l--.*- I

Poblacionespareadas

Captulo p

Elementos de inferenciaestad stica : experi mentos

con uno y dos tratarnentos

Sumario1, Poblacin y muestra, parmetros y estadsticos2. Distribuciones de probabilidad e inferencia3. Estimacin puntual y por intervalo

t,4. Conceptos bsicos de prueba de hiptesis5. Planteamiento de una hiptesis estadisrica6. Prueba para la media7 Prueba para la varianzaB, Prueba para una proporcir9. Tres criterios de rechazo 0 aceptacin equivalentes

10. Ccmparacin de dos tratamientos'l '1. Poblaciones pareadas (comparacin de dos medias con mues-

tras dependientes)12. Resumen de frmulas para procedimientos de prueba de hip-

tess13. Uso de software14. Preguntas y ejercicios

Objetivos de aprendizajeldeniificar Ios elementos de la inferencia estadstica y suimlortancia en los oiseos exoer'mentales.Explicar el papel de las distribuciones de probabilidad enla inferencia estadstica, as como la estimacin puntual ypor inrervalo.Describir las pruebas para la media, varianza y Llna pro-porcin, as como los conceDtos bsicos de prueba de hi-nfo c i.

ldentificar las pruebas para la igualdad de varianzas y pro-p0rct0nes.

Distinguir las pruebas para c0mparar medias con muestrasindependtentes y muesti'as pareadas.

MAPA COI\ICEPTUAL

_l**;*-ttslrmacion Ipuntual y por

i nterva lo

Poblacin ymuestra

Prueba deh iptes is

Media, varianza yproporcin

Comparacin dedos tratamientos

\ra rianzas

i- --___*li ProporCones F_t_.-__*_.

YCAPTULO 2

,eG.rL

14 Elementos de inferencia estadstica: expenmentos con uno y dos tratamientos

Poblacin y muestra, parmetros y estadsticoslJna poblacin o universo es una coleccin o totaiidad de posibles individuos, especmenes,objetos o medidas de inters sobre los que se hace un estudio. Las poblaciones pueden serfinitas o infinitas. Siesfnita y pequea se pueden medir todos los individuos para tenerun conocimiento "exacto" de las caracterstlcas (parmetros) de esa poblacin. Por ejemplo,un parmetro que podra ser de inters es la proporcin p de productos defectuosos, o lamedia,,rz, de alguna variable medida a los productos. Si la poblacin esinfmta o grande esimposible e incosteable medir a todos los indivlduos, en este caso se tendr que sacar unamiestra representqtila de dicha poblacin, y con base en las caractersticas medidas en lamuestra (estadisticos) se podrn hacer afirmaciones acerca de 1os parmetros de Ia poblacin(figura 2.1).

Conceptos clavejError tipo IError tipo llEstadktico

Estadstico dd prueba

Estimador puntual lGrados de libertad 'Hiptesis estadstica'lnferencia estadstica

lntervaio de confianza

Muestras pareadas

0rden completamente al: azar

Potencia de la prueba

Regin de aceptacin ,Regin de rechazo .

Significancia observadaSignificancia predefinida

hl Poblacin finitaEs aquella que posee o incluye un nmeropequeo de elementos, de tal forma queal estudiar estadsticamente esta pobla-cin es necesario considerar explcltamen-te su tamao.

$.. ParmetrosCaractersticas que, mediante su valornumrico, describen a un conjunto de ele-mentos o individuos.

)',. Poblacin infinitaEs aquella que posee o incluye un nmerogrande de elementos, de tal forma que alestudiar estadsticamente esta poblacines necesario recurrir a muestras, que en laprctica son pequeas respecto al tamaode la poblacin.

$-' Muestra representativaEs una parte de una poblacin, seleccio-nada adecuadamente, que conserva losaspectos clave de la pobiacin,

h- lnf.r.ncia estadsticaSon afirmaciones estadsticas acerca de lapoblacin o proceso basadas en la infor-macin contenida en la n',i.:estra.

Pobiacin (toda laproduccin del mes)

PARAMETROS(siempre desconocidos)

ESTADSTICOS(conocidos)

Flgura 2.1 Relacin entre poblacin y muestra, parmetros y estadsticos.

Con frecuencia, las poblaciones de inters son los materiales, ios productos termi-nados, partes o componentes, Ios individuos de una poblacin o las propiedades de al-gn material o sustancia. En muchos casos estas poblaciones se pueden suponer infini-tas o grandes. Por ejemplo, en empresas con produccin en masa no siempre es poslblemedlr cada preza de material que 11ega o las propiedades de cada producto terminado.lncluso, si 1a produccin no es masiva, conviene imaginar el proceso como una pobla-cin infinita o muy grande, debido a que e1 flujo del proceso no se detiene, es decir, noexiste ei ltimo artculo producido mientras la empresa siga operando. En estos casoslas poblaciones se estudian mediante muestras representativas de dichas poblaciones.

Un asunto importante ser lograr que 1as muestras sean representativas, en el sen-tido de que tengan los aspectos clave que se desean analizar en la poblacin. Una formade iograr esa representatividad es disear de manera adecuada un muestreo aleatorio(azar), donde la seleccin no se haga con algn sesgo en una direccin que favorezcala inclusin de ciertos elementos en particular, srno que todos 1os elementos de la po-blacin tengan las mismas oportunidades de ser incluidos en 1a muestra. Exlsten variosmtodos de muestreo aleatorio, por ejemplol e1 simple, el estratiflcado, e1 muestreosistemtico y por congiomerados; cada uno de ellos logra muestras represeniativas enfuncin de 1os objetivos del estudlo y de ciertas circunstancias 1- caractersticas particu-lares de la poblacin (vase Gutirrez Pulido, 2010)

lnferencia estadsticaEl objetivo dela nJerer"tcia estqdstica es hacer afirmaclones vlidas acerca de 1a pobla-cin o proceso con base en 1a rnlormacin contenida en una mueslra. Estas afirmacio-

tH.,

ii,r.

I

nes tienen por objetivo caracLerizar mejor a Ia poblacin y, en muchos casos, coadyuvar en 1a tomade decisiones. La inferencia estadstlca,por 1o general se divide enestimaciny pruebade hiptesis,y seapoya en cantidades o datos estadsticos calcuiados a partir de las observaciones en Iamuestra. l)n estadstico se define como cualquier funcin de los datos.r.rrrrl., lr. h#t frtudirtaono contiene parmetros desconocidos. Un ejemplo de estadstlco es 1a media muesrrali con 1a cual se rraran de hacer afirmaciones sbre la media, tt, que., ,n pr.a*.,.o

,co1,.:,jii:ffijtflij&fl:i1ll,i,[i;poblacional' las caractersticas de ra misma.Un aspecto clave en la interpretacin y utilizacin de cualquier esadstico es que

se trata de una variable aieatoria, ya que su valor depende de 1os elementos que son seleccionados paraintegrar la muestra, y por io tanto, vara de una muestra a otra. La lorma de tomar en cuenta este hechoes conocer la distribucin de probabilidad de cada esradstico.

Distribuciones de probabilidade inferenciaLa distnbucin de probabilidad o distnbucin de una vatiable aleatonaX relaciona e1 con-junto de valores posibles de X (rango de X), con Ia probabilidad asociada a cada uno d.eestos valores y 1os representa a travs de una tabla o por medio de una funcin planteadacomo una frmula. Por ejemplo, sea la variable aleatoria dada por el estadsrico mediamuestral, f, .nrorr.., ai conocer su distribucin de probabilida podremos saber culesson 1os valores que puede tomo. X y cu1es son ms probabies.

Distribuciones de probabilidad e inferencia 1 5

ffi ortrinucin deprbabilidad de XRelaciona el conjunto de valores de Xconla probabilidad asociada con cada uno deestos valores.

En otras palabras, Ia distribucin de probabilidad de la media muestral i senala que vaiores seespera que tome i, de acuerdo con 1os ,rpr.rto, asumidds. De esra form, Ia disrribucion de proba-bllidad hace que 1o aleatorio no sea un capricho, y modela (describe, acota) 1os posibles valores deun estads[ico muestral, con 1o que al observar una realizacin especfica de un estadstico se puedencorroborar o rechazar supuestos (prueba de hiptesis), o bien, hacer estimaciones poblacionales.

Las distnbuciones de probabilidad que ms se usan en inrervalos de confianza y pruebas de hi-ptesis son las distrlbuciones'. normal, T de Student, 1i-cttadrada y F. En 1a figura 2.2 se representanias formas tpicas de estas cuatro distribuciones. La distribucin normal esr compleru*..rt definidapor sus parmetros, que son 1a media, p,yla desviacin estndar, o. Por ejempio, en 1a figura 2.2 semuestraladistribucinnormalconp=0yo=1,quesesmbolizaconl,I(0, 1)yseconocecomoladis tnbucion n o nnal e standar.

En 1a figura 2.2 tambit se observa que [an[o ]a disrribucin normal estndar como 1a T de Srudenrson simtricas y centradas en cero, mientras que 1as dlstribuciones jl-cuadrada y F son sesgadas y slotoman r-alores positlvos. Las cualro distribuciones estn reiacionadas entre s, ya que las d.istribucionesf de Student, ji-cuadrada y F se definen en trminos de 1a disrribucin normai es[ndar.Los parmetros que definen por completo 1as dlstribuciones T de Srudenr, ji-cuadradav F, recrben el nombre d,e graclos delibertad, que rienen que ver con los ,rrno, *u.r- h}i Crados de libertadtrales involucrados. Por ejemplo, si se tiene una muestra de tamao 20,ser de intersuna distribucin T de stueni con 19 grados de libertad para hacer ir-rr.r.n.i" rou.. t, -son parmetros que definen las distribu-media pobtacional; o una ji-cuadrada ,, le grados de liberrad pr.";;;;;l;f.;; l?l?il;l-ill1:*:lJi]:',iffi1sobre ia varianza poblacional.

lucrados.La distribucln T de Student tiende a la distribucin normal esrndar cuando ei

lamao de muestra crece, y prcticamente es la misma drstribuctn para n > 45. La diferencia bsicaentre las dos distribuciones es que 1a T de Student es ms ancha (respecto del eje horizontal) en lascoias (vase flgura 2.2). La distribucin normal estndar es una curva nica, por e11o exisren rablasque proporcionan cualquier rea o probabilidad de inters bajo esta curva. No pasa 1o mismo con lasotras distribuciones a ias que hemos hecho referencia, ya que para cada tamao muestral es una curradiferente. Por eso, 1as tablas de estas distribuciones slo reportan ios valores que separan las reas demayor uso en inlerencia estadstica (vase apndice 2). En la actualidad es mejor utiiizar un paquereestadstico para encontrar cualquier rea o percentil que se quiera de cada distribucin.

Como se muestra ms adelante, las distribuciones normal y T de Student sinen parahacer inferen-cias sobre 1as medias; por su parte, la distribucin ji-cuadrada ser de utilidad para hacer inferencias

16 CAPTULO 2 Elementos de inferencia estadstica: experimentos con uno y dos tratamientos

Normal estndar

040

030

0.20

0.1 0

0.0

0.0

0.40

0.30

0.20

0.10

0.0

fde Student, 5 g.l.

F(s,10)Ji-cuadrada, 10 q.l

0.08

0.04

0.6

0.4

4.2

0.0

i,;.

i,!

l:

:i:

0 5 10 15 ZO 0 1 2 3XX

F[Eura ?.* Muestra d las distribucion.r'd. probabilidad de mayor uso en inferencia.

sobre varianzas y ia distribucin F se ernplear para compararvarianzas. Es por esto que 1a disrribucinF es la de rnayor relevancia en diseo de experimentos, dado que e} anlisis de 1a vriabilidad que seobserva en un experimento se hace comparando varianzas.

Usa de ENce!Si X tiene r:na distribucin normal con media p y desvlacin estndar o con frecuencia es de interscalcular probabilidades como P(X < x). Se puede utilizar 1a hoja de clcu1o de Excel (o algo equivalente)para calcular este ripo de probabiiidades para e1lo se uriliza la siguienre funcin:

DIS TR. {ORtr..{ (x, nte dia, de sv _e stan d ar, acum)

donde en la celda x se da el valor de relerencia para el c1cu1o de probabilidades, en media seda e1 valorde 1a media. lt, y en desv-estandat' se deciara el valor de la desrriacin estndar , o. por ulfimo, acuntes un valor lgico que determina la forma de Ia funcln: si e1 argumenLo acwnes VERDADERO (se daun I),1a luncin DISTR.AIORM devuelve la funcin de distribucin acumulada (P(X < i)); si es FALSO(se da un 0), devueh,e ia funcrn de densidad de probabilidad, es decir, dat'e).

