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El modelamiento matemático aplicado al estudio de los recursos marinos y su manejo
Jorge Amaya1 CMM, Universidad de Chile, Av. Blanco Encalada 2120, Santiago, Chile
Pierre Cartigny2
INRA LASB Montpellier, 2, Place Viala, 34060 Montpellier Cedex 2, France
Alain Rapaport3 INRA LASB Montpellier, 2, Place Viala, 34060 Montpellier Cedex 2, France
Resumen En este trabajo se presenta una exposición general de los modelos matemáticos de crecimiento de poblaciones de peces, tanto en condiciones de evolución natural como de evolución bajo condiciones de pesca u otra intervención. En el caso de una especie, se define y analiza los conceptos de sustentabilidad, libre acceso y modelos de gestión para la toma óptima de decisiones de control. Se presenta también de manera general el caso de varias especies y de la existencia de una reserva. El formalismo general de la presentación es el del modelamiento matemático, haciendo énfasis en el potencial de análisis cualitativo y cuantitativo que este provee. JEL Classification: Q22, C61, D61 Key Words: Economía pesquera, predador-presa, reservas marinas, teoría de control óptimo
1. Introducción En los años 1994 y 1995, millones de individuos provenientes de parcelas de salmones de la región de Chiloé, escaparon de los límites de confinamiento. Esto representa una invasión de especies exóticas en zonas en las cuales pueden provocar impactos tanto de tipo ecológico, al entrar en interacción con fauna nativa, como económico, al dar origen a una actividad de pesca artesanal y deportiva. Del punto de vista del modelamiento matemático, dos problemas importantes aparecen entonces, entre otros: cuantificación de los tamaños de esta población y su evolución, y proposición de acciones de control. El primer aspecto tiene relación con estudios de tipo estadístico y de muestreo, y el segundo, con modelos diferenciales de evolución, incluyendo los efectos de crecimiento natural y pesca. El primer aspecto está muy bien expuesto en Soto et al [2001]. Para mayores detalles en relación con este tema, se puede consultar también Mendez y Munita [1989] y Soto [1997]. El problema de control tiene que ver más bien con la decisión de dejar que esta población se haga estable y autosustentable, o bien estimular acciones de pesca orientadas a impedir su crecimiento. Para eso, es necesario proponer y calibrar modelos de crecimiento poblacional, los cuales son básicamente parametrizados a través de las funciones de crecimiento natural y de esfuerzo de pesca. La gestión de recursos renovables ha adquirido en los últimos años un considerable interés, tanto desde la perspectiva ecológica, como económica y social, por la necesidad de proveer de recursos sustentables a las futuras generaciones. Esto ha motivado un creciente interés científico por estudiar estos problemas y, en este sentido, las Matemáticas Aplicadas y el Modelamiento Matemático pueden jugar un rol muy relevante, al incorporar elementos objetivos de análisis, predicción y control. Una referencia clásica sobre los modelos de gestión de recursos naturales renovables está dada por Clark [1990], donde se expone estrategias óptimas de explotación para ecosistemas determinísticos autónomos. También este problema es abordado por diversos autores, entre los cuales vale mencionar Castilho y Srinivasu [2004], Cushing [1977], Fan y Wang [1998], Gragnan y Rinaldi [1995], Ives et al [2000], Toro y Aracil [1988], y Zhang et al [2003]. En relación con los problemas de manejo, podemos mencionar algunos estudios recientes relativos a estrategias de explotación, estudios de reservas marinas y equilibrio ecológico. Ver, por ejemplo, Zuleta et al [1998] y Moreno et al ([2001], [2003]). En este trabajo haremos una exposición general de los principales instrumentos de análisis matemático que pueden ser aplicados al manejo de los problemas de pesca. En la primera parte, exponemos las formas más habituales de los modelos de crecimiento natural y con intervención (pesca) para el caso de una especie, introduciendo los conceptos de sustentabilidad y equilibrio, considerando también el efecto del precio de venta del producto sobre la actitud de los agentes. Más adelante, presentamos un problema de Optimización que representa la maximización del beneficio de los pescadores, respetando en el largo plazo, la ecuación de estado y las cotas de pesca. Finalmente, introducimos brevemente los modelos para el caso multi-especie y la existencia de reservas marinas. 2. Modelos para el crecimiento natural En esta sección nos interesamos en una población que se reduce a una sola especie, sin hacer distinción entre los individuos al interior de la misma (por ejemplo, no consideramos la distribución de edades dentro de la
