestra de tres máquinas.La desviación típica total se compone de la desviación típica de reproducibilidad(σσσσR) y de la desviación típica de producción (σσσσp). La primera viene dada por elcódigo de ensayo de vibraciones correspondiente. La determinación de ladesviación típica de producción debe efectuarse por el fabricante, en función de suexperiencia de la variación de producción, o bien puede estimarse, cuando sedispone de una muestra razonablemente grande de tres o más máquinas:



2n

1iip )a(a

1n1 −−

=σ=

donde “ai” es el valor medido de emisión de vibraciones de cada máquina en lamuestra y “ a ” es el valor medio de la muestra.

A partir de aquí, se calcula la desviación típica total, σσσσt:2p

2Rt σ+σ=σ

A partir de aquí, y de acuerdo con lo establecido en esta norma europea, laPRESENTACIÓN DE LOS VALORES DECLARADOS DE EMISIÓN DE VIBRACIONES demáquinas que deben darse en los documentos técnicos contiene la información siguiente:

La identificación del producto con suficiente detalle como para determinar laaplicabilidad de los valores declarados de emisión de vibraciones.

Las palabras "Valor declarado de emisión de vibraciones en conformidad a laNorma EN 12096" seguido del valor de emisión de vibraciones a, y de laincertidumbre, K, ambos expresados en m/s2, para el modo de funcionamientodescrito en el código de ensayo de vibraciones correspondiente.

La magnitud del valor medido de emisión de vibraciones, a, se expresa en m/s2 y sepresenta con dos cifras y media significativas para los números que comienzan por 1 (porejemplo 1,20 m/s2, 1,45 m/s2); para los otros, es suficiente con dos cifras significativas (porejemplo 0,9 m/s2, 8,9 m/s2).La magnitud de la incertidumbre, K, debe representar el mismo numero de decimales quea. Se recogen a continuación dos ejemplos de cómo llevar a cabo la declaración deemisión de vibraciones:

Declaración cuando existe un código de ensayo de vibraciones específico (porejemplo para los martillos buriladores)Número del modelo de la máquina, condiciones de funcionamiento y otra información queidentifique

Tipo 990, Modelo 12-UH, 0.6 MPa

Valor declarado de emisión de vibraciones conforme a la Norma EN 12096

Valor medido de emisión de vibraciones a 8.0 m/s2

Incertidumbre K 2.3 m/s2

Valores determinados conforme a la Norma EN 28662-2

Declaración cuando no existe un código de ensayo de vibraciones específico.



Nº del modelo de la máquina, condiciones de funcionamiento y otra información que identifique

Tipo 991, Modelo 14-UF, 0.6 MPa

Valor declarado de emisión de vibraciones conforme a la Norma EN 12096

Valor medido de emisión de vibraciones a 3.4 m/s2

Incertidumbre K 1.7 m/s2

Especificación del modo de funcionamiento utilizado:

(Por ejemplo: valores determinados cuando la máquina ha sido utilizada para eliminar restos de lasoldadura con la ayuda de un útil insertado Z normalizado).

Por otro lado, la VERIFICACIÓN DE LOS VALORES DECLARADOS DE EMISIÓN DEVIBRACIONES puede requerirse por dos razones diferentes:

Verificar el valor declarado de una máquina particular. Verificar el valor declarado de un lote o producción en serie de máquinas.

La verificación debe efectuarse por medio de las medidas de las vibraciones según elmismo código de ensayo de vibraciones o por el método básico de medida, y bajo elmismo modo de funcionamiento de la máquina al que se refieren los valores declarados deemisión de vibraciones. Los procedimientos descritos a continuación deben utilizarse parauna verificación en condiciones de reproducibilidad (cuando las medidas pueden repetirsecon resultados similares en el laboratorio de control y cuando no hay desviacionessistemáticas entre el laboratorio de ensayo y los laboratorios que ensayan el mismoobjeto). Cuando la declaración contiene un solo valor, pueden utilizarse las directricesdescritas anteriormente para estimar la incertidumbre, K.

Verificación para una sola máquina:Si se evalúa una sola máquina, el valor declarado de emisión de vibraciones severifica cuando el valor resultante de emisión de vibraciones resultante es ≤ aldeclarado por el fabricante +K (este procedimiento es conforme con el que sedescribe en la Norma EN 27574-2 para ruido).

Verificación para un lote de máquinas:Este procedimiento debe utilizarse para verificar el valor declarado de emisión devibraciones para un lote (o una producción en serie) de máquinas cuando estádisponible más de una máquina del lote. En concreto, es necesario un tamaño demuestra de hasta tres máquinas (el procedimiento es conforme con el que sedescribe en la Norma EN 27574-4 para ruido).Se determinan los valores A, B y C del valor declarado a partir de a y K, según:

A = a + 0.20K B = a + 1.13K C = a + 0.65K



Se mide una máquina elegida aleatoriamente en el lote. El valor resultante de lasvibraciones a1, se compara con los valores A y B.

• si a1 ≤ A, el valor declarado se verifica para el lote,

• si a1 > B, el valor declarado no se verifica para el lote; el lote se rechaza,

• si A < a1 ≤ B, se miden dos máquinas más, elegidas aleatoriamente del lote.El valor medio de los tres valores resultantes de vibraciones, a3, se compara con C:

• si a3 ≤ C, el valor declarado se verifica para el lote,

• si a3 > C, el valor declarado no se verifica para el lote, el lote se rechaza.Sin embargo, las máquinas individuales de este lote, sobre las que se han hecho lasmedidas, se verifican como para una sola máquina cuando cumplen los requisitosdel apartado anterior (verificación para una sola máquina).NOTA - Las constantes utilizadas para la determinación de A, B y C se obtienen apartir del procedimiento de verificación del valor declarado según se describe en losmétodos estadísticos para la verificación de niveles de potencia acústica utilizandoel método del muestreo doble dado en la norma EN 275764-4.

Posteriormente, la norma UNE-EN 12096 incluye una serie de ANEXOS de carácterinformativo dedicados a recoger específicamente: definiciones de términos estadísticos,directrices para la declaración de los valores de emisión de vibraciones (ya resumidasanteriormente), ejemplos de declaraciones de emisiones de vibraciones (ídem), directricespara la verificación cuando el valor de emisión de las vibraciones se declara sin laincertidumbre, K (ídem) y BIBLIOGRAFÍA:

EN 1032 - Vibraciones mecánicas. Ensayo de maquinaria móvil a fin de determinarlos valores de emisión de vibraciones de cuerpo completo. Generalidades.

EN 1033 - Vibraciones mano-brazo. Medida en laboratorio de las vibraciones en lasuperficie de las empuñaduras de las máquinas guiadas manualmente.Generalidades.

EN 27574-2 - Acústica. Métodos estadísticos para la determinación y la verificaciónde los valores de emisión acústica establecidos para maquinaria y equipos. Parte 2:Métodos para valores establecidos para máquinas individuales. (ISO 7574-2:1985)

EN 27574-4 - Acústica. Métodos estadísticos para la determinación y la verificaciónde los valores de emisión acústica establecidos para las máquinas y equipos. Parte4: Métodos para valores establecidos para lotes de máquinas. (ISO 7574-4: 1985)

EN 28662-1 - Herramientas mecánicas portátiles de mano. Medida de lasvibraciones en la empuñadura. Parte 1: Generalidades. (ISO 8662-1:1988)



EN 28662-2 - Herramientas a motor portátiles. Medida de las vibraciones en laempuñadura. Parte 2: Martillos buriladores y remachadores. (ISO 8662-2: 1992)

La norma concluye con un ANEXO NACIONAL en el que se informa de como las normaseuropeas EN citadas al hablar de “Otras reglamentaciones” y en el anexo de “Bibliografía”,están admitidas como UNE en las fechas que se indican en la tabla siguiente:

Norma EN Título Norma UNEENV 25349:1992 Vibraciones mecánicas. Directrices para la medida y evaluación

de la exposición humana a las vibraciones transmitidas por lamano.

UNE-ENV 25349:1996

ENV 28041:1993 Respuesta humana a las vibraciones. Instrumentos de medida. UNE-ENV 28041:1994

EN 1033:1995 Vibraciones mano-brazo. Medida en laboratorio de lasvibraciones en la superficie de las empuñaduras de lasmáquinas guiadas manualmente. Generalidades.

UNE-EN 1033:1996

EN 27574-2:1988 Acústica. Métodos estadísticos para la determinación y laverificación de los valores de emisión acústica establecidospara maquinaria y equipos. Parte 2: Métodos establecidos paramáquinas individuales.

UNE 74105-2:1991

EN 27574-4:1988 Acústica. Métodos estadísticos para la determinación y laverificación de los valores de emisión acústica establecidos paralas máquinas y equipos. Parte 4_ métodos para valoresestablecidos para lotes de máquinas.

UNE 74105-4:1992

EN 28662-1:1992 Herramientas mecánicas portátiles de mano. Medida de lasvibraciones en la empuñadura. Parte 1: generalidades.

UNE-EN 28662-1:1994

EN 28662-2:1994 Herramientas a motor portátiles. Medida de las vibraciones en laempuñadura. Parte 2: martillos buriladores y martillosremachadores.

UNE-EN 28662-2:1996

UNE–EN 1299

Los descriptores que encabezan esta norma son: Vibración, choque mecánico,aislamiento, aislador de vibraciones, máquina, información, dato, especificación, categoríade calidad, relación cliente-proveedor. Constituye la versión española de la Norma Europeaaprobada por el CEN el 29-12-1996 y lleva por título: Vibraciones y choques mecánicos.Aislamiento de las vibraciones de las máquinas. Información para la aplicación delaislamiento en la fuente.Recuerda la INTRODUCCIÓN de la norma que el aislamiento de las vibraciones es unamedida que permite bien reducir significativamente cualquier transmisión de fuerzasperiódicas, aleatorias o de choques entre una máquina y las estructuras de su alrededor, obien proteger a las personas y máquinas, instrumentos, edificios sensibles de las



vibraciones transmitidas por sus alrededores. En ambos casos, el uso de aisladores creaun sistema masa-muelle cuya respuesta dinámica está influenciada por las característicasde la fuente de vibraciones, las características dinámicas de la máquina, la estructura en laque está montada y las características de los elementos elásticos y de amortiguamiento.Con objeto de responder a los requisitos de protección contra vibraciones, la optimizacióndel sistema requiere un conocimiento detallado de todos los factores que influyen en eldiseño y en la aplicación eficaz del aislamiento de las vibraciones para una máquina oinstalación determinada. Dentro de este contexto, es de primordial importancia elintercambio de información entre el fabricante de la máquina, el suministrador delaislamiento y el usuario.El OBJETIVO de esta norma es proporcionar directrices para asegurar que los fabricantesde las máquinas ofrecen una adecuada información sobre la aplicación del aislamientovibratorio, con el fin de reducir los riesgos derivados de las vibraciones generadas por susmáquinas. Estas directrices igualmente aseguran que los usuarios proporcionan a losfabricantes de máquinas o, cuando sea necesario, a los suministradores del sistema deaislamiento una información suficiente sobre sus aplicaciones para seleccionar y diseñarde forma óptima el aislamiento vibratorio.En cuanto a su CAMPO DE APLICACIÓN, la norma sólo se refiere al aislamiento de lafuente y, aunque se aplica principalmente a máquinas nuevas, puede también aplicarse ala instalación de máquinas usadas estando dirigida a los fabricantes e instaladores de unamáquina como una guía para definir los parámetros necesarios en la selección einstalación del sistema de aislamiento vibratorio a utilizar con la máquina. Puede tambiénser aplicada por usuarios de máquinas ya instaladas que usen o deseen usar un sistemade aislamiento para solucionar un problema de vibraciones causado por la máquina.En cualquier caso, no debe considerarse esta norma como un manual para el diseño oinstalación de un sistema de aislamiento.La norma incorpora también disposiciones de OTRAS REGLAMENTACIONES:

ISO 2041:1990 - Vibraciones y choques. Vocabulario. ISO 7626-1 :1986 - Vibraciones y choques. Determinación experimental de la

movilidad mecánica. Parte I.- Definiciones básicas y transductores.El OBJETIVO DEL AISLAMIENTO DE LA FUENTE es proteger la estructura de alrededorde las vibraciones, actuando sobre la instalación de la misma fuente. Un sistema deaislamiento de la fuente puede ser necesario:

Para la seguridad de los operarios de las máquinas vibrantes. Para la seguridad de las personas próximas a las máquinas vibrantes.



Para la seguridad de las estructuras o edificios donde están los equipos vibrantes. Para la seguridad de las personas que se encuentran en los edificios susceptibles

de estar sometidos a una intensa excitación vibratoria. Cuando se sobrepasan los valores límites de las vibraciones legislados.

Además de las medidas de diseño que permiten reducir los efectos de las vibraciones,debe utilizarse un sistema de aislamiento de la fuente. No obstante, en cuanto a laAPLICABILIDAD DEL AISLAMIENTO DE LAS VIBRACIONES, ha de tenerse siempre encuenta que este sistema no debe sustituir a tales medidas. Puede aplicarse:

Cuando se diseñan o instalan las máquinas vibrantes. Cuando se diseñan o modifican los edificios donde están las máquinas vibrantes.

Es necesario realizar un análisis previo del fenómeno vibratorio y de las vibraciones defondo del entorno. Es importante registrar la variación de las vibraciones en función deltiempo y analizar las frecuencias características durante un tiempo suficiente del ciclo detrabajo de la máquina. El análisis de la respuesta en frecuencia de las estructuras quetransmiten y reciben las vibraciones facilitará la elección óptima de las estructuras y evitarála coincidencia entre las frecuencias dominantes de la fuente y las frecuencias propias deestas estructuras.Deben determinarse las vibraciones de fondo del entorno con el fin de conocer el nivel devibración intrínseco por debajo del cual normalmente no es necesario ningún aislamiento.Las medidas deben hacerse en condiciones ambientales representativas de la localizaciónde la máquina. Las medidas y el análisis deben ayudar a comprender el origen delproblema y a proporcionar, en la medida de lo posible, indicaciones sobre las posiblessoluciones. Las medidas se deberían realizar conforme a una norma adecuada, y éstadebería ser identificada.Con el fin de seleccionar aisladores adecuados e instalar correctamente el aislamiento dela fuente, es necesario un intercambio de información entre el fabricante de la máquina, elsuministrador del aislador y el usuario de la máquina. En este sentido, la norma recoge enuno de sus capítulos la INFORMACIÓN NECESARIA PARA LA SELECCIÓN ÓPTIMADEL SISTEMA DE AISLAMIENTO PARA UNA MÁQUINA. Si el fabricante de la máquinaresulta ser también el suministrador del sistema de aislamiento, puede que no toda lainformación contenida en dicho capítulo sea aplicable; sin embargo, alguna de estainformación puede seguir siendo útil cuando se reemplacen algunos de los elementos de lamáquina y deberían formar parte del manual de instrucciones.En este sentido, la selección del sistema de aislamiento deberá considerar no sólo lascaracterísticas estáticas de la máquina sino también sus características dinámicas y lascaracterísticas dinámicas de la estructura de su alrededor (y de otras fuentes).



Información que debe suministrar el fabricante de la máquinaEl fabricante debe proporcionar al usuario el máximo de la siguiente información paragarantizar una correcta instalación; recurriendo, si es necesario, al suministrador deaislamiento vibratorio. Habrá de proporcionarse información relativa a la máquina y alaislamiento. Por lo que se refiere a los DATOS FÍSICOS DE LA MÁQUINA han incluirse:

Un plano de la máquina que incluya:

• La configuración y la instalación de la máquina y, si es conveniente, lafundación intermedia indicada por el fabricante de la misma.

• Las dimensiones globales.

• El peso total, la localización del centro de gravedad y la inercia rotacional.

• Especificaciones relativas al tamaño de los pernos de anclaje y a lasconexiones especiales que sirvan para fijar la máquina. Debe indicarse en elplano, las localizaciones de las fijaciones, taladros roscados, tolerancias ycualquier consideración particular del material.

• La identificación y dirección de los tres ejes ortogonales con origen en el centrode gravedad de la máquina a aislar, colocada según la orientación elegida.

• La orientación normal de la máquina con respecto a la vertical. Debe indicarsela dirección de los choques y vibraciones principales y los posibles puntos demontaje de la estructura. Estos puntos frecuentemente determinan el sistemade aislamiento en relación con la orientación, centro de gravedad, etc.

Excitación de la vibración. Para asegurar una instalación y utilización segura de lamáquina, debe describirse la excitación en vibración que genera, caracterizada porla fuerza y pares de excitación en función de la frecuencia o del tiempo:

• Fuerzas y pares inherentes en función de la frecuencia de rotación.

• Fuerzas y pares residuales en función de la frecuencia de rotación después delequilibrado.

• Fuerzas y pares originados por las masas alternativas.

• Acoplamientos del par de reacción.

• Amplitudes y/o frecuencias del fenómeno de variaciones de presión del gas.

• Frecuencias de los fenómenos aerodinámicos (por ejemplo en ventiladores).

• Fuerzas y frecuencias electromagnéticas asociadas con las máquinas rotativaseléctricas o los transformadores.



Especificaciones particulares. Las características particulares de los equiposdeben figurar en la descripción de la máquina y en los planos. Entre talesespecificaciones particulares están:

• Las conexiones eléctricas, conductos, canalizaciones o tuberías que puedanmodificar la respuesta mecánica del sistema de montaje (tipo, tamaño,rigidez...).

• Las fuerzas y los momentos aplicados externamente.

• Las zonas de acceso requeridas.

• La tolerancia mínima necesaria para la circulación del aire de refrigeración.Debe indicarse en el plano cualquier gradiente de temperatura que podríaafectar al funcionamiento del aislador y debe darse el rango de temperaturaesperado.

• Cuando sea necesario, la tolerancia máxima entre el equipo y la fundación. Características eléctricas. Deben figurar en el plano, en forma de nota, las

disposiciones previstas para la puesta a tierra y sus especificaciones aplicables. Especificaciones particulares para la estabilidad mecánica. Deben darse las

especificaciones particulares para la estabilidad mecánica. Por ejemplo, esnecesario prestar especial atención a los equipos que posean un centro degravedad elevado o variable y que estén soportados por aisladores colocadosdebajo del centro de gravedad o que estén sometidos a empujes laterales nocompensados.

Por otro lado, será preciso también incluir la información correspondiente a los DATOSFÍSICOS DEL SISTEMA DE AISLAMIENTO, donde cabe diferenciar:

Datos de carácter general. El suministrador del sistema de aislamiento debeproporcionar información detallada de las características del mismo: el tipo desistema, sus materiales, su peso, sus características de nivelación, la rigidezestática de los aisladores, el peso máximo y mínimo (Newtons) en las condicionesde funcionamiento de la máquina, las dimensiones y localización del aislamiento(por ejemplo un dibujo) y el envejecimiento de los aisladores debido a la carga y altiempo.

Comportamiento dinámico. El suministrador debe describir el comportamientodinámico longitudinal y rotacional del sistema de aislamiento, en términos de rigidezdinámica. Deben describirse las condiciones ambientales y el valor de la carga bajolas cuales fueron obtenidos los datos de deformación bajo carga y deben darse lastolerancias. Sin embargo, cuando sea necesario, como alternativa, el suministradorpuede describir el comportamiento dinámico mediante las características de



transmisibilidad medidas bajo una configuración de ensayo descrita de formadetallada.El comportamiento dinámico puede relacionarse con las variaciones de lossiguientes parámetros de entrada: frecuencia de resonancia en función de la carga,amplitud, temperatura y amortiguamiento.En cualquier caso, el suministrador debe describir la eficacia del aislamiento en lastres direcciones principales, indicando las frecuencias aplicables.

Durabilidad. El suministrador debe dar información sobre la durabilidad o mejorsobre el cambio de características físicas como:

• El límite de duración asociado con las deformaciones y choques repetidos.

• Cuando sea necesario, los datos de elongación (deformación permanente) ycómo se han obtenido.

• Los efectos del paso del tiempo debido a un almacenamiento en determinadosambientes, teniendo en cuenta las temperaturas máxima y mínima.

Condiciones ambientales. El suministrador debe proporcionar la siguienteinformación de los aisladores con el fin de asegurar una utilización correcta:

• Los límites de temperatura superior e inferior a partir de los cuales el aisladorsometido a cargas nominales no ejercerá adecuadamente su función ó sufrirámodificaciones permanentes de sus características.

• La capacidad del aislador para resistir la corrosión o el deterioro causado porfactores como humedad, agua, niebla salina, hongos, ozono, aceites,combustibles, vapores corrosivos, sol, etc.

• La capacidad para funcionar en condiciones adversas, por ejemplo en unaatmósfera cargada de arena o polvo.

• El ambiente de almacenamiento aceptable. Datos de mantenimiento. El suministrador debe dar detalles sobre los requisitos

de mantenimiento, inspección periódica y servicio.

Información que debe solicitar el fabricante de la máquina al usuario

Información técnica sobre la estructura periférica a la máquina. Debe hacerseuna breve descripción para que haya una buena comprensión de las característicastécnicas de las ubicaciones propuestas. Esta información debería incluir:

• El tipo de estructura sobre la que debe montarse la máquina (barco, edificio deestructura metálica, edificio de estructura de hormigón, central eléctrica, etc.)



• La localización en la estructura (sala de máquinas, cubierta principal, techo,etc.).

• Los datos de la estructura soporte (naturaleza del suelo, carga permisible desuelo, nivel de la capa freática, frecuencias naturales y movilidad de laestructura soporte, etc.).

• La eficacia del aislamiento o los criterios de aceptación del usuario (elvecindario, por ejemplo un área residencial o áreas industriales, el tipo demáquinas vecinas, por ejemplo máquinas de ensayo, punzonadoras, etc.)

Situación de las vibraciones y choques de la estructura periférica. Antes deinstalar la máquina debe describirse la situación de las vibraciones y choques de laestructura periférica en los tres ejes del espacio en base a la amplitud de vibración(desplazamiento, velocidad o aceleración), las frecuencias correspondientes y laduración durante la cual se produjeron. Es necesario el registro en función deltiempo, el análisis espectral y otros parámetros descriptivos.

Ambiente climático. Cuando sea necesario, el usuario debe suministrar lasiguiente información sobre el ambiente climático: los límites de temperaturasuperior e inferior, la humedad, la presencia de agua, arena o polvo, niebla salina,ozono, aceites, disolventes, radiación, etc.

Para terminar, la norma establece una serie de DIRECTRICES PARA LA VALIDACIÓN DELA EFICACIA DEL AISLAMIENTO. Normalmente, el suministrador de máquinas aisladaso de sistemas de aislamiento debe probar la eficacia del aislamiento vibratorio en laestructura de alrededor de la máquina. Esta eficacia debe evaluarse de acuerdo a unmétodo experimental y contractual. Cuando se trata de máquinas fabricadas en serie, talevaluación debe realizarse bajo condiciones de instalación normalizadas. En este caso, elfabricante debe proporcionar información sobre las condiciones de instalación usadas parala evaluación. Si es posible:

Debe efectuarse la medida y evaluación de las vibraciones antes de la instalación,como se indicaba anteriormente. Debe hacerse en las posiciones contractuales y enlas condiciones ambientales previstas para la futura máquina.

Debe informarse de las posiciones y de los resultados de la medida. Deben comunicarse los valores aceptables al suministrador de la máquina (o al

suministrador de la máquina-aislador). Deben ser contractuales los valores límites aceptados por el suministrador. Después de la instalación, deben efectuarse las medidas en las condiciones y

posiciones contractuales de acuerdo al método de medida especificado y altratamiento y análisis de los resultados definidos.



