ElectromagnetismoavanzadoparaingenierosIndice1. Preliminares. Loscamposenel vaco.2. Loscamposenlamateria.3. Aproximacionescuasiestaticas.Ellquidoincompre-sible.4. Analisisdemediosdiscretos.5. LaleydeOhm, ladisipacionylosprincipiosvaria-cionales.6. Fluidoselectricosymagneticos.7. Electromagnetismoyelasticidad.8. Superconductividad.9. Ondasconducidas.10. Magnetohidrodinamica.1-Preliminares. Loscamposenel vaco.TeoremadeGauss.TeoremadeStokes.Potenciales.LeyesdeMaxwell.Potencialeselectromagneticos. Contraste.Energaelectromagnetica.Momentoelectromagnetico.+ I-1El ujo del campoCes la integral de supercieel campo: =__CdsEsdegraninteresel ujoatravesdeunasu-perciecerrada:___SCds+ I-2SedeneladivergenciadeCcomo:div(C) =Cxx+ Cyy+ Czz= (xi +yj +zk)(Cxi +Cyj +Ckk)=.C+ I-3TeoremadeGaussDadounvolumenVylasuperciecerradaquelodelimitaS,setienequeparauncampovec-torial arbitrarioC:___SCds =___V.Cdv+ I-4Pruebadel teoremadeGaussI(porS1) =__SaCds +__SabCds1(porS2) =__SbCds +__SabCds2__SabCds1=__SabCds2(porS) =__SaCds +__SbCds= (porS1) +(porS2)+ I-5Pruebadel teoremadeGaussIIDividemoselvolumencadavezmasnamentehastallegarahacerpequenoscubitos.+ I-6Pruebadel teoremadeGaussIII(fuera de 1) =Cx(1)yz(fuera de 2) = Cx(2)yzyCx(2) = Cx(1) + CxxxLuego(fuera de 1 y 2) =Cxxxyz(fuera de 3 y 4) =Cyyxyz(fuera de 5 y 6) =Czzxyz+ I-7Pruebadel teoremadeGaussIVYportanto___cuboCds = (C)V+ I-8Pruebadel teoremadeGaussVSumandoparatodosloscubitos___SCds =___V.Cdv+ I-9LacicrculaciondeCeslaintegral del`nea:__Cdl+ I-10Sedeneel rotacional deEcomo:rot(E) = (EzyEyz)i +(ExzEzx)j +(EyxExy)k= (xi +yj +zk) (Exi +Eyj +Ekk)=E+ I-11TeoremadeStokesDado una supercie no cerrada S y la lneacerradaqueladelimita,setienequeparauncampovectorial arbitrarioC:__Cdl =__SCds+ I-12Pruebadel teoremadeStokesI__1Cdl =_aCdl +_abCdl__2Cdl =_bCdl _abCdl__Cdl =_aCdl +_bCdlLuego__Cdl =__1Cdl + __2Cdl+ I-13Pruebadel teoremadeStokesIISepuedeentoncesdividir lasupercieenpe-quenos cuadraditos, y calcular la circulacionsumandolacirculacionde los cuadraditos. I-maginemosuncuadraditoqueestaenelplanoXY+ I-14Pruebadel teoremadeStokesIII__cuadradoCds = Cx(1)x +Cy(2)yCx(3)x Cy(4)y= (Cx(1) Cx(3))x +(Cy(2) Cy(4))yYCx(3) = Cx(1) + CxyyCy(4) = Cy(2) CyxxLuego__cuadradoCds =_CyxCxy_xy+ I-15Pruebadel teoremadeStokesIVEsteresultadosepuedeescribir:__cuadradoCds = (C)zaPeroladireccionznoesmasquelanormal alcuadradito,luegoparaunoorientadodeformaarbitraria:__cuadradoCds = (C)na= (C)s+ I-16Pruebadel teoremadeStokesVSumandoparatodosloscuadraditos__Cdl =__SCds+ I-17Loscamposserepresentanmediantelneasdecampo, que son lneas tangentes en cada puntoal campo.El numerodelneas por unidaddesupercieesproporcional alaintensidaddel campo.+ I-18PotencialesISi uncampoCvericaqueC = 0Entonces, existeuncampoescalarV tal queC = V+ I-19PotencialesIISi uncampoCvericaqueC = 0Entonces,existeuncampovectorial Atal queC = A+ I-20Unsentidodelaimplicacionesfacildeprobar.Si C = V , entones C = V= 0.Si C = A, entones C = A = 0.El otrosentidoesmasdil, peroescierto.+ I-21Lasfuentesdeloscamposelectricosondos:Lacargaelectricaseconsideradistribuidaenuncampo:ladensidaddecarga(r)Tambien existe un campo vectorial: la den-sidaddecorriente:j(r)+ I-22LasleyesdeloscamposelectromagneticossonlasleyesdeMaxwell. Enformadiferencial:E =1

0E =BtB = 0B = 0_j +0Et_+ I-23Enformaintegral:___E ds =1

0Q(incluida)__E dl =ddtm(ligado)___B ds = 0__B dl = 0_I(ligada) +ddte(ligado)_+ I-24Tomandoladivergenciadelacuartaecuacion:B = 0= 0_j +0Et_= 0_j + t_+ I-25As puesj = toI=___j ds = ___ dvt= QtQueeslallamadaecuaciondecontinuidad, yencierra el principio de conservacion de la cargaelectrica.+ I-26PotencialeselectromagneticosIDelaecuacionB = 0sesigueB = A+ I-27PotencialeselectromagneticosIIParael campoelectricosetienenlasecuacio-nes:E =1

0E =BtSeaEr=AtEi= E Er+ I-28PotencialeselectromagneticosIIIEntoncesEi=1

tAEi= 0+ I-29PotencialeselectromagneticosIIIComoEiesirrotacional puedeescribirseEi = VYporlotantoE = Ei +Er=V At+ I-30ContrastedelospotencialesIEnel casogeneral, los campos EyBsede-terminanapartirdelospotencialesV yAme-diantelasecuaciones:E =V AtB =A+ I-31ContrastedelospotencialesIIEstospotencialesnoestanunicamentedeni-dos. Enefecto, si sehacenlastransformacio-nes:V= V+ f(x, t)tA= Af(x, t)SeobservaqueV At=VAtA=A+ I-32ContrastedelospotencialesIIIEstodavariasformasdejarlospotenciales.Por ejemplo, escojamos fde forma que cumplaf= AEntoncesA= (Af) = 0Unpotencial (V, A) quecumplaque A=0sedicequevericael contrastedeCoulomb.+ I-33ContrastedelospotencialesIVSisesubstituyeenlaprimeraecuaciondeMa-xwell Eporsuexpresionenfunciondelospo-tencialesseobtiene:_V At_ =

0Teniendoencuentael contrastedeCoulomb:V=

0+ I-34ContrastedelospotencialesVParacalcularA, substituyoBpor Aenlacuartaecuacion:A = 0j +0

0t_V At_Dedonde, teniendoencuentael contrastedeCoulombA+0

02At2= 0j 0

0Vt+ I-35ContrastedelospotencialesVIEscojamosahoraotrafuncionf queverique:f 002ft2= 00Vt+AEntoncesA+00Vt=(Af) +00V+ftt= 0+ I-36ContrastedelospotencialesVIIUnpotencial (V, A)quecumplaqueA+00Vt= 0sedicequevericael contrastedeLorentz.+ I-37LasecuacionesdeMaxwell expresanloscam-pos comofunciondelas cargas ycorrientes.El efectodeloscampossobrelascargasvienedescritoporlaecuaciondeLorentz:f= E +j Bf esel campodedensidaddefuerza.+ I-38Se demuestra en mecanica que, en general,existensieteconstantesdel movimiento:Laenerga.Lastrescomponentesdel momentolineal.Lastrescomponentesdelmomentocineti-co.+ I-39EnergaelectromagneticaILafuerzaqueseejercesobreunelementodecargadqesdF = (E +v B)dq= (E +v B) dvYpor lo tanto se entrega a la partcula undiferencial depotencia:dP = dFv= E dvv= Ej dv+ I-40EnergaelectromagneticaIIDelacuartaecuaciondeMaxwell:j =10B0EtLuegojE =10EB0EEt=10(E B) +10BE

0EEt=10(E B) 10BBt

0EEt=10(E B) t_

02E2+120B2_+ I-41EnergaelectromagneticaIIIReordenandolaecuacionanterior:t_

02E2+120B2_ =10(E B) +jEEintegrandoaunvolumenarbitrariojot____

02E2+120B2_=___10(E B) +___jEEsdecirDisminuciondelaenergadel campoelectro-magnetico=Energaquesaledel volumen+Energaentregadaalascargas+ I-42EnergaelectromagneticaIVEl vectordeujodeenergaS =10E BesconocidocomovectordePoynting.+ I-43MomentoelectromagneticoILadensidaddefuerzavolumetricaes:f = E +j B= 0E(E) +10(B) B0EtB= 0E(E) 10B(B)

0t(E B) +0E Bt= 0E(E) 10B(B)

0t(E B) 0E (E)+ I-44MomentoelectromagneticoIISesigueentoncesquef+0t(E B) =

0E(E) 10B(B)

0E (E) +10B(B)+ I-45MomentoelectromagneticoIIIEnel segundomiembro, lasexpresionesdeEyBsoniguales. SeestudialadeE. Por unaparteE =_EzyEyz_i +_ExzEzx_j +_EyxExy_k+ I-46MomentoelectromagneticoIVLuegoE (E) =_Ey_EyxExy_Ez_ExzEzx__i +p.c.yE(E) =Ex_Exx+ Eyy+ Ezz_+ I-47MomentoelectromagneticoVAs puesE(E) E (E) =_ExExxEyEyxEzEzx+ExEyy+EyExy+ExEzz+EzExz_i +p.c. =__ExExx+EyEyx+EzEzx_ +2ExExx+yExEy +zExEz_i +p.c. =_12xE2+xE2x+yExEy +zExEz_i +p.c.+ I-48MomentoelectromagneticoVIAs pues, si sedeneel tensorTEij= 0_EiEj12ijE2_seobtieneque (E(E E (E))i =xjTEij+ I-49MomentoelectromagneticoVIIAnalogamente,sedeneel tensorTBij=10_BiBj12ijB2_Entoncespuedeescribirseque:fi +0t(E B)i =xj_TEij+TBij_+ I-50MomentoelectromagneticoVIIISedeneel tensordeMaxwellTij= TEij+TBijAdemas

0(E B) =1c2S+ I-51MomentoelectromagneticoIXLuegofi +t_1c2Si_ =xjTijSe puede identicar1c2S con la densidad de mo-mentolineal del campoelectromagnetico.+ I-52MomentoelectromagneticoXAplicandoel teoremadeGauss:___fi +___t_1c2Si_ =___TijdsjTijes el ujodecomponentei del momentoenladireccionj.+ I-53MomentoelectromagneticoXIDospapelesdel vectordePoynting:1. Sesel ujodeenergaelectromagnetica.2.1c2Sesladensidaddemomentolineal.Comoc es grande, la densidad de momento delcamposueleserdespreciable.+ I-54MomentoelectromagneticoXIISupongaseuncasopuramenteelectrostatico.Enestecaso, setienequefi =xjTEijconTE=

0__12_E2x E2y E2z_ExEyExEzExEy12_E2y E2z E2x_EyEzExEzEyEz12_E2z E2x E2y___+ I-55MomentoelectromagneticoXIIIEscojaseenunpuntodeterminadoel ejexdeformaqueestealineadoconel campo.Enton-cesTE=

