el espiropentagrama

7/18/2019 El Espiropentagrama

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El Espiropentagrama

Fernando Augusto Andreo Antón

Bubok Publishing S. L.



1



2



Índice

Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1. Evolución de la enseñanza de la Armonía 11

1.1. Antecedentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2. La metodología tradicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.3. Nuevos enfoques del s. XX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.3.1. A. Schoenberg, un pequeño paso adelante . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.4. Dos teorías cognitivas recientes de la Armónia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.4.1. Longuet-Higgins y su espacio armónico bidimensional . . . . . . . . . . . 19

1.4.2. Balzano con su red . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.5. La enseñanza de la Armonía en la actualidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.5.1. La Armonía en el mundo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.5.2. La Armonía entre nuestros muros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2. Fundamentos de esta didáctica 27

2.1. Música y formas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.2. Música y color . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.3. Música y movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.4. Música y texturas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.5. Otras posibles vinculaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3. Los árboles armónicos 33

3.0.1. Como interpretar y usar los árboles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.0.2. Grafías de los árboles armónicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.0.3. Estados de crecimiento de un árbol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.1. El árbol de Dominante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.1.1. El árbol de Dominante de un modo Mayor . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.1.2. El árbol de Dominante de un modo menor . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.2. El árbol de Subdominante-Tónica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.2.1. El árbol de Subdominante-Tónica en un modo Mayor . . . . . . . . . . . 38

3.2.2. El árbol de subdominante-tónica en un modo menor . . . . . . . . . . . . 393.3. El árbol Tonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3

. . . 8



4 ÍNDICE

3.3.1. El árbol Tonal en un modo Mayor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.3.2. El árbol Tonal en un modo menor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.4. Otro tipo de árboles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.4.1. Un árbol para la realización contrapuntística . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4. El Espiropentagrama 43

4.1. Las marcas de presencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.1.1. De orden melódico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.1.2. De orden armónico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.2. Manejo del Espiropentagrama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.2.1. Un caso práctico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.3. Otras propuestas próximas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.3.1. Simple clock calculator de Larry J. Solomon . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.3.1.1. Diferencias con el Espiropentagrama . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.3.2. La Rueda Armónica de Luis Nuño . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.3.2.1. Diferencias con el Espiropentagrama . . . . . . . . . . . . . . . 55

5. Representaciones poligonales de las sonoridades 57

5.1. Consideraciones preliminares de las figuras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5.1.1. El diámetro: el tritono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

5.1.2. Un cuadrante: la tercera menor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

5.1.3. Los ejes de simetría: propiedades, inversión y transposición limitada . . . 605.1.3.1. Propiedades derivadas de la simetría . . . . . . . . . . . . . . . 60

5.1.3.2. La inversión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

5.1.3.3. La transposición limitada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

5.1.4. El área, un índice orientativo del grado de disonancia . . . . . . . . . . . 64

5.1.5. Aplicación a nuestro sistema tonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5.1.5.1. Consideraciones preliminares sobre intervalos consonantes y di-

sonantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5.1.5.2. El parámetro inmensurable: la subjetividad de la tradición . . . 66

5.1.5.3. En grupos con un mismo número de sonidos . . . . . . . . . . . 67

5.1.5.4. En grupos con diferente número de sonidos . . . . . . . . . . . 69

5.1.5.5. El coeficiente de consonancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

5.1.5.6. Excepciones notorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

5.1.5.7. La propuesta de Hindemith . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

5.2. Las divisiones simétricas regulares de la circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . 72

5.2.1. Modos de transposiciones limitadas de Messiaen . . . . . . . . . . . . . . 74

5.2.1.1. Modo 1 de transposición limitada de Messiaen . . . . . . . . . . 75

5.2.1.2. Modo 2 de transposición limitada de Messiaen . . . . . . . . . . 755.2.1.3. Modo 3 de transposición limitada de Messiaen . . . . . . . . . . 75



ÍNDICE 5





5.2.2. Otros casos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 805.2.2.1. El acorde de quinta aumentada . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

5.2.2.2. El acorde de séptima disminuida . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

5.2.2.3. La sexta aumentada francesa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

5.3. Las divisiones simétricas irregulares de la circunferencia . . . . . . . . . . . . . . 81

5.3.1. El heptágono diatónico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

5.3.2. Escalas sintéticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

5.4. Divisiones tradicionales de la circunferencia en conjuntos de tres y cuatro sonidos 83

5.4.1. Acordes tríadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 835.4.1.1. El acorde perfecto mayor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

5.4.1.2. El acorde perfecto menor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

5.4.1.3. El acorde de 5ª aumentada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

5.4.1.4. El acorde de 5ª disminuida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

5.4.2. Acordes cuatríadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

5.4.2.1. Acordes con 7ª de 1ª especie (P. M. con 7ª menor): 7ª natural . 89

5.4.2.2. Acordes con 7ª de 2ª especie (P. m. con 7ª menor): 7ª menor . 90

5.4.2.3. Acordes con 7ª

de 3ª

especie (disminuido con 7ª

menor): 7ª

Submenor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

5.4.2.4. Acordes con 7ª de 4ª especie (P. M. con 7ª Mayor): 7ª Mayor . 92

5.4.2.5. Acordes con 7ª de 5ª especie (P. m. con 7ª Mayor): 7ª sobre

menor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

5.4.2.6. Acordes con 7ª de 6ª especie (aumentado con 7ª Mayor): 7ª

sobre aumentado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

5.4.2.7. Acordes con 7ª de 7ª especie: 7ª disminuida . . . . . . . . . . . 95

5.4.3. Los acordes de sexta aumentada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 965.4.3.1. La sexta aumentada italiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

5.4.3.2. La sexta aumentada francesa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

5.4.3.3. La sexta aumentada alemana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

5.4.3.4. La sexta aumentada suiza (acorde de 4ª doble aumentada) . . . 101

5.5. El color como marca funcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

6. Aplicaciones del Espiropentagrama 105

6.1. Sistemas de afinación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

6.2. Procesos contrapuntísticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1076.2.1. La transposición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109



6

6.2.2. La inversión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

6.2.3. La retrogradación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

6.2.4. La combinación de estos procesos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

6.3. La modulación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

6.3.0.1. Organización de las posibilidades . . . . . . . . . . . . . . . . . 1186.3.1. Normas elementales para la comparación de árboles . . . . . . . . . . . . 124

6.3.2. La modulación por nota común . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

6.3.3. La modulación diatónica o por acorde común . . . . . . . . . . . . . . . 124

6.3.3.1. Comparación de los árboles de Dominante entre sí (Caso 1:

D1=D2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

6.3.3.2. Comparación del árbol de Subdominante-Tónica de la tonalidad

de partida con el de Dominante de la de llegada (Caso 2: st1=D2)126

6.3.3.3. Comparación del árbol de Dominante de la tonalidad de partidacon el de Subdominante-Tónica de la de llegada (Caso 3: D1=ST2)128

6.3.3.4. Comparación de los árboles de Subdominante-Tónica entre sí

(Caso 4: st1=ST2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

6.3.4. La modulación enarmónica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132


D1≡D2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

6.3.4.2. Comparación del árbol de Subdominante-Tónica de la tonalidad

de partida con el de Dominante de la de llegada (Caso 2: st1≡

D2)1356.3.4.3. Comparación del árbol de Dominante de la tonalidad de par-

tida con el de Subdominante-Tónica de la de llegada (Caso 3:

D1≡ST2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138


(Caso 4: st1≡ST2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

6.3.5. La modulación cromática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142


D1~D2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

6.3.5.2. Comparación del árbol de subdominante-tónica de la tonalidad

de partida con el de Dominante de la de llegada (Caso 2: st1~D2)145

6.3.5.3. Comparación del árbol de Dominante de la tonalidad de partida

con el de Subdominante-Tónica de la de llegada (Caso 3: D1~ST2)147


(Caso 4: st1~ST2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 49

6.3.6. Utilización de los resultados y proceso de asimilación . . . . . . . . . . . 151

6.4. La set-theory (teoría de conjuntos) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

6.4.1. La inversión de conjuntos de sonidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1556.4.2. La Forma Normal (Normal From) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

ÍNDICE



ÍNDICE 7

6.4.3. La Forma Orignal (Prime Form) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

6.4.3.1. ¿De qué sirve la Forma Original? . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

6.5. Los mapas armónicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

6.5.1. Comparación de mapas armónicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

7. Propuesta de aplicación de esta didáctica 169

7.1. En la enseñanza general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

7.1.1. En el ámbito de Preescolar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

7.1.2. En el ámbito de Primaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

7.1.2.1. Primer ciclo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

7.1.2.2. Segundo ciclo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

7.1.2.3. Tercer ciclo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

7.1.3. En el ámbito de Secundaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

7.1.3.1. Primer ciclo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

7.1.3.2. Segundo ciclo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

7.2. Dentro de las enseñanzas artísticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

7.2.1. En las Enseñanzas Elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

7.2.1.1. Primer curso de Lenguaje Musical . . . . . . . . . . . . . . . . 176

7.2.1.2. Segundo curso de Lenguaje Musical . . . . . . . . . . . . . . . . 177

7.2.1.3. Tercer curso de Lenguaje Musical . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

7.2.1.4. Cuarto curso de Lenguaje Musical . . . . . . . . . . . . . . . . 179

7.2.2. En las Enseñanzas Profesionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

7.2.2.1. Lenguaje musical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

7.2.2.2. Armonía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

7.2.2.3. Análisis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

7.2.2.4. Fundamentos de Composición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1847.2.3. En las Enseñanzas Superiores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

7.2.3.1. Análisis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

7.2.3.2. Armonía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

7.2.3.3. Contrapunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

7.2.3.4. Otras asignaturas que podrían beneficiarse . . . . . . . . . . . . 185

Bibliografía 189

Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187.



8

Introducción

Este trabajo pretende ofrecer una didáctica para acercar los estudios de Armonía a etapas

anteriores a las que prevé nuestro currículo actual, básicamente desde la iniciación del niño a

la música. Para ello conecta las sonoridades, esencialmente, con figuras geométricas y colores-dejando abierta una también válida y posible relación con figuras tridimensionales y texturas-,

en función a diversos parámetros que justifican esta vinculación.

Evidentemente, el acercamiento al niño a entes musicales más complejos como puede ser

cualquier acorde, expresado de manera tan primaria como formas y colores y no como elementos

de categorías teóricas complejas, posibilita que esta propuesta no sólo sea coherente sino muy

prometedora.

Además de esto, de lo importante que puede ser el ir acercando al alumno más joven a esta

dimensión musical que apenas se trata en los planteamientos didácticos de la actualidad, estemétodo tiene una proyección mucho más amplia ya que las figuras y colores que el niño ha

manejado como un juego, cuando no tenía por qué saber qué eran las funciones tonales o los

acordes cuatríadas, seguirán teniendo vigencia y utilidad incluso en los estadíos más avanzados

del estudio de esta disciplina. Esta propuesta didáctica pretende que esas figuras policromas

que han quedado conectadas con sonoridades en la mente infantil, le faciliten la comprensión

de las características no sólo del funcionamiento del sistema tonal, de acordes y estructuras,

sino también del ámbito atonal, modal o incluso de cualquier sistema musical diferente.

Los principios que este método emplea se fundamentan en investigaciones de la psicología dela percepción, en los principios básicos de la geometría de polígonos y en conceptos de estudios

de la musicología moderna, por ello, su campo de aplicación no se restringe a una introducción

lúdica en las clases de Lenguaje musical o de la enseñanza primaria, sino que sirve de analogía

explicativa del sistema de afinación temperado, alcanza a colaborar determinantemente en el

estudio de la modulación tonal o descubre nuevos atalayas para la práctica y la observación de

la composición contemporánea.

El estudio de la Armonía se inicia normalmente en las Enseñanzas Profesionales de música,

si bien, cierta introducción a los acordes y las funciones ya se comienza en los últimos cursos

de Lenguaje Musical de las Enseñanzas Elementales. No obstante, estas enseñanzas van a ser

principalmente teóricas y apenas van a poder tener una verdadera realidad en la práctica hasta

las Enseñanzas Profesionales, que en la asignatura de Fundamentos de Composición, encon-

trarán su realización en ejercicios escritos y en cierto acercamiento a dictados y el aprendizaje

de secuencias armónicas. Esto va en perjuicio del alumnado que nunca termina de tener un

verdadero dominio de la materia sonora con que trata la Armonía, y, por lo general, reduce esta

asignatura a un conjunto de reglas de aplicación teórica y casi exclusivamente, a los ejercicios

propuestos en clase.

En cuanto a la metodología aplicada para la elaboración de este trabajo podría resumirseasí:



INTRODUCCIÓN 9

en una primera fase, tras haberse producido la idea germinal: un método pedagógico con

que enseñar Armonía, se inicia una investigación a través de publicaciones de muy diversa

índole y variedad, en relación a los diferentes temas que resultan afines (temas como la

Didáctica de la música, la Psicología evolutiva, la Geometría, obviamente la Armonía, etc).

Este estudio se llevó a cabo para establecer una base sobre la que desarrollar el métodoaquí propuesto, así como compararlo con otras experiencias que pudieran serle afines, para

contextualizarlo y situarlo en relación a otras propuestas y otros métodos consagrados. Así

pues, aún tratándose únicamente de un supuesto educativo, se ha intentado fundamentar

todo cuanto se proyecta con estudios y trabajos previos, que puedan servir de aval y

ofrecer cierta garantía respecto de la validez de las ideas que en las próximas páginas se

exponen.

en segundo término, se comenzó la elaboración escrita de estas páginas, si bien nunca

dejó de aparecer nueva información que parecía relevante considerar y que ayudaron a irperfilando, modificando y corrigiendo. Para el proceso de escritura, especialmente, en lo

tocante a las ilustraciones que aquí aparecen y que son verdaderamente imprescindibles,

hubo que aprender a trabajar con un software informático que posibilitara trasladar al

papel los ejemplos que era pertinente incluir, a colación de lo que se explica, máxime,

siendo una propuesta didáctica basada en la observación de la solidaridad existente entre

sonoridades y figuras poligonales. Asimismo, se ha trabajado en la creación de aplica-

ciones interactivas que permitan manipular lo que aquí se describe en un mundo físico

(con papeles y láminas transparentes), en un mundo virtual informático, más llamativo einteresante, sobre todo para un alumnado que ha nacido en este mundo tecnológico.

por último, aunque para ser fieles a la verdad habría que confesar que, parcialmente, algo

se fue poniendo a prueba mientras se estaba creando, queda la comprobación real y total

de las ventajas que este método puede o no tener. No obstante, mientras se hacía acopio

y se elaboraba todo el material que aquí se ofrece, hubo varias entrevistas con educadores

y teóricos que ofrecieron no cortas esperanzas sobre la validez y la consistencia de esta

metodología; así como también resultaron positivos y prometedores, ciertos pequeños

experimentos que inevitablemente para ellos, tuvieron que sufrir algunos de mis alumnos.

Así pues, la intención de este trabajo es iniciar mucho antes en el mundo armónico al alumnado;

no sólo al de las instituciones de enseñanza musical especializada, sino incluso en el ámbito de

la enseñanza general. El mayor problema que puede representar, a juicio nuestro, el tratar de

acercar a niños de una edad más temprana a la teoría armónica es la complejidad de los términos

y los conceptos que su comprensión teórica requiere. Sin embargo, al asimilar las sonoridades a

elementos visuales más sencillos, como pueden ser polígonos y colores, el niño ya no trabajará

con una nomenclatura complicada e inaprehensible (como acorde de séptima disminuida sobre

el cuarto elevado), sino con figuras y colores que lleva manejando desde que era un bebé (comoun cuadrado amarillo, que sería el equivalente al acorde nombrado en el paréntesis anterior).



10

No obstante, esta propuesta no es que pretenda únicamente adelantar el inicio de los alumnos

en el mundo de la Armonía, la idea es que estas figuras geométricas policrómicas con que se

pretende facilitar su acceso, se vayan incorporando y asimilando dentro de su mente porque su

utilidad no se restringirá a estos primeros años o a la educación general, sino que estas mismas

figuras y colores, les serán de una enorme utilidad para entender y aprehender con mayorfacilidad y profundidad, conceptos mucho más complejos e intrincados, como la enarmonización

de acordes o los modos de transposición limitada de Oliver Messiaen, por citar algunos de los

ejemplos ilustrativos que se recogen a lo largo de estas páginas. Creo que resultará convincente

pensar que, si para una persona que no ha sido formada con las referencias que este proyecto

educativo propone, ya puede hacerse patente la practicidad, sistematicidad y exhaustividad

con que aborda la dificultosa realidad de los conjuntos sonoros -especialmente aquí tratadas

las entidades armónicas tonales más tradicionales-, para alguien que, ya con cierta madurez

teórica musical, haya imbrincado casi en su subconsciente por haberlo trabajado así desdetemprana edad, ciertas imágenes con ciertas sonoridades (tanto a nivel mental teórico como a

nivel acústico), este método le reportará una enorme ventaja sobre cualquiera de los alumnos

que se enfrentan hoy día, armados únicamente de sus mayores o menores conocimientos, al

mundo de la teoría compositiva en cualquiera de sus facetas: armonía, contrapunto, análisis...;

sin que podamos olvidar, en ningún caso, su patente repercusión en otras disciplinas como la

educación auditiva o la improvisación.

Tampoco podemos dejar de aclarar que esta metodología educativa, aunque nacida y aquí

esbozada dentro del ámbito de la música occidental, no tiene en modo alguno por qué verse

restringida a ésta y que, de hecho, puede resultar de extrema validez para comparar sistemas

de afinación de diversas culturas musicales o de diversos períodos históricos; si bien, lamenta-

blemente, esto escapa de los introductorios objetivos con que ve la luz el modesto elenco de

posibilidades que aquí sucintamente se presentan.

En definitiva, la monografía que están a punto de leer, sin darse por acabada ni por inmu-

table, sino como un guión más o menos desarrollado de otro modo de acercar al alumnado de

música, tanto en los círculos más especializados como en los menos, a la compleja dimensión de

la realidad organizativa de esta disciplina; tanto en el plano de sistema musical derivado de un

sistema de afinación, como en su dimensión sintáctica de sonoridades dispuestas en un discursode tensiones y distensiones, apenas inteligible para la mayoría de legos en la materia más allá

de su intuición, y que desde luego podía serlo no ya mucho más comprensible, sino más cercana,

para aquellos que han sido, están siendo y serán instruidos en el maravilloso e inigualable arte

de la música.

INTRODUCCIÓN



Capítulo 1

Evolución de la enseñanza de la

Armonía

En primer lugar, por concretar un poco de qué estamos hablando, definiremos el objeto

de estudio, la Armonía. Según nos dice el “New Grove Dictionary of Music and Musicians”,

el término procede del griego harmonia , y significa “la combinación de notas simultáneas,

para producir acordes y, sucesivamente, para producir progresiones acórdicas. El término se

usa descriptivamente para denotar notas y acordes en combinación, y prescriptivamente para

denotar un sistema de principios estructurales que gobiernan su combinación.” Debemos darnos

cuenta cómo esta explicación contempla la disciplina desde dos planos; a un lado en su dimensión

apenas descriptiva y, en el otro -producto del anterior, en realidad-, como conjunto de normasy reglas con que organizar su puesta en práctica.

Otra definición interesante la tenemos en el Harvard Dictionary of Music Apel (1969), que

nos dice que se trata de “la estructura acórdica (o vertical) de una composición musical, al

contrario que Contrapunto, que trata de la estructura melódica (u horizontal).” Como podemos

observar, esta definición de mayor brevedad, vuelve a centrarse en el carácter estructural del

término y en la dimensión vertical de simultaneidad de sonidos.

Por enriquecer un poco la visión, veamos también lo que nos dice A. Schoenberg al comienzo

del segundo capítulo de su Harmonielehre 1 ( Schoenberg , 1979 ): “Armonía: el estudio de soni-dos simultáneos (acordes) y de cómo pueden enlazarse teniendo en cuenta sus características

arquitectónicas, melódicas y rítmicas, y su significación, o sea, el peso relativo de unos respecto

a otros.” Tal vez, lo más llamativo de las palabras de Schoenberg, sea cómo pone su atención

en el hecho del contexto, como medio para atribuir significación a los conjuntos de sonidos

simultáneos; sin duda, es un factor esencial para entender los estudios armónicos, la asunción

del carácter relativo que poseen las sonoridades según su marco, tanto a nivel general dentro

de un sistema o lenguaje musical, como a nivel concreto de las sonoridades adyacentes en que

se encuadra cada una.1Cuya primera edición en alemán es de 1911.

11



12 CAPÍTULO 1. EVOLUCIÓN DE LA ENSEÑANZA DE LA ARMONÍA

Llegados a este punto, parece conveniente desligar el concepto de Armonía del de acorde,

al menos, de su noción ortodoxa que lo reduce a una yuxtaposición de terceras, y concebir

la armonía como un estudio de los elementos sonoros simultáneos, que llegados al s. XXI,

tendrán muchas muestras de simultaneidades sonoras que se apartarían notoriamente de las

clasificaciones clásicas o incluso, de las progresistas, pero obviamente siempre tonales y he ahíla mayor diferencia de concepción, decimonónicas. El método didáctico que en estas páginas se

propone, tiene por objetivo poder abarcar todo el corpus armónico, sea de la procedencia que

sea e indistintamente al sistema musical al que se adscriba.

Ahora bien, aclaremos que cuando aquí hablamos de la enseñanza de la Armonía -ya en

el título de esta parte y en el del propio capítulo-, nos estamos refiriendo, como explicaba la

primera definición que veíamos, a la enseñanza de los principios estructurales que gobiernan

su combinación, es decir, la construcción y enlace de acordes siguiendo unas directrices de

coherencia determinadas, que, normalmente, no son otras que las deducidas del análisis y elestudio de un estilo y/o un período histórico; por lo general, los del período de la práctica común

o período tonal, que abarcaría de manera aproximada desde 1600 hasta 1900. De esta forma,

los estudios de Armonía, como asignatura dentro del currículum de los estudios superiores de

música de nuestro país -según está recogido en la legislación vigente2-, tendría un carácter

histórico y práctico muy pronunciado, y será de especial utilidad para el mejor entendimiento

de otras asignaturas como Historia de la Música o Análisis, así como para la práctica de la

improvisación.

1.1. Antecedentes

La enseñanza de la Armonía, tal y como la entendemos nosotros partiendo de la última parte

de la definición anterior, esto es, no entendida como especulación teórica sino como disciplina

práctica, se remonta a la escuela del bajo cifrado, que se extendió a principios del s. XVIII y

que se convirtió en una teoría de composición libre, que se oponía al contrapunto, la teoría de

la composición estricta. En realidad, podríamos afirmar que su origen coincide grosso modo,

con el establecimiento de la tonalidad, reforzado durante los ss. XIX y XX por un robustomarco institucional de conservatorios, universidades y academias que continuaron situando

esta disciplina, la Armonía, en el núcleo de sus enseñanzas básicas a intérpretes, compositores

e incluso, aficionados.

Aún así, la frontera que divide la teoría de la práctica es difícil de situar, sobre todo en

2Así, hasta este curso 2009/2010 que tenía vigencia el Decreto 617/1995, de 21 de abril, nos dice queen Armonía se estudiaría: “Elementos y procedimientos armónicos relativos al sistema tonal, y evolución dela armonía en la música posterior al mismo. Realización escrita de trabajos estilísticos y libres, vocales einstrumentales. Práctica instrumental de los elementos y procedimientos estudiados.”

No está de más el aclarar que este próximo curso 2010-2011, dará comienzo el nuevo plan educativo a nivel

europeo implantado según los acuerdos de Bolonia, en el primer curso de las enseñanzas de música de lasEnseñanzas Superiores; si bien, la legislación que atañirá a este nuevo plan aún no está definida cuando seescriben estas palabras y, por lo tanto, no podemos referirnos a ella.



1.1. ANTECEDENTES 13

los comienzos, de forma que podemos encontrar ya una instrucción compositiva respecto de la

escritura a varias voces en tomos explícitamente especulativos como la “Synopsis” de Lippius,

de 1612. De igual forma, los primeros manuales de clase desarrollaron también conceptos que

acabaron finalmente asumidos en la corriente de los estudios especulativos, como sería el caso de

los acordes de paso en los tratados de Richter (1853) y Mayerberger (1878), que serían crucialespara el desarrollo de las teorías schenkerianas del Schichten y la Ursatz. Asimismo, la oposición

que antes le concedíamos respecto del Contrapunto, al hablar de teoría de la composición

estricta y de la composición libre, debe tomarse también con cautela, ya que, precisamente

los primeros orígenes de la enseñanza práctica de la armonía pueden establecerse en algunas

páginas de tratados de Contrapunto de principios del s. XVI que enumeran las combinaciones

aceptables en la composición a cuatro voces; éste sería el caso del tratado de Baryphonus de

1615. Desde sus comienzos, la armonía práctica ha servido como ejercicio preparatorio para

tres actividades: improvisación, composición y análisis, que aunque distintas en su finalidad,sus contenidos se entrecruzan con mucha frecuencia. La mayoría de los trabajos de armonía

del s. XVII tenían como objetivo la instrucción de intérpretes de bajo continuo en el arte

improvisatorio mediante la realización del bajo. Durante el s. XVIII, en Alemania, la realización

del bajo continuo se empezó a cultivar no sólo por intérpretes del mismo, sino también como

parte de la educación de los compositores, así C. P. E. Bach nos explica que los alumnos

de composición de su padre “debían empezar sus estudios por la realización de puro bajo

cifrado a cuatro partes. Después pasaba a los corales; primero le añadía los bajos hechos por

él, y ellos debían inventar el alto y el tenor, más tarde les enseñaba a construir los bajos

por sí mismos.” La tarea más avanzada de éstas requería comprender no sólo la escritura a

voces, sino también la sintaxis armónica, un tema que había sido tratado en los manuales

de bajo continuo de finales del s. XVII en referencia a la realización de bajos no figurados

(ej. Penna, 1672). Cuando a finales del s. XVIII, el papel del bajo continuo quedó relegado,

la improvisación dejó de ser el objetivo principal del entrenamiento armónico y ya no habrá

continuación en la tradición de los textos sobre improvisación hasta la década de 1950, cuando

los músicos de jazz empezaron a codificar sus métodos. Ahora bien, hablando con propiedad, la

fundación de la escuela armónica práctica debe atribuirse de manera universal, a la teoría del

bajo fundamental de Rameau, que aunque estuvo diseminada en diferentes partes de sus escritos,después de su muerte, en 1764, se convirtió en la base de la práctica pedagógica común, que fue

configurándose en una forma muy similar a la manera actual, durante esa segunda mitad del s.

XVIII. Aportaciones determinantes fueron las de Marpurg que desarrolló una taxonomía para

las notas no reales, y John Trydell que empezó a indicar las fundamentales como grados de la

escala en relación a una tónica3, pero quizás las más importantes serían las de Kirnberger (1771-

79) y H. C. Koch (1782-93) en sus tratados de composición, cuando empezaron a considerar

el papel de la armonía como un mecanismo de articulación de las frases y los movimientos.

3Si bien, Trydell representaba los grados mediante números arábigos, no con números romanos que es laforma habitual hoy día, y que proviene de los escritos de Vogler.




Estas contribuciones tuvieron como finalidad un claro matiz analítico y compositivo, durante el

siguiente siglo. El análisis armónico usando números romanos fue sustituido al final del s. XIX

por Riemann, que proponía la teoría del dualismo, junto con la teoría de las funciones tonales,

en una serie de escritos pedagógicos. Después de la muerte de Riemann, la teoría funcional

se separó del dualismo, que había encontrado pocos defensores entre los tratadistas modernos,y dominó la pedagogía en Alemania, Escandinavia y Europa del Este, pero incluso en estos

lugares no ha sustituido completamente el método de los números romanos. Podríamos decir

que la influencia de Riemann en el Sur de Europa y en el mundo anglosajón ha sido mínima, de

forma que si aún a día de hoy podemos hablar de dos escuelas de análisis armónico principales,

existe una clara primacía del modelo que hace uso de los números romanos, a nivel mundial y

también, en nuestro contexto académico español.

Podríamos sintetizar pues y decir que desde finales del s. XVIII, nuestros métodos de ense-

ñanza de la armonía han continuado básicamente igual, sirviéndose de ejemplos normalmentetomados del canon del repertorio clásico y romántico, se inferían unas reglas que servían para la

realización de ejercicios armónicos que, como abstracciones especulativas teóricas, perseguían

más la adquisición de técnicas que la verdadera imitación de estilos. Otra de las posibles críticas

que se pueden lanzar contra esta didáctica, mayoritariamente extendida, es que parece conceder

más importancia al aprendizaje de unos mecanismos gráficos y no tanto a la experiencia audi-

tiva de los mismos; si bien, esto no tendría por qué ser así siempre, sí parece deducirse desde

la propia orientación del sistema, en el que el aspecto sonoro parece hacer aparición más como

complemento necesario, que como elemento central. Algunos autores como R. O. Morris (1968)

iniciaron movimientos pedagógicos que trataron de tomar el teclado como punto de referencia,

en las primeras décadas de la segunda mitad del s. XX, pero sus métodos aunque han tenido

repercusión en otros países, sobre todo en Estados Unidos, aquí en España apenas ha tenido

un eco exiguo en algunos imitadores.

1.2. La metodología tradicional

Los métodos tradicionales de enseñanza de la armonía se centran en la armonización acuatro partes de melodías (de tiple o de bajo) dadas; ejemplos de este tipo de metodología

serían las propuestas de Rockstro (1881), Piston (1991)4 y Gauldin (2004)5. El estudiante debe

construir voces independientes horizontalmente que vayan bien con una línea melódica previa.

Los ejemplos melódicos tratan de ilustrar la llamada práctica común de los compositores de

los ss. XVIII y XIX. El cuadro 1.1 (que incluye cinco figuras) sirve para ilustrar el proceso

de armonización homofónica usando los acordes mayores I, IV y V, como una simplificación

e ilustra los principales pasos, descritos más abajo, que se les aconseja seguir a los aprendices

para la armonización de melodías.

4Primera edición en inglés de 1978.5Primera edición de 1997.



1.2. LA METODOLOGÍA TRADICIONAL 15

(a) Listado de posibles acordes (b) Depuración de las opciones

(c) Segunda depuración de las opciones (d) Escritura de una melodía para el bajo

(e) Escritura de las demás voces

Cuadro 1.1: Pasos de la armonización según la metodología tradicional

1. Listar todos los acordes posibles. Todos los acordes que pueden ser asociados con cada nota

deben explicitarse en números romanos. La figura 1.1a muestra las 32 posibles progresiones

armónicas que admite la melodía.

