El El grafenografeno

como sistema electrónico en como sistema electrónico en DD

= 2= 2

El grafeno

ha despertado recientemente gran interés:

por sus posibles aplicaciones, al ser un material conductor, flexible, casi transparente y muy resistente

desde un punto de vista fundamental,por representar el comportamiento de campos relativistas en dos dimensiones

La coordinación del carbono en compuestos bidimensionales La coordinación del carbono en compuestos bidimensionales  ha dado lugar a una secuencia de descubrimientos de nuevos ha dado lugar a una secuencia de descubrimientos de nuevos  materiales en los últimos tiemposmateriales en los últimos tiempos

1985 1991 2004

El primer paso para entender las propiedades de estos materialesEl primer paso para entender las propiedades de estos materiales consiste en entender el comportamiento de los planos de consiste en entender el comportamiento de los planos de grafenografeno

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−=

∑∑

⋅−

⋅

0

0

a

via

vi

a

a

e

etH p

p

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−=

00

yx

yxF ipp

ippvH

The observed properties were actually consistent with the The observed properties were actually consistent with the dispersion expected for electrons in a honeycomb latticedispersion expected for electrons in a honeycomb lattice

ELECTRONIC PROPERTIES OF GRAPHENEELECTRONIC PROPERTIES OF GRAPHENE

Expanding around each corner of the Expanding around each corner of the BrillouinBrillouinzone, we obtain the zone, we obtain the hamiltonianhamiltonian

for a for a twotwo‐‐component component fermionfermion

((DiracDirac

hamiltonianhamiltonian))

We have to introduce a We have to introduce a DiracDirac

fermionfermion

for each independent Fermi point, at whichfor each independent Fermi point, at which

pppσ FF vvH ±=⋅= )( , ε

∑′

+ ′−=rr

tb tH,

)( )( rr ψψ

)2/3cos()2/cos(4)2/(cos41 2xyy apapaptE ++±=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

−

0 0

φ

φ

i

i

F ee

vHk

k

ELECTRONIC PROPERTIES OF GRAPHENEELECTRONIC PROPERTIES OF GRAPHENE

In the absence of In the absence of scatterersscatterers

that may induce a large momentumthat may induce a large momentum‐‐transfer, backscattering is thentransfer, backscattering is thensuppressed  suppressed  (H. (H. SuzuuraSuzuura

and T. Ando, Phys. Rev. and T. Ando, Phys. Rev. LettLett. 89,266603 (2002)). . 89,266603 (2002)). 

The scattering by impurities is quite unconventional in The scattering by impurities is quite unconventional in graphenegraphene, due to the , due to the chiralitychirality

of electrons.of electrons.When a When a quasiparticlequasiparticle

encircles a closed path in momentum space, it picks up a Berry encircles a closed path in momentum space, it picks up a Berry phase of  phase of  ππ

ψψ σπ )2/(2 zie→

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛±

=−

2/

2/

21

φ

φ

ψi

i

ee

⊃

⊂

AA

][||||||~ **222⊃⊂⊃⊂⊃⊂⊃⊂ +++=+ AAAAAAAAw

0|||| 22)2/(2* <−== ⊂⊂

−

⊃⊂ AAeAA zi σπ

ELECTRONIC PROPERTIES OF GRAPHENEELECTRONIC PROPERTIES OF GRAPHENE

Another way of explaining the suppression of backscattering Another way of explaining the suppression of backscattering is by considering that, for the is by considering that, for the masslessmassless

DiracDirac

fermions, the fermions, the pseudospinpseudospin

gives rise to the conserved quantitygives rise to the conserved quantity

This also explains the peculiar properties of electrons when tunThis also explains the peculiar properties of electrons when tunneling across potential barriers:neling across potential barriers:the transmission probability is equal to 1 at normal incidence, the transmission probability is equal to 1 at normal incidence, and 0 for backscatteringand 0 for backscattering

M. I. M. I. KatsnelsonKatsnelson, K. S. , K. S. NovoselovNovoselov, and , and A. K. A. K. GeimGeim, Nature Physics , Nature Physics 2, 620 (2006)  , 620 (2006)  

ppσ ⋅

that changes sign upon the inversion of the momentum.that changes sign upon the inversion of the momentum.