02___E20 00 E200 0 E2___Esdecir, el campotransmiteunatension12E2paralelamente al campoy ejerce unapresion12E2perpendicularmenteal campo.+ I-56Loscamposenlamateria.Polarizacion.Magnetizacion.Termodinamica.Energalibredel campoelectrostatico.Energalibredel campomagnetostatico.+ II-1AdvertenciaSe va a estudiar la interaccion de los cam-pos electromagneticos con la materia desde unpuntodevistamacroscopico.Porlotanto,loscamposqueaqu aparecenhandeentendersecomo el promediado de los campos microscopi-cosenalgunaregionqueseconsiderainnite-simal, aunqueseamacroscopica.ComolasecuacionesdeMaxwell sonlineales,lasecuacionespromediadasynopromediadascoinciden.+ II-2PolarizacionIEnel interiordeloscuerposexistendostiposdecargas:Cargas libresl, que no estan ligadas a nin-gunaposicion.Cargasdepolarizacionp, queseencuen-tranligadasal material.+ II-3PolarizacionIILa carga de polarizaciontotal es nula. Con-sidereseunvolumencualquieraincludoenelcuerpo. Por efecto de la polarizacion, si searrancan el material que originariamente formael volumenV , quedaraunadensidaddecargapenel interiormasunadensidaddecargapenlasupercie.Sehadecumplirque___Spds +___Vpdv = 0+ II-4PolarizacionIIILaunicamaneradeasegurarestasecuacionesparatodoslosposiblesvolumenesesexigirquep=Pp= Pns+ II-5PolarizacionIVParaponerdemaniestoel sentidodel vectorP, considereselasiguienteexpresion___VrpdV =___VrP dV= ___SrP ds +___V(P)r dV= ___Srp +___VP dV+ II-6PolarizacionVLuego___VrpdV+ ___Srp =___VP dVComoestoes validoparacualquier volumen,sesiguequePpuedeidenticarseconel mo-mentodipolardelascargasdepolarizacion.+ II-7PolarizacionVISedeneel vectordedesplazamientoDcomoD = 0E +P+ II-8PolarizacionVIICon esto, las ecuaciones del campo electrostati-coquedan:D = lE = 0Pararesolverlashacefaltaalgunarelacionen-treDyE.+ II-9MagnetizacionIEnel interiordeloscuerposexistendostiposdecorrientes:Corrienteslibresjl, quenoestanligadasaningunaposicion.Corrientesdemagnetizacionjm,queseen-cuentranligadasal material.+ II-10MagnetizacionIILa corriente de magnetizaciontotal es nula.Considereseunaseccioncualquieraincludaenel cuerpo. Por efecto de la magnetizacion, si searrancan el material que originariamente formala seccion S, quedara una densidad de corrientejmenelinteriormasunadensidaddecorrientekmenel borde. Sehadecumplirque___Sjmds +___C(kmns) dl = 0+ II-11MagnetizacionIIILaunicamaneradeasegurarestasecuacionesparatodoslasposiblesseccionesesexigirquejm=Mkm= Mns+ II-12MagnetizacionIVParaponer enclaroel signicadodeM, con-sidereselaintegral12___r j dv =12___r (M) dv=12 ___r (Mds) 12___(M) r dv=12 ___r kmds + 12___2M dv+ II-13MagnetizacionVLuego12___r j dv + 12 ___r kmds =___M dvComoestoes validoparacualquier volumen,sesiguequeMpuedeidenticarseconel mo-mentomagneticodelascorrientesdemagne-tizacion.+ II-14MagnetizacionVISedeneel campodeexcitacionHcomoB = 0(H+M)+ II-15MagnetizacionVIICon esto, las ecuaciones del campo magne-tostaticoquedan:B = 0H = jlPararesolverlashacefaltaalgunarelacionen-treHyB.+ II-16TermodinamicaISeaundeterminadocuerpomacroscopicoca-racterizadopordeterminadasmagnitudesma-croscopicas observables: sumasa, el volumenque ocupa, o el campo electrico (E) o magneti-co (B), supuesto uniforme, al que se encuentrasometido.Supongasequeel cuerpoestaenreposo. En-tonces, si ademasestaaislado, suenergain-ternaUesunaconstantedel movimiento.+ II-17TermodinamicaIISi el cuerpo esta en equilibrio termodinami-co,durantesuevoluciondinamicavisitatodoslos microestados compatibles conlas ligadu-rasanteriores(U,m,V , E,Bconstantes). Bajoestahipotesisergodica,ellogaritmodelnume-rodemicroestadosquevisita, conocidocomoentropa,esunafuncionbiendenidadelvalordelasligadurask logn = S= S(U, m, V, E, B)+ II-18TermodinamicaIIILaderivadaSU> 0ya que el numero de estados admisibles au-mentaconlaenergadelsistema(salvoexcep-ciones).Enestascondiciones,laecuacionquedeneSsepuedeinvertir, deformaqueU= U(S, m, V, E, B)+ II-19TermodinamicaIVDiferenciandolaexpresionanteriordU =USdS +Umdm+ UVdV+ UEdE + UBdB= TdS +dmpdV+ UEdE + UBdB+ II-20TermodinamicaVEnlaformulaanteriorTeslatemperatura.esel potencial qumico.peslapresion.+ II-21TermodinamicaVIObservesequecomoSU> 0setienequeT> 0.+ II-22TermodinamicaVIIConsiderense ahora dos cuerpos inicialmenteaislados, conentropasS1yS2quesejuntan.Laenergatotal U1 +U2seconserva. Sinem-bargo, el numerodemicroestdostotal esma-yor que el producto n1n2, ya que al desaparecerlarestricciondequeU1yU2seanconstantesporseparado,haynuevasformasderepartirlaenergatotal.PortantoS S1 +S2+ II-23TermodinamicaVIIIAs pues, laentropatotal siempre aumenta.Esteesel segundoprincipio.Dadoquelaentropamidelaverosimilituddeunasituacion, siempretenderaasermaxima.+ II-24TermodinamicaIXSi dos cuerpos se ponenencontactotermi-co(esdecir, dV =dm=. . . =0paraamboscuerpos,YdS ,= 0)setienequedU1 = T1dS1dU2 = T2dS2dU1 = dU2ycomodS1 +dS2 0,sesiguequesi dU1> 0T1< T2esdecir,laenergauyedel cuerpocalientealfro.+ II-25TermodinamicaXEs facil identicar la presion p aqu denidaconel conceptointuitivodepresion.Paraello,considereseel sistemadelagura, enqueunembolomovil separadosgases:+ II-26TermodinamicaXILaentropatotal hadesermaximaenel equi-librio. Portanto, comoV1 +V2esinvariante:SV1=S1V1+ S2V2V2V1 =S1V1S2V2= 0Ahorabien, setienequedS=1TU+pTdVSededucequeSV=pT, yportantop1T1=p2T2+ II-27TermodinamicaXIIComoenel equilibrioT1=T2, se sigue quetambien p1=p2. Pero esto coincide con lacondicionde equilibriomecanicode igualdaddefuerzas.+ II-28TermodinamicaXIIILos diferentes terminos de la igualdaddU= . . .tienendiferentesnombres. EnconcretopdV trabajomecanico.TdScalor+ II-29TermodinamicaXIVConsiderese un cuerpo en un bano isotermoatemeperaturaT, convolumenV , campoE,etc., constantes. El cuerpoestaratambienatemperatura T, con una entropa S. Si la energadel cuerpoaumentaendU, el incrementodeentropadel mundoseradSmundo = dS +dSresto = dS dUT> 0ComoTesconstante, estosignicaqued(U TS) = dF< 0LacantidadF se llamaenergalibre de Hel-motz,ytiendeasermnimaensistemasavo-lumenconstanteenunbanoisotermo.+ II-30TermodinamicaXVOtrameneradeverlaenergalibre.SeadWeltrabajorealizado, deformaquedU= TdS +dRSi TesconstantepuedeecribirsequedR = d(U TS) = dFLa energa libre da el trabajoque puede ex-traerseencondicionesisotermas.+ II-31Energalibredel campoelectrostaticoIConsiderese un conductor sumergido en un me-diodielectrico.El trabajoquehayquerealizarparallevarunacargaqdesdeel innitoes:R =_conductorqE dl = qVconductordondeV esel potencial electricoE = Vqueseanulaenel innito.+ II-32Energalibredel campoelectrostaticoIIPor otra parte, la cargaqdel conductor se pue-decalcularcomoq = ___conductorD dsdondeel vienedequetomocomovolumende referencia noel del conductor, sini el deldielectrico.Portantoq = ___conductorD ds+ II-33Energalibredel campoelectrostaticoIIIEntoncesR = qVconductor= ___conductorV D ds=___diel(V D) dv=___dielV (D) dv ___diel(D)Vdv=___(D)E dv+ II-34Energalibredel campoelectrostaticoIVAs pues, el primerprincipioquedadU= TdS +dR = TdS +___ED dvodF= d(U TS) = SdT+___ED dv+ II-35Energalibredel campoelectrostaticoVEsprecisoencontrarunarelacionentreEyD.Estarelacionesanalogaa,porejemplo,laqueexisteenungasentrepyV (dR = pdV ).EnungasperfectopV= kTEngeneraalV= V (p, T)Estaeslaecuaciondeestado.+ II-36Energalibredel campoelectrostaticoVIEnel casoelectrostaticoD = D(E, T)Habitualmente,esvalidaunarelacionlineal:Di = ij(T)EjymuyamenudoD = (T)E = 0

r(T)E+ II-37Energalibredel campoelectrostaticoVIIValoresder> 1Substancia rVidrio 5-10Mica 6.0Nilon 3.5Caucho 2-3.5Azufre 4.0Madera 2.5-8.0Alcohol etilico 28.4Benceno 2.3Petroleo 2.1Agua(0oC) 88.0Agua(20oC) 80.0Aire(1atm.) 1.00059Aire(100atm.) 1.0548CO2(1atm.) 1.000985+ II-38Energalibredel campoelectrostaticoVIIIEnesteultimocaso:dF= SdT+___E(T)E dvLuegoF(T) = F0(T) + 12___(T)E2dv+ II-39Energalibredel campoelectrostaticoIXDeestaformulasesiguequeS= FT[Dcte. = F0T12___E2(T)Tdv+ II-40Energalibredel campomagnetostaticoIEnsuformanal,lasrelacionestermodinami-cas parauncampomagnetostaticosonmuyparecidasalasdeuncampoelectrostatico.Noobstante, suorigenes muy distinto, porque,debidoaquef= E +j Bel campomagneticonopuedeejercer fuerza,directamente, sobrelascargas.+ II-41Energalibredel campomagnetostaticoIILa ejerce, sin embargo, indirectamente a partirdequeE = EtSupongaseentonces que, enunmediomate-rial,sevaraladensidaddecorrientelibrej.Alcambiarlacorriente, cambiaB, seproduceE,y la fuente de corriente realiza un trabajo sobreel campoR = t___Ej dv+ II-42EnergalibredelcampomagnetostaticoIIIComosesuponenqueel cambioes lento, setienequeH = jAsR =t___Ej dv=t___Ej dv= t___(E H dv t___HE dv=___HB dv+ II-43EnergalibredelcampomagnetostaticoIVOtramaneradeescribirestaformula:R =___HB dv=___HA dv=___(HA) dv +___AH dv=___jA dv+ II-44Energalibredel campomagnetostaticoVEl restodel analisisessimilaral del casoelec-trostatico.El primerprincipioqueda:dU= TdS +dR = TdS +___HB dvodF= d(U TS) = SdT+___HB dv+ II-45EnergalibredelcampomagnetostaticoVIEs preciso encontrar una relacion de estadoentreHyB, como:B = (T)H = 0r(T)HSin embargo, la presencia de histeresis haceimposibleencontrar, engeneral, unaecuaciondeestado.r< 1 Diamagneticor> 1 Paramagneticor 1 Ferromagnetico+ II-46Energa libre del campo magnetostatico VIIValoresdem = r1Substancia mAluminio 2,3 105Bismuto 1,66 105Cobre 0,98 105Diamante 2,2 105Clorurodegadolinio 276 105Oro 3,6 105Magnesio 1,2 105Mercurio 3,2 105Plata 2,6 105Sodio 0,24 105Titanio 7,06 105Tungsteno 6,8 105Dioxidodecarbono(1atm.) 0,99 108Hidrogeno(1atm.) 0,21 108Nitrogeno(1atm.) 0,55 108Oxgeno(1atm.) 209 108+ II-47Energa libre del campo magnetostatico VIIIEnestecasolineal:dF= SdT+___H(T)H dvLuegoF(T) = F0(T) + 12___(T)H2dvComo esta funcion ha de tener un mnimo, >0.+ II-48Aproximaciones cuasiestaticas. El lquidoincompresible.Transformacionentresistemasinerciales.Polarizaciondemediosenmovimiento.Magnetizaciondemediosenmovimiento.Ecuacionesdecamposenlamateria.Camposcuasielectrostaticos.Fuerzas cuasielectrostaticas enunlquidoincompresible.+ III-1TransformacionentresistemasinercialesISeandos sistemas SyStinerciales convelo-cidadrelativau.Entonces,lascoordenadasenlosdossistemasestanligadasporrt= r uttt= t+ III-2TransformacionentresistemasinercialesIIConsidereselanabla . Setieneque, al pasardeunsistemadeccordenadasaotrotEnefecto, porejemplot(rt, t) = (r, t)+ III-3Transformacion entre sistemas inercialesIIIPorotraparte(rt, tt)tt=(rt, t)t=(r ut, t)t=(r, t)t(u)=_tu_(r, t)=(r, t)t+(u(r, t))+ III-4Transformacion entre sistemas inercialesIVTambiensetieneA(rt, tt)tt=A(rt, t)t=A(r ut, t)t=_tu_A(r, t)=At+u(A(r, t)) (u A)+ III-5EstambiendeintereslaregladeLeibnitzge-neralizada:ddt__SA ds =__S_At+(A)vs_ds+_S(Avs)ds+ III-6PolarizaciondemediosenmovimientoIConsiderese un cuerpo dielectrico en movimien-to,avelocidadu,enelinstantet.SeaSelsis-temaenreposoyStunsistemaquesemueveconel cuerpo.Setienequejtp = tpt+ III-7PolarizaciondemediosenmovimientoIIAs puesjtp = pt(up)Si sedenejp = jtp +upserecuperajp = pt+ III-8PolarizaciondemediosenmovimientoIVPorotraparte, el valordel vectordepolariza-cionP =___rpdvnopuededependerdel sistemadereferencia.+ III-9PolarizaciondemediosenmovimientoIVEnel sistemaligadoal cuerpo, severicaque__Sjtpds =ddt__Spds=ddt__SP ds=__S_Pt+(P)u_ds +_S(Pu)ds=__S_Pt+(P)u_ds +__S(Pu)ds=__S_Ptpu_ds +__S(Pu)ds=__S(jpup)ds+ III-10PolarizaciondemediosenmovimientoVAs pues, seobtieneque:jp =Pt+(Pu)+ III-11MagnetizaciondemediosenmovimientoIEl vectordepolarizacionmagneticanopuededependerdel sistemadereferencia.Enefecto,M =___r jmdvYjmesinvariante, puestoquenohaym.+ III-12Magnetizacion de medios en movimientoIIEnefecto,jm=(M)= 0=mtLuego, de existir carga de magnetizacion, seraconstanteyestara,portanto,desacopladadelascorrientes.+ III-13EcuacionesdecamposIConsidereselacuartaecuaciondeMaxwellH = 0Et+jp +jl= 0Et++jl +Pt+(Pu)+ III-14EcuacionesdecamposIIConsidereseahoralaterceraecuaciondeMa-xwell0H = 0M = gque dene la carga magneticag. Esta cargatieneasociadaunacorrientejg= gt+ III-15EcuacionesdecamposIIIEstas relaciones ys se vieron al estudiar el cam-poP. Portanto, sepuedeconcluirquejg=0Mt+(0Mu)+ III-16EcuacionesdecamposIVPorotraparte, setieneque:E =Bt=0Ht0jhTomandodivergenciasjh=Ht=Mt=gt=jg+ III-17EcuacionesdecamposVPortanto,seobtieneE = 0Ht00Mt0(0Mu)+ III-18EcuacionesdecamposVIEnresumen,seobtiene