población). Dado que el tamaño de la población varía en el curso del tiempo, notaremos mediante ( )x t al efectivo o número total de individuos, en el instante t . El tiempo aquí se supone continuo, es decir,
[0, [t ∈ ∞ . Dados dos instantes 1t y 2t , se puede medir la evolución del stock al cabo del intervalo 0h >
mediante las diferencias 1 1( ) ( )x t h x t+ − y 2 2( ) ( )x t h x t+ − , que en principio no son iguales. Para
comparar las evoluciones en 1t y 2t es útil comparar las proporciones
1 1 2 2y ( ) ( ) ( ) ( )
x t h x t x t h x t
h h+ − + −
llamadas "velocidades medias", en los instantes 1t y 2t respectivamente. La hipótesis de tiempo continuo
permite considerar el límite de tales cuocientes cuando la diferencia de tiempo h tiende a cero. Haciendo ciertas hipótesis técnicas necesarias, denotaremos
x� �t� :� ddt
x�t� :� limh�0
x�t � h� � x�t�h
,
donde ( )x t� representa entonces la "velocidad instantánea" en el instante t , es decir, la evolución instantánea de la población en ese momento t . Esta velocidad natural de reproducción, que incluye los efectos de mortalidad y nacimiento, puede ser diferente según la especie considerada. Por ejemplo, podemos suponer que rapidez de reproducción es constante y proporcional al stock ( )x t (mientras más grande es la población, más probables son los contactos reproductivos), obteniéndose la ley de evolución siguiente:
0( ) r tx t x e=
donde 0x representa el valor inicial del stock, es decir, al instante 0t = . En este caso, cuando 0r >
entonces el stock aumenta. Igualmente, disminuye a cero cuando 0r < y es constante cuando r es nulo. Si bien se puede efectivamente observar en la naturaleza que para valores débiles de stock, el crecimiento de una población parece ser exponencial, es claro que existen límites naturales del crecimiento (dado por la cantidad de alimento disponible, por ejemplo) y que para 0r > , tal forma de crecimiento no puede ser realista para todo instante t . Cuando 0r < el comportamiento del stock no es tampoco realista para una población genérica, pues esta ley conduce a una población siempre decreciente (tasa de crecimiento negativa) y a la extinción. De esta manera, representamos en forma general la evolución de una población mediante una ley siguiente del tipo:
x� �t� � F�x�t��,
donde la función (·)F posee propiedades generales de regularidad. Un modelo clásico es aquel de la función llamada "logística"
F�x� � rx�1 � x/K�,
donde r y K son constantes positivas que denominaremos respectivamente "crecimiento intrínseco" y "capacidad límite".
0
y
1
x
Figura 1: Crecimiento logístico r=0.2, K=1
Se puede observar en la figura que los valores del stock 0x = y x K= son particulares, dado que en ellos la velocidad de crecimiento es nula. Es decir, si el stock toma ese valor en un instante dado t∗ , entonces mantiene el valor en todo instante posterior t t∗≥ . Estos valores del stock son llamados "equilibrios". Se constata que si el stock es estrictamente positivo e inferior a K (es decir, 00 x K< < ),
entonces la población aumenta y se aproxima al equilibrio K . Igualmente, si el stock 0x es estrictamente
superior a K , entonces la población disminuye y converge a K . Se dice entonces que K es un equilibrio asintóticamente estable. Por razones análogas se dice que 0 0x = es un equilibrio asintóticamente
inestable. Otras funciones (·)F pueden ser también utilizadas, como por ejemplo, la del modelo de Gompertz, que está dada por
F�x� � r x ln Kx .
Se observa en estos modelos, que la función
r�x� :�F�x�
x
es decreciente en x . Se dice entonces que se trata de un modelo con "compensación". En ciertos casos, se ha observado que tal fenómeno de compensación sólo se observa a partir de cierto nivel de stock, mientras que para valores de stock inferiores, la función (·)r es creciente. Se dice entonces que existe una "descompensación", para los niveles de stock inferiores a un cierto nivel dado (umbral). Un ejemplo de ese tipo de modelos está dado por
F�x� � rx 2�1 � x/K�.