2. Depurar las opciones. Las piezas de música tonal casi siempre empiezan y acaban en el

mismo acorde de tónica (acorde de I). Si se eliminan las posibilidades que comenzaban yterminaban por un acorde diferente, todavía quedan 8 progresiones posibles, como muestra

la figura 1.1b.

3. Depurar aún más las opciones. El bagaje musical es lo que requiere ahora el alumno, para

elegir una progresión acórdica que sea musicalmente significativa de entre las alternativas

que se le ofrecen. La figura 1.1c muestra la progresión de acordes como sería escogida

por un compositor experimentado ya que contiene el giro más ampliamente repetido (de

longitud 3).

4. Escribir una melodía para el bajo. Ha de cumplir un número considerable de condiciones:

progresión acórdica, ámbito, movimiento preferentemente contrario al soprano y dejar

espacio para el movimiento de las voces internas y entre ellas. La figura 1.1d muestra una

solución que cumple estas condiciones.

5. Escribir las demás voces. Otra vez deben satisfacerse una serie de prerrogativas: progresión

armónica, ámbito, evitar el cruzamiento de voces y evitar octavas y quintas paralelas y

directas. La figura 1.1e muestra una posible disposición para las voces internas.

Las limitaciones pedagógicas de la manera tradicional de enseñar armonía, responde, obvia-mente, a ciertas dificultades observadas en los principiantes:




Conocimiento teórico musical previo elevado; los ejercicios requieren que el alumno posea

un considerable bagaje teórico musical de otros elementos como el ritmo, el contrapunto

y la forma, lo que supone una complejidad añadida para el proceso de aprendizaje.

Análisis armónico de las melodías (elección de grados); el análisis armónico es el proceso deasignar unos grados a las partes de una partitura. Si la partitura posee sólo una melodía,

puede aceptar diversas alternativas de progresiones armónicas –como sucedía en la figura

1.1a- y la elección de la mejor alternativa que encaje perfectamente es el objetivo último

de este proceso analítico -figura 1.1c-. Sin embargo, los principiantes suelen carecer de

la experiencia necesaria para esta tarea, y no entienden qué significa “la mejor” en este

contexto. Así que existe la tendencia, por parte del profesor, de imponer en los alumnos

las “progresiones armónicas aceptables” que, de esta forma, se incorporan al vocabulario

armónico del estudiante.

Armonizar una melodía (escribiendo notas en las voces); una vez elegidos los grados que

irán con las notas de la melodía, las notas deben colocarse en las voces restantes de

acuerdo con el análisis armónico (véase los pasos 4 y 5 ilustrados con las figuras 1.1d

y 1.1e respectivamente). Sin embargo, dependiendo del grado de adecuación del análisis

armónico, puede ser difícil, o incluso imposible, colocar las notas en las voces sin quebrar

alguna/s de las reglas musicales impuestas.

Didáctica centrada en el profesor; en los métodos tradicionales el profesor normalmente

da clases (Peters, 1982) a un grupo de alumnos, analizando armónicamente fragmentos depiezas musicales, proponiendo ejercicios y corrigiendo algunas de las soluciones aportadas

por los alumnos.

Ingente corpus de piezas tonales; los métodos tradicionales requieren de un gran y he-

terogéneo corpus de fragmentos de piezas musicales como sonatas, conciertos e incluso

canciones populares, para ilustrar las prácticas armónicas académicas.

1.3. Nuevos enfoques del s. XXCon el siglo XX tuvieron lugar importantes cambios dentro del plano musical, no es de

extrañar que no sólo los compositores, sino también teóricos e intérpretes, buscaran otras formas

de entender la música y otras formas de explicarla.

1.3.1. A. Schoenberg, un pequeño paso adelante

Algo antes de la primera guerra mundial, aunque algún eco mayor obtuvo después de la

misma, en 1911, Arnold Schoenberg publicaba su Harmonielehre -que tardaría en aparecer enEspaña más de medio siglo (Schoenberg, 1979)-. En él, Schoenberg, escapando de la presión de



1.3. NUEVOS ENFOQUES DEL S. XX 17

la imitación de cánones estilísticos, consigue superar ciertas trabas que la enseñanza tradicional

tenía, como serían los siguientes:

Requiere de un menor conocimiento teórico previo del alumno y trata de aislar otros

elementos de la música (ritmo, contrapunto y forma) de la enseñanza de la armonía;

Guía al estudiante a la hora de escoger los grados en los ejercicios y no requiere análisis

armónico;

Evita la armonización de una melodía, con la finalidad de darle al estudiante más alter-

nativas en la distribución de notas por voces;

Se centra más en el alumno a la hora de enseñarle, con el objetivo de maximizar su

creatividad;

Evita el inmenso corpus de piezas tonales.

Podríamos recordar otros métodos que siguen algunos de los principios recogidos arriba, por

ejemplo, hay métodos que enfatizan el enlace correcto sin prestar mucha atención a otros

elementos de la música, así sería el caso de Riemann, por ejemplo, que enfatizaba las funciones

tonales, pero que obviamente obliga a determinados movimientos y se desliga de promoverla creatividad del alumno. Los escritos de Schoenberg también están centrados en el enlace

correcto de los acordes, sin embargo, no es lo principal, le preocupa más evitar la imposición

de “progresiones aceptables” en los estudiantes y en darles una mayor libertad de elección.

Schoenberg creía que los estudiantes, a través de la experimentación no sólo de “progresiones

armónicas aceptables” y valorando sus preferencias por sí mismos, eran capaces de desarrollar

su propio sentido armónico sin el fuerte condicionamiento del vocabulario armónico impuesto

por los métodos tradicionales. El método de Schoenberg se distingue por un programa que

no incluye la armonización de melodías y que incorpora una calculada estrategia evolutiva de

presentación y práctica de nuevos conceptos. El cuadro 1.2 ilustra los principales pasos, descritosmás abajo, seguidos por los estudiantes en los ejercicios propuestos.




(a) Paso 1 (b) Paso 2

(c) Paso 3 (d) Paso 4

(e) Paso 4 (f) Paso 4

Cuadro 1.2: Método de Schoenberg

Pasos para la solución de un ejercicio:

1. Definición de la secuencia de acordes. El estudiante, siguiendo unas instrucciones, escoge

los grados con que va a trabajar (así se ve en la figura 1.2a).

2. Colocación de notas para el primer acorde. El estudiante decide la posición del acordeinicial y le asigna las notas a las voces observando las condiciones constructivas del acorde

(como queda ilustrado en la figura 1.2b).

3. Colocación de notas para el siguiente acorde. El estudiante coloca las notas en el acorde

que sigue a la derecha del anterior, vigilando las normas de construcción propias del acorde

en concreto, así como las de enlace respecto del anterior (según se aprecia en la figura

1.2c).

4. Repetimos el paso tres con el resto de acordes. Los estudiantes repiten el paso tres hastaque se han asignado todas las notas de todos los acordes de la progresión (tal y como

queda reflejado en las figuras 1.2d, 1.2e y 1.2f ).

1.4. Dos teorías cognitivas recientes de la Armónia

Estas dos teorías aportan dos puntos de vista diferentes de la Armonía, que permiten acercar

la disciplina a personas que, careciendo de los conocimientos teóricos o la habilidad instrumen-

tal necesaria, se verían totalmente desprovistos de una posibilidad en el entorno de aprendizajeacostumbrado. Se trata de los estudios de Longuet-Higgins (1962) y de Balzano (1980); que



1.4. DOS TEORÍAS COGNITIVAS RECIENTES DE LA ARMÓNIA 19

aunque parten cada uno de puntos diferentes, ofrecen dos visiones bastante similares del funcio-

namiento de la Armonía. Y así lo explica muy bien Simon Holland en su artículo New Cognitive

Theories of Harmony applied to direct manipulation tools for novices (1987).

1.4.1. Longuet-Higgins y su espacio armónico bidimensional

En mi opinión, los primeros pasos de importancia, hacia una verdaderamente nueva manera

de explicar Armonía deberíamos atribuírselos a Longuet-Higgins que desarrolló una nueva teoría

cognitiva de la armonía (1962). El sistema se basa en la configuración de una red de notas

dispuestas en columnas y filas, de forma que los miembros de cada columna son notas separadas

una 5ª, mientras las filas están construidas separando las notas una tercera mayor . La teoría

de Longuet-Higgins se fundamenta en que el conjunto de intervalos posible en la música tonal

occidental es aquel que sucede entre notas cuyas frecuencias están en una proporción expresablecomo el producto de tres números: 2, 3 y 5 y ningún otro6. Teniendo en cuenta esta premisa, se

desprende el hecho de que el conjunto de tres intervalos formado por la octava, la quinta justa

y la tercera mayor es el único espacio coordinado no redundante para todos los intervalos que

usamos. Podemos representar este espacio gráficamente colocando las notas en capas en una

red tridimensional en la que las notas van ascendiendo en octavas, terceras mayores y quintas

justas, a lo largo de los tres ejes. Sin embargo, en la mayoría de representaciones se omite el eje

de la dimensión de la octava dado que da lugar a planos paralelos y a la conveniencia práctica

que supone centrarse en las otras dos dimensiones (fig. 1.4.1).

6Longuet-Higgins fue desarrollado por Steedman, en su tesis doctoral: “The formal description of musicalperception”, University of Edinburgh, 1972.




Figura 1.4.1: Espacio armónico (sin enarmonías) de Longuet-Higgins

Como podemos ver en la figura de arriba, hemos enmarcado todas las notas de la escala dia-

tónica con una línea en una pequeña región de dos columnas y siete casillas (dado que la escala

posee siete grados). Si imaginamos que este marco, manteniendo su forma, pudiera deslizarsealrededor de la tabla de notas libremente y delimitar diferentes conjuntos de notas, descubriría-

mos que si lo movemos hacia arriba una fila estaríamos en la tonalidad de la Dominante, y que

si lo bajamos una fila estaríamos en la de la Subdominante. Se pueden encontrar otras tona-

lidades trasladando el marco en otras direcciones, aunque convenga recordar que las notas no

siempre mantendrán el mismo nombre en las diferentes tonalidades, sino que podrán estar enar-

monizadas (sonidos homófonos). Sin embargo, en virtud de la finalidad didáctica, reducimos el

espacio Longuet-Higgins a una nomenclatura de doce sonidos de un sistema tonal temperado,

resultando lo que llamaremos “espacio armónico Longuet-Higgins de 12 notas bidimensional”o, simplemente, espacio armónico bidimensional, para abreviar. Consecuentemente perdemos

los doble sostenidos y doble bemoles de la figura 1 y el espacio ahora se repite exactamente en

todas las direcciones (véase fig. 1.4.2). Las notas con el mismo nombre son realmente la misma

nota en este espacio. De hecho, bastará una pequeña reflexión para darnos cuenta de que este

espacio es en realidad un toro7 que hemos desplegado y repetido como si fuera un motivo para

empapelar algo. Uno de los resultados que produce esta figura es que en lugar de un único

marco de tonalidad, tenemos el marco repetido.

7Un toro es una superficie o una figura geométrica tridimensional formada por la rotación de una curvacerrada, especialmente un círculo, alrededor de una línea que se haya en el mismo plano pero que no interseccionacon ella (ej. un anillo con forma de donut).




Figura 1.4.2: Espacio armónico Longuet-Higgins de 12 notas bidimensional

Fijémonos ahora en la representación de los tríadas y los centros tonales. En el espacio armó-

nico bidimensional, los acordes mayores tienen forma de L (cf. fig. 1.4.3). Vemos también como

los acordes de Dominante y Subdominante, tríadas mayores, están extremadamente próximosa la tríada de tónica. Al mismo tiempo, podemos observar que los tres tríadas fundamentales

contienen todas las notas de la escala diatónica y cómo también este diagrama sirve de metáfora

del lugar central que ocupa la tónica (y así sucedería en cualquier tonalidad). Igualmente po-

demos distinguir cómo los tríadas menores corresponden con una L invertida, y cómo también

forman la escala menor y disponen su tónica (la tríada menor de La) en una posición central.

Para completar la escala, quedaría marcar el tríada disminuido, que se configura marcando una

línea oblicua. Algunos estilos armónicos perfectamente asumidos en el repertorio de estudio,

hacen uso de los acordes cuatríadas y quintíadas, que también tienen formas fácilmente reco-

nocibles dentro del espacio armónico bidimensional (véase fig. 1.4.4 para la representación delas séptimas diatónicas propias de la escala natural).




Figura 1.4.3: Acordes tríadas en el espacio armónico bidimensional Longuet-Higgins

Figura 1.4.4: Acordes cuatríadas en el espacio armónico bidimensional Longuet-Higgins

Hagamos ahora, tras la descripción del sistema, un ejercicio de abstracción para imaginar

una manipulación virtual directa de este entorno, utilizando un programa informático. Supon-gamos que podemos utilizar el ratón para elegir un modelo geométrico que represente un tipo




de sonoridad y, hecho esto, pudiéramos hacer sonar las notas que elige, cada vez que su botón

esté pulsado (como si estuviésemos seleccionando cosas, en cualquier entorno de Windows); ésta

sería la propuesta del Dr. Simon Holland para, aplicando las explicaciones de Longuet-Higgins,

acercar a un alumnado novel al manejo de las sonoridades, de la Armonía en definitiva, de

forma intuitiva.

1.4.2. Balzano con su red

Balzano en su artículo The Group-theoretic description of 12-fold and microtonal pitch

systems (1980) describía dos posibles modos de trasladar, todo considerado desde el punto

de vista matemático8, a un espacio bidimensional circular nuestro sistema musical de doce

sonidos, en realidad nada nuevo aunque fundamentado mediante expresiones matemáticas: el

círculo de quintas y el círculo cromático9 (adjuntamos la figura 1.4.5 a modo de ilustración).

Resultan llamativas las observaciones de cómo, sobre el círculo de quintas, los sonidos diatónicos

quedan representados ocupando justamente la mitad del círculo y cómo, según qué vamos

moviendo esta mitad, rotándolo dentro del cículo vamos obteniendo los sonidos propios de las

escalas o los modos, con alteraciones en menos o con alteraciones en más, según el sentido sea,

respectivamente, el contrario o el mismo de las agujas del reloj.

Figura 1.4.5: Modelos del sistema musical dodecafónico en un espacio bidimensional

Sin embargo, no fue ninguna de estas dos proyecciones la que S. Holland (1987) adoptó

como base para su elaboración didáctica, sino la que Balzano consideraba más válida para la

observación de los aspectos armónicos, una tercera traslación a un espacio bidimensional que

tendría la forma de una red (que podemos observar abajo, en la fig. 1.4.6). Fuera de las evi-

8Para ello, los doce sonidos son tomados como los doce primeros números enteros (y así puede observarse enlas ilustraciones que de sus propuestas se adjuntan en este apartado); esto es: do = 1, do# = 2, re = 3, mib =4, mi = 5, fa = 6, fa# = 7, sol = 8, lab = 9, la = 10, sib = 11 y si = 12.

9Esta proyección bidimensional, estudiada como ya decimos por este autor (Balzano, 1980), servirá de base

para su adaptación a un sistema de lectura ya no lingüístico-textual, sino puramente musical, y así naceráel Espiropentagrama -núcleo del corpus gráfico de la propuesta de estas páginas y que está explicado condetenimiento en el capítulo 4 en la página 43.




dentes aportaciones visuales (con formaciones geométricas diversas) que esta red aportaba a la

observación de los diferentes conjuntos de sonidos; Balzano en este trabajo también demostraba

la adaptabilidad y la permanencia de diversas propiedades de los conjuntos sonoros, cuando se

trabaja con sistemas diferentes de dividir la octava a la nuestra (que lo hace en doce partes),

incluyendo como ejemplo en este artículo, una red que reflejase la división de la octava en veintepartes, o sea, utilizando intervalos microtonales.

Figura 1.4.6: La red de Balzano señalando los sonidos de la escala diatónica dentro del cuadrantede los doce

Pues bien, esta red, como decíamos, es la otra base que va a servir para los propósitos

pedagógicos que el Dr. Holland desarrollaba en 1987 y que tanto nos han servido de inspiración

para el desarrollo de este trabajo. La aplicación en esta red tendría un desarrollo análogo al que

describíamos al final del punto anterior; esto es, su incorporación en un software informático

que permitiera a gente no iniciada dentro de los complejos conocimientos musicales que requierela Armonía, acercarse e incluso ejercitarse dentro del mundo de la pluralidad sonora armónica.



1.5. LA ENSEÑANZA DE LA ARMONÍA EN LA ACTUALIDAD 25

1.5. La enseñanza de la Armonía en la actualidad

En la actualidad, hay una notable diferencia en cuanto a la enseñanza de la Armonía según

en qué ámbito geográfico nos situemos e incluso, precisando más, en qué institución de qué

lugar. Por ello, en este apartado vamos a hablar, por un lado, de forma generalizada de cómotenemos noticia que se desarrolla esta enseñanza en el conjunto de nuestro mundo occidental,

y de otro, de cómo se desarrolla en nuestro país, tomando como especial foco de observación

nuestra región y las instituciones que en ella existen destinadas a la formación musical.

1.5.1. La Armonía en el mundo

Parece incuestionable que nuestro mundo occidental tiene una nación que ejerce el claro

papel de cabeza del conjunto, me refiero claro está, a Estados Unidos. Como en cualquier período

de la historia, los estudios más avanzados de las artes y las humanidades, como cualquier otra

disciplina, encuentran pronto su lugar, partiendo de su tradición y evolucionando a partir de

ésta, en las paredes de la casa más poderosa. De este modo, no es de extrañar que parta de

esta nación la mayor parte de las directrices de cambio, respecto de la metodología tradicional

(que desarrollábamos en este mismo capítulo, en la sección 1.2 en la página 14).

Así pues, conjuntamente con una encomiable asimilación de las aportaciones que la evolu-

ción de la música popular de cierta entidad, ha aportado a la música académica; los métodos

norteamericanos desde hace varias décadas tienden a una mayor practicidad de sus enseñanzas,

a una mayor ejercitación sonora de las mismas -por lo general sobre el teclado- y a una reflexiónteórica considerablemente menor.

1.5.2. La Armonía entre nuestros muros

Nuestro país, con sus ventajas y sus inconvenientes, no ha ido mal que le pese, nunca a la

cabeza en general, de la investigación, y en particular, en lo tocante a la investigación musical,

menos aún si cabe. Para hacernos una idea, haré un somero repaso de las publicaciones que aún

a día de hoy fundamentan la bibliografía básica de nuestros centros educativos, cuánto haceque llegaron y cuando lo hicieron, con cuánto retraso llegaban desde que habían visto la luz en

otros idiomas. Quizá el libro que ocupaba hasta la fecha las principales referencias en las aulas

de Armonía de nuestra región, fuera el de Armonía de W. Piston, este libro fue publicado por

primera vez por la Norton, en 1941, sin embargo, la primera edición en España, por la editorial

Labor, no llegó hasta medio siglo después, y éste, un libro que cuenta a día de hoy con casi

70 años de antigüedad, es el libro probablemente más utilizado en nuestro país. Otros libros

que también tienen y han tenido una enorme repercusión no han corrido, por desgracia, mejor

suerte; éste sería el caso, por ejemplo del tratado de Armonía y de Funciones estructurales de

la Armonía de A. Schoenberg que nacieron respectivamente, en 1922 y 1954 y sin embargono se pudieron ver en nuestras librerías hasta 1974 y 1990. Y hablamos, obviamente de libros




capitales dentro de lo que se considera la disciplina Armónica a día de hoy, no hablaremos de

los que ni siquiera han llegado a ser traducidos o, depués de haberlo sido, no han encontrado

manera de publicarse.

Bien es cierto, en cualquier caso, que también ha habido teóricos en nuestro territorio

que han sido de notable prestigio (dentro del mismo) y que han contribuido enormemente a ladifusión de principios de otros grandes autores del resto de Europa o América, pero incluso éstos,

que otrora fueran verdaderos adalides de una información innovadora e ilustrativa, después de

pasar más de tres, cuatro o cinco décadas, creo que podemos afirmar que se hayan quedado

algo anticuados. Hablamos, por ejemplo, de Zamacois que publicara en 1945 su primera edición

de su revelador Tratado de Armonía.

De esta forma, podemos resumir que la situación es algo desalentadora, que aunque no faltan

diversos focos individuales (como los casos de Martínez-Oña (1991) y de Sánchez Navarro (n.d.),

que se recogen en nuestra bibliografía en la página ??) que tratan de renovar y modernizar ladidáctica armónica en nuestras aulas, tienen un eco ínfimo y un marco de actuación que, con

frecuencia, apenas alcanza más allá de sus propias clases. Existe muy poco interés por parte

de instituciones que podrían patrocinar su actualización, probablemente por su orientación

hacia un público tan minoritario. Un público que además, acostumbrado a esta situación, la

ha tratado de solventar con su propia iniciativa y sus propios recursos, aunque siempre haya

quedado en esfuerzos y resultados de poca mayor extensión que aislados casos individuales.



Capítulo 2

Fundamentos de esta didáctica

Esta didáctica tiene por finalidad, la incorporación a la teorética armónica de un corpus

de analogías -especialmente de carácter visual- que sirva para construir un método didácticoque responda mejor a las directrices de la pedagogía y de la psicología evolutiva. Para ello,

fundamenta sus principios en los elementos visuales más elementales (como figuras geométricas

sencillas y colores), al tiempo que se apoya en otras conexiones como el movimiento, algo que

en conjunto, contribuirá a favorecer el acercamiento, el manejo y la comprensión de realidades

musicales armónicas, y de esta forma ayudará a incorporarlas a la vida del niño desde una edad

temprana.

De este modo, se persigue el que esta propuesta de significantes quede aceptada y asimilada

en la mente infantil, para partiendo de este punto, poder ir creciendo con él a lo largo de sueducación musical, abriéndole un camino mucho más amplio y prometedor que el que la actual

propuesta educativa le ofrece.

2.1. Música y formas

Es interesante el trabajo llevado a cabo en la Universidad de Illinois (Urbana Champaign)

por tres profesores de la misma, Bergstrom (2007); en este artículo, utilizando una red Tonnetz1,

se propone una visualización de la estructura de la música, de su armonía. Este trabajo no esmás que uno entre los muchos que podríamos encontrar que muestran las conexiones que pueden

señalarse entre la música y entidades visuales derivadas, más que de ningún otro campo, de las

Matemáticas.

Existen, como ya apuntábamos, numerosos estudios que buscan analizar desde el punto de

vista matemático, la realidad musical y que aportan incluso, posibles construcciones bidimen-

sionales (Longuet-Higgins, 1962, Balzano, 1980, Holland, 1987, Clough, 1998, Rappaport, 2007)

y tridimensionales (Bancroft, 1993, Gollin, 1998, Bergstrom, 2007) que sirvieran para explicar

mejor la manera de existir y funcionar de la música. Sin embargo, y he aquí quizá, la verdadera

1Un Tonnetz es un modelo geométrico espacial, bien en dos o bien en tres dimensiones, que representa laspropiedades de un conjunto de sonidos.

27



28 CAPÍTULO 2. FUNDAMENTOS DE ESTA DIDÁCTICA

innovación de estas páginas, ninguna de ellas buscaba más que expresar estas similitudes de

forma descriptivo; observar su funcionamiento y hacerlo aún más patente mediante la muestra

de un conjunto de representaciones acordes. Este trabajo se propone ir más allá, se propone uti-

lizar y desarrollar algunas de estas investigaciones para proponer un método que sea agradable

y ofrezca un avance progresivo a los estudiantes de música, permitiéndoles acceder a realidadesteóricas de elevada complejidad mediante esta especie de adaptaciones visuales geométricas,

nada deleznables.

2.2. Música y color

La primera referencia importante que podemos señalar en relación a la conexión entre música

y color, que se hace en el ámbito de nuestra cultura, corresponde a Isaac Newton2 que en su

tratado Opticks 3 (Newton, 1704) señaló la posible correlación entre estas dos realidades delmundo físico, en base a sus propiedades científicas. De este modo, conectó, en función de su

frecuencia, los sonidos de la escala Mayor, con los colores que aparecían en la naturaleza de

forma natural, los colores del Arcoiris, en función de las longitudes de onda de sus espectros

(así podemos observarlo en la figura 2.2.1 anexa que, aunque no en color, aparecía de tal cual

en la publicación de Newton).

Figura 2.2.1: Disco de la música y color de I. Newton

La fundamentación de Newton, de índole puramente física, es incontestable aunque no por

ello deja de ser algo arbitraria. No obstante, la que vamos a tomar aquí, como base para

elaborar las correlaciones entre combinaciones de sonidos y colores, no se va a fundamentar en

los principios de Newton, sino en principios del campo de la psicología de la percepción. De

2Los diversos estudios de I. Newton quedan explicados con notable claridad, en inglés, en la url:

http://home.vicnet.net.au/~colmusic/opticks1.htm3Este tratado puede ser consultado en internet e incluso descargado en formato pdf en la sección de books

de Google.



2.3. MÚSICA Y MOVIMIENTO 29

esta forma, y no siendo los primeros que utilizamos el color como elemento para coadyuvar

a la comprensión de la música (destaca el memorable caso del compositor A. Scriabin -cuya

propuesta está sintetizada en el círculo recogido en la figura 2.2.2 de abajo- o el más reciente

O. Messiaen) e incluso su uso con fines educativos sobre todo los estudios de Galeyev (1975) y

Vanechkina (1994) que hemos citado en la Bibliografía.

Figura 2.2.2: Círculo de quintas en colores de A. Scriabin

Nuestro trabajo, siguiendo en parte la estela de estos ilustres predecesores, busca conectar

las emociones suscitadas por los colores (siguiendo los trabajos de Warner Schaie (1961) y

D’Andrade (1974)) con las propiedades que, en nuestro caso, dentro del sistema tonal, se leatribuyen a diversos grados y funciones. De este modo, se busca la confección de una didáctica

más asequible y coherente a la mente humana infantil.

2.3. Música y movimiento

Desde Schopenhauer hasta infinidad de autores de la teorética musical -quizá deberíamos

destacar a Dalcroze (1965)- han subrayado la sobresaliente cualidad motora de la música; mu-

chos llegan a afirmar que “la música es movimiento”. De este modo está más que refutado queel uso de esta vinculación puede ser más que fructífera para la enseñanza de la música y no

va a ser aquí donde repasemos todas las enormes aportaciones que esta unión posibilita; entre

otros motivos, porque la conexión que en esta propuesta didáctica se va a exponer va a tomar

apenas los más elementales parámetros y sólo con la finalidad de colaborar con los elementos

que sí se desarrollan, de índole visual.

Así pues, en el último capítulo, en el que se realiza una propuesta de aplicación de este

método didáctico, sí se aportan algunos ejemplos de cómo podría trabajarse y fomentarse el

empleo de coreografías y de determinados movimientos expresivos, sobre todo con un alumnado

de corta edad, para estimular su atención y favorecer la asimilación de las analogías que en eltranscurso de estas páginas van a proponerse.




2.4. Música y texturas

Analizamos ahora la conexión de la música con las texturas, más que por su influencia en el

método didáctico que vamos a exponer en este trabajo, por redondear el círculo sinestésico de

elementos con que hemos relacionado la música y también, por abrir una puerta a la posibilidadde realizar maquetas y utilizar texturas en conjunción a los colores para representar lo mismo

que aquellos y así insistir a través de otro elemento más (aunque hoy día mucho menos fácil de

aplicar y extender), en las propiedades que queramos observar en determinadas sonoridades.

Además, no podemos dejar pasar el importante papel que podría desarrollar esta relación, para

apoyar el aprendizaje de la disciplina armónica en personas con algún tipo de discapacidad

visual.

Investigando en este tema, ha sido sorprendente cómo apenas existen publicaciones que

hayan desarrollado esta relación. Como precedentes señalables, de relativa fecha reciente, po-dríamos mencionar la conexión con la arquitectura que repasaba un artículo de la revista

“Leonardo” en 1993 (Bancroft, 1993) y la general revisión respecto a la música en Braile que

podemos ver en el “Musical Educators Journal” en 1998 (Smaligo, 1998). De esta manera, pare-

ce que la propuesta que en este apartado apenas vamos a esbozar, podría ser de una importante

trascendencia dentro de este campo de la pedagogía, como consecuencia de la escasa aportación

de recursos que existe.

La idea sería tomar las representaciones tridimensionales que se han creado tomando las 12

alturas de nuestro sistema temperado, o sea un Tonnetz tridimensional, como el que proponía

Gollin en su artículo Some Aspects of three-dimensional Tonnetze (1998), dedicado a explicar

espacialmente, sobre todo, las propiedades de los cuatríadas.



2.5. OTRAS POSIBLES VINCULACIONES 31

Figura 2.4.1: Tonnetz tridimensional propuesto por E. Gollin

2.5. Otras posibles vinculaciones

Siguiendo la línea que plantea este capítulo, esta línea de construcción de relaciones sines-

tésicas entre elementos sonoros y elementos de percepción que pertenezcan a otros sentidos

diferentes a la audición, no podemos dejar de al menos enunciar la posibilidad de conectar

también las realidades sonoras a sabores y a olores, siguiendo exactamente los mismos proce-

dimientos de coherencia y justificación para la elaboración de vínculos que hemos seguido en

estas páginas. De hecho, aunque extremadamente atrevido y con escasa o ninguna referencia

que pueda ofrecer una base de comparación para la sugerencia que se aporta en este apartado,es indudable que cualquier colaboración de contenidos abstractos con símiles va a facilitar su

captación, máxime, si estos símiles no son también de tipo abstracto y lingüístico, sino que son

entes perceptibles sensorialmente.

Además, al igual que sucedía con el apartado anterior, esta vía que aquí apenas se esboza,

sería con seguridad, de una enorme relevancia en enseñanzas de carácter especial, con un alum-

nado que tuviera algún tipo de deficiencias sensoriales o motrices, y no pudiera ver o palpar las

analogías de caracter visual o espacial.



Capítulo 3

Los árboles armónicos

Un árbol1 armónico va a servir como un esquema para sintetizar las cualidades de cada

sonido dentro de un conjunto cualquiera, creado en función de sean cual sean los parámetrosa que se quiera atender para su configuración. Del mismo modo, este tipo de abstracción será

también muy práctica cuando se quiera comparar varios conjuntos de sonidos (y las cualidades

de los mismos). Evidentemente, es fácil deducir que dentro del ámbito de la tonalidad tiene una

aplicación aún más obvia, si tenemos en cuenta por ejemplo, las consideraciones funcionales

de la práctica común. De hecho, las explicaciones más extensas y en el campo que más hemos

trabajado con estos “árboles”, ha sido en el de la tonalidad; ahora bien, cabe la posibilidad que

el lector encuentre algunos puntos en los que quizá, difiera con mayor o menor determinación,

sobre algunas consideraciones que aquí se hacen, no creo que huelgue decir que en este trabajono se trata de argumentar la funcionalidad de un grado concreto (que según su contexto es

probable que varíe, obviamente), sino de un modo de esquematizarlo y representarlo como

todo o parte de un conjunto; esta es nuestra intención y ante las leves disensiones que puedan

existir, apelamos al oportuno criterio del lector para adaptar los símbolos y los conjuntos aquí

propuestos, hasta adecuarlos más a su planteamiento teórico y, entonces, si los cree útiles, hacer

uso de esta propuesta de botánica armónica.