0E =P+lE =0Ht00Mt0(0Mu)0H =0MH = 0Et++jl +Pt+(Pu)+ III-19Estas ecuaciones se han obtenido considerandotransformacionesgalilenas. Son, sinembargo,validas en el lmite relativista. Si embargo, paraaplicarlas, se necesita encontrar una relacionentreEyH, yPyM.Enreposo, esarelacionesdadapor laformadelasrelacionesconstitutivas(ecuaciondees-tado). Enmovimiento, es precisoestudiar laformadetransformaciondeloscampos.+ III-20Dadoque,porel momento,solamentenosin-teresanlastransformacionesenquesepuedaaplicar larelatividadgalileana, esprecisoase-gurarse de que no estan implicadas velocidadesdel ordendec.Enparticular,nosedeseanon-daselectromagneticas.+ III-21Lasondassurgencuandosesubstituyelase-gundaecuaciondeMaxwell enlacuarta. Porlotanto, haydosformasdeevitar estassolu-cionesDespreciar los terminosEt: caso cuasimag-netostatico(MQS).DespreciarlosterminosBt:casocuasielec-trostatico(EQS).+ III-22CamposEQSI

0E =P+lE = 00H =0MH = 0Et+jl +Pt+(Pu)+ III-23CamposEQSIISi se miranestas ecuaciones desde otrosis-temadereferenciaquesemueveavelocidadrelativav,setransformanenlasmismasecua-cionessi setransformanlasvariablescomo:Et= EPt= Ptl= ljtl= jlvlHt= Hv 0EMt= M+ III-24CamposMQSI

0E =P+lE =0Ht00Mt0(0Mu)0H =0MH = jl+ III-25CamposEQSIISi se miranestas ecuaciones desde otrosis-temadereferenciaquesemueveavelocidadrelativav,setransformanenlasmismasecua-cionessi setransformanlasvariablescomo:Et= E +v 0HPt= Ptl= ljtl= jlvlHt= HMt= M+ III-26TransformaciondecamposEnlas formulas anteriores, todocoincide enloscasosEQSyMQSsalvolatransformaciondeEyH. Latransformacioncorrecta, queseobtienedel tratamientorelativista, es:E = Et+u 0HtH = Htu 0Et+ III-27Es interesantenotar queel casoEQSseob-tiene, formalmente, tomandoenlas ecuacio-nescompletasel l`mite0 0. Por tanto, laenergaylasfuerzasmagneticas; quesondelorden 0H2, seran despreciables frente a laselectricas,deorden0E2.Portanto,casi todoel trabajoesdeorigenelectrico.En un sistema MQS se dara la situacion recpro-ca.+ III-28Por lotanto, enlosproblemasEQS, lapartemasimportantedelaenerga, oenergalibre,es larelativaalos campos electricos. Como,enestecaso,E = Et,laformadeestafuncioneslamismaqueenreposo.Analogamenteenel casoMQS.+ III-29Se han establecido ya las leyes que dan loscampos enfunciondelas fuentes. Es precisoahora ver que fuerzas ejercen los campos sobrelasfuentes.Paraelloseutilizanlospotencialestermodinamicos.+ III-30FuerzasenunlquidoincompresibleIPor ejemplo, considerese el sistema EQSdeunlquidoneutroincompresibleisotermoenuncampoelectrico. PorsupuestoE = V+ III-31FuerzasenunlquidoincompresibleIISupongaseunarelacionconstitutivaD = (T)ELadensidaddeenergalibreesentonces:f(T) = f0(T) + 12(T)E2+ III-32FuerzasenunlquidoincompresibleIIILa variacion de la energa libre es el trabajo rea-lizadoporlascargas.Supongasequeel lquidotieneinmersos unos electrodos contensionesjas. La energa libre es, despreciandof0(T)quenocambia,F=___V12(r)E2dvdonde(r) = 0enelvacoy(T)enellquido.+ III-33FuerzasenunlquidoincompresibleIVConsidereseahoraundesplazamiento(t)dellquido.Sisesigueaunvolumendeterminado,al serel lquidoincompresible, laintegral___V(r) dvnocambia. Por lareglageneralizadadeLeib-nitz:ddt___V(r) dv =___Vt(r) dv + ___V

tdv = 0+ III-34FuerzasenunlquidoincompresibleVAs pues = ()Como el lquido es incompresible, ___Vdv es cons-tantes, y() = 0+ III-35FuerzasenunlquidoincompresibleVIConsideremosahoralavariaciondelaenergalibre al producirse el desplazamiento . Se tieneF = ___V12(r)E2dv=___V12E2 dv +___VDE dv=___V12E2 dv ___VDVdv=___V12E2 dv ___V(DV ) dv +___VV D dv=___V12E2 dv ___VDVdv +___VV ldv=___V12E2() dv=___V12E2dv ___V12(E2)dv=___V12(E2)dv=___Vf dv+ III-36FuerzasenunlquidoincompresibleVIIAs pues, ladensidaddefuerzaelectrizaes:f= 12E2+ III-37FuerzasenunlquidoincompresibleVIIISepuedetambienescribir:fi =xjTijconTij= EiEj

2ijE2+ III-38Analisisdemediosdiscretos.Elementoscuasielectrostaticos.Elementoscuasmagnetostaticos.Maquinasdeconversionelectromecanica.+ IV-1Un sistema de elementos discretos (lumped)constadevariossubsistemas(elementos)uni-dosporcables.+ IV-2Supongasequeenel espacioentreelementoslasvariacionesdecampoelectricosymagneti-cossondespreciables:Et 0Bt 0+ IV-3Elujodeenergaelectromagneticaestadadoporel vectordePoynting. Ahorabien:___S ds = ___E H ds= ___V H ds= ___(V H)ds + ___V H ds= ___V j ds=

iIiVi+ IV-4Cadaelementoestaradenidopor alguntipoderelacionentrelasintensidadesylospoten-ciales.Seconsideraransolamentedostiposdeelementos:Elementoscuasielectrostaticos.Elementoscuasimagnetostaticos.+ IV-5ElementoscuasielectrostaticosISepuedenconsiderarcomosistemasenequili-briotermodinamicoformadosporunaseriedeelectrodosatensionesdadasVi, condetermi-nadascargasqi,enunmediosincargaslibres.Ademas, puedenexistir otrosgradosdeliber-tad(p. ej.,mecanicos)quesedenotanpori.+ IV-6ElementoscuasielectrostaticosIIDentro del sistema cuasielectrostatico, el cam-poresultaderesolverel sistemaD = E =VE = E(D, T, i)V = Vi en conductoriqi= ___conductoriD dsquetienensolucionqi = qi(Vj, T, i)+ IV-7ElementoscuasielectrostaticosIIISi ademassetienequeE = (T)Dlas ecuaciones de campo son lineales, y portantoqi = Cij(T, j)vj+ IV-8ElementoscuasielectrostaticosIVLavariaciondeenergalibreesF =___DE dv=___DVdv=___(DV )dv ___V D dv= ___DVdv= qiVi+ IV-9ElementoscuasielectrostaticosVEnel casodeunarelacionconstitutivalineal,F= CijVjVi+ IV-10ElementoscuasielectrostaticosVIPorotraparte, enestecasoF F0=12___ED dv=12___DVdv=12___(DV )dv 12___V D dv=12 ___DVds=12qiVi=12CijVjVi+ IV-11ElementoscuasielectrostaticosVIILuegoF =12(CijVjVi +CijViVj)=12_Cij +Cji_ViVj+ IV-12ElementoscuasielectrostaticosVIIILaunicaformadequelasdosexpresionesdeFseanigualesesqueCij= CjiAdemas, comoF estainferiormenteacotada,Cijhadeserpositiva.Enparticular,hadete-nerdiagonal positiva.+ IV-13ElementoscuasielectrostaticosIXPorotraparte, lospotencialesestandenidoshastaunaconstante. Luegoqi = CijVj= Cij_Vj +1_LuegoCij1 = 0osea

jCij= 0+ IV-14ElementoscuasielectrostaticosXEn los sistemas cuasielectrostaticos, la dinami-cavieneimpuestaporlaecuaciondecontinui-dadt= jEnel casodeelementosdiscretosdqidt= Ii+ IV-15ElementoscuasielectrostaticosXISehavistoqueF(T, k, qi) = F0(T, ) + 12C1ij(T, k)qiqjAdemasS= FT[qi,kctes+ IV-16ElementoscuasielectrostaticosXIISupongasequeylascondicionesdecontornodenidasporksonindependientesdelatem-peratura. Portanto, CijnoesfunciondeT.Cij= Cij(k)PortantoS= F0T[kctes+ IV-17ElementoscuasielectrostaticosXIIIAhorabienU = F+TS= (F0TF0T[kctes) + 12Cij(k)ViVj= U0(T, k) + 12Cij(k)ViVj+ IV-18ElementoscuasimagnetostaticosISepuedenconsiderar comosistemasenequi-librio termodinamico formados por una seriedeespiras conintensidades dadas Ii, conde-terminadas ujos ligados i, enunmediosincorrienteslibres. Ademas, puedenexistirotrosgrados de libertad (p. ej.,mecanicos) que sedenotanpori.+ IV-19ElementoscuasimagnetostaticosIIDentro del sistema cuasimagnetostatico, el cam-poresultaderesolverel sistemaB = 0H = jH = H(B, T, i)I = Ii en espira ii=__espira iB dsquetienensolucioni = i(Ij, T, j)+ IV-20ElementoscuasimagnetostaticosIIISi ademassetienequeH = (T)Blas ecuaciones de campo son lineales, y portantoi = Lij(T, j)Ij+ IV-21ElementoscuasimagnetostaticosIVLavariaciondeenergalibreesF =___HB dv=___HA dv=___(H)A dv +___(HA)dv=___jA dv=

i___espira ijA dv=

iIi__espira iA dl=

iIi__espira iA ds=

iIi__espira iB ds= Iii+ IV-22ElementoscuasimagnetostaticosVEnel casodeunarelacionconstitutivalineal,F= LijIjIi+ IV-23ElementoscuasimagnetostaticosVIPorotraparte, enestecasoF F0=12___BH dv=12___H(A)dv=12___A(H)dv + 12___(HA)dv=12___Aj dv=12

