elementos astronomia de posicion primeraedicion

Elementos deAstronomıa de Posicion

Jose Gregorio Portilla Barbosa

• Jose Gregorio Portilla B.

El profesor Portilla actualmente es Profesor Asociado de Dedicacion Exclusiva adscrito al Observatorio

Astronomico Nacional de la Facultad de Ciencias de la Universidad Nacional de Colombia. Dicta regular-

mente las catedras de Astronomıa General I, Mecanica Celeste e Introduccion a la Coheterıa y Astronautica

que se ofrecen a los estudiantes de pregrado y posgrado en la mencionada institucion. Su campo de inves-

tigacion se dirige hacia la mecanica celeste, en particular sobre el movimiento de satelites, estabilidad de

orbitas, metodos de integracion y mecanica celeste relativista.

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Elementos de astronomıa de

posicion

Jose Gregorio Portilla B.Observatorio Astronomico Nacional

Facultad de CienciasUniversidad Nacional de Colombia

Bogota

Presente edicion: mayo de 2001

c©2001, Observatorio Astronomico Nacional

Internet: http://www.observatorio.unal.edu.co/miembros/docentes/grek/grek.htmlCorreo-e: [email protected]

No se permite la reproduccion total o parcial de esta obra, ni su incorporacion a un sistema in-formatico, ni su transmision en cualquier forma o por cualquier medio, sea este electronico, mecanico,por fotocopia, por grabacion u otros metodos, sin el permiso previo y por escrito del autor.

Diseno y diagramacion en LATEX: Jose Gregorio Portilla B.

Diseno de caratula: Martha Chacon Chacon y M. Arturo Izquierdo Pena.

Caratula: Concepcion artıstica del paso de la nave Viajero II por el planeta Jupiter.

ISSN: 0120-2758

Impreso en Colombia

Universidad Nacional de Colombia, Bogota

A mis padres:Marıa Teresa y

Jose Gregorio

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Prefacio

Este libro constituye en su mayorıa las notas ordenadas, ampliadas y actualizadas departe de los cursos de Astronomıa General I, Mecanica Celeste e Introduccion a la Coheterıay Astronautica que el autor ha tenido la oportunidad de dictar en varias ocasiones en la sedeacademica del Observatorio Astronomico Nacional. Pretende ser una exposicion sencilla,clara y no demasiado tecnica de diversos topicos de la astronomıa esferica y la mecanicaceleste, pero procurando conservar cierto nivel de profundizacion necesario para abordaruna ciencia que, como la astronomıa, depende enteramente de la medida y del calculo.Exceptuando tal vez los capıtulos 12 al 15, el libro esta enteramente al alcance de unapersona que haya completado un bachillerato a conciencia.

En una epoca clave para el desarrollo de la astronomıa en nuestro paıs, con la conforma-cion de la RAC (Red Astronomica Colombiana), la aparicion y consolidacion de grupos yasociaciones de aficionados a lo ancho y largo del territorio nacional y el surgimiento, en elsegundo semestre de 1999, de la Especializacion en Astronomıa en la Universidad Nacionalde Colombia sede Bogota, es de esperarse un avance significativo de la astronomıa criollaen los anos venideros. El autor estarıa plenamente satisfecho si esta obra contribuye en uninfinitesimo a dicho desarrollo.

El autor agradece el apoyo de cada uno de los profesores que conforman el personal do-cente del Observatorio Astronomico Nacional. En particular debo mencionar a tres de ellos:el profesor Eduardo Brieva, quien leyo la totalidad del texto y realizo importantes y muyvaliosas sugerencias; el profesor Fernando Otero, quien leyo algunos de los capıtulos e hizosignificativas recomendaciones y el profesor Arturo Izquierdo, quien no solo me colaboro consu profundo dominio de muchos programas en Linux sino tambien ayudo en la elaboracionde la caratula.

Mi agradecimiento tambien se extiende a los monitores del Observatorio German Mon-toya y Daniel Izquierdo quienes estuvieron atentos a resolver las dudas que tuvo el autorcon el manejo del sistema operativo Linux, el procesador de palabra cientıfico LATEX y variosprogramas graficadores; a Martha Chacon Chacon por su diseno de caratula, y a los muchosestudiantes de pregrado de la Universidad y en particular de los de la Especializacion enAstronomıa sin quienes mucho del contenido de este libro estarıa oscuro e impenetrable. Atodos, mi agradecimiento mas profundo.

Jose Gregorio Portilla B.

Profesor, Observatorio Astronomico Nacional

Bogota, MMI

Indice General

1 INTRODUCCION 151.1 La astronomıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.1.1 Objeto de estudio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.2 La astronomıa esferica y dinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.3 La astronomıa y la astrologıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2 TRIGONOMETRIA ESFERICA 212.1 Relaciones fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3 EL PLANETA TIERRA 313.1 Forma de la Tierra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.2 Coordenadas de un observador en la superficie de la Tierra . . . . . . . . . . 35

3.2.1 Coordenadas geocentricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.2.2 Coordenadas geodesicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.2.3 Coordenadas geograficas (astronomicas) . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.3 Unidades de longitud y su relacion con las dimensiones terrestres . . . . . . . 403.4 Transformacion entre latitudes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4 LA BOVEDA CELESTE 474.1 Conceptos fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.2 Observacion del cielo segun la latitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544.3 La eclıptica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564.4 Estaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.5 Constelaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.6 Nombres de estrellas y designaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644.7 Catalogos de estrellas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5 COORDENADAS CELESTES 695.1 Coordenadas horizontales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 695.2 Coordenadas ecuatoriales horarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715.3 Coordenadas ecuatoriales (ecuatoriales absolutas) . . . . . . . . . . . . . . . . 725.4 Coordenadas eclıpticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 735.5 Coordenadas galacticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 755.6 Transformacion entre los sistemas de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . 76

9

5.6.1 De horizontales a ecuatoriales horarias y viceversa . . . . . . . . . . . 765.6.2 Ecuatoriales horarias a ecuatoriales absolutas y viceversa . . . . . . . 815.6.3 Ecuatoriales absolutas a eclıpticas y viceversa . . . . . . . . . . . . . . 845.6.4 Ecuatoriales absolutas a galacticas y viceversa . . . . . . . . . . . . . 89

6 MOVIMIENTO APARENTE DE LOS CUERPOS CELESTES 936.1 Movimiento diurno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 936.2 La Luna y el Sol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 946.3 Los planetas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

6.3.1 Perıodo sinodico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

7 EL TIEMPO EN ASTRONOMIA 1077.1 El dıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

7.1.1 El dıa sideral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1087.1.2 El dıa solar verdadero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1087.1.3 El dıa solar medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

7.2 Conversion entre tiempo sideral y tiempo solar medio . . . . . . . . . . . . . 1107.3 El tiempo sideral local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1117.4 El tiempo solar verdadero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1117.5 El tiempo solar medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1127.6 El tiempo universal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1127.7 Husos horarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1127.8 La ecuacion del tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1167.9 El calculo del tiempo sideral local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

7.9.1 El calculo de la fecha juliana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1197.9.2 El calculo del TSG0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

7.10 Sistemas de tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1267.10.1 Variaciones en la tasa de rotacion terrestre . . . . . . . . . . . . . . . 1267.10.2 El tiempo de las efemerides (TE) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1277.10.3 El tiempo dinamico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

7.11 El tiempo atomico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1307.12 Tiempos universales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

8 CALCULO DE ALGUNOS FENOMENOS ASTRONOMICOS 1358.1 Culminacion de cuerpos celestes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1358.2 Salida y puesta de un astro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

8.2.1 Una primera aproximacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1388.2.2 Refinando el calculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1408.2.3 El calculo especial del Sol y la Luna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

8.3 Paso por el meridiano del observador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1438.4 Paso por el cenit del observador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1458.5 Navegacion astronomica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

9 CALENDARIO 1559.1 El calendario romano primitivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1579.2 El calendario juliano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1589.3 Calendario y cristianismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1609.4 El calendario gregoriano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1629.5 Cronologıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1639.6 La determinacion de la fecha de Pascua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

9.6.1 Letra dominical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1659.6.2 Numero aureo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1669.6.3 La Epacta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1679.6.4 Otros ciclos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1689.6.5 Calculo de la fecha de Pascua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

9.7 Calendario colombiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

10 CORRECCION A LAS COORDENADAS 17510.1 Precesion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17510.2 Nutacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18110.3 Aberracion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

10.3.1 Aberracion estelar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18510.3.2 Aberracion planetaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

10.4 Movimiento en el espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19110.5 Paralaje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

10.5.1 Paralaje diurno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19310.5.2 Paralaje anual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

10.6 Refraccion astronomica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19810.7 Defleccion gravitacional de la luz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

11 MECANICA CELESTE: UNA INTRODUCCION 20511.1 Estado de las cosas en la antiguedad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20811.2 Kepler y sus leyes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

11.2.1 La elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21111.2.2 Areas y angulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21511.2.3 Perıodos y distancias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

11.3 El formalismo Newtoniano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21611.3.1 Ley de atraccion newtoniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21811.3.2 La funcion potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

12 EL PROBLEMA DE LOS DOS CUERPOS 22312.1 Movimiento con respecto al centro de masas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22712.2 El movimiento relativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

12.2.1 Aceleraciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23012.3 Eleccion de un sistema de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23212.4 El momentum angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

12.4.1 Areas y tiempos: otra vez la segunda ley de Kepler . . . . . . . . . . . 23712.5 Momentum angular cero: la orbita rectilınea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24012.6 Momentum angular diferente de cero: trayectorias conicas . . . . . . . . . . 242

12.6.1 Conicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24512.7 La energıa total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24812.8 Calculos de masa: otra vez la tercera ley de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . 24912.9 Velocidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25212.10El calculo de la anomalıa verdadera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

12.10.1 Orbita elıptica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25412.10.2 Orbita hiperbolica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25912.10.3 Orbita parabolica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

13 LA DETERMINACION DE LA POSICION EN EL ESPACIO 26513.0.4 Elementos orbitales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26513.0.5 Posicion en el espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267

13.1 Velocidad en el espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26913.2 La posicion con respecto a la Tierra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27013.3 Las coordenadas topocentricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276

14 PERTURBACIONES 27914.1 Modelo vs. realidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27914.2 El problema de los tres cuerpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282

14.2.1 El problema restringido circular de los tres cuerpos . . . . . . . . . . . 28814.3 El problema de los n cuerpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29014.4 Perturbaciones al problema de los dos cuerpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291

14.4.1 Presencia de un tercer cuerpo, o de mas cuerpos . . . . . . . . . . . . 29214.4.2 No esfericidad del cuerpo central . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29214.4.3 Perturbacion por rozamiento atmosferico . . . . . . . . . . . . . . . . 29514.4.4 Perturbacion por presion de radiacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29614.4.5 Perturbacion por eyeccion de masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29614.4.6 Perturbacion por curvatura del espacio-tiempo . . . . . . . . . . . . . 29714.4.7 El efecto Poynting-Robertson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30014.4.8 El efecto Yarkovsky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30114.4.9 Resistencia por partıculas cargadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301

14.5 Resolviendo las ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30214.5.1 La integracion numerica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30214.5.2 Teorıa de perturbaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303

15 SATELITES ARTIFICIALES Y COHETES 31515.1 Una teorıa sencilla del satelite artificial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31815.2 El satelite Tierra-sincronico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32515.3 El satelite Sol-sincronico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32615.4 El satelite geoestacionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32715.5 El satelite Molniya . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33115.6 Orbitas de transferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332

15.6.1 Transferencia tipo Hohmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33215.6.2 Cambio de inclinacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335

15.7 Cohetes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33615.8 La ecuacion de Tsiolkovsky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337

15.9 Las condiciones de inyeccion y la orbita inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346

A Constantes astronomicas 353A.1 Unidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353A.2 Sistema de Constantes Astronomicas de la U.A.I. (1976) . . . . . . . . . . . . 354

B Posiciones geograficas de algunas ciudades colombianas 355

C Cuerpos del sistema solar 359C.1 Datos fısicos de los planetas (I) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359C.2 Datos fısicos de los planetas (II) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360C.3 Elementos orbitales osculatrices heliocentricos referidos a la eclıptica media

y equinoccio de J2000.0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360C.4 Datos del Sol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361C.5 Datos de la Luna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361C.6 Algunos asteroides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362C.7 Algunos cometas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362

D Refraccion astronomica a nivel del mar 363

E Estrellas 365E.1 Las estrellas mas cercanas al Sol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365E.2 Las estrellas mas brillantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366

F Fecha Juliana 367

G Calendario 369G.1 Descansos remunerados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369G.2 Fechas de Pascua para algunos anos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370G.3 Calendario Perpetuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371

Capıtulo 1

INTRODUCCION

1.1 La astronomıa

La astronomıa es aquella rama del saber cientıfico que estudia el universo en su conjunto. Eluniverso comprende cuerpos tan familiares como la Luna, el Sol, los planetas y las estrellas,hasta objetos exoticos tales como los agujeros negros, quasares, pulsares y enanas marrones.

Entendemos aquı por universo a todo el conjunto de cuerpos celestes que han existido,existen y existiran. Por lo que sabemos hoy en dıa, el universo es extraordinariamente an-tiguo e inconmensurablemente enorme.

La astronomıa busca explicar el universo (su composicion, estructura, origen, evolucion,etc.) pero con un enfoque cientıfico, lo que significa que sus procedimientos y metodologıasdescansan en nuestros conocimientos de las leyes fısicas y quımicas hasta ahora descubiertas ypor lo tanto, de las bases matematicas que las sustentan. Los resultados que se derivan de lasteorıas propuestas son continuamente comparados con la observacion; aquellas teorıas que noexplican satisfactoriamente los fenomenos observados son reevaluadas e incluso desaparecensi una nueva teorıa surge con mayor poder explicatorio y predictivo. Nuestro conocimientodel universo es aun muy limitado. Es cierto que hemos avanzado mucho en su conocimiento,pero permanecen muchos interrogantes todavıa por esclarecer.

1.1.1 Objeto de estudio

Son objetos de estudio de la astronomıa aquellos cuerpos que observamos en el cielo —porlo que los llamamos “celestes”—. En la antiguedad los astronomos y filosofos contemplarony estudiaron aquellos objetos que son visibles a simple vista: el Sol, la Luna, planetas,estrellas, cometas y estrellas fugaces. Con la aparicion de instrumentos y herramientas tales

15

16 CAPITULO 1. INTRODUCCION

como telescopios y camaras fotograficas se logro obtener por un lado, una vision mas com-pleta y extraordinaria de todos aquellos cuerpos conocidos hasta entonces y, por otro, sedescubrieron objetos y estructuras que habıan pasado desapercibidas hasta entonces senci-llamente por la limitacion de nuestros sentidos.

La astronomıa busca dar respuestas a la curiosidad innata del hombre por comprenderlo que lo rodea desde el punto de vista cosmico. Hombres curiosos, animados por motivosteologicos, filosoficos, o de otra clase, han dedicado sus vidas a la observacion, medida ycomprension de los cuerpos celestes. Muchos de ellos han legado sus observaciones, frutode sus pacientes observaciones y medidas hechas en el transcurso de muchos anos, para quelos que vienen detras de ellos, mas instruidos y con una experiencia ya heredada, intentencompletar el panorama y continuen con ese anhelo de exploracion y entendimiento.

El astronomo estudia el cielo de una manera sistematica y formal. Sus preguntas son delsiguiente tenor:¿Cuando sera el proximo eclipse de Sol? ¿A que horas exactamente saldra elSol para un dıa y lugar determinado? ¿Por que los planetas describen trayectorias aparentestan complicadas? ¿Que tan antiguo es el Sol? ¿Que composicion quımica tiene la Luna?¿A que distancia estan las estrellas? ¿Por que brillan estas? ¿Que tan antiguo es el universo?

Las respuestas a algunas de estas preguntas han costado mucho trabajo y dedicacion ahombres de ciencia en el transcurso de muchos siglos. Algunas de ellas todavıa no tienen unaexplicacion que podamos llamar satisfactoria, pero en el mundo entero miles de astronomoscontinuan desarrollando tecnicas observacionales e instrumentales, creando y optimizandonuevos metodos analıticos y computacionales con el fin de seguir desentranando los profun-dos misterios e interrogantes que aun encierra el universo.

La astronomıa es actualmente una ciencia supremamente extensa que cubre tan vastoscampos de interes que se ha hecho necesario dividirla en ramas o especializaciones. Para lapersona de la calle el astronomo es aquel sujeto que se dedica meramente a la observaciondel cielo. Pero en la realidad es mucho mas que eso. El astronomo, para los canonesactuales, es un profesional altamente preparado con solidos conocimientos en matematicas,fısica, quımica, biologıa, geologıa, computacion, etc. Dependiendo de su area de interestendra mayor preparacion en algunas de esas ciencias mas que en otras. Aquellos que sededican por ejemplo al estudio de las propiedades de los agujeros negros son profesionalescon una formacion muy solida en matematicas y fısica, pues sus herramienta de trabajo sonla geometrıa diferencial, la teorıa de la relatividad general y la mecanica cuantica. Aquellosdedicados a la busqueda del origen y formacion de la Luna necesitan conocimientos muyprofundos de geologıa, quımica y mecanica celeste. Y ası ocurre con todas las demas ramasen las que se ha subdividido la astronomıa.

1.2 La astronomıa esferica y dinamica

Este libro trata especıficamente de dos ramas de la astronomıa que estan intimamente rela-cionadas entre sı. La astronomıa esferica estudia la manera de como es posible relacionarlas direcciones cambiantes de los cuerpos celestes con sus posiciones sobre la superficie de la

1.3. LA ASTRONOMIA Y LA ASTROLOGIA 17

denominada esfera celeste. La astronomıa dinamica estudia todas aquellas explicaciones deorden fisicomatematico que tratan de dar cuenta del movimiento de los cuerpos celestes bajola influencia de sus mutuas atracciones gravitacionales, aunque no se descartan otro tipo defuerzas. La astronomıa esferica requiere el dominio basico de la trigonometrıa esferica; laastronomıa dinamica requiere el manejo de la mecanica newtoniana, y en casos especiales yrigurosos, de la teorıa de la relatividad general. En un contexto mas amplio, la astronomıaesferica y la astronomıa dinamica forman juntas lo que se conoce como astronomıa de posi-cion1.

1.3 La astronomıa y la astrologıa

Es muy raro el texto de astronomıa que se atreva a dedicar si quiera unas lıneas dirigidasa dejar en claro la diferencia que existe entre la astronomıa y la astrologıa. Sin embargo,el auge que cobran cada vez mas las practicas adivinatorias y ocultistas entre la poblacion,aun entre personas que se precian de ser ilustradas, amerita, a modo de responsabilidad conla sociedad, hacer las siguientes apreciaciones.

Son muchas las personas en nuestra sociedad que piensan que la astronomıa y la astrologıason una misma cosa. La realidad es que son dos actividades completa y radicalmente dife-rentes. La astrologıa parte del supuesto de que los astros (el Sol, la Luna y los planetas) yla posicion aparente de estos en relacion con las estrellas, tienen una influencia marcada ydirecta en el destino y el caracter de las personas, grupos humanos e incluso naciones enteras.

Sin embargo, hoy por hoy, con el avance portentoso de la ciencia y la tecnologıa, laastrologıa es vista, por lo medios intelectuales y cientıficos, como una simple practica adivi-natoria, a la misma altura de la quiromancia y otras actividades similares. Los creyentes yadeptos de la astrologıa insisten en que su destino, su suerte (o la carencia de ella), sus gustose instintos dependen y estan determinados por la ubicacion relativa de los cuerpos celestesen instantes cruciales de su existencia, particularmente en el momento de su nacimiento.La astrologıa, a diferencia de la astronomıa, no busca explicar el universo. En su trabajodiario y para el desempeno de su labor, al astrologo lo tiene sin cuidado la constitucion delas estrellas; no pretende conocer el origen y la evolucion del universo, le es indiferente elestudio formal y excitante de la naturaleza del cosmos. Sus conocimientos en matematicas,fısica y quımica son por lo tanto limitados, pues no es su intencion desentranar los misteriosdel cosmos por lo que no requiere todas esas herramientas que son imprescindibles para elastronomo. Eso sı, le interesa conocer las efemerides (las posiciones de los planetas conrespecto a las estrellas) para alguna fecha dada, no con la exactitud y precision que requiereel astronomo, despreocupandose por el hecho de que estos utilizan en sus calculos la teorıade la relatividad general (el funcionamiento, la estabilidad y el poder determinista de las

1No hay un consenso general sobre esta definicion. En algunas referencias la astronomıa de posicionse entiende como un sinonimo de astrometrıa, esto es, aquella rama de la astronomıa que se ocupa de lasmedidas de las posiciones de los cuerpos celestes en el cielo, en particular en lo que tiene que ver con losconceptos y metodos observacionales involucrados en la realizacion de las medidas.


teorıas planetarias no son su problema), pues su intencion es adivinar —no calcular— lo quepuede ocurrir con el destino de las personas.

La diferencia entre astronomıa y astrologıa es equivalente, en sus justas proporciones, ala existente entre la hepatologıa y la haruspimancia. La primera es el estudio cientıfico delhigado, esto es, el estudio de este organo desde el punto de vista morfologico, fisiologico,etc.; la segunda es la practica adivinatoria que consiste en leer el futuro interpretando laforma y los ligeros cambios de posicion del higado de animales que se sacrifican con tal fin.

El astrologo realiza predicciones sobre el destino de las personas basado no en las leyesde la naturaleza sino en recetas y formulaciones carentes por completo de fundamento. Elorigen de estas reglas puede trazarse hasta unos 2500 A.C. en la epoca de los antiguoscaldeos, cuando la ciencia y la magia eran una misma cosa. Es justo decir, sin embargo,que hasta tiempos relativamente recientes los astronomos fueron tambien practicantes de laastrologıa, en particular cuando necesitaban la proteccion de prıncipes y reyes a los cualessolo les interesaba saber lo que los astros les deparaban en el futuro. Es el caso de JohannesKepler, famoso astronomo aleman, posiblemente el ultimo de los grandes astronomos quecultivo tambien la astrologıa. Sin embargo, ya para finales del siglo XVII, ambas actividadesse separaron radicalmente hasta hacerse casi irreconocibles.

Es muy normal encontrar hoy en dıa en practicamente todos los periodicos y publicacionesseriadas dirigidas al gran publico, secciones enteras sobre horoscopos y avisos publicitariosde astrologos “profesionales”. Que la poblacion vea a la astrologıa como un pasatiempoo divertimento jocoso vaya y pase. Desdichadamente, son muchas las personas que creenfirmemente lo que les indica su horoscopo gastando para ello enormes sumas de dinero enla consulta periodica de supuestos especialistas en astrologıa. Esto lo que revela no es laeficiencia del astrologo en sus predicciones, ni la aprobacion de una practica adivinatoriacomo una ciencia “cierta” o “verdadera” sino mas bien la falta de cultura cientıfica, lainseguridad, y la crisis de identidad de muchos miembros de nuestra sociedad.

LECTURAS Y SITIOS EN INTERNET RECOMENDADOS

• Bakulin, P., Kononovich, E., Moroz, V. (1983) Curso de astronomıa general, Mir, Moscu.

Texto de astronomıa que ofrece, sin demasiada profundidad tecnica, un amplio espectro de latematica astronomica.

• Brieva-Bustillo, E. (1985) Introduccion a la astronomıa: El sistema solar, Empresa EditorialUniversidad Nacional de Colombia, Bogota.

Un texto breve y descriptivo de la mayorıa de temas de la astronomıa moderna, con enfasisen el sistema solar.

• Culver, B., Ianna, P. (1994) El secreto de las estrellas, astrologıa: ¿mito o realidad?, Tikalediciones, Gerona.

Excelente libro que expone con detalle las fallas conceptuales de la astrologıa. Muy reveladorpara todos aquellos que no comprenden la diferencia entre la astronomıa y la astrologıa.

• Karttunen, H., et al. (1996) Fundamental Astronomy, Springer-Verlag, Heidelberg.

Excelente texto de astronomıa a nivel universitario que cubre diversos aspectos de los moder-nas tecnicas observacionales y teoricas.

1.3. LA ASTRONOMIA Y LA ASTROLOGIA 19

• Sagan C. (1994) Cosmos, Planeta, Bogota.

Inmejorable libro de divulgacion astronomica, ampliamente ilustrado, con diversad de topicossobre la historia y proyeccion del pensamiento cientıfico.

• Sagan, C. (1984) El cerebro de Broca, Grijalbo, Mexico.

Una descripcion autorizada sobre diversos topicos astronomicos con algunos matices sobre laaplicacion del metodo cientıfico.

• Sagan, C. (1997), El mundo y sus demonios, Planeta, Bogota.

Un libro que llama la atencion sobre la necesidad de cultivar una vision esceptica del universoy de los peligros que entrana la difusion de practicas ocultistas y seudociencias en nuestromundo civilizado.

• Senior, J.E. (1996) Epistemologıa y divulgacion de la astronomıa, en Memorias del segundoencuentro nacional de astronomıa, Universidad Tecnologica de Pereira.

Excelente ensayo epistemologico que plantea estrategias para la difusion de la astronomıa yen general del pensamiento racional en nuestro paıs.

• http://www.wsanford.com/~wsanford/exo/zodiac.htm

Se encuentran varios comentarios referentes a la diferencia entre astronomıa y astrologıa.

• http://www.voicenet.com/~eric/astrology.htm

En esta hoja electronica se encuentran multitud de consideraciones en contra de la astrologıacon gran cantidad de enlaces y bibliografıa.

Capıtulo 2

TRIGONOMETRIAESFERICA

Puesto que muchos problemas astronomicos de interes se reducen al estudio de los triangulosesfericos, nos vemos en la necesidad de ver algunos conceptos mınimos en esta materia quenos seran de gran ayuda mas adelante.

La trigonometrıa esferica es aquella rama de las matematicas que trata con las relacionesnumericas entre los lados y los angulos de triangulos esfericos.

Definimos angulo diedro (ver figura 2.1) a aquel formado por dos planos que se cortan.Los planos reciben el nombre de caras del angulo diedro, en tanto que la recta de interseccionrecibe el nombre de arista del angulo diedro.

ARISTA

Figura 2.1: Angulo diedro

Definimos angulo triedro (ver figura 2.2) a aquel formado por la interseccion en un solo

21

22 CAPITULO 2. TRIGONOMETRIA ESFERICA

punto de tres planos. El punto de interseccion es denominado vertice del angulo triedro.Los planos reciben el nombre de caras del angulo triedro. Las caras, tomadas de dos en dos,forman tres angulos diedros cuyas aristas OX, OY, OZ son las aristas del angulo triedro.

Z

O

X

Y

Figura 2.2: Angulo triedro

Ahora bien, cualquier interseccion de un plano con una esfera es una circunferencia.Llamamos circunferencia maxima (ver figura 2.3) a aquella que resulta de la interseccion dela superficie de una esfera y un plano que pasa por el centro de dicha esfera. En el casoen que el plano no pase por el centro de la esfera, dara origen a una circunferencia menor.Definimos los polos (P y P’) de una circunferencia (maxima o menor) a aquellos puntos sobrela superficie de la esfera que resultan de la interseccion de ella con una lınea perpendicularal plano que da origen a las circunferencias.

P’

CIRCUNFERENCIA MENOR

CIRCUNFERENCIA MAXIMA

P

O

Figura 2.3: Circunferencia maxima y circunferencia menor

Miremos ahora la figura 2.4 en la que tenemos la circunferencia maxima que pasa porlos puntos CAB y tiene por polos P y P’. Perpendicularmente a ella tenemos dos arcos

23

pertenecientes a circunferencias maximas que pasan por A y B respectivamente. Se llamaangulo esferico a aquel angulo formado por dos arcos de circunferencias maximas. En nues-tro caso, el angulo esferico es el angulo APB. Los arcos conforman los denominados ladosdel angulo esferico, y el punto donde se interceptan los arcos es llamado el vertice, esto es,P (o P’).

Importante en trigonometrıa esferica es definir la medida de un angulo esferico. Estaviene dada por el angulo diedro formado por los planos de las circunferencias maximas cuyosarcos hacen parte de los lados del angulo esferico. Debe ser claro para el lector que el angulodiedro APOB corresponde a la medida del angulo plano AOB que a su turno tiene pormedida la del arco AB.

P

P’

O

A BC

Figura 2.4: Angulo esferico

Un triangulo esferico (ver figura 2.5) es aquella region sobre la superficie de una esferaque esta limitada por los arcos de tres circunferencias maximas. Los arcos corresponden alos lados del triangulo esferico; los vertices de los tres angulos esfericos son los vertices deltriangulo esferico. Siguiendo la notacion usual en trigonometrıa plana, los angulos se denotancon letras mayusculas (A, B, C) y los respectivos angulos opuestos con letras minusculas(a, b, c). Notese que al unir los vertices A, B y C con el centro de la esfera se forma unangulo triedro. Los lados a, b y c del triangulo esferico se miden por los angulos de las carasBOC, COA y AOB respectivamente del angulo triedro.


A

B

a

c

C

O b

Figura 2.5: Triangulo esferico

Ahora bien, es facil verificar que tres circunferencias maximas que se cortan deter-minan 8 triangulos esfericos. Por convencion, consideraremos aquı unicamente aquellostriangulos esfericos en los que cualquier lado y cualquier angulo es menor que 180o. Paraestos triangulos:

• La suma de dos lados cualquiera es mayor que el tercer lado.

• La suma de los tres lados es menor que 360o.

• Si dos lados son iguales, los angulos opuestos son iguales. Recıprocamente tambien esvalido.

• La suma de los tres angulos es mayor que 180o y menor que 540o.

2.1 Relaciones fundamentales

Procedemos ahora a derivar las ecuaciones fundamentales de la trigonomerıa esferica. Con-siderese un sistema de coordenadas rectangular (x, y, z) centrado en el origen de una esferade centro O. Sea el plano xy el que forma un plano de referencia el cual tendra por polos alas intersecciones del eje z con la superficie de la esfera.

2.1. RELACIONES FUNDAMENTALES 25

x

y

z

ξ

η

K

P

O

Figura 2.6:

Suponiendo que la esfera tiene un radio unidad e introduciendo dos angulos, ξ, η, de laforma como se muestra en la figura 2.6, un punto K sobre la superficie de la esfera tiene porcoordenadas rectangulares:

x = cos ξ cos η,y = sen ξ cos η, (2.1)z = sen η.

Con el fin de crear un triangulo esferico en nuestra esfera procedemos a realizar unarotacion un angulo ζ alrededor del eje x de tal forma que las posiciones de los nuevos ejes y′

y z′ son como se ilustran en la figura 2.7. Con la rotacion estamos introduciendo un nuevosistema de coordenadas (x′, y′, z′).

Notese que ahora existe un nuevo plano de referencia conformado por los ejes x′y′.Introduciendo ahora los angulos ξ′, η′ con respecto al nuevo sistema de coordenadas tenemos,para el mismo punto K:

x′ = cos ξ′ cos η′,y′ = sen ξ′ cos η′, (2.2)z′ = sen η′.


z

x=x’

y

y’

P

ζ

ζ

K

z’P’

ξ

η’

’

Figura 2.7:

Vemos que se forma un triangulo esferico conformado por los vertices P, P’, K. Es facildarse cuenta de los valores que adquieren los angulos internos y los lados de dicho trianguloesferico en terminos de ξ, η, ξ′, η′ y ζ ′. Al comparar dicho triangulo con el triangulo esfericode la derecha de la figura 2.8 obtenemos:

A = 90 + ξ,

B = 90− ξ′,a = 90− η′, (2.3)b = 90− η,c = ζ.

Necesitamos encontrar la relacion existente entre las coordenadas (x, y, z) y (x′, y′, z′).Puesto que la rotacion se ha hecho con respecto al eje x, obtenemos la relacion de equiva-lencia:

x′ = x. (2.4)

Para hallar las relaciones entre (y, z) y (y′, z′) hacemos uso de la figura 2.9, la cualmuestra la orientacion de estos ejes con el eje x perpendicular al plano de la hoja.

Un punto K cualquiera que dista del origen por un radio igual a la unidad tiene porcoordenadas con respecto a y′ y z′:

y′ = cos θ, (2.5)


z′ = sen θ. (2.6)

El mismo punto K tiene por coordenadas con respecto a y y z:

y = cos(θ + ζ),z = sen (θ + ζ), (2.7)

o, lo que es lo mismo:

y = cos θ cos ζ − sen θ sen ζ,z = sen θ cos ζ + cos θ sen ζ. (2.8)

Al reemplazar las ecuaciones (2.5) y (2.6) en estas ultimas obtenemos:

y = y′ cos ζ − z′ sen ζ,z = z′ cos ζ + y′ sen ζ. (2.9)

De la ecuacion (2.4) y de las ecuaciones (2.1) y (2.2) podemos escribir:

cos ξ cos η = cos ξ′ cos η′,

o, en terminos de las relaciones (2.3):

cos(A− 90) cos(90− b) = cos(90−B) cos(90− a),

y puesto que para cualquier angulo α se tiene cos(90 − α) = senα, la ecuacion anterior esequivalente a:

senAsen a

=senBsen b

. (2.10)

De identica forma, podemos utilizar la segunda de las ecuaciones (2.9) y reemplazar enella la ultima de las ecuaciones (2.1) y la segunda y tercera de (2.2) para obtener:

’

’

ζ

90−η

90−η90−ξ 90+ξc

C

AB

a

b

Figura 2.8:


yζ

y’

θ

ζ

O

K

zz’

Figura 2.9:

sen η = sen η′ cos ζ + sen ξ′ cos η′ sen ζ.

Al tener en cuenta las relaciones (2.3) obtenemos:

sen (90− b) = sen (90− a) cos c+ sen (90−B) cos(90− a) sen c,

y puesto que para cualquier angulo α se tiene sen (90 − α) = cosα, la ecuacion anterior esigual a:

cos b = cos a cos c+ sen a sen c cosB. (2.11)

Por ultimo, al tomar la primera de las ecuaciones (2.9) y reemplazar en ella las ecuaciones(2.1) y (2.2) obtenemos:

sen ξ cos η = sen ξ′ cos η′ cos ζ − sen η′ sen ζ.

Al tener en cuenta, como antes, las relaciones (2.3):

sen (A− 90) cos(90− b) = sen (90−B) cos(90− a) cos c− sen (90− a) sen c,

equivalente a:cosA sen b = − cosB sen a cos c+ cos a sen c. (2.12)

Las ecuaciones para los otros lados y angulos pueden obtenerse simplemente al hacerpermutaciones cıclicas de los lados (a, b, c) y los angulos (A, B, C), de tal forma que unageneralizacion de (2.10), llamada teorema del seno de la trigonometrıa esferica, es:

senAsen a

=senBsen b

=senCsen c

. (2.13)

De forma analoga, podemos encontrar las otras expresiones para (2.11), llamadas enconjunto el teorema del coseno de la trigonometrıa esferica:

cos b = cos a cos c+ sen a sen c cosB,cos c = cos a cos b+ sen a sen b cosC, (2.14)cos a = cos c cos b+ sen c sen b cosA.


Por ultimo, las otras ecuaciones equivalentes a (2.12) son llamadas en conjunto el teoremadel seno por el coseno:

cosA sen b = − cosB sen a cos c+ cos a sen c,cosA sen c = − cosC sen a cos b+ cos a sen b,cosB sen a = − cosA sen b cos c+ cos b sen c,cosB sen c = − cosC sen b cos a+ cos b sen a, (2.15)cosC sen a = − cosA sen c cos b+ cos c sen b,cosC sen b = − cosB sen c cos a+ cos c sen a.

Las ecuaciones (2.13), (2.14) y (2.15) son las expresiones basicas de la trigonometrıaesferica. Las mismas seran utilizadas frecuentemente en el transcurso del libro.


• Ayres, F. (1970) Lecturas y problemas de Trigonometrıa plana y esferica, McGraw-Hill,Mexico.

Como todos los libros de la serie de Schaum, excelente. En los capıtulos 19 a 24 se encuentrauna buena descripcion de conceptos utiles en la astronomıa esferica.

• Vives, T. (1971), Astronomıa de posicion, Alhambra, Bilbao.

Libro clasico de astronomıa de posicion en espanol. El capıtulo 1 contiene una extensa ex-posicion de las formulas de la trigonometrıa esferica incluyendo formulas diferenciales.

• http://polaris.st-and.ac.uk/~fv/webnotes/chapter2.htm

Conceptos y formulas fundamentales de la trigonometrıa esferica.

• http://home.t-online.de/home/h.umland/chap9.htm

Al igual que el anterior, conceptos basicos de la trigonometrıa esferica.

Capıtulo 3

EL PLANETA TIERRA

La Tierra, el lugar de origen de los seres humanos y, por supuesto, el sitio desde dondecontemplamos el universo, es un planeta que dista aproximadamente unos 150 millones dekilometros de una estrella de mediano tamano que llamamos el Sol. Posee un unico satelitenatural llamado la Luna, el cual esta a unos 384 400 kilometros de distancia. La Tierra esde forma aproximadamente esferica, con un radio aproximado de 6378 kilometros.

En orden de distancia al Sol la Tierra es el tercer planeta de dentro hacia fuera y realizauna revolucion en torno del Sol (movimiento de traslacion) en un perıodo de tiempo quellamamos ano. La Tierra gira sobre sı misma (movimiento de rotacion) en un perıodo quellamamos dıa. Tecnicas modernas revelan que nuestro planeta es supremamente antiguo:posee, al igual que el sistema solar, una edad de 4600 millones de anos.

La Tierra posee una tenue capa de gases que la rodean por completo denominadaatmosfera. Dicha atmosfera esta conformada en su mayor parte de nitrogeno (78%) y oxıgeno(21%), y cantidades muy pequenas (1%) de otros gases tales como agua, bioxido de carbono,argon, xenon, etc. El espesor de la atmosfera es ınfimo comparado con el radio del planeta,pues aunque los especialistas tengan algunas diferencias con respecto a la demarcacion desus lımites (algunos llegan a extenderla hasta los 2000 kilometros), lo cierto es que ya auna altura de los 120 kilometros esta contenido el 99.9% del peso total de la misma. Hastaen el momento en que se escriben estas lineas la Tierra posee aun el honor de ser el unicoplaneta donde se ha gestado el fenomeno que llamamos vida. Pero es muy dudoso, a la luzde recientes investigaciones, que siga siendo exclusivamente la poseedora de tan significativoprivilegio. Y no solo ha generado vida: tambien ha dado origen a seres vivos autoconcientesque poseen una curiosidad sorprendente por tratar de entender lo que los rodea.

Hasta hace unos cuantos anos las observaciones astronomicas se hacıan exclusivamentesobre la superficie de la Tierra lo que implicaba (y aun implica) multitud de inconvenientesy desventajas: el movimiento diurno es el mas obvio: los astros aparentemente se mueven deoriente a occidente por lo que es necesario compensar dicho movimiento para poder rastreary observar adecuadamente los astros. La atmosfera absorbe muchas longitudes de onda de

31

32 CAPITULO 3. EL PLANETA TIERRA

Masa 5.9736×1024 kgMasa de la atmosfera 5.1×1018 kgMasa de los oceanos 1.4×1021 kgRadio ecuatorial 6 378 140 mRadio polar 6 356 755 mDistancia media al Sol 1.496×1011 m = 1 u.a.Densidad media 5515 kg m−3

Perıodo de rotacion 1 dıa = 23h 56m 4.09s

Perıodo de traslacion 1 ano = 365.2421897 dTemperatura superficial −35 a 50 oC

Tabla 3.1: Algunos datos del planeta Tierra

interes tales como los rayos X, los rayos gamma y la radiacion ultravioleta; aquella radiacionque no es absorbida sufre de extincion atmosferica, lo que significa que la luz se dispersay se atenua al pasar por el aire. Ademas, el fenomeno de refraccion atmosferica afecta ladireccion real de la luz que nos envıan los astros. Hoy en dıa se han colocado satelitesartificiales y se han mandado sondas a otros planetas, lo que ha incrementado de formaespectacular el conocimiento que se tenıa previamente de cuerpos que solo se observaban atraves de telescopios sobre el terreno.

3.1 Forma de la Tierra

Al igual que los otros planetas del sistema solar y la mayorıa de sus satelites, la Tierra poseesimetrıa esferica, esto es, su forma es casi la de una esfera. La rotacion de los planetas esresponsable de crear en el proceso de su formacion una ligera acumulacion de masa sobre elecuador, por lo que el radio en las vecindades de ese lugar es un poco mayor que en los polos.En la Tierra la diferencia entre el radio en el ecuador y el radio en los polos es apenas de21 385 metros. Aunque pueda parecernos un valor muy pequeno (0.3% del radio) el hechoes que esa diferencia ha de ser tenida en cuenta en la conformacion de mapas, en el calculode eclipses, estimacion de trayectorias de satelites, etc.

La ciencia que se ocupa de estudiar la figura geometrica precisa de la Tierra, los metodosque emplea y su significado es llamada geodesia. Antes de 1957, esto es, antes del advenimien-to de los satelites artificiales, el trabajo geodesico se realizaba por metodos de triangulaciony de gravimetrıa hechos sobre el terreno. Con la utilizacion de satelites artificiales ha sidoposible incrementar mucho mas nuestro conocimiento sobre la forma verdadera de nuestroplaneta.

Nos consta que nuestro planeta posee una superficie continental de gran diversidad deformas y variaciones. Accidentes geograficos tales como montanas abruptas y escarpadas seubican en ocasiones al lado de grandes llanos y praderas. Sin embargo, el planeta Tierra estacubierto, en mas de un 70%, por agua, una sustancia fluida que como tal tiende a ajustar

3.1. FORMA DE LA TIERRA 33

GEOIDE

ELIPSOIDETOPOGRAFIA

Figura 3.1: Geoide, elipsoide (esferoide) y forma verdadera de la Tierra

facilmente su superficie normal a la direccion de la gravedad. Ello quiere decir que en buenamedida la superficie de nuestro planeta puede describirse en terminos del nivel medio de losoceanos que la cubren en un buen porcentaje. Se llama geoide a la figura geometrica quebusca representar la verdadera forma del planeta Tierra haciendo que la figura coincida conel nivel medio de los oceanos del mundo y continue sobre las areas continentales como unasuperficie imaginaria (a nivel promedio del mar). El geoide tiene por definicion la propiedadde que cualquier lugar de su superficie debe ser perpendicular a la direccion de la fuerza dela gravedad.

Figura 3.2: Una elipse rotando alrededor de su eje mayor da lugar al elipsoide de revolucion

Rigurosamente hablando, el geoide es una superficie equipotencial dentro del campogravitacional terrestre. Ahora bien, en la practica el geoide es imposible de identificar conuna figura geometrica sencilla, pues resulta siendo completamente irregular (ver figura 3.1).Por ello se suele adoptar como figura geometrica apropiada —en muy buena aproximacion—un elipsoide de revolucion, llamado tambien esferoide, cuya forma tridimensional resulta derotar por completo una elipse sobre su eje mayor, ver figura 3.2.

El geoide puede estar por encima o por debajo del elipsoide de revolucion tanto comounos 100 metros, diferencia llamada “ondulacion del geoide”. Las ondulaciones mas grandesse registran en una depresion al sur de la India que alcanza los 105 metros y una elevacion alnorte de Australia que alcanza los 75 metros. Un elipsoide de revolucion o esferoide quedadeterminado si se fija el radio ecuatorial a que juega el papel del semieje mayor del elipsoide,y una relacion llamada achatamiento f . El achatamiento esta relacionado con el semiejemenor de dicho elipsoide que es el radio polar b (ver Tabla 3.1) a traves de la relacion:

b = a(1− f). (3.1)


Con el avance de la tecnica y la puesta a punto de metodos mas precisos para medir lasdimensiones de la Tierra, se han establecido historicamente valores cada vez mas refinadosde estas cantidades. Actualmente se recomienda la utilizacion de los valores fijados por laUnion Astronomica Internacional (UAI) en 19791:

a = 6 378 140 metros,

f = (a− b)/a = 1/298.257.

Ahora bien, todos los cuerpos celestes giran sobre sı mismos, incluyendo por supuesto laTierra. El movimiento de rotacion del planeta define instantaneamente una lınea imaginariaque pasa por el centro del planeta la cual es llamada eje de rotacion. Dicho eje de rotacioncoincide en promedio con el eje del momento principal de inercia, llamado tambien eje defigura. El eje de rotacion y el eje de figura no coinciden exactamente puesto que el eje derotacion se mueve lentamente alrededor del eje de figura en un movimiento cuasi-periodicocon una amplitud que oscila entre los 0.05 y 0.25 segundos de arco, lo que equivale a undesplazamiento entre uno y ocho metros sobre la superficie de la Tierra. Dicho movimientose conoce con el nombre de movimiento polar . El astronomo norteamericano Seth CarloChandler encontro, en 1892, que el movimiento del polo es la resultante de la superposicionde dos componentes que poseen perıodos distintos: una componente, llamada ahora com-ponente de Chandler, tiene una duracion de 14 meses, y es una oscilacion libre que surgede la forma compleja de la Tierra; la otra componente es de 12 meses y es una oscilacionforzada originada por efectos meteorologicos tales como cambios estacionales2. La posiciondel polo es la suma vectorial de estas dos componentes y describe una especie de espiralirregular alrededor de un polo medio o promedio durante un ciclo de seis anos. Puesto quelas magnitudes de las componentes pueden cambiar, el movimiento durante los ciclos noes el mismo. Dado que este movimiento no puede ser predicho con precision, es necesariorealizar observaciones regulares para ubicar la posicion instantanea del eje de rotacion.

Definido el eje de rotacion de la Tierra podemos definir un plano perpendicular al mismode tal forma que pase por el centro de masa del planeta. La circunferencia que resulta de lainterseccion de dicho plano con la superficie del esferoide es llamada ecuador terrestre (ET),ver figura 3.3. Los puntos sobre la superficie del esferoide (i.e., sobre la superficie terrestre)por donde emerge el eje de rotacion son llamados polos terrestres . Aquel situado sobre elhemisferio norte es llamado polo norte terrestre (PNT) en tanto que el otro es llamado polosur terrestre (PST). Notese que al moverse el eje de rotacion, tambien se estan desplazandoligeramente los polos. Obviamente el ET es completamente equidistante de ambos polos.

1Ello no significa que sea de utilizacion obligatoria por parte de todos los profesionales. Por ejemplo, ennavegacion astronomica satelital las posiciones que da el GPS estan con referencia al elipsoide WGS84.

2El movimiento polar habıa sido predicho por el matematico suizo Leonhard Euler en 1765 utilizandola teorıa dinamica y un modelo de la Tierra rıgida. Sus calculos mostraron que la oscilacion debıa tenerun perıodo de 10 meses. En realidad el perıodo es cuatro meses mayor a causa de la elasticidad del mantoterrestre y del movimiento de los oceanos, efectos que Euler no incluyo en su modelo.

3.2. COORDENADAS DE UN OBSERVADOR EN LA SUPERFICIE DE LA TIERRA35

PST

PNT

ECUADOR TERRESTRE

EJE DE ROTACION

Figura 3.3: Polos terrestres y ecuador terrestre

3.2 Coordenadas de un observador en la superficie dela Tierra

Para fijar la posicion de un observador sobre la superficie de la Tierra se utilizan tres tiposde coordenadas:

- Coordenadas geocentricas,- Coordenadas geodesicas,- Coordenadas geograficas (astronomicas).

Una descripcion de cada uno de estos tipos de coordenadas se presenta a continuacion.

3.2.1 Coordenadas geocentricas

Este sistema de coordenadas tiene como origen el centro de masa de la Tierra. El planofundamental es, para los tres sistemas, el ecuador terrestre (ET).

Las coordenadas geocentricas son:

φ′= latitud geocentrica,λ′= longitud geocentrica,ρ = distancia radial.

La latitud geocentrica φ′ de un punto sobre la superficie terrestre es el angulo existenteentre una lınea que pasa por el punto y el centro del planeta, y el ecuador terrestre.

La latitud geocentrica tiene valores comprendidos entre el siguiente intervalo:


−90o (90o S) ≤ φ′ ≤ 90o (90o N).

Notese que:

φ′(PNT ) = 90o, φ′(PST ) = −90o.

Para especificar en que hemisferio de la superficie de la Tierra esta ubicado el punto esnecesario adicionar un indicativo. Este consiste en agregar la letra N (norte) en el caso deque el punto considerado este en el hemisferio norte, de lo contrario se escribe la letra S(sur). Sin embargo, en los calculos trigonometricos que involucren la latitud es necesarioexpresar la latitud explıcitamente con un signo negativo cuando el punto esta ubicado en elhemisferio sur.

ρφ

PST

PNT

ET

CENTRO DE LA TIERA

’

Figura 3.4: Latitud geocentrica φ′

La longitud geocentrica λ′ de un punto sobre la superficie terrestre es el angulo medidosobre el ecuador terrestre, desde el meridiano cero (o de referencia) hasta el meridiano delpunto correspondiente. La longitud puede medirse hacia ambos lados del meridiano cero,haciendose necesario en este caso especificar si el angulo es al oeste (occidente) o si es al este(oriente). Para tal fin utilizamos la notacion siguiente: λ′E si el angulo de longitud se midehacia el este del meridiano de referencia; λ′W si el angulo de longitud se mide hacia el oestedel meridiano de referencia. Se acostumbra a especificar la longitud geografica de tal formaque nunca exceda los 180. Esto significa que si un punto posee una longitud λ′E = 200o,aunque enteramente valida, es conveniente escribir λ′W = 160o. Tambien se suele utilizarun signo (+ o −) en frente de la longitud para especificar si un punto esta hacia el este o aloeste del meridiano de referencia. Se ha escogido el signo positivo (+) cuando la longitud setoma hacia el este del meridiano de referencia; el signo negativo (−) se usa en caso contrario.


λEECUADOR TERRESTRE

MER

IDIA

NO

DE

REF

EREN

CIA

PST

PNT

φ

ρ*

’

Figura 3.5: Latitud geocentrica, longitud geocentrica y la distancia radial

El meridiano cero o meridiano de referencia puede definirse de tal forma que atravieseen principio cualquier lugar sobre la superficie de la Tierra. Sin embargo, desde el puntode vista historico, los meridianos de referencia definidos han pasado por los observatoriosastronomicos mas notables de cada imperio o paıs. Fue ası como el imperio britanico definioel meridiano de referencia como aquel que atraviesa el Observatorio Real de Greenwich, sien-do Greenwich un municipio de Londres, Inglaterra. De la misma forma, Francia estableciocomo meridiano de referencia aquel que atraviesa el Observatorio de Parıs y Espana hizolo propio con el Observatorio Real de San Fernando. Actualmente, el meridiano cero o dereferencia de uso general es, por acuerdo en una reunion internacional realizada en 1884, elmeridiano de Greenwich.

La distancia radial ρ de un punto sobre la superficie terrestre es la distancia en lınearecta existente entre dicho punto y el centro de masa de la Tierra.

3.2.2 Coordenadas geodesicas

Este sistema de coordenadas descansa enteramente en un esferoide (elipsoide de revolucion)de referencia que hay que especificar de entrada. Un esferoide queda determinado, comoya se dijo antes, cuando se adoptan valores especıficos del radio ecuatorial terrestre a ydel achatamiento f (o un parametro equivalente). La importancia de este sistema de co-ordenadas radica en que la latitud geodesica es la que se encuentra en los mapas, atlas ydiccionarios geograficos.


Las coordenadas geodesicas son:

φ = latitud geodesica,λ = longitud geodesica,

h = altura sobre el esferoide.

La latitud geodesica φ de un punto sobre la superficie terrestre es el angulo existenteentre la normal al esferoide en dicho punto y el ecuador terrestre, ver figura 3.6.

La latitud geodesica tiene valores comprendidos entre el siguiente intervalo:

−90o (90o S) ≤ φ ≤ 90o (90o N),

con:

φ(PNT ) = 90o, φ(PST ) = −90o.

La latitud geodesica φ puede llegar a diferir de la latitud geocentrica hasta unos 11.5minutos de arco a una latitud de 45o.

La longitud geodesica λ esta definida de la misma forma que la longitud geocentrica λ′,de tal forma que λ = λ′.

NORMAL AL ESFEROIDE

TANGENTE AL ESFEROIDE

a

φET

PST

PNT

h

CT

Figura 3.6: Latitud geodesica φ

La altura h de un observador sobre el elipsoide es la distancia sobre el esferoide medidaa lo largo de la normal a dicho esferoide. En primera aproximacion se puede tomar h de undeterminado sitio como su altura sobre el nivel de mar.

En la tabla 3.2 se especifican varios esferoides de referencia de uso actual.


Nombre y fecha Radio ecuatorial a (metros) AchatamientoWGS 84, 1984 6378137 1/298.257223563MERIT, 1983 6378137 1/298.257GRS 80, 1980 6378137 1/298.257222UAI, 1979 6378140 1/298.257

Tabla 3.2: Algunos esferoides de referencia actuales

3.2.3 Coordenadas geograficas (astronomicas)

Cuando se determinan la latitud y la longitud mediante observaciones astronomicas, estoes, con respecto al polo celeste y al meridiano local a traves de la vertical local, a los valoresobtenidos de estos angulos se les adiciona el adjetivo de geograficos (o tambien astronomicos).

La latitud geografica (φ′′) de un punto sobre la superficie terrestre es el angulo exis-tente entre la direccion de la plomada (la vertical local) y el ecuador terrestre, ver figura3.7. Puesto que la vertical local de un punto es afectada por las anomalıas gravitacionaleslocales (montanas prominentes, depositos subterraneos muy densos, etc.) y los camposgravitacionales cambiantes de la Luna, el Sol y los oceanos —lo que implica que la verticalextendida hasta el centro de la Tierra no pasa por el centro del esferoide— existira unapequena diferencia en direccion entre la vertical de dicho punto y la normal al esferoide (laque define φ). La inclinacion de la vertical local a la normal al esferoide de referencia seconoce con el nombre de desviacion de la vertical. Por lo tanto, lo que diferencia la latitudgeografica de la latitud geodesica es la desviacion de la vertical.

a

φET

TANGENTE AL ESFEROIDE

NORMAL AL ESFEROIDEDIRECCION DE LA PLOMADA

CT φ´´

PST

PNT

Figura 3.7: Latitud geografica o astronomica


La longitud geografica (λ′′) de un punto sobre la superficie terrestre es el angulo entre elplano del meridiano astronomico de dicho punto y el plano del primer meridiano que pasapor Greenwich. El meridiano astronomico es el plano que pasa por el observador y contienela vertical y una paralela a la direccion del eje de rotacion. Como ya se dijo, la vertical de unpunto no necesariamente pasa por el centro del esferoide, por lo que el meridiano astronomicono coincide por lo general con el meridiano geodesico (que sı pasa por el centro del esferoide).De ahı que las longitudes geografica y geodesica difieran entre sı por una pequena diferen-cia. En este libro supondremos que las tres definiciones de longitud son iguales: λ′ = λ = λ′′.

NOTA: La desviacion de la vertical es por lo general un valor muy pequeno, de unoscuantos segundos de arco, pero hay algunos lugares en los que se registra hasta un minuto dearco. En este libro, como en la mayorıa de los libros de astronomıa, no haremos diferenciaentre las coordenadas geodesicas y geograficas.

3.3 Unidades de longitud y su relacion con las dimen-siones terrestres

La unidad fundamental de longitud en el sitema metrico se llama metro (m). En 1795 elgobierno frances decreto el uso de esta unidad para hacerlo lo mas popular que se pudierapues entre las diferentes provincias se utilizaban distintas medidas. Para tal fin se nombrouna comision cientıfica que al cabo de un tiempo fijo el uso del sistema decimal y definioel metro como 1/10 000 de una cuarta parte del meridiano terrestre. Como quien dice, conbase en esta unidad de medida la circunferencia de la Tierra se estimaba en aquella epocaen 40 000 metros exactamente.

Solo en 1837 el sistema metrico decimal fue declarado obligatorio en Francia y paulati-namente fue adoptado por casi todos los paises salvo los anglosagones quienes solo recien-temente lo han estado introduciendo progresivamente. Despues, en 1875, la Convencion delMetro instituyo una Oficina Internacional de Pesos y Medidas cuya sede se fijo en Parısdonde, en el pabellon de Breteuil se guardan el metro internacional (de platino e iridio),como tambien el kilogramo internacional. Sin embargo, los avances incesantes de la tecnicaobligaron a una redefinicion del metro ya para comienzos de los anos sesenta. Desde elprimero de enero de 1961 se define el metro como “la longitud igual a 1 650 763.73 veces lalongitud de onda en el vacıo de la radiacion correspondiente a la transicion entre los niveles2p10 y 5d5 del atomo de cripton 86”.

Otra unidad de longitud, muy popular en los paises anglosajones, es la milla nautica. Estase define como la distancia sobre un cırculo maximo que subtiende un angulo de un minutode arco en el centro de la Tierra. Por lo tanto, y de forma aproximada, podemos encontrarfacilmente a que equivale una milla nautica. Puesto que una circunferencia comprende 360grados, esto es, 360×60 = 21 600 minutos de arco, y estos deben dar alrededor de 40 000 000m se desprende que una milla nautica debe equivaler a 1851 m. Ahora bien, como la Tierrano es completamente esferica resulta que la milla nautica es distinta si se mide en el ecuador

3.4. TRANSFORMACION ENTRE LATITUDES 41

que si se mide en los polos. Se ha tomado un valor promedio equivalente a 1852 metros.Ha de tenerse cuidado con la posible confusion que pueda surgir entre la milla nautica y lamilla, donde esta es una unidad de longitud utilizada en caminos y rutas, que equivale a1609 metros.

3.4 Transformacion entre latitudes

Aquı supondremos que la latitud geografica (o astronomica) (φ′′) se puede aproximar a lalatitud geodesica (φ) por lo que solo nos ocuparemos de la relacion entre esta y la latitudgeocentrica (φ′).

y

φ φx

’

ax

b y

Figura 3.8: Relacion entre latitud geocentrica y geodesica

Observemos la figura 3.8 donde estan relacionadas las latitudes en cuestion. Es evidenteque:

tanφ′ =y

x. (3.2)

Por otro lado, la ecuacion de una elipse con centro en el origen y cuyo eje mayor a estaubicado sobre el eje x y el eje menor sobre el eje y es:

x2

a2+y2

b2= 1. (3.3)

De esta se deduce que la tangente a cualquier punto de la elipse, denotada por dydx , es:

dy

dx= −x

y

b2

a2.


Ahora bien, aquella recta normal a la tangente del elipsoide tiene como pendiente −dxdy ,pero a su vez dicha pendiente viene dada por tanφ. De ello resulta que

tanφ =y

x

a2

b2, (3.4)

que al comparar con (3.2) da:

tanφ =a2

b2tanφ′,

o, teniendo en cuenta la relacion entre a y b (ver ecuacion 3.1, pag. 33) se obtiene:

tanφ =1

(1− f)2tanφ′. (3.5)

Procedamos ahora a encontrar una relacion entre la distancia radial ρ y la latitudgeodesica φ.

La excentricidad e de un elipsoide esta definida por la siguiente relacion entre el semiejemayor y menor (ver seccion 11.2.1, pag. 212):

e2 = 1−(b

a

)2

. (3.6)

Puesto que el achatamiento f puede escribirse de la forma f = 1 − b/a, entonces alcomparar con (3.6) se deduce:

e =√f(2− f). (3.7)

De la ecuacion (3.3) obtenemos:

x2 = a2 − a2

b2y2,

y de (3.4):

y2 =x2b4tan2 φ

a4,

entonces:

x2 = a2 − x2b2tan2 φ

a2.

Al despejar x2 obtenemos:

x2 =a2

1 + b2

a2 tan2 φ,

o, teniendo en cuenta la ecuacion (3.6):

x2 =a2cos2 φ

1− e2 sen2 φ. (3.8)


Un procedimiento similar permite encontrar:

y2 =a2(1− e2)2 sen2 φ

1− e2 sen2 φ. (3.9)

La distancia radial ρ esta relacionada con x y y mediante:

ρ2 = x2 + y2,

que al tener en cuenta (3.8) y (3.9) nos da la relacion buscada:

ρ = a

√1− e2(2− e2) sen2 φ

1− e2 sen2 φ, (3.10)

la cual representa la distancia desde el centro del planeta hasta la superficie del elipsoide.La distancia geocentrica para un observador ubicado a una altura h con respecto al niveldel mar se halla, en muy buena aproximacion, sumando h al valor de ρ con las unidadespertinentes.

Ejemplo 1

Calcular la latitud geocentrica φ′ y la distancia geocentrica de un punto cerca de lapoblacion de Cienaga (Magdalena) con las siguientes coordenadas geodesicas: φ = 11o1′34′′,λ = 74o15′35′′ y h =122 metros sobre el nivel medio del mar.

Solucion

Tomaremos como elipsoide de referencia el recomendado por la UAI en 1979: a =6 378 140 m y f = 1/298.257 = 0.0033528. De la ecuacion (3.5) obtenemos:

tanφ′ = (1− f)2 tanφ = (1− 0.0033528)2 tan(11o1′34′′) = 0.1935489.

Entonces:φ′ = tan−1(0.1935489) = 10o57′15′′.

Procedemos ahora a calcular la excentricidad e del elipsoide. Utilizando la formula (3.7)tenemos:

e =√

0.0033528× (2− 0.0033528) = 0.0818191.

Encontramos para ρ de acuerdo con (3.10):

ρ = a×

√1− (0.0818191)2 × (2− 0.08181912)× sen2 (11o1′34′′)

1− 0.08181912 × sen2 (11o1′34′′),

ρ = 0.9998783× a = 6 377 364 m.

Sumando el valor de la altura h obtenemos por fin:

ρ = 6377364 + 122 = 6 377 486 m.


Ejemplo 2

Calcular la latitud geodesica φ y la altura h a la que se encuentra un determinadoobservador con los siguientes valores: φ′ = 6o54′43′′, ρ = 0.9999765.

Solucion

Como en el ejemplo anterior, tomaremos como elipsoide de referencia el recomendadopor la UAI en 1979: a = 6 378 140 m y f = 1/298.257 = 0.0033528, e = 0.0818191. De laecuacion (3.5):

tanφ =tanφ′

(1− f)2=

tan(6o54′43′′)(1− 0.0033528)2

= 0.1220418.

Entonces:φ = tan−1(0.1220418) = 6o57′29′′.

Encontramos para ρ (la distancia a la superficie del elipsoide) de acuerdo con (3.10):

ρ = a×

√1− (0.0818191)2 × (2− 0.08181912)× sen2 (6o57′29′′)

1− 0.08181912 × sen2 (6o57′29′′),

ρ = 0.9999512× a.Por lo tanto, la altura h sobre la superficie del mar, en unidades del radio terrestre a, es:

h = 0.9999765− 0.9999512 = 0.0000253,

lo que en unidades de metros es h = 0.0000741× 6 378 140 = 161 m.

NOTA: En la gran mayorıa de los libros de astronomıa se acostumbra a presentar larelacion entre la latitud geocentrica φ′ y la geodesica φ y la distancia radial ρ en funcion deφ por medio de una serie trigonometrica. La deduccion de tales formulas no es complicadapero sı algo elaborada. Damos las expresiones (a la centesima del segundo de arco) solo amanera de referencia:

φ′ = φ− 11′32.74′′ sen 2φ+ 1.16′′ sen 4φ, (3.11)

ρ = a(0.99832707 + 0.00167644 cos 2φ− 0.00000352 cos 4φ). (3.12)


• Seidelmann, P.K. (1992), Explanatory Supplement to the Astronomical Almanac, UniversityScience Books, Mill Valley.

La obra indispensable que expone sin entrar en la rigurosidad las modernas teorıas y metodosde la astronomıa de posicion actual. Aunque se supone que es un suplemento del AstronomicalAlmanac, es de todas formas un excelente libro para comprender con extension muchos topicosde la astronomıa moderna. El capıtulo 4 cotiene una completa descripcion acerca de lascoordenadas terrestres.


• Long, S. A. (1974) Derivation of Transformation Formulas Between Geocentric and GeodeticCoordinates for Nonzero Altitudes, NASA TN-7522, Washington.

Este artıculo tecnico contiene desarrollos algebraicos que permiten encontrar formulas utilesentre la latitud geocentrica y geodesica

• Smart, W. M. (1965) Text-Book on Spherical Astronomy, Cambridge University Press, Cam-bridge.

En su capıtulo IX posee una excelente descripcion de la relacion matematica entre φ′ y φ.

• The Astronomical Almanac, U.S. Goverment Printing Office, Washington.

En sus reciente versiones describe algunos geoides de referencia ası como formulas para elcalculo de reducciones.

• http://164.214.2.59/GandG/geolay/toc.htm

En esta hoja electronica se encuentran conceptos basicos de geodesia.

• http://www.globalserve.net/~nac/city.html

Aquı se encuentran las latitudes y longitudes de mas de dos mil ciudades en el mundo.

• http://maia.usno.navy.mil/

Informacion actualizada con emision de reportes periodicos sobre el movimiento del polo asıcomo de la introduccion de segundos bisiestos.

Capıtulo 4

LA BOVEDA CELESTE

Imaginemos como es la vision del cielo para un observador que flota en el espacio sideralubicado entre las estrellas, lejos de la superficie de un planeta o de cualquier otro cuerpoceleste. Dado que las distancias entre las estrellas, e incluso entre los planetas, son tanextraordinariamente enormes, el observador se enfrenta a algo que con los objetos coti-dianos de nuestra experiencia diaria es muy difıcil de observar: al contemplar los cuerposcelestes el sentido de percepcion de profundidad y de estimacion de distancia desaparece.Y al carecer de sentido de profundidad y de perspectiva, todos los cuerpos celestes dan lailusion optica de estar adheridos a una superficie, la cual, al extenderse a todas direcciones,crea el engano de conformar una esfera perfecta que rodea por completo al espectador, es-to es, el observador siente que esta ubicado en el centro de dicha esfera ilusoria, ver figura 4.1.

OBSERVADOR

BOVEDA CELESTE

Figura 4.1: Observador flotando en el espacio

Para este observador, (y para cualquier otro observador en el universo) la vision aparentedel cielo es la de estar ubicado en el centro de una gran esfera de color negro salpicada conpuntos o manchones luminosos distribuidos al azar. Para el, todas las estrellas, planetas,

47

48 CAPITULO 4. LA BOVEDA CELESTE

satelites, etc., parecen estar adheridos a la superficie de esa esfera negra.

La esfera ilusoria en la que los cuerpos celestes aparecen adheridos como si estuvierantodos a la misma distancia del observador (este ubicado exactamente en medio de ella) ysobre la cual es posible aplicar las propiedades de los triangulos esfericos se conoce con elnombre de boveda celeste.

Pero ahora imaginemos que ese observador este situado sobre la superficie de un planeta,digamos la Tierra (ver figura 4.2). Nuestro planeta, comparado con objetos corrientes, ocon nosotros mismos, es un objeto de dimensiones colosales. Este simple hecho hace quecualquier persona que observe el cielo contemple (suponiendo que no existen nubes, ni otrosobjetos naturales o artificiales que estorben su vision) el siguiente panorama: el, ubicado enel centro de un gran disco rodeado de forma simetrica por una enorme cupula semiesferica(media esfera) de color azul (en el dıa) o negra con puntos luminosos (en la noche).

SECTOR DE LA BOVEDA CELESTEVISIBLE AL OBSERVADOR

SECTOR DE LA BOVEDA CELESTE

NO VISIBLE AL OBSERVADOR

PLANETA

Figura 4.2: Observador situado en la superficie de un planeta

Lo importante aquı es recalcar el hecho de que es el borde de ese disco aparente (elhorizonte) lo que le demarca al observador que es lo que puede observar de la boveda celestey que no (ver figura 4.3). En otras palabras: el estar ubicado en la superficie de un planetaimplica que un observador no puede contemplar sino apenas la mitad del cielo para un ins-tante dado: el mismo planeta impide observar la otra mitad. Esto sigue siendo mas o menosvalido para observadores que estan ligeramente alejados de la superficie de la Tierra, comoun piloto ubicado en un avion de reaccion o un astronauta situado en una estacion espaciala varios centenares de kilometros de altura.

Al observar la boveda celeste de dıa, esto es, cuando el Sol es visible para el observador,notamos que el cielo es de un color azul. De dıa las estrellas y los planetas son imposibles de

49

HORIZONTE

Figura 4.3: Origen del concepto de horizonte

observar en condiciones ordinarias (en ciertas situaciones muy favorables es posible observarel planeta Venus, o pueden observarse las estrellas mas brillantes en la breve duracion deun eclipse total de Sol). En ausencia de la luz solar el cielo adopta una coloracion negra yaquellos astros que pasan desapercibidos en el dıa comienzan a observarse, como los planetasy las estrellas.

Un observador ubicado lejos de la superficie de un planeta no tiene ningun tipo de in-conveniente en observar el 100% del cielo que lo rodea por completo. Estrellas, planetas, elSol y la Luna estan al alcance de su vision de manera permanente. Solo tiene que dirigirla mirada en la direccion que le llame la atencion. Pero la situacion cambia drasticamentecuando se esta en la superficie de un planeta, un satelite o un asteroide. Como veremos masadelante, no es lo mismo observar el cielo si se esta ubicado en los polos del planeta o en suecuador. Existiran lugares en la superficie de la Tierra en donde para ciertas epocas del anono es posible observar el Sol durante el dıa, otros en los cuales se ve durante las 24 horasdel dıa, etc.

El precio que se ha de pagar por estar observando la boveda celeste desde la superficiede un planeta, satelite, asteroide o cometa es que debido a la rotacion de estos alrededorde un eje, las estrellas y objetos conspicuos como una estrella cercana (por ejemplo el Sol),se moveran con respecto al horizonte. La magnitud de dicho movimiento y su direcciondependera del tipo de movimiento de rotacion que tenga el objeto desde donde se hace laobservacion. La Tierra posee un movimiento de rotacion en el sentido oeste-este de tal formaque describe una revolucion completa en 24 horas. Este movimiento del planeta sobre sueje es visualizado por un observador ubicado sobre su superficie como un movimiento de laboveda celeste en direccion este-oeste (la direccion contraria en la que rota el planeta) lacual describe una vuelta completa alrededor de la Tierra en 24 horas. En la seccion 6.1 se


PNT

PST

PSC

PNC

ET

MER

IDIA

NO

CEL

ESTE

EC

TIERRA

Figura 4.4: Definiciones sobre la boveda celeste

ampliara este tema con mas detalle.

A menos que estemos en un viaje interplanetario o interestelar —circunstancia que de-safortunadamente no es comun dado nuestro actual estado tecnologico— en adelante nosconcentraremos en la forma como un observador, ubicado sobre la superficie de un planeta,contempla aparentemente el cielo. Para ello necesitamos introducir unos conceptos basicospara nuestro estudio.

4.1 Conceptos fundamentales

Como ya se dijo atras, la boveda celeste es aquella esfera ilusoria que resulta del hecho deque, aparentemente, los cuerpos celestes se hallan ubicados sobre un fondo de color negro,(o azul si es de dıa) dando la impresion de que dicha superficie es de hecho real y que elobservador es el centro de la misma. Por mucho tiempo los astronomos antiguos creyeronque la boveda celeste era real, y que sobre la misma estaban ubicadas las estrellas, de talforma que todas estas estaban a la misma distancia de la Tierra.

Bien puede uno estar tentado a asignar un determinado valor al radio de la boveda ce-

4.1. CONCEPTOS FUNDAMENTALES 51

MERIDIANO DELOBSERVADOR

HORIZONTE

φ

W

C

C’

PSCN

E

(CENIT)

(NADIR)

PNC

S

Figura 4.5: Meridiano del observador

leste. De hecho, es claro que si se le ha de asignar un radio este debe ser muy grande, inclusoinfinito. Sin embargo, en astronomıa esferica dicho radio se adopta igual a la unidad con loque se obtienen enormes ventajas a la hora de poder describir con detalle la posicion de losastros sobre ella.

A continuacion definimos sobre la boveda celeste los siguientes conceptos:

- El polo norte celeste (PNC) y el polo sur celeste (PSC) son puntos que resultan dela interseccion del eje de rotacion terrestre con la esfera celeste. Notese que esto equivalea tomar los polos terrestres, ubicados en el eje de rotacion, y proyectarlos sobre la bovedaceleste (ver figura 4.4).

- El ecuador celeste (EC) es aquella circunferencia maxima que resulta de la intersecciondel plano que contiene al ecuador terrestre (ET) con la esfera celeste. La introduccion delecuador celeste permite dividir la esfera celeste en dos hemisferios: el hemisferio norte celeste(que contiene el polo norte celeste) y el hemisferio sur celeste.

- Los meridianos celestes son semicircunferencias maximas que pasan por los polos ce-lestes PNC y PSC. Como el lector habra notado, el concepto de meridiano celeste resultade la proyeccion de los meridianos terrestres en la boveda celeste.


Los anteriores conceptos son independientes de la posicion del observador. Definimosahora los siguientes conceptos:

- El cenit (o zenit) (C) de un observador es el punto de la esfera celeste que esta situadodirectamente sobre el observador. En un sentido literal, decimos que el cenit es aquel puntoimaginario en la boveda celeste que esta ubicado directamente encima de la cabeza del ob-servador.

- El nadir (C′) de un observador es el punto de la esfera celeste que es diametralmenteopuesto a C. El nadir es entonces aquel punto imaginario en la boveda celeste que estadirectamente debajo de los pies del observador.

C

ECUADOR CELESTE

HORIZONTE

CIRCULO DEDECLINACION

VERTICAL

OBSERVADORMERIDIANO DEL

C’

PNC

N S

W

PSC

E

*

Figura 4.6: Definiciones sobre la boveda celeste

- El horizonte de un observador es el plano perpendicular a la lınea que existe entre elobservador y su cenit (ver figura 4.7). La circunferencia maxima en la cual el horizonte delobservador encuentra la esfera celeste es llamada horizonte matematico. Y decimos que esmatematico porque con esta definicion no estamos considerando lo que realmente sucede enla practica: la existencia de obstaculos naturales (arboles y montanas) y artificiales (talescomo edificios) hacen que la demarcacion no sea una “lınea perfecta” sino mas bien tenga unperfil irregular. Sin embargo, los calculos astronomicos usuales que deben tener en cuenta elhorizonte, tales como la salida y puesta de los astros, se realizan con el concepto de horizontematematico.

4.1. CONCEPTOS FUNDAMENTALES 53

PNC

CENIT

HORIZONTEPLANO DEL

φ

φ

PNC

Figura 4.7: Plano del horizonte

- El meridiano del observador es aquel meridiano celeste que pasa por el cenit C delobservador. El meridiano del observador es entonces aquella semicircunferencia que va depolo a polo y pasa por el cenit del observador. Cuando un astro pasa por el meridiano delobservador se dice entonces que dicho astro esta culminando.

- Puntos cardinales. Definimos los puntos cardinales norte (N), sur (S), este (E) y oeste(W) como aquellos puntos ubicados en el horizonte de un observador cualquiera (salvo situa-do en los polos geograficos) con las siguientes caracterısticas:

Los puntos cardinales norte y sur resultan de la interseccion del meridiano del observadorcon el horizonte matematico. La ubicacion del punto cardinal norte queda determinada porel grado de separacion existente entre el PNC y el horizonte: dicho punto se ubica en aquellainterseccion para la cual la separacion entre el PNC y el horizonte es inferior (tanto arribacomo abajo del horizonte ) a 90 grados. Lo mismo es valido para el punto cardinal sur: estese ubica en aquella interseccion entre el horizonte y el meridiano del observador cuando laseparacion entre el PSC y el horizonte es menor de 90 grados.

Los puntos cardinales este (oriente) y oeste (occidente) se originan en la intersecciondel ecuador celeste con el horizonte. Un observador que mira hacia el punto cardinal nortetendra hacia su derecha el punto cardinal este; a su izquierda se ubica el punto cardinal oeste.

Llamese vertical de un astro a la semicircunferencia que va de cenit a nadir y pasa porel astro correspondiente. Es claro que la vertical de cualquier astro es perpendicular al hori-zonte del observador.

Llamese cırculo de declinacion de un astro a la semicircunferencia que va de PNC aPSC y atraviesa el astro correspondiente. Obviamente, el cırculo de declinacion de un astrocualquiera es perpendicular al ecuador celeste.


4.2 Observacion del cielo segun la latitud

Una de las consecuencias mas notorias de estar observando el cielo desde un planeta es ladependencia directa de dicha observacion con la posicion geografica del observador; no es lomismo observar el cielo desde los polos terrestres que desde el ecuador terrestre.

PSC

PNC

EC EC HORIZONTE

NADIRPSC

PNT

PNCCENIT

Figura 4.8: Observacion del cielo para un observador en el PNT

Consideremos el caso de un observador ubicado en el polo norte terrestre (PNT). Comoes claro de la figura 4.8, dicho observador contempla siempre en su cenit al polo norte celeste(PNC). El ecuador celeste para dicho observador coincide con su horizonte. En consecuen-cia, este observador podra contemplar siempre las estrellas del hemisferio norte celeste perojamas podra observar las estrellas del hemisferio sur. Solo podra observar la mitad de laboveda celeste. Notese que el angulo existente entre el horizonte y el PNC, angulo quellamaremos la altura del PNC, para este observador, es de exactamente 90o.

La situacion es analoga para un observador situado en el polo sur terrestre (PST). Estetendra en su cenit al polo sur celeste (PSC), el ecuador celeste tambien coincide con su ho-rizonte y solo podra observar las estrellas del hemisferio sur celeste. La altura del PNC paraeste observador es de −90o donde el signo negativo indica que esta por debajo del horizonte.

En cambio, consideremos a un observador ubicado en el ecuador terrestre (ET). Dichoobservador, ver figura 4.9, tendra a los polos ubicados exactamente en el horizonte. En sucenit siempre tendra un punto que hace parte del ecuador celeste (EC). Para un instantecualquiera podra observar la mitad de cada hemisferio norte y sur, lo que significa que puedeobservar (anque no simultaneamente) toda la boveda celeste. La altura del PNC es, en estecaso, de 0o.

Generalicemos. Existe una relacion entre la latitud a la cual esta situado un observador

4.2. OBSERVACION DEL CIELO SEGUN LA LATITUD 55

PNT

PSC

PNC

CENIT

EC

HORIZONTEPNC PSC

CENIT

NADIR

EC

Figura 4.9: Observacion del cielo para un observador en el ET

(φ) y la altura del PNC con respecto al horizonte. La regla fundamental es:

La altura del polo norte celeste con respecto al horizonte es igual a la latitud del obser-vador.

En los casos extremos vistos anteriormente la relacion es clara: un observador a latitudφ = +90 el PNC esta a 90 grados de altura sobre el horizonte; un observador a una latitudde φ = 0 el PNC esta a 0 grados sobre el horizonte. Notese que la distancia angular existenteentre el cenit del observador y el ecuador celeste equivale a su latitud en valor absoluto (verfigura 4.10).

El PNC es un punto imaginario sobre la boveda celeste que en la practica es difıcil deubicar. Por fortuna existe una estrella relativamente brillante a poca distancia de el. Dichaestrella se conoce con el nombre de Polaris, o estrella polar. La distancia entre Polaris yel PNC es, para esta epoca, cercana a los 45 minutos de arco, con lo que medir la alturade esta estrella con respecto al horizonte constituye una primera aproximacion para la de-terminacion de la latitud de un observador. En los almanaques nauticos existen tablas decorrecciones que permiten obtener valores mas precisos para obtener la latitud observandola estrella polar.

En las bajas latitudes la determinacion de la latitud por la altura de la estrella polar esimpracticable.

Puesto que Colombia esta situada entre latitudes que van desde 4 S hasta 12 N (conSan Andres y Providencia) es claro que el ecuador celeste desde nuestras ciudades es casiperpendicular al horizonte (ver figura 4.11).


HORIZONTE

CENIT φ

φ

EC

EJE DE ROTACION

PNC

PSC

Figura 4.10: Latitud y altura del PNC sobre el horizonte

4.3 La eclıptica

La Tierra gira alrededor del Sol en una orbita casi circular. Describe una revolucion comple-ta de 360 grados en unos 365.25 dıas. Puesto que nosotros, como observadores del universo,estamos ubicados en la Tierra, el movimiento de traslacion se ve reflejado por el movimientodel Sol con respecto a las estrellas “fijas”. Ahora bien, la Tierra se mueve en direccioncontraria de las agujas del reloj vista desde el PNC; es evidente, de la figura 4.12, que el Soldescribe tambien un movimiento en la direccion contraria de las agujas del reloj visto desdeel PNC. Como la orbita de la Tierra esta contenida en un plano (ver seccion 12.4, pag. 233)es evidente que la “trayectoria” que va describiendo el Sol en el cielo estara contenida en unplano, el cual, en la interseccion de este con la esfera celeste resultara en una circunferenciamaxima. La circunferencia maxima que resulta de la interseccion del plano de la orbita dela Tierra en torno al Sol con la esfera celeste se llama eclıptica. Otra forma de decirlo es: laeclıptica es la trayectoria aparente que describe el Sol en la boveda celeste.

Por otro lado, y por razones que no se conocen bien, y que que se supone ocurrieron enlas primeras fases de formacion del sistema solar, nuestro planeta tiene su eje de rotacioninclinado con respecto a la normal al plano orbital. En otros terminos: existe un angulodiferente de cero entre el eje de rotacion terrestre y la normal al plano de la orbita de laTierra en torno del Sol (ver figura 4.13).

Este angulo se conoce con el nombre de oblicuidad de la eclıptica y se denota con la letragriega epsilon (ε). Tiene un valor de unos 23.5 grados, pero a causa de las perturbacionesgravitacionales de la Luna, el Sol y los planetas, va cambiando ligeramente con el tiempo.Expresiones matematicas para hallar el valor de ε al segundo de arco estan dadas en laseccion 10.2, pag. 184.

4.3. LA ECLIPTICA 57

HORIZONTE MATEMATICOE

12.5

N

4.5N

4.3S

Figura 4.11: Posicion del ecuador celeste con respecto a la normal al horizonte para Bogota (4.5 N), San

Andres (12.5 N) y Leticia (4.3 S)

Si el valor de ε fuera cero, esto es, si el eje de rotacion terrestre coincidiera con la normalal plano de la orbita terrestre, entonces ecuador celeste y eclıptica serıan una misma cosa.Pero como la realidad es distinta, resulta que el ecuador celeste y la eclıptica forman unangulo que resulta siendo la oblicuidad de la eclıptica, ε, ver figura 4.14.

Los polos de la eclıptica estan ubicados a 23.5o grados de los polos celestes. El polo norteeclıptico y el polo sur eclıptico se representan por los sımbolos Π y Π′ respectivamente.

El hecho de que la Tierra este inclinada con respecto a la normal al plano de su orbitaquiere decir que entre la eclıptica y el ecuador celeste existe un angulo igual a la oblicuidadde la eclıptica, ε. Como ecuador celeste y eclıptica son circunferencias maximas y estasestan mutuamente inclinadas un determinado angulo, es evidente que existiran dos puntosde corte entre ellas. Dichos puntos de corte entre la eclıptica y el ecuador celeste son de unaimportancia capital en astronomıa.

Se llama punto vernal o primer punto de Aries o tambien equinoccio vernal a uno delos dos puntos de corte entre el ecuador celeste y la eclıptica, especificamente aquel quesurge del paso del Sol cuando atraviesa el ecuador celeste desde el hemisferio sur hacia elhemisferio norte. El otro punto, situado a 180 grados, se llama punto antivernal. El puntovernal, representado por el sımbolo g, es un punto imaginario sobre la boveda celeste quese comporta como una estrella situada exactamente en el ecuador celeste (ver figura 4.15).Su importancia radica en que es el origen de varios sistemas de coordenadas celestes (verseccion 5.3 y 5.4) como tambien el punto de referencia para la determinacion del tiemposideral (ver seccion 7.1.1).


ORBITA DE LA TIERRA

BOVEDA CELESTE

SOL

Figura 4.12: El plano de la Tierra en torno al Sol da origen al concepto de eclıptica

4.4 Estaciones

Muchas personas creen que la explicacion de las estaciones descansa en el hecho de que laorbita que describe la Tierra en torno del Sol es ovalada, pues piensan que en perihelio (lamenor distancia entre ambos astros) ocurre el verano y en afelio (la mayor distancia) ocurreel invierno. Un rapido vistazo a la tabla 4.1 permite cotejar que el perihelio de la Tierraocurre en los primeros dıas del ano (cuando en el hemisferio norte ocurre el invierno, y enel hemisferio sur el verano). De igual forma, el afelio sucede en los primeros dıas de julio(cuando en el hemisferio norte ocurre el verano, y en el hemisferio sur el invierno). La razonverdadera de la ocurrencia de las estaciones en la Tierra es la existencia de un angulo deinclinacion ε diferente de cero.

El Sol, en el transcurso del ano, corta al ecuador celeste en dos puntos, que se llamanequinoccios. Esto ocurre dos dıas en el ano: el 20 (o 21) de marzo y el 21 (o 22) de septiem-bre. En estos dıas la duracion del numero de horas de luz es igual al numero de horas de

Perihelio Afelio5 horas de enero 3 de 2000 23 horas de julio 3 de 20009 horas de enero 4 de 2001 14 horas de julio 4 de 200114 horas de enero 2 de 2002 4 horas de julio 6 de 20025 horas de enero 4 de 2003 6 horas de julio 4 de 200318 horas de enero 4 de 2004 11 horas de julio 5 de 20041 hora de enero 2 de 2005 5 horas de julio 5 de 2005

Tabla 4.1: Perihelio y afelios de la Tierra entre 2000 y 2005. Horas en TU

4.4. ESTACIONES 59

PSC

PNC

EJE DE ROTACION

ET

ε

Π

PLANO DE TRASLACION TERRESTRE

Figura 4.13: La oblicuidad de la eclıptica

oscuridad. Una vez que el Sol pasa por el equinoccio se va alejando lentamente del ecuadorceleste hasta alcanzar la mayor separacion con este: la separacion maxima entre el Sol y elecuador celeste es un angulo ε, esto es, de 23.5 grados. Estos puntos que estan ubicados enla eclıptica se llaman solsticios y ocuren el 21 (o 22) de junio y el 21 (o 22) de diciembre. Esen los solsticios cuando ocurre la mayor diferencia de duracion entre los dıas y las noches.

El verano se presenta en aquel hemisferio que esta recibiendo mayor cantidad de radiacionsolar en terminos de mayor duracion del dıa, esto es, los observadores en este hemisferio ob-servaran el Sol sobre su horizonte un tiempo que es mayor de 12 horas (ver figura 4.16).Para observadores situados en o cerca del ecuador terrestre (como es el caso de observadoressituados en el territorio nacional) el efecto de las estaciones es muy poco perceptible. Laduracion del dıa y de la noche varıan solo unos pocos minutos en el transcurso del ano.En Bogota, por ejemplo, a finales del mes de mayo el Sol sale mas temprano (5h42m) pero

ε

ε

εECLIPTICAECLIPTICA=ECUADOR CELESTE

PNC

PNS Π’

EC

ΠPNC

Π

Figura 4.14: Ecuador celeste y eclıptica. A la izquierda el caso hipotetico ε = 0. A la derecha el caso real


Π

ECUADOR CELESTE

ECLIPTICA

ε

ε

PUNTO VERNAL

PUNTOANTIVERNAL

PNC

PSC

Π’

Figura 4.15: Punto vernal y punto antivernal

se oculta a eso de las 18h3m; otro maximo lo vuelve a tener a finales de octubre (5h41m)ocultandose a eso de las (17h39m). El Sol sale mas tarde a finales de enero y comienzos defebrero (6h12m) ocultandose para esos dıas cerca de las (18h8m).

HS HS

PNCPNC

SOL

HN HN

Figura 4.16: Posicion del hemisferio norte (HN) y el hemisferio sur (HS) en los dos solsticios

Los solsticios y los equinoccios eran eventos que para los pueblos antiguos cobrabanespecial importancia. Muchos monumentos de la antiguedad, ası como numerosos emplaza-mientos de caracter religioso estaban debidamente orientados en la direccion de la salida ypuesta del Sol en los solsticios y los equinoccios1.

1La Navidad y el San Juan (celebrada principalmente en Espana) son dos fiestas religiosas cuyo origen

4.4. ESTACIONES 61

EN FE MAR AB MA JUN AG NOJUL SE OC DI

6 6

6 12

6 18

6 0

5 54

5 48

5 42

5 36

h m

EN FE ABMAR MA JUN JUL AG SE OC NO DI

h m

17 36

17 42

17 48

17 54

18 0

18 6

18 12

18 18

Figura 4.17: Tiempos de salida (izquierda) y puesta (derecha) del Sol para Bogota en el transcurso del

ano

A medida que la latitud del observador tienda hacia los polos, el efecto de la diferenciaentre el dıa y la noche es mas notorio: por ejemplo, cerca del solsticio de verano (para unobservador en el PNT) el Sol no se pondra sobre el horizonte: permanecera las 24 horasdel dıa sobre el horizonte; es el llamado sol de media noche. El invierno es justamente loopuesto: el otro hemisferio recibe menor cantidad de radiacion solar en terminos de mayorduracion de la noche que del dıa. Cerca del solsticio de invierno (para un observador en elPST) el Sol no saldra; existiran 24 horas de noche continua.

La tabla 4.2 contiene los tiempos (en tiempo universal) de la ocurrencia de los solsticiosy equinoccios de la Tierra para los anos 2000 a 2005.

Ano Equinoccio Solsticio Equinoccio Solsticiode marzo de junio de septiembre de diciembre

2000 dıa 20, 7h36m dıa 21, 1h48m dıa 22, 17h28m dıa 21, 13h38m






Tabla 4.2: Equinoccios y solsticios de la Tierra entre el 2000 y 2005

real fue la celebracion de los solsticios (de invierno y verano respectivamente) por parte de muchos pueblospaganos: la primera celebraba el fin de las noches largas y el inicio de los dıas de mayor duracion, interpretadapor los romanos como el renacimiento del dios solar Mitra y adoptada por la iglesia catolica como fecha denacimiento de Jesucristo tan solo hasta el ano 360 A.D.


4.5 Constelaciones

Nuestro Sol es una de las miles de millones de estrellas que conforman la galaxia de la VıaLactea. Podemos ver facilmente y a simple vista que se trata de un objeto redondo queemite a cada instante enormes cantidades de luz y calor que sustenta practicamente todala vida en nuestro planeta. Esta observacion es comun a todos nosotros gracias al hechode que vivimos en un sitio relativamente cercano a esa estrella que llamamos Sol. De estarobservando el Sol desde Pluton, o mas lejos, estarıamos tan alejados de el que pasarıa aconvertirse en una simple estrella. De hecho, las estrellas mas cercanas al Sol son contem-pladas a simple vista desde la Tierra como puntos luminosos, algunos brillantes, otros notanto. Ahora bien, notamos que las estrellas estan dispersadas de forma completamentedesordenada: no existe un patron regular de distribucion de las mismas en el cielo. Hoysabemos que no tiene porque haberlo: las estrellas que vemos a simple vista, al igual queel Sol, se mueven alrededor del centro de la galaxia gracias a la atraccion gravitacional queexiste entre ellas; van desplazandose por el espacio a velocidades y direcciones ligeramentedistintas las unas de las otras. Muchas de esas estrellas son jovenes (recien formadas) y otrasmoribundas: en un proceso azaroso, por el espacio, a medida que transcurren los mileniossurgen, evolucionan y desaparecen estrellas. Nosotros, como espectadores efımeros de estossucesos, tan solo estamos contemplando un cuadro de esa pelıcula galactica.

