PD6

“El modelo de Insumo-Producto de Leontief ”

11 de octubre de 2019

1

PD6

El modelo de Insumo-Producto de Leontief.

Un modelo que se usa con frecuencia en economıa es el modelo de insumo-producto de

Leontief. Ası llamado en honor del economista estadounidense Wassily W. Leontief, quien

utilizo este modelo en su trabajo pionero “Quantitative Input and Output Relations in the

Economic System of the United States” en Review of Economic Statistics 18(1936). Leontief

gano el Premio Nobel de Economıa en 1973 por su desarrollo del analisis de insumo-producto.

Wassily W. Leontief

PD6

Empecemos con un ejemplo practico de insumo-producto de Leontief, y en lo que sigue

iremos interpretando los conceptos basicos, el planteamiento del problema y su solucion.

Ejemplo. Una version muy simplificada de una tabla de insumo-producto de un sistema

economico de tres industrias I, II y III mutuamente interrelacionadas es la siguiente:

DEMANDA INTERNA

INSUMOS INSUMOS INSUMOS DEMANDA PRODUCCION

I II III EXTERNA TOTAL

PRODUCTOS I 200 80 120 100 500

PRODUCTOS II 100 40 60 200 400

PRODUCTOS III 50 120 120 310 600

Esta es una tabla de transacciones interindustriales, que muestran como se interrelacionan

todas las industrias. Se asume que cada industria produce un producto homogeneo.

PD6

Flujo de transacciones interindustriales.

DEMANDA INTERNA

INSUMOS INSUMOS INSUMOS DEMANDA PRODUCCION

I II III EXTERNA TOTAL

PRODUCTOS I 200 80 120 100 500

PRODUCTOS II 100 40 60 200 400

PRODUCTOS III 50 120 120 310 600

I II

100

80

III

12050

12060

200 40

120

200100

310

PD6

Interpretando las columnas de la tabla insumo-producto.

DEMANDA INTERNA

INSUMOS INSUMOS INSUMOS DEMANDA PRODUCCION

I II III EXTERNA TOTAL

PRODUCTOS I 200 80 120 100 500

PRODUCTOS II 100 40 60 200 400

PRODUCTOS III 50 120 120 310 600

Las tres primeras columnas representan la demanda interna (los insumos, las compras, los

gastos), ya que estas unidades corresponden a los insumos que las industrias adquieren para

fabricar otros productos, es decir que corresponden a bienes que no llegan al consumidor

final, sino que se utilizan dentro del proceso de produccion.

PD6

Interpretando las columnas de la tabla insumo-producto.

DEMANDA INTERNA

INSUMOS INSUMOS INSUMOS DEMANDA PRODUCCION

I II III EXTERNA TOTAL

PRODUCTOS I x12 = 200 x12 = 80 x13 = 120 d1 = 100 x1 = 500

PRODUCTOS II x21 = 100 x22 = 40 x23 = 60 d2 = 200 x2 = 400

PRODUCTOS III x31 = 50 x32 = 120 x33 = 120 d3 = 310 x3 = 600

Conviene subrayar que la tres primeras columnas nos indican las cantidades compradas por

una determinada industria para lograr un nivel de produccion especıfico, es decir que indican

el origen o las fuentes de donde esa industria absorbe las materias primas para cumplir con

su proceso de produccion. Por ejemplo x21 = 100 representa la demanda interna que la

industria I ejerce sobre la industria II.

PD6

Interpretando las columnas de la tabla insumo-producto.

DEMANDA INTERNA

INSUMOS INSUMOS INSUMOS DEMANDA PRODUCCION

I II III EXTERNA TOTAL

PRODUCTOS I x12 = 200 x12 = 80 x13 = 120 d1 = 100 x1 = 500

PRODUCTOS II x21 = 100 x22 = 40 x23 = 60 d2 = 200 x2 = 400

PRODUCTOS III x31 = 50 x32 = 120 x33 = 120 d3 = 310 x3 = 600

La cuarta columna representa las compras que los consumidores finales efectuan a las indus-

trias. Esta columna recibe la denominacion de demanda externa, ya que corresponde a bienes

que no se utilizan como insumos internos para producir otros bienes, sino que satisfacen una

necesidad de algun consumidor final. Por ejemplo d3 = 310 representa la demanda externa

ejercida sobre la industria III. La ultima columna nos indica la produccion Total de cada

industria.

PD6

Interpretando las filas de la tabla insumo-producto.

