elasticidad 5.1 bases atómicas del comportamiento elástico 5.1.1

Comportamiento Mecánico de Sólidos Capítulo V. Elasticidad

Departamento de Ingeniería Metalúrgica – USACH. 5 - 1

Elasticidad

5.1 Bases Atómicas del Comportamiento Elástico

5.1.1 Energía y Fuerza de Enlace

La Energía Potencial V de un par de átomos puede expresarse como una función de la

distancia de separación entre ellos, r:

mn r

B

r

AV

A, B son constantes de proporcionalidad para atracción y repulsión.

m, n son exponentes que determinan la variación apropiada de V con r.

La fuerza de atracción y repulsión que existe entre dos átomos se obtiene de

r

VF

Por tanto: 11

mn r

mB

r

nAF

Redefiniendo constantes:

MN r

b

r

aF

MmNn

bmBanA

11

FuerzaEnergía Potencial

Repulsión

Atracción

r0

distancia

interatómica

mr

BV

n

mn

r

AV

r

B

r

AV

Repulsión

Atracción

Mínimo

r0

distancia

interatómica

Mr

bF

MN r

b

r

aF

Figura 1. Diagramas de energía potencial y fuerza de interacción frente a la distancia interatómica.


5 - 2 Departamento de Ingeniería Metalúrgica – USACH

La separación de equilibrio entre dos átomos r0, está dada por el valor de r que

corresponde al mínimo de energía potencial.

La fuerza neta es cero para r = r0 y un desplazamiento en cualquier dirección provocará

la acción de fuerzas que restauran el equilibrio.

Por lo tanto los átomos en una red cristalina tienden a estar arreglados en un patrón

definido, con respecto a sus vecinos.

Las deformaciones macroscópicas elásticas son el resultado de un cambio en el

espaciado interatómico.

Por lo tanto, las deformaciones se pueden expresar como:

0

0

r

rr

00

2

2

rrrr r

VE

r

F

Figura 2. Diagrama de fuerza frente a distancia interatómica.

Ind. Recordar que EykrF

Fuerza

rr0

MN r

b

r

aF

Nr

aF

dr

dF



Figura 3. Diagramas de energía potencial y fuerza de interacción frente a la distancia interatómica.

Observaciones.

De los análisis anteriores se desprende que:

a) F es cero a la distancia de separación r0

b) Si los átomos son alejados o acercados una distancia 0rr , aparece una fuerza que

se opone a este cambio en la distancia.

c) La fuerza es aproximadamente proporcional a r - r0 si r - r0 es pequeño, tanto en

tensión como en compresión.

d) La rigidez (stiffness) del enlace es

2

2

r

V

r

FS

e) Cuando la perturbación es pequeña, S es constante e igual a

V

r

F

r

Repulsión

Atracción

r0

0

r

V



0

2

2

0

rrr

VS

De esto se deduce que el enlace se comporta de manera elástica – lineal.

Esto significa que la fuerza entre pares de átomos, separados una distancia r es

00 rrSF

F F

r0

r

Figura 4. Esquema de las fuerzas de interacción entre dos átomos.

Dado un sólido con un número muy grande de pares de átomos por plano la fuerza por

unidad de área será: 00 rrNS

N: Nº de enlaces/área = 2

0

1

r

2

0r : área promedio por átomo

Si r-r0 se divide por r0

0

0

r

rrn

0

0

0

0

r

SE

r

Sn

S0 se calcula a partir de 2

2

r

V

La curva de esfuerzo versus deformación en compresión es la extensión de la curva a

tracción.



Figura 5. Diagrama - para un material en general.

5.1.2 Propiedades que dependen del enlace

a) La fuerza del enlace (temperatura de fusión) es proporcional a la profundidad del

pozo de potencial.

b) El coeficiente de expansión térmica está relacionado con la asimetría de la curva de

energía potencial versus distancia interactiva.

c) El módulo de Young, es inversamente proporcional al radio de curvatura del

mínimo de la curva de energía potencial versus distancia interatómica.

Ejercicio: En los siguiente ejemplos ordenar los materiales por punto de fusión,

coeficiente de dilatación lineal y módulo de Young.

Zona

Elástica

Zona

Elástica

V V

r r

r

V V

r

Figura 6. Diversos casos de curva de

energía potencial versus difracción

interatómica.



Tabla 1. Propiedades de diversos materiales.