Deben compararse los valores medidos con los valores límites contractuales.En el caso de tratarse de una corrección de una situación ya existente, las medidas sellevan a cabo en las mismas condiciones señaladas arriba para las posicionesdeterminadas. Estas posiciones deberían ser las correspondientes a los individuos que seencuentran molestos (posición del operador o del trabajador, piso de las oficinas,inmuebles vecinos, etc.). También, como en el caso anterior, deberían definirsecontractualmente los valores limites aceptables entre el usuario y el suministrador. Porúltimo, después de realizada la corrección, deberían realizarse las medidas como sedescribe arriba y comparar los nuevos resultados con los valores contractuales.Posteriormente, la norma UNE-EN 1299 incluye dos ANEXOS de carácter informativodedicados a recoger ELEMENTOS PARA EL AISLAMIENTO DE LAS VIBRACIONES yBIBLIOGRAFÍA.Dentro del Anexo relativo a los ELEMENTOS PARA EL AISLAMIENTO DE LASVIBRACIONES, se hace referencia a las características y uso de diferentes tipos demuelles y amortiguadores. Se parte de una serie de consideraciones de carácter genéricoen las que se recuerda que los muelles se utilizan como soportes elásticos aislantes de lasvibraciones y los choques de las máquinas; es decir, son elementos de construcción quese deforman, predominantemente, de forma elástica. Del mismo modo se señala como losmuelles perfectos, en sentido estricto, en la práctica no pueden construirse ya que cadamuelle presenta una cierta cantidad de masa y de amortiguamiento. Así, mientras que parael cálculo de las vibraciones en el rango de frecuencias de interés según esta norma puededespreciarse la masa del muelle, el amortiguamiento depende en gran parte del materialdel mismo.Con tal motivo, se lleva a cabo una breve descripción de las características, campo deaplicación y comportamiento de:

Muelles elastoméricos:Por su deformabilidad elástica y su pequeño módulo de Young, los elastómeros sonmateriales apropiados para muelles. Comparados con los muelles metálicos,presentan un mayor amortiguamiento.Las características como la rigidez y el amortiguamiento dependen de la seleccióndel material básico y de los componentes de la mezcla de materiales, así como dela forma del muelle. También, están afectadas por condiciones ambientales como latemperatura. El envejecimiento a largo plazo depende en gran parte de lacomposición del material. El material tiene propiedades viscoelásticas.En los muelles elastoméricos normalmente son distintas la rigidez estática y larigidez dinámica, siendo mayor la dinámica que la estática. Sólo deberían calcularselas frecuencias naturales del sistema aislado a partir de la rigidez dinámica. Cuando



se utilizan los muelles elastoméricos, pueden obtenerse frecuencias naturalesverticales de 6 Hz a 20 Hz.En general, la curva de deformación bajo carga de los muelles no es lineal, pero enla práctica puede linealizarse para la carga de servicio.Los siguientes factores juegan un papel importante en la capacidad de carga y en ladurabilidad de los muelles elastoméricos: el material y la mezcla de materiales, eldiseño del muelle, la carga estática, la carga dinámica, la amplitud de lasvibraciones y la frecuencia del sistema vibrante.Gracias a su diseño flexible, su fijación a piezas metálicas y a las numerosascombinaciones de posibles materiales, pueden adaptarse estos muelles a un ampliorango de aplicaciones. También pueden utilizarse los muelles elastoméricos comoelementos separados, en múltiples placas o mallas.El diseño preciso de los muelles elastoméricos se determina mediante el tipo decarga (fuerzas de compresión, fuerzas de cortadura, momentos de torsión,momentos de flexión, o combinación de estos factores). Para cargas de compresióngrandes y distribuidas, se utilizan habitualmente los muelles elastoméricos en formade placas o mallas. Normalmente, para estas aplicaciones, las frecuencias naturalesverticales son superiores a 12 Hz.

Muelles metálicos:Los muelles metálicos no son sensibles a las grandes diferencias de temperatura yson resistentes a la mayoría de las sustancias orgánicas.Para el aislamiento de las vibraciones de las máquinas, se utilizan preferentementelos muelles metálicos hechos de aceros de muelles y se presentan en forma dehilos, placas y varillas especialmente previstas para éste propósito. En los muellesde acero no hay diferencia entre la rigidez estática y dinámica. Según el tipo ydiseño del muelle, la curva de deformación bajo carga puede ser lineal, ascendenteo descendente. Cuando se utilizan muelles metálicos, pueden obtenersefrecuencias naturales verticales de 1.5 a 8 Hz. Los muelles de acero son capacesde almacenar grandes energías de deformación con importantes amplitudes deflexión. Sus características elásticas no varían con el tiempo.El muelle helicoidal de compresión es el muelle metálico generalmente utilizadopara el aislamiento vibratorio de las máquinas. Debido a sus características dedeformación en gran parte lineales (curva de deformación bajo carga) y a la ampliaselección de niveles de rigidez disponibles, para todos los ejes, éste tipo de muellees particularmente útil para su uso en las fijaciones elásticas de la mayoría de lasmáquinas. Si se elige las dimensiones del muelle, es posible hacer variar, en un



amplio rango, el coeficiente de elasticidad transversal u horizontal de un muellehelicoidal de compresión respecto al coeficiente de elasticidad vertical.

Muelles neumáticos:Un muelle neumático está en principio constituido de un volumen lleno de gas conparedes elásticas. Cuando la carga varía, el muelle se deforma al nivel de lasparedes elásticas, lo que provoca un cambio de volumen y, por tanto, un cambio depresión. Esto se aplica tanto a los pistones de los cilindros como a los diferentessistemas de fuelles propuestos por los fabricantes. Las características dedeformación de los muelles neumáticos dependen del equilibrio entre la cargaexterna y la diferencia de presión entre la presión interna y externa (por ejemplo laatmósfera) multiplicado por la superficie útil.

Amortiguadores:Los amortiguadores se utilizan para limitar los movimientos de los sistemassoportados elásticamente cuando están sometidos a resonancias, en el caso deexcitaciones periódicas, de choques o de excitaciones aleatorias. Se montan enparalelo con los muelles y transforman la energía mecánica en calor.Se dividen en amortiguadores que utilizan el amortiguamiento entre los cuerposrígidos (amortiguadores por fricción) y amortiguadores que utilizan el intercambioenergético en medio líquido (amortiguadores líquidos) o gaseoso. Lascaracterísticas de fuerza-velocidad pueden hacerse independientes de la velocidad,ascendentes, lineales o descendentes. Cuando se utilizan amortiguadores porfricción, debe prestarse atención al riesgo de problemas de ruido transmitido por laestructura.Los amortiguadores de líquido viscoso son los principales tipos de amortiguadoresutilizados en combinación con los muelles para el aislamiento de las vibraciones delas máquinas. Los amortiguadores viscosos son particularmente adecuados paragrandes amplitudes de vibración de bajas a medias frecuencias. Se componen deuna envoltura, un medio amortiguador y un pistón. El pistón inmerso en el medioamortiguador puede moverse en todas las direcciones (vertical y horizontal) hastaun límite impuesto por la envoltura del amortiguador. Por tanto, el amortiguador escapaz de reducir las vibraciones en los seis grados de libertad.

Combinación de muelles y amortiguadores:Es necesario que el amortiguamiento juegue un papel importante en el sistema deaislamiento vibratorio, bien en forma de material de amortiguamiento o bien comoamortiguadores integrados:



• En todos los casos donde es necesario evitar un aumento de la amplitud de lavibración cuando se pasa por las frecuencias de resonancia.

• Para la mayoría de las máquinas rotativas cuyas condiciones defuncionamiento son susceptibles de generar fuerzas de desequilibrado.

• Para el amortiguamiento de momentos de torsión transitorios inducidos porcortocircuito en las máquinas eléctricas.

• Para la estabilización de máquinas y de sistemas que, por razones técnicas oeconómicas, tienen que montarse de forma resiliente sobre cimentaciones demasa inadecuada.

• Para asegurar una disminución rápida de las vibraciones inducidas porchoques.

Aisladores activos de vibración:Esta norma trata sólo sistemas pasivos de aislamiento vibratorio (muelles yamortiguadores). En casos especiales, puede ser posible reducir la vibraciónmediante absorbedores dinámicos o amortiguadores activos de masas sintonizadas.

En cuanto al ANEXO de BIBLIOGRAFÍA, dos son las referencias: prEN 1032 - Vibraciones mecánicas. Ensayo de maquinaría móvil con el objeto de

determinar la intensidad vibratoria transmitida al conjunto del cuerpo.Generalidades.

ISO 2017:1982 - Vibraciones y choques. Aisladores. Disposiciones para laespecificación de las características.

UNE–CR 1030-1

Constituye la versión española del Informe CR 1030-1 preparado por el CEN/TC 231“Vibraciones y choques mecánicos”, Grupo de Trabajo 2 “Vibraciones mano-brazo” yaprobado el 05-04-1995 y que lleva por título: Vibraciones mano-brazo. Directrices parala reducción de los riesgos por vibraciones. Parte 1: Métodos de ingeniería para eldiseño de máquinas.En la INTRODUCCIÓN a la norma, se comienza recordando el hecho de como el usohabitual y prolongado de las máquinas que transmiten vibraciones a la mano puede causartrastornos de los miembros superiores. Los efectos de la vibración dependen de:

Su frecuencia, dirección, intensidad, magnitud y del tiempo de exposición yacoplamiento del sistema mano-brazo a la máquina.



La posición mano-brazo causada por el diseño de la empuñadura y de la tarea detrabajo.

Las fuerzas ejercidas por el operador, tales como las fuerzas de agarre, empuje ysujeción, y por las habilidades y experiencia práctica del operador.

La exposición al frío, que puede influir sobre los síntomas vasculares causados porla vibración transmitida a la mano.

La limitación de la vibración en el diseño es una de las medidas que la norma EN 292-2sugiere que deberían considerar los diseñadores y fabricantes de máquinas como parte deuna estrategia para conseguir la seguridad en el diseño de máquinas de conformidad conla legislación europea. Dicha reducción de la vibración en el diseño de las máquinas puedecontribuir de una manera importante a la protección efectiva de las personas en el trabajocontra los efectos adversos de la vibración. Sin embargo, en situaciones prácticas, puedeser necesaria una combinación de medidas de ingeniería, de gestión, de protecciónindividual e higiénicas (leyes, directivas, etc.).Las directrices recogidas en esta norma sólo tratan los métodos de ingeniería y estándirigidas, en particular, a los diseñadores y fabricantes de máquinas que transmitenvibraciones a las manos dejando a otros la tarea de definir las directrices especificas sobregestión, protección individual o higiénicas (véase CR 1030-2 en el subapartado siguiente).Por lo que a las medidas a tomar en ingeniería de cara a reducir la vibración en el propiodiseño de las máquinas, cabe señalar que el origen de la vibración en las mismas puedeencontrarse en:

Las fuerzas de naturaleza variable generadas por la forma intermitente, impulsiva ocíclica en que son diseñadas las máquinas para trabajar, así como pordesequilibrios y/o por impactos en engranajes, rodamientos y otros mecanismos.

La falta de equilibrio en una herramienta incorporada: el desequilibrio de la muela esun factor que determina los valores de vibración de una amoladora portátil.

La interacción entre el operador, máquina y material a trabajar: los choques oimpulsos de un cincel neumático, cuando golpea la superficie que está siendocincelada se transmiten al cuerpo de la herramienta.

La interacción entre la pieza y la máquina. En el caso de máquinas, comoamoladoras de columna o pulidoras, en las que la pieza de trabajo se sujeta o guíamanualmente durante el trabajo, dicha interacción es susceptible de llegar a ser laprincipal fuente de vibración. La transmisión a través de la pieza es el principalcamino por el que la vibración llega a las manos del operador.

Los parámetros anteriores deberían tenerse en cuenta por los diseñadores, fabricantes ysuministradores de equipos de trabajo, quienes están obligados a asegurar que sus



diseños y productos satisfacen los requisitos de seguridad; en particular, para diseñarmaquinaria de modo que los riesgos derivados de las vibraciones producidas por lasmáquinas se reduzcan al nivel más bajo posible, teniendo en cuenta el progreso técnico yla disponibilidad de medios para reducir las vibraciones, en particular en la fuente.Para reducir la transmisión de la vibración al usuario, es esencial prestar atención no sólo ala magnitud de la vibración, sino también al acoplamiento de la máquina al sistema mano-brazo y al tiempo de exposición, ya que los tres parámetros pueden estar influenciados pormedidas técnicas: el acoplamiento puede estar influenciado por un diseño ergonómico, eltiempo de exposición puede reducirse incrementando el rendimiento de la máquina.En cuanto al OBJETO Y CAMPO DE APLICACIÓN, las directrices de esta normapresentan los posibles medios para reducir en el diseño de la máquina el riesgo porvibraciones mano-brazo asociado a herramientas portátiles, guiadas manualmente, y otrasmáquinas, a fin de proporcionar ayuda profesional técnica a los diseñadores y fabricantesde máquinas. El documento cubre cuatro aspectos principales de la reducción de losefectos de la exposición a los riesgos derivados de la vibración de las máquinas:

Reducción de la magnitud de la vibración en la fuente. Reducción de la transmisión de la vibración desde la fuente a las empuñaduras de

la máquina y otras superficies en contacto con las manos. Reducción de la transmisión de la vibración desde los agarres o empuñaduras de la

máquina al sistema mano-brazo del operador por medidas de diseño ergonómico. Diseño térmico para optimizar la temperatura de la mano.

En cualquier caso, estas directrices no pretenden dar soluciones universales o detalladas,sino medios técnicos que puedan usarse para resolver problemas.El informe incorpora también disposiciones de OTRAS REGLAMENTACIONES:

EN 563 - Seguridad de las máquinas. Temperatura de superficies accesibles. Datosergonómicos para establecer los valores de las temperaturas límites de lassuperficies calientes.

prEN 894-3 - Seguridad de las máquinas. Requisitos ergonómicos para el diseño devisualizadores y órganos de accionamiento. Parte 3: Órganos de accionamiento.

Como se ha señalado anteriormente al hacer referencia al objeto y campo de aplicación dela norma, el primero de los aspectos considerados en la misma es la REDUCCIÓN DE LAMAGNITUD DE LA VIBRACIÓN EN LA FUENTE. En este sentido, las máquinas que nonecesitan la emisión de vibración para el desarrollo de las tareas, deberían diseñarse de talmanera que se eliminen o reduzcan las fuerzas variables que generan las vibraciones,para prevenir la amplificación de la vibración y amortiguar o reducir la vibración residual.



No obstante, siempre se deberá tener cuidado con las medidas adoptadas para que noincrementen significativamente el peso de las maquinas portátiles, de tal manera que estoconduzca a otros resultados negativos:

Un mayor peso de la máquina conduce a mayores fuerzas de agarre y transportecausando una mayor intensidad de transmisión de la vibración y provocando unamayor carga vibratoria.

Un mayor peso de la máquina conduce a una mayor carga muscular. No debería verse afectada la facilidad con que la máquina pueda controlarse y

guiarse.Desde esta perspectiva, varias son las posibles alternativas que a la hora de reducir lamagnitud de vibración pueden plantearse:

Reducción de la vibración por modificación de los principios técnicos defuncionamiento:En algunos casos, puede conseguirse una reducción de la vibración, tiempo deexposición y fuerzas de operación mediante la modificación del principio técnico defuncionamiento de la máquina.Un ejemplo típico es el caso de un martillo rotativo pequeño. Tiene un mecanismode martillo neumático y perfora el hormigón más rápidamente, produce menoresvibraciones y requiere menores fuerzas de avance y agarre que una taladradora depercusión con un mecanismo percutor tipo leva.

Reducción de la vibración por un mejor equilibrado:Una fuente común de fuerzas variables es el desequilibrado que puede deberse a:

• El principio de funcionamiento utilizado (por ejemplo las fuerzas generadas enmotores alternativos como resultado del movimiento del cigüeñal y de la biela).

• Las tolerancias de fabricación y/o errores residuales en la fabricación de piezasrotativas (por ejemplo excentricidad en el montaje de un volante sobre un ejey/o no uniformidad en la forma, composición o estructura).

Cuando las fuerzas son inherentes al diseño pueden reducirse a veces por el usode diseños intrínsecamente mejor equilibrados (por ejemplo, en el caso de motoresde combustión interna por el uso de diseños multicilindros mejor que por el diseñode un único cilindro, o por el uso de motores rotativos mejor que alternativos).También, puede ser posible minimizar las fuerzas variables modificando la masa y/ovelocidad o aceleración de los componentes que generan el desequilibrado;siempre que una reducción de la velocidad o de la aceleración no reduzca el



rendimiento de la máquina de tal manera que el incremento del tiempo deexposición anule la reducción de la intensidad de la vibración. Puede también serválida la incorporación de contrapesos.Cuando las fuerzas son el resultado de tolerancias de fabricación o erroresresiduales en la fabricación (tolerancias de desequilibrados residuales, de forma ode dimensiones del orificio de montaje), puede ser posible reducirlas especificandomenores tolerancias de fabricación (es decir, un producto de mejor calidad).

Reducción de la vibración por la introducción de fuerzas reactivas:Cuando se utilizan fuerzas de trabajo variables de baja frecuencia en máquinasguiadas con la mano, sus efectos sobre los usuarios pueden a veces reducirsesignificativamente por masas de contramovimiento. El diseño podría tambiénincorporar un sistema de resorte para absorber las ondas de choque reflejadasproducidas por cada impacto.

Reducción de la vibración por el uso de mecanismos o materiales alternativos:Muchos de los mecanismos utilizados en las máquinas generan fuerzas variables yen consecuencia vibraciones (por ejemplo, imprecisión en engranajes yrodamientos). A menudo estas fuerzas pueden eliminarse o reducirse mediante:

• El uso de mecanismos alternativos (por ejemplo, transmisión por correas enlugar de por engranajes o cadenas).

• Mejores versiones de un mecanismo particular (por ejemplo, engranajeshelicoidales en lugar de rectos).

• La especificación de componentes de mayor precisión (es decir, componentesde alta calidad con una tolerancia más estrecha).

En algunas aplicaciones, puede ser posible reducir las fuerzas de choque y deimpacto mediante la incorporación de elementos de caucho, o plástico resistente, omateriales similares (por ejemplo engranajes de resina aglomerada).

Reducción de la vibración por la eliminación de los efectos de resonancia:Diversos elementos de una máquina pueden entrar en resonancia si la frecuencia ofrecuencias de las fuerzas variables generadas por el uso de la misma está próximaa una frecuencia natural de vibración de la máquina o de sus elementos. Enausencia de cualquier medio de absorción de la energía vibratoria, ello puedeproducir una amplificación considerable de la vibración si tiene lugar la resonancia.Cuando sea posible, los diseñadores deberían evitar la resonancia dentro del rangonormal de velocidad de la máquina mediante una adecuada elección e instalación



de elementos y masas resilientes, una apropiada selección de rodamientos, unacuidadosa selección de frecuencias de engrane y otras medidas.Si los efectos de la resonancia no pueden evitarse, puede ser necesario incorporardispositivos de amortiguamiento viscoelásticos, hidráulicos, por aire, fricción oalguna otra forma de absorción de la energía de la vibración y así limitar laintensidad de la vibración resonante. Los absorbedores de vibración sintonizados ono pueden también usarse para reducir el efecto de resonancia.

El segundo de los aspectos considerados al hacer referencia al objeto y campo deaplicación de la norma, es la REDUCCIÓN DE LA TRANSMISIÓN DE LA VIBRACIÓN. Deforma genérica, puede afirmarse que la vibración puede reducirse mediante la introducciónde técnicas aislantes de las vibraciones (masas, resortes y otros elementos resilientes) enlos trayectos entre las fuentes de vibración y las empuñaduras u otras superficies encontacto con las manos. En este sentido, debe prestarse una atención especial cuandohaya que asegurar un aislamiento efectivo sobre el intervalo completo de frecuencias deinterés.

Reducción de la vibración por el uso de empuñaduras suspendidas:Para conseguir una sustancial reducción en la vibración por el uso de empuñadurassuspendidas, se necesita elegir cuidadosamente las características dinámicas delas empuñaduras en función de las características de vibración de la máquina a laque están fijadas.En el momento actual, puede obtenerse un buen aislamiento a frecuenciassuperiores a 100 Hz, pero el comportamiento a bajas frecuencias puede ser peor ylas magnitudes de la vibración global pueden ser mayores sobre la empuñadurasuspendida que sobre una rígida (a algunas frecuencias las empuñadurassuspendidas pueden amplificar la vibración).El diseño de estas empuñaduras es fruto de un compromiso puesto queempuñaduras suficientemente bien suspendidas destinadas a atenuar la vibración amuy bajas frecuencias pueden hacer que la máquina presente dificultades parausarse con precisión. Puede ser necesario entonces aumentar la rigidez de unaempuñadura suspendida fuera del valor ideal, con la consecuencia de algunareducción en la eficacia del aislamiento.Algunos de estos problemas pueden solucionarse incrementando la masa de laempuñadura y reduciendo la de la fuente. Por ejemplo, la vibración a la que estánexpuestos los usuarios de sierras de cadena se ha reducido considerablemente enalgunas máquinas mediante la incorporación a las empuñaduras del tanque decombustible y usando un sistema de montaje resiliente para aislar el conjunto delmotor y de la hoja de la sierra.



Uso de materiales resilientes:Los nuevos materiales resilientes pueden ser útiles como revestimientos de lasempuñaduras y otras superficies vibrantes en contacto con las manos. La forma,dimensiones (espesor) y condiciones de uso (precarga) deben ser cuidadosamenteelegidas para cumplir los requisitos dinámicos. Restricciones ergonómicas (tamañode la empuñadura, etc.) pueden limitar la aplicación de este objetivo. En la mayoríade las situaciones prácticas, estos materiales son sólo susceptibles de ser eficacesen rangos de frecuencia por encima de 200 Hz.

El tercero de los aspectos considerados al hablar del objeto y campo de aplicación de lanorma, es la OPTIMIZACIÓN DE LA POSTURA Y MINIMIZACIÓN DE LAS FUERZASQUE ACTÚAN SOBRE O TRAVÉS DE LA MANO. En este sentido, el peso de unaherramienta portátil, la posición del brazo del usuario, las fuerzas requeridas paracontrolarla o guiarla y cualquier otra fuerza que pueda ejercerse, pueden afectar latransmisión de la vibración hacia la mano del usuario y, en consecuencia, al riesgo de quelos usuarios desarrollen daños causados por la vibración. Desde esta perspectiva, variasson las consideraciones que pueden realizarse:

Las máquinas, particularmente las portátiles, deberían diseñarse de tal manera quese minimicen las fuerzas en la mano del usuario. Una forma de hacerlo seríadiseñar la máquina de modo que se facilite su uso mediante la utilización dedispositivos auxiliares tales como una empuñadura de apoyo para las amoladoras,equilibradores, dispositivos de reacción (para maquinas rotativas) o pie soporte (porejemplo, los utilizados con ciertas perforadoras).

Las dimensiones, textura de la superficie y forma de la máquina portátil, y enparticular de las empuñaduras u otras superficies que deban asirse cuando se usela máquina, deberían optimizarse para minimizar la tensión física impuesta aloperador. Así, cuando sea posible, las empuñaduras u otras superficies en contactocon las manos deberían tener una forma y presentar un ángulo (por ejemplo, lastaladradoras) tal que la posición de la muñeca del operador respecto al antebrazono este flexionada en condiciones normales de uso.

La posición de la empuñadura debería elegirse de forma tal que cualquier fuerzapueda ser transmitida por las manos del operador a las empuñaduras de lamáquina, controles u otras superficies, sin crear torsión en las muñecas (porejemplo, empuñaduras de pistola usadas en taladradoras y empuñaduras ajustablesen amoladoras).

La forma de las empuñadura puede presentar una protuberancia apropiada y/o lasempuñaduras pueden revestirse con un material de textura adecuada para evitarque las manos del operador se deslicen por la empuñadura.



En cualquier caso, las dimensiones de la empuñadura y, en particular, el diámetrode las empuñaduras circulares deberían ser conformes a la norma EN 894-3.

Por último, el cuarto de los aspectos considerados al hablar del objeto y campo deaplicación de la norma, hace referencia al DISEÑO PARA OPTIMIZAR LATEMPERATURA DE LA MANO. Así, ha de tenerse en cuenta que:

Las maquinas portátiles neumáticas deberían diseñarse para asegurar que el airefrío no incide sobre las manos de los usuarios y que el flujo de aire interno no enfríeexcesivamente las empuñaduras u otras superficies en contacto directo con lamano.

Habrían de considerarse las empuñaduras calentadas para maquinas portátiles oguiadas con la mano principalmente utilizadas en ambientes con baja temperatura(por ejemplo sierras de cadena).

Los materiales de las empuñaduras no calentadas y otras superficies en contactocon las manos deberían seleccionarse para minimizar la pérdida de calor de lasmanos del usuario. Si en el uso, la empuñadura es susceptible de estar más fríaque la mano del operador el material de la empuñadura debería tener unaconductividad térmica baja. Por el contrario, si la empuñadura es susceptible deestar más caliente que la mano del operador, puede ser mejor elegir un material conuna alta conductividad térmica (véase la Norma EN 563).

La norma incluye un ANEXO informativo que recoge la BIBLIOGRAFÍA relacionada con lamisma, tanto a nivel de reglamentaciones como de publicaciones al respecto:

CR 1030-2 - Vibraciones mano-brazo. Directrices para la reducción de los riesgosde la vibración. Parte 2: Medidas de gestión en el puesto de trabajo.

CR (X)1 - Vibraciones mecánicas. Guía para los efectos sobre la salud de lasvibraciones sobre el cuerpo humano.

EN 292-2 - Seguridad de las máquinas. Conceptos básicos. Principios generalespara el diseño. Parte 2: Principios y especificaciones técnicas.

prEN 894-1 - Seguridad de las máquinas. Requisitos ergonómicos para el diseño devisualizadores y órganos de accionamiento. Parte 1: Interacciones entre el hombrecon los visualizadores y órganos de accionamiento.

prEN 1033 - Vibraciones mano-brazo. Medida en laboratorio de las vibraciones enla superficie de las empuñaduras de las máquinas guiadas manualmente.Generalidades.

1 En preparación



EN 28662-1 - Herramientas mecánicas portátiles de mano. Medida de lasvibraciones en la empuñadura. Parte 1: Generalidades.

EN ISO 13753 - Vibraciones y choques mecánicos. Vibraciones mano-brazo.Método para la medida de la transmisibilidad de la vibración de materialesresilientes cuando son llevados por el sistema mano-brazo (ISO 13753)2.

Anderson, E.R: Design and testing of a vibration attenuating handle. InternationalJournal of Industrial Ergonomics, 6(1990), pag 119-125, Elsevier.