Estimacin puntual y por intervatoUna dtsribucln de probabilldad de una varlable que represenra ciert.a caracterstica de una poblaci:se define ccnpleiarrente cuando se conocen sus parmetros, pero cuando stos no ,. .on..n, ,.,-..necesar,o es:.::arlos con base en 1os datos muestrales para hacer inferencias sobre la poblacin. p::

il

':

L

Estimacin puntual y por intervalo 17

ejemplo, ios parmetros de una distribucln normal son ia media, p,y Ia desviacin estndar, o, queen caso de desconocerse ser necesario estimarlos a partir de los datos en la muestra, Hay cios tipos c1eestlmacin: puntuai y por intervalo.

Estirnacin puntlialUn estimador puntual de un parmetro ciesconocido es un estadstico que genera unYalor numrico simple, que se utiliza para hacer una estimacin dei valor del parmetrodesconocido; por ejemplo, tres parmetros sobre ios que con lrecuencia se desea hacerinferencia son:

La media r del proceso (poblacin).Lavarianzao2 ola desviacin estndar o de1 proceso.La proporcin p de eiementos que tienen cierta caracterstica.

Los estimadores puntuales (estadsticos) ms recomendados para estimar estos parmetros son,respectivamen[e:

La media muesLrai f = La varianza muestral o2 = S2 .La proporcin muestral, i, = x/n, donde x es el nmero de eiementos en 1a muestra de ramao n,que fienen la caracteristica.

Por ejemplo, para estimar e1 grosor promedio de los discos producidos por un proceso, duranteuna semana se toma una muestra de n = 125 discos, y se obrlene que ia media muestral es X = 1.I79.Este valor puede usarse como una estimacin puntual de p (la media del proceso).

Colocar un gorro (smbolo ^) sobre un parmetro es una manera general de denotar un estimadorpuntual del correspondlente parmetro, puesto que los estimadores no son nicos. Por elemplo, iaestimacin de la media, p, podria hacerse con el uso de la media muesrral X, la mediana i, o 1a moda,dado que las tres son diferentes medidas de la tendencla cenrral de unos datos.

[stimacin pr inte'valoLa estimacln puntuai de un parmetro se genera a travs de un estadstico, y como ei valor de ste esalealorio porque depende de 1os elementos que lueron seleccionados en la muestra, entonces la esrima-cin que se hace sobre el parinetro depender y variar de una muestra a otra. Por el1o es necesariosaber qtt tan precisa es la estimacin puntual, y es[o rrene que ver con la varianza de1 correspondienteestimador. Una forma de saber qu tan variable es e1 estimador, conslste en calcular 1a desviacrn es-ndar o error estandar de1 estadstico, visto como una variable aleatoria. Por ejemplo, sea 1a clesviacLnestndar 5 y 1a meciia i d. unu muestra de tamao n, puesro qr. i ., una variable aleatoria: sta tienesu propia desviacin o error estndar, que se puede estimar mediante 6 X = S / ^,li .I-ina forma operativa de saber qu tan precisa es ia es[imacin consiste en calcular un interycio cleconfanza que indique un rango "en e1 que puede estar e1 parmetro" con cierro nivel de seguridacl oconfianza. Construir un intervalo al 100(i

- a)o/o de confianza para un parmetro desconocido g, con-

siste en estimar dos nmeros (estadsticos) L y U, de manera que la probabilidad de que 0 se encuenrrertre elics sea 1

- a, es decir,

P(L

lscAPiTuLo2ElementosdeinferenciaestadStica:experimentosConunoydostratamientos

tenganeiverdaderor,alordedichoparm".:oj'iaprcticaseobtieneslounintervaioysedicequeelintervalotr'ultit"t'i-u;;;de1o0(f-j;t''vque91pa'am"troestarenelintervaloel

100(1 - a)ok delas veces que se aplique el procedimiento',&,

rntervaro de confiaza ,. *llxlttt;;fi[aT1*u:fJ:ll;*,t'*x'ffiffi::"T'i!i"{'H:'::':i

Valores entre los que se estima est el Va. .1. .onfl*,,, EI ancho de los intervrlos eS mayor a meiu q,.

'.u mayor la ,^:,1",:::

il.,'i. r. ,r,rretio pobracionar [r'"ofi,i; y;;;:i. -.,nur,rul"rgra". 1u,'tho dei intervaio es menor s1 se lncre-'

*"'''t' el tamao de la muestra'

lntervalo de confianza para una media

Por definici n de intervalo de confanzase :ral1 de encontrar dos nmeros L y U, tales

que el parme-

tro p se encuen[re t"t" Ji"t to" "tu probabilidad de I

- a' Esto es'

P(L=lt

Estimacin puntual y por intervalo

Cuando n > 45,Ia distribucin T de Student es prcticamente igual a 1a distribucin normal estndar;porlotanto,delatabladeladistribucinnormalseobene queto2=zat2=L.96paraa=0.05.Deaqu que el intervalo al 100(t

- a)o/o de confianza para la mediap del grosor de los discos est dado por:

x+ t-,.1 = r.rTet r ru(o ozoo)= t.17er0.004"'' Jn l. II.IB ,

Se puede afirmar entonces que, con una confianza de95ak, ia mediap de grosor de 1os discos se en-cuentra en el intervalo [1.774,1.184] . En el clculo anterior, a1 valor de 0.00466 se 1e conoce comoerror de estimacin, porque hasta en 0.00466 puede diferlr el estimador puntual i del parmetropobiacional 2.

Una alternativa ai uso de las tablas para obtener e1 valor de es el uso de sistemas computacionaies.Por ejemplo, en el caso de Excel se emplea la funcin DISTR.T.INV (a, n

- 1), que considera 1os dos

extremos o colas de la distribucin, por eso se indlca c.

Tamao de la muestraEn ocasiones es necesario calcular el tamao de muestra n paralograr que ia estlmacln de una mediapoblacionalp tenga como error mximo un valor E. En este caso, como el error de estimacin est dadopor E = t(o/2,'-DS/\E, entonces despejando n obtenemos que:

tio :, '-r,52

''= j',:,

Como (or2, n-r depende de ny sta es la incgnita, entonces para propsltos prctlcos y con tamaos demlresira mayores que 30, el valor de to2.,_11 puede tomarse como 2. De esta manera,

452

F'

donde 52 es un estimador de lavaranza. Por ejemplo, si en ei caso del grosor medio de los discos sequislera un error mximo de 0.00,t = E, entonces se requiere:

4(0.00071)n-'""--','=177.5=l7B(0.004)'

19

(2.3)

lntervalo para la varianaDe manera similar a como se obtiene ei intervalo para la media, es posible deducir intervalos de con-Franzapara cualquier parmetro. En particular, para construir un intervalo de confianzaparala varian-zao',\a distribucin de referencia es una ji-cuadrada con n

- 1 grados de libertad, ya que bajo ei su-

puesto de que 1a variable de inters tiene una disribucin normal con media y yarranza desconocidas,e1 estadstico 0t - I)52/o2 sigue la distribucin ji-cuadrada con n - 1 grados de libertad. De esta manera,con un poco de lgebra, se 11ega a que el intervalo de confianza paralayartanza est dado por:

(n-l)S2

20 CAPTULO 2 Elementos de inferencia estadstica: experimentos con uno y dos tratamienios

Suponiendo oistrtbucin normal, e intervalo al 95% de confianza pai'a la meclia4 est dado por

En ei proceso de fabricacin de discos para computadoras, una de las variables crticas es el rendimiento de formato. Se toma unamuestra aleatoria de n = 10 discos de la produccin del turno de Ia maana. Se formatean y se reporta el rendimiento de cada disco.Loscjatosooten.dosson: 96 11,91.06,9338,88.52,89.57,92.63,8520,91

.41 ,sgTg,g2.62.Coobaseenestosdarosinreresaest,mar p-ntualrente y por inte'va,c a rne0i y'a desv,acion estardar para a poblacion oe drscos oe dicho tLLrno.Los estimadores puntuales para"la media y ia desviaiin estnclar resultan ser:

I'o x,v-

-o1n2,,10

r qq-l03.2.76fi)=[88 Be, e3 17]donde ei valor del punto crtico t,,n= ta.as = 2.26 se lee en las tablas para la distrrbucin f de Student con 9 grados de iibertad quese localiza en ei apndice. Con una conflanza de 95% se espera que el rendimiento promedo de los discos producidos durante eseturno est errtre BB.89 y 93.17. El correspondiente intervalo para la desviactn estndar o se obtiene sacando la i'az cuadrada alintervalo para 1a varianza

Estimacin puntuai y por intervalo 21

' 5e quiere estimar'1a proporcin p de artculos defectuosos en' unfotei de 2000 (pbblacin). Para ello, se toma una muestraraleatoria'de n'=:l 00 ar:ticulos y se encuentra que de stos,x= 5, son defectuosos. Por Io tanto, un estimador puntualdep esp= 5/100 = 0.050. Si se quiere estimarp por intervalo, enfon-ces, de acuerdo con lo explicado antes, un intervalo al 95% de

. , COnfianZa eSt dado 96'1 , ,.:,..-'1,:,:1r"1..'1.,.',.:: r,:':,,-r ',.'i ltr.r ' ''','i'..,-','-;r.,]Il,:'.1,:'l-"*:-.'" "":,: H,:l::r '::':: irii:.:::i:r':-,:rr:'i'11::'.1':rr: f itr:i: i.'::..,,r'::r,.... ::iri.:ri'.,,,.,.,1.r1:l',,t,1,: ,,;.1.:; ':.-:,1-.',.r,,,,:..,i,,.,; l,!

- :.

i;:.j,ll.i,...,,:: . ,.,i,. 1 .r-::rl l: l'',,, ,,,.:,.,1..,,,. .,.:,iilir . .

o osorr e6"/@=o.o5oro.o43Y 100de aqui que, con una confianza de 95ok, p est entre 0.007 y0.093; en trminos porcentuales, entre 0.7 y 9.3%. En el clculoanterior;:al,valoi de,0;043.se le conoce como eror de estima-in, porqr. hasta en ese valor puede diferir pde p.

Tamao de muestraSi se quiere estimar el tamano de la muestra n, que es necesario para estimar p con un error mdmo de E,entonces dado que E = Zo,r"tit(I: pYn, si despejamos de aqu a n obtenemos que:

, =Z'"''P|-)- P)t:

donde p es una estimacin dei vaior de p. Por ejemplo, si en el problema anrerior se quisiera un errormximo de E = 0.03, con una confianza deg50/o, enroncFs se requiere QQe n = (I.96)'] (0.05xI - 0.05)/(0.03)'z

= 203. Cuando no se sabe nada de p, enlafrmula antenor se-supo,re p= 0 5

Resumen de frmulas para intervalos de ccnfianzaEn ia tabla 2.1 se muestran las frmulas para calcular los intervalos de confianza ms usuales. Ademsde 1os ntervalos para un parmetro ya presentados, en ia tabla se incluyen las frmulas correspondien-

I Tabla 2.1 Resumen de frmulas para intervalos de confianza

_sX + to,,

-|:.in

(n -

1)52)

X,l-atz. n-t

P'

CAPTULO 2 Elementos de inferencia estadstica: experimentos con uno y dos tratamentos

les para intervalos de confranza que involucran a dos parmetros, como son: diferencias de medias,diferencias de proporciones y cocientes de varianzas. Estos intervalos proveen informacin sobre laigualdad estadstica de los parmetros correspondientes a las dos poblaciones de inters. Note que losclculos involucran a ios estimadores puntuales obtenidos con cada muestra. En la tabla, la notacinz1_62, ts.2, X,l_an, n_t y Fvot,n2_1, n1_l se refiere a puntos crticos de Ia correspondiente distribucin.Estos valores se determinan fcilmente con el uso de un software estadstico o de las tablas dadas enei apndlce.

