El Número Áureo a través del tiempo

Magister Jaime Bravo Febres Hace algunos años casualmente llegó a mis manos un libro atractivo e interesante titulado “El Hombre que Calculaba” de Malba Tahan (que según posteriormente me enteré, que Malba Tahan es el seudónimo de un profesor brasilero, llamado Júlio César de Mello e Souza) en el que afirma que existe una forma matemática de la belleza: Dado un segmento AB, podremos dividirlo en dos partes iguales o en dos partes desiguales; entre las diferentes maneras de esta última existe una, y sólo una, satisfactoria estéticamente denominada "división aúrea". Dicha fórmula está regida por ......., el "Número de Oro", esta afirmación me condujo a indagar sobre el origen, propiedades y características de tal número áureo; cuyos resultados me permito exponerlos a continuación. Muchos estudiosos, como los pitagóricos, han afirmado y afirman que todo en la naturaleza está sujeto al número (concepto de cantidad) y proporción (concepto de relación entre cantidades), así los principios del cosmos, sus constantes expresadas matemáticamente, se proyectan en el crecimiento armonioso de los seres vivos, en la arquitectura y en el movimiento de los cuerpos celestes. El número rige todo orden y toda belleza de manera tal que el estudio de las formas parece evidenciar ciertas proporciones recurrentes; ideas que me han cautivado profundamente y marcado un sendero a seguir en indagaciones de pretendidas explicaciones matemáticas. La influencia de Pitágoras, fue tan notable, que los más interesados de sus discípulos se constituyeron gradualmente en una sociedad o hermandad. Se los conoció como la Escuela Pitagórica. La particularidad del sistema pitagórico fue encontrar en las matemáticas una clave para resolver el enigma del Universo y un instrumento para la purificación del alma. Aristóteles sintetizó la labor de los pitagóricos con las siguientes palabras: "Los Pitagóricos se dedicaron primero a las matemáticas, ciencia que perfeccionaron y, compenetrados con ésta, imaginaron que los principios de las matemáticas eran los principios de todas las cosas." Todos los descubrimientos que la Escuela realizaba eran atribuidos al mismo Pitágoras, por lo que resulta casi imposible diferenciar lo producido por él y lo elaborado por sus alumnos. Entre los principales sucesores de Pitágoras se encontraban Hipaso, Filolao y Arquitas. Más tarde, cuando los miembros de la sociedad se dispersaron, la regla del silencio cayó en desuso y se divulgaron sus doctrinas. El primer libro lo escribió Filolao en el 370 a.C. Sin embargo, la gloria de todos los descubrimientos que se realizaban seguían siendo patrimonio de su fundador. Se cuenta que Teano hija de Milón (¿esposa de Pitágoras?), al igual que el resto de los pitagóricos, sostenía que todos los objetos materiales estaban compuestos por números naturales; sin embargo, fue la primera en plantear la existencia del número áureo como esencia del universo. (Recientemente se

"Excepto las fuerzas ciegas de la naturaleza, no se mueve nada en el mundo que no sea griego en sus orígenes." Sir Henry James Sumner Maine

publicó el libro Mujeres, manzanas y matemáticas, de Xaro Nomdedeu Moreno -Nivola Ediciones, Madrid, 2000- que presenta los aportes concretos de Teano a la ciencia matemática.) El número de oro o número áureo es el primer número que se conoce como irracional. La Escuela Pitagórica, cuyo símbolo distintivo de la hermandad Pitagórica era el pentágono regular estrellado, obtuvo el número de oro como la razón existente entre la diagonal y un lado de un pentágono regular, (estudio de las proporciones y la media geométrica). Cuando los pitagóricos llegaron a la conclusión de que esta razón no se podía expresar como cociente de números enteros, es decir, como un número racional, los cálculos matemáticos se tambalearon y este hecho les pareció tan contrario a todo lo lógico que a este número lo llamaron irracional. En resumen: Los griegos de la antigüedad clásica creían que la proporción conducía a la salud y a la belleza. En su libro Los elementos (300 a. C.), Euclides demostró la proporción que Platón había denominado «la sección», y que más tarde se conocería como «sección áurea». Ésta constituía la base en la que se fundaba el arte y la arquitectura griegos; el diseño del Partenón de Atenas está basado en esta proporción. En la Edad Media, la sección áurea era considerada de origen divino: se creía que encarnaba la perfección de la creación divina. Los artistas del Renacimiento la empleaban como encarnación de la lógica divina. Jan Vermeer (1632-1675) la usó en Holanda; pero, años después, el interés por ella decreció hasta que, en 1920, Piet Mondrian (1872-1944) estructuró sus pinturas abstractas según las reglas de la sección áurea. Formulada de manera rigurosa por el Frayle Luca Paccioli en su obra La Divina Propor-ción, dicha proporción era ya conocida en la antigüedad. Fue definida por Euclides como "división de un segmento en su media y extrema razón". Es decir, que el segmento menor, es al segmento mayor, como éste es a la totalidad de la recta. Cuya fórmula es:

a

ba

b

a . No tiene expresión numérica racional, sino inconmensurable, dada por:

2

51 = 1.61803398875… Se conoce como número de oro o número “Fi” ( ).