Elemento Coeficiente de

dilatación lineal

(1/° C)

Temperatura de

fusión(°C)

Módulo de Young

(GPa)

Pb 29,3X10-6 327,4 14

Zn 39,7X10-6 419,5 43

Mg 26,1X10-6 650 41

Al 23,6X10-6 660 69

Ag 19,6X10-6 960,8 76

Cu 16,4X10-6 1083 124

Fe 12,2X10-6 1536,5 196

Cr 6,2X10-6 1875 289

W 4,6X10-6 3410 406

5.2 Introducción a la teoría de la elasticidad

En la teoría elástica existen dos requerimientos:

i) La teoría debe predecir la conducta de los materiales bajo la acción de las fuerzas

aplicadas.

ii) La teoría debe ser simple de tal manera que la matemática pueda ser aplicada en un

amplio rango de problemas para permitir la solución de las ecuaciones planteadas.

Para cada tipo de esfuerzo existe una deformación correspondiente.

La propiedad que le permite a un cuerpo recuperar su forma inicial, al dejar de actuar la

carga, se denomina ELASTICIDAD.

Un cuerpo es perfectamente elástico si recupera completamente su forma inicial.

5.3 Supuestos de la teoría de la elasticidad

En la teoría de la elasticidad se asume que el material es:

i) Perfectamente elástico

ii) Continuo

iii) Homogéneo (las propiedades son las mismas en todos los puntos)

iv) Isotrópico (todas las propiedades son iguales en todas las direcciones alrededor

de un punto dado).



El material, desde el punto de vista atómico dista mucho de cumplir estas condiciones

Ej. Materiales Anisótropos Laminados Texturas

5.4 Formulación tensorial de la ley de Hooke

La ley de Hooke se puede generalizar como C

Esto debe interpretarse como una consecuencia de la aseveración siguiente: “La

extensión es proporcional a la fuerza”

En notación de subíndice, se puede escribir:

klijklij C

ijklC : Es un tensor de cuarto orden y representa una constante elástica (34 = 81

componentes)

Dado que

i) El tensor esfuerzo es simétrico jiklijkljiij CC

6·3·3 = 54 componentes.

ii) El tensor deformación es simétrico lkkl 36 componentes

iii) Aplicando el teorema de reciprocidad.

klijijkl

ij

kl

kl

ijCC

21 componentes.

Indicación: Un tensor de orden 2 y dimensión n posee n2 elementos. Al ser simétrico

el número de componentes es 2

)1( nn

iv) Planos de simetría.

xy

xz

yz

z

y

x

xy

xz

yz

z

y

x

CC

CC

CCC

6616

2212

161211

....

.

.

.

...

Al existir un plano de simetría xy

C14 = C15 = C24 = C25 = C16 = C56 = 0



Al existir un plano de simetría yz

C46 = C26 = C34 = C35 = C36 = C45 = 0

Un tercer plano de simetría no agrega nada nuevo por tanto, con dos o tres simetrías, se

tiene

66

55

44

332313

232212

131211

00000

00000

00000

000

000

000

C

C

C

CCC

CCC

CCC

9 Ctes.

Esto quiere decir que para materiales ortótropos (3 planos de simetría), Cijkl se reduce a

nueve constantes.

v) Isotropía: Mismo comportamiento en todas las direcciones

La base del comportamiento isotrópico es que al rotar el sólido, deben preservarse las

propiedades. En la figura 7 se muestran tres giros posibles que pueden imponerse al

sólido.

CASO I: Giro respecto del eje x

Matriz de Transformación

010

100

001

a

I II

III

x xx

yyy

zzz

z'

y'

x'

y' x'

y'

Figura 7. Giros para un material isótropo.



Nota: Cada elemento de la matriz de transformación corresponde a

jiij xxa ,'cos en que la (’) se usa para denotar el nuevo eje.