i___espira iAj dv=12

iIi__espira iA dl=12

iIi__espira iA ds=12

iIi__espira iB ds=12Iii=12LijIiIj+ IV-24ElementoscuasimagnetostaticosVIILuegoF =12(LijIjIi +LijIiIj)=12_Lij +Lji_IiIj+ IV-25ElementoscuasimagnetostaticosVIIILaunicaformadequelasdosexpresionesdeFseanigualesesqueLij= LjiAdemas, comoF estainferiormenteacotada,Lijhadeserpositiva.Enparticular,hadete-nerdiagonal positiva.+ IV-26ElementoscuasimagnetostaticosIXEn los sistemas cuasielectrostaticos, la dinami-cavieneimpuestaporlaleydeFaradyBt= E+ IV-27ElementoscuasimagnetostaticosXConsidereseunaespira, queengeneral sees-taramoviendo.PorlaregladeLeibnitz:ddt =ddt__SB ds=__S_Bt+(B)vs_ds +__S(Bvs) dl=__SBtds + __S(Bvs) dl=__SE ds + __S(Bvs) dl= __S(E +vsB)dl= __SEtdl+ IV-28ElementoscuasimagnetostaticosXIDivdaseSendospartes:1. LaespirapropiamentedichaS1.2. Elespacioentrebornas,quesesuponejoenel espacioS2.+ IV-29ElementoscuasimagnetostaticosXIILuego_S2Etdl =_S2E dl=_S2Vdl= V1V2=ddt +_S1EtdlMuyamenudo, puedeescribirse _S1Etdl 0o _S1Etdl = RI+ IV-30ElementoscuasimagnetostaticosXIIISupongase que y las condiciones de contornodenidasporksonindependientesdelatem-peratura. Portanto, LijnoesfunciondeT.Lij= Lij(k)+ IV-31ElementoscuasimagnetostaticosXIVDeaqu sesiguequeU= U0(T, k) + 12Lij(k)IiIj+ IV-32MaquinasdeconversionelectromecanicaIUnamaquinacuasimagnetostaticasuelecons-tar de unestator y unrotor conunnumerovariable de espiras, por ejemplo, 1. El unicogradomecanicodelibertadieselanguloqueformael rotor.+ IV-33Maquinas de conversion electromecanicaIIDenotenselasintensidadesporrotoryestatorIre Is, las tensiones Vry Vs, y lamatriz deinductancias:Lij() =_Ls() M()M() Lr()_+ IV-34Maquinas de conversion electromecanicaIIIEnunaposiciondada,aintensidadytempera-turaconstantes, lamaquinasufreungirovir-tual d. Lavariaciondeenergalibrees:dFd=12Lij(k)IiIj=12LsI2s+ MIrIs + 12LrI2r+ IV-35Maquinas de conversion electromecanicaIVAhorabien,lavariaciondelaenergalibreeseltrabajoejercidosobreelsistema.Luego,comodF= dR = Tmd,Tm =12LsI2s+ MIrIs + 12LrI2r+ IV-36Maquinas de conversion electromecanica VEstaecuacionhayquecomplementarlaconlasecuacionesdinamicas. Parael rotorsetieneVr=ddtr +_rotor1Etdl=ddtr +RrIr=ddt(MIs +LrIr) +RrIrYanalogamenteparael estator+ IV-37Maquinas de conversion electromecanicaVIAdemas, hace falta especicar la dinamica mecani-ca. Por ejemplo, si la maquina arrastra unacargadeparconstanteTcId2dt2 = TmTc+ IV-38Maquinas de conversion electromecanicaVIEnresumen:Tm=12LsI2s+ MIrIs + 12LrI2rVr=ddt(MIs +LrIr) +RrIrVs=ddt(LsIs +MIr) +RsIsId2dt2 = TmTc+ IV-39Maquinas de conversion electromecanicaVIIEsdeinteresanalizarelcasocuandolamaqui-na gira a velocidad constante , y las corrientesIreIssonperiodicasconfrecuenciasbasicasrys.Si Tmtieneunvalormediononulohadevericarse:Quehayadosenterosnymtalesquen+ms=0, deformaqueel valor mediode12LsI2s ,= 0.Quehayadosenterosnymtalesquen+mr=0, deformaqueel valor mediode12LrI2r ,= 0.Quehayatres enteros n, myl deformaquen + ms + lr=0, deformaqueelvalormediodeMIrIs,= 0+ IV-40Maquinas de conversion electromecanicaVIIILas maquinas se pueden clasicar segun el terminoimportanteenlaexpresiondel par:1. Si el valormediode12LsI2soel de12LrI2res distinto de cero, y relativamente grande,maquinasdeinduccionvariable.2. Si el terminosignicativoesMIrIs,(a) Si wr= 0, maquinassncronas.(b) Si wr,=0, maquinas asncronas o deinduccion.+ IV-41Se pueden construir maquinas cuasielectrostati-cas basadas en principios similares. Si embargo,la relativamente baja rigidez dielectrica del airelimitasueciencia.+ IV-42Tm TrR 2RLPorotraparteMagneticoTr 10B2 8 105,suponien-doB 1T.ElectricoTr 0E2 80,suponiendoE 30kV/cm.+ IV-43La ley de Ohm, la disipacion y los principiosvariacionalesDisipacion.Principiosvariacionales.+ V-1DisipacionIConsidereseunsistemacontinuo.Seconsideraqueencadaelementodelsistemaexistenden-sidadesdeenergau(x), entropas(x), densi-dad(x)etc. ; yunatemeperaturaT(x), pre-sionp(x), etc. El primerprincipioes:du = Tds pd1+. . .= dq +drSumandoatodoel cuerpodU= dQ+dR+ V-2DisipacionIIDerivandorespectoal tiempodUdt=dQdt+ dRdtMuy frecuentemente el trabajoRseralasu-ma de dos o mas terminos. En el caso deunamaquinaelectrica, podranser el trabajoelectricoReyel mecanicoRm. Enestecaso:dUdt= Pq +Pe +PmPqesel ujodecalor.+ V-3DisipacionIIIConsidereseahoraunsistemaconenergaU,entropa S, etc en un bano a temperatura cons-tanteTa.+ V-4DisipacionIVSetieneentoncesque:dST= dS +dSa= dS dQTa= dS dU dRTa=1Ta[(U TaS) +dR]+ V-5DisipacionVSi el sistemaestaatemperaturaconstante:dF= dR TadSTDerivandorespectoal tiempodFdt=dRdtTadSTdt+ V-6DisipacionVISupongasequeel sistemafuncionadeformacclica. Entonces:dRdt= TadSTdtPorotraparte,sehadevericartambienque:dRdt=dQdt+ V-7DisipacionVIIApliquemos loanterior aunamaquinacuasi-magnetostatica.Porunapartesetieneque:F= F0(T) + 12Lij()IiIjPorotra, setienequeel trabajoelectricoesPe = ViIiYel mecanicoPm = Tmddt+ V-8DisipacionVIIIAdemas, setienequeVi =ddtLij()Ij +_S1iEtdl+ V-9DisipacionIXJuntandotodoloanterior, seobtiene:TadSTdt= Ii_S1iEtdlDefnase1i =_S1iEtdl+ V-10DisipacionX1iserafunciondel estadodel sistema:1i = 1i(Ij, )SiIj= 0,setienequePe = Pm = 0.Lamaqui-na esta parada, la disipacion es nula, y por tan-to1i(0, ) = 0+ V-11DisipacionXISi lasintensidadesnosonmuygrandes, cabeesperarque 1sepuedadesarrollarenseriedeTaylor.1i = Rij()IjPor otra parte, la localidad fuerza a admitir que1isolamentepuededepender deIi. Ademas,debidoa que es local y que la forma de lasespirasnocambiacon, nodebieradependerde. Portanto1i = Ri()Iino sumarits+ V-12DisipacionXIIFinalmentesetienequeTadSTdt= RiI2iComolaentropaescreciente, Ri 0.+ V-13DisipacionXIIIElmismoargumentopuedeaplicarseauncon-ductor por el quepasaunacorriente. Al con-ductoresunsistemacuasimagnetostaticoH =MH = jE =Bt+ V-14DisipacionXIVApliquemos la formula antes obtenida a unconductorisotermoenreposo:TdSTdt= dF dR=___HdBdt ___S=___H(E) ___(E H)=___E(H)=___Ej+ V-15DisipacionXVSi el camponoesmuyintenso, cabeesperarunarelacionlineal entreEyj:ji = ijEj +j0ij0hadesernulo, porquesi noel terminoEj0notienesignodenido,mientrasquehadeserpositivopor el segundoprincipio. Larelacionhadeserlocal,yporesorelacionajyEenelmismopunto. Lamatrizhadeser positivaporquelaentropanodecrece.Ademas,puededemostrarse que ha de ser simetrica. A menudosetiene:j = E+ V-16DisipacionXVIValoresdeSubstancia Aluminio 3,53 107Cobre 5,92 107Oro 4,10 107Plata 6,80 107Hierro 1,13 107Mercurio 1,04 106Silicio(puro) 16 104Silicio(104%As) 300SolucionsaturadaNaCl 22.7Ambar 2 1015Vidrio 10141010Madera 1011108+ V-17DisipacionXVIIEstosvaloresexplicanporqueunconductoresun sistema cuasimagnetostatico. En efecto, suponga-sequehubieracargalibreenelconductor.En-tonces:j =(E)=

0=t+ V-18DisipacionXVIIILuego exp(t/T)conT=

0Teseltiempoderelajacionelectrostatica.Pa-raelcobreT 1018s.EnlatierraT 109s.+ V-19DisipacionXIXAl no haber practicamente carga libre, sola-menteexisteunafuentedecampoE:lavaria-ciondelcampomagnetico.Portanto,sielsis-temafueracuasiestatico, habradeserestati-coasecas, ypor tantotambiencusimagnes-tostatico.+ V-20PrincipiosvariacionalesIEl analisis de sistemas cuasielectrostaticos ycuasimagnetostaticos requiere la solucion deecuacionesdecampoestaticas.Existen bastantes procedimientos para hacerlo.Uno de los mas populares es el de los elementosnitos, quesebasaenlaexistenciadeformasvariacionalesdelasecuacionesdecampo.+ V-21PrincipiosvariacionalesIIPor ejemplo, considerse la ecuacion de Poisson:(V ) = f en Tsujeto a V= g en T1

Vn= h en T2+ V-22PrincipiosvariacionalesIIILa solucionVde la ecuacion anterior es la mis-ma solucion del siguiente problema variacional:mnVF =12___T (V )2dv ___TfVdv __T2hVdssujeto a V= g en T1+ V-23PrincipiosvariacionalesIVEnefecto,seaVlasoluciondel problemava-riacional.UnafuncionV arbitrariapuedeescri-birsecomoV= V+VV yV tienenquevalergenD1. LuegoV= 0 en D1+ V-24PrincipiosvariacionalesVEscrbase el funcionalF(V ) como suma de tresterminosF(V ) = F1(V ) +F2(V ) +F3(V )F1(V ) =12___T (V )2dvF2(V ) =___TfVdvF3(V ) =__T2hVds+ V-25PrincipiosvariacionalesVIF1(V ) =12___T (V )2dv=12___T

_(V+V )_2dv=12___T

_V_2dv + 12___T (V )2dv +___T_V_(V ) dv=12___T

_V_2dv + 12___T (V )2dv +___T_V V_dv ___TV _V_dv=12___T

_V_2dv + 12___T (V )2dv +___T_V V_ds ___TV fdv=12___T

_V_2dv + 12___T (V )2dv __T2V Vnds ___TV fdv=12___T

_V_2dv + 12___T (V )2dv __T2V h ___TV fdv+ V-26PrincipiosvariacionalesVIIF2(V ) =___TfVdv=___TfVdv +___TfVdv+ V-27PrincipiosvariacionalesVIIIF3(V ) =__T2hVds=__T2hVds +__T2hVds+ V-28PrincipiosvariacionalesIXSumandoahoratodoF(V ) = F1(V ) +F2(V ) +F3(V )=12___T

_V_2dv + 12___T (V )2dv __T2V h ___TV fdv +___TfVdv +___TfVdv +__T2hVds +__T2hVds=12___T

_V_2dv +___TfVdv +__T2hVds +12___T (V )2dv= F(V) + 12___T (V )2dv+ V-29PrincipiosvariacionalesXLa ecuacionvariacional puede utilizarse parahacercalculosdelasiguienteforma.SeescogeunafamilidadefuncionesVitalesqueV (x, y, z) = V0(x, y, z) +

iaiVi(x, y, z)conV0 = g en T1yVi = 0 en T1+ V-30PrincipiosvariacionalesXIAspuesVvericalascondicionesdecontornodevonNeumann(esenciales).Portanto,pue-deaproximarseelproblemavaricionalporeldeminimizarlafuncionF(V0 +

iaiVi)respectoalas ai. Elementos nitos viene deunaseleccionparticulardelasVi.+ V-31PrincipiosvariacionalesXIIEl caso de corrientes continuas lleva a la mismaecuacion. Enefecto, enestadoestatico:E =Vj = 0j = EYportanto(V ) = 0+ V-32PrincipiosvariacionalesXIIIComo curiosidad, el funcional variacional esahhoraF=12___T(V )2dv =12___TjE dvEsdecir,lascorrientessedistribuyendeformaqueseminimizalaproducciondeentropa.+ V-33PrincipiosvariacionalesXIVUnproblemamagnetostaticolineal es:B = 0H = jB = Hsujeto a Bn = 0 en TnBt = 0 en Tt+ V-34PrincipiosvariacionalesXVLaformavariacional esmnF =12___THB dv ___TjA dvsujeto a At = 0 en Tn+ V-35PrincipiosvariacionalesXVISeaAlasoluciondelaformavariacional.En-toncesA = A+APortantoAt = 0 en TnAt = 0 en Tn+ V-36PrincipiosvariacionalesXVIIEstacondiciongarantizaqueBn = 0.Enefec-to, supongase que el eje normal al contornocoincideconel ejez.EntoncesBn = Bz.PeroBz=AyxAxyComo las componentes tangenciales son, enestecaso, xey, quesonconstantes (igualesa0)enel contorno(esdecir, el planox y),sesiguequelasderivadas, yportantoBz, seanulan. El caso general, en funcion de las com-ponenentes tangenciales ynormales, sesiguedeesteresultado.+ V-37PrincipiosvariacionalesXVIIIF(A) = F(A+A)FeslasumadedosterminosF=12___THB dv ___TjA dv+ V-38PrincipiosvariacionalesXIXAnalceseel primersumando:12___THB dv =12___T1B2dv =12___T1(A)2dv =12___T1_(A+A)_2dv =12___T1_A_2dv+___T1_A_(A)dv+12___T1(A)2dv+ V-39PrincipiosvariacionalesXXPorotraparte___T1_A_(A)dv =___TA_1_A__dv___T_A1_A__dv =___TAH dv ___T(AH)ds =___TAH dv __Tt(AH)ds+ V-40PrincipiosvariacionalesXXIPorotraparte___TjA dv =___TjAdv +___TjA dv+ V-41PrincipiosvariacionalesXXIISumandotodoF =12___T1_A_2dv ___TjAdv +___TAH dv ___TjA dv __Tt(AH)ds +12___T1(A)2dv+ V-42PrincipiosvariacionalesXXIIIComoFalcanzasumninoparaA,lostermi-nos lineales enAtienenque ser nulos. Porotra parte, las integreales de volumen y desupercietienenqueanularseseparadamente,porque siempre se puede escoger unAqueseapracticamentenuloenel volumenynoenlasupercieoviceversa. Luego___TAH dv ___TjA dv = 0__Tt(AH)ds = 0+ V-43PrincipiosvariacionalesXXIVLaprimeraecuacionimplicaqueH = jLasegundasepuedeescribircomo:__Tt(Hds) A = 0ComoApuedeser cualquier cosa, Hhadesernormal al contorno.+ V-44PrincipiosvariacionalesXXVConsidereseahoraunproblemanolineal,don-delarelacionentreHyBvienedadacomoH = H0 +H(B)BBEs decir, se desprecia la histeresis tanto enmodulocomoendireccion.+ V-45PrincipiosvariacionalesXXVILasecuacionesdecamposon:B = 0H = jH = H(B)sujeto a Bn = 0 en TnBt = 0 en Tt+ V-46PrincipiosvariacionalesXXVIILaformavariacionalmnF =___T__B0H dB_dv ___TjA dvsujeto a At = 0 en Tndonde_B0H dB = H0B+_B0H(B)BdB+ V-47PrincipiosvariacionalesXXVIIILa demostracion es analoga a la del caso lineal.SeaAel optimizadordel funcional.EntoncesF(A+A) F(A) =___T__B+B0H dB_dv ___Tj_A+A_dv ___T__B0H dB_dv ___TjAdv___T__B+BBH dB_dv ___TjA dv___THB dv ___TjA dv+ V-48PrincipiosvariacionalesXXIXAs puesF(A+A) F(A) =___THA dv ___TjA dv___TAH dv ___T(HA)dv ___TjA dv___TAH dv ___THA dv ___TjA dv+ V-49PrincipiosvariacionalesXXXEstaexpresioncoincideconlaqueseobtenaen el caso lineal. Apartir de este punto, elrestodel analisis es identico: laanulaciondelos terminos lineales enA(quesonlos uni-cosqueexistencuandoAeslobastantepe-queno),exigidaporlacondiciondequeF(A)esmnimo, llevaalasecuacionesdecampo.+ V-50Fluidoselectricosymagneticos.Otropotencial temodinamico.Fuerzaselectricasenuidos.Fuerzasmagneticasenuidos.+ VI-1Otropotencial termodinamicoILa variacion de energa libre en un sistema elec-trostaticotienelaformadF= SdT+___ED dv +dRoEsta expresion da el trabajo que se puede obte-ner del sistema en condiciones isotermas. Ademas,si no solo la temperatura, sino tambien las car-gaspermanecenconstantes, setienequedF= dRo+ VI-2Otropotencial termodinamicoIIEnel casoisotermodual enel quedRo=0,el sentidodel terminodecampoesel trabajonecesarioparaaumentar lacargaenloselec-trodos. EnefectodRe=___dielED dv=___diel(V )D dv=___diel(V )D dv ___dielV (D) dv=___diel(V D) dv= ___conductoresV D dv=

