el lenguaje de la lógica proposicional
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Tema 2. EL LENGUAJE DE LA
LÓGICA PROPOSICIONAL
a) La construcción de fórmulas bien formadas
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Cuando el lenguaje falla…
Una oración puede ser defectuosa a 3 niveles:
1. SINTÁCTICO
A esta oración del castellano les falla algo
A este otra oración le fallar todavía más cosa
Última es esta galimatías un oración puro
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Cuando el lenguaje falla…
Una oración puede ser defectuosa a 3 niveles:
2. SEMÁNTICO
Esta pitufa del castellano tiene una palabra un poco rara
Las ideas verdes incoloras duermen furiosamente
Confucio es impar
La existencia es el devenir del karma cuántico
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Cuando el lenguaje falla…
Una oración puede ser defectuosa a 3 niveles:
3. PRAGMÁTICO
Él ha dicho que le dé la medicina
“Declaro abierta la sesión” (dicho por un conserje del Parlamento)
¿Me da un libro sobre cómo hacer amigos, carahuevo?
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3 niveles de análisis del lenguaje
1. SINTAXIS: Centrada en la estructura formal de las oraciones
2. SEMÁNTICA: Centrada en las condiciones de verdad de las oraciones
3. PRAGMÁTICA: Centrada en los efectos del contexto sobre las oraciones
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3 niveles de análisis del lenguaje
En lógica sólo nos va a interesar la sintaxis y la semántica.
Dentro de la semántica sólo nos va a interesar la parte formal: el modo en que la disposición formal de los elementos afecta a los valores de verdad
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El alfabeto lógico
• Todo lenguaje necesita de:
1. Un alfabeto, i.e., un conjunto de elementos primitivos desde los que construimos sus expresiones
• El alfabeto latino no resulta ser el mismo que el ruso
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El alfabeto lógico
• Todo lenguaje necesita de:
2. Reglas de combinación de los elementos primitivos
• Inglés y español comparten alfabeto, pero no admiten las mismas combinaciones:
THR no es una combinación de letras admisible en español
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Alfabeto de la lógica proposicional
• El lenguaje de la lógica proposicional (L0) necesita tres tipos distintos de símbolos:
1. CONSTANTES PROPOSICIONALES
2. CONECTIVAS LÓGICAS
3. SÍMBOLOS AUXILIARES
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Alfabeto de la lógica proposicional
1. CONSTANTES PROPOSICIONALES- Simbolizan oraciones o proposiciones,
i.e., unidades que tienen un valor de verdad
- Son los equivalentes lógicos de ‘llueve’, ‘yo soy Pepe’, ‘mañana es viernes,
‘el universo es una sucesión infinita de transmigraciones cósmicas
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Alfabeto de la lógica proposicional
1. CONSTANTES PROPOSICIONALES- Utilizaremos las siguientes letras minúsculas:
p, q, r, s, t, u- Si necesitamos simbolizar más oraciones (un
número infinito de ellas), recurrimos a subíndices numéricos:
p1, p2, p3, p4, p5 …
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Alfabeto de la lógica proposicional
2. CONECTIVAS LÓGICAS- Las oraciones pueden conectarse entre sí por
medio de partículas con valor lógico- Las principales partículas son cinco, que
equivalen a las siguientes:
Y, O, SI…(ENTONCES), SI Y SÓLO SI, NO
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Alfabeto de la lógica proposicional
2. CONECTIVAS LÓGICAS- Estas partículas caen en dos grupos:a) Binarias: Las que conectan dos oraciones:
‘Hume canta Y Kant humea‘Platón tiene razón O la tiene Aristóteles’‘SI Dios no existe, todo está permitido’‘Aprobaré lógica SI Y SÓLO SI estudio’
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Alfabeto de la lógica proposicional
2. CONECTIVAS LÓGICAS- Estas partículas caen en dos grupos:b) Monarias: Las que se aplican a una sola
oración:‘NO hay vida más allá de Marte’‘NO todos los filósofos están locos’‘Los filosófos NO están locos’
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Alfabeto de la lógica proposicional
2. CONECTIVAS LÓGICAS- En lógica estas partículas reciben nombres y
