Electricidad y magnetismo

1 ELECTRICIDAD

1.1 LEY DE COULOMB La ley de Coulomb es una ley experimental que describe la interacción entre dos cargas

puntuales en reposo en el vacío, es decir que no puede ser utilizada cuando hay algún medio

material entre dos cargas o cuando éstas se mueven. Considerando una carga fuente 𝑞0 y una

carga prueba 𝑞1, la fuerza ejercida es proporcional al valor de ambas cargas, es decir 𝐹 ∝ 𝑞0𝑞1 y es

inversamente proporcional al cuadrado de la distancia 𝑟 que separa las cargas, por lo que 𝐹 ∝1

𝑟2,

por lo que finalmente tenemos que 𝐹 ∝𝑞0𝑞1

𝑟2 . Luego, se introduce una constante de

proporcionalidad 𝜅 =1

4𝜋𝜖0 para transformar la relación anterior en una igualdad, teniendo en

cuenta que 𝜖0 = 8,85 × 10−12 𝐶2

𝑁𝑚2 es la constante de permitividad del vacío. Teniendo en cuenta

que la fuerza es un vector, la Ley de Coulomb viene dada por

𝐹01⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝜅 ⋅

𝑞0𝑞1

𝑟012 ⋅ 𝑟01̂

Cabe destacar que la fuerza va dirigida según la línea que las une y su sentido lo da el producto

𝑞0𝑞1; si su signo es el mismo se repelen y si su signo es diferente se atraen. Finalmente, si 𝐹 es la

fuerza que ejerce una carga fuente sobre una carga prueba, por el principio de acción y reacción, la

carga prueba ejercerá una fuerza −𝐹 sobre la carga fuente.

Si bien esta ley describe el efecto de una única carga sobre otra carga prueba, se puede

extender teniendo en cuenta el principio de superposición, la cual establece que la interacción

entre dos cargas es completamente independiente de la presencia de otras cargas, o sea que para

calcular la fuerza ejercida sobre una carga prueba se suman las fuerzas parciales que ejercen otras

cargas sobre ésta, es decir, sean 𝑞1, … , 𝑞𝑛 cargas fuente y 𝑞0 la carga prueba

𝐹 = ∑𝐹𝑖0⃗⃗⃗⃗ ⃗

𝑛

𝑖=1

= 𝜅𝑞0 ⋅ ∑𝑞𝑖

𝑟𝑖02 ⋅ 𝑟𝑖0̂

𝑛

𝑖=1

1.2 LEY DE GAUSS PARA LA ELECTRICIDAD La ley de Gauss relaciona el flujo del campo eléctrico a través de una superficie cerrada con

la carga neta incluida dentro de la superficie. Puede decirse que el flujo (Φ) es la cantidad de líneas

del campo eléctrico que pasan por la superficie. Si consideramos un vector normal y saliente de

una porción infinitesimal de área de la superficie Δ𝑆⃗⃗ ⃗⃗ y sea el campo eléctrico generado por la carga

neta contenida en la superficie �⃗� y sabiendo que en cada porción de área Δ𝑆⃗⃗ ⃗⃗ y �⃗� forman un

ángulo 𝜃, tenemos que Φ = ∑ �⃗� ⋅ Δ𝑆⃗⃗ ⃗⃗ , entonces, en el límite obtenemos

Φ = ∮ �⃗� ⋅ 𝑑𝑆⃗⃗⃗⃗ 𝑆

Suponiendo el campo eléctrico ejercido por una carga puntual 𝑞1 dado por �⃗� =1

4𝜋𝜖0⋅𝑞1

𝑟2 ⋅ �̂� y

eligiendo una superficie gaussiana de forma esférica 𝑆, de radio 𝑟 y centrada en la carga 𝑞1,

tenemos que Φ = ∮ �⃗� ⋅ 𝑑𝑆⃗⃗⃗⃗ 𝑆

. Tomando ahora �⃗� ⋅ 𝑑𝑆⃗⃗⃗⃗ = 𝐸 ⋅ 𝑑𝑆 ⋅ cos𝜃, y sabiendo que el ángulo 𝜃

formado en todo punto entre el campo eléctrico y el vector diferencial de área es 0,

Φ = ∮ 𝐸 ⋅ 𝑑𝑆 ⋅ cos𝜃𝑆

. Como el campo eléctrico es constante en todo punto de la superficie,

Φ = 𝐸 ⋅ ∮ 𝑑𝑆𝑆

= 𝐸 ⋅ 4𝜋𝑟2, entonces, reemplazando 𝐸, obtenemos Φ =1

4𝜋𝜖0⋅𝑞1

𝑟2 ⋅ 4𝜋𝑟2 =𝑞1

𝜖0.