conductoresViqi+ VI-3Otropotencial termodinamicoIIIEl sentidodeestaformulaes quesi semide(controla)lacargaqueentraencadaelectro-do, esposiblecalcular lavariaciondeenergalibre.Dehecho,lavariaciondeenergalibreseescribe:dF= SdT+

conductoresVidqi +dRo+ VI-4Otropotencial termodinamicoIVEngeneral,nosecontrolalacargadeloselec-trodos,sinomasbiensutension(porejemplo,conectandolos a una batera). Si la tension per-manece constante, al modicar la geometraparaobteneruntrabajo,lascargascambiaran.Por tanto,Fno es muy adecuada para analizarestecaso. Porejemplo, si dRo = pdvp = Fv[T,qi=ctes.,= Fv[T,Vi=ctes.+ VI-5Otropotencial termodinamicoVPara resolver este problema, se introduce lacoenergalibre:F= F

iqiViSetieneqiedF = dF d

iqiVi=SdT

conductoresqidVi +dRo+ VI-6Otropotencial termodinamicoVILacoenergalibredael trabajoqueesposibleobtener en condiciones isopotenciales. Ademas,ahoras quesetiene,porejemplo, quep = Fv[T,Vi=ctes.+ VI-7Otropotencial termodinamicoVIIPorotraparte, setieneque___dielED dv=___diel(V )D dv=___diel(V )D dv ___dielV (D) dv=___diel(V D) dv= ___conductoresV D dv=

conductoresViqi+ VI-8Otropotencial termodinamicoVIIIAs puesF= F ___dielED dvYdF= SdT ___DE dv +dRo+ VI-9FuerzaselectricasenuidosISi existeuntensordefuerzas,podraescribirse___Vfidv =___VTijdsj+ VI-10FuerzaselectricasenuidosIIConsidereseunparalelogramoinnitesimal in-mersoenel uido. TnhSometaseelplanosuperioraundesplazamien-to virtual , manteniendo los planos equipoten-ciales, encondicionesisotermas.+ VI-11FuerzaselectricasenuidosIIIEl trabajo realizado sera la variacion de coenergalibre(porunidaddearea)Tijinj= (hf) = hf+fhsiendof ladensidadvolumetricadecoenergalibre.+ VI-12FuerzaselectricasenuidosIVPorotraparte,laenergalibredeunuidode-pende, para valores dados de Ty E, tan solo desudensidad(nohayfuerzasdecizalladura).Portanto,paraunavariacionisotermaf= DE + f+ VI-13FuerzaselectricasenuidosVLavariaciondedensidadenel paraleleppedoelemental vienedadapor = hh+ VI-14FuerzaselectricasenuidosVIPor otraparte, cadapuntodel paraleleppedosufreundesplazamientou,porloquealpuntor va a parar la materia en ru. Como la materiallevael potencial, setienequelavariaciondelpotencial enunpuntodadovale:V (r) = V (r u) V (r)=uV= uE+ VI-15FuerzaselectricasenuidosVIIComoladeformacioneshomogenea, setieneque:u = z/hsiendo zla distancia desde el plano inferior. Portanto,E = n(E)/h+ VI-16FuerzaselectricasenuidosVIIIJuntandoahoratodo, seobtienequeTikink= (nD)(E) nf+nf=_EiDkfik +fik_inkLuegoTik= EiDk +_f f_ik+ VI-17FuerzaselectricasenuidosVIIIParaseguiradelantesenecesitasuponeralgu-na forma especca para la energa libre. Suponga-sequeD = (T, )EYportantof= f0(, T) + 12EDYf= f0(, T) 12ED+ VI-18FuerzaselectricasenuidosIXPor otra parte, supongase que en el parale-leppedohabaunamasam. Larelacionentreladensidadyel volumenserav =m+ VI-19FuerzaselectricasenuidosXSi no hubiera campo, a temperatura constante,setendraquelapresionsecalculacomo:p0(, T) =Fv=m(1/)_f0m_=(1/)_f0_= f0f0+ VI-20FuerzaselectricasenuidosXIJuntandolotodoseobtienequeTik= p0(, T)ikE22_ _ik +EiEk+ VI-21FuerzaselectricasenuidosXIIParaobtenerlafuerza,nohaymasquederivarel tensor.fi=xi_p0 + E22_E22xi

2E2xi+xiEiDk+ VI-22FuerzaselectricasenuidosXIIIComoD=0, laultimalnease anula. Enefecto,setieneque,tomandoestoencuenta,sereduceaEkEkxi+DkEixi= Dk_EkxiEixk_queseanulaporque E = 0+ VI-23FuerzaselectricasenuidosXIVFinalmentequedaentoncesf= p0 + 12_E2_E22 + VI-24FuerzaselectricasenuidosXVEn el caso de que estuviera en un campo gravi-tatorio,habraqueanadiralaenergalibreunterminogz. Estodaraunterminoadicionalenel tensorTgrvij=_ gz si i = z, j= z0 sinoyel lafuerzaunterminoadicional gk.+ VI-25FuerzaselectricasenuidosXVIEn situaciones estaticas, la fuerza total queactuasobrecadaelementodeluidotienequesernula. Luego:p0 +gk =12_E2_E22 Estaecuacionpuedeescribirse:p0 +gk =2_E2_+ VI-26FuerzaselectricasenuidosXVIIIntegrandoestaultimaecuaciong(z2z1) +_p2p1dp=12__E2_2_E2_1_+ VI-27FuerzasmagneticasenuidosIEnausenciadecargasycorrienteslasecuacio-nesdeMaxwell estaticasquedan:E =PE = 00H =0MH = 0+ VI-28FuerzasmagneticasenuidosIILasenergaslibrestienenlaforma:dFelec=___ED dvdFmag=___HB dvDondeD = 0E +PB = 0H+0M+ VI-29FuerzasmagneticasenuidosIIIPorlotanto,existeunadualidadentrecamposmagneticosyelectricos:E H

00P0MDB+ VI-30FuerzasmagneticasenuidosIVAs pues, el tensor defuerzasparaunlquidomagneticovale:Tik= HiBk +_f f_ik+ VI-31FuerzasmagneticasenuidosVSe pueden fabricar lquidos magneticos median-teuncoloidedepartculasmagneticasenaci-dosgrasos.+ VI-32FuerzasmagneticasenuidosVILaecuaciondeestadoesdelaforma:B =H1_22 +H2 +0H+ VI-33FuerzasmagneticasenuidosVIILacoenergalibretienelaformaf =f0_H0BH= f011_22 +H2+ 21120H2+ VI-34FuerzasmagneticasenuidosVIIISuponiendoquelasconstantes1y2node-pendendeladensidad(loquesucederasi ellquidoesincompresible)seobtienequeTik=p0ik_11_22 +H2+ 21120H2_ik+HiBk+ VI-35FuerzasmagneticasenuidosIXEstaexpresionsepuedeescribirTik= p0ik12((H)H2+(H)H2)ik+HiBkcon(H) =11_22 +H2 +0(H) =11H2_22 +H2+21H2120(H)+ VI-36FuerzasmagneticasenuidosXParaobtenerlafuerza, bastaconderivarfi=xip012H2xi( +) 12xiH2+_12xiH2+xkHiBk_+ VI-37FuerzasmagneticasenuidosXIAnalogamenteal casoelectrico, setienequeH=0 yB=0. Por tanto, el ultimoterminoseanulayf= p012H2( +) 12H2Tambiensepuedeescribir:f= p012H2 12(H2)+ VI-38Electromagnetismoyelasticidad.Elasticidad.Fuerzaselectricasensolidos.Piezoelectricos+ VII-1ElasticidadIBajolaacciondefuerzasaplicadaslossolidossedeforman. Sear el radiovector aunpun-todel cuerpoantesdeladeformacionyrtalmismopuntodespues. Entonces, el desplaza-mientousedenecomo:u = rtr+ VII-2ElasticidadIIEnel sistemasindeformar ladistanciaentredospuntosdel cuerpoproximoses:dl =_dx21 +dx22 +dx23+ VII-3ElasticidadIIIEnel sistemadeformadodl2t= dx2t1+dx2t2+dx2t3= (dx1 +du1)2+(dx2 +du2)2+(dx2 +du2)2= (dx21 +dx22 +dx23) +2(dx1du1 +dx2du2 +dx3du3) +(du21 +du22 +du23)= dl2+2dxidui +duidui= dl2+2dxiuixjdxj +uixkdxkuixldxl= dl2+_uixkdxidxk + ukxidxkdxi_+uixkdxkuixldxl= dl2+2uikdxidxk+ VII-4ElasticidadIVDondesehadenidoel tensordedeformacionuik=12_uixk+ ukxi+ulxkulxi_El tensoresevidentementesimetricouik= uki+ VII-5ElasticidadVDebidoaquelastensionesinternasqueapare-cenenuncuerposedebenafuerzasmolecula-resdecortoalcance,lafuerzatotal queactuasobre un volumen del cuerpo se debe poderescribircomounaintegral desupercie.___fidv =___ikdskAplicandoel teoremadeGauss:fi =ikxk+ VII-6ElasticidadVIEl momentoporunidaddevolumenes:fixkfkxiPortanto,paraunvolumenarbitrario:Mik=___(fixkfkxi)dv=____ilxlxkklxlxi_dv=___ (ilxkklxi)xldv ____ilxkxlklxixl_dv= ___(ilxkklxi)dsl +___(kiik)dv+ VII-7ElasticidadVIISi el momentotambienhadepoderescribirsecomounaintegral desupercie, setieneque:ik= ki+ VII-8ElasticidadVIIIEnel casode unudo, el tensor de tensio-nes sepuedeescribir deunamaneraparticu-larmentesimple. Lafuerzaquetransmiteunasupercieal interiordeunvolumenesfi = p dsi = ikdskLuegoik= pik+ VII-9ElasticidadIXConsiderese un cuerpo deformado que sufreunapequenadeformacionadicionalui.Eltra-bajoquerealizael cuerpoes:___rdv =___ikxkuidv= ___ikuidsk___ikuixkdv=12___ik_uixk+ ukxi_dv=12___ik_uixk+ ukxi_dv=___ikuikdv+ VII-10ElasticidadXPortanto,el primerprincipioimponeque:du = Tds +ikuikdvPortantodf= sdT+ikuikdv+ VII-11ElasticidadXISenecesitaademaslaecuaciondeestadoquerelacionauikyik.Silasdeformacionesnosonmuygrandes, resultaquelarelaciones lineal(leydeHooke):ik= iklm(T)ulm+ VII-12ElasticidadXIIPortanto,laenergalibreelasticasera:f =_uik0ikduik=_uik0iklm(T)ulmduik=12iklm(T)uikulm+ VII-13ElasticidadXIIIComolaenergalibreesunescalar,laspropie-dadesdesimetraytransformaciondel tensoriklmtienequecoincidir conlasdeuikulm, esdeciriklm = kilm = ikml = lmikHayentotal 21componentes independientesdeiklm.+ VII-14ElasticidadXIVEnelcasodeuncuerpoisotropoelnumerodeconstantes independientes disminuye mucho.En efecto, en este caso solamente pueden apa-recer enlaexpresiondelaenergalibrecom-binacionesescalaresdeuik, yaqueas F(uik)conservasuformaentodoslossistemascoor-denados.+ VII-15ElasticidadXVEngeneral,solamenteexistendosescalaresdesegundogrado:el cuadradodelatrazau2iiylanorma de Frobeniusuikuik. As pues, la energalibretienelaforma:F= F0 + (T)2u2ii +(T)u2ikysonloscoecientesdeLame.+ VII-16ElasticidadXVIPortanto,ik=Fuik= ullik +2uik=E1 +_1 2ullik +uik_Conlasconstantes:E =(3 +2) + =123 +Eesel modulodeYoungyel dePoisson.+ VII-17ElasticidadXVIILasformulasinversasson:uik=1E [(1 +) ikllik]+ VII-18FuerzaselectricasensolidosIConsidereseuncuerpoisotropo. Enel estadonodeformadotendrauntensor depermeabi-lidad ik=oik. Al deformarse, teniendoencuenta solamente los terminos de primer or-den, teniendo en cuenta que la traza es el unicoinvariantedeprimerorden,seobtiene:

ik= o(T)ik +a1(T)uik +a2(T)ullik+ VII-19FuerzaselectricasensolidosIIConsiderese, comoal estudiar uidos, unele-mentodesolidoysudeformacion: TnhEl plano superior se somete a un desplazamien-to virtual , manteniendo los planos equipoten-ciales, encondicionesisotermas.+ VII-20FuerzaselectricasensolidosIIIDe la misma forma que para uidos, se en-cuentraque:f= DE +_fuik_uik+ VII-21FuerzaselectricasensolidosIVPorotraparte, comou =zhsetieneque:uik=12_uixk+ ukxi+ulxkulxi_=12_uixk+ ukxi_=12h(ink +kni)+ VII-22FuerzaselectricasensolidosVSubstituyendo este resultado, y teniendo encuentalasimetradeuikyladefuik:f =DE +fuikuik=DE +fuik12h(ink +kni)=DE +fuik1hink+ VII-23FuerzaselectricasensolidosVIPor otraparte, lavariaciondecoenergalibresera el trabajorealizadopor el elemento, esdecir,porunidaddesupercie:Tiknki = (hf) = hf+fhYh = n+ VII-24FuerzaselectricasensolidosVIIPorotraparte,comoelmaterialllevaalpo-tencial electrico:V (r) = V (r u) V (r)=uV= uEYportanto:E = n(E)/h+ VII-25FuerzaselectricasensolidosVIIIPoniendolotodojuntoTiknki= (nD)(E) +fuikink +f(n)=_f+fuik+EiDk_inkLuegoTik=f+fuik+EiDk+ VII-26FuerzaselectricasensolidosIXPorotraparte, setienequef = f0(uik, T) 12ED= f0(uik, T) 12(o(T)ik +a1(T)uik+a2(T)ullik) E2+ VII-27FuerzaselectricasensolidosXAs puesfuik=f0uika1EiEka2E2ik= 0,ika1EiEka2E2ikPortantoTik= 0,ik + 12(2oa1)EiEk12(o+a2)E2ik+ VII-28FuerzaselectricasensolidosXIConsiderese ahora un cuerpo anisotropo. Alproducirse una deformacion virtual como la con-siderada, los ejes cristalogracos giran un angu-lorespectoal campoE. Equivalentementese puede considerar que el campo gira res-pectoal crtistal, por loquelavariaciontotaldel campoes:E = n(E)/h E+ VII-29FuerzaselectricasensolidosXIIPor otra parte, u y estan ligados por la ecua-cion =12uLuego = z2h=n 2h+ VII-30FuerzaselectricasensolidosXIIIAsE =n(E)/h +E n 2h=12h[n(E) +(En)]+ VII-31FuerzaselectricasensolidosXIVLuegoDE =12h[(nD(E) +D(En)]=1hink12(EiDk +EkDi)+ VII-32FuerzaselectricasensolidosXVFinalmenteTik=f+fuik+ 12(EiDk +EkDi)+ VII-33FuerzaselectricasensolidosXVIPor ultimo, el tensor dielectricopodratomarlaforma:

ik= o,ik +aiklmulmLas propiedades de simetra deaiklmhan de serlasmismasquelasdeiklm.+ VII-34PiezoelectricosISehaobtenidoel resultadogeneral:Tik=f+fuik+ 12(EiDk +EkDi)+ VII-35PiezoelectricosIIEsteresultadonodependedelarelacioncons-titutivaD = D(E, uij, T)En el caso de que esta relacion sea lineal, comosehasupuestohastaahora:D = (uij, T)EEl tensorTijesfuncioncuadraticadeE.+ VII-36PiezoelectricosIIISinembargo, este noes el tipomas generalderelacion. Paraciertas substancias, larela-cionestal queseobtieneuntensordetensio-nesquedependelinealmentedelcampo,Estassubstanciassellamanpiezoelectricos.+ VII-37PiezoelectricosIVComosolamentenosinteresanlosterminosli-neales, seescribiraque:Tik=fik +fuikAquf eslacoenergalibreporunidaddevo-lumen.+ VII-38PiezoelectricosVEsinteresantetambienladensidadporunidaddemasa, aunquedadadeunmodopeculiar,comoladensidadpor unidadde volumennodeformado. Sedenotaraporf.+ VII-39PiezoelectricosVIParacalcularestacantidad, considerseunsis-tema de coordenadas alineado con los ejes prin-cipalesdeltensoruik.Enestosejes,uikesdia-gonal,convaloresprincipalesu1, u2, u3.Si dV0esel volumenantesdedeformacionydV des-puesdV= dV0(1+u1)(1+u2)(1+u3) dV (1+uii)Y =01 +uii+ VII-40PiezoelectricosVIIPortanto =01 +uiiYfuik=f0uikfuikfik+ VII-41PiezoelectricosVIIIAsTik=fuik+ VII-42PiezoelectricosIXEnestaexpresionlas variables independintesson E, uiky T, ya quef =f(E, uik, T). Dehechof= sT DE +Tikuik+ VII-43PiezoelectricosXEs convenienteutilizar Tikcomovariables in-dependientes,envezdeuik.ParaellosedenelacoenergadeGibbs: =f uikTikSeobtieneentonces: = sT DE uikTik+ VII-44PiezoelectricosXIEn ausencia de campo, se obtiene para la energadeGibbs:0= f0uikTik=12iklmuikulmuikiklmulm=12iklmuikulm=121iklmTikTlm=12iklmTikTlm+ VII-45PiezoelectricosXIIPorotraparte, desarrollandoD =D(E, ik, T)enTaylor:Di = D0i(T) +ik(T)Ek +i,klTklDebidoalasimetradeTkl, severicaquei,kl = i,lk.+ VII-46PiezoelectricosXIIIUnterminoD0,= 0implicaqueexisteunapo-larizacion espontanea del medio en ausenciade campoelectrico. Estos cuerpos se llamanpirroelectricos.LadireccionD0debeser ladealgunejedelcristal que nocambie frente a ningua trans-formaciondel grupocristalograco. Solamen-tealgunos grupos cristalogracas tienenestadireccionprivilegiada.+ VII-47PiezoelectricosXIVTambienexistenrestriccionesalasclasescris-talogracas que admite un i,kl. De hecho, estetensorsetransformacomoEiukl.Frenteaunainversionespecular, setransformadeunafor-manotrvial. Por ejemplo, si el ejedel espejoeszEzuxy EzuxyPerouncuerpoisoprotocoincide localmenteconsuimagenespecular, porloquei,kli,kl+ VII-48PiezoelectricosXVPortanto,enuncuerpoisotropoi,kl = 0Engeneral,solamentealgunostiposdecrista-lesdani,kl,= 0.+ VII-49PiezoelectricosXVIJuntandotodo, seobtieneque =12iklmTikTlmEiD0i(T) 12

ik(T)EiEki,klEiTkl+ VII-50PiezoelectricosXVIIPortantouik= Tik= iklmTlm +l,ikEl+ VII-51Superconductividad.Superconductores.Termodinamicadelossuperconductores.EcuaciondeLondon.Tiposdesuperconductores.+ VIII-1SuperconductoresIEn 1911 Kamerlingh Onnes descubrio que cuan-doelmercurioseenfriabapordebajode4.2Kperdasuresistencia.+ VIII-2SuperconductoresIIEn1933Meissnerdescubrioquelossupercon-ductoresexpulsanel campomagneticoquesehalleensuinterior(efectoMeissner). Estaeslapropiedadfundamental:Un superconductor es un diamagnetico per-fecto+ VIII-3SuperconductoresIIIEnel interiordeunconductor, E = 0, portantonohaydensidaddecargavolumetri-cayhaydensidaddecargasupercial queapantallael campoexterno.En el interior de un superconductor, B = 0,portantonohaydensidaddecorrientevo-lumetricayhaydensidaddecorrientesu-percial queapantallael campoexterno.+ VIII-4SuperconductoresIVComolascorrienteshandemantenerseinde-nidamenteconstanteenpresenciadeuncam-pomagneticoexternoconstante,laresistenciadebesernula.+ VIII-5SuperconductoresVEl campomagneticodebeser tangencial alasuperciedelsuperconductor.Enefecto,dadoqueB = 0lascomponentesnormalesdeBalasuperciedeseparacionhandeseriguales.Comodentrodel superconductorB = 0, handesernulas.+ VIII-6SuperconductoresVITeniendoestoencuenta,esmuyfacil calcularlafuerzaqueactuasobreunsuperconductor.Recuerdesequeel tensordeMaxwell es:Tik= 0_HiHk12H2ik_+ VIII-7SuperconductoresVIILadensidaddefuerzaqueactuasobrelasu-percieesfi= Tiknk=02H2niyaqueHknk= 0,puestoqueel campoestan-gencial.+ VIII-8SuperconductoresVIIIPara calcular la densidad de corriente, se puedepartirdeH = jDeaqu sededucequeHt1 aireHt1 supc. = Ht1 aire = kt2+ VIII-9SuperconductoresIXDichodeotraforma:k = n H+ VIII-10SuperconductoresXEl planteamientodeproblemas estaticos consuperconductores es muy similar a el que existeconconductores. EnconductoresseresuelveV= 0 V= Viconductor iEnsuperconductoresA = 0 A = Aiconductor i+ VIII-11TermodinamicadelossuperconductoresILatransicionentrelosestadosnormalysuper-conductordeunasubstanciaesunatransicionde fase, analoga a la transicion entre, por ejem-plo, las fases lquida y el vapor de agua. En esteultimocasoexisteunarelaciondeestadoparael lquidoyotraparael vapor:pliq= pliq(V, T)pvap= pvap(V, T)+ VIII-12TermodinamicadelossuperconductoresIIAnalogamente, existe unarelacionde estadoparalasfasesnormal ysuperconductora:Bnorm= (T)HBsupc= 0+ VIII-13Termodinamica de los superconductores IIILaenergalibredel aguasecalculacomof(T, v) = f0(T) _v=Vv=0p dvSubstituyendolasecuacionesdeestadoseen-cuentran, e integrando a la totalidad de la subs-tancia, las energas libres Fliq(T, V ) y Fvap(T, V ).+ VIII-14Termodinamica de los superconductores IVSi, para determinados T y V , FliqFvapsera vapor.Los puntos enqueFliq=Fvap(unacurvaenel plano(T, V ))seranlospuntosdetransiciondefase.+ VIII-15TermodinamicadelossuperconductoresVEnel casodesuperconductores,escovenienteusar lacoenergalibre. Enefecto, el montajeexperimental habitual escolocar unamuestradentrodeunsolenoidepor el quecirculaunaintensidaddadaI.Por una parte, se tiene la relacion para la energalibreF = (U TS)=ST+___H B+ VIII-16Termodinamica de los superconductores VIConsidereseel sistemaenunbanoisotermostemperaturaT.El calorquesaledel sistemaabano, secalculaapartirdeU= Q+(Iii)yaquelasIisonconstantes.+ VIII-17Termodinamica de los superconductores VIISetieneentoncesqueSmundo = Sresto +SAdemasTSresto = Q+ VIII-18Termodinamica de los superconductores VIIIPoniendotodojuntoTSmundo= (U TS Iii)= (F Iii)=FPor el segundo principio, la coenerga libre ten-deraaunmnimo.+ VIII-19Termodinamica de los superconductores IXPorotraparte, setienequeF(T, H) = F0(T) ___ __H=HH=0B dH_dv+ VIII-20TermodinamicadelossuperconductoresXSetieneas queFnorm(T, H) = F0,norm(T) ___ __H=HnormH=0BnormdHnorm_dvFsupc(T, H) = F0,supc(T) ___ __H=HsupcH=0BsupcdHsupc_dv+ VIII-21Termodinamica de los superconductores XILos terminos integrales sepuedenescribir deotramanera. SeanH0y B0los campos queexistiranenausenciademateria, enel vaco,conlasmismascorrientes. Entonces_BsupcHsupc_B0H0=_(0HsupcB0)H0 +_Bsupc (HsupcH0) +_(Bsupc0Hsupc)H0+ VIII-22Termodinamica de los superconductores XIIEl primerintegrandosepuedeescribir:(0HsupcB0)H0= (0HsupcB0)10A0=_A0_Hsupc10B0__+A0_Hsupc10B0_+ VIII-23Termodinamica de los superconductores XIIIElsegundoterminoesnulo,yaquealsercrea-doloscampospor lasmismascorrientes Hsupc= H0=j. El primer terminohayqueintegrarloatodoel espacioparaobtenerlaenergalibre. Por el teoremadeGauss, sepuedetomar unasupercieinnitamenteale-jada,enlaqueseanula.Luegolacontribuciontotal esnula.+ VIII-24Termodinamica de los superconductores XIVEl segundointegrandosepuedeescribir:Bsupc (HsupcH0) =Asupc (HsupcH0)=[Asupc (HsupcH0)] +Asupc (HsupcH0)que dan contribucion nula por razones similaresalasanteriores.+ VIII-25Termodinamica de los superconductores XVEn el ultimo integrando, Bsupc 0Hsupc=0Msupc. PortantoFsupc(T, H) = F0,supc(T)___ __H=H0H=00MsupcdH0_dv+___ __H=H0H=0B0dH0_dvAnalogamenteFnorm(T, H) = F0,norm(T)___ __H=H0H=00MnormdH0_dv+___ __H=H0H=0B0dH0_dv+ VIII-26Termodinamica de los superconductores XVILamagnetizaciondelafasenormal sueleserdespreciable, debido a la baja suceptibilidadmagnetica de la mayor parte de las substancias.Entoncesladiferenciaentrelasdoscoenergasvale:Fnorm(T, H)Fsupc(T, H) = F0,norm(T) F0,supc(T)+___ __H=H0H=00MsupcdH0_dv+ VIII-27Termodinamica de los superconductores XVIIComoenelinteriordelcuerposuperconductorB=0, Mtiene sentido opuesto a H0. Portanto, en campos altos la diferencia es negativay la fase normal es la estable, y al reves encamposbajos.+ VIII-28Termodinamica de los superconductores XVIIIEnel casodeuncilindroenuncampolongi-tudinal uniforme, M = H0, yportantoFnorm(T, H) Fsupc(T, H) = F0,norm(T) F0,supc(T)02H20ElcampoH0paraelcualseanulaladiferencia(los puntos del cambiodefase) sedenominacampocrticoHc.+ VIII-29Termodinamica de los superconductores XIX+ VIII-30EcuaciondeLondonIEl analogodelaleydeOhmensuperconduc-tores es lallamadaecuaciondeLondon, quedeladensidaddecorriente.SeaAelpotencialvectorenel gaugedeLondon:A = 0An= 0Anseanulaenlassuperciesexternaspor laquenoentracorriente.+ VIII-31EcuaciondeLondonIILaecuaciondeLondonesj = 102LALesunaconstantellamadalongituddeLon-don.+ VIII-32EcuaciondeLondonIIIPara ver el sentido deL, se toma el rotacionalj =102LA=102LB=10(B)=10BOseaB =12LB+ VIII-33EcuaciondeLondonIVConsiderese unsuperconductor que ocupa elsemiespacioz>0, sometidoauncampouni-forme. LasoluciondelaecuacionanterioresB(z) = B(0) exp(z/L)Lesdelordendeunaspocasmillonesimasdecm.+ VIII-34TiposdesuperconductoresIHastael momentosehanestudiadolosllama-dossuperconductorestipoI,enlosquetanso-losedanlasfasessuperconductoraynormal.ExistenademaslossuperconductorestipoII.Enestassubstancias, al subirel campodesdeel estadosuperconductorsepasaporuncam-pocriticoHc1enel cual el campomagneticopenetraenel superconductor formandovorti-ces deestadonormal enunamatrizdeesta-dosuperconductor.Si sesigueaumentandoelcamposellegaunsegundopuntocrticoHc2ysepasaal estadonormal.+ VIII-35TiposdesuperconductoresII+ VIII-36TiposdesuperconductoresIIIEn este estado mixto, la suceptibilidad magneti-ca (H, T) es negativa, pero no llega a ser= 1. Microscopicamete, cadavorticellevauncuantodeujomagnetico(21015Wb).La corriente circula por la matriz superconduc-tora,porloquelaresistividadesnula.+ VIII-37TiposdesuperconductoresIV+ VIII-38TiposdesuperconductoresVEnlos superconductores tipoII debajatem-peratura, lareddevortices estacongelada,formandounsolido. Enlos superconductoresdealtatemperaturaexisteunanuevafase: ellquidodevortices.Al podermoverselosvortices, lasfuerzaejer-cidas por las corrientes ejercenfuerzansobrelos vertices, que causantrabajo(f =mB).Por tanto, aparecedisipacion, proporcional alcubodelaintensidad.Elcalorgeneradotiendeavolvernormal al superconductor.+ VIII-39TiposdesuperconductoresVI+ VIII-40Ondasconducidas.Guasdeondas.Clasesdemodos.Unaguarectangular.ModosTEM.Ecuacionesdelnealarga.+ IX-1GuasdeondaILasguasdeondasson, idealmente, sistemasde conductores que se extiendenindenida-menteenel ejez.+ IX-2GuasdeondaIISeestudiarancamposquedependansenoidal-mentedel tiempo.Ademasdeserinteresante,cualquiersolucionsepuedeobtenerapartirdeestasporel teoremadeFourierylalinealidaddelasecuaciones. AsE(x, y, z, t) =T_c(x, y, z)et_H(x, y, z, t) =T_1(x, y, z)et_+ IX-3GuasdeondaIIISe supondraque el medioentre conductorestieneunacaractersticalinealT = ()cB = () 1+ IX-4GuasdeondaIVPorotraparte,loscamposvendrandadosporlasoluciondelasecuacionesD = 0E =BtB = 0H =Dt+ IX-5GuasdeondaVEstas ecuaciones sonvalidas entreconducto-res, queproporcionanlascondicionesdecon-torno.Enel casodeconductoresperfectos,elcampoelectricotangencial sehadeanularenlasuperciedel conductor.As pues, el dominiodedenicionespacial delproblematienelaforma S T,siendo Slasec-cionentreconductores.+ IX-6GuasdeondaVIConlassuposicioneshechas,lasecuacionesdecamposon:c= 0c= 11= 01= cYademaslascondicionesdecontornoct = 0 conductores+ IX-7GuasdeondaVIIEsteesesencialmenteunproblemadeautova-lores, que se puede plantear formalmente como:L_c1_ = M_c1_SiendoLyMoperadoreslinealesqueincluyenel efectodelas ecuaciones diferenciales ylascondicionesdecontorno.+ IX-8GuasdeondaVIIISiendo especcos, Ly Maplican funcionesdenidas en (ST)(ST) con las apropiadascondiciones de contorno (es facil comprobarqueesunespaciolineal)en(S T) (S T).+ IX-9GuasdeondaIXConsideremos pues el operadorz. Como laseccionesconstante, esteoperador estabiendenidoenlosespaciosorigeneimagendeLyM.Porotraparte,esfacilcomprobarqueesteoperador conmutaconLyM. Por tanto, sepuedediagonalizarsimultaneamente,deformaquetodoautovectordelosprimerosoperado-resloesdelossegundos.Porotraparte, esclaroquelosautovectordeztendranunadependenciadez delaformaez.+ IX-10GuasdeondaXAs pues. dadalainvarianzadelaseccionconel ejez,ylasimetradel mismo,sedebetenerquec(x, y, z) =c(x, y)ez1(x, y, z) =1(x, y)ez+ IX-11GuasdeondaXIDeestaforma, seobtienequecxx+ cyycz= 0czycy= 1xcx czx= 1ycyxcxy= 1z+ IX-12GuasdeondaXIIAnalogamente, 1xx+ 1yy 1z= 0 1zy 1y= cx 1x 1zx= cy 1yx 1xy= cz+ IX-13GuasdeondaXIIIDeniendoel operador tcomoel operador enel quesesubstituyaladerivadarespectoazporal multiplicacionpor , setienequetc= 0t