por ejemplo 1,'cos11 xxa

0,'cos13 zxa

1,'cos32 yza

zyzxz

yzyxy

xzxyx

ij

yyzxy

yzzxz

xyxzx

T

ijij aa

'

yyzxy

yzzxz

xyxzx

T

ijij aa

'

xy

xz

yz

z

y

x

xy

xz

yz

z

y

x

C

C

C

CCC

CCC

CCC

66

55

44

332313

232212

131211

00000

00000

00000

000

000

000

(1)

xz

xy

yz

y

z

x

xz

xy

yz

y

z

x

C

C

C

CCC

CCC

CCC

66

55

44

332313

232212

131211

00000

00000

00000

000

000

000

(2)

de (1) de (2)

zyxx CCC 131211 (*) yzxx CCC 131211 (**)

de (*) y (**) se tiene C12 = C13



zyxy CCC 232212 (***) yzxz CCC 232212 (****)

zyxz CCC 332313 yzxy CCC 332313

(***) con 3322 CC

yzyz C 44 yzyz C 44

xzxz C 55 xyxy C 55

xyxy C 66 xzxz C 66

6655 CC

CASO II: Giro respecto del eje z

Matriz de transformación

100

001

010

a

5544

2313

2211

CC

CC

CC

La matriz de coeficientes queda

C

C

C

ABB

BAB

BBA

C

C

C

CCC

CCC

CCC

00000

00000

00000

000

000

000

00000

00000

00000

000

000

000

44

44

44

111212

121112

121211

CASO III. Giro con respecto al eje z en un ángulo cualquiera

cossen

sencosa

yxy

xyx

yxy

xyx

''

''

cossen

sencos

cossen

sencos

2cos2

2sen' xyxyxy



Además, al aplicar la matriz de coeficientes

zxyy

zyxx

xyxy

BA

BA

C

2cos2

2' xyyxxy C

senBAAB

Además

xyxy C ''

xyxy C ''

pero

2cos2

2' xyxyxy

sen

2cos2

2sen2cos

2

2senxyxyxyyx CCCAB

BAC

Esto significa que al haber una relación entre C, A, y B, el número de constantes

independientes es únicamente dos.

5.5 Constantes de Lamé ,

De acuerdo a lo deducido anteriormente, las dos constantes independientes pueden ser

y , las que se denominan constantes de Lamé. Por lo tanto, se puede definir:

2

2

A

B

C

zyxz

zyxy

zyxx

2

2

2

yzyz

xzxz

xyxy

2

2

2

O bien, escrito en forma indicial:

ijijkkij 2



5.6 Relación entre los coeficientes elásticos y los valores obtenidos experimentalmente

En tracción, se puede plantear

xz

xy

xx E

en que es el coeficiente de Poisson

A partir de la última ecuación de la sección anterior, se puede plantear que:

ijkkijij

22

1

Si i = j, se tiene kkkkkk

3·

22

1

con lo cual

2312

kk

kk

Por tanto ij

kk

ijij

231222

1

Finalmente :

ijkkijij

3222

1

En el caso de un ensayo de tracción 0 zy

xji

por lo que

32

1

32

32

2

1

3222

1

E

Exxx

xxx



Lo cual de una relación entre las constantes de Lamé y el módulo de elasticidad

Dado que 0 zy (tracción uniaxial)

xx

xz

xy

322

2

322

322

Así, el módulo de Poisson, se puede plantear como:

)(22

x

y

lo cual entrega una relación entre los constantes de Lamé y el módulo de Poisson.

En un ensayo de cortadura simple, se cumple que:

xyxyxy

xyxyxyxy GG

22

0

ya que ijkkijij

3222

1

entonces xyxyxyxy

xy

xy Gquedadoy

22

2

G

que es la relación entre el módulo de corte y la constante de Lamé

5.7 Relación entre E y v y las constantes de Lamé

A partir de las relaciones anteriores se puede demostrar que

211

E

12

E

12

EG

Esta última ecuación permite demostrar que G<E.



En notación indicial, se puede escribir:

ijkkijij

ijijkkij

ijijkkij

EE

EE

1

1211

2

Finalmente ij en función de E y

GE

GE

GE

xy

xyyxzz

yz

yzzxyy

xzxzzyxx

1

1

1

Estas son las relaciones de Hooke más aplicadas, conviene recordarlas

5.8 Módulo compresibilidad

El módulo de compresibilidad se define como

Vv

K m

Corresponde al cambio de volumen en un material al aplicársele una carga.

Si 0

0

KV

KV

3

32

32

312

m

mmm K

5.9 Energía de deformación

Sea un sólido que en 0t está sin deformar. Considérese el sólido en dtt

Si u

es el desplazamiento dtt

uu

es el desplazamiento final.

Considerar dW : Incremento de trabajo, dW puede deberse a fuerzas de superficie o

fuerzas de volumen.



dtuudtt

uu ii

ii

Fd

desplaztrabajo

dtudVxdtudAdW iiiiiju

.