MANYMANY‐‐BODY EFFECTS IN GRAPHENEBODY EFFECTS IN GRAPHENE

The singleThe single‐‐particle properties are significantlyparticle properties are significantlyrenormalized due to the strong Coulomb interaction:renormalized due to the strong Coulomb interaction:

(J. G., F. Guinea and (J. G., F. Guinea and M. A. H. M. A. H. VozmedianoVozmediano,,Phys. Rev. B 59, R2474 (1999))Phys. Rev. B 59, R2474 (1999))

)/log( )( )/log( )(

1 1

0

kFkk

Fk

gvgv

GG

ωβωγωω

Λ⋅−Λ−⋅−≈

Σ−=

kσkσ

Fveg 16/ with 2≡

222

2

08

),(ω

ω−

−=Πqqq

Fv

GrapheneGraphene

is a system with remarkable manyis a system with remarkable many‐‐body properties, starting with the behavior of itsbody properties, starting with the behavior of itselectronelectron‐‐hole excitations. The polarization ishole excitations. The polarization is

In the In the undopedundoped

system, there are no electronsystem, there are no electron‐‐hole hole excitations nor excitations nor plasmonsplasmons

into which the electrons into which the electrons can decay  can decay  (J. G., F. Guinea and M.A.H. (J. G., F. Guinea and M.A.H. VozmedianoVozmediano, , NuclNucl

. Phys. B424, 595 (1994)). Phys. B424, 595 (1994))

En el En el grafenografeno

la interacción de la interacción de CoulombCoulomb

no está no está  apantallada, y conduce a propiedades electrónicas exóticasapantallada, y conduce a propiedades electrónicas exóticas

)/log(1)( 02 ωω EgZ −≈

RenormalizaciónRenormalización de la función de la función de ondas del electrónde ondas del electrón

Razón de desintegración de Razón de desintegración de las las cuasipartículascuasipartículas

ωω 2~)( gΓ

J. G., F. Guinea and

M.A.H. Vozmediano,Phys. Rev. B 59, R2474 (1999)

)(),(

ωωω ψ

Γ+⋅−=

iZvZ

kGvF kσ

CURVATURE IN GRAPHENECURVATURE IN GRAPHENE

Can Can wewe

learnlearn

somethingsomething

fromfrom

thethe

effecteffectofof

curvaturecurvature

in in thethe

carboncarbon

layerlayer??

AgainAgain, , thethe

inducedinduced

changechange

ofof

topologytopology

requiresrequirestopologicaltopological

defectsdefects, , andand

thesethese

may may givegive

riserise

totointerestinginteresting

featuresfeatures

in in thethe

electronicelectronic

structurestructure. . 

TOPOLOGY OF GRAPHENE SHEETSTOPOLOGY OF GRAPHENE SHEETS

the contribution of a pentagon as the contribution of a pentagon as 

and the contribution of a heptagon asand the contribution of a heptagon as

We can compute the contribution of a hexagon to   We can compute the contribution of a hexagon to   χχ

asas

, 61 1

25

35 =+−=Δχ

, 0 1 3 2 =+−=Δχ

TheThe

allowedallowed

geometriesgeometries

ofof

thethe

carboncarbon

latticeslattices

are are constrainedconstrained

by by thethe

valuesvalues

ofof

thethe

EulerEulercharacteristiccharacteristic

χχ

, , whichwhich

isis

expressedexpressed

in in termsterms

ofof

thethe

numbernumber

ofof

handleshandles

hh

ofof

a a givengiven

topologytopologyas  as  χχ

= 2 = 2 ––

2 2 h . h . 

