República Bolivariana de Venezuela

Ministerio del Poder Popular Para la Educación Universitaria

I.U.T.E.P.I

Valencia. Edo. Carabobo.

Profesor: Alumnos:

Rojas Jesús

Salcedo Gabriel

Sarabia Luis

3er Semestre

Sección MSA

Febrero 2015.

Introducción.

La importancia del sistema decimal radica en que se utiliza

universalmente para representar cantidades fuera de un sistema digital. Es

decir que habrá situaciones en las cuales los valores decimales tengan que

convenirse en valores binarios antes de que se introduzcan en sistema

digital. Entonces habrá situaciones en que los valores binarios de las salidas

de un circuito digital tengan que convertir a valores decimales para

presentarse al mundo exterior.

Por otro lado del binario y el decimal, otros dos sistemas de

numeración encuentran amplias aplicaciones en los sistemas digitales. Los

sistemas octal (base 8) y hexadecimal (base 16) se usan con el mismo fin,

que es ofrecer un eficaz medio de representación de números binarios

grandes. Como veremos, ambos sistemas numéricos tienen la ventaja de

que pueden convenirse fácilmente al y del binario.

Sistema Decimal.

El sistema de numeración decimal, también llamado sistema decimal,

es un sistema de numeración posicional en el que las cantidades se

representan utilizando como base aritmética las potencias del número diez.

El conjunto de símbolos utilizado (sistema de numeración arábiga) se

compone de diez cifras diferentes: cero (0); uno (1); dos (2); tres(3); cuatro

(4); cinco (5); seis (6); siete (7); ocho (8) y nueve (9).

Excepto en ciertas culturas, es el sistema usado habitualmente en

todo el mundo y en todas las áreas que requieren de un sistema de

numeración. Sin embargo hay ciertas técnicas, como por ejemplo en la

informática, donde se utilizan sistemas de numeración adaptados al método

del binario o el hexadecimal.

Notación decimal.

Al ser posicional, se trata de un sistema de 9 etapas naturales el

sistema decimal es un sistema de numeración en el cual el valor de cada

dígito depende de su posición dentro del número. Al primero corresponde el

lugar de la unidades, el dígito se multiplica por 100 (es decir 1) ; el siguiente

las decenas (se multiplica por 10); centenas (se multiplica por 100); etc.

Historia.

Según los antropólogos, el origen del sistema decimal está en los diez

dedos que tenemos los humanos en las manos, los cuales siempre nos han

servido de base para contar.

También existen algunos vestigios del uso de otros sistemas de

numeración, como el quinario, el duodecimal y el vigesimal.

En un sistema de numeración posicional de base racional, como la

decimal, podemos representar números enteros, sin parte decimal, y

números fraccionarios, un número fraccionario que tiene los mismos

divisores que la base dará un número finito de cifras decimales, racional

exacto, las fracciones irreducibles cuyo denominador contiene factores

primos distintos de aquellos que factorizan la base, no tienen representación

finita: la parte fraccionaria presentará un período de recurrencia pura,

números racionales periódicos puros, cuando no haya ningún factor primo en

común con la base, y recurrencia mixta, números racionales periódicos

mixtos, (aquella en la que hay dígitos al comienzo que no forman parte del

período) cuando haya al menos un factor primo en común con la base.

La escritura única (sin secuencias recurrentes) puede ser de tres tipos:

Desarrollo decimal finito.

Desarrollo decimal periódico.

Desarrollo ilimitado no-periódico (número irracional).

Esta ley de tricotomía aparece en todo sistema de notación posicional en

base entera n, e incluso se puede generalizar a bases irracionales, como la

base áurea.

Números arábigos.

Sistema de numeración.

Notación posicional.

Sistema sexagesimal.

Sistema vigesimal.

Sistema duodecimal.

Número decimal.

Representación decimal.

Notación científica

Sistema Binario.

