electricidad magnetismo optica y sonido tp alterna
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Circuito de Corriente Alterna
Cassoni Santiago; Citroni, Bruno Eduardo; Duarte, Martin Nicolás; Frías, Julián
Alberto; Gómez Zárate, Gonzalo Iván.
Resumen:
Se montó y se analizó un circuito en serie RLC, identificando los adelantos en el
voltaje, hallando los valores pico y valor eficaz de voltaje en cada elemento.
Año: 2012
Carrera: Ingeniería Eléctrica y Electrónica
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1. Introducción
1.1 Objetivo
El objetivo de esta experiencia fue el de analizar el comportamiento de un circuito
RLC conectado en serie, hallar los valores de tensión eficaz y de pico en cada uno
de los elementos del circuito, y analizarlo vectorialmente.
1.2 Teoría
Para empezar es importante aclarar los conceptos relacionados con las corrientes que varían en el tiempo. En estos circuitos, la función del inductor, quien desempeñará un papel importante junto con la autoinducción.
Auto inductancia
Supóngase un circuito que consta de una resistencia, una fuente con un interruptor. En el caso que el circuito esté cerrado, es necesario aclarar que la fuente no pasará de cero a su máximo valor por ley de Ohm, sino que aumentará gradualmente, como así también, el campo magnético producido a través del conductor. Como se ha visto en estudios previos, el campo magnético genera un fem inducida, la cual tendría un sentido que se opondría al campo magnético de origen, y por lo tanto en dirección contraria a la fem de la fuente. Este fenómeno es llamado autoinducción, por el hecho de la aparición de la fem inducida y el flujo variable.
Teniendo en cuenta la ley de Faraday, que la fem inducida es igual a la rapidez negativa del cambio de flujo magnético. El flujo magnético es proporcional al campo magnético generado a su vez por la corriente producida por la fem, es decir, la fem autoinducida es proporcional a la rapidez de cambio en el tiempo de la corriente de la fuente.
El=−N .d Φb
dt=−L .
dIdt
(1.1)
Donde L es conocida como la constante de proporcionalidad, o también conocida como Inductancia de la bobina, la cual es proporcional a la geometría del circuito entre otras dimensiones del circuito, y N es el número de espiras.
Por lo que operando de la ecuación (1.1) se obtiene:
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L=NΦb
I(1.2)
La ecuación anterior puede ser escrita de diferentes maneras también por ejemplo puede ser expresada:
L=−ε L
dIdt
(1.3)
Al igual que una resistencia, la inductancia es una medida de oposición a la corriente, y la unidad que comúnmente se usa es llamada Henry (H).
Circuitos de Corriente Alterna:
Hoy en día, en cualquier lugar podemos ver gran variedad de aparatos los cuales funcionan con corriente alterna, aquella corriente que es la que provee la potencia necesaria para poder operar esos aparatos que se puede encontrar desde nuestra casa, hasta en cualquier negocio.
Fuentes y Fasores de C.A
Cuando comúnmente se habla de generadores, se hace referencia directamente a la ley de inducción de Faraday. Cuando una espira conductora se somete a un campo magnético y ésta es obligada a girar con una determinada frecuencia angular ω, se es inducido un voltaje de tipo sinusoidal (fem) en la espira. El cual puede ser calculado de la siguiente manera:
ΔV=ΔV max . sen (ωt )(1.1)
Donde ΔV max es el voltaje de salida del generador, o también llamada amplitud de voltaje. Como se conoce la frecuencia angular es definida de la siguiente manera:
ω=2πf =2πT
(1.2)
Donde T es el período del generador, y f es la frecuencia a la cual trabaja este último. Debido a que el voltaje de un generador posee una onda sinusoide, en la mitad de su ciclo se podrá observar que durante una mitad del ciclo será positivo y durante la otra mitad será negativo.
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Los fasores son llamados a aquellos vectores los cuales representan corriente y voltaje y se van alternando en los diagramas de fasores. La longitud de un fasor ayudará a determinar la amplitud o valor máximo, en cambio la proyección.
Resistores en un circuito CA
Como se estudió previamente mediante kirchoff, podemos asegurar que en un circuito cerrado las caídas de potencial alrededor de una espira cerrada tiene que ser necesariamente cero. Por lo tanto:
∆V=∆V R=0
Donde ∆V R es el voltaje instantáneo que pasa por el resistor. Sabiendo esto podemos calcular la corriente de la siguiente manera:
IR=∆V R
R=∆V max . sen (ωt )=Imax . sen (ωt )(1.3)
Donde Imax será la corriente máxima:
Imax=∆V max
R(1.4)
De acuerdo a los cálculos anteriores se puede deducir que el voltaje instantáneo se puede definir de la siguiente manera:
∆V R=Imax . R . sen (ωt )(1.5)
Si se observara un gráfico mostrando la corriente y el voltaje del resistor, puede verse que tanto la corriente como el voltaje alcanzan sus picos positivos y negativos al mismo tiempo, eso quiere decir que varían de manera idéntica, y es por eso que se dice que están en fase. Se puede concluir que un voltaje que atraviesa un resistor de tipo sinusoidal siempre esta en fase con la corriente que pasa por el mismo.