símbolos especiales:
No = NEGADOR
¬
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Alfabeto de la lógica proposicional2. CONECTIVAS LÓGICAS- En lógica estas partículas reciben nombres y
símbolos especiales:
Y = CONYUNTOR
∧
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Alfabeto de la lógica proposicional2. CONECTIVAS LÓGICAS- En lógica estas partículas reciben nombres y
símbolos especiales:
O = DISYUNTOR
∨
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Alfabeto de la lógica proposicional2. CONECTIVAS LÓGICAS- En lógica estas partículas reciben nombres y
símbolos especiales:
SI…(ENTONCES) = CONDICIONAL
→
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Alfabeto de la lógica proposicional2. CONECTIVAS LÓGICAS- En lógica estas partículas reciben nombres y
símbolos especiales:
SI Y SÓLO SI = BICONDICIONAL
↔
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Alfabeto de la lógica proposicional
3. SÍMBOLOS AUXILIARES- Son paréntesis y corchetes, que sirven para
agrupar los otros símbolos de manera que se puedan evitar ambigüedades:
( ) [ ]
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Alfabeto de la lógica proposicional
He aquí todo de una vez:
CONSTANTES: p, q, r, s, t, u, p1, p2, p3 …
CONECTIVAS: ¬, ∧, ∨, →, ↔AUXILIARES: (, ), [, ]
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Recursividad• La mayoría de los lenguajes son recursivos:
empleando un número finito de elementos es posible construir un número infinito de oraciones.
La mosca a la que persigue la araña a la que persigue el ratón al que persigue el gato al que persigue el perro es de color negro.
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Recursividad
• Una fuente de recursividad es la posibilidad de unir oraciones simples para formar compuestas.
• Las partículas lógicas desempeñan en esto un papel fundamental.
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Recursividad• La recursividad comienza por tomar algunos elementos
básicos y definir cómo se construyen los elementos complejos a partir de ellos:
- Dadas las oraciones ‘Hume canta’, ‘Kant baila’, también son oraciones las siguientes:Hume canta y Kant bailaHume canta o Kant bailaSi Hume canta, Kant bailaHume no cantaKant no bailaHume canta si y sólo si Kant baila ETC.
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Recursividad• Podemos seguir aplicando esto en general: dadas
las oraciones O y O’, son también oraciones las siguientes:O y O’, O o O’, Si O entonces O’, no O, etc.
• Podemos aplicar la regla cuantas veces queramos: dado que ‘Hume canta y Kant baila’ y ‘Hegel da palmas’ son oraciones, también lo será ‘Si Hume canta y Kant baila, Hegel da palmas’
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Recursividad-Hume canta o Kant baila o Hegel da palmas-Hume canta y Kant baila y Hegel da palmas-Hume canta, o Kant baila y Hegel da palmas-Hume canta o Kant baila, y Hegel da palmas-Si Hume canta y Hegel da palmas, Kant baila-Hegel da palmas si y sólo si Kant baila-Si Hume canta, entonces si Kant baila, Hegel da
palmas
![Page 27: El lenguaje de la lógica proposicional](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022042816/559808761a28ab78398b480d/html5/thumbnails/27.jpg)
Recursividad• La recursividad permite construir algunas oraciones
peculiares:-Hume canta y Kant baila y Hume canta y Kant baila y Hume
canta y Kant baila…-Si Hegel da palmas, Hegel da palmas-Hume canta o Hume canta o Hume canta o Hume canta o
Hume canta o Hume canta o Hume canta o Hume canta o Hume canta o Hume canta o Hume canta o Hume canta
Son peculiares desde el punto de vista pragmático, pero sintáctica y semánticamente están bien construidas
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Recursividad• Nuestro lenguaje lógico también va a ser
recursivo.• Las oraciones en nuestro lenguaje se van a llamar
FÓRMULAS• Comenzaremos por definir cuáles son las
oraciones simples o fórmulas atómicas
• A continuación daremos un método de combinación de fórmulas atómicas para obtener oraciones compuestas o fórmulas moleculares
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Fórmulas atómicas• Serán las que correspondan a las oraciones
simples del castellano: sin ninguna partícula lógica.