χχ

can be can be alsoalso

expressedexpressed

forfor

a a givengiven

latticelattice

as as  faces# edges# vertices# +−=χ

61 1

27

37 −=+−=Δχ

ThisThis

isis

whywhy

12 12 pentagonspentagons

are are onlyonly

neededneeded

toto

closeclose

thethe

carboncarbon

latticelattice

intointo

a a sphericalspherical

shapeshape,,providedprovided

thatthat

theirtheir

effecteffect

isis

notnot

counterbalancedcounterbalanced

by by thethe

negativenegative

curvaturecurvature

ofof

thethe

heptagonsheptagons..

En el En el casocaso

de de loslos

fullerenosfullerenos, , loslos

anillosanillos

pentagonalespentagonales

induceninducenla la curvaturacurvatura

de la red, de la red, peropero

tambiéntambién

introducenintroducen

frustraciónfrustración

entreentre

laslas

dos dos subredessubredes..

TOPOLOGICAL DEFECTS IN GRAPHENE TOPOLOGICAL DEFECTS IN GRAPHENE 

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ΨΨ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ΨΨ

´´ 0110

´´

K

K

K

K

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −Φ=

00

2

i

iA

πφ

TheThe

pentagonal pentagonal carboncarbon

ringsrings

can be can be formedformed

by a by a cutcut

andand

pastepasteoperationoperation

in in thethe

planeplane. . ThisThis

induces induces anan

effectiveeffective

rotationrotation

ofof

pp/3/3atat

thethe

junctionjunction, , whichwhich

impliesimplies

in in turnturn

thethe

exchangeexchange

ofof

thethe

twotwoDiracDirac

valleysvalleys

TheThe

exchangeexchange

ofof

thethe

twotwo

DiracDirac

valleysvalleys

isis

onlyonly

feltfelt

whenwhen

makingmaking

a complete a complete turnturn

aroundaroundthethe

topologicaltopological

defectdefect. . ThereforeTherefore, , thethe

effecteffect

can be can be mimickedmimicked

by a by a lineline

ofof

effectiveeffective

flux  flux  ΦΦthreadingthreading

thethe

pentagonal pentagonal ringring, , actingacting

onon

thethe

((K K , , KK´́) ) spacespace

( ) 2

0110

exp πφ φ =Φ⇔⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=∫ Adi

J. G., F. Guinea and M.A.H. J. G., F. Guinea and M.A.H. VozmedianoVozmediano, , NuclNucl. Phys. B 406, 771 (1993). Phys. B 406, 771 (1993)

TOPOLOGY OF GRAPHENE SHEETSTOPOLOGY OF GRAPHENE SHEETS

While the number of defects needed to change the topology of theWhile the number of defects needed to change the topology of the

carbon lattice is small, carbon lattice is small, they induce a strong effect in the electronic properties of the they induce a strong effect in the electronic properties of the material material 

J. G., F. Guinea and M.A.H. J. G., F. Guinea and M.A.H. VozmedianoVozmedianoNuclNucl. Phys. B 406, 771 (1993). Phys. B 406, 771 (1993)

nnnii Ψ=Ψ−∇⋅ ) ( εAγ

22

22 21 gjRj −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=ε

In the fullerenes, the combined effect of the In the fullerenes, the combined effect of the 12 pentagonal rings is consistent with the 12 pentagonal rings is consistent with the field of a monopole, whose charge is dictated field of a monopole, whose charge is dictated by the total fluxby the total flux

23

2

41

12

1 i== ∑

=

ππ

g

ByBy

approximatingapproximating

thethe

effectiveeffective

fieldfield

by by ananisotropicisotropic

flux flux atat

thethe

sphericalspherical

surfacesurface

ofof

thethefullerenefullerene, , thethe

DiracDirac

equationequation

forfor

thethe

curvedcurvedlatticelattice

becomesbecomes

We can also investigate the effects of negative curvature in We can also investigate the effects of negative curvature in graphenegraphene. The simplest instance is . The simplest instance is a carbon a carbon nanotubenanotube‐‐graphenegraphene

junction junction 

CARBON NANOTUBECARBON NANOTUBE‐‐GRAPHENE JUNCTIONSGRAPHENE JUNCTIONS

The The nanotubenanotube‐‐graphenegraphene

junction requires an amount of negative curvature correspondingjunction requires an amount of negative curvature corresponding

toto6 heptagons. This is consistent with the fact that, in any conti6 heptagons. This is consistent with the fact that, in any continuum geometry matching the nuum geometry matching the graphenegraphene

plane with the plane with the nanotubenanotube, we find the Euler characteristic, we find the Euler characteristic