CÁLCULO DEL NÚMERO ÁUREO Es hora pues que empecemos a calcular el tan misterioso número áureo, lo haremos por comodidad primeramente en un segmento de longitud 1.

SEGMENTO ÁUREO:

En el segmento de la figura adjunta tomando

proporciones se tiene:

1

x

x

x1

de donde: x1x2 , ecuación cuadrática, de la que tomando su raíz positiva se tiene:

2

51x

= 1.61803398875…, número al que se conoce como “número áureo”.

Nota: Al segmento de longitud “x” se le suele llamar segmento áureo.

EL RECTÁNGULO ÁUREO Solo por cuestiones didácticas emplearemos un

rectángulo de dimensiones en la base: ”a + a 5 ”

y de altura “2a” tal como se muestra en la figura adjunta, tomemos pues ahora el cociente de la base entre la altura, tal como:

2a

5aa

altura

base =

2

5(1

2a

5(1 a ))

= 1.61803398875… , número que recibe el

nombre de “número de oro”. Nota: Al rectángulo que cumple con las anteriores dimensiones se le conoce con el nombre de rectángulo áureo.

EL PENTÁGONO ÁUREO En la figura siguiente consideremos el pentágono

regular de lado x inscrito en una circunferencia.

El ángulo central del pentágono regular es:

º725

º360

El ángulo es un ángulo interior que subtiende un arco correspondiente a un ángulo central, por lo tanto mide:

= º722

1= 36º

El ángulo es también un ángulo interior y comprende un arco igual al que abarca , por

lo tanto tienen la misma medida, así: = = 36º

2a

a + a 5

A B

C

D

x

L

El ángulo es interior y subtiende un arco doble que el que abarca de modo que:

= 2 · = 72º

Por lo tanto:

= 180º = 180º 36º 72º = 180º 108º = 72º

= 180º =180º 72º 36º = 72º

= = 72º 36º = 36º

El triángulo ABD es isósceles, por lo tanto AD = AB = x

Como se tiene que = , el triángulo ADC es isósceles, lo que implica que DC = AD = x

El lado BD = BC BD = L x

Los triángulos CAB y ABD son semejantes porque tienen los ángulos iguales y por lo

tanto se cumple:

BD

AB

AB

CA

xL

x

x

L

Por lo tanto el lado x del pentágono regular es segmento áureo de la diagonal L.

Ahora si consideramos que el lado x = 1 y que L = tenemos:

11

1

1

2 , ecuación cuadrática, una cuyas raíces (la raíz positiva) tiene un

valor de: 2

51 = 1.61803398875… , que nuevamente es el número áureo.

LA SUCESIÓN DE FIBONACCI. En el libro de Fibonacci, titulado “Liber abaci”, aparece un problema que habla sobre la procreación de los conejos y en el que aparece la llamada sucesión de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393, 196418, 317811, 514229,... Sucesión que crece rápidamente. Propiedades Por razones del tema a tratar, consideraremos sólo algunas propiedades de la serie de Fibonacci, tales como: 1. En la sucesión de Fibonacci hay solamente dos cubos: 1 y 8.

2. En la sucesión de Fibonacci se tiene que: 2n1nn

xxx

3. En la sucesión de Fibonacci se cumple que:

n

1n

n x

xLim

= 1.61803398....

4. La razón entre cada par de términos consecutivos va oscilando por encima y por debajo de la razón áurea, y que conforme va avanzando la sucesión se va acercando más a este valor.

5. Independientemente de los números que encabecen la sucesión, las razones se

aproximan más y más al número 1'61803.... Por ejemplo, empezamos por 3 y 7; la sucesión sería: 3, 7, 10, 17, 27, 44, 71, 115... Luego las razones son:

,....71

115,

44

71,

27

44,

17

27,

10

17,

7

10,

3

7 si tomamos cada cociente estos se acercan al número

de oro , así: ...61971.171

115 luego se cumple que:

n

1n

n x

xLim

= = 1.61803398....

La lista de las propiedades de la sucesión de Fibonacci bastaría para llenar un libro. Pero también existen una gran variedad de aplicaciones de la misma en física y matemáticas.