0
y
1
x
Figura 2: Crecimiento con descompensación r=0.2, K=1
En este caso, se observa un cambio de curvatura en un nivel de stock x dado: hay convexidad en el intervalo [0, ]x y concavidad a partir de x . Cuando el stock es pequeño el crecimiento es más débil que cuando hay compensación, lo que significa que hay menos posibilidades de encuentros reproductivos entre los individuos de la población. En términos generales, las funciones (·)F que consideraremos aquí estarán definidas en intervalos del tipo [0, ]b y serán positivas en ese intervalo. Supondremos también que son bastante regulares (al menos continuas y diferenciables) y verifican la condición (0) ( ) 0F F b= = . Existen otros tipo de formas evolución, pero no serán tratadas aquí. Las que hemos descrito son las más básicas y frecuentes y a partir de ellas se puede extender el análisis a otras formas más complejas. 3. Modelos de una especie con pesca En esta sección presentaremos el caso de una población que se rige básicamente por alguno de los modelos presentados en la sección precedente,
x� �t� � F�x�t��, t � 0
suponiendo además que existe pesca sobre esta población, es decir, el modelo propuesto está dado por el proceso dinámico:
x� �t� � F�x�t�� � h�t�, t � 0
En esta ecuación ( )h t representa la tasa de pesca en el instante t . Es claro que la evolución de la población está perturbada por la acción de la pesca y dependerá ahora del comportamiento de la función
(·)h en cada instante t . En este caso, puede ocurrir que la población se extinga o que encuentre nuevos estados de equilibrio. 3.1. Sustentabilidad Introducimos aquí el concepto de "esfuerzo de pesca", que está representado por una función del tiempo, que denominaremos ( )E t , y que expresa de algún modo una medida de la capacidad de pesca: barcos o botes disponibles, redes, mano de obra, otros insumos o tecnología en general. Supongamos, por ejemplo, que la tasa de pesca es proporcional al esfuerzo de pesca y al nivel del stock disponible, es decir,
( ) ( ) ( ) 0h t E t qx t t= ≥ (1)
Hemos incluido un coeficiente positivo q , que representa la "atrapabilidad" ("catchability") de la especie. Es decir, dado un nivel de stock ( )x t , es posible atrapar una parte ( )qx t y la tasa de captura depende del esfuerzo ( )E t desplegado en el instante t . Se puede visualizar la situación mediante un gráfico que represente las funciones del stock F y h . La diferencia entre ellas representa ( )x t� , la velocidad de
crecimiento. A modo de ejemplo, consideremos un esfuerzo constante ( )E t E= , para todo instante t . Las curvas de (·)F y (·)h , vistas como funciones del stock x , se cortan en un punto x que satisface 0 x b≤ ≤ , tal como se muestra en la figura siguiente.
0
0.05
1
x
Figura 3: Esfuerzo constante E=0.03, r=0.2, K=1, q=1 En los puntos de intersección (curva y recta de menor pendiente) x , la evolución de la población es nula, es decir, se trata de un punto de equilibrio. Claramente, hay dos puntos de equilibrio: x x= y 0x = . Si
la condición inicial 0x (el stock en el instante 0t = ) satisface 00 x x< < , considerando que ( ) 0x t >� ,
para todo 0t ≥ , el stock aumenta hasta alcanzar el valor máximo, lo que ocurre en tiempo infinito. Se observa el mismo tipo de comportamiento, pero decreciente, si 0x x b< < . Este equilibrio x es entonces
asintóticamente estable. Por otra parte, si el esfuerzo de pesca es mantenido igual a E y el stock se mantiene en x , entonces la situación se dice sustentable. Para los valores de esfuerzo que no sean demasiado grandes, es decir, cuando la curva azul está estrictamente por debajo de la curva verde de manera tal que [0, (0)[qE F ′∈ , se tiene siempre un equilibrio sustentable no nulo. Es entonces natural considerar el esfuerzo de pesca sustentable que otorga la tasa de pesca máxima (el máximo número de peces atrapados). Lo llamaremos "esfuerzo máximo sustentable" MSE , y el stock correspondiente se anotará MSx . Notemos también que, para esta última situación, la tasa de reproducción natural es máxima. Cuando se considera esfuerzos constantes de pesca, se acostumbra a representar la curva de tasa de pesca sustentable, (·)H , en
función del esfuerzo (modelo de Schaefer). Para la función logística, si el esfuerzo tal que [0, (0)]qE F ′∈ , siendo (0)F r′ = , el stock sustentable es
x���� �r � q�
r K,
por lo tanto, la tasa de pesca sustentable es
H��� :� q�x���� �r � q�
r q�K.
En este caso, se obtiene el gráfico siguiente, para ( )H E :
0
0.05
H
0.1 0.2
E
Figura 4: Tasa de pesca sustentable H(E) (caso logístico), r=0.2, K=1, q=1 En el caso de la función de Gompertz, se obtiene para ( )H E :
0
0.05
H
2 4
E
Figura 5: Tasa de pesca sustentable H(E) (caso Gompertz), r=0.2, K=1, q=1, E=0.03 Sin embargo, es aconsejable manipular estos gráficos con prudencia. Si se parte de un estado sustentable
caracterizado por E y x , con MSE E< , y se decide aumentar el esfuerzo de pesca a un valor E tal que
ˆMSE E E< < , teóricamente se alcanzará el nivel de cosecha ˆ( )h E (superior a ( )h E ), en tiempo infinito.
A corto plazo, la evolución del stock está regida por
x� �t� � F�x�t�� � Êqx�t�, x�0� � x� Así, en el corto plazo, la cantidad cosechada, que pasa de Eqx al valor superior Eqx , va a disminuir
hasta alcanzar el valor sustentable ˆ ˆEqx . Esto está ilustrado por la figura siguiente, en que la función de
crecimiento es logística, con ˆE E< .