Cuando los seres humanos observamos las estrellas, nos vemos con el impulso de encontraralguna clase de ordenamiento, algun tipo de forma geometrica entre las mismas. Tambien esposible que, casualmente, una determinada distribucion de estrellas nos recuerde inmedia-tamente algun animal, objeto o cualquier otra cosa de nuestra experiencia diaria. Fue asıcomo, desde tiempos inmemoriales, los antiguos observadores del cielo comenzaron a estable-cer patrones dentro de esa distribucion caotica de estrellas.

Por ejemplo, un grupo de estrellas brillantes que aparentemente conforman una especiede triangulo, recordaba a varios pueblos antiguos la cabeza de un “toro”. Pero, lo que paraunos era la cabeza de un toro, para otros podıa ser “la punta de la flecha” o el “triangulo” ocualquier otra figura mas elaborada. Cada quien se vio con la libertad de interpretar y bau-tizar dicho grupo de estrellas conforme a sus creencias, vivencias y tradiciones. Otras agru-paciones de estrellas correrıan igual suerte. Lentamente surgieron caballos, leones, pescados,perros, serpientes, etc. Tambien aparecerıan dioses y heroes mitologicos. Aunque en algunoscasos el nombre de una constelacion hacıa justicia con el nombre que se le adjudicaba (comoen el caso de Escorpion o Leo, donde no hace falta ser muy imaginativo para darse cuenta queen efecto las estrellas conforman una figura tal que recuerda de inmediato a esos animales),por lo general los grupos de estrellas fueron bautizados con nombres que evocaban muy pocoa lo que realmente se veıa en el cielo: piensese en la gran dificultad con que se encuentrauno al tratar de buscar la figura de una virgen en el grupo de estrellas de la constelacion deVirgo, o de la reina Casiopea en la constelacion del mismo nombre.

Un numero significativo de constelaciones utilizadas hoy en dıa nos vienen directamentede los antiguos griegos. Sin embargo, las investigaciones historicas que se han hecho al res-pecto apuntan a que estos copiaron algunos de los patrones que astronomos babilonios ysumerios usaban ya unos 2000 A.C. El origen de los nombres de algunas de las constelaciones

4.5. CONSTELACIONES 63

mas populares se pierde, pues, en las profundidades del tiempo.

La descripcion mas antigua de las constelaciones de que tengamos noticias, tal y como lasconocemos modernamente, proviene de un trabajo titulado “fenomenos” (el cual no alcanzoa llegar hasta nosotros), escrito por el celebre matematico y astronomo griego Eudoxo deCnidos (408-355 A.C.). Pero sobrevivirıa la obra que cien anos despues (alrededor del 270A.C.) el poeta griego Arato compuso al hacer una version poetica de la obra de Eudoxollamandola tambien “fenomenos”, muy popular en la antiguedad. Posteriormente, ClaudioPtolomeo (100-170), uno de los astronomos y geografos mas famosos de la antiguedad, en suobra el Almagesto, realizo, en los libros septimo y octavo, un inventario del cielo que incluyoun catalogo muy completo de estrellas. Ahı se describen los nombres y las figuras de 48constelaciones, las cuales, con cambios muy sutiles, son practicamente identicas a las que seusan en astronomıa actualmente. Sin embargo, existıa una que otra region del cielo que noera cubierta por algun tipo de figura, esto es, existıan parches en la boveda celeste que noestaban rotulados con el nombre de alguna persona, animal o cosa, particularmente aquellossectores del cielo que son imposibles de observar desde las latitudes en que vivieron babilo-nios, egipcios y griegos. Estos vacıos (sobre todo la region que rodea el polo sur celeste)fueron lentamente llenados por hombres de la talla de Gerhardus Mercator (1512-1594), Jo-hannes Hevelius (1611-1687) y Nicolas-Louis de Lacaille (1713-1762), este ultimo llegandoa introducir 14 nuevas constelaciones. Con el tiempo, cualquier sector de la boveda celesteestuvo “dentro” de alguna constelacion definida.

En la primera reunion de la Union Astronomica Internacional (UAI), en el ano de 1922,oficialmente se adopto la lista completa de 88 constelaciones que usamos hoy. De la mismamanera que en cualquier terreno, isla, pueblo o ciudad existente en el continente ameri-cano pertenece a alguno de los 36 paıses oficialmente allı reconocidos, ası, cualquier estrella,nebulosa, galaxia, etc., “pertenece” a alguna de las 88 constelaciones en que se ha divididoel cielo. Para evitar confusiones y malos entendidos los paıses establecen fronteras lo masdefinidas posibles entre ellos. De igual forma, los astronomos se vieron en la necesidad deestablecer fronteras entre las mismas constelaciones, las cuales se definieron por medio decoordenadas ecuatoriales ya para el ano de 1930.

Por lo tanto, el concepto moderno de constelacion es distinto del que le dieron los an-tiguos. Para nosotros ya no se trata de “un grupo de estrellas que nos recuerda determinadodios, persona, animal o cosa”, sino mas bien una constelacion es tan solo una de las 88partes en que arbitrariamente se ha dividido la boveda celeste.

En la figura 4.18 podemos observar una de las constelaciones mas conocidas y facilesde identificar: la constelacion de Orion, el cazador del cielo. Las fronteras entre las cons-telaciones son representadas como trazos segmentados. Son de uso comun, como ayudapara distinguir y ubicar rapidamente las estrellas principales, los trazos continuos entre lasestrellas mas representativas y que permitan, si es posible, esbozar la figura que dio origenal nombre de la constelacion.

El concepto de constelacion es util porque nos permite ubicar rapidamente un cuerpoceleste en un sector definido del cielo. Para alguien que conoce la boveda celeste, tendra una


... . .

.

.

..

....

....

.

... ..

BETELGEUSE

RIGELBELLATRIX

TAURO

GEMINIS MONOCEROS

LE

PUS

ERIDANUS

ORION

Figura 4.18: Constelacion de Orion

buena idea de donde se encuentra digamos la Luna si se le dice que esta, para un instantedado, en la constelacion de Cancer.

Las constelaciones que casi todo el mundo ha oıdo mencionar —aunque muy pocos tienenla habilidad de distinguir unas cuantas a simple vista— son sin duda las zodiacales: Aries (elcarnero), Tauro (el toro), Geminis (los gemelos), Cancer (el cangrejo), Leo (el leon), Virgo(la virgen), Libra (la balanza), Escorpion, Sagitario (el arquero), Capricornio (la cabra),Acuario y Piscis (los peces). La astrologıa ha tenido mucho que ver en la fama de estas doceconstelaciones. La difusion que tienen entre la mayorıa de la poblacion se debe al hechode que la eclıptica (la trayectoria aparente que describe el Sol por entre las estrellas) pasaa traves de estas constelaciones. Siendo estrictos el numero de constelaciones zodiacalesdeberıa ser de 13 y no de 12, pues la eclıptica atraviesa parte de la constelacion de Ofiuco(el portador de serpientes). Debido a la pequena inclinacion que tienen los planetas (salvoel planeta Pluton) y la Luna con respecto al plano de la eclıptica, es un hecho que estoscuerpos celestes se encuentren ubicados permanentemente entre las constelaciones zodiacales(ver pie de pagina de la pagina 100).

4.6 Nombres de estrellas y designaciones

Aproximadamente se pueden ver a simple vista unas cinco mil estrellas. Sin embargo, solounos pocos centenares poseen nombres propios y alrededor de unas sesenta son utilizadas

4.7. CATALOGOS DE ESTRELLAS 65

por los navegantes, ingenieros geografos y otros profesionales.

Los nombres propios de las estrellas poseen diversos orıgenes. Algunos de esos nombresprovienen directamente del griego, tales como Procyon, Canopus y Antares. Estrellas co-mo Sirius y Arcturus ya aparecen mencionadas en la obras de los celebres poetas griegosHomero y Hesiodo, alrededor del siglo VIII A.C. Es conocido que muchos de los nombresde las estrellas provienen del arabe. El prefijo Al (que en arabe significa el artıculo definido“el”) comienza el nombre de algunas estrellas: Aldebaran (el seguidor), Algenib (el costa-do) y Algol (el demonio). Tan solo unas cuantas estrellas tienen nombres recientes comopor ejemplo Cor Caroli, la estrella mas brillante de la constelacion de Canes Venatici, cuyonombre fue colocado por Edmond Halley.

El astronomo aleman Johann Bayer publico en 1603 un libro llamado Uranometria enel cual introdujo un sistema de letras griegas para designar las estrellas mas brillantes deuna constelacion. Basado en el trabajo de Tycho Brahe, quien determino las posicionesestelares y magnitudes de un gran numero de estrellas visibles a simple vista, Bayer asignoa cada estrella de una constelacion una de las 24 letras del alfabeto griego. De esta manerala designacion de una estrella esta dada por la letra griega seguida de la forma genitiva (ladeclinacion que da la idea de pertenencia) del nombre de la constelacion. Ası por ejemplola estrella Sirius, la estrella mas brillante de la constelacion de Canis Major (el can ma-yor) queda, bajo la designacion de Bayer, Alfa Canis Majoris. El primer astronomo realde inglaterra, John Flamsteed, para comienzos del siglo XVIII, numero las estrellas dentrode cada constelacion de manera consecutiva de acuerdo con su ascension recta. Aun hoyse siguen utilizando los numeros de Flamsteed para designar estrellas poco brillantes, comopor ejemplo 61 Cygni.

Con el tiempo se han elaborado catalogos que incluyen gran cantidad de estrellas, conlo que la designacion de las mismas se complica. Por lo general estos catalogos ignoran lapertenencia de una estrella a una constelacion dada y la numeracion se basa en el sentidocreciente de la ascension recta. Por ejemplo, la estrella Vega (Alfa Lyrae) es designadacomo BD+38o3238 en el catalogo Bonner Durchmusterung ; al mismo tiempo se llama HD172167 en el catalogo de Henry Draper de clasificaciones espectrales; o tambien GC 25466en el “Catalogo general de 33 342 estrellas” de Benjamın Rose; o ADS 11510 en el “Nuevocatalogo general de estrellas dobles” de Robert Aitken.

4.7 Catalogos de estrellas

El primer catalogo de estrellas propiamente dicho se atribuye a Ptolomeo en el siglo II A.D.Se ha sugerido que Ptolomeo lo que hizo fue copiar y actualizar ligeramente el trabajo he-cho en el mismo sentido por el celebre astronomo griego Hiparco en el siglo I A.C. Perolas evidencias historicas apuntan a que Ptolomeo obtuvo por sı mismo las posiciones de almenos 850 estrellas de las 1022 que aparecen en el Almagesto. Es de notar que el catalogode Ptolomeo permanecio en uso por mas de quince siglos, haciendose obsoleto solo hastabien entrado el Renacimiento. Con la aparicion de Tycho Brahe a finales del siglo XVIcomenzo a aparecer el espıritu de la busqueda frenetica de la exactitud en las observaciones


astronomicas. Con ayuda de cuadrantes y sextantes monumentales (el telescopio fue utiliza-do por primera vez con fines astronomicos por Galileo ocho anos despues de la muerte deBrahe), el habil astronomo danes midio las posiciones de 1000 estrellas. Puesto que el poderde resolucion de un ojo normal humano alcanza los dos minutos de arco, es de suponer quelas observaciones de Brahe alcanzaran una precision de dos a cuatro minutos de arco. Uncatalogo equivalente al de Brahe pero para el hemisferio sur celeste tuvo que esperar hastaunos 90 anos despues, cuando Edmond Halley publico las posiciones de unas 350 estrellasfruto de observaciones realizadas por una expedicion britanica en una diminuta isla ubicadaen el Atlantico Sur llamada Santa Helena2.

El primer astronomo real de inglaterra, John Flamsteed, fue el primero en utilizar eltelescopio para medir las posiciones de las estrellas. El catalogo de sus observaciones, quecontiene unas 3000 estrellas, llamado Historia Coelistis Britannica, fue publicado completoseis anos despues de su muerte. El tercer astronomo real de inglaterra, James Bradley,logro, a los pocos anos, medir las posiciones de estrellas con la precision de unos cuantossegundos de arco, por lo que no es de extranar que haya descubierto el mismo los fenomenosde nutacion y aberracion anual (ver secciones 10.2 y 10.3.1). Ya para comienzos del sigloXIX Friedrich Bessel lograrıa precisiones del segundo de arco o menores, lo que le permitirıacon el tiempo ser el primero en detectar la paralaje de una estrella (ver seccion 10.5.2).

En 1862 el astronomo Friedrich Argelander publico un catalogo, llamado Bonner Durch-musterung o, mas sencillamente, catalogo BD, el cual contiene unas 324 000 estrellas (casitodas mas brillantes que la magnitud 9.5) ubicadas entre las declinaciones +90o y −2o, loque se explica si se tiene en cuenta que las observaciones las realizo en la ciudad alemanade Bonn (φ = 50.75o). Con ayuda de un telescopio de apenas 8 cm de abertura Argelanderhabıa superado ampliamente las catalogos y cartas que existıan hasta entonces. Aun hoyel catalogo BD es de gran utilidad. Ademas sirvio de base para la elaboracion posterior deotros dos catalogos que cubrıan el cielo completamente. En total se estima que el numerode estrellas que estan registradas al menos en uno de los catalogos existentes es cercano almillon, un numero bastante grande, pero que constituye tan solo 1/400 000 de las estrellasque se estima existen en la galaxia de la Vıa Lactea.

Hoy en dıa existen los denominados catalogos fundamentales. La idea es seleccionar algu-nas estrellas a las cuales, paciente y dedicadamente, se les determina su posicion con extremaexactitud. Los catalogos fundamentales se realizan con base en las llamadas observacionesfundamentales (cırculo meridiano). La fotografıa sirve para determinar posiciones de lasdemas estrellas con base en las estrellas fundamentales. Con ayuda de las placas fotograficastomadas a intervalos regulares es posible determinar movimientos propios y paralajes. Unalista de esas estrellas que contengan las posiciones y movimientos propios (preferiblementetambien su velocidad radial y paralaje) con respecto a un equinoccio estandar y una epocadeterminada (1950.0, 1975.0, 2000.0) que se distribuyan regularmente a traves del cielo,es llamada un catalogo fundamental. Las posiciones de las demas estrellas se miden conrespecto a las estrellas que constituyen el catalogo fundamental. De hecho, el sistema de

2El mismo sitio que se harıa celebre unos 150 anos despues por ser el lugar donde Napoleon I pasarıa,como prisionero de los ingleses, sus ultimos dıas.

4.7. CATALOGOS DE ESTRELLAS 67

coordenadas que define un catalogo fundamental es una aproximacion muy cercana a unmarco fijo de referencia. Los catalogos fundamentales son revisados y actualizados cadapocas decadas. Son conocidos el Dritter Fundamentalkatalog des Berliner AstronomischenJahrbuchs el cual se acostumbra a abreviar simplemente como FK3. Este catalogo fue pu-blicado en 1937 y luego expandido el ano siguiente hasta incluir unas 1600 estrellas referidasal equinoccio de 1950.0. Unos 25 anos despues fue publicada una revision del FK3 conocidacomo FK4. En 1988 aparecio una revision del FK4, con adopcion de nuevas constantes (parala precesion) y correcciones al equinoccio, conocida como FK5, la cual refiere las posicionesde las estrellas al equinoccio del 2000.0.

Ahora bien, el catalogo fundamental da las posiciones de las estrellas para un equinocciodeterminado (el 2000 para el FK5). Pero, como se vera con mas profundidad en la capıtulo10, sucede que, conforme pasa el tiempo, las posiciones de las estrellas estan cambiandoa causa de los fenomenos de precesion, nutacion, aberracion anual, movimiento propio,paralaje y defleccion gravitacional de la luz. Existen formulas complejas (necesarias paralos niveles de resolucion que se manejan hoy en dıa) que permiten determinar la posicionaparente de una estrella para un tiempo dado cualquiera. Sin embargo, para facilitar la labordel astronomo, existe una publicacion anual denominada Apparent Places of FundamentalStars la cual contiene las posiciones aparentes (corregidas ya por todos los fenomenos anteri-ormente citados) de las estrellas del catalogo fundamental en vigencia a intervalos de 10 dıas.

Actualmente se disponen de catalogos de estrellas realizados por satelites artificiales.Es el caso del satelite europeo Hipparcos (acronimo de HIgh Precision PARallax COllect-ing Satellite) cuya pronunciacion es parecida al nombre del astronomo griego Hiparco. Delanalisis de las placas tomadas por Hipparcos se ha realizado el catalogo Hipparcos el cual esfundamentalmente un catalogo astrometrico. Dicho catalogo contiene 120 000 estrellas conprecisiones a nivel astrometrico del milisegundo de arco.

Un tratamiento posterior fue llevado a cabo de todos los datos basicos recogidos porHipparcos y de ello resulto el catalogo Tycho (en honor a Tycho Brahe) el cual contiene masde un millon de estrellas con datos astrometricos al nivel de 20 a 30 milisegundos de arco.


• Anuario del Observatorio Astronomico Nacional, Universidad Nacional de Colombia, Facultadde Ciencias, Bogota.

Con publicacion anual, contiene posiciones del Sol, Luna, planetas, y 480 estrellas brillantescon fenomenos astronomicos para el Tiempo Oficial de la Republica de Colombia.

• Apparent Places of Fundamental Stars, Astronomisches Rechen-Institut, Heidelberg.

Con publicacion anual, contiene las posiciones aparentes con intervalos de 10 dıas de unas1500 estrellas del FK5.


Con publicacion anual, contiene la mas completa documentacion de las posiciones del Sol,Luna, planetas, satelites, estrellas brillantes, radiofuentes, tiempos de salida y puesta del Soly Luna, etc.


• Levy, D. H. (1998) Observar el cielo, Editorial Planeta S.A., Singapur.

Escrito por un celebre descubridor de cometas, este libro constituye una excelente guıa paralos iniciados en la astronomıa. La descripcion de cada una de las constelaciones es excelente.

• Martın-Asın F. (1999) La cartografıa del cielo: las constelaciones del zodıaco, Revista colom-biana de astronomıa, astrofısica, cosmologıa y ciencias afines, Vol. 1, p. 145.

Breve descripcion de las constelaciones, en particular de aquellas que definen el zodıaco.

• Mejıa, A. Efemerides astronomicas, Editorial Universidad Pontificia Bolivariana, Medellın.

Con publicacion anual, contiene posiciones del Sol, Luna, planetas con fenomenos astronomicospara el Tiempo Oficial de la Republica de Colombia.

• http://www.dibonsmith.com/stars.html

En esta hoja electronica se encuentran bastante informacion sobre todo lo que se quiera sabersobre las constelaciones.

• http://ad.usno.navy.mil/star/star_cats_rec.html

En este sitio se encuentran varios catalogos astrometricos, incluido el FK5.

• http://www.physics.csbsju.edu/astro/CS/CSintro.html

Contiene conceptos basicos sobre la esfera celeste y coordenadas astronomicas.

Capıtulo 5

COORDENADAS CELESTES

Para especificar con exactitud y de forma unıvoca la posicion de los astros en la bovedaceleste los astronomos utilizan varios sistemas de coordenadas. De uso comun existen lossiguientes sistemas:

1. Coordenadas horizontales,2. Coordenadas ecuatoriales horarias,3. Coordenadas ecuatoriales (o ecuatoriales absolutas),4. Coordenadas eclıpticas,5. Coordenadas galacticas.

Pasaremos a continuacion a examinar con detalle cada uno de estos sistemas.

5.1 Coordenadas horizontales

Las coordenadas horizontales tienen como plano de referencia el horizonte matematico delobservador. Tales coordenadas permiten ubicar la posicion aparente de un astro para unobservador cualquiera situado a una latitud y longitud dadas para un instante de tiempoespecificado.

Las coordenadas son (ver figura 5.1):

A = azimut (o acimut),h = altura.

El azimut A de un astro es el angulo contado sobre el horizonte que comienza a medirsedesde el punto cardinal norte en direccion hacia el este (oriente) hasta la vertical del astrocorrespondiente.

69

70 CAPITULO 5. COORDENADAS CELESTES

HORIZONTE

h

N

C’

C

S O

E

W

A

VERTICAL

∗

Figura 5.1: Coordenadas horizontales

El azimut tiene valores comprendidos entre el siguiente intervalo:

0o ≤ A < 360o.

La altura h de un astro es el angulo contado sobre la vertical del astro que comienza amedirse desde el horizonte hasta el astro correspondiente.

Tenemos que el signo de la altura h de un astro relativo a un observador constituye uncriterio de visibilidad del mismo. Si el astro esta por encima del horizonte (visible parael observador) tendremos h > 0; pero si esta por debajo del horizonte (invisible para elobservador) obtenemos h < 0.

La altura tiene valores comprendidos entre el siguiente intervalo:

−90o ≤ h ≤ 90o.

Notese que:

h(cenit) = 90o, h(nadir) = −90o, h(horizonte) = 0o.

El complemento de la altura es llamado distancia cenital, denotado por z, de tal formaque:

5.2. COORDENADAS ECUATORIALES HORARIAS 71

z = 90− h. (5.1)

Es importante recalcar el hecho de que a causa del movimiento diurno las coordenadashorizontales de un astro estan cambiando permanentemente por lo que es necesario especi-ficar el tiempo de la observacion con la mayor exactitud. De igual forma, para el mismoinstante de tiempo, las coordenadas horizontales de dos observadores con distintas latitudesy/o longitudes difieren tambien.

NOTA: El lector ha de tener presente que en muchos libros de astronomıa esfericadefinen el azimut de tal forma que comienza a medirse desde el punto cardinal sur en direccionhacia el oeste. Al llamar A′ al azimut ası definido tendremos la relacion: A′ = A+ 180.

5.2 Coordenadas ecuatoriales horarias

Las coordenadas ecuatoriales horarias tienen como plano de referencia el ecuador celeste.


H = angulo horario,δ = declinacion.

El angulo horario H de un astro es el angulo contado sobre el ecuador celeste que comien-za a medirse desde el meridiano del observador en direccion hacia el oeste (occidente) hastael cırculo de declinacion del astro correspondiente.

Es de uso muy frecuente especificar el angulo horario en unidades de tiempo. Puesto quela boveda celeste describe una circunferencia completa (360 grados) en 24 horas, tendremosque:

15o = 1 hora.

Por ejemplo, H = 35o 25’ 36” (en unidades de grados) equivale a

35o 25’ 36” = 35.4266666o/15 = 2.36177777h = 2h 21m 42.4s.

El angulo horario tiene valores comprendidos entre el siguiente intervalo:

0o ≤ H < 360o, o mejor : 0h ≤ H < 24h.

La declinacion δ de un astro es el angulo medido sobre el cırculo de declinacion de esteque comienza a contarse desde el ecuador celeste hasta el astro correspondiente.

La declinacion es positiva si la estrella esta ubicada en el hemisferio norte celeste, de locontrario es negativa.

Notese que:


HORIZONTE

δ

E

S

C’

ECUADOR

CIRCULODE DECLINACION

C

O

W

N

CELESTE

H

*

MERIDIANO DEL OBSERVADOR

PSC

PNC

Figura 5.2: Coordenadas ecuatoriales horarias

δ(PNC) = 90o, δ(PSC) = −90o, δ(E.C.) = 0o.

Las coordenadas ecuatoriales horarias son parcialmente absolutas. Con ello queremosdecir que aunque la declinacion de un astro es la misma para un observador independi-entemente de su posicion geografica y de la hora de observacion, el angulo horario no loes.

5.3 Coordenadas ecuatoriales (ecuatoriales absolutas)

Al igual que las coordenadas ecuatoriales horarias, las coordenadas ecuatoriales absolutastienen como plano de referencia el ecuador celeste.


α = ascension recta,δ = declinacion.

La declinacion es el mismo angulo que definimos al introducir las coordenadas ecuatoria-les horarias.

5.4. COORDENADAS ECLIPTICAS 73

HORIZONTE

E

O

C’

ECUADORCELESTE

CIRCULODE DECLINACION

PNC

N S

PSC

C MERIDIANO DEL OBSERVADOR

W

α

δ*

Figura 5.3: Coordenadas ecuatoriales absolutas

La ascension recta α de un astro es el angulo medido sobre el ecuador celeste contadodesde el punto vernal en direccion contraria a la de las agujas del reloj, visto desde el PNC,hasta el cırculo de declinacion del astro.

Al igual que el angulo horario, la ascension recta de un astro se acostumbra expresar enunidades de tiempo.

La ascension recta tiene valores comprendidos entre el siguiente intervalo:

0o ≤ α < 360o, o mejor : 0h ≤ α < 24h.

Las coordenadas ecuatoriales son absolutas, esto es, son validas para cualquier obser-vador independiente de su latitud y longitud geografica. Por tal razon, los almanaquesastronomicos expresan la posicion de las estrellas, planetas, Luna, Sol y otros cuerpos ce-lestes en terminos de las coordenadas ecuatoriales.

5.4 Coordenadas eclıpticas

Las coordenadas eclıpticas tienen como plano de referencia a la eclıptica, esto es, a la trayec-toria aparente del Sol en la boveda celeste.



λ = longitud eclıptica,β = latitud eclıptica.

∗

β

O

PSC

ε

ε

ΠPNC

λ

Π

ε

ECLIPTICA

ECUADORCELESTE

’

Figura 5.4: Coordenadas eclıpticas

Notese que estamos utilizando el mismo sımbolo (λ) para designar tanto la longitud geo-grafica como la longitud eclıptica. El lector debe estar atento para evitar confusiones.

La longitud eclıptica λ de un astro es el angulo medido sobre la eclıptica que se cuentaa partir del punto vernal en direccion contraria de las agujas del reloj, visto desde el PNC,hasta la semicircunferencia que pasa por los polos eclıpticos (Π y Π′ ) y el astro en cuestion.

La longitud eclıptica tiene valores comprendidos entre el siguiente intervalo:

0o ≤ λ < 360o.

La latitud eclıptica β de un astro es el angulo medido sobre la semicircunferencia quepasa por los polos eclıpticos y el astro en cuestion que comienza a contarse desde la eclıpticahasta el astro correspondiente.

Notese que:

β(Π) = 90o, β(Π′) = −90o, β(ecl.) = 0o.

5.5. COORDENADAS GALACTICAS 75

5.5 Coordenadas galacticas

Las coordenadas galacticas tienen como plano de referencia al plano de la galaxia en la quese encuentra el Sol, esto es, la Vıa Lactea. En una noche despejada, oscura y lejos de la luzde la ciudad, es posible observar un gran manchon neblinoso que se extiende por el cielo.Dicho manchon resulta de la acumulacion de miles de millones de estrellas situadas en sumayorıa a cientos y miles de anos luz de distancia. Puesto que nuestra galaxia es de tipoespiral, su forma, para un observador exterior a ella, sera similar a la de una lente muydelgada. Nosotros, por estar ubicados muy cerca al plano central de dicha lente e inmersosen ella, contemplamos la Vıa Lactea como un anillo luminoso que circunda la boveda ce-leste. En estudios de la galaxia e incluso de objetos extragalacticos es frecuente designar lasposiciones de ciertos objetos utilizando las coordenadas galacticas.

ECUADORCELESTE

PLANO

GALA

CTICO

l

bP

CG

G

PG

PSC

PNC

O

∗

Figura 5.5: Coordenadas galacticas


l = longitud galactica,b = latitud galactica.


La longitud galactica l de un astro es el angulo medido sobre el plano galactico, quecomienza a contarse desde un punto proximo al centro de la galaxia (CG), en la mismadireccion en que se cuentan la ascension recta y la longitud eclıptica, hasta la semicircun-ferencia que pasa por el astro y los polos galacticos.

La longitud galactica tiene valores comprendidos entre el siguiente intervalo:

0o ≤ l < 360o.

La latitud galactica b de un astro es el angulo medido sobre aquella semicircunferenciaque pasa por los polos galacticos y el astro en cuestion que comienza a contarse desde elplano galactico hasta el astro correspondiente.

Designando como PG y P ′G a los polos galacticos norte y sur respectivamente tenemos:

bPG = 90o, bP ′G = −90o, b(plano gal.) = 0o.

La posicion del cero de la longitud galactica (el centro galactico nominal) fue acordadoen 1959 por la Union Astronomica Internacional y esta situado en las siguientes coordenadasecuatoriales (2000.0):

α = 17h45.6m, δ = −28o56.3′.

Observaciones recientes han mostrado que el centro galactico real coincide con una fuentede radio e infrarroja (Sagitario A) la cual esta situada unos pocos minutos de arco de suposicion nominal; sin embargo, el centro nominal se sigue usando como punto cero para lalongitud galactica. De ello resulta que la posicion del verdadero centro galactico este situadoa:

l = −3.34′, b = −2.75′.

5.6 Transformacion entre los sistemas de coordenadas

Para encontrar relaciones entre los distintos tipos de coordenadas necesitamos de los con-ceptos de trigonometrıa esferica vistos en la seccion 2.1.

El caso clasico de transformacion entre coordenadas celestes es el paso entre las horizon-tales a ecuatoriales horarias o viceversa.

5.6.1 De horizontales a ecuatoriales horarias y viceversa

Considerese la figura 5.6 en donde estan representadas las coordenadas horizontales y lasecuatoriales horarias de un astro cualquiera. Concentremos nuestra atencion en el trianguloesferico resaltado en la figura.

Es evidente que tenemos los siguientes valores como lados y angulos de dicho triangulo:

5.6. TRANSFORMACION ENTRE LOS SISTEMAS DE COORDENADAS 77

Lados Angulos

90− φ Ξ90− δ 360−A90− h H

O

C’

C

∗

PSC

SHORIZONTE

ECUADOR CELESTE

N

W A

H

δ

PNC

h

E

Ξ

φ

Figura 5.6: Relacion entre coordenadas horizontales y ecuatoriales horarias

Utilizando el teorema del seno (ecuacion 2.13) obtenemos:

sen (90− δ)sen (360−A)

=sen (90− h)

senH,

puesto que sen (90 − x) = cosx, y sen (360 − x) = − senx (siendo x cualquier angulo) sededuce:

cos δ senH = − cosh senA. (5.2)

De igual forma, al aplicar el teorema del coseno (ecuacion 2.14) obtenemos:

cos(90− δ) = cos(90− φ) cos(90− h) + sen (90− φ) sen (90− h) cos(360−A),

y como cos(90− x) = senx, y cos(360− x) = cosx, se obtiene:


sen δ = senφ senh+ cosφ cosh cosA. (5.3)

Aplicando el teorema del coseno con otro de los lados:

cos(90− h) = cos(90− δ) cos(90− φ) + sen (90− δ) sen (90− φ) cosH,

que se covierte en:senh = sen δ senφ+ cos δ cosφ cosH. (5.4)

Las ecuaciones (5.2), (5.3) y (5.4) son suficientes para pasar del sistema horizontal alecuatorial horario o viceversa.

De horizontales a ecuatoriales horarias : Conocidos φ, h y A determinar δ y H.

Mediante la ecuacion (5.3) se halla inmediatamente la declinacion δ :

δ = sen−1( senφ senh+ cosφ cosh cosA). (5.5)

Habiendo determinado δ y con la ecuacion (5.2) calculamos H:

H = sen−1

(− cosh senA

cos δ

), (5.6)

es evidente que de la ecuacion (5.4) encontramos otra expresion para H:

H = cos−1

(senh− sen δ senφ

cos δ cosφ

). (5.7)

NOTA: En el calculo de H se ha de tener mucho cuidado con el verdadero cuadrante enel que esta situado el astro. Puesto que H va de 0 a 360 grados al tomar las funciones inversasde los valores entre parentesis de la ecuaciones (5.6) y (5.7) las calculadoras y computadorassolo muestran uno de los dos valores que satisfacen la ecuacion. Una manera inmediata dedeterminar el correcto cuadrante de H es utilizando la siguiente regla, donde H es el valorcalculado con la formula del coseno inverso (5.7):

Si A < 180 entonces H = 360−H,Si A > 180 entonces H = H.

Ejemplo 1

Calcular H y δ de una estrella si sus cordenadas horizontales son: A = 210o34′, h =35o43′ para un observador situado a φ = 3o25′ N.

Solucion

Utilizamos la ecuacion (5.5) para calcular la declinacion:


δ = sen−1 [ sen (3o25′) sen (35o43′) + cos(3o25′) cos(35o43′) cos(210o34′)] ,

δ = sen−1(−0.6630548) = −41o32′.

Hacemos uso ahora de la ecuacion (5.6) para determinar el angulo horario:

H = sen−1(− cos(35o43′) sen (210o34′)

cos(−41o32′)

),

H = sen−1(0.5515730) = 33o28.5′ = 2h13.9m.

Hagamos el mismo calculo con la ecuacion (5.7):

H = cos−1(

sen (35o43′)− sen (−41o32′) sen (3o25′)cos(−41o32′) cos(3o25′)

),

H = cos−1(0.8341279) = 33o28.5′ = 2h13.9m.

En este caso no existe problema con determinar el verdadero cuadrante de H. Con elvalor del angulo H hallado con (5.7) y puesto que en nuestro caso A > 180 es claro que elvalor de H permanece inalterado.

Ejemplo 2

Calcular H y δ de una estrella si sus cordenadas horizontales son: A = 47o34′, h = 67o45′

para un observador situado a φ = 17o36′ S.

Solucion

Antes de proceder con el calculo hay que tener en cuenta que a φ debe anteponersele elsigno negativo a causa de que es una latitud sur.

Calculamos la declinacion:

δ = sen−1 [ sen (−17o36′) sen (67o45′) + cos(−17o36′) cos(67o45′) cos(47o34′)] ,

δ = sen−1(−0.0363284) = −2o5′.

Calculamos el angulo horario con (5.6):

H = sen−1(− cos(67o45′) sen (47o34′)

cos(−2o5′)

),

H = sen−1(−0.2796513) = −16o14.3′ = 343o45.7′ = 22h55m.

Hagamos el mismo calculo con la ecuacion (5.7):


H = cos−1(

sen (67o45′)− sen (−2o5′) sen (−17o36′)cos(−2o5′) cos(−17o36′)

),

H = cos−1(0.9600947) = 16o14.3′ = 1h5m.

En este caso tenemos dos valores para H : 343o45.7′ y 16o14.3′. ¿Cual es el correcto?Con el valor del angulo H hallado con el coseno inverso (16o14.3′) y dado que A < 180entonces: H = 360−H = 343o45.7′ = 22h55m.

De ecuatoriales horarias a horizontales: Conocidos φ, δ y H, determinar h y A.

Antes de comenzar a reemplazar en las formulas se ha de tener cuidado en convertir elangulo horario H (que usualmente viene en unidades de tiempo) en unidades de grados.

Mediante la ecuacion (5.4) se halla inmediatamente la altura h :

h = sen−1( sen δ senφ+ cos δ cosφ cosH). (5.8)

Habiendo determinado h y con la ecuacion (5.2) calculamos A:

A = sen−1

(− cos δ senH

cosh

). (5.9)

De la ecuacion (5.3) encontramos otra expresion para A:

A = cos−1

(sen δ − senφ senh

cosφ cosh

). (5.10)

NOTA: Al igual que en el calculo de H para determinar A se ha de tener cuidado conel verdadero cuadrante en el que esta situado el astro. Como antes, una manera segura dedeterminar el correcto cuadrante de A es utilizando la siguiente regla, donde A es el valorcalculado con la formula del coseno inverso (5.10):

Si H < 180 (12h) entonces A = 360−A,Si H > 180 (12h) entonces A = A.

Ejemplo 1

Calcular el azimut y la altura de una estrella para un observador ubicado en Mocoa(Putumayo) si las coordenadas ecuatoriales horarias de dicha estrella en ese instante son:δ = 34o14′ y H = 5h35.3m.

Solucion

En el apendice B encontramos la latitud de Mocoa: 1o9′. Convertimos el angulo horarioen unidades de grados: H = 5h35.3m × 15 = 83o49.5′. Reemplazando en la ecuacion (5.8)hallamos la altura h:


h = sen−1 [ sen (34o14′) sen (1o9′) + cos(34o14′) cos(1o9′) cos(83o49.5′)] ,

h = sen−1(0.1002029) = 5o45′.

Calculado h determinamos ahora el azimut con ayuda de la ecuacion (5.10):

A = cos−1(

sen (34o14′)− sen (1o9′) sen (5o45′)cos(1o9′) cos(5o45′)

),

A = cos−1(0.5635018) = 55o42′,

pero, puesto que H < 180, entonces el verdadero angulo de A es:

A = 360− 55o42′ = 304o18′.

Ejemplo 2

Determinar la altura y el azimut de la estrella Rigel para un observador situado enCartagena si su angulo horario para ese instante es H = 20h45.1m.

Solucion

Del apendice E extraemos la declinacion aproximada al minuto de arco de la estrella Rigel(δ = −8o12′). Ası mismo, del apendice B encontramos la latitud de Cartagena: 10o27′. Elangulo horario es, en unidades de grados: 311o16.5′. Calculamos la altura:

h = sen−1 [ sen (−8o12′) sen (10o27′) + cos(−8o12′) cos(10o27′) cos(311o16.5′)] ,

h = sen−1(0.6162300) = 38o2.5′.

Luego calculamos el azimut con (5.10):

A = cos−1(

sen (−8o12′)− sen (10o27′) sen (38o2.5′)cos(38o2.5′) cos(10o27′)

),

A = cos−1(−0.3284699) = 109o10.5′,

y dado que H > 180, entonces el angulo A que acabamos de hallar es el valor buscado.

5.6.2 Ecuatoriales horarias a ecuatoriales absolutas y viceversa

Puesto que la declinacion δ es comun a ambos sistemas lo unico que hay que considerar aquıes la relacion entre la ascension recta α y el angulo horario H. La conexion se establecea traves de algo que nos indique la posicion del punto vernal. Y este algo se llama tiemposideral local , TSL. El tiempo sideral local de un observador en un instante dado se definecomo el angulo horario del punto vernal:

TSL = Hg. (5.11)


HORIZONTE

E

O S

C’

H

PNC*

N

PSC

C

TSL

αW

ECUADORCELESTE


Figura 5.7: Relacion entre α, H y TSL (Hg)

En la figura 5.7 podemos apreciar la relacion entre α, H y TSL y deducir una ecuacionsupremamente importante:

TSL = Hg = α+H. (5.12)

La obtencion del TSL para cualquier observador y para cualquier instante de tiempo severa con detalle en la seccion 7.9.

Ejemplo 1

Determinar el angulo horario de la estrella Sirius para un observador cuyo tiempo siderallocal en ese instante es de TSL = 3h51.8m.

Solucion

En el apendice E encontramos la ascension recta de Sirius: α = 6h45m. Entonces:

H = TSL− α = 3h51.8m − 6h45m = −2h53.2m,

como el angulo es negativo sumamos en tal caso 24 horas:

H = −2h53.3m + 24h = 21h6.8m.


Ejemplo 2

Calcular el angulo horario del punto vernal para un observador cuyo angulo horario dela estrella Procyon es de 22h7.4m.

Solucion

Del apendice E extraemos el valor de la ascension recta para Procyon: 7h39s. Por lotanto:

Hg = α+H = 7h39s + 22h7.4m = 29h46.4m,

y puesto que el valor excede las 24 horas sencillamente le restamos 24:

Hg = TSL = 29h46.4m − 24h = 5h46.4m.

Ejemplo 3

Se desea conocer la altura y el azimut de una estrella en el instante 4h55m36s de TiempoOficial de la Republica de Colombia del 4 de marzo de 2000 para un observador situado enlas siguientes coordenadas: φ = 4o58′17′′ N, λ = 75o3′45′′ W. Las coordenadas ecuatorialesde la estrella son: α = 23h34m34.5s y δ = 45o23′45′′.

Solucion

La resolucion de este ejercicio implica el conocimiento de varios conceptos que aun no sehan visto, pero que se estudiaran a su debido tiempo. El asunto clave es la determinaciondel TSL. El lector puede ver con detalle el calculo de este valor en la seccion 7.9. Supon-dremos en este ejemplo que el lector ya conoce el concepto de hora local, tiempo universal,fecha juliana y TSG0. El tiempo universal TU en el instante dado es, de acuerdo con laecuacion (7.8): TU = (TL)Colombia + 5, donde TL es la hora oficial en Colombia. Entonces:TU = 9h55m36s.

Con ayuda del apendice F o con la ecuacion (7.15) determinamos la fecha juliana del 4 demarzo de 2000: 2 451 607.5. Con la fecha juliana calculamos el valor T dado en (7.17), el cualpara nuestro caso da: T = 0.001711157. Con la formula (7.16) calculamos el TSG0, esto es,el tiempo sideral local para un observador en el meridiano de Greenwich a las cero horas deTU . Al hacer el calculo da: TSG0 = 10h48m15.26s. Pero la ecuacion (7.16) permite solocalcular el TSG0 medio, sin correccion por nutacion. Hallar el valor verdadero del TSG0implica una correccion en el valor medio que puede llegar a ser tanto como un segundo detiempo, lo cual ya representa un error de 15 segundos de arco en la determinacion del angulohorario del astro. El inconveniente es que calcular el TSG0 verdadero exige determinar, parael instante dado, la nutacion en oblicuidad (∆ε) y la nutacion en longitud (∆ψ) (ver pagina183) constituidas de numerosos terminos trigonometricos que son funciones de angulos queayudan a determinar la posicion de la Luna y el Sol. En este ejercicio nos conformaremoscon el TSG0 medio. El paso siguiente es calcular el TSGt. Este se calcula con la ecuacion(7.12):


TSGt = 10h48m15.26s + (9h55m36s)× 1.0027379 = 20h45m29.1s.

Luego calculamos el tiempo sideral local para nuestro observador a una longitud λ aloeste de Greenwich (ecuacion (7.13)):

TSL = 20h45m29.1s − (75o3′45′′)/15 = 15h45m14.1s.

Con el TSL calculamos el angulo horario H:

H = TSL− α = 15h45m14.1s − 23h34m34.5s = −7h49m20.4s = 16h10m39.6s.

En unidades de grados H es: 242o39′54′′. Aplicando la ecuacion (5.8) hallamos la altura:

h = sen−1 [ sen (45o23′45′′) sen (4o58′17′′) + cos(45o23′45′′) cos(4o58′17′′) cos(242o39′54′′)] ,

h = sen−1(−0.2595355) = −15o2′33′′.

Luego calculamos el azimut con (5.10):

A = cos−1(

sen (45o23′45′′)− sen (−15o2′33′′) sen (4o58′17′′)cos(−15o2′33′′) cos(4o58′17′′)

),

A = cos−1(0.7633982) = 40o14′7′′,

y dado que H > 180, entonces el angulo A que acabamos de hallar es el valor buscado.

5.6.3 Ecuatoriales absolutas a eclıpticas y viceversa

Consideremos la figura 5.8 en la cual se muestran las coordenadas ecuatoriales (α, δ) yeclıpticas (λ, β) de un astro cualquiera. El punto vernal g esta ubicado exactamente a mediocamino entre los puntos D y D′. Del triangulo esferico resaltado en la figura obtenemos comoangulos y lados correspondientes los siguientes:

Lados Angulos

90− β 90 + α90− δ 90− λε Ψ

Aplicando el teorema del seno:

sen (90− δ)sen (90− λ)

=sen (90− β)sen (90 + α)

,

y puesto que sen (90− x) = cosx, y sen (90 + x) = cosx, se deduce:

cos δ cosα = cosλ cosβ. (5.13)

Al aplicar el teorema del coseno:

cos(90− δ) = cos(90− β) cos ε+ sen (90− β) sen ε cos(90− λ),


O

PSC

ε

β

ECUADOR

ε

Ψ

ECLIPTICA

D D’

δ

λ

α

Π

Π

PNC

’

∗

Figura 5.8: Relacion entre coordenadas ecuatoriales absolutas y eclıpticas

y como cos(90− x) = senx se obtiene:

sen δ = senβ cos ε+ cosβ sen ε senλ. (5.14)

Aplicando el teorema del coseno con otro de los lados:

cos(90− β) = cos(90− δ) cos ε+ sen (90− δ) sen ε cos(90 + α),

y como cos(90 + x) = − senx se obtiene:

senβ = sen δ cos ε− cos δ sen ε senα. (5.15)

Podemos encontrar otras dos relaciones utilizando el teorema del seno por el coseno,ecuaciones (2.15). No nos interesan expresiones en donde aparezca el angulo ubicado en elastro (Ψ). Ello significa que tendremos solo dos ecuaciones del seno por el coseno. Estasson:

cos(90− λ) sen (90− β) = − cos(90 + α) sen (90− δ) cos ε+ cos(90− δ) sen ε,cos(90 + α) sen (90− δ) = − cos(90− λ) sen (90− β) cos ε+ cos(90− β) sen ε,

o mejor:senλ cosβ = sen δ sen ε+ cos δ cos ε senα, (5.16)

senα cos δ = − senβ sen ε+ cosβ cos ε senλ. (5.17)


De eclıpticas a ecuatoriales: Conocidos λ y β determinar α y δ.

De la ecuacion (5.14) se obtiene la declinacion:

δ = sen−1 ( senβ cos ε+ cosβ sen ε senλ) . (5.18)

Para evitar confusiones con la verdadera ubicacion del cuadrante evitaremos utilizarecuaciones simples que pueden dar el valor de α. En su lugar trabajaremos con una expre-sion un poco mas complicada y seguiremos unas reglas especıficas que ayudaran a erradicarlos dolores de cabeza que surgen con el calculo de los cuadrantes verdaderos.

Al dividir la ecuacion (5.17) por (5.13) obtenemos una expresion para hallar α sin tenerque haber calculado previamente δ:

α = tan−1

(− senβ sen ε+ cosβ cos ε senλ

cosλ cosβ

). (5.19)

La ecuacion (5.19) es de la forma:

α = tan−1

(p

q

), (5.20)

donde p y q representan los terminos que conforman el numerador y el denominador respec-tivamente en la ecuacion (5.19). El angulo verdadero se encuentra sometiendo el angulo αhallado directamente en (5.20) a las siguientes reglas:

Si p · q < 0 y q < 0 entonces α = α+ 180,

Si p · q < 0 y q > 0 entonces α = α+ 360, (5.21)

Si p + q < 0 entonces α = α+ 180.

Si no se cumple alguna de las reglas anteriores entonces el angulo verdadero es el que sehallo directamente de (5.19). Lo que sigue a continuacion es dejar α en unidades de tiempo.

Ejemplo 1

Las coordenadas eclıpticas de la Luna en un instante dado son: λ = 221o23′, β = 4o54′.Calcular las coordenadas ecuatoriales.

Solucion

Tomaremos ε = 23o26′. De la ecuacion (5.18):

δ = sen−1 [ sen (4o54′) cos(23o26′) + cos(4o54′) sen (23o26′) sen (221o23′)] ,

δ = sen−1(−0.1835720) = −10o34.7′.

La ascension recta se calcula con la ecuacion (5.19):


p = − sen (4o54′) sen (23o26′) + cos(4o54′) cos(23o26′) sen (221o23′) = −0.6383208,

q = cos(221o23′) cos(4o54′) = −0.7475613.

Al tomar la tangente inversa (tan−1(p/q)) obtenemos un valor del angulo α = 40o29.6′.Pero, al aplicar las reglas (5.21) se deduce que se cumple en este caso p+ q < 0 por lo que esnecesario sumar 180 grados al valor hallado. Por lo tanto: α = 40o29.6′ + 180 = 220o29.6′,que al convertir en unidades de tiempo da finalmente: α = 14o42m.

Ejemplo 2

Las coordenadas eclıpticas del Sol en un instante dado son: λ = 325o36′, β = 0o0′.Calcular las coordenadas ecuatoriales.

Solucion

De nuevo: ε = 23o26′. De la ecuacion (5.18):

δ = sen−1 [ sen (0o0′) cos(23o26′) + cos(0o0′) sen (23o26′) sen (325o36′)] ,

δ = sen−1(−0.2246770) = −12o59′.

La ascension recta se calcula con la ecuacion (5.19):

p = − sen (0o0′) sen (23o26′) + cos(0o0′) cos(23o26′) sen (325o36′) = −0.5183705,

q = cos(325o36′) cos(0o0′) = 0.8251135.

Al tomar la tangente inversa (tan−1(p/q)) obtenemos un valor del angulo α = −32o8′.Pero, al aplicar las reglas (5.21) se deduce que se cumple en este caso p · q < 0 y q > 0 por loque es necesario sumar 360 grados al valor hallado. Por lo tanto: α = −32o8′+360 = 327o52′,que al convertir en unidades de tiempo da finalmente: α = 21o51.5m.

De ecuatoriales a eclıpticas: Conocidos α y δ determinar λ y β.

De la ecuacion (5.15) obtenemos la latitud eclıptica β:

β = sen−1 ( sen δ cos ε− cos δ sen ε senα) . (5.22)

Dividimos entre sı las ecuaciones (5.16) y (5.13) para hallar la longitud eclıptica λ enterminos de la tangente:

λ = tan−1

(sen δ sen ε+ cos δ cos ε senα

cosα cos δ

). (5.23)

El angulo λ ası hallado es sometido a las mismas reglas establecidas en (5.21).


Ejemplo 1

Las coordenadas ecuatoriales de la Luna en un instante dado son: α = 5h27.5m, δ =19o45m. Calcular sus correspondientes coordenadas eclıpticas.

Solucion

Tomaremos ε = 23o26′. Convertimos la ascension recta en unidades de grados: α =5h27.5m = 81o52.5′. De la ecuacion (5.22):

β = sen−1 [ sen (19o45′) cos(23o26′)− cos(19o45′) sen (23o26′) sen (81o52′)] ,

β = sen−1(−0.0604850) = −3o28′.

La longitud eclıptica se calcula con la ecuacion (5.23):

p = sen (19o45′) sen (23o26′) + cos(19o45′) cos(23o26′) sen (81o52.5′) = 0.9892661,

q = cos(81o52.5′) cos(19o45′) = 0.1330195.

Al tomar la tangente inversa (tan−1(p/q)) obtenemos un valor del angulo λ = 82o20′. Alaplicar las reglas (5.21) se deduce que el valor que acabamos de hallar es el angulo buscado.

Ejemplo 2

Las coordenadas ecuatoriales del Sol en un instante dado son: α = 12h29m49.21s, δ =−3o13m9.6′′. Calcular sus correspondientes coordenadas eclıpticas.

Solucion

Tomaremos ε = 23o26′18.50′′. Convertimos la ascension recta en unidades de grados:α = 12h29m49.21s = 187o27′18.15′′. De la ecuacion (5.22):

β = sen−1 [ sen (−3o13′9.6′′) cos(23o26′18.50′′)− cos(−3o13′9.6′′) sen (23o26′18.50′′) sen (187o27′18.15′′)] ,

β = sen−1(0.00000307) = 0o0′0.01′′.

Procedemos a calcular la longitud eclıptica:

p = sen (−3o13′9.6′′) sen (23o26′18.50′′) + cos(−3o13′9.6′′) cos(23o26′18.50′′) sen (187o27′18.15′′) =−0.1411923,

q = cos(187o27′18.15′′) cos(−3o13′9.6′′) = −0.9899822.

Al tomar la tangente inversa (tan−1(p/q)) obtenemos un valor del angulo λ = 8o7′0.65′′.Al aplicar las reglas (5.21) se tiene que debemos sumar 180 al valor anterior. Por lo tanto:λ = 8o7′0.65′′ + 180 = 188o7′0.65′′ es el angulo buscado.


5.6.4 Ecuatoriales absolutas a galacticas y viceversa

La figura 5.9 muestra la relacion entre las coordenadas ecuatoriales (α, δ) y las coordenadasgalacticas (l, b). Llamaremos αPg y δPg la ascension recta y la declinacion del polo nortegalactico, el cual esta situado en la constelacion de la Cabellera de Berenice, con las siguientescoordenadas:

αPg = 12h51.4m, δPg = 27o8′.

Igualmente necesitamos especificar la longitud galactica del polo norte celeste (PNC),que designaremos lN . Puesto que el origen de coordenadas de l esta muy cerca del verdaderocentro galactico (CG) y este dista unos 33 grados con respecto al nodo, esto es, el puntodonde el plano galactico cruza de sur a norte el ecuador celeste, se tiene que de la figura 5.9,donde el nodo esta exactamente en la mitad de D y D’:

lN = 33 + 90 = 123. (5.24)

Del triangulo esferico resaltado en la figura se deduce:

Lados Angulos

90− b α− αPg90− δ lN − l

90− δPg Γ

Aplicando el teorema del seno:

sen (α− αPg)sen (90− b) =

sen (lN − l)sen (90− δ) ,

y como sen (90− x) = cosx obtenemos:

cos δ sen (α− αPg) = sen (lN − l) cos b. (5.25)

Al aplicar el teorema del coseno:

cos(90− δ) = cos(90− δPg) cos(90− b) + sen (90− δPg) sen (90− b) cos(lN − l),

o mejor:sen δ = sen δPg sen b+ cos δPg cos b cos(lN − l). (5.26)

Al aplicar el teorema del coseno con otro de los lados:

cos(90− b) = cos(90− δPg) cos(90− δ) + sen (90− δPg) sen (90− δ) cos(α− αPg),

o tambien:sen b = sen δPg sen δ + cos δPg cos δ cos(α− αPg). (5.27)

Aplicando el teorema del seno por el coseno (el angulo Γ no interesa) obtenemos:


O

P´

ECUADORCELESTE

b

α

PLANO

GALA

CTICO

∗

D’D

Γ

l N

CG

G

PSC

PNC

PG

δPG

δ

l

αPG

NODO

Figura 5.9: Relacion entre coordenadas ecuatoriales absolutas y galacticas

cos(lN − l) sen (90− b) = − cos(α− αPg) sen (90− δ) cos(90− δPg) + cos(90− δ) sen (90− δPg),

cos(α− αPg) sen (90− δ) = − cos(lN − l) sen (90− b) cos(90− δPg) + cos(90− b) sen (90− δPg),

o mejor:cos(lN − l) cos b = sen δ cos δPg − cos δ sen δPg cos(α− αPg), (5.28)

cos(α− αPg) cos δ = sen b cos δPg − cos b sen δPg cos(lN − l). (5.29)

De ecuatoriales a galacticas: Conocidos α y δ determinar l y b.

De la ecuacion (5.27) se obtiene la latitud galactica:

b = sen−1 ( sen δPg sen δ + cos δPg cos δ cos(α− αPg)) . (5.30)

Al dividir las ecuaciones (5.25) y (5.28) entre sı obtenemos la longitud galactica a travesde la tangente:

l = lN − tan−1

(cos δ sen (α− αPg)

sen δ cos δPg − cos δ sen δPg cos(α− αPg)

). (5.31)

El angulo hallado por intermedio de la tangente en el segundo termino del lado derechode la anterior ecuacion debe ser sometido a las reglas (5.21). Con el valor correcto se procedecon el resto de la ecuacion (5.31) con el fin de determinar el verdadero cuadrante.


Ejemplo 1

Las coordenadas ecuatoriales de un objeto dado son: α = 3h18m, δ = 61o13′. Calcularsus correspondientes coordenadas galacticas.

Solucion

Convertimos la ascensiones rectas en unidades de grados: α = 3h18m = 49o30′; αPg =12h51.4m = 192o51′ . De la ecuacion (5.30):

b = sen−1 [ sen (27o8′) sen (61o13′) + cos(27o8′) cos(61o13′) cos(49o30′ − 192o51′)] ,

b = sen−1(0.0559235) = 3o12′.

La longitud galactica se calcula con la ecuacion (5.31). Primero calculamos el ladoderecho:

p = cos(61o13′) sen (49o30′ − 192o51′) = −0.2874187,

q = sen (61o13′) cos(27o8′)− cos(61o13′) sen (27o8′) cos(49o30′ − 192o51′) = 0.9561710.

Al tomar la tangente inversa (tan−1(p/q)) obtenemos un valor del angulo igual a −16o44′.Al aplicar las reglas (5.21) se deduce que a este valor se le debe sumar 360 grados. Por lo tantoel angulo es: 343o16′. Entonces la longitud galactica queda: l = 123− 343o16′ = −220o16′,el cual, al sumarle 360 grados queda finalmente: l = 139o44′.

De galacticas a ecuatoriales: Conocidos l y b determinar α y δ.

De la ecuacion (5.26) se obtiene la declinacion:

δ = sen−1 ( sen δPg sen b+ cos δPg cos b cos(lN − l)) . (5.32)

Al dividir las ecuaciones (5.25) y (5.29) entre sı obtenemos la ascension recta a traves dela tangente:

α = αPg + tan−1

(cos b sen (lN − l)

sen b cos δPg − cos b sen δPg cos(lN − l)

). (5.33)

El angulo hallado en el termino de la tangente inversa deber ser sometido a las reglas(5.21) antes de proceder con el resto de la ecuacion. En caso de exceder los 360 grados seresta este mismo valor al angulo. Posteriormente se convierte a unidades de tiempo.

Ejemplo 1

Las coordenadas galacticas de un objeto dado son: l = 171o15′, b = −17o15′. Calcularsus correspondientes coordenadas ecuatoriales.

Solucion

De nuevo: αPg = 12h51.4m = 192o51′. De la ecuacion (5.32):


δ = sen−1 [ sen (27o8′) sen (−17o15′) + cos(27o8′) cos(−17o15′) cos(123− 171o15′)] ,

δ = sen−1(0.4307031) = 25o30′.

La ascension recta se calcula con la ecuacion (5.33). Primero calculamos el lado derecho:

p = cos(−17o15′) sen (123− 171o15′) = −0.7124996,

q = sen (−17o15′) cos(27o8′)− cos(−17o15′) sen (27o8′) cos(123− 171o15′) = −0.5539306.

Al tomar la tangente inversa (tan−1(p/q)) obtenemos un valor del angulo igual a 52o8′. Alaplicar las reglas (5.21) se deduce que a este valor se le debe sumar 180 grados. Por lo tanto,el angulo es: 232o8′. Entonces la ascension recta queda: α = 232o8′ + 192o51′ = 424o59′,que por ser mayor de 360 le restamos este valor: α = 64o59′, que al convertir en unidadesde tiempo da: α = 4h20m.


• Roy, A., Clarke, D. (1988), Astronomy: Principles and Practice, Adam Hilger, Bristol.

Muy buen libro de astronomıa fundamental. El capıtulo 7 es particularmente claro en exponerlas coordenadas celestes.

• Vorontsov-Veliamınov, B.A. (1979) Problemas y ejercicios practicos de astronomıa, Mir,Moscu.

Contiene un buen numero de problemas propuestos en astronomıa esferica.

• Vives, T. (1971), Astronomıa de posicion, Alhambra, Bilbao.

Contiene varios capıtulos que tratan extensivamente la relacion entre los diferentes sistemasde coordenadas celestes.

• http://www.btinternet.com/~kburnett/kepler/altaz.html

Contiene explicaciones detalladas sobre transformacion entre coordenadas horizontales y ecu-atoriales absolutas.

Capıtulo 6

MOVIMIENTO APARENTEDE LOS CUERPOS CELESTES

Los cuerpos celestes estan en movimiento unos con respecto a otros. Todos giran sobresı mismos (la Tierra en 24 horas, la Luna en 27 dıas, el Sol en 25 dıas, la Vıa Lacteaen 250 millones de anos, etc.). Cualquier observador ubicado en un lugar especıfico deluniverso observara a los otros cuerpos celestes desplazandose de cierta forma partıcular. Noes lo mismo observar el movimiento de los planetas desde la Tierra que desde el Sol. Elmovimiento de cuerpos celestes observado desde la superficie de un planeta resulta siendo lacombinacion de varios movimientos. Debido a esto a la humanidad le tomo bastante tiempoencontrar cual era la ubicacion real de la Tierra en el sistema solar, y aun mas tiempodescubrir la trayectoria verdadera que describen los planetas en torno al Sol.

6.1 Movimiento diurno

Lo que mas llama la atencion del cielo nocturno es que se mueve lentamente. El techoesferico de apariencia “solida” que hemos llamado cielo o mejor, boveda celeste, se muevelentamente en direccion este-oeste (de oriente a occidente) dando una revolucion completaalrededor de la Tierra en un dıa. Los filosofos griegos elaboraron una vision del universollamada geocentrista derivada de lo que sencillamente observaban: la Tierra es el centro deluniverso, inmovil, y alrededor de ella giran los planetas, la Luna y el Sol y un poco masalla la boveda celeste, sitio en donde estan ubicadas las estrellas. Por mas de 2000 anos fuelo que se creyo la interpretacion correcta del universo. Hoy en dıa sabemos que no existeuna “boveda celeste” en el sentido de que no es una superficie solida, ni siquiera un techo.Es una ilusion derivada del hecho de que las distancias en el universo son increiblementeenormes.

Ahora bien, el movimiento de rotacion aparente de la boveda celeste alrededor de laTierra se explica si suponemos que la Tierra rota sobre sı misma en direccion oeste-este (deoccidente a oriente) en un perıodo de un dıa. Un astronauta ubicado en la superficie dela Luna observara que la boveda celeste gira mucho mas lentamente que aquı en la Tierra,

93

94 CAPITULO 6. MOVIMIENTO APARENTE DE LOS CUERPOS CELESTES

tambien en direccion este-oeste. Esto es debido a que la Luna gira sobre sı misma en 27 dıasterrestres en direccion oeste-este.

Los astronomos llaman movimiento diurno al movimiento aparente de la boveda celesteoriginado por la rotacion del cuerpo desde donde se realiza la observacion. Este movimientoes el que mas facilmente percibimos, pues las estrellas, los planetas, la Luna y el Sol semueven, vistos desde la superficie de la Tierra, de oriente a occidente.

El movimiento diurno es el responsable de que el Sol salga en o muy cerca del puntocardinal este aproximadamente a las 6:00 a.m. (claro, para observadores ubicados cerca delecuador terrestre), que alcance su maxima altura cerca del medio dıa, y que se oculte en ocerca del punto cardinal oeste aproximadamente a las 6:00 p.m. Aunque notemos que el Solrecorre 180 grados en 12 horas, en realidad estamos hablando de un movimiento aparentesurgido del hecho de que nosotros, como observadores, estamos ubicados en un cuerpo enrotacion que gira en el sentido oeste-este.

Puesto que la Tierra tarda 24 horas en realizar una revolucion completa, de 360 grados,se deduce que por cada hora transcurrida la boveda celeste se mueve 15 grados en direccioneste-oeste.

6.2 La Luna y el Sol

La Luna y el Sol, como todos los cuerpos celestes vistos desde nuestro planeta, son afectadospor el movimiento diurno. En consecuencia, veremos siempre que se desplazan lentamenteen direccion este-oeste. Ahora bien, esto no significa que estan adheridos a la boveda ce-leste, o mejor, que esten ubicados siempre en una determinada constelacion o grupo estelar.La Luna y el Sol son cuerpos que estan, comparados con las estrellas, mucho mas cerca alplaneta Tierra. Esto hace que la Luna y el Sol se muevan con respecto a las estrellas y porlo tanto queden fuera de sincronizacion con respecto al movimiento diurno.

Consideremos primero el Sol. Sabemos que los planetas (incluyendo la Tierra) se muevenen orbitas casi circulares alrededor del Sol. Todos los planetas, desde Mercurio hasta Pluton,se mueven en direccion contraria a la que tienen las agujas del reloj, si miramos el sistemasolar desde el polo norte celeste. La Tierra tarda 365.25 dıas en realizar una traslacioncompleta, esto es, tarda 1 ano en describir 360 grados alrededor del Sol. Esto significa quela Tierra con respecto al Sol se desplaza diariamente unos 360/365.25=0.98 grados comopromedio. Este movimiento que realiza la Tierra con respecto al Sol es visto por nosotroscomo un desplazamiento de este con respecto a las estrellas de fondo, de 0.98 grados pordıa (vease la figura 4.12 de la pagina 58). Lentamente el Sol se esta desplazando por lasconstelaciones a razon de casi un grado por dıa. Visto desde la Tierra, el Sol tardara 365.25dıas en volver a pasar por una determinada estrella, perıodo que llamamos ano. Es facilver que la direccion del movimiento del Sol visto desde la Tierra es tambien en la direc-cion contraria a las agujas del reloj (antihoraria). Con esto estamos diciendo que para unobservador ubicado en la Tierra, el Sol se desplaza a razon de 0.98 grados por dıa en ladireccion oeste-este (en el sentido opuesto al movimiento diurno). Ahora bien, imaginemos

6.2. LA LUNA Y EL SOL 95

brevemente que la Tierra esta exenta de rotacion (eliminamos el movimiento diurno). En talcaso dejamos de observar que el Sol se desplaza a razon de 15 grados por hora en direccioneste-oeste, para que ahora observemos al Sol con un movimiento supremamente lento, decasi un grado por dıa en la direccion oeste-este.

El movimiento aparente del Sol visto desde la Tierra es pues la combinacion de dosmovimientos que tienen direcciones contrarias: el movimiento diurno (rotacion de la Tierra)y el desplazamiento del Sol con respecto a la boveda celeste (traslacion de la Tierra). Latraslacion de la Tierra alrededor del Sol, que es interpretada aquı en la Tierra como undesplazamiento de 0.98 grados por dıa del Sol con respecto a las estrellas de fondo, crea elefecto, como es apenas obvio, de que las estrellas salgan por el oriente, por cada dıa trans-currido, unos 0.98o×24horas

360o = 0.0653 horas = 4 minutos mas temprano. Este hecho hace quea medida que transcurran los dıas se aprecien “nuevas” constelaciones saliendo por el orientea la misma hora de observacion. Es como si, por cada dıa que pasa, la boveda celeste sedesplazara con respecto al Sol 0.98 grados de este a oeste. En promedio, la boveda celesterealiza lentamente dicho movimiento unos 30 grados por mes por lo que apreciamos, a lamisma hora, diferentes constelaciones a medida que transcurre un ano.

LUNA LLENA

LUZ PROVENIENTE

TIERRALUNA NUEVA

DEL SOL

CUARTO CRECIENTE

CUARTO MENGUANTE

Figura 6.1: Fases de la Luna

Concentremonos ahora en la Luna. Nuestro unico satelite natural posee un movimientode traslacion alrededor de la Tierra cuyo sentido es tambien antihorario. Tarda unos 27dıas en completar una vuelta en torno a su planeta materno. Debido a esto, desde la Tierracontemplamos que la Luna se desplaza con respecto a las estrellas de fondo unos 360/27=13grados por dıa en direccion oeste-este (insistimos, en direccion contraria al movimiento di-urno). Como en el caso del Sol, el movimiento aparente de la Luna visto desde la Tierra esuna combinacion del movimiento diurno (15 grados por hora en direccion este-oeste) y delmovimiento de traslacion de la Luna (13 grados por dıa en direccion oeste-este). La Luna,entonces, sale por el oriente, por cada dıa que transcurre, unos 13o×24horas

360o = 0.866 horas =52minutos mas tarde. Los antiguos astronomos conocıan que la trayectoria aparente que trazala Luna en el cielo no se sobrepone a la trayectoria aparente que describe el Sol (la eclıptica).


Sin embargo, ambas trayectorias estan muy proximas la una de la otra, intersectandose endos puntos llamados nodos de la Luna. La inclinacion existente entre dichas trayectorias esde unos 5 grados.

Al tener en cuenta la configuracion geometrica del sistema Sol, Tierra y Luna quedanexplicadas las fases de esta ultima (ver figura 6.1). En efecto, cuando la Luna se interponeentre la Tierra y el Sol, la Luna, que es un cuerpo opaco, no tiene forma de reflejar luz haciala Tierra, pues esta cae completamente en el lado de la Luna que no es posible ver desde laTierra. Decimos entonces que la Luna esta en fase de luna nueva. Es en esta fase cuandoocurren los eclipses de Sol. Notese que a causa de la inclinacion entre los planos de la Lunay la eclıptica no hay eclipse de Sol cada mes. Como se deduce de la figura 6.2, los eclipsesocurriran cuando la lınea de los nodos lunar1 este en la misma direccion Tierra-Sol.

5

PLANO DE LA ECLIPTICA

LINEA DE LOS NODOS

SOL

ORBITA LUNAR

TIERRA

o

Figura 6.2: Orientacion de la orbita lunar en el espacio

A medida que la Luna se desplaza alrededor de la Tierra comienza a reflejar luz del Solhacia la Tierra. Puesto que la Luna se mueve en direccion antihoraria, comenzara a serobservable facilmente despues de que se haya ocultado el Sol. Supongase que deseamos verla Luna tres dıas despues de luna nueva. Sabemos que la Luna se desplaza de occidente aoriente unos 13 grados por dıa, por lo tanto, al cabo de tres dıas, se habra separado casi 40grados del Sol en direccion hacia el este. Esto significa que si observamos el cielo a las 6p.m., y si estamos muy cerca del ecuador terrestre, el Sol estara ocultandose en el horizonteoccidental y la Luna, visible para nosotros, tendra una altura aproximada sobre el horizontede unos 40 grados. Teniendo en cuenta el movimiento diurno, podemos calcular que la Lunase ocultara por el occidente entre las 8:30 y 9 p.m.

¿Que ocurrira unos 7 dıas despues de trancurrida la luna nueva? Para entonces la Lu-na se habra separado del Sol unos 90 grados. En tal caso, la superficie de la Luna estara50% iluminada y decimos que existe cuarto creciente. Por lo tanto, en esta fase a las 6

1La lınea de los nodos lunar es la lınea que surge de la interseccion del plano de la orbita lunar con elplano de la eclıptica. Dicha lınea no esta fija en el espacio, de hecho realiza una revolucion completa en 18.6anos en direccion horaria.

6.2. LA LUNA Y EL SOL 97

p.m. la Luna tendra una altura maxima sobre el horizonte, ubicada en o cerca del cenit delobservador. Es claro que la Luna se ocultara por el occidente muy cerca de media noche.A medida que transcurren los dıas la Luna mostrara mas superficie iluminada hasta quese alcanza la configuracion particular, unos 14 dıas despues de la luna nueva, en donde laTierra se interpone entre la Luna y el Sol. La Luna reflejara hacia la Tierra toda la superficieque podemos ver de ella. Tenemos la luna llena. Es en esta fase que tienen ocurrencia loseclipses de Luna. En esta fase, proximo a las 6 p.m., un observador vera el Sol ocultarsepor el occidente en tanto que la Luna estara saliendo por el oriente. Existe una separacionentre ambos astros de 180 grados. Es por ello que en fase llena la Luna se observara durantetoda la noche, ocultandose por el occidente cerca de las siete de la manana del dıa siguiente.Dıas despues de la fase llena, la Luna vuelve a mostrarnos solo cierto sector de su superficieiluminada. ¿Que ocurre unos tres dıas despues de luna llena? La Luna se habra desplazadootros 40 grados hacia el este por lo que a las 6 p.m. no es posible observarla. En tal casohabrıa que esperar hasta cerca las 9 p.m. a que salga por el horizonte oriental; culminarıahacia las 3 a.m. del dıa siguiente y se ocultarıa en el horizonte occidental hacia las 10 a.m.Cuando de nuevo ocurre una conformacion de 90 grados entre el angulo Luna-Tierra-Sol,obtenemos 50% de iluminacion de la cara visible de la Luna. En tal caso tenemos cuartomenguante y ocurre a unos 21 dıas despues de la luna nueva. En cuarto creciente la Lunasale por el oriente a media noche y culmina a las 6 a.m. del dıa siguiente ocultandose amedio dıa. Al cabo de 29 dıas y medio la Luna vuelve a encontrarse entre la Tierra y el Sol,haciendose invisible de nuevo para nosotros.

El perıodo entre dos lunas nuevas (o lunas llenas) consecutivas es llamado un messinodico. El concepto de mes que manejamos en nuestra vida diaria se deriva directa-mente del mes sinodico. Sin embargo, existe otra definicion de mes2. El mes sidereo es eltiempo que le toma a la Luna pasar de forma consecutiva por el mismo lugar de la bovedaceleste (o sea, con respecto a las estrellas fijas). El mes sidereo tiene una duracion de 27.3dıas. La pregunta obvia es: ¿Por que la diferencia entre los perıodos sinodico y sideral? Elasunto se resuelve cuando tenemos en cuenta el movimiento del Sol, pues este se desplaza0.98 grados por dıa de oeste a este con respecto a las estrellas fijas. En un mes sidereo elSol se habra corrido 0.98× 27.3 = 26.7 grados mas hacia el este, por lo que a la Luna (quetambien se mueve en la misma direccion), para alcanzar al Sol, le tomara en primera apro-ximacion 26.7/13=2 dıas mas para que se cumpla de nuevo la configuracion Luna-Tierra-Sol(ver figura 6.3).

A manera de referencia colocamos a continuacion los valores exactos de la duracion delmes sideral y el mes sinodico:

Mes sidereo 27.321662 dıas = 27 d 7h 43m 11.6s

Mes sinodico 29.530589 dıas = 29 d 12h 44m 2.9s

2Realmente existen en total cinco definiciones de mes. Adicional al sideral y al sinodico esta el mes tropical(duracion entre dos pasos consecutivos de la Luna por el punto vernal); el mes anomalıstico (duracion entredos pasos consecutivos de la Luna por el perigeo de su orbita) y el mes draconıtico (duracion entre dos pasosconsecutivos de la Luna por el nodo de su orbita).


ORBITA LUNAR

DEL SOLTRAYECTORIA APARENTE

TIERRA

Figura 6.3: Origen del mes sinodico

6.3 Los planetas

Los antiguos conocian “estrellas” brillantes que a diferencia de todas las demas se despla-zaban a traves del cielo. A simple vista es posible identificar cinco: Mercurio, Venus, Marte,Jupiter y Saturno. Si se tiene la paciencia de rastrear su movimiento con respecto a lasestrellas “fijas” por perıodos extendidos de tiempo se encuentra algo al parecer desconcer-tante: todos sin excepcion se desplazan en direccion oeste-este, movimiento que se conocecon el nombre de movimiento directo; pero en ocasiones, alguno de ellos se detiene (se con-vierte en un punto estacionario), y comienza a moverse en direccion este-oeste (movimientoretrogrado), lo que hace en unos cuantos dıas, para detenerse de nuevo (otro punto esta-cionario) y recuperar su movimiento en la direccion original. Con ello logra realizar unpequeno bucle o rizo.

Dichas retrogradaciones se explican al tener en cuenta el movimiento de la Tierra alrede-dor del Sol. Los planetas poseen velocidades de traslacion que son distintas entre ellos, puesdicha velocidad depende de su distancia promedio al Sol. Esta velocidad diferencial de losplanetas origina que unos tomen mas tiempo que otros en dar una revolucion en torno delSol. Por ejemplo, por cada revolucion de la Tierra el planeta Mercurio completa mas decuatro; por cada revolucion de Jupiter la Tierra completa mas de once, etc. Por lo tanto, esapenas obvio que los planetas se esten atrasando o adelantando unos con respecto a los otros.Cuando se esta observando el movimiento de los planetas desde uno de ellos se observaracon el tiempo que a causa de la diferencia de velocidad los planetas observados formaranpequenos bucles sobre la boveda celeste. En la figura 6.4 se aprecia una retrogradacion deun planeta exterior visto desde la Tierra. Notese que la retrogradacion se presenta para

6.3. LOS PLANETAS 99

ORBITA TERRESTRE

12345 6

789

1

2

346

8

9

7 5

ESTE OESTE

Figura 6.4: Retrogradacion de los planetas vistos desde la Tierra

aquellas epocas en que la Tierra esta mas proxima al planeta, esto es, cerca de la oposicion(ver mas adelante).

Las estrellas errantes de la antiguedad recibieron el nombre de planetas. Historias mi-tologicas llegadas hasta nuestros dıas nos permiten saber que les fueron asignadas identidadesde deidades, y con ello, caracter y temperamento como si se tratara de entes vivos. Explicarlo enrevesado de su movimiento fue una tarea que demostro no ser trivial. Filosofos ygeometras griegos estaban de acuerdo en que los cuerpos celestes y sus movimientos a travesdel cielo tendrıan que explicarse en terminos de circunferencias. Se creıa que todo lo queestaba en la boveda celeste era inmutable y perfecto por lo que allı tenıa que manifestarsela figura perfecta, la cual, creıan ellos, era la circular. Por lo tanto, los astronomos tenıanque explicar el complicado movimiento de los planetas en terminos de movimiento y figurascirculares. Ello hizo que con el tiempo los matematicos utilizaran la combinacion de dos omas circulos por los que se desplazaba supuestamente el planeta.

Desde la antiguedad se habıan identificado caracterısticas orbitales muy propias de losplanetas. Todos sin excepcion se desplazan muy cerca de la eclıptica (la trayectoria aparenteque describe el Sol en el cielo durante el ano). El Sol pasa en un ano por las clasicas doceconstelaciones del zodıaco, a saber: Aries, Tauro, Geminis, Cancer, Leo, Virgo, Libra, Es-corpion, Sagitario, Capricornio, Acuario y Piscis (en realidad pasa por trece constelaciones,pues la eclıptica alcanza a atravezar la constelacion de Ofiuco). La razon de que todos seencuentran muy cerca de la eclıptica descansa en el hecho de que las orbitas estan muy pocoinclinadas las unas con respecto a las otras (salvo en el caso de Mercurio y Pluton). Laconsecuencia obvia es que los planetas estaran casi siempre ubicados en alguna de las trece


constelaciones referidas3 (ver figura 6.5).

Π’

SOLECLIPTICA

Π

PLANOS ORBITALES

ZODIACALESCONSTELACIONES

SECTOR DE LAS

DE LOS PLANETAS

Figura 6.5: Los planetas de desplazan a traves de las constelaciones zodiacales

Los planetas Mercurio y Venus exhiben ademas una curiosa predileccion por permanecercerca del Sol, pues son relativamente faciles de observar o bien antes del amanecer o inmedia-tamente despues de sucedido el ocaso del Sol. Nunca es posible observar a Mercurio o aVenus digamos a media noche (para observadores ubicados cerca del ecuador terrestre). Encambio, los restantes planetas (desde Marte en adelante) pueden ser vistos cerca del Sol, oubicados a 180 grados de separacion (opuestos) del mismo.

Ahora bien, ¿que tan rapido se desplazan los planetas por la boveda celeste? Desde laantiguedad se descubrio que existen planetas que se mueven unos mas rapido que otros. Enel caso del planeta Mercurio, el que mas rapido viaja por el cielo, se observa un desplaza-miento que puede alcanzar hasta unos 2.5 grados por dıa en direccion oeste-este. (Nota:en terminos comparativos, el tamano aparente del Sol y de la Luna en fase llena es de 0.5grados). En ocasiones se aprecia que el planeta disminuye su velocidad aparente en el cieloy al final se detiene, luego, por espacio de unos veinte a veinticinco dıas, se mueve en di-reccion contraria (este-oeste). De nuevo se estaciona y continua con la direccion usual deoeste-este. Venus se desplaza por el cielo a una velocidad inferior a la de Mercurio, de 1grado por dıa como maximo. Los demas planetas observados por los antiguos se desplazanmas lentamente. Saturno por ejemplo, se desplaza a razon de unos 30 segundos de arco pordıa.

Los planetas tambien presentan configuraciones parecidas a las que exhibe la Luna enun mes. En cuanto a la configuracion que muestra un planeta visto desde la Tierra se ha

3A causa de la relativa cercanıa de la eclıptica con otras constelaciones no zodiacales (de acuerdo conlos lımites de las constelaciones fijados por la UAI) los planetas pueden atravesar, aunque sea sutilmente,incluso otras 29 constelaciones (ver Culver & Ianna, 1994).


de clasificar a los planetas en dos grupos: aquellos llamados interiores en razon a que seencuentran mas cerca del Sol que la Tierra (Mercurio y Venus) y los planetas exteriores, queson todos aquellos que se encuentran mas lejos del Sol que la Tierra (Marte hasta Pluton).

SOL

TIERRA

CONJUNCION SUPERIOR

CONJUNCION INFERIOR

ELONGACIONELONGACIONMAXIMA MAXIMA

Figura 6.6: Configuracion de un planeta interior con respecto a la Tierra

Un planeta interior (ver figura 6.6) girando en torno del Sol presenta, en relacion connuestro planeta, dos puntos, llamados conjunciones, en los cuales es imposible observarlodesde la Tierra. Cuando el planeta se ubica exactamente entre el Sol y la Tierra se dice queesta en conjuncion inferior. Es en este instante cuando, en ocasiones, ocurre “eclipse” de Solproducido por el planeta. No es usual llamar a esto un “eclipse”, pues en realidad el tamanoaparente de los planetas vistos desde la Tierra es tan pequeno que en la practica se observaun punto atravesando el dico solar, lo que se conoce con el nombre de paso del planeta atraves del disco solar. La razon por la cual no se presenta en cada conjuncion inferior unpaso por el disco del Sol es debido a que la eclıptica esta ligeramente inclinada con respectoal plano de la orbita de los planetas interiores. En conjuncion superior el planeta esta en elpunto de su orbita mas alejado de la Tierra. De la figura tambien es claro que los mejoresmomentos para observar el planeta son cuando estan ubicados en maxima elongacion (quepuede ser este u oeste). Para el lector no debe ser difıcil deducir que un planeta interiornunca mostrara el 100% de iluminacion de su superficie hacia la Tierra (nunca podremosver “lleno” a un planeta interior). Notese tambien que aparentemente desde la Tierra unplaneta interior esta siempre relativamente cerca del Sol.


Un planeta exterior es otro asunto (ver figura 6.7). Presenta una sola conjuncion: elplaneta se ubica por detras del Sol y por lo tanto es imposible observarlo desde la Tierra.Pero presenta la denominada oposicion, en donde la Tierra se ubica entre el Sol y el planeta,de manera analoga a la fase llena de la Luna. La oposicion constituye el mejor momento deobservar un planeta pues aparte de que esta en el punto en que la distancia entre la Tierray el planeta es mınima, el planeta es observado durante toda la noche (sale por el orienteen, o muy cerca de, las 6 p.m. y se oculta por el occidente en, o muy cerca de, las 6 a.m.del dıa siguiente).

OPOSICION

CUADRATURA OESTECUADRATURA ESTE TIERRA

SOL

CONJUNCION

Figura 6.7: Configuracion de un planeta exterior con respecto a la Tierra

NOTA: En realidad la oposicion y la distancia mas cercana a la Tierra no ocurrensimultaneamente debido a que las orbitas de los planetas son elıpticas, pero uno y otrofenomeno se presentan con una diferencia de unos pocos dıas.

Ejemplo 1

Determinar la maxima distancia angular aparente, vista desde la Tierra, que existe entreel Sol y Mercurio, y el Sol y Venus.

Solucion

La maxima distancia angular entre el Sol y alguno de los planetas interiores se presentaen las elongaciones (este u oeste), esto es, cuando el angulo centrado en el planeta, entre lasdirecciones del Sol y la Tierra, es recto.


De la figura 6.8 se deriva que el angulo Γ aparente existente entre el planeta interior yel Sol, visto desde la Tierra, es:

sen Γ =a

d, (6.1)

donde a es la distancia Sol-planeta y d es la distancia Sol-Tierra. Suponiendo en primeraaproximacion que los planetas se mueven en orbitas circulares (con lo que a y d son cons-tantes) y adoptando, en unidades astronomicas, a = 0.387 para Mercurio, a = 0.723 paraVenus y d = 1.0 entonces:

ΓMercurio = 23o, ΓV enus = 46o.

SOL

a

PLANETA EN MAXIMA

ORBITA DEL

ELONGACION

PLANETA INTERIOR

Γ

d

TIERRA

Figura 6.8: Configuracion planetaria en la maxima elongacion

En la practica el angulo Γ puede ser mayor o menor de estos valores, pues en realidad lasorbitas de los tres planetas son excentricas, particularmente la de Mercurio, por lo que eneste el angulo de elongacion va desde un valor mınimo de unos 17.9o hasta un valor maximode 27.5o.

Ejemplo 2

Determinar la maxima distancia angular aparente existente entre la Tierra y el Sol queun astronauta observarıa si estuviera ubicado en el planeta Marte.

Solucion

La formula (6.1) nos es de utilidad, pero en este caso la distancia a es la distanciaTierra-Sol y la distancia d es la distancia Sol-Marte. Puesto que d = 1.523 se deduce que:

Γ = 41o.


6.3.1 Perıodo sinodico

El perıodo sinodico P de un planeta es el intervalo de tiempo existente entre dos conjunciones(u oposiciones en el caso de planetas exteriores) consecutivas. El perıodo sideral de unplaneta es el intervalo de tiempo que gasta dicho planeta en dar una revolucion completa entorno al Sol, con referencia a las estrellas. El perıodo sideral es de importancia fundamentalen mecanica celeste, pues es el tiempo real de revolucion de un cuerpo en torno de otro conrespecto a cuerpos que en muy buena aproximacion pueden considerse fijos (las estrellas).Pero como las observaciones del cielo se hacen desde la Tierra, y esta, por ser un planeta, semueve tambien en torno al Sol, resulta que en la practica es relativamente complicado medirde forma directa el perıodo sideral de un planeta (salvo la misma Tierra). Pero se puedecalcular facilmente en funcion del perıodo sinodico. En efecto, es una tarea de lo mas sencillahacer observaciones continuas de los planetas por un buen tiempo y con tales observacionescalcular el tiempo entre, digamos, dos oposiciones consecutivas o dos elongaciones oeste;en otras palabras: calcular a partir de las observaciones el perıodo sinodico. Con este, esinmediato el calculo del perıodo sideral. Consideremos la figura 6.9, donde se muestra elcaso de un planeta exterior. Supondremos que las orbitas de ambos cuerpos son circulares,con el Sol en el centro de las mismas y que la velocidad de ambos cuerpos es uniforme entoda la trayectoria. En el momento t = t0 el planeta exterior se encuentra en oposicion.Al estar la Tierra mas cercana al Sol, esta se mueve mas rapido (tercera ley de Kepler, verseccion 11.2.3) en tanto que el planeta exterior se mueve en su orbita mas despacio. Alcabo de un tiempo la Tierra habra completado una revolucion sideral (habra completado360 grados) en tanto que el planeta exterior se ubicara en el punto C. Poco tiempo despues,al haber la Tierra recorrido un angulo θ, sucedera de nuevo la oposicion.

C

θ

OPOSICION EN t=t

ORBITA DE LA TIERRA

0SOL

Figura 6.9: Dos oposiciones sucesivas de un planeta

Una simple regla de tres nos permite inferir lo siguiente para el planeta exterior conperıodo sideral Tp:

P =θTp360

. (6.2)


Igualmente, para el perıodo sideral de la Tierra tenemos que la relacion con el perıodosinodico es:

P =(360 + θ)Tt

360= Tt +

θTt360

. (6.3)

Reemplazando el valor de θ dado en (6.2) en la ecuacion (6.3) tenemos:

P = Tt +PTtTp

, (6.4)

que al dividir por PTt llegamos a

1Tt

=1P

+1Tp. (6.5)

Esta ecuacion es valida siempre y cuando el perıodo sideral Tp corresponda a un planetaexterior. Si queremos calcular el perıodo sinodico para un planeta interior hay que hacerla siguiente consideracion: la figura 6.9 muestra a la Tierra como planeta interior. Senci-llamente hagamos un cambio de orbitas en el sentido de que la orbita del planeta exteriorsea ahora la de la Tierra y la que habıa tomado la Tierra que sea ahora la de un planetainterior. En tal caso la ecuacion pasa a ser:

P =θTt360

, P = Tp +θTp360

, (6.6)

de las cuales es facil obtener:

1Tp

=1P

+1Tt. (6.7)

Ejemplo 1

Determinar el perıodo sideral del planeta Jupiter si el perıodo sinodico de este visto desdela Tierra es de 398.9 dıas terrestres.


Solucion

En este caso Tt = 365.25 dıas y P = 398.9 dıas. Utilizamos la ecuacion (6.5) paradespejar Tp, pues Jupiter es un planeta exterior a la Tierra:

1Tp

=1

365.25− 1

398.9= 2.3095× 10−4,

de la que se deduce que Tt = 4329 dıas, esto es, 11.85 anos terrestres.


• Bakulin, P., Kononovich, E., Moroz, V. (1983) Curso de astronomıa general, Mir, Moscu.

Excelente texto de astronomıa basica. El capıtulo 2 explica con sencillez algunos conceptossobre el movimiento aparente de los astros.

• Culver, B., Ianna, P. (1994) El secreto de las estrellas, astrologıa: ¿mito o realidad?, Tikalediciones, Gerona.

Libro escrito por dos astronomos que expone las contradicciones conceptuales de la astrologıa.

• Meeus, J. (1988) Astronomical Tables of the Sun, Moon and Planets, Willman-Bell, Inc.,Richmond.

Contiene multitud de datos utiles para la observacion de los planetas, la Luna y el Sol. Muycompleto en lo que respecta a fechas de oposiciones, conjunciones, maximas elongaciones,etc.

• Roy, A.E., Clarke, D. (1988) Astronomy: Principles and Practice, Adam Hilger, Bristol.

El capıtulo 11 contiene una exposicion clara y detallada sobre fenomenos planetarios geocentricos.

Capıtulo 7

EL TIEMPO ENASTRONOMIA

El tiempo es un concepto de importancia fundamental en la vida moderna. El ritmo ace-lerado predominante en la sociedad actual esta en gran medida asociado a la necesidad quetenemos de medir la sucesion de los eventos que acaecen en nuestra vida diaria con la mayorexactitud que sea posible. Vivir en sociedad, en las actuales circunstancias, ha hecho indis-pensable tener conciencia en especificar con detalle los sucesos que ya ocurrieron (lo que yapaso) y lo que sucedera.

Para la medida del tiempo es indispensable contar con la existencia de un fenomenoperiodico, esto es, algo que se presente o suceda a intervalos grandes o pequenos de tiempo deforma repetitiva (esto es, con la mayor monotonıa posible) y completamente ininterrumpido.La observacion habil y paciente por parte de las culturas antiguas puso en evidencia laexistencia de algunos fenomenos astronomicos que cumplıan aproximadamente con estosrequerimientos.

7.1 El dıa

La sucesion de los dıas es el fenomeno astronomico periodico mas obvio: el ciclo incesantede los dıas y las noches influye decididamente sobre nuestro ritmo de vida de tal forma queel dıa, entendido de forma primitiva como el tiempo que tarda el Sol en salir por el orientede forma consecutiva, es una medida del tiempo muy facil de verificar.

Desde el punto de vista astronomico, llamamos dıa al tiempo que tarda un cuerpo celesteen girar sobre sı mismo. Ahora bien, cuando se considera el concepto de rotacion de uncuerpo lo primero que hay que especificar es con respecto a que punto (o puntos) de referenciaesta rotando el objeto. Y aquı se pone complicado el asunto, pues aparecen varias definicionesde dıa dependiendo de la eleccion de los puntos de referencia. En lo que sigue consideraremosque el cuerpo en rotacion es el planeta Tierra.

107

108 CAPITULO 7. EL TIEMPO EN ASTRONOMIA

7.1.1 El dıa sideral

Hablamos de dıa sideral cuando nos referimos al intervalo de tiempo que le toma a laTierra dar una revolucion completa sobre sı misma con respecto a las estrellas fijas. En lapractica lo que se hace es escoger como referencia un punto en el cielo de caracterısticasespeciales que se comporte como una estrella: el punto vernal (g). Para un observadorubicado en la superficie de la Tierra la siguiente definicion de dıa sideral es mas discernible:intervalo de tiempo existente entre dos culminaciones superiores (o inferiores) consecutivasdel punto vernal. El dıa sideral se divide en veinticuatro segmentos a los que llamaremoshoras siderales; cada hora sideral se divide en 60 partes llamadas minutos siderales y a suvez cada uno de estos se divide en 60 partes llamados segundos siderales. Un segundo siderales entonces 1/(60× 60× 24) = 1/86 400 parte de un dıa sideral.

