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Un paso hacia el futuro

Javier Sogorb

Índice• Presentación del problema

• Cinemática del robotCinemética directaCinemática inversa

• Dinámica del robotDinámica directa – Formulación de Newton Euler -Dinámica inversa – Walker-Orin -

• Selección de servoaccionamientos

• Simulación y control

Diseñar un robot para que sea capaz de efectuar una perforación en la rótula de un paciente.

Esta operación se utiliza en osteosíntesis de rodilla, donde se fija un tornillo distal para evitar que exista movimiento relativo de pivotamiento entre los dos segmentos del hueso fracturado.

Objetivo

Ventajas de la utilización de un robot

• Posee más precisión de la que cualquier humano puede tener.

• El robot sostiene y maneja la cámara, lo cual da libertad de tener ambas manos libres para cortar, explorar y suturar al paciente.

• Reduce los tiempos quirúrgicos en cirugías muy largas.

Cuando han pasado varias horas en una operación el asistente humano se cansa y comienza a temblar. En cambio el brazo robótico no se cansa, lo que nos ayuda a realizar el trabajo con más destreza.

Problemas

• La sensibilidad no es la misma.

• Retardo en las comunicaciones en la tele-medicina vía satélite.

Retroalimentación de fuerzas

“Realizamos con éxito un ensayo de tele-medicina satelital con el ISSSTE. Llevamos elbrazo robótico al Hospital Belisario Domínguez de Tuxtla Gutiérrez, Chiapas, y desdeel Hospital 20 de Noviembre de la Ciudad de México un grupo de expertos asesoró amédicos en Chiapas y controlamos el robot desde aquí”

Arturo Minor (UPN Mexico)

• El extremo del robot debe poder penetrar perpendicularmente a una esfera centrada en la rodilla del paciente, que será el espacio de trabajo.

• El peso del robot no debe ser excesivo

El elevado peso propio aumenta la dinámica, lo que reduce la precisión.

• Debe cumplir la normativa de sanidad correspondiente.

• Debe poderse colgar del techo

Características

• El grado de protección del robot cumple la especificación de “Robot de habitación limpia”.

• El peso del robot es tan sólo de 28 kg, lo cual supone una ventaja frente a otros robots que realizan la misma tarea y tienen un peso de más de 200 Kg.

• La carga máxima que puede soportar el robot en su efector final es de 5 Kg, lo cual permite añadir la séptima articulación prismática junto con la broca necesaria para realizar el taladro.

• La precisión del robot es de tan sólo 20 μm, lo que significa que el máximo error que se puede producir en el posicionamiento del efector final se encuentra dentro de una circunferencia de radio 20 μm.

• Espacio de trabajo adecuado

Cinemática del robot- Cinemática directa

- Cinemática inversa

- Matriz Jacobiana

Problemas de la cinemática

• Problema cinemática directo

Consiste en determinar la posición y orientación del extremo del robot con respecto a un sistema de coordenadas de referencia, conocidos los ángulos de las articulaciones y los parámetros geométricos de los elementos del robot.

• Problema cinemática inverso

Consiste en determinar la configuración que debe adoptar el robot para una posición y orientación del extremo, conocidas.

Resolución mediante matrices de transformación homogénea

0 0 1 1 11 2

1

.....n

n in n i

i

A A A A A− −

=

= ⋅ ⋅ ⋅ = ∏Utilizando la representación de Denavit - Hartenberg

1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( , ) ( ) ( ) ( , )

0 ( ) ( )

0 0 0 1

ii

C C S S S a C

S C C S C a SA R z T d T a R x

S C d

θ α θ α θ θθ α θ α θ θ

θ αα α

−

− ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =

Articulación θ d a α1 q1 -0,335 0,075 -90º2 q2 0 0,27 0º3 q3 0 -0,09 90º4 q4 0,295 0 -90º5 q5 0 0 90º6 q6 0,08 0 0º

Parámetros DH

Utilizando métodos geométricos

Se debe aplicar el principio de Piepper’s para separar:

1. Cálculo de la posición del extremo del robot

2. Cálculo de la orientación del extremo del robot

Requiere calcular el punto muñeca

6extremop p l a= − ⋅r r r

Problema de posición: Cálculo de las 3 primeras articulaciones

2 2

11

11

1

sin sin

cos

cos

x y

y

x

R p p

pq

qR q arctgqp

qR

= +

= =

=

Articulación 1

Articulación 2Codo arriba

Codo abajo

2 21 1

2 23 4

1

1

( ) ( )