Téngase en cuenta que el valor promedio de la corriente sobre un ciclo es cero. Es decir que barre un semiciclo positivo, y luego de esto, barre un semiciclo negativo en tiempos iguales. Cuando se habla del resistor con relación a la corriente, éste depende solamente de la magnitud de la corriente, ya que ante la presencia de ésta, hay movimiento de átomos y electrones en el material originando calor y es independiente del sentido de la corriente.
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Un punto interesante a destacar, es que recordando que la rapidez con la que la energía eléctrica se convierte en energía interna esta dada por la ecuación:
P=I 2R
Donde I 2 es la corriente instantánea que pasa a través del resistor. Sabiendo que la rapidez es proporcional al cuadrado de la corriente, el incremento producido por una corriente alterna, es mayor al que produciría una corriente directa/continua. Debido a que la corriente alterna, se encuentra en su valor máximo en un período breve de tiempo cada ciclo. Lo que juega un papel fundamental en los circuitos de tipo (C.A) son los valores rms o también llamado raíz cuadrada media, de la corriente. Teniendo en cuenta que la corriente
I rms=√i2 y sabiendo que i2 varía con la función sinusoidal sen2 (ωt ) y sabiendo que el
valor promedio es 12Imax
2 1la corriente en rms es:
I rms=Imax
√2=0.707 . Imax(1.6)
A partir de la deducción anterior se puede determinar la potencia de esta manera:
Pprom=I 2rms . R(1.7)
Así también pueden ser expresados los voltajes:
∆V rms=∆V max
√2=0.707 .∆V max (1.8)
Los voltímetros y los amperímetros de corriente alterna, son diseñados para leer los valores de rms. Además con estos valores de rms gran cantidad de ecuaciones tienen su misma forma en alterna como en contínua.
Inductores en C.A
Considere ahora el caso de un circuito con un generador de corriente
alterna, y una inductancia. Sabiendo que ∆V L=ε L=−L( didt ) y operando mediante
kirchoff, se puede concluir:
1 Se obvió una serie de operaciones para poder llegar al valor promedio, pero en este caso solo es importante presentar la fórmula.
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∆V=−L( didt )=0 (1.9)Remplazando en la ecuación (1.9) ∆V max . sen (ωt ) en ∆V , resolviendo y
despejando di se obtiene:
di=∆V max
L.∫sen (ωt ) . dt=
−∆V max
ωL.cos (ωt )(2.0)
Resolviendo:
iL=∆V max
ωL. sen (ωt− π
2 )(2.1)Con la ecuación (2.1) se puede concluir que el voltaje y la corriente
calculados en las ecuaciones anteriores no están en fase entre sí, están fuera de fase 90º.
Generalmente los inductores en c.a, producen una corriente fuera de fase con respecto al voltaje de c.a. También vale decir que el voltaje al no estar en fase con la corriente en presencia de un inductor, al presentar un pico positivo la corriente, el voltaje presentará un pico donde alcanzará un valor máximo pero de sentido opuesto, durante el trayecto sinusoidal.
Para un voltaje sinusoidal en presencia de un inductor, la corriente siempre esta atrasada con respecto al voltaje 90º o lo que es equivalente ¼ de ciclo.
Deduciendo el concepto de corriente máxima en un inductor podemos obtener las siguientes ecuaciones:
Imax=∆V max
ωL=
∆V max
XL(2.2)
Donde XL es la reactancia inductiva y tiene las mismas unidades que una resistencia (ohms) y es dependiente de la frecuencia y de las características del inductor. Es decir, a frecuencias más elevadas la corriente debe cambiar más rápidamente, provocando así un aumento en la fem inducida máxima.
XL=ωL(2.3)
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Podemos deducir que de acuerdo a la ecuación (2.2) a medida que la reactancia inductiva aumenta la corriente máxima disminuye. De la ecuación (1.3) analizando podemos deducir la siguiente ecuación:
( Imax ) . (XL ) . sen (ωt )(2.4 )
Capacitores en un circuito de C.A
Cuando se tiene un circuito el cual esta compuesto de un capacitor y generador de corriente alterna, lo primero que haremos es platear las ecuaciones de Kirchhoff.