Bitsch, J.; Roure; Jacques, J.; Poirot, R.: Fouloirs pneumariques à manche allongé.Étude de la réduction des cibrations et du bruit, cahiers denotes documentaires n°144, 1984.

Bullinger H.J.; Muntzinger W.F.; Luster P.: Numeric simulation of hand-transmittedvibrations. Trends in Ergonomics/Human Factors VI, Elsevier, 1989.

Christ E. et coll.: Les vibrations au posse de travail (AISS brochure). Publié par leComité international pour la Recherche de l'AISS, Insitut National de Recherche etde Sécurité (INRS), 30, rue Olivier-Noyer, F-75680 Paris Cedex 14, 1989.

Cronjäger L.: Reduzierung der Lärm-und Vibrationsbelastung Beim Arbeiten mitelektrischen Bohr-und Schlaghämmern. Rapport de BMFT, Université de Dortmund,lnstitut für Spanende Fertigung, 1983.

Dupuis H.: Wirkung mechanischer Schwingungen auf das Hand-Arm-System,Literaturanalyse. Bundesanstalt für Arbeitsschutz, Dortmund, 1982.

Dupuis H.; Hartung E.; Christ E.; Konietzko H.: Mechanische Schwingungen,Kenntnisstand über Beanspruchung, Belastung, Minderung und Richtwerte.Bundesanstalt für Arbeitsschutz, Dortmund, 1988.

Eckert R.; Bullinger H.J.; Bauer W.: Low vibration tools. Effect and reduction ofvibrations in motor-moving machines. Proceedings of the second InternationalConference on Machine Dynamics and Engineering Applications (ICMDEA), 23-25octobre 1992, RP Chine.

Lange W.: Kleine ergonomische Datensammlung. Bundesanstalt für Arbeisschutz,Publié par TÜV Rehiland Köln, 1985.

Lindquist B.; Ahlberg E.; Skogsberg L.: Ergonomic tools in our time. Une publicationknow-how d'Atlas Copco, éditée par T. R. Tryck, Stoclcholm, 1986.

2 En preparación



Naslund V.: Design problems in the reduction of vibration in chain saws. Rapport surune conférence au sujet des aspects médicaux, techniques et juridiques desvibrations main-bras qui a eu lieu à l'Université de Dundee, 1972, édité par TaylorW., publié pour British Acoustical Society par Academic Press, London 1974, p. 61-70.

Roure L.; Ho M.T. et coll.: Les vibrations industrielles. Édition INRS ED 656, 3e

édition, juin 1986. Salvendy G. (éd.): Handbook of human factors. John Wiley and sons, New York,

1987.La norma concluye con un ANEXO NACIONAL en el que se informa de como las normaseuropeas EN citadas al hablar de “Otras reglamentaciones” y en el anexo de “Bibliografía”,están admitidas como UNE en las fechas que se indican en la tabla siguiente:

Norma EN Título Norma UNE

EN 563Seguridad de las máquinas. Temperatura de superficiesaccesibles. Datos ergonómicos para establecer los valores de lastemperaturas límites de las superficies calientes.

UNE-EN 563:1996

CR 1030-2Vibraciones mano-brazo. Directrices para la reducción de losriesgos de las vibraciones. Parte 2: Medidas de gestión en elpuesto de trabajo.

UNE-CR 1030-2:1997

EN 292-2Seguridad de las máquinas. Conceptos básicos. Principiosgenerales para el diseño. Parte 2: Principios y especificacionestécnicas.

UNE-EN 292-2:1993

prEN 1033Vibraciones mano-brazo. Medida en laboratorio de las vibracionesen la superficie de las empuñaduras de las máquinas guiadasmanualmente. Generalidades

UNE-EN 1033:1996

EN 28662-1 Herramientas mecánicas portátiles de mano. Medida de lasvibraciones en la empuñadura. Parte 1: Generalidades. UNE-EN 28662-1:1994

DDEEPPAARRTTAAMMEENNTTOO DDEEIINNGGEENNIIEERRÍÍAA MMEECCÁÁNNIICCAA,,EENNEERRGGÉÉTTIICCAAYY DDEE MMAATTEERRIIAALLEESS TEMA 8 – VIBRACIONES EN MÁQUINAS. MANTENIMIENTO PREDICTIVO



Vibraciones enmáquinas.Mantenimientopredictivo




8.1 IntroducciónEl análisis y monitorizado de vibraciones son dos de las herramientas más usuales paraprevenir incipientes problemas mecánicos relacionados con los procesos de fabricación encualquier planta productiva, no limitándose sólo a las máquinas rotativas. Hasta hace poco,eran excluidas del análisis de vibraciones las máquinas con velocidades de funcionamientobajas, así como las líneas de proceso continuo especialmente complejas. No obstante, enla actualidad se utilizan técnicas de análisis de vibraciones en máquinas cuyas velocidadesnominales son del orden de hasta 6 r.p.m.La figura representa el esquema general correspondiente a la gestión de un sistema demantenimiento predictivo. El primer objetivo de todo sistema de mantenimiento basadoen el monitorizado de las condiciones de funcionamiento de las máquinas es evitar lasparadas no programadas. Desde esta perspectiva, el monitorizado de los parámetrosrelacionados con el estado de las máquinas, puede permitir planificar las accionescorrectivas de forma que se minimicen dichos tiempos muertos.

Por otra parte, para obtener el máximo beneficio de la adopción de las técnicas demantenimiento predictivo, éstas deben de ser integradas de forma apropiada dentro delplan de gestión de la planta o instalaciones industriales correspondientes, con la necesariaconsideración de:

La compatibilidad desde el punto de vista operacional.




Los posibles métodos de aplicación. El grado de preparación requerido para el personal involucrado. El valor intrínseco de la información obtenida. La manera en que dicha información ha de ser utilizada. La forma de recuperar al máximo las inversiones llevadas a cabo.

Todos estos aspectos pueden ser llevados a cabo mediante la aplicación de una serie demódulos de gestión recogidos de forma gráfica en la figura siguiente. La progresivaintroducción de los mismos en el funcionamiento de los diferentes departamentos de laempresa permitirá que las técnicas de mantenimiento predictivo alcancen su plenodesarrollo.




8.2 Análisis de vibracionespara el mantenimientopredictivo de máquinas

Hay que tener en cuenta que todas las máquinas vibran debido a las tolerancias inherentesa cada uno de sus elementos constructivos. Estas tolerancias proporcionan a unamáquina nueva una vibración característica básica respecto a la cual se puedencomparar futuras vibraciones. Máquinas similares funcionando en buenas condicionestendrán vibraciones características similares que diferirán unas de otras principalmente porsus tolerancias de construcción.

Un cambio en la vibración básica de unamáquina, suponiendo que estáfuncionando en condiciones normales,será indicativo de que algún defectoincipiente se está dando en alguno de suselementos, provocando un cambio en lascondiciones de funcionamiento de lamisma.Diferentes tipos de fallos dan lugar adiferentes tipos de cambios de lavibración característica de la máquina,pudiendo ayudar a determinar tanto lafuente del problema, como advirtiendo desu presencia.




8.3 Parámetros para lamonitorización de

maquinaria deproducción

MÁQUINAS ROTATIVAS

Muchos programas de análisis de vibraciones se limitan al estudio de máquinas comobombas y ventiladores. Sin embargo, el monitorizado y el análisis de vibraciones puedenextenderse también a maquinaria rotativa más compleja, así como a una gran variedad desistemas en procesos continuos. Por ello, la clasificación de máquinas rotativas deberíaincluir bombas, ventiladores, compresores, generadores, máquinas de papel y una granvariedad de máquinas de procesos continuos más.Por definición, un TREN DE MAQUINARIA consiste en una fuente de potencia (motoreléctrico, turbina de vapor, ...), unos acoplamientos intermedios (correas, embragues, cajasde cambio, ...) y toda una serie de elementos móviles como bombas, ventiladores y demáscomponentes que pueden intervenir en procesos continuos.




Todo elemento de un tren de maquinaria genera una serie de fuerzas dinámicas durante elfuncionamiento de la máquina. Cada una de estas fuerzas dará lugar a frecuencias devibración que identificarán a los diferentes componentes de la máquina. Desde el momentoen que todos los componentes de una máquina están unidos entre sí, las frecuencias devibración de cada uno de los componentes de la máquina se transmitirán a la totalidad dela misma. Sin embargo, el monitorizado de las frecuencias de vibración en puntosespecíficos de la máquina puede ayudar a aislar e identificar el componente defectuoso.Si se desea obtener un máximo beneficio y un óptimo diagnóstico del programa demonitorizado de vibraciones se debe monitorizar y evaluar la máquina en su conjunto. Eneste sentido, muchos programas se encuentran muy limitados por el monitorizado de cadaelemento de la máquina por separado, limitándose en gran medida la posibilidad dedetectar de una manera incipiente los problemas en la máquina. Cómo determinar, porejemplo, que los ejes de un motor y de su carga están desalineados si no se puedecomparar la frecuencia de vibración del sistema a ambos lados del acoplamiento. Esabsolutamente imprescindible por ello conocer la dinámica de la máquina para poderestablecer una base de datos adecuada en la que estén contemplados los rangos devibración de la máquina, los límites de alarma y los parámetros de análisis sobre los cualesse pueda establecer el grado de degradación de la máquina, y la raíz de los problemasincipientes en la misma.

MÁQUINAS CON MOVIMIENTO ALTERNATIVO

El análisis de vibraciones es también directamente aplicable a maquinaria con movimientoalternativo, aunque para este tipo de máquinas deberá utilizarse una lógica distinta dediagnóstico. Al contrario de lo que ocurre con las máquinas rotativas, los modos devibración generados por las máquinas con movimiento alternativo no son losarmónicos simples de la velocidad de un eje de una máquina rotativa.Por ejemplo, un motor de dos tiempos completa su ciclo cuando el árbol de la manivela dauna vuelta entera. Este tipo de solicitaciones generan armónicos simples; sin embargo, losesfuerzos adicionales asociados al fenómeno de la combustión dan lugar una serie decomponentes de vibración mucho más fuertes en el segundo armónico de la velocidad delárbol de la manivela.Por otro lado, en máquinas con movimiento alternativo de cuatro tiempos, el cigüeñal debegirar los 720º (2 vueltas) antes de completar todas las solicitaciones, de ahí que pocasfrecuencias de vibración puedan ser armónicos directos de la velocidad del cigüeñal.En consecuencia, un análisis completo de la maquinaria de movimiento alternativo requieretener en cuenta un análisis del dominio en el tiempo. En este tipo de maquinaria tanto losdatos del dominio en frecuencia como los del dominio en el tiempo deben tomarse enrelación con el ángulo de fase del cigüeñal. Posteriormente, evaluando exactamente cómo




están relacionados los componentes específicos de la vibración con el ángulo de fase delcigüeñal, puede llegar a determinarse la fuente de cada vibración.

MÁQUINAS CON MOVIMIENTO LINEAL

La maquinaria con movimiento lineal tiene también un modelo repetible de fuerzas ymovimiento por lo que el análisis de vibraciones puede emplearse igualmente para analizareste tipo de máquinas. La relación existente entre los modos de vibración y el movimientolineal es la clave para analizar estas máquinas.Para este tipo de máquinas, el análisis de vibraciones en el dominio del tiempo es másapropiado. Dado que las fuerzas y modos de vibración producidos por la mayoría de lasmáquinas de movimiento lineal no se vuelven a repetir con cada rotación de un eje, no esnecesario el análisis en dominio de la frecuencia para una evaluación segura.




8.4 Dinámica de máquinas

COJINETES

En la maquinaria moderna, que funciona a velocidades y cargas relativamente grandes,uno de los primeros factores que determina la vida operativa del accionamiento de lamáquina es la apropiada selección y diseño de sus cojinetes.Como todo sistema mecánico debe tener algún tipo de cojinete, la primera indicación delos problemas mecánicos se desarrollará en el campo de vibración de los cojinetesde la máquina. Suelen ser por diseño el eslabón más débil en la mayor parte de lamaquinaria, constituyendo habitualmente el primer punto de fallo. Por ello, resulta deespecial interés disponer de un buen conocimiento de la problemática del diseño decojinetes, así como de su dinámica operativa.Los cojinetes pueden clasificarse en dos categorías: de elementos rodantes(RODAMIENTOS) y de camisa (CASQUILLOS). Los dos tipos tienen característicasoperativas y modos de fallo propios que pueden ser controlados mediante técnicas deanálisis vibratorio.

Rodamientos

Los rodamientos (de bolas o rodillos) sehan venido utilizando en la mayor parte delas aplicaciones a alta velocidad y en lamayoría de la más pequeña maquinaria deproceso.Los principales componentes de unrodamiento incluyen:

Pista exterior. Pista interior. Caja. Elementos de rodadura.




Los elementos de rodadura pueden ser tanto bolas como rodillos, y las posiblesconfiguraciones, en función del tipo de esfuerzos a que van a estar sometidos, dan lugar aun gran número de posibles configuraciones como puede apreciarse en la figuras:

Rodamientos de bolas Rodamientos de rodillosEl comportamiento general del rodamiento está determinado por la interacción entre suselementos. Los contactos entre los elementos de rodadura y las pistas o cajas son lossometidos a mayores cargas, de ahí que los fallos por fatiga estén principalmentemotivados por esta interacción. Los contactos entre elementos de rodadura y caja y loscontactos entre pistas y caja son generalmente de naturaleza dinámica ya que constituyenuna serie de choques de corta duración y alta velocidad.Existen otros muchos factoresque afectan a la vida normal delrodamiento, tal y como seaprecia en la figura adjunta; noobstante, aquí se limitará ladiscusión a los factoresmecánicos que puedenemplearse para predecir el fallodel rodamiento.El punto de partida para el monitorizado de fallos en este tipo de elementos esRODAMIENTOS DEFECTUOSOS GENERAN FRECUENCIAS DE VIBRACIÓN A LASVELOCIDADES DE ROTACIÓN DE CADA COMPONENTE y cada una de esasfrecuencias puede ser calculada y registrada haciendo uso de técnicas rutinarias deanálisis vibratorio. Dichas frecuencias rotacionales estarán relacionadas, por tanto, con el




movimiento de los elementos de rodadura, caja y pistas; incluyendo el giro de bolas orodillos, la rotación de la caja y la frecuencia de paso de bolas o rodillos:

La FRECUENCIA DE GIRO DE BOLAS ORODILLOS (BSF) está originada por la rotaciónde cada bola o rodillo alrededor de su propio eje:

−×

×=2

Dd1

dDN5.0BSF

Dado que el defecto de la bola o rodillo contacta con las pistas interior y exterior encada una de sus revoluciones completas, la frecuencia del defecto de la bola serádos veces la BSF o frecuencia rotacional.

La FRECUENCIA DE ROTACIÓN DE LA CAJA (FTF), por ejemplo, la frecuenciafundamental del accionamiento, puede calcularse como:

−×=Dd1N5.0FTF

Un defecto en la pista exterior del rodamientopuede calcularse usando el PASO EN LA PISTAEXTERIOR (BPFO):

−×=Dd1Nn5.0BPFO

También puede darse el caso, por ejemplo, de dosdefectos simultáneos en la pista exterior(simétricos o no), tal y como puede apreciarse enla figura.

La frecuencia de defecto en la pista interior oPASO DE BOLA EN PISTA INTERIOR (BPFI)puede calcularse como:

+×=Dd1Nn5.0BPFI

Expresiones todas ellas en las que: N = velocidad del eje en revoluciones por segundo.




D = diámetro medio del rodamiento en pulgadas. d = diámetro de las bolas o rodillos en pulgadas. n = número de bolas o rodillos.

Muchos fabricantes de rodamientos han simplificado los cálculos de estas frecuencias dedefecto suministrando una guía de referencia. Esta guía da una constante (p.e. valor) paracada una de las frecuencias de defecto de los distintos rodamientos fabricados por elvendedor que ha de multiplicarse por la velocidad de rotación real del eje de la máquinapara obtener las frecuencias de defecto único.Las frecuencias de rotación y defecto pueden surgir como resultado de defectosreales del rodamiento o por cargas inducidas bien por la máquina o bien por elproceso. El desequilibrio, la desalineación y las cargas anormales amplificarán lasfrecuencias específicas del rodamiento que debe absorber la carga. Por ejemplo:

Una carga lateral excesiva creada por una tensión excesiva en una correaamplificará la frecuencia de rotación de la bola (BSF) y ambas frecuencias de pasode bola (BPFO y BPFI).

La desalineación de la misma correa amplificará la frecuencia de caja (FTF).Las frecuencias de vibración que permiten definir incipientes problemas del rodamientopueden identificarse fácilmente con técnicas de registro de banda estrecha:

La frecuencia fundamental (FTF) o de defecto de caja, ocurrirá siempreaproximadamente al 40% de la velocidad de funcionamiento. Por lo tanto, unabanda estrecha establecida para registrar la energía de vibración en una banda defrecuencia desde el 30 al 40% de la velocidad de funcionamiento detectaráautomáticamente cualquier cambio anormal en las condiciones de la caja delrodamiento.

De las restantes tres frecuencias de defecto la frecuencia de rotación de la bola(BSF) es siempre la de más baja frecuencia. La frecuencia de paso de las bolasen la pista interior (BPFI) es siempre la más alta. Una simple banda estrecha essuficiente para registrar estas frecuencias de defecto del rodamiento. La bandaestrecha debería establecerse con un límite inferior de cerca del 10% por debajo dela frecuencia normal de rotación de bola (BSF) para permitir ligeras variaciones enla velocidad de funcionamiento. El límite superior sería, aproximadamente, el 10%más alto que la frecuencia normal de defecto de la pista interior (BPFI).

Usando estas técnicas de registro de banda estrecha se puede llegar a detectarcualquier cambio anormal en las condiciones del rodamiento.




La banda que registra el nivel de vibración de las tres frecuencias mayores de defecto noes capaz de dar información acerca del defecto específico (pista interior, pista exterior obola), pero informará sobre las condiciones funcionales del rodamiento. Si se desea saberconcretamente cuál de los componentes está degradado, deberá evaluarse manualmentela vibración total para tratar de detectar la frecuencia de defecto específica que causa laalarma.En las figuras siguientes, se muestran cuatro casos reales de distribución en frecuencia dela vibración como consecuencia de la presencia de fallos en rodamientos:

Presencia de BPFO y FTF Presencia de BPFO y FTF

BSF modulada con bandas laterales a FTF BSF modulada con bandas laterales a FTF

Cojinetes de casquillo

Los cojinetes de casquillo o de película de aceite pueden, a su vez, dividirse en variassubclases: lisos, acanalados, partidos (semi-cojinetes), basculantes (de segmentos oalmohadillas). Con excepción del cojinete basculante, no generan una frecuenciarotacional única que pudiera identificar una operación normal. En este último caso, al tenerpartes móviles, p.e. las almohadillas, se generarán componentes de vibración a unafrecuencia de paso (paso o separación de almohadillas o segmentos) igual al productodel número de segmentos por la velocidad de giro del eje.




Este tipo de cojinetes está diseñado para formar una película fina y uniforme de lubricanteentre el metal antifricción del cojinete y el eje. En funcionamiento normal, el eje estácentrado en esta delgada película de lubricante y no creará fuerza dinámica ocomponentes de frecuencia de vibración que identifiquen de forma específica el cojinete.Sin embargo, un comportamiento anormal del lubricante puede identificarse claramenteusando técnicas de análisis vibratorio.Si la película de lubricante se haceexcéntrica el registro de vibraciónmostrará un marcado incremento enenergía de baja frecuencia (inferior ala velocidad de rotación del eje). Larotura inicial de la película uniformede aceite será anunciada por unincremento de componentes defrecuencia incluso a fracciones de lavelocidad de funcionamiento (p.e.1/4, 3/8, 1/2, etc.).

Estos componentes de vibración son originados por el giro excéntrico del eje. Cuando lacondición empeora, los componentes fraccionarios de la vibración se fijaránaproximadamente entre el 40 y el 48% de la velocidad de giro del eje.Si el eje rompe la película de lubricante, el rozamiento mecánico llegará a ser evidente enla señal de vibración. Este rozamiento mostrará una muy baja frecuencia, entre 1 y 2 Hz, ytambién tendrá componentes de baja amplitud de aproximadamente 25 al 40% de lavelocidad real del eje. Sin embargo, hay que constatar que sólo un limitado número desistemas de registro de vibraciones son capaces de detectar frecuencias de vibración pordebajo de 10 Hz ó 600 r.p.m. y, por lo tanto, pueden ser utilizados para detectar estosfenómenos de rozamiento mecánico.El registro de la condición mecánica de cojinetes podría ser confiada, en principio, a latécnica de análisis de vibraciones. Sin embargo, el empleo de análisis periódicos delaceite lubricante usando medios espectrográficos o de partículas pueden suministrardatos adicionales sobre las condiciones de funcionamiento actual. En cualquier caso,los costos añadidos implícitos a la aplicación de estas técnicas no justifica su uso a no serque se haya identificado algún problema específico en el programa de registro y análisis devibraciones.Las temperaturas del cojinete se pueden añadir al programa de registro haciendo usosde sensores de infrarrojos cuyas señales se introducirán en la instrumentación deregistro de vibraciones. El incremento de costo es muy pequeño y el dato añadido detemperatura facilitará una pronta identificación de problemas incipientes.




ENGRANAJES

Muchas máquinas usan conjuntos deengranajes para transmitir el movimiento aotros componentes de la máquina. Losengranajes y las cajas de engranajestienen marcas únicas de vibración queidentifican tanto su funcionamientonormal como anormal. La caracterizaciónde las señales de vibración de una caja deengranajes es difícil de establecer, peroresulta ser una valiosa herramienta paradiagnosticar problemas en la máquina. Ladificultad estriba fundamentalmente en dosfactores:

Resulta extremadamente difícil, cuando no imposible, montar los necesariostransductores de vibración en el interior de una caja de engranajes cerca de losengranajes individuales.

El número de fuentes de vibración en un accionamiento de engranajes múltiples se

compone de una compleja colección de engranes, modulación y frecuencias develocidades de giro.

Grandes vibraciones en las cajas de engranajes son debidas, usualmente, a la existenciade un fenómeno de resonancia entre alguna frecuencia natural del sistema y lasvelocidades del eje. Las máquinas complejas tienen, generalmente, muchas frecuenciasde resonancia dentro de su gama de velocidades de operación. En la resonancia,estas excitaciones cíclicas pueden causar grandes amplitudes de vibración y esfuerzos yaque, bajo condiciones de resonancia, la amplitud torsional originada está restringidasolamente por el amortiguamiento del modo de vibración correspondiente. En cajas deengranajes típicas, este amortiguamiento es frecuentemente pequeño y permite al parexcitado generar grandes amplitudes de vibración bajo condiciones de resonancia. Por




todo ello, los espectros en frecuencia de la vibración asociada a este tipo de elementosmecánicos resulta extremadamente compleja.

La siguiente descripción de engranajes típicos dará alguna idea de la dinámica operativanormal de cada tipo de engranajes. Para la implantación de un programa de mantenimientopredictivo de engranajes y cajas de engranajes basado en vibraciones es muy importanteun conocimiento básico de las fuerzas dinámicas que ellos generan. Como mínimodeberán identificarse las siguientes fuerzas y sus correspondientes vibraciones:

FRECUENCIA DE ENGRANE (GMF): Es la frecuencia más comúnmente asociadacon engranajes y es igual al producto del nº de dientes por la velocidad del eje.Una caja de engranajes normal contiene múltiples engranajes y, por tanto, múltiplesfrecuencias de engrane. Una señal de un engranaje normal tendrá unafrecuencia de engrane de baja amplitud con una serie de bandas lateralessimétricas, espaciadas a la velocidad de rotación del eje, a ambos lados.

La separación y amplitud de estas bandas serán exactamente simétricas si la cajade engranajes funciona normalmente. Cualquier desviación de la simetría de laseñal indica un incipiente problema en el engranaje.




Vibración de un par de engrane para un comportamiento normal

Vibración de un par de engrane para un comportamiento anormal FRECUENCIA DE EXCITACIÓN: Los engranajes pueden ser fabricados con tal alto

grado de precisión que pequeñas imperfecciones pueden generar componentes devibración anormales. Estas imperfecciones pueden aparecer durante la fabricacióno en las operaciones de montaje. Los desajustes en el montaje pueden producir, porotra parte, que engranajes perfectos funcionen imperfectamente. La medición deerrores revela esquemas complejos de defectos geométricos que dan por resultadofrecuencias de vibración anormales.




Para el análisis de funcionamiento de cajas de engranaje, son de gran interés losarmónicos de baja frecuencia, ya que estos componentes excitan lasfrecuencias normales de funcionamiento más destructivas. Los armónicosaltos, tales como los errores diente a diente y las fluctuaciones de desplazamientodel eje debido a la flexibilidad de los dientes, generan ruidos, más que vibraciones,en las cajas de engranajes.