Conceptos bsicos de prueba de hiptesisUn estudio experimental o una investigacin por 1o general tiene corno ltimo objetivo responderen forma segura a ciertas preguntas y/o tomar declsiones. En este contexto, el experlmentador tieneciertas creencias o hiptesis que desea comprobar. Por ejemplo:

. Los tres proveedores de1 mateilal x tienen ei mismo nivel de calidad.

. Los dos tratamientos o procedimientos dan en promedio los mismos resultados.

Una hiptesis de investigacin es una proposicin o declaracin realizada pol el investigador cuan-do ste especula acerca de1 resultado final de una investigacin o experimento. Por 1o que la idea deia investigacln es generar evidencia en favor de su hlptesis, aunque puede darse el caso de que iaevidencia lleve a rechazar ia afirmacin original. Usuaimente 1a hiptesis es generada a partir de crertoselementos observados y de un proceso de razonamiento rnductivo. Es deseabie que 1a hiptesis searealista y comprobable, para as facilitar el diseo de 1a investigacin.

En este contexto, cuando en la investigacin se recolectan datos, es posible formular hiptesis untanto ms operalivas sobre 1as caractersticas estadsticas de tales datos. De ta1 forma que al verificar es-tas hiptesis estadsticas se allone evrdencia a. favor o en contra de ia hiptesis de investigacin, De estalnanera ias hiptesis estadsticas son una esplcie de transformacin o despliegue de la afirmacin de 1ainvestigacin.

A conttnuacin se describen los conceptos bsicos involucrados en 1a verificacin de una hiptesisestadsiica, es ciecir, 1os pasos fundamentales de cualqurer procedimiento de prueba de este tipo dehiptesis, como son: planteamiento de la hlptesis, estadstico de prueba y criterio de rechazo.

W' H'p'tesis estadsticaEs una afirmacin sobre los valores de losparmetros de una poblacin o proceso,que puede probarse a partir de la informa-cin contenida en una muestra.

Planteamiento de una hiptesis estadsticaUnahiptesis estadistica es una afirmacin sobre los valores de los parmetros de unapoblacin o proceso, que es susceptible de probarse a parttr de la informacin con-tenida en una muestra representativa que es obtenida de la poblacin. Por ejemplo,la afirmacin "este proceso produce menos de Bolo de defectuosos" se puede plantearestadsticamente, en trminos de la proporcin p desconocida de artculos defectuososque genera el proceso, como se hace a continuacin.

Hs : p = 0.08 (ia proporcin de defectuosos es 0.08)(2.4)

H'. p < 0.08 (la proporcin es menor que 0.08)

A 1a expresin He :p = 0.08 se ie conoce comohiptesisnulay aH: p < 0.08 se le llama hiptesisalLenntiva, El nombre de hiptesis nula se deriva de1 hecho de que comnmente se plantea como unargualdad, 1o cual faciiita el tener una distribucin de probabilidad de referencia especfica. E1 experi-mentador est interesado en concluir que una de 1as dos hiptesis se cumple. Por ejemplo, en el casode las proposiciones se quiere verificar que se cumple la hlptesis aiternativa.

Supongamos ahora que la af,rmacin a probar es "este proceso produce 89 de defectuosos". Ob-s.r-;e qlle la afirmacin sea1a oue su falsedacl se da tanto si se obsen'an rrenos de B0 de defectuososct-:tno si se obsen'an ms cie 895 de deiectuosos En este sentido, e1 plar-iteanrentc estadstico debe ser:

Planteamiento de una hiptesis estadstica 23

Ho'. P = 0'08 (la proporcin de defectuosos es 0.08) (2.5)H'. p * 0.08 (la proporcin es diferente a 0.08)

Ahora, 1o que se desea concluir es la hiptesis nula. Ntese Ia diferencia entre las hiptesis alter-nativas en las expresiones (2.4) y (2.5). En (2.4), H se conoce como hiptesis alternativa de un solo lado(unilateral), ya que la nica manera de rechazar Ho es teniendo valores de la proporcin muestral psignificativamente ms pequeos que 0.08. Asimismo, en (2.5), Ho se }lama hiptesis alternativa de doslodos(bilateral), ya que la evidencia en contra de He se obtiene con vaiores pequeos o grandes de 1aproporcin muestral p. As, la eleccin de la hiptesis aI[ernativa en cuan[o a si debe ser unllareral obilateral depende de la aErmacrn que se quiera probar.

Otro aspecto importante es la seleccin del valor del parmetro que especrfica la hiptesis nula,esto es, por qu 0.08 en las hiptesis de 1as expresiones (2.4) y (2.5)? Este valor se elige de maneraque separe dos situaciones que llevan a tomar diferentes acciones. Por e1emplo, en la hiptesis dada en(2.4) se eligi 0.08 porque sta es ia proporcin cie defectuosos reportada el mes anterior, y despus deimpiementar un programa de mejora se quiere ver si dio el resultado esperado. En caso de no rechazarHp se concluira que e1 programa no fluncion y que se deben tomar medidas adicionales para bajar laproporcin de defectuosos.

Estadstico de pruebaProbar una hiptesis consiste en investigar si 1o afirmado por la hiptesls nula es verdad o no. Laestrategia de prueba parte de1 supuesio de que 116 es i.erdadera, y si lps resultados de ia investiga-cin contradicen en forma suficiente dicho supuesto, entonces se rechaza Hs y se acepta la hiptesisalternativa. En caso de que los resultados de la investigacin no demuestren claramente 1a falsedadde H0, sta no se rechaza. Es decir, lahiptesis nula es verdadera mientras no se demuestre lo contrario.

Una vez pianteada Ia hiptesis, se toma una muestra aleatoria de la poblacinde estudio o se obtienen datos mediante un experimento planeado de acuerdo con : i:!ila hipresis. El estadstico de prueba es un nmert calculado a parrir de los datos y la h) fstadstico de pruebahiptesisnu1a,cuyamagnitudpermitediscernirsiserechazaono1ahipteSiSnu1aH6.Al conjunto de posibles valores del estadsrico de prueba que llevan r;;;;; H;r; I; ::T;:J::.1:1'JJff:ij:r;:iil:lIlama regin o nteryalo de rechazo para la prueba, y a 1os posibles valores donde no se tud permite discernir si se rechaza o no larechaza He se les llama regin o intervalo de aceptacin Por ejemplo, como ms adeiante hiptesis nula.se va a detallar para ias hiptesis planteadas en(2.4) y (2.5), el estadstico de pruebaest dado por:

7^=p -

0.08 (2.6).,[obs(t-o ostn,

donde p es la proporcin de defectuosos que se encuentre en una mLrestra de n artculos inspecciona-dos. Si H6 es verdad, el estadstico 26 sigue aproximadamente ia distribucin normal estndar.

Por ejemplo, supongamos que se toma una muestra de n = 150 piezas y de el1as x = 20 son defec-tuosas, entonces el valor de la proporcin es p = x/n = 0.13. Vamos a ver si esto implica una dilerenciasufrciente para rechazar que p = 0.08. Por 1o pronto, el valor eskdstico es zo = 2.41. '' negion de aceptacinCfitgfiO de fgChaZO Sonlosposiblesvaloresdelestadsticode

prueba donde no se rechaza la hiptesisEl es:ad.stico de prueba, construido bajo el supuesto de que H6 es verdad, es una va- nula.:::.':.

"-arcrla con distribucin conocida. Si efectivamente Hs es verdad, el r'alor del r:...-.s',:::s::: ce prueba debera caer dentro clel rango de valores ms probabies de su S negin de rechazo-'--- - " i* '^ ..r"r^ 'l cuai se conoce como region de aceptacin Si cae en una de las r-

.r -^^i,,^+^ r^ ^^.;hr^.,,.r^,...-:---_ --._-. ;:t,trau4, c

-:..,. :: .- :.si:ibucin asociada, fuera del rr',go d. valores -as probubL;i;i; ;il; fflrtTi:i1h:ltfJ:ilJ:ff:.::::

.i, '.-::-.:: :s eridencia en contra de que este valor pertenece a dicha distribucin lahiptesisnula.

24 CAPTULO 2 Elementos de inferencia estadstica: experimentos con uno y dos tratamientos

(r,ase frgura 2.3) De aqu se deduce que debe estar mal el supuesto ba.1o el cual se construy, es declr,H debe ser fa1sa.

Prebas de una y dos colas (unilaterales y bilaterales)La ubicacin de 1a regin o intervalo de rechazo depende de si la hiptesls es bilateral o unilateral-Como se vio en el caso de 1as proporciones, una hiptesis es brlateral cuando la hiptesis alternatil''a(Ho) es dei tipo "no es igual'; (*); y es unilateral cuando 1a alternallva es del tlpo "mayor que" (>) o"menor qr."i.). Cuand esbilateral, como en 1a exprestn (2.5), ia regln de rechazo est repartidade manera equitativa enrre ambas colas de la distribucin del estadstico de prueba. Pero si 1a hiptesises unilareral, como en 1a expresin (7.4),la evidencia en contra de 1a hlptesls nula se ubica en unsoio iado de Ia distribucin, esto es, 1a regin de rechazo slo se concentra en una de las colas. En 1aexpresin (2.4) \a regln de rechazo se concentra en el lado izquterdo de Ia dlstribucin del estadsticodado por (2.6) (vase figura 2.3).

H :p = g.ggH:p Z* En 1a figura 2.3 esto equivale a queze caiga en el rango de las reas sornbreadas, de acuerdo con la hiptesis de que se trate.

Si queremos probar la hiptesis bilateral con una confianza de 95o/o , entonces z.n = | .96, adems,coffio {6 = 2.41, entonces Zs > 1.96; por 1o tanto, se rechaza Ho . P = 0.08. Esto ya se intua, puesto quela proporcin muestral haba sido p = 0. i3.

sienlugardetenerx=20defectos,setuvieranx=i5,entoncesp=010'Alsustituirestoen(26)coo lr = 150, se obtiene que 0= 0.90, que no es mayor que ZdD = I.96. De aqu que no se rechaceH.p=0.0B.Esdecir,enestecasop=0.i0noesevidenclasuficientecontraH0:P=0.04.

Es cuando se rechaza una He que es ver-dadera.

Erron tipo llEs cuando se acepta una Ho que es falsa.

[[ riesEo de r.lna decisin equivocada: errores tipo I y tipo llProbar una hipresis estadstica es una decisin probabilstica, por io que existe e1 rles-go de comete r vn errlr tipo I o fl errlr tipo Il. El primero ocurre si se rechaza He cuandosta es vercladera, y el error tipo 1l es cuando se acepta lls y sta es falsa. En toda pruebade hipresis cada tipo de error tiene una probabilldad de ocurri.r. Con a y p se denotan1as probabilidades de 1os errores tipo I y 11, respectivamente. Asi,

a = P{errcr ripo ii = probabiliriad de rechazar FIo siendo verdaderaB = P{erroi ripo 11} = probabilidad de aceptar Ho srenclo faisa

frl'l&t&i'

'ilr$,:!i,t;.,:

!,th,Iiii:,

Prueba para la media con varianza desconocida 25

,;i#r"'Iffi1#";"::!::z::::*J,:"1:;iy2l'11i!;;;:n;:,?;:,,:::\^ &p_ eot.ncia de ,a pruebaprobabilidad de la regin o inlervalo de rechazo; su valor se especifica por parte de1 Es la probabilidad de rechazar Ho cuandoinvestigador desde que planea el estudio. Por 1o general se utilizan los valores a = 0.05 es falsa.o 0.01, dependiendo dei riesgo que se quiera admitir en la conclusin. Mientras ms pequeo es e1valor de c, se requiere ms edencia en ios daros para rechazar Ho. Por ejemplo, si ia accin a tomardespus de rechazar H implica una rnversin fuerte

.de recursos, se recomienda utilizar cr = O.0l paratener mayor confianza de que la decisin ser 1a adecuada. Si Ia declstn no rmplica una inversin fuer-te, es suficiente trabajar Corr o = 0.05, que es el valor ms utilizado para este riesgo. Esto es, un valorms pequeo que a no necesariamente ser mejor, ya que si se admite poco riesgo (a < 0.0i) se esttruncando 1a posibilldad de camblos que seran positivos parala empresa. Utilizar ct = O.O5 signicaque por cada 100 veces independientes que se aplica el procedimiento y se rechazaH6, se espera qr-re,en un promedio de 95 veces, tal decisin sea la correcta.

