2

Unidad 4 – Electricidad – Resumen Electrostática Carga eléctrica. Es una propiedad que tienen algunas de las partículas constituyentes de los átomos que forman la materia, y se dice que los materiales están cargados cuando, por algún motivo, tienen un exceso o defecto de carga. - Hay dos tipos de carga: positiva ( + ) y negativa ( − ). - Dos cargas con el mismo signo se repelen y con distinto signo se atraen, y su fuerza de atracción crece con la cantidad de carga y decrece con la distancia según la ley:

- La constante dieléctrica relativa εr depende del material. Para el aire ( o vacío ) vale 1. Campo eléctrico. Es la fuerza eléctrica por unidad de carga.

- Para una carga puntual q, el campo eléctrico viene dado por: Líneas de fuerza ( o de campo ). Son todas las trayectorias que describiría una carga de prueba si la soltáramos cerca de la carga que produce el campo. - Las líneas de campo siempre van de ( + ) → ( − ) - Líneas de fuerza de un dipolo

Potencial eléctrico. Es la energía potencial eléctrica por unidad de carga.

2

212

00

2

29

mNC1085,8 ,

41

CmN 109k

⋅⋅==

⋅⋅= −ε

πε

Coulomb de Ley r

qqkF 221

r←

⋅⋅=

ε

( ) ( ) [ ]metroVolt

CoulombNewtonE

qrFrE p

===

[ ] voltV rQkV

r=⋅=

ε

( ) 2r r

QkrE ⋅=ε

3

Diferencia de potencial. Puede interpretarse como el trabajo que debe entregarse a una carga unitaria para moverla desde el punto uno hasta el punto dos. Por lo tanto indica qué posibilidad tiene una carga de ir desde un punto a otro, ya que es la energía potencial que tiene en un punto referida a la que tiene en el otro. Para un campo eléctrico constante se tiene:

- Diferencia de potencial entre 2 placas planas paralelas:

Materiales conductores ( cargas libres ). Metales, soluciones iónicas, grafito, etc - Tienen baja resistencia. - Las cargas se ubican siempre en la superficie externa. Materiales aislantes o dieléctricos ( cargas fijas ). Cuero, goma, papel, vidrio, plástico, madera, etc. Presentan alta resistencia a la corriente. -Todos los materiales incluso los que llamamos aislantes conducen aunque sea un poquito de corriente. Capacidad. Es la relación entre la carga y la diferencia de potencial que existe entre dos conductores cargados con cargas iguales y opuestas. - Si los conductores son dos placas planas paralelas a una distancia d se tiene un capacitor. Y su capacidad es: - La energía almacenada en el campo de un capacitor:

∆V = V2 − V1 = ∆V = E ⋅ d ; [ ∆V ] = [ V ] = volt

AQd1dEV

0r ⋅⋅

⋅=⋅=∆εε

Faradio o FaradFVoltCoul ] C [ ;

VQC ====

dA

VQC 0

r⋅

⋅==ε

ε

CQ

21 VC

21VQ

21U

22 =⋅=⋅=

4

Cargas en movimiento Corriente eléctrica. Es la cantidad de carga que pasa por una dada sección transversal de un conductor en un segundo.

Resistencia eléctrica. Es la oposición que ofrece un conductor al paso de la corriente. ρ = resistividad o resistencia específica. [ ρ ] = Ω ⋅ m.

- En general la resistencia depende del material, las dimensiones del conductor, la temperatura, la presión, etc. Materiales óhmicos. Son aquellos para los cuales una vez fijadas las dimensiones, el valor de R permanece constante para cada diferencia de potencial.

Ley de Ohm. “ La corriente I que circula por un conductor es proporcional a la diferencia de potencial ∆V a la cual éste está sometido ”

Efecto Joule. Se le llama así al aumento de temperatura que sufre un material cuando es atravezado por una corriente eléctrica.

[ P ] = Watt = v ⋅ A = A2 ⋅ Ω = v2/Ω.

[ ] ) Ohm ( R ; S

Lltransversa sección

longitudadresistividR Ω=⋅

=⋅

=ρ

[ ] Ampère) ( AsCI ;

tQ

tiempocarga de cantidadI ====

RVRIIVP

22 =⋅=⋅=

← Potencia consumida ( disipada ) en un conductor por efecto Joule.

V = R ⋅ I ← Ley de Ohm.

5

Circuitos eléctricos Circuito. Es todo camino conductor cerrado por el cual puede circular una corriente eléctrica. Generadores eléctricos. Son dispositivos que producen diferencias de potencial entre dos puntos de un circuito, lo que genera corriente eléctrica. - No fabrican cargas, sino que les aumentan el potencial. - No producen energía, sino que realizan trabajo eléctrico ( que convierte una forma de energía en otra ). - Tienen una resistencia interna que produce una caída de potencial cuando entregan corriente. Esto produce una diferencia entre la tensión nominal ( Vn ) y la tensión en bornes ( Vb ) dada por:

Acoplamiento en serie. Se llama así a las conexiones en las cuales todas las cargas pasan sucesivamente por todos los componentes del circuito. Acoplamiento en paralelo. Es cuando la corriente se divide y algunas cargas van por un lado y otras por otro es decir, ninguna carga pasa por todos los componentes.

Vb = Vn − i ⋅ Rint

R1 R2 Rserie21serie RRR +=

C1 C2 Cserie21serie C1

C1

C1 +=

RparaleloR1 R2

21paralelo R1

R1

R1

+=

C1 C2

Cparalelo

21paralelo CCC +=

V1 V2 Vserie

21serie VVV +=

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Leyes de Kirchoff. - Ley de los nodos: “La suma de las corrientes concurrentes a un nodo da cero”. - Cada número va con su signo: (+) si la corriente entra al nodo y (−) si sale del nodo – Ley de las mallas: “La suma de todas las caídas de potencial en una malla da cero”.

- Convención de signos: “ En cada malla, las corrientes que circulan con el mismo sentido tienen el mismo signo y las que circulan en sentido contrario, signo opuesto”

Fin Resumen

0Inodo

i =∑

( )IRV 0Vmalla

i ⋅=∆=∆∑

7

UNIDAD 4 – ELECTRICIDAD

- Che, ¿ vos entendés este asunto de las cargas eléctricas y todo eso ? Porque la verdad que no veo qué diablos tiene que ver con los seres vivos... - Claro que tiene que ver... es eso de que los tipos estos frotaban un gato con una barrita y después levantaban papelitos cortados acercándoles la barra.... - ¿?!¿¿?!!??? - Estemmm... ah! sí, sí, era eso... uy! Me tengo que ir urgente... me acordé de que tengo algo muy importante que hacer....

Uff !... Mejor me leo el apunte de y listo... Ahí está todo re-bien explicado!

Electrostática ¿ Qué es la carga eléctrica y de dónde sale ? Todas, todas, pero todas las cosas están hechas de átomos. Cada átomo está formado por un núcleo masivo, compuesto por dos tipos de partículas: los protones y los neutrones. Y además hay otras partículas chiquitas que orbitan alrededor del núcleo: los electrones. Resulta que algunas de estas partículas tienen una propiedad a la que llamamos carga eléctrica. La carga, se manifiesta de dos formas opuestas, y para diferenciarlas se las llama carga positiva ( + ) y carga negativa ( - ).

Los protones están cargados positivamente; los neutrones son neutros, es decir no tienen carga, y los electrones están cargados negativamente ( con una cantidad de carga igual a la de los protones ). Como los átomos en su estado natural tienen igual número de protones que de electrones ( o sea, igual cantidad de cargas

positivas y negativas ), son naturalmente neutros.

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Ahora bien, resulta que realizando acciones externas sobre algunos materiales ( golpeándolos, frotándolos con otros materiales, etc. ), uno puede sacarle o agregarle electrones a algunos de los átomos que forman el material ( ionizarlos ), y de esta forma el material queda con un exceso o un defecto de carga.