El sistema binario, en matemáticas e informática, es un sistema de

numeración en el que los números se representan utilizando solamente las

cifras cero y uno (0 y 1). Es el que se utiliza en las computadoras, debido a

que trabajan internamente con dos niveles de voltaje, por lo cual su sistema

de numeración natural es el sistema binario (encendido 1, apagado 0).

Historia.

El antiguo matemático hindú Pingala presentó la primera descripción

que se conoce de un sistema de numeración binario en el siglo tercero antes

de nuestra era, lo cual coincidió con su descubrimiento del concepto del

número cero

Una serie completa de 8 trigramas y 64 hexagramas (análogos a 3 bit)

y números binarios de 6 bit eran conocidos en la antigua China en el texto

clásico del I Ching. Series similares de combinaciones binarias también han

sido utilizadas en sistemas de adivinación tradicionales africanos, como el

Ifá, así como en la geomancia medieval occidental.

Un arreglo binario ordenado de los hexagramas del I Ching,

representando la secuencia decimal de 0 a 63, y un método para generar el

mismo fue desarrollado por el erudito y filósofo Chino Shao Yong en el siglo

XI.

El sistema binario moderno fue documentado en su totalidad por

Leibniz, en el siglo XVII, en su artículo "Explication de l'Arithmétique Binaire".

En él se mencionan los símbolos binarios usados por matemáticos chinos.

Leibniz utilizó el 0 y el 1, al igual que el sistema de numeración binario actual.

Un número binario puede ser representado por cualquier secuencia de

bits (dígitos binarios), que suelen representar cualquier mecanismo capaz de

estar en dos estados mutuamente excluyentes. Las siguientes secuencias de

símbolos podrían ser interpretadas como el mismo valor numérico binario:

De acuerdo con la representación más habitual, que es usando

números árabes, los números binarios comúnmente son escritos usando los

símbolos 0 y 1. Los números binarios se escriben a menudo con subíndices,

prefijos o sufijos para indicar su base. Las notaciones siguientes son

equivalentes:

100101 binario (declaración explícita de formato)

100101b (un sufijo que indica formato binario)

100101B (un sufijo que indica formato binario)

bin 100101 (un prefijo que indica formato binario)

1001012 (un subíndice que indica base 2 (binaria)

notación)

100101 (un prefijo que indica formato binario)

0b100101 (un prefijo que indica formato binario, común

en lenguajes de programación).

Conversiones de un sistema a otro.

Para la realización de conversiones entre números de bases

diferentes se efectúan operaciones aritméticas simples. Entre estas se

encuentran las siguientes:

Conversión de Decimal a Binario.

En esta conversión se emplean dos métodos convencionales: El

primero es divisiones sucesivas y el segundo es suma de potencias de dos.

Aquí usaremos el primero, divisiones sucesivas.

Por divisiones sucesivas.

Este método consiste en ir dividiendo la cantidad decimal por 2,

apuntando los residuos, hasta obtener un cociente cero. El último residuo

obtenido es el bit más significativo (MSB) y el primero es el bit menos

significativo (LSB).

Ejemplo: Convertir el número 15310 a binario.

El resultado en binario de 15310 es (10011001)2

Conversión de Fracciones Decimales a Binario.

En éste caso cuando tenemos un numero decimal con fracciones

decimales, y lo deseamos convertir a binario se emplean el método de

multiplicaciones sucesivas.

La conversión de números decimales fraccionarios a binario se realiza

con multiplicaciones sucesivas por 2. El número decimal se multiplica por 2,

de éste se extrae su parte entera, el cual va a ser el MSB (bit mas

significativo) y su parte fraccional se emplea para la siguiente multiplicación

y seguimos sucesivamente hasta que la parte fraccional se vuelva cero o

se tenga un error considerable de un error considerable. El último residuo o

parte entera va a constituir el LSB(bit menos significativo).

Ejemplo: Convertir el número 0,87510, 0,12510 y 0,78210 a binario.