-

Por 1o general, en las pruebas de hiptesis se especifica e1 valor de a y se disea 1a prueba de talforma que el valor de B sea pequeo. Esto es, la probabilidad. del error tipo I se conrrola ir..tr-.r.r.,mientras que 1a probablidad de1 error tipo I1 se controla de manera indirecta con el ramao de la mues-tra, ya que a_ms daos, B ser menor. En otras palabras, con una muestra grande es ma)or la potenciade la prueba.t

En 1a prctica suele ser ms delicado cometer e1 error ripo I que e1 error tipo lI, debldo a que en 1amayora de las hlptesis ei rechazar H6 impllca objetar algo que se acepta de manera convencronal. Norechazar Hs lmplica, en muchos casos, seguir como hasta ahora. Por 1o anterior, es comn que se con-trole slo ei error tipo 1, mlentras que ei error tipo II se cleja libre como si su magnitud no importara.

Lo cierto es que el error tipo II tambin importa y 1a magnitud de su probabilidad debe ser peqlre-a (se recomienda P = 0.10). El problema es que confrolar a B rtene varlos problemas; por ejemplo,muchas veces se requieren grandes lamaos muestrales o se deben realizar muchas repetlciones en e1experimenlo. Por e]1o, en este libro no enfalizamos e1 contro] de1 error tipo II, pero damos ias recomen-daciones del nmero de repeticiones que deben obtenerse en cada experimento para tener un valorpeq ueno de B

Prueba para la media con varanzadesconocidaCuando se estudia el comportamiento de un proceso o un fenmeno, a travs de una variable alearo,rta continua, suele interesar su media y varianza (o desviacin estndar). En particuiar, al estudiar iamedia7.r, es de inters preguntarse si sta es igual, mayor o menor que cierto vaior,rzo, donde,a6 es unnmero conocido. Por ejemplo, puede ser de inters investigar si el rendimiento promedio del procesodurante esta semana es igual, mayor o menor que el de Ia semana anerior,ro. Cualquiera de estas trespreguntas se responden planteando una hiptesis estadstica adecuada.

Las hiptesis se pueden probar suponiendo La vartanza poblacional o2 conocjda o desconocicla.Sin embargo, como en 1a mayora de 1os problemas es irreal suponer de antemano que se conoce lavarianza, nos limitamos a describir e1 caso cuando o'' no se conoce.

Sea X una variable aleatoria con distrlbucin normal con medr.a p. y varianzao2, ambas descono-cidas. Se quiere probar Ia hiptesis de que Ia media es igual a cierro valor po. Es decir, la hiptesrs aprobar es

Ha: lt = ilo

H,t,' H i lta(2.7)

-:i :l;l:-: :.:::r3r que, en general, es deseable que una prueba estadstica sea potente. Sin embargo, cuando el tanar:: -.I

-::.:--- :: -:::a:1]lia en exceso (a tamaos en cientos) se llega a tener una potencra excesiva, que lleva al extremo de reci.:::.:-

- -:::: :. ..::l:dera desde el punto de vista prctico.

26 CAPTULO 2 Elementos de inferencia estadstica: experimentos c0n un0 y dos tratamientos

Para probar esta hiptesis se toma una muestra aleatoria de tamao n de los posibles valores de 1avariabie X y se calcula ei estadstico de prueba:

X-u"-u SlJn

(2.8)

donde S es Ia desvlaci.n estnd3r de 1os datos. Bajo e1 supuesto de que He es verdadera, este estadsticose distribuye T de Student con i1

- I grados de libertad. Se rechaza H6 si ei valor absoluto de1 esta-

dstico de prueba es mayor que e1 valor crtico de 1a distribucin, es decir, serechaza Ho si lt6 I > to,r.Recordemos qe ta/2 es el punto crtico de Ia distribucin T de Student, ta1 que P(T > t"/2) = al2; o sea,1as reas bajo 1a curva a 1a derecha del punto to,2y ala izquierda de

-to2 son iguales a a/2 (vase frgura2.4). Estos valores crticos se obtienen de la tabla de la dlstribucin T de Student dada en e1 apndice opor medio de un programa de cmputo, por ejemplo, con Excel se obtiene con 1a funcin DISTR.T.iNV(a,n-L).

Una breve justlficacin del criterio de rechazo parala prueba anterior es Ia slguiente: por teoraesadstlca se sabe que bajo el supuesto de que Ho'. lt =ps es verdadera, el estadstico de prueba te sedistribuye T de Student con 11

- I grados de libertad y, en consecuencia, hay una probabilidad de 100(l

- a)ok de que el valor de to caiga entTe

-talzy to2.De aqu que si la muestra produce un valor de t6luera de estos lmltes, entonces ta1 valor de to es evidencia de que H6 es falsa. Por eI contrario, si ts caeente

-ta/2 f to2, ?s evidencia a favor de la veracidad de H6 ya que no existe ninguna contradiccin.Obsrvese que la regln de rechazo dada por 1a unin de intervalos (-*,

-ton) \) (+to,r, co) est deter-mlnada por 1a probabilidad a de1 error trpo 1 (vase figura 2.,1).

-Lal2 0 tonReqin de Reqin de Regin de

rechazo I aceptacin I rechazo

Figura 2.4 Regiones de rechazo y deaceptacin para hiptesis(2.7).

En aquellas situaciones en las que se desea recb,az^r Ha'. lL =p0 s1o cuando lt > /ta,1a hiptesisalternativa es unilateral.

Ho'. lt = lto

Ht'il>lto(z.e)

En este caso se rechaza lle sr f6 > to.Por otra parte, si lo que interesa esrechazar l7o l. = ltos1o cuandoLL < lto, entonces ahora }a hiptesis unilateral se plantea de 1a forma:

4=lro

lL < {o

a!.1

llrf,lllli:'!t:.

{'..lr'

Ho

y se rechaza H, si l,1 < -to.

HA

(2.r0)

Pi'ueba para la varianza 27

Peso'de costalesUn fabricante de'dlces compra costales de azcar a cierto inge-nio Segn Jos vendedores, los costales tienenrun peso medio de50.'l kg,'con una varianza de (o2 ="0.5). Eicomprador sospechaque el peso medio es menor. Para confirmar su sospecha decidecontrastar las hiptesis;

guientes cinco pedidos. Pesa los 15 bultos y obtiene que X =49.4 y Sz = 1 .2. De esta manera, ei estadstico de prueba calcu-lado de acuerdo con la expresrn (2.8) est dado por:

. J-u^\ Jts@g.+-so.t , ,'7(0-__i.--;._---_-.:--_L,a5 JizDe las tablas de la distribucin f de Student con n - 1 = 14grados de libertad, pdra (r. = 0.05, se lee el valor crtico 166;,.0 =1.76, Como ta=-2.47 of,

)donde oi es un vaior conocido (0.5 en el ejemplo). Para probar esta hiptesis y bajo el supuesto dedistribucin normal, se utiliza ei siguiente estadstico de prueba:

(n -

1)52,Lo - Oi

donde n es ei tamao de la muestra. Si Hs es verclad.era,l f sigue una distribucln 3i-cuadrada con n - Igrados de llbertad Por e1lo, se rechaza Hosiyi>j, dondei es un punto crtico que se obttene de lata'ola de distribucin ji-cuadrada. Si aplicamos lo anterior al caso de la varianza del peso de 1os costales,r'3tanemos que:

r (n-I)S2 14x12z= o = oJ =i) o:. :',:.-,.':1o e1 supuesto de normaiidad, sigue una distribucin ji-cuadrada con 14 grados de libertad-,.-'.:.'-- H s re;dadera. En 1a tabla de distrlbucinjl-cuadrada se lee queli, cona = 0.05 y l4 grados-..-::-..i.:srsual a23.68.Como1j =T.6>I B=y.'"t"rechazaH.yseaceptalahiptesisunlla-'.:'.'

.-. '.:;.s: fiqura 2.5). Es decir, 1a varianza reportada por el vendedor para e1 peso de 1os costales

-i , -.-, '.. ::. :elidad. la variabilidad del peso de los costales es mayor.

rIi CAPTULO 2 Elementos de inferencia estadstica: experimentos con uno y dos tratamientos

Tanro el estadstico to de la hiptesis sobr la medla, como el estadisticollde la hiptesis sobre 1avarianza,cayeron en 1as respectivas regiones de rechazo, lo cual se representa en la figura 2.5.

, Regin der rechazo

Flgura 2"5 Resultados de las hiptesis para la media y para la varianza del peso decostalescon0=0.05.

.

Si ia hiptesis alternativa paralavartanza es bilateral, entonces se rechaza Hs siyf;> Xlrn o ,Xt.X-otz. Estos valores tambin se pueden obtener con Excel, mediante 1a funcin PRIJEBA.CHI.INV (a12,n -

l) y PRUEBA.CHLINV (1 -

al2, n -

l).

Prueba para una proporcnComo se seal a1 inlcio de ia presente seccin [vanse expresiones (2 4) y (2.5)], cuando se hace unanlisis o investigacin donde se involucran variables cualitativas o de atributos, es frecuente que sequiera verificar si el valor de una proporcin poblacional p es lgua1 a un cierto valor po En estos casosresulia de inters probar la siguiente hiptesis:

flo"P=Po

H'. p * po

Si de Ia poblacln o proceso de referencia se extrae una muestra de n elementos, y x de e11os tienen iacaractersiica de inters, entonces 1a proporcin muestral est dada por p =1. Si ,. supone que Xtiene una distribucin binomlai y n tiene un valor relativamente grande, .r,lor"r.., el estadstico deprueba se obtlene apoyndose en 1a aproximacin de la distribucin binomial por la normal. En espe-cco el estadstico de prueba de referencia est dado por:

Se rechaza H6 con una significancia a, sl e1 valor absoluto de z6 es mayor que el valor crtico de ladistribucin normal estndar, z62', ?s decir se rechaza 1a hiptesis nula si lzol , zo,r. En caso de que1a hiptesis alternatlva sea unilateral, por ejemplo H : p > po, entonces se rechaza Hs si z0 <

- {,.

Para tener una buena aproximacirl de la distribucin normal a la btnomial, y tener as me.;oresbases pai'a iomar una decisrn en relacin con Ho, es deseable que n sea relativamente grande y que 1a

Regin derecnazo I

ir{l4il

npo(l- p6)

Tres criterios de rechazo o aceptacin equivalentes 29

$; proporcion poblacional supuesta p0 no est muy prxima a cero o a uno. Una forma operatlva de veri-1;, hcarestoesquesipp5.0; ysip6>0.5,entoncesasegurarse-,

de que n(I -

po) > :.0.l,ii

llh.r

..tirsuponga que en cierta ciudad se quiere saber si los lvenes de12 a 19 aos tjenen ms o menos problemas de exceso de pesocorporal que en el conjunto del pas. De los oatos nacionales se

.

sabe que 35% de los jvenes de esas edades tiene sob.epeso uobesidad. Sea p Ia proporcin de jovenes de 12 a 19 aos que

tjene exceso de peso en la ciudad de referencia, entonces lo queinteresa es probar la siguiente hiptesis:

H6:p=6.35Ha: p * O.35

, Suponga que mediante un mtodo adecuado de muestreo se selecciona a 300 jvenes de las edadesde inters, se Ies mide su talla y peso, y con base en esto se determina que 90 de e11os tienen exceso depeso. De aqu que e1 estadstico de prueba sea igual a

90 -

300x0.357=!0J3ooxo 35G - o-:,

-

1011-

_I,OI

Dado que con una confianza del 95a/o el r,alor crrico zo or,,u =1 96, entones no se rechaza H.,, puestoque no se cumple que lz0 l, zon As que a pesar de que en la muesrra se observa que el 30olo de iosjvenes tiene exceso de peso, esto no es Llna evidencia suficiente para concluir que en tal ciudad lasituacin en cuanro a1 peso es dilerente a 1a dei conjunro clei pas.