Figura 6: Esfuerzos variables (caso Logístico), r=0.2, K=1, q=1, E=0.03 y 0.06
Claramente, si el esfuerzo es demasiado grande, es decir si (0)qE F ′≥ (en el gráfico, (0)F ′ está representado por la recta de mayor pendiente), el único equilibrio sustentable es 0, es decir, hay extinción de la especie a largo plazo. 3.2. Libre acceso (Open-access) En lo que hemos expuesto hasta aquí, hemos considerado solamente el aspecto de los equilibrios biológicos del modelo. Consideraremos ahora los aspectos económicos. Supongamos, para simplificar, que el producto de la pesca puede ser vendido a precio constante p y que el costo unitario de esfuerzo, c , es también constante. A un esfuerzo constante E se asocia la tasa sustentable de pesca ( )H E y se introduce así el ingreso correspondiente:
( ) ( ).I E pH E=
Definamos entonces la renta sustentable asociada a E :
( ) ( )R E I E cE= −
En el caso de la logística, por ejemplo, la función (·)R se representa fácilmente considerando los gráficos de Ingreso (curva) y Costo (recta).
0
0.05
R
0.1 0.2
E Figura 7: Renta (caso logístico), r=0.2, K=1, q=1, c=0.25
El esfuerzo GE (intersección de las dos curvas) juega un rol muy particular en el sentido de Gordon [1954]: como los peces son, en este caso, un bien público (“open-acces”), entonces si nos ponemos en el nivel de esfuerzo GE E< , en el cual la renta es positiva, nuevos agentes desearán participar de la pesca y el
esfuerzo de acercará a GE . Análogamente, si el esfuerzo es mayor que GE siendo los costos mayores que los ingresos, algunos agentes tendrán interés en dejar la explotación, disminuyendo así el esfuerzo. Al nivel
GE lo llamaremos "equilibrio bionómico". El costo aquí considerado tiene en cuenta, para cada agente (pescador), de la oportunidad de participar en esta campaña de pesca o no. Para algunos, podría también ser rentable participar en otra campaña o bien realizar otra actividad. Así, están en el equilibrio aquellos que, considerando sus inversiones, les resulta rentable participar en la presente campaña. Los costos (de oportunidad) son iguales al ingreso, la renta sustentable es entonces nula, lo que no significa que las ganancias para los agentes sean nulas. Se puede entonces comparar este equilibrio a los equilibrios obtenidos antes. Para simplificar, nos restringiremos al caso de la logística. El equilibrio GE así como el stock correspondiente son entonces soluciones del sistema:
( ) (1 ) 0
( ) 0
xF x Eqx rx Eqx
KpH E cE pqEx cE
− = − − =
= − =
de donde se obtiene
EG �r�pKq � c�
pKq2, x G � c
pq
En este modelo de Gordon se observa, por ejemplo, que algunas especies no son comercializables, porque sus características biológicas y económicas satisfacen la desigualdad
c � pqK,
lo que se interpreta como que el costo supera al precio multiplicado por la cantidad máxima cosechable. Igualmente, se puede comparar este equilibrio con el equilibrio de Gordon, obtenido precedentemente. Por ejemplo,
c � 12
pqK � EG � EMS .
En este caso, se puede además ver que
xG � x MS ,
lo que quiere decir que hay una sobre-explotación biológica. El stock máximo sustentable es mayor que el stock de equilibrio. 3.3. Gestión En esta sección describiremos un modelo basado en la misma ley de evolución que hemos usado en las secciones precedentes, permitiendo determinar un esfuerzo de pesca que maximice el beneficio de los pescadores, lo que se expresa como un problema matemático de Optimización. 3.3.1. Un problema de Optimización Consideremos una campaña de pesca que se extiende por un periodo [0, ]T , suponiendo que la evolución del stock de la especie está regida por
( ) ( ( )) ( ) ( )x t F x t E t q x t= −� (2) En cada instante la ganancia estará dada por una función ( )R t que puede depender del precio, de los costos, del esfuerzo, etc. A una política de esfuerzos ( ), [0, ]E t t T∈ , corresponde un beneficio total, que es la suma actualizada de los beneficios instantáneos
0( ) .te R t dtδ∞ −
�
La actualización permite tomar decisiones al comienzo del periodo, teniendo en cuenta el factor de descuento δ . El problema del decisor, que tiene a cargo el conjunto de los agentes que participan en la campaña, es entonces determinar la mejor política de pesca, o bien, determinar una función (·)E que maximice el beneficio total. Les diferentes variables están ligadas mediante (2) así como por las restricciones naturales: las variables de stock y de esfuerzo son positivas, y es razonable suponer que el esfuerzo de pesca es acotado superiormente. De allí, debemos imponer:
0 : ( ) 0, 0 ( ) Mt x t E t E∀ ≥ ≥ ≤ ≤ (3)
Además, para simplificar, se supone que T = +∞ , lo que permite evitar la cuestión de especificar que ocurre con las inversiones (actividades, bienes), después del instante T (finito) en el cual la actividad desaparece. El decisor debe entonces resolver el problema:
maxE�·�
�0
�e��tR �t� dt
x� �t� � F�x�t�� � E�t�qx�t�
x�t� � 0
0 � E�t� � EM
x�0� � x 0
#
(4) Este es un problema de control óptimo. Con el fin de determinar una solución de este problema, especificaremos una forma particular de la función R . Se supone también que el precio por unidad de tasa de pesca p y el costo unitario de esfuerzo c , son constantes. El beneficio instantáneo es entonces
( ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( )R t ph t cE t pqx t c E t= − = − (5) Se observa que este beneficio, al igual que la función de evolución (2), depende linealmente del control
( )E t .Se puede estudiar este problema usando la teoría del control óptimo (lineal) o bien, lo que es más simple en este caso, usando el formalismo del cálculo de variaciones. Para eso, basta eliminar el control en (4) y (5), y se obtiene el problema siguiente:
0(·)
1max [ ( ) ][ ( ( )) ( )]
( )t
x Ce pqx t c F x t x t dt
qx tδ∞ −
∈− −� � (6)
Teniendo en cuenta las restricciones, el espacio de curvas C sobre el cual trabajamos aquí es:
{ }0(·) :[0, [ [0, [, tal que 0 ( ( )) ( ) ( ) 0, (0)MC x F x t x t qx t E t x x= ∞ → ∞ ≤ − ≤ ∀ ≥ =�
Las curvas (·)x tienen además las propiedades de regularidad necesarias para los efectos de estos cálculos; por ejemplo, supondremos que son continuamente diferenciables a trazos y acotadas, con derivadas acotadas. 3.3.2. Soluciones óptimas En este contexto, una solución óptima interior, es decir, una solución que satisface las desigualdades estrictas
0 : ( ( )) ( ) ( ) ( ( ))Mt F x t qE x t x t F x t∀ ≥ − < <� (7)
debe verificar la ecuación de Euler:
0 : ( ( ), ( )) ( ( ), ( )) ( ( ), ( )) 0x x x
dt l x t x t l x t x t l x t x t
dtδ∀ ≥ − + =
� �� � �
donde ( , )l x x� representa el integrando de (6), es decir,
l�x,x� � � e��t 1qx �pqx � c��F�x� � x� �.
Además, xl y xl � denotan las derivadas parciales respectivas de la función l . En general, la ecuación de
Euler es una ecuación diferencial de segundo orden. Aquí, a causa de la linealidad de la velocidad ( )x t� , la ecuación se escribe
�t � 0 : �pqx�t�
c � 1��� � F ��x�t��� �F�x�t��
x�t�� 0
Es decir, teniendo en cuenta la autonomía de los diversos factores, la ecuación de Euler se escribe de la manera algebraica siguiente:
P�x� :� �pqx
c � 1��� � F ��x�� �F�x�
x � 0
Entonces, si *(·)x es una solución óptima de (6), se debe satisfacer
x ��t� � x � �t � 0, P�x �� � 0
Supongamos que la solución inicial del problema 0x , sea tal que 0( ) 0P x = . Para ser candidata a
optimalidad, es también necesario que las restricciones sean satisfechas. El esfuerzo correspondiente a x∗ es
( ) 1( )( ( ))
F xE pqx c F x
qx qcδ
∗∗ ∗ ∗
∗′= = − − (8)
Si 0pqx c∗ − ≥ , es decir, si la actividad entrega un beneficio positivo, entonces x∗ es un candidato
óptimo. En efecto, por una parte se tiene ( ) 0F xδ ∗′− > (si no, o bien ( ) 0P x∗ ≠ , o bien x∗ no es
interior) y por otra, basta suponer que ME es suficientemente grande para tener (3). Por otra parte, el valor del beneficio total asociado
21( ) ( ) ( ) ( ( ))
EJ x pqx c pqx c F x
qcδ
δ δ
∗∗ ∗ ∗ ∗′= − = − − (9)
es entonces positivo. Luego, 0x x∗= es un candidato óptimo en este caso. Si 0pqx c∗ − ≤ tanto el
beneficio instantáneo como el beneficio total no son positivos y, por lo tanto, tal x∗ no es admisible. En efecto, en este caso, sería óptimo no pescar, es decir, 0E∗ = lo que es contradictorio con el hecho que el esfuerzo asociado a x∗ no es nulo. Supongamos ahora que la condición inicial del problema sea tal que
0( ) 0P x ≠ . Supongamos además que existe un único x∗ tal que ( ) 0P x∗ = . Introducimos entonces para
cada 0x , la curva que alcanza más rápidamente x∗ . Llamaremos *0( , )(·)MRAP x x , "Most Rapid
Approach Path", a la curva que une 0x y x∗ a velocidad máxima ( )F x , si 0x x∗< , y a velocidad
mínima ( ) MF x qE x− , si 0x x∗> .