El resultado en binario de 0,87510 es 0,1112

El resultado en binario de 0,12510 es 0,0012

El resultado en binario de 0,78210 es 0,1100102 (Se toman al menos 4 cifras

significativas, ya que son números fraccionarios y la multiplicación no es

exacta)

Sistema Hexadecimal.

El sistema numérico hexadecimal o sistema hexadecimal (a veces

abreviado como Hex, no confundir con sistema sexagesimal) es un sistema

de numeración que emplea 16 símbolos. Su uso actual está muy vinculado a

la informática y ciencias de la computación, pues los computadores suelen

utilizar el byte u octeto como unidad básica de memoria; y, debido a que un

byte representa valores posibles, y esto puede representarse como que,

según el teorema general de la numeración posicional, equivale al número en

base 16, dos dígitos hexadecimales corresponden exactamente —permiten

representar la misma línea de enteros— a un byte.

En principio, dado que el sistema usual de numeración es de base

decimal y, por ello, sólo se dispone de diez dígitos, se adoptó la convención

de usar las seis primeras letras del alfabeto latino para suplir los dígitos que

nos faltan. El conjunto de símbolos sería, por tanto, el siguiente:

Se debe notar que A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14 y F = 15. En

ocasiones se emplean letras minúsculas en lugar de mayúsculas. Como en

cualquier sistema de numeración posicional, el valor numérico de cada dígito

es alterado dependiendo de su posición en la cadena de dígitos, quedando

multiplicado por una cierta potencia de la base del sistema, que en este caso

es 16. Por ejemplo: 3E0A16 = 3×163 + E×162 + 0×161 + A×160 = 3×4096 +

14×256 + 0×16 + 10×1 = 15882.

El sistema hexadecimal actual fue introducido en el ámbito de la

computación por primera vez por IBM en 1963. Una representación anterior,

con 0–9 y u–z, fue usada en 1956 por la computadora Bendix G-15.

Conversión de Decimal a Hexadecimal.

En la conversión de una magnitud decimal a hexadecimal se

realizan divisiones sucesivas por 16 hasta obtener un cociente de cero. Los

residuos forman el número hexadecimal equivalente, siendo el último

residuo el dígito más significativo y el primero el menos significativo.

Ejemplo:

Convertir el número 186910 a hexadecimal.

1869 Æ 1869 ÷ 16 = 166 (166x16 = 1856, 1869 – 1856=13) Resto =13

Por lo tanto la conversión seria: 7, 4 y 13. Como es hexadecimal, se lleva el

13 a su equivalente en ese sistema 13=D El resultado en hexadecimal de

186910 es 74D16.

123467 Æ 123467 ÷ 16 = 7716 (7716x16 = 123456, 123467 – 1234567=11)

Resto =11

Por lo tanto la conversión es: 1, 14, 2, 4 y 11. Como es hexadecimal, se lleva

el 11 y 14 a su equivalente 11=B y 14 = E El resultado en hexadecimal de

12346710 es 1E24B16.

Sistema octal.

El sistema numérico en base 8 se llama octal y utiliza los dígitos 0 a 7.

Para convertir un número en base decimal a base octal se divide por 8

sucesivamente hasta llegar a cociente 0, y los restos de las divisiones en

orden inverso indican el número en octal. Para pasar de base 8 a base

decimal, solo hay que multiplicar cada cifra por 8 elevado a la posición de la

cifra, y sumar el resultado.

Es más fácil pasar de binario a octal, porque solo hay que agrupar de

3 en 3 los dígitos binarios, así, el número 74 (en decimal) es 1001010 (en

binario), lo agruparíamos como 1 / 001 / 010, después obtenemos el número

en decimal de cada uno de los números en binario obtenidos: 1=1, 001=1 y

010=2. De modo que el número decimal 74 en octal es 112.

En informática a veces se utiliza la numeración octal en vez de la

hexadecimal, y se suele indicar poniendo 0x delante del número octal. Tiene

la ventaja de que no requiere utilizar otros símbolos diferentes de los dígitos.