Tres criterios de rechazo o aceptacin equivalentesA1 menos en las hiptesis ms usuales, existen tres criterios equivalentes para cleciclir cundo rechazar1a hiptesis nr-tla y, en consecuencia, aceptar ia hipresis alternativa. La equivalencla es en e1 sentido cleque los tres 1levan invariablemente a la misma decisin en rminos de reclLazar o no a i{0, Sin embargo.algunos de estos mtodos proporcionan informacin adiclonai sobre la declsin que se esr tomando.por Io que en algunas situaciones puede resultar ventajoso usar un crlterio y no otro.

fistadsticn de prueba frente fi v]lr crtircEsle es el criterio que utilizamos en e1 ejemplo previo y es e1 que tradicionalmente se empleaba an-tes de las facilldades que ahora provee la computacin; por ello, es el que se exphca en muchos li-bros de texto. Este mtodo consiste en rechazar Hs si el estadstico de prtteba cae en La regin d,e re-chazo que esta delimitada por el valor crtico. Debe lenerse cuidado de comparar los

ijlHil::::ili.?J,'ff;*T:*:i'.1'.,:,til"':.;:i11r"i:l:il:j[:1*'r* @- sisnificanciat\"0 obstante, esle mtodo tradicional es e1 que da menos informacin adicional acerca predefinidaie ia clecisin romada

::,,.ffTlffiIj,::,T:#L1ffi':Significancia ohserv*da frente a signi{lefinfie errortipor sedenotacona'predefinida c, @ sisnificancia observada

'.'.-'..- ::,'.l.rf,r.tda, que se denota con s, es e1 riesgo mximo que e1 experimen-*.::

-..:-c a correr por rechazar Ho indebidamente (error tipo i). Mientras queEs el rea bajo la oistribuc:cr := -:'E':--cia ms all del valor cei es::.:::: ::prueba. Se conoce comc ,ic:-:.'.-,.; -:'-,,,-. ;la o calculada, tambin conocida como p-value o valor-p, es el rea

YCAPTULO 2 Elementos de inferencia estadstica: experimentos con uno y dos tratamientos

bajo la distribucrn de referencia ms al1 del valor del estadstico de prueba. La expresin "ms alldel estadstico de prueba" slgnifica, por ejemplo en 1a prueba T bilateral, el

^rea bajo Ia curva fuera de1

rnten alo [-to, o] , es decir:

valot-P = P(T < -ro) + P(T > + f6)

donde T es una variable que'tiene una distribucin T de Student con n- I grados de libertad. Si Iaprueba es unilateral de cola derecha (izquierda), 1a significancia observada es el rea bajo la curva dela distribucin a ia derecha (izquierda) de ts. De 10 an[erlor se desprende que Ho se rechaza si la signi-fcancia observada es menlr quela signifcancia dada, o sea, si elvalor-p < a.

Este criterio es mejor que el anterior porque 1a significancia obseruada se puede ver como la pro-babllidad o evidencia a favor de He; por 1o tanto, representa una medida de la contundencia con la quese rechaza o no Ia hlptesis nula. Por ejemplo, si ia significancia observadaovalor-p es igual a 0.0001,enlonces slo ha;, una probabilidad a favor de H6 de 0.0001, por io que serechazara la hiptesis nulacon un riesgo tipo I de 0.0001, que es menor del que se est dispuesto a admitlr, tpicamente a = 0.05.En otras palabras, un valor-p = 0.0001 seala que el valor observado del esradstico de prueba prc-ticamente no tena ninguna posibilidad de ocurrir si Ia hiptesis nula fuera verdadera, io que lieva aconcluir de manera contundente que la hiptesis nula debe rechazarse.

En la figura 2.6 se muestra, utilizando una hiptesis biiateral, que cuando ocurre e1 evento lt6 l( [o72 fleceS?riamente sucede que valor-p > a, y viceversa. En el caso representado en Ia figura no serechaza I{6 con cualqulera de ios dos criterios. La comparacin de to frente a ol2 consiste en contrastarsimples nmeros, mientras que comparar ias significancias a frente a valor-p es conirastar probabilida-des, de aqu que esto ltimo sea ms informarivo.

(o La/z

, Reoin deJ J' aceptacin I

Figura 2.6 Comparacin de significancias, valor-p > c.

Interva!o de confianzaEn este modo se rechaza He si e1 valor dei parmetro declarado en 1a hiptesis nula se encuentra fuerade1 inten'alo de confianza para ei mismo parmetro. Cuando 1a hiptesis planteada es de tipo bilateral,se utiliza directamente el intervalo a1 100 (1

- a)o/o de confianza. Si 1a hiptesis es unilateral, se requiere

e1 intervalo a1 100 (1 -2a)o/o para que el rea bajo la curv'a, fuera de cada extremo del intervalo, sea

lgual a a. Por ejemplo, en el caso de la hiptesis unilateral sobre la media del peso de costales dadapor la expresin (2.11), se debe construir el lntervalo al 100(1

-

(2 x 0.05))o/o =90oA deconfranzaparaaplicar este criterio con una significancia a = 0.05. E1 intervalo al 90o/o de confianza paralamediapest dado por:

X t ro o, * = +s.+o r ro ll9 I = 4e 40 ! 0.4e7 = l4l.s, 4s sl'- r/n [3.873 /As, con 'una confianza de 90o/o, # est entre 48.9 y 49.9. En tanto, el valor 50.1 deciarado en Ia

hiptesis nula no pertenece a1 intervalo, y adems ei rtervaio est ubicacio a la izquierda riel 50 1;

t'?:, , ',.l1:,.i , ,

ilili.:tirr,

iiri, ,lr,.lljr,' I i

Regin de _

rechazo_

Regin derechazo

Comparacin de dos tratamientos

por10 tanto, se rechaza 1a hiptesis Ho'. lt = 50.1 y la evidencia seala que contienen menos azcarde Ia que se afirma. Ntese que para rechazar una hiptesis unilaieral tambin es necesario verifi.carla ubicacin del intervalo en relacin con el r,alor declarado en la hiptesis nula; el intervalo debeubicarse con respecto a este valor, como 10 indica Ia hiptesis alternatira. En e1ejemplo,1a hiptesisalternativa es H : U

rCAPTULO 2 Elementos de inferencia estadstica: experimentos con uno y dos tratamientos

Hotlt,=py

H'. Hr+ ltt(2.t2)

que se pueden reescribir como

Ho: Pr'&y = 0

Ht: il*-lty* 0(2.r3)

Para probar H6 se toman muestras aleatorias, como en el ejempio de las mquinas antes descritas, detamao n, 1a de1 proceso X, y de tamao n, la dei proceso Y; en general, es recomendable que fl" = fly =n, pero tambin puede trabajarse con fl,* ky si no pudieran tomarse iguales. Si Ia variable de cada tra-tamiento sigue una distribucin normai y son independientes entre s, y si se supone que las varianzasde los procesos son desconocidas pero iguales, entonces el estadstico de prueba adecuado para probar1a hiptesis de igualdad de medias est dado por:

x-T (2.t4)

e1 cuai sigue una distribucin T de Student con nr + n, -

2 grados de iibertad, donde 5] es un estimadordelavarianza comn, y se calcula como:

(n, -l)51 +(n, -1)51

r r -')rlt ,rv

con 5l y S] 1as r.arianzas muestraies de 1os datos de cada tratamiento.Se rechaza H6 si ltol , to,r, donde to,, es el punto a/2 de Ia cola derecha de ia distribucin Tde

Studenr con n.y + n, -

2 grados de libertad. Cuando 1a hiptesis alternativa es de la forma H : px> lty, s?rechaza Ho : fi, =,.), si to > to, y si es de la forma Ha : H, < lty,se rechaza si r0 < -ta. En forma equivalente,se rechaza Hq si e1 valor-p < G para la pareja de hiptesis de inters.

r"

:ll)l

i

illit:

'lt:il

.))p

Comparacin de dos'centrifugadoras

La calidad de la pintura ltex depende, entre otras cosas, deltamao de la partcula. Para medir esta caracteristica se utilizandos centrifugadoras, y se sospecha que stas reportan medicio-

nes distintas para la misma pntura. 5e decide hacer un estudioque permita com'parar [as medias y las varianzas repota.das por.los dos equipos; para lo cual, de un mismo lote de pintura,seto-maron l3,lecturas con cada centrifugadora Los resultados son.los siguientes:

+ 7145 144

xA = 4 684.00

4 601

3 962

4 6964 066

4 8964 561

sl= tz+

4 9054 626

4 8704 924

+ 987

732.00

429' I 4271 I +326 I 4530 I 418 | 47793764 i ttgt I ++oi I +tts i +700

x, = + +oa.oz, si = trz o2o.oo

4 752

Comparacin de dos tratamientos 33

Para comparar ias medias se plantea la hiptesis de lgualdad de medias con la alternativa bilateral,puesto que no hay ninguna conjetura de1 experimen[ador acerca de cul centrifugadora puede reportarvaiores mayores. Luego, e1 planteamiento es:

H6 '. "t* -- "ty

HA:lt,+ltv

la cual se desea probar con un nivel de signlficancia d.e 5ok(a = 0.05). Suponiendo igualdad de r,a-rianzas para e1 tamao de la particuia, el estadstico de prueba calcuiado con las lrmulas (2.14) estdado por:

4684.00-4408.92L0-

34+.06J(U L3)+(u t' =2.04

De la tabla de distribucin T de Student con 13 + 13 -

2 = 2+ grados de libertad, se obriene elpuntocrilicokoozr,z+)=2.064. Como Itol=2.04

ffi---

CAPTULO 2 Elementos de inferencia estadstica: experimentos con uno y dos tratamientos

que sigue aproximadamente una distribucin T de srudent, cuyos grados de iibertad v (nu) se calculanmediante la relacin:

sf,tn.)2 ,6?rlnr)z(2.16)

n, *l nr+1

comoantes, serechazaHssi ltel )ta/z,yosie1 vaior-p

Poblaciones pareadas (comparacin de dos medias con rnuestras dependientes)

la distribucin F se pueden obtener con Excel mediante 1a funcin DISTR.F.INV. (a/2, n*- I, n, -

t) yDISTR. F. INV (l

- c/2, n"

- l. n,

- I ).

Comparacin de proporcicnesUna situacin de frecuente inters es investigar la igualdad de las proporciones de dos poblaciones otratamientos, es decir, se requiere probar 1a siguiente hiptesis:

Pt=PzPt+Pt

donde p, y p2son lasproporciones de cada una de ias poblaciones o tratamien[os. Por ejemplo, paraevaluar dos frmacos contra cierta enfermedad se integran dos grupos lormados por dos muestras alea-torias de frt = tb = 100 personas cada una. A cada grupo se le suministra un lrmaco dlferente. Trans-currido el tiempo de prueba se observan \ = 65 y xz = 75 personas que se recuperaron con e1 frmacoen 1os grupos correspondientes. Para ver si estas diferencias son significativas a lavor del frmaco 2, senecesita probar la hiptesis de igualdad de proporciones. Para e11o, bajo el supuesro de disrribucinbinomial, el estadstico de prueba z6 est dado por:

p(r- p) 1l-+-nr n2

donde p = #. Se rechaza He si lz6 I , zo,r. Cuando la hiptesis akernariva es unilaterai, enroncesnt+n2t0se compara con z. En el caso de 1os frmacos, como p = 6S + 75)/(100 + I00) = 0.70, enronces:

100 i00=

-1.543II_+_100 100

35

HoHA

75

Como lzsl = L.543 no es mayor que 200/2 = 1.96, en[onces no se rechaza Hs, por 1o que no hayevidencia suficiente para afirmar que un frmaco es mejor que el otro.

Poblaciones pareadas (comparacin dedos medias con muestras dependientes)En las secciones anteriores se prob la hiptesis de igualdad de las medias de dos po-biaciones o tratamlentos, suponiendo que las dos muestras son independientes. Estasuposicln se justifica por la manera en Ia que se obtienen los datos; es decir, la muestraque se obtiene del tratamiento I es independiente de la muestra para e1 tratamiento 2,y los datos se obtienen en orden completamenLe al azar. Con esto se justifica la suposl-cin de que no existe relacin directa enlre las dos muestras.

Recordemos que orden completamente al azar significa que 1as unidades se asignande manera aleatoria a ios tratamientos, mientras que 1as pruebas o corldas experimen-Lales se hacen en orden estrictamente aleatorio, 1o cual se hace con la idea de evitarcualquier sesgo que pudiera favorecer a uno de 1os tratamientos.