7.1.2 El dıa solar verdadero

Llamaremos dıa solar verdadero al intervalo de tiempo que le toma a la Tierra dar unarevolucion completa sobre sı misma con respecto al centro del Sol, o lo que es completamenteequivalente: intervalo de tiempo existente entre dos culminaciones superiores (o inferiores)consecutivas del Sol. En lo que sigue, y aunque se corra el riesgo de ser redundantes,llamaremos al centro del Sol el “Sol verdadero”. El dıa solar verdadero y el dıa sideral noson iguales, pues, como se recordara, el Sol verdadero se desplaza a traves de las estrellas arazon de casi un grado por dıa. Puesto que, independientemente del movimiento diurno, elSol verdadero se va moviendo aparentemente en direccion hacia el este, al transcurrir un dıasideral completo, el Sol no habra completado su “revolucion” alrededor de la Tierra, con loque el dıa solar verdadero es un poco mas largo que el sidereo (ver figura 7.1).

W E W E

SOL

SOL

(a) (b)

Figura 7.1: (a) Sol y equinoccio vernal coinciden. (b) Situacion del Sol y el punto vernal un dıa sideral

despues

Pero el dıa solar verdadero adolece de un problema serio que lo hace poco util a la horade utilizarlo como medida de tiempo confiable.

Lo que vemos como el movimiento del Sol a traves del cielo no es otra cosa que elmovimiento reflejo de la Tierra alrededor del Sol. Sin embargo, la orbita de la Tierra (y

7.1. EL DIA 109

la de los otros planetas del sistema solar) no es circular sino elıptica. Ademas, los cuerposcelestes se mueven barriendo areas iguales en tiempos iguales, lo que en terminos cualita-tivos significa que el planeta se mueve mas rapido cuando esta cerca del Sol que cuandoesta lejos de el. Aunque la orbita de la Tierra posee una excentricidad muy pequena, es losuficientemente notable como para apreciarse que la Tierra, al estar mas cerca del Sol (enlos primeros dıas de enero) este, visto desde la Tierra, se desplaza a traves del cielo un pocomas rapido de lo normal; ası mismo, cuando la distancia entre ellos es maxima (seis mesesdespues), el Sol se desplaza un poco mas despacio de lo corriente. Esto significa que, almedir el tiempo que le toma al Sol pasar de forma consecutiva por el meridiano a traves delano, este tiempo no es constante; varıa conforme transcurren los meses. Este hecho se veagravado aun mas por la inclinacion del eje de la Tierra con respecto a la normal al planode la eclıptica, esto es, que la eclıptica no coincida con el ecuador celeste.

Vemos entonces que el dıa solar verdadero no es una unidad de medida de tiempo confi-able, pues su duracion varıa de dıa en dıa. Sin embargo, puesto que el Sol regula nuestrasactividades diarias y el hecho de que las diferencias en duracion son relativamente pequenas,es necesario “obligar” al Sol a que sea un punto de referencia util, esto es, que la duracionde un dıa basado en el Sol sea constante para todos los dıas del ano.

7.1.3 El dıa solar medio

Llamamos dıa solar medio al intervalo de tiempo que le toma a la Tierra dar una revolucioncompleta sobre sı misma con respecto al centro del Sol medio, o lo que es lo mismo, elintervalo de tiempo existente entre dos culminaciones superiores (o inferiores) consecutivasdel Sol medio. El Sol medio es un Sol ideal, llamado tambien fantasma o ficticio, el cual losastronomos introdujeron con el fin de subsanar los problemas de variabilidad en la duraciondel dıa solar verdadero.

Imaginemos el siguiente escenario: 1. La Tierra describe una orbita perfectamente cir-cular en torno al Sol; 2. El eje de la Tierra es perpendicular al plano de la eclıptica (ecuadorceleste y eclıptica coinciden). El Sol resultante de estas dos condiciones hipoteticas queverıamos desde la Tierra en el transcurso de los dıas es el Sol medio. Es util imaginarse alSol medio como un Sol invisible que esta cerca del Sol verdadero, en ocasiones adelantandosea el, en otras, atrasandose, y en algunas pocas ocasiones coincidiendo con el.

El dıa solar medio contempla el hecho de que el punto de referencia (el Sol medio) sedesplace a razon de 0.98 grados por dıa en direccion hacia el este. Esto implica que el dıasolar medio y el dıa sideral no poseen igual duracion.

El dıa solar medio se divide en veinticuatro segmentos que llamaremos horas solaresmedias; cada hora solar media se divide en 60 partes llamadas minutos solares medios y a suvez cada uno de estos se divide en 60 partes llamados segundos solares medios. Un segundosolar medio es entonces 1/(60× 60× 24) = 1/86 400 parte de un dıa solar medio.


7.2 Conversion entre tiempo sideral y tiempo solar medio

En astronomıa es igualmente necesario medir eventos en dıas siderales y en dıas solaresmedios, por lo que surgen los conceptos de tiempo sideral y tiempo solar medio respectiva-mente. De ahı que sea indispensable encontrar una conversion que permita facilmente pasarde una unidad de tiempo a otra.

La diferencia entre las dos escalas de tiempo estriba en el hecho de que el Sol mediose va desplazando con respecto a las estrellas de fondo a razon de 360/365.2564 = 0.98561grados/dıa, lo cual, en unidades de tiempo (24 horas corresponden a 360 grados) da un valorde 3m 56.55s.

Es claro entonces que al completarse 24 horas de tiempo sideral, esto es, al cabo de un dıasideral, todavıa no se han completado 24 horas de dıa solar medio, pues este, como dijimosatras, resulta ser un poco mas largo en duracion. En el momento en que se completen las 24horas de tiempo solar medio, ya se habran acumulado casi 4 minutos mas de tiempo sideral.De ahı que tengamos (con la precision que tenemos hoy en dıa):

24h de tiempo solar medio (1 dıa solar medio) = 24h 3m 56.5553678s de tiempo sideral.

De forma equivalente, al completar 24 horas de dıa sideral, faltan algunos minutos paraque se completen las 24 horas de dıa solar medio:

24h de tiempo sideral (1 dıa sideral) = 23h 56m 4.090524s de tiempo solar medio.

Por lo tanto, si tenemos una lectura en tiempo solar medio y deseamos convertirla entiempo sideral lo que debemos es multiplicar por el factor de conversion siguiente:

24h3m56.5553678s

24h=

24h

23h56m4.090524s= 1.00273790935079. (7.1)

De igual forma, al pasar de tiempo sideral a tiempo solar medio necesitamos multiplicarpor:

24h

24h3m56.5553678s=

23h56m4.090524s

24h= 0.997269566329. (7.2)

Ejemplo 1

Un reloj marca 3h 56m 34.6s de tiempo solar medio. Calcular el tiempo sideral.

Solucion

De acuerdo con la cuacion (7.1) tenemos:

7.3. EL TIEMPO SIDERAL LOCAL 111

3h 56m 34.6s × 1.002737909 = 3h 57m 13.4s.

Ejemplo 2

Un reloj marca 14h 5m 17.8s de tiempo sideral. Calcular el tiempo solar medio.

Solucion

De acuerdo con la formula (7.2) tenemos:

14h 5m 17.8s × 0.997206957 = 14h 2m 56.1s.

Las siguientes definiciones de tiempo son locales, esto es, estan definidas para un deter-minado observador ubicado sobre la superficie de la Tierra:

7.3 El tiempo sideral local

El tiempo sideral local (TSL) para un observador dado es el angulo horario del punto vernalque aprecia dicho observador:

TSL = Hg. (7.3)

Por lo tanto, el tiempo sideral local es cero para un observador cuando este nota que elpunto vernal esta culminando superiormente.

Notese entonces que el tiempo sideral local comienza a contarse una vez que el puntovernal pasa por el meridiano del observador, esto es, el dıa sideral tiene su origen en elinstante de la culminacion superior del punto vernal.

7.4 El tiempo solar verdadero

El tiempo solar verdadero (TSOLV ) para un observador dado es el angulo horario del Solverdadero que aprecia dicho observador, mas doce horas :

TSOLV = H¯ + 12h, (7.4)

donde H¯ representa el angulo horario del Sol1 verdadero. Como sabemos, esta escala detiempo no es uniforme y, por lo tanto, de escasa utilidad al momento de medir la duracionde los eventos.

1El sımbolo ¯ se utiliza extensivamente en astronomıa para representar al Sol. Era un geroglıfico utilizadopor los antiguos egipcios para representar el astro Sol (ra) como tambien para designar el concepto de dıa.


7.5 El tiempo solar medio

El tiempo solar medio (TSOLM) para un observador dado es el angulo horario del Sol medioque aprecia dicho observador, mas doce horas :

TSOLM = H¯ + 12h, (7.5)

donde H¯ denota el angulo horario del Sol medio. Esto significa que el dıa solar mediocomienza a contarse a partir de la culminacion inferior del Sol medio, esto es, cerca de loque llamamos en nuestra vida diaria la media noche. Vemos inmediatamente la conexionexistente entre el concepto de tiempo solar medio y el tiempo que estamos acostumbradosa utilizar. En efecto, cuando el Sol esta en, o muy cerca de su culminacion (Hsol v 0),sabemos que son cerca de las 12 meridiano; si el Sol esta proximo a ocultarse cerca deloccidente (Hsol v 6h) son cerca de las 6 p.m. o las 18 horas, y ası sucesivamente.

7.6 El tiempo universal

Llamese tiempo universal (TU) al tiempo solar medio para un observador situado exacta-mente en el meridiano de Greenwich.

Conociendo el tiempo universal, un observador ubicado en cualquier otra longitud puedecalcular su tiempo solar medio sin que recurra a la observacion del angulo horario del Solmedio. Basta tener presente que a causa de la rotacion de la Tierra en direccion de oeste aeste, por cada 15 grados que un observador este desplazado hacia el oeste del meridiano deGreenwich, el Sol medio, para dicho observador, esta ubicado unos 15 grados al este de sumeridiano, por lo que para el, el tiempo solar medio esta una hora retrasado con respectoal meridiano de Greenwich. De igual forma, por cada 15 grados que un observador estadesplazado al este del meridiano de Greenwich, el Sol medio esta ubicado al oeste de sumeridiano de tal forma que para el, el tiempo solar medio esta una hora adelantado conrespecto al meridiano de Greenwich.

Entonces, el tiempo solar medio de un observador situado a una longitud λ del meridianode Greenwich, en funcion del tiempo universal, esta dado por:

TSOLMλ = TU ± (λo/15), (7.6)

donde λo representa la longitud en grados. El signo se toma positivo si la longitud delobservador es hacia el este, negativo hacia el oeste.

7.7 Husos horarios

La ecuacion (7.6) tiene una gran desventaja, pues significa que, rigurosamente, dos ob-servadores separados por unos cuantos segundos de arco en longitud han de poseer unadiferencia de tiempo solar medio tambien de unos cuantos segundos en tiempo. Desde elpunto de vista operativo en cuanto a la administracion de un paıs o una region no convieneque ciudades proximas unas con respecto a las otras posean relojes que indiquen tiempos

7.7. HUSOS HORARIOS 113

distintos. Por ello se decidio dividir al planeta en 24 segmentos o franjas que van de polo apolo (llamados husos horarios o zonas de tiempo), cada uno con un ancho de 15 grados, detal forma que existiera entre cada huso y su vecino inmediato una diferencia de una hora.Con ello se pretende que los observadores ubicados dentro de un huso horario posean todosel mismo tiempo solar medio con respecto al tiempo universal. La zona de tiempo que con-tiene al meridiano cero o de referencia es llamada zona de tiempo cero. La zona de tiempo12 (aquella que es dividida por el meridiano 180) es llamada lınea internacional de cambiode fecha. Esta lınea separa las fechas consecutivas entre dos dıas. Los primeros hombres enexperimentar un cambio de fecha fueron aquellos marineros que acompanaron a FernandoMagallanes y Sebastian Elcano en el primer viaje que circunnavego el mundo entre 1519 y1522 habiendo sido los primeros europeos en cruzar por vez primera el Oceano Pacıfico deAmerica hacia Asia. Los pocos marineros que sobrevieron a tan penosa travesıa fueron, alregresar a Europa, fuertemente sorprendidos al enterarse de que su calendario de a bordoandaba retardado un dıa con respecto al calendario en Tierra.

La lınea internacional de la fecha se desvıa frecuentemente del meridiando 180 a causade las decisiones locales adoptadas por los territorios afectados. La lınea se deflecta haciael este a traves del estrecho de Bering y hacia el oeste de las islas Aleutianas para prevenirla separacion de estas areas por una fecha. Por la misma razon la lınea se deflecta otra vezhacia el este de Tonga y algunas islas de Nueva Zelandia en el Pacıfico Sur. Recientementela lınea se ha desviado notoriamente hacia el este para incluir todo Kiribati. Estos cambiosson variables y arbitrarios: no existe autoridad internacional que defina un curso de la lıneade cambio de fecha.

Se llama “tiempo local” (TL) o “tiempo legal” —en algunos paises se llama tiempoestandar— de un paıs o de una region determinada al tiempo solar medio correspondientea su huso horario (HH) de acuerdo con (la version practica de la ecuacion (7.6)):

TL = TU +HH, (7.7)

donde HH viene en unidades de horas y es un numero (casi siempre entero) positivo o ne-gativo. En el caso de la Republica de Colombia se ha escogido un huso horario HH = −5,puesto que el meridiano 75 oeste (multiplo exacto de 15) atraviesa aproximadamente elcentro-occidente del paıs2.

Dicha zona de tiempo, que va de longitud 67o 30′ oeste hasta 82o 30′ oeste cubre toda laplataforma continental del territorio nacional, inclusive los territorios insulares de San An-dres, Providencia y Santa Catalina en el Oceano Atlantico y Malpelo en el Oceano Pacıfico.El tiempo local para Colombia se conoce con el nombre de Tiempo Oficial de la Republicade Colombia, el cual esta dado por:

(TL)Colombia = TU − 5h (7.8)

2Poblaciones casi situadas sobre el meridiano 75 estan, entre otras: Pilon (Atlantico), Jesus del Monte(Bolıvar), San Andres de Palomo (Sucre), San Carlos, San Luis y Aquitania (Antioquia), Samana (Caldas),Chicoral y Chenche (Tolima), y Lusitania (Caqueta).


Figura 7.2: Mapa de Colombia

Paıses que se ubican aproximadamente dentro de este sector han adoptado tambien estevalor de huso horario, tales como Ecuador, Peru, y algunos estados de la costa este de losEstados Unidos.

Venezuela tiene por huso horario HH = −4, valor que ha sido tambien adoptado porBolivia, Chile, Paraguay y la parte occidental de Brasil.

Ejemplo 1

Un reloj marca el Tiempo Oficial para la Republica de Colombia en los siguientes trescasos. Determinar para cada uno de ellos el tiempo universal TU :

a) 2h 35m 15s p.m. del 4 de abril de 2003.b) 5h 14m 6s a.m. del 17 de septiembre del 2010.

7.7. HUSOS HORARIOS 115

c) 9h 55m 16s p.m. del dıa 10 de mayo de 2015.

Solucion

a) Las 2h 35m 15s de la tarde (pasado el meridiano, p.m.) equivalen a un tiempo de 14h

35m 15s transcurrido desde el inicio del dıa. Por lo tanto:

TU = 14h 35m 15s + 5h = 19h 35m 15s del dıa 4 de abril de 2003.

b) Las 5h 14m 6s equivalen a un tiempo de 5h 14m 6s transcurrido desde el inicio deldıa. De ahı que:

TU = 5h 14m 6s + 5h = 10h 14m 6s del dıa 17 de septiembre del 2010.

c) Las 9h 55m 16s p.m. equivalen a un tiempo de 21h 55m 16s transcurrido desde elinicio del dıa. Por lo tanto:

TU = 21h 55m 16s + 5h = 26h 55m 16s.

Un tiempo superior a 24 horas significa que estamos en el dıa siguiente, por lo que alvalor anterior le restamos 24h:

TU = 2h 55m 16s del dıa 11 de mayo de 2015.

Pero fue claro desde el principio que la intencion de dividir el globo terrestre en 24 seg-mentos, en donde a cada uno de ellos se le ha de asignar una hora dada con respecto a TU ,no iba a ser adoptada unanimemente. La razon es clara: la forma irregular y los tamanosdisımiles de los paıses como tambien razones polıticas, de conveniencia y de otra clase, hanhecho que muchas naciones hayan adoptado como valor de huso horario otro distinto del quedeberıa corresponderles por estar situadas en determinada posicion geografica con respectoal meridiano de Greenwich. Es obvio que paises con extensiones territoriales muy notoriastales como Rusia, Canada, Estados Unidos y Brasil se ven cubiertas por dos o mas zonasde tiempo. El territorio de Rusia es atravesado por once zonas de tiempo; Estados Unidos,teniendo en cuenta sus posesiones de ultramar, es cubierto por diez zonas de tiempo, entanto que Canada registra seis y China cinco. Pero no necesariamente significa que cadapaıs se vea en la necesidad de definir horas locales correspondientes a cada zona de tiempo.Un ejemplo notorio es China, que, aunque cubierto su territorio por cinco zonas de tiempo,ha escogido un tiempo fijo para todo el paıs con HH = 8.

Una complicacion adicional a la conversion entre los tiempos locales y el tiempo universales la costumbre, entre algunos paıses ubicados con latitudes altas (φ > 25 N y S), de adelantaren una hora la hora local en los meses de verano (aunque se incluye tambien parte de laprimavera y el otono). La razon es que en verano el Sol esta por encima del horizonte unas14 a 15 horas (la duracion cambia con la latitud y la epoca del ano). En solsticio de veranoel Sol sale aproximadamente a las 4 a.m., una hora en la que buena parte de la poblacionaun esta durmiendo. La puesta del Sol se verifica a eso de las 8 p.m. Por ello, y para ajustar


el tiempo de una forma mas adecuada al huso civil, algunos paıses, usualmente por decretogubernamental, adelantan los relojes 1 hora. Entonces, la hora local en este perıodo del ano,llamada “hora de verano”, es igual a:

(TL)verano = TU +HH + 1. (7.9)

Con este adelanto de la hora se logra ademas disminuir el consumo de energıa electricapor parte de la poblacion civil, pues con la medida se pretende que la mayorıa de la gentese vaya a la cama una hora mas temprano.

Como ilustracion considerese la region de la costa este de los Estados Unidos. La ho-ra local de estados tales como Florida, Virginia, Pensilvania, ambas Carolinas, Georgia,New York, etc., llamada hora estandar del este, esta determinada por un huso horario deHH = −5, por lo que la hora de ciudades como Miami, New York, Washington, etc., esidentica a la hora en la Republica de Colombia. Sin embargo, desde el primer domingo deabril hasta el ultimo domingo de octubre, la hora para dichos estados es aumentada en uno,por lo que, si en Colombia son las 10 a.m., en estos estados seran las 11 a.m.

Pero paıses como China y Japon, aunque situados en latitudes altas, no adelantan suhora en verano. Paıses situados en el hemisferio sur adelantan sus relojes una hora en losmeses de octubre hasta marzo. En los paıses situados en o muy cerca del ecuador terrestreno se justifica adelantar la hora con el mismo proposito que se hace en otros paises tal ycomo el de ahorrar energıa electrica. Ya se vio que en cercanias del ecuador terrestre ladiferencia de duracion entre el dıa y la noche es escasa y relativamente poco perceptible.Por tal razon en dichos paıses no se realizan modificaciones a la hora legal. Sin embargo, ellono impidio que en 1992, en nuestro paıs, durante el gobierno de Cesar Gaviria, se adelantaratemporalmente la hora (de HH = −5 se paso a HH = −4) como medida de ultimo recursoante la grave sequıa que afecto el normal funcionamiento de las hidroelectricas. La idea, conmuy poco respaldo astronomico, era la de forzar el ahorro de energıa electrica.

7.8 La ecuacion del tiempo

La ecuacion del tiempo (ET ) es la diferencia existente entre el tiempo solar verdadero y eltiempo solar medio:

ET = TSOLV − TSOLM. (7.10)

De las definiciones de estos tiempos en funcion de los angulos horarios del Sol verdaderoy medio (ecuaciones (7.4) y (7.5)) obtenemos :

E.T. = H¯ −H¯. (7.11)

Esta es una simple diferencia en tiempo sideral que en ocasiones puede ser positiva, ne-gativa o nula, ver figura 7.3. La ecuacion del tiempo es cero aproximadamente los dıas 16 deabril, 18 de junio, agosto 30 y diciembre 16. Por lo tanto, en dichos dıas el Sol medio y el Solverdadero coinciden, lo que significa que a mediodıa de tiempo solar medio, esto es, cuando

7.8. LA ECUACION DEL TIEMPO 117

Figura 7.3: Ecuacion del tiempo

un reloj marca las 12h 0m 0s para un observador situado exactamente en el meridiano deGreenwich el Sol medio pasa por el meridiano en el mismo momento en que el Sol verdaderolo hace.

La ecuacion del tiempo es maxima positiva aproximadamente en noviembre 3 (+ 16m

26s). Una diferencia positiva significa que H¯ > H¯, por lo que al pasar el Sol verdaderopor el meridiano del observador el Sol medio todavıa no ha culminado; en otras palabras, amediodıa de tiempo solar medio para un observador exactamente ubicado en el meridianode Greenwich (H¯ = 0) el Sol verdadero hace ya unos momentos que ha pasado por elmeridiano del observador (ver figura 7.4). El 3 de noviembre a las 12 m. de TU el Solverdadero esta ubicado ya a un angulo horario de 0h16m 26s, obviamente hacia el oeste.

La ecuacion del tiempo es maxima negativa aproximadamente en febrero 11 (- 14m 16s).

Una diferencia negativa significa que H¯ > H¯, por lo que al pasar el Sol verdadero porel meridiano de un observador situado en el meridiano de Greenwich el Sol medio ya hace untiempo que ha culminado; en otras palabras, a mediodıa de tiempo solar medio (H¯ = 0) elSol verdadero todavıa no ha pasado por el meridiano del observador. El 11 de febrero a las12 m. de TU el Sol verdadero esta ubicado a un angulo horario de 24h - 0h 14m 16s = 23h

45m 44s.


. .

..

SOL VERDADERO

SOL MEDIO CULMINANDO(12 HORAS TU)

SOL VERDADERO

S

E

N

W

H < H

H > H

Figura 7.4: Posicion del Sol verdadero a las 12h de TU dependiendo del signo de la ecuacion del tiempo

7.9 El calculo del tiempo sideral local

En la seccion 5.6.2 introdujimos el concepto del tiempo sideral local (TSL) sin mayorescomplicaciones, para poder convertir el angulo horario H de un astro en su correspondienteascension recta o viceversa. En los ejemplos vistos allı el TSL se suponıa conocido. En lassiguientes lıneas veremos como puede calcularse para cualquier fecha y hora local.

Primero que todo supongamos que conocemos el TSL para un observador situado en elmeridiano de Greenwich a las 0h de TU . Abreviaremos el tiempo sideral para un observadoren Greenwich a las cero horas de tiempo local (TU) como TSG0, que es el angulo horario delpunto vernal para un observador situado en el meridiano de Greenwich exactamente a las 0h

de TU . Por lo tanto, el angulo horario del punto vernal para un observador en Greenwiches, para un tiempo t cualquiera de TU (que llamaremos TSGt):

TSGt = TSG0 + TU × 1.0027379, (7.12)

pues es claro que, a medida que avanza el tiempo, el punto vernal se va desplazando haciael oeste (por el movimiento diurno), en la direccion en que se incrementa el angulo horario.Vemos que es necesario el factor de conversion para pasar de tiempo solar medio (las unidadesen que viene el TU) a unidades de tiempo sideral.

El calculo del tiempo sideral local para cualquier otro observador que esta situado aloeste del meridiano de Greenwich es, para el mismo instante t (ver figura 7.5):

7.9. EL CALCULO DEL TIEMPO SIDERAL LOCAL 119

OESTE ESTEmerid. a

l este

de Gree

n.

mer

. Gre

enw

ich

merid. al oeste de Green.

TSL

TSL

λλ

E

W

TSGt

Figura 7.5: Tiempo sideral en Greenwich y tiempos siderales locales

TSL = TSGt − (λoW /15), (7.13)

donde λoW denota la longitud hacia el oeste en grados, por lo que es necesario dividir por 15para obtener este termino de longitud en las unidades apropiadas de tiempo.

Si el observador esta al este del meridiano de Greenwich su tiempo sideral local en elinstante t es:

TSL = TSGt + (λoE/15), (7.14)

donde λoE denota la longitud hacia el este en grados.

7.9.1 El calculo de la fecha juliana

En algunos calculos astronomicos es imperativo determinar con exactitud el numero de dıastranscurrido entre dos eventos. Supongase que se desea conocer el numero de dıas existentesentre el dıa en que acontecio la Batalla de Boyaca (7 de agosto de 1819) y el dıa en queocurrio la muerte del lıder polıtico Jorge Eliecer Gaitan (9 de abril de 1948). Podemoshacer este calculo comenzando por determinar el numero de dıas restantes de 1819 (agostotiene 31 dıas, septiembre 30, octubre 31, noviembre 30 y diciembre 31) y luego sumando elnumero de dıas que hay entre los ambos anos, no olvidando que cada cuatro anos es bisiesto(tiene 366 dıas), etc., etc., etc. Vemos que la manera mas obvia de hacer este calculo tiene


la desventaja de ser tediosa y se presta para caer facilmente en errores. Si queremos de-terminar el numero de dıas entre eventos historicos anteriores a la fecha del nacimiento deJesucristo el calculo se complica aun mas, pues hay que considerar que, por deficiencias enconocimientos matematicos, los cronistas no incluyeron en la historia el ano cero (ver seccion9.5); y que para complicacion adicional, en 1582, por orden papal, no solo se perdieron diezdıas de la historia sino que se instauro una regla mediante la cual ciertos anos que deberıanser bisiestos no lo son (ver seccion 9.4).

Por tal razon los astronomos recurren al concepto de fecha juliana, FJ .

La idea fue buscar un dıa lo suficientemente atras en el tiempo como para cubrir elperıodo historico (los eventos registrados mediante escritura). Dicho dıa de referencia es elprimero de enero del ano 4713 antes de Jesucristo a mediodıa de Greenwich (12h de TU).La razon de haber escogido este ano como fecha de referencia se vera en la seccion 9.6.4.Se llama “numero de dıa juliano” al numero de dıas que han pasado (a mediodıa de Green-wich) desde la fecha de referencia. Entonces, el dıa 3 de enero del 4713 A.C. a mediodıa deGreenwich le correspondio un numero de dıa juliano igual a 2. Por supuesto que a finalesdel siglo XX y comienzos del XXI, habiendo transcurrido mas de 6700 anos desde la fechade referencia, el numero de dıas juliano se ha incrementado a un valor cercano a los dosmillones cuatrocientos cincuenta mil. El dıa 31 de diciembre del ano 2000 (a mediodıa deGreenwich) le corresponde el numero de dıa juliano de 2 451 910.

Llamese fecha juliana, FJ , de un instante dado a su correspondiente numero de dıajuliano mas la fraccion de dıa transcurrido.

Ejemplo 1

Calcular la fecha juliana del instante 17h 34m 57s, hora oficial de la Republica de Colom-bia, del dıa 1 de enero del 2001.

Solucion

Comentabamos unas cuantas lıneas atras que el numero de dıa juliano de la fecha di-ciembre 31 del 2000 (a las 12h de TU) es de 2 451 910. Por lo tanto, el dıa siguiente (el1 de enero del 2001 a las 12h de T.U.) tiene por numero de dıa juliano 2 451 911. Peronuestro TU es 17h 34m 57s + 5h = 22h 34m 57s, por lo tanto, debemos considerar el tiempoque ha transcurrido desde el mediodıa: 22h34m57s − 12h = 10h34m57s = 10.5825h que enfraccion de dıa equivale a 10.5825h/24h = 0.4409375, por lo que la fecha juliana del instanterequerido es: 2 451 911 + 0.4409375 = 2 451 911.4409375.

La fecha juliana fue introducida por Joseph Justus Scaliger en 1582. La fecha del 1de enero del 4713 A.C. fue escogida como el origen de un gran perıodo de 7980 anos (verseccion 9.6.4), que llamo perıodo juliano, en honor de su padre (Julius Scaliger), por lo queel perıodo juliano no tiene nada que ver con el calendario juliano —el nombre de juliano eneste ultimo viene de Julio Cesar— que miraremos con detalle en la seccion 9.2.


En el apendice F estan contenidas unas tablas cuya rapida consulta permite hallarfacilmente la fecha juliana de cualquier fecha comprendida entre los anos −1990 hasta 2999A.D.

Ejemplo 2

Calcular la fecha juliana del dıa 19 de septiembre del ano 2710.

Solucion

Nos remitimos al apendice F. En la tabla F.1 se busca la fecha juliana correspondiente ala centena del ano en cuestion (2700): 2 707 213.5. Luego se halla en la tabla F.2 el numeroque corresponde a la parte adicional del ano sin tener en cuenta la centena, en nuestro caso10: 3652. Luego se busca en la tabla F.3 el numero que corresponde al mes, que en nuestrocaso es: 243. A la suma de los tres numeros anteriores adicionamos el dıa:

2 707 213.5 + 3652 + 243 + 19 = 2 711 127.5.

Existen en la literatura astronomica varias rutinas matematicas creadas para calcular lafecha juliana. Describiremos aquı la formula dada por Meeus (Meeus, 1991):

Sea A el ano, M el numero de mes (1 para enero, 12 para diciembre) y D el dıa del mes(incluidos los decimales si los tiene). Entonces:

Si M = 1 o 2, entonces: A = A− 1, M = M + 12,

Si M > 2 entonces A = A, M = M.

La fecha juliana se calcula mediante:

FJ = ENT (365.25× (A+ 4716)) + ENT (30.6001× (M + 1)) (7.15)−ENT (A/100) + ENT (ENT (A/100)/4) +D − 1522.5,

donde ENT () significa la parte entera de lo que esta dentro de los parentesis:

ENT ( 4.234) = 4, ENT (3.99999) = 3.

Ejemplo 3

Calcular la fecha juliana del dıa 4 de febrero del 2002.

Solucion

Mientras no haya mas informacion, su supone que estamos hablando de las 0 horas deTU del dıa en cuestion.


Aquı A = 2002, M = 2, D = 4. Entonces: A = 2001, M = 14.

Ası mismo:

ENT (365.25× (A+ 4716)) = 2 453 384,ENT (30.6001× (M + 1)) = 459,ENT (A/100) = 20,ENT (ENT (A/100)/4) = 5.

Finalmente:

FJ = 2 453 384 + 459− 20 + 5 + 4− 1522.5 = 2 452 309.5.

Ejemplo 4

Calcular la fecha juliana del instante 3h 54m 15s del 23 de septiembre de 2126. La horaesta dada en Tiempo Oficial de la Republica de Colombia.

Solucion

Calculamos el TU : 3h 54m 15s + 5h = 8h 54m 15s. En fraccion de dıas es: (8h 54m

15s)/24h=0.371007.

Aquı: A = 2126, M = 9, D = 23.371007.

Ası mismo:

ENT (365.25× (A+ 4716)) = 2 499 040,ENT (30.6001× (M + 1)) = 306,ENT (A/100) = 21,ENT (ENT (A/100)/4) = 5.

Finalmente:

FJ = 2 499 040 + 306− 21 + 5 + 23.371007− 1522.5 = 2 497 830.871007.

Ya estamos en condiciones de responder al reto que nos habıamos planteado al inicio deesta seccion, esto es, hallar el numero de dıas existentes entre el 7 de agosto de 1819 y el 9de abril de 1948. Sencillamente calculamos las fechas julianas de ambos eventos:

7 de agosto de 1819 =⇒ 2 385 653.5,9 de abril de 1948 =⇒ 2 432 650.5,

y la diferencia entre ambos numeros nos da el dato buscado: 46 997 dıas.


7.9.2 El calculo del TSG0

El TSG0 (el tiempo sideral en Greenwich a las 0h de TU , o el angulo horario que tiene elpunto vernal a las 0h de TU para un observador situado exactamente en el meridiano deGreenwich) para un dıa determinado, se puede calcular por medio de la siguiente formula:

TSG0 = 6h41m50.54841s + 2400h3m4.81286sT + 0.09310sT 2, (7.16)

donde T esta dado por:

T =FJ − 2 451 545.0

36 525, (7.17)

siendo FJ la fecha juliana del dıa en cuestion. El numero 2 451 545.0 es la fecha juliana delinstante enero 1 a las 12h de TU del ano 2000.

Ejemplo 1

Calcular el TSG0 del dıa 5 de julio de 2003.

Solucion

Calculamos la fecha juliana del 5 de julio de 2003. El calculo da: 2 452 825.5. A conti-nuacion determinamos T el cual da T = 0.0350582.

Entonces:

2400h3m4.81s × 0.0350582 = 84.141479h.

Reemplazando en la formula (7.16) obtenemos, sin considerar el termino cuadratico quees muy pequeno:

TSG0 = 6h41m50.55s + 84.141479h = 90.838854h.

Este resultado tiene que ser llevado a un valor de tiempo comprendido entre 0 y 24horas, lo que llamaremos llevar al primer reloj. Por ejemplo, 26 horas es equivalente a tener2 horas. Esto se hace sencillamente utilizando la ecuacion:

TSG0 = TSG0∗ − ENT(TSG0∗

24

)× 24h, (7.18)

donde TSG0∗ representa el valor del TSG0 cuando es mayor de 24 horas.

Por lo tanto:

TSG0 = 90.838850h − 3× 24h = 18.83885h = 18h50m19.87s.

NOTA: El TSG0 se designa de dos formas, dependiendo del grado de exactitud con quese calcula. Uno, definido por la formula sencilla (7.16), se llama tiempo sideral medio en


Greenwich a las 0 horas de TU (TSG0m). La palabra medio quiere decir que se esta hablan-do del angulo horario del punto vernal medio, esto es, aquel que resulta de la intersecciondel ecuador celeste medio con la eclıptica de la fecha. En otras palabras, el punto vernalası calculado no esta siendo corregido por nutacion (ver la seccion 10.2). El otro TSG0,mas exacto, es llamado tiempo sideral aparente en Greenwich a las 0 horas de TU (TSG0a).Indica el angulo horario del punto vernal aparente o verdadero, esto es, ya corregido pornutacion.

La relacion entre estos dos tiempos es la ecuacion de los equinoccios , EE. La ecuacionde los equinoccios se define ası:

EE = TSG0a − TSG0m = ∆ψ cos εv, (7.19)

donde ∆ψ representa la nutacion en longitud (en unidades de tiempo) definida por laecuacion (10.11) y εv es la oblicuidad verdadera de la fecha, ecuacion (10.17). Sin em-bargo, EE es un valor pequeno, del orden de un segundo de tiempo. Por lo tanto, encalculos donde no se requiera demasiada precision se puede hacer EE = 0 y trabajar con elTSG0 medio.

Ya estamos en capacidad, por fin, de calcular el tiempo sideral local, esto es, el angulohorario del punto vernal para un instante y observador cualesquiera.

Ejemplo 2

Calcular el tiempo sideral local de un observador situado en Miami el dıa 8 de agostodel 2003 para la hora local 6h30m0s. La longitud de Miami es 80o12′25′′ W.

Solucion

Primero calculamos el tiempo universal TU . Puesto que se trata de la hora local, estoes, tiempo estandar del este y como la fecha indica que es verano, la hora esta adelantadacon respecto al huso horario que le corresponde (H = −5). En otras palabras, utilizamos laecuacion (7.9). Entonces:

TU = (TL)verano −HH − 1,

por lo que TU = 6h30m0s − (−5h) − 1h = 10h30m0s. La fecha juliana del 8 de agosto del2003 es: 2 452 859.5. Por lo tanto T=0.0359890. Entonces el TSG0 es igual a: 93h4m22.16s

que llevado al primer reloj da: 21h4m22.16s.

A continuacion calculamos el TSGt con ayuda de la ecuacion (7.12):

TSGt = 21h4m22.16s + 10h30m0s × 1.0027379 = 31h36m5.65s;

al excederse este valor de 24h le restamos sencillamente 24h para dar:

TSGt = 7h36m5.65s.


Por ultimo calculamos el TSL con ayuda de la ecuacion (7.13):

TSL = Hg = 7h36m5.65s − 80o12′25′′/15 = 2h15m15.99s.

Ejemplo 3

Calcular el angulo horario del punto vernal el dıa 28 de noviembre de 2015 a una horalocal de 8h15m30s de la noche, para un observador situado en el municipio colombiano deMompos (Bolıvar). La longitud de Mompos es: 74o25′8′′ W.

Solucion

Calculamos el tiempo universal TU . Las 8h15m30s de la noche hora local, esto es,Tiempo Oficial de la Republica de Colombia, representan las 20h15m30s. Puesto que paraColombia HH = −5 tenemos que, de acuerdo con la ecuacion (7.8):

TU = 20h15m30s + 5h = 25h15m30s.

El hecho de habernos excedido en 24h quiere decir que en Greenwich, para el mismoinstante, son la 1h15m30s pero del dıa siguiente. Y aquı se ha de andar con cuidado porqueeste hecho puede dar lugar a confusiones y errores en el calculo. Para determinar el TSGtpodemos hacerlo de dos formas. Bien con la fecha del 28 de noviembre o con la del 29 denoviembre. Haremos el calculo de ambas maneras.

Con la fecha del 28 de noviembre de 2015: La fecha juliana es: 2 457 354.5. Por lo tantoT = 0.1590554. Entonces el TSG0 es igual a: 388h26m18.60s que llevado al primer reloj da:4h26m18.60s.

A continuacion calculamos el TSGt:

TSGt = 4h26m18.60s + 25h15m30s × 1.0027379 = 29h45m57.56s;

al excederse este valor de 24h le restamos sencillamente 24h para dar:

TSGt = 5h45m57.66s.

Con la fecha del 29 de noviembre de 2015: La fecha juliana es obviamente: 2 457 355.5.Por lo tanto: T = 0.1590828. Entonces el TSG0 es igual a: 388h30m15.34s que llevado alprimer reloj da: 4h30m15.34s.

A continuacion calculamos el TSGt:

TSGt = 4h30m15.34s + 1h15m30s × 1.0027379 = 5h45m57.66s.

Por ultimo, calculamos el TSL con ayuda de la ecuacion (7.13):

TSL = Hg = 5h45m57.66s − 74o25′8′′/15 = 0h48m17.13s.


7.10 Sistemas de tiempo

El mundo moderno exige medir el tiempo lo mas exacto que sea posible, bien sea porpropositos cientıficos, militares, religiosos, industriales o civiles. De todas las cantidadesfısicas medibles el tiempo es aquella que se puede medir con mayor exactitud.

Se deben definir dos cantidades con el fin de establecer un sistema de tiempo: la primeraes la unidad de duracion, como por ejemplo el segundo o el dıa; la segunda es el cero (o laepoca) de dicho tiempo. Ya hemos visto dos sistemas de tiempo: el tiempo universal, TU ,y el tiempo sideral. Es nuestro proposito en las siguientes secciones complementar algunosconceptos con respecto a los sistemas de tiempo ya vistos e introducir varios mas, todosnecesarios y de uso extensivo en astronomıa.

7.10.1 Variaciones en la tasa de rotacion terrestre

Conviene recordar que el tiempo solar medio (del que se deduce el tiempo universal TU) yel tiempo sideral descansan en un fenomeno periodico “regular”, el cual es la rotacion de laTierra sobre su eje.

Hasta tiempos relativamente recientes se pensaba que el dıa era uniforme. Con ello enmente se definio el segundo como una fraccion especificada del dıa solar medio:

1 segundo= 1/86 400 del dıa solar medio.

Para mediados del siglo XIX se disponıa de teorıas muy elaboradas sobre el movimientode la Luna, cosa que no es facil a causa de las enormes dificultades con que se encuentranlos astronomos teoricos al tratar de resolver por aproximaciones las complicadas ecuacionesdiferenciales del movimiento lunar. Con todo, los esfuerzos heroicos de estos astronomos seveıan frustrados pues la Luna se resistıa a seguir por el camino que los astronomos predecıan;en otras palabras, no se podıa explicar de forma satisfactoria el movimiento lunar. Era ciertoque las diferencias entre las posiciones calculadas y observadas eran pequenas, pero no losuficiente como para ignorarlas. Una de tales desigualdades era llamada “aceleracion seculardel movimiento medio” que se pensaba era debida a la accion perturbadora de los camposgravitacionales de los planetas del sistema solar sobre nuestra Luna. Sin embargo, Adams,en 1853, demostro mas alla de toda duda razonable que dicha desigualdad no podıa debersea la perturbacion gravitacional producida por los planetas del sistema solar. ¿De dondeentonces se producıa la aceleracion secular del movimiento medio lunar? Ferrel y Delaunaydemostraron, en 1865, con base a principios enteramente dinamicos, que las fuerzas demarea existentes entre la Luna y la Tierra ejercen una accion cuya consecuencia directa esun frenado secular3 en la rotacion de la Tierra. Como contraprestacion, la velocidad orbitalde la Luna aumenta. Esto representaba una evidencia basada en las teorıas newtonianasde que la duracion del dıa era variable. Algunos astronomos, como Simon Newcomb, afinales del siglo XIX y comienzos del XX, al elaborar sofisticadas efemerides planetarias,descubrieron que aun existıan algunas discrepancias en el movimiento lunar y sugirieron

3En mecanica celeste la palabra secular indica un cambio lento y continuo de la cantidad conformetranscurre el tiempo.

7.10. SISTEMAS DE TIEMPO 127

que el responsable era la existencia de cambios completamente irregulares en la rotacionterrestre. Con la aparicion de relojes mas precisos en la decada de 1930 fue posible descubrirque la tasa de rotacion de la Tierra adolecıa tambien de variaciones periodicas ligadas conlas estaciones. Todas estas investigaciones demostraron que nuestro planeta no rota conperfecta uniformidad. Las variaciones hoy en dıa se clasifican como: (1) seculares, que,como ya vimos, son debidas a la accion de mareas; (2) irregulares, atribuıdas a movimientosdel nucleo terrestre y (3) periodicas, originadas por fenomenos meteorologicos ligados a lasucesion de las estaciones. En general, estas variaciones son impredecibles y la unica manerade cuantificarlas es comparando la duracion de un dıa sideral (o un dıa solar medio) con unaescala de tiempo completamente uniforme como la que pueden dar los relojes atomicos.

7.10.2 El tiempo de las efemerides (TE)

No es conveniente trabajar con una escala de tiempo que no es uniforme pues ello implica eluso de una unidad como el segundo, que, habiendo sido definido como una fraccion del dıasolar medio, tiene como consecuencia una duracion tambien variable. Algunos astronomossugirieron la adopcion, ya para 1929, de un sistema de tiempo, este sı uniforme, que fuera lavariable independiente de las ecuaciones de Newton para el movimiento de los planetas. Estoultimo exige un breve comentario. En mecanica celeste clasica las ecuaciones diferencialesque gobiernan el movimiento de los planetas tienen la forma (ver por ejemplo las ecuaciones(12.26) y (14.18)):

d2−→ridt2

= fi(−→ri ),

cuya solucion numerica o analıtica permite hallar los vectores −→ri para un tiempo t que sesupone uniforme. Ahora bien, los astronomos calculan las posiciones de los astros para elfuturo o el pasado. Por lo tanto t se extiende hacia adelante o atras en el tiempo tantocomo el astronomo desee. Esta escala de tiempo, no sobra decirlo, debe ser perfecta y uni-forme. Pero es una escala teorica que ha de tener una conexion directa con una escala detiempo que puedan leer los usuarios. Y aquı es donde surge toda la complicacion, pues siel astronomo elige como variable independiente al dıa solar medio y este, como vimos, noes uniforme (unas veces es mas grande, otras mas pequeno) surgira una discrepancia entrelo que se calcula (utilizando un tiempo que se supone es uniforme) con lo que se mide, larotacion de la Tierra. Un tiempo t en las ecuaciones de movimiento no sera igual al tiempot que se registra en un reloj con una escala no uniforme.

La escala de tiempo uniforme que fue adoptada en 1952 por la Union Astronomica In-ternacional fue llamada tiempo de las efemerides , TE, entendida como la variable indepen-diente en las teorıas gravitacionales del Sol, la Luna y los planetas, pero que en los detallesse basaba estrictamente en el movimiento del Sol dado por las tablas del mismo hechas porSimon Newcomb a finales del siglo XIX. Pero no fue sino hasta 1958 que se acordo definirplenamente la unidad del tiempo de las efemerides, ya no en terminos de una fraccion de dıasolar medio sino en fraccion del ano tropico (ver pagina 156), pero no de cualquier ano sinode uno especıfico. Se definio el segundo de las efemerides a 1/31 556 925.9747 de la duraciondel ano tropico en el instante enero 0 de 1900 a las 12h de TE. Para determinar el tiempode las efemerides en cualquier instante lo que se hace es observar las posiciones aparentesde la Luna, el Sol y los planetas (particularmente la primera debido a su rapido movimiento


Ano ∆T (s) Ano ∆T (s) Ano ∆T (s) Ano ∆T (s)1650 +48 1740 +12 1830 +7.5 1920 +21.21660 +46 1750 +13 1840 +5.7 1930 +24.01670 +26 1760 +15 1850 +7.1 1940 +24.31680 +16 1770 +16 1860 +7.9 1950 +29.11690 +10 1780 +17 1870 +1.6 1960 +33.11700 +9 1790 +17 1880 -5.4 1970 +40.21710 +10 1800 +13.7 1890 -5.9 1980 +50.51720 +11 1810 +12.5 1900 -2.7 1990 +56.91730 +11 1820 +12.0 1910 +10.5 2000 +63.9

Tabla 7.1: Algunos valores de ∆T en el tiempo

a traves de las estrellas) y se comparan con las posiciones resgistradas en los almanaques.Para la posicion −→r observada se deduce el tiempo t. Esto es, a las posiciones que se han cal-culado previamente a traves de una teorıa dinamica, las cuales en la practica se tabulan enun almanaque en funcion del tiempo (supuesto este completamente uniforme) se comparanen la vida real con las observaciones que se hacen de los astros y se invierte el asunto: a laposicion −→r le debe corresponder el tiempo t. Si la Tierra rotara uniformemente el tiempouniversal y el tiempo de las efemerides serıan uno solo. Sin embargo la no uniformidad dela rotacion de la Tierra hace que entre las dos escalas de tiempo exista una discrepancia queaumenta o disminuye de forma imprevista. Para cuantificar esta discrepancia se introdujoel concepto de ∆T el cual se definio como:

∆T = TE − TU. (7.20)

La forma usual de determinar el valor de ∆T es mediante la observacion sistematica decuerpos tales como la Luna. Como es de esperarse, las observaciones astronomicas antiguasno son tan exactas como las modernas por lo que un registro mas o menos fiable sobre elvalor de ∆T solo es posible darlo en los ultimos cuatro siglos.

La tabla 7.1 contiene algunos valores que ha tomado ∆T desde 1650 hasta nuestros dıas.En la practica, el tiempo de las efemerides se uso por mas de treinta anos, hasta que en1984, debido a las multiples dificultades con su uso, se decidio cambiarlo de nombre y dedefinicion.

7.10.3 El tiempo dinamico

Con el fin de subsanar las deficiencias en el uso del tiempo de las efemerides la UnionAstronomica Internacional definio un nuevo conjunto de escalas de tiempo que comenzo aoperar formalmente en 1984. La idea era seguir con el concepto de una escala de tiempo idealcomo variable independiente de las ecuaciones de movimiento de los cuerpos en el sistemasolar, pero adoptar, con todas sus consecuencias, el formalismo de la teorıa de la relatividadgeneral elaborada por Albert Einstein en 1916. Y esto complica las cosas, porque dicha

7.10. SISTEMAS DE TIEMPO 129

teorıa mantiene que el tiempo, esto es, nuestra variable independiente, depende del sistemade coordenadas que se use como sistema de referencia: no es lo mismo medir el tiempo enel centro del Sol que en el centro de la Tierra. Cada observador ubicado en alguno de estosdos sitios puede medir el tiempo y notara que este “fluye” de manera normal. El problemasurge cuando comparan entre ellos las lecturas de sus respectivos relojes: detectaran que nocoinciden. La necesidad de describir el movimiento del sistema solar con respecto a estrellaso cuerpos muy lejanos ha hecho que los astronomos elijan al baricentro del sistema solarcomo origen de un sistema de referencia sobre el cual describir el movimiento de los cuerposprincipales del sistema solar. Sin embargo, los astronomos, al menos por ahora, estanubicados en la superficie de la Tierra (no en el baricentro del sistema solar, el cual estasituado cerca del centro del Sol en la direccion de Jupiter). Ello significa que un sistema detiempo utilizado en la superficie de la Tierra no coincide con un sistema de tiempo utilizadoen el baricentro del sistema solar (ver Hellings, 1986). De ahı la necesidad de la definicionde los dos siguientes sistemas de tiempo.

El tiempo dinamico baricentrico (TDB)

El tiempo dinamico baricentrico, TDB, es el argumento independiente de las ecuaciones demovimiento de los cuerpos principales del sistema solar (y por lo tanto de las las efemerides)referido al baricentro del sistema solar.

El tiempo dinamico terrestre (TDT)

El tiempo dinamico terrestre, TDT , es el argumento independiente de las efemerides aparentesgeocentricas (con referencia a la superficie de la Tierra) de los cuerpos del sistema solar. Des-de 1984 el argumento tiempo para establecer las posiciones de los cuerpos en el sistema solar(Sol, Luna, planetas, etc.) es el TDT . Las posiciones de los astros mas utilizadas a nivelmundial estan contenidas en el Astronomical Almanac el cual es publicado conjuntamentepor el Observatorio Naval de los Estados Unidos y el Observatorio Real de Greenwich, y daa conocer, ano a ano, las efemerides de los cuerpos celestes tal y como fueron calculadas porel Laboratorio de Propulsion a Chorro, dependencia adscrita a la NASA (AdministracionNacional de la Aeronautica y el Espacio). Dicho calculo involucro la integracion numericasimultanea de los cuerpos principales del sistema solar, llamada DE200/LE200 compren-diendo el intervalo 1800-2050. El Anuario del Observatorio Astronomico Nacional utilizacomo argumento independiente de las efemerides de los cuerpos del sistema solar el TDT .Las posiciones aparentes de los cuerpos celestes son tambien el resultado de la integracionDE200/LE200.

La definicion del TDT y del TDB hace que la diferencia entre ambas escalas sea pura-mente periodica, con una amplitud que nunca excede los 0.002 segundos. Por lo tanto, encalculos que no requieran una exactitud exagerada se puede hacer : TDT = TDB.

Para complicacion adicional, en 1991 la Union Astronomica Internacional renombro elTDT el cual paso a llamarse sencillamente tiempo terrestre, TT . El lector debe tenerpresente que donde quiera que aparezca TDT tambien se quiere decir TT .


7.11 El tiempo atomico

El tiempo atomico esta basado en el conteo de los ciclos de una senal electrica de alta fre-cuencia que se mantiene en resonancia con una transicion atomica. La unidad fundamentaldel tiempo atomico es el segundo del sistema internacional (SI), el cual se define como laduracion de 9192 631 770 perıodos de la radiacion que corresponde a la transicion entre dosniveles hiperfinos del estado fundamental del atomo de cesio 133. Las ventajas del reloj decesio, con respecto a otros relojes atomicos (como de hidrogeno o rubidio), son: la invarian-cia de la frecuencia fundamental que gobierna su operacion; error fraccional muy pequeno ysu uso conveniente. Se han construido, a nivel comercial, varios miles de relojes de la versionde baja exactitud, los cuales pesan unos 30 kg y poseen un error de una parte en 1012. Unospocos laboratorios han construidos grandes y sofisticados relojes que sirven como estandaresprimarios de frecuencia que poseen errores de 5 partes en 1014.

La escala de tiempo conocida con el nombre de tiempo atomico internacional (TAI) esun tiempo estandar practico que trata de llevar hasta donde sea posible la definicion delsegundo del sistema internacional SI. Pero un solo relojito de cesio no basta. Alrededor deseis relojes estandares primarios (operados continua o periodicamente) junto con otros 175relojes comerciales de cesio estan distribuidos por el mundo en unos 30 laboratorios y ob-servatorios. Las medidas de tiempo de cada uno de estos relojes son reunidas por la OficinaInternacional de Pesos y Medidas, localizada en Sevres, Francia. Despues de un exhaustivoanalisis de esas lecturas se reajusta la escala y se publica como TAI. Con reajustar la escalase quiere decir que se envian boletines a cada uno de los relojes que contribuyen al conteopara que hagan sus respectivas correcciones. Se estima que el segundo de TAI reproduce elsegundo SI (tal y como esta definido) en una parte en 1013.

Importante es tener en cuenta que el TAI es una escala de tiempo completamente inde-pendiente de la observacion astronomica. Descansa en un fenomeno fısico distinto al de larotacion o traslacion del planeta o cualquier otro movimiento de cuerpos celestes.

La definicion del TAI permite darle una consistencia definida al TDT . De hecho, elTDT se define, en terminos medibles, con base en el TAI, mediante la ecuacion:

TDT = TAI + 32.184 segundos. (7.21)

Esta es una igualdad con la que hay que tener un serio cuidado conceptual. TAI es unaescala estadıstica que descansa en un numero de relojes atomicos sobre la Tierra la cualesta sujeta a errores sistematicos en la duracion del segundo TAI y en la misma manerade derivar el TAI, en tanto que el TDT es una escala de tiempo uniforme e idealizada.La ecuacion (7.21) indica que la unidad de tiempo del TDT , al igual que la del tiempoatomico, es el segundo SI. La diferencia constante entre ambas escalas (de 32.184 segundos)fue necesaria con el fin de hacer continuo el TDT con el TE para perıodos anteriores a laintroduccion del TAI.

La pregunta ahora es: ¿Cual es la relacion entre estos tiempos, llenos de tecnicismos, yel tiempo de uso corriente en el plano civil, esto es, con el tiempo universal TU?

7.12. TIEMPOS UNIVERSALES 131

7.12 Tiempos universales

En la seccion (7.6) se introdujo el concepto del tiempo universal. Sabemos que es el tiemposolar medio para un observador situado en el meridiano de Greenwich. Esto es, el TU des-cansa en nuestra definicion de dıa solar medio. Pero, ¿como se hace para medirlo? Puestoque el punto de referencia que define el dıa solar medio es el Sol medio y este, por obvias ra-zones, no es posible observarlo directamente, es necesario recurrir a otra manera de medirlo.Existe una forma que permite ligar la duracion entre un dıa solar medio y el dıa sideral yes por medio de la ecuacion (7.16) con T definido por la ecuacion (7.17) donde ahora FJ esla fecha juliana medida en terminos del numero de dıas en tiempo universal. Entonces sesoluciona el problema midiendo el tiempo sideral y obteniendo estadısticamente la variableTU contenida en FJ . Aunque la definicion del dıa sidereo se hizo con respecto al puntovernal, en la practica se hace con respecto a radiofuentes extragalacticas. De esta forma lamedicion de la duracion del dıa sideral queda relacionada con la hora de uso corriente (elTU). Pero la rotacion de la Tierra no es uniforme. Aparte de eso las mediciones que hagacualquier observatorio de la duracion del dıa sideral van a sufrir un ligero error originadoen el movimiento incesante e irregular del polo (ver pagina 34). En efecto, en los calculospara determinar la duracion de un dıa sideral, con respecto a radiofuentes, esta involucradala latitud y la longitud, los cuales cambian ligeramente si se desplaza el polo. Todas estasanomalıas son responsables de que el dıa solar medio no sea uniforme. Por lo tanto, la escalade tiempo que define el tiempo universal tampoco lo es.

De uso corriente son los siguientes conceptos:

• TU0 Es el tiempo rotacional terrestre en unidades de dıa solar medio que se mide enun lugar particular de observacion. Las mediciones se hacen observando la duracionde una revolucion terrestre con respecto a radiofuentes extragalacticas.

• TU1 Es aquella escala de tiempo que resulta de corregir el TU0 del sitio que harealizado la observacion por el movimiento del polo. Pero al igual que el TU0 el TU1es una escala de tiempo no uniforme a causa de la rotacion variable del planeta.

Si tanto el TU0 como el TU1 son escalas de tiempo no uniformes, ¿Como relacionarestas mismas con escalas de tiempo que sı son uniformes tales como el TAI y el TDT? Laconexion se realiza a traves del tiempo universal coordinado, TUC.

• TUC El tiempo universal coordinado es una escala de tiempo que se define uniformede tal forma que pueda relacionar directamente el TU1 con el TAI y el TDT . El TUCes, en realidad, el tiempo que muestran nuestros relojes corregidos por huso horariopor supuesto, si estan apropiadamente sincronizados. Por lo tanto, la formula (7.7)ha de escribirse con TUC en lugar de TU . Es un tiempo que se distribuye al mundoa traves de senales de radio como por ejemplo la senal que emite la emisora de FortCollins en Colorado, Estados Unidos.

La relacion entre el TAI, el TUC y el TU1 esta dada por las siguientes ecuaciones:

TAI = TUC +N, (7.22)|TU1− TUC| < 0.9 segundos, (7.23)


donde N es un numero entero de segundos.

¿Como se procede? Tenemos dos escalas de tiempo uniformes que difieren en un numeroentero de segundos, N . Este numero posee un valor constante solo por un intervalo detiempo dado. Cuando se estima necesario este numero N aumenta (o disminuye) en uno.Lo que obliga a cambiar el numero N es la desigualdad en (7.23). Puesto que el TU1 noes uniforme (recordar la variabilidad de la rotacion de la Tierra) la diferencia entre estey el TUC aumentara conforme transcurre el tiempo. Cuando la diferencia entre ellos sehaya acumulado de tal forma que se corra el riesgo de no cumplir con la ecuacion (7.23),lo que se hace es aumentar (o dimininuir) en uno el valor de N en la ecuacion (7.22) paraası conservar la desigualdad. El organimo encargado de tomar estas decisiones es el ServiceInternational de la Rotation Terrestre (IERS, por sus siglas en ingles). Ahora bien, enlos ultimos cien anos se ha notado que a nuestro planeta le esta tomando mas tiempo daruna revolucion completa con respecto a las estrellas y radiofuentes extragalacticas, esto es,se esta desacelerando. Los valores de ∆T en la tabla 7.1 indican la manera caprichosacomo nuestro planeta se ha acelerado y desacelerado en los ultimos 350 anos. Al estar laTierra desacelerando completara una revolucion ya no en 86 400 segundos SI (medida enuna escala uniforme tal como el TAI) sino en un poquito mas. De seguir la desaceleracion,al ir transcurriendo los meses, se van acumulando mas diferencias hasta que es posible quese este acercando el dıa solar medio a 86 401 segundos. Los astronomos se ven abocados aeliminar ese segundo extra que se ha acumulado. La manera como se hace es aumentandoen uno el numero N : tanto el TAI como el TUC deben tener un dıa de 86 400 segundosSI. Esto explica la ecuacion (7.22). El segundo extra que se va acumulando en N de tantoen tanto se llama segundo bisiesto. Actualmente nuestro planeta se esta desacelerando auna rata de 0.002 segundos por dıa, lo que significa que por termino medio cada 1/0.002=500 dıas ≈ 1.3 anos es necesario introducir un segundo bisiesto. Estos segundos se insertancuando se estima necesario o bien el 30 de junio o el 31 de diciembre. En el momento que seescriben estas lineas (principios del 2001) el valor de N es igual a 32. Los segundos bisiestosse comenzaron a introducir en 1972. Hasta ahora todos han sido positivos, esto es, en todoslos caso N > 0. Con la introduccion del TDT fue claro que la definicion del ∆T tambiendebıa cambiar. El ∆T se define ahora como:

∆T = TDT − TU1. (7.24)

Por supuesto que N esta relacionado con ∆T . Al reemplazar (7.21) en (7.24) obtenemos:

∆T = TAI + 32.184− TU1, (7.25)

y puesto que TU1 = TUC + δt se tiene (al tener en cuenta (7.23), donde δt en una pequenadiferencia en segundos inferior a 0.9 segundos):

∆T = N + 32.184 + δt. (7.26)

De ello resulta que el ∆T actualmente es superior al minuto de tiempo. Predecir el com-portamiento de este valor en el futuro resulta complicado por su naturaleza erratica. Sinembargo, se presentan en la tabla 7.2 las predicciones del Observatorio Naval de los EstadosUnidos en 1999 acerca del valor que adoptara ∆T para la proxima decada.

7.12. TIEMPOS UNIVERSALES 133

Ano ∆T (s) Ano ∆T (s) Ano ∆T (s) Ano ∆T (s)2000.0 63.86 2003.0 67 2006.0 70 2009.0 732000.5 64.8 2003.5 68 2006.5 71 2009.5 742001.0 65.2 2004.0 68 2007.0 71 2010.0 742001.5 65.7 2004.5 69 2007.5 72 2010.5 752002.0 66.2 2005.0 69 2008.0 72 2011.0 752002.5 67 2005.5 70 2008.5 73 2011.5 76

Tabla 7.2: Algunos valores de ∆T pronosticados para los proximos anos

Ejemplo 1

El anuario del Observatorio Astronomico Nacional contiene las posiciones de la Luna,el Sol y los planetas para las 0h de TDT (o TT ). ¿A que horas de Tiempo Oficial de laRepublica de Colombia corresponde el siguiente instante de tiempo: 0 horas de TT del 4 demarzo de 2000?

Solucion

Para el primer semestre de 2000 el valor de N es igual, de acuerdo con el Boletin C19del 12 de enero de 2000 emitido por el IERS, a 32 segundos. Colocando δt igual a cero yutilizando la ecuacion (7.26) obtenemos el valor de ∆T para el primer semestre de 2000:

∆T = 32 + 32.184 = +64.184s = 1m4.184s.

Por lo tanto, con la ecuacion (7.24) haciendo TU1 = TUC (δt = 0) obtenemos:

TUC = TDT −∆T = 0h0m0s − 1m4.184s = −1m4.184s.

Esto equivale a 24h−1m4.184s = 23h58m55.816s del dıa inmediatamente anterior. De laecuacion (7.8) con TU reemplazandolo como TUC, calculamos finalmente el Tiempo Oficialde la Republica de Colombia:

(TL)Colombia = TUC − 5h = 23h58m55.816s − 5h = 18h58m55.816s,

del dıa 3 de marzo de 2000.

LECTURAS Y SITIOS DE INTERNET RECOMENDADOS

• Cepeda, W. (1992), Sobre el adelanto de la hora en Colombia, Revista Colombiana de Es-tadıstica, No. 25 y 26, p. 83-91.

Artıculo de divulgacion en el que se analiza los tiempos de la salida del Sol en el transcursodel ano para latitudes colombianas.


• Hellings R.W. (1986) Relativistic Effects in Astronomical Timing Measurements, Astrono-mical Journal, Vol. 91, p. 650.

Artıculo de caracter tecnico que describe las diferentes transformaciones necesarias para re-ducir las medidas de tiempo que se toman en la Tierra teniendo en cuenta la teorıa de larelatividad general.

• Meeus, J. (1991), Astronomical Algorithms, Willman-Bell, Inc., Richmond.

El capıtulo 9 contiene una descripcion ilustrativa de la relacion entre el tiempo dinamico y eltiempo universal.

• Seidelmann, K. (1992), Explanatory Supplement to the Astronomical Almanac, UniversityScience Books, Mill Valley, CA.

En su capıtulo 2 contiene lo que a juicio del autor es la mejor descripcion tecnica y autorizadade los modernos conceptos que existen sobre el tiempo en astronomıa.

• http://physics.nist.gov/GenInt/Time/time.html

Se encuentra un breve resumen sobre la evolucion de las medidas del tiempo a traves de lahistoria.

• http://quasar.as.utexas.edu/Billinfo/JulianDateCalc.html

En esta hoja electronica se puede calcular directamente la fecha juliana para cualquier dıa.

• http://maia.usno.navy.mil

Aquı existe bastante informacion relacionada con el Servicio Internacional de Rotacion Te-rrestre, al igual que se anuncian los proximos segundos bisiestos.

• http://tycho.us.navy.mil/sideral.html

Esta hoja calcula para tiempo real el tiempo sideral local.

• http://www.ubr.com/clocks

Gran cantidad de informacion sobre el tiempo y los diferentes tipos de relojes para medirlo.

Capıtulo 8

CALCULO DE ALGUNOSFENOMENOSASTRONOMICOS

8.1 Culminacion de cuerpos celestes

La culminacion de un cuerpo celeste ocurre cuando dicho astro pasa por el meridiano delobservador. Dependiendo de la ubicacion de este, esto es, de su latitud, podra observar si unastro en algun momento deja de ser visible (h < 0), o sea, se ubica por debajo del horizonte,o lo contrario: nunca atraviesa el horizonte para todo tiempo (h > 0).

PSC

PNC

HORIZONTE EJE DEROTACION

CULMINACIONSUPERIOR

CULMINACIONINFERIOR

ECUADOR CELESTE


Figura 8.1: Culminacion superior e inferior

135

136 CAPITULO 8. CALCULO DE ALGUNOS FENOMENOS ASTRONOMICOS

Si un astro, para un observador situado a la latitud φ, es siempre visible para el ob-servador se dice que es circumpolar, pues parece estar describiendo una trayectoria circularalrededor de la estrella polar, o mas exactamente, alrededor del PNC (ver figura 8.1). Si unastro es circumpolar para un observador dado, este podra advertir que el astro atraviesasu meridiano en dos ocasiones. Ello da lugar a dos definiciones de culminacion. La que severifica a mayor altura se denomina culminacion superior , que es aquella que intersecta elmeridiano del observador. La otra es llamada culminacion inferior . La forma inequıvoca dediferenciar las dos culminaciones es atraves del angulo horario. En la culminacion superiorH = 0h; en la culminacion inferior H = 12h.

CENIT

PSC

PNC

φ

δ

Figura 8.2: Condicion de circumpolaridad

Para que un observador ubicado a la latitud φ pueda contemplar una culminacion inferiorde una estrella con declinacion δ la relacion que se tiene que cumplir es (ver figura 8.2):

δ > 90− φ, (8.1)

donde, si el observador esta situado en el hemisferio norte (φ > 0) la declinacion es posi-tiva; si, por el contrario, el observador esta situado en el hemisferio sur, (φ < 0) el signode la declinacion es negativo. Por ejemplo, examinemos el caso extremo de un observadorubicado en el PNT; este observara que todas las estrellas del hemisferio norte son circum-polares (δ ≥ 0); mas aun, aquı todas las estrellas culminan “superior e inferiormente” a la

8.2. SALIDA Y PUESTA DE UN ASTRO 137

misma altura. Pero seamos mas practicos. Un observador situado en San Andres (φ = 12.5N) podra observar aquellas estrellas circumpolares cuya declinacion sea mayor o igual que90− 12.5 = +77.5.

Por lo tanto, desde San Andres solo es posible ver estrellas circumpolares como γ Cephei(Errai), ζ Ursae Minor, δ Ursae Minoris (Yildun) y ε Ursae Minoris.

Desde Bogota (φ = 4.5 N) el asunto de observar estrellas circumpolares es mas complica-do. Solo es posible observar estrellas circumpolares con declinaciones mayores o iguales que90− 4.5 = +85.5. Dadas las malas condiciones observacionales de la capital de la Republicaen la practica es poco menos que imposible observar allı estrellas circumpolares.

Para el caso de Leticia (φ = 4.3 S), la unica capital de departamento que esta situada pordebajo del ecuador terrestre, es evidente que solo son visibles estrellas cincumpolares cuyadeclinacion sea mayor o igual que 90− 4.3 = 85.7 en el hemisferio sur, esto es δ = −85.7.

Ejemplo 1

Determinar desde que latitud es posible observar las siguientes estrellas como estrellascircumpolares:

a) Aldebaran (δ = +16o31′).b) Rigil Kentarus (δ = −60o50′).

Solucion

a) Puesto que la estrella queda en el hemisferio norte (δ > 0) es claro que el valor de lalatitud estara en el hemisferio norte terrestre. De la ecuacion 8.1 se deduce: φ ≥ 90− δ. Porlo tanto, a partir de una latitud de 73o29′ ya es posible observar a Aldebaran como estrellacircumpolar alrededor del PNC.

b) Puesto que la estrella queda en el hemisferio sur (δ < 0) es claro que el valor de lalatitud estara en el hemisferio sur terrestre. De la ecuacion 8.1 se deduce: φ ≥ 90 − δ =90 − 60o50′ = 29o10′ S. Por lo tanto, a partir de una latitud de 29o10′ S (y dirigiendose apartir de ahı hacia el PST) ya es posible observar a Rigil Kentarus como estrella circumpolarpero alrededor del PSC.

8.2 Salida y puesta de un astro

Un problema interesante en astronomıa esferica es la determinacion del tiempo de la salida(orto) y la puesta (ocaso) de un astro para un observador dado. El calculo es relativamentesencillo e involucra el dominio de conceptos que ya hemos visto anteriormente.


8.2.1 Una primera aproximacion

La condicion de salida o puesta de un astro para un observador dado es:

h = 0, (8.2)

esto es, cuando el astro se encuentra en el horizonte.

N S

W

*SALIDA

EAs

N S

WPUESTA*

E

Ap

Figura 8.3: Salida y puesta de un astro

En el calculo de los tiempos de salida y puesta se suponen conocidas las coordenadas delobservador (φ y λ), las coordenadas del astro en cuestion (usualmente α y δ) y el TSG0 deldıa en cuestion.

La ecuacion (5.4) con h = 0 permite obtener los angulos horarios para los cuales secumplen las condiciones de salida y puesta, que designaremos por Hsp:

senφ sen δ + cosφ cos δ cosHsp = 0, (8.3)

de la cual se obtiene inmediatamente:

Hsp = cos−1 (− tanφ tan δ) , (8.4)

donde se supone que el astro no cambia significativamente de posicion (entre el tiempo quese verifican ambos fenomenos) por lo que los angulos δ y α se consideran constantes en elintervalo en que se verifica la salida y la puesta. Esta ecuacion permite calcular las doscondiciones con base en el valor que se deduce de Hsp. Si se obtiene que Hsp esta en elprimero o segundo cuadrante entonces el valor corresponde a la puesta Hp. El valor delangulo horario a la salida Hs se obtiene con Hs = 360−Hp.

El valor del azimut para ambos casos esta dado por la ecuacion (5.3) con h = 0 :

Asp = cos−1

(sen δcosφ

). (8.5)


El valor de Asp comprendido entre el primer y segundo cuadrante corresponde al azimutde salida As. El valor de Asp entre el tercero y cuarto cuadrante corresponde al azimut dela puesta Ap que se calcula con Ap = 360−As.

Veamos como se calculan los tiempos de salida y de puesta.

Habiendo hallado los valores de Hs y Hp procedemos a encontrar los tiempos sideraleslocales en que se suceden ambos eventos. Como sabemos, el TSL esta dado por la ecuacion(5.12):

TSLsp = α+Hsp. (8.6)

La conexion con el tiempo local del observador se ve al relacionar los instantes de salida ypuesta con el tiempo sideral en Greenwich en los instantes correspondientes (ver ecuaciones(7.13) y (7.14)):

(TSGt)sp = TSLsp ±(λoWE

15

), (8.7)

donde el signo positivo corresponde a una longitud al oeste (λoW ) y el negativo al este(λoE). Puesto que es facil calcular el TSG0 para cualquier dıa que se desee, o mas facilaun, hallarlo en un almanaque astronomico, entonces, de la ecuacion (7.12) se deducen lostiempos universales:

TUsp =(TSGt)sp − TSG0

1.0027379. (8.8)

La hora local se calcula mediante (ecuacion (7.7)):

TLsp = TUsp +HH. (8.9)

Ejemplo 1

Calcular los tiempos de salida y puesta en Tiempo Oficial de la Republica de Colombiade la estrella Betelgeuse el dıa 22 de noviembre de 1997 para un observador situado en laciudad de Cali. Determinar tambien los azimuts correspondientes.

Solucion

En los apendices (B) y (E) extraemos los datos necesarios: Para Betelgeuse: α =5h55.0m, δ = 7o24′. Para Cali: φ = 3o27′, λ = 76o31′ W.

Necesitamos tambien el TSG0 para el dıa en cuestion. La fecha juliana es: FJ =2 450 774.5, luego T = −0.02109514. Al reemplazar en (7.16), pag. 123, obtenemos: TSG0 =4h4.0m. Procedemos a calcular los angulos horarios de salida y puesta de acuerdo con (8.4):

Hsp = cos−1[− tan(3o27′)× tan(7o24′)] = cos−1(−0.007830).


Los angulos que satisfacen esta ecuacion son: 90o26.9′ y 269o33.1′.

Teniendo en cuenta la definicion del angulo horario (contado desde el meridiano hacia eloeste) es evidente que:

Hp = 90o26.9′ = 6h1.8m, Hs = 269o33.1′ = 17h58.2m.

Calculamos con ayuda de la ascension recta los tiempos siderales locales en que ocurrenestos eventos (ver ecuacion (8.6)):

TSLp = 5h55.0m + 6h1.8m = 11h56.8m, TSLs = 5h55.0m + 17h58.2m = 23h53.2m.

Luego procedemos a determinar, por medio de (8.7), los TSGt de los instantes corres-pondientes :

(TSGt)p = 11h56.8m +(

76o31′

15

)= 17h2.9m,

(TSGt)s = 23h53.3m +(

76o31′

15

)= 28h59.3m = 4h59.3m.

Los tiempos universales de la salida y puesta se hallan aplicando la formula (8.8):

TUp =17h2.9m − 4h4.0m

1.0027379= 12h56.8m, TUs =

4h59.3m − 4h4.0m

1.0027379= 0h55.1m.

La hora local se calcula con (8.9) donde HH = −5.

TLp = 12h56.8m − 5 = 7h56.8m, TLs = 0h55.1m − 5 = −4h4.9m = 19h55.1m.

Los azimuts correspondientes se pueden calcular con ayuda de (8.5):

Asp = cos−1

(sen 7o24′

cos 3o27′

)= cos−1(0.129029).

Los angulos que satisfacen esta ecuacion son: 82o35.2′ y 277o24.8′. Teniendo en cuentala definicion del azimut es claro que se tiene:

Ap = 277o24.8′, As = 82o35.2′.

8.2.2 Refinando el calculo

La descripcion anterior ignora el fenomeno de la refraccion astronomica, ver seccion 10.6.Esta aumenta la altura aparente de los astros y es mas pronunciada cuando el astro estaubicado en el horizonte.


** 34’

POSICION APARENTEDEL ASTRO

DEL ASTROPOSICION REAL

ATMOSFERA

Figura 8.4: Correccion por refraccion en la salida y puesta de un astro

De manera estandar se considera que la refraccion en el horizonte aumenta la altura delos astros unos 34 minutos de arco. Por lo tanto, la condicion realista de la salida o puestade un astro es cuando la altura geometrica posee un valor de:

h = −0o34′. (8.10)

El no tener en cuenta la refraccion para un cuerpo celeste “puntual” y cuyo movimientocon respecto a las estrellas sea muy lento (de un dıa para otro) tal y como es el caso delas mismas estrellas o un planeta con movimiento medio muy pequeno, da un error en lostiempos de salida y puesta de varios minutos.

La variacion que hay que tener en cuenta en esta correccion es colocar el valor de h dadoen (8.10) y reemplazarlo en la ecuacion (5.4):

Hsp = cos−1

(−9.89× 10−3 − senφ sen δ

cosφ cos δ

). (8.11)

La depresion del horizonte

Hasta ahora se ha supuesto que el observador esta ubicado a nivel medio del mar de talforma que el horizonte del observador es tangente a la superficie de la Tierra en la posiciondel observador. Pero obviamente este no es siempre el caso. Al estar ubicado un obser-vador a una altura a sobre el nivel medio del mar su horizonte cambia ligeramente. Esclaro de la figura 8.5 que un observador situado a una altura a observara un ligero aumentode porcentaje de boveda celeste. Este efecto, tanto mayor cuanto mayor es la altura a, esdenominado depresion del horizonte.

Estamos interesados en calcular el angulo θ que da cuenta del grado de depresion de unaestrella con respecto al horizonte para un observador ubicado a una altura a sobre el nivelmedio del mar. De la figura 8.5 tenemos que:

sen (90− θ) = cos θ =R

R+ a,


θa

CHORIZONTE

HORIZONTE A NIVEL DEL MAR

RHORIZONTE

Figura 8.5: Depresion del horizonte

donde R es el radio terrestre.

En la practica la relacion RR+a es muy pequena por lo que podemos utilizar los dos

primeros terminos en que se expande la funcion coseno en serie de potencias:

1− θ2

2=

R

R+ a,

de la cual es inmediato obtener:

θ =

√2a

R+ a.

De nuevo, puesto que R + a ≈ R y al multiplicar por 180/π para obtener el angulo engrados:

θ =(

180π

)√2aR.

Al tomar R = 6 378 140 metros y multiplicar por 60 para que el resultado se obtenga enminutos obtenemos:

θ = 1.93√a, (8.12)

donde θ esta en minutos de arco y a debe darse en metros.

Teniendo en cuenta la refraccion en el calculo anterior la formula (8.12) se modifica ahorapor la expresion:

θ = 1.78√a. (8.13)

El calculo de la depresion del horizonte solo tiene sentido hacerlo para observadoresubicados en altamar o situados en terrenos costeros donde sea posible observar la lınea deloceano como horizonte. El calculo se hara colocando el valor de h en (5.4) igual a h = −θy despejar para Hsp.

8.3. PASO POR EL MERIDIANO DEL OBSERVADOR 143

8.2.3 El calculo especial del Sol y la Luna

Con el Sol y la Luna el calculo es un poco mas complicado. Comenzando por el hecho deque el Sol y la Luna no son cuerpos “puntuales”, esto es, tienen una dimension aparente.Por una afortunada coincidencia, ambos cuerpos presentan, vistos desde la Tierra, un radioangular aparente casi identico de unos 16 minutos de arco. Pero las coordenadas (α y δ)de estos cuerpos se refieren al centro de sus discos y puesto que se suele referir al bordesuperior del disco como el punto a tener en cuenta en la salida y la puesta resulta que laaltura geometrica de dicho punto viene siendo (teniendo en cuenta la refraccion), para amboscasos, igual a:

h = −(0o34′ + 0o16′) = −0o50′. (8.14)

Ello significa que en la ecuacion (8.11) se ha de reemplazar el valor de −9.89× 10−3 porel de −1.45× 10−2.

La verdadera complicacion en el calculo de la salida y puesta de estos objetos es queposeen un movimiento a traves de las estrellas bastante pronunciado. El Sol en doce horaspuede moverse unos 30 minutos de arco, que de no tenerse en cuenta puede representar unerror de cerca de cinco minutos. Con la Luna el movimiento es aun mas acentuado, puesen termino de doce horas puede barrer unos seis grados. Todo esto quiere decir que en loscalculos anteriores ya no es valido asumir que las coordenadas α y δ que se leen, por ejemploen los almanaques astronomicos (que vienen dadas para las 0 horas de Tiempo Terrestrecon un intervalo de un dıa) son constantes, sino que, para el fenomeno del orto y el ocasode ambos astros, las coordenadas seran ligeramente distintas.

8.3 Paso por el meridiano del observador

Analogo a la determinacion de los tiempos de salida y puesta esta el determinar los tiemposdel paso por el meridiano. Aquı no consideraremos el caso de objetos circumpolares por noser de comun observacion desde las latitudes de las ciudades colombianas.

El paso por el meridiano corresponde al momento en el cual la altura del astro es unmaximo. Matematicamente, el instante corresponde al momento en el cual el angulo horariodel astro es cero:

Hm = 0. (8.15)

La altura del astro en el paso por el meridiano, hm, (no corregida por refraccion) es, deacuerdo con (5.4):

hm = sen−1( senφ sen δ + cosφ cos δ), (8.16)

donde se supone que el valor de δ es muy cercano (si no igual) al valor que debe tener en eltiempo que se esta buscando. El azimut en el que se verifica el paso es, como es obvio, 0 o180 grados.


PNC

PSC

CENIT ASTRO EN EL MERIDIANO

hm

Figura 8.6: Paso por el meridiano del observador

El calculo del tiempo del paso por el meridiano es completamente equivalente al descritoen la seccion 8.2. Como es claro, el tiempo sideral local en el instante en que se verifica laculminacion es:

TSLm = α, (8.17)

donde se supone que α es el valor de la coordenada del astro muy cercano (si no igual) alvalor que debe tener en el tiempo que se esta buscando.

El calculo del instante del tiempo del paso por el meridiano sigue, como antes, la siguientesecuencia:

(TSGt)m = TSLm ±(λoWE

15

), (8.18)

TUm =(TSGt)m − TSG0

1.0027379, (8.19)

TLm = TUm +HH. (8.20)

Ejemplo 1

Calcular el tiempo del paso por el meridiano en Tiempo Oficial de la Republica deColombia de la estrella Betelgeuse el dıa 22 de noviembre de 1997 para un observadorsituado en la ciudad de Cali. Determinar la altura del astro en ese instante.

8.4. PASO POR EL CENIT DEL OBSERVADOR 145

Solucion

Los datos de partida son los mismos del ejemplo 1 de la pag. 139.

El TSL en el que ocurre el paso por el meridiano es igual a la ascension recta del astro:

TSLm = 5h55.0m.

El calculo del TSGt se realiza con ayuda de (8.18):

(TSGt)m = 5h55.0m +(

76o31′

15

)= 11h1.1′.

Luego se calcula el tiempo universal:

TUm =11h1.1′ − 4h4.0m

1.0027379= 6h55.9′,

que en Tiempo Oficial de la Republica de Colombia es:

TOm = 1h55.9′.

La altura del paso por el meridiano se calcula con (8.16):

hm = sen−1[ sen (3o27′) sen (7o24′) + cos(3o27′) cos(7o24′)] = sen−1(0.99762) = 86o3′.

8.4 Paso por el cenit del observador

La condicion de paso por el cenit del observador se establece facilmente a partir de la figura8.7.

Un astro con declinacion δ esta en el cenit de un observador con latitud φ cuando severifica:

90− φ+ δ = 90,

de la que se desprende inmediatamente:

φ = δ. (8.21)

Las condiciones de observabilidad del Sol en el transcurso del ano para un observadorsobre la superficie terrestre da lugar a unas zonas geograficas claramente definidas sobre lasuperficie del planeta.

Puesto que la declinacion del Sol esta comprendida entre el intervalo:

−ε ≤ δ¯ ≤ ε, (8.22)


φ

δ

90−φPNC

CENIT

PSC

ECUADOR CELESTEHORIZONTE

Figura 8.7: Condicion de paso por el cenit

donde ε es la oblicuidad de la eclıptica, es claro que, de la ecuacion (8.21), el Sol solo podraestar en el cenit para observadores comprendidos entre latitudes 23o27′ sur y 23o27′ norte.

La zona terrestre que esta demarcada por estas latitudes se denomina zona torrida. Losparalelos de latitud con valores φ = ±ε se conocen con el nombre de tropicos. El que estaen el hemisferio norte (φ = + 23o27′) se denomina tropico de Cancer ; el del hemisferio sur(φ = − 23o27′) se llama tropico de Capricornio. La razon de que tengan estos nombreses aquella misma por la cual al punto vernal todavıa se le llame primer punto de Aries,cuando en realidad en nuestra epoca esta situado en Piscis. Unos dos mil anos atras elSol se ubicaba en la constelacion de Cancer cuando alcanzaba el maximo valor positivo dedeclinacion; seis meses despues (cuando tenıa el valor maximo negativo de la declinacion) sehallaba en Capricornio. Pero a causa del fenomeno de precesion de los equinoccios el Sol yano se ubica en tales constelaciones cuando llega el momento de los solsticios. Actualmente elSol alcanza los valores maximo y mınimo de la declinacion en las constelaciones de Geminisy Sagitario respectivamente.

Observadores ubicados dentro de la zona torrida pueden observar el Sol en su cenit endos dıas del ano.

Puesto que los asentamientos humanos de importancia en Colombia se extienden desdeuna latitud φ = +12o28′ hasta φ = − 4o27′ es claro que todo el territorio continental e

8.4. PASO POR EL CENIT DEL OBSERVADOR 147

insular esta ubicado dentro de la zona torrida.

Ciudad Fechas del anoBogota abril 2 y septiembre 11Medellın abril 6 y septiembre 7Cali marzo 30 y septiembre 15Barranquilla abril 19 y agosto 25Bucaramanga abril 9 y septiembre 5Riohacha abril 21 y agosto 23Popayan marzo 27 y septiembre 17San Andres abril 23 y agosto 21Leticia marzo 10 y octubre 5

Tabla 8.1: Dıas en que el Sol esta en o muy cerca del cenit para algunas ciudades colombianas

La tabla 8.1 contiene las fechas aproximadas en el transcurso del ano en que el Sol seencuentra en el cenit1 para varias ciudades colombianas.

Observadores situados a latitudes mayores que φ > 23o27′ N y φ > 23o27′ S nuncatendran el Sol en su cenit. La situacion es mas crıtica cuando la latitud se va aproximandoa latitudes cercanas a los polos. Estamos acostumbrados aquı en el tropico a que todoslos dıas del ano el Sol salga por el oriente y se oculte por el occidente. Pero a partir decierta latitud comenzara a observarse algo sorprendente: el Sol, en solsticio de verano (siesta el observador situado en el hemisferio norte), se torna un astro circumpolar, esto es,es posible observar el Sol durante las 24 horas del dıa: tenemos el Sol de media noche. Elmismo observador, seis meses despues (en solsticio de invierno), notara que el Sol nunca saledurante el transcurso del dıa. Es facil ver que el valor mınimo de latitud para que comiencea observarse esta clase de fenomeno debe cumplir:

φ = ± (90− |δM¯|) = ± (90− ε) = ±66o33′, (8.23)

donde δM¯ representa el valor maximo de la declinacion del Sol.

Los paralelos que corresponden a estos valores de latitud son llamados cırculo polarartico y cırculo polar antartico para el hemisferio norte y sur respectivamente. Es claro queel fenomeno es mas acentuado en los polos. En estos la situacion es tan extrema que elSol esta siempre visible por seis meses del ano; los restantes seis meses son de permanentenoche.

1Rigurosamente, el Sol no pasa por el cenit de dichos observadores a causa de que casi siempre en elmomento de la culminacion superior la declinacion del Sol en ese instante no coincide (por varios minutosde arco) con la latitud del observador en dichas ciudades.


ET

φ=23 27 Ν

φ= 23 27 S

φ=

φ=

66 33 N

66 33 S

o

o

o

o

TROPICO DE CANCER

TROPICO DE CAPRICORNIO

CIRCULO POLAR ANTARTICO

CIRCULO POLAR ARTICO

SOL CON

SOL CON

δ=23 27

δ=− 23 27

o

o

’

’

’’

’

’

ZONA TORRIDA

Figura 8.8: Zonas geograficas definidas por la declinacion del Sol

Ejemplo 1

Determinar en que dıas del ano observadores situados en la ciudad de Murmansk (Rusia)observan el fenomeno del Sol de medianoche. ¿Que dıas dejan de ver el Sol por completo?

Solucion

La latitud de Murmansk es de 68o58′ N. Por lo tanto, de la ecuacion (8.1) es evidenteque el Sol no se pone siempre y cuando la latitud del Sol sea:

δ¯ ≥ 90− φ. (8.24)

En nuestro caso, δ¯ ≥ 21o2′. La consulta a un almanaque astronomico nos permiteverificar (mirando las coordenadas ecuatoriales absolutas del Sol, particularmente su decli-nacion) que esto sucede aproximadamente entre el 26 de mayo y el 18 de julio.

El Sol no es visible para dicho observador cuando la declinacion del Sol es:

δ¯ ≥ − (90− φ) , (8.25)

donde el valor de la declinacion al lado izquierdo ha de tomar valores de la declinacion“mayores” (en el sentido de desplazarse hacia el PSC) que −21o2′ . Esto ocurre entre el 27de noviembre y enero 15.

8.5 Navegacion astronomica

En la era de la navegacion satelital con GPS (Global Positioning System, sistema de posi-cionamiento global), en la que se ha hecho rutinario manejar aparatos similares a calcu-ladoras de bolsillo cuyo costo es inferior a los 200 dolares y que registran, en unos cuantos

8.5. NAVEGACION ASTRONOMICA 149

segundos y con oprimir dos o tres teclas, la posicion de un observador sobre la superficieterrestre, con una exactitud del orden de 50 metros o menos, es difıcil imaginar que estatarea, en los cuatro siglos anteriores, era una labor observacional, astronomica y matematicamuy lejos de ser sencilla.

En la epoca de los grandes descubrimientos geograficos y la posterior conquista y colo-nizacion de territorios como America, Asia y Australia, llevada a cabo en su mayor parteen los siglos XVI y XVII, se desarrollaron tecnicas muy fecundas para tratar de satisfacer elanhelo de los marineros que cruzaban los oceanos y deseaban a toda costa conocer su posi-cion en altamar con una exactitud razonable. La astronomıa de posicion muy rapidamentelleno ese anhelo por lo que no es de extranar que se sucediera la revolucion astronomica deCopernico, Brahe, Kepler y Galileo mas o menos por los mismos tiempos, dada la necesidadimperiosa de marineros y cartografos de pulir y mejorar cada vez mas las tecnicas observa-cionales y el calculo de las posiciones de los cuerpos celestes para poder hallar con mayorexactitud su posicion geografica.

En principio, es facil conocer aproximadamente la latitud de un observador midiendola altura aparente de la estrella polar con respecto al horizonte. Pero esto no siempre esposible, bien sea por condiciones climatologicas adversas o porque sencillamente el obser-vador se halla en el hemisferio sur. La observacion de la estrella Polaris (que dista menos deun grado del PNC) es difıcil aun desde sitios donde es teoricamente posible observarla. Elautor recuerda solo en una ocasion haber visto la estrella Polaris desde Bogota aun cuandose supone que con 4.5o de altura sobre el horizonte deberıa observarse con mayor frecuencia.

La observacion de la altura de la culminacion de una estrella o del Sol puede arrojardatos importantes.

PNC

δ

PSC

HORIZONTE

EC

UA

DO

R C

EL

EST

E

ESTRELLACULMINANDO

φ

h m

Figura 8.9: Relacion entre la latitud, altura de culminacion y declinacion de un astro


De la figura 8.9 vemos que para un astro con declinacion δ y altura hm sobre el horizonte,en el momento de su culminacion o paso por el meridiano, la relacion con la latitud φ dedicho observador es:

hm − φ+ δ = 90, (8.26)

o mejor:φ = hm + δ − 90. (8.27)

La altura que entra en este calculo ha de pasar previamente por varias correcciones.Independiente de la correccion hecha al instrumento con el que se realiza la observacion(usualmente un sextante) se ha de corregir tambien por la refraccion astronomica (ver se-ccion 10.6) y la altura a la que se encuentra el observador con respecto al nivel medio del mar(depresion del horizonte). En el caso de que el cuerpo observado sea el Sol se ha de corregiradicionalmente por semidiametro (pues la lectura se realiza casi siempre midiendo la alturade la parte baja del disco solar) y por paralaje (ver seccion 10.5), pues la declinacion del Solviene dada para un observador hipotetico ubicado en el centro de la Tierra.