Sin embargo, para trabajar con bytes o conjuntos de ellos, asumiendo

que un byte es una palabra de 8 bits, suele ser más cómodo el sistema

hexadecimal, por cuanto todo byte así definido es completamente

representable por dos dígitos hexadecimales.

Sistema de numeración octal.

El sistema de numeración octal es un sistema de numeración en base

8, una base que es potencia exacta de 2 o de la numeración binaria. Esta

característica hace que la conversión a binario o viceversa sea bastante

simple. El sistema octal usa 8 dígitos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7) y tienen el mismo

valor que en el sistema de numeración decimal.

Conversión de Decimal a Octal

En la conversión de una magnitud decimal a octal se realizan

divisiones sucesivas por 8 hasta obtener la parte entera del cociente igual a

cero. Los residuos forman el número octal equivalente, siendo el último

residuo el dígito más significativo y el primero el menos significativo.

Ejemplo Convertir el número 46510 a octal y 120010

El resultado en octal de 46510 es 7218.

1200 Æ 1200 ÷ 8 = 150 (150x8 = 1200, 1200 – 1200=0) Resto = 0

El resultado en octal de 120010 es 22608.

Conversión de Binario a Decimal

Un número binario se convierte a decimal formando la suma de las

potencias de base 2 de los coeficientes cuyo valor sea 1.

Ejemplo:

Convertir el número 11002 a decimal.

11002 = 1x2 + 1x22 +0x2 + 0x2 = 1x8 + 1x4 + 0x2 +0x1 = 8 + 4 + 0 + 0 =

1210

Conversión de Binario a Hexadecimal.

El método consiste en conformar grupos de 4 bits hacia la izquierda y

hacia la derecha del punto que indica las fracciones, hasta cubrir la totalidad

del número binario. Enseguida se convierte cada grupo de número

4

binario de 4 bits a su equivalente hexadecimal. Dos formas de

realizarlos, siguiendo la tabla de conversiones o trasformado de binario a

decimal, luego su valor a hexadecimal.

Ejemplo:

Convertir el número 10011101010 a hexadecimal.

100 1110 1010 (Se agrega un cero a la izquierda para completar los cuatro

bits, esto es

2 =16 de cada grupo de cuatros)

0100 1110 1010

Método 1: Resolviendo cada una, siguiendo la tabla, manera directa:

0100 Æ 4

1110 Æ E

1010 Æ A

(10011101010)2 = (4EA)16

Método 2: Resolviendo llevando de binario a decimal y luego a

hexadecimal:

0100 Æ 0x23 + 1x22 + 0x21 + 0x20 = 0x8 + 1x4 + 0x2 + 0x1 = 0 + 4 + 0

+ 0 = 4 Æ 410 = 416

1110 Æ 1x23 + 1x22 + 1x21 + 0x20 = 1x8 + 1x4 + 1x2 + 0x1 = 8 + 4 + 2

+ 0 = 14 Æ 1410 = E16

1010 Æ 1x23 + 0x22 + 1x21 + 0x20 = 1x8 + 0x4 + 1x2 + 0x1 = 8 + 0 + 2

+ 0 = 10 Æ 1010 = A16

(10011101010)2 = (4EA)16

Conversión de Binario a Octal.

El método consiste en hacer grupos de 3 bits hacia la izquierda y

hacia la derecha del punto que indica las fracciones, hasta cubrir la

totalidad del número binario. Enseguida se convierte cada grupo de

número binario de 3 bits a su equivalente octal. Dos formas de

realizarlos, siguiendo la tabla de

conversiones o trasformado de

binario a decimal, luego su valor a

hexadecimal.

Ejemplo:

Convertir el número 010101012 a

octal.

01 010 101 (Se agrega un cero a la izquierda para completar los

cuatro bits, esto es 2³ = 8 de cada grupo de tres) 001 010 101

Método 1:

Resolviendo

cada una,

siguiendo la

tabla, manera

directa:

Método 2: Resolviendo llevando de binario a decimal y luego a octal:

Conversión de Hexadecimal a Decimal.