Sin embargo, en muchas situaciones experimentales no conviene o no es posibletomar muestras independrentes, sino que la meor estrategia es tomar muestras parea-das. Esto signica que los datos de ambos tratamienlos se obtienen por paresr de formaque cada par son datos que tienen algo en comn; por ejemplo, que a la misma unidad

#"r-ry Orden completamenteal zar

Es aquel en el que las unidades se asignande manera aleatoria a los tratamientos, ylas pruebas experimentales se hacen enorden aleatorio.

ry Muestras pareadasSon aquellas en las que los datos de am-bos tratamientos se obtienen por pares,de manera que stos tienen algo en co-mn y no son independientes.

i'il,ill

i36 CAPITULO 2 Elementos de inferencia estadstica: expermentos con un0 y dos tratamientos

experimentai o espcimen de prueba se le apliquen los tratamientos a comparar. Un par de ejemplosson:

. A'ios mismos paclentes se 1es aplican dos medicamentos (tratamientos) para e1 dolor en distrntasocasiones; los tralamientos a comparar son los dos medicamentos.

. A las mismas piezas se ies hace una prueba de dureza con distintos insirumentos; aqu se quierencomparar ios instrumentos.

En e1 primer caso, e1 apareamlento consiste en que ei grupo de pacientes que recibe e1 medica-menio A es e1 mismo grupo que recibe e1 medicamento B, por 1o que Las mediclones del efecto de 1osmedicamentos sobre el mismo paciente estn relacionadas, y en este sentido no son independientes.Ai ser el mismo grupo el que recibe ambos tratamientos se logra una comparacin ms justa y precisa,pero, adems, al observar las diferencias entre los tratamlentos en un mismo paciente se eliminan otrasfuentes de variacin y se logra hacer una comparacrn sin sesgos. En el caso de las piezas, si una esgrande se espera que ambos insuumentos tiendan a reportar una medlcin a1ta, por 1o que se prevque ha1, una luerte correiacin entre las mediciones reportadas con los dos lnstrumentos. Adems, a1medir 1as piezas con los dos instrumentos, si hay drferencias en 1as mediciones sobre 1a misma pieza,entonces esas dilerencias se deben principalmente a1 sistema de medicin.

5e desea ver si dos bsculas estn sincronizadas para elio seLO:na Lln muestra aleatoria de 10 especmenes y cada uno se

pesa enl amba.bsculas, cuidad Que -el'oideneii-t QUe,sQ Utijlizan searelegido al azar,'El trabajo.lo rea)iza eJ i*o operadory los datos obtenidos se muestran en la tabla 2.3.

she 3. Mediciones reportadas por: dos bsculas

1+.36

8.33

10.50

23.42

9

i0Medias

13.47

6.47

12.40

19.38

12.87

-0.04

-0.05

-0.02

-0.02

-0.01

-0.02

-0.05

001

:',rl:i

tl.27

14.41

8.35

t0.52

23.41

9.17

t3.52

6.46

t2.45

t9.35

12.89

Poblaciones pareadas (comparacin de dos medias con muestras dependientes)

Es claro que tenemos el caso de observaciones pareadas, ya que el'peso que registra una bscu1apara un espcimen no es independiente de1 que registra la otra bscula para el mismo espcimen, en elsenlldo de que si uno es muy pesado se espera que ambas bsculas 1o detecten.

La comparacin de las bsculas se puede evaluar probando la siguiente hiptesis:

Ho'. #t = ltz

"

Ho: Ft t /12

donde pr, es e1 peso promedio poblacional que mide la bscu1a I y pL2 es el peso promedio poblacionaique mide la bscula 2. Entonces, estas hiptesis, en el caso pareado, se plantean de manera equrvalenrecomo:

Ha P=0

Ho. po* 0(2.20)

donde p es la media de Ia poblacin de diferencias. De esta manera, e1 probiema de comparar lasmedias de dos poblaclones se convierte en e1 problema de comparar la media de r-ua poblacin conuna constante. En este sentido, el estadstico de prueba parala hiptesis (2.20) es el caso particular de1estadstico (2.8) para una media, cuandopre = O (r,ase seccin "Prueba para la media" de esre captulo).Esto es, con Ia muestra de n dlferencias (dr, dr, . . ., d,) se obtiene el estadstico dado por:

t0- (2.21)

donde I = -0.02 es el promedio muestral de las dlferencias, Sp = O.O2B7 es ia desviacin estndar

muestral de tales diierencias y n es el tamao de 1a muestra. Bajo tle e1 estadstico ro se distribuye comounaTdeStudentconn-Igradosdelibertad,porioqueHoserechazasilrol >ts/2,n_t,osivalor-p

CAPTULO 2 Eiementos de inferencia estadstica: experimentos con uno y clos tratamientos

faclores como son; proveedores, lotes, turnoS, das, subprocesos, etc.; entonces, a1 no ser posible haceldos rrediclones sobre 1a misma pieza como en ei caso de 1as bsculas, se requiere una identicacinms estricta de 1as fuentes principales c1e variabihdad a fin de parear los datos con base en ellas.

ll

.

,.

:

ilmpurezas en cofres levantados y cerradosEr una forica 0e aulos se tiene la conjetura o hipresis de queer n.qero cie,mpurezas en la pint;ra de los cofi'es de los auLoses dife'ente, dependienoo de si el ato pas cor el co[re ce-rrado o abierto por los hornos de secado. Se decide realizar unexperimento para comparar el nmero promedio de impurezasen cada situacin del cofre (tratamientos). Se consicler que noera adecuado ;tilrza. r-nuestras indepenoentes, ya que se sabaque los das de I semana o los turnos podian tener influenclaen e. nmero cJe'mpurezas. E5ios dos factores se incluyen en elestudio conro el criterio de apareamiento, como se rnuestra enla tabia 2.4, en ,ac-at tambin se aprecian los daros oorenidos.Asi, en cada combinacin de dia y turno se asiqnaron carros conel cofre levantado y cerrado.

Cada dato en las columnas levantadoy ceado en:la tabla 2.4representa el promedio de impurezas en 'l 0 ar.rtos, de tal for-ma que en el experimento se utilizaron en total 200:autos- Laaleatoridad se llev a cabo por parejas de auros: a.1es de la en-trada a los hornos se aleatonz si el cofre oel primero estaralevantado o cerrado; si le locaba levanrado, el cofre del segundoauto deba estar cerrado. El oianteamiento estadstico consisteen probar la hiptesis de que la media de las diferencias es cero:

A1 aceptar f7o : l: = 0 se estara admriendo que e1 nmero de impurezas promedio en e1 cofrelevantado y cerrado son iguales (Ho: l". = p).p-lr,alor dei esiaclstico de prueba es:

, --l==- o7+ =9.70' 5'1l"/r1 02+IJlJl0

1'' e1 nivel de significancia observado (va1or-p) es 0.0000046, e1 cual es menor que c = 0.05, por 1o tan-lo, se rechaza de manera contundente 1a hiptesis nula de que los tratamientos son lgua1es, es clecir, e1nmeto de impurezas en los cofres depende de si ste se encuentra levantado o cerraclo cuando el autopasa por los hornos. Pero adems, como se observa en los datos, cuando e1 cofre est levantado hayz s-nos impurezas; entonces, a partir de esto se clecidi que 1os cofres de 1os autos se levantarn al entrar alos hornos de secado. Con esta medida se logr reducir en lorma significaril,a eI nmero de impurezas.

Ntese en ia tabla 2.4 \a gran vanabllidad que exisre en[re ]os datos de un da a otro, y rambinenLre turnos. Eso causa que, st en lugar de analizar 1as di.ferencias se analizan los datos de cada trata-

ft Ttr?4ffi 4",4. Nmero de impurezas en cofres de autos

Bloque :..;:..-,.Dai' Cerrad,I I ii:::t:::ji:i I :l: tirlevntadO

Medias

Desviaciones estndar

u t, - ta . pr D -

w

{2'22)I I .,n.p,r-V

0.7

0.51.1

0.6

0.5

0.6

0.9

1.1

0.50.9

0.74u .1'f

1

2

3

+

5

6

7

8

9

10

M

TM

T

M

T

M

T

LVL

T

3.4

3.72.9

2.5

i.6283.7

5.9

4.8+.3

3.56

LUNESLUNES]vl,\RTESMARTES

lVlIERCOLES

MIERCOLES

JUEVES

JUEVESVIERNESVIERNES

2.7

3.2

1.8

1.9

i.12.2

2.8

4.8

4.3

3.4I O-)

i t5

Resumen de frmulas para procedimientos de prueba de hiptesis

miento (posicin del cofre) por separado, las diferencias debido a tratamientos quedan ocul[as anretanta varlabilidad. En efecto, si la comparacin se hace siguiendo el criterio de muesrras independien-tes, entonces de acuerdo con 1o visto en la subseccin "Hiptesis para dos medios" de este captulo, elestadistico de prueba es t = I.39, que le corresponde un valor-p = 0.18, por 1o que a1 proceder de esamanera se concluira en forma equlvocada que no hay diferencias entre [ratamientos (1os demlles deeste anlisis se dejan como ejercicio). Esto, aunado a las mejoras logradas, justifica que 1a forma comosehizoelapareamientofuenecesariaycorrecta,yaque,comoseapreciaenelarreglo delatabla2.4,se asegur que al aparear carros pintados el mismo da y en el mismo turno, se iogran resultados mshomogneos a los que se 1es aplican 1os tratamientos, por lo que las diferencias observadas dentro deun mismo da y turno se deben en gran medida a los tratamientos.

Resumen de frmulas para procedmientosde prueba de hiptesisEn la tabla 2.5 se resumen las frmulas de ios procedimientos de pruebas de hiptesis que involucranun parmetro de una sola poblacin, mientras que en la tabla 2.6 se listan 1os procedimientos que invo-lucran dos parmetros de dos poblaciones. En cada caso se muestra e1 planteamienro de la hiptesis, elestadsiico de prueba y el criterio de rechazo, este ltimo para cada una de las tres posibles alternarivas.Si se trabaja con un software estadstico es ms directo y conveniente basarse en el criterio del valor-p,el cual, para cuaiquier hiptesis, debe ser menor que a para que sea posible rechazar Hr.

t Tabla 2.5 Procedimientos de prueba de hiptesis para un parmetro

39

a)Hs lt=ficH^tlttltaH !>fi0Ht:l.t

40 CAPTULO 2 Elementos de inferencia estadstica: expermentos con uno y dos tratamientos

r f'aba 2.6 Procedimientos de prueba de hiptesi para dos parmetros

a) Ho : fit -- ltz

H, . fit* ltzH^ : tr) t,Ht .fit{fiz

b) H : ltt = lt

Ho : tr* ,t.,H '. ltt) &zH: pt, 1t.,

.22c)H6 ot=ot

22Ho : or* o,z2Ho : or) o,22I1A: otPzHt : Pt

Preguntas y ejercicios 41

ii il Uso de sefwerel=......._*lLos mtodos estadsticos tratados en el presente captulo son ms fciles de aplicar si se utillza un softwarepara hacer los clculos. Prcticamente en cualquier software estadistico se incluyen los rrtodos aqutrara-dos. Por ejemplo. en Sfalgrraphics 5e incluyen en los mens de Describiry Comparar que aparecen en Ia pan-talla principal. En,particu[ar, para hacer una estimacin puntual y por intervalo, para la media y la desviacinestndar, la secuencia a elegir es la siguiente: Describir + Datos numricos + LJna variable; enronces, sedeclara Ia variable a analizar,la cual fue previamente capturada en una columna de la hoja de datos y des-pus se pide lntervalo de confianza en las opciones tabulares y se especifica el nivel de confianza deseado(Opciones de panel). Ah mismo est la opcin Prueba de hiptesis. En las opciones de panel se especifican:el valor (ao) que define la hiptesis nula, el nivel de significancia a y el tipo de hiptesis alternativa que setiene, para las hiptesis sobre la desviacin estndar se procede de manera similar. Adems en el menprevio se incluyen procedimientos exclusivos de prueba de hiptesis para la media. varianza y proporciones.

El problema de comparar dos medias varianzas o proporciones independientes, x localiza en Comparar-, Dos muestras -> Prueba de hiptesis. ,

Para comparar medias con muestras pareadas, la secuencia de opciones a utilizar es: Compairar * Dosmueitras + Muestras pareadas. En Minitab, la secuencia para estimacin y prueba de hiptesis es: Stat +Basrc Statrstics, y ahse elige la opcin deseada para una, dos muestras Gmpbl o rnr"rtru pareaoa.