HOLGURA: La holgura o juego es un factor importante en el funcionamientocorrecto del engranaje. Todos los engranajes deben disponer de una serie deholguras para permitir las tolerancias de concentricidad y forma de los dientes. Unainsuficiente holgura o juego causa un rápido fallo debido a sobrecarga. Una holguraexcesiva incrementará la fuerza de contacto reduciendo, también, la vida delengranaje.Las holguras anormales alterarán el espaciamiento de las bandas lateralesque rodean la señal de frecuencia de engrane. En vez de mantener un espaciadouniforme, a la velocidad de rotación del eje, el espaciado será errático.

En el control de las condiciones mecánicas de engranajes y cajas de engranajes usandotécnicas de análisis vibratorio deben considerarse también las fuerzas unitarias generadaspor el engranaje específico. Por ejemplo, un engranaje helicoidal general una carga deempuje axial alta creada por el engrane de la pareja de ruedas. La degradación de lascondiciones de engrane incrementará la fuerza axial y su correspondiente amplitud devibración.Las técnicas de control de banda estrecha son ideales para detectar problemasincipientes del tipo de los aquí descritos. Deberá establecerse una banda estrecha queincluya, al menos, cinco bandas laterales a cada lado de la frecuencia de engrane. Porejemplo un montaje de engranajes con un eje girando a una velocidad de 20 Hz y unafrecuencia a 200 Hz deberá tener una banda estrecha con un límite inferior fijado a 100 Hz(20 Hz x 5) y un límite superior fijado a 300 Hz. Este tipo de banda estrecha permitirádetectar automáticamente cualquier incremento en la energía generada en el montaje deengranajes y, por lo tanto, cualquier cambio en sus condiciones de funcionamiento. Noobstante, estos datos no siempre determinarán la causa raíz del fallo, haciendo necesarioun análisis manual completo.El análisis del aceite de lubricación con técnicas espectrográficas o de partículasdesprendidas añadirá información útil del funcionamiento de las cajas de engranajes ypueden incluirse en un programa de monitorizado de vibraciones. Sin embargo, el costoañadido no justifica, normalmente, la inclusión de estas técnicas, a menos que se hayaidentificado un serio problema en el programa de vibraciones.




ÁLABES Y PALAS

Las máquinas que usan álabes o palas tienen una frecuencia adicional que puede serrutinariamente registrada. Esta frecuencia, llamada paso de álabe o pala, representa lafrecuencia creada por los álabes o palas al pasar por un punto de referencia, p.e. eltransductor de vibraciones. La FRECUENCIA DE PASO DE ÁLABE O PALA puedecalcularse multiplicando el número de álabes o palas por la velocidad de giro del ejede la máquina.La amplitud y perfil de la frecuencia de paso variará con la carga. Sin embargo, esimportante registrar la carga operativa real como dato de adquisición. Si se presenta unproceso de inestabilidad, la frecuencia de paso aumentará en amplitud, y sedesarrollarán modulaciones o bandas laterales alrededor de la frecuencia de paso.Deberá establecerse una banda estrecha para monitorizar automáticamente la frecuenciade paso del álabe o pala. El límite inferior deberá establecerse cerca del 10% por debajo yel límite superior cerca del 10% por encima de la frecuencia de paso, para compensar lasvariaciones de velocidad y de captación de bandas laterales que puedan crearse porinestabilidad.

CORREAS DE TRANSMISIÓN

Las máquinas que emplean correas de transmisión tienen un conjunto adicional defrecuencias que pueden ser monitorizadas. Toda correa de transmisión tendrá unaFRECUENCIA DE PASO DE CORREA que identificará las condiciones defuncionamiento del sistema.Esta única frecuencia está generada por la velocidad real de la correa y puede sercalculada para cualquier sistema de transmisión:

correadelongitudN1416.3dcorreadePaso 1 ××

=

donde:

Longitud de la correa = 2L + d1·π/2 + d2·π/2 d1 = diámetro de la polea conductora en pulgadas d2 = diámetro de la polea conducida en pulgadas L = distancia entre centros en pulgadas N = Velocidad real de giro del eje conductor en Hz




La frecuencia de paso de correa es un buensistema para identificar desalineaciones, cargasinducidas excesivas y otras formas de fallosasociadas con el conjunto de transmisión.Debe establecerse una banda estrecha para monitorizar automáticamente la frecuenciade paso de correa. El límite inferior deberá establecerse un 10% por debajo de lafrecuencia de paso calculada y el superior deberá ser un múltiplo de la frecuenciacalculada, múltiplo que es igual al número de correas. Por ejemplo, una transmisión con 10correas deberá fijar el límite superior a 10 veces la frecuencia de paso calculada.

VELOCIDADES DE FUNCIONAMIENTO: NOMINALES Y CRÍTICAS

Muchos de los defectos o modos de fallo en los sistemas mecánicos pueden identificarsecomprendiendo su relación con la velocidad o velocidades de funcionamiento de un ejedentro del conjunto de la máquina. Cada máquina tendrá, al menos, una velocidad defuncionamiento real o velocidad nominal, la velocidad real del eje o ejes dentro de lamáquina. En la mayoría de los casos, hay más de un eje y cada uno de ellos tendrá supropia velocidad nominal de funcionamiento.Como la mayor parte de las frecuencias de vibración se refieren a la velocidad de rotaciónde un eje dentro de la máquina es importante que se identifique cada velocidad de rotacióny su propia frecuencia rotacional. La FRECUENCIA FUNDAMENTAL DE VIBRACIÓN ovelocidad de rotación será un primer indicador de muchos de los problemas del conjuntode la máquina y deberá ser cuidadosamente registrada.Deberá establecerse una banda estrecha para monitorizar automáticamente cada una delas velocidades reales de giro del interior de la máquina. Hay que advertir que lasvelocidades de giro en el interior de una máquina no permanecen constantes; aun en elcaso de máquinas de velocidad constante, se producen variaciones en la velocidad de giro.Esta variación es, en principio, una función del factor de carga: en la mayoría de lasmáquinas, la velocidad de rotación disminuye cuando aumenta el factor de carga. Paracompensar este tipo de variación, la banda estrecha deberá establecerse con el límiteinferior fijado cerca del 10% por debajo y el límite superior cerca del 10% por encima de lavelocidad normal de giro calculada. Esto será suficiente para compensar las pequeñasvariaciones de la velocidad real.Las máquinas de velocidad variable deben ser tratadas de manera ligeramente diferentemediante el establecimiento automático de filtros de banda estrecha. Este método, llamadoANÁLISIS DE ÓRDENES, usa un tacómetro para determinar la velocidad de rotación ymover los filtros de banda estrecha a la posición correcta basada en la velocidad de giromedida. Esta aproximación simplifica la monitorización automática de estas máquinas.




Velocidades Críticas

Todos los ejes de sistemas mecánicos rotativos presentan vibraciones radialespotencialmente perjudiciales. Estas velocidades críticas son aquellas frecuencias derotación que coinciden con una o más de las frecuencias naturales del eje.Los ejes vibrarán de forma importante a velocidades críticas aun en máquinas equilibradascon precisión. El equilibrado estrecha, pero no elimina, la banda de velocidades en la quelas vibraciones alcanzan un valor importante permitiendo que una máquina bien equilibradapueda funcionar más cerca del conjunto de velocidades críticas sin quedar perjudicada.Normalmente, la velocidad crítica más baja o fundamental, es la de mayor interésporque genera la vibración de mayor amplitud. Por ello, frecuentemente se eligen losejes por su alta rigidez y baja masa, lo cual ayuda a situar la velocidad crítica por encimade la velocidad de funcionamiento normal.No obstante, la ligereza y rigidez de los ejes no resuelve por sí misma los problemas develocidad crítica. Por ejemplo, la mayoría de los ventiladores y soplantes estánproyectados para funcionar justamente por debajo de su primera velocidad crítica ofundamental. Mientras el ventilador o soplante funcione a la velocidad de diseño noexperimentará ningún problema relacionado con la velocidad crítica; sin embargo,frecuentemente los ventiladores y soplantes en funcionamiento normal se averían odestruyen como resultado directo de un problema de velocidad crítica. El factor quepermite al ventilador llegar a funcionar a la primera velocidad crítica es la limpieza de susálabes: en un funcionamiento normal los ventiladores y soplantes están sujetos a unaumento de polvo y otros sólidos contaminantes depositados sobre los álabes que danlugar a un aumento del peso o masa que bajará la primera velocidad crítica del ventilador;como resultado el ventilador llegará a estar funcionando, a la velocidad de diseño, dentrode la primera velocidad crítica.En ocasiones, no se llega a comprender del todo el hecho de que la velocidad crítica seaun fenómeno de toda máquina rotativa y no sólo una característica dinámica de ejes enrotación. Cualquier componente en una máquina rotativa que reduzca la rigidez oincremente la masa de giro también acercará las velocidades críticas a lasvelocidades de funcionamiento de la máquina. Esto puede llegar a ser un problema realcuando se diseñan o seleccionan componentes sin considerar su potencial influencia sobrelas velocidades críticas de la máquina.La vibración excesiva originada por funcionar a velocidades críticas disminuyeinmediatamente al cambiar la velocidad de la máquina. Por ello, un método paradeterminar si existe un problema de velocidad crítica es modificar la velocidad de lamáquina. Un aumento o disminución de la velocidad de la máquina reducirá drásticamentetoda vibración y específicamente la componente de la velocidad de funcionamiento real.




Además de la primera velocidad crítica o fundamental originada por fuerzas centrífugas deuna masa no equilibrada, se han observado también algunas componentes de vibracióna una frecuencia igual a la mitad de la primera crítica. Este efecto es típico de ejeshorizontales, indicando que la influencia de la fuerza de gravedad, del peso propio, puedeser una de la causas. Hay dos causas primarias para esta velocidad crítica secundaria:

Efecto de la gravedad combinada con la presencia de un desequilibrio. Efecto de la gravedad combinada con una rigidez a flexión no uniforme en el eje.

En conclusión, las velocidades críticas deben ser consideradas en todas las máquinasrotativas. Se debe poner especial atención a las velocidades críticas o frecuenciasnaturales en máquinas con componentes suspendidos o en voladizo, (p.e. ventiladores) omáquinas con masa rotativas grandes y poca masa de fundación. Las máquinas de papelson ejemplos clásicos de grandes masas giratorias con poca masa soporte: la mayor partedel peso o masa de la máquina es debida a los componentes rotativos (p.e. rodillos) y estásoportada por una estructura mínima siendo, por lo tanto, altamente susceptible a losproblemas de velocidad crítica.

MODO O FORMA DE OPERACIÓN

Como la mayoría de las máquinas usan ejes relativamente flexibles, los ejes tienden aflexar y funcionar en una forma o modo más que girar en su propio centro.El PRIMER MODO de operación es un desplazamiento radial delcentro de giro del eje. El eje gira cilíndricamente alrededor del centronormal o estático y no tiene un verdadero nodo (punto dedesplazamiento nulo) entre los cojinetes soporte; permanecerelativamente recto pero girando excéntricamente. El DESEQUILIBRIOen un plano y otras disposiciones de carga generan este modo deoperación. La componente de vibración de la velocidad nominal seexcita por este modo de operación.La SEGUNDA FORMA adoptada por un eje en rotación es más biencónica que cilíndrica. El eje se deforma en forma de S con un nodoentre los cojinetes soporte. Por lo tanto, por cada revolución del ejese observarán dos puntos altos en la señal de vibración. Este modocreará un componente de vibración a dos veces la velocidad degiro. Normalmente asociado con la DESALINEACIÓN, tambiénpueden ser origen de esta forma: un desequilibrio de fase, ejestorcidos, una inestabilidad aerodinámica, …




En la TERCERA FORMA de operación posible en un eje giratorio, éstetiene dos nodos entre los cojinetes soporte. Este modo origina uncomponente de vibración de frecuencia tres veces la velocidad degiro. Muchas situaciones de carga pueden dar lugar a esta terceraforma de operación: un desequilibrio en varios planos, un movimientooscilatorio del elemento giratorio, ...Una clara comprensión de las diferentes formas o modos de operación, de cómo songenerados y cómo aparecen en la señal de vibración, facilitará la comprensión de lascondiciones de funcionamiento de la máquina de cara a su mantenimiento predictivo.En cualquier caso, en la forma adoptada por losmodos descritos anteriormente, existe un factorde diseño del rotor que resulta determinantecomo es la rigidez o elasticidad quecaracterice a los apoyos que sustentan alrotor (hard/soft supports).Así, las formas descritas constituyen las propiasde un rotor con apoyos flexibles. La presenciade unos apoyos rígidos modifican de maneradeterminante las características definidas tal ycomo se puede observar en la figura,introduciendo un mayor número de nodos encada una de ellas y obligando, de partida, a lapresencia de un nodo en cada uno de loscojinetes que sirven de apoyo al rotor.En la figura se recogen, a modo de ejemplo, las formas de operación de un compresor:




RESONANCIA

Si una frecuencia natural de la máquina o sistema mecánico es excitada por una o másvelocidades o por un defecto en la máquina, el nivel de vibración que se genera puedellegar a ser importante pudiendo dar lugar a graves averías. No en vano, la resonancia deuna frecuencia natural de una máquina constituye una de las fuerzas de vibración másdestructivas que se pueden encontrar.Normalmente, las frecuencias asociadas con las resonancias más críticas son bajasy, en algunos casos, están por bajo de las capacidades de monitorizado de lainstrumentación de mantenimiento predictivo. Así, en muchos casos, para monitorizar lasfrecuencias de resonancia la instrumentación debe ser capaz de separar frecuencias en labanda de 1 a 10 Hz del ruido que normalmente limita estas bandas .En algunos casos, esta resonancia puede, a su vez, transmitirse a máquinas adyacentes oa otros equipos de la misma planta. En tales situaciones, la resonancia puede enmascararla señal de vibración de otros componentes críticos. Si se sospecha la presencia de unfenómeno de resonancia, debe verificarse y eliminarse lo más rápidamente posible.

PRECARGAS Y CARGAS INDUCIDAS

Las cargas inducidas dinámicamente en ejes giratorios constituyen el más común y menoscomprendido de los comportamientos de máquinas. Por otro lado, son también ellas lasque contribuyen mayormente al fallo de la máquina.Se define como PRECARGA a una fuerza direccional que, por motivos de diseño, esaplicada a un eje giratorio. Un ejemplo de precarga es la tensión lateral creada por unacorrea. La mayoría de las máquinas tienen al menos una precarga de proyecto que creauna fuerza direccional que no es compensada por otra fuerza igual y contraria. La fuerzade la gravedad es, por ejemplo, otra forma de precarga; todas las máquinas tienen estafuerza no equilibrada que sobreviene durante el funcionamiento normal.La CARGA INDUCIDA es también una fuerza direccional desequilibrada en la máquina.En este caso, la fuerza está creada por el funcionamiento dinámico de la máquina. Unejemplo de carga inducida es la inestabilidad creada por la obstrucción de la corriente deaire de un ventilador o soplante. Todas las máquinas de álabes o palas (bombas,compresores, ventiladores, etc.) pueden ser objeto de este tipo carga anormal.El resultado tanto de la precarga como de la carga inducida es la flexión del eje en uncuadrante de los cojinetes o según uno de los modos de operación vistos. Estoorigina una resistencia no lineal y que la constante de reacción de los cojinetes sea mayoren oposición a la fuerza que lo es perpendicularmente a ella; lo que causará un desgasteprematuro del cojinete y puede ser motivo de serias averías en la máquina.




El conocimiento de las cargas y de su efecto en la máquina es importante por dos razones: Será posible localizar el punto en el plano opuesto a la carga inducida potencial. Lo

que asegurará la detención precoz de un problema incipiente. Suministrará ayuda a la diagnosis de los problemas de la máquina.

No obstante, las precargas y cargas inducidas no son necesariamente causa del malfuncionamiento de la máquina. En algunos casos, tienden a estabilizar el eje, los cojinetesy los demás elementos rotativos. Sin embargo, si se aplican a la máquina cargas excesivaspueden, y en muchos casos lo harán, desarrollarse rápidamente muy serios problemas. Encasos extremos, pueden originarse curvatura de ejes, rotura de elementos rotativos, roturade acoplamientos y otros graves problemas.

VARIABLES DE PROCESO

Toda máquina está diseñada para ejecutar una función dentro de un determinado proceso.En este sentido, un programa de mantenimiento predictivo no puede dedicarse a registrarexclusivamente vibraciones. Las variaciones en el proceso tienen un efecto directo sobrelas condiciones de funcionamiento de la mayor parte de equipos mecánicos. Por ejemplo:

Las bombas, compresores, ventiladores y otros equipos mecánicos cuentan parafuncionar con una presión de admisión mínima y están limitados en la presión dedescarga máxima (TDH) que pueden producir. Las variaciones en la presión deadmisión y las demandas a la presión de descarga pueden hacer que el sistemamecánico funcione fuera de sus límites aceptables provocando graves fallos.

Muchos de los problemas que causan fallos prematuros en el sistema son resultadodirecto de procesos de cargas inducidas. Así, un gran número de problemas dedesequilibrio en maquinaria son, en realidad, causados por inestabilidad hidráulica oaerodinámica originada por procesos de restricción. En estas circunstancias, seobliga al sistema mecánico a funcionar fuera de su capacidad.

Por ello, todos los parámetros de proceso que afecten directamente alfuncionamiento del equipo mecánico deberán ser considerados y registrados comoparte rutinaria en el proceso de adquisición. Las tendencias de estas variablesidentificarán frecuentemente un potencial problema del sistema, caso de tener lugar. Eneste sentido, la mayoría de los sistemas de monitorizado de máquinas soportan, al menos,un método de registro de variables como rutina de las condiciones de adquisición, algunospermiten la adquisición directa de variables del proceso partiendo de instrumentación enplanta y otros permiten la entrada manual de los datos de proceso.




8.5 Causas más comunesde fallo

DESEQUILIBRIO

Es probablemente el fallo más común en un equipo mecánico. No obstante, es incorrectala suposición de que debe existir un desequilibrio mecánico real para crear una condiciónde desequilibrio en la máquina. La inestabilidad aerodinámica o hidráulica también puedecrear un desequilibrio masivo. De hecho, todas las formas de fallos generarán algunaforma de desequilibrio. Por ello, cuando se consideran todos los fallos, el número deproblemas de máquina que son resultado del desequilibrio real mecánico de elementorotativo es relativamente pequeño.El desequilibrio podrá tomar muchas formas en laseñal de vibración, pero casi siempre lacomponente de la velocidad de giro será excitaday de amplitud dominante. Sin embargo, estacondición también puede excitar múltiplesarmónicos múltiplos de la velocidad de giro. Elnúmero de armónicos y su amplitud tiene unarelación directa con el número de planos dedesequilibrio y su relación de fases.

Para un único elemento rotativo se establecerá una banda estrecha para monitorizar lacomponente de frecuencia a la velocidad de giro. Para varios elementos rotativos, la bandamonitorizará la velocidad y un número de armónicos igual al de elementos rotativos.




DESALINEAMIENTO

Esta condición está siempre presente en los grupos de máquinas. Generalmente, sesupone que existe desalineación entre dos ejes conectados por mediante un acoplamiento.El desalineamiento también puede existir entre los cojinetes de un eje sólido o entrecualquier otro par de puntos de la máquina.La representación de la desalineación en la señal de vibración dependerá del tipo dedesalineación. Hay dos tipos principales de desalineación:

La desalineación paralela: se presenta entre dos ejes paralelos entre sí, pero queno están en el mismo plano. Este tipo de desalineación generará una vibraciónradial y duplicará el segundo modo de forma. En otras palabras, generará unavibración radial dos veces (x2) la velocidad de giro real del eje.

La desalineación angular: se produce cuando los ejes no están paralelos entre sí.Este tipo de desalineación generará vibraciones axiales (p. e. paralelas al eje).Como esta forma de desalineación puede duplicar cualquiera de los modos deforma, el resultado de la frecuencia de vibración puede llegar a ser dos (x2) otres veces (x3) la velocidad de rotación. El indicador principal aumentará envibraciones axiales.

Además de éstas, otros tipos de desalineamientos importantes son los que tienen lugar enlos apoyos, ya se trate de rodamientos o de cojinetes, o entre poleas.




FALTA DE APRIETE EN ELEMENTOS DE UNIÓN

La holgura puede crear una gran variedad de modelos de señales de vibración. El másfrecuente, originado con un componente de frecuencia primaria al 50 por ciento de lavelocidad de rotación (x0.5) generará múltiples armónicos de este componenteprimario. En otras palabras, habrá frecuencias componentes a 50, 150, 250 por ciento,etc. En otros casos, será excitado el componente de velocidad real o fundamental (x1). Encasi todos los casos, habrá múltiples armónicos con casi idénticas amplitudes.Las figuras muestran algunas configuraciones típicas que dan lugar a este tipo deproblema en las máquinas; así como algunas de las soluciones que suelen adoptarse paraminimizar su influencia.

En las figuras siguientes, puede apreciarse el esquema de puntos de medición típico parala detección de un problema de malas condiciones de anclaje; así como el espectro enfrecuencia asociado a una bomba horizontal con este tipo de problemática.




DESGASTE MECÁNICO

Muchas máquinas son susceptibles a la presencia de rozamientos. Este fallo puede serdebido al roce del eje contra el metal antifricción de un casquillo de cojinete, los rodillos oun elemento rodante rozando contra las pistas, o alguna parte del rotor rozando contra lacarcasa. En cada caso, la señal de vibración se desplazará a un pico de baja amplitud,normalmente entre 1 y 10 Hz. Este pico extremo de baja frecuencia estará acompañadopor un pico menor fijado entre el 25 y el 40 por ciento de la velocidad de rotación del eje.Cuando se presenta el defecto, es casi seguro el fallo de la máquina. Hay que advertir quemuchos sistemas de monitorización no puede detectar este defecto ya que no captancorrectamente frecuencias tan bajas.




8.6 Monitorizado demáquinas de

producciónAdemás de las características comunes y modos de fallo, cada tipo de máquina tendrárequerimientos muchas veces únicos para monitorizar sus condiciones de funcionamiento.Una vez analizadas las características comunes y modos de fallo de equipos mecánicos, elpaso siguiente consiste en determinar dónde y cómo monitorizar la máquina específica.Para mantener continuidad y sencillez, en monitorización y análisis se sugiere estructurarcada TREN DE MÁQUINA usando una aproximación consistente en un eje común paralocalizar los puntos de medida y establecer los parámetros de análisis.

Los PUNTOS DE MEDIDA deberán establecerse secuencialmente comenzando con elcojinete conductor exterior y acabando con el cojinete exterior de la máquina componenteconducida. Además, deberán usarse una serie de detalles consistentes numerados quefaciliten la identificación de su posición y orientación (p.e. vertical, horizontal, axial, etc.).




El término cojinete conductor hace referencia a cada eje continuo en el sistema máquina.Por ejemplo, en un motor eléctrico accionando una caja reductora simple se considera ejecomún el eje del motor de accionamiento y el de la reductora. Aun cuando se trata de dosejes acoplados, todas las fuerzas actuantes, así como las vibraciones, se transmitirán a lolargo ambos (del eje común). Esta aproximación a la hora de establecer un conjunto dedatos, condiciones operativas de monitorización y análisis de problemas incipientes tienedos ventajas:

Una identificación más inmediata de la localización de un punto de medida durantelas fases de adquisición y análisis de una máquina.

Una mayor facilidad a la hora de evaluar todos los parámetros que afectan a cadauno de los componentes de la máquina.

El conocimiento de la localización específica y orientación de cada punto de medida escrítico para el correcto diagnóstico de problemas incipientes en la máquina. No hay queolvidar que la señal de vibración es una representación gráfica de las fuerzas dinámicaspresentes en la máquina. Sin un conocimiento de la localización y orientación será difícil, sino imposible, identificar correctamente el problema incipiente. La orientación de cada puntode medida deberá considerarse cuidadosamente durante la toma de datos, dado quenormalmente hay una orientación óptima para cada punto de medición en cada trende máquinas de cara a poder registrar las peores fuerzas dinámicas y vibracionesposibles. Así, por ejemplo:

En casi todos los casos, cada tapa de cojinete necesitará dos medicionesradiales perpendicularmente al eje, para monitorizar correctamente lascondiciones de funcionamiento de la máquina.

Será también necesaria en cada eje común al menos una medida axial.Por ejemplo, un ventilador accionado por una correa:

Tendrá una fuerza dominante creada por la tensión de la correa; sin embargo, lapeor vibración se producirá en la dirección radial de la correa conductora.

Para monitorizar la peor vibración y alcanzar la más pronta detención de unproblema incipiente, el primer punto de medida radial debería estar entre el eje y ellado opuesto de la correa conductora.

Una segunda medida radial debería tomarse a 90º de la primera permitiendoregistrar una energía de vibración comparativa y que ayudará a determinar en lamáquina el vector fuerza real.

Las lecturas axiales de los ejes tanto del motor como del ventilador son tambiénmuy importantes. Un fallo común de las unidades de accionamiento por correa es ladesalineación: si las poleas no están en el mismo plano, la tensión de la correa




tenderá a alinearlas; lo que creará un movimiento axial en los dos ejes. La medidaaxial detectará estas fuerzas anormales identificando el problema de desalineación.