Hay que tener en cuenta que, en la practica, el usuario que recurre a la navegacion porestrellas siempre tiene previamente una idea muy aproximada de cual es su posicion realpuesto que un marino o piloto experto navega o pilotea por el metodo llamado de estima,esto es, el calculo de la posicion teniendo en cuenta parametros tales como la velocidadde la nave, tiempo transcurrido desde la ultima medicion, velocidad y direccion del viento,etc. Cristobal Colon2, por ejemplo, se movıa con toda confianza y libremente a traves delAtlantico y el mar Caribe casi exclusivamente a base de navegacion por estima. Por lo tanto,las medidas que se hacen frecuentemente de la altura del paso de los astros en la culminacionpara hallar la latitud se hace con el fin de pulir y llevar a exactitud el calculo de la posicion.

Ejemplo 1

Determinar la latitud de un observador si al momento del paso del Sol por el meridianose registro una altura de 75o13′. La declinacion del Sol para el momento de la observaciones de −14o10′.

Solucion

En vista de que no nos suministran mas informacion se hara el calculo despreciando lacontribucion de la refraccion, de la depresion del horizonte, del paralaje y del semidiametro.De la ecuacion (8.27) se obtiene:

φ = 75o13′ − 14o10′ − 90o = −28o57′ = 28o57′ S.

2Los conocimientos astronomicos de Colon eran muy pobres. De hecho, en una medicion realizada en suprimer viaje a America llego a confundir la estrella Polaris con Alfirk (β Cephei) lo que le llevo a concluirque el sitio donde se encontraba (costa noreste de Cuba) tenıa una latitud de 42oN cuando en realidad seencontraba a 21oN (ver Morison, 1970, p. 258.)


Ejemplo 2

Un marinero zarpo de la isla Malpelo y desea al cabo de un tiempo determinar su posicionen altamar. Para ello realiza una observacion del Sol en el momento del paso por el meridianomidiendo con su sextante una altura de 83o34.1′ teniendo como referencia el borde inferiordel disco solar. De acuerdo con el almanaque nautico del barco la declinacion del Sol parael momento de la observacion (25 de agosto de 1999) fue de 10o44.5′ y el semidiametro esde 15.8′. La altura del sextante con respecto al agua fue estimada, en el momento de lamedicion, en 5 metros. Determinar la latitud del marinero.

Solucion

Supondremos que los errores instrumentales ya han sido tenidos en cuenta. El valor dela altura ha de ser corregido por los fenomenos de semidiametro, (pues la declinacion vienedada para el centro del Sol), depresion del horizonte, refraccion y paralaje. Si el objeto deobservacion es el Sol la correccion por semidiametro es del orden de 15 minutos de arco; lacorreccion por paralaje es pequena, cuyo valor maximo es del orden de 0.15 minutos de arco(para alturas cercanas a los cero grados) y tendiendo a cero a medida que la altura del astrotiende a los 90 grados. Puesto que su valor es tan pequeno no sera tenido en cuenta en lacorreccion.

La formula para hallar la altura real del Sol es:

hreal = hmedida + SD −Re − θ − p,

donde SD es el semidiametro del Sol el dıa de la observacion, Re es el valor de la refraccion,el cual se puede leer en la tabla principal del apendice D para condiciones normales de tem-peratura de 20o C. (no hay datos especıficos de temperatura) y al nivel del mar; θ es el valorde la depresion del horizonte y p el valor del paralaje.

La refraccion a la decima del minuto de arco es (ver tabla principal en el apendice D) de0.1′. La depresion del horizonte es, de acuerdo con la formula (8.13):

θ = 1.78×√

5 = 4.0′.

Puesto que la altura del Sol es bastante alta, tomaremos p = 0.0′. Entonces, la alturareal del Sol es:

hreal = 83o34.1′ + 15.8′ − 0.1′ − 4.0′ − 0.0′ = 83o45.8′.

Por lo tanto, al reemplazar en la formula (8.27) encontramos que la latitud del observadores:

83o45.8′ + 10o44.5′ − 90o = 4o30.3′.

En los almanaques nauticos se encuentran tablas muy utiles que permiten, por ejemplo,determinar en una sola tabla la correccion por semidiametro, refraccion y paralaje dadosen funcion de la altura medida solamente. Notese que los calculos se llevan a una precision


de la decima del minuto de arco. Recuerdese (ver pagina 40) que un error de 1 minuto dearco representa un error de casi 2 kilometros en posicion para un observador ubicado en elecuador terrestre.

El calculo de la longitud es mas complicado. En la epoca del descubrimiento de Americael calculo de la longitud se hacıa exclusivamente por estima. Con el tiempo se vio que eramuy necesario que los tripulantes de los barcos pudieran no solo conocer su latitud sinotambien su longitud con exactitudes del orden del medio grado o menos.

El naufragio de cuatro navıos de guerra al mando del almirante Sir Clowdisley Shovellque ocasiono la muerte de dos mil marinos en las cercanıas de las islas Scilly (suroeste deInglaterra) en 1704, debido a un error fatal en la estimacion de la posicion, origino un climade necesidad imperiosa por resolver el denominado “problema de la longitud”. Este proble-ma fue de tan ardua solucion que llego a compararse con problemas legendarios como el delmovimiento perpetuo o la transmutacion del plomo en oro.

Con el transcurso de los anos se propusieron varias soluciones realistas, todas de caracterastronomico, pero a la larga triunfo el metodo de preservar la hora (con la mayor exactitud)de un meridiano de referencia dado. El problema de la longitud quedo entonces reducidoa la busqueda de un reloj que conservara la hora con la mayor exactitud posible con inde-pendencia del movimiento del barco y los bruscos cambios de temperatura y presion en eltranscurso del viaje.

Con el descubrimiento del pendulo como regulador de los relojes hecho por el cientıficoholandes Christian Huygens en 1658, y con la invencion del verdadero cronometro marinorealizada por el mecanico ingles John Harrison un siglo mas tarde3, se logro un metodoconfiable y seguro de poder medir la longitud a base de conservar la medida del tiempo conla mayor precision posible.

Supongase que un observador esta en el meridiano de Greenwich y dispone de un reloj queregistra el tiempo en unidades de tiempo sideral, esto es, se esta midiendo el tiempo sideralen Greenwich para un tiempo cualquiera t, lo que se llamo en la seccion 7.9 el TSGt. Ahorabien, un avion o un barco parte hacia cualquier otro lugar del mundo, pero preservandointacto el registro y la hora que esta dando este reloj. Supongase entonces que el piloto omarino hace una observacion del paso por el meridiano de un astro y anota para ese instantede tiempo la lectura del reloj que mide (y conserva) el TSGt. Con esto, la longitud puedecalcularse facilmente. En efecto, en el momento del paso por el meridiano se cumple H = 0,por lo que el tiempo sideral local (el angulo horario del punto vernal del observador en eseinstante) es igual a:

TSL = α, (8.28)

y puesto que en ese instante se conoce el TSGt con leer el reloj que preserva el tiempo sideral

3Harrison gano en 1773 (despues de no pocos problemas e inconvenientes) el premio propuesto por elparlamento ingles establecido en el Acta de 1714 consistente en 20 000 libras para aquel que pudiera resolverel problema de la longitud (ver Sobel, 1995).


Figura 8.10: John Harrison (1693-1776)

en Greenwich, y de las ecuaciones (7.13 y 7.14) se obtiene:

λoW = 15× (TSGt − α), (8.29)λoE = 15× (α− TSGt). (8.30)


• Dixon, C. (1985) Navegacion astronomica basica, Paraninfo S.A., Madrid.

Libro ilustrativo que ensena, con base en pocos conocimientos astronomicos, a determinar laposicion de un observador valiendose del uso del sextante.

• Morison, S.E. (1970) Admiral of the Ocean Sea: A Life of Christopher Columbus, MJF Books,New York.

Excelente biografıa de Cristobal Colon con muchos detalles nauticos y astronomicos por partede su autor, un marino consumado.

• Roy, A. E., Clarke, D. (1988) Astronomy: Principles and Practice, Adam Hilger, Bristol.

El capıtulo 7 contiene detallada informacion sobre estrellas circumpolares, medida de la de-clinacion y calculo de amanecer y atardecer.

• Sobel, D., (1995) Longitude: The True Story of a Lone Genius Who Solved the GreatestScientific Problem of His Time, Penguin Books, New York.

Notable descripcion de la historia de John Harrison y su busqueda para obtener el reloj per-fecto.


• http://aa.usno.navy.mil/AA/

Este sitio contiene bastante informacion relacionada con salidas y puestas del Sol y de laLuna, asi como fases de la Luna, determinacion de la Pascua, solsticios, equinoccios, etc.

Capıtulo 9

CALENDARIO

Llamese calendario a un sistema destinado a agrupar de forma coherente los intervalos detiempo fundamentado en la periodicidad de ciertos fenomenos astronomicos. Los calendariosson utiles porque permiten el conteo de los dıas durante perıodos extensivos de tiempo y deesta forma reunirlos en una disposicion conveniente para satisfacer los requerimientos de lasactividades civiles y religiosas.

La unidad fundamental de computo en un calendario es el dıa, el fenomeno astronomicoconsecuencia de la rotacion de nuestro planeta sobre su eje. Modernamente medimos losdıas de medianoche a medianoche, pero esto no siempre fue ası. Las primeras civilizacionesy los pueblos primitivos comenzaban a medir el dıa en el instante de la salida del Sol. Ası lohacıan por ejemplo los hindues y los egipcios. Posteriormente, babilonios, judıos y griegoscontaban el dıa desde la puesta del Sol. Nuestra forma actual de medir los dıas tiene suorigen en los romanos quienes consideraban el inicio del dıa a partir de la medianoche.

Pero para las primitivas culturas se hacıa necesario establecer una unidad conformadapor grupos de dıas. La forma mas inmediata de hacerlo descansa en otro fenomeno periodico:el tiempo que tarda la Luna en presentar consecutivamente una determinada fase, esto es,una lunacion, la cual es de un perıodo de unos 29 dıas y medio. Sin embargo, pronto se vioque era muy conveniente introducir un perıodo de dıas inferior al de una lunacion. Culturasantiguas adoptaron grupos de 4 dıas; los asirios utilizaron grupos de 5 y los egipcios de 10.El mundo occidental adopto el grupo de 7 dıas, que llamamos semana, el cual probable-mente fue introducido por los babilonios bien sea porque este numero es aproximadamenteel tiempo que transcurre entre dos cuartos de Luna consecutivos (29.5/4 ≈ 7.3) o por elculto que guardaban sus sacerdotes al numero 7 a causa de la existencia de los siete planetas(incluidos el Sol y la Luna) hasta entonces conocidos.

El mes que utilizamos actualmente esta basado en la lunacion, entendida esta, como yase dijo, como el perıodo en el cual la Luna completa un ciclo de sus fases, o de otra forma,como el tiempo existente entre dos fases llenas (o nuevas) consecutivas de la Luna. Esteperıodo es conocido por los astronomos como mes sinodico y es igual a: 29d12h44m2.9s.

155

156 CAPITULO 9. CALENDARIO

Este perıodo de tiempo tuvo gran importancia en muchas culturas de la antiguedad, nosolo por su conexion astronomica sino tambien por su muy cercana igualdad con el perıodomenstrual de la mujer y el comportamiento cıclico de algunas criaturas marinas. No es deextranar entonces que muchos de los calendarios de civilizaciones antiguas adoptaran comounidad basica la lunacion y midieran perıodos prolongados de tiempo con base en el numerode lunaciones transcurridas. Ahora bien, el hecho de que la lunacion no sea exactamenteequivalente a un numero entero de dıas comienza, como es obvio, a crear cierto tipo de di-ficultades. Es por ello que los babilonios se vieron obligados a utilizar meses que consistıande 29 y 30 dıas de forma alternativa. Como veremos mas adelante, algunos siglos despues,los romanos se vieron en circunstancias similares estableciendo meses conformados por unnumero de dıas que oscila entre 30 y 31, y que en ultimas termino siendo el calendario queactualmente utilizamos.

Sin embargo, ciertas culturas antiguas cuyo habitat estaba localizado en zonas geograficasdonde el ciclo de las estaciones es bastante pronunciado y que por razones de superviven-cia necesitaban correlacionarse y hasta predecirse, pronto encontraron una estrecha relacionentre estas y el tiempo que tarda el Sol en pasar aparentemente y de forma consecutiva porel mismo grupo de estrellas, esto es, un ano.

Los egipcios lograron medir que dicho perıodo de tiempo comprendıa aproximadamente365 dıas. Tratar de relacionar este perıodo con la lunacion probo ser una empresa quecontradecıa toda estetica numerica pues 365 no es multiplo de 29.5. Correlacionar ambosperıodos de tiempo fue una tarea que muchos astronomos y sacerdotes antiguos trataron debuscar no siempre con exito. Los egipcios, por ejemplo, solucionaron facilmente el problema:establecieron 12 meses constituidos por 30 dıas cada uno; esto da apenas 360 dıas. Los cincorestantes se adicionaban al final del ultimo mes.

Como sabemos, el ano es el perıodo de tiempo que tarda nuestro planeta en dar unarevolucion completa en torno al Sol con respecto a un punto de referencia dado. Pero elpunto de referencia puede ser una estrella o puede ser el punto vernal. En el primer caso sehabla del ano sideral; en el segundo, del ano tropico. Estos tiempos no son iguales, pues elpunto vernal se mueve lentamente a traves de las estrellas fijas a causa del fenomeno de laprecesion de los equinoccios (ver seccion 10.1).

Estos periodos, en terminos de dıas solares medios, son los siguientes:

1 ano sideral = 365.2564 dıas = 365d 6h 9m 10s,1 ano tropico = 365.2422 dıas = 365d 5h 48m 45s.

La definicion de ano que cuenta para correlacionarlo con el paso de las estaciones es porsupuesto el ano tropico, pues es el paso del Sol por el punto vernal el que fija los equinoccios.El ano que utilizamos actualmente en nuestros asuntos diarios y que es de uso comun en casitodo el mundo es el denominado ano civil , el cual es un perıodo convencional compuestode un numero entero de dıas, disenado de tal forma que coincida lo mas posible con el anotropico.

9.1. EL CALENDARIO ROMANO PRIMITIVO 157

No. Nombre Dıas No. Nombre Dıas1 Martius 31 6 Sextilis 302 Aprilis 30 7 September 303 Maius 31 8 October 314 Junius 30 9 November 305 Quintilis 31 10 December 30

Tabla 9.1: Los meses y su duracion en Roma antes de Numa Pompilio

Y aquı es donde se torna interesante el asunto: la relacion entre la duracion del anotropico y del mes sinodico es inconmensurable. Doce meses sinodicos apenas dan cuenta de12×29.5306 dıas = 354.3672 dıas, esto es, casi 11 dıas mas corto que el ano tropico. Ademas,esta el problema de que ninguno de los dos perıodos esta compuesto de un numero enterode dıas. Por lo tanto, para tratar de conformar un calendario que este en concordancia conlas fases de la Luna o con las estaciones, esto es, con el Sol (que es el caso de nuestro actualcalendario gregoriano), es necesario insertar dıas en intervalos apropiados. Como veremos,esto ha ocasionado serios trastornos en el conteo de eventos cronologicos y ha dado lugar aque ocurran multiples correcciones, algunas de ellas muy singulares.

9.1 El calendario romano primitivo

Este calendario fue adoptado en Roma poco despues de su fundacion, supuestamente reali-zada por Remo unos siete u ocho siglos antes del nacimiento de Jesucristo. Este calendarioconstaba de diez meses, 4 de ellos de 31 dıas y los restantes 6 de 30, lo cual daba un totalde 304 dıas, (ver tabla 9.1).

El primer mes del ano era Martius (nuestro actual marzo) y estaba dedicado al dios dela guerra, Marte; el segundo a Apolo (de sobrenombre Aperta), el tercero a Jupiter (desobrenombre Maius) el cuarto a Juno (principal diosa latina, esposa de Jupiter); de ahı enadelante los meses recibıan el nombre equivalente al numero de meses transcurrido desde elinicio del ano. Puesto que aun faltaban cerca de 60 dıas para cuadrar el calendario con lasestaciones, al parecer las autoridades decretaban un perıodo pobremente definido de dıaspara conformar la estacion invernal.

Pero pronto, Numa Pompilio (715-673 A.C.), una figura que, al igual que Remo, pertenecemas a la mıtica que a la realidad, y que se constituyo, de acuerdo con la tradicion, en elsegundo rey de Roma, modifico el anterior calendario, adicionando dos meses mas a los diezexistentes: Januarios (dedicado al dios Jano) y Februarius. Tambien se cambio la duracionde los dıas de los meses pues los romanos de aquellos tiempos habıan adquirido la supersti-cion negativa hacia los numeros pares de tal forma que se establecio que los meses estuvieranconstituidos por un numero impar de dıas, a excepcion de uno de ellos. Con ello, el ordenquedo como se registra en la tabla 9.2.


No. Nombre Dıas No. Nombre Dıas1 Martius 31 7 September 292 Aprilis 29 8 October 313 Maius 31 9 November 294 Junius 29 10 December 295 Quintilis 31 11 Januarius 296 Sextilis 29 12 Februarius 28

Tabla 9.2: Los meses y su duracion en tiempos de Numa Pompilio

Esto da un ano de 355 dıas, el cual resultaba todavıa corto, del orden de 10 dıas, com-parado con el ano tropico. Para subsanar este defecto los romanos tuvieron la idea, un tantoextrana pero logica, de introducir un mes de 27 o 28 dıas, alternativamente, cada dos anos.Con esto se lograba mas o menos acoplar el ano civil con el tropico. Este mes adicionalse llamo Merkedinus y resulta curioso el hecho de que se iniciaba el dıa 23 de febrero, eli-minandose los ultimos cinco dıas (esto es, del 24 al 28).

Valga la pena aclarar el hecho de que el equinoccio de primavera para el hemisferio nortecaıa, en los tiempos de Numa, el dıa 25 (o 24) de marzo, lo que significa que el solsticio deinvierno para el mismo hemisferio se presentaba el 25 (o 24) de diciembre.

9.2 El calendario juliano

El calendario establecido por Numa daba como promedio un ano constituido de 366.25 dıas,que lentamente, con el transcurrir de los anos, se desacoplaba con el ano propiamente as-tronomico. Ademas, el ente encargado, dentro de la sociedad romana, de mantener el cursocorrecto de las reglas del calendario y con el atributo de adicionar meses si ası lo considera-ba necesario, era una casta de pontıfices, asesores religiosos de los que ostentaban el poderpolıtico, que en ocasiones no seguıa al pie de la letra las normas establecidas, adicionandoarbitrariamente distintos perıodos, que obviamente convenıan para sus propios intereses.Esto llevo a que en el transcurso de varios siglos el desacople entre el calendario civil y elastronomico fuera bastante notorio. Ya en los tiempos del primer triunvirato (Pompeyo,Lepido y Julio Cesar), cerca del 60 A.C., la diferencia entre los calendarios era de cerca detres meses, pues cuando se presentaba la estacion invernal el almanaque indicaba los mesesde primavera (Martius, Aprilis y Maius). Julio Cesar, habiendose hecho con el poder en Ro-ma decreto, entre otras cosas, una modificacion del calendario tendiente a acoplar de nuevoel calendario civil con el astronomico de tal forma que el equinoccio de primavera coincidierade nuevo con el 25 de marzo, como habıa sido en tiempos de Numa, y ademas, siguiendoel consejo del astronomo alejandrino Sosıgenes, asegurar que en el futuro no se volviese apresentar un desfase entre los calendarios. Para lograr lo primero se decidio convertir el ano

9.2. EL CALENDARIO JULIANO 159

47 A.C. en el ano mas largo de la historia pues se convino introducir un mes Merkedinusde 28 dıas despues del 23 de febrero, y dos meses mas entre noviembre y diciembre, uno de33 y el otro de 34 dıas. Con ello, el ano 47 A.C. quedo de 445 dıas y pasarıa a la histo-ria, con justa razon, como el “ano de la confusion”. De ello resulto tambien la practica deque el comienzo del ano no fuera el dıa primero de Martius sino el primero de Januarius.Con el fin de evitar futuros desacoples, Sosıgenes, quien sabıa que el ano tropico durabaaproximadamente 365.25 dıas, recomendo a Julio Cesar que el ano fuera fijado en 365 dıasy que un dıa extra fuera anadido (entre el 23 y 24 de febrero) cada cuatro anos, siendo estosanos exactamente divisibles por cuatro, esto es, sin generar decimal. El ano de 366 dıas fuellamado con el tiempo ano bisiesto. El calendario, instituido de esa manera se conoce conel nombre de calendario juliano.

Figura 9.1: Julio Cesar (100 A.C.-44 A.C.)

La duracion de los meses tambien cambio lentamente en este perıodo, haciendose masfacil de recordar, pues con excepcion de febrero, se fijo una secuencia de duracion de losmeses que tuvieran de forma alternante 30 y 31 dıas, ver tabla 9.3.

Con la muerte de Julio Cesar, en el 44 A.C., Marco Antonio quiso honrar la memoriade su ilustre antecesor rebautizando el mes en el que habıa nacido este, Quintilis, por el deJulio. Varios anos despues, Octavio, llamado Augusto (el “aumentador”) por el senado ro-mano, el primer emperador de Roma, decreto que el mes Sextilis fuera de ahora en adelantellamado por el nombre con el que habrıa de pasar a la historia. Pero, puesto que Sextilistenıa 30 dıas (y dado que, segun el emperador, Augusto no podıa ser menos que Julio), seestablecio que este mes tuviera de ahora en adelante 31 dıas; el dıa extra fue extraıdo delpobre Februarius, el cual ahora tendrıa 28 dıas en anos normales y 29 cada cuatro. Pero estocreaba una secuencia de tres meses seguidos de 31 dıas: Julio, Augusto y September. Con


No. Nombre Dıas No. Nombre Dıas1 Januarius 31 7 Quintilis 312 Februarius 29-30 8 Sixtilis 303 Martius 31 9 September 314 Aprilis 30 10 October 305 Maius 31 11 November 316 Junius 30 12 December 30

Tabla 9.3: Los meses y su duracion en la epoca de Julio Cesar

el fin de evitar esta monotonıa se decidio cambiar la duracion de September y Novemberque pasarıan de 31 a 30 dıas para fijar ahora a October y December como meses de 31 dıas.Los nombres de estos meses (con muy ligeras modificaciones) y sus duraciones son los queusamos actualmente, ver tabla 9.4.

El dıa adicional caracterıstico de los anos bisiestos se agregaba al ultimo dıa de febrero.

9.3 Calendario y cristianismo

Como ya dijimos anteriormente, el ano tropico no consta de 365.25 dıas sino de 365.2422,con lo que resulta que el calendario juliano (que origina el ano civil) lentamente se va ade-lantando con respecto al ano tropico a razon de 365.25 − 365.2422 = 0.0078 dıas por cadaano que transcurre, que es equivalente a 0.0078× 24× 60 = 11 minutos y 14 segundos. Enotras palabras, a medida que transcurren las centurias, el equinoccio de primavera, un even-to astronomico de importancia para muchas culturas antiguas, se presentara cada vez mastemprano (se ira adelantando) con respecto a la fecha dada por el almanaque. De acuerdocon el calculo anterior, se necesitaran alrededor de 1/0.0078 = 128 anos para que el ano civiladelante en un dıa al ano tropico. Por lo tanto, al cabo de unos 360 anos de estar instauradoel calendario juliano el solsticio de primavera ya no ocurrıa el 25 (o 24) de marzo sino el 22(o 21) de marzo.

No. Nombre Dıas No. Nombre Dıas1 Enero 31 7 Julio 312 Febrero 28-29 8 Agosto 313 Marzo 31 9 Septiembre 304 Abril 30 10 Octubre 315 Mayo 31 11 Noviembre 306 Junio 30 12 Diciembre 31

Tabla 9.4: Los meses y su duracion actualmente

9.3. CALENDARIO Y CRISTIANISMO 161

Para ese entonces, el imperio romano habıa cambiado mucho. El emperador Constanti-no abrazo la religion cristiana, cuyos practicantes habıan sido cruelmente perseguidos poralgunos de sus antecesores, decidiendo ademas instaurar dicha religion como la oficial delimperio.

A pesar de haber transcurrido casi tres siglos desde la muerte de Jesucristo, los adeptosde la fe cristiana no lograban ponerse de acuerdo en muchos aspectos internos y funda-mentales del culto. Pululaban en ese entonces muchas interpretaciones sobre la naturalezaverdadera de Jesucristo que amenazaban seriamente con resquebrajar la unidad de la iglesia.Constantino, quien se habıa hecho cristiano mas por interes polıtico que por otra cosa, nole convenıa para nada esa situacion que amenazaba seriamente la estructura doctrinal de lamayorıa de la poblacion, decidio convocar un concilio ecumenico (asamblea universal) con elfin expreso de que los obispos de las distintas ciudades se pusieran enteramente de acuerdocon respecto a los preceptos de su credo. El concilio fue llevado a cabo en la poblacion deNicea, muy cerca de lo que ahora se conoce como la ciudad de Izmir al noroeste de Turquıa,en el ano 325 A.D. Allı se definieron aspectos fundamentales del catolicismo, como el de se-leccionar como unicos exponentes de la verdad revelada por Dios a los evangelios escritos porMarcos, Mateo, Lucas y Juan —que constituyen gran parte de lo que conocemos ahora comoNuevo Testamento— de cerca de 60 evangelios, redactados por muy diversos personajes, yque circulaban libre y desordenadamente por las manos de los fieles de ese entonces. Peropara lo que nos interesa aquı, que es la historia del calendario, debemos concentrarnos en loque resolvio el concilio de Nicea1 con respecto a la celebracion de la Pascua. La Pascua, parael pueblo hebreo, es una celebracion que conmemora la salida de los judıos de su cautiverioen Egipto tal y como se relata en la Biblia, particularmente en el Exodo (12, 1-20). Allıse establece en que dıa y en que mes ha de celebrarse la “cena pascual”. Pero los judıos serigen por un calendario lunar el cual crearon con una serie de reglas para ajustarlo a susnecesidades civiles y religiosas. La complicacion es que los cristianos llaman Pascua a otroevento: el dıa de la resurreccion de Jesucristo. Tal y como se relata en el nuevo testamento,Jesucristo, como buen practicante de la religion judıa, celebro el rito de la “cena pascual”y al dıa siguiente fue asesinado, resucitando luego al tercer dıa. Necesitando los cristianoscelebrar la Pascua, llamada ahora de resurreccion, se vieron en la necesidad de ajustarse par-cialmente al calendario lunar judıo. Como los evangelios no eran muy explıcitos con respectoa las fechas de tan trascendentales eventos, distintas facciones de cristianos celebraban laPascua con normas y preceptos que cambiaban de region en region, cosa que tambien podıaocasionar a la larga un cisma. Se decidio, en el Concilio de Nicea, establecer unas normasfijas y universales para fijar esta fiesta. Primero se establecio por decreto que el equinocciovernal debıa caer siempre el 21 de marzo (como en efecto caıa ya para aquella epoca). Conello se acordo que el dıa en que cae la Pascua cristiana debe: a) celebrarse en domingo;b) que dicho domingo sea el siguiente en que la luna llena eclesiastica cae en o despues delequinoccio vernal.

1Este concilio es considerado por los especialistas como el verdadero origen de la iglesia catolica, siendo suprincipal movil erradicar de una vez por todas el arrianismo, esto es, aquella doctrina debida a un presbıteroalejandrino llamado Arrio quien sostenıa que Jesucristo era tan solo un hombre de excepcionales cualidadespero en ningun caso podıa ser identificado como hijo de Dios, esto es, Jesucristo no era consustancial conDios.


Antes de seguir hay que aclarar que la luna llena eclesiastica no siempre coincide con laluna llena verdadera, pero por fortuna las diferencias entre ambas se presentan muy rara vez.

Como se vera en la seccion 9.6.5, la Pascua rige la ocurrencia de otras fiestas religiosaspor lo que es fundamental su calculo acertado. Por ello se desprende que sea de trascenden-tal importancia para la iglesia catolica que el equinoccio vernal se verifique siempre el 21 (o20) de marzo. Por desgracia, los obispos que asistieron al concilio de Nicea no cayeron encuenta del pequeno desfase que comentamos atras: el lento incremento, ano tras ano, delano juliano (civil) con respecto al ano tropico.

9.4 El calendario gregoriano

En efecto, el tiempo transcurrio y las centurias se fueron acumulando, con lo que el anocivil se fue adelantando varios dıas con respecto al ano tropico. Para finales del siglo XVIla diferencia era muy notoria. Ya habıan pasado cerca de 1300 anos desde el concilio deNicea, esto es, el ano civil se adelantaba por: 1300/128 ≈ 10 dıas; o en otras palabras,cuando el almanaque indicaba el 21 de marzo, el equinoccio de primavera realmente habıaocurrido 10 dıas antes, esto es, el 11 de marzo (recuerdese que el ano tropico —lo que sucedeastronomicamente— se esta rezagando con respecto al ano civil). Es logico suponer que lasautoridades eclesiasticas tenıan un serio problema entre manos, pues se estaba dejando decumplir lo que sus antecesores habıan fijado con tanto celo.

Figura 9.2: Papa Gregorio XIII (Ugo Boncompagni) (1502-1585) y Cristobal Clavius (1537-1612)

Por ello, el papa Gregorio XIII, en 1582, decidio poner fin a este enojoso asunto y acon-sejado por el astronomo Cristobal Clavius, mando corregir el calendario con el fin expreso decumplir lo establecido casi 1300 anos atras. Al igual que se habıa hecho antes con la reformajuliana, lo primero era colocar las aguas de nuevo en su cauce. Puesto que el problema eraque el equinoccio vernal se estaba rezagando con respecto al ano civil, se decidio eliminar decuajo 10 dıas del calendario civil. Por decreto, el dıa siguiente al 4 de octubre de 1582 no fue

9.5. CRONOLOGIA 163

el 5 sino el 15 de octubre. Con tan arbitraria y extrana solucion se sincronizaban de nuevo elano civil con el tropico. Ahora bien, ¿Como evitar que en el transcurso de los anos siguieraocurriendo el desfase? Se trataba de eliminar la ligera ventaja que le toma el ano civil alano tropico, que al cabo de 128 anos alcanza a ser de 1 dıa. Los asesores de Gregorio XIIIpensaron: al transcurrir casi 400 anos se acumulan 3 dıas de exceso (128× 3 = 384 ∼ 400);luego hay que buscar una manera de que cada 400 anos se eliminen 3 dıas del calendariocivil (que era el juliano). La solucion fue ingeniosa. Se seguirıa conservando la norma fijadapor el calendario juliano, salvo en un ligero detalle.

Consideremos la siguiente secuencia de anos bisiestos:

1600, 1700, 1800, 1900, 2000, 2100, 2200, 2300, 2400

De 1600 a 2000 hay 400 anos, al igual que entre 2000 y 2400. De esta secuencia, los unicosnumeros que son exactamente divisibles por 400 sin dejar resto son 1600, 2000 y 2400, estoes, entre 1600 y 2000 hay tres centurias que no son divisibles por 400 exactamente, al igualque entre 2000 y 2400.

El ligero detalle, como lo habra intuido el atento lector, y que constituye el fundamentodel denominado calendario gregoriano (el calendario que se utiliza actualmente en casi todoel orbe) consiste en fijar aquellos anos que conforman centurias que no son divisibles por 400sin generar decimal (1700, 1800 y 1900) como anos comunes de 365 dıas. Tres anos (que de-berıan ser bisiestos) pasan a ser anos comunes, con lo que se eliminan tres dıas cada 400 anos.

La ausencia de un sistema eficiente de comunicaciones y la desavenencia en asuntosteologicos que habıa entre el Papa y varios estados europeos ocasiono que no todos adop-taran las reglas que el papado recomendaba. El calendario gregoriano fue inmediatamenteadoptado por Portugal, Espana y parte de Italia. Sin embargo, con el correr del tiempo,muchas otras regiones de Europa y America terminarıan adoptandolo y eventualmente casitodo el planeta.

9.5 Cronologıa

Se llama cronologıa a cualquier metodo usado con el fin de ordenar y colocar los eventos enla secuencia en que ellos ocurrieron. Los sistemas de cronologıa que han sido usados pararegistrar la historia humana estan ıntimamente relacionados con los calendarios y por lo tan-to varıan en alcance, exactitud, grado de refinamiento, etc. La cronologıa cientıfica pretendecolocar todos los eventos de forma lo mas correcta posible a intervalos proporcionales sobreuna escala fija en el orden en que dichos eventos ocurrieron. La astronomıa, la geologıa y lapaleontologıa requieren, pues, de este tipo de cronologıa. La cronologıa historica, por otrolado, varıa con las diferentes habilidades y propositos de las civilizaciones que las emplea-ban. Ello significa que es difıcil hacer concordar las cronologıas historicas con las cronologıascientıficas debido, por un lado, a la falta de refinamiento de las antiguas civilizaciones, y porotro, a la perdida de documentacion y de registros que han sido inevitable en el transcursohistorico convulsionado y violento de casi todos los pueblos.


El primer requisito de un sistema historico cronologico es la era, esto es, un punto fijode tiempo —de importancia trascendental para la civilizacion o pueblo que la crea—, desdeel cual se indicara la posicion de todos los demas eventos acaecidos antes o despues.

Los musulmanes, por ejemplo, fijan el inicio de su cronologıa el ano que el profeta Ma-homa y sus seguidores huyeron de la Meca y que corresponde al ano 622; los judıos fijaroncomo era el ano que, segun ellos, occurrio la creacion del mundo, el ano 3761 A.C.

La era cristiana fue introducida alrededor del ano 527 por Dionisio el Exiguo llamadoası a causa de su corta estatura. Dionisio fue un monje que residio en Roma y que calculocomo fecha del nacimiento de Cristo el ano 753 de la fundacion de Roma. Dionisio designoa este ano el numero uno de dicha era, contando los anos que siguieron en un curso regulara partir de el llamandolos anos del Senor designacion que aun usamos cuando colocamosA.D. (Anno Domini). El ano anterior a 1 A.D. es el ano uno A.C. (Ante Christium). Enla escala no hay un ano cero entre A.C. y A.D. Las investigaciones historicas han permitidorevelar que Dionisio cometio una serie de errores en sus calculos por lo que Jesucristo enrealidad no nacio en al ano 1 de nuestra era sino unos 3 a 5 (y algunos autores llegan acalcular hasta 9) anos antes2. La incertidumbre existente en cuanto a la determinacion dela fecha real del nacimiento de Jesucristo es completamente irrelevante para los propositosde la cronologıa: hay un ano fijo, ası Dionisio haya tenido o no razon. El hecho de que la eracristiana sea una escala sin cero genera un ligero inconveniente y es que al medir el tiempode forma continua a partir del comienzo de la era el intervalo de anos realmente transcurridoes una unidad menos que el numero ordinal del ano del calendario. Debido a esto, el primersiglo, esto es, el primer intervalo de cien anos de la era cristiana termino con el dıa 31 dediciembre del ano 100 A.D. El siglo II comenzo el 1 de enero del ano 101 A.D. De ello resultaque el siglo XX comience con el 1 de enero de 1900 y termine con el dıa 31 de diciembrede 2000. Luego, el siglo XXI comienza el 1 de enero del 2001 y ası sucesivamente. Estaforma de contar los anos trae el inconveniente de complicar el calculo de fechas anterioresal ano 1 A.D. Por ejemplo, el numero de anos existentes entre el ano 20 A.C. y 20 A.D. noes de 40 sino de 39. Para evitar confusiones, los astronomos, siempre tan cuidadosos en suscalculos, han introducido el ano cero en sus computos. Y para hacer esto, llaman al ano 1A.C. como ano cero. Entonces especifican los anos con un signo negativo para designar losanos anteriores al ano cero. Ello hace que el ano contado por los historiadores difiera en unoen comparacion con el que cuentan los astronomos:

Computo historico . . . 3 A.C. 2 A.C. 1 A.C. 1 A.D. 2 A.D. . . .Computo astronomico . . . -2 -1 0 +1 +2 . . .

Los dos computos coinciden cuando los anos son mayores o iguales que el ano 1 A.D. Asıpor ejemplo, el ano 465 A.C. equivale al ano −464.

2Semejante incertidumbre en la fecha de nacimiento, tratandose de un hombre que tal vez sin proponerselotermino fundando una de las religiones mas importantes del mundo, solo es explicable si consideramos queJesucristo termino convirtiendose en un personaje digno de atencion solo hasta mucho tiempo despues desu muerte.

9.6. LA DETERMINACION DE LA FECHA DE PASCUA 165

9.6 La determinacion de la fecha de Pascua

Como ya se dijo, la fecha de Pascua esta ıntimamente relacionada con el suceso de dosfenomenos astronomicos, a saber, la fase de luna llena y el equinoccio vernal. La importanciade la fecha de Pascua es que ella determina todas las fechas moviles religiosas que celebranlos paıses con marcada poblacion practicante del culto catolico. En epocas antiguas, cuandono se disponıan de teorıas complejas que permitieran calcular la posicion de la Luna conuna exactitud acorde a las circunstancias, los astronomos y calculistas hicieron uso de loscuriosos ciclos que presentan las fases lunares. El mas conocido de ellos es el ciclo deMeton. Este ciclo es un perıodo de 19 anos solares (de 235 meses sinodicos), que, una veztranscurrido, las fases de la Luna tienen lugar aproximadamente en los mismos dıas del ano,lo que constituye una tecnica de prediccion mas o menos exacta. Considerese como ejemplola siguiente secuencia de lunas llenas:

Luna llena enero 22 de 1970Luna llena enero 21 de 1989Luna llena enero 22 de 2008Luna llena enero 22 de 2027

Para facilitar los calculos de la fecha de Pascua con base en el ciclo de Meton, y dadoque este no es rigurosamente exacto, los calculistas se vieron en la necesidad de definiralgunos conceptos intermedios tendientes a hallar de forma expedita la fecha de la Pascua.Pasaremos brevemente a dar revista a algunos de ellos.

9.6.1 Letra dominical

Designemos a los siete primeros dıas del ano por las letras A, B, C, D, E, F y G. Porlo tanto el primero de enero queda como A, el dos de enero como B, y ası sucesivamentehasta enero siete que le corresponde la G; el ciclo continua entonces con el ocho de enerode nuevo como A, enero nueve como B y ası sucesivamente. La letra dominical de un anoes la letra que le corresponde al primer domingo del ano, y que caracteriza por lo tantoa todos los domingos del ano. Ası, por ejemplo, si un ano empieza el dıa viernes la letradominical es C. La complicacion aparece en los anos bisiestos. En estos anos al dıa 29 defebrero no se le asigna una letra, pero, puesto que es contado como un dıa de la semana, laserie de letras se cambiara (a partir del primero de marzo) en favor de la letra precedente.Esto obliga a que un ano bisiesto tenga dos letras dominicales: la primera funcionara enlos meses de enero y febrero; la segunda, que es su precedente, regira a partir del primerode marzo en adelante. Considerese como ejemplo el ano 2000. Por ser bisiesto tendra dosletras dominicales. El primer domingo del ano ocurrio el dos de enero, lo que significa quela primera letra es B. La segunda letra es su precedente en la serie, esto es, la letra A. Porlo tanto las letras dominicales del ano 2000 son BA. Un ano como 1998 (no bisiesto) tieneuna sola letra dominical, la cual fue D, lo que significa que el primer domingo del ano tuvolugar el dıa cuatro de enero. Una formula que permite hallar la letra dominical L (entre 1y 7) de un ano Y cualquiera es la siguiente:

L =

[2T + 1− ENT (T4 )− U − ENT (U4 )

7

]r

, (9.1)


donde T son los dos primeros digitos del ano y U los dos ultimos; el subındice r en (9.1)significa el resto de la division. Se ha de tener cuidado ademas con lo siguiente: Si L ≤ 0entonces L = L + 7. Ademas, si el ano es bisiesto, esto es, si Y es divisible por cuatro singenerar resto (salvo anos como 1700, 1800, 1900, 2100, 2200, 2300, etc.) entonces con (9.1)se obtiene la segunda letra dominical.

Ejemplo 1

Calcular la letra dominical del ano 2002.

Solucion

Entonces Y = 2002. Por lo tanto T = 20, U = 02 = 2. Puesto que ENT (20/4) = 5,ENT (2/4) = 0, entonces:

40 + 1− 5− 2− 07

=347

=287

+67,

por lo tanto el resto es L = 6. Esto significa que la letra dominical es F.

Ejemplo 2

Calcular la letra dominical del ano 2008.

Solucion

Este es un ano bisiesto. Entonces Y = 2008. Por lo tanto T = 20, U = 08 = 8. Puestoque ENT (20/4) = 5, ENT (8/4) = 2, entonces:

40 + 1− 5− 8− 27

=267

=217

+57,

por lo tanto el resto es L = 5. Esto significa que la segunda letra dominical de este anobisiesto es E. Pero como la segunda letra dominical de un ano bisiesto es la precedente de laprimera se deduce que la primera letra es F. Por lo tanto, la letra dominical del 2008 es FE.

9.6.2 Numero aureo

El numero aureo esta relacionado directamente con el ciclo de Meton. En la antiguedadeste ciclo era considerado como una de las verdades mas solidamente establecidas; se creıaque bastaba con conocer las lunaciones de 19 anos, para predecir de ahı en adelante lasque vinieran. El numero que ocupa un ano en este ciclo es llamado numero aureo, llamadoası porque los calendarios solıan encabezar con este numero pintado en oro o rojo. Se hadispuesto que el primer ciclo de Meton empezo el ano en que el novilunio acaecio el primerode enero del ano 1 A.C. Por lo tanto, el ano 1 A.C. tuvo por numero aureo 1. Puesto que encronologıa el ano cero no existe, el ano 1 A.D. tuvo por numero aureo 2 y ası sucesivamentehasta el ano 18 A.D. al que le correspondio por numero aureo 19; el ano 19 A.D. continuacon el numero aureo 1 y ası sucesivamente. La importancia del numero aureo residıa en que


era un valor indispensable en el calculo de la Pascua antes de la reforma gregoriana, la cualreemplazo el numero aureo por el concepto de Epacta.

El numero aureo G de un ano cualquiera Y puede calcularse con la siguiente formula:

G = 1 +(Y

19

)r

, (9.2)

donde el subındice r significa el resto de la division.

Ejemplo 1

Calcular el numero aureo del ano 1999.

Solucion

Aquı Y = 1999. Entonces:199919

=199519

+419.

Entonces:G = 1 + 4 = 5.

9.6.3 La Epacta

La epacta es un vocablo de origen griego que se utiliza para indicar la edad de la Luna alempezar el ano. La edad de la Luna es un numero (entre 1 y 29) que indica el numerode dıas transcurridos desde la ultima luna nueva. El concepto de Epacta para calcular laPascua fue sugerido por Luis Lilio Guiraldi y se adopto como otra correccion que introdujola reforma ordenada por el papa Gregorio XIII. La epacta se puede calcular con ayuda delas siguientes formulas.

Para un ano dado Y se comienza por calcular el valor de C dado por:

C = 1 + ENT (Y/100),

luego calculamos los valores de X y Z definidos por:

X = ENT

(3C4

)− 12, Z = ENT

(8C + 5

25

)− 5,

entonces la epacta esta dada por:

E =(

11G+ 20 + Z −X30

)r

, (9.3)

donde G es el numero aureo calculado con ayuda de (9.2), y el subındice r significa el restode la division.


Ejemplo 1

Calcular la epacta del ano 1966.

Solucion


=195719

+919.

Entonces:G = 1 + 9 = 10.

Ası mismo: C = 1+ENT (1966/100) = 1+19 = 20. X = ENT ( 3×204 )−12 = 15−12 = 3,

Z = ENT ( 8×20+525 )− 5 = 6− 5 = 1. Al reemplazar en (9.3):

11× 10 + 20 + 1− 330

=12830

=12030

+830,

por lo tanto E = 8.

Ejemplo 2

Calcular la epacta del ano 2011.

Solucion


=199519

+1619,

esto es:G = 1 + 16 = 17.

Ası mismo: C = 1+ENT (2011/100) = 1+20 = 21. X = ENT ( 3×214 )−12 = 15−12 = 3.


11× 17 + 20 + 1− 330

=20530

=18030

+2530,

por lo tanto E = 25.

9.6.4 Otros ciclos

En los almanaques astronomicos se acostumbra a resenar los valores que adopta el ano conrespecto a otros ciclos no tan conocidos. La indiccion romana es uno de ellos. Este cicloposee una duracion de 15 anos y fue introducido por el emperador romano Constantinoen el ano 312 A.D., el cual originalmente fue concebido como un plazo fiscal pero terminosiendo un modo de contar regularmente los anos. La indiccion romana se ha fijado detal forma que el ano uno de nuestra era (1 A.D.) corresponde al ano cuatro del ciclo deindiccion correspondiente. Para el ano 2000 ya habıan transcurrido 133 de tales ciclos


correspondiendole una indiccion de 8. La formula que permite hallar la indiccion romanaIR para un ano cualquiera Y es facil de deducir y es:

IR =(Y + 3

15

)r

.

Otro ciclo es el denominado ciclo solar el cual posee una duracion de 28 anos. Se hadispuesto que el ano uno de nuestra era (1 A.D.) corresponde al ano diez de dicho ciclo solar.La formula que permite hallar el ciclo solar CS para un ano cualquiera Y es:

CS =(Y + 9

28

)r

.

La importancia del ciclo solar estribaba en que en el calendario juliano dos anos quetengan el mismo ciclo solar tienen las mismas letras dominicales, lo que significa que losdıas de la semana (y en particular los domingos) tienen lugar en la misma fecha del ano.Esto explica el origen de la denominacion ciclo solar (el domingo es el dıa del Sol). Laintroduccion del calendario gregoriano desbarato este esquema.

Otro ciclo es el denominado perıodo juliano. Este resulta de la multiplicacion del ciclode Meton, la indiccion romana y el ciclo solar. Por lo tanto, el ciclo posee una duracion de19×15×28 = 7980 anos. Este perıodo fue propuesto por Joseph Justus Scaliger a finales delsiglo XVI. Se fijo al mismo tiempo el dıa y el ano en que deberıa comenzar dicho perıodo. Seeligio aquel ano para el cual el numero aureo, la indiccion romana y el ciclo solar coincidenen uno. Es relativamente sencillo calcular que esto sucede en el ano 4713 A.C. (−4712).Como ya para finales del siglo XVI era costumbre comenzar el ano desde el primero de enerose eligio como fecha origen de la fecha juliana (ver seccion 7.9.1) el primero de enero de dichoano. Por lo tanto, el ano del perıodo juliano APJ para un ano dado cualquiera Y puedecalcularse con la formula:

APJ = 4713 + Y.

9.6.5 Calculo de la fecha de Pascua

La fecha de Pascua FP de un ano Y cualquiera se puede calcular por intermedio de lasiguiente formula:

FP = 21 + P + (L− l), (9.4)

donde FP representa el dıa en que se verifica la fecha de Pascua en dıas del mes de marzo;L es la letra dominical del ano Y (en caso de ano bisiesto se toma la segunda) y P y l tomanlos siguientes valores:

Si E < 24 entonces P = 24− E, l = 27− E, pero si: 27− E > 7 entonces: l = ( 27−E7

)r,

Si E > 23 entonces P = 54− E, l = 57− E, pero si: 57− E > 7 entonces: l = ( 57−E7

)r,

donde E es la Epacta del ano Y . Ademas:

Si (L− l) < 0 entonces (L− l) = (L− l) + 7.


Ejemplo 1

Calcular la fecha de Pascua para el ano 2011.

Solucion

La letra dominical L del ano 2011 se calcula con ayuda de (9.1): Y = 2011; por lo tantoT = 20, U = 11. Puesto que ENT (20/4) = 5, ENT (11/4) = 2, entonces:

40 + 1− 5− 11− 27

=237

=217

+27,

por lo tanto el resto es L = 2. Esto significa que la letra dominical es B.

Ya habıamos calculado la epacta E del ano 2011 la cual dio un valor de E = 25. Puestoque 25 > 23 entonces: P = 54 − 25 = 29 y l = ((57 − 25)/7)r = 4. Por lo tanto:(L− l) = (2− 4) = −2, esto es −2 + 7 = 5, por lo que:

FP = 21 + 29 + 5 = 55 dıas de marzo = 24 de abril.

Entonces la fecha de Pascua para el ano 2011 cae el domingo 24 de abril.

Ejemplo 2

Calcular la fecha de Pascua para el ano 2027.

Solucion

La letra dominical L del ano 2027 se calcula con ayuda de (9.1): Y = 2027; por lo tantoT = 20, U = 27. Puesto que ENT (20/4) = 5, ENT (27/4) = 6, entonces:

40 + 1− 5− 27− 67

=37

=07

+37,

por lo tanto el resto es L = 3. Esto significa que la letra dominical es C. Calculamos ahorael valor de la epacta para el ano 2027. Comenzamos por calcular el numero aureo:

202719

=201419

+1319.

Entonces:G = 1 + 13 = 14.

Ası mismo: C = 1+ENT (2027/100) = 1+20 = 21. X = ENT ( 3×214 )−12 = 15−12 = 3.


11× 14 + 20 + 1− 330

=17230

=15030

+2230,

por lo tanto E = 22.

Puesto que 22 < 24 entonces: P = 24 − 22 = 2 y l = ((27 − 22)/7)r = 5. Por lo tanto:(L+ l) = (3− 5) = −2, esto es: −2 + 7 = 5 por lo que:

FP = 21 + 2 + 5 = 28 dıas de marzo.

La fecha de Pascua para el ano 2027 cae el domingo 28 de marzo.

9.7. CALENDARIO COLOMBIANO 171

Fiesta Dıa de celebracionDomingo de septuagesima 63 dıas antesMiercoles de ceniza 46 dıas antesDomingo de ramos 7 dıas antesJueves santo 3 dıas antesViernes santo 2 dıas antesLa Ascension del Senor 39 dıas despuesPascua de Pentecostes 49 dıas despuesCorpus Christi 60 dıas despuesSagrado Corazon de Jesus 68 dıas despues

Tabla 9.5: Ocurrencia de varias fiestas catolicas con relacion a la Pascua

9.7 Calendario colombiano

La fecha de Pascua, como se dijo atras, determina todas las fiestas religiosas movibles.Colombia, por ser un paıs mayoritariamente catolico, celebra varias fechas de importanciade este culto. La fecha en que ocurren estas fiestas, en relacion con la Fecha Pascual, vienedada por la tabla 9.5.

Las fiestas que estan en la tabla 9.5 (a excepcion del Sagrado Corazon de Jesus, quees considerada una fiesta civil) junto con la Pascua constituyen los dıas de fiesta moviblesdel calendario eclesiastico. De estas fiestas movibles la Republica de Colombia reconoce,a los trabajadores del sector publico y privado, como descansos remunerados los siguientesdıas: jueves y viernes santos, la Ascension del Senor, el Corpus Christi y el Sagrado Corazon.

Existen otras fiestas eclesiasticas que no dependen de la fecha de Pascua que se de-nominan fiestas fijas eclesiasticas por ocurrir siempre en los mismos dıas del ano y son: lacircuncision del Senor (1 de enero), la Epifanıa o fiesta de los reyes magos (6 de enero),dıa de San Jose (19 de marzo), dıa de San Pedro y San Pablo (29 de junio), Asuncion (15de agosto), dıa de todos los santos (1 de noviembre), la Inmaculada Concepcion (8 de di-ciembre) y la Natividad o nacimiento del Senor (25 de diciembre). Todas estas fiestas sonconsideradas por la Republica de Colombia como descansos remunerados.

Las fiestas de orden civil se suceden todas en los mismos dıas del ano (a excepcion delSagrado Corazon de Jesus) y son: dıa del trabajo (1 de mayo), Independencia Nacional (20de julio), Batalla de Boyaca (7 de agosto), dıa de la raza (12 de octubre) e Independenciade Cartagena (11 de noviembre). Todas estas fiestas son consideradas por la Republica deColombia como descansos remunerados.

Hay que tener presente, sin embargo, que en la actualidad esta vigente una ley de laRepublica que modifica parcialmente las fechas en que se deben celebrar algunas fiestas. Laley 51 de 1983 traslada el descanso remunerado de algunos dıas festivos. Especıficamente,el artıculo 2 de la mencionada ley decreta que los dıas 6 de enero, 19 de marzo, 29 de


junio, 15 de agosto, 12 de octubre, 1 de noviembre, 11 de noviembre, Ascension del Senor,Corpus Christi, y Sagrado Corazon de Jesus, cuando no caigan en dıa lunes se trasladaranal lunes siguiente a dicho dıa. Pero cuando las mencionadas festividades caigan en domingo,el descanso remunerado igualmente se trasladara al lunes. La tabla G.1 del apendice Gcontiene los dencansos remunerados reconocidos por la Republica de Colombia e indicaaquellas fiestas cuyos dıas son trasladados en virtud de la ley 51 de 1983.

Ejemplo 1

Calcular en que dıas y en que dıa de la semana cayeron los descansos remunerados en laRepublica de Colombia en el ano de 1995.

Solucion

Comenzamos por calcular la fecha de Pascua del ano 1995. Realizando el calculo vemosque la Pascua cayo en aquel ano el domingo 16 de abril. Ello significa que el jueves y elviernes santo cayeron los dıas 13 y 14 de abril. En lo que sigue se supone que para cadafecha se determina en las tablas G.3, G.4 y G.5 del apendice G el dıa correspondiante de lasemana. La ascension deberıa ocurrir 39 dıas despues de la Pascua, esto es, el 25 de mayo(jueves), pero por la ley 51 cae el lunes 29 de mayo. El Corpus Christi deberıa ocurrir 60dıas despues de la Pascua, esto es, el 15 de junio (jueves), pero por la ley 51 cae el lunes19 de junio. El Sagrado Corazon deberıa ocurrir 68 dıas despues de la Pascua, o sea, el23 de junio (viernes), pero por ley 51 cae el lunes 26 de junio. Otras fiestas modificadaspor la ley 51 son: la Epifanıa, que del 6 de enero (viernes) pasa a celebrarse el lunes 9de enero; San Jose, que del 19 de marzo (domingo) se celebra el lunes 20 del mismo mes;San Pedro y San Pablo, que del 29 de junio (jueves) pasa a celebrarse el lunes 3 de julio;la Asuncion que del 15 de agosto (martes) pasa a celebrarse el lunes 21 de agosto; el dıade la raza que del 12 de octubre (jueves) pasa al lunes 16 de octubre; el dıa de todos lossantos que del 1 de noviembre (miercoles) pasa a celebrarse el lunes 6 de noviembre y laIndependencia de Cartagena que del 11 de noviembre (sabado) pasa al lunes 13 de noviembre.

Las fiestas restantes no son modificadas por la ley 51 y son: la cirncuncision del Senorel 1 de enero que cayo en domingo; el dıa del trabajo (1 de mayo) que cayo en lunes; laIndependencia Nacional (20 de julio) que cayo en jueves; la Batalla de Boyaca (7 de agosto)que cayo en lunes; la Inmaculada Concepcion (8 de diciembre) que cayo en viernes y laNatividad (25 de diciembre) que cayo en lunes.


• Meeus, Jean (1991) Astronomical Algorithms, Willmann-Bell, Richmond.

En el capıtulo 8 se encuentra una rutina que permite determinar la fecha de pascua.

• Meeus, Jean (1995) Astronomical Tables of the Sun, Moon and Planets, Willmann-Bell, Rich-mond.

En su capıtulo 7 se encuentran multitud de tablas para calcular la fecha juliana, fechas depascua, calendario judıo y calendario musulman.

9.7. CALENDARIO COLOMBIANO 173

• Explanatory Supplement to the Astronomical Ephemeris and the American Ephemeris andNautical Almanac, (1961) Her Majesty’s Stationery Office, Londres.

Excelente referencia para algunos topicos de astronomıa esferica. La seccion de calendario esaltamente ilustrativa y rebosante en referencias

• Enciclopedia universal ilustrada europeo-americana, Espasa-Calpe, S.A., Madrid.

Tal vez la mejor enciclopedia que se haya hecho en idioma castellano. Bajo la palabra ca-lendario se encuentra la descripcion mas completa y detallada de la historia de multiplescalendarios.

• http://www.personal.ecu.edu/MCCARTYR/calendar-reform.html

Contiene bastante informacion sobre reforma e historia del calendario.

• http://www.calendarzone.com/

Todo lo que Usted desee saber sobre calendarios se encuentra aquı.

Capıtulo 10

CORRECCION A LASCOORDENADAS

Existen varios fenomenos de distinta naturaleza que afectan en mayor o en menor grado lascoordenadas de los cuerpos celestes.

Estos fenomenos son los siguientes:

1. Precesion2. Nutacion3. Aberracion4. Movimiento en el espacio5. Paralaje6. Refraccion astronomica7. Defleccion gravitacional de la luz

Pasaremos a dar un rapida exposicion de cada uno de ellos.

10.1 Precesion

Tecnicamente y de forma general el fenomeno de precesion consiste en el movimiento deleje de rotacion de un cuerpo alrededor de un eje fijo, que es originado por la presenciade una fuerza externa (torque). El ejemplo mas sencillo para visualizar la precesion esobservando un trompo en rotacion (figura 10.1). El trompo corriente es un cuerpo que tieneuna acumulacion de masa sobresaliente en su parte superior. Al poner a girar el tromposobre una superficie dura perfectamente horizontal, el eje de rotacion (que tiene la mismadireccion de la pua) no permanece perpendicular al suelo, pues cualquier perturbacion, ola perdida de energıa generada por el rozamiento con la superficie y con el aire, hace que

175

176 CAPITULO 10. CORRECCION A LAS COORDENADAS

el eje forme un angulo de inclinacion con respecto a un eje normal (y fijo) a la superfice.La inclinacion es causada por la atraccion gravitacional terrestre sobre el exceso de masaexistente en la parte superior del trompo, lo cual origina un torque.

EJE NORMAL ALA SUPERFICIE

EJE DE ROTACION

Figura 10.1: Trompo precesando

El efecto resultante es curioso: el eje de rotacion del trompo comienza a girar lentamentealrededor del eje normal a la superficie, esto es, el eje de rotacion describe una circunferenciaen el espacio con un determinado radio. Como sabemos, la friccion causa que el trompotermine perdiendo toda su momentum angular (su velocidad de rotacion se hace cero) conlo que el trompo termina acostandose sobre la superficie horizontal. Obtenemos inmediata-mente el mismo efecto si colocamos un trompo estatico —no rotante— sobre su pua (con sueje de rotacion perpendicular a la superficie), esto es, en una alta configuracion de equilibrioinestable, y lo soltamos.

Ahora bien, el planeta Tierra en su movimiento de rotacion tambien adolece de precesion.Esto se debe a que la Tierra tiene un ligero exceso de masa ubicado alrededor del sectorecuatorial (recuerdese que el radio terrestre es mas grande en el ecuador que en los polos)y el campo gravitacional de cuerpos como la Luna, el Sol y los planetas son los encargadosde generar el torque externo (ver figura 10.2).

Si la Tierra dejara de rotar el efecto de la atraccion gravitacional sobre el exceso demasa harıa que con el tiempo la oblicuidad de la eclıptica pasara de un valor de 23o27′ aun valor cercano a cero, esto es, que el ecuador celeste se alinie con un plano intermedioentre la eclıptica y el plano de la orbita lunar. Pero, el caso real es que no existen fuerzas derozamiento lo suficientemente fuertes como para que se detenga el movimiento de rotacionde la Tierra. El efecto de la precesion sobre el eje de rotacion terrestre es que este describeen el espacio una circunferencia de radio constante alrededor del polo de la eclıptica. Es-to significa que la Tierra responde al torque externo no cambiando su eje de inclinacionsino haciendo rotar el eje muy lentamente alrededor de la normal al plano de la eclıptica. Elmovimiento de precesion para nuestro planeta es muy lento, de unos 50 segundos de arco porano, que equivale a una rotacion completa al cabo de unos 25 800 anos. Astronomicamente

10.1. PRECESION 177

PNC

ECLIPTICATIERRA

LUNA

5o

Π

ORBITA DE LA LUNA

SOL

ε

Figura 10.2: Precesion del eje de rotacion terrestre

¿cual es el efecto? Uno que se aprecia inmediatamente es que el polo norte celeste no estafijo con respecto a la boveda celeste: se mueve lentamente realizando una vuelta completaalrededor del polo eclıptico cada 25 800 anos. Conociendo que el cırculo que describe el PNCalrededor de Π (el polo eclıptico) tiene un radio constante de 23o27′ podemos conocer cuales la posicion del PNC para cualquier tiempo en el pasado o en el futuro. Actualmente elPNC esta a unos 3/4 de grado (45 minutos) de la estrella Polaris (α Ursae Minor). Unos4600 anos atras el PNC estaba muy cerca de la estrella Thuban (α Draconis). Hace tres milanos, el PNC se habıa desplazado hasta pasar cerca de la estrella Kochab (β Ursae Minor).En el futuro, dentro de diez mil anos, el PNC se ubicara cerca de la estrella Vega (α Lyrae).

Pero el movimiento del polo tiene una consecuencia importante en lo que se refiere a laobservacion de la boveda celeste para un observador ubicado siempre a una latitud deter-minada. Es claro de la figura 10.4 que al desplazarse lentamente el polo celeste alrededordel polo eclıptico, el punto vernal (uno de los dos puntos de de corte de la eclıptica con elecuador celeste) se va desplazando en la misma direccion (y con la misma velocidad). Estoes, los puntos equinocciales se van desplazando a lo largo de la eclıptica con una velocidaddel orden de 50′′ de arco por ano. El punto vernal atraviesa las trece constelaciones por lasque pasa la eclıptica en un termino de 25 800 anos. Esto explica porque el fenomeno es cono-cido tambien como precesion de los equinoccios. Tambien explica porque el punto vernal esllamado “punto de Aries”. Actualmente, el punto vernal esta ubicado en la constelacion dePiscis. Pero hace 2500 anos, en la epoca en que se consolido la astrologıa griega, el puntovernal estaba ubicado en la constelacion de Aries. El nombre ha perdurado hasta nuestraepoca pero se ha de estar atento para evitar confusiones. Dentro de unos 600 anos el puntovernal dejara de estar en Piscis para entrar a la constelacion de Acuario (teniendo en cuentala actual definicion de las fronteras entre las constelaciones). Pero este desplazamiento delos puntos equinocciales es el responsable de que dentro de 12 000 anos, cuando el PNC seencuentre en algun punto entre las constelaciones de Hercules y la Lira, constelaciones queactualmente estan en el hemisferio norte celeste, tales como Aries, Tauro, Geminis, Cancer,Leo y el Can Menor, se ubiquen en el hemisferio sur celeste. De igual forma, constelacionescomo El Cuervo, Libra, Escorpion, Sagitario, Capricornio y Acuario (ahora ubicadas en elhemisferio sur celeste) se encontraran, para ese perıodo de tiempo, en el hemisferio norte.


.

..

. ...

. . ..

.

..

..

.. . ... . . . .

.

.

βγ

α λ

χ

γ

β

δ

χζ

.α

βγ

LIRA

CISNE

CEFEO

DRAGON

α 200014000

10000

8000

4000

−4000

OSAMENOR

-6000

Figura 10.3: Movimiento del PNC en varios miles de anos

Un observador para una latitud fija de, digamos, unos 40o norte observara, suponiendo quepueda vivir centenares e incluso miles de anos, que, con el transcurso de lo siglos, estre-llas que eran facilmente visibles para el pasaran a ser imposibles de observar (insistimos,para una latitud fija); y a la inversa, apareceran “nuevas” estrellas sobre su horizonte, queanteriormente eran imposibles de observar. Tal parece que fue de esta manera como el as-tronomo Hiparco de Nicea descubrio el fenomeno de precesion alrededor del ano 150 A.C.,comparando sus observaciones de estrellas con las de astronomos babilonios realizadas unos1000 a 2000 anos antes. Hiparco evaluo el corrimento del punto vernal en una magnitud de36 segundos de arco por ano.

Se suele denominar a la contribucion de los torques producidos por el Sol y la Luna como“precesion lunisolar”. La contribucion de los planetas se llama “precesion planetaria”. Lasuma de la precesion lunisolar y planetaria es llamada “precesion general”.

La precesion hace desplazar lentamente el punto vernal a lo largo de la eclıptica y, puestoque es desde este punto que comienza a contarse la ascension recta, se deduce que las coor-denadas ecuatoriales de cualquier astro iran cambiando con el tiempo. Ello quiere decir quelas coordenadas de las estrellas deben ir acompanadas por el instante de tiempo que indiquecon respecto a que equinoccio se esta haciendo referencia (ver figura 10.5).

Un estudio riguroso de la precesion (y la nutacion) requiere el manejo de perturbaciones

10.1. PRECESION 179

P1

2

Π

Π´

εP

2

ECLIPTICA

ECUADOR CELESTE1

Figura 10.4: Desplazamiento del punto vernal a traves de la eclıptica

en mecanica celeste. Una descripcion relativamente tecnica del procedimiento puede encon-trarse en Smart (1960), Plummer (1960) y Chandrasekhar (1995). Aun mas descriptivo esel calculo del movimiento del punto vernal expuesto en Kaula (1968).

El fenomeno de precesion obliga a que se establezca una fecha arbitraria y fija que seusa como un datum de referencia a la cual se le denomina “epoca”. Las coordenadas de lasestrellas se especifican con respecto a dicha epoca. La epoca puede ser el inicio de un ano oel comienzo (o mitad) del siglo, etc. Una “epoca estandar” especifica el sistema de referenciaal cual se refieren las coordenadas de las estrellas. Desde el ano 1984 la epoca estandar uti-lizada se designa como J2000.0, donde la J significa ano Juliano1. Cuando se escribe J2000lo que se quiere decir es el instante 1 de enero a las 12 meridiano hora de Greenwich delano 2000. Antes de 1984 la epoca estandar utilizada se designaba como B1950.0, donde laB significa ano Beseliano2.

Para calcular el efecto de la precesion sobre las coordenadas α y δ se pueden utilizarvarios metodos alternativos de los cuales existen unos mas exactos que otros. Formulasrigurosas para la determinacion de la precesion pueden consultarse en Simon et al., 1994.

1El ano Juliano es un perıodo de tiempo conformado exactamente por 365.25 dıas.2El ano Beseliano es un perıodo de tiempo que completa una revolucion en ascension recta del Sol medio

tal y como fue definido por Simon Newcomb.


Damos a continuacion las formulas que permiten reducir las coordenadas ecuatorialesabsolutas al equinoccio medio y ecuador medio de una fecha t.

Llamaremos: (α0, δ0) las coordenadas de un astro referido a la epoca fundamental(J2000.0); (α, δ) las coordenadas de un astro referido al equinoccio y ecuador medio deuna fecha t.

Las formulas son:

M = 1.2812323T + 3.879× 10−4T 2 + 1.101× 10−5T 3, (10.1)N = 0.5567530T − 1.185× 10−4T 2 − 1.16× 10−5T 3, (10.2)

donde T es la variable definida por la ecuacion (7.17).

Paso del J2000.0 a la fecha (t)

El calculo se hace con ayuda de las siguientes expresiones:

α = α0 +M +N senαm tan δm, (10.3)δ = δ0 +N cosαm, (10.4)

donde (αm, δm) llamados valores medios se utilizan como cantidades auxiliares:

αm = α0 +12

(M +N senα0 tan δ0), (10.5)

δm = δ0 +12N cosαm. (10.6)

Paso de la fecha (t) al J2000.0

Las ecuaciones son ahora:

α0 = α−M −N sen αm tan δm, (10.7)δ0 = δ −N cosαm, (10.8)

donde:

αm = α− 12

(M +N senα tan δ), (10.9)

δm = δ − 12N cosαm. (10.10)

Ejemplo 1

La ascension recta y declinacion de la estrella Canopus para el instante J2000.0 son:α0 = 6h23m57.119s y δ0 = −52o41′44.5′′. Calcular los valores correspondientes de α y δcorregidos por precesion el dıa 8 de mayo del ano 2010.

10.2. NUTACION 181

α

ECLIPTICA

ECUADOR MEDIO EN t

ECUADOR MEDIO EN to

δ

δ0

α 00

1

*

Figura 10.5: Coordenadas ecuatoriales en la epoca de referencia y en la fecha t

Solucion

Este es el caso de pasar de la epoca del catalogo (J2000.0) al equinoccio medio de unafecha dada.

Calculamos la fecha juliana del dıa en cuestion (8 de mayo de 2000): FJ=2 455 324.5.Luego determinamos el valor de T = 0.103477071. Con ello reemplazamos en las ecuaciones(10.1) y (10.2) para el calculo de M y N :

M = 0.1325823312, N = 0.057609889.

Luego calculamos los valores de αm y δm dados por las ecuaciones (10.5) y (10.6), conla precaucion de haber pasado la ascension recta a unidades de grados antes de proceder areemplazar:

αm = 96.01668728, δm = −52.69871372.

Estos valores son reemplazados en las ecuaciones (10.3) y (10.4) para hallar las coorde-nadas ecuatoriales referidas al equinoccio medio del 8 de mayo del 2010:

α = 96o2′43.35′′ = 6h24m10.89s, δ = −52o42′6.24′′.

10.2 Nutacion

La nutacion es un pequeno efecto que se origina tambien del torque generado por la atra-ccion gravitacional del Sol, la Luna y los planetas sobre la figura dinamica de la Tierra. Laprincipal contribucion de la nutacion proviene de la Luna. Desde el punto de vista practicoy matematico la precesion y la nutacion surgen como un mismo fenomeno en el estudio de lateorıa de la rotacion de la Tierra perturbada gravitacionalmente por la Luna y el Sol (y en


algunos casos muy rigurosos, de los planetas). Los terminos que dan cuenta de la evolucionde las variables (por ejemplo longitud eclıptica y oblicuidad) que son seculares en el tiempose denominan conjuntamente precesion. Los terminos periodicos se llaman conjuntamentenutacion.

El fenomeno de nutacion fue descubierto por el astronomo ingles James Bradley. Este as-tronomo habıa notado, ya para el ano 1727, que las declinaciones de ciertas estrellas parecıanmostrar un movimiento sutilmente erratico. Cinco anos despues encontro la explicacion: eleje de la Tierra estaba dotado de un movimiento de cabeceo originado por la atraccion dela Luna sobre el ligero exceso de masa que la Tierra posee en el ecuador. El cabeceo deleje terrestre origina un desplazamiento aparente de las estrellas de tal forma que parecendescribir elipses minusculas alrededor de sus posiciones “promedio” o medias.

La nutacion, como se entiende hoy, es la combinacion de numerosas oscilaciones de cortoperıodo del eje de rotacion terrestre cuyo efecto es cambiar muy ligeramente la posiciondel polo norte celeste y por consiguiente del punto vernal tanto en la direccion de longitudeclıptica como en la latitud eclıptica. El termino mas conocido y de mayor amplitud (el quedescubrio Bradley) es aquel que esta ıntimamente ligado con la longitud de los nodos de laorbita lunar. La lınea de los nodos lunar, en su orbita en torno a la Tierra, describe unarevolucion completa en unos 6800 dıas (18.6 anos). El efecto de nutacion es el responsablede que el PNC verdadero difiera del PNC medio (el que describe la precesion) tanto enlongitud como en latitud eclıptica. Para el termino principal de la nutacion, la amplitud dela longitud es de 17.2 segundos y la amplitud en latitud de 9.2 segundos.

ΠPNC (MEDIO)

PNC (VERDADERO)

Figura 10.6: Polo norte celeste medio y el polo norte celeste verdadero

Las componentes que conforman en su totalidad el fenomeno de la nutacion (teniendo encuenta la contribucion de la Luna y el Sol solamente) son del orden, en las teorıas actuales,de unos ciento cincuenta terminos periodicos (ver Kinoshita, 1975).

NOTA: Cuando se especifica el equinoccio para una fecha dada, al referir la posicion

10.2. NUTACION 183

de un astro con respecto al punto vernal (y por lo tanto del ecuador celeste) en un instantedado solo teniendo en cuenta la precesion se esta hablando del equinoccio medio. Cuandoal equinoccio medio se le han hecho las correcciones pequenas de la nutacion entonces, alequinoccio que resulta, se le denomina equinoccio verdadero.

Si el usuario no necesita demasiada precision para hallar la correccion por nutacion (di-gamos del orden de 1 segundo de arco) es posible utilizar las siguientes formulas aproximadasque tienen la ventaja de evitar calculos muy largos (recuerdese la secuencia de 150 terminosalgebraicos) que sı son necesarios cuando se buscan precisiones del orden de la milesima desegundo de arco.

Se comienza por calcular la contribucion por longitud ∆ψ y la contribucion por oblicuidad∆ε:

∆ψ = −17.2′′ sen Ω ++ 0.2′′ sen 2Ω−− 1.3′′ sen (2Ω + 2F − 2D) + (10.11)− 0.2′′ sen (2Ω + 2F ),

∆ε = 9.2′′ cos Ω−− 0.1′′ cos Ω ++ 0.6′′ cos(2Ω + 2F − 2D) + (10.12)+ 0.1′′ cos(2Ω + 2F ),

donde: Ω es la longitud media del nodo ascendente de la orbita lunar sobre la eclıpticamedida desde el equinoccio medio de la fecha; D es la longitud media de la Luna menosla longitud media del Sol y F es la longitud media de la Luna menos la longitud mediadel nodo lunar. Estos angulos cambian notablemente con el tiempo y sus correspondientesvalores son:

Ω = 125.04− 1934.13T,D = 297.85 + 445267.11T, (10.13)F = 93.27 + 483202.0175T,

donde T es la variable tiempo definida en la ecuacion (7.17). Las coordenadas ecuatorialesverdaderas αv y δv (con respecto al equinoccio verdadero de la fecha t) son calculadas enprimera aproximacion a partir de las coordenadas ecuatoriales α y δ referidas al equinocciomedio de la fecha (esto es, solo corregidas por precesion) mediante:

αv = α+ ∆α,δv = δ + ∆δ, (10.14)

donde:

∆α = (cos ε+ sen ε senα tan δ)∆ψ − cosα tan δ∆ε,∆δ = sen ε cosα∆ψ + senα∆ε, (10.15)


siendo ε la oblicuidad media de la eclıptica dada por:

ε = 2326′21.4′′ − 46.81′′T. (10.16)

El valor verdadero de la oblicuidad en la fecha t se calcula con:

εv = ε+ ∆ε. (10.17)

Ejemplo 1

En el ejemplo 1 de la pag. 180 corregir las coordenadas de la estrella Canopus pornutacion, esto es, pasar del equinoccio medio de la fecha al equinoccio verdadero de la fecha.

Solucion

En el ejemplo 1 de la pag. 180 se paso de coordenadas dadas por el catalogo al equinocciomedio de la fecha (8 de mayo de 2010). Comenzamos calculando los valores Ω, D y F dadosen la ecuaciones (10.13):

Ω = −75.098 = 284.902,D = 46372.79 = 292.79,F = 50093.62 = 53.62,

en donde se ha tenido la precaucion de pasar todos los angulos a la primera circunferencia.Estos valores se reemplazan en las ecuaciones (10.11) y (10.12):

∆ψ = 0.004266, ∆ε = 0.000666.

Ası mismo, calculamos el valor de la oblicuidad media de la eclıptica por intermedio de(10.16):

ε = 23o26′16.56′′.

Con estos valores procedemos a calcular ∆α y ∆δ dados por (10.15):

∆α = 0.001607, ∆δ = 0.000484.

Finalmente calculamos los valores de α y δ para el equinoccio verdadero de la fecha conayuda de (10.14):

α = 6h24m11.28s, δ = −52o42′4.5′′.

10.3. ABERRACION 185

10.3 Aberracion

La aberracion es el desplazamiento angular aparente de la posicion de un cuerpo celestede su posicion geometrica que es originada o bien por el movimiento del observador (o delobjeto observado), o por la velocidad finita de la luz, o la combinacion de ambos efectos.

La luz, o mas exactamente, la radiacion electromagnetica, se desplaza en el vacıo a unavelocidad de casi 300 000 km/s (299 792.458 km/s, para ser exactos). Aunque se trate deuna velocidad muy grande las enormes distancias que existen entre los cuerpos celestes sonde tal magnitud que la luz de los planetas tardan minutos e incluso horas en atravesar lasdistancias entre ellos y nosotros. Las estrellas cercanas estan situadas a distancias aun masgrandes; su luz tarda decenas y hasta centenas de anos en llegar a la Tierra. Ahora bien, losobservadores en la superficie de la Tierra no estan estaticos con respecto a la luz que estallegando del universo. Esta el movimiento de traslacion alrededor del Sol que hace que laTierra se desplace a una velocidad promedio de unos 30 km/s. Ademas, esta el movimientode rotacion alrededor de su eje.

En la practica existen varias definiciones de aberracion dependiendo de la clase demovimiento del observador y de la clase de objetos que se estan observando.

10.3.1 Aberracion estelar

La aberracion estelar es el desplazamiento angular aparente de la posicion observada de uncuerpo celeste que resulta del movimiento del observador.

La aberracion estelar anual (ver mas adelante) fue explicada correctamente por el as-tronomo James Bradley, quien, como se recordara, descubrio tambien la nutacion. Desde lostiempos de John Flamsteed se habıa observado que las estrellas mostraban un desplazamien-to alrededor de sus posiciones medias que sin lugar a dudas dependıa del desplazamientode la Tierra alrededor del Sol, esto es, mostraban un ciclo anual, el cual Flamsteed al igualque Robert Hooke atribuyeron al paralaje anual. Sin embargo, el astronomo italiano JeanDominique Cassini habıa demostrado que dichos desplazamientos no se podıan atribuir alparalaje anual pues lo que se observaba era que las estrellas se desplazaban de sus posicionesmedias en la misma direccion en que se movıa la Tierra, lo cual es justo lo opuesto si elfenomeno es originado por paralaje anual. Ası estaban las cosas, sin una explicacion logica,cuando Bradley abordo el problema en 1725. Inicialmente estaba interesado en poder medirla paralaje de una estrella. Por ello concentro sus esfuerzos en una estrella relativamentebrillante (¿cercana a la Tierra?) llamada γ Draconis la cual posee una declinacion de 51o,casi identica a la latitud de Londres (donde hacıa sus observaciones astronomicas) signifi-cando que dicha estrella pasa muy cerca del cenit de Londres reduciendo con ello el efecto dela refraccion. Bien pronto pudo constatar que, en efecto, γ Draconis mostraba una variacionanual en su declinacion pero Cassini tenıa razon: no podıa ser atribuida a paralaje. Des-pues extendio sus observaciones a otras estrellas observando tambien el mismo fenomeno.El misterio para Bradley se acentuaba.

Se afirma que Bradley encontro la explicacion correcta del fenomeno cuando navegaba


Figura 10.7: James Bradley (1693-1762)

por el rıo Tamesis en un viaje de recreo. Al observar la bandera del mastil llamo su aten-cion el hecho de que la direccion en que ondeaba la bandera en el viento se corrıa con cadaocasion que el bote cambiaba de curso. Habiendo comentado a los navegantes que era cu-rioso que el viento cambiase justo en el momento en que el barco modificaba su curso, ellosle replicaron que de ningun modo habıa cambio en la direccion del viento y que el movimien-to aparente de la bandera era debido simplemente al cambio de direccion del movimientodel barco. Bradley entendio entonces que la direccion de la bandera, en cada instante detiempo, estaba determinada por la combinacion de la velocidad del viento y la velocidaddel bote y cayo en cuenta que esto era lo que pasaba con la direccion aparente de las estrellas.

Lo que Bradley habıa observado como un corrimiento de las estrellas en la misma di-reccion en que se desplaza la Tierra alrededor del Sol era debido a la combinacion de dosefectos: el movimiento de traslacion de la Tierra y la velocidad finita de la luz (de la quetenıa un valor aproximado debido al trabajo del astronomo danes Olaus Romer quien en1676 midio la velocidad de la luz merced a las variaciones en los tiempos de las ocultacionesde los satelites de Jupiter). Bradley presento su descubrimiento a la Royal Society en 1729.El anuncio fue importante por varias razones: no solo explicaba el misterio del cambio dela posicion aparente de las estrellas sino que por primera vez en la historia de la ciencia sedisponıa de una demostracion real y concluyente de que la Tierra giraba alrededor del Sol.Ademas Bradley, con sus finas observaciones, concluıa que el paralaje anual de las estrellas,de haberlo, serıa muy pequeno, inferior al segundo de arco, con lo que los astronomos sedaban una idea de lo realmente enorme que eran las distancias existentes entre ellas y el Sol.Finalmente, con la medicion de los desplazamientos de las estrellas de sus posiciones medias,


Bradley pudo realizar un nuevo estimativo de velocidad de la luz (ver mas adelante) y cal-culo que era de unos 301 000 km, un error de 0.3 % con respecto al valor aceptado hoy en dıa.

La aberracion estelar se aplica, como su nombre indica, a estrellas y en general a objetosubicados a distancias estelares y extragalacticas. El efecto notable de que la luz haya tardadocentenares, miles, e incluso millones de anos en llegar hasta nosotros (las posiciones realesde esos objetos deben ser distintas de las que observamos ahora) no es tenido en cuentaen la aberracion estelar, ni en ninguno de los tipos de aberracion salvo el de la aberracionplanetaria.

La aberracion estelar esta conformada por tres componentes: secular, anual y diurna.

Aberracion secular

Aquella componente de la aberracion estelar que resulta del movimiento uniforme y rectilıneodel sistema solar con respecto al vecindario estelar. Por lo general esta contribucion esconsiderada despreciable y no se tiene en cuenta en las correcciones.

Aberracion anual

Esta es la aberracion “clasica” y de la que tratan extensivamente la gran mayorıa de los librosde astronomıa. Es aquella componente de la aberracion estelar que resulta del movimientode la Tierra alrededor del Sol. Dicho de una manera practica: la direccion aparente de unastro es distinta si se observa desde el Sol que si se observa desde un objeto alrededor de eldotado de cierta velocidad v en torno a el.

Observemos la figura 10.8. La Tierra gira en una orbita aproximadamente elıptica alrede-dor del Sol. Al estar observando una estrella E desde el Sol la direccion geometrica de lamisma esta dada por el vector velocidad ~p. Pero un observador en la Tierra T, a causa de lavelocidad ~v alrededor del Sol, observara a la estrella E en la direccion del vector velocidad~p1, esto es, en el punto E′.

Sea ~c el vector velocidad de la luz que tiene una direccion y magnitud opuesta a la delvector ~p. Vectorialmente se deduce la siguiente suma de velocidades:

~p1 = ~p+ ~v,

puesto que de esta ultima se deduce que: ~p1 = −~c+~v, un vector unitario (p1) en la direccionde ~p1 esta dado por:

p1 =~v − ~c|~v − ~c| .

Ahora bien, ~c = cc, entonces c = −p. Por lo tanto, al dividir por c en el numerador comoen el denominador de la ultima ecuacion obtenemos:

p1 =~vc + p

|~vc + p|, (10.18)


T

** POSICIONGEOMETRICA

POSICIONAPARENTE

p

v

SOL

c

EE’

p1

θ

∆θ

Figura 10.8: Aberracion anual

o, puesto que el vector p es unitario:

p1 =~vc + p√

1 + 2vc + ( vc )2. (10.19)

Llamando ∆θ a la diferencia entre la direccion geometrica y aparente de la estrella yθ al angulo entre el vector velocidad de la Tierra y la posicion geometrica de la estrella,entonces, al multiplicar por p× a ambos lados y puesto que |p× p1| = sen ∆θ, |p× p| = 0,|p× ~v| = v sen θ, se tiene:

sen ∆θ =vc sen θ√

1 + 2vc + ( vc )2,

y, como v/c es pequeno (la velocidad de la Tierra alrededor del Sol es diez mil veces maspequena que la velocidad de la luz) podemos expandir en serie de Taylor el termino deldenominador, con lo que:

sen ∆θ =v

csen θ − 1

2

(vc

)2

sen 2θ + · · · .

Es claro que el orden de la desviacion existente entre la direccion geometrica y aparente,esto es, la magnitud del fenomeno de aberracion, tiene un valor maximo de 29.8/299 792.46 =0.0000994 radianes, lo que significa que en unidades de grados (al multiplicar por 180/π)es de 0.00569 grados = 20.5”. Este valor es conocido como constante de aberracion. El


desplazamiento aparente de la estrella ocurre en la misma direccion en que se mueve la Tie-rra, por lo que una estrella observada a traves del ano describe una elipse aparente en el cielo.

Al aparecer la teorıa especial de la relatividad fue necesario modificar ligeramente laecuacion (10.18), pues ella exige que la velocidad de la luz sea la misma en marcos dereferencia tanto estacionarios como en movimiento uniforme y obliga a utilizar las formulasde Lorentz. La correccion que se introduce aquı es tan pequena que solo en casos de calculode rigurosa precision (milesima del segundo de arco) es necesario utilizarla.

Aberracion diurna

La aberracion diurna es aquella componente de la aberracion estelar que resulta del movimien-to diurno del observador alrededor del centro de la Tierra (ver figura 10.9). En otras palabras,un observador, por estar ubicado en la superficie de la Tierra, posee cierta velocidad conrespecto al centro de la Tierra, y ello origina un pequenısimo desplazamiento de la posicionaparente ya corregida por aberracion anual.

* * POSICIONGEOMETRICA

POSICIONAPARENTE

TIERRA EN ROTACION

.PNT

Figura 10.9: Aberracion diurna

El tratamiento para hallar la magnitud de esta clase de aberracion es analogo al rea-lizado para la aberracion anual. Pero aquı hay que tener en cuenta que la velocidad de unobservador sobre la superficie de un planeta depende de su latitud geocentrica. La velocidades maxima en el ecuador del planeta y nula cuando el observador esta ubicado en sus polos.


En otros terminos, la velocidad de un observador, vo a una latitud geocentrica φ′ es:

vo = ve cosφ′,

donde ve es la velocidad de un observador situado en el ecuador terrestre. La magnitudve/c es hallada facilmente. Si la circunferencia terrestre es del orden de 40 040 km y estadistancia se cubre en 86 164 segundos es claro que la velocidad para un observador a latitudcero es: 0.46 km/s. Ello quiere decir que la magnitud de la aberracion es, en radianes, de1.56×10−6, o del orden de 0.32”. Por supuesto que en calculos de gran precision es necesariotener en cuenta esta contribucion.

10.3.2 Aberracion planetaria

La aberracion planetaria es llamada ası debido a que se aplica a los miembros del sistemasolar. Es debida al desplazamiento de los cuerpos celestes junto con el tiempo que le tomaa la luz que reflejan (o emiten el el caso del Sol) estos objetos en llegar hasta la Tierra.

(t)

P’(t- τ)LUZ QUE SALE DEL PLANETA EN EL TIEMPO t

LUZ QUE LLEGA A LA TIERRAEN EL TIEMPO t

LUZ QUE SALE DE P´EN EL TIEMPO

T(t)

cτ

Pτ

Figura 10.10: Aberracion

Sea un objeto P en orbita alrededor del Sol en un tiempo t (ver figura 10.10). Para elmismo instante t la Tierra se ubica en el punto T. Pero, debido a la finitud de la velocidadde la luz, en el tiempo t se esta recibiendo, en la Tierra, la luz del cuerpo P cuando este seencontraba en la posicion P’, en un tiempo t−τ , donde τ es el tiempo-luz, esto es, el tiempoque tarda la luz en ir desde P’ hasta T. Luego, aunque en el instante de tiempo t el cuerpode interes se encuentre localizado en P, lo que ve el observador en T no es el cuerpo ubicadoen P (a menos que la velocidad de la luz fuera infinita) sino la luz que emitio el cuerpocuando se ubicaba en el punto P’. Este efecto es necesario tenerlo en cuenta cuando se estacalculando con precision la posicion de un planeta, cometa o asteroide en el cielo. Comose vera en la seccion 13.2, la distancia de un cuerpo celeste a la Tierra puede calcularseresolviendo las ecuaciones diferenciales que se estudian en la mecanica celeste. Para corregirpor este efecto en muy buena aproximacion se determina el tiempo que tarda la luz en cubrirla distancia que separa T de P. Ello exige primero conocer la distancia TP y dividir por la

10.4. MOVIMIENTO EN EL ESPACIO 191

velocidad de la luz para hallar el tiempo. Luego se repite el calculo de la posicion del objetopero para el tiempo t − τ . Esta es tan solo una primera aproximacion. En algunos casos,donde es necesario una alta precision, se requiere un calculo iterativo.

10.4 Movimiento en el espacio

Como hemos dicho anteriormente, las estrellas se van desplazando en el espacio. NuestroSol, como es obvio, tambien lo hace. Es claro que con el tiempo las estrellas iran cambiandode posicion las unas con respecto a las otras. Sin embargo, este movimiento es tan lentoque, comparado con el tiempo de vida de una persona, es muy poco perceptible por lo queresulta apreciable solo a escalas grandes de tiempo.

El movimiento en el espacio de una estrella se puede dividir en dos movimientos: elmovimiento propio denotado por µ, y la velocidad radial, denotada por vr, (ver figura 10.12).

Figura 10.11: Edmond Halley (1656-1742)

El primero en reportar movimientos propios de estrellas fue el celebre astronomo in-gles Edmond Halley en 1718. Halley habıa medido las posiciones de varias estrellas y lashabıa comparado con las posiciones del catalogo de Ptolomeo (siglo II A.D.) encontrandoimportantes diferencias. Concluyo que ni la precesion ni los errores de observacion eransuficientes como para explicar la diferencia. Entre las estrellas a las que se les habıa detec-tado movimiento propio estaban Sirius, Aldebaran y Arcturus. Veinte anos despues Cassiniconfirmo las observaciones de Halley. Ya para 1760 Tobias Mayer reportaba el movimiento


propio de 80 estrellas. Dos decadas despues William Herschel calculaba correctamente ladireccion en que se movıa el sistema solar con respecto a las estrellas cercanas, esto es, elapex solar.

BOVEDA

*ESTRELLAVr

Vt t)

µα

µδ

µ(V

TIERRA

CELESTE

Figura 10.12: Movimiento en el espacio

El movimiento propio es aquel que ocurre perpendicularmente en la lınea de vision delobservador, por lo que da cuenta de la velocidad tangencial (vt) de la estrella. Se sueleexpresar en componentes de la ascension recta (µα cos δ) y de la declinacion (µδ). Es nece-sario multiplicar por cos δ la componente del movimiento propio en ascension recta con elfin de corregir la escala de esta y ası obtener la verdadera distancia angular pues los cırculoshorarios (por donde se va midiendo la ascension recta) se van aproximando a medida quela declinacion aumenta y eventualmente se encuentran en los polos. Las estrellas del vecin-dario solar se mueven aparentemente a velocidades tangenciales del orden de unos 0.5 a 4segundos de arco por ano, aunque hay estrellas que pueden barrer 7 y hasta 9 segundos dearco anuales. El record lo tiene la estrella de Barnard, una pequena estrella, solo visible portelescopio, que alcanza la sorprendente cifra de 10.3 segundos de arco anuales. Ello significaque puede barrer el diametro aparente de la luna llena (30 minutos de arco) en unos 175anos. Para determinar estas velocidades es necesario realizar fotografıas de una misma re-gion del cielo y compararlas con una realizada 40 y hasta 80 anos antes. Con ello es posibledeterminar el desplazamiento angular de las estrellas que aparecen en dicha placa fotografica.