Las cualidades se van a representar dentro de los árboles armónicos, haciendo uso de dife-

rentes tipos de grafemas para escribir la cabeza del sonido. Así, por ejemplo, se puede indicar si

una nota tiene tendencia descendente con una grafía que colaborara en este sentido (verbigracia

).

De esta forma, concebida la tonalidad como dos ejes, un eje tendencial (asimilable a la

función de Dominante) y uno no tendencial (vinculado con las tradicionalmente llamadas fun-

ciones de subdominante y tónica), podríamos decir que el eje tendencial comprendería todos

los sonidos que pueden participar dentro de sonoridades tendenciales en el ámbito de una úni-

1La razón para adoptar este nombre para este tipo de representaciones gráficas esquemáticas no es casual,ya que además de que la forma de algunos de estos esquemas recuerdan por su modo de ramificarse a ciertas

manifestaciones vegetales, también la matemática asume este término para nombrar -en la corriente de la Graph Theory - cierto tipo de gráfico. Un gráfico acíclico se denomina un “árbol” y cuando éste aparece conectado conotro u otros, se le llama “bosque” (véase la página 13 y siguientes del libro Graph Theory (Diestel, 2005)).

33



34 CAPÍTULO 3. LOS ÁRBOLES ARMÓNICOS

ca tonalidad, es decir, todas las posibles variantes de la función de dominante que pudieran

contemplarse; mientras el eje no tendencial contaría con el resto de sonoridades, o lo que es lo

mismo, las posibles variantes de las tradicionalmente expresadas como funciones de subdomi-

nante y de tónica. Por consiguiente, los respectivos esquemas de cada eje se denominan árbol

de Dominante y árbol de Subdominante-Tónica, y en conjunto, representan todas las posibili-dades sonoras de una tonalidad concreta, bien circunscritas a unas condiciones (por ejemplo,

estilísticas o cronológicas) o bien de forma genérica. A la yuxtaposición de los dos árboles, la

denominaremos árbol tonal, y será la síntesis de la tonalidad, en cuanto a sus posibilidades, su

discurso y sus características.

3.0.1. Como interpretar y usar los árboles

Los árboles, al contemplar todas las posibilidades de manifestación de una sonoridad, mane- jan algunas que se niegan entre sí. Por ejemplo, no podremos usar, al mismo tiempo, una nota

alterada y esta misma nota en su estado normal, esto queda reflejado en los árboles mediante

la bifurcación de sus ramas. De esta forma, cuando desde una nota más grave procedemos de

forma ascendente hacia las siguientes posibilidades, sólo podremos optar a las notas que estén

aledañas a la que partimos; o sea, yendo hacia arriba y o bien, simplemente encima o bien

en la línea vertical contigua a la derecha o a la izquierda (ej. tener que elegir entre la novena

mayor o la novena menor en un acorde de Dominante de un tono mayor -véase la fig. 3.1.1 en la

página 37 que representa un árbol de Dominante-). No podremos “saltar”, por decirlo de algúnmodo, a una nota que se halle más allá de las verticales contiguas a la que está la nota desde

la que estamos.

De un modo similar, en un nivel horizontal, se podrán tomar varias notas si no están

adyacentes y tienen separándolas, al menos una, que no se podrá elegir; siempre que se proviniera

desde el centro del árbol, que permite optar a ambos lados de una trifurcación (ej. tomar la

quinta en más y en menos, pero no la quinta natural -Cf. esquema del árbol de Dominante

representado en la fig. 3.1.1 en la página 37-).

3.0.2. Grafías de los árboles armónicos

Según se aprecia en la figura 3.0.1, en los símbolos habría dos clases principales: los rellenados

o negros y los huecos o blancos. Los blancos son aquellos que son propios del modo Mayor (que

tomamos como base) o son notas alteradas. Los negros son sonidos tomados de escalas diferentes

al modo Mayor, casi siempre provendrán del modo menor, pero también encontraremos entre

ellas la sensible de la dominante, por ejemplo. Un caso especial, de este segundo tipo es el

segundo grado rebajado (que será la fundamental del acorde de sexta napolitana) que por su

tradicional disposición en primera inversión, se indicará en los árboles mostrando la nota (conuna cabeza triangular rellena que marque su tendencia descendente) entre paréntesis.



35

Otra peculiaridad de la simbología escogida es que usa cabezas con líneas (una o dos)

verticales a los lados, para destacar los sonidos que constituyen los grados tonales: I, IV y V.

Tónica Dominante Subdominante

Sensible Supertónica Superdominante

Sensible de ladominante

Subtónica (nota delárea de la

subdominante)

Superdominante delmodo menor

Mediante Mediante del modo

menorNota alterada con

tendencia ascendente

Nota con tendenciadescendente

Nota con tendencia

descendente de otromodo

Nota alterada contendencia descendente

Figura 3.0.1: Grafías de los árboles armónicos

3.0.3. Estados de crecimiento de un árbol

Podemos reconocer esencialmente, tres fases o niveles de expresión de estos esquemas que

llamamos árboles, que corresponderían hasta cierto punto con la evolución cronológica histórica

de la tonalidad, pero más bien, con la organización y distribución progresiva de contenidos quese utiliza en la enseñanza y práctica académica de la disciplina armónica. Por lo tanto, en un

comienzo los árboles, como esquema de posibilidades conocidas, son apenas un testimonio de

lo más elemental y van creciendo conforme va aumentando el conocimiento en la materia, del

alumnado.

De este modo, el primer nivel contendría la base o tronco de los dos tipos de árboles que

aquí vamos a estudiar; es fácil de deducir, se contaría básicamente con las notas propias de las

escalas de cada modo; la escala mayor natural, en el modo Mayor, y las escalas menor melódica

y armónica, en el modo menor, que participan de cada una de los dos tipos de sonoridades:

tendencial o de Dominante, y no tendencial o de Subdominante. Así pues, en el cuadro 3.1vemos la versión de los primeros árboles con que los alumnos nóveles habrían de enfrentarse.

Tipo de árbol Modo Mayor Modo menorÁrboles de

Subdominante-Tónica

Árboles de

DominanteCuadro 3.1: El tronco de los árboles armónicos




En un segundo estadío, se añadiría las notas tomadas de otros modos, así como la posibilidad

de la novena (mayor y menor) para el acorde de dominante y, consecuentemente, también para

la formación del séptima disminuida y del séptima de sensible; el segundo grado rebajado para

construir el acorde napolitano y la sensible de la Dominante con que elaborar los acordes de

Dominante de la Dominante. Éste podríamos decir que sería el estado de madurez de los árboles,cuyo resultado queda reflejado en el cuadro 3.2 de abajo.

Tipos deárboles Modo Mayor Modo menor

Árboles deSubdominante-

Tónica

Árboles deDominante

Cuadro 3.2: Árboles armónicos en estado de madurez

Por último, contaríamos con la adicción de la subtónica -que se interpretaría más como

una referencia al área de la subdominante, que como una nota verdaderamente propia de esta

tonalidad- y de las notas alteradas en más y en menos. Con esto tendríamos los árboles armó-

nicos completos que será con los que vamos a trabajar en las próximas páginas, describiendo

específicamente sus características y su configuración en los apartados 3.1 y 3.2.

3.1. El árbol de Dominante

El árbol de dominante recoge todas las posibilidades sonoras armónicas que pueden existir

dentro de un tono, que tendrían función de Dominante; es decir, sonoridades que colaboran a

reafirmar el papel de tónica del primer grado. Como podemos observar en la figuras 3.1.1 y

3.1.2 de más abajo, en un árbol de Dominante de una tonalidad mayor o menor, casi todas las

notas que aparecen en la sonoridad de dominante son tendenciales, por este motivo tienen lagrafía triangular que apunta, según es conveniente, ascendente o descendentemente. De hecho,

sólo unas pocas de las notas que aparecen en este tipo de árboles no tienen obligatoriedad a la

hora de resolver.

Por otra parte, el sonido que está representado por un rombo relleno, que correspondería

con el VII rebajado (el grado natural en el menor), implicaría un área de subdominante, ya que

la negación de la sensible es, innegablemente, un indicativo de flexión armónica. Sin embargo,

dado que tanto la Dominante como esta supuesta área de subdominante (aunque de muy

diferente forma, eso está claro) tienen tendencia hacia el eje Subdominante-Tónica, por eso

ha sido incluida esta nota, en este árbol. No obstante, conviene recordar que estos árbolesson ejemplificaciones de cómo se podría trabajar y que lo importante es la manera nueva de



3.1. EL ÁRBOL DE DOMINANTE 37

esquematizar, más que uno u otro autor puedan o no coincidir con el resultado que aquí se

ofrece; puesto que en definitiva, bastaría adaptar el esquema a las condiciones que se crea más

satisfactorias.

Si nos fijamos, podremos deducir que hay dos sonidos que específicamente, nunca podrían

estar dentro de este árbol, se trata, a un lado, de la nota tónica a la que estas sonoridadesvan a apuntar, y a otro lado, la sensible de la dominante, que apunta hacia la fundamental del

acorde y por tanto, tampoco podría jamás tener sitio aquí. Es llamativo que estas dos notas

estén, precisamente, a distancia de tritono2

3.1.1. El árbol de Dominante de un modo Mayor

Cuenta con once notas, si bien, como se puede apreciar en el ejemplo ilustrativo en la

tonalidad de Do Mayor, en realidad sólo son diez sonidos3

dado que dos son enarmónicas(en este caso el sib y la#); se trata de el III’ del menor y la 5ª alterada ascendentemente.

Fuera de este detalle, vemos que el tronco estaría constituido por el acorde de séptima de

Dominante y que tendría ramificaciones a la derecha y a la izquierda; hacia la derecha estarían

las posibilidades propias del mayor y sus notas alteradas ascendentes, y hacia la izquierda las

tomadas, normalmente, del menor, así como las notas alteradas descendentes.

Figura 3.1.1: El árbol de Dominante de Do Mayor

3.1.2. El árbol de Dominante de un modo menor

Los árboles del modo menor surgen partiendo del modelo del modo Mayor, por eso, mantienecon grafemas rellenos las notas propias del modo menor (como la novena menor o el III de este

modo). Básicamente, como se muestra en la figura 3.1.2, los árboles de Dominante de una

2Este detalle, el que estén a distancia de tritono los dos sonidos imposibles para una sonoridad de dominante,será un elemento de apoyo a la hora de visualizar este tipo de esquemas en el Espiropentagrama, ya que,como veremos más adelante, estos dos sonidos están representados en puntos diametralmente opuestos de lacircunferencia, con lo que formarán una especie de diámetro hueco que dividirá como en dos mitades, los puntosde representación de los sonidos participantes: cinco y cinco en la representación del árbol de Dominante delmodo Mayor (exactamente la misma forma que el modo 7 de transposiciones limitadas de Messiaen, comopodemos ver en el apartado 5.2.1.7 en la página 79) y cuatro y cuatro en el del modo menor (véase la fig. 6.3.2

en la página 119, para una mayor comprensión de estas palabras).3Las únicas dos notas que no quedan asumidas en este corpus son: la sensible de la dominante y la propia

tónica de la tonalidad en la que esta sonoridad tendrá una función tendencial.




tonalidad Mayor y menor cuentan con un mismo tronco (el acorde de Dominante con séptima)

y las ramificaciones de la parte izquierda, careciendo el menor de las de la derecha (que incluyen

las notas alteradas ascendentes o las notas propias como la novena mayor o el III propio del

modo Mayor).

Figura 3.1.2: El árbol de Dominante de La menor

3.2. El árbol de Subdominante-Tónica

Este árbol va a servir para esquematizar las posibilidades de combinaciones de sonidos

que va a tener una tonalidad, formando sonoridades que van a desempeñar los papeles de

Subdominante y de Tónica dentro del discurso armónico; o sea, no van a tener tendencia a

ninguna tónica, ni van a colaborar a su confirmación, como sucedía con las sonoridades con

función de Dominante. Sólo hay un sonido imposible para este árbol, que es la sensible, la nota

propia de la sonoridad de Dominante. Asimismo, este árbol contaría con dos sonidos exclusivos(aunque no imprescindibles, como sucediera con la sensible, el sonido exclusivo de la sonoridad

de Dominante): la tónica y la sensible de la Dominante.

3.2.1. El árbol de Subdominante-Tónica en un modo Mayor

Este árbol en el tono Mayor, como podemos ver en la figura 3.2.1 -en la representación más

completa de su árbol-, posee once de los doce sonidos (recordemos que además de los propios

de su escala, toma sonidos de la escala homónima menor) e incluso tres de ellos los posee envarias de sus lecturas o enarmonías; en el caso de Do Mayor que vemos en la figura de abajo,

son do# o reb, re# o mib y fa# o solb .

Figura 3.2.1: El árbol de Subdominante-Tónica de Do Mayor



3.3. EL ÁRBOL TONAL 39

3.2.2. El árbol de subdominante-tónica en un modo menor

Tiene dos diferencias principales, sin tener en cuenta los sonidos alterados, con el árbol de

Subdominante-Tónica del modo Mayor, que carece del III propio del modo Mayor y que su VI<

posee una tendencia ascendente, propia de las escalas dórica y melódica en las que se justifica,

que no se manifestaba en aquella versión. No obstante, vemos que también tiene once sonidos

-en esta representación completa que cuenta con sonidos alterados- y que carece únicamente

de la sensible entre sus posibilidades. Tal y como pasaba en el árbol propio del modo Mayor,

también aparecen tres enarmonías en este árbol; en la menor, que el árbol que se muestra en

la figura que ilustra este apartado, serían do# o reb, re# o mib y la# o sib.

Figura 3.2.2: El árbol de subdominante-tónica de La menor

3.3. El árbol Tonal

Como síntesis de los dos, tenemos esta construcción que muestra en dos pentagramas ambos

árboles: el de Subdominante-Tónica encima, y el de Dominante debajo. Pretende ser un esquema

visual de las posibilidades que ofrece en conjunto, una tonalidad, mostrando con qué sonidos

cuenta (que son todos) y cómo se comportan.

3.3.1. El árbol Tonal en un modo Mayor

Ésta sería la síntesis de posibilidades armónicas de un modo Mayor, tanto en sus variantes

con función de Dominante, como en las de Subdominante o en las de Tónica. En la figurasiguiente se muestra el árbol Tonal de Do Mayor.




Figura 3.3.1: El árbol Tonal de Do Mayor

3.3.2. El árbol Tonal en un modo menor

Con este tipo de árbol representamos las posibilidades de combinación sonora que tienen

todos los sonidos que son posibles en un modo menor, en cualquiera de las tres funciones:

Dominante, subdominante o tónica. Para ilustrarlo, en la figura de abajo se presenta el árbol

Tonal de la menor.

Figura 3.3.2: El árbol Tonal de La menor

3.4. Otro tipo de árboles

Los árboles son simplemente una manera de organizar, una concreción simbólica de una

taxonomía. De esta forma, el que aquí se haya expuesto y se vaya a trabajar con ellos (especial-mente en el apartado dedicado a la modulación en la página 117), no quiere decir que no exista



3.4. OTRO TIPO DE ÁRBOLES 41

la posibilidad de aplicar la noción de atribuir unas cabezas de notas y distribuir espacialmente

en el pentagrama un complejo de sonidos con el fin de indicar su idiosincrasia. Así pues, a modo

de ejemplo, vamos a mostrar otro esquema de trabajo.

3.4.1. Un árbol para la realización contrapuntística

Figura 3.4.1: Un árbol para la realización contrapuntística

El árbol que vamos a ofrecer a continuación, analiza todas las posibilidades que pueden

ofrecerse, siguiendo los principios del contrapunto renacentista del s. XVI, para construir dos

contra-melodías, o sea, dos líneas de contrapunto, para una nota dada cualesquiera (la nota

dada -que pertenecería a un Cantus Firmus completo-, en la ilustración 3.4.1 de arriba, sería

la representada en el centro como ). De hecho, teniendo en cuenta que los acordes que se

pueden utilizar en esta etapa histórica son únicamente los tríadas, podríamos decir que resume

las posibilidades del contrapunto de este período.

Para ello utiliza dos tipos de cabezas: las rectangulares y las elipses y dos tipos de relleno:blanco y negro. La base de inteligibilidad de este árbol descansaría en la oposición de estos dos

rangos diferenciales, y su aplicación respondería a las siguientes normas:

1. Sólo se puede escoger una figura negra: el rectángulo o la elipse; pero sí dos figuras blancas.

2. Sólo se puede escoger una figura geométrica: una elipse y un rectángulo.

3. Las figuras negras producen faltas, vigilaremos su llegada desde y salida a una figura de

otra especie (puesto que no pueden repetirse estas figuras negras para dos notas consecu-tivas dadas).

4. El rectángulo negro entre paréntesis no se puede utilizar como bajo.

5. La elipse negra entre paréntesis no se puede utilizar si la nota dada está en el bajo.

6. La elipse blanca con el cierre del paréntesis no puede ser bajo en simultáneidad con el

rectángulo blanco.

7. El cuadrado negro con la apertura de paréntesis no puede utilizarse de estar a una 5ª

disminuida de la nota dada cuando dicha nota actúe como bajo.




8. Se puede utilizar la nota dada una 8ª por encima o por debajo, pero es preferible evitar

hacer esto y se tratará tal y como una nota negra.

9. Para empezar y terminar se utilizará únicamente la nota dada en unísono o a la 8ª superior

o inferior.



Capítulo 4

El Espiropentagrama

Figura 4.0.1: Espiropentagrama mudo

Basándose en la ordenación del conjunto de sonidos musicales en una disposición circular,

que nos daba un círculo cromático de sonidos, se elabora este dispositivo que permite leersobre un pentagrama construido describiendo una espiral irregular, los sonidos de la escala

43



44 CAPÍTULO 4. EL ESPIROPENTAGRAMA

cromática. Es obvio que sería una versión musicalizada de los diagramas de reloj con que

entre otros ya han trabajado, como Solomon (1997) y Rappaport (2007). En la figura 4.0.1

en la página anterior podemos ver una versión muda del mismo, en el que no aparecen las

alteraciones que podrían servir de guía, para permitir su utilización con cualquier clave musical.

Se añaden dos circunferencias marcadas en líneas discontinuas, que pueden ayudar a observarel funcionamiento de la herramienta en su futura disposición sobre una base circular1.

Figura 4.0.2: Espiropentagrama en clave de sol

Como podemos ver en la figura 4.0.2, la apariencia del Espiropentagrama cuando se le

añaden las alteraciones -lo que obligaría a una lectura en clave de sol en 2ª línea, en este caso-

para servir de guía en su manejo. La idea central de este instrumento es servir a la transposición

de sonidos, ya que a cada giro de 30o, una nota cualesquiera dispuesta sobre él, comporta una

1El tamaño del Espiropentagrama viene a ser de las medidas de un disco CD o DVD estándar (aproxi-madamente 12 cm de diámetro), de esta forma, para hacer más operativo el instrumento, asentaríamos elEspiropentagrama como fondo inferior en una caja vacía de cedés (de las llamadas tarrinas ), como base sobre

la que iríamos añadiendo las transparencias que servirían para operar en él, aprovechando tanto el eje central,como, en general, la forma del contenedor de plástico para maniobrar y almacenar mejor las construcciones queelaboremos.



45

relectura de la misma con un cambio de un semitono. Si el giro se realiza en sentido de las agujas

del reloj, se producirá en sentido ascendente y si es al contrario, en sentido descendente. Al

mismo tiempo, vemos que las alteraciones describen dos posibilidades de lectura, a una distancia

de séptima aumentada; esto servirá para poder atender a las posibilidades de enarmonía más

frecuentes, de un mismo sonido.

Figura 4.0.3: Plantilla de un sonido

De esta forma, teniendo una plantilla de un sonido cualesquiera -y su enarmonía- (véase la

figura 4.0.3 de arriba), al colocarlo sobre el Espiropentagrama daría lugar a las figuras 4.0.4

y 4.0.5 que muestran cómo funcionaría el Espiropentagrama, sometiendo a una nota y a suenarmonía a todos los giros posibles, comenzando desde do / si#.




Figura 4.0.4: Las notas en el Espiropentagrama (a)



47

Figura 4.0.5: Las notas en el Espiropentagrama (b)




Según podemos observar en las ilustraciones, cada sonido (así como su enarmonía) está

distribuido en una de las dos circunferencias concéntricas, que no son visibles, que van cruzando

la espiral irregular en la que se inscribe el pentagrama, de forma que da lugar a los diferentes

sonidos según se van produciendo los giros. Para servir de guía, sobre todo cuando se comparan

conjuntos de varios sonidos, se añade una tercera circunferencia concéntrica más pequeña,también invisible, en la que se marca la presencia de un sonido en el esquema. Esto permitirá

una mejor observación de las coincidencias entre sonidos –indistintamente a que sean un sonido

enarmónico o el mismo-, cuando se comparen varios conjuntos, superponiendo plantillas. En la

figura 4.0.6 que vemos a continuación, se muestran estas tres circunferencias, que normalmente

no veríamos, en el Espiropentagrama con un acorde y estas marcas de apoyo.

Figura 4.0.6: Las tres circunferencias del Espiropentagrama

Esta última línea también será de gran ayuda para poder observar las figuras geométricas

(véase apartado 5 en la página 57) a que dan lugar los acordes al representarse sobre el círcu-

lo cromático. En las páginas siguientes, cuando tratemos cada uno de los acordes tríadas ycuatríadas, veremos cómo en el ejemplo se marca, con líneas discontinuas, el polígono inscrito



4.1. LAS MARCAS DE PRESENCIA 49

determinado, en dicha circunferencia interior sobreentendida, por las marcas de presencia.

4.1. Las marcas de presencia

Las marcas de presencia son unos elementos de apoyo que aparecen en la circunferenciainvisible interior del Espiropentagrama (véase la figura 4.0.6 en la página anterior).

4.1.1. De orden melódico

Cuando la finalidad de un gráfico es trabajar con un motivo melódico, entonces lo ideal

sería utilizar números que marquen su secuencia de aparición. Pongamos por caso un motivo

melódico como el siguiente:

Este motivo tendría la siguiente conversión al Espiropentagrama:

Figura 4.1.1: Marcas de orden melódico




Como podemos imaginar, este modo de trabajo será muy útil para desarrollar imitaciones y

otras manipulaciones de orden melódico; siendo de especial utilidad en métodos compositivos

que sean eminentemente horizontales como el dodecafonismo. Así podemos verlo en el capítu-

lo 7, Aplicaciones del Espiropentagrama, en el apartado de Procesos contrapuntísticos en la

página 107.

4.1.2. De orden armónico

Para trabajar dentro del campo armónico, nuestra propuesta trabaja con los llamados ár-

boles armónicos y es, especialmente dentro de este ámbito donde la aplicación de las marcas

de presencia cobra mayor importancia. En este sentido, son símbolos geométricos de seis tipos

diferentes según el tipo de árbol en el que aparecen y el papel que desempeñan en él. Atendiendo

a la figura 4.1.2 veríamos que son ocho categorías:

a) notas del árbol Subdominante-Tónica de la tonalidad de partida,

b) notas del árbol de Subdominante-Tónica de la tonalidad de llegada,

c) notas del árbol de Dominante de la tonalidad de partida,

d) notas del árbol de dominante de la tonalidad de llegada,

e) sensible de la tonalidad de partida,

f) sensible de la tonalidad de llegada,

g) subtónica de la tonalidad de partida y

h) subtónica de la tonalidad de llegada.

a) b) c) d) e) f) g) h)

Figura 4.1.2: Marcas de presencia en los árboles armónicos

Las diferentes formas de cada una de ellas tienen como finalidad el hacer más sencilla

la comparación; aparecen huecas las figuras que remiten a los árboles de partida y rellenas

aquellas que pertenecen a los árboles de llegada. Los hexágonos pertenecen a los árboles de

Subdominante-Tónica y los círculos y cuadrados a los árboles de Dominante.

Estas marcas van a tener dos funciones:

servir de vértices para los polígonos, representaciones de los acordes posibles en cualquier

caso, que los conjuntos de sonidos podrán contener.

marcar los sonidos (del grupo de doce posibles) que aparecen en el conjunto y ayudar asu comparación con otros conjuntos.



4.2. MANEJO DEL ESPIROPENTAGRAMA 51

4.2. Manejo del Espiropentagrama

Para manejar el Espiropentagrama, lo que habría de hacerse sería construir, a partir de

láminas transparentes, plantillas circulares que sirvan para el propósito concreto de estudio.

Dado que de manera intencionada el Espiropentagrama tiene las mismas dimensiones que undisco compacto, se puede utilizar uno cualquiera para utilizarlo como modelo -o incluso, direc-

tamente y sin tener que preparar nada, usar alguno de los separadores de plástico transparente

que algunas cajas llevan-. Sobre esta lámina escribiríamos con rotuladores indelebles o perma-

nentes aquello que queramos utilizar en varias ocasiones y, con rotuladores no permanentes,

observaciones sobre casos particulares que podremos borrar tan pronto hayamos acabado de

estudiar dicho caso.

4.2.1. Un caso práctico

Más adelante, en el capítulo 6 (página 105) dedicado a las aplicaciones del Espiropenta-

grama, se explica con una especial atención su beneficio para el estudio de la modulación

(apartado 6.3 en la página 117). Así pues, se utilizan los árboles armónicos (de los que hablá-

bamos en el capítulo 3 en la página 33) proyectados sobre el Espiropentagrama; para hacerlo,

situaremos una lámina transparente circular de las mismas dimensiones que el Espiropenta-

grama sobre el mismo, e iremos escribiendo con un utensilio de escritura resistente al roce lossonidos que aparecen (empleando las cabezas de nota que se proponía para los árboles armó-

nicos, evidentemente). Así, lograremos tener las plantillas de los diferentes árboles armónicos

de las tonalidades de partida y de llegada. Una vez hecho esto, cuando estemos utilizándolos

y comparándolos, es posible que queramos señalar algunos sonidos en concreto que queramos

que participen o que hayamos escogido, o las figuras que representen los acordes que pueden

participar en el proceso. En ese momento utilizaremos rotuladores normales, que no se queden

fijados sobre la lámina transparente para que, de esta forma, podamos no perder las reflexiones

que hemos realizado para este ejercicio y además, cuando hayamos acabado, poder borrar todasestas marcas accesorias y variables según el caso particular, utilizando simple y comodamente,

un pañuelo de papel.

4.3. Otras propuestas próximas

En esta sección, comentaremos dos utensilios de aspecto similar al Espiropentagrama y que

también ofrecen interesantes aportaciones dentro de la teorética y la práctica musical armónica,analítica e incluso interpretativa.




4.3.1. Simple clock calculator de Larry J. Solomon

Figura 4.3.1: Simple Clock Calculator para el análisis teórico de Conjuntos de sonidos

El Clock Calcutator2 se trata de una circunferencia dividida en doce partes que, como en el

Espiropentagrama, representarán los doce sonidos del sistema temperado y ordenados también

de la misma forma, cromáticamente (así queda reflejado en la figura 4.3.1 que veíamos arriba).

Este utensilio, verdaderamente próximo al que en estas páginas se ha explicado, se ha pensado

con una finalidad expresa, facilitar el análisis de música serial, sirviendo como ayuda para

obtener la Prime Form de Forte y su set name, determinar los subconjuntos de un conjunto de

sonidos, analizar series, calcular vectores interválicos y una forma de catalogar los sonidos de

una sonoridad que el autor denomina la Solomon prime.

4.3.1.1. Diferencias con el Espiropentagrama

Existen dos diferencias principales entre el Clock Calculator y el Espiropentagrana: la ma-

nera de anotar las alturas de los sonidos y su finalidad.

Mientras el dispositivo ideado por Solomon expresa las alturas mediante los nombres de

las notas (concretamente siguiendo la nomenclatura inglesa), como bien hemos comprobado, el

Espiropentagrama lo hace utilizando un pentagrama en Espiral que permite su lectura como

sonidos en una partitura.

Por otra parte, la finalidad, el Espiropentagrama está pensado como una herramienta abierta

en la que se pueden estudiar y comparar las propiedades de cualquier conjunto de sonidos,

2Los datos aquí explicados sobre el Clock Calculator se han extraído de la páginas web Solomon’s Music

Resources realizada por el autor, que tiene por URL http://solomonsmusic.net.

http://solomonsmusic.net/

http://solomonsmusic.net/



4.3. OTRAS PROPUESTAS PRÓXIMAS 53

elegido en base a cualquier criterio. El Clock Calculator, por su parte, tiene como objetivo la

música serial (aunque pueda servir, ciertamente, para otras cuestiones), algo que también es

posible observar en el Espiropentagrama; de hecho, siguiendo el modelo propuesto por Solomon,

ha sido explicada esta aplicación de la herramienta propuesta en estas páginas, en el apartado 6.4

en la página 154.

Aparte de estas dos diferencias capitales, también hemos de tener en cuenta que el Es-

piropentagrama, más que servir como guía indicativa de un conjunto de sonidos, atiende a

las figuras poligonales que surgen al situarse los sonidos sobre él, de forma que es en función

de estos polígonos de donde se extrae toda una concepción didáctica que pretende formar al

alumno e integrarlo en este lenguaje simbólico, con la finalidad de facilitarle su comprensión,

desde su fase de iniciación en los estudios musicales hasta las más evolucionadas. Además, el

Espiropentagrama tiene en sí mismo una forma dinámica -no estática o predeterminada- que

le va a permitir evolucionar con el alumno en función de sus conocimientos y sus necesidades,

y no aportar, únicamente, ayuda a un asunto concreto e invariable, propio exclusivamente de

un estadío avanzado de instrucción musical.

4.3.2. La Rueda Armónica de Luis Nuño

Se trata de un dispositivo principalmente orientado a su aplicación en el campo de la impro-

visación3 especialmente en la música de Jazz; no obstante, tal y como afirma su autor, puede

utilizarse en música occidental de diversos estilos, con bastante provecho. Se basa en el uso de

unas plantillas preestablecidas que al girar, aportan al usuario posibilidades de escalas, acordes,

arpegios que aplicar según le pueda interesar, bien sobre un determinado acorde o tonalidad, o

bien para enlazar entre dos diferentes.

La construcción de esta “Rueda Armónica” se fundamenta en cinco círculos de quintas

concéntricos, expresados en un mismo plano, sobre el que se dispone una lámina transparente

que, utilizando algunas líneas, colores y números, indican los acordes, escalas, etc.