⇒ Queda “cargado”. Si el resultado neto es que al material se le sacó electrones, éste queda cargado positivamente ( porque los electrones afanados eran negativos ). En cambio si el material ganó electrones, queda con un exceso de carga negativa o sea, cargado negativamente. La unidad más común para medir cuánta carga tiene un cuerpo es el Coulomb ( que se simboliza con una C y se lee “culomb” ). Entonces, para que quede claro: - Bien, pero ¿ qué tiene de importante la carga eléctrica ? - - Bueno, justamente se llama carga eléctrica porque es la carga lo que genera la corriente eléctrica que usamos todo el tiempo y en todos lados: en los aparatos y máquinas, en las lamparitas y también en nuestro propio cuerpo para caminar, mover el dedo índice para dar vuelta la hoja o en el cerebro para entender lo que estás leyendo en este momento. Por todos lados hay corriente eléctrica y eso existe porque existe la carga eléctrica. - Ah–ha! Al fin apareció un ser vivo... - Si... vivos siempre aparecen... - Y pero ¿ cómo “trabaja” la carga para hacer todo esto que me decís ? - A eso es a lo que quería llegar, porque al menos para mi, es muy, muy interesante. Escuchá: viste que te dije que la carga viene en dos gustos: positiva y negativa. Bueno, resulta que cuando uno acerca dos cargas con el mismo signo las tipas no quieren saber nada: se repelen.

La carga eléctrica es una propiedad que tienen algunas de las partículas constituyentes de los átomos que forman la materia, y se dice que los materiales están cargados cuando, por algún motivo, tienen un exceso o defecto de carga de algún signo.

9

En cambio si arrimás una negativa a una positiva se atraen cada vez con más fuerza hasta que se juntan. O sea, cada vez que hay cargas dando vueltas aparece una fuerza en la dirección de la recta que las une: la fuerza electrostática; que se ejerce a distancia, y sin que las cargas tengan que tocarse ! Eso es algo muy notable!. ( ... y pensar que yo hace cuatro años que trato de hacer callar al loro del vecino “a distancia” y nunca encontré más remedio que tirarle piedras!. Probé todos los métodos pero no hay caso: para interactuar con el pájaro no hay otra forma que el contacto físico. Pero a distancia nada che!... ) Pero volvamos a la fuerza electrostática. Un ingeniero francés ( Charles Coulomb ) se puso a hacer experimentos con cargas, allá por 1780, hasta que consiguió sacar la ley matemática que cumple esta fuerza. Es la ley de Coulomb: En esta fórmula tenemos: - k que una constante ( siempre vale lo mismo ) para acomodar las unidades, y vale: - N es de “ Newton ” ( que es una unidad de fuerza ), m son metros ( unidad de distancia ) y C son Coulombs ( unidad de carga eléctrica ). - q1 y q2 son las cargas que tienen las partículas que interactúan. - r es la distancia que las separa. - Y εr es un número que tiene que ver con el material que está entre las dos cargas y su valor varía según el material que puede ser aire, agua, madera o cualquier cosa. Para el vacío ( o sea cuando no hay nada entre las cargas ) o cuando hay solamente aire se pone εr = 1. Entonces, mirando la fórmula se ve que cuanto más grande sean las cargas, más grande será la fuerza de interacción ( por el producto q1 ⋅ q2 ). Y cuanto más grande sea la distancia que las separa ( r ), más chica será la fuerza ( ya que r está dividiendo, y encima al cuadrado ). O sea que la fuerza se hace más y más intensa a medida que las cargas se van juntando. Y otra cosa más: fijate que si las dos cargas tienen el mismo signo, F da positiva,

2

212

00

2

29

mNC1085,8 con ,

41k también o

CmN 109k

⋅⋅==

⋅⋅= −ε

πε

Coulomb de Ley r

qqkF 221

r←

⋅⋅=

ε

10

( porque q1 ⋅ q2 = + por + da +; y − por − también ). En cambio si q1 y q2 son una positiva y la otra negativa, F es atractiva y da con signo menos. Para ver si me explico podemos hacer un problemita de ejemplo. A ver este: < Ejemplo > Fuerza de Coulomb

Calcular la magnitud y dirección de la fuerza resultante sobre la carga q de la figura, si:

q = 10−6 C; Q = 2 ⋅ 10-6; a = 1,2 m. Bueno, primero calculamos la fuerza que ejerce sobre q cada una de las cargas Q. La negativa da: Y es atractiva ya que dio con signo menos ( porque las cargas tienen distinto signo ). Entonces sobre q ejerce una fuerza que apunta hacia -Q. Y para la otra carga tenemos: Que es repulsiva ( trata de alejar las cargas ). Entonces la fuerza F+ sobre q apunta en sentido contrario a +Q. Por lo tanto, la fuerza resultante sobre q es la suma de F+ y F− ya que las dos apuntan para el mismo lado. Y esto da: ⇒ Ftotal = F+ + F− =

= 0,0125 N + 0,0125 N = 0,0250 N O sea que por la forma en que están dispuestas las cargas, las dos Q actúan sobre q colaborando para empujarla; por más que tengan distinto signo.

( )=

−⋅⋅=

⋅⋅=⇒ −

aQq

1k

rqqkF 22

21

rε

( )( )

N 0125,0m 2,1

C102C10CmN 109 2

66

2

29 −=

⋅−⋅⋅

⋅⋅=

−−

( εr = 1 ya que entre las cargas hay aire )

N 0125,0 aQq

1k

rqqkF 22

21

r=

⋅⋅=

⋅⋅=⇒ + ε

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Campo eléctrico y líneas de fuerza Como vimos, la fuerza de interacción electrostática depende de las cargas y de la distancia entre ellas. Entonces si cambiamos una de las cargas vamos a obtener otros valores para la fuerza aunque la pongamos en el mismo lugar en que estaba la otra. Y si ahora agarramos otra carga nueva, otra vez cambia todo. Entonces, para hacer más fácil la descripción de la interacción, se usa el concepto de campo eléctrico ( E ), que se define así: “Si tenemos una carga Q, a su alrededor se establece un campo eléctrico dado por: Si ahora acercamos una carga “de prueba” qp, ésta sentirá una fuerza dada por: ( Fijate que esto es lo mismo que dice la ley de Coulomb, ya que:

De esto se ve que las unidades del campo eléctrico son unidades de fuerza sobre unidades de carga, ya que: Luego: ← Representación gráfica → El campo eléctrico puede representarse gráficamente poniendo en cada punto una flechita con la dirección que tiene ahí el campo ( o sea con la dirección de la fuerza que sentiría una carguita de prueba puesta en ese lugar ). Y además, con la longitud de la flechita se representa la intensidad del campo en ese punto ( cuanto más fuerte el campo, más larga la flecha ).

( ) ( )rEqrF p⋅=

) r

qQk rQkqEqF 2

p

r2

rpp

⋅⋅=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅=⋅=

εε

metroVolt o

CoulombNewton] E [ =

( ← Enseguida veremos qué es un voltio... )

( ) 2r r

QkrE ⋅=ε

Campo Eléctrico de una carga puntual Q

( ) ( ) ( ) ( )p

p qrFrE rEqrF =⇒⋅=

12

Por supuesto: no se puede poner una flecha en cada punto!! Serían infinitas flechas!! . Por esto una forma más usual de representar el campo eléctrico es a través de las líneas de campo ( o líneas de fuerza ). Lo que se hace es “ unir ” todos los puntos por los que se movería una carguita de prueba si la soltáramos cerca de la carga que produce el campo. Vendrían a ser las trayectorias posibles de la carga de prueba. Y de nuevo: no se dibujan todas las líneas. Solamente algunas para que uno al verlas tenga una idea de la pinta del campo. O sea, algo así: Fijate que las líneas de campo “ salen ” de las cargas positivas y “ entran ” a las negativas.

Las líneas de campo siempre van de ( + ) → ( − ) ¿ Cuál es la ventaja de pensar en campos eléctricos ? Que toda la información de la interacción debida a la carga q está “guardada” en el campo E. Entonces lo único que hay que hacer para encontrar la fuerza que siente cualquier otra carga que se acerque a la carga Q hasta una distancia r, es multiplicar el campo por el valor de la carga merodeadora y listo !!. < Ejemplo > Campo y líneas de fuerza de un dipolo

Se llama dipolo eléctrico a un sistemita de dos cargas de igual magnitud, una positiva y la otra negativa, fijas a una distancia d, o sea que aunque se quieren atraer por tener distinto signo no se pueden mover, están ( clavadas o algo ).