MOTORES ELÉCTRICOS

Los motores eléctricos son frecuentemente utilizados como motor principal en procesos defabricación. Dependiendo de su tamaño y fabricación pueden utilizar tanto cojinetes defricción como rodamientos. Raramente utilizarán cojinetes de empuje, y serán susceptiblesde movimientos axiales anormales cuando se acoplen a equipos de proceso que puedangenerar cargas de empuje axial.La figura recoge una distribuciónestadística de los fallos característicosque suelen tener lugar en estosmotores. Además de las formascomunes de fallo, son propensos aotros problemas específicos: pérdidasde aislamiento, pérdida o rotura debarras del rotor, pérdida de polos ycortocircuitos.Estas formas específicas de fallo pueden ser registradas incluyendo bandas estrechasque registren la frecuencia de 50 Hz y sus armónicos de 100 y 150 Hz. Si existenproblemas eléctricos la frecuencia de línea y sus armónicos señalarán su presencia. Lapérdida o rotura de barras del rotor puede ser detectada registrando la corriente delmotor: si existe la condición, la frecuencia de deslizamiento se mostrará claramente comobandas adyacentes a cada lado de la frecuencia de línea. A su vez, la pérdida de polos semostrará como una frecuencia de paso de polos igual al número de polos multiplicadopor la velocidad de giro.Normalmente, los motores se emplean tanto en posición horizontal como vertical. Losmotores horizontales se monitorizan mediante dos puntos de medida radial en loscojinetes interior y exterior. La medida axial no es necesaria, a menos que el motoraccione una máquina que pueda originar una carga o empuje axial. Los motoresverticales se monitorizarán de la misma manera pero requiriendo una medida axial enel cojinete inferior en dirección ascendente.




Los motores cerrados que incluyen un ventilador y algunos motores a prueba deexplosión son difíciles de monitorizar. El alojamiento del ventilador de estos motoresincluye la tapa de cojinete. El mejor método para adquirir datos del cojinete exterior esmontar transductores sobre las tapas de cojinete y conectarlos a una localizaciónconveniente. Si esto no es posible, el óptimo consistirá en conseguir la medición en elpunto más cercano que pueda tener una conexión mecánica con el cojinete.En general, con este tipo de máquinas se establecen una serie de BANDAS ESTRECHASPARA MONITORIZAR:

Desequilibrio (1x RPM). Desalineación (2x RPM). Problemas eléctricos (50,100,150 Hz). Defectos en cojinetes (ver cojinetes). Pérdida de polos o frecuencia de paso de polos (nº de polos x RPM). Roce mecánico o subarmónicos. También hay que leer un pico de corriente para comprobar la barras rotas del

rotorEn estos casos, también el escaneado infrarrojo provee un pronta detención tanto de losproblemas mecánicos como de los eléctricos que no pueden ser detectados por análisis devibraciones. Al mismo tiempo, debe adquirirse como mínimo un registrador motorizado depuntos de temperatura. Pueden usarse termómetros de infrarrojos junto con el registradorde datos.

CAJAS DE CAMBIO

Se suelen emplear como elementos intermedios para aumentar o disminuir la velocidad defuncionamiento. Dependiendo de la aplicación pueden llevar varios tipos de engranajes ycojinetes. Por la tanto, las formas de fallo variarán en consecuencia.




Prescindiendo de las interioridades de la caja de engranajes, para monitorizar lascondiciones de funcionamiento deberán usarse dos puntos de medida radial en cadatapa de cojinete. Si se utilizan engranajes helicoidales se requerirá también una lecturaaxial en cada eje.La medición en dichos puntos debe orientarse en dirección opuesta a la peor fuerzadinámica prevista. En la mayoría de casos, ésta será opuesta a la pretensión y posiblesempujes generados por el engrane.Las cajas reductoras o multiplicadoras suelen tener ejes locos que, en muchos casos, noson accesibles desde el exterior de las cajas. En estos casos, las lecturas axiales enpuntos próximos a dichos ejes locos servirán como datos, intentando asegurar que el puntoseleccionado tenga una ligazón mecánica directa con el eje o alojamiento del cojinete.Deberán establecerse BANDAS ESTRECHAS PARA CADA EJE que puedan registrar:

Desequilibrio. Desalineación. Frecuencias de engrane. Defectos de cojinetes. Rozamientos mecánicos.

También puede añadirse como parte del equipo de medida sensores de temperatura enlas tapas de cojinetes y amperímetros para la carga de intensidad del motor.Los análisis periódicos del aceite lubricante, usando métodos espectrográficos o dedesgaste de partículas, mejorarán la capacidad del programa para detectar problemasincipientes.

VENTILADORES Y SOPLANTES

La variedad de diseño de ventiladores y soplantes es casi infinita. Sin embargo, puedenclasificarse en dos clases: centrados o en consola (voladizo). Ambos tipos estángeneralmente proyectados para funcionar por debajo de su primera velocidad crítica,aunque preparados para los severos desequilibrios originados por esa velocidad crítica.El diseño en voladizo o consola es susceptible también de inestabilidad aerodinámica ycargas inducidas. Esto es, en principio, resultado de la gran masa de los elementos enrotación y de la configuración en voladizo de la estructura soporte de los cojinetes. Todoslos ventiladores y soplantes deben monitorizarse para los modos de fallo comunes y paraprocesos de inestabilidad inducida. El paso de aletas es el indicador primario defuncionamiento.




Las unidades accionadas por correas sonpropensas a desalineación y debenvigilarse cuidadosamente. Para monitorizarla condición de un ventilador se requieren,por lo menos, dos puntos de medida encada tapa de cojinete, orientados contra lapeor fuerza dinámica, y una medida axial.Se establecerán BANDAS ESTRECHASpara monitorizar los fallos de: desequilibrio,desalineación, defectos en cojinetes, pasode álabes o palas, rozamiento mecánico einestabilidad aerodinámica.Deberán vigilarse los puntos de admisión y descarga. Las restricciones en cualquierade estos puntos intentan forzar al elemento rotativo en dirección contraria. En la mayoríade casos, está será la dirección correcta de monitorización.Deberán incluirse en el proceso de adquisición de datos la presión de succión, la presiónde descarga y la intensidad de carga del motor. Las temperaturas de las tapas decojinetes ayudarán en la pronta detención de problemas en los cojinetes.

COMPRESORES

Al igual que los ventiladores, la variedad de tipos de compresores es infinita. Laclasificación mayor incluye centrífugos de etapa única, de etapas múltiples, de tornilloy recíprocos. A su vez, los centrífugos de etapas múltiples pueden dividirse en lineales yhelicoidales. En los compresores industriales se usan rodamientos y casquillos concojinetes de casquillo basculante. Los parámetros de control se establecerán deacuerdo con cada tipo:

Los COMPRESORES CENTRÍFUGOS DE UNA ETAPA son similares a losventiladores y pueden ser monitorizados de igual manera. El paso de álabe será unprimer indicativo de su funcionamiento. Como regla general, deberán establecersebandas estrechas para monitorizar: desequilibrio, desalineación, paso de álabe,defecto de cojinetes, inestabilidad aerodinámica y rozamiento mecánico.

Los COMPRESORES DE ETAPAS MÚLTIPLES ALINEADAS deberán ser tratadoscomo una combinación de caja de engranajes y bomba. Disponen de un granengranaje helicoidal que conduce varios engranajes menores montados en un ejepiñón impulsor. Las velocidades típicas de ese eje piñón suelen estar entre 30.000y 50.000 r.p.m. y deben ser monitorizadas cuidadosamente. Los ejes piñón tienen,




normalmente, cojinetes de casquillo flotante que generan un frecuencia de paso sise presenta un juego o desalineación anormales.La mayoría de estos compresores helicoidales tienen transductores dedesplazamiento montados permanentemente para monitorizar los ejes piñón.Estos datos se añaden a los registrados por los sensores situados en la estructura.Para monitorizar las condiciones de funcionamiento del compresor se han de tomardos puntos de medición radial en cada tapa de cojinete del engranajehelicoidal y en cada eje piñón. Como emplea engranajes helicoidales, tambiénson necesarias mediciones axiales en cada tapa de cojinete.Se deberán establecer bandas estrechas para monitorizar en cada eje:desequilibrio, desalineación, engrane, paso de álabe, defecto de cojinetes,inestabilidad aerodinámica y rozamiento mecánico.

Los COMPRESORES DE TORNILLO usan rodamientos o cojinetes de casquillo yson susceptibles de inestabilidad aerodinámica. Tienen un juego axialextremadamente pequeño y no permiten un movimiento axial mayor de 0.05milésimas antes del contacto con el rotor. En estas máquinas, las medidas axialestanto del rotor como del tornillo son absolutamente críticas.En los compresores de tornillo deben realizarse dos medidas radiales y una axialen cada cubierta del cojinete. Las lecturas de engrane y axial del rotor son losprimeros indicadores de un funcionamiento anormal. Deberán establecerse bandasestrechas en cada rotor para monitorizar: desequilibrio, desalineación, engrane delrotor, defectos de cojinetes, inestabilidad aerodinámica, rozamiento mecánico.

Por otra parte, los compresores originan fuerzas y vibraciones resultantes a frecuenciasdiferentes de otras máquinas rotativas. Normalmente, el segundo armónico (x2) es másdominante que la velocidad real del cigüeñal. Además de en los dos puntos de medidaen cada tapa de cojinete, se deben tomar medidas en la pared del cilindro paradetectar rozamiento, y cerca de las válvulas de admisión y descarga para detectarproblemas de las mismas.Las bandas estrechas que se monitorizarán son las correspondientes a: desequilibriodel cigüeñal, desalineación del cigüeñal, rozamiento mecánico en las paredes del cilindro,defectos de válvulas, defectos de cojinetes y juego.Los parámetros de proceso dan información válida acerca de las condiciones operativasde todos los compresores. Todos los parámetros accesorios (presiones, temperatura,intensidades eléctricas del motor, temperaturas de los cojinetes, ...) deberán serconsiderados. Datos entre las fases de compresores multifases, especialmente enunidades recíprocas, son críticas en el análisis.




Por último, una vez más, el análisis periódico del aceite lubricante con métodosespectrográficos o de partículas suministrará una pronta vigilancia de problemasincipientes.

GENERADORES

Los generadores normalmente están dotados con cojinetes de película de aceite o decasquillo y se monitorizan con dos puntos de medición radial en cada tapa de cojinete.También disponen de un juego o movimiento axial del conjunto total del rotor. Por ello serequiere, al menos, una medición axial. Las bandas estrechas monitorizarán:desequilibrio, desalineación, defectos de cojinetes, inestabilidad del rotor, defectoseléctricos y roce mecánico.El escaneado infrarrojo del generador proveerá una pronta observación de los problemasincipientes no detectados por el análisis vibratorio.

BOMBAS

La variedad de bombas es también muy grande. Sin embargo, pueden ser monitorizadasde la misma manera que los ventiladores y soplantes. La frecuencia de paso de álabes opalas es el indicador primario de problemas de proceso y ha ser monitorizadacuidadosamente. Los puntos de medición radiales y axiales deben ser orientados a




monitorizar cargas inducidas de proceso. La fuerza radial pésima será opuesta a ladescarga en bombas de aspiración axial y alineada con la aspiración y descarga en lasbombas de caja partida.

Las BOMBAS DE ASPIRACIÓN AXIAL deberán monitorizarse empleando puntos demedición axial para la detección de problemas de aspiración.Las BOMBAS VERTICALES se caracterizarán, asímismo, por un comportamiento dinámico bastantedistinto al de las horizontales. La presencia de unosniveles de vibración admisibles habitualmente muysuperiores a los manejados en bombas horizontaleses una de las diferencias más importantes. En lo quea la disposición de los puntos de medida se refiere,se mantiene, adaptándola a la nueva situación, lametodología establecida para los ensayos sobrebombas horizontales.Las BOMBAS CENTRÍFUGAS DE ETAPAS MÚLTIPLES pueden tener, dependiendo deldiseño, altos empujes o cargas axiales. Las bombas multietapa alineadas, con todos losimpulsores actuando en la misma dirección, deben monitorizar cuidadosamentecualquier incremento de movimiento o carga axial. Los impulsores dispuestos enoposición equilibran la carga axial y no necesitan la monitorización de cargas axiales. Lasbandas estrechas deberán monitorizar: desequilibrio, desalineación, paso de palas(álabes), defectos en cojinetes, inestabilidad hidráulica y rozamiento mecánico.




Las bombas requieren un paquete de parámetros de proceso completo. Al igual que loscompresores, son muy susceptibles a problemas inducidos por el proceso, y estos datosson necesarios para determinar sus condiciones operativas. Estas mediciones deberánincluir: presiones, temperaturas, caudales, intensidad de corriente en motores ytemperatura de los cojinetes.

LÍNEAS DE PROCESO CONTINUO

La mayor parte de plantas de proceso y fabricación emplean una variedad de complejossistemas de procesos mecánicos continuos que deben ser incluidos en el programa demantenimiento predictivo. En esta clasificación se pueden incluir: máquinas de papel,laminadoras, líneas de envasado, prensas de estampación, líneas de teñido y muchasmás. Estos sistemas pueden estructurarse, monitorizarse y analizarse de la misma maneraque una simple máquina (bomba, ventilador, etc.).La obtención de los datos iniciales requiere un esfuerzo mayor, pero se aplican los mismosprincipios. Cada sistema deberá ser evaluado para determinar el eje común quecomponga el conjunto de máquina total. Usando el dato del eje común se evalúa cada ejepara determinar el propio movimiento mecánico y las fuerzas dinámicas que genera, ladirección de cada fuerza y los modos de fallo anticipados. Entonces, esta informaciónpuede ser utilizada para determinar la localización de los puntos de medición y las bandasestrechas requeridas para monitorizar las condiciones de funcionamiento de la máquina.La selección de las bandas estrechas dependerá de las dinámicas operativas de cadamáquina. Deberán usarse los mismos métodos que los usados en máquinas simples. Sedebe recordar el tratar cada eje como una unidad básica para el establecimiento de bandasestrechas.




8.7 Desarrollo de bases dedatos

El siguiente paso requerido para el establecimiento de un completo programa demantenimiento predictivo es la creación de una base de datos comprensible.

FRECUENCIA DE ADQUISICIÓN DE DATOS

Durante la etapa de implantación de un programa de mantenimiento predictivo, debencomprobarse todas las clases de maquinaria para establecer una base del conjunto dedatos. Deben conseguirse señales completas de vibraciones para verificar la exactitud dela base de datos y establecer las condiciones iniciales de funcionamiento de lamáquina.Como un amplio programa incluirá tendencia y tiempo previsto para el fallo, serequieren múltiples lecturas en todas las máquinas para proveer datos que permitandesarrollar estadísticas de tendencias. Normalmente, durante esta fase, las medidas serealizan cada 2 semanas.Después del análisis inicial o básico de la maquinaria, la frecuencia de registro de datosvariará según la clasificación del grupo de máquinas. Máquinas de:

Clase I: se monitorizarán sobre 2 a 3 semanas ciclo. Clase II: sobre 3 a 4 semanas ciclo. Clase III: sobre 4 a 6 semanas ciclo. Clase IV: sobre 6 a 10 semanas ciclo .

Esta frecuencia puede y debe ser adecuada para la condición real de los gruposespecíficos de máquinas. Si la cadencia de cambio de un máquina específica indica unadegradación rápida debe repararse o al menos incrementarse la frecuencia demonitorización para prevenir fallos graves.La frecuencia de compilación de datos es la máxima que puede asegurar laprevención de fallos graves. Una frecuencia de compilación menor limitará la capacidaddel programa para detectar y prevenir averías de máquina no catalogadas.




El desarrollo del programa básico de vibraciones puede llegar también a catalogar tareasno vibratorias. Las mediciones de tapas de cojinetes, uso de puntos de medida coninfrarrojos, inspecciones visuales, o la compilación de parámetros de proceso son aspectosque deberán tratarse juntamente con la adquisición de datos de vibración.La imagen total de infrarrojos o el escaneo del equipo incluido en el programa demonitorización de vibraciones debería realizarse con una base cuatrimestral. Además,debería realizarse cuatrimestralmente una exploración total térmica del equipo eléctricocrítico (conexiones, cortacircuitos, etc.) y de todos los sistemas de transmisión de calor(cambiadores de calor, condensadores, tuberías, etc.) que no estén en el programa devibración.También deberán tomarse, al menos mensualmente, muestras del aceite de lubrificaciónde todo el equipo incluido en el programa. Sobre estas muestras se realizará, al menos, unanálisis espectrográfico. El análisis de partículas de desgaste u otros análisis técnicos serealizarán si se consideran necesarios.

PARÁMETROS DE ANÁLISIS

El paso siguiente en el establecimiento de la base de datos del programa es estructurar losparámetros de análisis que han caracterizar al equipo monitor de planta. Cada uno deestos parámetros estará basado en los requerimientos del grupo de máquina específicoque se haya desarrollado.Normalmente, para equipamientos no mecánicos, el conjunto de parámetros de análisisconsistirá en los valores derivados de mediciones del perfil térmico o parámetros deproceso. Cada clasificación de equipo o sistema tendrá su propio conjunto deparámetros de análisis único.

ANÁLISIS DE LÍMITES OPERATIVOS

Todos los sistemas de control de vibraciones tienen límites finitos en resolución; es decir,una determinada capacidad a la hora de mostrar gráficamente los componentes defrecuencia única que integran una señal de vibración de máquina. El límite superior (Fmax)para el análisis de señal deberá situarse lo bastante alto como para poder capturar yrepresentar suficientes datos para que el analista pueda determinar las condiciones defuncionamiento del grupo máquina, pero no más alto. Como todos los sistemas basados enmicroprocesador tienen un límite de líneas de resolución, la elección de frecuenciasexcesivamente altas puede limitar severamente las capacidades de diagnóstico delprograma.




Para determinar el impacto de resolución, se calculan las capacidades de representacióndel sistema. Por ejemplo, una señal de vibración con una frecuencia máxima (Fmax) de1.000 Hz tomada con un instrumento que dispone de 400 líneas de resolución daría unarepresentación en la que cada línea mostrada sería igual a 2.5 Hz, o 150 r.p.m. Cualquierfrecuencia comprendida entre 2.5 y 5.0, por ejemplo, se perdería.

LÍMITES DE ALARMA

El método para establecer y usar límites de alerta/alarma depende del sistema de registrode vibraciones particular seleccionado. Normalmente, estos sistemas utilizan límitesestáticos o dinámicos para registrar, conducir y avisar sobre el nivel de vibracionesmedidas.Los sistemas que usan límites alerta/alarma dinámicos basan su lógica en el hecho deque el grado de cambio de amplitud de vibración es más importante que el nivel real.Cualquier cambio en la amplitud de vibración es una indicación directa de que estáteniendo lugar el correspondiente cambio en las condiciones mecánicas de la máquina. Sinembargo, habría un límite máximo aceptable, p. e. el asociado a fallo absoluto.A continuación, se introduce con carácter orientativo una guía para algunos límitesmáximos que pueden resultar aceptables para muchas plantas de equipos mecánicos.

Un límite de severidad aceptado para vibraciones de la estructura o cuerpo es0.628 ips pico (velocidad). Es un valor de banda ancha no filtrada y corresponde,normalmente, a un ancho de banda entre 10 y 10.000 Hz.Este valor puede usarse para establecer el fallo absoluto o amplitud máxima devibración para mediciones en banda ancha en la mayoría de plantas de maquinaria.La excepción serían máquinas girando a velocidades por debajo de 1.200 ó porencima de 3.600 r.p.m.

Pueden establecerse límites de banda estrecha, p. e. anchos discretos de banda,dentro de la banda ancha. Normalmente, del 60 al 70% de la energía de vibracióntotal corresponderá a la velocidad real de la máquina. Sin embargo, el límite defallo absoluto para una banda estrecha que controle la velocidad de giro realsería de 0.42 ips pico.Este valor también puede usarse para cualquier banda estrecha establecida paracontrolar frecuencias por debajo de la velocidad de giro.Los límites de fallo absoluto para bandas estrechas establecidos para controlarvelocidades de giro superiores pueden desarrollarse usando el límite de 0.42 ipsestablecido para la velocidad de giro real. Por ejemplo, el límite de fallo absoluto




para una banda estrecha creada para registrar la frecuencia de paso de una palade ventilador con 10 palas se establecerá en 0.042 ips ó 0.42/10 ips.Las bandas estrechas diseñadas para controlar componentes de alta velocidad,p. e. por encima de 1.000 Hz, tendrán un fallo absoluto de 3.0 g pico (aceleración).

Los cojinetes de elementos rodantes suelen tener, basado en recomendaciones,un límite de fallo absoluto de 0.01 ips pico. Los cojinetes de casquillo o películade aceite pueden considerarse de forma similar. Si los componentes fraccionariosque identifican la vibración por sobreengrase o la vibración por giro están presentesa cualquier nivel, el cojinete está sujeto a avería y el problema debe de sercorregido.

Los equipos y sistemas no mecánicos tendrán un límite de fallo absoluto que especificael nivel máximo recomendado para funcionamiento continuo. Los fabricantes ydistribuidores, en la mayoría de los casos, estarán capacitados para dar esta información.




8.8 Instrumentos para lamedida de vibraciones

El tipo de sensores y técnicas de adquisición de datos empleados en el programa demantenimiento es un factor crítico que puede determinar su éxito o fracaso. Su precisión,correcta aplicación y apropiado montaje determinarán si los datos obtenidos son o noválidos.Hay tres tipos de transductores de vibración que pueden usarse para monitorizar lascondiciones mecánicas de una planta de maquinaria, cada uno con sus aplicacionesespecíficas en la planta y sus limitaciones:

Sonda de desplazamiento. Captador de velocidad (velocímetro). Acelerómetro.

SONDAS DE DESPLAZAMIENTO

Las sondas de desplazamiento o de corrientes de fuga (Foucault) se diseñan para medirel movimiento absoluto de un eje de máquina con respecto a la sonda. Por lo tanto, lasonda de desplazamiento deberá montarse rígidamente sobre una estructura rígida con elfin de asegurar un dato seguro y repetible.Las sondas de desplazamiento montadas permanentemente, suministran los datos másseguros en máquinas con rotor de bajo peso (en relación con la carcasa o estructuraportante). Turbinas, compresores y otros componentes suelen llevar captadores dedesplazamiento montados permanentemente en posiciones de medida claves para elsuministro de datos al programa.La gama de frecuencias útiles para las sondas de desplazamiento es de 10 a 1.000 Hz(600 a 60.000 r.p.m.). Los componentes en frecuencia fuera de esta gama sedistorsionarán y resultarán inútiles para la determinación de las condiciones de la máquina.El dato de desplazamiento se registra, normalmente, en milésimas de pulgada pico apico (cuando se aplican normativas de origen anglosajón).




La mayor limitación de las sondas de desplazamiento o sondas de proximidad es sucoste. El costo indicativo de la instalación de una simple sonda, incluyendo alimentación,acondicionamiento de señal, etc. puede llegar a ser de $1.000 de media. Si cada máquinadel programa requiere 10 mediciones el costo por máquina resultaría de $10,000. Por lotanto, el uso generalizado de captadores de desplazamiento en todas las máquinas de laplanta incrementaría dramáticamente el costo inicial del programa.

TRANSDUCTORES DE VELOCIDAD

Los transductores de velocidad (velocímetros) son sensores electromecánicosproyectados para monitorizar o registrar vibraciones relativas. El dato de velocidad esexpresado, normalmente, en pulgadas por segundo (i.p.s.) pico y es, quizás, el mejormétodo para expresar la energía creada por la vibración de la máquina.Los sensores de velocidad, como las sondas de desplazamiento, tienen una gamaefectiva de frecuencias de 10 a 10.000 Hz. No deben ser usados para registrarfrecuencias por debajo o por encima de esta gama.La mayor limitación de los captadores de velocidad es su sensibilidad a los dañosmecánicos o térmicos. El uso normal puede causar una pérdida de calibrado y, por lotanto, debe establecerse un estricto programa de recalibración (por ejemplo, cada seismeses) para prevenir la distorsión de las medidas. Aun así, con calibraciones periódicas,




los programas que usan captadores de velocidad son propensos a datos erróneos odistorsionados resultantes de una pérdida de calibrado.

ACELERÓMETROS

Los acelerómetros pueden estar basados entecnologías diferentes:

piezoeléctricos, piezoresistivos, capacitivos, ...

Los más utilizados son los acelerómetrospiezoeléctricos que a partir de un cristal conpropiedades piezoeléctricas convierten laenergía mecánica del movimiento en señaleseléctricas.Por regla general, las aceleracionesdeterminadas por este tipo de sensores suelenvenir expresadas en términos de la aceleraciónde la gravedad: g (9.8 m/s2).Los acelerómetros son susceptibles de averías térmicas. Si se permite que un calorsuficiente irradie al cristal es posible que éste se averíe o destruya. Sin embargo, como eltiempo de utilización recomendado es relativamente corto, el daño térmico es raro.El rango efectivo de los acelerómetros de uso general es de 1 a 10.000 Hz. Aunquepueden encontrarse acelerómetros ultrasónicos válidos para frecuencias de hasta 1 MHz.