c= 1t 1= 0t

1= c+ IX-14GuasdeondaXIVDeaqu sededuceque:tc=2ct 1=21+ IX-15GuasdeondaXVDeniendok2c= 2+2lasecuacionesanterioressepuedenescribir:2cxx2+ 2cxy2+k2c cx= 0etc.+ IX-16ClasesdemodosIPorotraparte, delasecuacionesrotacionalessesigueque:cx=1k2c_czx+ 1zy_cy=1k2c_czy+ 1zx_1x=1k2c_czy 1zx_1y=1k2c_czx 1zy_Aspues,ladeterminaciondelascomponenteslongitudinalesresuelveel problema.+ IX-17ClasesdemodosIIEstosignicaquesi seexistealgunasolucionenque ambosczy1zsondistintos de ce-ro, sepuededescomponer enlasumadedossolucionesenlascualescadaunadelascom-ponentes se anula. Por tanto, existen tres tiposdesoluciones(modos):Transversosmagneticos(TM):1z= 0.Transversoselectricos(TE):cz= 0.Transversos electromagneticos (TEM):cz=0y1z= 0.+ IX-18ClasesdemodosIIIEnlosmodosTMsetieneque:cx=k2cczxcy=k2cczy1x=k2cczy1y=k2cczx+ IX-19ClasesdemodosIVDeaqu sesigueque TM==c+x1+y= cx1y= c+y1+x=cy1xLacantidad TMeslaimpendanciaintrsencadeondasTM.+ IX-20ClasesdemodosVEnlosmodosTEsetieneque:cx=k2c 1zycy=k2c 1zx1x=k2c 1zx1y=k2c 1zy+ IX-21ClasesdemodosVIDeaqu sesigueque TE==c+x1+y= cx1y= c+y1+x=cy1xLacantidad TEeslaimpendanciaintrsencadeondasTE.+ IX-22ClasesdemodosVIIEnel casodeunaondaTEM, launicaformade obtener componentes transversales no nulasesquek2c= 0, oseaque:2+2 = 0Dedonde= + IX-23UnaguarectangularIConsidereselaguadelagura:+ IX-24UnaguarectangularIIAnalceseprimerolos modos TM. Por deni-cion1z= 0. Ademas2czx2+ 2czy2+k2c cz= 0Lacondiciondecontorno, asumiendouncon-ductorperfecto, escz= 0 en conductor+ IX-25UnaguarectangularIIILasoluciondeestaecuaciones:cz=Ez,mnsinmaxsinnby m, n = 1, 2, 3, . . .siendoEz,mnciertas constantes, yteniendosequecumplirquek2c=_ma_2+_nb_2EstasolucionsedenotaraporTMmn.+ IX-26UnaguarectangularIVPorotraparte, setienequek2c= 2+2Luegomn =___ma_2+_nb_2_2+ IX-27UnaguarectangularVComoenlasolucionapareceel factorexp( z)solamentelassolucionescomimaginariore-presentanondasquesepropagenalolargodelagua.Estosolamenteocurrirasi eslobas-tante alto, es decir, la gua es un ltro pasaalta.Lafrecuenciadecortees:fc,mm =c,mn2=12__ma_2+_nb_2_12+ IX-28UnaguarectangularVIConsiderenseahoralosmodosTE.Pordeni-cioncz= 0. Ademas2 1zx2+ 2 1zy2+k2c1z= 0LacondiciondecontornodeanulacionenlafronteradecxydecyimplicaparaunmodoTElascondicionesdevonNeumann: 1zx[x=0 = 1zx[x=a = 1zy[y=0 = 1zy[y=b = 0+ IX-29UnaguarectangularVIILasoluciondelaecuacionanteriores:1z=Hz,mncosmaxcosnby m, n = 0, 1, 2, . . .siendoHz,mnciertasconstantes.EstasolucionsedenotaporTEmn.+ IX-30UnaguarectangularVIIIComo anteriormente, existira una frecuenciadecorte:fc,mm =c,mn2=12__ma_2+_nb_2_12+ IX-31UnaguarectangularIXEn una gua como esta no existen modos TEM.Enefecto, severaquehacenfaltanal menosdosconductoresparasostenerunaondaTEM.+ IX-32UnaguarectangularXResumiendolosresultadosobtenidosparaunaguaparticular:+ IX-33UnaguarectangularXIAs puesa,porejemplo,10GHzsolamentesetransmiteel modoTE10. Lapintadel modo:+ IX-34UnaguarectangularXIIPortanto, conlaguadeondasnosolamentese transmite, sinoque tambiense ltray secontrolalapolarizacion.+ IX-35ModosTEMIUnmodoTEMse carazterizapor que Ez=Hz=0. Defnase por Tel operador nablarestringido a la seccion xy. Es facil comprobarqueT E = (E)z= Hzt= 0+ IX-36ModosTEMIIAdemassetienequeentreconductoresTE = E = 0Por tanto, entrelos conductores yparacadaseccionsetienenlasecuacionesdeuncampoelectrostatico. Esimportantehacer notar, sinembargo, quedeseccionenseccionel campovara de una forma no necesariamente com-patible con la de un campo electrostatico ocuasielectrostatico.+ IX-37ModosTEMIIIEstotienevariasconsecuencias:Elcampoelectricoesnormalalosconduc-tores. En efecto, la componente tangencialEzesnula, ylaotracomponentetangen-cial loes porque encadaseccionhay uncampoelectrostaticoquetienecomponen-tenormal nula.Existe un potencial para cada seccion talqueE = T+ IX-38ModosTEMIVEn cada seccion se tendra, por tanto, que T =0 entre conductores y constante en cadaconductor. Claramentedebehabermasdeunconductorparaqueel camponoseanulo.+ IX-39ModosTEMVPara los campos magneticos se concluye demanerasimilarqueTH = 0T H = jzEsdecir,paracadaseccionsetieneuncampomagnetostatico.+ IX-40ModosTEMVISepuedecalcularlapotenciaquesaledeunaseccion. Setieneque, integrandoel vectordePoyntingenlaseccionP =__E H ds=__(T) H ds=__T (H)ds +__T H ds=__jzds=

iiIiLaexpresionparecelaclasicadepotencial porintensidad, pero notese que es un potencial pe-culiar.+ IX-41ModosTEMVIIPor otraparte, sesabequeel campoEeslapartereal dec(x, y)etz. Por tanto, eslapartereal de(x, y)etzEl campoelectricototal, paraunafrecuencia, es:E(x, y, z) =c+ez+cez+ IX-42ModosTEMVIIISupongasequesolamentehaydos conducto-res. Entonces, paracadaseccionlatensionesV= 12. LuegoV =VmetzYlatensiontotalV (z) =V+m ez+Vmez+ IX-43ModosTEMIXSetieneanalogamentequeH(x, y, z) =1+ez+1ezEncada seccionhay uncampocuasimagne-tostatico, luego por la ley de Ampere Ii=_H dl, dedondeIi(z) =I+miez+ Imiez+ IX-44ModosTEMXPor otra parte, las leyes de Maxwell en el modoTEMquedan:cxx+ cyy= 0cy= 1xcx= 1ycyxcxy= 0 1xx+ 1yy= 0 1y= cx 1x= cy 1yx 1xy= 0+ IX-45ModosTEMXIDecy= 1xcx= 1ySesiguequecx1y= cy1x== TEM+ IX-46ModosTEMXIIPorotraparte 1y= cx 1x= cyLuegocx1y= cy1x== TEM+ IX-47ModosTEMXIIILuego= Sevequeessiempreimaginario,nohayfre-cuencia de corte, y la solucion representa ondasquesedesplazanavelocidadv ==1Ademas, laimpedanciacaractersticaqueda TEM=_