• Se trata por tanto de las constantes proposicionales:pqr…
son (algunas) fórmulas atómicas
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Fórmulas moleculares
• Las formaremos a partir de las atómicas, empleando las conectivas lógicas:
p ∧ q
p ∨ r
q → p
r ↔ q
¬q
son (algunas) fórmulas moleculares
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Ambigüedad• En el lenguaje natural con frecuencia
aparecen posibles ambigüedades:
-Hume canta o Kant baila y Hegel da palmas
¿Da o no da palmas Hegel?
Ahora sí: Hume canta o Kant baila, y Hegel da palmas
Ahora no se sabe: Hume canta, o Kant baila y Hegel da palmas
![Page 32: El lenguaje de la lógica proposicional](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022042816/559808761a28ab78398b480d/html5/thumbnails/32.jpg)
Ambigüedad• En lógica queremos construir fórmulas que
excluyan toda ambigüedad.• En el lenguaje natural usamos diversos
elementos para evitar la ambigüedad, como: 1) pausas prosódicas, 2) signos de puntuación y, 3) el contexto.
• Pero en lógica sólo tenemos un recurso (parecido a 2): construir las fórmulas con reglas muy precisas.
![Page 33: El lenguaje de la lógica proposicional](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022042816/559808761a28ab78398b480d/html5/thumbnails/33.jpg)
Ambigüedad- Nuestro principal recurso contra la ambigüedad
son los PARÉNTESIS.- Sea: p ≡ Hume canta ; q ≡ Kant baila;
r ≡ Hegel da palmas
p ∨ q ∧ r es AMBIGUA; equivale a:
Hume canta o Kant baila y Hegel da palmas
p ∨ (q ∧ r) ≡ H canta, o K baila y Heg da palmas
(p ∨ q) ∧ r ≡ H canta o K baila, y Heg da palmas
![Page 34: El lenguaje de la lógica proposicional](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022042816/559808761a28ab78398b480d/html5/thumbnails/34.jpg)
Metavariables- Si la lógica es nuestro lenguaje objeto, el
castellano es su metalenguaje.- Pero necesitamos ampliar nuestro
metalenguaje con algunos símbolos que hacen las veces de abreviaturas.
- Para referirnos a fórmulas en general usaremos letras griegas:
α β γ …- Las llamaremos METAVARIABLES
![Page 35: El lenguaje de la lógica proposicional](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022042816/559808761a28ab78398b480d/html5/thumbnails/35.jpg)
Metavariables- Una constante, como p, representa aquello que la
hace verdadera o falsa (llueve; las rosas son rojas, etc)
- Una metavariable, como α, representa cualquier fórmula:
p ; ¬q ; p→r ; p ∧ (q ∨ r) ; p →(p →p)…
- Vamos a definir nuestras reglas de formación de fórmulas de manera más precisa
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Reglas de formación
• (i) Toda constante proposicional sola es una fórmula (atómica)
• (ii) Si α es fórmula, entonces ¬α es fórmula• (iii) Si α, β son fórmulas, (α ∧ β), (α ∨ β),
(α → β), (α ↔ β) son fórmulas• (iv) Sólo son fórmulas las secuencias que
satisfacen (i), (ii) o (iii)
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Reglas de formación