TÉCNICAS DE MONTAJE

Los programas de mantenimiento predictivo basados en el análisis de vibraciones debentener datos precisos y repetitivos para determinar las condiciones operativas de la plantade maquinaria. Además de los transductores, tres factores afectan a la calidad de losdatos:

punto de medición, orientación del transductor, carga de compresión.




La localización y orientación de los puntos clave de medición de la máquina sonseleccionados como parte de la estructura de la base de datos para suministrar la mejordetección posible de los problemas incipientes de la máquina. La desviación del puntoexacto u orientación afectará a la exactitud del dato conseguido. Por lo tanto, es importanteque cada medición, a lo largo de toda la duración del programa, se consiga exactamenteen el mismo punto y orientación.Además, la fuerza de compresión aplicada al transductor deberá ser exactamente lamisma en cada medición. Para la seguridad del dato, es absolutamente necesaria unaligazón mecánica directa con la estructura de la máquina o con la tapa del cojinete. Laspequeñas desviaciones en esta carga inducirán a errores en la amplitud de las vibracionesy puede crear también componentes de falsa frecuencia que no tienen nada que ver con lamáquina.El mejor método para asegurarse que los tres factores son exactamente los mismos cadavez es afianzar fuertemente los detectores de vibración en los puntos de mediciónseleccionados (TRANSDUCTORES FIJOS). Esto garantizará la seguridad y repetitividaddel dato recogido, pero también aumentará el coste inicial del programa.Para eliminar el costo asociado a transductores instalados de forma permanente, puedeusarse un CONECTOR RÁPIDO bien diseñado. Esta técnica consiste en montar unaclavija de desconexión rápida. Para la obtención de datos se usa entonces unacelerómetro normal dotado de un manguito acoplable a la clavija. El montaje de unatécnica de desconexión rápida, bien diseñada, suministrará la misma seguridad yrepetitividad que una técnica de montaje permanente, pero a un menor costo.La tercera técnica de montaje que puede usarse es un MONTAJE MAGNÉTICO. Para usogeneral, por debajo de los 1.000 Hz, puede emplearse un transductor juntamente con unabase magnética. Aun cuando el conjunto transductor/base magnética tendrá unafrecuencia de resonancia que puede provocar alguna distorsión al dato registrado, estatécnica puede usarse con éxito marginal. Como la base magnética, en principio, puedecolocarse en cualquier lugar de la máquina, no puede garantizarse que la situación yorientación exacta se mantenga en cada medición.Finalmente, para conseguir datos de vibración en algunas plantas se usanTRANSDUCTORES MANUALES. No obstante, no se recomienda este procedimiento,siempre que pueda emplearse cualquier otro de los descritos anteriormente. Loscaptadores manuales no suministran la seguridad y repetición requeridos para obtener elmáximo beneficio de un programa de prevención. Si hay que usar esta técnica debetomarse sumo cuidado de que, para cada punto de medición, se use en la medida de loposible el punto exacto, la misma orientación, e idéntica carga compresiva.




VIBRÓMETRO

Para hacer mediciones de vibraciones pueden usarse diferentes aparatos portátilesllamados vibrómetros. Este instrumento, básico para un programa de mantenimientopredictivo basado en vibraciones, es un pequeño microprocesador diseñadoespecíficamente para recoger, acondicionar y almacenar datos de vibración tanto enel dominio del tiempo como de la frecuencia.

Esta unidad se usa para comprobar la condición mecánica de las máquinas a intervalosperiódicos e incluye un microprocesador con memoria que permite registrar la totalidad deniveles de vibración de las máquinas de planta seleccionadas. En una pantalla LCDaparecen puntualmente mensajes programados que guían al operador a los puntoscorrectos de medición. Se puede introducir información adicional usando el teclado frontal.Las mediciones pueden hacerse fácil y rápidamente; por ejemplo, sólo es necesario que eloperador coloque el transductor contra el punto a medir y accione la tecla “store” pararegistrar el nivel de vibración total.

ANALIZADOR DE VIBRACIONES

La función de un medidor de vibraciones es determinar la condición mecánica de lamaquinaria crítica de planta. Cuando se detecta un fallo mecánico, el vibrómetro no escapaz de señalar el problema específico o su causa raíz. Esta es la función delanalizador de vibraciones.Existe una gran variedad de analizadores de vibraciones comercialmente disponibles.Basados en microprocesadores combinan, en una unidad de poco peso, las capacidades




de un medidor de vibraciones y un analizador de vibraciones. La principal diferenciaentre un vibrómetro y un analizador es la capacidad de obtener, almacenar yocuparse de los datos en el dominio del tiempo y de la frecuencia, y al mismo tiempode vibraciones sincrónicas así como de variables del proceso como presión, flujo otemperatura. Esta capacidad provee al analista de todos los datos requeridos pararesolver la detección de problemas incipientes en la máquina o en el sistema de proceso.




8.9 Puesta en marchaLos pasos definidos en este apartado marcan unas línea de guía para el establecimientode una base de datos de mantenimiento predictivo. Los únicos pasos que restan paracomenzar el programa son el establecimiento de las rutas de medición y la toma demedidas iniciales o de base. Recordar que el sistema de mantenimiento predictivo necesitamúltiples conjuntos de datos para determinar tendencias en cada máquina. Con esta basede datos se es capaz de monitorizar la maquinaria crítica en la planta y comenzar aalcanzar los beneficios que puede aportar este mantenimiento predictivo. Los pasos realesrequeridos para la implantación de la base de datos dependerán del sistema demantenimiento predictivo seleccionado por el programa.

PROGRAMA DE MANTENIMIENTO

La parte de trabajo intensivo de dirección de la labor de mantenimiento predictivo es muyimportante. Una vez que ha sido establecido un programa viable, está completa la base dedatos y se ha comenzado a monitorizar las condiciones operativas del equipo crítico deplanta, la pregunta es: ¿ahora qué?La mayoría de los programas terminan justamente aquí. El equipo de mantenimientopredictivo no continua sus esfuerzos para obtener el beneficio máximo que puedeconseguirse del mantenimiento predictivo. En lugar de esto, para mantener las condicionesde funcionamiento de la planta, confían en tendencias, análisis comparativos, o en análisissimplificados de señales en el caso de programas basados en vibraciones. Sin embargo,esto no es suficiente para obtener los máximos rendimientos de un programa demantenimiento predictivo.

TENDENCIAS

La base de datos establecida para un programa de registro de vibraciones incluyeinformaciones en banda ancha, banda estrecha y datos absolutos de señales de vibración.También incluye parámetros de proceso, temperaturas de tapas de cojinetes, análisis deaceite de lubricación, diagramas de temperaturas y otros parámetros críticos de control.¿Qué hacer con estos datos?




La mayoría de los sistemas suministran los medios necesarios para almacenar e imprimiresos parámetros de vibración y proceso, datos tendentes al análisis o a trabajosas copiaspara informes. También preparan e imprimen automáticamente numerosos informes quecuantifican las condiciones de funcionamiento de un punto específico. Algunos inclusoimprimen automáticamente informes indicativos que cuantifican el cambio dentro de unmarco seleccionado de tiempo. Todo esto es importante, pero ¿qué significa?El control de las tendencias de un grupo de maquinas o sistema de proceso suministrará laposibilidad de prevenir la mayor parte de los fallos catastróficos. La desventaja de confiaren la tendencia como único medio de sostener un programa de mantenimientopredictivo es que éste no dirá la razón por la que una máquina se está degradando.Un buen ejemplo de esta debilidad podría ser una fundición de aluminio que confíaestrictamente en la tendencia para mantener su programa de mantenimiento predictivo. Enla fundición hay 36 ventiladores en ménsula, que son críticos para el funcionamiento de laplanta. Los rodamientos de cada uno de estos ventiladores se cambian cada seis meses,por término medio. Monitorizando las tendencias suministradas por su programa demantenimiento predictivo, el responsable puede ajustar el plan de cambio del cojinete,basado en las condiciones reales del rodamiento, en un ventilador específico. En unperíodo de 2 años no habrá fallos catastróficos o pérdida de producción comoconsecuencia de ventiladores fuera de servicio. La pregunta en tal caso es, ¿trabajócorrectamente el programa de mantenimiento predictivo?Para la empresa el programa fue un éxito total. Sin embargo, la vida normal del cojinetepodía haber sido mucho mayor que los citados 6 meses, pero algo en el cojinete o procesodio lugar a la reducción de la vida media del cojinete. Limitando el programa solamente a latendencia, la fundición fue incapaz de identificar la causa raíz del fallo prematuro delcojinete. El programa de mantenimiento predictivo, usado correctamente, permitiríaidentificar la causa raíz o específica de problemas crónicos de mantenimiento. En elejemplo, un análisis completo suministraría la respuesta: los crecimientos o depósitos demateriales en las palas del ventilador aumentan la masa del rotor y obliga a losventiladores a funcionar a velocidad crítica, o cercanos a ella. El desequilibrio creado porun funcionamiento a velocidad crítica fue la situación forzada que dio lugar a la destrucciónprematura de los cojinetes. Conocido esto, y después de tomadas las medidas correctoras,la planta ha alcanzado ahora, en lo relativo a los cojinetes de ventiladores, una media de 3años.

TÉCNICAS DE ANÁLISIS

Todas las máquinas tienen un número finito de modos de fallo. Si se tiene un conocimientocompleto de los modos de fallo y de las dinámicas de una máquina específica, se puedenllegar a desarrollar las técnicas de vibración que aislarán el modo específico de fallo o




causa raíz de cada problema de la máquina. A continuación, se presenta una comparaciónde diferentes técnicas de tendencia y análisis.Datos en banda anchaLos datos conseguidos usando una banda ancha están limitados a un valor querepresenta la energía total en vibración generada por la máquina en el punto delocalización y en dirección opuesta al transductor. Muchos programas tienden acomparar el valor registrado en un solo punto y desprecian los otros puntos de medicióndel eje común.Un planteamiento más adecuado sería, en lugar de evaluar separadamente cada punto demedición, establecer una gráfica con el nivel de energía en cada punto de medición del ejecomún. En primer lugar, se trazan las medidas obtenidas en dirección vertical paradeterminar la forma del eje de la máquina. Si, por ejemplo, el gráfico indica que el extremoexterno del eje motor está más desplazado que el resto del eje, esto limita el problema dela máquina a la parte posterior del motor. Basado estrictamente en el valor general, lacausa probable podría ser la pérdida de apoyo del soporte trasero del motor. En segundolugar, se traza la gráfica correspondiente a los desplazamientos horizontales. Si, porejemplo, el gráfico indicara que el eje ha flexado entre los soportes de cojinetes, sininformación adicional la forma del eje sugeriría una curvatura del eje entre cojinetes. Coneste procedimiento, aunque no se haya podido identificar el modo absoluto de fallo, si quese ha podido aislar el problema en la sección de la máquina situada entre los soportes delos cojinetes.Datos en banda estrechaLa adición de bandas estrechas que monitoricen componentes específicos de lamáquina o modos de fallo concretos suministra más información sobre diagnósticos. Siañadimos la información obtenida en el apartado anterior, podríamos encontrar, porejemplo, que los datos verticales están, principalmente, a la velocidad de giro real del ejecomún. Ello confirmaría que existe un problema de flexión del eje. Ningún otro componentede la máquina o modo de fallo contribuyen al problema. Por otro lado, suponiendo que setratara de un ventilador, las mediciones horizontales podrían indicar, a su vez, que el pasode las palas, el fallo de cojinete y las bandas estrechas de desalineamiento son tambiénimportantes contribuyentes.Como se ha visto anteriormente, los ventiladores son propicios a la inestabilidadaerodinámica. La indicación de paso de palas anormal puede sugerir que este fenómenocontribuye al problema de vibraciones. El dato adicional suministrado por las lecturas debanda estrecha ayudan a eliminar muchos de los posibles modos de fallo que pudieranafectar al ventilador. Sin embargo, no podríamos llegar a confirmar el problema específico.




Análisis de las causas raíces de fallosUna inspección ocular del ventilador permitiría observar, por ejemplo, que la descargafuese horizontal u opuesta a la posición del punto de medición. Comprobando losparámetros de proceso registrados coincidentes con las medidas de vibración, podríadeducirse, por ejemplo, que el motor estaba en condiciones de parada o vacío y que lapresión de descarga era anormalmente baja. Además, la inspección visual podría permitircomprobar, por ejemplo, que el ventilador se asentaba sobre una plancha de corcho y noestaba atornillado al suelo y que el tubo de descarga no estaba aislado del ventilador y nohabía soportes de tubo en los primeros 7 primeros metros del recorrido del mismo. Conestos indicios en la mano podría concluirse que el ventilador estaba trabajando encondiciones de “vacío”, no generando presión, y, sin embargo, estaba inestable.A la vista de estas circunstancias, esta parte del problema de máquina podría ser corregidareduciendo el registro (cerrando parcialmente) y forzando al ventilador a funcionar dentrode límites aerodinámicos aceptables. Después de corregido el registro, todas las lecturashorizontales anormales podrían caer dentro de los límites aceptables. Por lo que se refiereal problema vertical con el motor, la solución podría ser aislarlo de la instalación incorrecta.A su vez, el peso de aproximadamente 7 metros de tubo de descarga comprimía laplancha de corcho bajo el ventilador y forzaba al extremo del motor a elevarse por encimade su centro normal. En esta posición el motor se convertía en una viga flotante y resonabade la misma forma que un diapasón. El problema se podría eliminar aislando el tubo dedescarga del ventilador e instalando sus correspondientes soportes a lo largo de esos 7metros.

D DE EP PA AR RT TA AM ME EN NT TO O D DE E

I IN NG GE EN NI IE ER RÍ ÍA A M ME EC CÁ ÁN NI IC CA A, ,

E EN NE ER RG GÉ ÉT TI IC CA AY Y D DE E M M

A AT TE ER RI IA AL LE ES STEMA 8 – VIBRACIONES EN M

ÁQUINAS. MANTENIMIENTO PREDICTIVO

3 3º º D DE E I IN N

G GE EN N

I IE ER RÍ ÍA A I IN N

D DU U

S ST TR RI IA AL L

E EL LE EM M

E EN NT TO O

S S D DE E M M

Á ÁQ QU U

I IN NA AS S Y Y V V

I IB BR RA AC CI IO O

N NE ES S

- 8.54 -

IDEN

TIFICAC

ION

DE VIB

RAC

ION

ESCAUSA

AMPLITUDFRECUENCIA

OBSERVACIONESDesequilibrio

Proporcional al desequilibrio.Mayor en dirección radial.

1 x RPMLa causa más frecuente de vibraciones

DesalineaciónPar de cojinetesy eje deformado (flexado)

Grande en dirección axial,50%

o más en radial1 x RPM normal.

2 ó 3 x RPM, algunas veces

Óptimo para aparición de largas vibraciones axialesPara diagnosis usar indicadores de faseSi no hay desalineamiento en cojinetes equilibrar rotor

Cojinetes antifricciónmalos

Inestable, medir velocidad sies posible.

Muy altaVarias veces la velocidad

Con seguridad el cojinete responsable es el más cercano alpunto de vibración con frecuencia más alta

Apoyos excéntricosGeneralmente no grande

1 x RPMEn engranajes las vibraciones mayores en línea de centros.En motor o generador las vibraciones desaparecen alapagarlos. En bombas y ventiladores intentar el equilibrado.

Engranajes malos o ruidode engrane

Baja - medir velocidad si esposible -

Muy altaDientes x RPM

Holgura mecánica2 x RPM

Usualmente acompañado con desequilibrio y/o desalineaciónTransmisión por correadefectuosa

Errática o pulsante1,2,3 & 4 x RPM de correas

La luz estroboscópica es la mejor herramienta para detectarcorrea defectuosa

EléctricaDesaparece al cortar lacorriente

1 x RPM ó1 ó 2 x frec. de sincronismo

Si la amplitud de vibración cae instantáneamente cuandodesaparece la corriente, la causa es eléctrica

Fuerzas hidráulicas yaerodinámicas

1 x RPM ónúmero de palas del ventilador o impulsor x RPM

Raro como causa de problemas excepto en los casos deresonancia.

Fuerzas alternativas1,2 & órdenes mayores x RPM

Propio de máquinas alternativas solamente puede reducirsecon cambios de diseño o aislamiento

Tabla de identificación de vibraciones

DDEEPPAARRTTAAMMEENNTTOO DDEEIINNGGEENNIIEERRÍÍAA MMEECCÁÁNNIICCAA,,EENNEERRGGÉÉTTIICCAAYY DDEE MMAATTEERRIIAALLEESS ANEXO – ANÁLISIS DE FOURIER


EELLEEMMEENNTTOOSS DDEE MMÁÁQQUUIINNAASS YY VVIIBBRRAACCIIOONNEESS - A.1 -

ANEXO:Análisis deFourier




A.1 IntroducciónPor regla general, el estudio de vibraciones en sistemas mecánicos suele iniciarseanalizando la respuesta de un sistema discreto básico de un grado de libertad antesolicitaciones de tipo armónico, para, posteriormente, extender los resultados obtenidos alcaso de solicitaciones periódicas cualesquiera. Ello permite analizar el comportamiento desistemas mecánicos ante excitaciones periódicas. La principal ventaja de las excitacionesperiódicas es que basta con analizar un periodo de la excitación para extender lasconclusiones obtenidas a la totalidad del dominio temporal.No obstante, resulta también de interés ampliar el campo de trabajo para poder incluir lasvibraciones aleatorias, ya que ésta será la realidad con la que nos encontremos en unagran parte de los casos con los que podamos enfrentarnos. Además, muchos de losalgoritmos empleados en los analizadores de vibraciones para determinar las frecuenciasnaturales y los modos de vibración de un sistema mecánico están desarrollados desde laperspectiva de las vibraciones aleatorias.El estudio de la vibraciones mecánicas de carácter aleatorio se caracteriza por el uso de laestadística y del análisis espectral, análisis en el dominio de la frecuencia; mediante el cualuna función periódica puede ser descompuesta en sus componentes armónicas, lo que esconocido también como Análisis de Fourier.En este Anexo se introduce el Análisis de Fourier, basado en la Transformada de Fourier, apartir de las Series de Fourier. Se estudiarán sus propiedades más significativas con uncierto detalle de cara a su posterior aplicación en el ámbito del Análisis Modal. El estudiode la Transformada de Fourier Finita y de la Transformada de Fourier Discreta permitiráanalizar las aproximaciones que se llevan a cabo en el ámbito señalado y los errorespresentes en su aplicación.




A.2 Series de FourierSea una función periódica f(t) de periodo T. Se verificará entonces:

f(t+T) = f(t+2T) = ...= f(t+nT) = f(t) (1)La teoría matemática de las Series de Fourier demuestra que si la función periódica f(t) escontinua y tiene definidas las derivadas por la izquierda y por la derecha en cada punto delintervalo [0,T], dicha función puede expresarse como serie de funciones armónicas en laforma

( ) ( ) ( )∞

=

∞

=

π+π+=1j

0j1j

0j0 tjf2senbtjf2cosaa21tf (2)

donde f0 es la llamada frecuencia fundamental, y es igual a 1/T.Por otra parte los coeficientes aj y bj vienen dados por las expresiones

( ) ( )−

π=2T

2T 0j dttjf2costfT2a j = 0, 1, 2, ... (3)

( ) ( )−

π=2T

2T 0j dttjf2sentfT2b j = 1, 2, ... (4)

donde las funciones sen(2πjf0t) y cos(2πjf0t) forman un sistema ortogonal, ya que severifican las siguientes relaciones

( ) 0dttjf2sen2T

2T 0 =π−

j = 1, 2, ... (5)

( ) 0dttjf2cos2T

2T 0 =π−

j = 0,1, 2, ... (6)

( ) ( ) 0dttjf2costif2sen2T

2T 00 =ππ−

i, j = 0, 1, 2, ... (7)

( )2Tdttjf2sen

2T

2T 02 =π

−j = 1, 2, ... (8)

( )2Tdttjf2cos

2T

2T 02 =π

−j = 1, 2, ... (9)




( ) ( ) 0dttjf2costif2cos2T

2T 00 =ππ−

i ≠ j (10)

( ) ( ) 0dttjf2sentif2sen2T

2T 00 =ππ−

i ≠ j (11)

Puede ayudar a justificar la ecuación (2) el considerar que f(t), que es una funciónperiódica de periodo T, se obtiene como serie de funciones periódicas cuyos periodos sondivisores exactos del periodo T.La Serie de Fourier definida por las expresiones (2), (3) y (4) puede escribirse también deotra forma más compacta haciendo:

2j

2jj baA += (12)

j

jj a

barctg=θ (13)

de donde resulta que aj y bj pueden expresarse en la forma

jjj cosAa θ= (14)

jjj senAb θ= (15)Sustituyendo estos resultados en (2)

( ) ( ) ( )( )

( )∞

=

∞

=

θ−π+=

=π⋅θ+π⋅θ+=

1jj0j0

1j0j0jj0

tjf2cosAa21

tjf2sensentjf2coscosAa21tf

(16)

FORMA EXPONENCIAL COMPLEJA DE LA SERIE DE FOURIER

Más utilidad que las dos anteriores expresiones (2) y (16), tiene una tercera forma deexpresar la Serie de Fourier, conocida con el nombre de forma compleja de la SerieFourier. Las relaciones de Euler establecen que

( ) ( )t0jf2it0jf2i0 ee

21tjf2cos π−π +=π (17)

( ) ( )t0jf2it0jf2i0 ee

i21tjf2sen π−π −=π (18)

haciendo

( )jjj iba21F −= (19)




y sustituyendo (17), (18) y (19) en la ecuación (2) resulta

( )

( )∞

=

π−π

∞

=

π−π

++=

=

++

−+=

1j

t0jf2i*j

t0jf2ij0

1j

t0jf2ijjt0jf2ijj0

eFeFa21

e2

ibae

2iba

a21tf

(20)

donde F*j es el complejo conjugado de Fj. Teniendo en cuenta (3) y (4) se verificaaj = a-j bj = -b-j (21)

y por tanto, dada la expresión (19), se tendrá queF*j = F-j (22)

sustituyendo este resultado en (20)

( )−∞

−=

π∞

=

π∞

=

π−−

∞

=

π +=+=1j

t0jf2ij

0j

t0jf2ij

1j

t0jf2ij

0j

t0jf2ij eFeFeFeFtf (23)

y podremos obtener:

( )∞

∞−

π= t0jf2ijeFtf (24)

Recordando (3), (4) y (19), los coeficientes Fj tendrán la forma:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )−−

π−π=−=2T

2T 0

2T

2T 0jjj dttjf2sentfTidttjf2costf

T1iba

21F (25)

teniendo en cuenta que, según la fórmula de Euler,

( ) ( )tjf2senitjf2cose 00t0jf2i π−π=π−

sustituyendo en (25), resulta finalmente

( )−

π−=2T

2T

t0jf2ij dtetf

T1F j = 0, ±1, ±2, ... (26)

las expresiones (24) y (26) constituyen la forma compleja de la Serie de Fourier, a la quecabe darle una interpretación geométrica de cierto interés.Fj es un número complejo que puede ser asociado con un vector en el plano. Su módulo omagnitud |Fj| y su argumento θj están relacionados con las expresiones (12) y (13). A suvez, ( )t0jf2i

jeF π es otro número complejo de la misma magnitud que puede ser expresado:

( )jt0jf2ij

t0jf2ij eFeF θ+ππ = (27)




Este número complejo puede serconsiderado como un vector demagnitud |Fj| que gira en sentidocontrario a las agujas del reloj convelocidad angular 2πjf0 (Figura 1).Por otra parte, el correspondientetérmino con (j) negativo es otro vectorde la misma magnitud |Fj| yargumento (-θj). Figura 1

Explicitando el signo (-) cuando (j) es negativo, el número complejo ( )t0jf2ijeF π−

− resulta serun vector simétrico al de la Figura 1, que gira con velocidad angular 2πjf0 en el sentido delas agujas del reloj.Ambos vectores aparecenrepresentados en la Figura 2,juntamente con su resultante.A partir de dicha figura puedededucirse que esta resultante es unmovimiento armónico real deamplitud (2|Fj|) y de frecuencia jf0.En función de los coeficientes aj y bjesta amplitud será: Figura 2

2j

2j

2j

2j

j ba4

b4

a2F2 +=+= (28)

lo cual está de acuerdo con la expresión (12). En la Figura 2, puede observarse que lascomponentes imaginarias de los dos términos en (j) y en (-j) se anulan entre sí. Por eso,aunque la expresión (24) es un sumatorio de números complejos, el resultado de dichosumatorio es real.La expresión (26) indica el modo de extraer la componente Fj a la frecuencia jf0, de lafunción f(t). Recuérdese que la función f(t) tiene un conjunto de componentes armónicas defrecuencias múltiplo de la frecuencia fundamental f0. Según lo que se acaba de ver, f(t)puede considerarse como la suma de un conjunto de parejas de vectores que giran convelocidades angulares opuestas de valor 2πjf0Como la función f(t) es periódica, será nula la integral extendida a un periodo de cualquierade sus componentes armónicas, pues cada una de estas componentes tiene un periodoque divide exactamente al periodo T. Si se multiplica la función f(t) por e-i2πjf0t, todos los




vectores Fk que componen f(t) sufren una modificación en su velocidad angular, en elsentido de que ésta queda disminuida en (2πjf0) radianes, ya que

( ) ( ) t0fjk2ik

t0jf2it0kf2ik eFeeF −ππ−π =⋅ (29)

el vector Fk gira ahora con velocidad angular 2π(k-j)f0. Como esta frecuencia sigue siendomúltiplo de la frecuencia fundamental f0, la integral de este término extendida a un periodoT seguirá siendo cero a no ser que k=j. Dicho de otra forma, el multiplicar la función f(t) pore-i2πjf0t tiene como resultado el parar la componente (j), verificándose entonces que

( ) j

2T

2T

t0jf2i FTdtetf ⋅=−

π− (30)

de donde se deduce la expresión (26). Obsérvese que es el carácter periódico de f(t) loque determina que sus componentes aparezcan a frecuencias discretas múltiplo de lafrecuencia fundamental f0. El contenido en frecuencia de una función periódica f(t) puederepresentarse gráficamente (Figura 3).