La fórmula del campo eléctrico de un dipolo es difícil de sacar, pero al menos vale la pena conocer la “pinta” de las líneas de campo. Son más o menos así →

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Este modelito es muy útil porque existen muchísimas moléculas que tienen un campo eléctrico con esta pinta ( se llaman moléculas polares ). Sin ir más lejos:

la molécula de agua. Y además existen algunos animales como por ejemplo ciertos peces, que generan un campo eléctrico dipolar, porque acumulan cargas de distinto signo en sus extremos y con ese campo se orientan y “ven” los objetos que tiene cerca.

¿ Y ?... hasta acá creo que se entiende ¿ no ? Bueno ahura prestá atención porque esto que viene es muy importante para entender porqué existe la corriente eléctrica y todas sus consecuencias. Potencial eléctrico - ¿ Te acordás qué es la energía potencial ? - Estemmm... creo que era algo del trabajo... Ah! sí!!! La energía potencial es la capacidad de entregar trabajo que tiene un sistema. Es una energía que está guardada pero disponible para ser utilizada como energía cinética o como calor o como otras formas de energía. Bien!!. Eso es la energía potencial. Si tengo un ladrillo en un campo gravitatorio como el de la Tierra, y lo levanto hasta arriba de mi cabeza el tipo tiene una energía guardada: si ahora lo suelto el ladrillo empieza a caer, gana energía cinética, ( porque primero estaba quieto y después se empezó a mover cada vez más rápido ) hasta que le cae en la cabeza a una hormiga que pasaba silbando bajito, y recibe toda la energía que tenía acumulada el ladrillo por estar más alto que ella... Bueno. En electrostática la cosa es igual salvo que en vez de un campo gravitatorio tenemos un campo eléctrico. Si tenemos una carguita de prueba ( positiva ), en vez de una masa, como es el ladrillo, la tipa gana o pierde energía potencial eléctrica, según se acerque o se aleje de la carga que genera el campo eléctrico.

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La energía potencial eléctrica se calcula haciendo: Y ahora, así como vimos que en vez de trabajar con la fuerza de Coulomb era más conveniente usar el campo eléctrico, que es la fuerza por unidad de carga E = F/q acá también resulta más conveniente pensar en la energía potencial por unidad de carga. Esto es el potencial eléctrico. Entonces, ← Diferencia de potencial → Con la fórmula anterior podemos determinar el potencial en un punto cualquiera de un campo eléctrico. Si nos fijamos el potencial que hay en un punto r1, y el que hay en un punto r2 y los restamos, obtenemos lo que se llama diferencia de potencial. Por lo tanto: Para seguir con la analogía, en el campo gravitatorio la diferencia de potencial entre dos puntos está directamente relacionada con la diferencia de altura que hay entre ellos. Por ejemplo entre el punto donde yo tenía levantado el ladrillo y la cabeza de la hormiga había una diferencia de altura, y por eso el ladrillo cae... Si en cambio lo dejo arriba de una mesa al coso ni se le ocurre moverse hacia otro lugar de la mesa! Eso es por que todos los puntos de la mesa están a la misma altura y entonces no hay diferencia de potencial gravitatorio. Lo mismo pasa con el potencial eléctrico: si dejamos una carga en alguna región que tenga toda el mismo potencial se queda ahí y no se mueve para nada.

rqqkE 21

rEléctrica .Pot

⋅⋅=

εSí, igual que Coulomb pero la distancia no va al cuadrado.

El potencial eléctrico es la energía potencial que tendrá una carga unitaria puesta en el campo eléctrico de una carga Q, y se calcula con:

La diferencia de potencial entre dos puntos nos dice qué posibilidad tiene una carga de ir desde un punto al otro, ya que indica la energía potencial que tiene en un punto referida a la que tiene en el otro.

Potencial rQkV

r←⋅=

ε

potencial de Diferencia VVV 12 ←−=∆

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La otra interpretación de la diferencia de potencial es que representa el trabajo que uno tiene que entregarle a la carga para moverla desde el punto uno hasta el punto dos. En cuanto a las unidades, el potencial ( y por lo tanto también la diferencia de potencial ), se mide en volts. Y por eso a la diferencia de potencial se le dice voltaje:

⇒ [ V ] = [ ∆V ] = volt Ah! me olvidé de decirte: los corchetes [ ] quieren decir “unidad de”, o sea acá [ V ] = volt se lee: “ la unidad del potencial es igual al volt ”. < Ejemplo > Diferencia de potencial entre 2 placas planas paralelas

Si tengo dos placas cargadas ( con igual carga pero de distinto signo ) separadas por una distancia ∆x ( mucho más chica que el tamaño de las placas ), entre ellas se establece un campo eléctrico E uniforme, es decir: que vale lo mismo en cualquier punto entre las placas.

Si pensamos la diferencia de potencial como el trabajo necesario para desplazar una carga de un punto a otro del espacio entre las placas tenemos: O sea: volt = ( volt/m ) ⋅ m - En esta fórmula A es el área o superficie de las placas.

¿ Por qué te muestro este sistema de cargas ? Por que esta disposición: dos placas conductoras cargadas con carga igual y opuesta, es muy particular y se usa en muchísimas aplicaciones de electricidad y electrónica; y además es la forma más fácil de estudiar el concepto de capacidad eléctrica, que aparece cada vez que hay cargas dando vueltas.

dist eléctrico campodistcargafuerza

cargadistanciafuerza

cargatrabajo

potencial de dif.

⋅=⋅=⋅

==

Ojo!! esto solamente vale porque el campo eléctrico es uniforme entre las placas...

No vale en cualquier situación! A

Qd1dEV0r ⋅⋅

⋅=⋅=∆εε

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Pero vayamos por partes ( dijo un descuartizador...). Recién dije algo que ni te diste cuenta: placas “ conductoras ” cargadas. ¿ Qué quiere decir que un material sea conductor ? Viste que la carga de cualquier cuerpo es la diferencia entre la cantidad de protones y electrones en los átomos que forman el material. Bueno, resulta que hay materiales, como la mayoría de los metales, o las soluciones iónicas, que tienen sus electrones medio sueltos. O sea están ahí, pertenecen a los átomos del material, pero pueden pasearse por todo el cuerpo sin que nadie les diga ni mu. En cambio otras sustancias como la la madera por ejemplo, tienen sus electrones recontra pegados a los átomos y no hay caso: los tipos no se pasan a otro átomo ni aunque les peguen... Entonces podemos dividir a los materiales en dos grupos grandes:

Conductores ( electrones nómades )

Aislantes o No-conductores ( electrones sedentarios )

metales, soluciones iónicas, grafito, etc

cuero, goma, papel, vidrio, plástico, madera,

y la mayoría de los materiales! Ojo!: Todos los materiales ( pero todos eh!? ) conducen algo. Lo que pasa es que, vistos a ojos de abuela, como los “ aislantes ” conducen muy muy poquito, uno directamente dice: este no conduce y listo.

← Fijate en el dibujo. Las carguitas están dibujadas por fuera de los conductores. Eso no es porque sí. Eso es porque como dijimos, en los materiales conductores los electrones se pueden desplazar casi libremente, y como todas las cargas son del mismo signo se repelen y se mueven hasta alejarse lo más

posible unas de otras. Por lo tanto:

Ahora sí podemos hablar de:

En cualquier conductor las cargas se ubican siempre en la superficie externa.

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Capacidad eléctrica Si tenemos dos o más conductores ( de cualquier forma ), cargados con cargas iguales y opuestas, entre ellos existe una diferencia de potencial. Se llama capacidad a la relación entre la carga que tienen y esta diferencia de potencial. Esto es: Esa es la definición de capacidad. Fácil, ¿ no ? Un detallecito: en general cuando hablamos de capacidad se pone Ce igual a Qu sobre Ve pero esta Ve es la diferencia de potencial. Lo que pasa es que como se toma el potencial de uno de los conductores como referencia, entonces deltaVe es lo mismo que Ve (∆V = V) ¿ Se entiende ?. < Ejemplo > Capacitor

Si pensamos de nuevo en las dos placas planas paralelas separadas por una distancia d tenemos que la capacidad de este sistema es: Como este sistema es tan usado tiene nombre propio: se llama Capacitor o Condensador.