Para hacer clculos estadsticos en Excel se utiiizan las funciones (f,) estadisticas y Ia opcin Anlisis dedatos dentro del men de Datos. Si no esruviera activada la opcin de Anlisis de datos, esta se actvausando la opcin Complementos

-que est en el botn de Office en Opciones. Para probar la hiptesiso encontrar intervalos de confianza para un parmetro, se usa la secuencia: Datos -+ Anlisis de datos-> Estadistica descriptiva Ah se activa el cuadro u opcin Nivet de confianza para la media. En todoslos casos, despus de sealar el anlisis que se desea nacer, se abrir una ventana en la que se especi-fica el rango de celdas en el que se encuentran los datos y las estadsticas deseadas,

Cuando se quiere comparar tratamientos, se elige la misma secuencia: Datos + Anlisis de da-fos y Iuego se selecciona la opcin deseada, por ejemplo: Prueba t para dos muestras suponiendovaranzas iguales,:,Prueb:a t'para,,medias'de dos mueitras emparejadas, Prueba F para varianzas de dosmuestras.

n Exeel

:i i Fr*g*xmtms.y merme *s

I$ii'

['I$Iilh;

I

b

h

E

H

E

h

l. En un estudio estadstico, qu es una poblacin y para qu se toma una muestra?2. Explique qu es una hiptesis de investigacin y qu una hiptesis estadstica.3. QuO es hacer una estimacin puntual y en qu consiste hacer una estrmacin por intervalo para la media,

por ejemplo?4. Por qu no es suficiente la estrmacin puntual y por qu se tiene que recurrir a la estimacin por intervalo?5, Explique el papel que desempean Ias disrribuciones de probabilidad en la inferencia estaclstica.6. En el contexto de estimacion por intervalo, seale en forma especfica para estimar qu parametro utiliza

cada una de las siguientes distribuciones: f de Student, Normal y ji-cuadrada.7. Explique qu es un estadstico de prueba y seale su relacin con los intervalos de aceptacin y rechazo.8. QrL son Ios errores lipo I y ll en pruebas de hrptesis?

42 CAPTULO 2, , Elementos de inferencla estadstica: experiments ron:unoy dos,tlatamientos

2.66 2.69 2.56 2.64 2.61

,9r ,Seale y,describa de:ma.era rbreve lortrgslltrite!:jos e.guiyalentes de,'recf,razo de una hiptesis. ' I . ,,,, , ,

1 'l . En Ia elaboracin de envases de plstico es necesario garantizar que cierto tipo de botella en posicin vertical: ,tiene.una resistenciaimnima de 50 kg: de fueria. Para garantizal: esto. eni:el pasado.sel'i' lrzab,na preba

' dei tipo.pasa-no-pasa, en la Que se plicaba la fuerza de 50 kg y se yea si ia,botellateslsta' no, En la actua-lidad se llevaa'cabo una prueb exacta, enla que,medianteun eguipo'seapliia fuerza q la botella hasta questa cede, y el equipo registra la resistenCia que alcanz Ia botella.

b) Para evaluar la resistencla media {e los envases se toma una muestra aleatoria,de,n = 20 piezas,. : :,'De los resultados se obtiene que i = 55.2 y 5 = 3. Estime con una confianza de 95%, cul es la

,,c) Antes'del estudiosesupona.que:p,=S2.D,adala.evidenciadelos,datosital supuesto,escofrecto?d) Con los datos anteriores, estime, con una confianza de95%, cul es la desviacin estndar po-

blacional (del proceso)?12. Para evaluar el contenido de nicotina en cierto tipo de cigarros elabordos por un proceso, s toma un mues-

tra aleatoria de40 cigarriltosyse obtiene queX = 18.1 mg y 5 = 1.7..a) Etime, con una.confi.anza de 95%.'cul: es lalcantidad,d.e,n'rcotina prornedio,por: cig,arro?;. rb) Antes del,estudio se supona qqe p

= 1 7.5, Dada:la, evidencia, de, iog, da1os,: se puede rechazar ta] , , .

supuesto?c) Con los datos anteriores, estime, con una confianza de 95%, c'-il es Ia desviacin estndar po-

d) Qu puede decir sobre la:cantidad mnima y mxima de nicotina por cigarro? Es poiible garantiir' ', . ,13. En un problema similar al del,ejerqjcio ''1,1,, es necesario garantizar que !a reqs].encja,Enipa Cue tiene unr

envase de pltit en posicln,-rertica! se de 20 kg. Para eva.]ua1,qs'tg se han obtenido los sigpientes,:dator

26 s 27 .2 27 .6 25.5 28.3 27 .4 28.8 25.0 25.3 27 .7 25.2 28.6 27 .s 28.7a) Esta variable forzosamente tiene que evaluarse mediante muestreo y no al 100%, por qu?Oi Hugu un anlisis exploratorio de estos Aatos {oOtenga un histograma y vea el comiortamiento de

'd) :Antes del estudro se supon:que'p =,25" Dada'la evidencia d.q ]os datos;talupuesto eit-riecto?'. e) C,onlosdatosanteriores:estirfl;conunaconfianzadeg5o/o;ZCulesla,desviacinrest:ndar,pobla.,i''l

cional (del proceso)?14. Enla.U"rr.-alO.rnuir.U,ousedeseagarantrzarqueel porcentajedeCO(gas) porenvaseestentre2.5

y 3.0. Los siguientes datos se obtienen del monitoreo del proceso: ,' .l2.61 2.62 z.s z,sa 2.68 z,s1 2.56 2.62 2.63 2.57 2.60 2.53 2,69 2.53 2.67 2',66 2.63 2,52i 61 2-6a 2 522.62 2,67 2:58 2.61 2.6,4 2.49 2.58 2.61 2.53 2.53 Z.St 2.66 2.51 2.57 2.55'2.57 2.56 2,52 2.58,2.64 2.592.57 2.582.522.612.552.552.732.512.612.112.642.592.602.642.562.602.57 2.482.602.612.55

-: :rl l: ::: '::i :jr:riij::l

a)' Llaga un anlisis exploratorio- de, e5tos datos (btengatn hislograma y.,1tea'el comportamiento de '.

b) Estime, con una confianza dr9S%;,icul's:el (9.pqmedlg por -enlae]., 1. . | .. ,ii,l,,

c) Se supone quep debe ser igual a2.75. Dada la evidencia, se puede rechizartal supuesto?d).C.onlos.datosanterioresstime,'con.unacnfianzade957o..cul:e5ia.desviacinestdardet

e) El anlisisdelosdatosmuestralesestablecequeel mnimoes2.48yel mximo es2.73,porquel intervalo'obtenidd en el icrso ) tien uiirenor'amplitud?.: i:.f ::" 1r:': i':ri ''

en particular se fij'como estndr'iinimo queel producto que reibe direclarn'nte,,-e t utiaotai.in"osen parttcular se ttjo,como estandar:minlmo que el produc:to,querrecrbedlreqarnenle,,oe lol 9srao'ps.Fcelos,les de 3.07o.lPor'medi' de 40 muestreos y evaluacioneslh'ciert:oi:a utno'ie:;5u6'que''f, :'3,.2ty:5 = 0.3.

a) Estime, con una confianza de 90%, el tontenido promedio poblacional de grasa.5) Cu-l es el error mximo de estimacion para la media? Por qu?

,,i'l: , :i:-i tt:,:ll,l

Preguntas y ejerclcios 43

: :. c) lEstirne,,con una confianza de:95olo, cul es la desviacin estndar poblacional?. ,',d)rQu puede decir sobre la cantidad mnima y mxima de grasa en la leche? Es posible garantizar'

. con suficienticonfianza que la leche tiene ms de 3.0% de grasaT

16. En la fabricacin derdiscos compactos una variable de inters es la densidad mnima (grosor) de la capa demetal, la cual no debe ser menor de '1.5 micras. Se sabe por experiencia que la dens,dad rrnirna del metalcasi'siempre ocurre en los radios 24y 57, aunque en el mtodo actual tambin se miden los radios 32,40y

:, .48.:5e:,hacen siete leccuras en,cada radio dando un total de 35 lecturas, de las cuales slo se usa la mnima.A continuacin se presenta u.ta muestra h st'ica de 18 dersidades mnimas:

I 1.81 ,1.97,.1.93,1,97,1.85, 1.99, 1.95, 1.93, 1.85;1-87,1.98, 1.93, 1.96,2.02,2.07,1.92,199, 193'

., l) Argumente estadsticamente si las densidades mnimas individuales cumplen con la especificacin

de 1.5 micras.b) Encuentre un intervalo de confianza de 99% para la media de la densidad mni.na

' "

.) D un intervalo de confianza de gg% para la desviacin estndar. i,

: .,. d),Dibuje e1 diagrama de cajas para estos dalos' lnterprete lo que observa., ' ,

,17. 6 rJ, auditora se seleccionan de manera aleatoria 200 facturas de las compras realizadas durante el ac,y se encuentra que 10 de etlas tienen algn tipo de anomala.

,, ".'a) Estime, con una confjanza de 95%, el porcentaje de facturas con anomalas en todas las comprasdel ao.

b) Cul es el error de estimacin? Por qu?',: ..c) Qutamaodemuestrasetienequeusarsi sequiereestimartal porcentaieconunerrormxi-

: : ,. , g de lok?:18

.En 1a produccin de una planta se esia evaluando un tratamiento para hacer que germine cierta semilla. Deun total de 60 semillas se observ ry. J7 de ellas germinaron, . .

.,: ,:,,):Estime;conunaconfianzade9Ao/o,laproporcindegerminacinque selograrcontal tratamiento.

, ,

, b) .Con una confianza de 90%, se puede garanlizar que la mayora (ms de la mitad) de las semillas.. ,, 1 :germinarn?-r . : : 'onteste los'dos incisos anteriores pero ahora con g5aA de confianz,

r19. :Parar evaluar la efectivjdad de un frmaco contra cierta enfermedad se integra en forma aleatoria un grupode 100 personas. 5e suministra el frmaco y, transcurrido el tiempo de prueba, se observa x = 65 persorascon un efecto favorable.

;l: , ,a) Estime, con una confianza de 90%,,Ia proporcin de efectividad que se lograr con tal frmaco.Haga una interpretacin de tos res,:ltados.

20. ,En relacin con el problema del ejercicio 1,1, los datos anteriores al diseo de la prueba continua muestran.,, rilo sjguiente: is = 120 envases de plstico probados para ver si tenan la resistencia mnima de 50 kg de

fuerza, x - 1 O envases no pasaron la prueba... ',',; Estime, con una confianza de 95%, la proporcin de envases que no tienen la resistencia mnrma1

,. t , ,'. .especificada. Haga,una interpretaci de los resultados. :

, ' , ' 6) Cul: es el error de estimacin? :. . r, i) Calcule el tamao de muestra que se necesita para que el error de estimacin mximo sea de 0.03.

Prueb'de hiptesis para un parmetro2l.,un inspector de la Procuraduria Federal del Consumidor acude a una planta que elabora alimentos para"'vririficarel cumplimiento'de lol estipulado en ios envases de los productos en cuanto a peso y volumen. Uno.,: :'de los'productos quedeciddanaiizar es el peso de las cajas de cereal, en las cuales, para una de sus presen-I :iaiiones, se establece'que el contenido neto es de 300 gramos. El inspector toma una muestra de 25 caias y

pesa su contenido. La medta y desviacin estndar oe la muestra son.i= 298.3 y S = a.5.', ,'a),suponiendo una distribucin normal, pruebe la hiptesis de que# = 300 contra la alternativa de

que es diferente, con un nivel de significancia det 5%. Formule claramente las hiptes,s, clculos yconclusi n .

b) Reprta el inciso anterior pero ahora con un nivel de significancia del 10%., , i i

r, ,c) Desde la peispectiva del consu midor del producto, cul debe ser la hiptesrs alternativa que tiene

que plantear el inspector en este problema? Argumente..