3Aunque la Rueda Armónica ya muestra sus posibilidades orientadas a la improvisación, es más bien otroaparato de similares caracterísiticas, llamado Improchart , también ideado por este autor, el que va a estar másdestinado a estos menesteres.




Figura 4.3.2: La rueda armónica

Las aplicaciones de la Rueda Armónica, según nos explica en las instrucciones que acompa-

ñan a la misma, su autor, serían las siguientes:

1. Identificación de notas enarmónicas;

2. Notas consonantes con respecto a una nota concreta y acordes Mayores y menores, au-

mentados y de séptima disminuida que la contienen;

3. Notas constituyentes de acordes tríadas Mayores, menores, aumentados y de séptima

disminuida;

4. Tonalidad mayor y menor que se corresponden a una armadura con un número determi-

nado de alteraciones;

5. Notas propias de una escala Mayor o menor;

6. Acordes propios tríadas y cuatríadas de los grados de una escala Mayor o menor;7. Acordes propios de una escala que contienen una nota;



4.3. OTRAS PROPUESTAS PRÓXIMAS 55

8. Acordes cercanos (con más notas dentro de la escala) y lejanos (con ninguna nota dentro

de la escala) respecto de una tonalidad;

9. Transporte de secuencias de acordes a otra tonalidad del mismo modo, o adaptación a su

modo opuesto.

4.3.2.1. Diferencias con el Espiropentagrama

Como primera cuestión que podemos resaltar tras comparar estos dos dispositivos, tendría-

mos el hecho de que la Rueda Armónica, según se anuncia en sus propias instrucciones adjuntas,

no requiere de conocimientos musicales ya que todo queda escrito con los nombres de las notas.

Sin embargo, el Espiropentagrama da los nombres de los sonidos representándolos tal y como

se hace en las partituras, esto es, utilizando cabezas de notas que coloca sobre un pentagrama.

Otra diferencia que también se percibe a primera vista al echarle un vistazo a estas dosherramientas, es que mientras la Rueda Armónica se basa en el círculo de quintas, el Espiro-

pentagrama lo hace en el círculo cromático. Asimismo, el Espiropentagrama sólo dispone los

sonidos en una única línea circular, mientras la Rueda Armónica hace uso de cinco circunfe-

rencias concéntricas que disponen las notas sobre doce radios (esto sí sucede igual en ambos

casos), estando las notas del mismo radio distantes una tercera menor descendente conforme

la circunferencia es más externa. Esto lo hace así para aprovechar la relación de las notas que

estarían de forma diagonal en la circunferencia adyacente externa, en el siguiente radio a la

derecha (notas a un intervalo de tercera mayor ascendente conforme nos separamos del centrode las cinco circunferencias), y así construir los acordes mayores, por ejemplo.

Por otra parte, una vez señaladas las divergencias más notables en la forma de construirse,

sería el momento de señalar las diferencias en cuanto a finalidades. Mientras la Rueda Armónica

pretende ser una herramienta que aporta unos resultados en el momento y no tiene finalidades

pedagógicas, ni colabora a la mayor comprensión de las sonoridades ilustrando sus propiedades o

sus relaciones. El Espiropentagrama busca conectar figuras geométricas y colores con el aspecto

sonoro de determinados conjuntos de sonidos, sin embargo, la Rueda Armónica no tiene en

cuenta ningún tipo de elemento geométrico ni las posibilidades de la policromía, dentro de sus

resultados o sus acciones.

Otra importante cuestión a señalar es cómo mientras la invención de Luis Nuño aporta todos

sus resultados desde la misma plantilla única, sin atender a una posible evolución del usuario

respecto del dispositivo, o adaptarse a la necesidad que tenga el usuario en cada momento.

Este hecho de usar una única plantilla es más cómodo pero al mismo tiempo resulta en una

mayor complejidad y perjudica un tanto su manejo. El Espiropentagrama, por el contrario,

está contemplado como una base sobre la que cada uno pueda confeccionar las plantillas que

necesite en función de sus conocimientos y de sus intereses. Incluso, en definitiva, podríamos

decir que el Espiropentagrama tiene como objetivo abandonar el plano físico y quedar asimiladoen el nivel intelectual del sujeto, para que así pueda ser utilizado subliminalmente, sin requerir




tener el objeto en sí.



Capítulo 5

Representaciones poligonales de las

sonoridades

El uso de las representaciones poligonales de conjuntos de sonidos, como los acordes, nos

va a aportar un acercamiento y comprensión mucho más profundos de sus propiedades y ca-

racterísticas, dado que los polígonos a que vamos a adscribir cada acorde no sólo comparten

la mayoría de ellas, sino que van a hacerlas aún más patentes con su morfología. Asimismo,

será más sencillo entender aspectos complejos de los conjuntos sonoros con que habitualmente

trabaja la música occidental, al asimilarlos a la problemática de la geometría más básica con

la que todos, desde niños, estamos más familiarizados.

El aspecto básico elemental que fundamenta esta representación geométrica de los acordes,es la proporcionalidad que existe entre las distancias que se dan a nivel acústico y las que se

pueden observar al proyectarlas como cuerdas1 -que serán los futuros lados de los polígonos-

de una circunferencia en un espacio bidimensional. Para ejemplificar este hecho, analicemos el

ejemplo del acorde perfecto menor sobre el Espiropentagrama (podemos ver claramente como

el segmento que correspondería con el intervalo

No sería injusto atribuir gran mérito de la popularidad que este tipo de representaciones

tienen en la actualidad a los trabajos de David Rappaport (Rappaport, July 31 - August 3

2005)

5.1. Consideraciones preliminares de las figuras

En este apartado queremos reflexionar hacia ciertos elementos que van a ayudar a entender

mejor qué hace que las figuras sirvan como medio icónico para una observación más rápida de

las posibilidades de un conjunto de sonidos (escala, acorde, etc.) cualesquiera.

1Entiéndase la acepción propia del campo de la Geometría que recoge el Diccionario de la RAE de estamanera: Segmento de recta entre dos puntos de un arco.

57



58 CAPÍTULO 5. REPRESENTACIONES POLIGONALES DE LAS SONORIDADES

5.1.1. El diámetro: el tritono

Figura 5.1.1: El tritono representado como un diámetro

Cuando un conjunto de sonidos presenta dos o más pares de notas en el lado opuesto

de la circunferencia2, o lo que es lo mismo, uno o más pares de puntos que permiten trazar

diámetros, podremos deducir que un conjunto cualesquiera de sonidos, representados enel Espiropentagrama, tiene tantos tritonos como diámetros posibles pueden trazarse en

la circunferencia imaginaria en la que están representados.

De esto también se puede deducir, aplicando conocimientos básicos de geometría, que a

cada vez que observemos la aparición de uno o varios ángulos cuya suma o valor, sea de 180 º,

estaremos ante la existencia de un tritono. En tanto en cuanto, el tritono es una de las marcas

principales que definen la tonalidad, desempeñando un papel especial dentro de los acordes con

2Para hallar un diámetro podría usarse cualquiera de las tres descritas en el apartado 4 en la página 43, pero

se observará mejor en la interior, que tiene las marcas de referencia y representa en la misma circunferencialos sonidos, sin atender a las diferencias enarmónicas, que sí contemplan las otras dos y que podrían llevar aconfusión.



5.1. CONSIDERACIONES PRELIMINARES DE LAS FIGURAS 59

función de dominante, cuando aparece un tritono podríamos deducir, algo osadamente quizá,

pero cierto, que cualquier acorde que cuente con un tritono puede tener función de dominante

y por tanto, servir para determinar una tonalidad. Si además atendemos a las posibilidades

enarmónicas, entonces podríamos añadir que, dado que cualquiera de los sonidos que se haya

a la derecha (en sentido de las agujas del reloj) de los extremos del diámetro, puede ser latónica de una nueva tonalidad, con lo que al mismo tiempo hablaríamos de dos y hasta cuatro

tonalidades posibles, cada vez que aparece un tritono o, lo que es lo mismo, su representación

como diámetro en el Espiropentagrama.

5.1.2. Un cuadrante: la tercera menor

Figura 5.1.2: La tercera menor como un lado del cuadrado

Este intervalo puede reconocerse también muy fácilmente en el Espiropentagrama porque

tiene la forma de una cuerda, geométricamente hablando, que se corta en dos puntos de lacircunferencia con una separación de un ángulo de 90º, o sea, tal y como si fuera un lado




de un cuadrado que quedara inscrito dentro de una circunferencia. De esta manera, es fácil

entender que un acorde disminuido contará con dos lados del cuadrado y un acorde de séptima

disminuida no será otra cosa que un cuadrado exacto (véase fig. 5.4.13 en la página 95).

5.1.3. Los ejes de simetría: propiedades, inversión y transposiciónlimitada

En primer lugar hemos de distinguir que, según su situación respecto de un polígono cual-

quiera, hay tres tipos posibles de ejes de simetría:

a) el que no pasa por ninguno de los vértices de la figura;

b) el que pasa por uno de los vértices de la figura; y

c) el que pasa por dos de los vértices de la figura.

Si reflexionamos un poco sobre estas tres posibilidades de los ejes de simetría, podemos concluir

que los tipos a) y c) sólo pueden aparecer en los polígonos con un número de lados y vértices

par, mientras el tipo b) sólo puede aparecer en polígonos con un número de vértices y lados

impar.

Las dos cuestiones que se van a tratar en este apartado son de pleno interés para la observa-

ción de las propiedades que se infieren -también con ayuda de sus representaciones poligonales-

del estudio de los modos de transposición limitada de Olivier Messiaen, estudiados en el apar-

tado 5.2.1 en la página 74.

5.1.3.1. Propiedades derivadas de la simetría

El identificar los ejes de simetría de una figura poligonal, representante de un grupo de

sonidos cualquiera, va a ser de extrema utilidad dado que nos va a proporcionar dos datos con

respecto a dicha agrupación:

el número de maneras diferentes que puede ordenarse ese grupo, que llamaremos ’sub-

grupos’ (ejemplo: con las siete notas diatónicas: do, re, mi, fa, sol, la y si, se dan sietemaneras diferentes -los siete modos- de ordenarse el grupo);

y el número de veces que una determinada manera de ordenarse -de dicho grupo- va a

aparecer -partiendo de diferentes sonidos-, que llamaremos ’versiones’ de esos subgrupos

(ejemplo: un acorde de séptima disminuida tiene una única manera de ordenarse que,

partiendo cada vez de uno de sus sonidos, va a aparecer cuatro veces).

Estos datos los vamos a obtener en función de estas dos relaciones con el número de ejes de

simetría, respectivamente:sonidos

ejesdesimetrı́a = n º subgrupos diferentes




n º ejes de simetría = versiones de cada subgrupo

Para que quede más claro este apartado, llevaremos a la práctica estas dos afirmaciones

trabajando con un grupo de cuatro sonidos con unas peculiares manifestaciones de simetría, el

acorde de Dominante con séptima con la quinta rebajada, que en segunda inversión llamaríamos

sexta aumentada Francesa (acorde estudiado en el apartado 5.4.3.2 en la página 98), cuya

representación responde a la forma de un rectángulo. Si buscamos los ejes de simetría de este

polígono, veremos que son dos (cf. fig. 5.1.3)

Figura 5.1.3: Representación del acorde de sexta aumentada Francesa con sus ejes de simetría

Así pues, nuestros resultados observando este acorde serían:

Dividiendo sus cuatro sonidos entre sus dos ejes de simetría, obtenemos que habría dos

maneras de ordenar diferentes (lógicamente, una empezando desde un lado pequeño y otra

desde un lado grande) que corresponderían con dos maneras de interpretar este grupo de

sonidos: como un acorde de Séptima de Dominante con la quinta rebajada o como unacorde de séptima de sensible con la tercera elevada.

Dado que tiene dos ejes de simetría, cada uno de estas dos posibles maneras de ordenar los

sonidos, aparecerá dos veces; esto es, hay dos acordes de Dominante con séptima con la

quinta rebajada y dos de séptima de sensible con la tercera elevada, de cuatro tonalidades

diferentes.

Creo que es innecesario señalar lo ventajoso que resulta el poder deducir con tanta rapidez,

las propiedades enarmónicas de un grupo de sonidos, especialmente con fines modulatorios, y

cómo, una vez aprendido este sencillo método, se pueden obtener resultados con mucha mayor

brevedad que si lo hubiésemos intentado simplemente atendiendo a las notas constitutivas del

acorde.

Comparativamente, por otra parte, el conocer el número de ejes de simetría es una pista

importante para comparar superficies de polígonos dado que podemos afirmar sin dudarlo que,

con dos conjuntos con igual número de sonidos, tendrá mayor área el que posea mayor número

de ejes de simetría. El valorar el área de una representación poligonal tendrá cierta consecuencia

en su grado de consonancia que trataremos con detenimiento más adelante, en el apartado 5.1.4en la página 64.




5.1.3.2. La inversión

Todo eje de simetría que aparezca en una figura poligonal cualesquiera, como resultado de la

representación de un conjunto de sonidos en el Espiropentagrama, va a implicar la posibilidad de

invertir el sentido de lectura (como las agujas del reloj o a la inversa) de los sonidos implicados -lo

cual a nivel musical respondería a la posibilidad de leer del mismo modo de forma ascendente

que descendente-, siempre que se lea desde cualquiera de los dos puntos de intersección de

cualquier eje de simetría con la figura poligonal que habíamos obtenido hasta dar una vuelta

completa llegando otra vez al punto de intersección de partida. Es decir, desde un punto de

intersección de un eje de simetría con la figura, hasta este mismo punto, podemos leer haciala derecha o hacia la izquierda, que encontraremos el mismo orden de intervalos, o sea, igual

secuencia en sentido ascendente que en el descendente, y consecuentemente, sin que cambie

ninguno de los sonidos que participan del mismo. Sería una especie de conjunto de sonidos con

palíndromo.

Para ilustrar nuestras palabras vamos a tomar una figura importante de nuestra cultura

musical: las siete notas diatónicas. Este conjunto está tratado, en lo que respecta a su represen-

tación y cualidades, en el apartado 5.3.1 en la página 81. Si observamos la fig. 5.1.4 de abajo,podemos comprobar cómo el heptágono que representa la escala diatónica posee un único eje

de simetría. Sin embargo, esto le va a posibilitar ser invertible en un orden ascendente o des-

cendente desde dos puntos: el sonido re, y entre el sonido sol y la -ya que está entre los dos-.

Esto no es otra cosa que la igualdad de intervalos en un sentido que en otro desde estos puntos,

o sea: re-mi-fa-sol-la-si-do-re tiene los mismos intervalos (2ª Mayor, 2ª menor, 2ª Mayor, 2ª

Mayor, 2ª Mayor, 2ª menor, 2ª Mayor) pero en sentido ascendente en lugar de descendente

que re-do-si-la-sol-fa-mi-re; del mismo modo que sucede con la-si-do-re-mi-fa-sol3 (2ª Mayor, 2ª

menor, 2ª Mayor, 2ª Mayor, 2ª menor, 2ª Mayor) y sol-fa-mi-re-do-si-la.

3No alcanza la octava, como en el caso anterior de re, porque el punto de intersección del heptágono con eleje de simetría está entre el sol y el la, por eso, tomará una de estas notas como punto de partida pero no podrállegar hasta esta nota de partida.




Figura 5.1.4: Heptágono diatónico con eje de simetría

5.1.3.3. La transposición limitada

Igualmente, se puede conocer cuántas veces se puede disponer un conjunto de sonidos sobre

las doce alturas del sistema temperado, sin que éste se repita4. Para ello, basta con dividir

el número de alturas posibles del sistema temperado, o sea, doce, entre el número de ejes desimetría que posea el conjunto de sonidos con el que se está trabajando. Es decir, el número

de ocasiones que un conjunto de sonidos puede transportarse sin que se repitan sus sonidos

integrantes, responde a esta igualdad:

12ejesde simetria

= transposiciones posibles

Veámoslo con un ejemplo, si tomamos el acorde tríada aumentado5 (cf. figura 5.1.5 adjunta)

podemos observar con facilidad que tiene tres ejes de simetría; de este modo, aplicando la4En este sentido, son especialmente notables los conocidos modos de transposición limitada de Messiaen,

modos que pueden transportarse -sin repetir los sonidos que en ellos participan-, sólo un número contado deocasiones. Se tratará con detenimiento de ellos en el apartado 5.2.1 en la página 74.

5Que se analiza con mayor exhaustividad en el apartado 5.4.1.3 en la página 86.




fórmula con que sintetizábamos la explicación anterior, procederíamos de la siguiente forma:123

= 4, ergo este acorde puede transportarse sólo cuatro veces, sin que sus sonidos se repitan 6.

Figura 5.1.5: Tríada aumentado con sus ejes de simetría

De nuevo, destaca la manera tan sencilla de conocer este dato respecto de los conjuntos

de sonidos, que de una manera habitual (que podríamos asimilar con “la cuenta de la vieja”)

nos llevaría una considerable mayor cantidad de tiempo. Quedan invitados a probarlo tomando

como objeto cualquiera de los modos de Messiaen que se explican y se representan, en sus

respectivos subapartados, desde la página 74.

5.1.4. El área, un índice orientativo del grado de disonancia

Antes que nada, parece conveniente definir qué entendemos por disonancia; para hacerlo

hemos de conectar directamente con el concepto antónimo, el de ’consonancia’. Si tomamos

la definición de este último término aportada en el New Grove Dictionary , podemos leer que

“Acústicamente, se trata de la vibración simpática de ondas sonoras de diferentes frecuencias

relacionadas según la proporción de pequeños números enteros; psicológicamente, es una sono-

ridad armoniosa de un conjunto de dos o más notas, es decir, ’ausente de asperezas’, ’reposo

de una tensión tonal’ o el gusto”. En consecuencia, según se desarrolla en esta misma fuente,

’disonancia’ “es por lo tanto, el antónimo de consonancia, con correspondencia a los criterios

de ’aspereza’ y de ’tensión tonal’, y la dimensión consonancia-disonancia admite una gradación

relativa basada en cualquiera de estos criterios. El criterio de ’aspereza’, sin embargo, impli-

ca un juicio psicoacústico, mientras la noción de ’reposo de una tensión tonal’ depende de la

conexión con el ’lenguaje’ de la armonía tonal occidental. Hay un uso psicológico más amplio

6Concretamente las cuatro transposiciones posibles del acorde tríada aumentado corresponderían con estos

cuatro grupos de sonidos: do-mi-sol#, reb-fa-la, re-fa#-la# y mib-sol-sib. Como podemos apreciar, ningún sonidose repite entre las cuatro posibilidades y, si intentamos partir de cualquier nota posterior al mib, el resultadosería un acorde enarmónico de los cuatro ya citados.




del término para referirse a preferencias estéticas, este criterio generalmente se aplica en fun-

ción de lo placentero de una sonoridad”. Por otra parte, podríamos leer qué nos dice Zamacois

(1997) en su primer tomo del libro de Armonía, recogiendo las explicaciones de Pedrell: “La

consonancia es una combinación de reposo que podemos llamar estática, y la disonancia, una

combinación de movimiento o dinámica. La disonancia es una voz mantenida como con vio-lencia fuera de la armonía. El oído desea que la disonancia se resuelva, esto es, que se mueva,

para que vuelva a su centro, que es la armonía ”; una explicación, como podemos ver, basada

en criterios centrados en el ámbito psicológico.

Una vez observado el concepto, podemos deducir que se trata de algo subjetivo, que ha ido

variando a lo largo de la historia, así como entre las diferentes culturas musicales. Si añadimos

el hecho de que no sólo los criterios para la catalogación de las sonoridades han variado, sino que

también han cambiado los propios sistemas de afinación que los sustentaban, comprenderemos

que es muy difícil aportar unas coordenadas estables e indiscutibles, con que describir losintervalos y su gradación de consonancia, siquiera restringiéndose a un único período de la

historia y en una sola tradición cultural musical. No obstante, tras un estudio detallado, se

podría deducir qué características y gradación puede atribuírsele a un determinado corpus

musical; con estas conclusiones, podría elaborarse las premisas que aplicar al Espiropentagrama

para utilizarlo como herramienta de ayuda con este fin.

En cualquier caso, como referencia fundamental para las ideas aquí expresadas, conectando

el valor del área de figuras poligonales que representen conjuntos de sonidos, con un análisis de

sus cualidades, es imprescindible citar los trabajos de D. Rappaport

7

, que han sido de notableinfluencia y han servido de punto de partida para esta parte del capítulo que nos ocupa.

5.1.5. Aplicación a nuestro sistema tonal

5.1.5.1. Consideraciones preliminares sobre intervalos consonantes y disonantes

En el caso que nos ocupa, la música tonal de lo que Piston llamaría “la práctica común”, y

tomando las palabras de S. Seguí (1987) en su tomo I de su Teoría Musical (pp. 89-90):

En la época actual es comunmente aceptada la siguiente clasificación de los intervalos ar-mónicos en:

a) consonancias perfectas o invariales (los intervalos de cuarta, quinta y octava justas);

b) consonancias imperfectas o invariables (las terceras y sextas, mayores y menores);

c) disonancias absolutas o diatónicas (las segundas y séptimas, mayores y menores);

7Es conveniente señalar que Rappaport, principalmente en un artículo de 2007) ya hizo un trabajo haciendo

ver cómo las escalas diatónicas, la escala hexátona y la escala octatónica o disminuida, representadas comopolígonos proyectados sobre un diagrama de reloj, tienen el mayor área posible que los grupos de 6, 7 u 8sonidos (de entre 12), respectivamente, pueden tener.




d) disonancias condicionales o cromáticas, también denominadas aparentes o artificiales (las

que enarmonizando alguno de los sonidos que las forman quedan convertidas en una

consonancia);

e) intervalos armónicos neutros, también denominados semiconsonantes o mixtos y asimismoconocidos como disonancias atractivas (la cuarta aumentada y la quinta disminuida, cuyas

características no hacen aconsejable su inclusión ni entre las consonancias ni entre las

disonancias8).

Por no restringirnos a un solo autor, aunque sea bastante representativo, veamos cómo Zamacois

(1997, pág. 21) lo resuelve de otro modo, si bien bastante próximo:

a) Consonancias perfectas: la 8ª justa (o su reducción, el unísono), la 4ª justa (o perfecta o

menor) y la 5ª justa (o perfecta o mayor);

b) Consonancias imperfectas: la 3ª y la 6ª mayores y menores;

c) Semiconsonancias: la 4ª aumentada (o tritono o mayor) y la 5ª disminuida (o falsa o menor);

d) Disonancias absolutas: la 2ª y la 7ª mayores y menores y todos sus enarmónicos;

e) Disonancias condicionales: los intervalos aumentados y disminuidos que resultan enarmó-

nicos de un intervalo consonante.

Una vez repasadas estas dos catalogaciones, evidentemente próximas, de los intervalos en con-

sonancias y disonancias, tan vigentes al menos, dentro del canon académico de nuestro país,

debemos señalar cómo, en ambos casos, el tritono queda un poco en suspenso y en una situación

intermedia entre las consonancias y las disonancias; este hecho será de especial importancia en

líneas posteriores.

5.1.5.2. El parámetro inmensurable: la subjetividad de la tradición

Es difícil establecer un principio que responda a principios objetivos medibles, cuando se

trata de un asunto que implica tanta subjetividad. Baste citar un caso sencillo, para hacernos

reflexionar, ¿qué acorde es más disonante: el séptima de sensible o el séptima de Dominante?

Es probable que la mayoría respondiera que el primero de estos dos, es más disonante; tanto

es así, que las normas de la Armonía nos enseñan que se debe manejar con mucho más recelo

este acorde construido sobre el séptimo grado que ese otro que se construye sobre el quinto. Sin

embargo, si observamos los intervalos que los componen:

8Continuando las palabras de S. Seguí: Sin embargo, dado su carácter de inestabilidad, que parece exigir unaresolución obligada, ha llevado a la común aceptación de considerarlos como disonancias atractivas.




Séptima de sensible Séptima de Dominante

3ª Mayor 3ª menor

3ª menor 3ª menor

3ª menor 3ª menor

3ª menor 3ª Mayor

nos daremos cuenta de que se trata de los mismos intervalos, podríamos decir que son

acordes equivalentes en cuanto a su grado de disonancia -de hecho, esto se puede apreciar con

celeridad viendo las figuras 5.4.9 (en la página 91) y 5.4.7 (en la página 89) que los representan

y permiten observar que no son más que un reflejo el uno del otro-. Empero, la realidad acústica

es que en ningún caso se considera equivalente su nivel de disonancia, esto se debe a que el

peso de la tradición y el uso que han tenido estos dos acordes a lo largo de la misma, ejerceun papel determinante en el juicio sobre los usos, las sugestiones y las normas, que estos dos

acordes poseen.

5.1.5.3. En grupos con un mismo número de sonidos

Después de haberse señalado la drástica influencia de la tradición cultural, con el ejemplo del

apartado anterior, sobre dos acordes con el mismo número de sonidos, parece difícil argumentar

cómo va a racionalizarse o enunciarse cualquier tipo de norma que pueda ser válida. No obstante,

nos fijaremos en un hecho sencillo y éste es que, en su proyección sobre el Espiropentagrama,

los sonidos que forman intervalos disonantes (las segundas serían iguales que las séptimas9) se

encuentran muy próximos entre sí, por lo tanto, se representan con las cuerdas de menor longitud

que pueden aparecer, de forma que, obviamente, darán lugar a polígonos de menor superficie.

De este modo, podríamos afirmar que, siendo la representación de dos acordes distintos, dos

polígonos cualesquiera, tendrá mayor grado de disonancia, aquel que menor superficie de los

dos posea. Finalmente, aclararemos que, aunque los resultados no sean siempre acordes conlas consideraciones estéticas establecidas, la apreciación de qué superficie (entre dos acordes

representados por dos polígonos) es mayor10, es bastante más sencilla e intuitiva de aplicar que

lo que pueda parecer desde el papel. Pongamos por ejemplo estos dos conjuntos a) y b) de tres

sonidos, sonidos que vemos en la figura 5.1.6 de a continuación.

9Anotemos el hecho de que en el Espiropentagrama no existe un intervalo más grande que la 4ª aumentada,ya que los intervalos mayores a este son idénticos en distancia a los resultantes de su inversión, o sea, una 5 ª

Justa es igual que una 4ª Justa.10Ofrecíamos una ayuda a este respecto, que parece conveniente recordar aquí, en el apartado sobre las

propiedades derivadas de la simetría, en la página 60; ésta era que, a igualdad de número de sonidos, tendrámayor superficie el polígono que tenga mayor número de ejes de simetría.




a) b)

Figura 5.1.6: Comparación de superficies

No parece difícil afirmar que el conjunto a) que vemos a la izquierda, es más pequeño y, por

tanto, según lo dicho, más disonante que el b) que vemos a la derecha. De hecho, observando

los lados de estos dos triángulos con detenimiento, podríamos incluso distinguir cómo dos de

ellos son iguales (concretamente el que les sirve de base y el que aparece a la derecha) y que

sólo difieren en el lado de la izquierda, que en el caso de a) debe representar un intervalo

claramente menor. Bien, todas estas observaciones son correctas ya que en el caso de a), los

intervalos constituyentes eran: 2ª Mayor, 3ª menor y 4ª justa (por ejemplo los sonidos do, rey fa), mientras b) tenía los siguientes: 3ª menor, 3ª Mayor y 4ª Justa (en sonidos sería un

acorde Mayor, por ejemplo sib, re y fa). Hacemos ver pues, que no se trata de un complicado

proceso matemático en el que haya realizar medicción alguna o aplicar, lápiz en mano, las

diversas fórmulas para el cálculo de área correspondientes al polígono concreto con que se esté

trabajando. No obstante, para aquellos que busquen un mayor grado de precisión en casos

complicados de valorar a simple vista, se puede utilizar el coeficiente de consonancia, según

queda explicado más adelante, en el punto 5.1.5.5.

Para aclarar aún más la forma de aplicar esta orientativa inferencia que posibilita el Espi-ropentagrama, veámoslo con otro ejemplo con acordes cuatríadas, tomemos los dos acordes de

novena de dominante, el de novena Mayor y el de novena menor, en su representación sobre el

Espiropentagrama con la forma de dos pentágonos, como vemos en la figura 5.1.7.

Figura 5.1.7: Novenas de Dominante Mayor y menor




A simple vista parece evidente que la novena de Dominante Mayor, tiene mayor superficie

que la novena menor; si no, fijémonos en la parte del polígono que da lugar a la diferencia, el

triángulo descrito por un lado por las notas: sol-la-si, y por el otro: sol-lab

-si. La idea y utilidad

de la observación que hacemos en este apartado esta, que es fácil -en la inmensa mayoría de

casos y a pesar de lo que podría suponerse- distinguir qué figura tiene mayor área. Así pues,la conclusión sería que el acorde más disonante, según las premisas que hemos enunciado, es el

de novena de Dominante menor.

5.1.5.4. En grupos con diferente número de sonidos

Es fácil inferir que, por lo general, un polígono que posea mayor número de lados será

consecuentemente más grande; sin embargo, no parece coherente deducir en consecuencia que,

a mayor número de notas exista mayor grado de consonancia. De hecho, sería precisamente

lo contrario, lo que adoptaríamos como norma básica, esto es, ante dos acordes con diferentenúmero de sonidos, aquel que posea mayor número de sonidos será el que se considerará más

disonante.

Esto, obviamente, no atiende a infinidad de casos particulares y trata simplemente de resol-

ver la cuestión en concordancia a la lógica de la inmensa mayoría de comparaciones posibles. Si

se busca un resultado más objetivo y cuantificable se puede hallar el coeficiente de consonancia

-a través del método que se explica en el próximo apartado- de las dos figuras y, entonces sí,

extraer consecuencias de su comparación.

5.1.5.5. El coeficiente de consonancia

El coeficiente de consonancia sería un índice numérico que aportaría una cierta objetividad

a la hora de comparar acordes. Para hallarlo el proceso será sencillo, una vez calculada la

superficie11 de las figuras estudiadas, se divide el resultado obtenido para cada una de ellas

por el producto del cuadrado del número de lados que posee y el área del círculo en el que se

inscribe dicha figura. Es decir, el cálculo del coeficiente de disonancia respondería a la siguiente

fórmula:

coeficiente de consonancia = superficie figura

superficiecı́rculo (nº lados)2

Así pues, si por ejemplo tenemos un acorde tríada perfecto Mayor (exactamente igual en

cuanto a superficie que el perfecto menor) con un área determinada - en este ejemplo de 18234-,

dividiríamos esta cantidad entre el cuadrado de sus lados -o sea nueve- multiplicado por el área

del círculo -51806 en este caso-, y obtendríamos como resultado 0,039107439. Si quisiéramos

11Para calcular la superficie de polígonos, además de los métodos de cálculo tradicionales ofrecidos por lageometría, existe a día de hoy, diversos programas de software -normalmente pluggins de programas de edición

de imagen o de diseño- que permiten su cálculo con exactitud. Para los cálculos ofrecidos en este apartadohemos utilizado una de estas herramientas informáticas, de forma que los números que aparecen se refieren alnúmero de píxeles que contenía cada figura.




saber si este acorde es, proporcionalmente, más o menos disonante que el de séptima de domi-

nante, por ejemplo, haríamos la misma operación con la figura de dicho acorde y obtendríamos

un resultado de 0,036273549. De este modo, dado que el coeficiente de consonancia del tríada

perfecto mayor es una cantidad más grande, podemos concluir que se trata de un acorde más

consonante, teniendo en cuenta la proporcionalidad de que se trata de sonoridades (polígonos)con diferente cantidad de sonidos (vértices o lados).