Entonces, si por ejemplo tenemos un capacitor cuyas placas están cargadas con 5 ⋅ 10-6 C cada una, separadas por una distancia de 0,3 mm; y la diferencia de potencial entre las placas, medida con un voltímetro ( aparato para medir diferencias de potencial ), es de 12 V, su capacidad será:

F10167,4V 12

C 105 VQC 7

6−

−

⋅=⋅

==

dEq

VQC

⋅==

Faradio. o FaradVoltCoul ] C [ ;

VQC ===

18

Como el faradio es una unidad un poco grande para los números que se manejan usualmente, se acostumbra a utilizar un submúltiplo: el micro Faradio ( µF ) que equivale a una millonésima del faradio, o sea: 1 µF = 10-6 F. En esta unidad la capacidad de nuestro condensador es:

C = 4,167 ⋅ 10-7 F = 0,4167 ⋅ 10-6 F = 0,4167 µF Además, con los datos que tenemos podemos calcular el valor del campo eléctrico en el espacio entre las placas haciendo:

← El efecto de los dieléctricos en los capacitores → - Efecto de los die - qué?!?!. - Los dieléctricos. Se les dice así a los materiales no-conductores, a los que llamamos aislantes... - Ahh!... ¿ Y qué efecto tienen en los capacitores ? - Uno muy importante: Aumentan muchísimo su capacidad!! - Ah, sí ?. ¿ Y cómo ? - Viste que vimos que entre dos placas cargadas la diferencia de potencial es: Bueno, la constante dieléctrica relativa del material εr es, en general, bastante mayor que 1 ( vale uno cuando lo que rodea a las cargas es aire o vacío ). Si reemplazamos esta expresión en la definición de la capacidad obtenemos: Por lo tanto, si entre las placas del capacitor insertamos un material, la capacidad se multiplica por εr. Para que te des una idea, el agua tiene un εr de entre 60 y 80 ( según la temperatura y la pureza del agua ). Es decir, el mismo capacitor metido en agua tiene entre 60 y 80 veces más capacidad que en el aire!!.

dCqE

dEqC

⋅=⇒

⋅=

mV 104

m10 3,0F10167,4C105E 4

37

6⋅=

⋅⋅⋅⋅

=⇒−−

−

AQd1dEV

0r ⋅⋅

⋅=⋅=∆εε

dA

VQC 0

r⋅

⋅==ε

ε

19

< Bio-Ejemplo > Membrana célular

Los iones dentro y fuera de una célula están separados por una membrana plana de 10−8 m de espesor, con una constante dieléctrica εr = 8. Encontrar la capacidad de 1 cm2 de esta membrana.

Primero pasamos metros cuadrados los centímetros cuadrados para que den bien las unidades:

1 cm2 = 1 ( 10-2 m )2 = 1 ⋅ 10-4 m2. Entonces aplicamos la fórmula:

← Energía almacenada en el campo de un capacitor → Recién vimos que entre las placas de un condensador se establece un campo eléctrico producido por las cargas que están en las placas. Y esto produce una diferencia de potencial. O sea que si yo pongo una carguita de prueba ( positiva ) cerca de la placa cargada con carga ( + ), ésta se va a empezar a mover hacia la otra placa. Este desplazamiento multiplicado por la fuerza que la obliga a moverse me da el trabajo realizado por el campo eléctrico sobre la carguita. ¿ A dónde voy con todo esto ? A que si el campo puede realizar un trabajo, quiere decir que el tipo tiene energía potencial almacenada ( acordate que la energía potencial de un sistema físico mide la capacidad que tiene de desarrollar trabajo ) Por suerte ya hace mucho que se encontró una formulilla muy fácil para calcular la energía almacenada en el campo de un capacitor, y yo te la copio acá en tres versiones distintas par que puedas usarla según qué datos te den: Fijate que lo único que usé para escribir la energía con distinta pinta es la definición de la capacidad C = Q / V.

CQ

21 VC

21VQ

21U

22 =⋅=⋅=

( ) F1008,7m10

m10mN C1085,88d

AC 78

24212120

r−

−

−−−−

⋅=⋅⋅

⋅=⋅

⋅=ε

ε

20

Hasta acá todo bárbaro. Pero claro, sólo vimos electrostática, es decir: la electricidad de las cargas estáticas. Ahora viene lo bueno: las cargas se empiezan a mover! , y con esto aparece la corriente eléctrica y sus millones de aplicaciones!! Así que: agua fresca en la cara, antenas desplegadas y de cabeza a la corriente y los circuitos !!

Corriente eléctrica

Bueno, acá tenemos un material conductor → o sea que tenemos un montón de cargas que andan por ahí dispuestas a saltar de un átomo a otro a la primera de cambio... Qué pasa entonces si yo de alguna forma pongo un campo eléctrico en el cable ? ¿ eh ?. Y... va a pasar que cada carguita q va a sentir una fuerza F = q ⋅ E y, como se puede mover, va a empezar a desplazarse en la dirección de la fuerza. Esto no pasa en un solo lugar del cable sino en todo el cable al mismo tiempo. Por lo tanto lo que tenemos es un raje masivo de cargas todas para el mismo lado. Eso es una corriente eléctrica. - Uhmm... El cuentito está bien, lo entendí pero... ¿ no hay una fórmula o algo para la corriente ?. O sea, por ejemplo ¿ cómo sé cuántas cargas se ponen en movimiento ? ¿ Siempre es la misma cantidad o varía ?... - Eh!! Ya va !!. La fórmula de la intensidad de corriente es ésta:

Esto quiere decir que:

) Ampère ( AsC

] tiempo [] Carga [] I [

tQ

tiempoCarga de CantidadI =====

21

Para ver cómo la usamos podemos hacer un ejemplillo. < Ejemplo > Intensidad de corriente.

Supongamos que por una tubería circula una solución iónica ( que es un líquido que tiene partículas cargadas ). Si las mediciones indican que por el caño hay una corriente constante de 250 miliamperes, ¿ qué cantidad de carga será transportada por el líquido al cabo de una hora ( 3600 segundos ) ? Muy fácil → Pero antes de reemplazar los valores tenemos que arreglar las unidades. Nos dicen que I = 250 mA. Esta unidad es un submúltiplo del Ampere y la relación es, como su nombre lo indica:

1 mA = 1⋅ 10-3 A = ( 1/ 1000 ) A Como tenemos el tiempo en segundos tenemos que poner la corriente en A para que la carga nos de en Coulomb. Entonces hacemos: I = 250 mA = 250 ⋅ 10-3 A = 0,25 A

Ahora ya sabemos calcular cuánta carga pasa por un caño ( o cable ) si sabemos la intensidad de la corriente. Pero vimos que las carguitas sólo se mueven cuando aplicamos un campo eléctrico que les proporciona la fuerza que las hace mover. Si hacés un poquito de memoria ( o te fijás un par de páginas más atrás... ) lo que ese campo eléctrico produce en el conductor es una diferencia de potencial (∆V ) y eso es lo que permite a la carga moverse: el hecho de tener una energía potencial mayor que en los puntos de “adelante” en el conductor. Hay una relación matemática entre la diferencia de potencial entre dos puntos de un conductor y la corriente eléctrica que esto produce. Se llama:

La intensidad de corriente eléctrica es la cantidad de carga que pasa por una dada sección transversal de un conductor en un segundo.

( o en un minuto, o en una hora: alguna unidad de tiempo ).

tIQ entonces t

QI como ∆⋅=∆

=

C 900s 3600A25,0tIQ =⋅=∆⋅=⇒

22

Ley de Ohm

- El factor de proporcionalidad entre I y ∆V ( R ), se llama resistencia eléctrica y representa, como su nombre lo indica, la resistencia que opone el conductor al paso de la corriente. O sea: la resistencia está directamente relacionada a qué tan buen o mal conductor es el material. Un material de los que llamamos conductores tiene sus electrones bastante sueltos y por eso presenta valores bajos de resistencia. En cambio, los malos conductores o aislantes, tienen resistencia muy alta. La unidad más común en que se mide R es el Ohm ( como el nombre del tipo que descubrió esta ley ), y se simboliza con la letra griega Omega: Ω. En general, la resistencia R depende de muchos factores: el material, las dimensiones del conductor, la temperatura, la presión, etc. Pero hay muchos materiales para los cuales una vez fijadas las dimensiones, R prácticamente permanece constante para cada diferencia de potencial. A estos materiales se los llama materiales óhmicos. Entonces, la forma de establecer la calidad de un material como conductor eléctrico es mirando su resistencia específica. Esto es: su resistencia independientemente de sus dimensiones. Esta resistencia específica ( que para los materiales óhmicos es constante ) se llama resistividad y se simboliza con la letra griega ρ ( se lee ro ) y [ ρ ] = Ω ⋅ m. Con esto, si tenemos un conductor de un determinado material y unas dadas dimensiones, podemos calcular su resistencia haciendo: por < Ejemplo > Comparación entre el cobre y el aluminio como conductores

SL

ltransversa secciónlongitudadresistividR ⋅

=⋅

=ρ

“ La corriente I que circula por un conductor es proporcional a la diferencia de potencial ∆V a la cual éste está sometido ”

∆V = R ⋅ I ← Ley de Ohm.