Cabe destacar que el flujo eléctrico es independiente de la superficie gaussiana elegida, por lo

tanto, en cualquier situación obtenemos el mismo resultado, entonces

Φ = ∮ �⃗� ⋅ 𝑑𝑆⃗⃗⃗⃗ 𝑆

=𝑞1

𝜖0

Una superficie gaussiana es cualquier superficie con alta simetría ya que esto implica que el

campo eléctrico sea constante en todo punto de la superficie y sea más sencillo operar

matemáticamente. Si bien la ley de Gauss es aplicable en cualquier superficie, no es conveniente

en superficies que no tengan un alto grado de simetría por la dificultad que conllevaría.

Teniendo en cuenta el principio de superposición obtenemos

Φ = ∮ �⃗� ⋅ 𝑑𝑆⃗⃗⃗⃗ 𝑆

= Φ = ∮ (∑𝐸𝑖⃗⃗ ⃗

𝑖

) ⋅ 𝑑𝑆⃗⃗⃗⃗ =𝑆

∑(∮ 𝐸𝑖⃗⃗ ⃗ ⋅ 𝑑𝑆⃗⃗⃗⃗

𝑆

)

𝑖

= ∑Φ𝑖

𝑖

Entonces se puede concluir que

Φ =𝑄𝑖𝑛𝑡

𝜖0

Con 𝑄𝑖𝑛𝑡 = ∑ 𝑞𝑖𝑖 , es decir, la suma de las cargas dentro de la superficie gaussiana. Es importante

aclarar que de no haber carga encerrada, el flujo es 0.

1.3 LEY DE OHM La corriente eléctrica se define como el flujo de cargas eléctricas que, por unidad de tiempo,

atraviesan un área transversal. Suponiendo que Δ𝑄 es la carga eléctrica que fluye a través del área

transversal 𝐴 en un periodo de tiempo Δ𝑡, la intensidad de corriente es 𝐼 =Δ𝑄

Δt. Ahora, si

consideramos 𝑛 partículas libres portadoras de carga, cada una de ellas con una carga 𝑞 y con una

velocidad de desplazamiento 𝑣𝑑, En el tiempo Δ𝑡, todas las partículas contenidas en el volumen

𝐴𝑣𝑑Δ𝑡 pasan a través del área 𝐴. El número de partículas en este volumen es 𝑛𝐴𝑣𝑑Δ𝑡 y su carga

es total es Δ𝑄 = 𝑞𝑛𝐴𝑣𝑑Δ𝑡, entonces

𝐼 =Δ𝑄

Δ𝑡= 𝑞𝑛𝐴𝑣𝑑

En un conductor, la corriente es impulsada por un campo eléctrico �⃗� , que ejerce una fuerza

𝑞�⃗� sobre las cargas. Si bien en un conductor en equilibrio electrostático, el campo eléctrico debe

ser nulo, al transportar corriente ya no se encuentra en equilibro por tanto existe un campo

eléctrico que ejerce fuerza sobre las cargas libres. Suponiendo un tramos Δ𝐿 lo suficientemente

pequeño como para considerar el campo eléctrico constante y teniendo en cuenta que el campo

eléctrico va dirigido de las regiones con mayor potencial hacia las de menos potencias (𝑉𝑎 > 𝑣𝑏),

tenemos que 𝑉 = 𝑉𝑎 − 𝑉𝑏 = 𝐸 ⋅ Δ𝐿. Cabe aclarar que si 𝑉𝑎 > 𝑣𝑏 quiere decir que hay una caída de

potencial por tanto hay una resistencia en ese segmento Δ𝐿, esa resistencia 𝑅 es proporcional a la

caída del voltaje 𝑉 e inversamente proporcional a la intensidad de la corriente 𝐼, es decir 𝑅 =𝑉

𝐼 o

más bien

𝑉 = 𝐼𝑅

Con 𝑅 constante. Esta ecuación constituye la ley de Ohm para materiales óhmicos.

Es importante aclarar que en algunos materiales, la resistencia depende de la corriente 𝐼

por lo que 𝑉 no es proporcional a 𝐼, estos materiales se llaman materiales no óhmicos.

1.4 LEYES DE KIRCHHOFF La primera ley de Kirchhoff, llamada ley de nodos establece que todas las corrientes que

entran en un nodo son igual a la suma algebraica de las corrientes que salen. Es decir, que la suma

de todas las corrientes es cero,

𝑖0 + 𝑖1 + ⋯+ 𝑖𝑘 = ∑𝑖𝑘 = 0

𝑘

La segunda ley de Kirchhoff, llamada ley de mallas establece que todas las caídas de potencial

en un lazo cerrado sumadas dan como resultado la tensión total suministrada, es decir que la

suma algebraica de las caídas de potencial dan cero,

𝑉0 + 𝑉1 + ⋯+ 𝑉𝑗 = ∑𝑉𝑗𝑗

= 0

2 MAGNETISMO

2.1 LEY DE BIOT-SAVART Cuando una carga puntual 𝑞 se mueve con una velocidad 𝑣 , se produce un campo

magnético �⃗� en el espacio dado por 𝑑�⃗� =𝜇0

4𝜋 𝑞�⃗� ×�̂�

𝑟2 , entonces, si sustituimos 𝑞𝑣 por 𝐼𝑑ℓ⃗

obtenemos

𝑑�⃗� =𝜇0

4𝜋

𝐼ℓ⃗ × �̂�

𝑟2

Esta ecuación describe la ley de Biot-Savart. El campo magnético es producido por una carga móvil