DEMANDA INTERNA

INSUMOS INSUMOS INSUMOS DEMANDA PRODUCCION

I II III EXTERNA TOTAL

PRODUCTOS I x12 = 200 x12 = 80 x13 = 120 d1 = 100 x1 = 500

PRODUCTOS II x21 = 100 x22 = 40 x23 = 60 d2 = 200 x2 = 400

PRODUCTOS III x31 = 50 x32 = 120 x33 = 120 d3 = 310 x3 = 600

Las filas nos indican los productos (las ventas, los ingresos) de cada industria, y como se

distribuye el volumen total de la produccion y su destino. La demanda total ejercida sobre

una industria se obtiene sumando las unidades de la demandas internas y las unidades de la

demanda externa, el cual debe ser igual a la produccion Total de la industria. Por ejemplo

la demanda interna total sobre la industria II es x21 + x22 + x23 = 200.

PD6

Unidades de medida en la tabla insumo-producto.

DEMANDA INTERNA

INSUMOS INSUMOS INSUMOS DEMANDA PRODUCCION

I II III EXTERNA TOTAL

PRODUCTOS I 200 80 120 100 500

PRODUCTOS II 100 40 60 200 400

PRODUCTOS III 50 120 120 310 600

La tabla de transacciones interindustriales se ha construido bajo el supuesto de que los

resultados del proceso productivo se expresan en unidades fısicas. Bajo este supuesto siempre

es posible sumar horizontalmente las filas de la tabla, ya que las cifras de una misma fila,

representan las ventas de una misma industria y por lo tanto se expresan en la misma unidad

de medida.

PD6

Unidades de medida en la tabla insumo-producto.

DEMANDA INTERNA

INSUMOS INSUMOS INSUMOS DEMANDA PRODUCCION

I II III EXTERNA TOTAL

PRODUCTOS I 200 80 120 100 500

PRODUCTOS II 100 40 60 200 400

PRODUCTOS III 50 120 120 310 600

En cambio no tiene sentido sumar por columna ya que cada cifra representa una compra

efectuada a otra industria de produccion y por lo tanto esta expresada en diversas unidades

de medidas. Si las cifras de una tabla de transacciones interindustriales, estan expresadas

en valores monetarios entonces tienen sentido sumarlas tanto horizontalmente (ventas) como

verticalmente (compras).

PD6

Relacionando la produccion Total con los insumos. En el proceso de produccion:

DEMANDA INTERNA

INSUMOS INSUMOS INSUMOS DEMANDA PRODUCCION

I II III EXTERNA TOTAL

PRODUCTOS I 200 80 120 100 500

PRODUCTOS II 100 40 60 200 400

PRODUCTOS III 50 120 120 310 600

(a) Para elaborar 500 unidades de produccion de la industria I, se requieren 200 unidades

de la industria I, 100 unidades de la industria II y 50 unidades de la industria III.

(b) Para elaborar 400 unidades de produccion de la industria II, se requieren 80 unidades

de la industria I, 40 unidades de la industria II y 120 unidades de la industria III.

(c) Para elaborar 600 unidades de produccion de la industria III, se requieren 120 unidades

de la industria I, 60 unidades de la industria II y 120 unidades de la industria III.

PD6

Determinando la matriz de tecnologıa (coeficientes tecnicos).

DEMANDA INTERNA

INSUMOS INSUMOS INSUMOS DEMANDA PRODUCCION

I II III EXTERNA TOTAL

PRODUCTOS I 200 80 120 100 500

PRODUCTOS II 100 40 60 200 400

PRODUCTOS III 50 120 120 310 600

(a) Para producir 1 unidad de la industria I se necesitan 200500

unidades de la industria I, 100500

unidades de la industria II y 50500

unidades de la industria III.

(b) Para elaborar 1 unidad de la industria II se requieren 80400

unidades de la industria I, 40400

unidades de la industria II y 120400

unidades de la industria III.

(c) Para elaborar 1 unidad de la industria III se requieren 120600

unidades de la industria I, 60600

unidades de la industria II y 120600

unidades de la industria III.

PD6

Determinando la matriz de tecnologıa (coeficientes tecnicos).

A =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

=

0, 4 0, 2 0, 2

0, 2 0, 1 0, 1

0, 1 0, 3 0, 2

(a) Para elaborar 1 unidad de produccion de la industria I se requieren, 0, 4 unidades de la

industria I, 0, 2 unidades de la industria II y 0, 1 unidades de la industria III.

(b) Para elaborar 1 unidad de produccion de la industria II se requieren, 0, 2 unidades de la

industria I, 0, 1 unidades de la industria II y 0, 3 unidades de la industria III.

(c) Para elaborar 1 unidad de produccion de la industria III se requieren, 0, 2 unidades de

la industria I, 0, 1 unidades de la industria II y 0, 2 unidades de la industria III.

PD6

Flujo de coeficientes tecnicos (demandas internas).