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Si tenemos dos cables: uno común de cobre, como los que se usan en las casas, de 15 m de largo y 1,5 mm de diámetro y otro de iguales dimensiones pero hecho de aluminio, ¿ Qué valor toma R en cada caso si las resistividades del cobre ( Cu ) y del aluminio ( Al ) son: ρCu = 1,72 ⋅ 10-8 Ω ⋅ m; ρAl = 2,63 ⋅ 10-8 Ω ⋅ m Bueno, apliquemos la formulita: O sea, el cable de aluminio tiene un 50% más de resistencia que el de cobre. Por eso, aunque es más caro, la gran mayoría de las instalaciones eléctricas se hacen con cables de cobre.

< Bio-Ejemplo > Resistencia eléctrica del axón.

El axón es la estructura larga y fina adosada al cuerpo de las células nerviosas. Típicamente tienen entre 1 y 20 µm de diámetro ( 1µm = 10-6 m) y pueden ser muy largos ( algunos llegan a tener 1 metro... ). Podemos considerar al axón como una

membrana cilíndrica llena de un líquido conductor llamado axoplasma, el cual tiene una resistividad conocida, entonces podemos calcular la resistencia al paso de una corriente longitudinal que ofrece, por ejemplo, 1 centímetro de axón usando la formulita:

R = ρ ⋅ L / S La resistividad del axoplasma es: ρaxoplasma = 2 Ω⋅m Como diámetro podemos tomar un valor medio: d = 10 µm = 10 ⋅ 10-6 m = 10-5 m. Y la longitud: L = 1 cm = 10-2 m La sección transversal se calcula usando la fórmula de la superficie del círculo ( ya que la sección transversal de un cilindro es un círculo...):

⇒ S = π ⋅ (diámetro)2/ 4 = 3,14 ⋅ ( 10-5m )2/ 4 = 7,85 ⋅ 10-10 m2

Ω=⋅

⋅⋅Ω⋅=

−

−

146,0m10767,1

m 15m1072,1R 26

8

Cu

Ω=⋅

⋅⋅Ω⋅= −

−

223,0m10767,1

m 15m1063,2R 26

8

Al

5,1 146,0 223,0

RR

Cu

Al =ΩΩ

=⇒

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Reemplazando todo en la fórmula nos da: Tiene una resistencia altísima!! ( equivalente a la resistencia de 70000 Km de un cable de cobre de 0,08 mm de diámetro, que es el más fino que se fabrica ) Eso es algo muy notable: Una de los sistemas de transmisión eléctrica más eficiente está construido con “cables” que podemos considerar aislantes! Una cosa que pasa acá es que también hay corrientes transversales. O sea, en vez de ir por el axoplasma las cargas se desplazan a través de la membrana. Usando valores de experimentos puede verse que la resistencia transversal de un centímetro de axón es Rtransv. ≅ 6,5 ⋅ 105 Ω, que es 1000 veces menor que la R longitudinal !!. Por lo tanto, la mayoría de la corriente que entra a un axón se va por la membrana en vez de viajar por el axoplasma. Esto es algo que ocurre siempre: La corriente siempre tiende a ir por el camino que le opone menor resistencia.

← Efecto Joule – Potencia consumida → La conveniencia de usar materiales que sean buenos conductores en los circuitos eléctricos radica principalmente en un “problema” ( un efecto físico ) que surge cuando circula corriente por un conductor. Resulta que cuando los electrones se ponen en movimiento por el cable, no van precisamente por una autopista. Sino más bien como un tipo de 95 kilos corriendo por la City a la una de la tarde... Imaginate que en el cable hay muuuuchos otros electrones, todos moviendosé con distintas velocidades y direcciones, y además están los núcleos de los átomos... o sea: todo el mundo va avanzando hacia donde el potencial es menor, pero chocando con mil cosas en el camino... Los choques hacen que los átomos vibren y lo cual hace que el material se caliente y pierda energía en forma de calor disipado al ambiente. Este aumento de temperatura del material debido a la circulación de una corriente eléctrica se denomina efecto Joule ( se lee Yul )

!! Ohmsdemillones 2551055,2m10 85,7m10m 2

SLR 8

210-

2

=Ω⋅=⋅Ω

=⋅

=−ρ

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A causa de esto, para mantener una corriente I en un conductor con una resistencia R, constantemente hay que estar entregándole energía ( para compensar lo que se pierde como calor ).

( las tres fórmulas para calcular la potencia se relacionan usando la ley de Ohm ) Entonces no es un detalle menor si uno usa un mal o un buen conductor. Cuanto peor sea el conductor más potencia hay que entregarle para mantener circulando la misma corriente. Miralo de esta forma: si los cables de tu casa fueran de aluminio, en la boleta de la luz aparecería un consumo mucho más alto que con los cables comunes, porque tendrías que sumarle lo que gastás de más por la resistividad más alta que tiene el aluminio... Por otro lado, al efecto Joule ( como a casi todos los efectos físicos ), también se le han encontrado aplicaciones: por ejemplo ¿ cómo se podría tener una plancha eléctrica si no fuera porque un conductor con alta resistencia se calienta muchísimo por el sólo hecho de que a través de él circule una corriente ? O los calentadores eléctricos, las estufas, calefones ( eléctricos ) y termotanques, etc... Todos aprovechan el calor que disipa un conductor de alta resistencia por el cual se hace circular corriente eléctrica.

Circuitos eléctricos La definición bien concisa de lo que es un circuito es: Por supuesto, en este camino conductor, no tiene por qué ser un cable solitario!!

Un circuito eléctrico es un camino conductor cerrado por el cual puede circular una corriente eléctrica.

La energía por unidad de tiempo, esto es, la potencia P, que “ consume ” un conductor con resistencia R, cuando por él circula una corriente I es:

[ P ] = Watt = v ⋅ A = A2 ⋅ Ω = v2/Ω.

consumida Potencia R

VRIIVP2

2 ←=⋅=⋅=

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( sino no tendría mucha gracia ¿ no ? ). En el camino pueden estar metidos resistencias, capacitores, televisores, un equipo de música, 11 tubos fluorescentes, un torno de dentista y tres millones de cosas más!! Pero para poder estudiar una cosa así uno tiene que simplificarla lo más posible, y resulta que al final, al menos para las cosas que estudiamos en esta materia, basta con considerar solamente resistencias, capacitores y fuentes de tensión. Hasta ahora hablamos de capacitores ( con diferencias de potencial entre sus placas); de cargas eléctricas que se desplazan por conductores y forman corrientes ( cada vez que se les aplica un voltaje a los conductores ); de resistencias por las cuales circula corriente ( cuando se les aplica una diferencia de potencial ), pero todos estos voltajes o ddp’s (dif. de pot.) de dónde salen ? Veamos: Baterías, pilas, fuentes de tensión, o de voltaje, o de fuerza electromotriz, o de diferencia de potencial o... en fin:

← Generadores Eléctricos → - La forma más fácil de entender lo que es o, mejor dicho, lo que hace un generador eléctrico es pensar en agua. - ¿ Cómo ?!?!. - Sí, pensar en un circuito de agua, por ejemplo el de un edificio de varios pisos. ¿ Cómo se hace con el agua en una casa así ?. El agua que viene de la red llega a la casa pero no tiene suficiente presión como para subir hasta arriba. Entonces se la acumula en un tanque que está abajo ( cisterna ). Y a partir de ahí uno tiene una bomba mecánica que es un aparato que hace el trabajo mecánico de subir la masa de agua, en contra del campo gravitatorio. El trabajo entregado al agua aumenta su energía potencial: la pone a un potencial mayor que cuando estaba en el suelo. Exactamente eso es lo que hace un generador eléctrico: eleva el potencial eléctrico de las cargas.