sin sin

cos

cos

Z

Z

r R a p l

C a l

p l

r arctgR a

r

α αααα

= − + −

= +

− = =− =

2 2 22 22 cosC a r a r β= + − ⋅ ⋅ ⋅

2 2 22

2

2

cos sin2 cos

sin 1 cos

r a C

a r arctgβ ββ

ββ β

+ −= ⋅ ⋅ == −

2q β α= −

2q β α= − −

Articulación 3Codo arriba Codo abajo

3

4

sin sin

cos

cos

a

C arctgl

C

φ φφφφ

− = ==

2 2 22 22 cosr a C a C β= + − ⋅ ⋅ ⋅

2 2 22

2

2

cos sin2 cos

sin 1 cos

C a r

a C arctgβ ββ

ββ β

+ −= ⋅ ⋅ == −

3 180º (270º ) 90ºq β φ β φ= − − + = − +3 180º 90º 270ºq β φ β φ= − + + = − +

Articulación 4Cálculo de 0A3

0 0 1 23 1 2 3A A A A= ⋅ ⋅ X3, Y3, Z3

34

3

Z aZ M

Z a

×= ⋅× 5 5

5 5

0 si caso degenerado 1 muñeca abajo

si 0 1 muñeca arriba

si 0

MUÑECA o y o y

n y o y

+ = Ω = ⋅ ⋅ ≠ − ⋅ ⋅ =

M = muñeca · signo(Ω)

4 4 3 44

4 4 3 4

sin ( ) sin

cos ( ) cos

q M z x qq arctg

q M z y q

= − ⋅ ⋅ == ⋅ ⋅

0A4 = 0A3 · 3A4 X4, Y4, Z4

Problema de orientación: Cálculo de las 3 últimas articulaciones

Articulación 5

Articulación 6

5 4 55

5 4 5

sin sin

cos ( ) cos

q a x qq arctg

q a y q

= ⋅ == − ⋅

6 5 66

6 5 6

sin sin

cos cos

q n y qq arctg

q s y q

= ⋅ == ⋅

0A5 = 0A4 · 4A5 X5, Y5, Z5

>> q=rand(6,1)q = 0.9501 0.2311 0.6068 0.4860 0.8913 0.7621

>> T = directkinematic6(q)T = -0.8817 -0.4040 0.2437 0.3085 0.1815 0.1862 0.9656 0.4815 -0.4355 0.8956 -0.0909 -0.1399 0 0 0 1.0000

>> inversekinematic(T,-1,-1)ans = 0.9501 0.2311 0.6068 -2.6556 -0.8913 -2.3795

>> inversekinematic6(T,-1,1)ans = 0.9501 0.2311 0.6068 0.4860 0.8913 0.7621

Comprobación del código generado

X J q= ⋅& &

Transforma las variables de velocidad en el espacio articular en el vector de estado de velocidad en el espacio cartesiano

[ ]det ( )Jacobiano J q=

Configuraciones singulares

En las inmediaciones de las configuraciones singulares, se pierde alguno de los grados de libertad del robot, siendo imposible que su extremo se mueva en una determinada dirección cartesiana

Se distinguen dos tipos:

- Singularidades en los límites del espacio de trabajo

- Singularidades en el interior del espacio de trabajo


Podemos comprobar que funciona correctamente pasando como parámetro un vector de coordenadas articulares para el cual el extremo del robot se encuentra en la frontera de su espacio de trabajo (singularidad externa).

Dinámica del robot- Dinámica inversa

- Dinámica directa

Expresa las fuerzas y pares que intervienen en función de la evolución temporal de las coordenadas articulares. Es decir, consiste en obtener la fuerza que debe existir en cada articulación prismática y el par, en cada articulación rotacional, para que el movimiento del elemento terminal se produzca con las velocidades y aceleraciones deseadas

Utiliza un procedimiento recursivo basado en operaciones vectoriales

1) Primero propaga recursivamente hacia delante la información cinemática

2) A continuación, propaga recursivamente hacia atrás la información de fuerzas

Datos necesarios

0 2 4 6

1 3 5

10 5,32 2,02 1,98

5,1 3,58 0 28 total

m Kg m Kg m Kg m Kg

m Kg m Kg m Kg m Kg

= = = == = = =

1) Masa de cada eslabón

2) Posición del centro de gravedad de cada eslabón

Datos necesarios

3) Factor de rozamiento articular

4) Matriz de inercia de cada eslabón 3 3

0 0

0 0

0 0

xx

yy

zz

I

I I

I×

=

5) Parámetros D-H

2 2 21 1

2 21

2

1 10,19795

4 3

10,0143

2

0,19795

xx

yy

zz xx

I m R m L kg m

I m R kg m

I I kg m

= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅

= ⋅ ⋅ = ⋅

= = ⋅


Para verificar que la dinámica inversa se ha resuelto de forma correcta, colocamos el robot en una posición estática concreta (velocidades y aceleraciones angulares nulas) y comprobamos si el valor del par en cada articulación coincide con el calculado teóricamente.