En el cuadro 5.1 podemos ver una tabla ordenada en función a su coeficiente de consonancia

(arriba los más consonantes, abajo los más disonantes), de los acordes tríadas y cuatríadas más

habituales en la música tonal de nuestra cultura occidental.

Acorde Figura Coeficiente de consonancia

Tríada aumentado 0,044130453

Séptima disminuida 0,039413871

Perfecto Mayor 0,039107439

Perfecto menor 0,039107439

Perfecto menor con 7ª menor 0,036516041

Perfecto Mayor con 7ª menor 0,036273549

Disminuido con 7ª menor 0,036273549

Tríada disminuido 0,033921425Perfecto menor con 7ª Mayor 0,031172789

Aumentado con 7ª Mayor 0,031172789

Perfecto Mayor con 7ª Mayor 0,030883247

Cuadro 5.1: Coeficiente de consonancia de tríadas y cuatríadas

5.1.5.6. Excepciones notoriasDentro de las sonoridades habituales de las piezas tonales, encontramos dos casos que,

siendo casos muy particulares, se oponen, como consecuencia estética de nuestra tradición, a

la norma básica dada en este apartado (a mayor área, mayor consonancia)12. Se trataría de los

dos acordes de mayor superficie de entre los de tres y cuatro sonidos y que, además, según el

cuadro comparativo de coeficientes de consonancia recogido en el apartado anterior, serían los

más consonantes de todos. Hablamos, evidentemente, del acorde tríada de quinta aumentada

12En cualquier caso, creo que sus circunstancias resultan igualmente particulares dentro del ámbito de la

normativa tradicional, puesto que, estrictamente hablando, aunque ambos se traten como acordes disonantes,las únicas disonancias que en ellos aparecen son, en terminología de Zamacois, disonancias condicionales , esdecir, que son equivalentes a intervalos consonantes.




y el acorde de séptima disminuida. Ambos se tratan específicamente en los apartados 5.4.1.3

(página 86) y 5.4.2.7 (página 95), respectivamente.

Como argumentación en defensa de la clasificación que el coeficiente de consonancia les

atribuye, aparte del cómodo argumento de que su condición de disonantes deriva del peso de

la tradición, tenemos el hecho de que ninguno de los dos acordes, en realidad, posee ningúnintervalo disonante, todos sus intervalos constituyentes son consonantes o semiconsonantes. En

el séptima disminuida tenemos tres terceras menores, obviamente consonantes, dos quintas dis-

minuidas (que según la taxonomía ofrecida en el punto 5.1.5.1 en la página 65, no serían más

que intervalos semiconsonantes, pero nunca disonantes) y una séptima disminuida, completa-

mente enarmónica de una sexta mayor (equivalente a otra tercera menor), también consonante;

por otro lado, en el tríada de quinta aumentada tenemos dos terceras mayores, consideradas

consonancias, y una quinta aumentada que una enarmonía incuestionable de una sexta menor

(equivalente a otra tercera mayor), consecuentemente también consonante. De esta forma, suregularidad, su simetría y su ausencia de disonancias, pueden considerarse un punto a favor pa-

ra respetar su posición en el ranking de consonancia; al igual que esperamos pueda respetarse,

aunque no deje de ser discutible, la observación que aquí se propone como índice orientativo:

que el área de las representaciones poligonales -y en consecuencia lo que hemos denominado el

coeficiente de consonancia- puede servir para valorar su grado de consonancia como conjunto

de sonidos y servir para compararlo con otros.

5.1.5.7. La propuesta de Hindemith

Tratando, como lo hemos hecho en este apartado, sobre una manera de clasificar los acordes

en función de su grado de consonancia y de disonancia, parece que sería un lamentable olvido

no recoger, y de alguna forma comparar, en estas líneas, la interesante aportación que hiciera

a este respecto, el compositor Paul Hindemith13 en su volumen I de Unterweisung im Tonsatz

(1937-70). En cualquier caso, parece conveniente recordar que las consideraciones que realizó

este destacado compositor alemán, fueron utilizando una afinación derivada de la serie armónica

y no del sistema de temperamento igual, como hacemos en nuestro caso.

Su clasificación de los acordes dependía directamente de su catalogación de los intervalos-que situaba el tritono en una categoría aparte, ni consonante ni disonante-, de forma que los

dividía en dos tipos principales: las combinaciones sin tritono y las combinaciones con tritono.

Cada una de estas clases se subdividía a su vez en tres categorías:

acordes sin segundas ni séptimas,

acordes con segundas y séptimas,

y acordes indeterminados14.

13Para esta subsección, ha sido de especial interés el artículo, citado en la bibliografía, de Ortmann (1940).14Este último grupo incluye entre otros los tríadas normalmente llamados aumentado y disminuido.




Básicamente, según nos dice este autor, la energía armónica existe en función del desplazamiento

del peso armónico y de las relaciones entre las clases de acordes que acabamos de enunciar.

Así pues, los acordes con segundas, séptimas y tritonos, tienen una mayor tendencia hacia la

progresión armónica que aquéllos también con segundas y séptimas, pero sin tritonos. Estos

últimos, por su parte, tienen una mayor energía armónica que aquellos sin segundas ni séptimas.

Como podemos apreciar fácilmente, esta clasificación difiere de la forma acostumbrada en

tres aspectos principales: los acordes no se construyen obligatoriamente por terceras, la idea

usual de inversión como factor trascendente no resulta suficientemente convincente y el signifi-

cado múltiple (cambio de notación, simplemente) de una misma combinación de sonidos no se

contempla. No creo que sea necesario comentar que, así como hace Hindemith, sucede también

en la propuesta que se ofrecía por nuestra parte, en los apartados anteriores.

5.2. Las divisiones simétricas regulares de la circunfe-

rencia

Si tenemos en cuenta que nuestro sistema de afinación temperado divide la octava en docesectores iguales, comprenderíamos que las posibles divisiones regulares, en definitiva, de la

octava, son las mismas que los divisores posibles del número 12; o sea: 1, 2, 3, 4, 6 y el propio

12. Cada uno de estos factores va a dar lugar a una escala o acorde típico, así la división de

cada sonido da lugar a la escala dodecafónica de 12 sonidos (podemos verla representada en la

figura 5.2.2 en la página 74), cada 2 da lugar a las dos escalas hexátonas o de tonos enteros 15

(así se ve en la figura 5.2.1 en la página siguiente), cada 3 da lugar a la escala trifónica 16 o a los

tres acordes disminuidos conocidos (véase figura 5.4.13 en la página 95), cada 4 obtendríamos la

escala tetrafónica o los cuatro acordes aumentados posibles (podemos verlos en la figura 5.4.4en la página 86), cada 6 tendríamos grupos de dos notas que forman la escala bifónica o el

tritono (como se ve en la figura 5.1.1 en la página 58) y, por último, podríamos considerar

de cada doce sonidos, cada sonido aislado, o sea, sólo una nota, como veíamos en las figuras

4.0.4 (pág. 46) y 4.0.5 (pág. 47) que mostraban los 12 sonidos de nuestro sistema temperado

(incluyendo sus enarmonías más frecuentes).

15Que se correspondería con el modo 1 de transposiciones limitadas de Messiaen.16La nomenclatura de estas escalas ha sido extraída de la página 9 de la publicación de M. A. Mateu (2006),

citada en la bibliografía.



5.2. LAS DIVISIONES SIMÉTRICAS REGULARES DE LA CIRCUNFERENCIA 73

Figura 5.2.1: La escala hexátona




Figura 5.2.2: La escala dodecafónica

Y ahora pasamos a estudiar, como caso especialmente notable, de divisiones simétricas de

la circunferencia, los modos de transposiciones limitadas de Messiaen.

5.2.1. Modos de transposiciones limitadas de Messiaen

Se trata de siete modos que se caracterizan por tener un número determinado de transposi-

ciones posibles, esto es, que se pueden transportar sólo un número limitado de veces17, puesto

que tras ese número de veces se produce una repetición del mismo conjunto de sonidos, aunque

tomando otra nota de comienzo. Para estudiar con detenimiento estos modos se recomienda

tener presente lo que se comentó sobre los ejes de simetría en las representaciones poligonales

del Espiropentagrama, en el apartado 5.1.3 en la página 60, puesto que su pertinencia y utilidad

para el estudio de estas escalas sintéticas diseñadas por Messiaen son irrebatibles.

17Ya lo veíamos en el subapartado 5.1.3.3 en la página 63 dedicado específicamente a esta cuestión.




5.2.1.1. Modo 1 de transposición limitada de Messiaen

Coincide con la escala hexátona, que veíamos en la figura 5.2.1 en la página 73 y tiene, por

lo tanto, una división regular de los sonidos y sólo dos posibles transposiciones.


Esta escala correspondería con un conjunto de ocho sonidos que, alternadamente, se van

separando uno y dos semitonos. Aparece ya en Sadko de Rimsky-Korsakov, si bien, Scriabin lo

usa de forma más consciente y también aparece de forma pasajera en Ravel y Stravinsky. Tiene

únicamente tres transposiciones -al igual que el acorde de séptima disminuida-.

Figura 5.2.3: Modo 2 de Messiaen


De forma similar a como se organizaba la escala anterior, dividida en segmentos alternantes

de intervalos fijos, ésta se divide con la secuencia: un tono, un semitono, un semitono, y asíselecciona los nueve sonidos que la componen. Es un modo que tiene cuatro transposiciones




-como sucede con el acorde aumentado-.

Figura 5.2.4: Escala 2-1-1 de Messiaen


También con ocho sonidos, este modo parece tener dos tetracordos claramente diferenciados,

equidistantes a una tercera menor respectivamente y constituidos, cada uno, por cuatro sonidosa distancia de semitono. Tiene en total seis transposiciones.






Como si se tratara del hermano menor del modo 4, tiene la misma forma, sólo que únicamente

con seis sonidos en total, pero igualmente separado en dos tricordos (con tres sonidos separados

por un semitono cada uno) distantes entre sí una tercera mayor. Al igual que ocurría en elmodo 4 también tiene seis transposiciones.






Este modo, también con seis transposiciones, está constituido por ocho sonidos y está muy

emparentado con el modo anterior. Los dos sonidos que diferencian el modo 5 y el 6 están

colocados acortando la distancia de tercera mayor que separaban los sonidos en el modo cinco,

de forma que son como dos puntos intermedios entre estos dos grupos de tres sonidos -entre sí

a medio tono cada uno- en el punto intermedio de la tercera mayor, o sea, a una segunda mayorde cada uno de los dos grupos.






El último de los modos de Messiaen tiene diez sonidos y viéndolo en su proyección sobre el

Espiropentagrama, podemos apreciar cómo está totalmente emparentado con los modos 4 y 5,

de los que parece simplemente, una ampliación en dos sonidos. Tal y como aquéllos con los quelo relacionamos, tiene únicamente seis transposiciones.





5.2.2. Otros casos

5.2.2.1. El acorde de quinta aumentada

Se tratará más adelante, dentro del apartado de los acordes tríadas en el subpunto 5.4.1.3

en la página 86.

5.2.2.2. El acorde de séptima disminuida

Podemos encontrarlo, en la página 95, en el subapartado 5.4.2.7.

5.2.2.3. La sexta aumentada francesa.Véase el subapartado 5.4.3.2 en la página 98.



5.3. LAS DIVISIONES SIMÉTRICAS IRREGULARES DE LA CIRCUNFERENCIA 81

5.3. Las divisiones simétricas irregulares de la circunfe-

rencia

Aquí incluiríamos otros grupos de sonidos que manifiestan simetría a la hora de dividir

la octava musical, pero no entre cada uno de sus elementos. Una parte importante de estas

manifestaciones sonoras son construcciones derivadas de la especulación del siglo XX, aunque

también podemos encontrar casos que existen con carta de naturaleza, dentro de la tonalidad,

desde mucho antes.

5.3.1. El heptágono diatónico

Como caso principal de divisiones regulares no periódicas tendríamos los diferentes tipos

de escalas diatónicas18, entre las que se cuentan las escalas mayor y menor, así como todas las

escalas de los modos medievales; todas ellas formadas en base a diferentes rotaciones de una

formación cuya representación correspondería con un heptágono irregular, pero que cuenta sin

embargo, con un eje de simetría, como podemos ver más abajo, en la figura 5.3.1.

Figura 5.3.1: El heptágono diatónico

Si estudiamos esta figura nos daremos cuenta de que, sólo con observarla ya podemos deducir

muchas de las características que van compartir los diferentes modos y escalas diatónicas; todas

poseen sólo dos semitonos (dos puntos contiguos en el Espiropentagrama), un único tritono

(sólo podemos trazar un diámetro con los vértices que forman este heptágono), cinco sonidos

separados a distancia de un tono (los lados grandes del heptágono), cuatro terceras menores

(los lados que se formatían con estos vértices de un posible cuadrado imaginario inscrito en la

circunferencia del Espiropentagrama), etc. (véase el cuadro 5.2 en la página siguiente).

18Recordemos que, según nos dice el New Grove Dictionary en su voz “Scale”, son escalas diatónicas aquellasque contienen un conjunto de sonidos dentro de una octava, con la siguiente determinación de intervalos: cincotonos y dos semitonos.




Modo Dórico

Escala Mayor o modo Jónico Modo Frigio

Modo Lidio Modo Mixolidio

Escala menor o modo Eólico Modo Locrio

Cuadro 5.2: Los siete modos diatónicos



5.4. DIVISIONES TRADICIONALES DE LA CIRCUNFERENCIA EN CONJUNTOS DE TRES Y

5.3.2. Escalas sintéticas

Son las escalas que no proceden de ninguna tradición, ni folklórica ni académica, sino que

aparecen como producto de la creación de escuelas o de compositores concretos, especialmen-

te, del s. XX. Es incuestionable que también para la observación y estudio de cualquier escala

inventada, a la que normalmente no estaremos acostumbrados, será de una gran utilidad el Espi-

ropentagrama, dado que su proyección servirá para percibir con mayor claridad sus propiedades

y características19.

5.4. Divisiones tradicionales de la circunferencia en con-

juntos de tres y cuatro sonidos

En este punto estudiaremos los conjuntos de tres y cuatro sonidos; con esto nos referimos

principalmente a su uso simultáneo, es decir, a los acordes tríadas y cuatríadas.

5.4.1. Acordes tríadas

Dentro de los acordes tríadas vamos a tratar los cuatro más importantes: a) el perfecto

mayor, b) el perfecto menor, c) el de 5ª aumentada y d) el de 5ª disminuida (puede verse la

respectiva representación de cada uno en la figura 5.4.1).

a) b) c) d)

Figura 5.4.1: Principales acordes tríadas

19De hecho, además de utilizar una proyección de la escala en el Espiropentagrama, sería altamente reco-mendable utilizar la simbología de las cabezas de nota que aplicábamos en los árboles ya que esto permitirásintetizar además sus jerarquías y tendencias melódicas




5.4.1.1. El acorde perfecto mayor

Figura 5.4.2: El acorde Perfecto Mayor

El acorde perfecto mayor se representa sobre el círculo cromático (o el Espiropentagrama)

como un triángulo acutángulo20 escaleno21; sus lados tienen una proporción equivalente a los

semitonos que componen sus intervalos, es decir, 4:3:5 (así podemos verlo en la figura 5.4.2 de

arriba).

20Según la configuración de sus ángulos, el Diccionario de la RAE nos dice que un triángulo acutángulo es elque tiene los tres ángulos agudos.

21Según nos define el Diccionario de la RAE, un triángulo escaleno es el que tiene los tres lados desiguales.




5.4.1.2. El acorde perfecto menor

Figura 5.4.3: El acorde perfecto menor

El acorde perfecto menor responde a una representación más que muy similar, idéntica, al

triángulo que servía para estos fines en el apartado anterior, del acorde perfecto mayor. La

diferencia estribaría en que se trata de una reflexión del polígono, o sea, que estamos ante unejemplo de axisimetría o simetría axial22. De este modo podemos afirmar que las propiedades

de ambos polígonos son las mismas, lo cual sobreentiende la proporción que guardan sus lados,

derivada de sus intervalos -musicalmente hablando- constituyentes.

Llegados a este punto, a colación de la aximetría observada entre los acordes perfecto mayor

y perfecto menor, parece muy conveniente recordar las teorías existentes desde Zarlino (Zarlino,

1558) (vol. III, cap. 31), que justificaban la consonancia del acorde menor a través de la división

armónica, y entendían que este acorde nacía de los armónicos negativos.

22La simetría axial se da cuando los puntos de una figura coinciden con los puntos de otra, al tomar comoreferencia una línea que se conoce con el nombre de eje de simetría. En la simetría axial se da el mismo fenómenoque en una imagen reflejada en el espejo (Girbau Badó, 1993).




5.4.1.3. El acorde de 5ª aumentada

Figura 5.4.4: El acorde de 5ª aumentada

El acorde de 5ª aumentada está formado por dos terceras mayores, lo que resulta una

5ª aumentada (que enarmónicamente sería igual a una 6ª menor y, por tanto, al invertirla

resultaría ser otra tercera mayor), así que sus proporciones son 4:4:4 y tiene como representación

poligonal una de las figuras más destacadas: el triángulo equilátero. Su absoluta simetría y la

igualdad de sus lados le conceden un importante e inigualable valor entre los acordes tríadas y

lo emparentan, por sus propiedades, con un cuatríada: el acorde de séptima disminuida (véase

el apartado 5.4.2.7 en la página 95). Sólo posee cuatro versiones posibles23 y va a ser de extrema

utilidad dentro del campo de la modulación.

Este acorde tiene su manifestación más clásica en el III< de las escalas menores melódica o

armónica, si bien también puede aparecer como resultado de la alteración en más de la 5ª de

un acorde mayor (como el I+5 o el IV+5 de un modo Mayor).

23Como veíamos al tomarlo como ejemplo en el subapartado 5.1.3.3 en la página 63 sobre la transposiciónlimitada, observada a partir de los ejes de simetría de las figuras.




5.4.1.4. El acorde de 5ª disminuida

Figura 5.4.5: El acorde de 5ª disminuida

Se trata de un acorde formado por dos terceras menores, de lo que resulta la 5ª

que danombre al acorde, la 5ª disminuida (enarmónicamente igual a una 4ª aumentada o sea, un

tritono), así que sus proporciones son 3:3:6 y tiene también una representación poligonal muy

particular: un triángulo rectángulo24 isósceles25. Normalmente este tríada tendrá función de

D, sólo pudiendo entenderse como el VII del modo Mayor o el VII< de las escalas menores

melódica o armónica. Otra posibilidad, aunque menos habitual, es que se tratara de un II del

modo menor.

24En palabras de la Real Academia “el que tiene recto uno de sus ángulos”.25Sobre el triángulo isósceles nuestro diccionario nos dice, diferenciándolo del equilátero, que es “el que tiene

iguales solamente dos ángulos y dos lados.”




5.4.2. Acordes cuatríadas

a) b) c) d) e)

f) g)

Figura 5.4.6: Las siete especies de cuatríadas diatónicos

Respecto a los acordes diatónicos de cuatro sonidos, sabemos que podemos agruparlos en

siete grupos o especies (así lo hacen autores como Chailley y Challan (1964) o Martínez-Oña

(1991)) que responderían al siguiente esquema:

a) 1ª especie: 3ª mayor, 3ª menor, 3ª menor, o sea, un acorde perfecto mayor con séptima

menor;

b) 2ª especie: 3ª menor, 3ª mayor, 3ª menor, o lo que es lo mismo, un acorde perfecto menor

con séptima menor;

c) 3ª especie: 3ª menor, 3ª menor, 3ª mayor, es decir, un acorde tríada disminuido con séptima

menor;

d) 4ª especie: 3ª mayor, 3ª menor, 3ª mayor, esto es un acorde perfecto mayor con séptima

mayor;

e) 5ª especie: 3ª menor, 3ª mayor, 3ª mayor, o sea, un acorde perfecto menor con séptima

mayor;

f) 6ª especie: 3ª mayor, 3ª mayor, 3ª menor, es decir, un acorde tríada aumentado con séptima

mayor;

g) 7ª especie: 3ª menor, 3ª menor, 3ª menor, o el acorde conocido también como acorde de 7ª

disminuida.

Como es obvio los acordes cuatríadas o tetradas, tendrán como representaciones cuadriláteros

de diversos tipos, que iremos estudiando en sus respectivos subapartados, pero simplemente

atendiendo a la figura 5.4.6, podemos observar cómo poseen notables muestras de simetría,

bien en sí mismos -casos b), d) y g)- o bien por comparación entre sí, por ser axisimétricos(véase nota al pie 22 en la página 85) -casos a) y c), y e) y g), respectivamente-.




5.4.2.1. Acordes con 7ª de 1ª especie (P. M. con 7ª menor): 7ª natural

Figura 5.4.7: El acorde Dominante con séptima

Éste es el acorde con séptima por antonomasia, el más habitual y el que más presencia

tiene en la tradición armónica occidental; hablamos, evidentemente, del acorde que sonará a

Dominante con séptima y por tanto, será una piedra angular de la tonalidad y su práctica

común .

La forma de representación de este acorde es un trapezoide irregular.




5.4.2.2. Acordes con 7ª de 2ª especie (P. m. con 7ª menor): 7ª menor

Figura 5.4.8: El acode Perfecto menor con 7ª menor

Se trata del acorde más frecuente dentro de los diatónicos con séptima, es el que aparece

sobre los grados II, III y VI de cualquier tonalidad Mayor (sus correlatos en el modo menorserían el I, IV, y V -dominante menor-).




5.4.2.3. Acordes con 7ª de 3ª especie (disminuido con 7ª menor): 7ª Submenor

Figura 5.4.9: El acorde de Séptima de Sensible

Este acorde, también llamado semidisminuido -por poseer sólo una quinta disminuida, a

diferencia del de séptima disminuida que posee dos-, aparece de forma más habitual, en el

modo Mayor al construirse diatónicamente sobre su VII, con una clara función de Dominante.

No obstante, también tiene la posibilidad de aparecer como II de un modo menor, especialmenteen primera inversión.




5.4.2.4. Acordes con 7ª de 4ª especie (P. M. con 7ª Mayor): 7ª Mayor

Figura 5.4.10: El acorde Perfecto Mayor con 7ª Mayor

De forma diatónica, este acorde sólo aparece en el I y IV del modo Mayor (III y VI del modo

menor26) y, en la mayoría de los casos en que aparece se entenderá como un acorde con una

apoyatura inferior de la octava de la fundamental, más que como una séptima propiamente.

26Aunque teóricamente posible, será bastante improbable que encontremos VII natural de una escala menordórica (que sólo elevara el sexto grado) que mostrara al mismo tiempo sobre sí, un sexto elevado; carece de lalógica que la elevación del VI y VII grados melódicos poseen dentro de la estética tonal.




5.4.2.5. Acordes con 7ª de 5ª especie (P. m. con 7ª Mayor): 7ª sobre menor

Figura 5.4.11: El acorde perfecto menor con 7ª

Mayor

Su único exponente sería el I de un modo menor melódico o armónico. De forma similar a

como comentábamos en el caso anterior, la 4ª especie, en la mayoría de ocasiones se entendería

la séptima mas como una apoyatura inferior de la octava de la fundamental, que como unaséptima en sí.




5.4.2.6. Acordes con 7ª de 6ª especie (aumentado con 7ª Mayor): 7ª sobre au-

mentado

Figura 5.4.12: El acorde aumentado con 7ª Mayor

Se elabora sobre el III del modo menor melódico o armónico y al igual que en los dos casos

anteriores, relativos a acordes con séptima Mayor, repetiríamos que será más probablementeentendida como una apoyatura inferior que como una disonancia de séptima propia del acorde.




5.4.2.7. Acordes con 7ª de 7ª especie: 7ª disminuida

Figura 5.4.13: El acorde de séptima disminuida

Es el acorde más especial de los acordes de séptima ya que está constituido por intervalos

iguales de 3ª menor entre sus notas y demuestra unas condiciones de simetría que ningún otro

acorde podría tener (recordemos lo que veíamos en sobre las propiedades derivadas de la simetría

que veíamos en el apartado 5.1.3.1 en la página 60). Estas posibilidades de enarmonización,

valoradas y empleadas con numerosos ejemplos, desde los comienzos de la tonalidad, permiten

que este acorde sea el instrumento más sencillo y habitual, para la modulación enarmónica

entre tonalidades, incluso tonalidades muy lejanas.

Si lo estudiamos con detenimiento observaremos que incluye dos diámetros completos de la

circunferencia en que está inscrito (lo que supone dos intervalos de tritono o de 5ª disminuida),

de forma que cualquiera de sus notas puede ejercer el papel de sensible y, por lo tanto, esto

le permitirá ser interpretado como otra versión de sí mismo, para cuatro Tónicas diferentes,

que corresponderían con la nota adyacente a cualquiera de sus vértices. Añadiremos ademásel hecho de que estas cuatro tónicas pueden ser tanto de un modo Mayor como de un modo




menor, con lo que sirve para modular entre ocho tonalidades diferentes, conservando siempre

su identidad y sin que resulte abrupto, en modo alguno, su uso.

5.4.3. Los acordes de sexta aumentada

a) b) c) d)

Figura 5.4.14: Los acordes de sexta aumentada

Los acordes de sexta aumentada son acordes alterados27, que normalmente aparecen sobre el

VI prestado en el modo mayor y el natural en el modo menor, y que tiene función de Dominante

de la Dominante (lo que sería una variante de función de subdominante, por eso las marcas de

presencia que aparecen en el Espiropentagrama son de ese tipo). Su intervalo característico, la

sexta aumentada, que les da nombre, aparece como consecuencia de tener alterada en menos

la nota que aparece en el bajo; así, con respecto a la sensible de la dominante se produce el

citado intervalo aumentado. Cuatro son los más utilizados (cuyas representaciones poligonales

coincidirán con las mostradas en la fig. 5.4.14) y son los siguientes:

a) la sexta aumentada italiana;

b) la sexta aumentada francesa;

c) la sexta aumentada alemana; y

d) la sexta aumentada suiza (o de 4ª doble aumentada).

Pasamos a continuación, a describir sus características y propiedades individualmente, en las

siguientes secciones.

27Tomando las palabras de Artaza Fano (2002), diríamos que: “Un acorde alterado es cualquier acorde afectadopor una alteración, lo que significa que una de sus notas no corresponde a su forma original establecida por laarmadura. Existen tres posibles razones para que estas alteraciones se produzcan: - Deficiencia del sistema dearmadura, que no permite la intercambiabilidad de modos. Por eso no se consideran alterados los acordes quealteren de forma modal el III, VI ó VII grados. - El papel de las dominantes secundarias. Que no se consideranalterados por pertenecer, en realidad, a otro tono (de ahí el nombre de Acordes de préstamo) y que son lasmás habituales. [Y el 6ª Napolitana] - Las alteraciones que aparecen cuando la presencia de la nota o notas

cromáticas da lugar a que se constituya un acorde distinto de todos aquellos que pueden formarse con las notasde las escalas básicas. Que sí son verdaderamente alterados. Podemos pues definir a los acordes alterados comoaquellos que contienen una o más notas cromáticas.”




5.4.3.1. La sexta aumentada italiana

Figura 5.4.15: El acorde de sexta aumentada italiana (DDi de Sol M/m)

Se trata del único acorde tríada de los cuatro, con lo que es el menos disonante de ellos.

Su forma, tomada de manera sintética, correspondería a lo que sería un acorde disminuido

sobre la sensible de la Dominante, con la tercera rebajada y en primera inversión. Su resolución

habitual es sobre el acorde de Dominante o la tónica en sexta y cuarta cadencial. En cuanto a

su disposición, dado que sólo tiene tres notas, aún siendo todas tendenciales, lo normal seríaduplicar la quinta (en pro de no duplicar la sensible o la nota alterada).




5.4.3.2. La sexta aumentada francesa

Figura 5.4.16: El acorde de sexta aumentada francesa (DDf de Sol M/m)

Es un acorde cuatríada muy especial; se trata de una Dominante de la Dominante con

séptima y con la quinta rebajada en el bajo, o sea, en segunda inversión. Su resolución habitual

es sobre el acorde de Dominante en estado fundamental, aunque también puede -como la italiana

y la alemana- resolver sobre el acorde de tónica en sexta y cuarta, es decir, el sexta y cuartacadencial.

Es un acorde muy especial porque (si observamos la figura geométrica que lo representa

en la fig. 5.4.16 de arriba, esto nos puede servir de ayuda) posee unas propiedades de simetría

únicas28, muy próximas a las del séptima disminuida (fig. 5.4.13 en la página 95). Es enarmónico

de otro igual a él que tendría su fundamental en el vértice opuesto de la figura, así como de

otra variedad de acorde, la séptima de sensible con la tercera alterada ascendentemente, que

aparecería en dos veces también, partiendo respectivamente de cada uno de los otros dos vértices

28Se puede entender con mayor facilidad si se tiene presente la explicación que se daba en el apartado 5.1.3.1en la página 60, que trataba sobre la transposición limitada de conjuntos de sonidos, ya que se ilustraba haciendouso, precisamente, de esta misma sonoridad.




restantes; o sea, que posee cuatro interpretaciones diferentes: dos sextas francesas (o Dominantes

con séptima con la quinta rebajada) y dos séptimas de sensible con la tercera elevada.

5.4.3.3. La sexta aumentada alemana

La sexta aumentada alemana es quizá el acorde de sexta aumentada más utilizado, la ra-

zón más probable es que se trata del que tiene una sonoridad ya conocida29, puesto que es

enarmónico del acorde de séptima de Dominante (la forma de su trapezoide lo hace fácilmente

perceptible). De hecho, esta propiedad enarmónica le otorgará un papel notable en las modula-

ciones de este tipo. En el caso que mostramos en el ejemplo de la figura 5.4.17, una DDa de Sol

Mayor, la enarmonía que lo convertiría en una D7 la encontraríamos si transformáramos el do#

en reb, entonces leeríamos el acorde como una simple Dominante con séptima de Lab Mayor o

menor.