I II

0.2

0.2

III

0.20.1

0.30.1

0.4 0.1

0.2

Se asume que los coeficientes tecnicos son constantes, y no se considera la posibilidad de

cambios que afecten dichos coeficientes.

PD6

Supongamos que una oficina de planeacion ha proyectado que el proximo ano de actividad

las demandas externas sufriran los siguientes cambios:

d + ∆d =

100

200

310

+

+100

−50

−10

=

200

150

300

Determine los nuevos niveles de produccion de cada industria que permiten el equilibrio de

esta economıa, esto es, la oferta (la produccion de cada industria) sea exactamente igual a

su demanda (el problema insumo-producto de Leontief asume el equilibrio).

PD6

Planteamiento del problema insumo-producto de Leontief. Denotemos:

I II

0.2

0.2

III

0.20.1

0.30.1

0.4 0.1

0.2

DEMANDA INTERNA

INSUMOS INSUMOS INSUMOS DEMANDA PRODUCCION

I II III EXTERNA TOTAL

PRODUCTO I 0, 4x1 0, 2x2 0, 2x2 d1 = 200 x1

PRODUCTO II 0, 2x1 0, 1x2 0, 1x3 d2 = 150 x2

PRODUCTO III 0, 1x1 0, 3x2 0, 2x3 d3 = 300 x3

Por ejemplo para calcular la demanda interna de la industria II se observa que la industria 1

necesita 0, 2 unidades de produccion de la industria II para producir una unidad de su propia

produccion. Si la produccion de la industria I es x1, entonces 0, 2x1 se trata de la cantidad

total que necesita la industria I de la industria II. De esta forma, la demanda interna total

sobre la industria II es 0, 2x1 + 0, 1x2 + 0, 1x3.

PD6

Planteamiento del problema insumo-producto de Leontief.

DEMANDA INTERNA

INSUMOS INSUMOS INSUMOS DEMANDA PRODUCCION

I II III EXTERNA TOTAL

PRODUCTO I 0, 4x1 0, 2x2 0, 2x2 d1 = 200 x1

PRODUCTO II 0, 2x1 0, 1x2 0, 1x3 d2 = 150 x2

PRODUCTO III 0, 1x1 0, 3x2 0, 2x3 d3 = 300 x3

Al igualar la demanda total a la produccion de cada industria se llega al siguiente sistema

de ecuaciones:

0, 4x1 + 0, 2x2 + 0, 2x3 + 200 = x1

0, 2x1 + 0, 1x2 + 0, 1x3 + 150 = x2

0, 1x1 + 0, 3x2 + 0, 2x3 + 300 = x3

PD6

Expresemos el sistema de ecuaciones en su forma matricial:a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

x1

x2

x3

+

d1d2d3

=

x1

x2

x3

En su forma compacta: Ax + d = x. Aplicando eliminacion gaussiana determinamos que la

produccion Total de cada industria es:x1

x2

x3

=

660

380

600

lo que significa que para satisfacer la demanda final prevista de 200 unidades de la industria

I, 150 unidades de la industria II y 300 unidades de la industria III, se debe generar una

produccion Total de 660 unidades de la industria I, 380 unidades de la industria II y 600

unidades de la industria III.

PD6

Nuevo flujo de transacciones interindustriales.

DEMANDA INTERMEDIA

INSUMOS INSUMOS INSUMOS DEMANDA PRODUCCION

I II III FINAL TOTAL

PRODUCTO I 264 76 120 200 660

PRODUCTO II 132 38 60 150 380

PRODUCTO III 66 114 120 300 600

I II

132

76

III

12066

11460

264 38

120

200 150

300

PD6

Comparando los flujos de transacciones interindustriales.

DEMANDA INTERNA

INSUMOS INSUMOS INSUMOS DEMANDA PRODUCCION

I II III EXTERNA TOTAL

PRODUCTOS I 200 80 120 100 500

PRODUCTOS II 100 40 60 200 400

PRODUCTOS III 50 120 120 310 600

I II

100

80

III

12050

12060

200 40

120

200100

310

DEMANDA INTERMEDIA

INSUMOS INSUMOS INSUMOS DEMANDA PRODUCCION

I II III FINAL TOTAL

PRODUCTO I 264 76 120 200 660

PRODUCTO II 132 38 60 150 380

PRODUCTO III 66 114 120 300 600

I II

132

76

III

12066

11460

264 38

120

200 150

300

PD6

Conclusion.

∆d =

200

150

300

−

100

200

310

=

100

−50

−10

∆x =

660

380

600

−

500

400

600

=

160

−20

0

� ∆d : Variacion de la demanda externa de cada industria.

� ∆x : Variacion de la produccion Total de cada industria.