Figura 3

VALOR CUADRÁTICO MEDIO DE UNA SEÑAL PERIÓDICA

Una propiedad de especial interés en una señal periódica es su valor cuadrático medio. Enel caso de una función armónica, su valor cuadrático medio puede calcularse muyfácilmente.

2adt

Tt4cos1

T2adt

Tt2sena

T1 2T

0

2T

0

2

=

π−=

π⋅ (31)

Si se tiene una función periódica f(t) desarrollable en Serie de Fourier en la formaexponencial compleja vista en la expresión (24)




( )∞

∞−

π⋅= t0jf2ij eFtf (24')

se llama espectro de potencia de esta función al conjunto de los valores cuadráticosmedios de sus componentes en frecuencia. Hay que recordar que la amplitud de lacomponente de frecuencia jf0 es (2|Fj|). Por tanto su valor cuadrático medio asociado será,teniendo en cuenta las ecuaciones (28) y (31):

( )2

b2

a2F2 2

j2j

2j += (32)

resultado que está de acuerdo con la expresión (2).El espectro de potencia puede ser representado gráficamente de 2 formas (Figura 4).Dichas representaciones se suelen llamar, respectivamente, espectros de dos bandas yespectro de una banda; y cualquiera de ellas sirve para indicar la composición enfrecuencia de la función f(t). En este sentido, el espectro de potencia proporciona la mismainformación que la Serie de Fourier de la Figura 3, aunque es evidente que con él lainformación de fase se ha perdido.

Figura 4

RESPUESTA DE UN SISTEMA DE 1 GDL ANTE UNA FUERZA

PERIÓDICA

Recordemos que la ecuación de equilibrio de un sistema de 1 gdl es:

( )tfkxxcxm =++ (33)

Si f(t) es periódica podrá desarrollarse en Serie de Fourier, según (24):

( )∞

∞−

π⋅= t0jf2ij eFtf (24'')




y como el sistema es lineal, la respuesta será la suma de las respuestas a cada término dela serie (24''). Siendo cada una de estas respuestas la respuesta ante una fuerza decarácter armónico - que puede calcularse multiplicando por la correspondiente función detransferencia -, se tendrá que:

( ) ( )[ ]∞

∞−

π⋅= t0jf2ij0 eFjfHtx (34)




A.3 Integral de FourierPara extender el resultado del Apartado anterior sobre las Series de Fourier al caso de lasfunciones no periódicas, basta hacer tender a infinito el periodo T de la función f(t).Cuando el periodo T tiende a infinito, la frecuencia fundamental f0 - definida como f0=1/T -tiende a cero.Por otro lado, esta frecuenciaf0 es la que separa lasfrecuencias de los distintosarmónicos (Figura 3), por loque al tender a cero la funcióndiscreta de dicha figura tiendea adoptar la forma de unafunción continua (Figura 5). Figura 5No obstante, conviene precisar que las dimensiones de aj y de A(f) no son las mismas: lasdimensiones de A(f) son las de aj, pero por unidad de frecuencia; esto es, A(f) tiene lasdimensiones de una densidad de aj. Para que aj tuviera la misma dimensión de A(f) habríaque multiplicar ésta por δ(f-jf0) - siendo δ la función δ de Dirac -.

Así pues, cuando f0 → df resulta que

Fj → F(f).df (35)

1/T = f0 → df (36)

jf0 → f (37)Sustituyendo estos valores en la expresión (26) resulta que

( ) ( )∞

∞−

π−= dtetffF ft2i (38)

expresión en la que se ha simplificado el término df presente a ambos lados de la igualdad.Además, el sumatorio de (24) se convertirá en una integral, y se tendrá

( ) ( ) dfefFtf ft2i π∞

∞−⋅= (39)

ésta es la expresión de la función f(t) como Integral de Fourier. A la función F(f), definidamediante la ecuación (38) - y con contenido en todas las frecuencias -, se le llama




Transformada de Fourier (TDF) de f(t). Análogamente, f(t) es la Transformada deFourier Inversa (TDFI) de F(f).La función F(f) es una función compleja (al igual que Fj), en la que se podrá separar laparte real y la parte imaginaria. Por analogía con la expresión (19):

( ) ( ) ( )( )fiBfA21fF −= (40)

a partir de la expresión (38) se deduce que

( ) ( ) ( )dtft2costf2fA∞

∞−π⋅= (41)

( ) ( ) ( )dtft2sentf2fB∞

∞−π⋅= (42)

de estas expresiones se deduce claramente que A(f) es una función simétrica de f, esdecir: A(f) = A(-f), mientras que B(f) es una función antisimétrica: B(f) = -B(-f).La Transformada de Fourier (TDF) admite una interpretación análoga a la realizada parael coeficiente Fj de la Serie de Fourier. Así, los términos:

( ) ( ) ( )( )dffiBfA21dffF −= (43)

( ) ( ) ( )( )dffiBfA21dffF += (44)

son dos vectores que giran con velocidades angulares (2πf) y (-2πf), dando comoresultante un movimiento armónico de frecuencia (f) y de amplitud (2⋅F(f)⋅df).La Transformada de Fourier F(f) de una función f(t) tiene unas condiciones matemáticas deexistencia bastante restrictivas. Puede demostrarse que para que la función f(t) tenga TDFes necesario que esté acotada la integral

( ) ∞<∞

∞−dttf (45)

según esta condición, ninguna función periódica tendría TDF, al estar esta integralextendida desde (-∞) hasta (+∞). Más adelante se verá cómo puede ser superada estadificultad recurriendo a la función δ(t), que no es una función propiamente dicha, sino unafunción generalizada.

SIMETRÍA DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER

Esta propiedad consiste en que la TDF de la TDF de una función f(t) está directamenterelacionada con dicha función f(t).




Sea F(f) la TDF de f(t) y Φ(g) la TDF de F(f). Se verificarán las relaciones( ) ( )∞

∞−

π= dfefFtf ft2i [f(t) es la Transf. de Fourier Inversa de F(f)] (46)

( ) ( )∞

∞−

π−=Φ dfefFg fg2i [Φ(g) es la TDF de F(f)] (47)a partir de esta última expresión, es evidente que se verificará:

( ) ( )∞

∞−

π=−Φ dfefFg fg2i (48)comparando las expresiones (46) y (48) se puede concluir que:

Φ(-g) = f(g) (49)o bien que

f(t) = Φ(-t) (50)

Por lo tanto, la TDF de la TDF de una función f(t), es otra función ΦΦΦΦ(t) simétrica de lafunción original f(t) respecto del eje de ordenadas.

TRANSFORMADA DE FOURIER DE UNA FUNCIÓN PERIÓDICA

A partir de la TDF de la función f(t)=ei2πf0t, y mediante la relación de Euler, se obtendrán lasTDF de funciones senoidales y cosenoidales. En principio, esta función f(t) - que esperiódica - no tiene Transformada de Fourier porque no cumple la condición deacotamiento (45).

Sin embargo, si se prueba la función generalizada δ(-) delta de Dirac, como TDF y se hallala TDFI se obtiene para el valor f-f0

F(f) = δ(f-f0) (51)( ) ( ) ( ) t0f2ift2i

0ft2i edfeffdfefFtf π∞

∞−

π∞

∞−

π =−δ== (52)

donde se ha tomado en cuenta que ( ) ( ) ( )afdttfat =−δ∞

∞−, y de donde se puede deducir

que ei2πf0t y δ(f-f0) son función y transformada respectivamente.De esta forma, y como la TDF es lineal, se podrá determinar la TDF de la función seno ycoseno. Utilizando la relación de Euler,

( ) ( )

+=π⋅=π−π

2eeatf2cosatf

t0f2it0f2i

01 (53)

( ) ( )

−=π⋅=π−π

i2eeatf2senatf

t0f2it0f2i

02 (54)




y aplicando las ecuaciones (51) y (52)

( ) ( ) ( )[ ]001 ffff2afF +δ+−δ= [TDF de la función cos real] (55)

( ) ( ) ( )[ ]002 ffffi2

afF +δ−−δ= [TDF de la función sen imag.] (56)

Así pues, el concepto de transformada de Fourier puede extenderse a funcionesarmónicas (y, por consiguiente, también a las periódicas), a través de la función δδδδ deDirac.Con más generalidad, la TDF de un par de términos cualesquiera de la Serie de Fourier

( ) ( ) ( )tjf2senbtjf2cosatf 0j0j π+π= (57)será

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0jj0jj jffiba21jffiba

21fF +δ++−δ−= (58)

es muy fácil comprobar que la TDFI de la función F(f) de la expresión (58), viene dada porla función f(t) de la expresión (57).Por lo tanto, la TDF de una función periódica cualquiera f(t) podrá calcularse a partirde la correspondiente Serie de Fourier. Recordando (24)

( )∞

∞−

π⋅= tjf2ij

0eFtf (24''')

como la TDF es una operación lineal y teniendo en cuenta (51) y (52):

( ) ( )[ ]∞

∞−

−δ⋅= 0j jffFfF (59)

Este resultado permite recordar la indicación hecha anteriormente acerca de la diferenciaen la dimensión de Fj y F(f), donde se advirtió que para que Fj tuviera la misma dimensiónque F(f) había que multiplicarla por la función δ de Dirac.

TEOREMA DE CONVOLUCIÓN

La convolución o producto de convolución entre dos funciones x(t) e y(t), se denotacomo x(t) * y(t) y se define como la integral

( ) ( ) ( ) ( ) τ⋅τ−⋅τ=∗∞

∞−dtyxtytx (60)




El Teorema de la Convolución es una de las herramientas más utilizadas en el Análisisde Fourier, y se podría enunciar en la siguiente forma: "Dadas dos funciones x(t) e y(t), quetienen como TDF a las funciones X(f) e Y(f) respectivamente, si z(t) es la función queresulta del producto de convolución de las funciones x(t) e y(t), su TDF Z(f) es el productode las funciones X(f) e Y(f)".

z(t) = x(t) * y(t) (61)

Z(f) = X(f) ⋅ Y(f) (62)Para demostrar este teorema basta calcular la TDF de la función z(t) definida mediante laexpresión (38)

( ) ( ) ( )( )∞

∞−

π−∞

∞−ττ−⋅τ= dtedtyxfZ ft2i (63)

permutando el orden de las integrales

( ) ( ) ( )( )∞

∞−

∞

∞−

π− ττ−τ= ddtetyxfZ ft2i (64)

haciendo el cambio de variable σ = t - τ en la integral anterior

( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )fXfYdefYx

dedeyxfZf2i

f2if2i

⋅=τ⋅⋅τ=

=τσστ=∞

∞−

τπ−

∞

∞−

τπ−∞

∞−

σπ−

(c.q.d.) (65)

El teorema de la convolución se aplica también en sentido inverso: si Z(f) es el producto deconvolución de las funciones X(f) e Y(f) definido en la forma

( ) ( ) ( ) ( ) ( )dggfYgXfYfXfZ −⋅=∗=∞

∞−(66)

entonces la función z(t), la TDFI de Z(f), es el producto de las funciones x(t) e y(t). Parademostrarlo puede utilizarse el Teorema de la Convolución y la propiedad de simetría (50).Aplicando la TDF a (66) y teniendo en cuenta (50) resulta:

z(-t) = x(-t) ⋅ y(-t) (67)o bien, finalmente

z(t) = x(t) ⋅ y(t) (68)Los Teoremas de la Convolución en tiempo y en frecuencia facilitan el cálculo de TDFdirectas o inversas, y tienen también importantes aplicaciones en los siguientes apartados.En la Figura 6, se representa esquemáticamente el Teorema de la Convolución directa.




Figura 6

CONVOLUCIÓN CON LA FUNCIÓN IMPULSO δδδδ(t-a)

Es interesante observar (Figura 7) el efecto que, sobre una función cualquiera f(t), tiene elproducto de convolución con la función impulso:

( ) ( ) ( ) ( ) τ−τδ⋅τ−=−δ∗∞

∞−datfattf (69)




y teniendo en cuenta las propiedades de integración de la función δ de Dirac:

( ) ( ) ( )atfattf −=−δ∗ (70)

que indica como el efecto de realizar una convolución con la función impulso situadaen “a“, es el de trasladar el origen de la función f(t) a dicho punto.

Figura 7

EJEMPLOS Y TABLA DE TRANSFORMADAS DE FOURIER

Ejemplo 1: TDF de una función constante

f(t) = a (71)Esta es una función que tampoco cumple la desigualdad (45). Sin embargo, la TDFI de lafunción

F(f) = a⋅δ(f) (72)resulta ser f(t):

( ) adfefa)t(f ft2i =⋅δ⋅= π∞

∞−(73)

con lo que queda demostrado que la TDF de una función constante es una función δδδδ deDirac situada en el origen f0=0. En virtud de la propiedad de simetría, la TDF de unafunción impulso será una función constante.

f(t) = a ⋅ δ(t) (74)

( ) ( ) adtetafF ft2i =⋅δ⋅= π−∞

∞−(75)




Tabla 1 – Ejemplos de Transformadas de Fourier (TDF)




Tabla 1 (continuación) – Ejemplos de TDF




Ejemplo 2: TDF de un pulso rectangular

f(t) = a t ≤ T0

f(t) = 0 t > T0 (76)la TDF de esta función

( ) ( )−

π−∞

∞−

π− =⋅= 0T

0T

ft2ift2i dteadtetffF (77)

ya que f(t) es cero fuera del intervalo [-T0, T0]. Sustituyendo la función exponencial pormedio de la relación de Euler

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( )( ) ( ) ( )( )

( )0

0000

TT

T

T

fT2senf

a

fT2cosfT2cosif2

afT2senfT2senf2

a

ft2cosift2senf2

adtft2senift2cosafF 0

0

0

0

ππ

=

=π−−ππ

+π−−ππ

=

π⋅+ππ

=π⋅−π= −−

(78)

luego, la TDF de un pulso rectangular es una función senoidal decreciente.

Ejemplo 3: TDF de un tren de impulsos

Dado el tren de impulsos de la Figura 8,cuya expresión analítica es

( ) ( )∞

−∞=

−δ⋅=n

nTtatf (79)

Esta función es una función periódica y portanto debe admitir desarrollo en Serie deFourier: Figura 8

( ) ( )∞

−∞=

π∞

−∞=

⋅=−δ⋅=j

t0jf2ij

neFnTtatf (80)

siendo f0=1/T. Los coeficientes Fj podrán calcularse a partir de la expresión (26)

( ) ( )∞

−∞=−

π−

−

π− ⋅−δ⋅=⋅=n

2T

2T

t0jf2i2T

2T

t0jf2ij dtenTta

T1dtetf

T1F (81)




pero por ser (-T/2) y (+T/2) los límites de integración, sólo el impulso correspondiente a n=0cae dentro del intervalo de integración. Por tanto,

Fj = a/T (82)sustituyendo en la expresión (80), se tendrá

( ) ( )∞

−∞=

π∞

−∞=

=−δ⋅=j

t0jf2i

ne

TanTtatf (83)

Estudiada la función, es fácil obtener su TDF considerando (51) y (52):

( ) ( )∞

−∞=

−δ=j

0jffTafF (84)

de donde se puede concluir que la TDF de un tren de impulsos es otro tren de impulsoscuyo periodo y amplitud están relacionados con los del primer tren.

TRANSFORMADA DE FOURIER FINITA (TDFF)

En la expresión (38) de la TDF el dominio de la integración está extendido de (-∞) a (+∞).En la práctica, cuando se trata de calcular TDF de funciones determinadasexperimentalmente, nunca se dispone de registros de duración infinita. Entonces, la TDFdebe ser calculada mediante la expresión

( ) ( )−

π−⋅=2T

2T

ft2i dtetfT,fF (85)

El cálculo de esta TDFF de f(t)puede verse como el cálculode la TDF de una función g(t),obtenida mediante el productode f(t) por un pulso rectangularr(t) de valor unidad y extendidode (-T/2) a (+T/2), según puedeverse en la Figura 9 para elcaso en que f(t) es una funcióncoseno. Figura 9La aplicación de la TDFF a la función f(t) es idéntica a la aplicación de la TDF, a la funcióng(t), pues g(t) se supone nula fuera del intervalo [-T/2, T/2]. Aplicando el Teorema de laConvolución en frecuencia, la TDFF de f(t) será igual al producto de convolución de lasTDF de f(t) y r(t).




( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )fRfFdtetgT,fGfGT,fF2T

2T

ft2i ∗=⋅===−

π− (86)

Para el caso concreto en el que f(t) sea, por ejemplo, una función coseno

f(t) = a0⋅cos(2πf0t) t ≤ T/2 (87)La TDF de f(t) viene dada por las expresiones (53) y (55)

( ) ( ) ( )[ ]000 ffff

2a

fF +δ+−δ= (88)

mientras que la TDF del pulso rectangular puede encontrarse en la expresión (78)

( ) ( )fT2senf

1fR ππ

= (89)

entonces, de acuerdo con la expresión (86)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )∞

∞−−⋅=∗= dggfRgFfRfFfG (90)

sustituyendo los resultados de las expresiones (88) y (89)

( ) ( ) ( )[ ] ( )( )∞

∞− −−π⋅+δ+−δ

π= dg

gfTgf2senfgfg

2afG 00

0 (91)

teniendo en cuenta las propiedades de integración de la función δ de Dirac,

( ) ( )( ) ( )( )

++π

+−

−ππ

=0

0

0

00

ffTff2sen

ffTff2sen

2afG (92)

donde se puede comprobar que la convolución de R(f) con la doble función impulso de laexpresión (88) produce el efecto de una doble traslación de R(f) a los puntos (-f0) y (+f0).En la Figura 10, se muestra la TDF y la TDFF de f(t).

Figura 10




Puede comprobarse que el área comprendida bajo las dos TDF de la Figura 10, - la finita yla infinita -, es la misma. La figura indica que la realización de la TDF en intervalos delongitud finita, introduce distorsiones y errores en la información que se obtiene acerca delcontenido en frecuencia de la función analizada. Este error se conoce en la literaturatécnica con el nombre de leakage.El efecto del leakage es doble. Por una parte, limita la resolución en frecuencia que sepuede obtener mediante la TDFF, ya que dos frecuencias serán indistinguibles cuando sudiferencia sea menor que el semiperiodo de la función sen(2πfT)/πf. Este semiperiodo es1/(2T). Así pues, si se quiere aumentar la resolución en frecuencia, no hay másremedio que aumentar la longitud T del intervalo de tiempo. El segundo efecto delleakage, viene producido por las oscilaciones que aparecen en la función R(f) a amboslados del máximo absoluto. El resultado es una distorsión en las frecuencias a (f0).Para disminuir estos dos errores del leakage se han sugerido varios procedimientos, de loscuales el más popular es el debido a Hanning, que consiste en modificar la forma del pulsorectangular con el que se ha realizado la convolución de la señal original. Convienerecordar que la TDF de este pulso es la que se repite, desplazada a (-f0) y a (+f0), en laTDFF de f(t). Interesa que la forma del pulso sea tal que las oscilaciones de R(f) sean lasmenores posibles. A la función r(t) con la que se realiza la convolución, se le suele llamarventana. La ventana de Hanning viene definida por la función

( ) TtTtcos1

21tr ≤

π+= (93)

en la Tabla 1 vista anteriormente, se representa esta función y su TDF.

DENSIDAD ESPECTRAL

La densidad espectral es a la TDF lo mismo que el espectro de potencia es a la Serie deFourier.Supóngase que se tiene unaseñal no periódica, cuya TDF esuna función continua, y que sequiere estudiar el valor cuadráticomedio de su composición en unaestrecha banda de frecuenciascentrada en f0 (Figura 11). Figura 11Se verificará que

( ) ( )∞

∞−

π⋅= dfefFtf ft2i (94)




El contenido de esta función alrededor de la frecuencia f0 se podrá expresaraproximadamente como:

( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]( ) ( ) ( )( )[ ]tf2senitf2cosffF

tf2senitf2cosffFtf

000

000f0

π⋅−π⋅∆⋅−+

+π⋅+π⋅∆⋅=(95)

Teniendo en cuenta que

( ) ( ) ( )[ ]fBifA21fF ⋅−= (96)

resulta

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]tf2senfBtf2cosfAftf 00000fπ⋅+π⋅⋅∆= (97)

el valor cuadrático medio de esta componente será

( )( )[ ] ( ) ( ) ( ) 20

22

02

022f fF2f

2fB

2fAftfm

0⋅⋅∆=

+⋅∆= (98)

a esta función |F(f)|2 se le conoce con el nombre de densidad espectral. Es una funciónreal que proporciona información acerca del contenido en frecuencia de la función f(t).

RESPUESTA DE UN SISTEMA DE 1 GDL ANTE UNA FUERZA

CUALQUIERA POR EL MÉTODO DE LA TDF

Resulta sencillo calcular la respuesta de un sistema de 1 gdl ante una excitación de tipogeneral - f(t) -, teniendo en cuenta que la TDF de la fuerza indica su contenido enfrecuencia, y que para una excitación de una frecuencia determinada la respuesta delsistema se halla multiplicando por la función de transferencia H(f). Así, sea F(f) la TDF dela fuerza de excitación f(t)

( ) ( )∞

∞−

π−⋅= dtetffF ft2i (99)la respuesta del sistema será la suma - es decir, la integral - de las respuestas para cadafrecuencia. Esto es,

( ) ( ) ( )∞

∞−

π⋅⋅= dfefFfHtx ft2i (100)pero, además, x(t) estará relacionado con su TDF a través de la TDFI:

( ) ( )∞

∞−

π⋅= dfefXtx ft2i (101)comparando las expresiones (100) y (101) se concluye que

X(f) = H(f) ⋅ F(f) (102)




es decir, que la TDF de la respuesta del sistema es el producto de la función detransferencia por la TDF de la fuerza excitadora. Este resultado permite calcular larespuesta del sistema ante cualquier fuerza excitadora, siempre que se disponga demedios para calcular TDF directas e inversas.

Como ejemplo de aplicación se va a calcular la respuesta ante una excitación impulso δ(t).Se tendrá que

( ) ( ) 1dtetfF ft2i =⋅δ=∞

∞−

π− (103)X(f) = H(f) (104)

y la respuesta h(t) ante un impulso unitario será

( ) ( ) ( )∞

∞−

π⋅== dfefHthtx ft2i

(105)de donde se concluye que la función de transferencia H(f) es la TDF de la respuestah(t) a un impulso unitario. Esta es una propiedad verdaderamente importante para elanálisis experimental de vibraciones, porque la función h(t) es mucho más fácil dedeterminar físicamente que la función de transferencia. De hecho, la función detransferencia siempre se determinará a partir de la respuesta h(t) a un impulso unitario,calculando su TDF.Por otro lado, la respuesta de un sistema de 1 gdl ante una excitación de tipo generalpuede expresarse también mediante la integral de convolución en la forma

( ) ( ) ( )∞

∞−ττ⋅τ−= dhtftx (106)

es decir, con la notación introducida anteriormentex(t) = f(t) * h(t) (107)

Aplicando el Teorema de la Convolución, se tendrá que

( ) ( ) ( )fHfFfX ⋅= (108)

donde ( )fH es la TDF de h(t).

Comparando la expresión (108) con la expresión (102), se vuelve a concluir que la funciónde transferencia es la TDF de la respuesta h(t) al impulso unitario.




TRANSFORMADA DEFOURIER DISCRETA (TDFD)

CONCEPTO DE TDFD

La TDF explicada en los apartados anteriores puede, en la práctica, ser calculada de unmodo analógico o de un modo digital. En el primero de estos modos, la función f(t) esfiltrada mediante un filtro de banda tan estrecha como sea posible; el resultado de estaoperación es el extraer la componente armónica de la función f(t) en la frecuencia deseada.La amplitud de esta componente es el valor de la TDF en ese punto.El cálculo analógico de las TDF exige filtros muy precisos, y es una operación muy lenta alas bajas frecuencias características de las vibraciones mecánicas. Además, envibraciones aleatorias aparecen otras funciones como la densidad espectral, la densidadespectral cruzada, la autocorrelación, etc., que para ser calculadas analógicamente, exigencostosos equipos adicionales.Actualmente, el Análisis de Fourier se realiza, en la mayoría de los casos, digitalmente.Para ello, una vez que la función f(t) ha sido convenientemente filtrada y acondicionada(por las razones que se verán posteriormente), se procede a digitalizarla en un convertidoranalógico-digital.