∆V−∆V c=∆V max . sen (ωt )(2.5)
Donde ∆V c es el voltaje instantáneo aplicado al capacitor. Relacionando el concepto de corriente eléctrica se llega a la siguiente ecuación:
ωC .∆V max .cos (ωt )(2.6)
Operando2 se llega a lo siguiente:
iC=ωC .∆V max . sem(ωt+ π2 )(2.7)
Con esta ecuación podemos deducir que la corriente se encuentra adelantada con respecto al voltaje 90º, o lo que es lo mismo, cuando la corriente alcanza su valor máximo el voltaje aún no lo ha hecho.
De acuerdo con la ecuación (1.6) se obtendrá una nueva magnitud llamada reactancia capacitiva. La cual tiene unidades en ohm
X c=1
ωC(2.8)
Debido a esta magnitud se puede expresar el voltaje instantáneo de la siguiente manera:
∆V c=∆V max . sen (ωt )=(I ¿¿max) .(X ¿¿C) . sen (ωt )(2.9)¿¿
2 Se realizan operaciones trigonométricas para llegar a la ecuación siguiente.
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Tenga en cuenta que si la reactancia capacitiva disminuye, la corriente aumenta, y por lo tanto la corriente máxima también lo hará.
Circuito RLC en serie
Cuando se supone un circuito que consta de un capacitor, un resistor, y una inductancia, conectados a un generador de corriente alterna, el voltaje instantáneo quedará definido de la siguiente manera:
∆V=∆V max . sen (ωt )(2.9)
Mientras que la corriente variará de la siguiente manera:
i=Imax . sen (ωt−ϕ )(3.0)
Donde ϕ es denominado ángulo de fase, entre la corriente y el voltaje aplicado. Para analizar este factor, téngase en cuenta que al ser un circuito en serie, la corriente entre todos los puntos del circuito tienen la misma amplitud y fase. Particularmente el resistor con la corriente se encuentran en fase, el voltaje a través del inductor adelanta la corriente 90º, y el voltaje a través del capacitor atrasa la corriente 90º. Concluyendo los voltajes instantáneos para cada componente.
∆V R=Imax . R . sen (ωt )=∆V R . sen (ωt )(3.1)
∆V L=(I ¿¿max) . ( X L) . sen (ωt+ π2 )=∆V L .cos (ωt )(3.2)¿
∆V C=(I ¿¿max) .(X ¿¿C ). sen (ωt−π2 )=−∆V C .cos (ωt )(3.3)¿¿
Donde los voltajes expuestos son los valores máximos a través de:
∆V R=Imax . R∆V L=(I ¿¿max) . ( XL )∆V C=(I¿¿max).(X ¿¿C)¿¿¿
∆V=∆V R+∆V L+∆V C
Debido a la suma algebraica de los voltajes presentados anteriormente se obtiene ∆V max, el cual con el fasor corriente forma un ángulo ϕ.
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Suponga que tiene un eje cartesiano donde ∆V C y ∆V L tienen sentidos
opuestos. Operando vectorialmente para obtener la magnitud del vector ∆V max y relacionándolo con la corriente máxima se realiza el siguiente cálculo:
Imax=∆V max
√R2−(X L−XC)2(3.4)
Se introduce el concepto ahora de Impedancia, tendrá las unidades en ohm, y quedará definida como:
Z~¿√R2−(X L−XC)2
O también:
∆V max=Z . Imax(3.5)
Esta magnitud así como la corriente, dependen de la resistencia, la inductancia, la capacitancia, y la frecuencia.3
2. Desarrollo y Resultados
3
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Teniendo en cuenta las siguientes consideraciones:
La inductancia produce un efecto retardador en la corriente con respecto al
voltaje.
La capacitancia produce un efecto adelantador en la corriente con respecto al
voltaje.
La resistencia no produce ningún efecto de desfases en las ondas.
En las graficas se tienen voltajes en función del tiempo, y lo que observaremos
será, una onda del voltaje cuando la corriente atraviesa una resistencia, en la cual
la corriente y el potencial estarán “en fase”, una onda del voltaje cuando la
corriente atraviesa una bobina, en la cual el potencial estará adelantado con
respecto a la corriente, y una onda de voltaje cuando la corriente circula en un
capacitor, en el que el potencial estará atrasado con respecto a la corriente.
Usando como referencia una de las líneas divisorias, se analizó cual pertenece a
el voltaje directo, de lo que se concluyó que la onda verde es el voltaje en la
resistencia, la onda azul es el voltaje adelantado en la bobina y la onda roja el
voltaje atrasado en el capacitor. La onda naranja parece ser la obtenida
directamente de la fuente.