El movimiento propio µ a partir de sus componentes es:

µ =√

(µα cos δ)2 + µ2δ .

Se ha de tener mucho cuidado al consultar los catalogos pues algunos tienen los movimien-

10.5. PARALAJE 193

tos propios en segundos de arco por siglo, y otros lo tienen en segundos de arco por ano.

Mientras que para cuantificar el movimiento propio de una estrella se tiene que esperarvarias decenas de anos, la velocidad radial se puede obtener a partir de la simple observacioncontando con un espectrometro. Con el espectro de una estrella es posible medir el denomi-nado efecto Doppler, el cual consiste en el cambio de la longitud de onda (o frecuencia)debido a la velocidad radial (que puede ser de acercamiento o alejamiento) de la fuente deluz, i.e., la estrella.

10.5 Paralaje

Se llama paralaje a la diferencia en la direccion aparente de un objeto cuando es visto desdedos lugares diferentes. La magnitud del corrimiento observado depende de la distancia: amenor distancia del objeto mayor corrimiento y viceversa. Por lo tanto, sabiendo la magni-tud del desplazamiento de la posicion del objeto con respecto a los objetos del fondo estelary sabiendo la distancia entre los puntos desde donde se realizan las observaciones, es posible,por simple trigonometrıa, conocer la distancia al cuerpo observado.

Existen varios tipos de paralaje bien definidos en astronomıa: el paralaje diurno y elparalaje anual.

10.5.1 Paralaje diurno

El paralaje diurno es el cambio de direccion aparente de un cuerpo celeste visto desde dospuntos distintos del planeta Tierra (ver figura 10.13). El paralaje diurno es perceptiblecuando la distancia entre el astro y la Tierra no puede considerarse excesivamente grandecomparada con el radio de la Tierra.

Es necesario corregir por paralaje diurno las coordenadas de los cuerpos cercanos a laTierra como el Sol, la Luna y los planetas. Puesto que las estrellas, aun las mas cercanasa la Tierra, estan a distancias miles de veces mas lejanas que la distancia existente entre elplaneta Pluton y la Tierra, el paralaje diurno es practicamente nulo para estrellas.

Por lo general las coodenadas de los cuerpos que integran el sistema solar dadas en losalmanaques astronomicos y nauticos estan referidas a un observador hipotetico ubicado enel centro de la Tierra por lo que se dice que son geocentricas. Para observaciones de altaprecision es necesario ubicar la posicion del observador en la superficie de la Tierra. Ellorequiere entonces establecer, para el instante de la observacion, el vector posicion del obser-vador en la superficie terrestre (ver seccion 13.3, pag. 276).

Un tipo especial de paralaje diurno es el denominado paralaje horizontal. Este se definecomo el cambio de direccion que existe de un cuerpo celeste cuando uno de los observadorestiene el astro en el cenit y el otro observador lo tiene en su horizonte (ver figura 10.14). Otramanera mas apropiada de definir el paralaje horizontal es como aquel angulo, medido en elastro, que subtiende el ecuador terrestre de la Tierra. La Luna es el cuerpo natural que mas


**

ASTROPNT

ET

TIERRA

ECUADOR CELESTE

BOVEDA CELESTE

*

**

*

*

*

* *

*

*

*

*

*

Figura 10.13: Paralaje diurno

registra paralaje horizontal, del orden de los 57 minutos de arco. El del Sol llega a ser delorden de los 8.7 segundos de arco.

TIERRA

P.H.

dRASTRO

OBSERVADOR CON ELASTRO EN EL CENIT

OBSERVADOR CON ELASTRO EN EL HORIZONTE

Figura 10.14: Paralaje horizontal

De la figura 10.14 es claro que:

sen P.H. =R

d, (10.20)

donde R es el radio ecuatorial de la Tierra y d es la distancia Tierra-astro.

En muchos almanaques astronomicos la distancia de los cuerpos celestes del sistema solarse da en paralaje horizontal.

10.5. PARALAJE 195

Ejemplo 1

En un instante dado la Luna esta situada a 385 699.65 km de distancia del centro de laTierra. Determinar su paralaje horizontal.

Solucion

Lo usual es colocar las distancias en terminos del radio terrestre (1 R.T. = 6378.14 km),de tal forma que en (10.20) R = 1. Entonces:

d = 385 699.65/6378.14 = 60.4721 R.T.

Este valor se reemplaza en la ecuacion (10.20):

P.H. = sen−1 160.4721

= 0.9475178 = 0o56′51′′.

Ejemplo 2

El paralaje horizontal del Sol en una fecha dada es 8.67′′. Determinar su distancia a laTierra.

Solucion

Al despejar d de la ecuacion (10.20) encontramos la distancia en terminos de radiosterrestres:

d =1

sen 0o0′8.67′′= 23 790.63 R.T.

En unidades astronomicas la distancia es igual a:

d =23 790.63× 6378.14

149 597 870= 1.014 u.a.

10.5.2 Paralaje anual

El paralaje anual es el cambio de direccion aparente de un cuerpo celeste visto desde dospuntos distintos de la orbita que realiza la Tierra en torno al Sol (ver figura 10.16). Elparalaje anual es perceptible cuando la distancia entre el astro y el sistema solar no puedeconsiderarse excesivamente grande comparada con la distancia que hay entre la Tierra y elSol.

El paralaje anual fue extensivamente buscado por los astronomos como medio de hallarlas distancias entre las estrellas y el Sol y sobre todo como prueba irrefutable del movimientode la Tierra en torno del Sol. Ya habıamos comentado que Flamsteed, Hooke, Halley, Cassi-ni y Bradley realizaron en su momento observaciones y mediciones muy detalladas y en su


Figura 10.15: Friedrich Bessel (1784-1848)

busqueda terminaron por hallar otros fenomenos. Quien primero tuvo exito en reportar convalidez el paralaje anual de una estrella fue el astronomo aleman Friedrich Bessel en 1838.Para aquel entonces era claro que algunas estrellas debiles mostraban movimientos propiosapreciables, indicando que estrellas poco luminosas no eran siempre garantıa de que estu-vieran muy alejadas del Sol3. Por tal razon Bessel escogio a la estrella 61 Cygni (una estrelladoble con magnitudes visuales aparentes de 5.2 y 6.0 respectivamente), que para la epoca erala estrella que presentaba mayor movimiento propio (5′′/ano). La logica indicaba que si unaestrella mostraba un movimiento propio notable era a causa de su “gran” cercanıa al Sol. Enefecto, a Bessel le tomo 18 meses de observaciones para detectar un paralaje anual de estaestrella del orden de 0.3 segundos de arco. A los pocos meses se anuncio el descubrimien-to de paralaje en Vega debido a Wilhem Struve y de α Centauri debido a Thomas Henderson.

El paralaje anual se aplica a las estrellas. Puesto que las distancias que hay entreellas y nosotros son tan enormes el paralaje anual es muy pequeno, del orden de menosde un segundo de arco. Obtener el paralaje de una estrella constituye un logro de muchaimportancia, pues es la forma mas confiable de conocer la distancia de una estrella a nosotros.De hecho la unica manera de poder afirmar cual de las estrellas es la mas cercana a nuestrosistema solar es medir el paralaje de todas ellas; aquella que presente un mayor paralajeanual es la mas cercana. Hasta ahora, de todas las estrellas a las que se les ha medidoel paralaje, la que tiene el valor mas grande (0.762”) se llama Proxima del Centauro, unapequena estrella solo visible por telescopio. El paralaje anual π se relaciona con la distancia

3Ahora sabemos que de las primeras 50 estrellas mas cercanas al Sol 41 son solo visibles con telescopio.

10.5. PARALAJE 197

* **

*

**

*

**

*

*

BOVEDACELESTE

d

πSOL

TIERRA

*

Figura 10.16: Paralaje anual

por medio de la siguiente ecuacion (ver figura 10.16):

sen π =1d, (10.21)

donde d es la distancia en unidades astronomicas que existe entre la Tierra y la estrella encuestion.

Como las distancias interestelares son muy grandes es impractico expresarlas en unidadesastronomicas. La unidad que se utiliza es el ano-luz, entendida como aquella distancia quecubre la radiacion electromagnetica en un ano.

Puesto que la luz viaja a 300 000 km por segundo y en un ano de 365.25 dıas hay31 557 600 segundos, se deduce que en kilometros un ano-luz es:

300 000× 31 557 600 = 9.46× 1012 km.

De igual forma se deduce que:

1 ano-luz = 63 235 u.a.

El concepto de paralaje anual da lugar a una escala de distancia muy utilizada en as-trofısica. Imaginemos un cuerpo situado a una distancia tal de la Tierra cuyo paralaje anualsea exactamente el de un segundo de arco. Dicha distancia se conoce con el nombre deparsec (de las palabras inglesas “parallax” y “second”). A finales de la decada de los anosochenta la Agencia Espacial Europea coloco en orbita alrededor de la Tierra un satelite denombre “Hipparcos” cuya tarea fue medir con una precision sin precedentes los movimientosestelares de unas 120 000 estrellas. El Hipparcos logro medir paralajes del orden de los 0.001segundos de arco. Esto significa que puede medir con precision razonable las distancias deestrellas ubicadas hasta los 3200 anos luz (1000 parsecs). Es una distancia notable, pero estan solo el 6 por ciento del radio estimado de la Vıa Lactea.


El parsec equivale a:

1sen 0o0′1′′

= 206 265 u.a. = 3.26 anos-luz.

Ejemplo 1

Calcular la distancia (en unidades astronomicas, anos-luz y parsecs) entre el Sol y laestrella Sirius.

Solucion

El paralaje anual de varias estrellas se encuentra en el apendice E, pag. 365. El de Sirius(A o B) es 0.377′′.

Al despejar d de la ecuacion (10.21) encontramos la distancia en terminos de unidadesastronomicas:

d =1

sen 0o0′0.377′′= 547 120 u.a.

En anos luz la distancia es:

547 12063 235

= 8.65 anos-luz,

y en parsecs la distancia es:

8.653.26

= 2.65 parsecs.

10.6 Refraccion astronomica

La refraccion es el fenomeno de cambio de la direccion de un rayo de luz cuando pasaoblicuamente de un medio a otro en los cuales la velocidad de la luz es distinta (ver figura10.17). Cuando la luz que proviene de los cuerpos celestes, y que viene viajando a travesdel vacıo, comienza a penetrar la atmosfera terrestre experimenta ligeros y sucesivos cam-bios de direccion debidos a las propiedades fısicas sutilmente distintas entre las capas de aire.

El grado de cambio de direccion depende de las condiciones atmosfericas a lo largo de lalınea de vision y de la altura del astro en cuestion. Esto lo que significa es que la refracciondepende, no solo de la altura (o distancia cenital) del astro sino tambien de las condicionesde temperatura y presion existentes en el momento de la observacion. Como resultado de larefraccion la altura observada de un cuerpo celeste es mas grande que su altura geometrica.O dicho de otra manera: la refraccion tiende a aumentar la altura real de los astros por loque un observador termina viendo el astro un poco mas alto sobre su horizonte de lo querealmente esta.

10.6. REFRACCION ASTRONOMICA 199

**

R

POSICION GEOMETRICA

ATMOSFERATIERRA

POSICION APARENTE

e

DE LA ESTRELLADE LA ESTRELLA

Figura 10.17: Refracccion astronomica

Para un astro ubicado en el cenit la refraccion es nula. En cambio, la refraccion esmaxima para un astro ubicado en el horizonte. En el horizonte un astro sufre una refraccionde 34 minutos de arco (mayor que el diametro aparente del Sol y la Luna vistos desde laTierra), por lo que en calculos de tiempos de salida y puesta de astros es necesario tener encuenta esa diferencia (ver seccion 8.2.2).

Existen en la literatura diversas ecuaciones propuestas para calcular la magnitud de larefraccion. Tambien existen tablas, que permiten calcularla rapidamente. Un ejemplo deuna de tales tablas se encuentra en el apendice D.

A manera de ejemplo presentamos aquı una formula que permite hallar la refraccion,denotada por Re, en funcion de la altura aparente (u observada) ha (no corregida porrefraccion), la temperatura T en grados centıgrados y la presion P en milibares:

Re =(

0.28PT + 273

)0.0167o

tan(ha + 7.31ha+4.4 )

. (10.22)

La altura geometrica o verdadera hg esta dada entonces por:

hg = ha −Re. (10.23)

Recuerdese que 1 atmosfera = 76 cm de mercurio = 1.013×105 pascales = 1013 milibares.

Ejemplo 1

La altura que se mide de una estrella a nivel del mar (altura aparente) es h = 56o45′30′′.Determinar la altura real (geometrica) de la estrella si en el momento de la observacion latemperatura era de T = 20o C.


Solucion

Primero utilicemos la formula (10.22). Al nivel del mar la presion es de una atmosferapor lo que P = 1013 milibares. Tambien T = 20o. Entonces:

Re =(

0.28× 101320 + 273

)0.0167o

tan(56o45′30′′ + 7.3156o45′30′′+4.4 )

= 0.0105o = 38′′.

Una consulta a la tabla principal del apendice D permite obtener para una altura de 57o

a 20o centıgrados un valor de 37′′, lo que da un error de un segundo con respecto al valoranterior.

Por lo tanto, la altura geometrica correspondiente a la altura en cuestion es, de acuerdocon (10.23):

hg = 56o45′30′′ − 38′′ = 56o44′52′′.

Ejemplo 2

Se hace un calculo para determinar la altura teorica de una estrella para un observadorubicado en Bogota. Dicha altura geometrica en cuestion es 41o27′32′′. Determinar la distan-cia cenital que se observarıa de dicha estrella teniendo en cuenta la refraccion atmosferica sial momento de la observacion la temperatura es de T = 10o C.

Solucion

Necesitamos saber la presion atmosferica de Bogota. Tomando como base la atmosferaestandar norteamericana de 1976 es posible para la troposfera (alturas inferiores a los 11 000metros) expresar la presion de la atmosfera P en terminos de la altura sobre en nivel delmar H mediante la ecuacion (ver Lide, 1991, pag. 14-12):

H = 44331.5− 11880.5P 0.19026,

donde H esta dada en metros y P en milibares.

De esta ecuacion es facil expresar H en terminos de P como:

P = e[ln(44331.5−H)

0.19026 −49.31]. (10.24)

Conocemos el valor de la altura de Bogota sobre el nivel del mar que se halla en elapendice B, (pag. 355) y es: H = 2620 metros. Reemplazando este valor en (10.24) obte-nemos P = 735 milibares.

Utilizando la formula (10.22) tomando ha = hg obtenemos:

Re =(

0.28× 7355 + 273

)0o.0167

tan(41o27′32′′ + 7.3141o27′32′′+4.4 )

= 0.0137o = 49′′.

10.7. DEFLECCION GRAVITACIONAL DE LA LUZ 201

Una consulta a la tabla principal del apendice D permite obtener para una altura de42o30′ a 10o centıgrados un valor de 1o6′′. Multiplicando este valor por el factor de corre-ccion por altura (tabla pequena de la pagina 364) obtenemos: 1′6′′ × 0.73 = 48′′, lo que daun error de un segundo con respecto al valor anterior.

La altura aparente del astro es, de acuerdo con (10.23):

ha = 41o27′32′′ + 49′′ = 41o28′21′′.

La distancia cenital se calcula con ayuda de la formula (5.1), pag. 71: z = 48o31′39′′.

10.7 Defleccion gravitacional de la luz

La defleccion gravitacional de la radiacion electromagnetica es un fenomeno que consiste enel cambio de la direccion de un rayo de luz a causa del campo gravitacional originado por uncuerpo de masa de magnitud considerable (ver figura 10.18). En el caso de la observacionde las estrellas desde la Tierra, el Sol, por ser el objeto de mayor masa, genera un campogravitacional que cambia la trayectoria de un rayo de luz (una lınea recta) y lo curva li-geramente en direccion hacia el Sol. El fenomeno fue predicho por Albert Einstein en 1916en su celebre teorıa de la relatividad general y fue por primera vez medido tres anos mastarde con ocasion de un eclipse de Sol4. Una descripcion completa del fenomeno requiere eldominio del calculo tensorial, lo cual esta mas alla del proposito de esta obra.

Φ

∆Φ* *

TIERRA

SOL

DE LA ESTRELLA

r

POSICION APARENTE DE LA ESTRELLAPOSICION GEOMETRICA

Figura 10.18: Defleccion gravitacional de la luz

4Utilizando la teorıa newtoniana es posible mostrar que los rayos de luz tambien son curvados por unagran masa. En particular, el valor que se calcula de la desviacion de un rayo de luz proveniente de un astroque pasa por todo el borde del Sol es exactamente la mitad del valor predicho por la teorıa de la relatividadgeneral.


La magnitud ∆Φ de la defleccion gravitacional puede calcularse con la siguiente formula5:

∆Φ =2GM⊙c2r

√1 + cos Φ1− cos Φ

, (10.25)

donde G es la constante de Cavendish, M⊙ la masa del Sol, c la velocidad de la luz en elvacıo, r la distancia del observador al Sol y Φ el angulo existente entre la estrella y el centrodel Sol.

Puesto que las observaciones se hacen desde la Tierra (al menos por ahora), el valor der es la unidad astronomica. Reemplazando los valores de las constantes (en unidades MKS)en el coeficiente obtenemos:

2GM⊙c2r

=2× 6.67× 10−11 × 1.998× 1030

(300 000 0002 × 1.49× 1011)= 1.97×10−8 rad = 1.134×10−6 grad = 0.00408′′.

De la formula (10.25) y utilizando el mismo procedimiento descrito en la pagina 256obtenemos la formula de defleccion gravitacional de una estrella situada a una distanciaangular Φ del centro del Sol para un observador ubicado en la Tierra:

∆Φ =0.00408′′

tan(Φ/2).

Valores de ∆Φ se encuentran en la tabla 10.1 para varios valores de Φ.

Φ ∆Φ0.25o 1.866”0.5o 0.933”1o 0.466”5o 0.093”10o 0.047”20o 0.023”50o 0.009”90o 0.004”

Tabla 10.1: Defleccion gravitacional de la luz. Algunos valores de ∆Φ

Un comentario adicional

Como se ha visto, las coordenadas de los astros son alteradas sensiblemente por la pre-cesion, llegando a un valor maximo de variacion de unos 50 segundos de arco por ano. Elsiguiente fenomeno a tener en cuenta, sobre todo para ubicar el ecuador verdadero, es la

5Ver Misner et al., 1973, pag. 1103.

10.7. DEFLECCION GRAVITACIONAL DE LA LUZ 203

nutacion, que puede tener un efecto de hasta unos 17 segundos de arco. La aberracion anualno se le queda atras: puede tener un efecto maximo en las coordenadas de hasta 20 segundosde arco.

Los demas efectos son de magnitud muy pequena. El movimiento propio, salvo casosexcepcionales, cambia las coordenadas de las estrellas unas pocos segundos de arco porano. El efecto de la aberracion diurna posee una magnitud maxima de 0.32 segundos dearco para un observador ubicado en el ecuador terrestre y es nulo para un observador enlos polos. El efecto de paralaje anual es inferior al segundo de arco para absolutamentetodas las estrellas. La defleccion gravitacional posee un valor maximo de 1.87 segundos dearco (para una estrella situada en todo el borde del disco del Sol) pero en la practica paraestrellas separadas del Sol mas de noventa grados el efecto esta en la milesima de segundo.La refraccion astronomica es tenida en cuenta principalmente en las observaciones de lasculminaciones de los astros para efectos de navegacion (ver seccion 8.5).


• Chandrasekhar, S. (1995), Newton’s Principia for the Common Reader, Clarendon Press,Oxford.

Fabuloso libro que coloca en un lenguaje moderno las principales ideas y descubrimientos queNewton publico en sus Principia. El capıtulo 23 contiene una exposicion detallada y en unlenguaje relativamente sencillo sobre la precesion de los equinoccios.

• Green, R. (1985) Spherical Astronomy, Cambridge University Press, Cambridge.

Excelente libro de astronomıa esferica. A parte de describir claramente algunos topicos deinteres actual contiene ademas las correcciones relativısticas sin entrar de lleno a exponer elformalismo.

• Kaula, W.M. (1968) An Introduction to Planetary Physics, John Wiley & Sons, New York.

Excelente libro de fısica planetaria. En su capıtulo 4 se encuentra una descripcion sencilladel efecto de la Luna sobre la dinamica rotacional de la Tierra y con un calculo sencillo sedetermina el perıodo de precesion para la Tierra.

• Kinoshita, H. (1975) Theory of the Rotation of the Rigid Earth, Celestial Mechanics, Vol. 15p. 277.

Artıculo tecnico que describe claramente el proceso para la conformacion y desarrollo de unateorıa del movimiento de rotacion de la Tierra rıgida. Incluye el desarrollo de la funcionperturbadora (de la Luna y el Sol) y el metodo de Hori para la solucion de las ecuacionescanonicas.

• Lide, D.R. (1991) Handbook of Chemistry and Physics, 72 edicion, C.R.C. Press, Boca Raton.

Tablas de datos de interes fisıco, matematico, astronomico y quımico se encuentran consignadasen este voluminoso libro.

• Meeus, J. (1991) Astronomical Algorithms, Willmann-Bell, Richmond, Virginia.

Referencia obligada para todos aquellos que deseen elaborar sus propios programas para ladeterminacion de posiciones de astros con las correcciones a las que halla lugar.

• Misner, C., Thorne, K., Wheeler, J.A. (1973) Gravitation, W.H. Freeman and Co., New York.

Un compendio magistral de todo lo que se habıa hecho en relatividad general hasta comienzosde los anos setenta. La defleccion gravitacional de la luz se trata de varias maneras en eltranscurso del texto.


• North, J. (1995) The Norton History of Astronomy and Cosmology, W. W. Norton & Com-pany, New York.

Una narracion bastante completa y facil de leer sobre la historia de la astronomıa.

• Plummer, H.C. (1960), An Introductory Treatise on Dynamical Astronomy, Dover Publica-tions, Inc., New York.

El capıtulo 22 de este excelente libro aborda el problema de la precesion y nutacion.


En su capıtulo 3 contiene una exposicion muy detallada y actualizada sobre todos los fenomenosque perturban las coordenadas.

• Simon, J.L. et al. (1994), Numerical Expressions for Precession Formulae and Mean Elementsfor the Moon and Planets, Astronomy and Astrophysics, Vol. 282, p. 663.

En este artıculo se pueden encontrar ecuaciones rigurosas para el calculo de la precesion asıcomo ecuaciones para hallar los elementos orbitales medios de los planetas.

• Smart, W.M. (1960) Celestial Mechanics, Longmans, Londres.

Se encuentra en su capıtulo 20 un tratamiento parcialmente riguroso de la precesion y nutacion.


Las versiones recientes contienen, en terminos facilmente entendibles, algunas formulas ri-gurosas y aproximadas para el calculo de la precesion, nutacion, aberracion, etc.

Capıtulo 11

MECANICA CELESTE: UNAINTRODUCCION

Tradicionalmente se entiende por mecanica celeste a aquella rama de la ciencia que estudiael movimiento de los cuerpos celestes utilizando las leyes clasicas de la mecanica newtoniana.Las tres leyes de movimiento de Newton ası como la ley de atraccion gravitacional son uti-lizadas para dar cuenta de las propiedades del movimiento de los planetas alrededor del Sol,la Luna alrededor de la Tierra, el de un par binario alrededor de su centro de masas, etc. Lateorıa newtoniana explica con mucha exactitud la posicion aparente de los cuerpos celestesen el cielo. Se anoto exitos espectaculares tales como el de predecir la existencia del planetaNeptuno (debida a John Adams y Urbano Leverrier a mediados del siglo XIX) con baseen el extrano movimiento observado en la orbita de Urano. De hecho, Julio Garavito (verpagina 281) consideraba a la mecanica celeste newtoniana como una ciencia “verdadera” enel sentido de ser una teorıa pura e incontrovertible1.

Pero lo anterior no significa que todo fuera color de rosa con la mecanica newtoniana.Hay que tener presente que la teorıa newtoniana no explica porque los cuerpos materialesse sienten atraidos unos con respecto a los otros. Esto es, aunque se diga que la gravedad esaquella fuerza responsable de que la Luna gire alrededor de nuestro planeta hay muy pocoque decir sobre que es en sı misma la gravedad. El formalismo newtoniano es cuantitativo:una ley de atraccion que se propone a priori explica satisfactoriamente las trayectorias quedescriben los cuerpos celestes. La adopcion de dicha ley queda justificada porque funciona.Detalles significativos como la existencia de un espacio y tiempo absolutos y la accion adistancia de dicha fuerza, incomodos para ciertos estudiosos inquietos, permanecerıan eclip-sados y olvidados por siglos.

Ya desde la misma epoca de Leverrier se habıa encontrado una pequena anomalıa conla orbita de Mercurio no explicada por la teorıa newtoniana. La explicacion en terminos de

1Algunas de las ideas de Garavito nos pueden parecer hoy en dıa ingenuas. Pero hay que considerar queGaravito vivio un tanto aislado de la comunidad cientıfica internacional y vivio en un perıodo socioculturalcaracterizado por la indiferencia a la cultura y a la ciencia (ver Martınez, 1986 y Arias de Greiff, 1993).

205

206 CAPITULO 11. MECANICA CELESTE: UNA INTRODUCCION

perturbaciones producidas por posibles cuerpos aun no descubiertos resulto muy poco con-vincente. El planeta predicho existente entre Mercurio y el Sol, por mas esfuerzos heroicosde los astronomos, nunca fue encontrado.

Con la aparicion de la teorıa de la relatividad general debida a Albert Einstein en 1916 seha ido reformulando el concepto que se tenıa previamente de la mecanica celeste. La formade considerar la gravedad no es en terminos de una fuerza. Einstein explica la gravedad enterminos de geometrıa. La gravedad no es otra cosa que la curvatura del espacio-tiempogenerada por la materia. Pero la geometrıa que se introduce aquı no es la geometrıa tradi-cional que se aprende en el colegio. Esta geometrıa, llamada euclidiana, estudia, entreotras cosas, las propiedades del espacio de dos o tres dimensiones. Pero de lo que se trataaquı es de estudiar la curvatura del ente denominado espacio-tiempo. Y ello exige elaboraruna geometrıa para espacios con mas de tres dimensiones. Geometrıas para espacios de n-dimensiones fueron estudiadas por matematicos de la talla de Berhard Riemann a mediadosdel siglo XIX. Resulta que con esta nueva geometrıa la menor distancia entre dos puntosdeja de ser una lınea recta; en espacios curvos, las distancias mınimas existentes entre dospuntos pueden ser trayectorias curvas, que reciben el nombre de geodesicas. La materiaque conforma al Sol genera una curvatura del espacio-tiempo (un campo que se extiende enprincipio hasta el infinito) que obliga a los cuerpos a su alrededor a describir trayectoriasgeodesicas. Los planetas no son atraıdos por el Sol debido a una fuerza de atraccion (comopensaba Newton) sino que, al estar cerca del campo gravitacional del Sol, esto es, un sec-tor del espacio-tiempo fuertemente curvado, se ven obligados a desplazarse a traves de unatrayectoria geodesica cuasi-cerrada (ver figura 11.1).

Figura 11.1: Curvatura del espacio-tiempo como explicacion de la gravedad

Vemos que lo que ocurre aquı es algo como: la materia le dice al espacio como curvarse,y el espacio curvado le dice a la materia como moverse.

Ahora bien, cuantitativamente hablando, la relatividad general explico el extrano com-portamiento en la orbita de Mercurio, el cual si bien era de magnitud muy pequena, no eradel todo despreciable. Hasta mediados del siglo XX la relatividad general fue vista, por losmecanicos celestes, como una teorıa que solo era necesario tener en consideracion cuandose hablaba de ligeras correcciones con respecto a la mecanica newtoniana, tal y como elligerısimo corrimiento del perihelio de los planetas. Para propositos practicos, la mecanicanewtoniana continuaba siendo adecuada para describir el movimiento de los planetas y otroscuerpos del sistema solar.

207

Los cambios dramaticos sucedidos con el advenimiento de la era de la exploracion delespacio y la invencion de relojes muy exactos obligo a los especialistas a introducir con todassus consecuencias el formalismo de la relatividad general para explicar el movimiento de loscuerpos a traves del sistema solar y de la Luna y los satelites artificiales alrededor de laTierra.

Figura 11.2: Albert Einstein (1879-1955)

Por ello, actualmente podemos definir mecanica celeste como aquella rama del sabercientıfico que estudia el movimiento de los cuerpos celestes aplicando para ello lo que seconoce de las propiedades del espacio-tiempo y la materia a traves de la teorıa de la rela-tividad general.

La astrodinamica, a diferencia de la mecanica celeste que se ocupa de estudiar el movimien-to de cuerpos naturales, estudia el movimiento de los cuerpos construidos por el hombre condiversidad de propositos, que giran alrededor del Sol, planetas, satelites y otros cuerposnaturales, utilizando para ello la teorıa de la relatividad general.

Conviene advertir, sin embargo, que son muchos los textos de astrodinamica y mecanicaceleste que omiten por completo dentro de su tematica la teorıa de la relatividad general,aun en sus aspectos mas basicos. Hay dos razones para ello. La primera es que una exposi-cion de la teorıa de la relatividad general, aun sin profundizar en los detalles, requiere eluso de la geometrıa diferencial o del calculo tensorial, ramas de la matematica relativamentecomplejas accequibles a lectores con una solida formacion matematica. La otra razon yase habıa mencionado anteriormente: la teorıa clasica newtoniana es, para casi todos los sis-


temas de interes, una descripcion lo suficientemente precisa para satisfacer las necesidades dela gran mayorıa de los usuarios. Solo cuando se requieren medidas muy precisas de cuerposque se desplazan dentro del sistema solar, o se quiere estudiar el comportamiento dinamicode cuerpos con intensos campos gravitacionales, como los que se estudian en los pulsaresbinarios, es necesaria la descripcion relativista.

La teorıa de la relatividad general, cuando se utiliza en la descripcion del movimiento decuerpos materiales, es susceptible de “linealizarse”, lo que significa que se utilizan una seriede aproximaciones tendientes a simplificar las ecuaciones. De acuerdo con la teorıa de larelatividad general la gravedad se transmite como ondas a traves del espacio-tiempo a unavelocidad igual a la de la luz, esto es, una velocidad finita (a diferencia de Newton, quienpensaba que era una fuerza de accion instantanea). Por lo tanto, una forma de tratar delinealizar las ecuaciones es suponer que muy lejos de las masas el campo gravitacional estan debil que en la practica no es curvo, esto es, la geometrıa es plana, o tambien que, sila velocidad de la luz fuera infinita, la gravitacion einsteniana se reduce a la newtoniana.Una linealizacion conduce, sin perdida razonable de exactitud, a una expansion simultaneaen pequenos parametros (por ejemplo se consideran pequenas las velocidades de los cuerposcomparadas con la velocidad de la luz ası como la intensidad de campo gravitacional). Talexpansion del campo debil y movimiento lento da lugar a los siguientes terminos de unaserie: 1) un espacio-tiempo vacıo al “orden cero”; 2) el tratamiento newtoniano del sistemasolar al “primer orden”; 3) correcciones pos-newtonianas del tratamiento newtoniano al“segundo orden” y ası sucesivamente. Por lo tanto, el “primer orden” corresponde a lateorıa clasica newtoniana, por lo que esta teorıa esta contenida en las ecuaciones de la teorıade la relatividad general de Einstein.

11.1 Estado de las cosas en la antiguedad

Las observaciones del cielo realizadas por habiles astronomos antiguos habıan logrado des-cubrir que existıan cuerpos celestes que, a diferencia de las estrellas fijas, se desplazabanpor el cielo formando extranas trayectorias (ver figura 6.4, pag. 99). Tenemos el registrohistorico de que filosofos y geometras griegos intentaron describir el movimiento de los pla-netas, la Luna y el Sol en terminos de trayectorias circulares con movimiento uniforme. Lalabor probo no ser sencilla: se necesito en algunos casos de la introduccion de combina-ciones de circunferencias para explicar las retrogradaciones. El asunto se complicaba por lahipotesis fundamental del modelo: la Tierra era el centro del universo con todos los demascuerpos, incluyendo el Sol, girando alrededor de ella. El modelo de Ptolomeo reunıa todasestas caracterısticas; fue el paradigma de la astronomıa por casi mil quinientos anos. Lograndes navegantes del Renacimiento calculaban sus posiciones sobre la Tierra con base enlas posiciones de los astros calculadas con el modelo ptolemaico.

Nicolas Copernico fue un monje polaco que publico un libro de astronomıa en 1542 (unoscinco anos despues de la fundacion de Bogota). Esta obra, llamada “Sobre las revolucionesde los cuerpos celestes”, volvıa a poner sobre el tapete una idea que ya habıa sido propuestapor un astronomo griego de nombre Aristarco en el siglo IV A.C. La idea era ni mas nimenos el helicentrismo, esto es, todos los planetas (incluyendo la Tierra) giran en torno al

11.2. KEPLER Y SUS LEYES 209

Figura 11.3: Nicolas Copernico (1473-1543)

Sol en orbitas circulares. La Luna es el unico cuerpo que gira alrededor de la Tierra, peroel movimiento diurno se explica en terminos de la rotacion de nuestro planeta. La ideano cuajo en el espıritu griego y permanecio cuasi olvidada y referenciada como una de lastantas ideas extravagantes propuestas por los filosofos antiguos. A Copernico no le sono tanextravagante y la pulio y adorno de tal forma que le dio coherencia. Sin embargo, esta ideaencontro oposicion (mas bien indiferencia) por parte de la iglesia catolica, que afirmaba quetan ridıcula idea no encajaba con lo que se afirmaba en las santas escrituras. Aun sesentaanos despues de la muerte de Copernico el astronomo italiano Galileo Galilei tenıa seriosconfictos con los dignatarios eclesiasticos por defender el modelo Copernicano. No ayudotampoco que el libro escrito por Copernico fuera de ardua lectura, pero esto fue compensadopor la excelente divulgacion de un resoluto discıpulo de Copernico llamado Georg Retico.Pero la idea copernicana solo vendrıa a tornarse tema comun de la actividad astronomicaen los tiempos de Johannes Kepler, casi cien anos despues de la muerte de Copernico.

11.2 Kepler y sus leyes

Johannes Kepler fue un astronomo y matematico aleman que estaba convencido de la validezde la teorıa de Copernico. Interesado en encontrar una relacion geometrica entre las dis-tancias de los planetas al Sol que le permitiera calcular con suma precision la posicion de


los astros en el cielo comenzo a buscar el modelo correcto del sistema solar2. Kepler eraconsciente de que para emprender dicha tarea necesitaba de los mejores y mas voluminososdatos de los que pudiera disponer.

Figura 11.4: Tycho Brahe (1546-1601) y Johannes Kepler (1571-1630)

Para fortuna de Kepler existıa un astronomo danes llamado Tycho Brahe, cuyo ojo deaguila (los observatorios astronomicos en aquella epoca no contaban con telescopios, puesestos fueron utilizados por los astronomos a partir del ano 1609), dedicacion, disciplina ysolvencia economica le habıan permitido a el reunir, en el transcurso de muchos anos, el mejorcumulo de observaciones de los planetas con una precision nunca antes alcanzada. Aunqueambos astronomos trabajaron juntos por un perıodo muy breve a causa de la sorpresivamuerte de Brahe, Kepler dispuso, tras algunos inconvenientes, del enorme tesoro que cons-tituıan las observaciones. Y comenzo a trabajar con ahınco. Transcurrieron varios anos enlos cuales se vio obligado a rechazar uno tras otro los modelos que el creıa eran, en cadacaso, la forma correcta del sistema solar. Tras una tarea matematica monumental, logrodescubrir tres relaciones matematicas que cumplıan todos los planetas sin excepcion y cuyaaplicacion permitio por primera vez a los astronomos explicar con asombrosa precision elaparentemente complicado movimiento planetario. Estas relaciones matematicas, que con eltiempo llegaron a convertirse en las “tres leyes de Kepler”, constituyen el mejor exponentede la genialidad y persistencia de los hombres de ciencia a principios del siglo XVII.

Las tres leyes de Kepler son las siguientes:

Primera ley: Los planetas se mueven alrededor del Sol describiendo orbitas elıpticas(no circulares). El Sol ocupa uno de los focos de dicha elipse.

2Kepler no solo descollo como astronomo. Tambien fue un matematico notable. Fue el primero enadoptar los logaritmos (recien descubiertos por Neper y Briggs) para el computo astronomico, practica quese tornarıa en costumbre en los siguientes 350 anos. Sus trabajos sobre las conicas fueron sobresalientes, dehecho, la palabra “foco” fue introducida por Kepler.


Segunda ley: Los planetas barren areas iguales en tiempos iguales.

Tercera ley: Los cuadrados de los perıodos de traslacion (tiempo que le toma a unplaneta en dar una vuelta completa alrededor del Sol) son proporcionales al cubo de lasdistancias medias existentes entre los planetas y el Sol.

Dada la importancia que tienen estas leyes en el estudio de la astronomıa profundizaremosun poco mas en cada una de ellas.

11.2.1 La elipse

La elipse es el lugar geometrico de los puntos que cumplen la siguiente relacion:

PF + PF ′ = constante,

donde P es cualquier punto de la elipse y F y F ′ son los llamados focos de la elipse.

F’D D´

P

2b

E

2a

E´

. . .FC

Figura 11.5: La elipse

La distancia DD′ es llamada eje mayor de la elipse con lo que CD = CD′ = DD′/2 esllamado el semieje mayor de la elipse denotado con la letra a.

De identica forma llamamos EE′ eje menor de la elipse; CE = CE′ = EE′/2 es llamadoel semieje menor de la elipse denotado con la letra b.

De la definicion de la elipse se deduce entonces que:

PF + PF ′ = 2a,

y obviamente


EF ′ = EF = E′F ′ = E′F = a.

Llamese e a la excentricidad de la elipse definida como:

e =CF

CD′=CF ′

CD=CF

a.

Es claro que cuando e = 0 (los focos se confunden con el centro C) la elipse se convierteen una circunferencia.

Es facil deducir, utilizando el teorema de Pitagoras, que:

b = a√

(1− e2). (11.1)

Ahora bien, estamos interesados en encontrar una expresion matematica que nos per-mita describir una elipse en el plano. La ecuacion de una circunferencia en coordenadascartesianas con centro en el origen y de radio r es:

x2

r2+y2

r2= 1.

Analogamente, se puede demostrar que la ecuacion de una elipse en coordenadas carte-sianas con centro en el origen y eje mayor ubicado sobre el eje de las x es:

x2

a2+y2

b2= 1.

Tradicionalmente, el estudio del movimiento de los planetas se hace teniendo como puntode referencia el centro del Sol. Puesto que la primera ley de Kepler nos dice que el Sol noesta ubicado en el centro de la elipse C sino en F (o F ′), entonces lo adecuado es expresarla ecuacion anterior con respecto a uno de los focos, digamos F . Esto se hace sencillamenterealizando una traslacion de coordenadas de C a F sobre el eje x. Puesto que CF = ae, setendra que la ecuacion de una elipse con origen en F tiene la forma:

(x+ ae)2

a2+y2

b2= 1. (11.2)

Sin embargo, este tipo de ecuacion en coordenadas cartesianas no es muy utilizada enastronomıa, pero sı lo es representar las ecuaciones en coordenadas esfericas o polares.

Para encontrar la ecuacion de la elipse en coordenadas polares con origen en uno delos focos, multiplicamos la ultima ecuacion por a2(1 − e2), esto es, por b2, y desarrollandoalgunos terminos se obtiene:

(x2 + 2aex+ a2e2)(1− e2) + y2 = a2 − a2e2,

esto es,x2 + 2aex− x2e2 − 2ae3x+ y2 = a2 − 2a2e2 + a2e4,


que al reunir terminos semejantes y ordenar da

x2 + y2 = a2(1− e2)2 − 2aex(1− e2) + x2e2.

Teniendo en cuenta la transformacion entre las coordenadas polares (r, θ) y las coorde-nadas cartesianas (x, y):

r

y

LINEA DE LASAPSIDES

xF

θ

Figura 11.6: Relacion entre las coordenadas cartesianas y las polares

x = r cos θ, y = r sen θ, (11.3)

tenemos:r2 =

[a(1− e2)− re cos θ

]2,

que al tomar la raız cuadrada y factorar r se llega a:

r =a(1− e2)1 + e cos θ

. (11.4)

En el movimiento planetario r es llamado radio vector (distancia entre el centro del Sol yel centro del planeta) y θ es llamada anomalıa verdadera. La ecuacion (11.4) es la ecuacionde una elipse en coordenadas polares con origen en el foco F .

Notese que cuando e = 0 el radio vector es igual a la constante a y en tal caso tenemosuna circunferencia. De igual forma, se puede deducir que:

θ = 0o =⇒ r = a(1− e), planeta en perihelio,

θ = 180o =⇒ r = a(1 + e), planeta en afelio,

siendo el perihelio y el afelio la menor y mayor distancia respectivamente entre el planetay el Sol. La lınea que une el centro de la elipse con ambos focos y sobre la cual estan ubi-cados los puntos extremos (perihelio y afelio) se conoce con el nombre de lınea de las apsides.

De lo anterior se deduce que la distancia promedio existente entre el planeta y el Sol,que llamaremos distancia media, rmed, es igual al semieje mayor a:


rmed =a(1− e) + a(1 + e)

2= a.

En el sistema solar las distancias medias de los planetas al Sol se expresan en terminosde la llamada Unidad Astronomica (u.a.) que es la distancia media existente entre la Tierray el Sol cuyo valor es:

1 u.a. = 149 597 870 km.

NOTA: Es frecuente encontrar en la literatura la ecuacion (11.4) escrita como:

r =p

1 + e cos θ,

donde p = a(1 − e2) se llama el semi-latus rectum y es el valor que adopta el radio vectorcuando la anomalıa verdadera es igual a los valores θ = 90o y 270o.

b

a

p θ=90

Figura 11.7: El semi-latus rectum p, el semieje menor b, y el semieje mayor a

Ejercicio 1

Calcular la distancia existente entre Jupiter y el Sol en el instante para el cual θ = 30o.

Solucion

De la tabla C.3 del apendice C extraemos los valores de a y e para Jupiter: a =5.20442y e = 0.04887. Entonces:

r =5.20442× (1− 0.048872)

1 + 0.04887× cos(30)= 4.98117 u.a.


11.2.2 Areas y angulos

Es claro que la segunda ley de Kepler es superflua y obvia en el caso de que los planetas sedesplazaran en orbitas circulares con movimiento uniforme. La segunda ley de Kepler ponede manifiesto que aun cuando la orbita de los planetas no es circular, los planetas insistenen desplazarse barriendo areas iguales en tiempos iguales.

La forma matematica de expresar la segunda ley de Kepler es:

A ∝ t,

donde A es el area que barre un planeta en su orbita y t es el tiempo. Al introducir unaconstante de proporcionalidad K, tenemos:

A = Kt. (11.5)

Esta ecuacion implica que si t2 − t1 = t4 − t3 entonces se ha de cumplir A1 = A2 (verfigura 11.8).

Como vemos, la relacion entre el area A y el tiempo t es supremamente sencilla. Sinembargo, en la practica los astronomos no miden areas sino angulos. Y aquı el asunto sepone complicado, pues la consecuencia de la segunda ley es que el planeta no se desplazauniformemente en su trayectoria, puesto que para cubrir areas iguales en tiempos iguales elplaneta debe acelerar su movimiento cerca del perihelio y desacelerar cerca del afelio. Porlo tanto, la anomalıa verdadera θ no es funcion lineal del tiempo, con lo que encontrar elvalor de θ para cualquier tiempo t no es tarea sencilla.

AA1 2

t

t

3

4

t2

t1

Figura 11.8: La segunda ley de Kepler

11.2.3 Perıodos y distancias

La forma matematica de expresar la tercera ley de Kepler es:

T 2 ∝ a3,

o introduciendo una constante de proporcionalidad K1:


T 2 = K1 a3.

Una forma cualitativa y burda de expresar la tercera ley de Kepler es que entre mascerca del Sol se encuentre el planeta, mas rapido se desplaza y por lo tanto invierte menortiempo en dar una revolucion completa. Como ejemplos considerese a Mercurio y Pluton.El primero esta situado a 0.387 u.a. del Sol gastando solo 88 dıas terrestres en dar unarevolucion completa, mientras que Pluton, ubicado a una distancia media del Sol de 39.5u.a., invierte 248.2 anos terrestres (90 680 dıas) en dar una vuelta completa. Es claro que:

K1 =(88)2

(0.387)3=

(90680)2

(39.5)3' 133 500

dias2

u.a.3.

Tenemos pues a nuestra disposicion una valiosa relacion matematica que nos permitecalcular a que distancia se encuentra un objeto del Sol si conocemos de algun modo elperıodo de traslacion de un planeta alrededor del Sol.

11.3 El formalismo Newtoniano

Isaac Newton es considerado el padre de la ciencia moderna. Y no es para menos. Descubriolas leyes del movimiento de los cuerpos materiales, base de la mecanica y la dinamica; des-cubrio la ley de atraccion gravitacional explicando el movimiento de los cuerpos celestes enterminos de fısica; descubrio el calculo diferencial e integral (junto con Leibnitz); introdujola teorıa corpuscular de la luz; invento el telescopio reflector, etcetera. Como cabe suponer,aquı hablaremos solo de los descubrimientos de Newton relacionados con el movimiento delos cuerpos celestes.

En un libro llamado Los principios matematicos de la filosofıa natural publicado en1687, Newton revelo al mundo muchos de sus descubrimientos, particularmente aquellosrelacionados con el movimiento de los planetas alrededor del Sol y de la Luna alrededor dela Tierra.

Las leyes de movimiento de Newton son:

1) Ley de la inercia: todo cuerpo tiende a permanecer en su estado de reposo o demovimiento rectilıneo uniforme a menos que una fuerza externa actue sobre el.

En nuestra vida diaria, viviendo en la superficie de un planeta dotado de atmosfera ypor lo tanto rebosante de todo tipo de fuerzas resistivas, la ley de la inercia nos parececontradictoria, pues observamos que un objeto al que animamos de una fuerza determinada—digamos un balon de futbol al que le damos un puntapie—, al poco tiempo termina pordetenerse, conduciendonos a pensar que para mantener un objeto en movimiento es precisoestarle comunicando una fuerza de forma continua. Al tener en cuenta las fuerzas que creanfriccion explicamos la aparente contradiccion.

Implıcitamente en la primera ley esta la definicion de que es necesario introducir unsistema de coordenadas al cual referir el movimiento del cuerpo (o cuerpos) que estamos

11.3. EL FORMALISMO NEWTONIANO 217

Figura 11.9: Isaac Newton (1642-1727)

interesados en estudiar. Dichos sistemas de coordenadas deben ser precisamente aquellos endonde al no existir fuerzas los objetos estan en su estado natural: en reposo o en movimientorectilıneo uniforme. Por tal razon estos sistemas se llaman inerciales. En la practica es difıcilencontrar en la naturaleza sistemas perfectamente inerciales, pues lo usual es definir unsistema ubicado en un determinado cuerpo, digamos el centro de un planeta, o su superficie,y ocurre que estos se desplazan en el espacio de manera no uniforme. Sin embargo, enprimera aproximacion, es conveniente suponer que estos sistemas son inerciales para asıpoder aplicar sin restricciones las leyes de Newton. El sistema inercial mas adecuado paraestudiar el movimiento de los cuerpos celestes es aquel que toma como referencia a lasestrellas “fijas”.

2) Ley de la fuerza: La fuerza ~F1x que actua sobre un cuerpo de masa m1 debido a lapresencia de la interaccion x (que origina dicha fuerza) es igual a la derivada temporal delmomentum lineal ~p:

~F1x =d~p

dt=

d

dt(m1~v), (11.6)

siendo el momentum lineal igual al producto de la masa m1 por la velocidad ~v medida conrespecto a un sistema de referencia inercial dado. Existen varios tipos de “interacciones”que suelen aparecer en mecanica celeste: la presencia de otro o mas cuerpos materiales (conlo que la interaccion es la fuerza de gravedad), presencia de un fluido (que origina la fuerzade resistencia y sustentacion, comun en los satelites de muy baja altura), etc.


En casi todos los sistemas de interes (descartando el caso del movimiento de un cohete)la masa del cuerpo m1 permanece constante. Por ello, es frecuente encontrar como expresionmatematica de la segunda ley de Newton a:

~F1x = m1d~v

dt= m1

d2~r

dt2, (11.7)

donde ~r es el vector posicion del cuerpo m1 con respecto al origen de un sistema de referenciainercial.

3) Ley de la accion y reaccion: para toda fuerza ~F1x que se ejerce sobre un cuerpo demasa m1, existe una fuerza ~Fx1 que ejerce el cuerpo de masa m1 sobre el responsable de lainteraccion x que es de igual magnitud pero de sentido opuesto a la de ~F1x . Es claro que:~F1x = −~Fx1.

11.3.1 Ley de atraccion newtoniana

La interaccion existente entre dos partıculas materiales (o que poseen masa) origina unafuerza de atraccion entre ambas que es directamente proporcional al producto de sus masase inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa.

De acuerdo con lo anterior, la fuerza que se ejerce sobre el cuerpo de masa m2 debido ala presencia del cuerpo de masa m1, representada por ~F21, esta dada por:

~F21 = −Gm1m2

r2ur, (11.8)

donde ur es un vector unitario en la direccion del vector posicion ~r que va desde el cuerpode masa m1 al cuerpo de masa m2, cuya magnitud es la distancia r, (ver figura 11.10). Elsigno negativo es necesario para indicar que la fuerza que actua sobre m2 (debido a m1) estaen la direccion contraria a la del vector ur (esto es, la fuerza es de atraccion).

r

r

m1

m2

F21

ru

Figura 11.10: Dos masas sometidas a la atraccion de tipo newtoniano

La constante G es llamada constante universal de la gravitacion, llamada tambien cons-tante de Cavendish, en honor del fısico y quımico Henry Cavendish, de nacionalidad inglesa(aunque en realidad nacio en Niza, Francia), de quien se dice que fue el primer cientıfico


en realizar experimentos para determinar el valor de G. De acuerdo con las mas recientesmedidas, el valor de la constante de Cavendish, en unidades MKS, es el siguiente:

G=6.67259 × 10−11m3s−2kg−1.

De la misma manera, la fuerza que se ejerce sobre el cuerpo de masa m1 debido a lapresencia del cuerpo de masa m2, representada por ~F12, esta dada por:

~F12 =Gm1m2

r2ur, (11.9)

notese que ~F21 = −~F12 como cabe esperar de la tercera ley de Newton.

La ecuacion (11.8) se suele escribir corrientemente en terminos del radio vector ~r. Puestoque ~r = rur, se deduce inmediatamente que:

~F21 = −Gm1m2

r3~r. (11.10)

11.3.2 La funcion potencial

La ley de atraccion gravitacional, tal y como se acabo de describir, es aplicable a aque-llos cuerpos materiales que son considerados “partıculas”, esto es, cuerpos cuya masa estaconcentrada en un punto. Pero los objetos reales y, con mayor razon, los cuerpos celestesestan muy lejos de considerarse como objetos puntuales. Sin embargo, el mismo Newtondemostro que cuerpos materiales de dimensiones gigantescas producen una fuerza gravita-cional equivalente a la que producirıan si toda su masa estuviese concentrada en su centro,siempre y cuando cumplieran con dos requisitos: que fueran completamente esfericos (porcompletamente queremos decir rigurosamente) y que la distribucion de masa en su interi-or fuera completamente uniforme (exentos de concentraciones de masa en algunos sitios) ocuanto menos, que la densidad del cuerpo sea solo funcion de la distancia al centro. Enprincipio el Sol, los planetas y un gran numero de satelites naturales pueden considerarsecomo cuerpos que cumplen con estos requisitos pero no completamente. La mayorıa de losplanetas poseen radios ligeramente mayores en el ecuador que en los polos. La Luna poseeen su interior sectores cuya densidad es anormalmente mayor que en el resto del satelite.Por ello es que, para explicar el movimiento de un satelite artificial alrededor de la Tierra(cuyo achatamiento en los polos destruye la esfericidad del planeta), no basta con aplicar lasimple ley de atraccion gravitacional. El astronomo se ve obligado a utilizar “correcciones”a dicha ley de atraccion.

Para un cuerpo esferico perfecto de masa m1 definimos la funcion potencial gravitacionalV ejercido sobre un cuerpo de masa m2 como (notese que no interesa en esta descripcionla forma del cuerpo de masa m2, pues como se vera mas adelante, haremos m1 >> m2):

V = −Gm1m2

r, (11.11)


donde es claro que V solo depende de la distancia radial r existente entre ambos cuerpos.Definido el potencial de esta forma es claro que la fuerza de atraccion gravitacional ejercidasobre el cuerpo de masa m2 debido al cuerpo m1 puede escribirse como:

~F21 = −∂V∂r

ur. (11.12)

Cuando el cuerpo de masa m1 es un cuerpo real, esto es, un objeto achatado en lospolos (como la Tierra y los planetas del sistema solar) o con una forma bastante apartadaa la de una esfera, tal y como la que presenta un tıpico asteroide o un cometa (ver figura11.11), el potencial gravitacional deja de ser una funcion que solo depende de r; se convierteen una funcion extraordinariamente complicada y se hace necesario la dependencia de Ven variables angulares. Se puede demostrar que la funcion potencial gravitacional puedeescribirse de la siguiente forma:

V = −Gm1m2

r

[1 +

∞∑n=1

n∑m=0

(R

r

)nPnm( senφ)(Cnm cosmλ+ Snm senmλ)

], (11.13)

donde R es el radio ecuatorial del cuerpo de masa m1, φ y λ los angulos de latitud y longitudcon respecto a un ecuador y meridiano de referencia dados, Pnm( senφ) son las funcionesasociadas de Legendre de primera especie y Cnm y Snm coeficientes adimensionales exclusivosde cada cuerpo (que hay que medir experimentalmente) llamados coeficientes armonicos.

BA C

Figura 11.11: A: cuerpo esferico perfecto, B: planeta achatado, C: forma de un asteroide o cometa

El potencial (11.13) se ve reducido al potencial sencillo (11.11), por mas amorfo que seael objeto de masa m1, cuando la distancia r a la que esta situado el objeto de masa m2 esr >> R, esto es, Rr h 0. Ademas, los coeficientes armonicos son numeros que, en el caso delos cuerpos con algo de simetria esferica, poseen valores muy bajos, del orden de un milesimoo centesimo a lo sumo. Es por ello que al estudiar el movimiento de los planetas alrededordel Sol el potencial que se adopta es la expresion (11.11), pues los planetas ocupan orbitascuya distancia r es muchas veces el valor del radio del Sol (en el caso de Mercurio, el planetamas cercano al Sol, se tiene R

r h 0.01). Pero en el caso de satelites artificiales alrededor dela Tierra, especıficamente aquellos que estan colocados en orbitas bajas (de 300 a 1000 kmde altura sobre la superficie terrestre) la relacion R

r es cercana a uno (0.95 a 0.86), por loque es necesario utilizar los terminos mas significativos del potencial (11.13).

Se discutira mas acerca de este topico en la seccion 14.4.2.



• Arias de Greiff, J. (1993) La astronomıa en Colombia, Academia colombiana de cienciasexactas, fısicas y naturales, coleccion Enrique Perez-Arbelaez No.8, Santafe de Bogota.

Este libro contiene una exposicion erudita del desarrollo historico de la astronomıa en nuestropaıs desde los tiempos precolombinos hasta comienzos de la decada de los 1990s.

• Karttunen, H., et al. (1996) Fundamental Astronomy, Springer-Verlag, Heidelberg.

En su capıtulo 7 contiene una excelente y concisa exposicion de mecanica celeste con aplica-ciones elementales a algunos sistemas astrofısicos.

• Koestler, A. (1963) Los sonambulos, Editorial Universitaria de Buenos Aires, Buenos Aires.

Libro de obligada lectura si uno esta determinado a conocer la historia de la astronomıa conensafisis en las vidas de Copernico, Brahe, Kepler, Galilei y Newton.

• Martınez, R. (1986) El pensamiento fısico y epistemologico de Garavito, Naturaleza, educaciony ciencia, No. 4, p. 15.

El autor realiza una entrevista imaginaria a Julio Garavito con base en multitud de escritossobre epistemologıa y otras areas del pensamiento que dejo este celebre hombre de cienciacriollo.

• Peterson, I. (1993), Chaos in the Solar System, W. H. Freeman and Co., New York.

Excelente narracion de la historia de la mecanica celeste con enfasis en las actuales investi-gaciones sobre estabilidad y caos.

• Roy, A., Clarke, D. (1988), Astronomy: Principles and Practice, Adam Hilger, Bristol.

Este excelente libro de astronomıa fundamental contiene, en su capıtulo 12, una descripcionbien lograda de los fundamentos de la mecanica celeste.

• Verontsov-Veliamınov, B.A. (1979) Problemas y ejercicios practicos de astronomıa, Mir,Moscu.

El capıtulo 2 expone no solo una descripcion historica de los modelos geocentristas y helio-centristas sino tambien los fundamentos de la mecanica newtoniana.

• http://www.astronomynotes.com/gravappl/gravappla.htm#A1

Contiene una descripcion muy pedagogica sobre las leyes de movimiento de Newton y ley deatraccion gravitacional.

Capıtulo 12

EL PROBLEMA DE LOS DOSCUERPOS

El problema de los dos cuerpos es el topico fundamental en el estudio de la mecanica celeste.El problema es: dadas dos partıculas (o cuerpos perfectamente esfericos con distribucion dedensidad uniforme en su interior o tambien cuya densidad sea solo funcion de la distancia)de masas m1 y m2 completamente aisladas de las demas masas que conforman el universo,encontrar el estado dinamico de ambos cuerpos con respecto a un sistema inercial dadocuando la unica fuerza que actua entre ellas es la de la atraccion gravitacional.

Por “aisladas de las demas masas que conforman el universo” entendemos que las otrasmasas del universo estan a distancias tan extraordinariamente grandes (comparadas con ladistancia r que existe entre m1 y m2) que en la practica es como si se encontraran en elinfinito, o que, de existir algunos cuerpos cerca de m1 y m2, dichos cuerpos poseen masastan pequenitas, comparadas con m1 y m2, que la fuerza gravitacional que ejercen sobre estases completamente despreciable.

En el problema de los dos cuerpos solo se considera la fuerza de atraccion newtoniana,lo que significa que no existen fuerzas externas o, si existen, son de magnitud tan pequenaque se consideran insignificantes. Las fuerzas externas pueden ser de distintos tipos: fuerzaselectromagneticas (campos electricos y magneticos), de resistencia o sustentacion (cuandom1 y m2 estan en un medio fluido), de propulsion (cuando uno de los cuerpos o ambos estaneyectando masa), de repulsion (como presion de radiacion originada por uno de los cuerposo ambos), etc.

Por ultimo, ¿que queremos decir con encontrar el estado dinamico de un sistema inte-grado por dos o mas partıculas materiales? Ello significa:

1. Hallar las ecuaciones diferenciales que gobiernan el movimiento de las partıculas conrespecto a un sistema inercial dado. Esto, en mecanica celeste clasica, es supremamentesencillo de realizar, incluso si se tienen tres o mas partıculas materiales. Es tan sencillo que

223

224 CAPITULO 12. EL PROBLEMA DE LOS DOS CUERPOS

en muchas referencias se da por descontado que ello no constituye un problema.

2. Habiendo hallado las ecuaciones diferenciales que describen el movimiento del sistema,dar respuesta, si es posible, a las siguientes preguntas: ¿Que cantidades se conservan (o nose conservan)? ¿Que tipo de trayectorias describen las partıculas en el espacio?, ¿Bajo quesituaciones se preservan las simetrıas que pudieran existir? Las respuestas a estas pregun-tas exigen resolver una o mas de las ecuaciones diferenciales. Lo ideal, por supuesto, esresolverlas todas, pues entre mas ecuaciones diferenciales se resuelvan mas propiedades delmovimiento se descubren. Pero esto, como veremos, no siempre es posible.

3. Con las cantidades conservadas, esto es, con las constantes que resultan de integrar lasecuaciones diferenciales (cuyo valor se determina si se conocen los vectores posicion y veloci-dad de todas las partıculas en un instante cualquiera) hallar el vector posicion y velocidadpara cualquier tiempo que se desee. En un caso ası se dice que el problema es completamenteintegrable.

Sean dos partıculas materiales de masas m1 y m2 cuyos vectores de posicion con respectoa un sistema de coordenadas inercial con origen en cualquier punto arbitrario del espacioO son ~r1 y ~r2 respectivamente, separadas entre sı por una distancia r (r = |~r| = |~r2 − ~r1|),donde ~r es el vector de posicion de m2 con respecto a m1.

r

O

m

SISTEMA DE REFERENCIA INERCIAL

r m

r

1

1

2

2

Figura 12.1: Configuracion de dos masas en un sistema inercial

La fuerza que se ejerce sobre la partıcula de masa m2 debido a la existencia de m1 es(ver ecuacion 11.10):

~F21 = −Gm1m2

r3(~r2 − ~r1) . (12.1)

Igualmente, la fuerza que se ejerce sobre la partıcula de masa m1 debido a la existencia

225

de m2 es:

~F12 =Gm1m2

r3(~r2 − ~r1) . (12.2)

Teniendo en cuenta la segunda ley de Newton (ecuacion (11.7)) las dos expresionesanteriores se convierten en las siguientes ecuaciones diferenciales vectoriales:

m2d2 ~r2

dt2= −Gm1m2

r3(~r2 − ~r1) , m1

d2 ~r1

dt2=Gm1m2

r3(~r2 − ~r1) . (12.3)

En el espacio, los vectores ~r1 y ~r2 poseen tres componentes, lo que significa que cadauna de las ecuaciones diferenciales vectoriales representan tres ecuaciones diferenciales enterminos de componentes. Por lo tanto, tenemos seis ecuaciones diferenciales de segundoorden que hay que resolver. Ello implica a su vez que debemos hallar 12 constantes demovimiento para resolver completamente el problema.

Podemos encontrar rapidamente seis constantes de movimiento. En efecto, al sumarambas ecuaciones (12.3) obtenemos:

m2d2 ~r2

dt2+m1

d2 ~r1

dt2= ~0, (12.4)

que al integrar una vez con respecto al tiempo da:

m2d~r2

dt+m1

d~r1

dt= ~c1, (12.5)

siendo ~c1 un vector constante, que en el espacio representa la existencia de tres constantesde movimiento. Esta ecuacion respresenta la conservacion del momentum lineal: la sumadel momentum lineal de ambos cuerpos es una constante.

Una nueva integracion de la ecuacion (12.5) permite obtener:

m2 ~r2 +m1 ~r1 = ~c1t+ ~c2, (12.6)

siendo ~c2, como antes, un vector constante, que adiciona otras tres constantes a las yaobtenidas.

¿Que informacion esta suministrando la existencia de estas seis constantes de movimien-to? Veamos. Se define el centro de masas de un sistema de partıculas como aquel puntoque representa la posicion del sistema como si se tratara de un solo cuerpo. Tratandose dedos cuerpos el vector de posicion ~R (con respecto al origen O del sistema de coordenadasinercial) del centro de masas queda definido por:

~R =m2 ~r2 +m1 ~r1

m1 +m2, (12.7)

que no es otra cosa que la definicion de un promedio ponderado de los vectores de posicionde las respectivas partıculas. Con esto podemos escribir la ecuacion (12.6) como:


~R =~c1t

m1 +m2+

~c2m1 +m2

. (12.8)

Dado que ~R representa el vector posicion del centro de masas, y puesto que la ecuacion(12.8) es lineal con respecto al tiempo, es claro que esto representa el desplazamiento enlınea recta del centro de masas con el transcurrir del tiempo. Esto es, el centro de masasdel sistema se mueve en el espacio en una lınea recta (ver figura 12.2). Esto se ve aun masclaramente al derivar (12.8) con respecto al tiempo:

d~R

dt=

1m1 +m2

~c1, (12.9)

de la que se deduce, inmediatamente:

d2 ~R

dt2= ~0, (12.10)

esto es, el centro de masas, con respecto al origen en O, no esta acelerado (o esta estatico ose mueve en una lınea recta).

Sin embargo, a pesar de tener seis constantes estas no nos han dicho mayor cosa conrespecto a las propiedades del movimiento de m1 y m2, salvo que el momentum lineal seconserva y que el centro de masas se mueve en lınea recta con respecto al origen en O. Aunnada de trayectorias.

CENTRO DE MASAS

m1 m

2

Figura 12.2: El centro de masa y su movimiento en el espacio

12.1. MOVIMIENTO CON RESPECTO AL CENTRO DE MASAS 227

12.1 Movimiento con respecto al centro de masas

Deseamos ahora hacer lo siguiente: encontrar el movimiento de las partıculas de masa m1

y m2 ya no con respecto al punto arbitrario O sino con respecto al centro de masas delsistema. En otras palabras, hay que escribir las ecuaciones (12.3) en terminos de los vectoresde posicion ~∆1 y ~∆2 de ambas partıculas con respecto al centro de masas. De la figura 12.3es claro que:

~R+ ~∆1 = ~r1, ~R+ ~∆2 = ~r2, (12.11)

de las que se deduce, al derivar dos veces con respecto al tiempo y de la ecuacion (12.10):

d2~∆1

dt2=d2 ~r1

dt2,

d2~∆2

dt2=d2~r2

dt2. (12.12)

Ahora bien, es obvio que: ~r2 − ~r1 = ~r = ~∆2 − ~∆1.

m

2

O

r

r

Rr

∆1

∆2

2

m1

1

CENTRO DE MASAS

Figura 12.3: Movimiento con respecto al centro de masas

Como el origen de coordenadas es el centro de masas ( ~R = 0) entonces los vectores deposicion de las partıculas son ahora, de acuerdo con (12.11): ~∆1 = ~r1 y ~∆2 = ~r2. Estoimplica, de acuerdo con la definicion del centro de masas (12.7), que se cumple:

m1~∆1 +m2

~∆2 = 0. (12.13)

Esta ecuacion es muy importante, pues nos permite hallar cualquiera de los dos vectoresposicion en funcion del otro, esto es:

~∆1 = −m2

m1

~∆2, ~∆2 = −m1

m2

~∆1. (12.14)


Con estas ecuaciones podemos representar el vector relativo ~r = ~∆2 − ~∆1 en terminosde uno de los dos vectores posicion con respecto al centro de masas. En efecto, de (12.13):

m2~∆2 = −m1

~∆1, (12.15)

restando a ambos lados el termino m2~∆1:

m2~∆2 −m2

~∆1 = −m1~∆1 −m2

~∆1, (12.16)

o sea:

m2(~∆2 − ~∆1) = −(m1 +m2)~∆1, (12.17)

o tambien:

(~∆2 − ~∆1) = ~r2 − ~r1 = ~r =−(m1 +m2)

m2

~∆1. (12.18)

De identica forma podemos obtener de la ecuacion (12.15), al sumar a ambos ladosm1

~∆2 :

(~∆2 − ~∆1) = ~r2 − ~r1 = ~r =(m1 +m2)

m1

~∆2. (12.19)

Con estas, se deduce la magnitud del vector relativo en funcion de las magnitudes de losvectores ~∆1 o de ~∆2, denotadas por ∆1 y ∆2 respectivamente, que al elevar al cubo resulta:

r3 = |~r|3 =∣∣∣~∆2 − ~∆1

∣∣∣3 =(m1 +m2)3

m32

∆31, (12.20)

r3 = |~r|3 =∣∣∣~∆2 − ~∆1

∣∣∣3 =(m1 +m2)3

m31

∆32. (12.21)

Reemplazando las ecuaciones (12.12), (12.18), (12.19), (12.20) y (12.21) en las ecuaciones(12.3), obtenemos las ecuaciones de movimiento de m1 y m2 con respecto al centro de masasen funcion de solo los vectores ~∆1 y ~∆2 y sus magnitudes:

d2~∆2

dt2= − Gm3

1

(m1 +m2)2

~∆2

∆32

,d2~∆1

dt2= − Gm3

2

(m1 +m2)2

~∆1

∆31

. (12.22)

Tenemos aca en total dos ecuaciones diferenciales vectoriales de segundo orden, que re-presentan seis ecuaciones diferenciales en terminos de sus componentes. Pero, si podemosresolver alguna de las dos, digamos para ~∆2, la solucion para ~∆1 queda determinada inmedia-tamente, merced a las ecuaciones (12.14). En otras palabras, al haber elegido como origende coordenadas al centro de masas ya no es necesario resolver seis ecuaciones diferencialesde segundo orden, sino tres. Basta con encontrar la solucion para alguna de las ecuacionesvectoriales (12.22) para que el movimiento de ambas partıculas quede completamente es-pecificado con respecto al centro de masas.

12.2. EL MOVIMIENTO RELATIVO 229

Por ultimo, notemos que la ecuacion diferencial de movimiento para ambas partıculaspuede representarse de la forma:

d2~∆i

dt2= −Ki

~∆i

∆3i

, (12.23)

donde Ki es una constante, que depende solo de la constante de Cavendish y de las masas.Como se vera a continuacion, nos encontraremos con una ecuacion diferencial que tiene laforma dada por la ecuacion 12.23 que sera a la postre la que resolveremos. Por lo tanto, laspropiedades de movimiento que encontremos en ese caso seran analogas para las partıculasque se desplazan con respecto al centro de masa.

12.2 El movimiento relativo

Existe otra manera de resolver el problema de los dos cuerpos con solo tres ecuacionesdiferenciales y no seis. Y esto es estudiando el movimiento de una partıcula con respectoa la otra: adoptar como origen de coordenadas a cualesquiera de las dos partıculas. Elmovimiento relativo de m2 con respecto a m1 (o viceversa) es el mas ampliamente estudiadoen los libros de astrodinamica y mecanica celeste. No debe extranarnos, pues al fin y alcabo el astronomo desea encontrar el movimiento de un planeta con respecto al Sol, o el deun satelite con respecto a su planeta, y no con respecto a un punto arbitrario cualesquieraubicado en el espacio.

De las ecuaciones (12.3) tenemos que:

d2 ~r2

dt2= −Gm1

r3~r,

d2 ~r1

dt2=Gm2

r3~r, (12.24)

que al restar la segunda de la primera queda:

d2

dt2(~r2 − ~r1) = −G(m1 +m2)

r3~r, (12.25)

o tambien:

d2~r

dt2= −G(m1 +m2)

r3~r. (12.26)

Esta es la ecuacion diferencial que describe el movimiento de m2 con respecto a un ori-gen centrado en m1. Notese que es una expresion que tiene la misma forma funcional de laexpresion (12.23). Es la unica ecuacion de la mecanica celeste clasica que tiene una solucionanalıtica completamente cerrada, esto es, las tres ecuaciones que representa, en terminos desus componentes, se pueden resolver, o lo que es lo mismo, es posible hallar las seis cons-tantes de movimiento (recuerdese que son tres ecuaciones diferenciales de segundo orden).

¿Que es lo que se persigue con todo esto? Al fin y al cabo la incognita de la ecuacion(12.26) es el vector de posicion relativo ~r. Solucionar la ecuacion ( 12.26) es encontrar lamanera de hallar ~r en funcion del tiempo. Se consigue integrando dos veces la ecuacion con


respecto al tiempo. Si se logra integrarla una vez obtenemos el vector velocidad d~r/dt paratodo tiempo.

Si se desea, una vez encontrado ~r, hallar las componentes de los vectores posicion dem1 y m2 con respecto al centro de masas (~∆1 y ~∆2) no es mas sino utilizar las ecuaciones(12.18) y (12.19).

12.2.1 Aceleraciones

Hagamos un pequeno parentesis con el fin de comentar sobre la magnitud de las aceleracionesen el problema de los dos cuerpos. Lo que tenemos al lado izquierdo de la ecuacion (12.26)es, al fin y al cabo, una aceleracion. Es claro que dicha aceleracion es funcion de la distancia.Muy lejos del cuerpo de masa m1 la aceleracion que experimenta el cuerpo de masa m2 vatendiendo a cero; igualmente, la aceleracion se va haciendo muy grande (y en principio vatendiendo a infinito) si la distancia entre los cuerpos cada vez es mas pequena. Podemosescribir la ecuacion (12.26) de la siguiente forma (omitiendo el signo negativo y la notacionvectorial):

a =G(m1 +m2)

(R+ h)2, (12.27)

donde a representa la magnitud de la aceleracion del cuerpo de masa m2 con respecto al demasa m1, R es el radio del cuerpo de masa m1 y h es la altura del cuerpo de masa m2 (conrespecto a la superficie del primero) considerado de dimensiones despreciables frente al demasa m1, (ver figura 12.4).

m

m

R

1

2

hr

Figura 12.4: Dos cuerpos interactuando

Existe un caso particular consistente en aproximar la aceleracion entre dos masas m1 ym2, dado por la ecuacion (12.27), que es el estudio de la aceleracion a de un objeto de masam2 en las vecindades de la superficie del objeto de masa m1 de tal forma que la distancia

12.2. EL MOVIMIENTO RELATIVO 231

entre los mismos es del orden r ∼ R. Supongamos ademas que m1 À m2. Entonces laaceleracion de la gravedad ejercida por m1 sobre m2 adopta la forma:

a =Gm1

R2, (12.28)

lo que significa que la aceleracion de la gravedad es, en este caso, no solo una constante sinoque tambien es independiente de la masa de m2.

Ejemplo 1

Calcular la aceleracion de la gravedad ejercida por el planeta Tierra sobre los siguientescuerpos:

a) Uno de masa de 100 toneladas en la superficie terrestre.b) Un satelite geoestacionario de 10 toneladas a una altura h sobre la superficie terrestre

de 35 770 kilometros.c) La Luna.

Solucion

a) El radio terrestre es RT = 6378.14 km = 6 378 140 m. Puesto que en este caso la masade la Tierra (m1) es 5.97× 1024 kg y que nuestro objeto m2 = 100 toneladas = 100 000 kg,es claro que m1 À m2 por lo que podemos utilizar la ecuacion (12.28):

a =6.67× 10−11 × 5.97× 1024

(6 378 140)2= 9.78 ms−2,

valor muy importante en fısica pues representa la aceleracion que experimenta cualquierobjeto cuando cae libremente cerca de la superficie de la Tierra.

b) El caso del satelite geoestacionario (ver seccion 15.4, pag. 327) es otro en donde m1 Àm2. Sin embargo, la altura h a la cual se encuentra el satelite es varias veces mas grande queel radio terrestre por lo que debemos utilizar la ecuacion (12.27) con r = RT +h = 42 148 140m y m2 = 0. Entonces:

a =6.67× 10−11 × 5.97× 1024

(42 148 140)2= 0.22 ms−2

c) En el caso de la Luna, cuya masa es 7.4 × 1022 kg y cuya distancia promedio a laTierra es de 384 400 km = 384 400 000 m, ya es claro que su masa no es tan despreciablefrente a la de la Tierra, por lo que:

a =6.67× 10−11 × (5.97× 1024 + 7.4× 1022)

(384 400 000)2= 0.0027 ms−2


Es bueno aclarar aquı que en los cursos elementales de fısica, cuando se estudia elmovimiento de una partıcula en tiro parabolico (como la que describe una bala de canon),es costumbre colocar la aceleracion de la gravedad como constante pues se supone que elmovimiento de m2 esta restringido a moverse cerca de la superficie terrestre. Esto se hace conel fin de que, en primera aproximacion, se resuelvan facilmente las ecuaciones de movimien-to de una partıcula sometida a un campo gravitacional pero, insistimos, con aceleracionconstante. Las ecuaciones que se obtienen de esta manera expresan el movimiento de lapartıcula de modo que la trayectoria descrita resulta siendo la de una parabola. Veremosmas adelante que, al ser mas rigurosos en nuestros calculos y al considerar el caso real deque la aceleracion de la gravedad depende de la distancia (y no es constante), la trayectoriade una partıcula sometida a la atraccion gravitacional puede ser otro tipo de curva.

12.3 Eleccion de un sistema de coordenadas

Sea el centro del Sol (cuya masa designaremos m1) el origen de un sistema de coordenadascartesiano apropiado para estudiar el movimiento de cualquier objeto (de masa m2). El ejex se escoge de tal forma que su direccion se proyecta hacia el punto vernal. El plano xyesta conformado por el plano de la eclıptica (el plano que contiene la orbita de la Tierra entorno al Sol) y el eje z es perpendicular a dicho plano. Por lo tanto, a las coordenadas deun cuerpo ası definidas se les llama coordenadas rectangulares eclıpticas heliocentricas (verfigura 12.5).

m

x

y

z

PLANO DE LA ECLIPTICA

m

2

1

r

ij

k

Figura 12.5: Las coordenadas eclıpticas heliocentricas

12.4. EL MOMENTUM ANGULAR 233

Las coordenadas de m2 con respecto a dicho sistema de coordenadas se pueden escribircomo:

~r = xi+ yj + zk, (12.29)

donde i, j y k son vectores unitarios en las direcciones de los ejes x, y, z respectivamente.La distancia entre los cuerpos es la magnitud de ~r:

r =√x2 + y2 + z2. (12.30)

Los vectores velocidad y aceleracion (representando la primera y segunda derivada tem-poral por uno o dos puntos respectivamente sobre la letra) son tambien:

~r = ~v = xi+ yj + zk, (12.31)

~r = xi+ yj + zk. (12.32)

Al reemplazar las ecuaciones (12.29) y (12.32) en (12.26) obtenemos:

xi+ yj + zk = − µr3

(xi+ yj + zk), (12.33)

dondeµ = G(m1 +m2). (12.34)

De la ecuacion (12.33) se obtiene, al factorizar los vectores unitarios:

x = − µr3x, y = − µ

r3y, z = − µ

r3z. (12.35)

Desafortunadamente, la forma de estas ecuaciones diferenciales — tal y como estanescritas — impide que se puedan resolver directamente en forma analıtica.

12.4 El momentum angular

Antes de proceder a solucionar las ecuaciones (12.35) encontraremos una primera integralde movimiento que ayudara a simplificar el tratamiento subsiguiente.

Multipliquemos vectorialmente a ambos lados de la ecuacion (12.26) por×~r, y recordandoque para cualquier vector ~A, ~A× ~A = 0, se tiene:

~r × ~r = ~0, (12.36)

sumando a ambos lados de la anterior expresion un cero en la forma ~r × ~r (~r = ~v):

~r × ~r + ~r × ~r = ~0,

que puede escribirse, con ayuda de la regla de Leibnitz, de la siguiente forma:


d

dt(~r × ~r) = ~0.

Al integrar resulta:

~r × ~r = ~h, (12.37)

donde ~h es un vector constante, esto es, es una cantidad cuya magnitud y sentido es cons-tante. Puesto que ~h es un vector perpendicular a un plano formado por ~r y ~r, la unicamanera de que ~h sea un invariante, para todo tiempo, es que el movimiento se verifique enun plano. En otras palabras, el movimiento de m2 con respecto a m1 esta contenido en unplano formado por el vector posicion ~r y el vector velocidad ~r, (ver figura 12.6).

.=

r

r v

TRAYECTORIAm1

m2

h

Figura 12.6: Momentum angular constante: el movimiento esta contenido en un plano

El vector ~h es llamado momentum angular, o mas rigurosamente, momentum angularpor unidad de masa. En terminos de sus componentes el vector ~h representa tres constantesde movimiento (h1, h2, h3), con lo cual :

~h = h1i+ h2j + h3k. (12.38)

De la definicion del producto cruz:

~h = ~r × ~r =

∣∣∣∣∣∣i j kx y zx y z

∣∣∣∣∣∣ , (12.39)

esto es,

h1 = yz − zy, (12.40)h2 = zx− xz, (12.41)h3 = xy − yx. (12.42)


Tambien podemos hallar la magnitud del vector ~h en funcion del angulo ϑ existente entre~r y ~r :

h = rv senϑ, (12.43)

donde v es la magnitud de la velocidad. En astrodinamica el angulo ϑ es llamado angulo devuelo.

Un cambio de coordenadas

Hemos visto que el movimiento de m2 con respecto a m1, sea cual sea, esta contenido en unplano. Esto en la practica significa que en lugar de usar tres coordenadas podemos estudiarel movimiento utilizando solo dos. Es una ventaja significativa, consecuencia directa dehaber hallado tres constantes (h1, h2, h3) de movimiento.

Procedamos a resolver las ecuaciones diferenciales (12.35). Ya se dijo que tal y comoestan escritas no se pueden resolver. Lo propio es cierto aun con dos variables, digamos xy y. Una manera de intentar resolver el problema es utilizar otro sistema de coordenadas.Como veremos a continuacion, pasar a un sistema de coordenadas polares (r, θ) permiteencontrar mas constantes de movimiento y ası resolver el problema.

x

y

θ

m

m

ru

2

j

uθ

1

r

i

Figura 12.7: Relacion entre coordenadas cartesianas y polares

Debemos partir de la ecuacion (12.26), que por simplicidad aquı escribimos de otramanera:

~r = − µr2ur. (12.44)


El primer paso es reemplazar en esta ecuacion el valor de la aceleracion en coordenadaspolares. Procedamos brevemente a encontrar esta expresion. Puesto que ~r = rur, al derivarcon respecto al tiempo y no olvidando que ur (el vector unitario en la direccion de ~r), aunquetiene magnitud igual a la unidad, esta cambiando con el tiempo (pues esta cambiando dedireccion), tenemos:

~r = rur + rûr, (12.45)

al tomar de nuevo la derivada con respecto al tiempo:

~r = rur + 2rûr + rûr. (12.46)

Debemos ahora calcular los valores de ûr y ûr en funcion de ur y uθ, siendo este ultimoun vector unitario ortogonal a ur. De la figura 12.7 vemos la relacion de estos vectores enfuncion de los i y j definidos sobre los ejes cartesianos x y y. Es evidente que:

ur = cos θi+ sen θj, uθ = − sen θi+ cos θj. (12.47)

Al derivar la primera con respecto al tiempo (i y j son constantes en direccion y enmagnitud):

ûr = − sen θθi+ cos θθj = θuθ. (12.48)

Al derivar otra vez con respecto al tiempo:

ûr = θûθ + θuθ, (12.49)

y puesto que de la segunda ecuacion (12.47) se desprende que ûθ = −θur se obtiene:

ûr = −θ2ur + θuθ. (12.50)

Por lo tanto, los vectores velocidad (12.31) y aceleracion (12.32) en coordenadas polaresquedan:

~r = rur + rθuθ, ~r = (r − rθ2)ur + (rθ + 2rθ)uθ. (12.51)

Finalmente, reemplazamos la segunda ecuacion (12.51) en (12.44):

(r − rθ2)ur + (rθ + 2rθ)uθ = − µr2ur. (12.52)

Igualando los terminos con coeficientes iguales a ambos lados tenemos, haciendo explıcitala notacion de las derivadas:

d2r

dt2− r

(dθ

dt

)2

= − µr2, (12.53)

rd2θ

dt2+ 2

dr

dt

dθ

dt= 0. (12.54)


Estas dos ecuaciones diferenciales son relativamente faciles de resolver, como se vera acontinuacion.

Comencemos por la ecuacion (12.54). Llamando u = dθ/dt, o sea, du/dt = d2θ/dt2, laecuacion queda:

rdu

dt+ 2u

dr

dt= 0,

que al multiplicar a ambos lados por dt/ru se convierte en:

du

u+ 2

dr

r= 0,

cuya solucion es inmediata:

lnu+ 2 ln r = lnC1,

donde C1 es una constante de integracion. Al utilizar algunas propiedades de los logaritmos(2 ln r = ln r2, lnu + ln r2 = ln(ur2)), aplicar la exponencial a ambos lados y recuperandola definicion de u se llega finalmente a:

dθ

dt=C1

r2. (12.55)

Antes de seguir es necesario identificar a la constante C1.

12.4.1 Areas y tiempos: otra vez la segunda ley de Kepler

Ya sabemos que el movimiento de m2 con respecto a m1 esta contenido en un plano. Ahoraconcentremos nuestra atencion en el area descrita por m2 en dicho plano. Pero lo haremosde dos formas. Una en funcion del tiempo y otra en funcion del angulo barrido.

Relacion area-tiempo

En la figura 12.8 sea, para un instante de tiempo dado, el vector de posicion ~r. Uninstante de tiempo despues ∆t el vector ~r se ha incrementado un valor ~r + ∆~r.

El diferencial de area ∆ ~A cubierto por ~r y ~r + ∆~r es, de acuerdo con la interpretaciongeometrica del producto cruz (la mitad del paralelogramo comprendida por los dos vectores):

∆ ~A =~r × (~r + ∆~r)

2,

o, al dividir por la diferencial de tiempo ∆t,

∆ ~A

∆t=~r

2× ∆~r

∆t.

Al tomar el limite cuando ∆t tiende a cero tenemos:


rm

m

∆

1

A

r+∆ r

2

Figura 12.8: Relacion area-tiempo

lim∆t→0

∆ ~A

∆t=d ~A

dt= lim

∆t→0

[~r

2× ∆~r

∆t

]=~r

2× lim

∆t→0

∆~r∆t

,

y puesto que

lim∆t→0

∆~r∆t

=d~r

dt= ~r,

esto es, el vector velocidad, tenemos:

d ~A

dt=

12~r × ~r,

y recordando la definicion del momentum angular, ecuacion (12.37)

d ~A

dt=~h

2,

o, eliminando la notacion vectorial y reordenando:

dA =h

2dt. (12.56)

Esta expresion es la forma matematica de la segunda ley de Kepler: el cuerpo de masam2 barre una diferencial de area que es proporcional a la diferencial de tiempo, esto es, elcuerpo barre areas iguales en tiempo iguales (ver ecuacion (11.5), pagina 215).

Relacion area-angulo

En la figura 12.9, se quiere calcular el area generada por el movimiento del cuerpo m2

al barrer un cierto angulo ∆θ. Dicha area puede aproximarse a la del triangulo isoscelesmostrado en dicha figura.

El triangulo tiene por base 2r sen (∆θ/2) y por altura r cos(∆θ/2). Entonces el area ∆Ade dicho triangulo es:


∆θ

∆θ/2

mmr

2

1

Figura 12.9: Relacion area-angulo

∆A = r2 sen(

∆θ2

)cos(

∆θ2

),

aplicando la identidad trigonometrica: 2 senx cosx = sen 2x se deduce

∆A =r2

2sen ∆θ,

que al dividir por ∆θ se obtiene:

∆A∆θ

=r2

2sen ∆θ

∆θ.

El area del triangulo se va haciendo igual al area de nuestro interes siempre y cuando∆θ tienda a cero. Por lo tanto

lim∆θ→0

∆A∆θ

=dA

dθ= lim

∆θ→0

[r2

2sen ∆θ

∆θ

]=r2

2lim

∆θ→0

sen ∆θ∆θ

.

Siendo el limite de la derecha uno de los mas conocidos del calculo elemental (cuyo valores igual a la unidad) tenemos

dA

dθ=r2

2,

o tambien:

dA =r2

2dθ. (12.57)

Ya estamos en posicion de identificar C1. Al igualar las ecuaciones (12.56) y (12.57) sededuce:


h

2dt =

r2

2dθ,

o escrita de otra forma:

dθ

dt=

h

r2, (12.58)

que al comparar con la ecuacion (12.55) da el notable resultado:

C1 = h. (12.59)

12.5 Momentum angular cero: la orbita rectilınea

A continuacion discutiremos brevemente el caso del momentum angular cero. Hasta dondese sabe este es un caso que en el sistema solar —y en general en el universo— es raro deencontrar, y es el estudio del movimiento de la partıcula m2 cuando, estando a una distanciar de m1 para un instante dado, posee un vector velocidad que, o bien es nulo, o esta en lamisma direccion (o completamente opuesto) a la direccion del radio vector, esto es, no existecomponente tangencial de la velocidad.

ϑ=0

v=0

v

vϑ=180

r

r

r

Figura 12.10: Orbita rectilınea

De la ecuacion (12.43) vemos que ello implica que ϑ = 0 (o ϑ = 180) por lo que se diceque en tal caso el momentum angular es cero. Puesto que h = 0 se tendra, de acuerdo con(12.58), que

dθ

dt= 0,

12.5. MOMENTUM ANGULAR CERO: LA ORBITA RECTILINEA 241

lo que significa que θ = constante: el movimiento es posible expresarlo con una sola variable,o, en otras palabras, el movimiento se da en una lınea recta (ver figura 12.10). Dado qued2θ/dt2 = 0, al reemplazar estos terminos en (12.53) y (12.54) vemos que la unica ecuacionque determina el movimiento es:

d2r

dt2= − µ

r2.

Puesto que:d2r

dt2=dr

dt

d2r

dt2dt

dr=dr

dt

d

dr

(dr

dt

)= r

dr

dr,

entonces:

rdr

dr= − µ

r2,

que al multiplicar por dr e integrar da:

r2

2=µ

r+ C, (12.60)

donde C es una constante de integracion. Puesto que la unica componente de velocidad eneste caso es la componente radial tenemos que v = r.

El siguiente paso es hallar como cambia r en funcion del tiempo. Se pueden estudiardiversos casos dependiendo de las condiciones iniciales. Solo como ilustracion estudiaremosel caso en que, para t = t0 a una distancia r = r0 = 2a′, la velocidad es cero. Con estoultimo en mente tenemos que C es igual a:

C = − µ

2a′. (12.61)

Para este caso en particular, la velocidad v adopta la forma:

v =

√2µr− µ

a′. (12.62)

Hay que tener en cuenta que al ser la velocidad inicial nula el objeto sera, conformetranscurre el tiempo, atraido hacia el origen, o sea, r ira disminuyendo. En otras palabras:a medida que t aumenta r disminuye. Por lo tanto es necesario asegurar que dr y dttengan signos contrarios. Al reemplazar en (12.62) explıcitamente el valor de v (v = dr

dt )),obtenemos, despues de algunos arreglos:

dr = −

√µ

(2r− 1a′

)dt = −

√µ

r

√(2r − r2

a′

)dt = −

√µ

r

√[a′ − 1

a′(a′2 − 2ra′ + r2)

]dt,

o tambien:

r√a′[1− 1

a′2 (a′ − r)2]dr = −√µdt,


que es equivalente a:

r√[1− (a′−ra′ )2

]dr = −√µa′dt. (12.63)

Al introducir la variable de integracion φ definida como:

cosφ =a′ − ra′

,

de la que se deduce:

r = a′(1− cosφ), dr = a′ senφdφ.

Al reemplazar esto ultimo en el termino de la izquierda de (12.63) obtenemos:

a′2(1− cosφ)dφ = −√µa′dt,

que al integrar da:

φ− senφ

]φφ0

= φ−√

1− cos2 φ

]φφ0

= −√

µ

a′3t

]tt0

.

Recuperando la variable original:

cos−1

(a′ − ra′

)−

√1−

(a′ − ra′

)2]r

2a′

= −√

µ

a′3t

]tt0

.

Por lo tanto: √1−

(a′ − ra′

)2

− cos−1

(a′ − ra′

)+ π =

√µ

a′3(t− t0). (12.64)

Esta ecuacion nos permite hallar r en funcion de t. Sin embargo, a causa de la trascen-dencia de la expresion de la izquierda (es imposible aislar r directamente) la forma usual esresolverla por aproximaciones o tanteos. Mas obvio y logico es invertir el asunto: dado un rcualquiera hallar directamente el tiempo que ha transcurrido para que se llegue a ese valor.