Figura 8: Stock vs tiempo Se puede demostrar, utilizando el teorema de Green, que *
0( , )(·)MRAP x x maximiza el criterio integral
(6). Sea una condición inicial (0)x dada, y 0T > cualquiera. Se muestra que la diferencia entre los costos de la trayectoria MRAP sobre [0, ]T , representada en el gráfico por la curva ABC , y los costos de cualquier otra trayectoria admisible sobre [0, ]T , representada en el gráfico por la curva AD , es igual a la integral de superficie
� � e��tP�x�dtdx
donde (·)P está dado por la ecuación de Euler. Así, si ( ) 0P x ≥ para x x∗< y ( ) 0P x ≤ para x x∗> ,
la trayectoria es óptima para 0T > . Para que una solución *0( , )(·)MRAP x x sea óptima para el problema
(6), es decir, sobre C , es necesario que las restricciones sean satisfechas. Pues bien, de (8) es claro que E∗ sólo depende de x∗ y no de 0x . Entonces cualquiera que sea 0x , *
0( , )(·)MRAP x x es una curva óptima
para (6).
Figura 9: Most Rapid Approach Path Observación. El hecho que tal curva óptima no satisfaga la ecuación de Euler proviene del hecho que las soluciones de Euler corresponden a soluciones interiores, es decir, con velocidades que satisfacen (7), lo cual no es el caso de las MRAP cuando 0x x∗≠ . 3.3.3. Caso de la logística En el caso de un crecimiento logístico, (·)P es un polinomio de segundo grado. Su convexidad y el hecho
que (0) 0P δ= − < , aseguran la existencia de un único 0x∗ > tal que ( ) 0P x∗ = . Como se debe tener
que [0, ]x K∗ ∈ , entonces se debe tener ( ) 0P K ≥ , lo que es equivalente a
pqK � c.
Además, se obtiene el esfuerzo asociado:
E� �r�K � x ��
qK y entonces, para un esfuerzo máximo ME suficientemente grande x∗ los *
0( , )(·)MRAP x x son óptimos. El beneficio total (9) está dado por
J�x �� � 1�qc
�pqx � � c�2�� � r � 2 rx �
K�
4. Control por la derivada Las soluciones óptimas descritas en la sección anterior imponen decisiones del tipo "todo o nada". Esto es verdadero tanto para el modelo comandado por el nivel de pesca (·)h como para el modelo comandado por
el esfuerzo (·)E . Así, mientras el régimen nominal ( x x∗= , h h∗= o bien E E∗= ) no sea alcanzado, las decisiones óptimas son "no pescar nada" o "pescar lo máximo que sea posible". En el plano de las aplicaciones esa estrategia puede generar problemas: no se puede pedir de un día para otro a los pescadores que dejen su actividad o que se movilicen al máximo. Se debe entonces establecer variaciones menos brutales sobre las decisiones, como por ejemplo exigir que el control sea una función continua del tiempo. En términos del modelamiento, una técnica habitual es considerar el nivel de pesca, o el esfuerzo, como una variable de estado. Así, en el caso del modelo (2), se considera un modelo en dimensión dos:
( ) ( ( )) ( )( ) ( )
x t F x t h t
h t u t
= −�� =�
�
� (10)
donde (·)u es el nuevo control, que representa la variación del nivel de pesca, (·)h , en el curso del tiempo. Así, (·)h es una función continua del tiempo, puesto que es solución de la ecuación diferencial (10). La función (·)u está naturalmente sujeta a tomar sus valores en un intervalo razonable, digamos [ , ]U U− , a precisar. Además, (·)u debe restringir a la solución (·)h a tomar valores en el intervalo
admisible [0, ]Mh . Estas condiciones pueden sintetizarse de la manera siguiente:
u�t� �
��U, U� h�t� ��0,hM�
�0, U� h�t� � 0
��U, 0� h�t� � hM
#
Hay que hacer notar igualmente que las condiciones iniciales de este modelo consisten no sólo en dar el stock 0x , sino también la pesca inicial 0h , lo que traduce el régimen en que se encuentra la explotación en
el instante inicial. Por ejemplo, en un régimen nominal 0 0( , )x E , óptimo para otros parámetros económicos. Este problema de optimización es de nuevo lineal en el control. No es sorprendente que la política óptima para (·)u sea igualmente de tipo "bang-bang", pero esta vez a lo largo de una curva de conmutación, pues
estamos en dimensión dos (ver Rapaport y Rifford [1997]). Más precisamente, la estrategia óptima *(·)u consiste en alcanzar lo más rápido posible el arco T (ver la Figura 10), o uno de los bordes del dominio (es decir, 0h = o Mh h= ) y permanecer allí hasta encontrar el arco T . Una vez en el estado ( , )x h del
sistema (10), se alcanza el equilibrio ( , )e ex h lo más rápidamente posible, manteniéndose sobre T .