The above procedure describes the construction of junctions withThe above procedure describes the construction of junctions with

zigzig‐‐zagzag

nanotubesnanotubes

of type  of type  

((6n6n,0)  ,0)  . . When the heptagons are regularly distributed, these are the onlyWhen the heptagons are regularly distributed, these are the only

possible geometries,possible geometries,together with the junctions made of armchair (together with the junctions made of armchair (6n6n,,6n6n) ) nanotubesnanotubes..

1 2 −== ∫ Rgxdχ

There is a general, compact way of describing the There is a general, compact way of describing the nanotubenanotube‐‐graphenegraphene

junctions, when junctions, when the topological defects (heptagons) are regularly distributed. Wthe topological defects (heptagons) are regularly distributed. We can think of all possible e can think of all possible geometries as assemblies of triangular blocks of honeycomb lattigeometries as assemblies of triangular blocks of honeycomb lattice ce 

CARBON NANOTUBECARBON NANOTUBE‐‐GRAPHENE JUNCTIONSGRAPHENE JUNCTIONS

This shows again that the number of heptagonal carbon rings is aThis shows again that the number of heptagonal carbon rings is always the same (6). It also lways the same (6). It also becomes clear that junctions with armchair becomes clear that junctions with armchair nanotubesnanotubes

are possible, with geometries (are possible, with geometries (6n6n,,6n6n) .) .

Within

each

class, , allall

thethe

DOS DOS looklook

veryvery

similar, similar, eveneven

forfor

differentdifferent

geometriesgeometries

ofof

thethe

nanotubenanotube, , withwith

thethe

positionposition

ofof

thethe

mainmain

featuresfeatures

scaledscaled

in in inverseinverse

proportionproportion

toto

thethe

radiusradius

RR

ofof

thethe

tubetube. . 

ThisThis

leadsleads

toto

thinkthink

thatthat

therethere

may may existexist

aa

unifiedunified

descriptiondescription

in in termsterms

ofof

thethe

DiracDirac

equationequation

in in thethe

curvedcurved

spacespace

CARBON NANOTUBECARBON NANOTUBE‐‐GRAPHENE JUNCTIONSGRAPHENE JUNCTIONS

)12,12(

)0,18(

)0,48(

)0,54(

( ) ±± Ψ=Ψ∇⋅ εAσ ieivF m

LOCALIZED STATES LOCALIZED STATES 

What is then responsible for the What is then responsible for the peaks within the depleted DOS peaks within the depleted DOS at very low energies?at very low energies?

ItIt

isis

thenthen

possiblepossible

toto

havehave

localizedlocalized

statesstates. . TakingTaking

thethe

maximummaximum

flux flux ΦΦ

= 3= 3pp

, , wewe

havehave

forfor

instanceinstance

We may look for bound states of the We may look for bound states of the DiracDirac

equation, that can only take place at  equation, that can only take place at  εε

= 0 = 0 

0 0

21

21

21

210

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ΨΨ

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+Φ

±∂+∂

+Φ

∂−∂±

±

B

A

r

r

rrir

rriri

π

π

θ

θ m

We find a state with  We find a state with  nn

= 1 which has an amplitude decaying in both the plane and the = 1 which has an amplitude decaying in both the plane and the nanotubenanotube..Similarly, we have another localized state with  Similarly, we have another localized state with  nn

= = ‐‐11

in the other in the other sublatticesublattice

of the of the graphenegraphenelayer. These localized states are then consistent with the abovelayer. These localized states are then consistent with the above

lowlow‐‐energy peak in the DOS.energy peak in the DOS.