Valor de pico y eficaz de la tensión en cada elemento:
Para una señal sinusoidal, el valor eficaz de la tensión es: V ef=V 0
√2
Elemento Valor pico V 0 Valor eficaz V ef
Capacitor 1,8V 1,27VResistencia 1,6V 1,13VBobina 1,4V 0,98VFuente de C.A. 3V 2,12V
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Sumatoria vectorial de los voltajes:
2.1 Materiales utilizados
Interface PASCO (para dos sensores)
Sensor de campo magnético (CI-6520)
Sensor de movimiento rotatorio (CI-6538)
Imán de neodimio.
Soporte para sensor de movimiento
2.2 Montaje Experimental
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3. Discusión de resultados:
Se pudo observar que la impedancia que provee la bobina no es pura ya que,
dicha bobina está construida por un material conductor, el cual tiene una
resistividad propia del material. Esto no permite en este circuito que sea
resonante, ya que existe una pequeña reactancia capacitiva, que no fue
compensada por la reactancia inductiva.
4. Conclusión
Se pudo observar claramente el desfasaje de tensión en los diferentes
componentes, además se estudió que la tensión útil para producir trabajo es el
valor eficaz de tensión.
5. Referencia
Serway R. Fisica Volumen 2 Editorial Mc Graw-Hill (1992).
Tipler P. “Fisica” Ed. Reverté S.A. España (1986).
Resnick- Halliday “Física” Parte 2.
A.Kip. “Fundamentos de electricidad y magnetismo”
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Apéndice
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Cuestionario:
1. La impedancia (Z) se define como la oposición al paso de la corriente que ofrecen las resistencias, bobinas y capacitores en circuitos de corriente alterna.
2. En un circuito de corriente alterna, la inductancia provoca un retraso de pi/2 a la corriente con respecto a la tensión. Esto se debe a que la misma posee una resistencia interna llamada reactancia inductiva que depende de su construcción física.
3. Al igual al ítem anterior la capacitancia provoca un adelanto de pi/2 a la corriente con respecto a la tensión. Esto se origina por la resistencia interna que posee llamada reactancia capacitiva que depende de su construcción física.
4. Con el multímetro, se midió valores eficaces de corriente y tensión.5. En un circuito RCL se dice que está en resonancia cuando la bobina
y el capacitor tiene la misma frecuencia de trabajo
XC=XL⇒ 1ω.C
=ω .L
ω2= 1C .L
⟹ω=2Π f =√ 1C . L
f= 12π
.√ 1C .L
7. Experimentalmente si se conoce la tensión y la corriente aplicada al circuito, aplicando la ley de Ohm, se obtiene la impedancia y conociendo el valor de la resistencia, operando se obtiene la reactancia inductiva.
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SIMULACION
1. Hallar la expresión de la corriente que circula por el circuito.
2. Realizar el diagrama de fasores correspondiente al circuito. Y hallar el
desfasaje entre la tensión y corriente del circuito.
3. Teniendo en cuenta que la frecuencia de la fuente es variable, encontrar la
frecuencia de resonancia del circuito.
4. Colocando en al simulación un graficador de tensión y corriente en función
del tiempo determine aproximadamente los valores de pico a la frecuencia
de 0,5 Hz:
1) La corriente del circuito.
2) La diferencia de potencial en al resistencia.
3) La diferencia de potencial en al bobina.
4) La diferencia de potencial en el capacitor.
5) Realice los ítems 4.1 a 4.5 para la frecuencia de resonancia. Indicar
que ocurre con los valores de tensión y corriente en este caso.
5) Explicar el fenómeno de resonancia en el circuito.
6) Determinar la expresión de la potencia instantánea y el valor de
potencia media del circuito. (Realizar el cálculo a la frecuencia de 0,5
Hz y a la frecuencia de resonancia).
B) Circuito RLC Paralelo.
Con los mismos elementos del circuito anterior, construir un circuito
en los cuales los elementos se encuentren conectados en paralelo.
1) Hallar la impedancia del circuito.
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2) Realizar el diagrama de fasores para este caso.
3) Colocando en la simulación un graficador de tensión y
corriente en función del tiempo determine aproximadamente
los valores de pico a la frecuencia de 0,5 Hz:
1) La diferencia de potencial en los elementos del circuito
2) La corriente máxima en la resistencia.
3) La corriente máxima en la Bobina.
4) La corriente máxima en el capacitor.