• (i) Toda constante proposicional sola es una fórmula
- De este modo obtenemos nuestras fórmulas atómicas:p q r s t
u p1 p2 p3 …
![Page 38: El lenguaje de la lógica proposicional](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022042816/559808761a28ab78398b480d/html5/thumbnails/38.jpg)
Reglas de formación• (ii) Si α es fórmula, entonces ¬α es fórmula- Dadas las anteriores, también son fórmulas:
¬p ¬q ¬r ¬s ¬t
¬u ¬p1 ¬p2 ¬p3 …
-Podemos aplicar recursivamente (ii) sobre las fórmulas recién obtenidas: ¬¬p ¬¬q … ¬¬¬pTodas estas también son fórmulas
![Page 39: El lenguaje de la lógica proposicional](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022042816/559808761a28ab78398b480d/html5/thumbnails/39.jpg)
Reglas de formación
• (iii) Si α, β son fórmulas, (α ∧ β), (α ∨ β), (α → β), (α ↔ β) son fórmulas
-Dadas (i) y (iii) serán fórmulas:(p ∧ q) (p ∧ s) (p ∧ r) … (q ∧p ) …(p ∨ q) (p ∨ s) (p ∨ r) … (q ∨ p) …(p → q) (p → r) …(p ↔ q) (p ↔ r) …
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Reglas de formación
• (iii) Si α, β son fórmulas, (α ∧ β), (α ∨ β), (α → β), (α ↔ β) son fórmulas
-Si además tenemos en cuenta (ii), son fórmulas:(p ∧ ¬q) (¬p ∧ s) (p ∧ ¬r) … (q ∧ ¬p ) …(¬p ∨ q) (p ∨ ¬s) (¬p ∨ ¬r) … (¬q ∨ p) …(p → ¬q) (¬p → r) (¬p → ¬r) … (¬p ↔ q) (p ↔ ¬r) (¬p ↔ r) …
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Reglas de formación
• (iii) Si α, β son fórmulas, (α ∧ β), (α ∨ β), (α → β), (α ↔ β) son fórmulas
-Y podemos aplicar otra vez (ii) sobre las últimas fórmulas :
¬(p ∧ ¬q) ¬(¬p ∧ s) ¬(p ∧ ¬r) … ¬(q ∧ ¬p ) …¬(¬p ∨ q) ¬(p ∨ ¬s) ¬(¬p ∨ ¬r) …¬ (¬q ∨ p) …¬(p → ¬q) ¬(¬p → r) ¬(¬p → ¬r) … ¬(¬p ↔ q) ¬(p ↔ ¬r) ¬(¬p ↔ r) …¬¬(p ∧ q) … ¬¬(¬p → ¬q) … ¬(p ↔ ¬¬q) …
![Page 42: El lenguaje de la lógica proposicional](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022042816/559808761a28ab78398b480d/html5/thumbnails/42.jpg)
Reglas de formación
- Y podemos seguir aplicando (ii) y (iii) cuanto queramos:
(p ∧ (p ∧ q)) (¬p ∧ (q ∨ ¬s)) (p ∧ ¬r) → (q ∧ ¬p )(p → ((¬p ∨ q) ∧ (p ∨ ¬s))) ((¬p ∨ ¬r) ↔ (¬q ∨ p)) ∨ (p → ¬q)…
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Reglas de formación
(iv) Sólo son fórmulas las secuencias que satisfacen (i), (ii) o (iii)
- Esta es una cláusula de cierre, que limita nuestras fórmulas exclusivamente a las formadas por las reglas anteriores.
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Reglas de simplificación
• Pueden suprimirse siempre:
(a) Los dos paréntesis externos:
(p → (q ∨ ¬r)) ≡ p → (q ∨ ¬r)
(Nota: El símbolo ≡ se lee como ‘es equivalente a’)
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Reglas de simplificación
• Pueden suprimirse siempre:
(b) Los paréntesis internos no precedidos de negador en secuencias compuestas totalmente por conyuntores o totalmente por disyuntores:
(p ∧ (q ∧ r)) ≡ (p ∧ q ∧ r)
pero (p ∧ ¬(q ∧ r)) ≠ (p ∧ ¬q ∧ r) !!
(p ∨ (¬q ∨ r)) ≡ (p ∨ ¬q ∨ r)
pero (p ∨ ¬(q ∨ r)) ≠ (p ∨ ¬q ∨ r) !!