12.6 Momentum angular diferente de cero: trayectoriasconicas

Resolvamos ahora la ecuacion (12.53). Al multiplicar a ambos lados por 2dr/dt:

2dr

dt

d2r

dt2− 2r

dr

dt

(dθ

dt

)2

= −2µr2

dr

dt,

12.6. MOMENTUM ANGULAR DIFERENTE DE CERO: TRAYECTORIAS CONICAS 243

y reemplazando el valor de dθ/dt dado por (12.58) tenemos:

2dr

dt

d2r

dt2− 2

dr

dt

h2

r3= −2µ

r2

dr

dt,

que al integrar con respecto al tiempo da:(dr

dt

)2

+h2

r2=

2µr

+ 2C2, (12.65)

donde C2 es una nueva constante de integracion. Ahora bien, esta ecuacion la integraremosde dos formas. Primero cambiaremos de variable independiente. Renunciemos por ahora aintegrar esta ecuacion en terminos del tiempo (r = r(t)) y mas bien hagamoslo en terminosde la variable angular θ, de tal forma que podamos hallar una solucion del tipo r = r(θ).Con esto en mente es claro que:

dr

dt=dr

dθ

dθ

dt,

y puesto que dθ/dt se elimina a traves de (12.58):

dr

dt=

h

r2

dr

dθ=

d

dθ

(−hr

), (12.66)

reemplazando este valor en (12.65) y rearreglando:

d

dθ

(−hr

)=

√−h

2

r2+

2µr

+ 2C2,

sumando y restando dentro del radical a µ2/h2:

d

dθ

(−hr

)=

√2C2 +

µ2

h2−(µ2

h2− 2µ

r+h2

r2

),

llamando al termino constante:

Q2 = 2C2 +µ2

h2, (12.67)

y factorizando obtenemos:

d

dθ

(−hr

)=

√Q2 −

(−µh

+h

r

)2

.

Cambiemos ahora de variable. Designemos a Φ igual a:

Φ = −µh

+h

r, (12.68)

de la cual es evidente que:

d

dθ

(−hr

)=

d

dθ

(−µh− Φ

)= −dΦ

dθ,


y por lo tanto:

−dΦdθ

=√Q2 − Φ2,

o mejor:

− dΦ√Q2 − Φ2

= dθ.

La integral de la izquierda se resuelve con las funciones trigonometricas inversas. Re-solviendo:

cos−1

(ΦQ

)= θ + γ,

donde γ es una constante de integracion. De esta ultima ecuacion se deduce:

Φ = Q cos(θ + γ).

Recuperando los valores de Q y Φ en las ecuaciones (12.67) y (12.68):

−µh

+h

r=

√2C2 +

µ2

h2cos(θ + γ),

de esta ecuacion es evidente que lo que hemos logrado es obtener r en funcion de θ. Es-cribamosla en otra forma, dividiendo por h a ambos lados y aislando el termino de r a laizquierda:

1r

=µ

h2+

1h

√2C2 +

µ2

h2cos(θ + γ),

invirtiendo a ambos lados:

r =1

µh2 + 1

h

√2C2 + µ2

h2 cos(θ + γ),

que al dividir por µ/h2 en el numerador y el nominador del lado derecho queda:

r =h2/µ

1 +√

1 + 2C2h2

µ2 cos(θ + γ). (12.69)

Esta ecuacion, aparentemente tan complicada, es la denominada ecuacion de la trayec-toria, y representa la ecuacion generalizada en coordenas polares de una conica (elipse,parabola, hiperbola) con origen en uno de los focos. En otras palabras, dependiendo de losvalores de las constantes h, C2 y γ podemos obtener alguna de los tres tipos de trayectoriasque acabamos de mencionar. Con ello estamos generalizando la primera ley de Kepler puesno solo m2 se mueve con respecto a m1 en una orbita elıptica con este (el origen) en uno delos focos, sino que tambien puede ser parabolica o hiperbolica.


Como ya se dijo, pero conviene recordarlo, en mecanica celeste la distancia entre m1 ym2, (r), digamos entre el Sol y un planeta, es llamada radio vector y la variable angular (θ)se llama anomalıa verdadera.

12.6.1 Conicas

Discutiremos a continuacion algunas propiedades basicas de las conicas.

Elipse

Detalles sobre las propiedades geometricas de la elipse ya se habıan tratado en la seccion11.2.1, pag. 211.

Al comparar la ecuacion (11.4), pagina 213, con (12.69) vemos que:

h2

µ= a(1− e2), e =

√1 +

2C2h2

µ2, γ = 0. (12.70)

De la segunda ecuacion se deduce:

1− e2 = −2C2h2

µ2,

que al reemplazar en la primera de las (12.70) obtenemos el valor de la constante C2:

C2 = − µ

2a. (12.71)

Parabola

La parabola es el lugar geometrico de los puntos que equidistan de un punto llamadofoco y una lınea recta fija llamada directriz. En otras palabras, en una parabola (ver figura12.11) se cumple PF = PR.

Llamamos q a la distancia pericentrica, esto es, la menor distancia existente entre el focoy la trayectoria. Puesto que el punto S hace parte de la parabola se tendra que FS = ST .Entonces es claro que FT = 2q. Habiendo colocado el foco de la parabola en el origen decoordenadas se deduce que la ecuacion de la directriz es x = 2q.

Designemos como (x, y) a las coordenadas del punto P . Las coordenadas del punto Rson (x = 2q, y). La distancia PR es (2q − x). De la definicion de parabola se desprendeentonces que FP 2 = PR2, esto es:

x2 + y2 = (2q − x)2,


r

θ

x

y

qF

P R

DIR

EC

TR

IZS

T

Figura 12.11: Orbita parabolica

que al utilizar las ecuaciones de transformacion entre coordenadas cartesianas y polares(x = r cos θ, y = r sen θ) queda:

r2 = (2q − r cos θ)2,

que al extrarer la raız cuadrada y reordenar da:

r =2q

1 + cos θ. (12.72)

En este caso, el coeficiente del coseno en el denominador, que es la excentricidad, es iguala la unidad.

Al comparar la ecuacion (12.69) con (12.72) vemos que:

h2

µ= 2q, 1 =

√1 +

2C2h2

µ2, γ = 0. (12.73)

La unica manera de que se pueda cumplir la identidad de la segunda ecuacion es (elmomentum angular h es distinto de cero cuando la trayectoria es una conica):

C2 = 0. (12.74)


Hiperbola

La hiperbola es el lugar geometrico de los puntos tales que la diferencia de distanciasa dos puntos fijos llamados focos es una constante. Esto es, en la hiperbola se cumple larelacion: PF − PF ′ = constante.

F´ae

r

θ

F

a

y

x

P

C

Figura 12.12: Orbita hiperbolica

La ecuacion que describe una hiperbola en coordenadas polares con origen en alguno delos focos es:

r =a(e2 − 1)1 + e cos θ

, (12.75)

donde a es el semieje mayor y e es la excentricidad (1 < e < ∞) definida como e = CF/a.

Al comparar la ecuacion (12.75) con (12.69) vemos que:

h2

µ= a(e2 − 1), e =

√1 +

2C2h2

µ2, γ = 0. (12.76)

De la segunda ecuacion se deduce:

e2 − 1 =2C2h

2

µ2,

que al reemplazar en la primera obtenemos el valor de la constante C2:


C2 =µ

2a. (12.77)

12.7 La energıa total

Antes de seguir con el estudio de las conicas necesitamos identificar fısicamente a la constanteC2. La ecuacion (12.65), con h reemplazado por la ecuacion (12.58), es:(

dr

dt

)2

+ r2

(dθ

dt

)2

=2µr

+ 2C2. (12.78)

Pero, de la ecuacion de la velocidad en (12.51) se deduce que:(~r)2

= v2 = (rur + rθuθ) · (rur + rθuθ),

esto es,v2 = r2 + r2θ2,

que al comparar con (12.78) resulta:

v2

2− µ

r= C2.

Multiplicando a ambos lados por m1m2/(m1 +m2) y recordando que µ = G(m1 +m2),ecuacion (12.34), tenemos:

m1m2

m1 +m2

v2

2− Gm1m2

r=

m1m2

m1 +m2C2. (12.79)

Esta es una ecuacion muy importante, pues el primer termino del lado izquierdo esllamado energıa cinetica; el segundo, energıa potencial . La suma de ambos tipos de energıases una constante.

Llamaremos energıa total del sistema H a:

H =m1m2

m1 +m2C2, (12.80)

de tal forma que:

m1m2

m1 +m2

v2

2− Gm1m2

r= H. (12.81)

Los valores de H para las tres conicas se hallan al reemplazar los valores de C2 en (12.71),(12.74) y (12.77):

Elip. H = −Gm1m2

2a, (12.82)

Par. H = 0, (12.83)

Hip. H =Gm1m2

2a. (12.84)

12.8. CALCULOS DE MASA: OTRA VEZ LA TERCERA LEY DE KEPLER 249

El hecho de que la energıa total H sea negativa en la orbita elıptica quiere decir, deacuerdo con (12.81), que el termino de la energıa potencial, siempre negativo, excede altermino de la energıa cinetica (rigurosamente positivo). Puede decirse que a causa del bajovalor de la velocidad v el cuerpo m2 esta condenado a moverse para siempre alrededor dem1 en una orbita cerrada, esto es, en una elipse. Claro, a menos que se pueda incrementarde algun modo la velocidad. Si el termino de velocidad aumenta de alguna forma es posibleque el valor de la energıa cinetica llegue a equipararse en valor absoluto al de la energıapotencial (H = 0). Si ese es el caso, el cuerpo deja de moverse en una orbita elıptica yahora describe una parabola. De aquı en adelante un ligero exceso de velocidad hara que laenergıa cinetica sea mayor que la energıa potencial y el cuerpo comienza a moverse en unatrayectoria hiperbolica.

12.8 Calculos de masa: otra vez la tercera ley de Kepler

Como ya habıamos mencionado anteriormente en la seccion 11.2.3 existe, en el caso de laorbita elıptica, una notable relacion entre el semieje mayor a y el tiempo que tarda el cuerpom2 en dar una revolucion completa alrededor de m1, esto es, el perıodo T .

La expresion matematica de la segunda ley de Kepler es la ecuacion (12.56) que aquıreproducımos por comodidad:

dA =h

2dt.

Integrando desde un area cero (para el tiempo t = 0) hasta que el movil cubra toda elarea de la elipse At lo cual se consigue al completar un perıodo T , tenemos:

At =h

2T,

pero el area At de una elipse es igual a At = πab, donde b es el semieje menor, cuya relacioncon a es a traves de la ecuacion (11.1), pagina 212. Ahora bien, puesto que para la elipse setiene h =

√aµ(1− e2) (primera de las ecuaciones (12.70)), obtenemos:

πa2 =√aµ

2T,

que al elevar al cuadrado, haciendo explıcito µ y reordenar da:

T 2 =4π2

G(m1 +m2)a3, (12.85)

que dice que el cuadrado del perıodo de revolucion es proporcional al cubo del semieje mayor(tercera ley de Kepler).

La ecuacion (12.85) se puede escribir de varias maneras. Una de ellas es:


T =2πa3/2√

Gm1(1 + m2m1

). (12.86)

Llamemos k a la siguiente relacion:

k =√Gm1. (12.87)

Si m1 (el cuerpo central) es el Sol cuya masa es de 1.998×1030 kg, al utilizar como unidadde longitud a la unidad astronomica (149 597 870) km, la unidad de tiempo el dıa solar mediode 86 400 segundos, obtenemos un valor de k igual a:

k = 0.01720209895u.a.3/2

d. (12.88)

La constante k calculada para cuerpos que esten sometidos al campo gravitacional delSol, esto es, con el valor que acabamos de hallar, se llama constante de Gauss en honor delgran matematico, astronomo y fısico aleman Carl Friedrich Gauss.

Se ha de tener cuidado con el valor numerico de dicha constante al aplicarla a otrossistemas diferentes al de un cuerpo sometido a la atraccion del Sol. Por ejemplo, si se deseaestudiar el movimiento de un satelite alrededor de la Tierra el valor de k es distinto al dadopor (12.88) pues en este caso m1 es la masa de la Tierra. En tales casos se ha de escogerunas unidades de longitud y tiempo lo mas apropiadas posible.

Por lo tanto, la ecuacion (12.86), queda:

T =2πa3/2

k√

(1 + m2m1

). (12.89)

En el sistema solar las relaciones de masa del planeta a la masa del Sol (m2/m1) soncuanto mucho de un milesimo. Las masas de los asteroides y cometas que existen en nuestrosistema solar son tan minusculas que para todos los propositos practicos la relacion m2/m1

es cero.

Otra forma de escribir la tercera ley de Kepler es mediante el concepto de movimientomedio.

Se llama movimiento medio a la siguiente relacion:

n =2πT, (12.90)

en unidades de radianes por dıa.

Con el movimiento medio la ecuacion (12.85) puede escribirse ası:

µ = n2a3. (12.91)

12.8. CALCULOS DE MASA: OTRA VEZ LA TERCERA LEY DE KEPLER 251

Si n esta en unidades de grados por dıa (lo cual se logra multiplicando por 180/π) esfacil ver que:

n =k(180/π)

√(1 + m2

m1)

a3/2. (12.92)

¿Como hallar la masa de un determinado planeta, digamos Jupiter? Basta con observarpor varias noches una de sus lunas, medir la distancia media entre el satelite y el centrode Jupiter y el perıodo de traslacion del satelite alrededor del planeta (ambas medidas sonrelativamente faciles de realizar con un buen telescopio). Al suponer que la masa del satelitees, en primera aproximacion, despreciable frente a la de Jupiter (suposicion enteramenterazonable) el valor de la masa de Jupiter se halla de forma inmediata.

Ejemplo 1

Calcular la masa del planeta Marte si se sabe que su satelite Fobos posee un perıodoorbital de 0.3189 dıas a una distancia media al planeta de 9378 km.

Solucion

Sea m1 la masa del planeta Marte. Asumiremos que m2 (la masa de Fobos) escompletamente despreciable comparada con la de Marte. Entonces: T = 0.3189 d =0.3189× 86 400 = 27 553 s; a = 9378 km = 9 378 000 m. Ası, al despejar m1 de la ecuacion(12.85) y al hacer m2 = 0 tenemos:

m1 =4π2a3

GT 2=

4× (3.14)2 × (9 378 000)3

6.67× 10−11 × (27 553)2= 6.4× 1023kg.

Ejemplo 2

Calcular la altura sobre la superficie terrestre necesaria para que un satelite artificialubicado directamente sobre el ecuador terrestre y en una orbita circular, posea un perıodoexactamente igual al tiempo que le toma a la Tierra en dar una revolucion completa alrededorde su eje (1 dıa sideral). Nota: Un satelite de esta naturaleza se llama geoestacionario (verseccion 15.4, pag. 327) pues un observador en la Tierra (que tambien gasta 1 dıa sideral endar una revolucion completa) lo contemplara aparentemente estatico en el cielo.

Solucion

De nuevo, suponemos que la masa del cuerpo central, en este caso la Tierra, es muchomayor que la masa del satelite (m2 = 0). Llamando h la altura sobre la superficie terrestrey RT el radio de la Tierra, entonces a = RT + h. Puesto que T = 23h56m4s = 86 164 s (ver


seccion 7.2, pag. 110) ; m1 = 5.97× 1024 kg y RT = 6378.14 km= 6 378 140 m. Despejandoa de la ecuacion (12.85) tenemos:

a = RT + h = 3

√Gm1T 2

4π2,


h =[

6.67× 10−11 × 5.97× 1024 × (86 164)2

4× (3.14)2

]1/3

− 6 378 140,

= 3.577× 107 m = 35 770 km.

12.9 Velocidades

Podemos calcular la velocidad que lleva m2 con respecto a m1 en los tres tipos de orbitas.Basta con reemplazar los valores de la energıa total (ecuaciones 12.82, 12.83 y 12.84) en laecuacion (12.81) y despejar para v:

Elip. v = k

√(1 +

m2

m1

)√2r− 1a, (12.93)

Par. v = k

√(1 +

m2

m1

)√2r, (12.94)

Hip. v = k

√(1 +

m2

m1

)√2r

+1a. (12.95)

Ejemplo

Calcular:a) La energıa total que posee el planeta Tierra en su movimiento alrededor del Sol.b) La velocidad del planeta Tierra con respecto al Sol en el perihelio y en el afelio.c) La mınima energıa necesaria para colocar a la Tierra en una trayectoria de escape con

respecto al Sol.

Solucion

a) Necesitamos ciertos valores numericos: masa del Sol, m1 = 1.998×1030 kg; masa de laTierra, m2 = 5.97×1024 kg; semieje mayor de la orbita de la Tierra, a = 1 u.a. = 1.496×1011

m, G = 6.67 × 10−11 m3kg−1s−2. Habiendo colocado todos los valores en unidades MKSreemplazamos en la ecuacion (12.82):

12.9. VELOCIDADES 253

H =−6.67× 10−11 × 1.998× 1030 × 5.97× 1024

2× 1.496× 1011,

= −2.67× 1033 Julios,

siendo 1 Julio=1 kgm2s−2. Este valor de energıa es increiblemente enorme. Para dar unaidea al lector basta con decir lo siguiente: la bomba de hidrogeno mas potente que ha hechoexplotar el hombre fue de 58 megatones. 1 Megaton es la energıa que libera un millon detoneladas de alto explosivo quımico lo que equivale a 4.18 × 1015 Julios. Por lo tanto, labomba libero 2.4× 1017 Julios. Luego, la energıa total que posee la Tierra alrededor del Solequivale a la liberacion de energıa de unas 1.11×1016 bombas de hidrogeno de 58 megatones.Notese que el signo negativo indica la preponderancia de la energıa potencial gravitacionalsobre la energıa cinetica que posee la Tierra, lo que obliga a la Tierra a estar atrapadagravitacionalmente con respecto al Sol.

b) En el perihelio r = a(1 − e), siendo e = 0.016 para la Tierra. Aplicando la ecuacion(12.93) con m2 = 0 (pues la masa del Sol es trescientos mil veces mas grande que la de laTierra) se tiene:

v = k

√2

a(1− e) −1a

=k√a

√1 + e

1− e ,

reemplazando los valores numericos:

v =0.01720209895√

1

√1 + 0.0161− 0.016

= 0.017479 u.a./dıa,

que en unidades de km/s da 30.26 km/s.

En el afelio r = a(1 + e). Por lo tanto:

v = k

√2

a(1 + e)− 1a

=k√a

√1− e1 + e

,

reemplazando los valores numericos:

v =0.01720209895√

1

√1− 0.0161 + 0.016

= 0.016929 u.a./dıa,

que en unidades de km/s da 29.31 km/s.

c) Para colocar a la Tierra en una trayectoria de escape con respecto al Sol se necesitaque pase de una orbita elıptica a una trayectoria que mınimo sea parabolica. Por lo tanto,el resultado encontrado en el punto 1 es el valor que buscamos pues se necesita aumentar elvalor de la energıa cinetica en 2.67× 1033 Julios para que la energıa total sea cero.


12.10 El calculo de la anomalıa verdadera

La expresion que puede utilizarse para hallar a θ en funcion del tiempo es la ecuacion (12.58):

dθ

dt=

h

r2, (12.96)

puesto que h y r tienen valores distintos para la elipse, la parabola y la hiperbola se ha deconsiderar por aparte cada uno de ellos.

Reemplazando la ecuacion (11.4) y la primera de las (12.70) validas para la elipse te-nemos:

dθ

dt=

√aµ(1− e2)(1 + e cos θ)2

a2(1− e2)2, (12.97)

que puede escribirse como:

dθ

(1 + e cos θ)2=

√µdt

a3/2(1− e2)3/2. (12.98)

Se obtiene una ecuacion similar en el caso de la orbita hiperbolica salvo que el terminodel denominador en el lado derecho es e2−1 es vez de 1−e2. Desafortunadamente, la integralde la izquierda, con e 6= 1, es imposible de resolver con funciones sencillas conocidas. Esta esla razon principal del porque el calculo de θ, para la orbita elıptica e hiperbolica, en funciondel tiempo, sea un poco laborioso, como veremos a continuacion.

12.10.1 Orbita elıptica

La ecuacion (11.4) permite calcular r en funcion de θ. O tambien θ en funcion de r. Si pode-mos encontrar una ecuacion que permita hallar r en funcion del tiempo, entonces podemosdisponer de una conexion entre θ y t via el radio vector r. Hallemos pues la relacion entrer y t. De la ecuacion (12.65) con C2 definido para la elipse, esto es, con la ecuacion (12.71):

dr

dt=

√−h

2

r2+

2µr− µ

a.

Sigamos reemplazando valores especıficos para la orbita elıptica. De la ecuacion parah (primera de las ecuaciones (12.70) y puesto que µ esta relacionado con n via ecuacion(12.91) se obtiene, una vez multiplicado por r a ambos lados:

rdr

dt=√n2a2 [−a2(1− e2) + 2ar − r2].

Al reordenar obtenemos:

rdr√a2e2 − (r2 − 2ar + a2)

= nadt,

12.10. EL CALCULO DE LA ANOMALIA VERDADERA 255

o factorizando:

rdr√a2e2 − (r − a)2

= nadt.

Para integrar la expresion de la izquierda introducimos la variable E, llamada anomalıaexcentrica, definida por:

r = a(1− e cosE), (12.99)


r − a = −ae cosE,

dr = ae senEdE,

por lo tanto:

a2e(1− e cosE) senEdE√a2e2 − a2e2 cos2E

= nadt,

quedando simplemente:

(1− e cosE)dE = ndt.

Al hacer para el paso por el pericentro t0 un valor de E = 0 y para t un valor dado deE obtenemos, despues de integrar:

E − e senE = n(t− t0). (12.100)

Esta ecuacion es una de las mas famosas expresiones de la astronomıa dinamica. Seconoce con el nombre de ecuacion de Kepler y como se aprecia, es trascendente en E.

La variable M definida lineal en el tiempo se denomina anomalıa media:

M = n(t− t0). (12.101)

La ecuacion (12.99) era lo que estabamos buscando, pues siempre es posible determinarE en funcion del tiempo resolviendo de alguna forma la ecuacion de Kepler. Por lo tanto,al igualar las dos expresiones que nos permiten determinar el radio vector (11.4) y (12.99):

a(1− e2)1 + e cos θ

= a(1− e cosE),

de la que es facil llegar a:

cos θ =cosE − e

1− e cosE. (12.102)

Con esta ecuacion hacemos lo siguiente: sumamos 1 a ambos lados para obtener unaexpresion que contenga terminos a ambos lados de la forma 1 + cos x. A la misma ecuacion(12.102) la multiplicamos por −1 luego adicionamos 1 para obtener a ambos lados terminos


de la forma 1 − cosx. Al dividir entre sı las dos expresiones y teniendo presente a lasidentidades: 1− cosx = 2 sen 2 x

2 ; 1 + cosx = 2 cos2 x2 , llegamos por fin a:

tan(θ

2

)=

√1 + e

1− e tan(E

2

). (12.103)

La solucion de la ecuacion de Kepler

Existen numerosas propuestas en la literatura para resolver la ecuacion (12.100). Aquıexplicaremos someramente una forma sencilla y facil de aplicar en una rutina computacional.

Escribamos la ecuacion (12.100) en la forma (no sin antes haber multiplicado el terminoe senE por 180/π suponiendo que M y E estan en unidades de grados y haber tenido encuenta la ecuacion (12.101)):

E = M +(

180π

)e senE. (12.104)

Puesto que en la mayorıa de los casos de interes en el sistema solar la excentricidadsuele ser pequena (las orbitas son casi circulares para casi todos los planetas exceptuandoMercurio y Pluton) el termino ( 180

π )e senE es minusculo, lo suficiente como para obtener unprimer valor aproximado de E, que llamaremos E0 :

E0 = M.

Un valor mejorado de E, que llamaremos E1, es:

E1 = M +(

180π

)e senE0.

Obtenemos una mejor aproximacion de E, llamada E2, con:

E2 = M +(

180π

)e senE1,

y ası sucesivamente. Se observara que En converge hacia un valor determinado despues delcual es completamente irrelevante continuar con el proceso. Dependiendo de que tan grandesea el valor de la excentricidad la convergencia sera rapida o lenta, dentro de la precisionestablecida. Por lo tanto el valor correcto de E sera aquel que cumpla:

En − En−1 = 0.

Ejemplo 1

Calcular la anomalıa verdadera y el radio vector del planeta Marte el dıa 3 de junio de1999 a las 0h de TT si se conoce que el planeta paso por su perihelio (t0) en la fecha 7.94371TT de enero de 1998 y que posee un perıodo de traslacion alrededor del Sol de 687.02 dıas.


Solucion

Primero debemos hallar el numero de dıas transcurridos entre el 7.94371 de enero de1998 y el 3 de junio de 1999. Calculamos las fechas julianas respectivas: 2 450 821.44371 y2 451 332.5. Por lo tanto la diferencia de tiempo (t− t0) es: 511.05629 dıas.

El movimiento medio n se calcula mediante la ecuacion (12.92) haciendo m2 = 0 ytomando a = 1.5235726:

n =0.01720209895× 180

3.1416× (1.5235726)3/2= 0.5240942 o/dıa.

Entonces calculamos la anomalıa media M para la fecha en cuestion con ayuda de(12.101):

M = 0.5240942× 511.05629 = 267.84164.

Procedemos luego a resolver la ecuacion de Kepler (el valor de e esta dado en la tablaC.3 del apendice C).

La primera aproximacion es:

E1 = 267.84164 +180π× 0.093479× sen (267.84164) = 262.48948.

La segunda aproximacion es:

E2 = 267.84164 +180π× 0.093479× sen (262.48948) = 262.53164.

La tercera aproximacion es:

E3 = 267.84164 +180π× 0.093479× sen (262.53164) = 262.53112.

La cuarta aproximacion es:

E4 = 267.84164 +180π× 0.093479× sen (262.53112) = 262.53113.

Una quinta aproximacion reproduce el ultimo valor. Vemos que en este ejemplo bastacon calcular la quinta aproximacion para que el valor de E converja a la quinta cifra decimal.Por lo tanto E = 262.53113 es nuestro valor de anomalıa excentrica buscado.

Calculamos ahora el valor de la anomalıa verdadera con ayuda de (12.103):

θ = 2× tan−1

[√1 + 0.0934791− 0.093479

tan(

262.531132

)]= −102.75507 = 257.24493.

El calculo del radio vector se puede hacer de dos formas. En funcion de la anomalıaexcentrica es (ver ecuacion (12.99)):


r = 1.52357× (1− 0.093479× cos(262.53113)) = 1.54208 u.a.

o, en funcion de la anomalıa verdadera (ver ecuacion (11.4)):

r =1.52357× (1− 0.0934792)

1 + 0.093479× cos(257.24493)= 1.54208 u.a.

Relacion geometrica entre las anomalıas

La anomalıa excentrica se introdujo como una variable auxiliar de integracion en la ecuacion(12.99). Sin embargo, es mas conocida en la literatura como el angulo que se define acontinuacion. Sea una elipse de semieje mayor a inscrita en una circunferencia de radio a, verfigura 12.13. Elipse y circunferencia poseen el mismo centro C. La anomalıa excentrica E esel angulo HCG. Notese que la lınea HG pasa por el punto donde esta el cuerpo de masa m2

(que se mueve sobre la elipse) y cae perpendicularmente a la lınea D′D. Resulta interesanteobservar como un angulo que esta centrado en C permite determinar el radio vector r(distancia FP ) con una expresion tan sencilla como la ecuacion (12.99). Demostremos queel angulo E es la misma variable auxiliar definida en (12.99). La distancia FG es igual ar cos θ; ası mismo, la distancia JC = PG es igual a rsen θ. Pero, puesto que:

FG = a cosE − ae, CJ = b senE,

θD

H

D’

JI

C FEr

P

Gae

Figura 12.13: Relacion geometrica entre la anomalıa excentrica y la verdadera

y como

FG2 + CJ2 = (r cos θ)2 + (r sen θ)2 = (a cosE − ae)2 + (b senE)2,


al tener en cuenta que b esta definido por (11.1) tenemos:

r2 = a2 cos2E − 2a2e cosE + a2e2 + a2(1− e2) sen2E.

Al dejar el seno cuadrado de la derecha en terminos del coseno cuadrado obtenemos:

r2 = a2 − 2ae cosE + a2e2 cos2E = (a− ae cosE)2.

que es la expresion elevada al cuadrado de la ecuacion (12.99).

12.10.2 Orbita hiperbolica

El procedimiento es enteramente similar al de la orbita elıptica. De la ecuacion (12.65) yreemplazando los valores de h y C2 para la orbita hiperbolica (primera de las ecuaciones(12.76) y ecuacion (12.77)) se obtiene:(

dr

dt

)2

= −µa(e2 − 1)r2

+2µr

+µ

a,

de la cual es facil llegar a:

rdr√(r + a)2 − a2e2

=√µ

adt.

Llamando

r = a(e coshF − 1), (12.105)

donde F es una variable de integracion que juega el mismo papel de E en la orbita elıptica.De (12.105) se deduce:

r + a = ae coshF, dr = ae senhFdF.

Al realizar la integracion se tiene:

e senhF − F =√

µ

a3(t− t0), (12.106)

que es el equivalente de la ecuacion de Kepler pero para la orbita hiperbolica.Una comparacion de las ecuaciones (12.75) y (12.105) permite encontrar la relacion entre

la anomalia verdadera θ y F . Se encuentra finalmente:

tan(θ

2

)=

√e+ 1e− 1

tanh(F

2

). (12.107)


Ejemplo 1

Un cometa se desplaza en orbita hiperbolica alrededor del Sol. Determinar la anomalıaverdadera y el radio vector de dicho cometa el dıa 5 de junio de 1998 a las 0h de TT sabiendoque: a = 4.787629 u.a., e = 1.569247 y t0 = 2.476123 TT de abril de 1998.

Solucion

Calculamos las fechas julianas de ambos instantes:

5 de junio de 1998 = 2 450 969.5,2.476123 abril de 1998 = 2 450 905.976123,

por lo tanto, t− t0 = 63.52388.

Puesto que la masa de un cometa es despreciable frente a la del Sol tenemos: µ = k2 porlo que: √

µ

a3(t− t0) =

k√a3

(t− t0) =0.01720209895(4.787629)3/2

× 63.52388 = 0.104313.

De la ecuacion (12.106) podemos obtener F en terminos del seno hiperbolico inverso1 detal forma que:

F = senh−1

[F

e+k(t− t0)ea3/2

].

Esta ecuacion permite ir obteniendo valores aproximados de F . En efecto, tomandocomo un primer valor de F a k(t−t0)

a3/2 , una primera aproximacion de F llamada F1 queda:

F1 = senh−1

[2k(t− t0)ea3/2

].

Un segundo valor de F llamado F2 es de la forma:

F2 = senh−1

[F1

e+k(t− t0)ea3/2

],

y ası sucesivamente hasta que los valores de Fn converjan hacia un valor definido.

En nuestro ejemplo:

F1 = senh−1(0.132946) = 0.132557.

Realizando sucesivas aproximaciones llegamos, despues de haber alcanzado casi vein-ticinco de ellas (hasta la sexta cifra decimal), a F = 0.180538.

1La razon de despejar F de esta manera y no de forma directa radica en la convergencia que se lograutilizando la funcion hiperbolica inversa. De haber despejado F con el termino aislado se hubiese tenido quetrabajar con el seno hiperbolico lo cual puede generar que la convergencia no siempre se alcance.


El valor de la anomalıa verdadera se halla con (12.107):

θ = 2× tan−1

[√1.569247 + 11.569247− 1

tanh(

0.1805382

)]= 21.654753.

El valor de r se puede hallar de dos formas. Con la ecuacion (12.105):

r = 4.787629× [1.569247× cosh(0.1805389)− 1] = 2.848115,

o con la ecuacion (12.75):

r =4.787629× (1.5692472 − 1)

1 + 1.569247× cos(21.6548578)= 2.848115.

12.10.3 Orbita parabolica

A diferencia de los dos casos anteriores, la obtencion de θ se realiza sin vernos obligados aresolver ecuaciones trascendentes.

Reemplazando la primera de las ecuaciones (12.73) y la ecuacion (12.72) en (12.58)obtenemos, despues de reordenar:(

21 + cos θ

)2

dθ =√

2µq3dt,

con ayuda de la identidad: 2 cos2 (θ/2) = 1 + cos θ, obtenemos:

sec4(θ/2)dθ =[sec2(θ/2)(1 + tan2(θ/2)

]dθ =

√2µq3dt;

puesto que d [tan(θ/2)] /dt =(1/2) sec2(θ/2), es facil verificar, despues de integrar con lossiguientes limites : para t = t0, θ = 0, donde t0 es el tiempo en que ocurre el mınimoacercamiento de m2 con respecto a m1 (llamado pericentro) y para cualquier tiempo ttenemos un valor correspondiente de θ. Finalmente llegamos a:

tan3(θ/2) + 3 tan(θ/2)− 3√

2µq3

(t− t0) = 0. (12.108)

Como se ve, esta es una ecuacion cubica en θ/2. Ahora bien, por el teorema fundamentaldel algebra toda ecuacion cubica ha de tener tres raices. Se presentan dos casos: o las tresraices son reales o existe una raız real y dos son imaginarias. Nos veriamos en serios pro-blemas si resulta siendo el primer caso pues implicarıa que para un valor dado de t existentres valores distintos de θ.


De la teorıa de la resolucion de ecuaciones cubicas se demuestra que para una ecuacionde la forma:

x3 + αx+ β = 0, (12.109)

se cumple el siguiente discriminante:

Siβ2

4+α3

27> 0 entonces hay una raız real y dos imaginarias.

Siβ2

4+α3

27< 0 entonces hay tres raices reales.

En nuestro caso α = 3 y β = −3√

2µq3 (t− t0). Llamando:

C =√

2µq3

(t− t0), (12.110)

y reemplazando en el discriminante tenemos: 9C2/4 + 1, cantidad esencialmente positivapor lo que siempre hemos de tener una sola raız real como solucion.

La solucion de la ecuacion (12.109) es (ver Spiegel & Abellanas, 1988, p. 37):

x =3

√−β

2+

√β2

4+α3

27+

3

√−β

2−√β2

4+α3

27. (12.111)

Entonces, para nuestra ecuacion (12.108) la solucion es:

tan(θ/2) =3

√√√√3C2

+

√(3C2

)2

+ 1 +3

√√√√3C2−

√(3C2

)2

+ 1. (12.112)

Llamando:

cotS =3C2, (12.113)

y dado que csc2 S = 1 + cot2 S tendremos:

tan(θ/2) = 3√

cotS + cscS + 3√

cotS − cscS. (12.114)

Ejemplo 1

Un cometa se desplaza en orbita parabolica alrededor del Sol con los siguientes parametros:q = 0.474317, t0 = 4.14781 TT mayo de 1978. Determinar su distancia al Sol y el valor dela anomalıa verdadera para el tiempo 4h13m18.3s TT del 8 de junio de 1978.

Solucion

Puesto que 4h13m18.3s = 4.055h = 0.168958 de dıa, entonces las fechas julianas corres-pondientes son:


8.168958 de junio de 1978 = 2 443 667.668958,4.14781 marzo de 1978 = 2 443 571.64781,

por lo tanto, t− t0 = 96.02114.

Puesto que la masa de un cometa es despreciable frente a la del Sol se tendra que µ = k2.Hallando C con ayuda de (12.110):

C =

√2× 0.017202098952

0.4743173(96.02114) = 7.150893.

Luego calculamos S con ayuda de la ecuacion (12.113):

S = tan−1

(2

3× 7.150893

)= 5.326201,


cotS = 10.726339, cscS = 10.772853.

Por lo tanto, el valor de la anomalıa verdadera se halla con la ecuacion (12.114):

θ = 2× tan−1(

3√

10.726339 + 10.772853 + 3√

10.726339− 10.772853)

= 135.113280.

El radio vector se calcula con ayuda de (12.72):

r =2× 0.474317

1 + cos(135.113280)= 3.254357.


• Brouwer, D., Clemence, G. (1961) Methods of Celestial Mechanics, Academic Press, NewYork.

Aunque un poco desactualizado, constituye una descripcion tecnica y altamente autorizada delos metodos de la mecanica celeste utilizados a mediados del siglo XX.

• McCuskey, S.W. (1963), Introduction to Celestial Mechanics, Addison-Wesley Pu. Co., Ma-ssachusetts.

Si se quiere comenzar a entender las tecnicas de la mecanica celeste sin sacrificar el desarrollomatematico este libro es el indicado. Altamente leıble y descriptivo.

• Moulton, F. R. (1970), An Introduction to Celestial Mechanics, Dover Pu., New York.

Excelente libro escrito hace ya casi cien anos. Muy descriptivo aunque se anora la descripcionvectorial.

• Spiegel, M.R., Abellanas, L. (1988), Formulas y tablas de matematica aplicada, McGraw-Hill,Madrid.

Compendio de tablas de integrales y formulas utiles del algebra y trigonometrıa.


• Szebehely, V., Mark, H. (1998), Adventures in Celestial Mechanics, John Wiley & Sons, NewYork.

Como introduccion hacia los fundamentos es excelente. No espere solidos desarrollos al-gebraicos. Contiene una descripcion actualizada sobre dinamica caotica y movimiento desatelites.

• http://www.physics.csbsju.edu/orbit/orbit.2d.html

En este sitio se encuentra una explicacion breve sobre orbitas elıpticas ası como codigossencillos para graficar orbitas para usuarios del programa Matematica.

• http://www.btinternet.com/~kburnett/kepler/kepler.html

Contiene varios metodos numericos para resolver la ecuacion de Kepler.

Capıtulo 13

LA DETERMINACION DE LAPOSICION EN EL ESPACIO

Ya sabemos como calcular la anomalıa verdadera θ y el radio vector r en los tres tipos deorbitas. Pero este movimiento se verifica en un plano que ha de tener una determinadaorientacion con respecto a un sistema de tres ejes cartesiano centrado en m1 tal y como enel que se definen las coordenadas eclıpticas heliocentricas. Imaginemos un plano en el quese desplaza el movil de interes que corta al plano fundamental xy (la eclıptica en el caso deun objeto alrededor del Sol o el ecuador celeste en el caso de un satelite que gira alrededorde la Tierra) en un cierto angulo Ω con respecto al eje x y con un angulo de inclinacion i,ver figura 13.1.

La lınea que resulta del corte entre los dos planos (el de la orbita y el fundamental)es llamada lınea de los nodos. Aquel punto por donde el planeta cruza el plano xy deabajo hacia arriba (z pasa de ser negativo a positivo) se llama nodo ascendente. El puntodiametralmente opuesto se llama nodo descendente. Es igualmente necesario especificar enque punto del plano orbital esta situada la lınea de las apsides, esto es, la lınea que contienela direccion foco-pericentro, que es desde donde comienza a contarse la anomalıa verdadera.Esto se logra introduciendo un angulo ω llamado argumento de latitud del pericentro el cualse mide desde el nodo ascendente hasta la lınea de las apsides que especifica el pericentro.

13.0.4 Elementos orbitales

Los elementos orbitales son seis parametros que en el problema de los dos cuerpos son cons-tantes (validos para todo tiempo) que estan directamente relacionados con las constantesde integracion obtenidas al resolver el problema de los dos cuerpos.

Los elementos son:

265

266 CAPITULO 13. LA DETERMINACION DE LA POSICION EN EL ESPACIO

x

y

z

m1

r θ

ω

i

LINEA DE LOS NODOSΩ

LINEA DE LAS APSIDES(AL PERICENTRO)

Figura 13.1: Orientacion de la orbita en el espacio

a, el semieje mayor (o distancia media en la orbita elıptica).e, la excentricidad.i, la inclinacion de la orbita con respecto al plano de referencia.Ω, la longitud del nodo ascendente.ω, el argumento de latitud del pericentro.t0, un instante de paso por el pericentro

En el caso de la orbita parabolica existen dos modificaciones: por un lado el semiejemayor es reemplazado por q llamada distancia pericentrica; por otro, la excentricidad tieneun valor fijo (e = 1).

Sin embargo, no siempre es posible encontrar los elementos en la forma como los acabamosde resenar. De uso corriente tambien se suele utilizar:

a) Mr en vez de t0 (para la orbita elıptica) donde Mr es la anomalıa media para untiempo dado cualquiera tr que llamaremos “de referencia”. En efecto, la anomalıa mediase define como (ver formula (12.101)): M = n(t − t0). Sumando y restando el termino ntrtenemos:

M = nt− nt0 + ntr − ntr,

o reordenando:M = n(tr − t0) + n(t− tr),

pero n(tr − t0) es la anomalıa media en el tiempo de referencia, que llamaremos Mr por loque:

267

M = Mr + n(t− tr). (13.1)

b) $ en vez de ω, donde $ es llamado la longitud del pericentro, un angulo que resultade la suma de angulos definidos en planos diferentes:

$ = Ω + ω. (13.2)

c) Lr en vez de t0 o de Mr (para la orbita elıptica) donde Lr es la longitud media parael tiempo de referencia tr. La longitud media esta relacionada con Mr mediante :

Lr = Mr +$. (13.3)

13.0.5 Posicion en el espacio

Ahora nos planteamos lo siguiente: sabiendo para un instante dado t los valores de θ y r aligual que Ω, i y ω (que son constantes), hallar las componentes del vector posicion ~r (x, y,z) para dicho tiempo t.

Sean l y m dos vectores unitarios, (ver figura 13.2) el primero ubicado en el plano xy ydirigido en la direccion del nodo ascendente, el segundo, ortogonal a l pero definido en elplano de la orbita en que se mueve m2.

y

z

i

x

m

i j

k

90-i

l

Ω

Figura 13.2: Definicion de los vectores l y m

Es claro que:

l = cos Ωi+ sen Ωj + 0k,m = − sen Ω cos ii+ cos Ω cos ij + sen ik. (13.4)


Al observar la figura 13.3 donde los vectores l y m estan relacionados con los vectores ury uθ notamos que podemos escribir:

ur = l cos(ω + θ) + m sen (ω + θ), (13.5)

y puesto que ~r = rur tendremos:

~r = xi+ yj + zk = r cos(ω + θ)(cos Ωi+ sen Ωj + 0k) +

r sen (ω + θ)(− sen Ω cos ii+ cos Ω cos ij + sen ik).

Factorizando los terminos que acompanan los vectores unitarios a ambos lados obte-nemos:

x = r [cos(ω + θ) cos Ω− sen (ω + θ) sen Ω cos i] ,y = r [cos(ω + θ) sen Ω + sen (ω + θ) cos Ω cos i] , (13.6)z = r sen (ω + θ) sen i,

ecuaciones validas para cualquier tipo de orbita. Es inmediatamente verificable que r2 =x2 + y2 + z2.

ω

θmuθ

ur

l

r

LINEA DE LOS NODOS

LINEA DE LAS APSIDES

Figura 13.3: Relacion de ur y uθ con los vectores l y m

13.1. VELOCIDAD EN EL ESPACIO 269

13.1 Velocidad en el espacio

En muchos casos de interes en mecanica celeste se hace necesario saber las componentes delvector velocidad con respecto a un determinado sistema de coordenadas. Nuestro vector ve-locidad esta dado por la primera de las ecuaciones (12.51), que por comodidad reproducimosnuevamente:

~r = rur + rθuθ. (13.7)

Necesitamos hallar en esta ecuacion los valores de r, θ y uθ. De la figura 13.3 se deduceque uθ en funcion de l y m esta dado por:

uθ = −l sen (ω + θ) + m cos(ω + θ). (13.8)

En lo que sigue, la determinacion de r y θ se haran para la orbita elıptica por ser la demayor aplicacion. Dichos valores para la orbita hiperbolica y parabolica se hallan de formaanaloga a como se describe a continuacion.

El valor de r es posible hallarlo a partir de la relacion de r con la anomalıa excentricaE, dada por (12.99). Al derivar con respecto al tiempo:

r = ae senEE,

pero, a la vez, la relacion entre el tiempo y la anomalıa excentrica permite encontrar, apartir de (12.100) que

E =n

(1− e cosE),

de las que se deduce:

r =nae senE1− e cosE

=a2ne senE

r. (13.9)

Ası mismo, la relacion para θ es a traves de la ecuacion (12.58), y para la orbita elıpticah viene dado por la primera de las ecuaciones (12.70). Entonces la expresion para θ enterminos de la constante de Gauss es:

θ = k√

1 + (m2/m1)

√a(1− e2)r2

. (13.10)

Con esto, la ecuacion (13.7) se convierte en:

~r =a2ne senE

r2~r + k

√1 + (m2/m1)

√a(1− e2)r

uθ. (13.11)

Puesto que ~r = xi + yj + zk; ~r = xi + yj + zk y uθ dado por (13.8), que a su vezviene expresado por las ecuaciones (13.4), se tendran las componentes del vector velocidadal factorizar a ambos lados los vectores unitarios:

x =a2ne senE

r2x+ k

√1 + (m2/m1)

√a(1− e2)

r[− cos Ω sen (ω + θ)− sen Ω cos i cos(ω + θ)],

y =a2ne senE

r2y + k

√1 + (m2/m1)

√a(1− e2)

r[− sen Ω sen (ω + θ) + cos Ω cos i cos(ω + θ)], (13.12)

z =a2ne senE

r2z + k

√1 + (m2/m1)

√a(1− e2)

r[ sen i cos(ω + θ)],


donde n esta en unidades de radianes por unidad de tiempo.

13.2 La posicion con respecto a la Tierra

El procedimiento visto hasta ahora permite calcular las componentes de los vectores posiciony velocidad con respecto al plano fundamental del cuerpo de masa m2 para un observadorhipotetico situado en m1. Esto serıa suficiente para un satelite moviendose alrededor de laTierra si el plano fundamental es el ecuador celeste, o para un planeta alrededor del Solcuyo plano fundamental es la eclıptica.

Si estamos calculando la posicion de un planeta visto desde la Tierra se hacen necesariosvarios pasos mas. Los astronomos por lo general buscan expresar las coordenadas de losastros con referencia al ecuador celeste. Por lo tanto nos vemos en la necesidad de pasar delas coordenadas x, y, z (eclıpticas heliocentricas) a unas coordenadas x′, y′, z′ (ecuatorialesheliocentricas). Puesto que el ecuador y la eclıptica se cruzan en el punto vernal y queademas el eje de las x esta en la misma direccion del punto vernal la transformacion entreambas equivale a una rotacion de las coordenadas un angulo ε (la oblicuidad de la eclıptica),ver figura 13.4. Por lo tanto, la relacion entre el vector heliocentrico-eclıptico ~r y el vectorheliocentrico-ecuatorial ~r ′ es:

y

ε

ECUADOR CELESTE

x=x´

ε

ε

y´

z´z

ECLIPTICA

Figura 13.4: Rotacion alrededor del eje x

~r ′ = Rx(−ε)~r. (13.13)

13.2. LA POSICION CON RESPECTO A LA TIERRA 271

La matriz Rx(−ε) es una matriz de rotacion cuyo efecto al multiplicar el vector ~r es rotarlosobre el eje x un angulo −ε. La matriz esta definida por:

Rx(−ε) =

1 0 00 cos ε − sen ε0 sen ε cos ε

.

Por lo tanto, la transformacion en componentes es:

x′ = x,

y′ = y cos ε− z sen ε, (13.14)z′ = y sen ε+ z cos ε.

Si se desea hallar las componentes del vector velocidad con respecto al ecuador celestela ecuacion basica es analoga a la ecuacion (13.13) (ε se supone constante):

~r ′ = Rx(−ε)~r. (13.15)

El siguiente paso es hallar el vector posicion del objeto pero con respecto a la Tierra.Este se halla sencillamente conociendo, para el mismo tiempo t, el vector posicion de laTierra con respecto al Sol. De la figura 13.5 es claro que:

~ρ = ~r ′ − ~r ′T . (13.16)

r´

ρ

T

r´

TIERRA

SOL

PLANETA

Figura 13.5: Traslacion para observacion desde la Tierra

Al definir un sistema de coordenadas cartesiano que llamaremos conjuntamente coorde-nadas ecuatoriales geocentricas (ξ, η, ζ) para expresar el vector ρ se deduce:

ξ = x′ − x′T ,η = y′ − y′T , (13.17)ζ = z′ − z′T .


Este sistema geocentrico esta relacionado, como es de esperarse, con las coordenadasecuatoriales (o coordenadas ecuatoriales absolutas), ver figura 13.6, de la cual se desprende:

ξ = ρ cosα cos δ,η = ρ senα cos δ, (13.18)ζ = ρ sen δ,

donde ρ representa la distancia entre el cuerpo de masa m2 y la Tierra.

De estas ecuaciones se obtienen las coordenadas ecuatoriales del objeto para un obser-vador ubicado en la Tierra:

tanα =η

ξ,

tan δ =ζ√

ξ2 + η2, (13.19)

ρ =√ξ2 + η2 + ζ2.

El calculo de la ascension recta adolece tambien del inconveniente para determinar elverdadero cuadrante en que esta ubicado el angulo. Esto se resuelve aplicando las reglasvistas en la seccion 5.6.3, relaciones (5.21).

La posicion del Sol puede saberse de inmediato conociendo el vector ~r ′T . En efecto,el vector posicion del Sol con respecto al ecuador celeste y con origen en la Tierra, que

η

ξ

PNCζ

TIERRA

ρ

δ

α

Figura 13.6: Relacion entre ξ, η y ζ y las coordenadas ecuatoriales absolutas


llamaremos ~r ′¯, esta dado por:~r ′¯ = −~r ′T . (13.20)

Las coordenadas rectangulares geocentricas del Sol, que designaremos como X,Y, Z seranentonces:

X = −x′T ,Y = −y′T , (13.21)Z = −z′T .

De acuerdo con lo anterior, las coordenadas esfericas del Sol α¯, δ¯ y ρ¯ estaran dadaspor:

tanα¯ =Y

X,

tan δ¯ =Z√

X2 + Y 2, (13.22)

ρ¯ =√X2 + Y 2 + Z2.

NOTA: Las coordenadas ecuatoriales, tal y como se han hallado hasta ahora, son validaspara un observador hipotetico situado en el centro del planeta Tierra. Puesto que la mayorıade los cuerpos del sistema solar estan a una distancia de la Tierra muchısimo mayor com-parada con el radio terrestre, la correccion que es necesario hacer para un observador situadoaproximadamente a 6400 kilometros del centro de la Tierra es usualmente muy pequena, porlo que no se tiene en cuenta. Pero en el caso de la Luna o de satelites artificiales que estancerca de la Tierra, es necesario tener en cuenta la posicion del observador (situado en unpunto sobre la superficie de la Tierra) con respecto al centro del planeta, para luego hallarlas coordenadas reales del objeto con respecto al observador.

Por otro lado, se debe tener en cuenta que en calculos mas precisos es necesario corregirlas coordenadas por algunos de los fenomenos vistos en el capıtulo 10. En la mayorıa delos casos las coordenadas de un planeta halladas por el procedimiento que se describe eneste capıtulo estan referidas al ecuador medio del ano 2000.0. Si se quieren obtener lascoordenadas aparentes del planeta (para el ecuador instantaneo de la fecha) habra quecorregir primero por aberracion planetaria (ver seccion 10.3.2), luego por precesion (seccion10.1) y nutacion (seccion 10.2). Aun habiendo realizado todas estas correcciones no se debeesperar que coincidan completamente las coordenadas ası calculadas con las que se observanen el cielo. La razon es sencilla: hasta ahora hemos aplicado un modelo de dos cuerposque interactuan gravitacionalmente con el formalismo newtoniano. En la vida real ocurreque existen muchos cuerpos y estan presentes otro tipo de interacciones. Si al lector que hallegado a esta altura del desarrollo le parece un tanto largo el calculo tendiente a hallar laposicion de un cuerpo con precision razonable, el calculo de las correcciones que se debenhacer por la presencia de los demas cuerpos gravitacionales (ver el siguiente capıtulo) sı quees en verdad dispendioso.


Ejemplo 1

Calcular las coordenadas ecuatoriales (α, δ, ρ) del planeta Marte y del Sol para el instante0h TT del 20 de noviembre de 2000.

Solucion

Para hallar las coordenadas de los cuerpos en cuestion es necesario poseer los elementosorbitales tanto del planeta Marte como los de la Tierra. Se aplicaran los resultados del pro-blema de los dos cuerpos a cada planeta por aparte de modo que en primera aproximacionla interaccion gravitacional entre Marte y la Tierra es considerada nula. Hasta ahora hemosvisto que en el problema de los dos cuerpos los elementos son constantes para todo tiempo.Pero, en sistemas con tres o mas cuerpos celestes, los elementos comienzan a ser variablescon el tiempo (ver capıtulo 14). Es preciso, para obtener posiciones con exactitudes ade-cuadas, contar con elementos orbitales “frescos”, esto es, que en la epoca en que se quierecalcular las posiciones, se tengan valores de elementos que sean relativamente cercanos adicha epoca. En nuestro ejemplo, utilizaremos los valores consignados en el apendice C.3,pagina 360, los cuales son estrictamente validos para el instante de tiempo 0h TT del 13 deseptiembre de 2000.

Nuestra fecha de referencia es entonces el 13 de septiembre de 2000 a las 0h TT. Comen-zamos por calcular los valores de la anomalıa media de referencia (ver ecuacion (13.3)),escribiendo los valores de Marte a la izquierda y, a la derecha, con subındice T los de laTierra:

Mr = −206.67685 = 153.32315, (Mr)T = 249.29326.

Se calcula la diferencia de tiempo existente entre el tiempo en cuestion (0h 20 de noviem-bre de 2000) y el tiempo de referencia (0h 13 de septiembre de 2000). Determinamos lasfechas julianas de estos instantes, que son 2 451 868.5 y 2 451 800.5 respectivamente. El in-tervalo de tiempo entre las dos fechas es entonces: t− tr = +68.0. El movimiento medio enunidades de grados por dıa aparece, por comodidad, en el mismo apendice C.3. De no habersido ası, el movimiento medio se puede calcular a partir de la ecuacion (12.92). Calculamosluego el producto n(t− tr):

n(t− tr) = 35.6384056, nT (t− tr)T = 67.0227516.

La anomalıa media en el dıa en cuestion es, de acuerdo con (13.1):

M = 188.961556, MT = 316.31601.

La anomalıa excentrica se puede calcular con el procedimiento iterativo visto en la pagina256.

Realizando los calculos correspondientes obtenemos:

E = 188.19784, ET = 315.64570.


Con E podemos calcular el radio vector (distancia entre los planetas y el Sol) mediante(12.99):

r = 1.66454, rT = 0.98802.

Tambien podemos determinar la anomalıa verdadera mediante (12.103):

θ = −172.53363 = 187.46637, θT = −45.02870 = 314.97130.

A manera de control, al reemplazar el valor de θ en (11.4) se ha de obtener el mismovalor que se hallo de r con ayuda de (12.99).

Calculamos ahora las coordenadas rectangulares eclıpticas heliocentricas de ambos pla-netas, con ayuda del sistema de ecuaciones (13.6):

x = −1.59523, xT = 0.52408,y = 0.472790, yT = 0.83757,z = 0.049110, zT = 0.00000.

Como control, se ha de cumplir: r2 = x2 + y2 + z2.

Luego se calculan las coordenadas rectangulares ecuatoriales heliocentricas de ambosplanetas, tomando como valor de la oblicuidad a ε = 23o26′21.8′′. De acuerdo con (13.14)se tiene:

x′ = −1.59523, x′T = 0.52408,y′ = 0.41424, y′T = 0.76845,z′ = 0.23312, z′T = 0.33317.

De nuevo, como control, se ha de cumplir: r2 = x′2 + y′

2 + z′2.

A continuacion se determinan las coordenadas rectangulares ecuatoriales geocentricasdel planeta Marte con ayuda de (13.17)

ξ = −2.11931, η = −0.35421, ζ = −0.10005.

Las coordenadas ecuatoriales del planeta Marte se calculan utilizando las ecuaciones(13.19), no olvidando el criterio para determinar el cuadrante verdadero de la ascensionrecta y utilizando unidades de tiempo:

α = 12h37m57s, δ = −2o39′57′′, ρ = 2.15103.

Las coordenadas rectangulares ecuatoriales geocentricas del Sol son, de acuerdo con(13.21):

X = −0.52408, Y = −0.76845, Z = −0.33317.

Las coordenadas ecuatoriales del Sol se hallan facilmente con ayuda de (13.22):


α¯ = 15h42m50s, δ¯ = −19o42′25′′, ρ¯ = 0.98802.

Tanto las coordenadas de Marte como del Sol no deben tomarse como exactas. Esnecesario corregir por aberracion planetaria, y si se desean obtener las coordenadas conrespecto al ecuador de la fecha es preciso corregir por precesion, nutacion y aberracionanual.

13.3 Las coordenadas topocentricas

Ya mencionamos que las coordenadas de los cuerpos celestes en el sistema solar con respectoa la Tierra son geocentricas, esto es, tienen como origen el centro de nuestro planeta. Vistode otra forma: son validas para un observador hipotetico situado en el centro de la Tierra.Esto no tiene mayor inconveniente para aquellos cuerpos cuya distancia a la Tierra es muygrande (centenares o miles de veces el radio terrestre). En tal caso estar en la superficiede la Tierra o en su centro no representa ningun cambio en la posicion aparente de losastros. Pero, si se trata de cuerpos celestes como la Luna, los planetas mas cercanos a laTierra y, sobre todo, los satelites artificiales que circundan la Tierra apenas unos cuantoscentenares de kilometros sobre su superficie, se hace necesario tener en cuenta la posicionde un observador (situado en la superficie) con respecto al centro del planeta.

PNC

TIERRA

C

ρg ρ

t

ρo

Figura 13.7: Determinacion del vector topocentrico ~ρt

Para hallar las coordenadas de un astro cercano con respecto a un observador situadoen la superficie del planeta con coordenadas geodesicas (φ, λ y ρ) se debe tener en cuentacomo es el vector de posicion del observador con respecto al centro de la Tierra.

Sea, para un determinado cuerpo C, ~ρg su vector geocentrico; ~ρo el vector geocentricodel observador y ~ρt el vector topocentrico del objeto con respecto al observador (ver figura13.7). Entonces:

13.3. LAS COORDENADAS TOPOCENTRICAS 277

o

φ

TSL

´

ξ

η

ζ

ο

ο

ο

ρ

Figura 13.8: Relacion entre las componentes del vector geocentrico del observador ~ρo con las coordenadas

geodesicas de este

~ρt = ~ρg − ~ρo. (13.23)

Tenemos las componentes del vector ~ρg. Falta determinar las componentes del vectorgeocentrico del observador ~ρo.

En la figura 13.8 vemos la relacion existente entre el tiempo sidereo local TSL (verseccion 7.3) en el momento de la observacion, la latitud geocentrica φ′, la distancia radial ρy el vector topocentrico del observador con coordenadas rectangulares ξo, ηo y ζo. Se deduceinmediatamente que:

ξo = ρ cosTSL cosφ′,ηo = ρ senTSL cosφ′, (13.24)ζo = ρ senφ′.

Las coordenadas rectangulares topocentricas (ξt, ηt, ζt) vienen dadas por (13.23):

ξt = ξg − ξo,ηt = ηg − ηo, (13.25)ζt = ζg − ζo.

Las coordenadas ecuatoriales absolutas topocentricas del astro son entonces:


tanαt =ηtξt,

tan δt =ηt√ξ2t + η2

t

, (13.26)

ρt =√ξ2t + η2

t + ζ2t .


• Escobal, P.R. (1965), Methods of Orbit Determination, Krieger Pu. Co., Malabar.

Un libro claro y preciso sobre los fundamentos de la mecanica celeste con enfasis en la de-terminacion de orbitas. El apendice 1 contiene un compendio de 36 transformaciones decoordenadas basicas.

• McCuskey, S.W. (1963), Introduction to Celestial Mechanics, Addison-Wesley Pu. Co., Ma-ssachusetts.

Si se quiere comenzar a entender las tecnicas de la mecanica celeste sin sacrificar el desarrollomatematico este libro es el indicado. Altamente leıble y descriptivo.

• Montembruck, O. (1989), Practical Ephemeris Calculations, Springer-Verlag, New York.

Un libro claro y muy util para aquellos que deseen hallar las ecuaciones basicas de transfor-macion de coordenadas en diversas aplicaciones de la astronomıa de posicion.

• Moulton, F. R. (1970), An Introduction to Celestial Mechanics, Dover Pu., New York.

Excelente libro escrito hace ya casi cien anos. Muy descriptivo aunque se anora la descripcionvectorial.

• http://www.bdl.fr/

Aquı se encuentra en excelente servidor de efemerides.

• http://ssd.jpl.nasa.gov/

Se puede conseguir gran informacion sobre dinamica del sistema solar y tambien instruccionespara entrar a un servidor de efemerides.

Capıtulo 14

PERTURBACIONES

14.1 Modelo vs. realidad

El lector debe tener muy claro lo siguiente: el problema de los dos cuerpos es un modeloque describe el movimiento de dos cuerpos puntuales aislados completamente del universo(esto es, de otras masas). Por otra parte, no tiene en cuenta otro tipo de interacciones; soloconsidera la fuerza gravitacional newtoniana entre las partıculas dejando completamente delado otras posibles interacciones tales como fuerzas electromagneticas, fuerzas aerodinamicas(resistencia y sustentacion), fuerzas de repulsion (presion de radiacion), etc.

Pero, a pesar del grado de idealizacion del problema, que puede conducir a pensar quelos resultados encontrados en la aplicacion del problema de los dos cuerpos son muy aproxi-mativos y alejados de la realidad, el hecho es que los astronomos utilizan frecuentementela solucion del problema de los dos cuerpos para estudiar el movimiento de un planetaalrededor del Sol, de un satelite alrededor de la Tierra, o el de estrellas binarias que giranmutuamente, etc. Esto se debe a dos cosas: primero, que el problema de los dos cuerposgenera unas ecuaciones diferenciales que son completamente integrables, esto es, todas lasecuaciones tienen una solucion analıtica, lo cual es importantısimo considerando que proble-mas de tres o mas cuerpos no tienen soluciones completas. Segundo: el problema de losdos cuerpos constituye en sı una excelente aproximacion para la descripcion del movimientode la mayorıa de los cuerpos celestes. En el caso del sistema solar por ejemplo, al estudiarel movimiento de un cometa alrededor del Sol, se pueden aplicar los resultados del proble-ma de los dos cuerpos (suponer que entre el cometa y el Sol solo hay vacıo y que la unicafuerza existente es la gravedad, que los restantes planetas no existen, que ambos objetosson perfectamente esfericos con distribucion uniforme de masa y que la teorıa de gravitaciones la newtoniana y no la einsteniana) lo cual da una excelente teorıa para la prediccion dela posicion del cometa en el tiempo. O al menos al principio, pues el hecho real es que lateorıa, conforme va transcurriendo el tiempo, comienza a apartarse de lo que se observa enrealidad del movimiento del cometa. El modelo lentamente comienza a arrojar resultadosque no corresponden a lo que se observa. La razon es clara: los planetas sı existen, e influyengravitacionalmente sobre el cometa; la curvatura del espacio originada por el Sol ocasiona

279

280 CAPITULO 14. PERTURBACIONES

muy ligeras perturbaciones en el movimiento del cometa; ademas, al pasar cerca del Sol,los cometas experimentan bruscas eyecciones de masa, convirtiendose en esos instantes enobjetos semi-autopropulsados, experimentando fuerzas ajenas a las de la gravedad parecidasa las que se generan en un cohete.

De esto se deduce que, estrictamente hablando, las trayectorias de los planetas alrededordel Sol no son elıpticas, pero que en primera aproximacion sı lo son. Ahora bien, en elcaso de los planetas del sistema solar ocurre algo que es afortunado: casi toda la masa delsistema solar esta concentrada en el Sol. El planeta de mayor masa es Jupiter, teniendotan solo 1/1000 de la masa del Sol. Al sumar la masa de los demas planetas encontramosque no alcanzamos a llegar a la masa de Jupiter. Esto en terminos practicos significa queen el estudio del movimiento de un planeta cualquiera Y (con masa m2) alrededor del Sol(de masa m1), podemos utilizar como primera y excelente aproximacion los resultados delproblema de los dos cuerpos, con lo que estarıamos suponiendo que los restantes planetas“casi” no influyen en el movimiento del planeta en consideracion por poseer masas mx queson supremamente pequenas con respecto a m1. Pero en perıodos extendidos de tiempo losplanetas de masas mx hacen sentir su presencia sobre el movimiento del planeta Y, y deci-mos que dichos planetas “perturban” a Y. La elipse que describe la trayectoria en el espaciode dicho planeta sera ligeramente diferente en tamano y orientacion espacial a medida quetranscurre el tiempo.

Pero consideremos el caso de la orbita de la Luna alrededor de la Tierra. En este sistemahay que considerar la presencia del Sol, pues la atraccion gravitacional de este es significativasobre nuestro satelite. Este es un problema de tres cuerpos (si suponemos que la atracciongravitacional de los planetas vecinos es despreciable). El problema de los tres cuerpos puedeser expresado en terminos de ecuaciones diferenciales bien con origen de coordenadas en elespacio o en el centro de uno de dichos cuerpos. Lo tragico es que desde los tiempos deNewton, que fue el primero en tratar de hallar la solucion a dichas ecuaciones, nadie hapodido encontrar una solucion analıtica completamente general y cerrada del problema. Losmatematicos y astronomos recurren entonces a todo tipo de soluciones aproximadas. Unamanera de atacar el problema, en el caso del estudio del movimiento de la Luna, es tratarel problema en primera aproximacion como de dos cuerpos (Tierra y Luna) anulando lapresencia del Sol. El modelo resultante es util solo para unos cuantos dıas pues a medidaque transcurre el tiempo es aparente que la teorıa no coincide con la observacion. Obvio: elSol sı influye gravitacionalmente sobre la Luna, por lo que la orientacion y la forma de laelipse cambia relativamente rapido en el tiempo. Las tecnicas aproximativas tratan de teneren cuenta como es la perturbacion del Sol sobre la Luna para todo tiempo. Baste con deciraquı que este es un proceso que involucra una cantidad enorme de calculos matematicos.A manera de informacion mencionemos que el celebre ingeniero civil y astronomo bogotanoJulio Garavito Armero, quien fue director del Observatorio Astronomico Nacional, estudioy contribuyo de forma significativa al estudio del movimiento de la Luna1.

1El trabajo mas sobresaliente de Garavito fue publicado mas de 25 anos despues de su muerte. Se titula“Formulas definitivas para el calculo del movimiento de la Luna por el metodo de Hill-Brown y con lanotacion usada por Henri Poincare en el tomo III de su curso de mecanica celeste” y se encuentra en laRevista de la academia colombiana de ciencias exactas, fısicas y naturales, 1946, Vol. VI, No. 24, p. 560.

14.1. MODELO VS. REALIDAD 281

Figura 14.1: Julio Garavito Armero (1865-1920)

Si el problema de los tres cuerpos no tiene solucion analıtica completa, el problema delos n cuerpos (n > 3) la tendra aun menos. Estudiar el movimiento del sistema solar con 9planetas y el Sol, (un problema de 10 cuerpos) implica la realizacion de calculos aproxima-tivos altamente complicados.

Si se desea explicar satisfactoriamente el movimiento de un cuerpo sometido a diversasfuerzas, con un grado de prediccion razonable, nos vemos avocados a complicar las ecuacionesdiferenciales que describen el movimiento. Con complicar queremos decir incluir todos aque-llos terminos que representan las fuerzas que de una u otra manera afectan el movimiento.

Al contemplar la presencia de una tercera partıcula material (u otras mas), o si entraen consideracion la verdadera forma de los cuerpos materiales (potenciales gravitacionalesque dejan de depender de la distancia solamente) o entran en juego fuerzas distintas alas gravitacionales (presion de radiacion, resistencia del medio, etc.), o introducimos larelatividad general y linealizamos las ecuaciones al orden 1/c2 (donde c es la velocidad dela luz en el vacıo) para incluir la curvatura del espacio originada por los cuerpos materiales,las ecuaciones diferenciales que rigen el movimiento de m2 respecto a m1 son ahora de laforma:

~r = − µr3~r + ε~ap, (14.1)

donde ε es un parametro que indica el grado de magnitud de la aceleracion ~ap, que en elcontexto clasico es llamada “aceleracion perturbativa”. Obtener las ecuaciones diferencialeses la parte menos complicada del asunto. Lo espinoso es resolverlas. La realidad es que solo


es posible obtener todas las constantes de movimiento en el problema de dos cuerpos (cuandoε en (14.1) es cero), o, en otros terminos, y como se ha dicho incansablemente, las ecuacionesdel problema de dos cuerpos son completamente integrables de forma analıtica. Solo en talcaso es posible obtener una solucion de la forma (sin hacer concesiones ni aproximacionesde algun tipo):

~r = ~r(ck, t), ~r = ~r(ck, t), (14.2)

donde los ck representan las constantes de movimiento.

A pesar de la simplicidad de la aceleracion perturbativa ~ap en algunos casos, la ecuacion(14.1) no posee solucion analıtica general exacta.

14.2 El problema de los tres cuerpos

La adicion de un cuerpo de masa m3 a un sistema que consistıa de dos cuerpos de masas m1

y m2 da lugar al estudio del movimiento de tres cuerpos. El problema de los tres cuerposes: calcular el movimiento de tres masas puntuales que se atraen las unas a las otras bajo laley de atraccion newtoniana para cualquier valor de las masas y cualquier condicion inicial.Es un problema cuya solucion ya fue buscada desde los tiempos de Newton para explicar elmovimiento de la Luna alrededor de la Tierra teniendo en cuenta la presencia del Sol. Elmismo Newton se quejo de que la complicacion del problema era de tal magnitud que, detodos los problemas matematicos con que se habıa enfrentado, el del movimiento de la Lunaera el que mas le habıa producido dolor de cabeza.

Sean tres cuerpos puntuales con masas m1, m2 y m3 con sus respectivos vectores posi-cion ~R1, ~R2 y ~R3 referidos a un punto O cualquiera de un sistema de coordenadas inercial.Sean tambien ~D12 el vector relativo del cuerpo de masa m2 con respecto a m1, ~D13 el vectorrelativo del cuerpo de masa m3 con respecto a m1 y ~D23 el vector relativo del cuerpo demasa m3 con respecto a m2.

O

D

m

m

D13

R

R

R1

3

3

23

2

2

D12m1

Figura 14.2: Problema de los tres cuerpos

14.2. EL PROBLEMA DE LOS TRES CUERPOS 283

De acuerdo con la ley de atraccion gravitacional deducimos que la fuerza que se ejercesobre el cuerpo de masa m1 debido a la presencia de m2 y m3 es:

~F1 = ~F12 + ~F13,

o, con la ley de atraccion gravitacional:

m1~R1 =

Gm1m2

D312

~D12 +Gm1m3

D313

~D13. (14.3)

La fuerza que se ejerce sobre el cuerpo de masa m2 debido a la presencia de m1 y m3 es:

~F2 = ~F21 + ~F23,

esto es,

m2~R2 = −Gm1m2

D312

~D12 +Gm2m3

D323

~D23. (14.4)

Igualmente, la fuerza que se ejerce sobre el cuerpo de masa m3 debido a la presencia dem1 y m2 es:

~F3 = ~F31 + ~F32,

o sea:

m3~R3 = −Gm1m3

D313

~D13 −Gm2m3

D323

~D23. (14.5)

Sumando las ecuaciones (14.3), (14.4) y (14.5) obtenemos:

m1~R1 +m2

~R2 +m3~R3 = ~0.

Al integrar una vez con respecto al tiempo:

m1~R1 +m2

~R2 +m3~R3 = ~K1, (14.6)

donde ~K1 es un vector constante que representa, en el espacio, tres constantes escalares. Laecuacion (14.6) significa que la suma de los momentos lineales de los cuerpos involucradoses una constante.

Una nueva integracion de (14.6) permite llegar a:

m1~R1 +m2

~R2 +m3~R3 = ~K1t+ ~K2. (14.7)

Al definir el vector centro de masa de nuestro sistema ~Rcm como:

~Rcm =m1

~R1 +m2~R2 +m3

~R3

m1 +m2 +m3,

la ecuacion (14.7) queda:


~Rcm =~K1t

m1 +m2 +m3+

~K2

m1 +m2 +m3,

que significa que el centro de masas del sistema se desplaza en el espacio en lınea recta ycon movimiento uniforme.

Ya llevamos seis integrales de movimiento. Podemos encontrar otras tres. Reescribiendolas ecuaciones (14.3), (14.4) y (14.5) en terminos de la velocidad:

m1~v1 = G

(m1m2

D312

~D12 +m1m3

D313

~D13

), (14.8)

m2~v2 = G

(−m1m2

D312

~D12 +m2m3

D323

~D23

), (14.9)

m3~v3 = G

(−m1m3

D313

~D13 −m2m3

D323

~D23

). (14.10)

Multiplicando (14.8) por ~R1×, (14.9) por ~R2× y (14.10) por ~R3×, sumando, teniendoen cuenta que: ~R2 = ~R1 + ~D12, ~R3 = ~R1 + ~D13, ~R3 = ~R2 + ~D23, ~Ri × ~Ri = 0 y (~Ri × ~Rj) =−(~Rj × ~Ri), obtenemos:

m1~R1 × ~v1 +m2

~R2 × ~v2 +m3~R3 × ~v3 = ~0.

Sumando cero a esta expresion en la forma: m1~R1 × ~R1 + m2

~R2 × ~R2 + m3~R3 × ~R3 y

utilizando la regla de Leibnitz:

m1d

dt(~R1 × ~v1) +m2

d

dt(~R2 × ~v2) +m3

d

dt(~R3 × ~v3) = ~0.

Compactando y reordenando los terminos:

d

dt

[3∑i=1

~Ri ×mi~vi

]= ~0,

que al integrar resulta en:

~H =

[3∑i=1

~Ri ×mi~vi

], (14.11)

donde el vector constante ~H representa la conservacion del momentum angular. Tenemostres nuevas constantes escalares en el espacio. A medida que los tres cuerpos se desplazan enel espacio, sus vectores posicion y velocidad son tales que el vector ~H conserva una magnitudconstante y una direccion fija en el espacio. La lınea a lo largo de la cual se dirige ~H se llamalınea invariable. Asociada a esta lınea esta un plano perpendicular a ella y que contiene elcentro de masas que es llamado plano invariable.


Podemos hallar otra constante de movimiento. Multiplicando escalarmente (14.8) por~R1, (14.9) por ~R2 y (14.10) por ~R3, colocando los vectores ~D12 = D12~u12, ~D13 = D13~u13 y~D23 = D23~u23, sumando todos los terminos y reordenando tenemos:

m1~R1 · ~v1 +m2

~R2 · ~v2 +m3~R3 · ~v3 =

Gm1m2

D312

~u12 · (~R1 − ~R2) +Gm1m3

D313

~u13 · (~R1 − ~R3)

+Gm2m3

D323

~u23 · (~R2 − ~R3). (14.12)

Ahora bien, como ~D12 = ~R2 − ~R1, ~D13 = ~R3 − ~R1 y ~D23 = ~R3 − ~R2 se deduce que:

~u12 · (~R1 − ~R2) = ~u12 · (− ~D12) = ~u12 · (D12~u12 +D12~u12) = −D12,

en donde se ha hecho uso de que ~u12 · ~u12 = 1 y ~u12 · ~u12 = 0.De igual forma es posible obtener: ~u13 · (~R1 − ~R3) = −D13 y ~u23 · (~R2 − ~R3) = −D23.

Con esto, y como ~Ri = ~vi, la ecuacion (14.12) queda:

m1~v1 · ~v1 +m2~v2 · ~v2 +m3~v3 · ~v3 = −G[m1m2

D312

D12 +m1m3

D313

D13 +m2m3

D323

D23

].

Pero:12d

dt(~vi)2 = ~vi · ~vi,

dD−1ik

dt= − 1

D2ik

dDik

dt,

por lo que la anterior ecuacion se puede escribir como:

d

dt

[12

3∑i=1

miv2i

]= G

d

dt

[m1m2

D12+m1m3

D13+m2m3

D23

].

Llamando T energıa cinetica y V energıa potencial dados por:

T =12

3∑i=1

miv2i , V = −G

[m1m2

D12+m1m3

D13+m2m3

D23

],

podemos integrar a ambos lados y obtener:

T − V = E, (14.13)

donde E es una constante llamada energıa total del sistema.

Puesto que no es posible obtener mas constantes de movimiento, no es posible llegar auna solucion analıtica general del problema. Un comentario generalizado al respecto puedeverse en la seccion 14.3.

Es posible estudiar el movimiento de las masas m2 y m3 con respecto a m1, tal y comose hizo en el problema de los dos cuerpos donde se redujo el asunto a estudiar el movimiento


de una de las masas con respecto a la otra.

Como ~D12 = ~R2 − ~R1 se desprende: ~D12 = ~R2 − ~R1, la cual, al introducir las masas dela siguiente forma:

m2~D12 = m2

~R2 −m2

m1m1

~R1.

Al reemplazar en esta ultima las ecuaciones (14.3) y (14.4) se obtiene:

~D12 = −G(m1 +m2)D3

12

~D12 +Gm3

[~D23

D323

−~D13

D313

].

Haciendo el siguiente cambio de notacion: ~r = ~D12, ~r′ = ~D13, ~ρ = ~D23, la anteriorecuacion queda (ver figura 14.3):

~r = −G(m1 +m2)r3

~r +Gm3

~ρ

ρ3−

~r′

r′3

. (14.14)

rm

3

ρ

m2

m1

r’

Figura 14.3: Movimiento relativo de dos cuerpos con respecto a un tercero

En forma analoga, la ecuacion vectorial que gobierna el movimiento relativo de la par-tıcula de masa m3, sometida al campo gravitacional de las partıculas con masas m1(ubicadaen el origen de coordenadas) y m2 es:

~r′ = −G(m1 +m3)r′3

~r′ +Gm2

~ρ

ρ3− ~r

r3

. (14.15)


Notese que, en terminos de componentes espaciales, son seis ecuaciones diferenciales desegundo orden, o, para resolver completamente el problema, es necesario obtener ahora doceconstantes de movimiento.

El grado de complicacion de estas ecuaciones es tal que a pesar de los enormes esfuerzosde muchos matematicos notables nunca ha sido posible hallar una solucion analıtica com-pletamente general.

Sin embargo, a la hora de hallar el movimiento de un planeta como la Tierra alrededordel Sol perturbado digamos por Marte, el termino Gm3 (siendo m3 la masa de Marte, o engeneral la masa de cualquier planeta) es de magnitud muy pequena, lo que significa que laperturbacion tambien lo es. Ello permite, en un buen grado de aproximacion, estudiar elmovimiento de la Tierra unicamente y suponer que el movimiento del planeta perturbadorse describe mediante una elipse perfecta, lo que en terminos practicos quiere decir que re-nunciamos, por ahora, a encontrar el movimiento exacto de m3 y solo nos ocupamos deresolver la ecuacion (14.14).

NOTA: es claro que en la teorıa lunar el termino Gm3 (siendo m3 la masa del Sol) esmucho mas grande que en la teorıa del movimiento de los planetas en torno al Sol. Ello haceque las expansiones en serie sean fabulosamente enormes, haciendo el problema bastantecomplicado de resolver.

Coloquemos un sistema de coordenadas cartesiano con origen en el centro de m1. En-tonces: r2 = x2 + y2 + z2, r′2 = x′

2 + y′2 + z′

2 y ρ2 = (x− x′)2 + (y − y′)2 + (z − z′)2.Las ecuacion diferencial (14.14) en terminos de sus componentes se convierte en el sis-

tema:

x = − µr3x+Gm3

[x′ − xρ3

− x′

r′3

],

y = − µr3y +Gm3

[y′ − yρ3

− y′

r′3

], (14.16)

z = − µr3z +Gm3

[z′ − zρ3

− z′

r′3

].

Pero, considerando las siguientes derivadas con respecto a x (por poner un ejemplo):

∂ρ−1

∂x=

(x′ − x)ρ3

,∂

∂x

[xx′ + yy′ + zz′

r′3

]=

x′

r′3,

y derivadas similares para y y para z y puesto que ~r · ~r′ = xx′ + yy′ + zz′, podemos definiruna funcion, llamada funcion perturbadora, ası:

R = Gm3

1ρ− ~r · ~r′

r′3

. (14.17)


La ecuacion para x se puede escribir entonces:

x = − µr3x+

∂R∂x

,

con expresiones analogas para y y z.

La ecuacion (14.14) puede escribirse de la forma (siendo ∇ el operador nabla 2):

~r = − µr3~r +∇R. (14.18)

Notese que al hacer m3 = 0 esta ecuacion se reduce a la de los dos cuerpos (ecuacion(12.26)).

14.2.1 El problema restringido circular de los tres cuerpos

Existe un caso interesante del problema de los tres cuerpos que consiste en suponer que unode ellos es de masa infinitesimal (digamos m3) y que los otros dos (de masas m1 y m2) semueven en orbita circular (dos cuerpos sin perturbacion externa separados por una distanciaconstante d) con respecto a su centro de masa. El reto es encontrar, para todo tiempo, elmovimiento de la partıcula de masa despreciable sometida al campo gravitacional de m1 ym2. El problema ası descrito se conoce con el nombre del problema “restringido” circularde los tres cuerpos. Lagrange encontro que las ecuaciones de movimiento de la partıculaen cuestion, mediante una ingeniosa transformacion de coordenadas, posee una integral demovimiento que relaciona la velocidad de la partıcula con las zonas donde le es permitidomoverse.

m

m

1

EJE ROTANTE

2

CENTRO DE MASA

Figura 14.4: Dos cuerpos en orbita circular alrededor de su centro de masas

La transformacion de coordenadas consiste en introducir las denominadas coordenadasrotantes, esto es, el sistema de referencia cuyo origen es el centro de masas, es puesto a rotarya que se exige que uno de los ejes contenga siempre a los dos cuerpos de masas m1 y m2

2∇ =(i ∂∂x

+ j ∂∂y

+ k ∂∂z

)


que giran con movimiento uniforme una alrededor de la otra, ver figura 14.4. Aunque lasecuaciones diferenciales que describen el movimiento de la partıcula de masa infinitesimalno se pueden resolver de forma analıtica cerrada, es posible demostrar que existen cincopuntos de velocidad cero (con respecto a los ejes en rotacion) donde, en cada uno de ellos,al ubicar la partıcula de masa infinitesimal, esta permanecera fija en ese mismo punto. Enotras palabras, si sabemos que una partıcula esta ubicada en alguno de estos puntos, dotadade velocidad cero con respecto a los cuerpos de masa m1 y m2, entonces dicha partıculapermanecera ubicada para siempre en dicho punto.

Los puntos en cuestion son llamados puntos de Lagrange (ver figura 14.5). Tres de esos,llamados colineales (L1, L2 y L3), se ubican en la misma lınea que une los dos cuerposprincipales. Las distancias a que se encuentran de los cuerpos de masa m1 y m2 dependenenteramente de las masas de estos. Los otros dos puntos, llamados triangulares (L4, L5), sesituan a una distancia d tanto de m1 como de m2, esto es, m1, m2 y L4 (o L5) conformanun triangulo equilatero.

∗

L1∗ ∗

L2

m ∗L3

L4∗

L5

MASACENTRO DE

m1 2

Figura 14.5: Los puntos de Lagrange

Es relativamente sencillo demostrar que los punto colineales son inestables, esto es,cualquier mınima perturbacion ejercida sobre el cuerpo de masa m3 que lo obligue a des-plazarse una pequena distancia de su punto de velocidad cero, abandonara de forma irre-mediable el punto en cuestion. Los puntos triangulares son otro asunto: bajo ciertas condi-ciones, al perturbar y por lo tanto desalojar ligeramente a m3 de L4 o L5, el cuerpo retornaraa su posicion original, por lo que se dice que estos puntos triangulares son estables. Y dehecho, la naturaleza muestra la solidez de estas consideraciones teoricas. En 1907 se des-cubrio un asteroide, llamado Aquiles, en la misma orbita de Jupiter pero a unos 60 grados alfrente de este. En otras palabras: Aquiles esta ubicado cerca del punto L4 de la orbita Sol-Jupiter. Desde entonces se han descubierto numerosos asteroides no solo en L4 sino tambienen L5. Puesto que a la mayorıa se les han dado nombre de personajes de la Iliada, se lesconoce con el nombre de asteroides troyanos. Recientemente se han encontrado asteroides


“troyanos marcianos”, esto es, muy cerca de los puntos L4 y L5 de de la orbita Sol-Marte.Debe quedar claro, sin embargo, que los asteroides troyanos no estan exactamente en lospuntos L4 y L5, pues a causa de las perturbaciones gravitacionales generadas por los otrosplanetas y la excentricidad inherente de los planetas hacen que en realidad estos objetosesten “librando” alrededor del punto en cuestion.

14.3 El problema de los n cuerpos

El problema de los n cuerpos es: dadas en cualquier tiempo las posiciones y velocidades den cuerpos moviendose bajo sus mutuas atracciones gravitacionales, calcular sus posiciones yvelocidades para cualquier otro tiempo. Las ecuaciones de movimiento de n masas puntualesmi, i = 1, 2, . . . , n cuyo radio vector Ri esta dado con respecto a un sistema inercial conorigen en O, son:

mi~R = G

n∑j=1

mimj

r3ij

~rij , j 6= i, i = 1, 2, . . . , n, (14.19)

donde ~rij = ~Rj − ~Ri.

Como ya se dijo, si el problema de los tres cuerpos no tiene solucion analıtica, el decuatro o mas cuerpos la tendra aun menos. La razon de esto es como sigue. Para resolverun sistema de ecuaciones diferenciales es necesario encontrar tantas integrales independi-entes como el orden de dicho sistema. Supongase que se tienen n cuerpos interactuandogravitacionalmente. Ello significa que tenemos, con respecto a un sistema de coordenadasinercial dado, 3n ecuaciones diferenciales de segundo orden que se reducen a 6n ecuacionesdiferenciales de primer orden, esto es, tenemos un sistema cuyo orden es 6n por lo que se hande obtener, para resolver el problema, 6n constantes de movimiento. Es posible obtener, apartir de la ecuacion (14.19), por un procedimiento similar al que se realizo en el problemade los tres cuerpos, diez integrales, llamadas integrales clasicas eulerianas, que son: seisintegrales para el centro de masas (que indican que el centro de masas de un sistema de npartıculas se desplaza en el espacio en una lınea recta); tres integrales para el momemtunangular (que quiere decir que la suma de cada uno de los momentos angulares de las npartıculas es una constante y que esta define un plano llamado plano invariable de Laplace)y por ultimo la integral de la energıa: la suma de las energıas cineticas de las partıculas conla energıa potencial gravitacional mutua entre ellas es una constante. Por dos transforma-ciones adicionales es posible obtener dos constantes mas: una de ellas consiste en eliminarel tiempo, haciendo que una de las otras variables sea la variable independiente; la otra esllamada “eliminacion del nodo” y fue encontrada por el matematico aleman Karl GustavJacobi. En total, haciendo lo que, hasta ahora, es humanamente posible, obtenemos 6n−12integrales independientes. En el caso de tener tres cuerpos (n = 3) nos quedan haciendofalta 18− 12 = 6 integrales independientes, por lo que no es posible resolver analıticamenteel problema. Puesto que han resultado esteriles los esfuerzos de los matematicos para en-contrar mas integrales independientes, los investigadores terminan por abordar el asuntoen el sentido contrario: intentar probar la no existencia de mas integrales independientes.

14.4. PERTURBACIONES AL PROBLEMA DE LOS DOS CUERPOS 291

Poincare demostro, por ejemplo, la no existencia de integrales adicionales que sean uniformesa los elementos orbitales.

14.4 Perturbaciones al problema de los dos cuerpos

En muchos problemas de interes el movimiento de una partıcula alrededor de otra puededescribirse en primera aproximacion por el problema de los dos cuerpos. Ello significa quede todas las posibles interacciones que puedan influir en el movimiento de esos dos cuer-pos, la fuerza dominante es la de la atraccion gravitacional con un potencial de la formaV = −Gm1m2

r . Las otras interacciones (una tercera partıcula u otras mas), asimetrıa delcuerpo central, etc., influyen en menor grado. Dichas interacciones se conocen como fuerzasde perturbacion.

Las fuerzas de perturbacion pueden ser de muy diversa naturaleza. Por mucho tiempola principal fuerza de perturbacion que estudiaron los astronomos fue la fuerza de atra-ccion gravitacional originada por la presencia de una tercera masa (o mas). El estudio delmovimiento de la Tierra alrededor del Sol, pero perturbado por la presencia de todos losdemas planetas es uno de tales ejemplos. Con la aparicion de la teorıa de la relatividadgeneral fue necesario incluir las perturbaciones originadas por curvatura del espacio-tiempo.El advenimiento de la edad espacial a finales de los anos cincuentas obligo a los astronomos aconsiderar otros tipos de fuerzas perturbadoras, tales como no esfericidad del cuerpo central,presion de radiacion, resistencia atmosferica, etc.

Las fuerzas de perturbacion que estudiaremos son las siguientes:

- Presencia de un tercer cuerpo, o de mas cuerpos

- No esfericidad del cuerpo central

- Rozamiento atmosferico

- Presion de radiacion

- Eyeccion de masa

- Curvatura del espacio

- Efecto Poynting-Robertson

- Efecto Yarkovsky

- Resistencia por partıculas cargadas

Pasaremos a dar un breve comentario a cada una de ellas.


14.4.1 Presencia de un tercer cuerpo, o de mas cuerpos

La presencia de un tercer cuerpo, llamado perturbador, se estudia por medio de la ecuacion(14.18). No es posible resolver esta ecuacion diferencial de una forma analıtica cerrada.Un intento de solucion analıtica, como se vera en la seccion 14.5.2, es por aproximaciones,utilizando el metodo de constantes arbitrarias. Puesto que en el sistema solar las masas delos planetas son al menos mil veces mas pequenas que la del Sol, el valor de R (que estasiendo multipicado por la masa de un planeta perturbador) tambien es pequeno.

La presencia de varios cuerpos perturbadores se aborda utilizando una generalizacion dela ecuacion (14.14). Es posible mostrar que la presencia de n cuerpos perturbadores queafectan al cuerpo de interes se puede describir mediante una ecuacion de la forma:

~r = − µr3~r +

n∑i=3

Gmi

~ρiρ3i

−~r′ir′3i

,

donde ~ρi es el vector existente entre nuestro cuerpo de interes m2 y el cuerpo de masa mi y~r′i es el vector entre el cuerpo de masa principal (m1) y el cuerpo de masa mi.

Entonces, la ecuacion que rige el movimiento de m2 pertuurbado por la presencia de ncuerpos se puede escribir de la forma:

~r = − µr3~r +

n∑i

∇Ri. (14.20)

En el caso de un satelite artificial en torno a la Tierra las masas perturbadoras son elSol y la Luna. Ahora bien, las masas de estos cuerpos son notables, particularmente la delprimero, pero ha de tenerse en cuenta que la funcion perturbadora, ademas de dependerde la masa del cuerpo perturbador, depende tambien de la relacion del cuadrado inversode las distancias que separan a la Tierra (y al satelite) de los cuerpos perturbados. Comolas distancias son muy grandes, sus cuadrados inversos son pequenos, por lo que el efectoperturbador solo sera apreciable para satelites cuyas distancias a la Tierra sean muy grandes,de varias veces el diametro del planeta.