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¿ Cómo consiguen hacer eso ? Hay diferentes formas por ejemplo en las pilas y baterías se logra mediante reacciones químicas. Otros generadores usan la energía hidráulica o eólica, etc. Hay dos cosas que es muy importante que queden claras sobre los generadores eléctricos:

- No fabrican cargas, sino que les aumentan el potencial. - No producen energía, sino que realizan trabajo eléctrico

( que convierte una forma de energía en otra ). Si miraste el dibujito habrás visto que en el esquema del circuito eléctrico aparecen los símbolos que se usan para las resistencias, los condensadores y las pilas. Esos son los que se usan siempre que uno quiere representar un circuito mediante un esquema ( son estándar ). Si comparamos un circuito eléctrico con uno hidráulico se pueden hacer las siguientes analogías:

Agua ↔ Carga eléctrica Caños ↔ Conductores Codos y estrechamientos de los caños

↔ Resistencias en donde se disipa calor

Tanque ↔ Capacitor Bomba ↔ Fuente de tensión Diferencia de altura del agua ( dif de pot. gravitatorio )

↔ Diferencia de potencial eléctrico

Veamos entonces cómo se trabaja con circuitos eléctricos. Lo primero que hay que saber es cómo se “ suman ” los elementos de un circuito y luego qué leyes relacionan las corrientes, los voltajes y la resistencia o capacidad del circuito. ← Acoplamiento de resistencias, capacitores y fuentes → Hay dos formas básicas de conectar los componentes de un circuito: en serie y en paralelo.

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Si tenemos dos elementos conectados podemos pensar que funcionan como uno solo equivalente. En el caso de conexiones en serie los valores equivalentes de resistencia y capacidad se calculan haciendo:

(*) Las fuentes en paralelo en general no aparecen porque nunca conviene ya que se desperdicia energía...

Acoplamiento en serie: se llama así a las conexiones en las cuales todas las cargas pasan sucesivamente por todos los componentes.

Acoplamiento en paralelo: es cuando la corriente se divide y algunas cargas van por un lado y otras por otro es decir, ninguna carga pasa por todos los componentes.

21s C1

C1

C1

:serie en sCapacitore

+=Cs

R1 R2 Rs 21s RRR :serie en asResistenci

+=

21s VVV :serie en Fuentes

+=Vs

C1 C2

V1 V2

21p CCC :paralelo en sCapacitore

+=

C1 C2

Cp

RpR1 R2 21p R

1R1

R1

Paralelo en asResistenci

+=

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Veamos algunos ejemplos de conexiones para ver como es el asunto. < Ejemplo > Circuitos serie y paralelo

- Calcular la resistencia equivalente de los siguientes circuitos

Estas tres R están en paralelo porque la corriente que entra por el cable de la izquierda se “ divide ” o sea, algunas cargas se van para la rama de arriba, otras para la del medio y otras para la rama de abajo ( se le dice rama a los distintos caminos de un circuito ). Entonces,

usando la fórmula para sumar resistencias en paralelo, la R equivalente es: Fijate que Rp = 25 Ω es menor que la más chica de las resistencias que estamos sumando!! ( R2 = 50 ). Esto pasa siempre. O sea: ( Y es muy útil saberlo para darte cuenta cuando metiste la pata en un ejercicio. )

¿ Y éste ?. Este es un poquito más complejo. Si seguimos las flechitas de la corriente vemos que primero se separa y un poco de carga pasa por R1 y otro poco por R2. Pero después todas las cargas pasan

por R3. Entonces, R1 está en paralelo con R2; y ambas están en serie con R3. ¿ Cómo se calcula la R equivalente de este coso ? Muy fácil: trabajando por partes. Primero calculamos la resistencia equivalente al paralelo de R1 con R2 ( Rp12 ), y ahí la serie de Rp12 con R3.

Ω+

Ω+

Ω=++=

1001

501

1001

R1

R1

R1

R1

321p

Ω=⇒Ω

=Ω⋅Ω

Ω+Ω+Ω= 25R

251

501005010050

p

La R equivalente de una conexión en paralelo es siempre menor que la menor de las resistencias conectadas.

Ω=⇒Ω

+Ω

=+= 75,3R 151

51

R1

R1

R1

12p2112p

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Entonces ahora nos queda: Paso a paso es: ¿ Y qué pasa si tenemos la misma situación pero con capacitores ? Y... resolvemos exactamente igual, pero aplicando las leyes de suma de capacitores, que son al revés de las de las resistencias: los capacitores en paralelo se suman directamente y si están en serie se suman inversamente Primero el paralelo de C1 y C2: Y ahora la serie del equivalente del paralelo con C3: ¿ Se ve ?. Siempre hay que ir así por pasos. A ver éste. ¿ Quién está en paralelo y quien en serie ?

Una forma rápida de ver eso es localizando nodos o nudos, que son los puntos en donde la corriente puede tomar distintos caminos. Acá los marqué con a y b. Entonces, las cosas que estén en una de las ramas que salen de cada nodo están en paralelo con las cosas de las otras ramas que nacen del mismo nodo.

O sea: la R1 está en paralelo con las R dos, tres y cuatro. Ahora, las cargas que pasan por R2 son las mismas que pasan por R3 y R4, luego estas R están en serie. Entonces la cuenta que tenemos que hacer para calcular la R equivalente es:

Ω=⇒Ω+Ω=+= 75,28R 25 75,3RRR 312p

F 1,5C F3

1F3

1C1

C1

C1

312pµ

µµ=⇒+=+=

F 3C F2F1CCC 12p2112p µµµ =⇒+=+=

Están en paralelo

4434421serie en Están

4321equiv RRR1

R1

R1

+++=

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Si te fijaste, en este circuito apareció una pila además de las resistencias. En los esquemitas anteriores yo había marcado unas flechitas que indicaban posibles caminos de la corriente, pero eran completamente arbitrarias: si no hay fuentes que produzcan diferencias de potencial no hay corrientes y menos que menos una dirección de desplazamiento de las cargas!! Ahora vamos a ver cómo hace uno para resolver completamente un circuito, esto es: determinar las resistencias y capacitores equivalentes, las corrientes que circulan por cada rama ( y su dirección correcta ), y el potencial en cualquier punto del circuito. La forma es usando las llamadas leyes de Kirchoff. Entonces primero definimos:

nodo: es un punto del circuito a donde concurren tres o más conductores. malla: se llama así a cada circuito cerrado dentro del circuito.

Ahora sí:

← Leyes de Kirchoff → 1 - Ley de los nodos

Ojo! Esta suma es algebraica, es decir, cada número va con su signo que es (+) si la corriente entra al nodo y (−) si sale del nodo. 2 – Ley de las mallas

0Inodo

i =∑ ( ← el símbolo Σ significa suma )

“ La suma de las corrientes concurrentes a un nodo da cero ”

0Vmalla

i =∆∑“ La suma de todas las caídas de potencial en una malla da cero ”

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Por caída de potencial se entiende a la diferencia de potencial entre dos patas de una resistencia por la cual circula una corriente ( según la ley de Ohm esto es ∆V = i ⋅ R ). - Convención de signos.

Para ver cómo usamos todo esto vamos a resolver el siguiente ejercicio: < Ejemplo > Circuitos varios

- Resolver los siguientes circuitos usando las leyes de Kirchoff El procedimiento es mecánico y consta de 3 pasos: a ) Reconocer nodos y mallas b ) Establecer los sentidos de las corrientes c ) Plantear y resolver las ecuaciones.

a ) En este circuito tenemos dos nodos con tres conductores concurriendo a cada uno. Los vamos a llamar a y b.

b) Mallas tenemos 3: dos que comprenden la pila y una de las resistencias, y una que recorre las dos resistencias.

Para poder plantear las ecuaciones lo único que nos falta es asignar sentido a las corrientes en cada rama. Por convención se toma que la corriente es positiva de + a − de la batería ( lo que sería una corriente de cargas positivas ). Entonces podemos poner a las corrientes los sentidos de las flechitas del dibujo. Ahora ya podemos plantear las leyes.