0,

ijij

V

ii

A

ijij

iiijij

u

xdVuxdAudt

dW

udVxudAdt

dW

Teorema de Gauss

dV

x

FdVFdSdF

i

ii

S

V

ijij

V

ijij

V

jiij

ijij

V

jiij

dVdt

dW

dVdVu

dVudVudt

dW

,

,,

Densidad de energía de deformación

ijijijij ddUdt

dU 0

0

mmijij

ijijmijij

ijijmijijij

dd

dd

dddU

92

32

320

22

90

00

0

mijij

t

U

dU

ij



ijijmijij

mijU

2

1

2

9

322

3

2

2

0

ijijU 2

10



Ejercicios resueltos

1. Se considera un prisma regular cuyo material tiene un módulo de elasticidad

25 /108,2 cmkgE y coeficiente de Poisson v = 0,1. La longitud del lado de la

sección recta es a = 20 cm. En ambas bases del prisma se colocan dos placas

perfectamente lisas y rígidas de peso despreciable, unidas entre sí mediante cuatro

cables de sección 1 cm2 y módulo de elasticidad 26

1 /102 cmkgE de longitudes

iguales a la altura del prisma l = 1 m, simétricamente dispuestos como se indica en la

figura. Sobre las caras laterales opuestas del prisma se aplica una fuerza de

compresión uniforme 2/750 cmkgp .

a) Calcular la tensión en los cables.

El alargamiento en la dirección del eje z provocado por la compresión p sobre las

caras laterales somete a tracción a los cables que, a su vez, por el principio de acción y

reacción, comprime al prisma en la dirección del eje z con una fuerza de valor 14 a .

Las tensiones normales en las caras del prisma son:

a

a

p



pny

nx

0

1

2 4 aa nz y Fprisma = Fcable

2

14

a

anz

(1)

Al ser las placas perfectamente rígidas, son iguales los alargamientos unitarios de

los cables y del prisma en la dirección del eje z.

El alargamiento unitario en los cables es (dirección z)

1E

(2)

Mientras que el correspondiente a la dirección longitudinal del prisma,

reemplazando (1,a,b,c) en (3) queda.

p

a

a

EEnynxnzz

2

1411 (3)

Igualando ambas expresiones (2) = (3)

p

a

a

EEz 4

412

1

Se obtiene la expresión de la tensión en los cables.

11

2

1

2

4 aEEa

Eap

Sustituyendo valores se tiene:

22625

62

5001102420108,2

102207501,0

cm

kg

cm

kg

b) Calcular las tensiones principales en el prisma.

Las direcciones principales en todos los puntos del prisma coinciden con las

direcciones de los ejes del sistema de referencia adoptado. Por lo tanto, los valores de las

tensiones principales son:



pny

nx

0

11

2

1

4

4

rEEa

Epnz

Sustituyendo valores:

2750

0

cmkgny

nx

22625

6

51102410108,2

11027501,04

cm

kg

cm

kg

Ordenando de mayor a menor, se tiene:

2

3

2

2

1

750

5

0

cmkg

cmkg

c) Calcular la variación de volumen experimentada por el prisma.

La deformación cúbica unitaria es:

3

510157,2

108,2

57502,0121

1

nznynxzyx

Ee

La variación de volumen experimentada por el prisma es:

328,86 cmeVV

2. Dos paralelepípedos A y B de distinto material y de las mismas dimensiones

,cba se colocan a uno y otro lado de una placa rígida y lisa adosados a ella por sus

caras ,ca de tal forma que en sus ejes de simetría perpendiculares a dichas caras sean

coincidentes (ver figura). Ambos paralelepípedos, junto con la placa se introducen en

una ranura de anchura igual a dos veces la longitud de la arista b más el espesor de la

placa. Las paredes de la ranura son planas, rígidas y perfectamente lisas. Los

paralelepípedos A y B se calientan, experimentando incrementos de temperatura T1 y T2

respectivamente. Conociendo los módulos de elasticidad E1 y E2, los coeficientes de



dilatación lineal 1 y 2 y los coeficientes de Poisson 1v y 2v de los bloques A y B

respectivamente, se pide:

a) Las tensiones principales en ambos bloques

b) Las variaciones de longitud de las aristas de los mismos

c) Calcular la variación de volumen de los dos bloques si ambos tienen las dimensiones

cm203020 y cada uno de ellos las siguientes características:

Cuerpo A (acero) Cuerpo B (aluminio)

14 º10117,0 C 14 º10234,0 C

E 26 /102 cmKgf 26 /1069,0 cmKgf

v 0,25 0,23

T 60 50

Ayuda: para resolver el problema se deben utilizar las leyes de Hooke

generalizadas, teniendo en cuenta las dilataciones térmicas, es decir, debe sumar "" T a

las deformaciones principales.

x

y

z

b

aa

b

c cA B

T2

T1



a) Los incrementos de temperatura producen dilataciones en todas las direcciones. El

alargamiento en las direcciones del eje y está impedido para ambos bloques, lo cual

crea tensiones ny en los mismos.

Ecuaciones a utilizar:

TE

nznynxx 1

TE

nznxnyy 1

TE

nynxnzz 1

G

xy

xy

;

G

xzxz

;

G

yz

yz

Distinguiremos con el superíndice 1 a las componentes de las matrices de tensiones y de

deformación del cuerpo A, y con el superíndice 2 las correspondientes al cuerpo B.

Como la deformación sólo está impedida en la dirección del eje y, tenemos:

01 ny ; 02 ny ; 02121 nznznxnx

0212121 yzyzxzxzxyxy

Además, las figuras imponen las siguientes condiciones

21

nyny

021 yy

De las ecuaciones de Hooke, se deduce:

11

1

1

1 1T

Enyy

22

2

2

2 1T

Enyy

Teniendo en cuenta la relación anterior, se tiene:

021

yy 11

1

1

1T

Eny 22

2

2

1T

Eny

21

nyny 21

21

2211 EEEE

TT



21 960 nyny

Cuerpo A Cuerpo B

021 021

23 960cm

kgf

23 960cm

kgf

b) Las variaciones de longitud de las aristas de los bloques vienen dadas por:

Cuerpo A Cuerpo B

1

xaa 2

xaa

1

xbb 2

xbb

1

xcc 2

xcc

Cuerpo A

4

111

1

1 1022,81 TE

nyx

4

11

1

1 1022,21 TE

nyy

4

111

1

1 1022,81 TE

nyz

Cuerpo B

3

222

2

2 1049,11 TE

nyx

4

22

2

2 1022,21 TE

nyy

3

222

2

2 1049,11 TE

nyz



Cuerpo A Cuerpo B

aa 41022,8 aa 31049,1

bb 41022,2 bb 41022,2

cc 41022,8 cc 31049,1

c) Calcular la variación de volumen si ambos tienen las mismas dimensiones.

cm203020

Volumen del Cuerpo A inicial = Volumen del Cuerpo B inicial

312000 cmV

Cuerpo A 016,20*016,020 aaa

312022*007,30*007,030 cmVbbb A

016,20*016,020 ccc

322 cmVA

Cuerpo B

03,20*030,020 aaa

32,12033*993,29*007,030 cmVbbb B

03,20*030,020 ccc

32,33 cmVB

Demostrar que las tensiones hidrostáticas no cambian el lugar de fluencia.

Recordar:

ijijddU 0 Densidad de energía de deformación.

Ahora Trabajo Plástico Total



P

ijijP ddW

hijijij '

P

ijhijijP ddW )'(

P

ijhij

P

ijijP dddW '

P

ijijh

P

ijijP dddW '

ji

jiij

0

1

P

iih

P

ijijP dddW '

donde:

P

ijd Deformación Plástica

0P

iid , ya que la deformación plástica ocurre sin cambio de volumen.

P

ijij

P

ijijP dddW '

La tensión hidrostática no produce trabajo plástico.

3.- En el interior de un cilindro de acero, absolutamente rígido, de radio interno r = 0,1

m, se introduce un cilindro de caucho del mismo radio (coeficiente de Poisson 0.4),

según se indica en la figura. Mediante una fuerza de 2 toneladas que actúa sobre un

pistón de peso y rozamiento despreciables colocado sobre el caucho, se comprime éste.

Calcular la presión entre la goma y el acero.