3/

)12,12(πieq ±= 3/

)0,18(πieq ±=

0 0 , ~

0 , ~ )/(

02

0 <=ΨΨ

>=ΨΨ++

+−+

zee

Rrer

BinRzn

A

Binn

A

θ

θ

GRAPHENE WORMHOLESGRAPHENE WORMHOLES

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ΨΨ

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ΨΨ

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+Φ

±∂+∂

+Φ

∂−∂±<

±<

±<

±<

,

,

,

, 0

21

21

21

210

B

A

B

A

r

r

rrir

rriri ε

π

π

θ

θ m

In the lower branch of this geometry, we have the same In the lower branch of this geometry, we have the same DiracDirac

spinorsspinors

that we had before that we had before 

We can also speculate about the possibility of We can also speculate about the possibility of forming forming graphenegraphene

wormholes connecting two wormholes connecting two graphenegraphene

layers. These can be considered as the layers. These can be considered as the addition of two addition of two nanotubenanotube‐‐graphenegraphene

junctions, junctions, doubling the number of heptagonal defects. doubling the number of heptagonal defects. 

But, in order to match them with the But, in order to match them with the spinorsspinors

in the upper branch, we have to invert therein the upper branch, we have to invert therethe direction of the the direction of the azimuthalazimuthal

angle  angle  

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ΨΨ

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ΨΨ

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+Φ

±∂−∂

+Φ

∂+∂±>

±>

±>

±>

,

,

,

, 0

21

21

21

210

B

A

B

A

r

r

rrir

rriri ε

π

π

θ

θ m

GRAPHENE WORMHOLESGRAPHENE WORMHOLES

We can analyze the local DOS at the junctions, for different angWe can analyze the local DOS at the junctions, for different angular ular momentamomenta. In the case . In the case of a short (54,0) of a short (54,0) nanotubenanotube

bridge between two bridge between two graphenegraphene

layers:layers:

The peaks around the Fermi level can be explained in terms of loThe peaks around the Fermi level can be explained in terms of localized zero modes:calized zero modes:

1 =q 3/2 πieq ±= 1 -q =3/ πieq ±=

0 , ~ 0 21,

2,, =ΨΨ⇒=Ψ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +∂+∂ +

<−+

<+< B

innAAr er

rir

θθ

0 , ~ 0 21,

2,, =ΨΨ⇒=Ψ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +∂−∂ +

>−−+

>+> B

innAAr er

rir

θθ

ThusThus

wewe

seesee

thatthat

thethe

onlyonly

localizedlocalized

statesstates

correspondcorrespond

toto

nn

= 0, +1, = 0, +1, ‐‐1. 1. TheThe

statestate

withwith

nn

= 0 = 0 turnsturnsout out toto

be a be a normalizablenormalizable

zerozero

modemode, , whilewhile

thosethose

withwith

nn

= = ±1  are quasi±1  are quasi‐‐bound states, with a bound states, with a norm that diverges logarithmically with the size of the layer.norm that diverges logarithmically with the size of the layer.

To summarize, To summarize, 

GrapheneGraphene

seems a quite exciting material from the experimental as well aseems a quite exciting material from the experimental as well as from the s from the theoretical point of view, with many aspects largely unexploredtheoretical point of view, with many aspects largely unexplored

graphenegraphene

has a natural tendency to develop has a natural tendency to develop 

ripples, pointing at an intrinsic instability of ripples, pointing at an intrinsic instability of the flat surface that comes possibly from the the flat surface that comes possibly from the 

interaction of the electrons with the fluctuations interaction of the electrons with the fluctuations 

in the curvature of the carbon sheetin the curvature of the carbon sheet

regarding fundamental physics, regarding fundamental physics, graphenegraphene

provides the possibility of studying the provides the possibility of studying the interaction of strong curvature of the space interaction of strong curvature of the space with relativistic fields, allowing to study with relativistic fields, allowing to study effects that would be the analogue of the effects that would be the analogue of the 

interaction with event horizons (creation of interaction with event horizons (creation of particles, Hawking radiation)particles, Hawking radiation)