“ En cada malla, las corrientes que circulan con el mismo sentido tienen el mismo signo y las que circulan en sentido contrario, signo opuesto”

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La ley de los nodos da: - en el nodo a: I1 − I2 − I3 = 0 - en el nodo b: I2 + I3 − I4 = 0

Ya que la corriente 1 entra al nodo a y salen la 2 y la 3; que son las mismas que llegan al nodo b, de donde sólo sale I4. ( entrante ( + ) ; saliente ( − ) !! ) Ahora tenemos que plantear la ley de las mallas. En esto siempre hay confusión hasta agarrarle la mano... ( en cuanto a qué signos poner a las caídas de potencial ). La idea es la siguiente: Ya pusimos una dirección para la corriente de cada rama. Ahora las recorremos ( a las ramas digo ) siguiendo alguna dirección ( por ejemplo en sentido horario ), y ahí ponemos con signo más cuando hay un aumento del potencial ( por ejemplo cuando paso por una pila desde el ( − ) hacia el ( + ) ), y con signo menos cuando hay una caída del potencial ( es decir, una resistencia por la cual pasa una corriente con el mismo sentido que el recorrido de la malla ). Para las mallas, corrientes y sentido asignados en el dibujo la ley de las mallas da:

- en la malla 1: E − I3 ⋅ R2 = 0 - en la malla 2: E − I2 ⋅ R1 = 0

- en la malla 3: I2 ⋅ R1 − I3 ⋅ R2 = 0 Ya que en 1: paso la pila de − á + ( ⇒ + E ) y paso R2 en la misma dirección que apunta la flecha de la corriente I3 ( ⇒ − ∆V = − I3 ⋅ R2 ). En la malla 2 la cosa es exactamente igual que en la 1 ( ⇒ + E y − I2 ⋅ R1 ).

En la malla 3 se pasa la R1 caminando en la dirección que la flechita de la corriente I2; ( ⇒ − ∆V = − I2 ⋅ R1 ). En cambio la R2 la pasamos en contra de la corriente entonces se pone

∆V = + I3 ⋅ R2. Siiii!! Ya sé que es un despiole todo esto, pero vas a ver que una vez que hacés tres o cuatro ejercicios le agarrás la mano y después son todos iguales...

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- Ok. Tenemos todas las ecuaciones que nos dicen las leyes de K. ¿¿ Y ahora ??. - Ahora hay que arremangarse y entrar a meter una ecuación adentro de otra hasta ir sacando los valores de todas las corrientes y caídas de potencial...

na: I1 − I2 − I3 = 0 ⇒ I1 = I2 + I3 ( porque lo que está − pasa + ). nb: I2 + I3 − I4 = 0 ⇒ I2 + I3 = I4

entonces I1 = I4. Lo cual es muy lógico porque todas las cargas que entran al nodo a deben salir por el b luego las corrientes deben ser iguales... Esto pasa siempre, así que en estos casos basta con plantear la ecuación de uno solo de los nodos, ya que con la otra no sacamos nada nuevo... A ver qué sacamos de las ecuaciones de las mallas: m1: E − I3 ⋅ R2 = 0 ⇒ E = I3 ⋅ R2 m2: E − I2 ⋅ R1 = 0 ⇒ E = I2 ⋅ R1 ⇒ I3 ⋅ R2 = I2 ⋅ R1 ⇒ I3 = I2 ⋅ R1 /R2. ( R2 estaba multiplicando entonces pasa dividiendo ). m3: I2 ⋅ R1 − I3 ⋅ R2 = 0 ⇒ I2 ⋅ R1 = I3 ⋅ R2 ⇒ que es igual a lo que obtuvimos recién... O sea que, de nuevo, no hacía falta plantear las 3 ecuaciones... Alcanza con que las mallas que recorran todos los componentes del circuito. Por ejemplo, con la m1 y la m2 uno ya pasa al menos una vez por R1, R2 y E. Lo mismo si nos quedamos con la m1 y la m3, o la m2 y la m3... En definitiva ¿ qué tenemos ?. Los datos del problema son R1 = 75 Ω ; R2 = 15 Ω y E = 12 V. Entonces resolviendo las ecuaciones tenemos: m1: E − I3 ⋅ R2 = 0 ⇒ E = I3 ⋅ R2 ⇒ I3 = E/ R2 = 12V / 15 W = 0,80 A m2: E − I2 ⋅ R1 = 0 ⇒ E = I2 ⋅ R1 ⇒ I2 = E/ R1 = 12V / 75 W = 0,16 A na: I1 − I2 − I3 = 0 ⇒ I1 = I2 + I3 = 0,8 A + 0,16 A = 0,96 A

⇒ I1 = 80 mA; I2 = 16 mA; I3 = 96 mA.

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Y las caídas de potencial en las resistencias? Muy fácil: en la batería tenemos 12V. Y en los cables se supone que no pasa nada entonces también entre a y b la diferencia de potencial es de 12 V Por lo tanto, si la diferencia entre una punta y la otra de la rama que tiene a R1 es de 12 V quiere decir que eso es lo que cae el potencial en la R1. Lo mismo para R2. Entonces:

∆VR1 = ∆VR2 = 12v A ver, prestá atención a este ejemplo porque hay algo que no te había dicho sobre los circuitos con capacitores < Ejemplo > Circuito con capacitores

- ¿ Qué tensión y corriente indican respectivamente, el voltímetro y el amperímetro de la figura en cada caso ?

- Un voltímetro es un aparato que sirve para medir el voltaje, o la diferencia de potencial entre los puntos donde se conecta. Se conecta en paralelo y tiene una resistencia muy muy alta, así que podemos pensar que la corriente prefiere seguir su camino por su cable en vez de pasar por el aparato.

- El amperímetro es otro aparato que sirve para medir la intensidad de la corriente que pasa por un cable. Se conecta en serie y tiene una resistencia bajísima que podemos despreciar, es decir, podemos pensar que no cambia nada en el circuito el hecho de tener el amperímetro ahí metido. - Entonces ¿ cómo hacemos para saber cuánto marcan los instrumentos ? - En el caso del circuito con resistencias la cosa se resuelve directamente usando las leyes de Kirchoff ( enseguida lo hacemos para practicar un poco ). En cambio en el de los capacitores no hay que hacer ni una sola cuenta. Sólo hay que pensar un poquito. - ¿ Cómo ?!?.

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- Mirá: Te acordás que la capacidad de un capacitor se define como C = Q/ ∆V ? Bueno, entonces si tengo un capacitor con una capacidad de un valor fijo, quiere decir que a una diferencia de potencial ∆V el tipo puede acumular una cantidad de carga Q = C ⋅ ∆V ( ← lo despejé de la definición ). Ni menos, ni más. Por lo tanto, si en una rama de un circuito ( por ejemplo el de la figura ) tenemos un capacitor de capacidad C1 sometido a una tensión E, por esa rama va a circular corriente un ratito hasta que el tipo se cargue con una carga Q = C1 ⋅ E y como con esa carga ya alcanza la tensión E entre sus patas ya no hay diferencias de potencial con la pila, y la corriente deja de circular. Lo mismo va a pasar con C2. Así que para este circuito, la respuesta a la pregunta del problema es: - Cuando lo dos capacitores están cargados, el amperímetro marca 0 Amper, y el voltímetro marca E volts. ( lo mismo que la pila.) ¿ Se entendió ? Cualquier cosa preguntame ... ( ja! ) Bueno ahora hagamos el de las resistencias para practicar un poquito más de Kirchoff. Ah! los valores de las resistencias y la pila son:

R1 = 1000 Ω ; R2 = 3000 Ω y E = 110 V Aplicamos los 3 pasos: a ) Reconocer nodos y mallas. - Los nodos que importan son el n1 y n2 del dibujo → ( a los de las conexiones del voltímetro no les damos bolilla porque dijimos que por esos cables no se mete la corriente... ) - Lo mismo para las mallas: hacemos como si el voltímetro no estuviera, entonces marcamos la m1 y la m2. b ) Establecer los sentidos de las corrientes - Los sentidos de las corrientes los puse así porque como la corriente circula de − a + por la pila, supongo que van a circular con sentido horario en todos lados. Ojo: esto siempre es una suposición. Uno asigna los sentidos como quiere, total si una corriente está al revés, después al resolver las ecuaciones queda negativa y con eso uno se da cuenta cuál estaba mal y la arregla. Lo que sí importa es que una vez que se asigna el sentido de las I, hay que ser coherente con eso al escribir las ecuaciones ( ← Importante ! )

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c ) Plantear y resolver las ecuaciones. Ley de nodos: n1 : I − I1 − I2 = 0 ⇒ I = I1 + I2 n2 : I1 + I2 − I = 0 ⇒ lo mismo... Ley de mallas: m1 : E − I1 ⋅ R1 = 0 ⇒ E = I1 ⋅ R1

( Ya que paso la pila de − á + y paso R1 en la misma dirección que I1 ). m2 : I2 ⋅ R2 + I1 ⋅ R1 = 0 ⇒ I2 ⋅ R2 = −I1 ⋅ R1

( Paso R2 a favor y R1 en contra de la dirección de la corriente en cada una ).