1 4 6 0τ τ τ= = =

2 4 56

0, 295 0,080,295 0

2 2m g m gτ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + =

2 9,42986 Nmτ =

3 9, 42986 Nmτ =

5 56

0,080

2m gτ − ⋅ ⋅ =

5

0,081,98 9,81 0,776952

2Nmτ = ⋅ ⋅ =

>> q = [0 pi/2 pi 0 0 0];>> qp = zeros(1,6);>> qpp = qp;

>> mext = 0;>> Iext = zeros(3);

>> newtoneuler6(q,qp,qpp,9.81,mext,Iext)ans = 0.0000 9.4299 9.4299 0.0000 0.7770 0

Se obtienen primero las aceleraciones de las coordenadas articulares con el método de Walker-Orin y, después, se va integrando para obtener velocidad y posición.

q q qτ ∫ ∫→ → →&& &

Método de Walker-Orin

Es un método numérico utilizado para obtener la aceleración de las coordenadas articulares a partir del vector generalizado de pares.

Para ello, utiliza el algoritmo de Newton-Euler cuando q = 0&&

0 ( , ) ( )B H q q C q= + +& ( )D q q Bτ = ⋅ +&& [ ]1( )q D q Bτ−= ⋅ −&&

Selección de motores

Peor configuración del robot

0 0 0 02

qππ =

Articulación 1 2 3 4 5 6

Velocidad 82· π /45 5·π/3 25·π/12 25·π/12 25·π/12 10·π/3

Perfil de velocidades

Articulación 1 2 3 4 5 6

τpico 0,93765 1,9809 1,07715 0,01815 0,2322 0,01755

τnominal 0,16965 0,30645 0,0138 0,00765 0,05415 0,00765

Observación

( ) ( ) ( )D q q H q c qτ = ⋅ + +&& &

Características

Articulación Nombre motor τpico (mN·m) τnominal (mN·m)

1 RE 40-263070 996 193

2 RE75-118829 3910 930

3 RE30-268214 1070 94,8

4 RE25-118740 131 12

5 RE30-268213 893 73,4

6 RE25-118740 131 12

Motor R(Ω) L(mH) Kr(mNm/A) Kv(V/rad/s) Imáx(A)

RE 40-263070 6,61 1,7 137 0,0697 1,41

RE75-118829 5,44 2,34 443 0,444 2,1

RE30-268214 0,582 0,12 25,9 0,02587 4

RE25-118740 0,273 0,03 7,97 0,00796 1,5

RE30-268213 0,401 0,07 19,9 0,03987 4

RE25-118740 0,273 0,03 7,97 0,00796 1,5

Simulación y control

• Control desacoplado o monoarticular

Se considera que las articulaciones del robot están desacopladas, de modo que un par en un determinado actuador únicamente tendrá efecto sobre el movimiento de la articulación correspondiente. De esta forma, existirá un controlador para cada articulación.

• Control acoplado o multiarticular

Las técnicas de control acoplado consideran el modelo dinámico real del robot.

El control monoarticular únicamente es aceptable cuando el factor de reducción de los reductores es elevado

Elección: Control eje a eje

El sintonizado de una articulación consiste en ajustar los parámetros del regulador que actúa sobre ella para que su respuesta cumpla unas determinadas especificaciones referidas tanto al régimen permanente como transitorio.

( ) IPID P D

KG s K K s

s= + + ⋅

1) En primer lugar se aumenta la constante proporcional KP hasta obtener el tiempo de subida sea el deseado.

2) A continuación se aumenta la constante derivativa KD para disminuir la sobreoscilación.

3) Por último, se introduce KI para eliminar el error en régimen permanente.

Articulación P I D

1 90 0 1,6

2 500 0 6

3 400 1 10

4 200 0 5,7

5 200 0 5,7

6 30 0 0

El simulador efectúa una planificación de la trayectoria del extremo del robot en línea recta entre la posición cartesiana inicial y final especificadas

Referencia Trayectoria real

Análisis de resultados

Al anularse el Jacobiano, un incremento infinitesimal de las coordenadas cartesianas supone un incremento infinito de las coordenadas articulares, lo que en la práctica se traduce en que en las inmediaciones de las configuraciones singulares, el pretender que el extremo del robot se mueva a velocidad constante obligaría a movimientos de las articulaciones a velocidades inabordables por sus actuadores.

El simulador efectúa una planificación de la trayectoria del extremo del robot en línea recta entre la posición articular inicial y final especificadas

Referencia Trayectoria real

VRML (“Virtual Reality Modeling Language”) proporciona un método eficiente para describir todo tipo de objetos y mundos tridimensionales.

Supongamos que tenemos varias imágenes de un edificio y un fichero vrml que contiene datos que describen ese mismo edificio.

Las imágenes sólo muestran una zona determinada del edificio y todo lo que podemos hacer con ellas es mirarlas.

En cambio, con el fichero vrml, podemos observar el edificio desde cualquier punto de vista e incluso visualizar su interior.

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