![Page 46: El lenguaje de la lógica proposicional](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022042816/559808761a28ab78398b480d/html5/thumbnails/46.jpg)
Conectiva dominante• Consideremos cómo se forman las fórmulas
moleculares:- La última regla de formación que hayamos usado
ha tenido que ser (ii) o (iii), i.e., la última regla ha introducido el negador o una conectiva binaria:
¬p lo último introducido es el negador ¬q ∧ ¬r lo último introducido es el conyuntor ∧p ∨ (q → r) lo último introducido es el disyuntor ∨¬(p ∧ q) ↔ (¬p ∨ ¬q) lo último introducido es ↔
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Conectiva dominante• La última conectiva introducida será la
CONECTIVA DOMINANTE de la fórmula.• Es importante distinguirla, porque es a la que
habrá que atender para determinar el valor de verdad de la fórmula.
p ↔ (r → s)¬(p → (q ∨ r))¬p ∨ (p ∧ (p → p))¬((p ∧ q) ∧ ¬(p ∧ q))(((p → q) ∧ p) → q) ∧ p¬(p ∧ ¬(q → r ∧ ¬(p ∨ q)))
↔¬∨
el segundo ∧el primer ¬
no es fórmula
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Ejercicio: ¿cuáles son fórmulas?
(¬(p → ¬q)
(p → q) ∨ ¬p → q
((q → (r ∨ ¬s)) → (¬¬p ∧ q)) ↔ ¬r
¬(s → (p ∧ q¬))
¬(p → (¬q → ¬(r →(¬s → t))))
¬¬¬¬¬¬ ¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬p
(¬q ∨ (r → (¬p ↔ q))) ↔ (q → (¬r ∨ (p ↔ ¬q)))
NO
NO
SÍ
NO
SÍ
NO
SÍ
¬
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Ejercicio: ¿cuáles son fórmulas?((¬q ∨ r) → ¬(p ↔ q)) ↔ ¬(q → r) ∨ ((p ∧ ¬q) ∨ q)
¬(p → ¬q) → ¬r) →¬s) → t))))
(((p ∨ q ∨ ¬r) → (¬q ∧ ¬p)) ∧ (p ∨ ¬s)) → (¬p ∧ q ∧ r)
(p ∨ (q ∨ ¬p ∧ r)) → (p ∨ q)
(((p → (q ∨ ¬r)) → (¬q ∨ s)) ↔ (s ← ¬p)) ∨ (p ∧ q)
(p ∨ q ∨ ¬r) ∧ (p ∨ ¬q ∨ ¬r) ∧ (¬p ∨ q ∨ r)
(p ∧ q) ∨ (¬p ∧ q) ∨ (p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ ¬q)
NO
NO
SÍ
NO
NO
SÍ
SÍ
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Ejercicio: conectiva dominante
¬(p → ¬q)
(p → q) ∨ (¬p → q)
((q → (r ∨ ¬s)) → (¬¬p ∧ q)) ↔ ¬r
¬(s → (p ∧ q))
¬(p → (¬q → ¬(r →(¬s → t))))
¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬p
(¬q ∨ (r → (¬p ↔ q))) ↔ (q → (¬r ∨ (p ↔ ¬q)))
el primer ¬
∨↔
¬
el primer ¬
el primer ¬
2º ↔
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Ejercicio: conectiva dominante(((¬q ∨ r) → ¬(p ↔ q)) ↔ ¬(q → r)) ∨ ((p ∧ ¬q) ∨ q)
¬((((p → ¬q) → ¬r) →¬s) → t)
(((p ∨ q ∨ ¬r) → (¬q ∧ ¬p)) ∧ (p ∨ ¬s)) → (¬p ∧ q ∧ r)
(p ∨ (q ∨ (¬p ∧ r))) → (p ∨ q)
(((p → (q ∨ ¬r)) → (¬q ∨ s)) ↔ (s ↔ ¬p)) ∨ (p ∧ q)
(p ∨ q ∨ ¬r) ∧ (p ∨ ¬q ∨ ¬r) ∧ (¬p ∨ q ∨ r)
(p ∧ q) ∨ (¬p ∧ q) ∨ (p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ ¬q)
2º ∨ el primer ¬
2º→→
3er ∨
cualquier ∧
cualquier ∨