Aplicaciones 1. En el Ser Humano: La Divina Proporción

La sección áurea de los griegos fue estudiada en el

Renacimiento por Luca Pacioli, quien editó en 1509 su libro "Divina Proporción", ilustrado por Leonardo Da

Vinci. En el libro se propone un hombre perfecto en el

que las relaciones entre las distintas partes de su

cuerpo son proporciones áureas. El cociente entre la altura del hombre (lado del cuadrado) y la distancia

del ombligo a la punta de la mano (radio de la

circunferencia) es el número áureo. 2. En el reino Vegetal

En el reino vegetal su aparición más llamativa en la implantación espiral de las semillas en ciertas variedades de girasol. Hay en ellas dos haces de espirales logarítmicas, una en sentido horario y otra en sentido antihorario, formados por dos términos consecutivos de la conocida serie. En el crecimiento de las plantas como las piñas, la distribución de las hojas en un tallo, etc..

3. En los Animales

En ciertos moluscos y crustáceos, como el Nautilus, la forma de ellos, coincide con la espiral de áurea a partir de subdivisiones áureas, que tienen directa relación con el rectángulo áureo; así mismo se dan en otros animales como la estrella de mar, etc.

4. En el Arte

En algunas pinturas los artistas logran una mejor expresión mediante el uso del número áureo; así tenemos la conocida “Leda Atómica”, pintura de Dali, en cuyo boceto se nota nítidamente el pentágono áureo.

5. En la Arquitectura

La proporcionalidad que nos lleva al número áureo se nota en las construcciones monumentales, como la Tumba Rupestre de Mira, en Asia Menor; en la Gran Pirámide de Keops en el Egipto, El Partenón en Grecia, etc.

6. En el Comercio Multitud de formas a nuestro alrededor guardan proporciones áureas, ya que a la hora de diseñar un objeto se intenta que sea lo más atractivo posible tal como ocurre con las tarjetas de crédito y sin ir muy lejos, nuestro carné de identidad (DNI) es un rectángulo de oro. 7. En la Economía. Sabemos que la serie de Fibonacci, consiste en una serie de números que se construye desde el numero 1, después el numero 2. y luego se obtiene el siguiente numero por la suma del anterior y su precedente:

1, 2 =2+1=3, 3+2=5, 5+3 =8, etc. Se puede observar las siguientes reglas que cumplen siempre en esta serie: 1.- La proporción que hay entre cada numero (n) y el siguiente (n+1) es siempre del 61,80%. 2.- La proporción que hay entre cada numero (n) y uno más del siguiente (n+2) en la serie es siempre del 38.19%. Una de las aplicaciones prácticas de la serie es el análisis de las correcciones técnicas de la bolsa. Cuando los mercados están en tendencia alcista o bajista, se ha podido comprobar que las correcciones generalmente coinciden en porcentaje con las proporciones de Fibonacci. Cuando un mercado ha empezado a corregir después de una tendencia claramente alcista o bajista, se pueden establecer objetivos de corrección del 38% o del 62% del movimiento. Esta aplicación es de especial interés a la hora de aplicar la teoría de Elliot. Son las llamadas líneas de Fibonacci, que suelen representar líneas de soporte o resistencia.

Las líneas de Fibonacci son muy similares a las líneas de velocidad. Para trazarlas solo tenemos que seleccionar dos puntos significativos del grupo, por ejemplo, desde el inicio del alza hasta la primera parada, con un pequeño inicio de caída. Desde éste segundo punto trazamos la proyección hasta la altura del primer punto y dividimos esta distancia en dos líneas especiales: siguiendo las proporciones en la línea del 62% y la línea del 38%. Otra de las aplicaciones son las zonas en el tiempo, que consisten en líneas verticales en periodos correspondientes a la serie. Es decir, se colocan líneas verticales en los periodos de 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, etc. Con esta línea se trata de identificar cambios en las tendencias del mercado. Con los arcos de Fibonacci se incorpora la variable tiempo. No solamente se trata de identificar las zonas de soporte y resistencia, sino cuando van a producirse estas. Es conveniente utilizar conjuntamente las líneas y los arcos de Fibonacci. Las señales más fuertes se producen cuando coinciden los dos tipos de curvas. Bibliografía 1. El hombre que calculaba. Malba Taham. Ed. Popular 1956 2. El Número de Oro. Mariano J. Dominguez Muro. Ed. Narcea. 3. Fibonacci and Lucas Numbers. Published by the Fibonacci Association, 1969.

Houghton Mifflin. 4. Historia de la Matemmática Carl Boyer. Ed. Alianza, Madrid. 5. La composición Áurea en las artes plásticas. Pablo Tosto. Buenos Aires. Lib.

Hachette, 1958. 6. El Misterio de Orion (La proporción áurea y la gran pirámide). Abelardo Falleti. Bs

Aires. Emece Editores. 1966. 7. Los grandes Matemáticos. Bell. E. T. Ed. Lozada. 1985 8. A divina proporção: Um Ensaio sobre a Beleza na Matemática", H. E. Huntley,

Brasília-DF.Editora Universidade de Brasília em 1985 9. El número de oro. Ghyka, M. (1983) Ed. Poseidón