29Si bien, no podemos olvidar que es enarmónico de la sexta aumentada suiza, que por tanto también tendríala sonoridad de un acorde de séptima de dominante, y estaría de la misma forma, ya incluido en el ámbito de las

sonoridades más aceptables para los acordes de sexta aumentada; sin embargo, la suiza tiene unas propiedadesderivadas de su lectura que hacen mucho más compleja su comprensión dentro del discurso y por tanto, suutilización.




Figura 5.4.17: El acorde de sexta aumentada alemana (DDa de Sol M/m)




5.4.3.4. La sexta aumentada suiza (acorde de 4ª doble aumentada30)

Figura 5.4.18: El acorde de sexta aumentada suiza (DDs de Sol M/m)

Como podemos apreciar en la ilustración de la figura 5.4.18, el polígono que representa

este acorde (y ya se veía con claridad comparando los apartados c) y d) de la figura 5.4.14 en

la página 96) tiene una forma exactamente igual que la de la sexta aumentada alemana (fig.5.4.17). Es evidente que se trata de dos acordes enarmónicos en los que, según una de sus notas

(en este caso la#, que en la 6ª aumentada alemana aparecía como sib) se interprete como una

cuarta doble aumentada respecto del bajo (caso de este acorde, la 6ª aumentada suiza), o como

una quinta justa (en el caso de la 6ª aumentada alemana), se entenderá y se comportará de

una u otra forma. Además, hemos de añadir para que no pase desapercibido, que tal y como

sucedía con el acorde de sexta aumentada alemana -siendo éste un acorde enarmónico, es lógico-

, este acorde es también enarmónico de un acorde de séptima de dominante (compárese con el

apartado a) de la figura 5.4.6 en la página 88); siendo entonces dos las notas enarmonizadas

30El hecho de aparecer esta cuarta doble aumentada obliga a resolver sobre un acorde de tónica en sexta ycuarta, o sea, el sexta y cuarta cadencial.




(en este caso la# por sib y do# por reb).

5.5. El color como marca funcional

A la hora de escoger la correlación de colores que aplicar a las diferentes sonoridades tipo,

hemos atendido a los vínculos con las emociones que los colores suscitan, según diversos estu-

dios consultados. No obstante, hemos de anotar antes que nada, que también la psicología ha

demostrado que la fuerza con que estas correlaciones se dan, más que ser inherente y universal,depende de la herencia y el contexto cultural en que el individuo esté sumergido31. Teniendo en

cuenta este hecho, hemos actuado en consonancia con los patrones de la cultura occidental a la

que principalmente va dirigido este trabajo; de esta forma, hemos seguido las conclusiones ex-

puestas en el artículo Scaling the Association between Colors and Mood-tones de Warner Schaie

(1961).

Siguiendo la correlación que en dicho estudio (Warner Schaie, 1961, pág. 271) se recoge,

traducimos sus resultados y obtenemos el siguiente cuadro:

31A este respecto es muy ilustrativo observar el estudio comparativo entre las asociaciones del color con lasemociones que hacía un grupo de estadounidenses y un grupo de indígenas mejicano, en el artículo de D’Andrade(1974) citado en la bibliografía.



5.5. EL COLOR COMO MARCA FUNCIONAL 103

Color Asociación fuerte Asociación débil o ausencia deella

ROJO protector, defensor; poderoso,fuerte, señorial; (excitante,

estimulante)*

Calmado, pacífico, sereno;tierno, tranquilizador

NARANJA excitante, estimulante calmado, pacífico, sereno; tierno,tranquilizador; solemne, estable

AMARILLO excitante, estimulante; divertido, jovial, alegre; placentero

solemne, estable; abatido,desanimado, melancólico, triste;

protector, defensor; poderoso,fuerte, señorial

VERDE solemne, estable; protector,defensor; poderoso, fuerte,

señorial; abatido, desanimado,melancólico, triste

AZUL placentero; seguro, cómodo;tierno, tranquilizador; (calmado,pacífico, sereno; excitante,

estimulante)

angustiado, molesto, enfadado;abatido, desanimado,melancólico, triste; desafiante,

obstinado, hostilMORADO solemne, estable; (abatido,

desanimado, melancólico, triste)excitante, estimulante; divertido,

jovial, alegreMARRÓN (seguro, cómodo) divertido, jovial, alegre;

desafiante, obstinado, hostil;excitante, estimulante; poderoso,

fuerte, señorial; placentero

BLANCO tierno, tranquilizador; (calmado,pacífico, sereno) excitante, estimulante; abatido,desanimado, melancólico, triste;desafiante, obstinado, hostil;

angustiado, molesto, enfadado;poderoso, fuerte, señorial

GRIS abatido, desanimado,melancólico, triste; (calmado,

pacífico, sereno)

excitante, estimulante;desafiante, obstinado, hostil;

poderoso, fuerte, señorial;divertido, jovial, alegre

NEGRO angustiado, molesto, enfadado;

desafiante, obstinado, hostil;abatido, desanimado,melancólico, triste; solemne,

estable; poderoso, fuerte,señorial

excitante, estimulante; seguro,

cómodo; tierno, tranquilizador;divertido, jovial, alegre;calmado, pacífico, sereno;

placentero

Cuadro 5.3: Colores y emociones

Aplicando este estudio a las nociones que la tonalidad32 tiene asentadas sobre los diferentes

32Escogemos el ámbito tonal porque es el que más claro puede servir -tanto por el grado de conocimiento

que puede tener el lector, como por la amplitud del corpus que supone- para ejemplificar la aplicación de estemétodo de conexión de una sonoridad con una variedad crómica; si bien, es perfectamente aplicable a cualquierotro sistema de organización musical, especialmente aquellos en los que haya una jerarquía y unas polarizaciones




acordes, tendríamos como resultado el cuadro 5.4, en el que representamos el acorde propio de

cada grado de un tono mayor, con su figura poligonal y color correspondiente:

Grado de la Escala Figura poligonal y color Representación gráfica

Tónica (I) Triángulo escaleno creciente azul

Supertónica (II) Triángulo escaleno decreciente amarillo

Mediante (III) Triángulo escaleno decreciente marrón

Subdominante (IV) Triángulo escaleno creciente verde

Dominante (V) Triángulo escaleno creciente rojo

Submediante33 (VI) Triángulo escaleno decreciente morado

Sensible (VII) Triángulo rectángulo isósceles naranja

Cuadro 5.4: Acordes de la escala Mayor en polígonos y colores

establecidas.



Capítulo 6

Aplicaciones del Espiropentagrama

Las aplicaciones del Espiropentagrama son múltiples, probablemente infinitas, como las de

cualquier herramienta que sirve para analizar y mostrar las propiedades de otros elementos.Además, se trata de una herramienta que apenas acaba de nacer, con lo que no es de extrañar

que nos dejemos fuera de este capítulo muchas utilidades que ustedes los lectores descubran y

pongan en práctica con extraordinario provecho.

En cualquier caso, en estas páginas vamos a tratar aplicaciones que van a colaborar no sólo

con la enseñanza de la Armonía, sino también con la práctica de disciplinas como la Acústica

y el Análisis, siempre buscando servir de catalizador, de acelerador del proceso de aprendizaje,

de forma que el alumno alcance una mayor comprensión y un mayor dominio para su práctica

musical, de los contenidos tratados.

6.1. Sistemas de afinación

Como es fácil de deducir, el Espiropentagrama, tanto por el trazado de la espiral irregular

en la que se basa, como por la colocación que preve de los sonidos sobre dicha espiral, se basa

en la subdivisión de una circunferencia en doce partes iguales, consecuencia del sistema de

afinación de temperamento igual que se usa en la actualidad. Sin embargo, por lo general, las

diferentes tradiciones musicales, e incluso la nuestra, occidental, si nos remontamos un poco

en el tiempo, poseen diferentes sistemas de afinación. De este modo, siendo este instrumento

una herramienta de patente utilidad para la comparación de conjuntos, podríamos usarlo para

hacer más visibles las características de un sistema de afinación en particular, al tiempo que

las diferencias que pudieran existir entre varios distintos.

Si por ejemplo, observamos un sistema de afinación como el Pitagórico, y lo comparamos con

el de temperamento igual, podríamos apreciar sus diferencias con mayor claridad, al observarlas

sobre el Espiropentagrama. Pongamos por caso que proyectamos sobre este instrumento, la

escala de Do Mayor en los dos sistemas de afinación -véase la fig. 6.1.1 adjunta- y comprobemosqué ventajas pueden obtenerse.

105



106 CAPÍTULO 6. APLICACIONES DEL ESPIROPENTAGRAMA

Figura 6.1.1: Comparación de la Escala Mayor en el sistema temperado (en negro) y en elpitagórico (en rojo)

Lo primero que salta a la vista al ver esta superposición de escalas de Do Mayor, en los

dos sistemas de afinación, es observar cómo las notas re y la , y más aún, mi y si , poseen una

entonación bastante diferenciada; ya que aparecen en el sistema Pitagórico, perceptiblemente

más agudas. Además, prestando algo más de atención, podemos apreciar cómo los semitonos

del sistema Pitagórico son más pequeños que en el sistema temperado, así como sus tonos sonmás grandes1. Huelga decir que esta manifiesta asimetría del sistema Pitagórico, redunda en un

claro perjuicio a sus posibilidades de transposición y de enarmonía. Nótese, de todas formas, el

hecho de cómo ambos heptágonos (cf. fig. 6.1.2) poseen un único eje de simetría que, pasando

por su centro, atravesaría por sus respectivas notas re (esto lo comentábamos ya, precisamente

analizando el heptágono diatónico en el apartado 5.1.3 en la página 60, en que tratábamos la

utilidad de los ejes de simetría de los polígonos para deducir propiedades de los conjuntos de

1Tomando como fuente el somero estudio de Bartlett (1998), como fuente, hemos elaborado esta comparación

tomando los tonos del sistema Pitagórico con una separación de 204 cents y sus semitonos a una distancia de90 cents. El sistema de temperamento igual presenta siempre una distancia de 200 cents entre sus tonos y de100 entre sus semitonos.



6.2. PROCESOS CONTRAPUNTÍSTICOS 107

sonidos que representan).

Temperamento igual Sistema Pitagórico

Figura 6.1.2: Escala de Do M en los dos sistemas de afinación

6.2. Procesos contrapuntísticos

Quizá el factor más importante dentro del campo del contrapunto o de la polifonía contra-

puntística, sea su carácter imitativo. Así, las imitaciones de un motivo pueden hacerse aplicando

principalmente tres procesos individuales o la combinación de varios o de los tres. Estos proce-

sos serían: la transposición2, la inversión3 y la retrogradación4. Además, no hemos de obviar el

hecho de que estos procesos no son excluyentes entre sí y permiten por lo tanto la aplicaciónde dos o incluso de los tres, sobre un mismo motivo.

Para ejemplificar estos tres procesos, vamos a tomar un motivo de cinco sonidos (como

puede verse a continuación, en la figura 6.2.1) que trasladaremos al Espiropentagrama (véase

fig. 6.2.3) mediante la confección de una plantilla (sobre una lámina transparente) en la que

recogeremos estos cinco sonidos y su secuencia de aparición colocando unos números como

marcas de presencia (Cf. fig. 6.2.2). Una vez realizada esta plantilla, la obtención de resultados

será muy sencilla, como ahora detallaremos en los siguientes apartados, puesto que únicamente

requerirá de aplicar movimientos en la misma de carácter puramente intuitivo.

Figura 6.2.1: Motivo sobre el pentagrama

2La voz “transposition” del New Grove Dictionary define el proceso como: “La escritura o interpretación deun motivo en un tono diferente del que fue concebido o anotado, ascendiendo o descendiendo todas las notas delmismo, a un intervalo dado”. Éste será el proceso imprescindible para la imitación directa de cualquier motivo.

3Sería alterar la dirección de los intervalos de la secuencia de sonidos del motivo, esto es, los intervalos que

eran ascendentes se convierten en descendentes y viceversa.4La retrogradación consiste en tomar la secuencia de sonidos en sentido cronológico inverso, de forma que se

empieza por el que aparecía último y se acaba en el que daba comienzo al motivo.




Figura 6.2.2: Plantilla de motivo para la transposición




Figura 6.2.3: Motivo para los procesos

Aquí lo hemos realizado con un motivo únicamente de cinco sonidos, pero podríamos imagi-

nar que la aplicación de estos procedimientos sobre un motivo dodecafónico (de doce sonidos)

sería exactamente igual de sencillo y cómodo.

6.2.1. La transposición

El Espiropentagrama es, inequívocamente, un instrumento para la transposición de sonidos,

bien tomados individualmente o bien tomados en conjuntos, que dará lo mismo que estén creados

en base a su dimensión melódica o armónica. No obstante, no parece baladí recordar, aunque no

fuera exactamente del mismo modo, cómo especialmente John Clough en un artículo (Clough,

1998), ya analizó con bastante profundidad y rigor científico de índole matemática, la manera

en que una proyección del sistema musical de doce sonidos, sobre una circunferencia, ofrecía

inmensas posibilidades como medio de transposición. Podríamos decir que la idea estaba ya en

muchos autores teóricos desde las primeras reflexiones sobre el círculo de quintas, si bien ninguno

lo había hecho hasta esta propuesta aquí expresada, utilizando un pentagrama dispuesto conla forma de una espiral irregular.




Como ejemplo más elemental de cómo puede funcionar el Espiropentagrama en este sen-

tido, debería bastar las figuras 4.0.4 (pág. 46) y 4.0.5 (pág. 47) en las que observábamos las

12 posiciones de un sonido cualquiera (y su enarmonía) al someterlo a la rotación que las 2

circunferencias externas ocultas (véase el apartado 4.0.6 en la página 48, que trata de esto)

permiten, tomando su centro como eje. De hecho, el colocar cada sonido a la altura de lo quesería una hora en este reloj imaginario que sería el Espiropentagrama, parece una imagen que,

de asimilarse bien, puede colaborar para facilitar la tarea al alumnado como método didáctico,

el observar cuántos semitonos (horas ), están separados -en este reloj imaginario- dos sonidos,

cuando se están aprendiendo los intervalos.

Ahora bien, utilizando el motivo de cinco sonidos que veíamos en el apartado anterior

(fig. 6.2.1 en la página 107), vamos a proceder a transportarlo una segunda mayor ascendente,o sea, dos semitonos hacia el grave.

Figura 6.2.4: Motivo original y su versión transportada una 2ª mayor descendente

Para ello, lo único que habrá que hacer es mover la plantilla del motivo dos doceavas partes

de la circunferencia (siguiendo la analogía de antes, dos horas) a la izquierda y así obtendríamosel siguiente resultado, recogido en la figura 6.2.5:




Figura 6.2.5: Motivo transportado una segunda mayor descendente

Si lo que quisiéramos fuera hacer una transposición ascendente, por ejemplo, una tercera

menor ascendente.

Figura 6.2.6: Motivo original y su versión transportada una 3ª menor ascendente

En este caso, lo que haríamos sería mover la plantilla hacia la derecha; así, una tercera

menor ascendente, que equivaldría a tres simitonos hacia el agudo, supondría un movimiento

de un cuarto de circunferencia hacia la derecha (o sea, tres horas). Podemos verlo en la siguientefigura 6.2.7:




Figura 6.2.7: Motivo transportado una tercera menor ascendente

6.2.2. La inversión

Este proceso lo que hace es tomar la secuencia de sonidos y alterar la dirección de los

intervalos que la componía, tomándolos en sentido inverso. Así pues, los intervalos que eran

ascendentes pasan a ser descendentes y, por el contrario, los que eran descendentes se convierten

en ascendentes.

Figura 6.2.8: Motivo original y su versión invertida

En el Espiropentagrama, la manera de aplicar la inversión es muy sencillo, dado que tra-

bajamos con una lámina transparente, sólo tendremos que darle la vuelta de manera vertical y

verla al revés (como si le aplicáramos un espejo al eje vertical). Podemos observar el resultado5

5El resultado en la práctica, como podemos deducir, tendría los números también invertidos respecto a su eje




en la figura 6.2.9.

Figura 6.2.9: Motivo invertido sobre el Espiropentagrama

6.2.3. La retrogradación

La retrogradación de un motivo es un procedimiento muy sencillo, consiste en tomar los

sonidos en sentido inverso a la sucesión en como aparecían, de esta forma el último es el

primero, el penúltimo es el segundo, etc.

Figura 6.2.10: Motivo original y su versión retrogradada

Así, trabajando con el Espiropentagrama y este motivo de cinco sonidos, lo único que

vertical, como reflejados. Aquí en la figura ilustrativa 6.2.9, para facilitar la lectura hemos corregido esta ligera

dificultad. No obstante, una versión más fidedigna de cómo resultaría esta aplicación invertida de la láminatransparente del motivo, podemos observarla en la fig. 6.1b en la página 116, en la que también se ha aplicadoel proceso de inversión a este motivo.




habría que hacer sería tomar el 5 primero, luegro el 4, etc. De esta forma, podemos observar

que el único cambio respecto de la versión original del motivo sobre el Espiropentagrama que

presentábamos en la fig. 6.2.3 en la página 109, es el sentido inverso de la dirección de las flechas

que colocábamos para seguir mejor la secuenciación de sonidos indicada mediante los números

(véase fig. 6.2.11).

Figura 6.2.11: Motivo retrogradado

6.2.4. La combinación de estos procesos

Como ya se indicaba al comienzo de esta sección, estos procesos no son excluyentes, de

forma que pueden requerirse y aplicarse de manera simultánea. Para ejemplificar este hecho,

vamos a utilizar el motivo y aplicarle las tres acciones a la vez: retrogradación, inversión y

transposición, en concreto, a una cuarta justa descendente -como vemos en la fig. 6.2.12, la

versión transformada empieza en do en lugar de en fa, que siendo una retrogradación, deberíaser su nota de comienzo-.




Figura 6.2.12: Modelo original y su versión invertido-retrogradada transportada una 4ª justadescendente

Para su obtención mediante el Espiropentagrama deberíamos aplicar los tres procesos, tal y

como se describía en cada uno de los apartados correspondientes, siendo indistinto el orden en

que los hagamos; este proceso está ilustrado en el cuadro 6.1 en la página siguiente. Por mantener

la misma disposición con que hemos ido explicándolos, aquí haremos primero la transposición a

la 4ª justa descendente, o sea, cinco semitonos (fig. 6.1a). Así, esto supondría girar la plantilla

en sentido contrario a las agujas del reloj, cinco doceavas partes de la circunferencia (cinco

horas, en la analogía que usábamos en el apartado de la transposición).

Después realizaríamos la inversión del motivo obtenido tras la transposición, eso supondría

darle la vuelta a la plantilla del motivo en sentido vertical (fig. 6.1b).

Finalmente invertiríamos el sentido de la lectura de los números, partiendo desde el sonido5 hasta llegar al 1 (fig. 6.1c).




(a) Transposición del motivo una cuarta justadescendente

(b) Inversión del motivo una vez transportadouna cuarta justa descendente

(c) Retrogradación del motivo previamente invertido y transportado

Cuadro 6.1: Combinación de los tres procesos: transposición, inversión y retrogradación



6.3. LA MODULACIÓN 117

6.3. La modulación

Sin lugar a dudas, ser un soporte para la modulación6 es la aplicación más importante de este

instrumento, ya que permite de modo sencillo y rápido, la comparación de dos o más conjuntos

cualesquiera de sonidos, atendiendo a sus diversas propiedades, y resolver de este modo confacilidad, un medio de modulación mediante un método exhaustivo -puesto que contempla todas

las posibilidades-, sistemático -dado que permite la aplicación de criterios para organización y

clasificación del todo- e integral -en tanto que posibilita la observación de elementos desde todos

sus ámbitos-.

La idea básica sería hacer una clasificación de los elementos que tienen en común los dos

tonos que van a conectarse. De esta forma, elaborado todo el catálogo de opciones quedará

a discreción del músico escoger una u otra, según el contexto musical en que se inserte el

proceso modulatorio. Para organizar el conjunto de opciones, nos apoyaremos, obviamente enel concepto de árbol armónico que vimos en el capítulo 3 en la página 33. De esta forma,

comparando sucesivamente los árboles que representan los dos aspectos más importantes de la

tonalidad, su tensión hacia una tónica (árbol de Dominante) y su confirmación de la misma

mediante su simple enunciación o mediante el respaldo de dicha tensión (árbol de Subdominante-

Tónica), podremos ordenar las posibilidades de una manera más sistemática.

Siguiendo lo expresado en la voz Modulation del diccionario New Grove observamos que

se nos habla de seis tipos o categorías para este proceso musical: por acorde o acordes pivote

-que es lo que habitualmente se reconoce en castellano como la modulación por acorde común-,a través de una nota común, la modulación directa o de frase, la modulación cromática, la

modulación por secuencias y la modulación por enarmonía7. De estos modos de modulación

citados, podríamos observar cómo la modulación directa o la modulación por secuencias, no

requieren de ningún plan armónico que exija conexión entre los tonos implicados, sino que se

6Nos referimos a la modulación entre dos tonalidades cualesquiera, según los métodos estudiados por laArmonía Tonal tradicional, utilizando el sistema de afinación con temperamento igual.

7Extracto del término ’Modulation ’ -realizado por Janna Saslaw- del New Grove Dictionary of Music andMusicians:

“Techniques of modulation often involve pivot chords, that is, chords common to the original key and thenew key which can provide a transition between the two. Some authors have warned against the use of thedominant of either key as a pivot chord: the dominant of the original key, on the one hand, is a strong functionand not readily reinterpreted; the dominant of the new key, on the other hand, may be ineffective, since a simpledominant–tonic progression may be too abrupt to establish the new tonal centre with sufficient force.

The choice of a pivot chord or chords depends on the range of pitches and chords held in common between theoriginal key and the new key. The possibility of modulation by pivot chord therefore depends on the relationshipbetween the two keys. The closer two keys are on the Circle of fifths, the more pitches they have in common,and the larger the repertoire of available pivot chords.

In the case of modulation to a more distant key, when the two keys have fewer pitches in common, it becomesmore difficult to find a pivot chord. Other techniques of modulation are therefore used in these circumstances,including the use of a single pitch as a ‘pivot note’; ‘direct’ or ‘phrase’ modulation, in which there is a changeof key between phrases without the use of any pivot; ‘chromatic’ modulation, using chromatic alteration in the

middle of a phrase; ‘sequential’ modulation, or straightforward restatement of a phrase in a different key; andenharmonic reinterpretation, often involving the German augmented 6th chord (which may be respelled as adominant 7th), or the diminished 7th chord (which has special qualities of symmetry).”




basa más bien en una conexión establecida en base a una relación puramente formal de los

fragmentos; así que ninguno de estos dos medios implicaría comparación entre los conjuntos de

sonidos. Por lo tanto, los métodos para los que el Espiropentagrama sería útil serían los otros

cuatro: la modulación a través de una nota común y por acorde común (que por su similitud

podríamos considerarlas como variantes de una misma práctica, sometidas a las limitacionesde la construcción de acordes en el segundo caso), la modulación cromática y la modulación

enarmónica.

6.3.0.1. Organización de las posibilidades

Con la finalidad de organizar el proceso de comparación entre dos tonalidades (compuestas

cada una por su árbol de Dominante y su árbol de Subdominante-Tónica, sintetizables en lo que

llamamos el Árbol Tonal), estipulamos cuatro casos8 de comparación de los árboles en función

de la relativa rápidez y suavidad, con que se produce el cambio de tónica. Para ejemplificarel método tomaremos como tonalidad de partida lab menor y como tonalidad de llegada, Sol

Mayor (véase sus árboles tonales en la fig. 6.3.1).

Figura 6.3.1: Árboles tonales de Lab menor y de Sol Mayor

Así pues los cuatro casos en que organizaremos el análisis sistemático de posibilidades serían

los siguientes:

1. Comparar el Árbol de Dominante del tono de partida con el de llegada. Si bien, todo

dependería del contexto y el pasaje concreto, podríamos afirmar que éste sería el procesomás rápido y de mayor dramatismo; un acorde con función tendencial en la tonalidad de

partida se convierte o es en sí mismo (dependiendo del método de modulación que estemos

aplicando) un acorde tendencial para otro tono, el de llegada. Cabría la posibilidad de que

se entendiera simplemente como una resolución irregular de la Dominante de la tonalidad

de partida así que, muy probablemente, requerirá de una reafirmación de la nueva tónica

(cf. fig. 6.3.2 en la página siguiente).

8Aclararemos que, para algunos autores, tal y como ya se recogía en el pie de página anterior, la modulación

que conecta directamente con un acorde de dominante de la tonalidad de llegada -esto sería lo que aquí hemoscontemplado como los casos 1 y 2-, sería excesivamente abrupto e insuficiente para establecer la tonalidad;estamos de acuerdo en que en la mayoría de casos requeriría de un proceso posterior de reafirmación del tono de




Figura 6.3.2: Ejemplo de comparación del primer caso, D de la tonalidad de partida con D dela de llegada




2. Comparar el Árbol de Subdominante-Tónica de la tonalidad de partida con el Árbol de

Dominante de la de llegada; éste sería el segundo caso y aunque igualmente veloz para

realizar el ingreso, supondría partir de un acorde no tendencial, con lo que resultará

llamativo el cambio de función y será algo más apreciable el cambio de tónica (como

ilustración, váyase a la fig. 6.3.3 en la página siguiente).

3. Comparar el Árbol de Dominante del tono de partida con el Árbol de Subdominante-

Tónica del tono de llegada. Este proceso modulatorio (ilustrado en la fig. 6.3.4 en la

página 122)será más progresivo que los dos anteriores, al necesitar de una posterior apa-

rición de un acorde con función de Dominante para el asentamiento del nuevo tono. Al

igual que en el caso 1 se corre el riesgo de que la resolución de la Dominante de partida se

entienda más que ella misma como un acorde pivote, que el siguiente acorde -suponemos

que se trata de una Dominante del nuevo tono- es una resolución excepcional.

4. Comparar el Árbol de Subdominante-Tónica del tono de partida con el de la tonalidad

de llegada. Sería el proceso más pausado y más fácil de entender; además, es el que más

posibilidades ofrece, dada mayor amplitud de este tipo de árboles y su menor número de

restricciones, principalmente, destaca el hecho de que no exige la presencia de ninguna

nota en concreto, como sucede con la sensible en los Árboles de Dominante (véase la

fig. 6.3.5 en la página 123).

Según hemos ilustrado en las figuras y ejemplificaremos en las páginas siguientes, hemos utili-

zado los árboles armónicos contando también con sus posibilidades de notas alteradas y con la

subtónica, es decir en su estado más completo9; sin embargo, en la práctica va a ser muy impro-

bable que utilicemos estas notas alteradas o la subtónica, dado que pertenecen a posibilidades

que ofrece el sistema tonal dentro del discurso de una tonalidad, pero que como acordes de

inflexión pueden no ser claros o determinantes. Así pues, lo más recomendable sería usar para

su comparación el estado intermedio de evolución de los árboles y no éste más completo; aquí,

empero, empleamos los árboles completos tanto por razones pedagógicas como por ofrecer deforma más patente el grado de exhaustividad que se puede alcanzar con el proceso. En cualquier

caso, en los subapartados de más adelante en los que analizaremos detalladamente cada paso

en cada tipo de modulación, del proceso de comparación de árboles armónicos, a la hora de

aceptar el uso de los sonidos alterados, sólo tomaremos aquellos acordes que los utilicen como

quinta, que sería el modo de alteración más básico y descartaremos el resto de acordes posibles

que hayamos podido obtener alterando otros sonidos.

llegada, pero sería igualmente desestimable el obviar como método del proceso modulatorio, este uso, además,

tan habitual.9Explicábamos los diferentes estados o posibilidades de crecimiento de los árboles armónicos, de forma

específica, en el apartado 3.0.3 en la página 35.




Figura 6.3.3: Ejemplo de la comparación del segundo caso, árbol subdominante-tónica de latonalidad de partida y de Dominante de la de llegada.




Figura 6.3.4: Ejemplo de comparación del tercer caso, árbol de Dominante de la tonalidad departida y árbol de Subdominante-Tónica de la de llegada.




Figura 6.3.5: Ejemplo de comparación del cuarto caso, entre árboles de Subdominante-Tónicade las dos tonalidades




6.3.1. Normas elementales para la comparación de árboles

La primera norma que debemos dar y que tal vez sea la más importante, se trata de que

cuando en la comparación participa (bien por parte de la tonalidad de llegada como de la de

partida) un árbol de Dominante, éste tendrá una sensible -simbolizada por un triángulo hacia

arriba sin rellenar, y teniendo como marca de referencia un cuadrado-, y siempre lo primero

habrá de ser comprobar que esta nota está presente (como nota común o como enarmonía10) o

si se puede obtener por cromatismo11, ya que si no fuera así, la comparación del resto de notas

sería ociosa, puesto que la característica imprescindible para poder considerar un acorde con

función de Dominante es que posea la sensible, si esta no aparece, ningún acorde de Dominante

podrá entenderse como tal. Así sucede, por ejemplo, en el caso del apartado 6.3.3.1 en la página

siguiente y así podemos verlo en la figura (6.3.6) que lo acompaña.

A la hora de tomar notas y construir acordes, hemos de llevar cuidado y no tomar aquellas

notas que se encuentran a distancia de medio tono (salvo excepciones como los acordes con 9 ª

menor o 7ª Mayor), es decir, hemos de entender su funcionamiento de la misma forma que lo

hacíamos al verlas representadas sobre los pentagramas, dentro de la forma esquemática normal

de los árboles, tal y como se explicaba en las diferentes secciones del apartado 3 en la página 33.

6.3.2. La modulación por nota común

Para ello, bastaría comparar las notas que consideramos propias o atribuíbles a una to-

nalidad, con las de la otra. Para ello utilizaríamos simplemente las notas constituyentes delárbol Tonal (Cf. apartado 3.3 en la página 39) de cada tonalidad, atribuyéndoles grafías mix-

tas cuando era conveniente, y compararlas sencillamente superponiendo ambas abstracciones

esquemáticas sobre el Espiropentagrama.

Como resultado de la comparación obtendríamos todo el conjunto de sonidos comunes,

tanto los que tienen el mismo nombre, luego pueden considerarse nota común, como los que se

obtienen por enarmonización o interpretación de un mismo sonido, con un nombre diferente.

6.3.3. La modulación diatónica o por acorde comúnEste tipo de modulación se basa en que un mismo acorde (con los mismos sonidos y nombres

de las notas, o sea, sonidos homónimos), que pertenece a dos tonalidades diferentes, sirve

para enlazar dos pasajes que tienen diferente tónica, o lo que es lo mismo, sirve como punto

10En caso de que apareciera como nota enarmónica sólo podría modularse haciendo uso de este tipo demodulación, y por tanto, hacer uso, únicamente, de las notas comunes y enarmónicas que aparecieran comoresultado de la comparación entre los dos árboles.