Figura 12

Así, la función f(t)queda reducida a unconjunto de N valoresdiscretos (Figura 12)que se almacenandigitalmente en lamemoria de unacomputadora.

A partir de este momento, todas las operaciones que se realizan sobre estos datos, serealizan numéricamente, con todas las ventajas que esto tiene en cuanto a rapidez yeliminación de fuentes de error. Además, el tratamiento numérico de estos datos puederealizarse con una gran versatilidad, obteniéndose todas las características de f(t) que sedeseen utilizando el programa adecuado.




Se llama Transformada de Fourier Discreta (TDFD) a la TDF que se obtiene digitalmentea partir de una función f(t) discretizada. Las expresiones de la Serie de Fourier para unafunción continua eran, respectivamente

( )∞

∞−

π⋅= tjf2ij

0eFtf (109)

( )−

π−⋅=2T

2Ttjf2i

j dtetfT1F 0 j = 0, ±1, ±2, ... (110)

Es natural adoptar, para la TDFD, una expresión análoga a la expresión (110) en la que laintegral se sustituye por un sumatorio extendido al dominio finito T. Supóngase que estedominio se ha subdividido en N intervalos de longitud t0

−

=

π−⋅=1N

0k

ktjf2ik

0j

00efTtF (111)

Ahora bien, se verifica que

N ⋅ t0 = T (112)f0 = 1/T (113)

introduciendo estos valores en la expresión (111) resulta

( )−

=

⋅π−−

=

π− ⋅=⋅=1N

0k

jkN2i

k

1N

0k

Njk2ikj ef

N1ef

N1F (114)

que también puede expresarse−

=

⋅⋅=1N

0k

jkNkj Wf

N1F (115)

donde e-i2πN se ha denominado WN.Esta expresión puede ser considerada como una expresión aproximada para calcular loscoeficientes de la expresión de f(t) en Serie de Fourier. Haciendo modificaciones análogasen la expresión (109) se llega a que

( )−

=

⋅−−

=

π ⋅=⋅=1N

0j

jkNj

1N

0j

Njk2ijk WFeFf (116)




que es la fórmula inversa de la (114) ó (115). En concreto, la expresión (116) es la fórmulainversa exacta de la expresión (115), en el sentido de que permite recalcular exactamentelos valores de fk utilizados. Efectivamente

( ) ( ) ( ) =⋅

⋅=⋅=

−

=

π−

=

π−−

=

π1N

0j

Njk2i1N

0r

Njr2ir

1N

0j

Njk2ijk eef

N1eFf

( )( )−

=

−

=

−π−

⋅=

1N

0r

1N

0j

Nkrj2ir ef

N1 (117)

pero el paréntesis de la expresión anterior es igual a N si r=k, y es cero si r≠k, pues es unasuma vectorial de N vectores unitarios uniformemente espaciados angularmente entre 0 y(2π(r-k)(N-1)/N) radianes. Por tanto

( ) k

1N

0rrkrr fNf

N1f =δ⋅⋅=

−

=

(118)

Las fórmulas (114-115) y (116) son expresiones aproximadas para la Serie de Fourier de lafunción f(t); estas aproximaciones implican por tanto el carácter periódico - con periodo T -de la función f(t) discretizada. A pesar de que en realidad f(t) no es una función periódica,sino una función cualquiera, las expresiones (114-115) y (116) se generalizan, y seconsideran respectivamente como la Transformada de Fourier Discreta Directa eInversa. Posteriormente, se estudiarán los errores introducidos por esta aproximación.Seguidamente se van a considerar, desde otro punto de vista, las hipótesis implicadas enla aceptación de las expresiones (114-115) y (116) como TDFD. Estas hipótesis estánresumidas en la Figura 13. Supóngase una función cualquiera f(t) con su TDF F(f), Figura13a. Discretizar la función f(t) es equivalente a multiplicarla por un tren de funcionesimpulso ∇ (t, t0).

( ) ( )∞

∞−

−δ=∇ 00 nttt,t (119)

Este peine de funciones impulso aparece en la Figura 13b juntamente con su TDF, (84) eincluida en la Tabla 1. La función resultante del producto f(t)⋅∇ (t,t0) es la función f(t)discretizada a lo largo de todo el dominio de la variable tiempo.




Figura 13




Esta función producto tendrá una TDF que, en virtud del Teorema de la Convolución, seráel producto de convolución de F(f) por el tren de funciones impulso 1/t0⋅∇ (f,1/t0). Teniendoen cuenta que la convolución con la función impulso equivale a un desplazamiento a lolargo del eje de abscisas. La TDF de la función f(t)⋅∇ (t,t0) será la que aparece reflejada enla Figura 13c y cuya expresión matemática es

( ) ( ) ( )∞

∞−

−=∇∗ 00 tnfFt1,ffF (120)

En la figura 13c puede observarse que la TDF exacta de una función discretizada estodavía una función continua. En dicha figura, la función f(t)⋅∇ (t,t0) está definida sobre undominio de longitud infinita. Para tener en cuenta que en la realidad no podrá ser así y quehabrá que considerar un nº finito de valores, habrá que multiplicar por la funciónrectangular r(t), que aparece en la Figura 13d, juntamente con su TDF, R(f).

La función producto f(t)⋅∇ (t,t0)⋅r(t) se muestra en la figura 13e. Su TDF será el dobleproducto de convolución F(f)*1/t0⋅∇ (f,1/t0)*R(f), que aparece en la misma Figura. Tambiénesta TDF sigue siendo continua. Como una TDF continua no puede ser guardada en lamemoria del ordenador, hay que realizar una segunda discretización, esta vez en eldominio de la frecuencia.Esta segunda discretización se realiza multiplicando dicha TDF por otro tren de funcionesimpulso ∇ (f,1/T). El resultado de este producto aparece en la Figura 13g. Por el Teoremade la Convolución este producto en el dominio de la frecuencia equivale a una convoluciónen el dominio del tiempo. Convolución que se debe realizar precisamente entre la funciónf(t)⋅∇ (t,t0)⋅r(t) y el tren de funciones impulso T⋅∇ (t,T).Recordando otra vez que la convolución con la función impulso equivale a una traslaciónen el eje de abscisas, se llega a la conclusión de que en la Figura 13g aparece la TDFFdiscreta de una función en el tiempo, que es la función f(t) discretizada y multiplicada por elpulso rectangular r(t), y considerada además como función periódica de periodo T. Se tienepues en síntesis, la interpretación de lo que es la TDFD y de las aproximaciones querepresenta.Si se recuerda la propiedad de simetría de la TDF, resulta lógico que así como una funciónperiódica tiene TDF discreta, una TDF discretizada debe ser la TDF exacta de una funciónperiódica. En otras palabras, el carácter digital de la función y de su TDF implican laperiodicidad de ambas funciones. Es evidente que éste es uno de los distintos errores quese cometen al calcular transformadas de Fourier Discretas. Más adelante, se estudiaránestos errores y la forma de eliminarlos o, al menos, de disminuir su influencia. Así porejemplo, de la Figura 13g se deduce que no tienen sentido las componentes a frecuenciassuperiores a 1/(2t0), dada la periodicidad de la TDFD.




PROPIEDADES DE LA TDFD

A continuación, se enuncian y demuestran algunas de las propiedades más importantes dela TDFD definida por las expresiones (115) y (116).

1ª Linealidad

Sean fk y gk dos sucesiones de N valores uniformemente espaciados en el tiempo ytomados a partir de las funciones f(t) y g(t). Si Fj y Gj son sus correspondientes TDFD, severifica que la TDFD de fk+gk viene dada por Fj+Gj.En efecto,

( ) jj

1N

0k

Nkj2ik

1N

0k

Nkj2ik

1N

0k

Nkj2ikk GFeg

N1ef

N1egf

N1 +=⋅+⋅=⋅+

−

=

π−−

=

π−−

=

π− (121)

2º Simetría

Si Fj es la TDFD de fk, se verifica que (f-k) es la TDFD de (N⋅Fj). Para demostrarlo, bastacalcular f-k a partir de la expresión (116)

( )( ) ( ) ( )−

=

π−−

=

−π− ⋅⋅=⋅=

1N

0j

Njk2ij

1N

0j

Nkj2ijk eFN

N1eFf (122)

3º Fórmula de Inversión

Esta fórmula permite calcular TDFD inversas a partir de la TDFD directa. La fórmula es lasiguiente

( )( )∗

−

=

−π∗

⋅=

1N

0j

Nkj2ijk eFf (123)

donde (*) indica el conjugado de un número complejo.Para demostrar esta fórmula basta conjugar como se indica en la expresión

Fj = Aj + i Bj (124)Fj* = Aj - i Bj (125)

sustituyendo, y teniendo en cuenta que el conjugado de un producto es el producto de losconjugados,

( )( )−

=

π

∗−

=

−π∗ ⋅=

⋅

1N

0j

Njk2ij

1N

0j

Nkj2ij eFeF (126)




que coincide con la expresión (116).

4º TDFD de una función par

Sea fj una función par. Su producto por la función coseno será una función par, mientrasque su producto por la función seno será impar. Entonces

−

=

−

=

−

=

π−

π⋅−

π⋅=⋅=1N

0kk

1N

0kk

1N

0k

Njk2ikj N

jk2senfNi

Njk2cosf

N1ef

N1F (127)

pero el sumatorio imaginario es cero porque fk repite valores para k ≥ N/2 (recuérdese elcarácter periódico de la TDFD) y el sumatorio está extendido a un número entero de ciclos;luego

−

=

π⋅=1N

0kkj N

jk2cosfN1F (que es un número real) (128)

5º TDFD de una función impar

Análogamente a lo realizado para funciones pares, puede demostrarse que la TDFD deuna función impar viene dada por la expresión

−

=

π⋅−=1N

0kkj N

jk2senfNiF (129)

6º TDFD de una función compleja

Sea f(t) una función compleja definida en la forma

f(t) = r(t) + i⋅s(t) (130)

fk = rk + i⋅sk (131)La TDFD de fk se define igualmente por medio de la expresión (115)

( )−

=

π−−

=

π− ⋅⋅+=⋅=1N

0k

Njk2ikk

1N

0k

Njk2ikj esir

N1ef

N1F (132)

TEOREMA DE LA CONVOLUCIÓN DISCRETA

La convolución continua de dos funciones x(t) e y(t) se definía en la forma

( ) ( ) ( ) ( )∞

∞−ττ⋅τ−=∗ dytxtytx (133)

La convolución discreta se obtiene suponiendo que x(t) e y(t) vienen dadas por valoresdiscretos y sustituyendo la integral por el sumatorio correspondiente. Si se dispone de Nvalores discretos de x(t) e y(t).




( ) ( )−

=− ⋅=∗

1N

0kkmkm yxyx (134)

la aplicación de esta fórmula no puede hacerse sin recurrir al carácter periódico que laTDFD supone para xk e yk, pues si no xk-m puede no estar definida.El Teorema de la Convolución para la TDFD establece que la TDFD de

( )−

=− ⋅=

1N

0kkmkm yxz (135)

viene dada por la función

Zj = Xj* ⋅ Yj⋅N (136)Para demostrar este teorema, hay que sustituir los valores de xk-m y de yk dados por lasexpresiones (123) y (116) en la expresión (135).

( )−

=

−

=

π

∗−

=

−π−∗

⋅⋅

⋅=

1N

0k

1N

0n

Nnk2in

1N

0j

Nmkj2ijm eYeXz (137)

si xk-m es real la conjugación del corchete podrá omitirse porque dicho corchete es real. Setendrá entonces, permutando los sumatorios

( )−

=

−

=

−π−

=

π∗

⋅⋅⋅=

1N

0j

1N

0k

Nkjn2i1N

0n

Njm2injm eeYXz (138)

el corchete de la expresión (138) es análogo al de la expresión (117), y por las mismasrazones que aquél es igual a

( )nj

1N

0k

Nkjn2i Ne δ⋅=−

=

−π (139)

siendo δnj la δ de Kronecker. La expresión (138) se reduce en tal caso a

( ) NeYXz1N

0j

Njm2ijjm ⋅⋅⋅=

−

=

π∗ (140)

pero esta expresión coincide con la de la TDFD inversa. Luego

Zj = Xj* ⋅ Yj⋅N (141)con lo cual queda demostrado el Teorema de la Convolución en el tiempo. Existe tambiénun Teorema de la Convolución en frecuencia que establece que si xk e yk son dosfunciones discretas cuyas TDFD son Xj e Yj, entonces, si Zm es el producto de convoluciónde Xj* e Yj, zk es el producto de xk e yk.




( )−

=

∗− ⋅=

1N

0jjmjm YXZ (142)

sustituyendo Xj-m e Yj mediante la fórmula de la TDFD

( )−

=

−

=

π−∗−

=

−π−

⋅⋅

⋅=

1N

0j

1N

0n

Nnj2in

1N

0k

Nmjk2ikm ey

N1ex

N1Z (143)

reordenando términos

( )−

=

−

=

−π−−

=

π−

⋅⋅=

1N

0k

1N

0j

Nknj2i1N

0n

Nkm2ink2m eeyx

N1Z (144)

teniendo en cuenta que el corchete es δkn⋅N, resulta:−

=

π−⋅⋅=1N

0k

Nkm2ikkm eyx

N1Z (145)

en esta expresión se reconoce la forma de la TDFD de Zk, por lo que se habrá de verificar

zk = xk ⋅ yk (c.q.d.) (146)

ERRORES DE LA TDFD

La TDFD permite calcular TDF de cualquier tipo de función, incluso de las que no estándefinidas analíticamente. Sus cálculos pueden ser realizados por un ordenador en unpequeño intervalo de tiempo y por un coste mínimo. Sin embargo, como la TDFD no esmás que una aproximación de la TDF, al utilizarla se cometen errores de los que esnecesario conocer el alcance y el significado. Además, estos errores pueden en ocasioneseliminarse o, al menos, reducir sus efectos.En el cálculo de TDFD pueden distinguirse tres fuentes principales de error:

El error propio del carácter digital de las funciones del tiempo y de la frecuencia, querecibe el nombre de aliasing.

El error originado por la necesidad de considerar intervalos finitos de la funcióntemporal. A este error - que ya ha aparecido al hablar de la TDF continua - se le dael nombre de leakage.

El error inherente del proceso de digitalización, pues el valor de la función debe serredondeado o truncado para poder expresar con el nº de cifras limitado que elordenador puede considerar. Este último tipo de error carece de importancia si elordenador considera un nº de cifras adecuado, y por ello toda la atención se dirigiráal aliasing y al leakage.




Aliasing

Para explicar este tipo de error se hace necesario volver a acudir a la Figura 13. Entre laTDF exacta de la Figura 13a y la TDFD de la Figura 13g, se han introducido dos fuentesprincipales de error: la convolución con la función pulso rectangular, y el carácter periódicoque adquiere la TDF al realizar la convolución con el tren de funciones impulso. El primerode estos errores es el leakage, que se verá posteriormente. Es el segundo de estos errores- el aliasing -, el que se considera a continuación.El efecto del aliasing aparece muy claramente si se comparan las TDF de la Figura 13a y13c. La primera de las citadas figuras muestra la TDF exacta, mientras que en la segundaya hay aliasing. Este se ha introducido como consecuencia de la discretización de lafunción temporal, y fundamentalmente consiste en dotar a la TDF de un carácter periódicoque en realidad no tiene. Si t0 es el intervalo de digitalización en el tiempo, 1/t0 será elperiodo introducido en el dominio de la frecuencia. La TDF periódica se obtiene sumandoinfinitas funciones F(f) desplazadas cada una respecto a la anterior una distancia 1/t0.El efecto del aliasing es, por lo tanto, doble. Por una parte, elimina el sentido de lasfrecuencias mayores que 1/(2t0) y menores que -1/(2t0), ya que los valores de la TDF de laFigura 13c exteriores a dicho intervalo no son más que meras repeticiones de los valoresinteriores. Esta propiedad se conoce con el nombre de Teorema de Shannon: con unintervalo de discretización de t0 no es posible obtener información acerca del contenido dela señal original a frecuencias superiores a 1/(2t0). A esta frecuencia se le llamafrecuencia de Nyquist.Otra forma de explicar estamisma limitación es recordarque para detectar lafrecuencia de una funciónarmónica, hay quemuestrear el valor de lafunción al menos dos vecespor periodo. En la figura 14,se observa como unafrecuencia f/N esindistinguible de lafrecuencia f(N+1)/N si sólose dispone de la informaciónde los valores discretizados. Figura 14Además de la frecuencia límite mencionada, el aliasing tiene otro importante efecto queafecta negativamente a la precisión de los valores calculados y que puede comprenderse




observando las figuras 13a y 13c. Hay valores de F(f) por encima de la frecuencia deNyquist que, cuando F(f) es desplazada, caen durante el intervalo [-1/(2t0), +1/(2t0)],perturbando los valores de la TDF dentro de este intervalo. Así por ejemplo, el valor de laTDF para la frecuencia f que es tomado como correcto es la suma siguiente

( ) +

+−+

++

+−+

++ f

t2Ff

t2Ff

t1Ff

t1FfF

0000(147)

Para corregir este tipo de error hay que tener en cuenta que si la función no tienecomponentes a frecuencias superiores a la de Nyquist, este error no se produce. Lo que sedebe entonces hacer es filtrar la función a analizar con un filtro que elimine todas lasfrecuencias altas (por encima de 1/(2t0).

Leakage

Ya se ha hablado del leakage al tratar de la Transformada de Fourier Finita. La TDFFequivale, según se demostró, a la convolución de la verdadera TDF de la función original,con la TDF de un pulso rectangular unitario de longitud T. En la Figura 13d aparece estepulso rectangular y su TDF. Esta TDF presenta la forma de una función armónica cuyaamplitud tiende hiperbólicamente a 0. El semiperiodo de esta función armónica es 1/T.Los errores producidos por el leakage se deben también a un doble mecanismo deactuación. Por una parte, la convolución con el lóbulo central de la TDF R(f) del pulsorectangular tiende a promediar las componentes a frecuencias contiguas en la TDF F(f).Quiere esto decir que se disminuye la resolución de la Transformada de Fourier, enproporción a la anchura 2/T de dicho lóbulo. Así, por ejemplo, en la Figura 10 se vio cómola TDF de una función coseno, que consta de dos funciones impulso, aparece como unadoble función R(f). Si no se desea perder resolución, y se quiere evitar este defecto, hayaumentar la longitud del periodo T en la TDFF.El segundo tipo de error producido por el leakage se debe a los lóbulos laterales deamplitud decreciente que aparecen en la TDF R(f) del pulso rectangular r(t). Estos lóbulostienden a distorsionar la composición en frecuencia según puede verse comparando lasfiguras 13c y 13e. Además este error no se corrige como el de la falta de resolución,aumentando simplemente el intervalo T. Para disminuir este error es necesario reducir enlo posible las oscilaciones de la TDF del pulso rectangular. Para ello, lo que se suele haceres cambiar la forma de este pulso, al que - como ya se ha dicho - se le suele denominartambién ventana. Hay que buscar ventanas distintas de la rectangular, cuya TDF presentemenos oscilaciones que la de ésta. Entre la multitud de formas propuestas que se puedenencontrar en la bibliografía, la más popular sin duda es la ya citada de Hanning. La forma




de esta ventana viene dada por la expresión (93) y su transformada de Fourier puedeencontrarse en la Tabla 1.En la Figura 15, aparece la ventana rectangular y la ventana de Hanning juntamente consus respectivas TDF (en módulo). En dicha figura puede verse que la TDF de la ventana deHanning presenta unas oscilaciones mucho menores que las de la ventana rectangular. Sinembargo, éste es el precio de una mayor anchura en el lóbulo central, con lo cual, algo delo que se gana en fiabilidad del resultado se pierde en resolución por el efecto antes citado.Otro efecto de la ventana de Hanning es reducir el valor de la amplitud de la señalconsiderada a la correspondiente frecuencia. Así, para una señal armónica, dicha amplitudse reduce en 6.02 db.

Figura 15Hasta ahora, todo lo que se ha dicho del leakage es válido para la TDFF continuas ydiscretas. A partir de ahora, se realizarán consideraciones y se presentarán algunosejemplos característicos de la TDFD.




En la Figura 16,puede verse la TDFde un pulsotriangular, funciónque resulta al hacerla convolución de dospulsos rectangulares;por ello, su TDF esigual al cuadrado dela TDF del pulsorectangular. En laFigura 17, aparece laTDF de un pulsotriangular truncado, yse puede observar ladistorsión debida altruncamiento.

Figura 16

Figura 17En la Figura 18, aparece unafunción periódica triangular. Se haregistrado un intervalo de 8segundos correspondiente a 8periodos de 1 segundo. En dichafigura aparece la TDF de estafunción, con picos asociados afrecuencias de 1, 3, 5 ... Hz.Puede comprobarse que estaTDF es exacta. Figura 18A primera vista, este resultado no deja de ser sorprendente, porque deberían aparecer losefectos del leakage. No es así, y la explicación es sencilla. Se ha dicho anteriormente quela TFFD es la TDF exacta de una señal discreta en el tiempo de duración T, que se suponeperiódica con ese mismo periodo T. Como el intervalo T de la función de la Figura 18comprende un número entero de periodos de f(t), el superponer este intervalo repetido nointroduce ningún error en la función f(t), y por tanto la TDF que aparece da valores exactos.No se puede decir que esta TDF es exacta, sino sólo que da valores exactos. La razón deeste hecho está en que la TDF continua de la función f(t) definida en el intervalo finito de 8segundos, sí que presenta los efectos del leakage. ¿Cómo es entonces que la funcióndiscreta no los presenta?.La razón se encuentra explicada en la Figura 19, y se fundamenta en el hecho de que ladiscretización de la TDF se realiza precisamente en los ceros de la TDF del pulso




rectangular, con lo cual la TDFD no se ve afectada por estos errores. Esto sólo sucedecuando el pulso rectangular contiene un número entero de periodos de la función original.

Figura 19

En la Figura 20, aparece lamisma función periódicatriangular, pero sin que elnúmero de periodoscomprendido en el intervalo Tsea entero. En este caso, ensu correspondiente TDFD,aparecen ahora claros losefectos del leakage. Figura 20En la Figura 21, aparece la misma función triangular de la Figura 18, pero con frecuenciadoble. En este caso, los picos de la TDFD aparecen desplazados hacia la derecha

Figura 21Como el número de puntos de discretización no ha aumentado, los efectos del aliasing sehacen notar, y sólo se puede obtener información acerca de la frecuencia fundamental ydel primer armónico, pues todos los demás armónicos quedan por encima de la frecuenciade Nyquist. Como no se han filtrado las frecuencias altas, los errores de magnitudproducidos por el aliasing están presentes en los resultados de todas estas figuras.




En la Figura 22,aparece una funciónarmónica y su TDFD.Como el número deperiodos es entero yno hay aliasing, porno haber en estecaso más que unafrecuencia, elresultado es exacto. Figura 22Es evidente que - en la práctica - no se puede nunca garantizar la condición referente alnúmero de periodos. Por ello, no hay más remedio que utilizar la ventana de Hanning, conobjeto de reducir el leakage.

Figura 23

En la Figura 23,aparece la funciónarmónica de la Figura22 multiplicada por laventana de Hanning, ysu TDF. El resultadoes una disminución dela resolución enfrecuencia.

En la Figura 24, aparece la misma función armónica (y su TDTD), pero con un número deperiodos no enteros. En la Figura 25, se muestra dicha función multiplicada por la ventanade Hanning. Comparando ambas figuras, se observan los efectos del leakage y de laventana de Hanning. Dicha ventana disminuye la resolución, pero los valores de lafrecuencia que proporciona son más fiables.

Figura 24 Figura 25




TRANSFORMADA RÁPIDA DE FOURIER (FFT)

Se ha visto anteriormente que la TDFD venía definida por las relaciones−

=

π−⋅=1N

0k

Nkj2ikj ef

N1F (148)

( )−

=

π⋅=1N

0j

Nj2ij eFtf (149)

El cálculo directo de estas expresiones supone aproximadamente N2 multiplicaciones porla función exponencial. En tiempo de ordenador esto tiene un precio excesivamente alto.La preocupación por la resolución de este problema llevó a Cooley y Tukey a desarrollar -amediados de los años 60- el algoritmo de la Transformada Rápida de Fourier ó FFT (FastFourier Transform). Este algoritmo está basado en el cálculo de la TDFD de un conjunto devalores de fk a partir de la TDFD de subconjuntos parciales de dichos valores. Con esto, elnúmero de multiplicaciones por la función exponencial se reduce considerablemente a N⋅log2N. Por ejemplo, para el caso en que N=215 N2 es aproximadamente 109, mientras queN.log2N es 4,9⋅105. El factor de reducción en el tiempo de cálculo es aproximadamente2000, visto lo cual no es preciso hacer muchos más comentarios.La FFT necesita que el número de puntos N sea una potencia de 2. Si el número depuntos de que se dispone no cumple esta condición, caben dos posibilidades: truncar laserie de puntos hasta la potencia de 2 inferior, o completar con ceros hasta la potencia de2 inmediatamente superior. Esta segunda alternativa es preferible, porque así no se pierdeninguna información.

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