F



Solución

Eje Z A

Fnz

El área donde actúa la fuerza es 2·r

2222

·37.6

)10·(

2000

· cm

fKg

cm

Kg

r

Fnz

Eje X Pnx

0 yx

Eje Y Pny

Luego

01

nznynxxE

Reemplazando los valores Pnx

,Pny

, 37.6nz

tenemos que:

2

·25.4

548.26.0

0548.24.0

037.64.0

cm

fKgP

P

PP

PP

4.- Un cubo metálico que tiene una longitud de arista a = 25 cm se sumerge en el mar a

una profundidad z = 800 m. Conociendo el módulo de elasticidad

,/101,2 26 cmKgfE el coeficiente de Poisson v y el valor de la densidad del agua de

mar 1025 Kg/m3, se pide:

a) La representación del estado de esfuerzos usando el círculo de Mohr.

a = 25 cm.

z = 800 m.

,/101,2 26 cmKgfE

v = 0,3

La presión hidrostática es msmmKggzp 800/81,9/1025 23



2

26

2

6 100442,8100442,8m

s

Kgm

ms

Kg

22

82000.820cm

Kgf

m

Kgf

El estado tensional del cubo a partir del círculo de Mohr queda:

Dado que es sólo un punto.

b) Direcciones principales.

Cualquier dirección es principal.

c) La variación que experimenta el cubo sumergido.

321

1 v

E, pero 321

vE

pv

Ev

E21212

11

5

61056,13,021

101,2

82

La deformación unitaria es VVV

V 33321

335 73,0251056,13 cmV

82

282

cm

Kgf



5.- Un bloque de aluminio es comprimido entre paredes de acero perfectamente rígidas y

lisas (= 0.3; E=6000 Kg/mm2). Determinar:

a) Las dimensiones del agujero si las presiones laterales no deben exceder de 2 kg/mm2

b) El cambio de volumen del bloque.

c) Las deformaciones normal y cizallante en un plano cuya normal es

kjin 223

1ˆ.

a) 2/8

30*50

12000mmkPz

2/2 mmkPyx

306000

1

6000

)82(*3,02 xx

y

z

y

50

mm

P=12 Ton

50

mm 30 mm

x



Luego, mmlx

mmx

005,30

005,0

506000

1

6000

)82(*3,02 yy

mmly

mmy

0083,50

0083,0

b) Se tiene

6000

1 yx

6000

8,6

6000

)22(*3,08

z

por lo tanto 6000

8,4)8,62(

6000

12

0

zx

V

V

360)50*30*50(6000

8,4mmV

c)

8,600

010

001

6000

1ij ; )ˆ2ˆ2ˆ(

3

1ˆ kjin

6,13

2

1

18000

1

2

2

1

3

1*

8,600

010

001

6000

1

2

2

)18000(

96,188);ˆ6,13ˆ2ˆ(

18000

1

kji

)ˆ2ˆ2ˆ(3

1*)ˆ6,13ˆ2ˆ(

18000

1ˆ kjikjinn

410*111,4 n ;

7210*69,1 n

42210*438,6

2

n



6.- El esquema muestra una configuración en la cual un material A se comprime con 20 MPa.

Este material está inserto dentro de una matriz hecha de un material B, que también puede

deformarse. A su vez, todo el conjunto está inserto dentro de un marco de paredes infinitamente

rígidas. ¿Cuál es el módulo de elasticidad que debe tener el material B para que el material A no

se deforme en la dirección vertical?

B

y

x

z

20 MPa

Pared infitamente rígida Pared infitamente rígida A

A



Como las paredes son infinitamente rígidas, entonces la deformación

total, por el eje X, será cero, por lo que se tiene que:

BBBAAA

XX

X

ZYBX

B

ZYAx

A

BA

total

EE

11

0

AAA

BBB

ZYAx

ZYBXA

B

EE

(*1)

Pero al no aplicarse ninguna tensión directamente sobre B, entonces

0BY (*2)

Como el material A no debe deformase en Y se tiene entonces que:

01

AAA ZXAY

AE

0AAA ZXAY

Pero al no deformarse por Y, entonces 0AY (*3)

Por lo que se tiene que:

AA ZX (*4)

Ahora analizando el dibujo:

Por lo que se tiene que:

BA ZZ

BA XX



MPa

MPa

MPa

MPa

B

B

A

A

X

Z

X

Z

20

20

20

20

(*5)

Ahora reemplazando (*2),(*3),(*4) y (*5) en (*1) se tiene que:

A

BAB EE

1

1

elasticidad 5.1 bases atómicas del comportamiento elástico 5.1.1

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