. ,, d) 'Repita el inciso a) pero ahora planteando como hiptesis alternativa t < 300.22, En,el problema antefgr. respecto a la desviacin estndar:'1', ,, .'pUsbela hiptesk de que o = 3.0 contra la alternativa que es diferente., .r,. ,f) Si lo que se quiere es proteger al consumidor del exceso de variabilidad, la conclusin del inciso

anterior Ie es favorable? Argumente. {

,i':

44 CAPITULO 2 Elementos de inferencia estaciistica: experimentos con uno y dos tratamientos

25.

26

27

28

23. Las especiicaciones tcnicas de un compresoi establecen que el aumenl,promedio de temperatura en elagua usada como enfriador en Ia cmara del compresor es menor que 5'C. Para verificar esto se rnideeiaumento de temperatura en el agua en '1 0 periodos de funcionamiento del compresor, y se obtiene que

a) Plantee las hiptesis para la media que son adecuadas al problema. Argumente.b) Pruebe las hiptesis planteadascon un nivel de significancia del 5%.c) Si en lugar cle trabajar con una significancia del 5%, lo hace con una del 1%, se mantiene la

"conclusin del inciso anterior? Explique. :'24. En relacin con el problema anterior, pruebe la hrptesis para la desviacin estndar de o = 1.5 contra la

lternativa de qr;e es mayor.En relacin con el ejercicio 16 de este captulo, con una significancia a = 0,05 pruebe la hrptesis de que lamedia de la densidad mnima de la capa de metal de los diicos es igual a 2.0 micras. contra Ia alternativa deque es menorEn una planta embotelladora de bebidas gaseosas se desea estar seguro de que ias botellas que usan tienen,en promedio, un valor que super el minimo de pres,n de estallamiento de 200 psi.

a) Formule la hiptesis para la media pertinente al problema.b) 5i en una evaluacin de la presin de estaliamlento de 15 botellas seleccionadas al azar se obtiene

que i = 202.5 y 5 = 7.0, pruebe la hiptesis formulada antes.c) Si procedi de manera correcla no se rechaza la hiptesis nula y, por lo tanto. no se ouede conclirir

to que desea el embotellador, es decir, p > 2OO. Expliq-e por. qr.'no se puede concluir esto a pesarde que la media muestral s es mayor que 200.

En el problema anterior, prL.rebe la f,iptesis para [a desviacin estndar der = 5.6 contra la alternatrva deque es mayor.Para validar la afirmacin de un fabrrcante que seala que la propoi'cin de articulos defectuosos de sus lotesde produccin no supera el 5%, se toma una muestra aleatoria de I00 artculos de los ltimos lotes y seobr;ene qre B son defectuosos.

a) Formule las hiptesis adecuadas al problema, si lo que se quiere es conclur que la afirmacin delfabricante es falsa, porque en realidad su calidad es peor.

b) Pruebe la hiptesis formulada con una significancia del 5%.c) Si procedi de manera correcta no se pudo concluir que p > 5%. Explique por qu no se puede

co"ciu,r esto a pesar de que la proporcin muestral es mayor que el 5%.d) En este oroblema, c.rl sera el tamao de muestra usar. si se quiere tener un error mximo de

esL'macin del 3%?Es correcto afirmar oLe, en el ejercicio l7 de este cap1uro, ms ciel 8% de las facturas tienen algut ;anomalia? Para responder formule y prL,eoe la hiptesis pertinente con una significancia del 5%.En un centro escolarse ha venjdo aplicando una campaa contra el uso del tabaco por parte de los estudian-tes. Antes de la campaa, un 30% de los alumnos eran fumaclores activos, para nvestigar si disminuy estaproporcin se toma una muestra aleatoria de 150 estudiantes y se detecta que 35'de ellos son fumadores.

a) Formule la hiptesis pertinente al problema. "lustifique.b) Cor una significancia del 5% verifique la hiptesis pianteada.c) Se mantie-ne la conclusin anterioi si se quiere toar una decisin con una confianza del 99%?

Argumente.

Prueba de hiptesis (comparacin de tratamientos)31. Dosmquinas,cadaunaoperadaporunapersona,sonutiiizadasparacorl.artirasdehule.Deiasinspeccio-

nes de una semana'(25 piezas) se observa que la longitud media de las 25 piezas para una mquina es de200.1 y para la otra es de 20,1 .2.

a) Formule la hipresis pertinente para verrficar sr hay diferenci 5ignificativa en los resultados prome-dio de ambas mquinas.

b) Tiene la informacin s;fic,erte para probar la niptesis? Explique.32. Se desea comprar una gran cantidad de bombillas y se tiene que elegir entre ias marcasA y B. Para ello,,se

compraron 100 focos de cada marca, y se encontr que las bombillas probadas de la marca Atuvieron untiempo de vida medio de 1 'l 2O horas, con una desvlacin estndar: de 75 horas; mientras que las de la marcaB tuvieron un tiempo de vida medio de 1 064 horas, con una desviacin estndar de 82 horas.

a) Es signrfict,va la diferencia enrre los tiempos medios de vida? Use c = 0.05.b) Con qu tamao de muestra se aceptara que las marcas son iguales, utiiizandoG = O.O5?

33. tn un iaboratorio bajo condiciones controladas se evalu, para 10 homLres y 10 mujeres, la temperatura quecacla persona enccrrr ms confortalle. Los resultacios en graclos Fahrenheit fueron los siguientes:

29

30.

Preguntas y ejercicios 45

,i :i:: ilj ii :i,! ll ::.:,:i::i

ffiitf;$..e.',

'ffi*'ffi

75 77 78 79 77 73 t 79 78 80

74 72 77 76 76 73 75 73 74 75

. ,, a). Cules-son,1s,trtamu1s5 qe se comparn eniste estudio? :b) Las muestras son dependientes o independientes? Explique.

:: . +,La,tmperatura promedi rns confortblE es igual para hombres que para mujeres? Pruebe la hip-

tesis adecuada.''-S,prueban 1.Oprte! Oterentes en.cada nive! de temperatura y ,. ,iO. e[ encogimiento sufrido en unidades..91oorcentaieml1iulicdopor10.Losresultados5on:

17.2

t7.5

LB.6

15.9

16.4

17.3

16.8

rB.4

t6.7

t7.6

21.4

20.9

r9.B

20.4

20.6

21.0

20.8

19.9

2t.r203

,.r a).,La te'mperatur tiene'algn:efecto en el 'encogimiento? Plantee las hiptesis estadsticas corres-it,:r:,l :ri. i : ::.1':1:.., ,:pondientes,a est,interroqante. ' , :b) D un intervalo de confianza para Ia diferencia de medias.

c) Cul temperatura provoca un encogimiento menor?, . .

d) Compare las varianzas:de'los,dos tratamientos.,Para ello plantee y pruebe las hiptesis pertinentese) Dibuje los diagramas de cajas simultneos e interprete.

.:.1..:..J5.,Una,compaa de transporte de carga desea escoger la mejor ruta para llevar la mercanca de un depsito a.otro. La mayor preocupacin es el tiempo de viaje. En el estudio se seleccionaron al azar cinco choferes de',,.

^.' ,^^ ^ ,!a,',..,.,^^.r^^

- f. .,*. n ,^".'..^ rc+.tc ca rcinnran r l: rr,+ tr lnc 1:+ac ahtnilncun grupo O f O y se asignaron a Ia ruta A; los cinco restantes se asignaron a la ruta B. Los datos obtenidos

,*r'.:,.:..l..riffi:

- a) Extsten,diferencias significativas entre las rutasT Plantee'y,'pruebe las hiptesis estadsticas corrqs-pondientes.

,,,,.,..',', b) En,caso de rechazar la hiptsis del incisoa), dibuje los diagramas de cajas simultneos para deter-minar cul ruta es mejor.

,:.:c).Sugiera'otiairnanera de obtenerloi datos,(dieo'alternativo), de modo'que se pueda lograr una,:-'.i , :cgpacin msrfectiva de las rutas. ; , , ' ,',Setienn doSproveedr:esde una pieza metlica, cuyo dimetro ideal ovalor objetivoes igual a 20.25 cm.l,:5 ioman'dos'muestras de 14 piezas a cada proveedor,y 1os datos obtenidos se 'indican a continuacin:

:.,i,,1

til$:r'

iir.

46 CAPTULO 2 Elementos de inferencia'estadstic: experimentos con uno y dos tratamientos

21 38.20.13. t9

2L.51, 22.22, 21.+9, 21.9 l, 71 22.7 1., 22.65, 2r.53, 22.22,

c) Pruebelahiptesis'deigualdadde,varianzas. ,,:;,':,:':: '.,:i: ,i'r.,,'rd) Sr las especificaciones para el dimetro son 20.25 mm t 2.25 mm. cul proveedor produce menos

piezas defectuosas?

815

938

a)b)c)

Forrnule la hiptesisAnote la'frmulaPr:uebe la hiptesisen'el criterio del

d) Pruebe la hiptesise) De acuerdo:con:

39. Se comparan-dos mtodos

r9.85, 20.54, 18.00, 2218 10, 19

24, 21.94, 19.07, 18.60, 2t.89, 22.60,)5

ll't ::,1

.e)Conculproveedorsequedara.usted?...i..'37. En Kocaoz, Samaranayake y Nanni (2005) se presenta un estudio en el que se analizan dos tipos de barras de

polmero, cuya tensin se refuer: con:-fibra:dq vidrio'F.qDt E$as:barras, en susttuci'n de fa1 vigqsde:acero,se utilizan para reforzar concretor. por 19 que su carcter]zac]n'es,imporlante para,fineside diseo,,cotrol,roptimizacin para los ingenieros structurales, Las bar.as sesometieron a tensin,hastregistr?rse'su'fuptur:a(enMpa).Losdatosparadostiposdebarrassemuestranacontinuaclh:,,i t-..,.,,

.,.,,-., r :

trl

i'li1Irtli,,, .ilii il1liii Iiiiil.il1i

ii ,ii.rjii'

)

Anotelafrmulade|estadsticodepruebaparademo5trarlahiptesisPruebe la hiptesis'a un nlvelde significancia de 5%. Fara,reci-r.azar,o*o,ihlp.O1,g]s,rapi{egetian!9.,i:.,- enelcriteriodelvaIor-pomoeneidelvIorCrtiqodetablas.

d) Explique cmo se obtiene el valorp del inciso nterior,:, . , ":f) Existe algn, tratamiento mejor?

38. seieatizunltudio para,comfiaiarostaramientolquese,apilcain.#.oii,cruOor,ton.e|p}g..!1 .09.,,,..

reducir el tiempo de coccin. Un tratamiento (T1) es a base de bicarbonato de sodio; el otro, T2, es a basede ctorur,o'e,sodiolo sal'comn.tq+riqbie d"reso.sa,i.el.tiempo decb.ccin en,minutos.5e hacen'!et9$replicas. Los datos se muestran en la siguiente tabla:

a)b)c)

! .i.i

che. En una primeramayor porcentaje,deen el mtodo,B se,iinfectaron, es decitlaran /.

Preguntas y eiercicios 47

a) Hayevidencia estadstica suficiente para afirmarque el mtodo B genera una mayor infeccin dehuitlacoche? Plantee y pruebe la hiptesis correspondiente.

Elmejor: mtodo'deih'culacin,Ol:problema ate'rior se aplic a dos variedades de maiz en dos localidades.Una vez infectada Ia mazorca, interesa medir el porcentaje final de la superficie de sta que fue cubierta porel hongo y el peso en gramos del huitlacoche. Los resultados para la variedad 2 de ma2, obtenidos en I5mazorcas de Texcoco y en 15 mazorcas de Celaya, son los siguientes:

,:..

de'hultlacoche en las dos

con cada trata-

60

40

95

55

40

.1_U

IO

10

55

i535

25

70

20

20

95

r00

70

+0

35

100

30

i00100

100

25

15

85

15

30

t22.6

r82.74

203.45

84.03

t28.46

31.85

12.81

57.05

145.83

49.49

I03.66

95.05

125.02

40.57

19.36

80

346.74

49

r49.69

29r86.03

158.74

22.08

134.02

76

Pruebe la hiptesis 6qrrespondiente a

48 CAPTULO 2 Elementos de inferencia estadstica: experimentos con uno y dos tratamientos

Pruebas pareadas43. 5e propone un nuevo mtodo de prueba que si resulta iguai de efectivoque el mtodo,actua!! se podr. reducir en 60% el tiempo de prueba. Se plantea un experimento en el que se mide la densidad mnima de

metal