Figura 10: Control óptimo por la derivada Se puede también escribir un modelo a partir de la ecuación (1), donde se controla la derivada del esfuerzo de pesca E de tal manera que E se mantenga en el dominio [0, ]ME . Se obtiene igualmente un control óptimo de tipo "bang-bang" con una curva de conmutación (ver Jerry y Raissi [2001]). Este problema ha sido también estudiado desde el punto de vista de la sustentabilidad por Bene et al [2001]. 5. Modelos de varias especies Entre los modelos de varias especies, el más conocido es el modelo de "predador-presa" de Lotka-Volterra. Notaremos mediante 1x al efectivo (stock) de presas y 2x al efectivo de predadores. Las presas tienen
una tasa de crecimiento natural 0a > y los predadores consumen una cantidad proporcional a su propio efectivo. La ecuación de la evolución de las presas está entonces dada por:
x� 1�t� � ax 1�t� � bx 1�t�x 2�t� donde b es una cierta constante positiva. En cuanto a los predadores, en ausencia de presas aquellos disminuyen su stock, mientras que en presencia de presas, el stock aumenta proporcionalmente a la población de presas. El modelo está entonces dado por:
1 1 1 2
2 1 2 2
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
x t ax t bx t x t
x t cx t x t dx t
= −= −
�
� (11)
donde c y d son también constantes positivas. Se demuestra fácilmente la existencia de un único equilibrio diferente de (0, 0) y que está dado por 1 2( , ) ( / , / )x x d c a b∗ ∗ = . Con el fin de estudiar la dinámica fuera de este equilibrio, se puede considerar el sistema linealizado en torno a ese estado ( / , / )d c a b , asociado a (11):
1 2
2 1
( ) ( )
( ) ( )
b dh t h tcc ah t h tb
= −
=
�
� (12)
De la teoría de sistemas dinámicos lineales, resulta que las soluciones de (12) son círculos concéntricos. El asunto es entonces saber si estos permanecen cuando se pasa al sistema no lineal (11). Es habitual mostrar que las soluciones de este último sistema dejan invariantes la función
V�x 1 , x 2� � a ln�x 2� � bx 2 � d ln�x 1� � cx 1 es decir, las soluciones 1 2( ( ), ( ))x t x t de (11) satisfacen:
ddt
V�x 1�t�,x 2�t�� � 0
La función (·, ·)V , llamada función de Lyapunov, es constante a lo largo de las soluciones de (11) y como
se puede ver que las curvas 1 2( , )V x x k= (siendo k una constante positiva cualquiera) son curvas cerradas, se deduce que las trayectorias del sistema no lineal son curvas cerradas en torno al equilibrio. Así, para una condición inicial dada, los efectivos de presa y predador oscilan periódicamente en torno a los valores de equilibrio /d c y /a b . La población de presas aumenta cuando la de predadores disminuye y viceversa. Se puede entonces modificar el modelo introduciendo acciones de pesca en una o las dos especies en competencia. En este caso, el modelo se escribe:
1 1 1 2 1 1
2 1 2 2 2 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
x t ax t bx t x t e x t
x t cx t x t dx t e x t
= − −= − −
�
�
donde 1e y 2e representan los esfuerzos de pesca supuestos constantes. Se obtiene un nuevo equilibrio no nulo:
�x 1�, x 2
�� � � d � e2c , a � e1
b�
Se observa entonces que si el esfuerzo de pesca disminuye, es decir, si 1e y 2e decrecen, entonces el efectivo de presas disminuye pero el de los predadores aumenta. Tal fenómeno fue observado en la región de Fiumé (Adriático norte), donde durante la guerra los esfuerzos de pesca disminuyeron y se observó un aumento del número de tiburones al mismo tiempo que la población de otros peces disminuyó. Numerosas variaciones de este tema han sido estudiadas. Citemos por ejemplo, un artículo reciente de Kar [2004], donde se plantea un modelo de predador-presa, con pesca selectiva sobre la presa solamente. Una agencia controla la explotación mediante impuestos unitarios aplicados a la especie pescada, con el objetivo de maximizar el beneficio social, conservando el ecosistema. La tasa de impuesto óptima (que es una función del tiempo) se determina a través de un modelo de optimización en un espacio funcional, maximizando el valor presente neto y respetando la ecuación de estado y cotas sobre el control. Es importante en este caso considerar que si la función que representa la tasa de impuesto puede tomar valores negativos, entonces se puede interpretar como que se admite la posibilidad de aplicar subsidios en ciertos periodos. 6. Las reservas marinas Desde hace algún tiempo, numerosas contribuciones ha aparecido sobre la puesta en vigor de reservas marinas. La razón esencial es que se espera de estas reservas algunos beneficios importantes: preservación de ecosistemas, preservación de especies, medio de control de especies, etc. Notemos 1X la densidad de