14.4.2 No esfericidad del cuerpo central

En la seccion 11.3.2 habıamos mencionado que la forma real de los cuerpos celestes generauna desviacion con respecto a la simple ley newtoniana. La aceleracion que experimenta uncuerpo de masa m2 (considerado como una partıcula) alrededor de un cuerpo real de masam1 esta dada por:

~r = −∇V, (14.21)

donde V es llamada funcion potencial. La funcion potencial V se asume que cumple lasiguiente ecuacion:

∇2V = 0, (14.22)


llamada ecuacion de Laplace.

En coordenadas esfericas (r, φ, λ) la anterior ecuacion adopta la forma:

1r2

∂

∂r(r2 ∂V

∂r) +

1r2 cosφ

∂

∂φ(cosφ

∂V

∂φ) +

1r2 cos2 φ

∂2V

∂λ2= 0. (14.23)

La solucion de esta ultima puede escribirse como la multiplicacion de tres funciones quesolo dependeran por separado de una variable, ası:

V = R(r)Φ(φ)Λ(λ).

Despues de un proceso, un tanto arduo, es posible demostrar que la anterior ecuacion,en terminos de los armonicos esfericos, puede escribirse como:

V = −Gm1

r

1 +

∞∑n=1

n∑m=0

[(R

r

)nPnm( senφ)(Cnm cosmλ+ Snm senmλ)

], (14.24)

donde R, como antes, es el radio ecuatorial del cuerpo central, Cnm y Snm son constantesadimensionales propias para cada cuerpo llamadas coeficientes armonicos y Pnm( senφ) sonlas funciones asociadas de Legendre de primera especie definidas por:

Pnm( senφ) = (1− sen 2φ)m/2dm

d( senφ)mPn( senφ),

siendo Pn( senφ) = Pn0( senφ) los llamados polinomios de Legendre, de los cuales damos acontinuacion algunos ejemplos:

P0( senφ) = 1,P1( senφ) = senφ,

P2( senφ) =12

(3 sen 2φ− 1),

y se pueden obtener los demas mediante la formula de Rodrigues:

Pn( senφ) =1

2nn!dn

d( senφ)n( sen 2φ− 1)n.

Cuando el centro de masas del cuerpo planetario se toma como el origen de coor-denadas se obtiene C10 = C11 = S11 = 0. Es usual en dinamica de satelites escribirJn = −Cn0, Jnm = −Cnm, Knm = −Snm.

Los armonicos del tipo Jn son llamados zonales, los del tipo Jnn(n 6= 0) sectoriales ylos del tipo Jnm(m 6= n 6= 0) teselares. Todos estos armonicos son constantes propias decada cuerpo central que en la practica se hallan comparando el movimiento real del satelitecon la teorıa. Por supuesto que la ecuacion (14.24) representa una expresion matematicaextraordinariamente larga y complicada. En calculos de altısima precision de satelites quegiran alrededor de la Tierra se hace necesario encontrar bastantes valores de los Cs y Ss;


Coeficiente Valor Coeficiente ValorJ2 1.0827× 10−3 J22 −1.57× 10−6

J3 −2.56× 10−6 K22 0.90× 10−6

J4 −1.58× 10−6 J31 −2.10× 10−6

J5 −0.15× 10−6 K31 −0.16× 10−6

Tabla 14.1: Algunos valores de coeficientes armonicos para la Tierra

ver por ejemplo The Explanatory Supplement to the Astronomical Almanac donde llegana encontrarse valores que llegan a n = m = 36 (Seidelmann, 1992, p. 228-232). En elcaso en que no se esten buscando predicciones milimetricas se puede hacer uso de un hechoafortunado que se puede ver analizando la tabla 14.1.

Como se aprecia en esta tabla, el valor de la constante J2 = −C20 para la Tierra es almenos mil veces mas grande que todos los restantes, por lo que una buena aproximaciondel potencial terrestre es incluir solo el termino que acompana a esta constante y descartartodos los demas. En tal caso, la ecuacion (14.24) adopta la forma (al hacer n = 2 y m = 0):

V = −Gm1

r

[1 +

(R

r

)2

P20( senφ)C20

],

y puesto que C20 = −J2 y P20( senφ) = P2( senφ) se tiene:

V = −Gm1

r

[1 +

J2

2

(R

r

)2 (1− 3 sen 2φ

)]. (14.25)

Al reemplazar (14.25) en (14.21) obtenemos un conjunto de ecuaciones diferenciales quepese a su simplicidad, no ha sido posible resolver de forma completamente analıtica3. Elproblema de calcular la trayectoria de un cuerpo con un potencial de la forma (14.25) esconocido con el nombre del problema principal del satelite artificial. Su solucion, usualmentepor aproximaciones que conducen en algunos casos a metodos muy ingeniosos, ha ocupadola atencion de varios astronomos desde finales de los anos cincuenta. Se destacan al respectolas teorıas propuestas por Brouwer y Kozai. Las expresiones matematicas en estas teorıasque permiten calcular la posicion de un satelite con buena exactitud contienen gran cantidadde terminos algebraicos lo que, para el no iniciado, hace su utilizacion un poco tediosa. Si setiene la intencion de hacer predicciones con muy buena exactitud se ha de estar preparadopara manejar numerosas expresiones algebraicas. Como veremos mas adelante, solucionesmuy aproximadas de estas ecuaciones seran consideradas en nuestros calculos para hallar laposicion del satelite.

3Es posible, sin embargo, solucionar analıticamente el problema si el segundo cuerpo (esfericamentesimetrico) esta ubicado permanentemente en el ecuador, esto es, con φ = 0.


14.4.3 Perturbacion por rozamiento atmosferico

Los satelites artificiales de baja altura (aquellos que tienen alturas sobre la superficie terrestrecomprendidas entre los 180 y 1000 kilometros) experimentan una fuerza de rozamiento FDoriginada por las capas mas altas de la atmosfera. El efecto neto de la resistencia atmosfericaes disminuir progresivamente el semieje mayor de la orbita de tal forma que la trayectoria seasemeja a una espiral por lo que el satelite experimenta aun mayor rozamiento (se desplazaen zonas cada vez mas densas). Eventualmente, los satelites colocados en orbitas inferioresa los 1000 kilometros de altura terminaran sus dıas estrellandose contra la atmosfera.

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TIERRA

Figura 14.6: Perdida de altura de un satelite por rozamiento atmosferico

A menos que sus dimensiones sean muy grandes (o que este recubierto de materialesresistentes al calor) el satelite se vaporizara por completo, pues su velocidad de impacto esde casi 8 kilometros por segundo.

Aparte de la fuerza de rozamiento el satelite tambien experimenta una fuerza de sustenta-cion FL por estar desplazandose dentro de un fluido. La fuerzas de resistencia y sustentacionque experimenta un satelite (o un avion) son de la forma:

FD =12ρSCDv

2,

FL =12ρSCLv

2,

donde ρ es la densidad de la atmosfera, v la velocidad del satelite con respecto a la atmosfera,S el area transversal del satelite y CD y CL son respectivamente los coeficientes de resisten-cia y sustentacion del satelite (valores que dependen de la forma de este).


En la gran mayorıa de los satelites, el efecto de la fuerza de sustentacion es muy pequenocomparado con el valor de la resistencia, por lo que, a menos que se deseen calculos de altaprecision, la fuerza de sustentacion se considera despreciable. A diferencia de lo que se estu-dia en la aerodinamica clasica, el flujo de las partıculas de aire que conforman la atmosferasuperior no es un flujo continuo a causa de las condiciones de cuasi-vacıo existentes allı loque hace que existan grandes valores para la trayectoria libre media de dichas partıculas.Las teorıas predicen un valor cercano de CD de alrededor de 2.5. Las soluciones de las ecua-ciones diferenciales que tienen en cuenta estas fuerzas son tambien bastante complicadas.Existen trabajos clasicos para resolver en principio el problema, pero la dificultad intrınsecade modelar la densidad de la atmosfera (en principio funcion de la altura) ya depende deimponderables tales como cambios en la actividad solar que hacen muy difıcil predecir conexactitud el instante de caıda de un satelite no controlado reentrando a la atmosfera.

14.4.4 Perturbacion por presion de radiacion

La radiacion solar (y en menor grado, la radiacion del Sol reflejada por la Tierra) afectatambien el movimiento de un satelite, pues origina una aceleracion que es particularmentenotoria en satelites que poseen una razon A/m (area sobre masa) grande, esto es, parasatelites cuya area transversal sea notoria comparada con su masa. Esta perturbacion tieneel agravante de que no es continua para satelites de baja altura pues la fuerza perturbadoradisminuye o se anula cuando el satelite es eclipsado por la Tierra. La magnitud de estaperturbacion es tambien varios ordenes de magnitud mas pequena que la perturbacion porno esfericidad de la Tierra.

14.4.5 Perturbacion por eyeccion de masa

En la naturaleza se observa un fenomeno caracterıstico de perdida de masa: los cometascerca de su perihelio pierden grandes cantidades de material a causa de la incidencia de laradiacion solar sobre la superficie de estos pequenos cuerpos (ver figura 14.7). En algunoscasos se han de adoptar modelos que tengan en cuenta este sutil flujo de material el cual esdifıcil de modelar dada la manera expontanea y completamente aleatoria con que aparecenlos “chorros” de material expulsado.

Se ha estudiado intensivamente la perturbacion por eyeccion de masa con el advenimientode los satelites artificiales. En el caso mas general dicha perturbacion es producida a voluntadpor los operadores en tierra de un satelite autopropulsado (esto es, con propelente en suinterior) con variados propositos. En el caso de los satelites geoestacionarios, donde esconveniente asegurar continuamente que el satelite este en un sitio fijo sobre la superficieterrestre (las perturbaciones por asimetrıa de la Tierra, la Luna y el Sol afectan la trayectoriadel satelite cuyo efecto es desplazarlo progresivamente del sitio hacia donde apuntan lasantenas de enlace), es preciso de cuando en cuando, activar los pequenos motores cohetedel satelite para corregir de nuevo la posicion. Si se trata de estaciones espaciales (como laMIR) o de satelites espıas (que se desplazan a muy bajas orbitas con el fin de obtener mejorresolucion de las fotografıas) es imperioso, para evitar que en cuestion de dıas se quemen enlas capas mas densas de la atmosfera, estar periodicamente prendiendo los motores cohetecon el fin de recuperar la altura perdida y asegurar ası su supervivencia por algun tiempo


Figura 14.7: Bruscas eyecciones de masa emanan del nucleo del cometa Halley fotografiadas por la sonda

espacial Giotto

mas. En el caso de algunos satelites secretos, cuando la situacion lo amerita, se activan losmotores con el expreso fin de alterar la trayectoria y despistar ası a enemigos potencialesque puedan rastrear y predecir la ubicacion del satelite en el futuro.

14.4.6 Perturbacion por curvatura del espacio-tiempo

Al inicio del capıtulo 11 se comento que hoy en dıa la teorıa de gravitacion que utilizan losespecialistas es la teorıa de la relatividad general de Einstein. Por razones de simplicidad,en muchos libros se introduce la relatividad general en mecanica celeste no como la teorıaque sirve como el fundamento de esta, sino mas bien como una perturbacion pequena quehay que introducir a la teorıa clasica newtoniana. Encontrar las ecuaciones diferenciales demovimiento de partıculas autogravitantes a partir de las ecuaciones de campo de Einsteinno es una labor sencilla. De hecho, esto requiere introducir una serie de aproximaciones,algunas sustentadas en argumentos de dudosa validez. Todas estas dificultades pueden dealgun modo ser sobrellevadas si se recurre a procedimientos de aproximacion convenientes.La tecnica usual consiste en restringir el movimiento de las partıculas bajo las siguientesconsideraciones:

- El campo gravitacional por estudiar debe ser “debil”, i.e., V/c2 . 10−6, siendo V elpotencial newtoniano y c la velocidad de la luz.

- El movimiento de la partıculas que generan el campo es “lento”, i.e., ( vc )2 . 10−7, v esla velocidad con respecto al centro de masas del sistema solar.


- Las partıculas que generan el campo se ven sometidas a “pequenas” tensiones y energıasinternas.

Estas aproximaciones, conocidas en su conjunto como el lımite post-newtoniano, son losuficientemente exactas como para contemplar en el sistema solar todas las pruebas devalidez que se puedan disenar en un futuro previsible. Con ello, el analisis de los experimen-tos llevados a cabo en el sistema solar usando una teorıa metrica de la gravedad (como lo esla relatividad general) puede ser bastante simplificado, sin perdida razonable de exactitud,por una expansion simultanea en los pequenos parametros, digamos V y ( vc )2. Tal expan-sion del campo debil y movimiento lento da lugar a los siguientes terminos de una serie: 1)un espacio-tiempo vacıo al “orden cero”; 2) el tratamiento newtoniano del sistema solar al“primer orden”; 3) correcciones post-newtonianas del tratamiento newtoniano al “segundoorden” y ası sucesivamente.

El formalismo de la teorıa newtoniana mas las correcciones post-newtonianas es llamadola “aproximacion post-newtoniana”.

La aproximacion post-newtoniana cubre el sistema por analizar con coordenadas (t, xj) ≡(t, xj) que son lo mas globalmente lorentzianas que sea posible:

gµν = ηµν + hµν , (14.26)

donde gµν es el denominado tensor metrico, ηµν la metrica de Minkowski y hµν es la metricaque expresa la desviacion del espacio vacıo con las propiedades:

limr→∞

hµν = 0, limc→∞

hµν = 0. (14.27)

La expresion hace ver que la aproximacion post-newtoniana no es otra cosa que unateorıa linealizada de la gravedad. Las coordenadas constituyen una separacion natural delespacio-tiempo en espacio mas tiempo. Esta separacion se trata de manera convenienteusando la notacion del analisis vectorial tridimensional del espacio plano —aun cuando elespacio-tiempo es curvo—. No hace falta ser muy perspicaz para darse cuenta que al finalel formalismo de la aproximacion post-newtoniana se parece mas a la teorıa newtoniana quea la teorıa de la relatividad general.

Con todo, y despues de una labor monumental de algebra, es posible llegar a la ecuacionvectorial relativa del problema de los dos cuerpos post-newtoniano:

~r = − µr3~r

+µ

c2r3

[µ(4 + 2σ)

r− (~r)2(3σ + 1) +

3σ2r2

(~r.~r)2

]~r + (4− 2σ)(~r.~r)~r

, (14.28)

con σ = m1m2/(m1 +m2)2.

De la misma manera la aproximacion post-newtoniana permite obtener las ecuacionesdel problema de los n cuerpos conocidas con el nombre de ecuaciones EIH, en honor de los


cientıficos que ayudaron a su obtencion: Einstein, Infeld y Hoffman. Estas ecuaciones EIHson las que se integraron numericamente para obtener las efemerides del sistema solar pormedio de la integracion numerica DE200/LE200.

En la vasta bibliografıa que existe con relacion a las “correcciones que ejerce la relatividadgeneral a la mecanica newtoniana” y especıficamente, en el caso del problema de “un cuerpo”,esto es, una partıcula de masa infinitesimal (que no genera curvatura espacio temporal)alrededor de una masa de dimensiones apreciables, es casi exclusivamente expuesto el celebrecorrimiento de la lınea de las apsides, o, lo que es lo mismo, el incremento secular delargumento de latitud del pericentro (ver figura 14.8). Este extrano corrimiento habıa sidodetectado a mediados del siglo XIX en el planeta Mercurio (descontando las perturbacionesplanetarias que contribuyen en algo a este movimiento), pero quedaba un ligero residuosin explicacion satisfactoria aun cuando se propusieron toda clase de hipotesis imaginables,como la existencia de un planeta aun no descubierto mas cercano al Sol que Mercurio (verHagihara, 1971, p. 234). El residuo fue explicado por Einstein en 1915, utilizando la teorıade la relatividad general. De acuerdo con esta teorıa, por cada revolucion, el corrimiento dela lınea de las apsides tiene por magnitud:

∆ω =24π3a2

T 2c2(1− e2), (14.29)

donde a es el semieje mayor, T el perıodo orbital, e la excentricidad y c la velocidad de laluz.

Figura 14.8: Corrimiento de la lınea de las apsides

Ejemplo 1

Calcular la magnitud del corrimiento de la lınea de las apsides en el caso del planetaMercurio. Calcular el efecto acumulado en un siglo.

Solucion

En el caso de Mercurio: a = 0.38 u.a.= 56 850 000 km, e = 0.2, T = 88 dıas = 7 603 200segundos. Entonces:


∆ω =24× 3.14163 × 56 850 0002

7 603 2002 × 300 0002 × (1− 0.22)= 4.82× 10−7,

por lo tanto, por cada revolucion hay un desplazamiento de 4.82 × 10−7 radianes, o, almultiplicar por 180/π: 2.76 × 10−5 grados, que equivalen a 0.102′′. Mercurio realiza unarevolucion en torno al Sol cada 88 dıas, esto es, en un ano terrestre alcanza a realizar 4.15revoluciones, por lo que en un siglo completa 415. Entonces en un siglo la lınea de las apsidesalcanza a desplazarse unos 0.102′′ × 415 = 42.3′′.

Menos conocida es la presencia de dos perturbaciones adicionales en el semieje mayora y la excentricidad e, estrictamente periodicas (con perıodo T ). En el caso de Mercuriose calcula una perturbacion al semieje mayor con una una amplitud que alcanza 9.4 km.Para la Tierra es del orden de 690 metros. La amplitud en la excentricidad es igualmentepequena. En el caso de Mercurio alcanza 1.8× 10−7 (ver Richardson & Kelly, 1988).

Los efectos por curvatura espacial son, en el sistema solar, muy pequenos aunque detecta-bles y medibles. Ello se debe a la relativamente poca masa del Sol (y aun mas de los objetosque giran en torno a el) y a las distancias bastante grandes entre estos mismos objetos.Pero las modernas tecnicas astronomicas han permitido detectar los efectos amplificadospor curvatura del espacio de cuerpos celestes que generan fuertes campos gravitacionales,tales como los que hay en torno a las estrellas de neutrones. El mas famoso de tales ob-jetos, que ha sido estudiado por mas de 25 anos, es el pulsar binario PSR 1913+16 (verTaylor & Weisberg, 1989). Captando las senales que genera el pulsar (estrella neutronica)con un radiotelescopio adecuado se obtiene un patron anomalo cuya unica explicacion essuponer que este pulsar gira en torno de otro objeto compacto, probablemente otra estrellaneutronica, integrando entonces un pulsar binario. Ambos objetos poseen masas de 2.8M¯y 1.4M¯ y estan separados por tan solo 700 000 km lo que hace que completen un perıodoorbital alrededor de su centro de masas en casi ocho horas. Las caracterısticas particularesde este objeto han constituido un sorprendente respaldo a la teorıa de la relatividad general,pues el movimiento del pulsar que se ha registrado desde su descubrimiento es imposible dereconciliar con solo aplicar la simple teorıa newtoniana. Se ha medido un corrimiento de lalınea de las apsides (no predicho por la mecanica clasica) tan notable que llega a alcanzarlos 4.2o por ano. Incluso, se ha logrado medir el decaimiento del semieje mayor por emisionde radiacion gravitacional, un fenomeno predicho por la teorıa de la relatividad general,indetectable en el sistema solar con los actuales metodos de medicion pero relativamentefacil de medir en objetos compactos.

14.4.7 El efecto Poynting-Robertson

Este efecto se debe a la reemision de ondas electromagneticas sobre la superficie de uncuerpo opaco, como por ejemplo un satelite artificial. Parte de la luz que incide sobre lasuperficie del satelite es absorbida pero luego es reemitida isotropicamente en su propiomarco de referencia. Puesto que el satelite esta en movimiento con respecto a un observador(ubicado en otro marco de referencia), entonces este observa un corrimiento Doppler en laluz reemitida. La luz que se emite en la direccion del movimiento se corre hacia el azul,


mientras que la luz emitida en la direccion opuesta se corre hacia el rojo. Pero, puestoque mas energıa y momentum esta siendo extraidos del satelite por la luz que esta siendodesplazada hacia el azul que hacia el rojo, el satelite siente una fuerza de reaccion opuestaa la direccion de su movimiento. Es esta fuerza la que produce una especie de fuerza deresistencia. Esta fuerza para los satelites artificiales terrestres es muy pequena, pero puedeser significativa para cuerpos muy cercanos a la fuente de radiacion y con areas bastantegrandes.

14.4.8 El efecto Yarkovsky

La radiacion que proviene de un cuerpo radiante (una estrella) calienta la superficie de uncuerpo opaco en rotacion. Las areas sobre la superficie del cuerpo opaco son continuamentellevadas desde el lado sombreado a la luz que llega de la estrella y por lo tanto dichas areasse calientan. Pero, a causa de la inercia termica, existe un retardo en el calentamiento; asıque la parte mas caliente es el lado de la “tarde” y no el sitio donde es mediodıa. Esto ocurreen la Tierra, donde la tarde es la parte mas caliente del dıa en lugar de ser el mediodıa.Este calentamiento asimetrico hace que los fotones que se reflejan de la parte mas calientedel cuerpo lleven mas momentum que de aquellas zonas frıas. Esta diferencia de momentumproduce una fuerza cuya direccion forma un angulo con la direccion estrella-objeto. Estafuerza extra perturba la trayectoria. El efecto Yarkovsky es de pequena intensidad, peropuede llegar a ser de alguna importancia para objetos ubicados cerca del cuerpo radiante,esto es, donde las temperaturas son notorias. Recientemente se ha estudiado la importanciadel efecto Yarkovsky en la evolucion de trayectorias de asteroides del cinturon principal entreMarte y Jupiter para explicar la presencia de asteroides cercanos a la Tierra, ver por ejemploFarinella & Vokrouhlicky (1999).

14.4.9 Resistencia por partıculas cargadas

Un satelite, al desplazarse a traves de las capas altas de la atmosfera, choca con partıculascargadas que hacen que de la superficie del satelite salgan eyectados electrones y esto, conel tiempo, hara que el mismo satelite adquiera carga. Por lo tanto, el satelite interactuaelectromagneticamente con las partıculas cargadas en su vecindad y por lo tanto pierdemomentum, de ahı el origen de una fuerza de resistencia. Como antes, esta fuerza es demagnitud pequena pero al parecer es la responsable del decaimiento en semieje mayor dealgunos satelites geodesicos.

NOTA: Recientemente (Anderson et al., 1998) se ha reportado una anomalıa en lasaceleraciones medidas de algunas naves exploradoras de los planetas exteriores (Pionero 10 y11, Galileo y Ulises) con las cuales todavıa se mantiene contacto. Teniendo en cuenta diversostipos de perturbaciones no se logra explicar una aceleracion anomala con una magnitud de8.5×10−8 cm/s2 dirigida hacia el Sol. Es un problema abierto que aun no tiene explicacion.¿Manifestacion de una nueva fısica? Es posible.


14.5 Resolviendo las ecuaciones

Existen dos “filosofıas”, o mejor dos acercamientos al problema de resolver las ecuacionesdiferenciales. Ellas son: la integracion numerica y los metodos “analıticos” que descansanen la teorıa de perturbaciones.

14.5.1 La integracion numerica

En la era de las computadoras superveloces y software sofisticado al alcance de cualquiera,el enfrentarse con ecuaciones diferenciales complicadas no encierra ya ningun problema:simplemente se integran a lo burdo, o mejor, ulilizando el termino tecnico: se integrannumericamente. Se utilizan tecnicas numericas y aproximativas que consisten en realizarmillones de sumas y multiplicaciones sencillas y encadenadas cuyo resultado final puede seruna secuencia de componentes de vectores posicion o velocidad para el tiempo requerido.Es una “solucion” que satisface a aquellos que tengan espıritu practico y deseen resultados“inmediatos” y precisos. Algunas ecuaciones diferenciales o sistemas de ecuaciones son tancomplicadas que usar la integracion numerica es la unica salida. La gran ventaja de la inte-gracion numerica es que no importa que tan complicadas sean las ecuaciones diferenciales,siempre es posible, teniendo cuidado con los detalles propios de esta clase de calculos, enprincipio, obtener la solucion para una secuencia de tiempos dados. Ello en la practicasignifica que se puede incluir, tanto como se desee, cualquier fuerza perturbativa, siemprey cuando sea representada como una funcion de las variables utilizadas (generalmente lascomponentes de los vectores posicion y velocidad).

La integracion numerica tiene, sin embargo, varias desventajas: con su uso se renuncia aconocer los rasgos, aun los mas generales, del movimiento de dicho sistema; caracterısticaspropias que permitan generalizar el comportamiento dinamico del sistema son difıciles dedeterminar viendo solo secuencias de numeros. Su puesta a punto tampoco deja de generardificultades: no es raro que aparezcan problemas de convergencia y de eleccion del pasode integracion. El problema del manejo de cifras significativas y el crecimiento de errorpor redondeo de las mismas son un dolor de cabeza. En ecuaciones diferenciales altamenteno lineales (como en las de la mecanica celeste) y bajo determinadas situaciones, apare-cen fenomenos caoticos cuya consecuencia inmediata es la perdida de informacion dinamicaconfiable a causa de la dependencia del resultado final de infinitesimales cambios en lascondiciones iniciales, etc.

Pese a esto, los astronomos han optado por utilizar poderosas computadoras para re-solver numericamente las ecuaciones diferenciales que rigen el movimiento de los planetasen el sistema solar. Actualmente, y como habıamos comentado en la seccion 7.10.3, lasefemerides de los planetas, la Luna y el Sol son el resultado de una integracion numericaconocida como DE200/LE200 realizada por el Laboratorio de Propulsion a Chorro de laNASA.

14.5. RESOLVIENDO LAS ECUACIONES 303

Por otro lado, los estudios de estabilidad del sistema solar, migracion planetaria, origen demeteoritos, etc., suelen descansar en heroicas sesiones de integraciones numericas que suelendurar dıas y hasta meses en algunos casos, a pesar de contar con computadoras muy veloces.

En los libros clasicos de mecanica celeste se acostumbra designar a los metodos de in-tegracion numerica como “perturbaciones especiales”. Son conocidos los metodos de in-tegracion de Cowell y de Encke y fueron usados, aunque no extensivamente, por algunosinvestigadores, aun antes de la aparicion de las computadoras.

Un codigo especialmente disenado para abordar problemas de mecanica celeste se en-cuentra en Everhart (1985). Otro codigo eficiente basado en el metodo de Burlish-Stoerpuede encontrarse en Press, et al., (1995), p. 718.

14.5.2 Teorıa de perturbaciones

En la epoca anterior a los grandes avances computacionales al astronomo no le quedaba masremedio que intentar resolver las ecuaciones diferenciales de movimiento como mejor se pu-diese. Aun hoy existen muchos investigadores que, valiendose de las mismas computadoras,utilizan metodos aproximativos con el fin de resolverlas de forma “analitica”. Ello encierravarios atractivos: por un lado se busca hallar, si es posible, rasgos generales del movimien-to de dicho sistema, tipos o familias de trayectorias que puedan ser descritas a traves dealguna propiedad. La necesidad de encontrar estos rasgos es, fundamentalmente, de ordenacademico: el investigador busca ir de lo particular a lo general. Encontrar propiedades in-herentes de cierto tipo de ecuaciones diferenciales puede dar luz sobre topicos tan complejoscomo estabilidad de sistemas gravitacionales.

Otra gran ventaja de tener a la mano una solucion analıtica es que la obtencion delvector posicion, para un tiempo t cualquiera, esta rapidamente al alcance de la mano. Concomputadoras la solucion es inmediata bien sea para t al cabo de un dıa, o para centenaresde anos en el futuro; el calculo demora igual. Problemas de redondeo, eleccion de paso deintegracion no aparecen ni de pasada.

Ahora la gran desventaja: los intentos de solucion analıticos de las ecuaciones diferen-ciales por metodos perturbativos conllevan el uso de expansiones en series de potencias. Elloobliga al astronomo a utilizar tecnicas algebraicas y trigonometricas para ir obteniendo lassoluciones que usualmente son enormes polinomios. Al final, el astronomo esta conminadoa trabajar con secuencias de centenares e incluso miles de terminos numericos con el finde hacer un uso apropiado de ellos para el calculo del movimiento de los planetas, la Lunay el Sol. No es de extranar que este proceso, antes de la aparicion de las computadoraselectronicas, tomara anos enteros en realizarse. Como caso clasico considerese el trabajodel astronomo frances Charles-Eugene Delaunay, quien a mediados del siglo XIX intentoresolver el problema del movimiento de la Luna mediante una tecnica aproximativa —muyingeniosa, por cierto—. Trabajando solo, Delaunay tardo aproximadamente 20 anos en re-solver y verificar los gigantescos terminos que son necesarios para obtener la posicion de la


Luna con una exactitud razonable. Lo sorprendente de este logro es aun mas memorablecuando se pudo, mas de cien anos despues de la muerte de Delaunay, utilizando programascomputacionales llamados “manipuladores de terminos algebraicos”, repetir su trabajo en1970 y comprobar que Delaunay solo cometio tres ligeros errores en terminos con contribu-ciones practicamente despreciables. La computadora tardo solo 20 horas en reproducir eltrabajo entero. Teorıas analıticas del movimiento de los planetas y de la Luna han sidodesarrolladas recientemente por astronomos franceses. Sobresalen, para el movimiento delos planetas, la teorıa VSOP 82 (ver Bretagnon, 1982). Para el movimiento de la Lunaestan las teorıas de la serie ELP2000 desarrolladas por Chapront-Touze y Chapront, sobrelas cuales se han desarrollado tablas y programas de facil adquisicion (ver Chapront-Touze& Chapront, 1991).

La teorıa de perturbaciones es una tecnica muy ingeniosa que descansa en la solucion delproblema de los dos cuerpos. La idea basica es describir el movimiento de un cuerpo (quese mueve en una trayectoria que no es una elipse) mediante una ecuacion del tipo (14.1) yobligarlo a cada momento, en cada punto de su trayectoria, a que describa una elipse, verfigura 14.10. Por supuesto, ello resultara en que cada punto de la trayectoria la elipse estaracambiando. Si de alguna manera se logra describir como estan cambiando en el tiempo losparametros que definen la geometrıa y la orientacion de la orbita en el espacio (los elementosorbitales) estonces el problema se resuelve hallando, para cada tiempo, los valores de dichosparametros. Habiendo hallado la dependencia temporal de cada elemento, se aplican losresultados del problema de los dos cuerpos para hallar el vector posicion.

El matematico suizo Leonhard Euler, desarrollo, junto con el matematico frances Joseph-Louis Lagrange, el metodo de variacion de parametros, el cual consiste en expresar una per-turbacion al problema de los dos cuerpos como un sistema en donde hay que resolver seisecuaciones diferenciales de primer orden, esto es, en lugar de encontrar como resolver tresecuaciones diferenciales de segundo orden que nos permitirıan encontrar en el tiempo losvectores posicion y velocidad de acuerdo con (14.1), mas bien encontrar la variacion tempo-ral de los elementos orbitales, esto es, resolver un sistema de seis ecuaciones diferenciales deprimer orden.

Conocidos en un instante dado los valores de los elementos orbitales se procede a utilizarla solucion de los dos cuerpos para determinar la posicion del cuerpo de nuestro interes.La elipse kepleriana a, e, i,Ω, ω, t0 que corresponde a la posicion ~r y velocidad ~r de unapartıcula en un tiempo dado se conoce con el nombre de orbita instantanea u osculatriz. Sila funcion ~ap no es nula, la elipse kepleriana estara cambiando continuamente. Pero, si lamagnitud de la aceleracion perturbativa es pequena, como es el caso de muchos sistemasde interes en astronomıa, es de esperarse que los elementos orbitales de la elipse cambienmuy poco, por lo que la elipse constituye un “sistema de coordenadas” conveniente pararepresentar la posicion y la velocidad de la partıcula. El asunto es convertir las ecuacionesde movimiento de coordenadas rectangulares a “coordenadas” elıpticas keplerianas, esto es,los elementos.

El conjunto de seis ecuaciones diferenciales que dan cuenta de la variacion de los elemen-tos orbitales en el tiempo puede encontrarse de la siguiente forma.


Figura 14.9: Leonhard Euler (1707-1783) y Joseph-Louis Lagrange (1736-1813)

El vector posicion ~r es funcion del tiempo t y de cada uno de los elementos orbitales (a,e, i, Ω, ω Mr). Entonces la derivada total con respecto al tiempo del vector posicion es:

d~r

dt=∂~r

∂t

dt

dt+∂~r

∂a

da

dt+∂~r

∂e

de

dt+∂~r

∂i

di

dt+∂~r

∂ΩdΩdt

+∂~r

∂ω

dω

dt+

∂~r

∂Mr

dMr

dt.

Por comodidad, representaremos en su conjunto a los elementos orbitales como ck dondek = 1, · · · , 6.

Entonces la anterior ecuacion se convierte en:

d~r

dt=∂~r

∂t+

6∑k=1

∂~r

∂ck

dckdt.

En cada punto de la trayectoria se exige que exista una elipse instantanea (la elipseosculadora) por lo que:

d~r

dt=∂~r

∂t, (14.30)

entonces en la anterior ecuacion se ha de cumplir:

6∑k=1

∂~r

∂ck

dckdt

= 0, (14.31)

que llamaremos la primera condicion de osculacion.


ELIPSE INSTANTANEA P

Figura 14.10: Elipse instantanea (osculadora) en un punto P

Al tomar una nueva derivada total con respecto al tiempo de (14.30) se obtiene (el vectorvelocidad es de nuevo funcion del tiempo y de los elementos orbitales):

d

dt

(d~r

dt

)=∂(∂~r∂t )∂t

dt

dt+

6∑k=1

∂(d~rdt )∂ck

dckdt,

o, lo que es lo mismo:

d2~r

dt2=∂2~r

∂t2+

6∑k=1

∂~r

∂ck

dckdt.

Pero la perturbacion al problema de los dos cuerpos puede estar dada por la ecuacion(14.18) por lo que:

− µr3~r +∇R =

∂2~r

∂t2+

6∑k=1

∂~r

∂ck

dckdt,

donde µ = G(m1 +m2).

En la orbita osculadora en cada punto de la trayectoria se ha de cumplir:

∂2~r

∂t2+µ

r3~r = 0,

esto es, la ecuacion del problema de los dos cuerpos (ver ecuacion (12.26)). Entonces tenemosnuestra segunda condicion de osculacion:

6∑k=1

∂~r

∂ck

dckdt

= ∇R. (14.32)

Las ecuaciones (14.31) y (14.32) contienen lo que estamos buscando, esto es, las primerasderivadas de los elementos en funcion del tiempo. Pero conviene relacionar ambas y con-densarlas en una sola ecuacion. Para ello multiplicamos primero la ecuacion (14.31) por


· ∂~r∂cj (donde cj = 1, · · · , 6) y la ecuacion (14.32) por · ∂~r∂cj y restar una de la otra. Con ellotenemos:

6∑k=1

[∂~r

∂cj· ∂

~r

∂ck− ∂~r

∂ck· ∂

~r

∂cj

]dckdt

= ∇R · ∂~r∂cj

, cj = 1, · · · , 6.

Pero, puesto que

∇R · ∂~r∂cj

=∂R∂x

∂x

∂cj+∂R∂y

∂y

∂cj+∂R∂z

∂z

∂cj=∂R∂cj

,

entonces:

6∑k=1

[∂~r

∂cj· ∂

~r

∂ck− ∂~r

∂ck· ∂

~r

∂cj

]dckdt

=∂R∂cj

, cj = 1, · · · , 6,

o de una forma mas compacta:

6∑k=1

[cj , ck]dckdt

=∂R∂cj

, cj = 1, · · · , 6, (14.33)

donde el sımbolo [cj , ck] representa los parentesis de Lagrange definidos por:

[cj , ck] =

[∂~r

∂cj· ∂

~r

∂ck− ∂~r

∂ck· ∂

~r

∂cj

]. (14.34)

Explıcitamente los parentesis de Lagrange tienen como expresion:

[∂~r

∂cj· ∂

~r

∂ck− ∂~r

∂ck· ∂

~r

∂cj

]=

∂x

∂cj

∂x

∂ck− ∂x

∂ck

∂x

∂cj+∂y

∂cj

∂y

∂ck− ∂y

∂ck

∂y

∂cj+∂z

∂cj

∂z

∂ck− ∂z

∂ck

∂z

∂cj.

Se puede demostrar que los parentesis de Lagrange son independientes explıcitamentedel tiempo por lo que las derivadas anteriores se pueden realizar en cualquier punto de latrayectoria. Por lo general su evaluacion se hace en el pericentro.

Las ecuaciones de movimiento son, de acuerdo con (14.33):

[c1, c1]dc1dt

+ [c1, c2]dc2dt

+ · · ·+ [c1, c6]dc6dt

=∂R∂c1

,

[c2, c1]dc1dt

+ [c2, c2]dc2dt

+ · · ·+ [c2, c6]dc6dt

=∂R∂c2

, (14.35)

...

[c6, c1]dc1dt

+ [c6, c2]dc2dt

+ · · ·+ [c6, c6]dc6dt

=∂R∂c6

.


Notese que se necesita calcular 36 parentesis, pero, por su definicion y simetrıa algunosson o bien nulos ([ci, ci] = 0) o trivialmente calculables ([ci, ck] = −[ck, ci]).

La descripcion del desarrollo de como evaluar los parentesis de Lagrange esta mas alla delproposito de este libro. Los detalles pueden encontrarse en los libros de Brouwer & Clemence(1961), Taff (1985) y Smart (1960). Se encuentra que solo doce de ellos son distintos decero:

[Ω, i] = −[i,Ω] = −na2√

1− e2 sen i,

[Ω, a] = − [a,Ω] =√

1− e2 cos ina2

,

[Ω, e] = −[e,Ω] = −na2e cos i√1− e2

,

[ω, a] = −[a, ω] =√

1− e2na

2, (14.36)

[ω, e] = −[e, ω] = − na2e√1− e2

,

[a,Mr] = −[Mr, a] = −na2.

Estos parentesis son reemplazados en las ecuaciones (14.35) por lo que se tienen seis ecua-ciones con seis incognitas donde estas ultimas son las derivades temporales de cada elemento.

Realizando el despeje correspondiente obtenemos las llamadas ecuaciones de Lagrangede la mecanica celeste, que son:

da

dt=

2na

∂R∂Mr

,

de

dt=

1− e2

na2e

∂R∂Mr

−√

1− e2

na2e

∂R∂ω

,

di

dt=

cot ina2√

1− e2

∂R∂ω− csc ina2√

1− e2

∂R∂Ω

, (14.37)

dΩdt

=csc i

na2√

1− e2

∂R∂i,

dω

dt= − cot i

na2√

1− e2

∂R∂i

+√

1− e2

na2e

∂R∂e,

dMr

dt= −1− e2

na2e

∂R∂e− 2na

∂R∂a

.

El lado derecho de las anteriores ecuaciones que contiene derivadas parciales de la funcionR con respecto a los elementos, es hallado expandiendo dicha funcion en series de potenciasno solamente de las masas de los planetas perturbadores (en el caso de estar trabajando lateorıa planetaria) sino tambien en potencias de las excentricidades y de las inclinaciones, lo


que es adecuado en el sistema solar si se tiene en cuenta las pequenas masas de los planetascomparadas con el Sol y los exiguos valores de excentricidad e inclinacion de los mismos. Engeneral, siempre es posible escribir a R como una suma (en principio infinita) de terminostrigonometricos que contienen a los elementos orbitales angulares (Ω, ω, Mr) como argu-mentos.

Designemos a cualquiera de los elementos orbitales con c. Al haber expandido en terminosde los elementos orbitales la funcion R podemos representar cada una de las ecuaciones(14.37) de la forma:

dc

dt= ν

∑k1k2

ak1k2 cos(k1L1 + k2L2 + g), (14.38)

dondeL1 = n1t+ ε1, L2 = n2t+ ε2,

son las longitudes medias. La constante ν es del orden de la masa perturbadora, k1 y k2

son enteros positivos o negativos (incluyendo el cero) y la sumatoria se extiende sobre todaslas combinaciones de k1 y k2, desde −∞ a +∞. Las cantidades ak1k2 , g, n1, n2, ε1, ε2 sonfunciones de los elementos y n1, n2 son los movimientos medios. Obviamente, los elementoscuya variacion buscamos estan contenidos en el miembro del lado derecho de (14.38). Pero,puesto que la variacion es pequena (debido al coeficiente ν) consideramos los elementos enla lado derecho como constantes y procedemos a integrar las ecuaciones con respecto a t, lascuales dan, genericamente:

c =∑k1k2

ak1k2

k1n1 + k2n2sen (k1L1 + k2L2 + g) + constante. (14.39)

Este procedimiento, llevado hasta aca, se conoce con el nombre de perturbacion al primerorden.

Observese que el metodo de integracion falla cuando alguno de los terminos cumplek1n1 + k2n2 = 0. En tal caso se dice que el termino es crıtico. Pero notese que esto soloaparece cuando la division n1

n2es igual o muy cercana a la relacion de dos multiplos enteros.

Aquellos terminos para los cuales k1 = k2 = 0 son llamados seculares. Como puedeverificarse facilmente, estos terminos aparecen teniendo t como coeficiente. Ahora bien, lasuma k1n1 +k2n2 puede hacerse tan pequena como queramos (recuerdese que los k1 y k2 sonnumeros positivos o negativos) si hacemos k1 y k2 lo suficientemente grandes. Esto conllevaa que algunos terminos de (14.39) que tienen a k1n1 + k2n2 en el denominador se harangrandes. El perıodo de de este termino trigonometrico es entonces:

2πk1n1 + k2n2

.

Estos terminos se llaman entonces de largo perıodo. Aquellos terminos para los cualesk1n1 + k2n2 son grandes, se llaman consecuentemente, de corto perıodo.


Figura 14.11: Henri Poincare (1854-1912)

Este metodo, aplicado al movimiento de los planetas, implica un desarrollo algebraico in-creiblemente extenuante. Sin embargo, fue practicamente el unico que se uso para el calculode las perturbaciones planetarias hasta mediados del siglo XIX.

Desde un punto de vista formal, es deseable que las series que se obtienen aplicando estemetodo sean convergentes. Sin embargo, Henri Poincare logro probar que dichas series no sonuniformemente convergentes, por lo que no pueden representar una solucion real al problema,aunque pueden representar una solucion aproximada y dar cuenta de las observaciones quehan de usarse solo dentro de un perıodo de tiempo limitado.


• Anderson, J. D. et al. (1998) Indication, from Pioneer 10/11, Galileo, and Ulyses Data, ofan Apparent Anomalous, Weak, Long-Range Acceleration, Physical Review Letters, Vol. 81,No. 14, p. 2858.

Artıculo tecnico que pone de manifiesto el problema de la aceleracion minuscula de variasnaves espaciales no explicada aun apelando a toda clase de perturbaciones conocidas.

• Bretagnon, P. (1982) Theorie du mouvement de l’ensemble des planetes. Solution VSOP82,Astronomy & Astrophysics, Vol. 144, p. 278.

Artıculo tecnico que describe una tecnica aproximativa de integracion analıtica basada enlas ecuaciones planetarias de Lagrange para obtener expresiones que permiten calcular lasposiciones de los planetas del sistema solar salvo Pluton.


• Brouwer D. (1959) Solution of the Problem of Artificial Satellite Theory without Drag, Astro-nomical Journal, Vol. 64, p. 378.

Celebre artıculo que describe la solucion aproximada de las ecuaciones diferenciales de movimien-to de un satelite artificial perturbado por varios armonicos zonales.

• Brouwer, D., Clemence, G. (1961) Methods of Celestial Mechanics, Academic Press, NewYork.

Referencia obligada para aquellos que deseen conocer las tecnicas de perturbacion mas amplia-mente utilizadas en mecanica celeste hasta mediados del siglo XX.

• Brown, E. (1960) An Introductory Treatise On the Lunar Theory, Dover Pu. Inc., New York.

Referencia clasica sobre las teorıas del movimiento lunar. Escrito a finales del siglo XIX, esuna descripcion muy tecnica y altamente autorizada, en partıcular del metodo de Hill-Brown,que fue la base de las efemerides lunares por una buena porcion del siglo XX.

• Brumberg, V. A. (1991) Essential Relativistic Celestial Mechanics, Adam Hilger, Bristol.

Libro clave para comprender lo fundamental de la mecanica celeste sustentada en la teorıa dela relatividad general. Lamentablemente es oscuro y muy tecnico en algunos pasajes.

• Chapront-Touze, M., Chapront, J. (1991) Lunar Tables and Programs from 4000 B.C. toA.D. 8000, Willman-Bell, Inc., Richmond.

Este libro contiene programas y ecuaciones que permiten determinar con un grado alto deprecision la posicion de nuestro satelite natural.

• Cook, A. (1988) The Motion of the Moon, Adam Hilger, Bristol.

Sencillamente un gran libro. Sin necesidad de entrar en los desarrollos algebraicos mons-truosos este libro ofrece una descripcion concisa y clara de las diferentes teorıas que se hanpropuesto para explicar el movimiento de la Luna. A pesar de los tecnicismos inevitables esfacilmente leible.

• Everhart, E. (1985) An Efficient Integrator that Uses Gauss-Radau Spacings, en Dynamicsof Comets: Their Origin and Evolution, Reidel Publishing Co., pag. 185.

Contiene la descripcion del integrador Radau el cual ha sido extensivamente utilizado pordiversos investigadores en mecanica celeste.

• Farinella, P., Vokrouhlicky, D. (1999) Semimajor Axis Mobility of Asteroidal Fragments,Science, Vol. 283, p. 1507.

En este artıculo se estudia el corrimiento del semieje mayor de orbitas de asteroides por efectoYarkovsky.

• Geyling, F. T., Westerman, H. R. (1971) Introduction to Orbital Mechanics, Addison-WesleyPu. Co., Reading, Massachusetts.

Otro buen libro de mecanica celeste. Contiene un excelente capıtulo sobre fuerzas perturbativasy los metodos clasicos de perturbacion son vistos con detalle.

• Hagihara, Y. (1970) Celestial Mechanics. Vol I: Dynamical Principles and TransformationTheory, The MIT Press, Cambridge.

Obra supremamente tecnica, que estudia con rigurosidad los fundamentos dinamicos de lamecanica celeste clasica.

• Hagihara, Y. (1971) Celestial Mechanics. Vol II, Part 1: Perturbation Theory, The MITPress, Cambridge.

Constituye un magnıfico compendio de todos los metodos para resolver problemas de pertur-bacion en mecanica celeste propuestos hasta finales de los anos sesentas. Como es de esperarsees una obra muy tecnica, pero la notacion y la lectura lo hacen relativamente facil de leer.Rebosante de referencias.


• Kozai, Y. (1959) The Motion of a Close Earth Satellite, The Astronomical Journal, Vol. 64,p. 367.

Otro artıculo clasico sobre el movimiento de un satelite artificial.

• Misner, C., Thorne, K., Wheeler, J.A. (1973) Gravitation, W.H. Freeman and Co., New York.

Obra monumental acerca de la gravedad vista desde la optica de la relatividad general. Cons-tituye una recopilacion exhaustiva, intensa y en algunos casos didactica de todo lo que sepublico de relatividad general hasta comienzos de los anos setenta. El capıtulo 39 expone conlujo de detalle la aproximacion post-newtoniana.

• Plummer, H. C. (1960), An Introductory Treatise on Dynamical Astronomy, Dover Publica-tions, Inc., New York.

Muy buen libro de mecanica celeste escrito en el viejo estilo. Los capıtulos de perturbacionson concisos y claros; contiene un capıtulo sobre precesion y nutacion y otro sobre libracionlunar.

• Press, W. H. et al (1995), Numerical Recipes in Fortran, Cambridge University Press, NewYork.

Esta referencia es muy util a la hora de obtener programas y subrutinas en Fortran especıficaspara realizar diversos tipos de calculos.

• Richardson, D.L., Kelly, T.J. (1988), Two-Body Motion in the Post-newtonian Approxima-tion, Celestial Mechanics, Vol. 43, p. 193.

Referencia de caracter tecnico que describe una transformacion canonica para resolver el pro-blema de los dos cuerpos post-newtoniano.

• Rubincam, D.P. (1982), On the Secular Decrease in the Semimajor Axis of Lageo’s Orbit,Celestial Mechanics, Vol. 26, p. 383.

En este artıculo se encuentra una descripcion detallada y crıtica de varios tipos de perturba-ciones no muy conocidas que pueden afectar el movimiento de un satelite artificial.


Contiene un excelente capıtulo sobre la descripcion del potencial de los cuerpos reales juntocon los valores de los coeficientes armonicos hasta n = m = 36.

• Smart, W.M. (1960) Celestial Mechanics, Longmans, Londres.

Excelente libro de mecanica celeste escrito en el viejo estilo. Contiene una buena descripcionhamiltoniana y capıtulos interesantes, difıciles de encontrar en otros libros, tales como eldescubrimiento de Neptuno y un tratamiento parcialmente riguroso de la precesion y nutacion.

• Soffel, H. S. (1989) Relativity in Astrometry, Celestial Mechanics and Geodesy, Springer-Verlag, Berlın.

Contiene informacion actualizada relacionada con la aplicacion de la relatividad general envarios campos de la astronomıa. Se supone que el lector domina el calculo tensorial y estafamiliarizado con la relatividad general. Demasiado conciso en algunos topicos, pero exponecon claridad los fundamentos.

• Taff, L. G. (1985) Celestial Mechanics: A Computational Guide for the Practicioner, JohnWiley & Sons, New York.

Buen libro de mecanica celeste. Expone el formalismo incluyendo los conceptos basicos ymodernos de la astronomıa de posicion. Expone una crıtica pertinente a ciertos metodos deperturbacion.


• Taylor, J. H., Weisberg, J. M. (1989) Further Experimental Test of Relativistic Gravity Usingthe Binary Pulsar PSR 1913+16, The Astrophysical Journal, Vol. 345, p. 434.

Referencia de caracter tecnico que expone varios resultados de la observacion continua delpulsar PSR 1913+16 y la comparacion entre varias teorıas para explicar su comportamiento.

• http://copernico.dm.unipi.it/~milani/dinsis/

Este sitio contiene un curso sobre sistemas dinamicos escrito por un investigador sobresalienteen mecanica celeste: Andrea Milani. Esta en italiano.

Capıtulo 15

SATELITES ARTIFICIALES YCOHETES

Un satelite artificial es un objeto de construccion humana que al suministrarsele suficientevelocidad (y con el debido angulo y altura sobre la superficie terrestre) puede quedar enorbita alrededor de la Tierra (u otro cuerpo celeste). Isaac Newton fue la primera personaen sugerir que un cuerpo, al que se la han dado condiciones iniciales determinadas, puededescribir, mientras cae con respecto a la Tierra, una trayectoria cerrada cuya caracterısticaimportante es que no intersecta la superficie del planeta: se comporta como una luna artificialmoviendose por su propia inercia.

TIERRA

Figura 15.1: Colocacion de un satelite artificial

En el caso de la Tierra no es posible colocar un satelite artificial a una altura inferior a

315

316 CAPITULO 15. SATELITES ARTIFICIALES Y COHETES

los 200 km, aun cuando las montanas terrestres mas altas sobre el nivel medio del mar llegana los 9 km de altura. Esto es debido a la existencia de la atmosfera, que harıa volatilizar,por simple friccion, un objeto que se mueve a las enormes velocidades a las que se desplazaun satelite.

Ejemplo 1

Determinar la velocidad necesaria para colocar un satelite artificial alrededor de la Tierracon una orbita circular a una altura de 350 km sobre la superficie terrestre.

Solucion

Llamemos m1 y m2 las masas de la Tierra y del satelite respectivamente. Puesto que lamasa de un satelite artificial es completamente despreciable comparada con la masa de laTierra (m2/m1 = 0) y puesto que la orbita es circular (r = R+ h = a) se tiene, a partir dela ecuacion (12.93) recordando que k =

√G(m1 +m2):

v =

√Gm1

R+ h=

√6.67× 10−11 × 5.97× 1024

6 378 140 + 350 000= 7.8 km/s.

Por lo tanto, para colocar un satelite artificial alrededor de la Tierra, en una orbita baja,se necesitan casi 8 km/s.

Esta es en verdad una velocidad enorme. Un carro de formula 1 puede desarrollar veloci-dades de 300 km en una hora, lo que equivale a tan solo 0.083 km/s. El avion mas veloz delmundo, el SR-71, de construccion estadounidense, alcanza velocidades de hasta 0.98 km/s.Se han desarrollado canones con propositos militares que pueden lanzar granadas a veloci-dades entre 2 a 3 km/s, claramente insuficiente para lo que deseamos. Alcanzar velocidadesmayores con estos medios es muy difıcil y exije una condicion tecnologica mas alla de nuestroestado actual de desarrollo. Cierto es que podemos acelerar partıculas subatomicas hastacasi la velocidad de la luz (300 000 km/s) pero estamos hablando de objetos cuyas masasson del orden de los 10−31 kg, en tanto que lo que se busca es dotar de velocidades delorden de los 10 km/s a objetos de masas apreciables, desde unos cuantos gramos hasta cen-tenares de toneladas o mas. Un mecanismo que permite alcanzar velocidades de las decenasde kilometros por segundo es el cohete, del cual se hablara con mas detalle en la seccion 15.7.

La forma que tendra la orbita de un satelite esta determinada por las condiciones que leimprime la ultima etapa del cohete a dicho satelite. En el instante de tiempo en el que salenlos ultimos gases de la tobera del cohete, llamado tiempo de inyeccion o tiempo de “cutoff”o “burnout”, el satelite deja de llevar una trayectoria propulsada hasta ese momento, debidoal funcionamiento de un cohete, para comenzar a describir una trayectoria determinada porla fuerza de la gravedad terrestre y, en menor grado, por otro tipo de fuerzas de menorintensidad.

Para lograr que un satelite describa determinada trayectoria hay que hacer que el mediopropulsor – el cohete – alcance, en la inyeccion o “cutoff”, determinados valores de veloci-dad, altura y angulo de vuelo (el angulo entre los vectores posicion y velocidad).

317

Ası mismo, se busca que el angulo entre el vector posicion y velocidad (que habıamosllamado ϑ) sea igual o muy proximo a los noventa grados; con el fin de que el objeto quedecon el maximo momentum angular posible. Pero lo que realmente determina que un objetoquede como un satelite artificial es el valor de la velocidad.

Colocar en orbita un satelite artificial es un logro tecnologico admirable y portentoso,pero si lo que buscamos es mandar un objeto a otros planetas necesitamos otro tipo detrayectoria, pues hemos visto que velocidades de los 8 km/s colocan a nuestro objeto enuna trayectoria elıptica (una y otra vez alrededor de la Tierra) que puede resultar de lo masaburrido y tedioso si lo que se quiere es recorrer el universo. Ya hemos visto que para salirde esa trampa gravitacional (originada por el hecho de que la energıa potencial gravitacionales mayor que la energıa cinetica del objeto) lo que se necesita es dotar de velocidad a nuestroobjeto, la suficiente como para que la energıa cinetica crezca hasta el punto en que la energıatotal se anule. En tal caso el objeto describe una trayectoria de escape gravitacional: unaparabola. Un poco mas de velocidad y la trayectoria se convierte en una hiperbola. Enambos casos, el objeto, aunque sometido aun por la atraccion gravitacional terrestre, quedaen trayectorias que lo conduciran al infinito con respecto a la Tierra.

Calculemos la velocidad necesaria para colocar en orbita parabolica (la velocidad mınimade no retorno) si arrojamos un objeto desde el Monte Everest (que tiene una altura de 8848m sobre el nivel del mar). Aplicando la ecuacion (12.94) tenemos:

v =

√2× 6.67× 10−11 × 5.97× 1024

6378140 + 8848= 11 166 m/s ≈ 11.2 km/s.

Los satelites artificiales no se mueven, estrictamente hablando, en orbitas elıpticas por loque explicar su movimiento con solo la teorıa del problema de los dos cuerpos es insuficiente.La razon es clara: son afectados gravitacionalmente por el Sol y la Luna, experimentan pre-sion de radiacion proveniente del Sol y la que refleja la misma Tierra, son frenados por laatmosfera terrestre y sobre todo su movimiento es alterado por el hecho de que la Tierra noes un objeto perfectamente esferico sino que posee sutiles depresiones y abultamientos enla superficie como tambien asimetrias en la distribucion de masa en su interior. Esto haceque en la practica sea un tanto laborioso explicar con exactitud la trayectoria de un sateliteartificial. Los satelites de baja altura (aquellos que estan entre los 200 y 800 kilometrosde altura sobre la superficie terrestre) no permanecen en orbita por tiempo indefinido; lafriccion generada por la atmosfera terrestre es tal que el satelite pierde energıa cineticalentamente disminuyendo su altura y por lo tanto acercandose cada vez mas a las zonasdensas de la atmosfera. Puesto que el satelite se mueve a velocidades del orden de 8 km/s,el material con que esta hecho se ve sometido a las altısimas temperaturas generadas porla friccion (los aviones mas veloces, que alcanzan 0.98 km/s, se construyen con aleacionesespeciales de titanio, pues las temperaturas generadas por la friccion con el aire son talesque pueden acercarse a la temperatura de fusion de dicho material). Como ya se dijo, lafriccion generada por la atmosfera es la responsable de que no sea posible colocar satelitescon alturas inferiores a los 180 kilometros, pues su duracion serıa muy breve.


Los satelites que se colocan en orbita baja1 tienen multitud de propositos. Entre ellosestan la comunicacion civil (Globalstar, Iridium, Orbcomm), observacion terrestre (SPOT,Landsat, Oceansat, Terra), cientıfica (Observatorio de rayos X Chandra, Telescopio EspacialHubble, IRAS, COBE), climaticos (Meteor 3-6, NOAA-12,-14,-15), reconocimiento y vigilan-cia (KH-11, Cosmos 2358, 2359 y 2366, Helios 1, Lacrosse), sistemas tripulados (EstacionEspacial Internacional, Estacion Espacial Mir, transbordador espacial y Soyuz TM). Lossatelites de orbita baja son faciles de observar a simple vista en noches claras y despejadascomo “estrellitas” que se van moviendo rapidamente a traves de las estrellas. Pero no se vendurante toda la noche, pues los momentos adecuados de observacion son una o dos horasdespues de que se ha ocultado el Sol, o una o dos horas antes de la salida del mismo, puesen tales instantes el Sol esta ubicado en la posicion optima para que su luz sea reflejada porel satelite hacia la Tierra.

Satelites con alturas superiores a los 1000 kilometros, donde ya no existe atmosfera(o su efecto es despreciable), permanecen en orbita por tiempo indefinido. De este tiposon los satelites geoestacionarios, meteorologicos y de navegacion satelital. Estos satelitesno son observados a simple vista, necesitandose un telescopio relativamente potente paraobservarlos.

15.1 Una teorıa sencilla del satelite artificial

Los satelites artificiales son perturbados por una gran diversidad de fuerzas externas. Dehecho, todas las fuerzas de perturbacion vistas en la seccion 14.4 afectan el movimientode un satelite. Sin embargo, estas fuerzas afectan en mayor o menor grado el movimientodel satelite dependiendo de la clase de orbita que describe. Por ejemplo, un satelite des-plazandose a muy baja altura experimenta fuertes perturbaciones por resistencia del aire ypor achatamiento terrestre, pero las perturbaciones por presencia de la Luna y el Sol sonmuy pequenas. Satelites con orbitas muy altas (geoestacionarios y otros tipos) no sufrenrozamiento atmosferico, los efectos de la falta de esfericidad terrestre son casi despreciables,pero estan sometidos a notables perturbaciones por el Sol y la Luna ası como a la presionde radiacion.

La perturbacion que mas efecta el movimiento de un satelite artificial de baja altura es,como ya se dijo, la debida al achatamiento terrestre, del cual da cuenta el armonico zonalJ2. Por lo tanto, el potencial terrestre que adoptaremos para nuestro estudio es el que estadado por la ecuacion (14.25).

Entonces, las ecuaciones diferenciales en componentes cartesianas que rigen el movimien-to de un satelite artificial teniendo en cuenta solamente la perturbacion por achatamientoterrestre, es, conforme a la ecuacion (14.21):

xi+ yj+ zj = −(∂

∂xi+

∂

∂yj +

∂

∂zk

)[−Gm1

r− Gm1J2

r

(R

r

)2(12− 3

2sen 2φ

)], (15.1)

1En la literatura anglosajona la orbita baja se designa como LEO (Low Earth Orbit).

15.1. UNA TEORIA SENCILLA DEL SATELITE ARTIFICIAL 319

donde m1 es la masa de la Tierra. Puesto que r =√x2 + y2 + z2 y senφ = z/r, al realizar

las derivadas parciales y factorizar los vectores unitarios obtenemos:

x = −Gm1

r3x

1 +

3J2

2

(R

r

)2 [1− 5

z2

r2

],

y = −Gm1

r3y

1 +

3J2

2

(R

r

)2 [1− 5

z2

r2

], (15.2)

z = −Gm1

r3z

1 +

3J2

2

(R

r

)2 [3− 5

z2

r2

].

Estas ecuaciones se reducen, tal y como es de esperarse, a las de los dos cuerpos (ecua-ciones (12.35)) si J2 = 0 o si r >> R. Este conjunto de ecuaciones puede integrarsefacilmente de forma numerica.

Sin embargo, resolveremos el problema de forma aproximada utilizando el metodo devariacion de parametros visto en la seccion 14.5.2.

La ecuacion (14.25) puede escribirse ası:

V = −[Gm1

r+ R

],

donde R es:

R =Gm1J2

r

(R

r

)2(12− 3

2sen 2φ

). (15.3)

Puesto que el valor de J2 es pequeno, R tambien lo sera. Por lo tanto, R sera visto comoun pequeno termino de perturbacion a las ecuaciones del problema de los dos cuerpos.

Como nuestra intencion es utilizar aquı el metodo de variacion de parametros, nece-sitaremos, para aplicar adecuadamente las ecuaciones (14.37), convertir R en funcion delos elementos. Esto se logra facilmente analizando la figura 15.2. Del triangulo esferico sededuce, aplicando el teorema del seno (ecuacion (2.13), pag. 28):

sen (ω + θ)sen 90

=senφsen i

,

al despejar de esta ultima senφ y reemplazarla en (15.3) obtenemos:

R =Gm1

r

(R

r

)2J2

2(1− 3 sen 2i sen 2(ω + θ)).

Desarrollando el cuadrado del ultimo termino en funcion del angulo doble, obtenemos:


i

ω

NODOASCENDENTE

θ PERIGEO

φ

z

Figura 15.2: Relacion entre φ, ω, θ e i

R =Gm1J2

r

(R

r

)2 [12− 3

4sen 2i− 3

4sen 2i cos 2ω cos 2θ − 3

4sen 2i sen 2ω sen 2θ)

].

Por razones que se veran a continuacion (que tienen que ver con la eliminacion de r)multiplicamos y dividimos por el cubo del semieje mayor a y reordenamos de tal forma que:

R =Gm1R

2J2

a3

(a3

r3

)[12− 3

4sen 2i− 3

4sen 2i cos 2ω cos 2θ − 3

4sen 2i sen 2ω sen 2θ)

].

Aquı tenemos un gran problema. Puesto que R ha quedado en terminos de r y θ,los cuales a su vez son funciones de los elementos, es necesario eliminar estos valores dealguna manera. Esto se logra, mas o menos exitosamente, a traves de una tecnica conocidacomo “promediacion”, la cual se sustenta en lo siguiente: cuando se desea examinar lasperturbaciones a la trayectoria de un satelite bien vale la pena tener en cuenta solo aquellasque son significativas y se hacen explıcitas cuando se han acumulado lo suficiente como parahacerse notar; en otras palabras, no nos van a interesar las perturbaciones que se sucedendentro de un perıodo (las cuales son periodicas y de magnitud pequena) sino la acumulacionde todas ellas en un tiempo razonable. Queremos entonces hacer una gran suma sobre lo quese va acumulando por cada perıodo que va trazando el satelite, de tal forma que las pequenasperturbaciones que se suceden en un perıodo queden promediadas y al final solo se tengael efecto acumulado de todas ellas. La funcion perturbatriz promediada, que designaremoscomo R, es entonces un promedio en una revolucion completa:

R =1

2π

∫ 2π

0

RdM.


Por lo tanto, el valor de R queda ahora (r y θ son funciones de la anomalıa media M):

R =Gm1R

2J2

a3

[(12− 3

4sen 2i

)I1 −

(34

sen 2i cos 2ω)I2 −

(34

sen 2i sen 2ω)I3

], (15.4)

donde los valores de I1, I2 e I3 vienen dados por las siguientes integrales:

I1 =1

2π

∫ 2π

0

(ar

)3

dM, (15.5)

I2 =1

2π

∫ 2π

0

cos 2θ(ar

)3

dM, (15.6)

I3 =1

2π

∫ 2π

0

sen 2θ(ar

)3

dM. (15.7)

Para resolver estas integrales es necesario expresar M en terminos de θ.De la ecuacion (12.58), que permite relacionar el momentum angular h con la variacion

temporal de la anomalıa verdadera, y de la primera de las ecuaciones (12.70) se deduce:√µa(1− e2)dt = r2dθ. (15.8)

De (12.91) se tiene µ1/2 = na3/2 y de la definicion de anomalıa media, ecuacion (12.101)encontramos:

dM =µ1/2

a3/2dt. (15.9)

Despejando dt de esta ultima y reemplazando en (15.8) obtenemos:

a2(1− e2)1/2dM = r2dθ. (15.10)

Al reemplazar (15.10) en (15.5) se llega a:

I1 =1

2πa

(1− e2)1/2

∫ 2π

0

dθ

r.

Pero, puesto que r esta dado por (11.4) llegamos a:

I1 =1

2π1

(1− e2)3/2

∫ 2π

0

(1 + e cos θ)dθ.

La integral de la derecha es igual a 2π por lo que se obtiene finalmente:

I1 =1

(1− e2)3/2.

En las integrales I2 e I3 aparece de nuevo el termino (ar )3 el cual ya vimos que es iguala 1+e cos θ

(1−e2)3/2 por lo que apareceran integrales de la forma:


∫ 2π

0

(1 + e cos θ) cos 2θdθ,∫ 2π

0

(1 + e cos θ) sen 2θdθ,

las cuales (y es facil verificarlo) son iguales a cero, por lo que I2 = I3 = 0.

La ecuacion (15.4) se reduce a:

R =Gm1R

2J2

a3(1− e2)3/2

(12− 3

4sen 2i

). (15.11)

Dado que R esta solo en funcion de a, e e i las derivadas parciales necesarias para obtenerlas ecuaciones (14.37) son:

∂R∂Mr

= 0,

∂R∂Ω

= 0,

∂R∂ω

= 0,

∂R∂i

= − 3Gm1R2J2

2a3(1− e2)3/2sen i cos i, (15.12)

∂R∂e

=3Gm1eR

2J2

a3(1− e2)5/2

(12− 3

4sen 2i

),

∂R∂a

= − 3Gm1eR2J2

a4(1− e2)3/2

(12− 3

4sen 2i

).

Reemplazando estas derivadas parciales en las ecuaciones (14.37) obtenemos:

da

dt= 0, (15.13)

de

dt= 0, (15.14)

di

dt= 0, (15.15)

dΩdt

= −3Gm1R2J2 cos i

2na5(1− e2)2, (15.16)

dω

dt=

3Gm1R2J2

2na5(1− e2)2

(2− 5

2sen 2i

), (15.17)

dM

dt= n+

3Gm1R2J2

na5(1− e2)3/2

(12− 3

4sen 2i

). (15.18)

Puesto que Gm1 = n2a3, suponiendo que los elementos orbitales al lado derecho delas anteriores ecuaciones son, en primera aproximacion, constantes, e integrando desde un


tiempo t0 (no confundir con el tiempo del paso por el pericentro) en el cual se tienen loselementos (a0, e0, e0,Ω0, ω0, (Mr)0) hasta un tiempo t cualquiera, obtenemos:

a = a0, (15.19)e = e0, (15.20)i = i0, (15.21)

Ω = Ω0 −32n

(R

a

)2J2

(1− e2)2cos i(t− t0), (15.22)

ω = ω0 +32n

(R

a

)2J2

(1− e2)2

[2− 5

2sen 2i

](t− t0), (15.23)

M = M0 + n

[1 +

32

(R

a

)2J2

(1− e2)3/2

(1− 3

2sen 2i

)](t− t0). (15.24)

Las anteriores ecuaciones nos dicen que al considerar como perturbacion el armonico J2

que da cuenta del achatamiento terrestre y al tomar solo la acumulacion significativa delas perturbaciones por perıodo (y no los efectos de corto perıodo) tendremos que el semiejemayor a, la inclinacion i y la excentricidad e no se ven afectadas de forma notoria, y queen promedio se mantienen constantes. Pero son significativos los cambios en la longitud delnodo ascendente Ω y en el argumento de latitud del pericentro ω.

Cambiemos las unidades para facilitar los calculos.

Puesto que k =√Gm1 donde m1 es la masa de la Tierra, calculamos, en unidades de

MKS, una constante que bien podrıa llamarse la constante de Gauss terrestre:

k =√

6.6726× 10−11 × 5.9736× 1024 = 1.9965× 107 m3/2s−1.

Adoptando como unidades el radio terrestre (6 378 140 m) y el dıa solar medio (86 400 s)tenemos que:

k = 107.0883 RT3/2d−1. (15.25)

Si adoptamos el valor de k dado por (15.25) entonces a debe estar en unidades de radiosterrestres y en nuestras anteriores formulas R = 1. Dado que n en unidades de gradosesta definido por (12.92), al considerar los cambios instantaneos de la longitud del nodoascendente y del argumento de latitud del pericentro (en unidades de grados por dıa), seobtiene:

∆Ω = − 3k(180/π)J2

2a7/2(1− e2)2cos i, (15.26)

∆ω =3k(180/π)J2

2a7/2(1− e2)2(2− 5

2sen 2i). (15.27)

Las ecuaciones (15.26) y (15.27) son muy importantes para satelites artificiales de bajay media altura. La primera describe el fenomeno conocido con el nombre de “regresion de la


lınea de los nodos”. Notese que la lınea nodal, para orbitas directas (i < 90) se dirige en ladireccion de las agujas del reloj, esto es, en direccion hacia el oeste. Viendo la dependenciacosenoidal de la inclinacion se deduce que la unica forma de evitar dicha regresion es colocarel satelite en orbita polar (i = 90).

x

y

z

Figura 15.3: Corrimiento de la lınea de los nodos

La ecuacion (15.27) describe la precesion de la lınea de las apsides, con la cual el lectorya esta familiarizado cuando se vio en la seccion 14.4.6 un comportamiento similar generadopor un efecto completamente distinto (la curvatura del espacio-tiempo). Como es claro, laprecesion se puede anular para orbitas con una inclinacion que cumpla sen 2i = 4/5, estoes, i = 63.4o.

Ejemplo 1

Un satelite artificial describe una orbita con los siguientes elementos: a = 1.13546,e = 0.0178, i = 27o34.4′. Determinar los cambios instantaneos de la longitud del nodo y delargumento de latitud del pericentro.

Solucion

Al reemplazar en la ecuacion (15.26) y adoptando la constante dada en (15.25) obtene-mos:

∆Ω = −3× 107.0883× (180/3.14)× 1.083× 10−3

2× (1.13546)7/2(1− 0.01782)2cos 27o34.4′ = −5o40′/dıa.

De forma analoga, al reemplazar en (15.27):

∆ω =3× 107.0883× (180/3.14)× 1.083× 10−3

2× (1.13546)7/2(1− 0.01782)2(2− 5

2sen 2(27o34.4′)) = 9o21′/dıa.

15.2. EL SATELITE TIERRA-SINCRONICO 325

Del anterior ejemplo es claro que para satelites de baja altura, esto es, aquellos cuyarelacion R/a es cercana a uno, los angulo Ω y ω van cambiando rapidamente con el tiempo.A medida que la altura del satelite va en progresivo aumento la relacion R/a va tendiendoa cero al igual que los cambios instantaneos de estos angulos.

15.2 El satelite Tierra-sincronico

En muchas aplicaciones de orden militar, meteorologico, busqueda de recursos naturales,etc., es necesario que un satelite “sobrevuele” todas las partes de la Tierra. Ello se logracolocando el satelite en una orbita con inclinacion cercana a los 90o y a una altura baja.Pero hay un pequeno inconveniente generado por el hecho de que la orbita del satelite estafija en el espacio mientras que la Tierra esta girando. De ello resulta que las trazos sobreel terreno del satelite (los puntos sobre la superficie de la Tierra por donde esta pasando elsatelite) cruzan el ecuador en puntos distintos, los cuales se van desplazando hacia el oeste(ver figura 15.4).

Figura 15.4: Movimiento de la orbita del satelite con respecto a la Tierra

Una orbita Tierra-sincronica es aquella que permite a un satelite describir trazos sobreel terreno identicos a los generados en una orbita previa despues de un determinado perıodode tiempo.

La Tierra realiza, con respecto a las estrellas de fondo, una revolucion en un dıa sideral(el cual posee un numero de segundos SI igual a 86 164.09 (ver seccion 7.1.1)) cuyo perıododesignaremos por TT ; a su vez, la orbita del satelite, por cada revolucion Ts, se va desplazan-do hacia el oeste un angulo que llamaremos ∆χ1. De esta simple consideracion, es obvio


que el desplazamiento por cada revolucion debido a la rotacion de la Tierra de oeste a estees:

∆χ1 = −360TsTT

grados/orbita, (15.28)

donde el signo negativo indica que el desplazamiento de la orbita con respecto al terreno esen la direccion de las agujas del reloj visto desde el norte, esto es, en la direccion contrariaen que se cuenta la ascension recta y la longitud del nodo ascendente. Pero hay que recordarque la lınea de los nodos se desplaza tambien (debido al achatamiento terrestre) un valor queesta dado por la ecuacion (15.26). El desplazamiento por revolucion, que llamaremos ∆χ2,se logra multiplicando (15.26) por el tiempo que demora el satelite en dar una revolucioncompleta, esto es Ts = 2πa3/2

k :

∆χ2 = −3J2(180) cos ia2(1− e2)2

grados/orbita. (15.29)

Puesto que Ts es el perıodo orbital del satelite, entonces, de las ecuaciones (15.28) y(15.29) se deduce que el incremento total del desplazamiento en longitud en el ecuador es:

∆χ = −[360

2πa3/2

kTT+

3J2(180) cos ia2(1− e2)2

]grados/orbita, (15.30)

donde TT tiene el valor de 0.997269 dıas solares medios.

Si se desea tener una orbita Tierra-sincronica se requiere que despues de un numeroentero de orbitas n realizadas por el satelite el incremento total ∆χ sea igual a 360o y en esemismo tiempo se ha de cumplir un numero entero m de revoluciones (en dıas) de la Tierrapara que tenga un paso exacto por el mismo sitio de la Tierra. Por lo tanto, la condicion deorbita Tierra-sincronica es:

n | ∆χ |= 360om, (15.31)

donde n y m deben ser numeros enteros.

Dependiendo del tipo de mision, se ha de escoger un conjunto de valores de a, e e i conel fin de cumplir las condiciones dadas en (15.30).

15.3 El satelite Sol-sincronico

En muchos casos de interes se busca que el satelite, en el transcurso de su mision, pase pordeterminadas regiones del planeta pero siempre bajo las mismas condiciones de iluminacionsolar. Ello acarrea un problema pues el Sol se esta moviendo un grado por dıa en direccionoeste-este, en tanto que el plano de la orbita del satelite, con inclinacion i < 90, debido alcorrimiento de la lınea de los nodos, se mueve en la direccion contraria. Esto quiere decir quesi un satelite pasa por una determinada region, digamos a mediodıa, con el transcurso deltiempo pasara a horas distintas. Si se esta buscando que el satelite pase por una determinadaregion bajo las mismas condiciones de iluminacion es preciso que el cambio instantaneo de

15.4. EL SATELITE GEOESTACIONARIO 327

la longitud del nodo sea igual a la velocidad del movimiento aparente del Sol visto desde laTierra. El Sol, visto desde la Tierra, se mueve aparentemente a una velocidad promedio2

de +0.9856o/dıa, donde el signo positivo indica que se mueve aparentemente en direccionoeste-este . Por lo tanto se ha de cumplir:

+0.9856 = − 3k(180/π)J2

2a7/2(1− e2)2cos i. (15.32)

De esta ecuacion se deriva que el valor de la inclinacion de un satelite Sol-sincronico debeser mayor de 90 grados.

Ejemplo 1

Se desea colocar un satelite Sol-sincronico en una orbita circular cuya altura es de 500km sobre la superficie de la Tierra. ¿Cual debe ser la inclinacion del satelite?

Solucion

Puesto que la orbita es circular se tiene e = 0. Entonces:

a = 1 +500

6378.14= 1.0784 RT.

Despejando la inlinacion de (15.32):

i = cos−1

[− 2× 0.9856× (1.0784)7/2

3× 107.0883× (180/3.14)× 1.083× 10−3

]= 97o24′.

15.4 El satelite geoestacionario

En los primeros anos de la exploracion del espacio, y con el fin expreso de remediar el in-conveniente de que las ondas de radio son absorbidas por el mismo terreno, algunos satelitesartificiales fueron utilizados como simples espejos (satelites pasivos) que reflejaban las ondasde radio provenientes de un emisor y ası mandar senales de radio o de television a lugaresremotos del sitio de emision. Pero los satelites de baja altura utilizados tenıan un ligeroinconveniente: y es que se desplazaban a una velocidad tal que tardaban cerca de dos horasen dar una revolucion completa en torno a la Tierra3.

Que estuviesen colocados en orbitas bajas significaba que el movimiento del satelite en elcielo era bastante perceptible: el satelite permanecerıa visible (por encima de los horizonteslocales del emisor y el receptor) por solo unos cuantos minutos, y ademas exigirıa un mecanis-mo de rastreo acoplado para ambas antenas. Se necesitaba la puesta en orbita de un objetoque girara alrededor del planeta a una velocidad tal que igualara la velocidad de rotacion

2Esto no es otra cosa que el movimiento medio n de la Tierra.3El mas conocido de dichos satelites fue el Echo I, un “globo” de 30 metros de diametro que fue colocado

a unos 1600 km de altura en agosto de 1960. Sin embargo, el primer satelite pasivo, para reflejar ondaselectromagneticas, fue la Luna, labor que realizo la marina estadounidense a comienzos de los anos cincuenta.


42150 km

35770 km

ET

TIERRA

PNC

PSC

SATELITE

Figura 15.5: Ubicacion de un satelite geoestacionario

de la Tierra (para que tanto el emisor como el receptor esten en contacto permanente con elsatelite) y no solo eso, sino tambien que permanezca estatico para cualquier observador situa-do en la superficie de la Tierra (para evitar las molestias inherentes al proceso de rastreo).Esto requiere de cuatro condiciones. La primera es que la altura sobre la superficie terrestredebe ser de 35 770 kilometros (a esta distancia, de acuerdo con la tercera ley de Kepler, elsatelite tendra un perıodo de rotacion de 24 horas, ver ejemplo 2 de la pagina 251); la segun-da condicion es que ha de girar en la misma direccion de la rotacion de la Tierra, esto es, deoeste a este; la tercera es que debe estar situado exactamente sobre el ecuador terrestre, oen otras palabras que su inclinacion sea cero (i ≈ 0) ; y la tercera condicion es que su orbitasea lo mas circular que sea posible, esto es, que su excentricidad sea nula (e ≈ 0). Si solose cumplen las dos primeras condiciones el satelite se dice que es geosincronico. Un sateliteque cumpla las cuatro condiciones es llamado geoestacionario4. Aunque la idea ya habıasido sugerida en 1948 por el celebre escritor de ciencia ficcion Arthur C. Clark, la puestaen practica no se logro sino hasta 1963. Desde ese entonces observar por television eventosque ocurren simultaneamente en la parte opuesta del globo, de manera continua y clara, seha vuelto tan rutinario que incluso no nos detenemos a pensar que hace casi cuarenta anosera tecnologicamente imposible. Hoy en dıa pululan sobre las azoteas de casas y edificiosantenas parabolicas (simples radiotelescopios) que son instrumentos de recoleccion de lassenales que provienen de dichos satelites. En un inicio eran muy abultadas, alcanzando lasdecenas de metros de diametro. Hoy en dıa existen antenas parabolicas con diametros de 50cm o menos, todas ellas apuntando eficazmente hacia un satelite geoestacionario. El numerode satelites de comunicaciones en orbita geoestacionaria ha estado aumentando de maneracada vez mas creciente. A principios de la decada de los noventa existıan mas de 200. Hayque anotar sin embargo que existen otros tipos de satelites geoestacionarios diferentes a losde comunicaciones tales como satelites de alerta temprana (detectores de lanzamiento demisiles y explosiones de armas nucleares) y los satelites meteorologicos. A medida que elnumero de satelites aumenta existe el riesgo creciente de choque entre ellos, pues en realidadla orbita geoestacionaria constituye una region muy limitada del espacio. La historia de la

4La orbita geoestacionaria se conoce en la literatura anglosajona con el acronimo de GEO.

15.4. EL SATELITE GEOESTACIONARIO 329

utilizacion de posiciones para la colocacion de satelites geoestacionarios ha seguido la mismaevolucion de la explotacion de otras fuentes naturales. Los primeros usuarios tomaban loque deseaban y cierta coordinacion de su uso fue introducida solo cuando se encontro queya era necesario. En 1971 la Union Internacional de Telecomunicaciones (UIT), una agenciaespecializada de la ONU, reconocio la orbita geoestacionaria como “fuente natural limitada”.En 1977 la UIT comenzo la tarea de asignar espacios para la ubicacion de los satelites enciertos lugares especıficos sobre la lınea del ecuador terrestre. Muchas naciones, incluyendoaquellas que no han desarrollado tecnologıa espacial, solicitaron tambien su espacio parasu uso futuro por temor a perder el acceso a esta importante fuente. Una solicitud hechaen el ano de 1976 por un grupo de naciones ecuatoriales (paıses que son atravesados en suterritorio por la lınea del ecuador terrestre tales como Ecuador, Colombia, Brasil, Gabon,Zaire, Uganda, Kenia, Somalia e Indonesia), reclamando soberanıa sobre el espacio geoesta-cionario situado directamente sobre su territorio, fue desdenada por los paıses dominantesde este tipo de tecnologıa. En Colombia, el ecuador terrestre atraviesa parte de los de-partamentos de Putumayo, Caqueta, Amazonas y Vaupes cubriendo una lınea de unos 610kilometros de franja ecuatorial. Esto se traduce en un “lınea aerea” soberana a la distanciageoestacionaria de una longitud de unos 4100 kilometros. Hasta ahora este espacio no hasido explotado por nuestro paıs. Sin embargo, sı esta siendo utilizado por otros paıses tec-nologicamente mas avanzados que nosotros. En el momento en que se escriben estas lıneasocupan nuestro sector geoestacionario varios satelites, algunos de los cuales son: BrasilsatB1 (71.28 W), Nahuel 1A (71.88 W), SBS-6 (74.06) y GOES I (75.59). Aunque el espaciode 4100 kilometros nos puede parecer muy amplio como para pensar que no importa queotros vengan con sus satelites a ocuparlo, la verdad es que por razones tecnicas es necesarioque exista una separacion mensurable entre satelites. A modo de ejemplo, debe existir unaseparacion mınima de 2 grados en longitud entre satelites que tengan la misma frecuencia(esto corresponde a una separacion entre satelites de 1500 kilometros). Hoy en dıa las na-ciones y consorcios que deseen colocar satelites geoestacionarios deben aprobar una serie deparametros que estan sujetos a regulacion internacional, tales como las bandas de frecuenciadisponibles, el espacio especıfico por ocupar y el flujo maximo permitido sobre la superficie.

Un satelite geoestacionario alcanza a cubrir cerca del 42% de la superficie terrestre.Bastan tres satelites ubicados de forma conveniente para que exista una cobertura de co-municacion a nivel global. Solo aquellos sitios que estan en o muy cerca de los polos tienenproblemas en recibir la senal de estos satelites por ubicarse estos, para dichas regiones, muycerca del horizonte.

En la actualidad se estan colocando como promedio unos 130 satelites por ano, de loscuales unos 30 se ubican en la orbita geoestacionaria. Por lo general transcurren entre dos ytres anos desde el momento en que se ordena la construccion de un satelite geoestacionariohasta su puesta en orbita. Entre los constructores de satelites geoestacionarios se cuentan:Hughes Space and Communications Co., ahora perteneciente a Boeing, que ha desarrolladobuses existosos del tipo HS376 y HS601, Lockheed Martin Missiles & Space, Loral Space &Communications, Orbital Science Corporations, etc. Los modernos satelites geoestacionariostienen un costo que oscila entre los 100 y 120 millones de dolares, una duracion maxima deunos 15 anos limitada por el contenido de propelente necesario para el “mantenimiento” dela orbita y un peso en el momento en que quedan en orbita de transferencia geoestacionaria


alrededor de los 4000 kg.

Figura 15.6: Satelite giro estabilizado HS376 y satelite tri-axial estabilizado HS601

Pero un asunto es el costo del satelite y otro es el proceso de colocarlo en la orbitageoestacionaria. Para ello es necesario contratar los servicios de un proveedor que ofrez-ca colocarlo en dicha orbita (ver tabla 15.1). Por fortuna hoy existe una amplia gama deoferentes quienes se disputan el mercado en una guerra sin cuartel. Entre ellos sobresalen:Boeing Co. con la familia Delta; el Delta III por ejemplo, cuesta unos 60 millones de dolares.China Great Wall Industry Corp. ofrece la familia de cohetes Long March. Por ejemplo elLong March CZ-3B puede costar unos 60 millones de dolares. Un costo parecido lo tienetambien el cohete Proton K perteneciente a Khrunichev State Research and Production SpaceCenter. Un poco costosa es la oferta de la firma japonesa Rocket System Corporation consu cohete H-2 que cuesta del orden de 180 millones de dolares.

En razon de su alta confiabilidad y precio competitivo la firma europea Arianespace poseeactualmente mas del 80 % del mercado para colocar satelites geoestacionarios de orden civil.Los de la familia Ariane 4 tienen costos que oscilan entre los 60 y 100 millones de dolaresen tanto que el mas voluminoso Ariane 5 alcanza los 120 millones de dolares.

Los satelites en orbita geoestacionaria prestan los siguientes propositos: comunicacioncivil (Asiasat, Arabsat, Astra, Brazilsat, DBS, Eutelsat, Galaxy, Gorizont, Telstar, etc.),comunicacion militar (DSCS, Leosat 5, MILSTAR 1, Raduga, Skynet), climaticos (GOES,Meteosat), de alerta temprana (DSP, Prognoz) y reconocimiento y vigilancia (Orion).

Los satelites geoestacionarios, en el transcurso de su vida util, deben estar continuamentecorrigiendo su orbita pues, si no lo hicieran, lentamente se saldrıan del lugar al cual apuntanlas antenas en tierra. Esto se debe a las perturbaciones que ejercen sobre dicho satelite:la atraccion gravitacional del Sol y de la Luna, la presion de radiacion y la triaxialidad dela Tierra (la sutil diferencia de radio terrestre en distintos puntos del ecuador terrestre).Estas perturbaciones tienden a cambiar el semieje mayor, la excentricidad y la inclinaciondel satelite, lo cual, de no corregirse a tiempo, terminara por no estar dentro del intervalo enque los usuarios en tierra lo consideren geoestacionario. Por ello se necesita que el sateliteposea una masa no despreciable de propelente para estar corrigiendo de tanto en tanto laorbita del mismo.

15.5. EL SATELITE MOLNIYA 331

15.5 El satelite Molniya

Como se vera mas adelante, la inclinacion de una orbita en el momento de la colocacion deun satelite nunca puede ser menor que la latitud del sitio de lanzamiento. Por supuesto quese puede cambiar despues el plano de inclinacion, pero esto exige un gasto desproporsionadoen terminos de combustible. La ex-Union Sovietica tambien se vio en la necesidad de utilizaruna red de comunicaciones tanto para el campo militar como el civil. Lo logico era colo-car satelites en orbita geoestacionaria, pero a causa de que sus sitios de lanzamiento estanubicados en latitudes altas resulta altamente costoso pasar de orbitas con inclinaciones delorden de 45o a orbitas ecuatoriales con inclinacion 0o (ver parte b del ejemplo 1 de la pagina340). De todas formas los rusos colocan satelites geoestacionarios (como la serie Ekran yGorizont) con diversidad de propositos.

La razon mas poderosa para buscar otras opciones distintas a la de los satelites geoesta-cionarios por parte de Rusia es que son muchos los asentamientos humanos de este enormepaıs que estan a tan altas latitudes que los satelites geoestacionarios son observados a bajasalturas, apenas unos cuantos grados sobre el horizonte, lo que origina serias interferenciasen la comunicacion.

Figura 15.7: Precesion de la lınea de las apsides para un satelite con gran excentricidad

La solucion fue colocar satelites cuyo apogeo alcanza los 46 000 km de altura y su perigeotan solo 1000 kilometros de altura. Esto permite que el satelite, cerca del apogeo, permanezcacasi estacionario con respecto a los observadores en Tierra. Pero tambien implica que al cabode cierto tiempo, cuando se dirige hacia su perigeo, su movimiento comienza a ser notable.Esto se soluciono colocando varios satelites en distintos planos de tal forma que para todotiempo siempre habra alguno de ellos en o cerca del apogeo. Pero hay un ligero inconveniente.


Y es que si los usuarios van a ser rusos el apogeo de la orbita debe siempre permanecer sobre elhemisferio norte. Como se recordara, el efecto del achatamiento terrestre genera la precesionde la lınea de las apsides lo que hace que la lınea que contiene el apogeo y el perigeo se vayadesplazando en el tiempo. De no tomar las medidas correctivas, ocurrira, al cabo de ciertosdıas, que el apogeo se encontrara en el hemisferio sur lo que implica que para los usuariosdel hemisferio norte el satelite deja de cumplir su cometido, ver figura 15.7. A todas luces esimperativo anular dicha precesion. Y esto se logra, como ya comentamos atras, haciendo quela inclinacion del satelite tenga un valor igual a o muy cercano a i = 63.4o. Estos satelites,con inclinaciones cercanas a i = 63.4o, semiejes mayores de a = 4.15 RT y excentricidadesdel orden de e = 0.7, se conocen como satelites de tipo Molniya, extensivamente utilizadospor Rusia para su red de comunicaciones.

NOTA: Algunos satelites se colocan en orbitas intermedias entre los 1000 y 36 000 kmde altura, esto es, entre las orbitas LEO y GEO. Estas orbitas se llaman orbitas terrestresmedias (MEO). Se utilizan extensivamente para propositos de navegacion. La red NAVSTARde satelites de GPS se ubica a alturas de unos 20 000 km sobre la superficie terrestre. Unsistema equivalente fue montado por los rusos y se conoce con el nombre de Glonass.

15.6 Orbitas de transferencia

En muchos casos es deseable cambiar la orbita de un satelite. Un usuario bien puede desearaumentar o disminuir la altura, cambiar el plano de inclinacion o pasar de una orbita circulara una fuertemente elıptica, etc. Por supuesto que ello requiere que el satelite contenga losmedios necesarios para permitir que su velocidad cambie en varios kilometros por segundo,esto es, debe poseer un motor cohete con combustible en su interior.