Juntando todo tenemos: I1 = E/R1 ; I2 = −I1 ⋅ R1/ R2 = −E/ R2 I = I1 + I2 = ( E/ R1 ) + ( −E/ R2 ) = = E ⋅ ( 1/ R1 − 1/ R2 )

Entonces la corriente que marca el amperímetro, que es la misma que pasa por R2 es:

⇒ IA = I2 = E/ R1 ( reemplazamos los valores ) ⇒ IA = I2 = 110 V/ ( 3000 Ω ) = 0,037 A

⇒ IA = 37 mA

Y la diferencia de potencial que marca el voltímetro es simplemente la de la pila, que e la misma que la caída en R1 y la misma que la caída en R2, ya que están todos en paralelo:

⇒ ∆VV = E = 110 V

Hay una última cosa que tenemos que ver sobre las baterías o pilas o generadores eléctricos: la...

← Resistencia interna → Un esquemita de una pila real por dentro podría ser éste → Esto se debe a que cualquier generador real tiene lo que se llama resistencia interna ( es por cómo están construidos y es inevitable... ). Entonces cuando conectamos la batería a un circuito y empieza a circular corriente, hay una caída de potencial en esta r

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interna y el voltaje en los bornes ( que son los contactos donde se conectan los cables ) es menor que el voltaje nominal de la pila ( el que genera originalmente ). Como la caída en una resistencia es ∆V = r ⋅ I, cuanto mayor sea la corriente, mayor será la caída. Entonces podemos terminar con que una pila de 9 volt en realidad produce 6 ó 7 volt de diferencia de potencial cuando está conectada. Esto puede ser muy grave en algunas situaciones y por lo tanto, para hacer más realistas los modelos de los circuitos eléctricos y hacer cálculos más acertados se suelen tomar en cuenta las internas de todas las fuentes. Por eso es que en algunos ejercicios vas a ver que el generador aparece dibujado como → < Ejemplo > Suponé que tenemos el circuito de los faros delanteros de un auto.

¿ Cuánto será la caída de potencial en la resistencia interna de la batería, y cuál la tensión en los bornes ? La caída de potencial en ri es: ∆V = ri ⋅ I, así que 1° tenemos que calcular I.

Como tenemos dos resistencias en paralelo la R equivalente es:

⇒ RT = 100 Ω. Entonces nos queda la rint en serie con la equivalente de las dos lámparas ( RT ). Y ahora aplicamos la segunda ley de Kirchoff recorriendo el circuito en sentido horario:

E − I ⋅ RT − I ⋅ ri = 0 ⇒ E = I ⋅ ( RT + ri )

⇒ I = E / ( RT + ri ) = 12 V / ( 100 Ω + 10 Ω ) = 0,109 A = 109 mA Por lo tanto, la caída de potencial en la r interna es:

∆V = ri ⋅ I = 10 Ω ⋅ 0,109 A = 1,09 V Luego la tensión en los bornes de la batería es, en vez de 12 volts: Ebornes = Enominal − ∆V =

= 12 V − 1,09 V = 10,91 V.

Ω+

Ω=+=

2001

2001

R1

R1

R1T

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Bueno, para terminar acá van algunas respuestas a las preguntas que a veces uno se hace en su casa respecto a las instalaciones eléctricas... - ¿ Qué es un cortocircuito ? Un cortocircuito se produce cuando por algún motivo ( contacto roto, cables pelados, etc. ) se “saltea” alguna resistencia ( un motor, una lamparita, cualquier cosa ), y la corriente pasa directamente por el cable. Como los cables tienen resistencia mucho más baja que el aparato que se está esquivando, la corriente se hace muy grande ( por ley de Ohm si R ↓ entonces I = V/R ↑ ) y esto provoca un gran calentamiento de los cables por efecto Joule lo cual puede derretir el plástico que los protege y provocar más cortocircuitos e incendios, electrocuciones, etc... En fin un desastre... - ¿ Qué es una llave termoeléctrica ( saltó la térmica – tapones ) Para evitar los problemas que traen los cortocircuitos, antes se usaban los famosos “tapones” ( que se llamaban así por la forma ), que lo único que tenían era un cablecito de un grosor adecuado. Como toda la corriente de la instalación se hacía pasar por ahí, si la corriente se hacía muy alta ( por ejemplo por culpa de un corto ) el tipo no se la bancaba y se cortaba, dejandote sin luz pero salvando la instalación... Una llave termoeléctrica ( o térmica ) es exactamente lo mismo pero con un dispositivo electrónico que hace que ante aumentos muy bruscos de la temperatura de los cables, en vez de cortarse desconecte una llave. La ventaja es que una vez solucionado el problema uno directamente baja de nuevo la llave y listo ( no tiene que andar cambiando tapones quemados ni nada ). Y además tienen una respuesta mucho más segura que la de los viejos tapones. - ¿ Qué es la corriente alterna ? La corriente alterna o alternante es la que genera una diferencia de potencial alternante ( es la que hay en las casas ). Se llama así porque es una diferencia de potencial que va variando desde 220 V positivos, pasa por todos los valores hasta el cero y sigue hasta 220 V negativos. Ahí vuelve a 0 y de nuevo a 220 V positivos pasando por todos los valores intermedios. Esta tensión es así por los mecanismos que se usan para producirla, que son completamente distintos a los de las pilas, que dan corriente continua o constante,

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y son bastante complicados porque además de la electricidad entra en juego el magnetismo... pero se usan porque son muchísimo más eficientes para producir energía eléctrica en grandes cantidades. - ¿ Qué es el enchufe, el vivo, el neutro, el cable a tierra ? En el enchufe hay tres patas que están conectadas a tres cables distintos: el “ vivo ”, el “ neutro” y la “ tierra ”. El vivo y el neutro vienen de la red de distribución de la empresa que suministra la energía eléctrica. Entre ellos dos hay una diferencia de potencial alterna de 220 V. Los nombres vienen de que en la usina eléctrica, el vivo está conectado al generador y neutro está conectado a la tierra. O sea, el neutro es la referencia con respecto a la cual se produce la diferencia de potencial. El neutro tiene potencial 0 y el vivo va tomando, con respecto al neutro, los valores alternantes entre + 220 V y - 220 V. La tercer pata es la “ tierra ” de la instalación. Es un cable que pasa por todos los enchufes y termina en una jabalina de cobre que está enterrada en el piso debajo de la casa ( o a veces en vez de conectarlo a la jabalina se lo conecta directamente a los fierros de los cimientos cuando hacen las casas ). Este cable es importantísimo porque da seguridad a las instalaciones de la siguiente manera: si te fijás, todos los artefactos eléctricos ( planchas, computadoras, televisores, etc ) tienen un enchufe con tres patas. La tercer pata esta conectada a la carcaza del artefacto. Entonces si hay un cortocircuito y la carcaza queda con un voltaje más alto que el de la tierra ( que sería el cero ), se descarga una corriente por ese cable, evitando que se descargue por la persona que está usando la licuadora... - ¿ Qué cosas dan patadas ? Cualquier cosa que esté a un potencial mayor que la persona puede darle una patada, si esa diferencia de potencial alcanza para vencer la resistencia del contacto entre la persona y el aparato o cable. - ¿ Qué es un transformador ? Un transformador es un aparato que aprovecha los fenómenos electromagnéticos ( electricidad + magnetismo ) y la corriente alterna, para cambiar un voltaje de un valor a otro. Aunque también pueden construirse para subirla, generalmente se usan para bajar la tensión: por ejemplo para bajar de los 220 V del enchufe a los 6

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volts que necesita el cargador de un celular; o a los 110 V que necesita una compu importada, etc.