En el sistema hexadecimal, cada dígito tiene asociado un peso

equivalente a una potencia de 16, entonces se multiplica el valor decimal

del dígito correspondiente por el respectivo

peso y realizar la suma de los productos.

Ejemplo: Convertir el número 31F16 a

decimal.

31F16 = 3x16 + 1x16¹ + 15x160 = 3x256

+ 1x16 + 15x1 = 768 + 31 = 79910

001 Æ 0x22 + 0x21 + 1x21 = 0x4 + 0x2 + 1x1 = 0 + 0 + 1

= 1010 Æ 0x22 + 1x21 + 0x21 = 0x4 + 1x2 + 0x1

= 0 + 2 + 0

= 2

101 Æ 1x22 + 0x21 + 1x21 = 1x4 + 0x2 + 1x1

= 4 + 0 + 1 (01010101)2 = (125)8

= 5

Æ 110 = 18

Æ 210 = 28

Æ 510 = 58

Conversión de Hexadecimal a Binario.

La conversión de hexadecimal a binario se facilita porque cada dígito

hexadecimal se convierte directamente en 4 dígitos binarios equivalentes, en

caso contrario de lleva su equivalente de decimal a binario, y esto es

dividiendo entre 2.

Ejemplo:

Convertir el número 1F0C16 a binario.

1 = 0001

F = 1111

0 = 0000

C = 1100

1F0C16 = 1 1111 0000 11002

1F0C16 = 11111000011002

Conversión de Octal a Decimal.

La conversión de un número octal a decimal se obtiene multiplicando

cada dígito por su peso y sumando los productos:

Ejemplo: Convertir 47808 a decimal.

4780 = (4 x 8)+(3x8 )+(8x8 )+(0x8 ) = 2048+192+64+0= 2304

Conversión de Octal a Binario.

La conversión de octal a binario se facilita porque cada dígito octal

se convierte directamente en 3 dígitos binarios equivalentes.

Ejemplo: Convertir el número 7158 a binario.

7 = 111 Æ 1x22 + 1x21 + 1x20 = 4+2+1 = 7

1= 001 Æ 0x22 + 0x21 + 1x20 = 0+0+1 = 1

5= 101 Æ 1x22 + 0x21 + 1x20 = 4+0+1 = 5

Por lo tanto, agrupamos 111 001 101

7158 = (111001101)2

Conclusión.

El diseño de todo sistema digital responde a operaciones con números

discretos y por ello necesita utilizar los sistemas de numeración y sus

códigos. En los sistemas digitales se emplea el sistema binario debido a su

sencillez.

Los sistemas de numeración son las distintas formas de representar la

información numérica. Se nombran haciendo referencia a la base, que

representa el número de dígitos diferentes para representar todos los

números.

El sistema habitual de numeración para las personas es el Decimal,

cuya base es diez y corresponde a los distintos dedos de la mano, mientras

que el método habitualmente utilizado por los sistemas electrónicos digitales

es el Binario, que utiliza únicamente dos cifras para representar la

información: el 0 y el 1. Otros sistemas como el Octal (base 8) y el

Hexadecimal (base 16) son utilizados en las computadoras.

Los sistemas de numeración son conjuntos de dígitos usados para

representar cantidades, así se tienen los sistemas de numeración decimal,

binario, octal, hexadecimal, romano, etc. Los cuatro primeros se caracterizan

por tener una base (número de dígitos diferentes: diez, dos, ocho, dieciséis

respectivamente) mientras que el sistema romano no posee base y resulta

más complicado su manejo tanto con números, así como en las operaciones

básicas.

Bibliografía.

h t t p://ww w . v i r t u a l . u na l . e d u. c o / c u r sos/ingen i e r ia/

2000 4 77/ l ecc i o ne s / 0 1 0 20 1 . h t m

http://www.disfrutalasmatematicas.com/numeros/binarios-decimales-

hexadecimales.html

http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_binario