𝑞𝑣 o un elemento de corriente 𝐼ℓ⃗ y decrece con el cuadrado de la distancia de éste. Es importante

destacar que el campo magnético es perpendicular a 𝑣 y a �̂�. Para calcular el campo magnético

debido a la corriente total que circula por un circuito, hay que calcular el campo para cada

elemento de corriente y luego sumarlo, es decir, se integra. En general, si el 𝑟 es constante en

todo punto del circuito,

�⃗� =𝜇0

4𝜋

𝐼

𝑟2∫𝑑ℓ⃗

2.2 LEY DE GAUSS PARA EL MAGNETISMO

Si bien las líneas de un campo eléctrico �⃗� comienzan y terminan sobre las cargas eléctricas, las

líneas de un campo eléctrico �⃗� son curvas cerradas que empiezan en un polo y terminan en el

otro. El equivalente magnético de una carga eléctrica es un polo magnético es un polo magnético.

Si un extremo de una barra magnética está dentro de una superficie gaussiana, el flujo neto es

siempre 0

𝜙𝑚 𝑛𝑒𝑡𝑜 = ∮ �⃗� ⋅ �̂� 𝑑𝐴

𝑆

= ∮ 𝐵𝑛 𝑑𝐴

𝑆

= 0

Es decir que no existen monopolos magnéticos o polos magnéticos aislados no existen.

2.3 LEY DE AMPERE Esta ley relaciona la integral de línea de la componente tangencial 𝐵𝑡 alrededor de una

curva cerrada 𝐶 con la corriente 𝐼𝐶 que atraviesa la superficie limitada por dicha curva. El campo

magnético �⃗� es proporcional a la corriente eléctrica 𝐼𝐶 que constituye su fuente, entonces, para

cualquier curva cerrada 𝐶, la ley de Ampere establece que

∮ 𝐵𝑡𝑑ℓ

𝐶

= ∮ �⃗� ⋅ 𝑑ℓ⃗

𝐶

= 𝜇𝑜𝐼𝐶

Esta ecuación se cumple siempre que las corrientes sean estacionarias y continuas. Esta ley es útil

para calcular campos en situaciones de simetría tal que ∮ �⃗� ⋅ 𝑑ℓ⃗ 𝐶

= 𝐵𝑡 ⋅ ∮ 𝑑ℓ𝐶

, o sea el producto

del campo por una distancia. El sentido de 𝑑ℓ⃗ se calcula por la regla de la mano derecha.

2.4 LEY DE LENZ La ley de Lenz establece que la fem y la corriente inducidas poseen una dirección y sentido

tal que tienden a oponerse a la causa que las produce. En otras palabras, cuando se produce una

variación del flujo magnético que atraviesa una superficie, el campo magnético debido a la

corriente inducida genera un flujo magnético sobre la misma superficie que se opone a dicha

variación. Esta ley es una consecuencia del principio de conservación de la energía y explica el

signo negativo (-) en la ecuación que describe la ley de Faraday.

2.5 LEY DE FARADAY Si el flujo magnético a través de un área rodeada por un circuito varía por cualquier medio,

se induce una fem que es igual en módulo a la variación por unidad de tiempo del flujo que

atraviesa el circuito, es decir

𝜀 = −𝑑𝜙𝑚

𝑑𝑡

Donde el signo negativo viene dado por la ley de Lenz.

Esta fem es el trabajo realizado por unidad de carga, entonces debe existir una fuerza

ejercida sobre las cargas que las desplace, es decir, algo realiza un trabajo (recordando que 𝑊 =

𝐹𝑑). Como el campo magnético es perpendicular a la velocidad de arrastre de los portadores de

carga, éste no puede desplazarlos, por lo tanto no ejerce ningún trabajo; son las fuerzas eléctricas

asociadas con un campo eléctrico no conservativo 𝐸𝑛𝑐⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ las que realizan un trabajo sobre las cargas

móviles (el campo eléctrico resultante de un flujo magnético variable no es conservativo),

entonces

𝜀 = ∮ 𝐸𝑛𝑐⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⋅ 𝑑ℓ⃗

𝐶

= −𝑑

𝑑𝑡∫ �⃗�

𝑆

⋅ �̂� 𝑑𝐴 = −𝑑𝜙𝑚

𝑑𝑡