11Siguiendo las pautas descritas en el apartado 6.3.5 en la página 142, ahora bien, sabiendo que sólo podráoptarse por este tipo de modulación ya que al igual que explicábamos en la nota anterior, con relación a obtenerla sensible como enarmonía, se trata de un factor condicionante que singulariza drásticamente las posibilidades

modulatorias, en tanto en cuanto no se pueden mezclar, por ejemplo, notas obtenidas por cromatismo con notasenarmónicas; recordemos pues que sólo las notas comunes estarán presentes y serán utilizables en todos los tiposde modulación.




de inflexión. Veámos, en un caso concreto, que fuésemos desde Lab menor a Sol Mayor, qué

posibilidades de acordes comunes tendríamos; para ello compararemos de forma sucesiva los

árboles de Dominante y de Subdominante-Tónica de ambos tonos, proyectando estos esquemas

funcionales, llamados árboles, sobre el Espiropentagrama.

6.3.3.1. Comparación de los árboles de Dominante entre sí (Caso 1: D1=D2)

La manera de obtener el resultado ofrecido en el Espiropentagrama, mediante la intersección

sobre el mismo de los árboles de Dominante correspondientes a cada tono, se explicaba en la

página 119

Sonidos comunes en el árbol de partidaeliminando los no homónimos.

Sonidos comunes en el árbol de llegadaeliminando los no homónimos.

Figura 6.3.6: Superposición de Árboles de Dominante y extracción de resultados

1. Ahora, atendiendo a la superposición de los dos árboles ofrecida en la figura 6.3.6 compro-bamos si las dos sensibles (representadas por los dos triángulos: si y fa#) están también,




cada una, en el otro de los árboles. Basta con que una sola de ellas no esté en el otro

árbol, para que no se pueda realizar la modulación que identifique dos dominantes, ya que

la sensible es la nota imprescindible de esta función. En este ejemplo podemos comprobar

que ninguna de las dos está en el otro; es cierto que podría parecer, atendiendo a las

marcas de referencia, que la sensible (la nota fa#) del tono de llegada, Sol Mayor, sí estáen el árbol del tono de partida, Lab menor, pero sin embargo, no es así, ya que en entre las

posibles Dominantes de esta última tonalidad no aparece este sonido sino un enarmónico,

solb12 y esta forma de obtención del sonido no nos sirve para la modulación por acorde

común.

6.3.3.2. Comparación del árbol de Subdominante-Tónica de la tonalidad de par-tida con el de Dominante de la de llegada (Caso 2: st1=D2)

Para obtener la figura resultado de la intersección de los dos árboles que ofrecemos en

la siguiente figura, hemos seguido el proceso que llevábamos a cabo en la figura 6.3.3 en la

página 121.

12Además, en el caso de que se pudiera utilizar el sonido, como podemos ver atendiendo a su grafía, es una

subtónica, con lo que implica que tendríamos que entrar en el tono a través de su región subdominante, luegono sería una verdadera Dominante y podría resultar complicada la afirmación tonal de la nueva tónica habiendohecho uso de su subtónica en el pasaje modulatorio.






Figura 6.3.7: Superposición de Árboles de subdominante-tónica de la tonalidad de partida y deDominante de la de llegada y extracción de resultados

1. De forma similar a como sucedía en el caso descrito en el punto anterior, vemos en la figura6.3.7 con la que trabajaremos ahora, si la sensible de la tonalidad de llegada (que es la que

usa Dominante en este caso de comparación) aparece como nota común. Según podemos

observar sí lo hace, el fa# en Lab menor puede actuar como nota alterada ascendente

(según leemos en la grafía). Además, si analizamos bien, nos daremos cuenta de que

esta nota alterada sólo puede escribirse y leerse como tal, dentro de las sonoridades de

Dominante de la Dominante, o sea, que para poder aparecer, únicamente podrá hacerlo

en solidaridad con la nota sensible de la Dominante, que es re.

2. Vemos qué acordes se pueden formar con el resto de sonidos que sean comunes y quetengan el mismo nombre (o sea, no sean sonidos enarmónicos). La lista de sonidos sería




la siguiente: sib, re, fa, fa#, lab, la, do y mib; porque el resto, que serían sibb, rebb, fab, dob

y mibb en Lab menor, no se interpretarían así en Sol Mayor, sino que serían enarmónicos

y se leerían la, do, mi, si y re, respectivamente, en la tonalidad de llegada.

3. Es el momento de confeccionar una lista de acordes posibles, construidos con los sonidoshomónimos comunes que hemos encontrado entre los dos tonos, si bien, siempre habrán

de contener la sensible del nuevo tono (fa#, o en su defecto y de forma cuestionable, la

subtónica -explicable en el área de la subdominante-, el fa natural)13.

Sonidos que aparecen Lab m Sol Msib, re, fa# DD+5 D’v (= III’+5)re, fa#, lab VIIV

+3 D−5sib, re, fa DD III’re, fa, lab VIIV SSII

IV

fa, lab, do VI<+5 SS’re, fa#, lab, do T DD7+3 D7−5

fa, lab, do, mib VI<7 +5 SS’7

Cuadro 6.2: Acordes comunes de la intersección del Árbol de subdominante-tónica de partiday el de Dominante de llegada

4. Ahora tomamos de entre los acordes que hemos encontrado, aquellos que puedan no ser

del todo inteligibles en alguna de las dos tonalidades. De esta forma, el primer acorde que

deberíamos desestimar sería la Dominante de la Dominante tríada que sería equiparableal III prestado del menor en Sol Mayor; éste, quizá siendo en apariencia la igualdad más

sencilla, introduce la nueva tonalidad a través de un acorde que aunque pueda ser identi-

ficable, más que conducir el oído hacia ella, cuando tiene lugar en el discurso, lo que suele

producir es lo contrario, apuntar hacia otras tónicas. Del mismo modo, resultará difícil de

entender y obligará a hacerlo a través del área de la subdominante, en general cualquiera

de los tres acordes que leíamos como Subdominante de la Subdominante prestada, en Sol

Mayor; pero especialmente complejo de entre ellos, es el que identifica el acorde del sexto

grado elevado con una subdominante de la subdominante representada por un segundo

prestado del modo menor, así que sería conveniente prescindir también de su utilización

en un sentido más realista y menos teórico.

6.3.3.3. Comparación del árbol de Dominante de la tonalidad de partida con el

de Subdominante-Tónica de la de llegada (Caso 3: D1=ST2)

Disponemos de la imagen que nos ofrece la intersección de, respectivamente, el árbol de

Dominante de la tonalidad de particda, Lab menor, con el de Subdominante-Tónica de la de

llegada, Sol Mayor, siguiendo el proceso que ya veíamos en la figura 6.3.4 en la página 122.13Dado lo que observábamos en el punto 1, sobre que la aparición del sonido fa# en Lab menor, implicaba

que apareciera también la nota re, debiéramos buscar acordes que tengan estas dos notas.






Figura 6.3.8: Superposición de Árboles de Dominante de tonalidad de partida y deSubdominante-Tónica de llegada y extracción de resultados

1. Atendiendo ahora a la figura 6.3.8 de arriba, podemos observar cómo sí es sonido común lasensible de la tonalidad de partida, Lab menor, con los sonidos posibles de las sonoridades

de Subdominante y Tónica del tono de llegada, Sol Mayor. Además, comprobamos que no

sólo es que el sonido esté presente en ambos árboles, sino que tiene el mismo nombre14, y

por fin, podemos continuar el proceso.

2. Comprobamos todos los sonidos comunes posibles tomando sólo aquellos que son la misma

nota (tienen igual nombre), y resulta la siguiente lista: reb, mib, sol y sib. Los sonidos

14Este detalle será un factor determinante, ya que si tuviera diferente nombre y por tanto, fuese comúnsólo por enarmonía, sólo podría llevarse a cabo este tipo de modulación (descrito en el apartado 6.3.4 en lapágina 132) y no cabría pensar en la modulación por acorde común.




que en Labmenor leemos como sibb, dob y fab resultan no tener el mismo nombre en

Sol Mayor, sino que se llaman la, si y mi, respectivamente. Por otra parte, en el árbol

de Subdominante-Tónica de Sol Mayor, encontramos también las notas la# y do#, que

igualmente no podemos considerar porque aún siendo sonidos comunes, en realidad son

enarmonías de notas que sí tomaremos, pero con otro nombre: si b y reb.

3. fab, sibb y dob no podrían utilizarse porque, aunque podrían confundirse con sonidos

comunes, se leen con otro nombre en la tonalidad de partida (reb -que sí emplearemos

como tal, ya que también aparece con esta nomenclatura-, mi natural, la natural y si

natural, respectivamente) y por tanto, requieren del proceso de la enarmonía para su

identificación.

4. Elaboramos la lista de acordes posibles con los sonidos antes descubiertos, teniendo encuenta que el sonido sol (sensible de la tonalidad de partida) es imprescindible; teniendo

en cuenta esta premisa, la relación de acordes posibles quedaría en:

Sonidos que aparecen Lab m Sol Mmib, sol, sib V VI’sol, sib, reb VIIº I’-5

mib, sol, sib, reb V7 VI’-7

Cuadro 6.3: Acordes comunes de la intersección del Árbol de Dominante de partida y el

Subdominante-Tónica de llegada

5. Seleccionamos de los acordes obtenidos, dado que no todos van a ser válidos, aquéllos que

son realmente susceptibles de entenderse en el discurso tonal de ambos tonos, de forma

que de los tres que hemos obtenido sería inevitable prescindir del V7 de la tonalidad

de partida, dado que en la tonalidad de llegada daría como resultado un acorde con

la 7ª alterada y eso no es posible, dentro de las normas de los sonidos alterados. Algo

menos grave sería tomar el I’-5 que resulta de utilizar el VIIº en la tonalidad de partida,

aunque, eso sí, algo difícil de entender (dependería mucho del contexto armónico en el

que se enmarcara el uso del acorde), pero aún así, sería conveniente eliminarlo de las

posibilidades, de forma que nos quedaría únicamente la primera opción: V = VI’.

6.3.3.4. Comparación de los árboles de Subdominante-Tónica entre sí (Caso 4:

st1=ST2)

La imagen que a continuación se ofrece, como resultado de la superposición de los dos árboles

de Subdominante-Tónica de las dos tonalidades implicadas, Lab menor y Sol Mayor, se obtienesiguiendo el proceso que ya veíamos en la página 123, en la figura 123.






Figura 6.3.9: Superposición de Árboles de Subdominante-Tónica y extracción de resultados

1. En este caso ya no tenemos que buscar la sensible de ningún árbol, dado que es el único

en que no participa ninguno de Dominante, con lo que haríamos directamente lo quehacíamos en apartado en segundo término, esto es, comprobar y elaborar una lista con

los sonidos comunes con el mismo nombre de nota. Así, atendiendo a la figura 6.3.9 que

ilustra este caso, veríamos que serían notas comunes entre el tono de partida, Lab menor,

y Sol M, el tono de llegada, son: do, reb, re, mib, lab, la15 y sib. Asimismo, otras notas

aparentemente comunes (rebb -que tomaremos, pero como do-, reb -luego como do#-, mibb ,

15El la aparece en la tonalidad de partida como una nota alterada ascendente, por este hecho, su utilizaciónya sería harto complicada, pero al acontecer al mismo tiempo que no existe como nota común el fa, se haceimposible considerarla como 5ª en más -que sería la manera más fácil de aceptarla y utilizarla- y sólo podría

usarse como fundamental en más del I, algo excesivamente lejano como para considerarse verdaderamente comoopción. Por eso, en el punto 3, se comprobará que no se ha utilizado en ningún acorde, aún siendo como es,nota común.




fab, fa, sibb y dob, según se entienden en Lab menor) aparecen en Sol M, pero sólo tras un

proceso de enarmonía y no son, por lo tanto, válidas en este tipo de modulación.

2. No sería ocioso observar también, qué papel juegan las diferentes notas comunes que

pueden participar, ya que por ejemplo, el reb

en Sol M sólo podrá justificarse como unanota alterada en menos y, por lo tanto, no podrá ocupar cualquier puesto en la sucesión

de terceras del acorde. Algo similar sucede también con el sonido la b que en Sol M sólo

podrá entenderse -dentro de las sonoridades de Subdominante-Tónica- como parte del

acorde Napolitano, de forma que exigirá darse en solidaridad de otras (do y mib) y muy

preferiblemente, con una disposición concreta: en primera inversión (por eso aparece en

el esquema entre paréntesis, porque no suele ser el bajo del acorde).

3. Ahora sería el momento de confeccionar una relación de acordes posibles utilizando las

notas comunes que hemos hallado en el punto anterior; como resultado obtendríamos lossiguientes:

Sonidos que aparecen Lab m Sol Mlab, do, mib Ds Snsib, re, (fa) DDx5 III’x5

do, mib, (sol) IIIx5 S’x5

Cuadro 6.4: Acordes comunes de la intersección de los Árboles de Subdominante de ambostonos

4. Es el momento de elegir entre los acordes obtenidos, si bien, como ya tuvimos en cuenta

en el punto 2 de este apartado, la correcta elección y disposición de las notas posibles, la

lista obtenida en el punto 3 es válida en su totalidad. Sin embargo, dado que nos resultan

dos acordes que habrían de aparecer sin quinta (simbolizado con el subíndice x5) con los

problemas de duplicaciones y de movimiento, así como con el empobrecimiento sonoro

que eso supondría, el preferido sería el primero de los que recogíamos, esto es, que la Ds

de lab menor es en Sol M su Sn (recordemos que, por lo tanto, deberá estar en primera

inversión y duplicando su tercera).

6.3.4. La modulación enarmónica

La modulación enarmónica tiene mucho en común con la que acabamos de tratar, la modu-

lación diatónica; en sí, el proceso es el mismo16, se busca una sonoridad que, inteligible tanto

en el tono de partida como en el de llegada, sirva de nexo entre ellos; sólo hay una diferencia y

ésta es la diferente interpretación de alguno, varios o todos los sonidos que participan en dicha

16Dada la semejanza del proceso, hemos decidido explicarlo después de la Modulación Diatónica, si bien,normalmente, en las programaciones didácticas -quizá siguiendo un criterio de proximidad tonal- se suele explicardespués de la modulación cromática.




sonoridad, mediante la enarmonización de este, estos o de todos sonidos los sonidos partici-

pantes. Así, si bien en la modulación diatónica que explicábamos hasta aquí, debíamos evitar

tomar los sonidos que no eran homónimos, en este proceso modulatorio nos veremos obligados

a tomar al menos uno de esos sonidos que tenían diferente nombre según se interpretaran desde

el punto de vista de la tonalidad de partida (en nuestro caso, recordemos que era La b menor,como origen, y Sol Mayor, como destino).

6.3.4.1. Comparación de los árboles de Dominante entre sí (Caso 1: D1≡D2)

La forma de obtención de la intersección sobre el Espiropentagrama que aquí se ofrece,

siguió el proceso que se veía en la página 119.

Sonidos comunes en el árbol de partida,recuadrando los sonidos enarmónicos.

Sonidos comunes en el árbol de llegada,recuadrando los sonidos enarmónicos.

Figura 6.3.10: Superposición de Árboles de Dominante y extracción de resultados

1. Tal y como hacíamos en el primer caso de la modulación diatónica, lo primero que haremos




será buscar que las sensibles de cada uno de los dos tonos implicados en la comparación,

aparezcan (ahora ya no nos importa que tengan diferente nombre) en el árbol de la otra

tonalidad. Como podemos observar, la sensible de Sol Mayor, tonalidad de llegada, sí

aparece en el árbol de Dominante de la de partida, pero como enarmonía (fa# = solb). Sin

embargo, el sonido sol, no está entre las notas comunes o enarmonizables. Es más, el hechode tener que utilizar el fa# que venía siendo solb en la tonalidad de partida, impediría

poder utilizar el sol, en el caso de que apareciese. Cuando, como sucede aquí, la sensible

no es común y sin embargo, sí lo es la subtónica, se elaboraría como opción -y ya quedaría

a criterio del alumno utilizarlos o no- la lista de acordes que utilizando este sonido de

subtónica (y por tanto, con una interpretación de subdominante de la subdominante)

pueden encontrarse. Eso es lo que haremos, teniendo en cuenta esta circunstancia de que

ya no es exactamente D≡D, sino más bien, ss≡D.

2. Los sonidos comunes con el mismo nombre que encontramos son únicamente dos, el mib y elsib. El resto de sonidos se obtienen por enarmonía y son, respectivamente, los siguientes:

fab -luego leído mi-, solb -imprescindible por ser la sensible de la tonalidad de llegada,

o sea, fa#-, sibb -que será la- y dob -leido en Sol Mayor como si natural-. Los sonidos

sib y si -obtenido por enarmonía del dob-, aunque aparentemente a disposición para la

construcción de acordes, como no está presente la nota re como sonido común, no sería

fácil usarlos, ya que sólo servirían para crear acordes en las que funcionarían, uno u

otro, como apoyaturas no resueltas hacia el la y estos acordes habría que manejarlos con

especial cuidado y tendrían una poco concluyente definición de la tonalidad de llegada.

3. Una vez hecha esta relación de sonidos, podemos elaborar la lista de posibles acordes que

podemos utilizar.

Sonidos que aparecen (leídos en Sol M) Lab m Sol Mmib, *fa#, *la, (do) ssiiIV

sDv x5

*fa#, *la, (do), *mi ss’7x5S D7x5

mib, *fa#, *la#, (do) ssiiIV sDvx5+3

*fa#, *la#, (do), *mi ss7x5S D7x5+3

*fa#, *si, (do), *mi ss7x54S

D7x54

mib, *fa#, sib, (do) ssiiIV sDvx54

Cuadro 6.5: Acordes comunes obtenidos con uso de *enarmonías, consecuencia de la superpo-sición de los dos árboles de Dominante

Llama la atención, al estudiar este cuadro, cómo en varias ocasiones, una misma agru-

pación de sonidos idénticos, puede interpretarse, con diferentes lecturas, como acordes

diferentes.

4. Sería pertinente ahora, escoger cuáles de estos acordes pueden ser más comprensibles enambas tonalidades, y cuáles son más una elucubración teórica que una posibilidad real. De




esta forma, parece conveniente -aunque tal vez el contexto concreto del discurso armónico,

habiéndolo presentado ya, lo hiciera comprensible- eliminar los acordes de subdominante

de la subdominante que además vienen representados por un II de esta tonalidad, ya

que parece algo extremadamente lejano. Consecuentemente nos quedaríamos con los tres

subdominantes de la subdominante que parten de su cuarto grado (séptimo subtónica dela tonalidad principal).

6.3.4.2. Comparación del árbol de Subdominante-Tónica de la tonalidad de par-

tida con el de Dominante de la de llegada (Caso 2: st1≡D2)

El medio de alcanzar la imagen que aquí se ofrece, producto de la intersección del corres-

pondiente árbol de subdominante-tónica de la tonalidad de partida con el de Dominante de

la tonalidad de llegada, sigue el proceso que ya llevábamos a cabo en la figura 6.3.3 en lapágina 121.




Sonidos comunes en el árbol de partida,recuadrando los enarmónicos.

Sonidos comunes en el árbol de llegada,recuadrando los enarmónicos.

Figura 6.3.11: Superposición de Árboles de subdominante-tónica y de Dominante y extracciónde resultados

1. En primer lugar, hay que comprobar que la sensible de la tonalidad de llegada, aparezcaen el árbol de subdominante-tónica de la tonalidad de partida, bien con el mismo nombre,

como nota común, o bien enarmonizado. En este caso, aparece como nota alterada -que

como ya decíamos en el análogo segundo caso, en la modulación diatónica- que únicamente

usaremos en las sonoridades de Dominante de la Dominante de Lab menor; eso implica

que esté simultáneamente a este fa#, la sensible de la Dominante de Lab menor, o sea, la

nota re. Como todas las demás veces, también es admisible aunque no sea exactamente

comparable el resultado, el tomar en lugar de la sensible del tono de llegada, la subtónica

y entrar en esta tonalidad a través del área de Subdominante; esto, obviamente, requeriría

de una posterior reafirmación de la tonalidad haciendo uso de una Dominante propia quesí determinara su nuevo papel de tónica.




2. Los sonidos comunes son, en esta ocasión, numerosos. Las notas comunes serían: si b,

re, fa, fa#, lab, la, do y mib. Añadiéndose a estos sonidos, aparecen tres más producto

de enarmonías y, recordemos que en este tipo de modulación que nos ocupa, debemos

utilizar al menos uno de estos sonidos: sibb17 (que en Sol Mayor será la, que también

teníamos como nota común), rebb (entendido como do en Sol Mayor, que también aparecíacomo nota alterada ascendente), fab18 (único mi posible para la nueva tonalidad), dob (si

enarmonizado en la nueva tonalidad) y mibb (re en la tonalidad de llegada, que también

era nota común). Por otra parte, también tenemos un sonido que -como ya hemos visto

que pasaba con el la, con el do y con el re- es común y que también se puede obtener

por enarmonía, se trata del sib que es enarmonizable también por la quinta elevada de la

Dominante de Sol Mayor, o sea, la#.

3. Confeccionamos ahora la lista de acordes posibles que usen sonidos comunes, siendo al

menos uno de ellos, enarmónico.

Sonidos que aparecen (leídos en Sol M) Lab m Sol M*la#, re, fa# DD+5 D+5

*la#, re, fa#, lab DD+57 D±5re, fa#, (lab), *dob tDDvx5+3

Dv (= III)fa, lab, *rebb s<

−f SS’re, fa, lab, *si tDDv

sDSv

fa, lab, *si, *re# svi<7

sDSv+3

Cuadro 6.6: Acordes comunes obtenidos con uso de *enarmonías, entre el árbol subdominante-tónica de Lab menor y el de Dominante de Sol Mayor

4. Elegimos ahora de entre los acordes que hemos visto como posibles, los que verdaderamen-

te tienen un papel con la suficiente importancia, como para servir a ambas tonalidades y

entenderse. De este modo, el tDDvx5+3de Lab menor que no permitía la presencia de la 5ª

y llevaba una nota alterada, aunque enarmónico del fácilmente comprensible D v de Sol

Mayor, parece algo alejado de la tonalidad de partida, aunque siempre todo depende del

contexto y qué y cómo se haya manejado la armonía antes y después. Del mimo modo, lasubdominante con la fundamental en más, que utiliza el sexto grado dórico, es también

un tanto inverosímil en un discurso tonal más o menos clásico. Respecto de los últimos

dos acordes, los que en Sol Mayor actuarían como séptimas disminuidas (la segunda, con

la tercera alterada ascendentemente), dependerían para su uso, de si es o no pertinente

17Como este sonido en Lab menor sólo lo podemos explicar como fundamental del acorde napolitano, suaparición exigirá que estén las otras dos notas que forman este acorde: el re b y el fab; como podemos observar,el reb no podremos usarlo porque no es sonido común, así que, simplificando el proceso, el sonido de sibb quedaeliminado en la práctica de este proceso.

18Teniendo que usar la nota fa#, o en su defecto fa natural, y siendo ambas notas comunes (y no enarmónicas),será imposible que aparezca este fab en ningún acorde en Lab menor, puesto que no puede aparecer si está unade las otras dos; así, en conclusión, también esta nota, fab, queda eliminada del proceso.




entrar a través de la subdominante y mediante este proceso, cercano a la modulación

compuesta.


de Subdominante-Tónica de la de llegada (Caso 3: D1≡ST2)

Se logra el siguiente resultado que veremos en la próxima figura, tras superponer los árboles

implicados en esta comparación, tal y como se desglosaba en la figura 6.3.4 en la página 122.



Figura 6.3.12: Superposición de Árboles de Dominante de tonalidad de partida y deSubdominante-Tónica de llegada

1. Comprobamos que la sensible del árbol de partida de Lab menor, el sonido sol, está en elárbol de Subdominante-Tónica de Sol Mayor, bien de forma homónima o por enarmonía.




2. Revisamos los sonidos comunes entre los dos árboles, conservando el mismo nombre están:

reb, mib, sol y sib; mientras que como enarmónicos, estarían los siguientes que se leerían en

Lab menor: fab, sibb y dob y serían nombrados mi, la, y si en Sol Mayor, respectivamente.

Luego, podemos distinguir también, como sonidos que aparecen como comunes, pero

también pueden interpretarse como enarmónicos tendríamos en Sol Mayor: do# (reb enLab menor) y la#19 (que se entendía como sib en la tonalidad de partida).

3. Una vez conocidos los sonidos que pueden participar, es el momento de elaborar la lista de

acordes posibles20, con sus respectivas interpretaciones en cada una de las dos tonalidades

implicadas en la modulación. Sólo debemos recordar que siempre debe estar presente la

nota sol -sensible de la Dominante de la tonalidad de partida- y al menos un sonido

enarmónico.

Sonidos que aparecen (leídos en Sol M) Lab m Sol Msol, *si, reb VII4 T−5

sol, *la, *do#, (mi) VII−3 DD7x5

sol, *la, *do#, *mi sDv−3 DD7

mib, sol, *la, *do# D7−5 DD7−5

Cuadro 6.7: Acordes comunes con *enarmonías, entre el árbol de Dominante de Lab menor y elde Subdominante-Tónica de Sol Mayor

4. Por último, como venimos haciendo hasta ahora en cada caso, seleccionamos de entre los

acordes que hemos visto como posibles, aquellos que puedan tener una inteligibilidad en

los dos tonos, además de ser posibles enlaces. De esta forma, el primer caso, siendo un

acorde disminuido con apoyatura para Lab menor y una tónica con la quinta alterada

en menos para Sol Mayor, no parece que tenga mucha utilidad ni sea representativo en

ninguno de los dos tonos. Del mismo modo, el segundo acorde de la lista, que vuelve a ser

un disminuido, pero ahora con la tercera en menos y que se equiparará a un acorde conséptima de la Dominante de la Dominante sin quinta, vuelve a parecer ser más confuso

que clarificador para realizar el proceso. Los otros dos, por el contrario, los que tendrán

función de Dominante de la Dominante con séptima en Sol Mayor, el último con la quinta

en menos, serán perfectamente válidos, al menos a nuestro criterio.

19Ahora bien, en tanto en cuanto este sonido es una nota alterada ascendente, sólo interpretable como lafundamental en más del segundo grado, aunque posible va a ser algo complicado que pueda entenderse biencomo movimiento definitorio de la nueva tonalidad.

20En el listado adjunto hay al menos conocido, un error importante, falta un acorde. Invitamos al lector a queaverigüe observando la figura 6.3.12 en la página anterior de cuál se trata y, para conocer la solución, atiendaa la figura 6.3.18 y al pie de página 28 de la página 153.





st1≡ST2)

La intersección que podemos observar en la imagen siguiente, deriva del proceso de super-

posición seguido en la figura 6.3.5 en la página 123.




1. Como en esta comparación sólo participan árboles de subdominante-tónica, no tenemosque buscar la presencia imprescindible de ninguna nota en concreto, así que podemos




empezar a señalar qué notas son comunes: do, reb21, re, mib, lab22, la y sib. En cuanto a

sonidos exclusivamente enarmónicos que aparecen tendríamos: fab (luego leído mi) y dob

(que será si en Sol Mayor). Por otra parte, existe un conjunto de sonidos que según el

acorde en que participen podrían entenderse como notas comunes con el mismo nombre

en los dos tonos o no hacerlo, estos sonidos serían, según aparecen en Lab menor: rebb

(que se entenderá como otro modo de tener la nota do, que ya era nota común, en Sol

Mayor), reb (que es la nota común, interpretable como do# en Sol Mayor), mibb (que será

otra forma de re), fa (legible como mi# en la tonalidad de llegada, aparte de como fa),

lab (que es luego también interpretable como sol#), sibb (equivalente a la, que ya existía

como nota común) y sib (que era nota común, pero que podría interpretarse en Sol Mayor,

como la nota la#23).

2. Podemos confeccionar ahora el listado de acordes posibles con que podría realizarse lamodulación enarmónica entre Lab menor y Sol Mayor, sin que por ninguna de las dos

partes participen sonoridades tendenciales hacia sus tónicas, es decir, de Dominante,

sino únicamente de Subdominante o de Tónica. Recordemos que, en tanto ya no hay

participación de tipos de Dominante alguno, no se requiere la presencia de ningún sonido

en especial, aunque, eso sí, deberá participar al menos, un sonido enarmónico en cada

uno de estos acordes posibles.

Sonidos que aparecen (leídos en Sol M) Lab m Sol M*la, *do#, *mi sn DD*do#, *mi#, la s<

+5 DD+5

*mi, *sol#, *si svi VI+3 (= Dii)sib, *do#, mi, (sol) sii

tDDvx5

sib, *do#, *mi#, (sol) sii< tDDv+3x5

*do#, *mi, (sol), *si sx57T DDx57

*do#, *mi#, (sol), *si s<x57

T DD+3x57

Cuadro 6.8: Acordes comunes con uso de *enarmonías, producto de la comparación entre árbolesde Subdominante-Tónica

21El reb como nota común sólo va a poder entenderse en Sol Mayor como nota alterada descendente, y dadoque el sol -para el que podría ser quinta alterada- no es sonido común, sus posibilidades se reducen a ser unatercera en menos, algo que será bastante difícil de entender como método de entrada en el tono de llegada.

22Tal y como apuntábamos ya anteriormente, el lab en Sol Mayor es el segundo grado rebajado y éste, encontextos de subdominantes, sólo es explicable como un acorde Napolitano, así que para poder estar presente,requiere de la presencia simultánea de otros dos sonidos: el do y el mib; dado que ninguno de estos tres acordesposee ningún sonido enarmónico, sino que son todos comunes entre las dos tonalidades, no podrá utilizarse esteacorde y por tanto, en la práctica, no habrá forma de contar con la nota lab, luego podemos eliminarlo de estalista. No obstante, otra posibilidad sería utilizarlo como nota alterada de un segundo grado con la fundamentalen menos, ahora ya, dejamos a criterio del alumnado si dentro del contexto de la pieza que estén realizando, eso no pertinente una sonoridad alterada tan particular como medio de modulación.

23Esta interpretación, sin embargo, será poco fructífera en general, porque su uso representaría una únicaposibilidad, un segundo grado con la fundamental alterada ascendentemente y esto será bastante difícil deaceptar como punto de inflexión y cambio hacia Sol Mayor.