15.6.1 Transferencia tipo Hohmann

La transferencia de tipo Hohmann5 es el medio mas conocido, simple y que consume menorenergıa para lograr la transferencia entre dos orbitas circulares coplanares. Supongase quese esta inicialmente en una orbita circular con radio a1 y se quiere pasar ahora a una orbitacircular con radio a2. La transferencia requiere dos impulsos. El primero, realizado enel punto 1, coloca el satelite en una orbita elıptica, llamada orbita de transferencia, cuyoapogeo es la distancia a2 y perigeo la distancia a1. Luego, en el punto 2, se realiza elsegundo impulso, que permite “circularizar” la orbita de transferencia y convertirla en laorbita circular con radio a2, ver figura 15.8.

Es facil calcular el semieje mayor a y la excentricidad e de la orbita de transferencia:

a =a1 + a2

2, e = 1− a1

a. (15.33)

La velocidad que tiene el satelite en cualquier punto de la orbita circular (incluyendo elpunto 1) con radio a1 es, de acuerdo con la ecuacion (12.93), donde hemos hecho m2 = 0 yr = a:

5Llamada ası en honor del ingeniero aleman Walter Hohmann quien la propuso originalmente en 1925.

15.6. ORBITAS DE TRANSFERENCIA 333

12 a

a

2

1

Figura 15.8: Orbita de transferencia de tipo Hohmann

v =k√a1. (15.34)

De igual forma, la velocidad que tiene el cuerpo cuando se desplaza en la orbita detransferencia en el mismo punto 1 es:

v = k

√2a1− 1a, (15.35)

pero, puesto que a esta dada por la primera de las ecuaciones (15.33) se tiene que:

v = k

√2a1− 2a1 + a2

=k√a1

√2a2

a1 + a2,

o mejor:

v =k√a1

√2(a2/a1)

1 + (a2/a1). (15.36)

Por lo tanto, el exceso de velocidad que debe tener el satelite para pasar de la orbitacircular con radio a1 a la orbita de transferencia y que ha de aplicarse en el punto 1 de latrayectoria es la diferencia entre las velocidades dadas por (15.36) y (15.34):

∆v =k√a1

[√2(a2/a1)

1 + (a2/a1)− 1

]. (15.37)


De forma completamente analoga, podemos calcular la velocidad que tiene el satelite encualquier punto de la orbita circular (incluyendo el punto 2) con radio a2 es:

v =k√a2. (15.38)

La velocidad que tiene el cuerpo cuando se desplaza en la orbita de transferencia en elmismo punto 2 es:

v = k

√2a2− 1a, (15.39)

que al colocar a en termino de las ecuaciones (15.33) se tiene:

v = k

√2a2− 2a1 + a2

=k√a2

√2a1

a1 + a2,

o mejor:

v =k√a2

√2(a1/a2)

1 + (a1/a2). (15.40)

Por lo tanto, el exceso de velocidad que debe tener el satelite para pasar de la orbitade transferencia a la orbita circular con radio a2 y que ha de aplicarse en el punto 2 de latrayectoria, es la diferencia entre las velocidades dadas por (15.38) y (15.40):

∆v =k√a2

[1−

√2(a1/a2)

1 + (a1/a2)

]. (15.41)

Ejemplo 1

Un satelite describe una orbita circular con inclinacion cero a una altura de 300 km sobrela superficie de la Tierra. Calcular los incrementos de velocidad necesarios para transferirdicho satelite a una orbita geoestacionaria.

Solucion

Pasamos las distancias a radios terrestres.

a1 = 6378.14+300 = 6678.14 = 1.047 RT, a2 = 6378.14+35 770 = 42 148.14 = 6.608 RT.

Reemplazamos en la ecuacion (15.37) para obtener el incremento necesario en velocidaden el punto 1:

∆v =107.0883√

1.047

[√2× (6.608/1.047)1 + (6.608/1.047)

− 1

]= 32.86 RT/dıa = 2.43 km/s.

15.6. ORBITAS DE TRANSFERENCIA 335

Luego utilizamos la ecuacion (15.41) para obtener el incremento necesario en velocidaden el punto 2 necesario para circularizar la orbita:

∆v =107.0883√

6.608

[1−

√2× (1.047/6.608)1 + (1.047/6.613)

]= 19.86 RT/dıa = 1.47 km/s.

Estos incrementos de velocidad se logran en la practica mediante un motor cohete, loque implica un gasto no despreciable en la masa inicial del cohete.

15.6.2 Cambio de inclinacion

En ocasiones es necesario cambiar el plano de inclinacion de un satelite. Esto es parti-cularmente cierto en aquellos casos en que es necesario colocar un satelite geoestacionariopero el sitio de lanzamiento se ubica a latitudes moderadas. Como se vera en la seccion15.9, la inclinacion inicial de un satelite nunca puede ser menor que la latitud del sitio delanzamiento.

Supongase que se desea pasar de una orbita 1 a una orbita 2, ambas orbitas identicas,salvo en su inclinacion. Por lo tanto, deseamos un cambio de inclinacion igual a ∆i.

v

v∆

∆ i

2

v1

1 2

Figura 15.9: Cambio de inclinacion

Recurriremos al teorema del coseno de la trigonometrıa plana. Considerando el trianguloconformado por velocidades en la figura 15.9 se desprende que:

∆v2 = v21 + v2

2 − 2v1v2 cos ∆i,


donde v1 es la velocidad de la orbita inicial, v2 la velocidad de la orbita final y ∆v la velocidadnecesaria para el cambio de inclinacion. Puesto que las orbitas son identicas, salvo en suinclinacion, se tendra que v1 = v2, y la anterior ecuacion se puede escribir como:

∆v2 = 2v21 − 2v2

1 cos ∆i = 2v21(1− cos ∆i) = 4v2

1 sen 2

(∆i2

),

donde se hizo uso de la identidad trigonometrica: 2 sen 2(α2 ) = 1− cosα.Al tomar la raız cuadrada a ambos lados:

∆v = 2v1 sen(

∆i2

). (15.42)

Dada la dependencia directa con la velocidad v1 se deduce que para que ∆v sea unmınimo se ha de buscar, en aquellas orbitas no circulares, que la maniobra de cambio deinclinacion se haga en el apocentro, esto es, cuando la velocidad de una orbita elıptica seaun mınimo.

Ejemplo 1

Un satelite describe una orbita circular con una altura de 32 785.13 km sobre la superficieterrestre y con inclinacion de 28.5o. Determinar el incremento de velocidad para que la orbitaresultante posea inclinacion cero.

Solucion

En este caso: ∆i = 28.5o − 0o = 28.5o. El radio de la orbita en unidades de radioterrestre es:

a = 32 785.13 + 6378.14 = 39 163.27 km = 6.1402 RT.

Por lo tanto, la velocidad que posee en cualquier punto de su trayectoria es:

v =k√a

=107.0883√

6.1402= 43.216 RT/dıa = 3.19 km/s.

Entonces, al aplicar la formula (15.42) obtenemos:

∆v = 2× 3.19 sen28.5o

2= 1.57 km/s.

15.7 Cohetes

Los cohetes son dispositivos autopropulsados que pueden moverse en el vacıo alcanzandovelocidades muy grandes. Los que se utilizan en la exploracion espacial pueden alcanzarvelocidades del orden de las decenas de kilometros por segundo. Su funcionamiento es muysencillo: descansa en el principio de la accion y reaccion. El cohete expele gases a muy altavelocidad por uno de sus extremos por lo que termina desplazandose en la direccion opuesta.

15.8. LA ECUACION DE TSIOLKOVSKY 337

Figura 15.10: Cohete de varias etapas

Aunque los cohetes eran conocidos por los antiguos chinos, quienes los utilizaron comoarma de guerra o en artilugios de diversion como fuegos artificiales (voladores), no fue sinoa comienzos del siglo veinte cuando se propuso como herramienta para colocar objetos amuy grandes distancias y velocidades. Investigadores en Alemania, Rusia y Estados Unidosexperimentaron con cohetes en las primeras tres decadas del siglo XX, pero no recibieronla debida atencion por parte de sus respectivos gobiernos. Sin embargo, a finales de ladecada de los treinta y comienzos de los cuarenta, en la Segunda Guerra Mundial, el ejercitoaleman, un organismo que en aquella epoca estaba dispuesto a ensayar todo tipo de variantese innovaciones en el arte de hacer guerra, comenzo una serie de investigaciones tendientesa utilizar cohetes que pudieran colocar como carga util una bomba a varios centenares dekilometros de distancia. Con el tiempo desarrollaron el cohete A4 (que la propaganda nazirenombro como V2) con el que atacaron varias ciudades aliadas.

Figura 15.11: Cohete aleman A4 rebautizado por la propaganda nazi como V2

Al finalizar la guerra los cientıficos e ingenieros alemanes que disenaron la V2 fueronreclutados por los Estados Unidos y la Union Sovietica para impulsar sus respectivos pro-gramas de investigacion en cohetes. El hecho de que con ayuda de cohetes se pudiera colocaruna bomba atomica al otro lado del mundo con muy poco riesgo de ser interceptada (lo quesı puede ocurrir si se utiliza un avion) origino un gran interes en la investigacion de cohetespor parte de las potencias involucradas en la guerra frıa. Cuando se desarrollaron coheteslo suficientemente potentes como para alcanzar velocidades de 8 km/s se vio que ya erafactible, en lugar de atacar un blanco en tierra, colocar objetos en orbita alrededor de laTierra. Esto se logro por primera vez en la Union Sovietica el dıa 4 de octubre de 1957.Desde entonces se han colocado miles de satelites artificiales en orbita alrededor de la Tierra.

15.8 La ecuacion de Tsiolkovsky

Se puede deducir la ecuacion de movimiento de un cohete en terminos de la variacion delmomentum lineal.


Sea en un tiempo dado t un cohete con masa m y velocidad ~v. En el instante de tiempot+∆t el cohete ha arrojado una masa ∆m al espacio, por lo que la masa del cohete es ahoram−∆m; ası mismo, su velocidad es ahora ~v + ∆~v.

v v + ∆ v

m m - ∆ m∆ m

ve

t t +∆ t

Figura 15.12: El cohete en dos tiempos distintos

Llamemos ~ve la velocidad de salida del material eyectado con respecto al cohete. Por lotanto, la masa ∆m que fue eyectada al espacio en la direccion contraria a la del desplaza-miento del cohete posee una velocidad ~v − ~ve. Es evidente que el momentum lineal que setiene en el tiempo t es igual a m~v. No tan evidente es que en el tiempo t + ∆t hay queconsiderar el momentum lineal de dos sistemas: el cohete y la fraccion de material eyectado:el momemtun lineal en el instante t+ ∆t sera entonces la suma del momentum lineal de losdos sistemas: el cohete (m−∆m)(~v + ∆~v) y la fraccion expulsada (~v − ~ve)∆m.

De la ecuacion (11.6) es claro que la fuerza que experimenta el cohete es igual al cambioinstantaneo del momentum lineal:

~F = lim∆t→0

∆~p∆t

. (15.43)

Ahora bien, el cambio, en el intervalo ∆t, del momentum lineal esta dado por:

∆~p = ~pt+∆t − ~pt. (15.44)

De acuerdo con lo dicho anteriormente, esta ultima se convierte en:

∆~p = (m−∆m)(~v + ∆~v) + (~v − ~ve)∆m−m~v. (15.45)

Desarrollando las multiplicaciones, eliminando terminos semejantes y haciendo el termino∆m∆v igual a cero por ser el producto de dos infinitesimos, se tiene:

∆~p = m∆~v − ~ve∆m. (15.46)

Reemplazando este valor de ∆~p en (15.43) y tomando los limites de las tasas de cambiohacia cero obtenemos, eliminando la notacion vectorial:

mdv − vedm = Fdt. (15.47)


En la ecuacion (15.47) F representa todo el conjunto de fuerzas que actua sobre elmovimiento del cohete, tales como las fuerzas gravitacionales, fuerzas aerodinamicas, etc.

Suponiendo que el cohete se desplaza a traves del vacıo y bien lejos de un campo gravi-tacional, o cuanto menos, que este sea muy pequeno como para considerarse despreciable,podemos hacer F = 0 en (15.47) y obtener:

dv = −vedm

m, (15.48)

donde el signo negativo es necesario colocarlo para indicar que conforme aumenta una delas variables (la velocidad) la otra variable disminuye (la masa). Integramos la anteriorecuacion con los lımites siguientes: para una velocidad inicial v0 el cohete posee una masainicial que llamaremos M0; para una velocidad posterior v1 obtenemos una masa m1:∫ v1

v0

dv = −ve∫ m1

M0

dm

m.

Despues de rearreglar y aplicar ciertas propiedades de los logaritmos obtenemos:

v1 = v0 + ve lnM0

m1, (15.49)

la cual se conoce con el nombre de ecuacion ideal del cohete o ecuacion de Tsiolkovsky, enhonor al pionero de la coheterıa de nacionalidad rusa Konstantin Tsiolkovsky, quien la dioa conocer en 1903. Se llama ideal porque no tiene en cuenta la fuerza de la gravedad, lafriccion atmosferica y otros tipos de fuerzas. A pesar de esto, la ecuacion es muy util a lahora de hacer determinados calculos preliminares.

Figura 15.13: Konstantin Tsiolkovsky (1857-1935)


Ejemplo 1

Determinar tanto en el ejemplo 1 de la pagina 334 como en el ejemplo 1 de la pagina336 la masa necesaria para lograr los cambios de velocidad requeridos en las respectivastransferencias, si se dispone en ambos casos de un satelite cuya masa original es de 4800 kgy los propelentes son hidrazina y tetroxido de nitrogeno (ve = 2850 m/s).

Solucion

En el caso de transferencias de orbitas la ecuacion de Tsiolkovsky puede utilizarse sinperdida sensible de exactitud debido a la ausencia de fuerzas resistivas apreciables y a laanulacion de las “perdidas por gravedad” a causa de la perpendicularidad entre el vectorvelocidad y el vector posicion (ver el ultimo termino de la segunda de las ecuaciones (15.52)).

a) En el ejemplo 1 de la pagina 334 se estudio el caso de una transferencia de tipoHohmann. Vimos que son necesarios dos cambios de velocidad.

Llamando ∆v = v1 − v0 y despejando el valor de m1 es la ecuacion (15.49) obtenemos:

m1 = M0e−∆v/ve .

Puesto que el cambio de velocidad necesario para pasar a la orbita de transferencia esde 2.43 km/s tendremos que:

m1 = 4800× e−2430/2850 = 4800× 0.426 = 2044 kg.

Por lo tanto, la masa del satelite se ve reducida a 4800− 2044 = 2756 kg.

Para circularizar la orbita es necesario un cambio de velocidad de 1.46 km/s. Nuestramasa inicial ahora es 2756 kg. Por lo tanto:

m1 = 2756× e−1460/2850 = 2756× 0.6 = 1654 kg,

de la que se deduce que la masa se redujo ahora en 2756− 1654 = 1100 kg. De todo estose desprende que la masa necesaria para hacer las dos maniobras constituye un 77% de lamasa original del satelite.

Lo que se hace en la practica, en el caso de satelites geoestacionarios, es disenar la ultimaetapa del cohete de tal forma que la inyeccion coloque el satelite en orbita de transferenciageoestacionaria (GTO, por sus siglas en ingles), por lo que el satelite debe llevar el propelentenecesario para circularizar la orbita y realizar los pequenos ajustes necesarios en el transcursode su vida util.

b) En el ejemplo 1 de la pagina 336 se hizo el calculo para una transferencia orbitaldonde solo se realizaba un cambio de inclinacion. Dicha transferencia requiere un cambiode velocidad de 1570 m/s. Entonces, suponiendo que la masa inicial es de 4800 kg:

m1 = 4800× e−1570/2850 = 4800× 0.576 = 2765 kg.


De aquı es claro que la masa final del satelite es de 2035 kg, i.e., para realizar la transfe-rencia se consume cerca del 57% de la masa inicial del satelite.

Lo que persiguen los disenadores de cohetes es tratar de hacer que v alcance un valor loma grande posible (con el fin de lograr la velocidad orbital o la velocidad parabolica), porlo que al tener cuenta la ecuacion (15.49) resulta claro que se busque la estrategia de hacerve grande (los gases expulsados deben salir con una gran velocidad) y hacer que la relacionM0/m tambien sea elevada. Ahora bien, podemos escribir la masa inicial como:

M0 = mp +me +mu,

donde mp es la masa del propelente que se va a expulsar (combustible y oxidante), me lamasa de la estructura del cohete (armazon, bombas impulsoras, computadoras, etc.) y mu

es la masa de la carga util (ojiva, satelite, nave espacial). La velocidad final del cohete vfal agotarse el propelente es:

vf = v0 + vs lnmp +me +mu

me +mu. (15.50)

De esta ultima ecuacion se deduce que para hacer grande la velocidad final, la masa delcohete debe ser casi la masa del propelente, esto es, me y mu deben ser pequenos. Esto seconsigue, por una parte, construyendo el armazon del cohete con un material lo mas ligeroposible, obviamente sin sacrificar las tensiones y las cargas que el viaje implica. Por talrazon, las paredes de los cohetes son muy delgadas y conformadas por aleaciones de alu-minio y litio. De igual forma, mu debe ser pequena, por lo que nos topamos con el enormeinconveniente de que se necesita construir cohetes bastante grandes para colocar cargas utilescon masas pequenas. Esta es la razon principal de que sea tan extraordinariamente costosocolocar un objeto en orbita terrestre o rumbo hacia otro planeta.

Con el fin de hacer que ve sea grande, el material que se utiliza para ser arrojado por elcohete constituye, en la mayorıa de los casos, una mezcla de gases muy calientes que son elproducto de una reaccion quımica generada en una cavidad especıfica del cohete. En esteaspecto hay que diferenciar dos tipos de cohetes: los de propelente solido y los de propelentelıquido. Los primeros se caracterizan por el hecho de que el propelente es una mezcla ıntimasolida de varias sustancias que ocupa la mayor parte del mismo cohete. En el caso de loscohetes de propelente lıquido, para que exista combustion, se requiere una sustancia que seacombustible (que este dispuesta a liberar energıa facilmente) y otra que permita el inicio yel mantenimiento de la reaccion, que es el oxidante. Un ejemplo es la combinacion alcoholetılico-oxıgeno. El primero actua como combustible y el segundo obviamente como oxidante.La reaccion se hace dentro de una cavidad con dos entradas (una por cada sustancia) y unasalida por donde escaparan los gases calientes productos de la reaccion de combustion (H2O,CO2, CO). La eleccion de los quımicos apropiados depende mas que todo de la eficienciaenergetica de la mezcla, pero puede influir la facilidad en el manejo y en su almacenamientoy por supuesto que en su costo. Entre los propelentes lıquidos mas utilizados se encuentra lacombinacion de tetroxido de nitrogeno (N2O4) con dimetil hidrazina asimetrica (UDMH)6.

6Esta combinacion tiene la ventaja, a diferencia de otras, que ambos compuestos son lıquidos a tem-peratura ambiente por lo que se dice que son propelentes “almacenables”, lo que los hace atractivos desdeun punto de vista militar.


Dicha combinacion la emplean casi todas las etapas de la familia de cohetes chinos LongMarch, las primeras tres etapas de los cohetes Proton K y Rockot, la ultima etapa de loscohetes Athena 1 y 2 y todas las etapas de los cohetes rusos Cyclone 2 y 3. Conservandoel tetroxido de nitrogeno pero utilizando combustibles que son mezclas de la UDMH con al-guno de sus derivados se encuentran: el Ariane 4 que en su primera etapa utiliza UH25 (75%de UDMH y 25% de hidrazina); el Ariane 5 en la misma etapa utiliza MMH (monometilhidrazina); la segunda etapa de los cohetes Delta 2 y las primeras y segundas etapas del loscohetes Titan 2 y 4 emplean Aerozina-50 (una mezcla 50%-50% de UDMH e hidrazina).

La combinacion oxıgeno lıquido con hidrogeno lıquido (LOX/LH2) la utilizan la primeraetapa del transbordador espacial, la ultima etapa de los cohetes de la familia Ariane 4 y laprimera del Ariane 5, la primera y segunda etapa de la familia de cohetes Delta 4, la ultimaetapa de los cohetes Long March CZ-3A y CZ-3B, las ultimas etapas de los cohetes Atlas 2Ay 3A y la primera y segunda etapa del cohete japones H-2. La combinacion oxıgeno lıquidocon RP-1 (un tipo especial de queroseno) es utilizada por la primera etapa de los cohetesDelta 2 y 3, todas las etapas del cohete Molniya M y Soyuz U, la ultima etapa del coheteProton K y la primera etapa de todos los cohetes de la familia Atlas.

Por otro lado, los motores de combustible solido deben emplear una variedad de sustan-cias. Los ingredientes tıpicos son una mezcla ıntima de perclorato de amonio (el oxidantegranulado), aluminio en polvo (combustible) y un polımero (otro combustible) tal como eltripolimero polibutadieno-acido acrılico-acrilonitrilo (PBAN o uno de sus derivados), que noes otra cosa que una especie de caucho que actua como aglomerante de la mezcla. Muchosde los actuales cohetes utilizan en su primera etapa dos o mas cohetes de combustible solidocuya duracion es breve. Por ejemplo, el transbordador espacial es asistido en su primeraetapa por dos motores de combustible solido que contienen PBAN. El Ariane 5 es asistidoen su primera etapa por dos motores que contienen como polımero HTPB (polibutadienohidroxilterminado). El mismo polımero es utilizado en los cohetes solidos que asisten a lasprimeras etapas de los cohetes de la familia Delta 2, 3 y 4, algunos cohetes de la familiaAtlas y en el cohete H-2. Algunos cohetes pequenos poseen todas sus etapas con motores decombustible solido que utilizan especificamente el HTPB. Ejemplos de ellos son: el PegasusXL y el Taurus estadounidenses, los japoneses J-1 y M-5, el Shavit israelı y el brasilenoVLS-1.

Por lo general, los valores mas grandes que se pueden tener de ve son del orden de 3.6km/seg. Hagamos en (15.50) M0/(me + mu) = n. Por lo tanto, serıa adecuado hacer ndel orden de 12 o 15, pues en tal caso ve lnn esta entre los 8.9 a 9.7 km/seg. Por razonestecnologicas, practicas y economicas no es usual hacer n igual a esos valores tan eleva-dos. Recordemos ademas que la ecuacion no tiene en cuenta las perdidas de velocidad porgravedad y resistencia del aire. En la practica lo que se hace es construir cohetes en etapas,esto es, dos o mas cohetes escalonados. Con ello es posible lograr velocidades muy altas, delorden de los 10 a 15 km/seg.

Los cohetes utilizados para colocar satelites de baja altura poseen tiempos de fun-cionamiento muy breves, del orden de cinco a diez minutos. El cohete se dispara al comien-zo en una trayectoria vertical con el proposito de hacer que en las partes mas densas de


1

2

3

INYECCION

TIERRA

DE LA 2DA ETAPAIMPACTO

LA 1ERA ETAPAIMPACTO DE

Figura 15.14: Vuelo propulsado de un cohete de tres etapas

la atmosfera ocurra la fase por donde se desplaza con menor velocidad. A medida que vaaumentando la velocidad y que la atmosfera es cada vez mas enrarecida se obliga al cohete aque se incline hasta que el angulo entre los vectores posicion y velocidad sea cercano a los 90grados. Como es usual que los cohetes consten de dos o tres etapas, a medida que el vuelodel cohete continua se va agotando el combustible de las mismas, por lo que se hace nece-sario que en los instantes posteriores al agotamiento de una etapa esta sea desprendida delcuerpo principal del cohete, no solo para que deje limpio el camino de los gases de la etapasiguiente, sino tambien porque resulta un desperdicio de energıa seguir cargando con unaestructura que ya no presta ninguna utilidad. Las estructuras desprendidas no alcanzan lavelocidad orbital por lo que terminan chocando en algun lugar de la superficie terrestre (verfigura 15.14). Se deduce de esto que en el lanzamiento de un cohete sea necesario estudiarcon detenimiento su trayectoria sobre la superficie de la Tierra procurando que sobrevuelepor sitios inhospitos o de muy escasa poblacion.

Por lo general se busca que la trayectoria de los cohetes, mientras esten funcionando,pasen por encima del oceano. Esto explica que muchos de los sitios de lanzamiento estenubicados en zonas costeras (Cabo Kennedy en la Florida, Kourou en Guyana francesa y Van-denberg en California). Con muy pocas excepciones (como en los motores de combustiblesolido del trasbordador espacial norteamericano), las fases intermedias de los cohetes no sonrecuperables, convirtiendose entonces en chatarra que pasa a engrosar la multitud de basuraque reposa en el fondo del oceano. La ultima etapa, disenada para lograr la velocidad orbitalde la masa util, queda tambien en orbita, lo cual es un inconveniente pues en la practicarepresenta un pedazo de basura orbitando la Tierra.

La parte del vuelo de un satelite mientras esta sometido al brusco empuje de las di-versas etapas del cohete se conoce con el nombre de fase propulsada. Como la cantidadde propelente esta limitada por el tamano del cohete puesto que se agota en cuestion deminutos, llega un instante, llamado “inyeccion”, en que el cohete, sin mas propelente por


Nombre Fabricante Capacidad (kg)LEO GTO GEO

Ariane 44L Arianspace (Europa) 7700 4400Ariane 5 Arianspace (Europa) 18000 6800Athena 2 Lockheed-Martin (E.U.) 2400Atlas 2AS Lockheed-Martin (E.U.) 8600 3800Cyclone 3 NPO Yuzhnoye Sta. De. (Ucrania) 5370 1550Delta 3 Boeing (E.U.) 8400 3800GSLV Vikram Sarabhai Sp. C. (India) 5000 2500H-2 Rocket Systems Co. (Japon) 10500 4000 2200Long March CZ-3B China Great Wall Ind. (China) 13600 4500 2300M-5 Nissan Motor Co. (Japon) 2000 800Proton K Khrunichev Sta. Res. (Rusia) 4600 2600Shavit Israel Aircraft Ind. (Israel) 1000Soyuz U TsSKB-Progress (Rusia) 7000Taurus Orbital (E.U.) 1300 515Titan 4 Lockheed-Martin (E.U.) 18000 5770Zenit 3SL Sea Launch Co. (E.U.) 15750 5850

LEO=Orbita baja GTO=Orbita de transferencia geoestacionaria GEO=Orbita geoestacionaria

Tabla 15.1: Algunos cohetes modernos y su capacidad de lanzamiento

expulsar, se ve sometido casi exclusivamente a la fuerza de gravitacion terrestre, y por lotanto el movimiento del cohete se rige exclusivamente por lo que sabemos del movimiento deuna partıcula dentro de un campo gravitacional. El cohete se desplaza ahora describiendouna trayectoria conica y no necesita para ello de un impulso exterior continuo. Finalmente,habiendo la ultima etapa conseguido su proposito de colocar en orbita el satelite, este sedesprende suavemente de la primera mediante el accionar de unos resortes o unos pequenoscohetes de corta duracion. Nuestra carga util se mueve a partir de entonces bajo la fuerzade gravitacion terrestre.

La descripcion matematica de como calcular la trayectoria de un cohete es un asuntotecnico que no es motivo de un comentario detallado en este libro. Bastara con anotar losiguiente. El balance de fuerzas que actuan sobre un cohete desplazandose a traves de unaatmosfera es, de acuerdo con la segunda ley de Newton:

m~a = ~P + ~W + ~D + ~L, (15.51)

donde m es la masa del cohete, ~a la aceleracion del mismo, ~P la fuerza de empuje (thrust,en ingles) del cohete debido a la eyeccion de masa, ~W la fuerza de gravitacion terrestre, ~Dla fuerza de resistencia del aire y ~L la fuerza de sustentacion (ver figura 15.15).

Las ecuaciones diferenciales aproximadas de un cohete desplazandose a traves de unaatmosfera en una Tierra no rotante son las siguientes:


dr

dt= v cosϑ,

dv

dt=mvem

cosα− ACDρv2

2m− Gm1

r2cosϑ,

dϑ

dt=mvemv

senα+ACLρv

2

2mv+Gm1 senϑr2mv

− dΨdt, (15.52)

dΨdt

=v senϑr

,

donde m1 es la masa del cuerpo central (la Tierra), ve la velocidad de salida de los gases conrespecto al cohete, r es la distancia entre el centro de la Tierra y el cohete, v su velocidad,m la masa del cohete, m la cantidad de masa que arroja el cohete en la unidad de tiempo, ϑel angulo de vuelo, Ψ el angulo de alcance, A el area transversal del vehıculo, CD y CL loscoeficientes de resistencia y sustentacion, ρ la densidad atmosferica, α el angulo de ataque,esto es, el angulo existente entre el vector velocidad y el vector empuje y que puede servircomo variable de control de guıa.

LW

P

ϑ

D

r

v

α

Ψ

Figura 15.15: Fuerzas involucradas en el movimiento de un cohete

Los valores de CD y CL son funciones complicadas de la velocidad, o mas exactamente,del numero Mach (la velocidad del sonido en el aire) y el angulo de ataque. Los valorespueden calcularse teoricamente si se ha definido la forma del cohete, pero lo usual es cons-truir un pequeno modelo del cohete e introducirlo en un tunel de viento y obtener de formaexperimental los diversos valores numericos que adoptan estos coeficientes para una grangama de condiciones. La densidad del aire ρ es una funcion exponencial de la altura, estoes, de r.

La complejidad del sistema de ecuaciones diferenciales obliga a resolverlas mediante laintegracion numerica. Las ecuaciones (15.52) son tan solo aproximadas. En tres dimensioneshara falta introducir dos angulos mas, e introducir algunos terminos tales como el angulo dedeslizamiento lateral y las componentes de velocidad del viento. Ecuaciones mas completas


en tres dimensiones para un cohete multietapas pueden encontrarse en Calise y Leung (1995).

Podemos, sin embargo, realizar un analisis de las ecuaciones diferenciales (15.52) y ex-traer algunas consideraciones preliminares. Examinemos la velocidad, que se busca quesea un valor maximo. La multiplicacion 0.5ρv2 es llamada “presin dinamica” y como seve, acompana los terminos aerodinamicos. Al inicio del despegue del cohete la velocidadv es pequena, pero la densidad ρ es muy grande. Conforme avanza el tiempo el coheteva ganando velocidad de forma logaritmica mientras que la densidad atmosferica va decre-ciendo exponencialmente. Una curva de la presion dinamica en funcion del tiempo tienela forma de una campana de Gauss. Por lo tanto, existira un punto de maxima presiondinamica, que ocurre (en el caso de un cohete tıpico) al cabo de uno o dos minutos despuesdel despegue, dependiendo del perfil de vuelo. A los pocos segundos de suceder el maximola presion dinamica tiende hacia cero rapidamente, con lo que el termino de resistencia sehace despreciable. Por lo tanto, las perdidas de velocidad por resistencia atmosferica sonsolo apreciables en las primeros dos o tres minutos del vuelo del cohete. Consideremos eltermino A/m. Si llamamos d la densidad promedio del cohete y V el volumen del mismoes evidente que: A/m = A/V d. Supongase que el cohete posee una forma que se puedaasimilar a un cilindro, de tal forma que se volumen sea igual a V = Al donde l es el largodel cohete. Por lo tanto: A/m ≈ 1/dl. De ello se deduce, independientemente del valor dela densidad total del cohete, que para minimizar el termino de resistencia, esto es, hacer queal menos el termino A/m sea pequeno, es preciso que tenga una forma similar a la de unlapiz, esto es, con un area transversal pequena y una longitud pronunciada.

Con el fin de que la perdida de velocidad por gravitacion sea pequena, y con el propositode hacer que un satelite quede en orbita elıptica, (recuerdese el concepto de momentumangular) es preciso que el angulo ϑ tienda lo mas rapido posible hacia 90o. Esto ha dehacerse con cuidado, procurando que la inclinacion del cohete se haga totalmente efectivacuando la densidad atmosferica sea despreciable para evitar que el cohete acelere en sectoresdensos y con ello exista el riesgo de destruccion originada por la friccion. El angulo ϑ en elmomento de un despegue clasico posee un valor nulo. A medida que transcurre el tiempoeste angulo va naturalmente tendiendo a 90o debido a la gravedad, aunque muchas veces,dependiendo de la aceleracion del cohete, no llega a este valor en el momento de la inyeccion.Por ello es necesario incluir el angulo de ataque α que sirve como variable de control. Esteangulo adopta valores pequenos, cercanos a cero, que van cambiando en el transcurso dela fase propulsada y ha de ser maniobrado de forma cuidadosa. El angulo de ataque sepuede controlar con una tobera movible (gimbal) o con superficies de control aerodinamicas.Notese que valores distintos de cero para α implican perdidas de velocidad pues se disminuyela eficiencia en el termino que suministra el empuje.

15.9 Las condiciones de inyeccion y la orbita inicial

Como ya se menciono, el tipo de trayectoria que el satelite comienza a describir dependede los valores de velocidad, altura y el angulo de vuelo que se tienen en el momento dela inyeccion, esto es, en el instante en que finaliza la fase propulsada. Si se desean ciertascondiciones adicionales, es preciso fijar otros parametros. Por lo tanto, los valores de posi-

15.9. LAS CONDICIONES DE INYECCION Y LA ORBITA INICIAL 347

cion y velocidad sirven para determinar los elementos orbitales del satelite.

Es importante anotar que los elementos orbitales se refieren al centro de la Tierra, toma-do en primera aproximacion como un sistema inercial de coordenadas. Ello significa que si setiene el vector posicion del cohete con respecto a un observador sobre la superficie terrestre,es necesario adicionar los vectores de posicion y/o velocidad del observador con respecto alcentro de la Tierra.

Supongase que, en el momento de la inyeccion, se tienen los siguientes valores para elsatelite, referidos al centro de la Tierra: magnitud del vector posicion ri, magnitud del vectorvelocidad vi y angulo de vuelo ϑi. Sea ademas φ′ la latitud geocentrica del sitio de lanza-miento del cohete. En coheterıa se llama azimut de la trayectoria de un cohete A al anguloexistente entre la direccion norte y el vector velocidad que posee el cohete. Suponemos, en-tonces, que la fase propulsada esta contenida en un plano que pasa por el centro de la Tierra.

Ya en la seccion 10.3.1 se habıa comentado que la velocidad de rotacion de un obser-vador con respecto al centro de la Tierra depende de la latitud; es mayor en el ecuadory nula en los polos. Si el lanzamiento se hace en la direccion oeste-este, esto es, en ladireccion de la rotacion de la Tierra, se conseguira una velocidad inercial adicional cuyamagnitud dependera de la latitud del sitio de lanzamiento y del angulo de azimut en que selanza el cohete. Es claro que dicha velocidad (que alcanza los 0.46 km/s) es un maximo siel sitio de lanzamiento es realizado desde el ecuador terrestre y se lanza el cohete con A = 90.

Hallemos el semieje mayor a, la excentricidad e, y la inclinacion orbital i si se conocenlas condiciones de inyeccion ri, vi y ϑi. Para estos, los resultados que se obtuvieron delproblema de los dos cuerpos son de gran ayuda. El semieje mayor puede encontrarse apartir de (12.93) donde haremos m2/m1 = 0:

1a

=2ri− v2

i

k2,

de la cual es inmediato obtener:

a =rik

2

2k2 − riv2i

=ri

2− riv2i

k2

.

Llamando Q a la expresion adimensional:

Q =riv

2i

k2; (15.53)

con ello tenemos como expresion para el semieje mayor:

a =ri

2−Q. (15.54)

La ecuacion para la excentricidad es como sigue. Combinando las ecuaciones (12.43) yla primera de las (12.70) es posible obtener:


r2i v

2i sen 2ϑi = µa(1− e2).

Puesto que a esta definida por (15.54) y µ = k2 al despejar para e llegamos a:

e =√

1−Q sen 2ϑi(2−Q). (15.55)

Por otro lado, consideremos la figura 15.16. Sea φ′ la latitud geocentrica del sitio delanzamiento y A el azimut de lanzamiento del cohete. Suponiendo que en el tiempo breve dela propulsion el cohete no altera fuertemente su curso hacia sus lados, esto es, su movimientoesta contenido en un plano, entonces del triangulo esferico resaltado en la figura se deduce,aplicando el teorema del seno por el coseno, ecuaciones (2.15), pag. 29:

A

iφA ’

Figura 15.16: Relacion entre azimut, latitud de lanzamiento e inclinacion

cos i = − cosA cos 90 + senA sen 90 cosφ′,


cos i = senA cosφ′. (15.56)

Esta ecuacion implica un hecho interesante. El azimut puede adquirir cualquier valor de0o a 360o. Si los valores de azimut son iguales a 0 o 180 grados es evidente que la inclinacionresultante (independiente de la latitud) es 90 grados, esto es, orbita polar. El valor maximode cos i se logra cuando el azimut es 90 o 270. En tal caso senA sera igual a la unidad. Deello se deduce que la inclinacion de una orbita nunca puede ser menor que la latitud del sitiode lanzamiento. Por ejemplo, si un cohete es lanzado desde Tyuratam (Kazakstan) con unalatitud de 45.6 grados, es imposible lograr, en el lanzamiento, inclinaciones inferiores a los45.6 grados. Para orbitas de oeste a este es solo posible lograr inclinaciones en el intervalo45.6o ≤ i < 90o. El sitio ideal de lanzamiento, aquel que permite toda la gama de inclina-ciones posibles, es, por supuesto, el ecuador terrestre7. Hay que tener en cuenta tambien queel valor de A tampoco ha de ser cualquiera. De hecho, los intervalos de azimut registrados

7No olvidar ademas que se obtiene una ventaja extra lanzando cohetes desde el ecuador terrestre a causade la velocidad de rotacion del planeta que es maxima en tal sitio.


Sitio Latitud Longitud Intervalo de azimutCabo Kennedy (E.U.) 28.5 80.55 W 37 < A < 112Kagoshima (Japon) 31.2 131.1 E 20 < A < 150Kapustin Yar (Rusia) 48.4 45.8 E 350 < A < 90Kourou (Guyana Francesa) 5.2 52.8 W 340 < A < 100Plesetsk (Rusia) 62.8 40.6 E 330 < A < 90Sriharikota (India) 13.7 80.2 E 100 < A < 290Shuang-Ch’Eng-Tzu (China) 40.4 99.8 E 350 < A < 120Taiyuan (China) 37.8 112.5 E 90 < A < 190Tyuratam (Kazakhstan) 45.6 63.4 E 340 < A < 90Vandenberg (E.U.) 34.6 120.6 W 147 < A < 201Wallops (E.U.) 37.8 75.5 W 30 < A < 125Woomera (Australia) -30.9 136.5 E 350 < A < 15Yavne (Israel) 31.5 34.5 E 350 < A < 120

Tabla 15.2: Algunos de los sitios de lanzamientos de cohetes mas activos del mundo

en la tabla 15.2 se escogen de tal forma que la trayectoria de los cohetes multietapas pasenpor regiones deshabitadas o al menos muy poco pobladas. Ello explica porque la AgenciaEspacial Europea lanza sus cohetes desde Kourou, Guyana Francesa, cuya latitud es de 5o,al igual que Brasil que ha dispuesto como sitio de lanzamiento de sus cohetes un sitio cercade la ciudad de Alcantara, con latitud de −2.5o. La ventaja de un lanzamiento desde elecuador es tal que recientemente un consorcio internacional integrado por Estados Unidos,Rusia, Ucrania, Inglaterra y Noruega ha realizado lanzamientos de cohetes con propositoscomerciales desde una plataforma marina ubicada en el ecuador a una longitud 154o oeste.

Ejemplo 1

Un cohete despega de Cabo Kennedy y a los pocos minutos logra la inyeccion con lossiguientes valores referidos al centro del planeta: ri = 6 510 686.5 m, vi = 7934.45 m/s yϑ = 86o34.6′. Determinar el semieje mayor, la excentricidad y la inclinacion de la orbita delsatelite. El cohete fue lanzado con un azimut constante de A = 121o9.3′. Cabo Kennedyesta situado a una latitud geodesica de 28.5o.

Solucion

Colocamos ri y vi en unidades de radio terrestre y radio terrestre por dıa, respectiva-mente:

ri =6 510 686.56 378 140

= 1.0208 RT, vi =7934.45× 86 400

6 378 140= 107.4822 RT/d.

Luego calculamos Q con ayuda de (15.53) y utilizando el valor de k dado por (15.25):

Q =1.0208× 107.48222

107.08832= 1.0283.


Reemplazando en (15.54) tenemos:

a =1.0208

2− 1.0283= 1.0505 RT = 6700.2 km.

Al reemplazar en (15.55) se tiene igualmente:

e =√

1− 1.0283 sen 2(86o34.6′)(2− 1.0283) = 0.0661.

Tomando como primera aproximacion el valor de la latitud geodesica igual a la geocentricay reemplazando en (15.56):

i = cos−1( sen (121o9.3′) cos(28.5o)) = cos−1(0.7521) = 41o13′.

Los cohetes nos han permitido incrementar nuestros conocimientos astronomicos puescon ayuda de ellos hemos podido lanzar robots y naves inteligentes a aquellos cuerpos ce-lestes que estan mas proximos a la Tierra, tales como la Luna y los planetas del sistemasolar, exceptuando Pluton. Dada su cercanıa a la Tierra (tres dıas de distancia), y nuestroprimitivo estado de desarrollo tecnologico, la Luna permanece como el unico cuerpo celesteque ha sido visitado por seres humanos, proeza alcanzada entre los anos 1969 y 1972.

Debido a la existencia de multiples problemas (tales como respuestas anomalas del cuer-po humano en condiciones de gravedad cero8, inconvenientes en la optimizacion del reciclajede agua, aire y desechos organicos, peligrosidad de la radiacion solar, agudos trastornos enel comportamiento de personas sometidas a condiciones similares a las que experimentarıanastronautas en viajes de larga duracion, altısimos costos que implica construir una naveespacial, y problemas economicos que enfrentan las naciones con la capacidad industrial deejecutarlo) no se tienen planes serios y de ejecucion a corto o mediano plazo para mandarhombres a un planeta como Marte, lo que implicarıa un viaje de unos diez meses en la solaida. Un viaje a otro planeta implica primero salir de la atraccion gravitacional de la Tierra.Si eso se logra, se ha de tener en cuenta ahora que la nave queda a merced de la atracciongravitacional del Sol, por lo que tenemos un objeto que en la practica es un planeta artificial.En tal caso la velocidad que tiene el objeto se especifica con respecto al centro del Sol y estaviene siendo la suma vectorial de la velocidad que tiene la Tierra con respecto al Sol (enpromedio 30 km/s) y la velocidad del objeto con respecto al centro de la Tierra (mınimo11.2 km/s).

Si queremos visitar las estrellas necesitaremos de algo mas veloz que los cohetes existentes,pues las distancias entre ellas son tan enormes que con nuestra actual tecnologıa tardariamosalgo mas de 25 000 anos en llegar a la estrella mas cercana al Sol (Proxima del Centauro).Aun si pudieramos viajar a la velocidad de la luz, maxima velocidad a la que se puedeviajar en el universo, segun la fısica moderna, (no se ha descubierto algo que viaje mas

8Esta es una terminologıa que puede dar lugar a equivocaciones: en realidad un astronauta, y en generalun cuerpo cualquiera en orbita, digamos alrededor de la Tierra, esta sometido siempre a la fuerza de lagravitacion, pero la sensacion de ingravidez resulta del hecho de que dichos cuerpos estan en un estado decaıda libre permanente, esto es, estan cayendo con respecto a la Tierra pero su trayectoria no intersecta lasuperficie terrestre.


rapido), tardarıamos 4.3 anos en llegar a Proxima del Centauro, o unos 180 000 anos enllegar a las galaxias mas proximas. O tenemos la mala suerte de estar viviendo en ununiverso tan grande que es imposible visitar sus constituyentes o existen propiedades delespacio y del tiempo desconocidas para nosotros que permiten, para el que las comprenday domine, viajar en tiempos realistas para los seres humanos a los extremos mas reconditosdel universo. Algunos autores han propuesto ideas que, al menos en teorıa, podrıan permitirvelocidades superiores a la de la luz. Una de tales teorıas ha sido propuesta por Calvo-Mozo,1999.


• Ball, K.J., Osborne, G.F. (1967) Space Vehicle Dynamics, Oxford University Press, Oxford.

Sin entrar en agudos tecnisismos ni en notaciones geroglıficas este libro constituye una exce-lente referencia para el estudio de trayectorias de cohetes, estabilidad, analisis de errores ytransferencia y optimizacion de orbitas.

• Brooks, D. (1977) An Introduction to Orbit Dynamics and its Application to Satellite-BasedEarth Monitoring Systems, NASA Reference Publication 1009, Washington.

Excelente descripcion tecnica que aparte de describir con detalle el movimiento de satelitesa baja altura tambien se ocupa de estudiar algunas caracterısticas orbitales para misiones demonitoreo y reconocimiento.

• Brouwer D. (1959) Solution of the Problem of Artificial Satellite Theory without Drag, Astro-nomical Journal, Vol. 64, p. 378.

Famoso artıculo que describe la solucion aproximada de las ecuaciones diferenciales de movi-miento de un satelite artificial perturbado por varios armonicos zonales. La solucion, muyelegante, descansa en el metodo de Von Zeipel de eliminacion de variables canonicas.

• Calise, A., Leung, M. (1995) Optimal Guidance Law Development for an Advanced LaunchSystem, NASA Contractor Report-4667, Washington.

Este artıculo contiene varios acercamientos al problema de la optimizacion de la trayectoriade un cohete desde su despegue hasta la inyeccion. Las ecuaciones diferenciales del coheteestan escritas considerando multitud de fuerzas en accion.

• Calvo-Mozo B. (1999) ¿Es fısicamente posible superar la velocidad de la luz en el vacıo?,Revista colombiana de astronomıa, astrofısica, cosmologıa y ciencias afines, Vol. 1, p. 97.

Mediante una teorıa sustancial de la materia el autor expone la posibilidad de superar la luzen el vacıo en una forma discreta.

• Chetty, P. R. K. (1991) Satellite Technology and its Applications, TAB professional and refe-rence books, Blue Ridge Summit.

Este libro esta mas dedicado al diseno y construccion de satelites. Tan solo en sus primeroscapıtulos trata, aunque brevemente, algunos topicos fundamentales sobre las orbitas de satelitesy movimiento de cohetes.

• Fortescue, P., Stark J. (1992), Spacecraft Systems Engineering, John Wiley & Sons, Wiltshire.

Como su nombre indica, esta dedicado mas a la parte de la ingenierıa y diseno de satelites quea otros topicos. Sin embargo, las partes dedicadas a la mecanica celeste, analisis de mision ysistemas de propulsion, aunque breves, estan muy bien expuestas.


• Hale, F. (1994) Introduction to Space Flight, Prentice-Hall, New Jersey.

Excelente libro introductorio para todos aquellos que deseen conocer las bases dinamicas delmovimiento de satelites y cohetes. El desarrollo no es muy tecnico y contiene bastantesejemplos numericos.

• Shute, B. (1964) Prelaunch Analysis of High Eccentricity Orbits, NASA TN-2530, Washing-ton.

Este artıculo tecnico contiene algunos resultados importantes sobre las perturbaciones de dis-tintos tipos que pueden afectar la orbita de un satelite con gran excentricidad.

• Soop, E. M. (1994) Handbook of Geoestacionary Orbits, Kluwer Academic Publishers, Dor-drecht.

Este libro contiene multitud de informacion relacionada con las fuerzas que afectan el movimien-to de un satelite geoestacionario y los ajustes necesarios que hay que realizar para conservarlorealmente “estacionario”.

• Strack, W., Huff, V. (1963) The N-Body Code - A General Fortran Code for the NumericalSolution of Space Mechanics Problems on an IBM 7090 Computer, NASA TN-1730, Wa-shington.

En este artıculo se puede encontrar un codigo en fortran que permite calcular el movimien-to de un cohete multietapas teniendo en cuenta multitud de fuerzas. Contiene una buenadescripcion de las ecuaciones involucradas y del metodo numerico de integracion.

• Thomson, W. T. (1986) Introduction to Space Dynamics, Dover Publications, Inc., New York.

Un libro de dinamica espacial excelente con enfasis en el movimiento del cuerpo rıgido.

• Vallado, D. A. (1997) Fundamentals of Astrodynamics and Applications, McGraw-Hill, NewYork.

Este es el libro fundamental para estudiar astrodinamica. Completo en todos los aspectos. Ladescripcion en perturbaciones, transferencias de orbitas, determinacion de orbitas, etc., esinmejorable y actualizada.

• Wiesel, W. E. (1997) Spaceflight Dynamics, McGraw-Hill, Singapur.

Muy buen libro para abordar los conceptos con un lenguaje sencillo y claro. Aunque el desa-rrollo es tecnico la exposicion es descriptiva. No hay mas ecuaciones que las necesarias.

• http://celestrak.com/NORAD/elements/index.html

Este sitio contiene elementos orbitales, actualizados dıa a dıa, de multitud de satelites endistintos tipos de orbitas.

• http://www.spacer.com/index.html

Contiene informacion actualizada sobre lo que esta ocurriendo en el mundo de la astronautica.Numerosos enlaces a otros sitios.

• http://dept.physics.upenn.edu/courses/gladney/mathphys/subsubsection3_1_3_3.html

En este sitio se encuentra una descripcion muy pedagogica de la ecuacion basica del movimien-to del cohete.

• http://www.ksc.nasa.gov/history/rocket-history.txt

En este sitio se encuentra un breve resumen de la historia del desarrollo de los cohetes.

• http://www.jpl.nasa.gov/basics/bsf-toc.htm

Este sitio contiene informacion de numerosos topicos relacionados con el vuelo espacial.El tratamiento no es tecnico, y es altamente recomendable para estudiantes de primaria ybachillerato.

Apendice A

Constantes astronomicas

A.1 Unidades

Las unidades metro (m), kilogramos (kg), y segundo (s) son las unidades de longitud, masa ytiempo respectivamente, del Sistema Internacional (SI) de unidades. La unidad astronomicade tiempo es un dıa (D) de 86 400 segundos. Un intervalo de tiempo de 36 525 dıas es un siglo(o centuria) Juliano(a). La unidad astronomica de masa es la masa del Sol (S). La unidadastronomica de longitud es aquella longitud (A) para la cual la constante gravitacionalGaussiana (k) toma el valor 0.01720209895, cuando las unidades de medida son las unidadesastronomicas de longitud, masa y tiempo. Las dimensiones de k2 son aquellas de la constantede gravitacion (G). En la preparacion de las efemerides y el ajuste de todos los datosobservacionales disponibles, fue necesario modificar algunas constantes y masas planetarias;dichos datos modificados se presentan en parentesis cuadrados, siguiendo los valores delsistema de 1976.

Constantes de definicion:

1. Constante gravitacional de Gauss k = 0.017202098952. Velocidad de la luz en el vacıo c=299 792 458 m/s

Constantes primarias:

3. Tiempo-luz para la unidad de distancia τA = 499.004782 s[499.0047837...]

4. Radio ecuatorial de la Tierra ae = 6 378 140mvalor IUGG ae = [6 378 137m]

5. Factor de forma dinamico terrestre J2 = 0.00108263

353

354 APENDICE A. CONSTANTES ASTRONOMICAS

6. Constante gravitacional terrestre GE = 3.986005× 1014m3s−2

[3.98600448...× 1014]7. Constante de gravitacion G = 6.6725× 10−11m3kg−1s−2

8. Razon masa de la Luna a la de la Tierra µ = 0.01230002[0.012300034]

9. Precesion general en longitud por centuriajuliana para la epoca estandar 2000 ρ = 5029′′.0966

10. Oblicuidad de la eclıptica para la epocaestandar 2000 ε = 2326′21′′.448

[2326′21′′.4149]

Constantes derivadas:

11. Constante de nutacion para la epoca estandar N = 9′′.20252000

12. Unidad de distancia cτA = A = 1.49597870× 1011m[1.4959787066× 1011]

13. Paralaje solar arcsin(ae/A) = π¯ = 8′′.79414814. Constante de aberracion para la

epoca estandar 2000 κ = 20”.49552

A.2 Sistema de Constantes Astronomicas de la U.A.I.(1976)

15. Factor de achatamiento de la Tierra f = 0.00335281 = 1/298.25716. Constante gravitacional heliocentrica A3k2/D2 = GS

= 1.32712438× 1020m3s−2

[1.32712440...× 1020]17. Razon de la masa del Sol a la de la Tierra (GS)/(GE) = S/E = 332 946.0

[332 946.038]18. Razon de la masa del Sol a la del

sistema Tierra + Luna (S/E)/(1 + µ) = 328 900.5[328 900.55]

19. Masa del Sol (GS)/G = S = 1.9891× 1030 kg

20. Razones de la masa del Sol a la de losplanetas (excluyendo Tierra + Luna):

Mercurio 6 023 600 Saturno 3498.5 [3498.0]Venus 408 523.5 Urano 22 869 [22 960]Marte 3 098 710 Neptuno 19 314Jupiter 1047.355 [1047.350] Pluton 3 000 000 [30 000 000]

Apendice B

Posiciones geograficas dealgunas ciudades colombianas

Ciudad Latitud Longitud Altura(Oeste) mts∗

’ ’Abejorral 5 47 75 25 2186Acandı 8 32 77 14 4Aguachica 8 19 73 38 162Anapoima 4 33 74 32 805Anserma 5 13 75 48 1837Arauca 7 5 70 45 124Arjona 9 32 73 55 106Armenia 4 31 75 40 1475Armero 4 58 74 54 421Barbosa 5 57 73 36 1500Barrancabermeja 7 3 73 52 111Barranquilla 10 58 74 47 14Bello 6 20 75 33 1520Bogota 4 39 74 5 2620Buenaventura 3 53 77 4 12Bucaramanga 7 7 73 8 959Buga 3 54 76 17 1010Cajamarca 4 26 75 23 1827Cali 3 27 76 31 995Cartagena 10 27 75 29 2Cartago 4 45 75 55 942Caucasia 8 6 75 12 450

355

356APENDICE B. POSICIONES GEOGRAFICAS DE ALGUNAS CIUDADES COLOMBIANAS


’ ’Cerete 8 53 75 48 15Chaparral 3 43 75 28 880Chigorodo 7 41 76 42 34Chiquinquira 5 37 73 50 2570Choconta 5 8 73 40 2684Cienaga 11 1 74 15 122Cocorna 6 20 75 8 1400Corozal 9 19 75 18 118Cucuta 7 54 72 29 320Dabeiba 6 59 76 8 1350Duitama 5 50 73 2 2590El Banco 9 0 73 58 49Envigado 6 10 75 35 1607Espinal 4 9 74 53 438Facatativa 4 49 74 22 2614Florencia 1 37 75 37 242Fundacion 10 31 74 11 62Garzon 2 23 75 38 888Gigante 2 12 75 32 858Girardot 4 18 74 48 326Granada 3 34 73 45 332Guaduas 5 4 74 35 1007Honda 5 12 74 45 229Ibague 4 27 75 1 1285Ipiales 0 50 77 37 2890Itaguı 6 10 75 36 1625Jamundı 3 16 76 31 985La Dorada 5 27 74 40 195La Mesa 4 38 74 27 1320La Vega 5 0 74 21 1215Leticia -4 17 69 55 96Lıbano 4 55 75 3 1585Lorica 9 14 75 49 5Madrid 4 44 74 16 2585Magangue 9 14 74 44 27Maicao 11 23 72 13 45Malambo 10 52 74 47 8Manizales 5 4 75 30 2126

357


’ ’Marinilla 6 10 75 19 2122Medellın 6 15 75 36 1479Mitu 1 7 70 3 180Mocoa 1 9 76 37 579Mompos 9 14 74 26 33Monterıa 8 45 75 53 49Neiva 2 55 75 18 442Ocana 8 15 73 20 1200Orocue 4 48 71 19 143Pacho 5 8 74 8 1859Palmira 3 32 76 16 1085Pamplona 7 23 72 39 2340Pasto 1 13 77 16 2527Paz de Rıo 5 24 73 5 2720Pereira 4 46 75 44 1342Pitalito 1 51 76 2 1318Plato 9 47 74 47 16Popayan 2 27 76 37 1738Pto. Berrıo 6 29 74 24 123Pto. Carreno 6 11 67 28 51Pto. Inırida 3 54 67 52 100Pto. Tejada 3 14 76 24 1000Quibdo 5 40 76 39 43Raquira 5 33 73 38 2221Rıohacha 11 33 72 54 73Roldanillo 4 24 76 9 966Sabanalarga 10 38 74 55 53Sahagun 8 57 75 27 109Salamina 5 25 75 29 1822San Andres 12 28 81 42 2San Gil 6 33 73 8 1095San Jacinto 9 50 75 8 239San Jose del Guaviare 2 34 72 38 200San Martın 3 42 73 42 405Santa Marta 11 15 74 13 2Sevilla 4 16 75 57 1598Sincelejo 9 19 75 17 66Socorro 6 29 73 16 1230

358APENDICE B. POSICIONES GEOGRAFICAS DE ALGUNAS CIUDADES COLOMBIANAS


’ ’Sogamoso 5 43 72 56 2570Sonson 5 42 75 18 2550Tulua 4 6 76 11 1025Tumaco 1 49 78 46 6Tunja 5 31 73 21 2820Turbaco 10 20 75 25 200Turbo 8 6 76 43 2Uribia 11 40 72 14 22Urrao 6 20 76 5 1885Valledupar 10 27 73 14 280Villa de Leiva 5 38 73 31 2220Villavicencio 4 9 73 39 467Yarumal 6 58 75 24 2300Yopal 5 21 72 24 350Zipaquira 5 2 74 0 2650

* Metros sobre el nivel del mar.

Apendice C

Cuerpos del sistema solar

C.1 Datos fısicos de los planetas (I)

Planeta Radio Masa Densidad Temperatura Achatamiento Inclinacionecuatorial (superficie) al ecuadorR (km) M (kg) ρ (g/cm3) Kelvin f ()

Mercurio 2439 3.30× 1023 5.4 615;130 0 0.0Venus 6052 4.87× 1024 5.2 750 0 177.3Tierra 6378 5.97× 1024 5.5 300 0.003353 23.44Marte 3397 6.42× 1023 3.9 220 0.005186 25.19Jupiter 71398 1.90× 1027 1.3 140 0.06481 3.12Saturno 60000 5.69× 1026 0.7 100 0.10762 26.73Urano 26320 8.70× 1025 1.1 65 0.023 97.9Neptuno 24300 1.03× 1026 1.7 55 0.017 29.6Pluton 1120 1.00× 1022 2.1 45 0 118?

359

360 APENDICE C. CUERPOS DEL SISTEMA SOLAR

C.2 Datos fısicos de los planetas (II)

Planeta Perıodo de Perıodo Perıodo Velocidad Velocidad Aceleraciontraslacion de rotacion sinodico orbital parabolica de la gravedad 1

(dıas) (dıas) (km/s) (km/s) (m/s2)Mercurio 87.97 58.6 d 115.9 3.0 4.2 3.7Venus 224.70 243.0 d 583.9 7.3 10.3 8.8Tierra 365.26 23 h 56 m 4 s 7.9 11.1 9.8Marte 687.02 24 h 37 m 23 s 779.9 3.5 5.0 3.7Jupiter 4333 9 h 55 m 30 s 398.9 42.1 59.6 24.9Saturno 10744 10 h 30 m 378.1 25.1 35.5 10.5Urano 30810 17 h 14 m 369.6 14.8 20.1 8.3Neptuno 60440 16 h 7 m 367.5 16.8 23.8 11.6Pluton 91750 6 d 9 h 366.7 0.8 1.1 0.53

1 En la superficie

C.3 Elementos orbitales osculatrices heliocentricos referi-dos a la eclıptica media y equinoccio de J2000.0

Epoca = 13.0 de septiembre 2000 (FJ 2 451 800.5)

Planeta Inclinacion Longitud Longitud Semieje Movimiento Excentricidad Longituddel nodo del mayor medio mediaascendente perihelio

i Ω $ a n e Lr

Mercurio 7.00498 48.3301 77.4564 0.3871009 4.092304000 0.2056291 217.84199Venus 3.39460 76.6781 131.8530 0.7233309 1.602135000 0.0067470 231.32466Tierra∗ 0.00014 163.4000 102.9937 0.9999868 0.985628700 0.0167348 352.28696Marte 1.84967 49.5600 336.0139 1.5235726 0.524094200 0.0934789 129.33705Jupiter 1.30437 100.5042 15.4305 5.2044210 0.083052500 0.0488689 55.58083Saturno 2.48544 113.6340 90.6429 9.5825510 0.033231080 0.0564861 58.63199Urano 0.77227 73.9476 169.4404 19.2012300 0.011714390 0.0456617 316.48002Neptuno 1.76856 131.7921 46.9810 30.0476200 0.005984119 0.0112593 306.71426Pluton 17.16051 110.2600 223.7791 39.2362300 0.004010265 0.2444214 240.00032

* Los valores presentados para la Tierra corresponden al baricentro del sistema Tierra-Luna.

C.4. DATOS DEL SOL 361

C.4 Datos del Sol

Propiedad Valor numerico

Masa 1.989× 1030 kgRadio 6.96× 108 mGravedad en la superficie 274 ms−2= 27.9 gTemperatura efectiva 5785 KTemperatura en el nucleo 15× 106 KLuminosidad 3.9× 1026 WDensidad media 1.41 gcm−3

Dendidad en el nucleo 140-180 gcm−3

Magnitud visual absoluta 4.79Magnitud visual aparente −26.78Inclinacion del ecuador a la eclıptica 7o15′

Paralaje ecuatorial horizontal 8.794′′

Tipo espectral G2 VDistancia del centro galactico 8.5 kiloparsecVelocidad de escape en la superficie 617.7 kms−1

Movimiento relativo a las estrellas cercanas apex: α = 271o, δ = +30o

velocidad: 19.4 kms−1

C.5 Datos de la Luna

Propiedad Valor numerico

Masa 7.3483× 1022 kgRadio 1738 kmGravedad en la superficie 1.62 ms−2= 0.17 gDensidad media 3.34 gcm−3

Inclinacion media de la orbita a la eclıptica 5o9′

Paralaje ecuatorial horizontal medio 57′2′′

Distancia promedio a la Tierra 384 400 kmExcentricidad media de la orbita 0.0549Menor distancia a la Tierra 356 400 kmMayor distancia a la Tierra 406 700 kmPerıodo de revolucion del nodo 6798 dıasPerıodo de revolucion del perigeo 3232 dıasVelocidad orbital media 1023 ms−1

Perıodo de rotacion sideral 27d 7h 43m

Albedo 0.12Magnitud visual aparente −12.74Velocidad de un satelite en orbita baja 1.68 kms−1

Velocidad de escape desde la superficie 2.37 kms−1

Factor dinamico (J2) 2.027× 10−4

362 APENDICE C. CUERPOS DEL SISTEMA SOLAR

C.6 Algunos asteroides

Asteroide Diametro Semieje Excentricidad Inclinacion Descubridormayor

(km) a (u.a.) ()

Ceres 946 2.77 0.08 10.6 Piazzi (1801)Palas 583 2.77 0.23 34.8 Olbers (1802)Juno 250 2.67 0.26 13.0 Harding (1804)Vesta 555 2.36 0.09 7.1 Olbers (1807)Astraea 116 2.58 0.19 5.3 Hencke (1847)Eros 20 1.46 0.22 10.8 Witt (1898)Hidalgo 30 5.85 0.66 42.4 Baade (1920)Amor 5? 1.92 0.43 11.9 Delporte (1932)

Icaro 2 1.08 0.83 22.9 Baade (1949)Apolo 2.5 1.47 0.56 6.4 Reinmuth (1932)

C.7 Algunos cometas

Cometa Perıodo Semieje Excentricidad Distancia Inclinacionmayor perihelica

(anos) a (u.a.) (u.a.) ()

Encke 3.28 2.21 0.850 0.331 11.9Tempel 2 5.48 3.10 0.522 1.484 12.0Kohoutek 6.68 3.55 0.496 1.787 5.9Harrington 6.77 3.57 0.561 1.568 8.6Borrelly 6.86 3.61 0.624 1.357 30.3Brooks 2 6.89 3.62 0.491 1.843 5.5Wolf 8.25 4.08 0.406 2.428 27.5Whipple 8.53 4.17 0.259 3.094 9.9Comas Sola 8.78 7.19 0.570 3.094 13.0Tuttle 13.50 5.67 0.824 0.998 54.7Quiron 50.85 13.71 0.383 8.459 6.9Halley 76.0 17.78 0.967 0.587 162.2Hale-Bopp 2535 186 0.9951 0.914 89.4Hyakutake 20940 760 0.9997 0.230 124.9

Apendice D

Refraccion astronomica a niveldel mar

Temperatura, grados centıgradosAltura 0 5 10 15 20 25 30 35 40 ′ ′′ ′ ′′ ′ ′′ ′ ′′ ′ ′′ ′ ′′ ′ ′′ ′ ′′ ′ ′′

30 1 44 1 42 1 41 1 40 1 38 1 36 1 34 1 33 1 3131 1 40 1 38 1 37 1 36 1 34 1 32 1 31 1 29 1 2832 1 35 1 33 1 32 1 31 1 29 1 27 1 26 1 25 1 2333 1 31 1 30 1 29 1 27 1 25 1 24 1 23 1 21 1 2034 1 28 1 27 1 26 1 24 1 23 1 21 1 20 1 19 1 1835 1 25 1 24 1 23 1 21 1 20 1 19 1 17 1 16 1 1536 1 22 1 21 1 20 1 19 1 17 1 16 1 15 1 13 1 1237 1 19 1 18 1 17 1 16 1 15 1 14 1 13 1 11 1 0938 1 16 1 15 1 14 1 13 1 12 1 11 1 10 1 09 1 0739 1 13 1 12 1 11 1 10 1 09 1 08 1 07 1 06 1 0540 1 11 1 10 1 09 1 08 1 07 1 06 1 05 1 04 1 0341 1 09 1 08 1 07 1 06 1 05 1 04 1 03 1 02 1 0142 1 07 1 06 1 05 1 04 1 03 1 02 1 01 1 00 0 5943 1 04 1 03 1 02 1 01 1 00 0 59 0 58 0 57 0 5644 1 02 1 01 1 00 0 59 0 58 0 57 0 56 0 55 0 5445 1 00 0 59 0 58 0 57 0 56 0 55 0 54 0 53 0 5246 0 58 0 57 0 56 0 55 0 54 0 53 0 52 0 52 0 5147 0 56 0 55 0 54 0 54 0 53 0 52 0 51 0 50 0 5048 0 55 0 54 0 53 0 52 0 51 0 50 0 49 0 48 0 4849 0 53 0 52 0 51 0 50 0 49 0 48 0 48 0 47 0 4650 0 51 0 50 0 49 0 48 0 47 0 46 0 46 0 46 0 4551 0 49 0 48 0 47 0 46 0 46 0 45 0 44 0 44 0 4352 0 46 0 46 0 45 0 44 0 43 0 43 0 42 0 41 0 4053 0 45 0 44 0 43 0 43 0 42 0 41 0 40 0 39 0 3954 0 43 0 42 0 42 0 41 0 40 0 39 0 39 0 38 0 3755 0 41 0 41 0 40 0 39 0 39 0 38 0 37 0 35 0 3556 0 40 0 39 0 39 0 38 0 38 0 37 0 36 0 35 0 3457 0 39 0 38 0 38 0 37 0 37 0 36 0 35 0 34 0 3358 0 37 0 37 0 36 0 36 0 35 0 35 0 34 0 33 0 3259 0 36 0 36 0 35 0 35 0 34 0 34 0 33 0 32 0 3160 0 34 0 34 0 33 0 32 0 32 0 32 0 31 0 30 0 29

363

364 APENDICE D. REFRACCION ASTRONOMICA A NIVEL DEL MAR

Temperatura, grados centıgradosAltura 0 5 10 15 20 25 30 35 40 ′ ′′ ′ ′′ ′ ′′ ′ ′′ ′ ′′ ′ ′′ ′ ′′ ′ ′′ ′ ′′

61 0 33 0 32 0 32 0 31 0 31 0 30 0 30 0 29 0 2862 0 32 0 31 0 31 0 30 0 30 0 29 0 29 0 28 0 2763 0 30 0 30 0 29 0 29 0 28 0 28 0 27 0 27 0 2664 0 29 0 29 0 28 0 28 0 27 0 27 0 26 0 26 0 2565 0 28 0 28 0 27 0 26 0 26 0 26 0 25 0 24 0 2466 0 27 0 26 0 26 0 25 0 25 0 24 0 24 0 23 0 2367 0 25 0 25 0 24 0 24 0 23 0 23 0 23 0 22 0 2268 0 24 0 24 0 23 0 23 0 22 0 22 0 22 0 21 0 2169 0 23 0 23 0 22 0 22 0 21 0 21 0 21 0 20 0 2070 0 22 0 22 0 21 0 21 0 20 0 20 0 20 0 19 0 1971 0 21 0 21 0 20 0 20 0 19 0 19 0 19 0 18 0 1872 0 20 0 20 0 19 0 19 0 18 0 18 0 18 0 17 0 1773 0 19 0 18 0 18 0 18 0 17 0 17 0 17 0 16 0 1674 0 17 0 16 0 16 0 16 0 15 0 15 0 15 0 15 0 1475 0 16 0 15 0 15 0 15 0 14 0 14 0 14 0 14 0 1376 0 15 0 14 0 14 0 14 0 13 0 13 0 13 0 13 0 1277 0 14 0 13 0 13 0 13 0 12 0 12 0 12 0 12 0 1178 0 12 0 12 0 12 0 12 0 12 0 11 0 11 0 11 0 1079 0 11 0 11 0 11 0 11 0 11 0 10 0 10 0 10 0 1080 0 10 0 10 0 10 0 10 0 10 0 09 0 09 0 09 0 0981 0 09 0 09 0 09 0 09 0 09 0 08 0 08 0 08 0 0882 0 08 0 08 0 08 0 08 0 08 0 07 0 07 0 07 0 0783 0 07 0 07 0 07 0 07 0 07 0 06 0 06 0 06 0 0684 0 06 0 06 0 06 0 06 0 06 0 05 0 05 0 05 0 0585 0 05 0 05 0 05 0 05 0 05 0 04 0 04 0 04 0 4486 0 04 0 04 0 04 0 04 0 04 0 03 0 03 0 03 0 0387 0 03 0 03 0 03 0 03 0 03 0 02 0 02 0 02 0 0288 0 02 0 02 0 02 0 02 0 02 0 01 0 01 0 01 0 0189 0 01 0 01 0 01 0 01 0 01 0 01 0 01 0 01 0 0190 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00

Tabla D.1: Correccion por temperatura

Altura (m) Factor Altura (m) Factor

200 0.98 2600 0.73400 0.95 2800 0.71600 0.93 3000 0.70800 0.91 3200 0.681000 0.89 3400 0.661200 0.87 3600 0.651400 0.85 3800 0.631600 0.83 4000 0.621800 0.81 4200 0.602000 0.79 4400 0.592200 0.77 4600 0.582400 0.75 4800 0.56

Tabla D.2: Correccion por presion atmosferica

Apendice E

Estrellas

E.1 Las estrellas mas cercanas al Sol

Estrella α δ Magnitud Espectro Paralaje Mov. propioh m o ’ absoluta (”) ”/ano

α Cen C (Proxima) 14 30 −62 41 15.45 M5eV 0.762 3.85α Cen A 14 40 −60 50 4.35 G2V 0.745 3.68α Cen B 14 40 −60 50 5.69 K5V 0.745 3.68Estrella de Barnard 17 58 04 34 13.25 M5V 0.552 10.31Wolf 359 10 56 07 01 16.68 M6eV 0.429 4.71BD+36o2147 11 03 35 48 10.49 M2V 0.401 4.78α CMa (Sirius A) 06 45 −16 43 1.42 A1V 0.377 1.33α CMa (Sirius B) 06 45 −16 43 11.56 eb A 0.377 1.33Luyten 726-8 A 01 39 −17 57 15.27 M6eV 0.367 3.36Luyten 726-8 B 01 39 −17 57 15.8 M6eV 0.367 3.36Ross 154 18 50 −23 50 13.3 M4eV 0.345 0.72Ross 248 23 42 44 10 14.80 M6eV 0.317 1.59ε Eridani 03 33 −09 28 6.13 K2V 0.303 0.98Luyten 789-6 22 39 −15 19 14.60 M6eV 0.303 3.26Ross 128 11 48 00 48 13.50 M5V 0.301 1.3761 Cygni A 21 07 38 45 7.58 K5V 0.294 5.2161 Cygni B 21 07 38 45 8.39 K7V 0.294 5.21ε indi 22 03 −56 47 7.00 K5V 0.291 4.69α CMe (Procyon A) 07 39 05 13 2.64 F5V 0.286 1.25α CMe (Procyon B) 07 39 05 13 13.0 ebF 0.286 1.25

Tabla E.1: Estrellas cercanas

365

366 APENDICE E. ESTRELLAS

E.2 Las estrellas mas brillantes

Estrella α δ Magnitud Espectro r Mov. propioh m o ’ absoluta (parsecs) ”/ano

α CMa Sirius 06 45.1 −16 43 1.4 A1V, ebA 2.7 1.33α Car Canopus 06 24.0 −52 42 -4.6 F0Ib-II 60 0.02α Cen Rigil Kentarus 14 39.6 −60 50 4.1 G2V, K5V 1.3 3.68α Boo Arcturus 14 15.7 19 11 -0.3 K2IIIp 11 2.28α Lyr Vega 18 36.9 38 47 0.5 A0V 8.1 0.34α Aur Capella 05 16.7 46 00 -0.6 G5III,G0III 14 0.44β Ori Rigel 05 14.5 −08 12 -7.0 B8Ia 250 0.00α CMi Procyon 07 39.3 05 13 2.6 F5V, ebF 3.5 1.25α Eri Achernar 01 37.7 −57 14 -2.5 B3Vp 38 0.10α Ori Betelgeuse 05 55.0 07 24 -6.0 M2I 200 0.03β Cen Hadar 14 03.8 −60 22 -5.0 B1 II 120 0.04α Aql Altair 19 50.8 08 52 2.2 A7V 5.1 0.66α Cru Acrux 12 26.6 −63 06 -4.7 B0.5IV,B1V 120 0.04α Tau Aldebaran 04 35.9 16 31 -0.8 K5III 21 0.20α Vir Spica 13 25.2 −11 10 -3.6 B1V 80 0.05α Sco Antares 16 29.4 −26 26 -4.6 M1 Ib,B2.5V 130 0.03β Gem Pollux 07 45.3 28 01 1.0 K0III 11 0.62α PsA Fomalhaut 22 57.6 −29 37 1.9 A3V 7 0.37α Cyg Deneb 20 41.4 45 17 -7.2 A2Ia 500 0.00β Cru Mimosa 12 47.7 −59 41 -4.6 B0III 150 0.05α Leo Regulus 10 08.4 11 58 -0.7 B7V 26 0.25

Tabla E.2: Estrellas mas brillantes

Apendice F

Fecha Juliana

Ano FJ Ano FJ

-1900 1027082.5 600 1940207.5-1800 1063607.5 700 1976732.5-1700 1100132.5 800 2013257.5-1600 1136657.5 900 2049782.5-1500 1173182.5 1000 2086307.5-1400 1209707.5 1100 2122832.5-1300 1246232.5 1200 2159357.5-1200 1282757.5 1300 2195882.5-1100 1319282.5 1400 2232407.5-1000 1355807.5 1500J 2268932.5-900 1392332.5 1500G 2268922.5-800 1428857.5 1600 2305447.5-700 1465382.5 1700 2341971.5-600 1501907.5 1800 2378495.5-500 1538432.5 1900 2415019.5-400 1574957.5 2000 2451544.5-300 1611482.5 2100 2488068.5-200 1648007.5 2200 2524592.5-100 1684532.5 2300 2561116.50 1721057.5 2400 2597641.5100 1757582.5 2500 2634165.5200 1794107.5 2600 2670689.5300 1830632.5 2700 2707213.5400 1867157.5 2800 2743738.5500 1903682.5 2900 2780262.5

Tabla F.1: Anos centuria

J Calendario juliano G Calendario gregoriano

367

368 APENDICE F. FECHA JULIANA

Ano FJ Ano FJ Ano FJ Ano FJ0 0 25 9131 50 18262 75 273931 365 26 9496 51 18627 76 277592 730 27 9861 52 18993 77 281243 1095 28 10227 53 19358 78 284894 1461 29 10592 54 19723 79 288545 1826 30 10957 55 20088 80 292206 2191 31 11322 56 20454 81 295857 2556 32 11688 57 20819 82 299508 2922 33 12053 58 21184 83 303159 3287 34 12418 59 21549 84 3068110 3652 35 12783 60 21915 85 3104611 4017 36 13149 61 22280 86 3141112 4383 37 13514 62 22645 87 3177613 4748 38 13879 63 23010 88 3214214 5113 39 14244 64 23376 89 3250715 5478 40 14610 65 23741 90 3287216 5844 41 14975 66 24106 91 3323717 6209 42 15340 67 24471 92 3360318 6574 43 15705 68 24837 93 3396819 6939 44 16071 69 25202 94 3433320 7305 45 16436 70 25567 95 3469821 7670 46 16801 71 25932 96 3506422 8035 47 17166 72 26298 97 3542923 8400 48 17532 73 26663 98 3579424 8766 49 17897 74 27028 99 36159

Tabla F.2: Ano adicional

Mes FJ Mes FJ Mes FJ Mes FJEne 0 Mar 59 Jul 181 Nov 304

Ene (B) -1 Abr 90 Ago 212 Dic 334Feb 31 May 120 Sep 243

Feb (B) 30 Jun 151 Oct 273

Tabla F.3: Mes adicional

(B) Para anos bisiestos.

Apendice G

Calendario

G.1 Descansos remunerados

Nombre de la fiesta Dıa a celebrarCircuncision del Senor 1 de eneroLa epifanıa 6 de enero ∗

San Jose 19 de marzo ∗

Dıa del trabajo 1 de mayoSan Pedro y San Pablo 29 de junio ∗

Independencia Nacional 20 de julioBatalla de Boyaca 7 de agostoAsuncion 15 de agosto ∗

Dıa de la raza 12 de octubre ∗

Todos los santos 1 de noviembre ∗

Independencia de Cartagena 11 de noviembre ∗

La Inmaculada Concepcion 8 de diciembreLa Natividad 25 de diciembreJueves santo 3 dıas antes de la PascuaViernes santo 2 dıas antes de la PascuaAscension del Senor 39 dıas despues de la Pascua ∗

Corpus Christi 60 dıas despues de la Pascua ∗

Sagrado Corazon 68 dıas despues de la Pascua ∗

Tabla G.1: Descansos remunerados en la Republica de Colombia

* Modificados por la ley 51 de 1983.

369

370 APENDICE G. CALENDARIO

G.2 Fechas de Pascua para algunos anos

Ano Letra dominical Numero aureo Epacta Fecha de Pascua2000 BA 6 24 23 de abril2001 G 7 5 15 de abril2002 F 8 16 31 de marzo2003 E 9 27 20 de abril2004 DC 10 8 11 de abril2005 B 11 19 27 de marzo2006 A 12 0 16 de abril2007 G 13 11 8 de abril2008 FE 14 22 23 de marzo2009 D 15 3 12 de abril2010 C 16 14 4 de abril2011 B 17 25 24 de abril2012 AG 18 6 8 de abril2013 F 19 17 31 de marzo2014 E 1 29 20 de abril2015 D 2 10 5 de abril2016 CB 3 21 27 de marzo2017 A 4 2 16 de abril2018 G 5 13 1 de abril2019 F 6 24 21 de abril2020 ED 7 5 12 de abril2021 C 8 16 4 de abril2022 B 9 27 17 de abril2023 A 10 8 9 de abril2024 GF 11 19 31 de marzo2025 E 12 0 20 de abril2026 D 13 11 5 de abril2027 C 14 22 28 de marzo2028 BA 15 3 16 de abril2029 G 16 14 1 de abril2030 F 17 25 21 de abril

Tabla G.2: Letra dominical, Numero aureo, Epacta y fecha de Pascua 2000-2030

G.3. CALENDARIO PERPETUO 371

G.3 Calendario Perpetuo

0 7 14 17 211 8 15J2 9 18 223 104 11 15G 19 235 12 16 20 246 13

00 01 02 03 04 0506 07 08 09 10 11

12 13 14 15 1617 18 19 20 21 2223 24 25 26 2728 29 30 31 32 3334 35 36 37 38 39

40 41 42 43 4445 46 47 48 49 5051 52 53 54 5556 57 58 59 60 6162 63 64 65 66 67

68 69 70 71 7273 74 75 76 77 7879 80 81 82 8384 85 86 87 88 8990 91 92 93 94 95

96 97 98 996 0 1 2 3 4 55 6 0 1 2 3 44 5 6 0 1 2 33 4 5 6 0 1 22 3 4 5 6 0 11 2 3 4 5 6 00 1 2 3 4 5 6

Tabla G.3: Numero para el ano

J Hasta el 4 de octubre de 1582 (calendario juliano).

G Desde el 15 de octubre de 1582 en adelante (calendario gregoriano).

372 APENDICE G. CALENDARIO

Feb. (B) Feb. Sep. Ene. (B) Ene.May. Mar. Jun. Abr.

Ago. Nov. Dic. Jul. Oct.1 2 3 4 5 6 0 12 3 4 5 6 0 1 23 4 5 6 0 1 2 34 5 6 0 1 2 3 45 6 0 1 2 3 4 56 0 1 2 3 4 5 60 1 2 3 4 5 6 0

Tabla G.4: Numero para el mes

(B) Para anos bisiestos.

1 2 3 4 5 6 78 9 10 11 12 13 1415 16 17 18 19 20 2122 23 24 25 26 27 2829 30 31

1 Dom. Lun. Mar. Mie. Jue. Vie. Sab.2 Lun. Mar. Mie. Jue. Vie. Sab. Dom.3 Mar. Mie. Jue. Vie. Sab. Dom. Lun.4 Mie. Jue. Vie. Sab. Dom. Lun. Mar.5 Jue. Vie. Sab. Dom. Lun. Mar. Mie.6 Vie. Sab. Dom. Lun. Mar. Mie. Jue.0 Sab. Dom. Lun. Mar. Mie. Jue. Vie.

Tabla G.5: Numero para la semana

Ejemplo

Determinar el dıa de la semana del 5 de agosto de 2045.

Del ano dado se toma la centena y el numero restante como dos numeros independientes. Parael ano 2045 la centena corresponde a 20 y el numero restante 45. En la tabla G.3, en la pequenasubtabla inferior izquierda, se halla la centena. En la parte superior se halla el numero restante.La interseccion de la lınea de las centenas con la columna del numero restante permite determinarun numero que en nuestro ejemplo es 1. Con el numero hallado pasamos a la tabla G.4. Lainterseccion del numero 1 (columna de la izquierda) con el mes de agosto permite determinar, ennuestro ejemplo, el numero 3. Dicho numero corresponde a la columna de la izquierda de la tablaG.5. La interseccion de dicha lınea con el dıa en cuestion (dado en la parte superior de dicha tabla)permite, en nuestro ejemplo, hallar que el dıa referido cayo en sabado.

Indice de Materias

Aberracion, 175, 185, 187–190, 203anual, 187diurna, 189, 203estelar, 185, 187planetaria, 187, 190secular, 187

Aceleracion de la gravedad, 231Achatamiento, 33, 219Adams, John, 205Afelio, 213Altura, 70Angulo

esferico, 23horario, 71, 73

Anomalıaexcentrica, 255, 258media, 255verdadera, 213, 245, 254

Ano, 94, 156beseliano, 179bisiesto, 159civil, 156juliano, 162, 179sideral, 156tropico, 156, 159, 160

Arato, 63Argelander, Friedrich, 66Argumento de latitud del pericentro, 265, 266Aristarco, 208Ascension recta, 73Asteroides troyanos, 289Astrodinamica, 207Astrologıa, 17Astronomıa, 15, 17Atmosfera, 31Augusto, 159Azimut, 69

Bayer, Johann, 65Bessel, Friedrich, 66

Boveda celeste, 50, 51, 93Bradley, James, 66, 182, 185Brahe, Tycho, 65, 210

Calendario, 155gregoriano, 157, 163juliano, 158–160romano primitivo, 157

Calendario colombiano, 171Cassini, Jean Dominique, 185Cavendish, Henry, 218Cenit, 52, 53Centro de masas, 225, 226Ciclo solar, 169Cırculo

de declinacion, 53polar antartico, 147polar artico, 147

Circunferencia maxima, 22Clark, Arthur C., 328Clavius, Cristobal, 162Coeficientes armonicos, 220Cohete, 316, 336, 342Colon, Cristobal, 150Concilio de Nicea, 161, 162Conica, 244Conjuncion

inferior, 101superior, 101

Constantede Cavendish, 218, 229de Gauss, 250

Constantino, 161, 168Constelacion, 62, 63Coordenadas

eclıpticas, 69, 73ecuatoriales absolutas, 69, 72ecuatoriales horarias, 69, 71galacticas, 69, 75geocentricas, 35

373

374 INDICE DE MATERIAS

geodesicas, 35, 37geograficas, 35horizontales, 69topocentricas, 276

Copernico, Nicolas, 208Cronologıa, 163Culminacion

inferior, 136superior, 136

Declinacion, 71Defleccion gravitacional de la luz, 175, 201Delaunay, Charles, 126, 303Depresion del horizonte, 141Desviacion de la vertical, 39, 40Dıa, 107, 126, 155

sideral, 108solar medio, 109, 127, 131solar verdadero, 108

Dionisio el Exiguo, 164Distancia

cenital, 70media, 213, 266radial, 43

Eclıptica, 56, 99, 109Ecuacion

de Kepler, 255, 256de los equinoccios, 124del tiempo, 116

Ecuadorceleste, 51, 53, 54terrestre, 34, 35, 38, 54

Efecto Doppler, 193Einstein, Albert, 128, 201, 206, 297, 299Eje de rotacion, 34, 51, 56, 175, 176Elementos orbitales, 265Elipse, 33, 41, 210, 211, 244, 245, 249Elongacion, 101Energıa

cinetica, 248, 249potencial, 248total, 248

Epacta, 167, 169Equinoccio vernal, 57, 58, 158, 161Esferoide, 33, 37Estrella polar, 149Eudoxo de Cnidos, 63Euler, Leonhard, 34, 304Excentricidad, 42, 211, 266

Fases lunares, 96, 157Fecha juliana, 120, 121, 123, 367Flamsteed, John, 65, 66, 185Funcion

potencial gravitacional, 219Funciones asociadas de Legendre, 220

Galilei, Galileo, 209Garavito, Julio, 205, 280Gauss, Carl Friedrich, 250Geodesia, 32Geodesicas, 206Geoide, 33Gregorio XIII, 162, 163, 167Guiraldi, Luis Lilio, 167

Halley, Edmond, 65, 66, 191Harrison, John, 152Hemisferios celestes, 51Hevelius, Johannes, 63Hiparco de Nicea, 65, 178Hiperbola, 244, 247, 259Hooke, Robert, 185Hora de verano, 116Horizonte, 48, 53Horizonte matematico, 52, 69Huso horario, 113Huygens, Cristian, 152

Inclinacion, 266Indiccion romana, 168

Jacobi, Karl, 290Jesucristo, 161Julio Cesar, 120, 158, 159

Kepler, Johannes, 18, 209

Lagrange, Joseph-Louis, 288, 304Latitud

eclıptica, 74galactica, 76geocentrica, 35geodesica, 38

Letra dominical, 165Leverrier, Urbano, 205Ley de atraccion gravitacional, 216, 218, 223Leyes

de Kepler, 210de Newton, 216, 217

INDICE DE MATERIAS 375

Lıneade las apsides, 265de los nodos, 265internacional de cambio de fecha, 113

Longituddel nodo ascendente, 266del pericentro, 267eclıptica, 74galactica, 76geocentrica, 35geodesica, 38

Mayer, Tobias, 191Mecanica celeste, 127, 205–207Mercator, Gerhardus, 63Meridiano

de Greenwich, 37, 112, 115de referencia, 37del observador, 53, 135

Messidereo, 97sinodico, 97, 157

Meton, 165Momentum

angular, 233, 234lineal, 217, 225

Movimientodel polo, 34, 131diurno, 31, 71, 94en el espacio, 175, 191medio, 250propio, 191, 192, 203

Nadir, 52, 53Newcomb, Simon, 126, 127, 179Newton, Isaac, 206, 216, 219, 280, 282, 315Nodos lunares, 96Numa Pompilio, 157, 158Numero aureo, 166Nutacion, 124, 175, 181–183, 203

Oblicuidadde la eclıptica, 56, 176media de la eclıptica, 184verdadera de la eclıptica, 124, 184

Ocaso, 137Oposicion, 102Orto, 137

Paralaje, 150, 175, 193, 196, 197

anual, 193, 195, 196, 203diurno, 193horizontal, 193

Parsec, 197Parabola, 244, 245, 261Parentesis de Lagrange, 307Pascua, 161, 165, 167Perihelio, 213Perıodo juliano, 120Planeta

exterior, 102interior, 101

Planetas, 99Poincare, Henri, 291, 310Polo

norte celeste, 51norte terrestre, 34, 54sur celeste, 51sur terrestre, 34, 54

Polosterrestres, 34, 51, 54

Precesion, 146, 156, 175–179, 182, 183, 202general, 178lunisolar, 178planetaria, 178

Problemade los dos cuerpos, 223de los n cuerpos, 281, 290de los tres cuerpos, 280, 282restringido de los tres cuerpos, 288

Ptolomeo, Claudio, 63, 65, 208Puntos

cardinales, 53de Lagrange, 289

Radio vector, 213, 245Refraccion, 140, 150, 175, 198, 199, 203Retico, Georg, 209Riemann, Berhard, 206Rotacion, 32, 34

Satelitegeoestacionario, 231, 251, 327Molniya, 331Sol-sincronico, 326Tierra-sincronico, 325

Satelites artificiales, 32, 219, 220, 315Scaliger, Justus, 120, 169Segundo

bisiesto, 132

376 INDICE DE MATERIAS

SI, 130Semana, 155Semieje mayor, 42, 211, 266Semieje menor, 249Sistema inercial, 217, 223Solsticio, 59, 115, 147, 158Sosıgenes, 158

Teorıa de la relatividad general, 128, 201, 206,207

The Astronomical Almanac, 129Tiempo

atomico, 130atomico internacional, 130de las efemerides, 127, 128dinamico, 128dinamico baricentrico, 129dinamico terrestre, 129local, 113sideral, 126sideral local, 81, 111, 118solar medio, 112solar verdadero, 111terrestre, 129universal, 112, 126, 131universal coordinado, 131

Tierra, 31, 32, 48rotacion, 126, 127

Transferenciade Hohmann, 332

Transformacion de coordenadasecu. absolutas a ecu. horarias, 81ecu. absolutas a eclıpticas, 87ecu. absolutas a galacticas, 89ecu. eclıpticas a ecu. absolutas, 86ecu. horarias a ecu. absolutas, 81ecu. horarias a horizontales, 80galacticas a ecu. absolutas, 91horizontales a ecu. horarias, 78

Trayectoria rectilınea, 240Triangulo esferico, 23Trigonometrıa esferica, 21Tropico

de Capricornio, 146de Cancer, 146

Tsiolkovsky, Konstantin, 339

Universo, 15

Velocidad radial, 191, 193

Vernal, punto, 57, 108, 156, 232Vertical

de un astro, 53local, 39

Vıa Lactea, 75

Zodıaco, 64, 99Zona torrida, 146