peces en la parte puesta en reserva y 2X la densidad en la zona donde la pesca está autorizada. Hacemos la hipótesis que en cada zona el crecimiento natural es diferente y de tipo logístico. Suponemos también que hay difusión de poblaciones desde la zona de mayor densidad a la zona de menor densidad; esta difusión es formalizada por la introducción de un término del tipo 2 1( )X Xλ − , donde λ representa un coeficiente que puede acelerar o desacelerar la difusión, según sea positivo, negativo, de módulo mayor o menor que la unidad. La cantidad pescada corresponde a un término 2 2QE X , siendo Q un coeficiente de
"atrapabilidad" y 2E el esfuerzo de pesca. Así, la dinámica del sistema total está representada por:
X� 1 � r1X1�1 � X1� � ��X2 � X1�
X� 2 � r2X2�1 � X2� � ��X1 � X2� � QE2X2
#
Por otra parte, suponemos que un gestor tiene a cargo el problema de maximizar el beneficio de los pescadores, el cual está expresado simplemente por el beneficio instantáneo menos el costo. Si suponemos que el precio p y el costo por unidad de esfuerzo c son constantes, el beneficio instantáneo es
ph�t� � cE2�t�
donde 2 2h QE X= representa la cantidad pescada. El beneficio total es entonces la suma actualizada de los beneficios instantáneos y se expresa finalmente mediante:
�0
�e��t�pQX2�t� � c�E2�t�dt
Con el fin de maximizar el beneficio total, el decisor dispone de dos instrumentos. Por una parte, puede fijar el esfuerzo de pesca 2 ( )E t en cada instante y, por otra, puede decidir el lugar donde la reserva puede ser implantada. Siguiendo criterios tales como la existencia de corrientes, la topografía marina, la difusión natural (expresada por el término 2 1X X− ) u otros, se podría decidir las características de la reserva. En
estos términos, suponemos que el decisor fija convenientemente el valor de λ . El problema que se debe resolver toma entonces la forma:
maxE2�·�, ��·�
�0
�e��t�pQX2�t� � c�E2�t�dt
X� 1�t� � F1�X1�t�� � ��t��X2�t� � X1�t��
X� 2�t� � F2�X2�t�� � ��t��X2�t� � X1�t�� � QE2�t�X2�t�
0 � E�t� � Emax
X1�0�, X2�0� dados
#
Siguiendo los análisis de Ami et al [por aparecer, 2005] exponemos a continuación algunas conclusiones de la aplicación de este modelo. Suponemos que el crecimiento natural en la zona de pesca está dado por
2 0.2r = y que en la reserva está dado por 1 2r rα= , donde 1α ≥ es un parámetro; suponemos
finalmente que la tasa de actualización es fija 0.2δ = . Se demuestra entonces que existe un equilibrio en la reserva, dado por
X1� � � � 1
2� y se obtiene también una caracterización del equilibrio en la zona de pesca, que está expresado de manera implícita y no detallaremos aquí. Con el fin de comparar las situaciones con y sin reserva, realizamos algunas simulaciones numéricas. Las tablas siguientes muestran los resultados de estas simulaciones. Aquí, X ∗ representa el equilibrio cuando no hay reserva (la variable 1X desaparece y se escribe 2X X= ).
Además, 2X ∗ representa el equilibrio en la zona de pesca, cuando existe una reserva. Las columnas QEX representan las cantidades pescadas.
1) Para 1.5α = , se obtiene 1 0.167X ∗ = y para diferentes razones precio-costo pQ
pc
=� se encuentra:
p X� QE�
QE�X� X2
� QE2
� QE2
�X2�
��
48 0. 107 0. 178 0. 0190 0. 160 0. 428 0. 0685 6.3
52 0. 103 0. 179 0. 0184 0. 155 0. 437 0. 0677 3.6
60 0.09 0. 180 0. 0162 0. 146 0. 455 0. 0664 2.0
2) También, para 2α = , 1 0.250X ∗ = :
p X� QE�
QE�X� X2
� QE2
� QE2
�X2�
��
24 0. 155 0. 169 0. 0262 0. 241 0. 462 0. 111 8.6
30 0. 137 0. 172 0. 0236 0. 221 0. 496 0. 110 2.6
36 0. 125 0. 175 0. 0219 0. 205 0. 524 0. 107 1.7
42 0. 115 0. 177 0. 0204 0. 193 0. 550 0. 106 1.3
48 0. 107 0. 178 0.0190 0. 183 0. 572 0. 105 1.1
Se observa en estas simulaciones que en la zona de pesca el equilibrio es mayor cuando existe una reserva. Igualmente, las cantidades pescadas son también más grandes en presencia de reserva. Se puede mostrar mediante un estudio análogo que los beneficios correspondientes a estas situaciones son mayores si se permite la existencia de una reserva.
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INDICE Resumen
1. Introducción 2. Modelos para el crecimiento natural 3. Modelos de una especie con pesca
3.1 Sustentabilidad 3.2 Libre acceso 3.3 Gestión
3.3.1 Un problema de Optimización 3.3.2 Soluciones óptimas 3.3.3 Caso de la logística
4. Control por la derivada 5. Modelos de varias especies 6. Las reservas marinas
Bibliografía