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Cálculos para el circuito RLC serie
1)
Aplicando la ley de ohm en el circuito se obtiene:
I=VZ
I= V
√R2+ (XL−XC )2
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V
Iϕ=48º28`
Escala: Escala:
2)
Xl=ω.L
Xl=2Π .0,5Hz .20Hr=62,83Ω
Xc= 1ω.c
Xc= 12Π .0,5Hz .0,05 F
=6,37Ω
z=√R2+(XL−XC )2
z=√ (50Ω )2+(62,83Ω−6,37Ω )2
z=75,41Ω
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φ2=tan−1( Xl−Xc
R )
φ2=tan−1( 62,83Ω−6,37Ω
50Ω )=48 ° 28
I= V
√R2+ (XL−XC )2
I= 10V
√ (50Ω )2+(62,83Ω−6,37Ω )2=0,13 A
V R=I .R=0,13 A .50Ω=6,5V
V L=I . XL=0,13 A .62,83Ω=8,16V
V C=I . XC=0,13 A .6,37Ω=0,82V
V=√(V r )2+(V L−V C )2
V=√(6,5V )2+(8,16V −0,82V )2=10V
φ1=tan−1(V L−V C
V r)
φ1=tan−1( 8,16V−0,82V
6,5V )=48 °28
I=VZ
I= 10V /48 °2875,41Ω /48 °28
=0,13 A /0 °
Angulo de desfasaje entre V e I φ=48 ° 28
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3) Frecuencia de Resonancia
Xc=X l
1ω.C
=ω .L
ω=√ 1C .L
f= 12Π
.√ 1C . L
f= 12Π
.√ 10,05 F .20Hr
=0,159Hz
4) Valores de pico para una frecuencia de 0,5 Hz
1) I o=0,12 A
2) V r=7,4V
3) V L=9V
4) V c=0,9V
5)
XL=ω.L=2Π .0,159Hz .20Hr=19,98Ω≅ 20Ω
XC= 1ωC
= 12Π .0,159Hz .0,05F
=20,01Ω≈20Ω
z=√ (50Ω )2+(20Ω−20Ω )2=√ (50Ω )2
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z=50Ω
φ1=tan−1( 0Ω50Ω )=0 °
I=10V /0 °50Ω /0 °
I=0,2 A /0 °
5) Un circuito se dice que entra en resonancia, cuando la
frecuencia de trabajo en la bobina se iguala a la del capacitor.
Las reactancias se neutralizan y la impedancia total resulta
igual a la resistencia eléctrica.
De este modo el circuito se reduce RLC a un circuito R
(Resistivo puro).
6) Potencias para una frecuencia 0,5 Hz
Pm=12. I o
2 .R
Pm=12. (0,13 A )2 .50Ω=0,42w
Potencias instantáneas
P=I o2 .R .cos2 (ωt )
P= (0,13 A )2 .50Ω .cos2 (180 ° )=0,84W
PL=Vo . Io .cos (ωt ) . sin (ωt )
PL=10V .0,13 A .cos (180° ) . sin (180 ° )=0
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PC=−Vo2.C .ω.cos (ωt ) . sin (ωt )
PC=− (10V )2 .0,05F .2Π .0,5Hz .cos (180 ° ) .sin (180 ° )=0
Potencias para una frecuencia de 0,159 Hz
Pm=12. I o
2 .R
Pm=12. (0,2 A )2 .50Ω=1w
Potencias instantáneas
P=I o2 .R .cos2 (ωt )
P= (0,2 A )2 .50Ω .cos2 (57 °14 )=0,58W
PL=Vo . Io .cos (ωt ) . sin (ωt )
PL=10V .0,2 A .cos (57 ° 14 ) . sin (57 ° 14 )=0,9w
PC=−Vo2.C .ω.cos (ωt ) . sin (ωt )
PC=− (10V )2 .0,05F .2Π .0,159Hz .cos (57 °14 ) . sin (57° 14 )=−2,27w
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B) Circuito RLC en paralelo
1)
z= 1
√( 1R2 )+( 1Xl− 1Xc )
2
z= 1
√( 1(50Ω )2 )+( 1
62,83Ω− 16,37Ω )
2
z=7,34Ω
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I
V
ϕ=81º55`
Escala: Escala:
φ=tan−1( 1Xl− 1
Xc )( 1R )
φ=tan−1( 162,83Ω
− 16,37Ω )
( 150Ω )
=−81° 55
I= 10V /0 °7,04Ω /−81 °55
I=1,42 A /81 °55
2)
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3) Valores de pico para una frecuencia 0,5 Hz
1) V L=10V
2) V C=10V
3) V R=10V
4) IR=1 A
5) I L=1,5 A
6) IC=1,5 A
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