+ IX-48ModosTEMXIVSiseconsideraunsistemadedosconductores,signicaquelacargatotal encadaseccionesnula(si no, habralineas decampoqueaca-baran en un tercer conductor, quiza situado enel innito). Enestecasodedos conduc-tores, el campoal alejarsedelosconductoreshadedisminuir deformalobastanterapida,deformaquelaintegral__E dl = 0Comoloscamposelectricosymagneticossonproporcionales__H dl = 0PorlaleydeAmpere, validaencadaseccion,laintensidadtotal quecruzacadaseccionesnula.+ IX-49EcuacionesdelnealargaIConsidereseel cabledelagura+ IX-50EcuacionesdelnealargaIILaleydeFaradayestableceque__E dl = t___B ds = tmComoEzes nulo, si seintegraenunz, setieneque__E dl = V+(V+ Vzz) =VzzPorotraparte,enunmediouniforme,lineal yenelcualelcampomagneticoescuasiestaticoencadaregionsetienequem = lIz+ IX-51EcuacionesdelnealargaIIIPoniendotodojuntoVz= lIt+ IX-52EcuacionesdelnealargaIVPorotraparte, laecuaciondecontinuidad___j ds = qtDe nuevo, considerandountramoz de unconductor___j ds =IzzAdemas,comoencadaseccionhayuncampocuasielectrostatico:q = cV z+ IX-53EcuacionesdelnealargaVAs puesIz= cVt+ IX-54EcuacionesdelnealargaVIEnformacompleja, estasecuacionesquedan:dVdz=lIdIdz=cV+ IX-55EcuacionesdelnealargaVIIEstasecuacionesrepresentanondasconvelo-cidadv =1lcPorlotantolc = As pues, bastaconcalcular lacapacidadc ydeducirluegolainductancial.+ IX-56Magnetohidrodinamica.Hidrodinamica.EcuacionesMHDbasicas.Flujoestacionarioconfuerzasirrotaciona-les.FlujodeHartmann.Lmitedeconductibilidadinnita.+ X-1HidrodinamicaILa conservacion de la masa de un uido sepuedeescribirdeformaintegral como:ddt___V dv = 0siendoV cualquier volumentransportadoporel ujo. Enformadiferencial queda:t= (v)+ X-2HidrodinamicaIILaconservaciondel momentorequierequeddt___Vvidv =___VfidvDeaqu sesigueque___Vvitdv + ___Vviv ds =___VfidvYaplicandoel teoremadeGauss:___V_vit+(viv)_dv =___Vfidv+ X-3HidrodinamicaIIIExpandiendoel terminodelaizquierda:___Vvi_t+(v)_dv +___V_vit+vvi_dv =___VfidvDedonde_vt+(v)v_ = f+ X-4HidrodinamicaIVAmenudo, ladensidaddefuerzasepuedees-cribircomoladerivadadeuntensor:fi =TijxjEnel casodeunuidoperfecto,solamentelapresionapareceenel tensorTij= pij+ X-5HidrodinamicaVAs pues, enestecasolaecuaciondel movi-mientoqueda_vt+(v)v_ = p+ X-6HidrodinamicaVIHayotrasfuerzasquetienenparecidasexpre-siones. Porejemplo, lagravedadfg= g = (gr)En ocasiones, tambien la fuerzas electromagneti-casadmitenunaexpresionparecida:fe = c+ X-7HidrodinamicaVIIEnestoscasos, sepuedeescribirque_vt+(v)v_+p = (gr c)+ X-8HidrodinamicaVIIITeniendoencuentalaidentidadvectorial(v)v = (v) v + 12vvydeniendolavorticidadporw = vlaecuacionanteriorsepuedeescribircomo:_vt+wv_+_p + 12vv gr +c_ = 0+ X-9HidrodinamicaIXSi laecuacionanteriorseintegraalolargodeuna lnea de corriente entre a y b, de formaquewv = 0,yademasseconsideraunujoestacionario, deformaquevt=0, setieneelteoremadeBermouilli:_p + 12vv gr +c_ba= 0+ X-10HidrodinamicaXSi unapartedeunuidosemueverespectoaotra, se producen ciertas fuerzas de viscosidad.EstasfuerzassedescribenmedianteuntensordefuerzasviscosasTvijquehadedependerdecomovaralavelocidaddentrodel uido.+ X-11HidrodinamicaXILadiferenciadevelocidadesentredospuntosproximosvienedadaporlaexpresionvi(r +r) vi(r) =vixjxj=12_vixjvjxi_xj +12_vixj+ vjxi_xj=12(v)Ex +eijxjEesunamatriz(Eij= 1si (i, j)sonunaper-mutacionpar, y0si no), yeijel tensoreij=12_vixj+ vjxi_+ X-12HidrodinamicaXIISe puede esperar, si los gradientes de velocidadnosonmuyelevados,queel tensordefuerzasseaproporcional al gradiente de velocidades.Noobstante, aquellasvelocidadesquecorres-pondanal movimientodeunsolidorgidonodebieran contribuir al tensor. Los movimien-tos desolidorgidosontranslaciones (veloci-daduniforme, yportantogradientesnulos)yrotaciones. Comolasrotacionesdanvelocida-des wr, es facil comprobar queanulaneij.Porotraparte, enestecaso, v = 2w. Portanto, es el termino eijel que representa ladiferenciaconel solidorgido.+ X-13HidrodinamicaXIIIAs setienequeTvij= cijkleijLa potencia que disipan las fuerzas viscosassera, teniendoencuentaqueTij= TjiPd=___fvi vidv=___Tvijxjvidv=___Tvijvixjdv=___12Tvij_vixj+ vjxi_dv=___Tvijeijdv+ X-14HidrodinamicaXIVComolaexpresionenunuidohomogeneoeisotropo, no puede depender del sistema decoordenadas, setieneque, deformaanalogaal casoelasticoque:Tvij= ( 23)ijekk +2eij+ X-15HidrodinamicaXVConello, lafuerzaviscosaqueda:fvi=Tvijxj=xj__vixj+ vjxi_+_ 23_ vkxkij_= 2x2jvi +_ + 13_xivkxk= v +_ + 13_(v)+ X-16EcuacionesMHDbasicasIEnloscasosqueseestudiarannoapareceramuidos ferromagneticos, y por tanto puede con-siderarse que r=1. Ademas, en la cuartaecuacion de Maxwell se despreciaran las corrien-tesdedesplazamientoDtfrentealascorrien-tes de conduccionj. Enefecto, las primerassondel ordenD 0

rEsiendo la frecuencia de operacion caractersti-cadel sistema. jseraal menosdeordenj E+ X-17EcuacionesMHDbasicasIILahipotesisindicadasevericarasiempreque _c =

0

rLa frecuencia de relajacion electrostatica cvale, para el aluminio, del ordende 1018Hz.Porotraparte, siDtesdespreciable, tambienlosera la variacionde la densidadde carga.Portanto,sesupondraqueestaesnula.+ X-18EcuacionesMHDbasicasIIISe esta estudiando, pues, un sistema cuasi-magnetostatico. Enunsistemainercial dondeel lquidoesteenrepososetienequejt = Et.Peroal hacer latransformacionaunsistemadondeeluidoestaenmovimiento,seobtenaque:Et= E +v 0Hjt= j vSi 0, setienequej = (E +0v H)+ X-19EcuacionesMHDbasicasIVRecuerdese la expresion de la densidad de fuer-zaenunuidofi=xi_p0 + H22_H22xi2H2xi+xiHiBk+ X-20EcuacionesMHDbasicasVLaultimalneasereducea:

2H2xi+xiHiBk=HkHkxi+BkxiHi +HixiBk=(H) B+H(B) =j B+ X-21EcuacionesMHDbasicasVIAs pues:f= p0+12H22H22 2H2+j BComolapermeabilidadesconstanteeiguala0, lafuerzaelectromaneticaes:fm = j B+ X-22EcuacionesMHDbasicasVIIResumiendo, seobtienequeE =0HtH = 0H = (E +0v H)vt+(v)v +p = 0(E +v B) H+v +_ + 13_(v)t=(v)+ X-23Flujoestacionarioconfuerzasirrotaciona-lesIConsidereselaconuraciondelagura,queseextiendeindenidamenteenel ejeperpendicu-laralahoja:+ X-24Flujoestacionarioconfuerzasirrotaciona-lesIISupogase que el campo impuesto H0es muchomayorqueel creadoporlascorrientes.Enton-ces:fm= j B= 0(H) H=02 H2+(H) HPero(H) H = HyyHy= 0+ X-25Flujoestacionarioconfuerzasirrotaciona-lesIIIPortanto,sepuedeaplicarel teoremadeBer-mouilli:_p + 12vv gr 02H2_ba= 0Esdecir:pbpa = 12_v2b v2a_g (xbxa)02_H2b H2a_+ X-26Flujoestacionarioconfuerzasirrotaciona-lesIVSea H0el valor del campo impuesto. Entonces:02_H2b H2a_=02_(H0 +Hb)2(H0 +Ha)2_=0H0(HbHa) =0H0ILuegopbpa = 12_v2b v2a_g (xbxa) 0H0I+ X-27FlujodeHartmannIConsidereseunuidoincompresible:E =0HtH = 0H = (E +0v H)vt+(v)v +p = 0(E +v B) H+v(v) = 0+ X-28FlujodeHartmannIIEl campoHsera, engeneral, lasumadeuncampo externo impuesto H0mas el campocreado por las propias corrientes j. Se estu-dianlascondicionesparaqueelcampoH0seamuchomayorqueel otro.Laecuaciondeconservaciondel momentosepuedeescribircomo:vt+(v)v +p = 0j H+v+ X-29FlujodeHartmannIIISi l es la longitud caractertica del sistema,existen as dos escalas de velocidad caractersti-cas:vvisclvmagnj0HlPor otra parte, existendos escalas de j. Enefecto, si es lafrecuenciacaractersticadeloscamposenel sistema:jelec Ejmagn 0H0v+ X-30FlujodeHartmannIVLacorrienteelectricatienedosordenescarac-tersticos:jelec,elec Vljelec,magn 0lHVes el potencial electrico que se aplica a travesdel sistema.+ X-31FlujodeHartmannVLacorrientemagneticatienedosordenesca-ractersticos:jmagn,visc 0H0vvisc0lH0jmagn,magn 0H0vmagn 0j0H0lH0jmagn,magn230H30l+ X-32FlujodeHartmannVIElcampocreadoporlascorrientesesdeordenH jlPor tanto, si este campohade ser pequenorespectoaH0hadecumplirseV _H00H0l2_H00H0_H0230H30l2_H0+ X-33FlujodeHartmannVIILaterceraecuaciondependesolamentedelascaractersticasdel material, ysesuelecumplirsiempre. Lasegundasecumpleparafrecuen-ciasnoexcesivamentealtas. Laprimeratam-biensesuelevericarsalvoparatensionesex-tremadamentealtas. As pues, lamas intere-santeeslacuarta:H0_1l30Estaestambienfacil decumplir.+ X-34FlujodeHartmannVIIIAs pues, lasecuacionessesimplicana:H = 0H = 0E =0Htj = 0j = (E +0v H)vt+(v)v +p = 0j H+v+ X-35FlujodeHartmannIXSeaplicanahoralasecuacionesanterioresalaconguracionsiguiente:+ X-36FlujodeHartmannXEl campo electrico solamente tiene componen-tezE = Ezk =VwuzPortanto,lacomponentezdelacorrientees:jz= (Ez0vyH0)+ X-37FlujodeHartmannXIPor otraparte, seesperaenregimenperma-nente una velocidad v = vy(x)uy. En este caso,lacomponenteydelaecuaciondel momentosereducea:py= 0H0Ez(0H0)2vy +2vyx2Esdecir:d2vydx2 (0H0)2vyvy= 0H0Ez + 1py+ X-38FlujodeHartmannXIIEstaecuacionsepuedeintegrarrespectoax,teniendo en cuenta las condiciones de contornovy= 0parax = d2. Lasoluciones:vy=_1H2md24pyEz0H0_ _cosh(Hm2x/d)coshHm1_siendoHmel numerodeHartmannHm = 0H0d2+ X-39FlujodeHartmannXIIIEl numerodeHartmannmidelaimportanciarelativadelasfuerzasmagneticasydevisco-sidad. Enefecto, lapartedelacorrientequedependedelavelocidadesj 0vyH0,porloquelafuerzamagneticaquedependedelave-locidad(viscosa)es(0vyH0)(0H0). Lafuerzaviscosaes deordevy/(d/2)2. LarazcuadradadelasdoscantidadesesHm.+ X-40FlujodeHartmannXIVLarepresentaciondelavelocidad:+ X-41FlujodeHartmannXVEl gradientedepresion, siendopladiferen-ciadepresionentrelosextremosdel sistema,separadosunadistancial, esp/l. Portanto,el caudal valeQv= w_ d2d2vydx=d34H2m_tanhHmHm1_pld0H0_tanhHmHm1_V+ X-42FlujodeHartmannXVIPor otra parte, la corriente que consume elcacharroes:I = l_ d2d2jzdx= l_ d2d2 (Ez0vyH0)dx=dlVw0H0l_ d2d2vydx=dlVw0H0lwQv+ X-43FlujodeHartmannXVIIPortanto,lapotenciamecanicageneradaes:Qvp =4lwd3Q2vHm_H2mtanhHmHm+V_conV=V2Qvd2Lapotenciaelectricaconsumidaes:V I=2lwd_V Qv(V Hm)+ X-44FlujodeHartmannXVIIIRecuerdesequeHmes proporcional aH0. Elregimendelamaquinaseresumeenlagura.+ X-45LmitedeconductibilidadinnitaIRecuerdesequeH = (E +0v H)E =0HtDespejandoEdelaprimeraecuacionysubsti-tuyendo en la segunda, teniendo en cuenta queH = 0,1H0(v H) = 0Ht+ X-46LmitedeconductibilidadinnitaIIEnel lmitedel conductorperfecto,seobtieneque:0Ht0(v H) = 0+ X-47LmitedeconductibilidadinnitaIIIEsta ecuacion admite una interpretacion senci-lla.Desarrollandoelsegundoterminoteniendoencuentaque H = 0:Ht= (H) v (v) HH(v)+ X-48LmitedeconductibilidadinnitaIVSubstituyendolaecuaciondecontinuidad:v = 1tv ()seobtiene_t+v_H=_H_v+ X-49LmitedeconductibilidadinnitaVConsidereseahoraelsegmentoqueinicialmen-tecadapartculadel uidaconotraproxima(por ejemplo, la que esta a 1mmal NEent = 0). Al moverse el uido estos segmentos sedeforman,ydenenuncampovectorial l(r, t).Paracalcularcomovaraelsegmentoqueestapegadoaunapartculadada, secalculadldt=lt+lxixit=_t+v_l+ X-50LmitedeconductibilidadinnitaVIPorotraparte, si lavelocidadenel origendelvector l es v, laquehayenlapuntaes v +(l) v. Por tanto, setienequeenuntiempodt.dl = (l) vdt+ X-51LmitedeconductibilidadinnitaVIIJuntandotodo:_t+v_l = (l) vEstaeslamismaecuacionquerigeaH.+ X-52LmitedeconductibilidadinnitaVIIIAs pues, si en el instante inicial, los vectores l yHcoinciden, seguirancoinciendoenel futuro.As pues, si dos partculas estan sobre una lneadecampodeHenel instanteinicial, seguiranestando en la misma lnea en el futuro. AdemaslamagnitudHes proporcional aladistanciaentrepartculas.Se puede imaginar que las lneas de campoestanpegadasal uido.+ X-53