3. Ahora, para finalizar, hacemos una criba entre los acordes posibles para elegir únicamente

aquellos que estimemos coherentes dentro de un discurso armónico, no forzado, en ambas

tonalidades. De esta forma, eliminaríamos rápidamente el tercero de los acordes ofrecido

en la lista, que suponía un acorde con la tercera como nota alterada y una aproximación

más bien hacia el área del segundo grado que hacia la tónica. Por otra parte, deberíaobservarse concienciudamente cómo ha transcurrido el discurso armónico, para valorar la

pertinencia o no del empleo de acordes de séptima disminuida o de séptima de sensible

(como los cuatro últimos acordes propuestos) sin quinta, algo bastante excepcional. En

conclusión, parece que los dos únicos acordes que sobrevivirían sin mayores reparos, serían

los dos primeros, el napolitano (que preferiblemente estaría en primera inversión) de Lab

menor que se entendería como Dominante de la Dominante de la tonalidad de llegada, Sol

Mayor, y la subdominante dórica con la quinta elevada de Lab menor que se convertiría

en una Dominante de la Dominante con quinta elevada en Sol Mayor.

6.3.5. La modulación cromática

Aquí vamos a estudiar el proceso en su variante más suave, o sea, cromatizando parte

o todo el acorde, pero teniendo las demás notas comunes en el acorde que inicia la nueva

tonalidad. No obstante, para que el método modulatorio fuera válido no tendría por qué ser

así, bastaría con que una nota cromatizase, no sería necesario que las demás fueran comunes

entre los dos acordes que van a protagonizar el cambio de tono. Es obvio que si no se busca quehaya notas comunes, el proceso, aunque probablemente más abrupto y siendo menos evidente

el o los cormatismos que se hayan producido, será mucho más sencillo. Como observación que

pueda servir de ayuda, mencionaremos el hecho de que, por lo general, cuando se procede

de una tonalidad con alteraciones en menos (o sea con bemoles) -como es nuestro caso, Lab

menor, que tiene siete bemoles- o lo que sería lo mismo, de una tonalidad situada más a la

izquierda en el círculo de quintas hacia una que está más a la derecha del círculo de quintas,

con menos alteraciones en menos o incluso con alteraciones en más (o sea, con sostenidos) -

como nos pasa ahora, ya que recordemos que Sol Mayor tiene un sostenido-, proporcionalmente

a la distancia que las separe en el círculo de quintas, encontraremos más posibilidades de

cromatismos ascendentes que descendentes -en nuestro caso, siendo ocho las diferencias en más

(1 - (-7) = 8), no hay ninguna posibilidad de cromatismo descendente, como veremos, todos son

ascendentes-; sin embargo, si procediéramos al contrario, desde una tonalidad más a la derecha

hacia una que está más a la izquierda (con más alteraciones en menos o, lo que es igual, menos

en más), obtendríamos el caso contrario, una casuística mayor de posibilidades de cromatismo

descendente que ascendente, para efectuar la modulación, proporcional al grado de separación

que tuvieran las tonalidades entre sí.

Para comparar los árboles habría que observar que una nota que está en el árbol de partida(ej. la b) -que para aumentar el efecto sería preferible, pero no imprescindible- que no apareciera




en la tonalidad de llegada-, al cromatizar describiendo un intervalo de unísono aumentado (si-

guiendo el ej., a la natural ) se convierta en una nota que, con ese nombre, sólo pueda explicarse

en la tonalidad de llegada; en el caso de que la nota resultante tras el cromatismo tuviera algún

sonido enarmónico en la tonalidad de partida (en nuestro ej. sería si bb), habría que comprobar

que en el acorde en que apareciera no pudiera explicarse leyéndola con su nomenclatura enar-mónica de la tonalidad de partida (continuando el ej., si el acorde en la tonalidad de llegada

estuviera constituido por fa #, la, do y mi ; sería imposible reinterpretar el la como un si bb24). En

cualquier caso, esto se podrá ver con detenimiento en los siguientes apartados en los que se lleva

a la práctica, en sus cuatro casos de comparación, cómo podría realizarse una modulación por

cromatismo entre las dos tonalidades que hemos venido trabajando con los otros dos métodos:

Lab menor, como tono de partida, y Sol Mayor, como tonalidad de llegada.

Merece, asimismo, la pena comentar que para este tipo de modulación es -aún más cla-ramente que podría serlo en los anteriores tipos de modulación- preferible usar los árboles,

no en su versión completa -que contaba con las notas alteradas- sino en el estado intermedio

(recordemos lo que explicábamos al respecto de los estados de los árboles armónicos en la pá-

gina 35), ya que la aparición de las notas alteradas en los árboles, para los usos cromáticos

va a ser absolutamente innecesaria y va a dificultar bastante la lectura y comparación de los

mismos. No obstante, en las páginas siguientes utilizaremos los árboles completos para que se

tengan presentes todas las posibilidades y con una finalidad de continuidad con respecto a las

explicaciones dadas hasta ahora.

6.3.5.1. Comparación de los árboles de Dominante entre sí (Caso 1: D1~D2)

Para la obtención de la intersección de estos dos árboles se ha seguido el proceso que se

ilustraba en la página 119.

24Aunque quedaría comprobar si leyendo enarmonizado -según las posibilidades de la tonalidad de partida-uno o varios de los otros sonidos, sí fuera posible explicar el acorde, ya que entonces este cromatismo no seríaválido como medio modulatorio.




Sonidos comunes en el árbol de partida,recuadrando los enarmónicos y señalando los

cromatizables.

Sonidos comunes en el árbol de llegadaeliminando los no homónimos y señalando los

cromatizados.

Figura 6.3.14: Superposición de Árboles de Dominante sin sensibles comunes

1. Nuestro primer movimiento ha de ser hacia la comprobación de que las sensibles de lasdos dominantes (o, en su defecto, las subtónicas) estén presentes como nota común o sean

alcanzables por cromatismo, en el árbol de la otra tonalidad. Consecuentemente, vemos

que el sol (sensible de Lab menor) no aparece en el árbol de Dominante de Sol Mayor y

que, en tanto no hay ningún sonido con el nombre sol en dicho árbol, porque es su nota

tónica, tampoco será factible conseguirlo mediante cromatismo. Atendemos entonces a la

posibilidad de contar con la subtónica de Lab menor en puesto de la sensible y formar

acordes del área de la subdominante, pero esto tampoco será posible dado que el sonido

solb es enarmónico y no es nota común25, así que el resultado de esta primera comparación,

25Como bien sabemos, en la modulación cromática podemos utilizar notas comunes y notas que cromaticen ycon este proceso, tengan sentido en la nueva tonalidad; no podemos en ningún caso utilizar sonidos enarmónicos,




dado que no se puede lograr la nota sensible del árbol de Dominante de la tonalidad de

partida, es que no existe ninguna posibilidad.

6.3.5.2. Comparación del árbol de subdominante-tónica de la tonalidad de partida

con el de Dominante de la de llegada (Caso 2: st1~D2)

El gráfico resultante de la superposición de los dos árboles sobre el Espiropentagrama, es

consecuencia del proceso que veíamos en la página 121.

Sonidos comunes en el árbol de partidarecuadrando los enarmónicos y señalando los

cromatizables.

Sonidos comunes en el árbol de llegadaeliminando los enarmónicos y selañando los

cromatizados.

Figura 6.3.15: Superposición de Árboles de subdominante-tónica y de Dominante y extracciónde resultados

1. La primera tarea será comprobar la posibilidad de contar con la sensible de la tonalidadpor eso es conveniente identificar cuáles son para evitar cualquier confunsión inconveniente.




de llegada (la nota fa#) partiendo del árbol de subdominante-tónica de Lab menor. Co-

mo podemos ver fa# puede entenderse como nota común en Lab menor, como una nota

alterada ascendente, sin embargo, dado que este sonido alterado no es en absoluto signi-

ficativo dentro de la tonalidad, será más apropiado ver su acceso como cromatismo de la

nota fa natural. Así que sí, podemos contar con la sensible de Sol Mayor en el árbol dela tonalidad de partida, como consecuencia de utilizar un cromatismo.

2. Vemos ahora el resto de sonidos comunes y cromatizables que vamos a poder utilizar,

distinguiendo especialmente aquellos que sean enarmónicos para proceder a su descuento.

Como sonidos comunes tendríamos, mayormente, tres notas: re, mib y sib. Aparte de

estos tres, vemos en los árboles de resultados que también habría otros tres sonidos que

también son comunes pero que eran notas alteradas en la tonalidad de partida, con lo

que difícilmente serán aceptables como comunes, éstos son las notas fa# -que de seguro

no usaremos-, la y do; sucede que, precisamente, como notas susceptibles de cromatizar

tenemos a estas tres, el lab que ascendiendo puede convertirse en la natural y el dob que,

aun siendo un sonido enarmonizable, también puede transformarse en do natural -que

como nota alterada ascendente no podemos considerar que impida la inteligibilidad del

cromatismo- y pertenecer a Sol Mayor; sin olvidar el caso del imprescindible cromatismode fa natural en Lab menor hacia fa# en Sol Mayor. Eliminamos de nuestra lista de

posibilidades por ser exclusivamente enarmónicos y no poderse tampoco utilizar para ser

cromatizados serían los sonidos nombrados en la tonalidad de partida como: rebb, mibb,

fab y sibb; mientras en la de llegada se eliminaría únicamente el la#. Por otra parte, no

podemos olvidar la posibilidad de mantener el fa natural como nota común y construir

acordes propios del área de la Subdominante de Sol Mayor (o sea, Do Mayor), aunque

ésta sea una posibilidad menos directa y definitoria.

3. A continuación, teniendo en cuenta que habría que usarse, como mínimo, una nota que

cromatizase para que sea posible adscribir el proceso modulatorio a la categoría de modu-

lación por cromatismo -algo que en realidad será inevitable en este caso de comparación

dado que es mediante cromatismo como obtenemos la nota imprescindible para la Domi-

nante de la tonalidad de llegada, fa#- y que en los acordes resultantes esté la nota sensiblede Sol Mayor, llegaríamos como conclusión a la siguiente lista de acordes:




Sonidos comunes y cromatizados que aparecen Lab m Sol Mre, fa #, la VIIV Dre, fa #, lab VIIV D−5 fa #, la, do VI< VII fa #, lab, do VI< VII−3sib, re, fa # II< D’v (= III’)si , re, fa # II< Dv (= III)

re, fa #, la, do tDDv D7

re, fa #, lab, do tDDv−3 D7−5

fa #, la, do, mib VI<7

sDv

fa #, la, do, mi VI<7

T D7

fa, la, do VI< SSfa, lab, do VI< SS’

fa, la , do, mi VI<7 SS7

fa, lab, do, mib VI<7 SS’7

si , re, fa, lab II<7 sDSv

si, re, fa, la II<7

S DS7

Cuadro 6.9: Acordes posibles para la modulación por cromatismo entre el árbol de subdominantetónica de partida y el de Dominante de llegada

4. Por último, de entre la lista de acordes que hemos realizado, debemos chequear que todos

sean realmente válidos y no haya acordes que, por su lejanía o nivel de abstracción teórica,

supongan una imprudencia. De este modo, parece que los acordes que al cromatizar

alcanzan a ser Subdominantes de la Subdominante -y aún más los que son resultado de

préstamos de la subdominante menor- o Dominantes de la Subdominante, parece algo

bastante lejano, sobre todo teniendo una oferta de acordes tan amplia anterior, que sería

válida por completo, y que va a producir soluciones mucho más admisibles tanto por la

ortodoxia armónica, como para la coherencia del discurso.


de Subdominante-Tónica de la de llegada (Caso 3: D1~ST2)

La imagen del Espiropentagrama que nos muestra a continuación, la resulta de la superpo-

sición del árbol de Dominante de Lab menor y el de Subdominante-Tónica de Sol Mayor, estabadesglosada en la figura 6.3.4 en la página 122.




Sonidos comunes en el árbol de partidarecuadrando los enarmónicos y señalando los

cromatizables.

Sonidos comunes en el árbol de llegadarecuadrando los enarmónicos y señalando los

cromatizados.

Figura 6.3.16: Superposición de Árboles de Dominante y de Subdominante-Tónica y extracciónde resultados

1. Lo primero, como hemos hecho hasta ahora, sería comprobar si la sensible de Lab menor

(sol), tonalidad de partida, aparece en el árbol de Subdominante-Tónica de Sol Mayor.

Como se puede apreciar sí está y es una nota común.

2. Pasamos ahora a enumerar los sonidos que son comunes y los que se van a poder utilizar

en un cromatismo. Los sonidos comunes serían: mib, sol, sib y reb. Los que podrían croma-

tizar en la tonalidad de origen y sus respectivos resultados tras el cromatismo, serían los

siguientes: dob pasa a ser do natural -en Sol Mayor-, reb pasa a ser re natural, mib pasa a

mi natural, sol podría pasar a ser sol# -pero que siendo una nota alterada ascendente- ysib que pasa a si natural. No podría utilizarse ninguno de los sonidos que únicamente son




enarmónicos, éstos son sibb y fab (en Lab menor) por una parte, y por otra (en Sol Mayor)

tendríamos la, la# y do#.

3. Una vez hecha la relación de sonidos participantes, sería el momento de hacer la lista de

acordes posibles que cumplan las condiciones de tener la nota sol (sensible del árbol deDominante de la tonalidad de partida), notas comunes y/o notas susceptibles de participar

del proceso de cromatismo.

Sonidos comunes y cromatizados que aparecen Lab m Sol Msol, si, re VII Tmi , sol, si D VIdo, mi, sol Dv (= III) Ssol, sib, re VII T’mi , sol, sib D VI’<

do, mib, sol Dv S’mi, sol, si, re D7 VI7

mib, sol, sib, re D7 VI’7mi, sol, sib, re D7 VI’<

7

do, mi, sol, si III7 S7

do, mib, sol, sib III7 S’7

Cuadro 6.10: Acordes posibles para la modulación por cromatismo, entre el árbol de Dominantede partida y el de Subdominante-Tónica del de llegada

4. Ahora seleccionamos dentro de ese corpus, aquellos que sí que son verdaderamente acep-

tables y válidos, distinguiéndolos de los que son apenas una entelequia teórica. Éste sería

el caso de, por ejemplo el III7, que en Lab menor será harto improbable que se dé en un

discurso armónico normal, así que eliminaríamos las dos últimas opciones ofrecidas en

el cuadro. De forma similar, sucede con la tónica menor de Sol Mayor, que aunque es

posible que se dé circunstancialmente, a lo largo de un fragmento en esta tonalidad, no

es desde luego el método más oportuno para entrar en ella. Otro acorde que parece poco

recomendable, del elenco que hemos conseguido, sería el que en Sol Mayor veíamos comoVI’<, ya que es un acorde prestado del menor que presenta la tercera (el si b) propia de

este modo y es contraproducente para realizar movimientos que apunten a la tonalidad

mayor; así también sucedería con el VI’7, el VI’<7 y el S’7.


st1~ST2)

El proceso de superposición de la proyección de los árboles de Subdominante-Tónica de Lab

menor y Sol Mayor, sigue los pasos que se desarrollaban en la ilustración 6.3.5 en la página 123,en la siguiente figura podemos observar su resultado.




Sonidos comunes en el árbol de partida,recuadrando los enarmónicos y señalando los

cromatizables.

Sonidos comunes en el árbol de llegada,recuadrando los enarmónicos y señalando los

cromatizados.


1. Ya que sólo se están comparando árboles de subdominante y no hay que preocuparsede la presencia de sensible alguna, comenzamos la catalogación de los sonidos que son

comunes: reb26, re, mib, lab, la y sib, y la de aquellos que pueden obtenerse por cromatismo:

si (viniendo de un sib en la tonalidad de partida), do (procedente de un dob), mi (antes

mib) y la natural (que era laben Lab menor). De esta forma, también quedaría descartar

los sonidos que son comunes pero no homónimos, o sea, los enarmónicos que leeríamos

como la#, mi# y sol# en la tonalidad de llegada; mientras que en la tonalidad de partida26De la misma forma que ya hemos observado en otros tipos de modulacion, comparando los árboles de

subdominante de estos dos tonos, volvemos a señalar cómo este sonido, el re b, al ser una nota que en Sol Mayor

será una nota alterada descendente y no existir el sonido sol, que le serviría para poder ejercer el papel de quintaalterada, será muy difícil construir un acorde que lo use y que no sea un tanto complejo como para que sirvapara definir con solvencia una entrada en la nueva tonalidad.




tendríamos que anular los sonidos: rebb, fab, fa y mibb.

2. La lista de los acordes posibles, que como recordamos deberían contar con algún sonido

cromatizado o cromatizable, quedaría entonces de la siguiente forma:

Sonidos comunes y cromatizados que aparecen Lab m Sol Mlab, do, mib t Sn

la, do, mib t II’la, do, mi t II

do, mib, (sol) IIIx5 S’x5

do, mi , (sol) IIIx5 Sx5

do, mib, (sol), sib IIIx57 S’x57

do, mi, (sol), si IIIx57 Sx57

Cuadro 6.11: Acordes posibles para la modulación por cromatismo, obtenidos de la intersecciónde los árboles de Subdominante-Tónica

3. Finalmente, restringimos los acordes posibles únicamente a los verdaderamente compren-

sibles y con suficiente valor como para servir como punto de inflexión (especialmente, el

de llegada). Así, de modo similar a como hiciéramos en el caso comparativo de inmedia-

tamente antes, parece conveniente no entrar en la tonalidad de Sol Mayor, utilizando un

acorde prestado que utilice la nota mediante del modo menor, dado que podría revertir en

confusión; con esto, dejaríamos de considerar la S’x57

que aparece. Igualmente complicada

sería la tarea de no realizar octavas cuando se trabaja a cuatro voces y en un acorde sin

quinta, las dos notas que aparecen, cromatizan, me estoy refiriendo a la Sx5 en Sol Mayor,

que sería imposible alcanzarla sin fallos, salvo que se silenciara dos de las cuatro voces.

6.3.6. Utilización de los resultados y proceso de asimilación

Como hemos podido apreciar, el proceso de análisis de las posibilidades modulatorias entre

dos tonalidades haciendo uso del Espiropentagrama, es sin lugar a dudas, dinámico, sistemático

y exhaustivo27, sin embargo, aunque familiarizados con este proceso, la comprobación de todaslas posibilidades -sobretodo si requieren su listado por escrito- será algo larga y tediosa. En

cualquier caso, con una finalidad eminentemente didáctica, sí es recomendable que un alumnado

que esté iniciándose en este tipo de procesos sea capaz de hallar todos los medios de modulación

con el máximo grado de detalle y, más que ninguna otra cosa, que pruebe cada uno de los

resultados que haya obtenido para ir asimilando (y memorizando) esa sonoridad en ese contexto

y poder elegir, de acuerdo al critetio acústico, la opción que se estime más conveniente.

27Es dinámico porque permite adaptar los criterios de búsqueda de las posibilidades modulatorias en función

de lo que el observador requiera o crea conveniente; es sistemático porque de forma ordenada aporta toda unaorganizada lista de resultados y es exhaustivo porque abarca completamente todas las posibilidades existentesde acuerdo a las directrices que se hayan tomado de partida.




Ahora bien, todo este proceso no sería apenas gratificante si hubiese que hacerlo cada vez,

manualmente, aún contando con la ayuda del Espiropentagrama; por ello se está trabajando

ya, mientras se escriben estas líneas, en la elaboración de aplicaciones informáticas que puedan

resolver estos quehaceres algo anodinos (aunque de cuantioso valor para desarrollar el pensa-

miento y la lógica de la armonía en la mente del estudiante) de manera más cómoda y rápida. Ymás allá de esta muletilla -que esperemos pronto pueda estar acabada y ser de tanta utilidad co-

mo se desea- que la tecnología actual nos ofrece, en realidad, la vocación de todos estos procesos

es que cuando el alumno de enseñanzas artísticas musicales se enfrente a los procesos modula-

torios -cuando menos en las Enseñanzas Profesionales de éstas y con mayor profundidad en las

Enseñanzas Superiores-, no necesite ningún utensilio más que el propio Espiropentagrama. Esto

es, no requiera transcribir para detallar los resultados de cada caso ni tampoco requiera de un

instrumento polifónico como el piano para tener clara su sonoridad. La idea es que el alumno,

con sólo ver el resultado de la superposición de los dos árboles que esté comparando, “vea” lasfiguras de los acordes que son posibles e incluso, una vez viéndolas, sea capaz de imaginar su

sonoridad. Para ilustrar lo que intento decir, retomemos a modo de ejemplo el caso 3 (D 1≡ST2)

de modulación enarmónica que veíamos en el subapartado 6.3.4.3 en la página 138. Un alumno

formado en el código simbólico que aquí estamos explicando, cuando viera la imagen de su-

perposición de los dos árboles, ayudado por las marcas de presencia, sería capaz de unir los

vértices comunes (teniendo en cuenta que siempre un vértice ha de ser el sonido sol, sensible de

la tonalidad de partida) e ir formando mentalmente las figuras poligonales que reconoce y por

tanto, elaborando una lista instantánea de las posibilidades que esa superposición le aporta; el

concepto de cómo procedería mentalmente queda ilustrado con los polígonos explicitados con

diferentes colores en la figura 6.3.18 que vemos a continuación.




Figura 6.3.18: Superposición de dos árboles explicitando las figuras poligonales posibles

No creo que pueda contradecirse que es mucho más sencillo y casi lúdico, encontrar y

reconocer las figuras poligonales posibles utilizando los vértices comunes y que tengan un vértice

obligado, que ir viendo sonido por sonido, enarmonía por enarmonía. Además, no solamente

se le ha de reconocer la facilidad a este método visual, sino que también es más seguro y más

preciso28, puesto que no supone confusión a la hora de interpretar sonidos o enarmonizarlos,por eso, en definitiva, es hacia la que se ha de tender, por su practicidad y consistencia, de

educar a los alumnos de música en ella, desde sus etapas incipientes.

28Hasta tal punto puedo afirmar que esta manera de resolución visual es útil, que concretamente elaborandoel ejemplo de la figura 6.3.18 he avistado un acorde que no había recogido en una primera redacción delproceso escrito del subapartado 6.3.4.3 en la página 138; un acorde tan productivo como el séptima disminuida(visualmente tan fácil de reconocer) que aparece entre las notas do#-mi-sol-sib, me había pasado desapercibido.De esta forma decidí mantener el error para demostrar cómo la propuesta principal de este trabajo, consistente

en la adscripción de figuras geométricas a las sonoridades puede ser ya útil ahora para cualquiera y, sobre todo,invitar a imaginar cuánto podría aportarle al alumnado si se consigue asimilar con un trabajo pedagógicamentebien orientado, desde las etapas incipientes de la instrucción musical.




6.4. La set-theory (teoría de conjuntos)

La set-theory no es lo mismo que el serialismo, pero ambos comparten muchos métodos e

ideas. La set-theory enlaza la noción de definir conjuntos de sonidos y de organizar la música

alrededor de estos conjuntos y sus varias manipulaciones. El análisis de las clases de conjuntos(set classes) se refiere a los esfuerzos de los teóricos musicales por revelar los sistemas que

compositores como Schoenberg y sus seguidores usaron para organizar el contenido sonoro

de sus trabajos. Esto no debemos olvidarlo, los conjuntos y las clases de conjuntos determinan

únicamente un contenido de aturas, los compositores eran libres de establecer los demás aspectos

de la música de acuerdo a sus deseos artísticos (como mínimo hasta que el ultra-serialismo, una

filosofía que sometía todos los aspectos de la música a las técnicas seriales, alcanzara su máximo

explendor en torno a la década de 1950).

Un de conjunto de sonidos (pitch class set) es simplemete un grupo desordednado de alturassonoras. Los 12 sonidos del teclado, o clases de alturas, se numeran desde el 0 hasta el 11,

empezando en el do. Por ejemplo, un conjunto de sonidos (pitch class set) consistente en las

notas do, mi y sol se reescribiría como (0,4,7). Los compositores tratan los conjuntos con

cuantiosa y variada libertad, cuando aplican el método de los conjuntos de sonidos a su música

atonal. El conjunto (0,1,6) que fue tan popular entre Schoenberg y sus discípulos se ha acabado

llamando “el tríada vienés”.



6.4. LA SET-THEORY (TEORÍA DE CONJUNTOS) 155

Figura 6.4.1: El tríada vienés

6.4.1. La inversión de conjuntos de sonidos

El proceso y por tanto, sus resultados, son exactamente iguales a los ya descritos anterior-

mente en este mismo capítulo, en el apartado 6.2.2 en la página 112.

6.4.2. La Forma Normal (Normal From)Los conjuntos de sonidos se pueden sintetizar en su Forma Normal, que es una disposición

de los sonidos a una forma que podríamos llamar la más “compacta”. La disposición compacta

significa que el mayor de los intervalos entre dos sonidos consecutivos que aparece, se sitúa

como si estos dos sonidos fueran el primero y el último del conjunto. Así, si observáramos un

conjunto de sonidos representado sobre la esfera de un reloj, la forma normal sería la que leyendo

el conjunto en sentido de las agujas del reloj, recorriera la menor distancia de la circunferencia.

Por ejemplo, dado el conjunto (2,9,10), puede obserfarse en la figura 6.4.2 de más abajo,

para colocarlo en su Forma Normal, el intervalo entre 2 y 9 (7 semitonos de separación) quees más grande que el que separa los sonidos 9 y 10 (1 solo semitono) y que entre 10 y 2 (4




semitonos), debería estar reflejado entre los sonidos primero y último nombrados, o sea, (9, 10,

2). Esta es la disposición en la que el intervalo mayor está “en la parte exterior”.

Figura 6.4.2: Conjunto (9,10,2)

Si no pudiera identificarse un intervalo como mayor, entonces la Forma Normal corresponde-

ría a la representación del conjunto que quede más “encajada a la izquerda”, es decir, aquella en

la que los intervalos más pequeños estén más próximos al principio del conjunto y los mayores

más cercanos a su final. Por ejemplo, el conjunto (0,2,3,7) está más ajustado a la izquierda que

(0,4,5,7) (Cf. fig. 6.4.3) porque su intervalo más grande está “en el interior” de (0,2,3,7) entre

los sonidos 3 y 7 (o “a la derecha”); mientras que el intervalo máyor de la parte interior de

(0,4,5,7) está entre el 0 y 4, más bien, cercano a la izquierda. Ambos conjuntos están en FormaNormal, pero el primero está “más ajustado a la izquierda”.




Figura 6.4.3: Conjuntos (0,2,3,7) y (0,4,5,7)

6.4.3. La Forma Orignal (Prime Form)

Una vez hemos obtenido la Forma Normal de un conjunto y la de su inversión, la Forma

Original sería aquella de estas dos que esté más comprimida, transportada para empezar en

cero.

Por ejemplo, tomado un conjunto (7,8,2,5) que podríamos llamar A, vamos a ver cómo

podemos calcular su Forma Original.

1. La Forma Normal de A sería (2, 5, 7, 8)




Figura 6.4.4: Acorde A (2, 5, 7, 8)

2. Su inversión sería (4, 5, 7, 10)




Figura 6.4.5: Acorde A invertido (4, 5, 7, 10)

3. Su Forma Original (Prime Form) sería (0, 1, 3, 6)




Figura 6.4.6: El Acorde A en su Prime Form (0, 1, 3, 6)

6.4.3.1. ¿De qué sirve la Forma Original?

La Forma Original es una abstracción de conjuntos que nos da una representación única deun grupo particular de notas. Si dos conjuntos tienen la misma Forma Original, podemos ase-

gurar que sonarán similar el uno al otro. Los conjuntos con la misma Forma Original contienen

el mismo número de notas y los mismos intervalos entre ellas, por lo tanto son auditivamente

“equivalentes”, del mismo modo que todos los acordes mayores lo son entre sí, en el ámbito de

la música tonal.

Las representaciones de la Forma Original también reciben el nombre de “clases de conjun-

tos” (Set classes). Conjuntos que tienen idénticas formas originales se dice que pertenecen a la

misma clase. Por ejemplo, los conjuntos de sonidos (1,2,7), (8,2,3) y (0,11,6) pertenecen todosa la clase (0,1,6).



6.5. LOS MAPAS ARMÓNICOS 161

6.5. Los mapas armónicos

Esta aplicación del Espiropentagrama, que en realidad no atendería a su forma habitual,

sino que mostraría únicamente la circunferencia interior, habitualmente oculta, y sobre ella

las formas poligonales explícitas de determinados conjuntos de sonidos, indicaría segmentandomediante diferentes colores29 la circunferencia -tal y como si fuera un gráfico de porcentajes en

forma de anillo-, la proporción de presencia que determinados conjuntos de sonidos -que estarían

representados como polígonos circunscritos con colores que los conectarían con dichos segmentos

de la circunferencia- tienen en un determinado pasaje o pieza. Ahora bien, aunque esto podría

concretarse de diferentes maneras según los intereses de cada estudio, aquí, en nuestros mapas

armónicos indicaremos los tres acordes que más aparecen y qué proporción del total del pasaje

o pieza, representan (en caso de haber una paridad entre varios acordes, si fuera en el índice de

mayor aparición o en el de segunda mayor aparición, lo repartiríamos de forma que estuvieran

los tres que más aparecen; y si fuera en el tercer lugar de nuestro ranking, escogeríamos el

de mayor trascendencia dentro de la pieza). Además, para completar la información aportada,

también se mostrará el acorde de mayor grado de disonancia30 que suena en el fragmento o

pieza (en caso de, por ejemplo, existir varios acordes de séptima disminuida, escogeríamos el

que apunte a un tono más lejano de la tonalidad principal).

Veamos este complicado proceso sobre un ejemplo práctico tomando el coral nº 20: “Ein

feste Burg ist unser Gott”, de J. S. Bach (fig. 6.5.1 en la página siguiente).

Según podemos apreciar, la partitura muestra ya un análisis de los grados que participan a

lo largo de la misma. Un desglose de los mismos respondería a la siguiente tabla:

Acorde Veces que apareceI 11V 8VI 6IV 5

(V)V 4III 4

VII6 2II 2

(V)II 2(VII)VI 1(VII)II 1

Cuadro 6.12: Acordes presentes en el Coral nº 20 de J. S. Bach

Comprobamos de esta forma que hay 46 acordes en total, de los cuales el I aparece once

29Estos colores, como es lógico, tendrán su correlación con lo explicado en este trabajo, en el apartado 5.5

titulado “El color como marca funcional” en la página 102.30Recordemos lo que comentábamos a este respecto, señalando el área de la representación poligonal de una

sonoridad como indicativo de su grado de disonancia, en el apartado 5.1.4 en la página 64.




Figura 6.5.1: Coral nº 20: “Ein feste Burg ist unser Gott” de J. S. Bach




veces, el V sólo ocho y el VI seis. Así, a nivel estadístico podríamos decir que el I aparece casi

un 24%, el V un 17% y el VI un 13%; si contamos los tres juntos vemos que suman casi el

54 % de los acordes de este coral. Al mismo tiempo, podemos comprobar Esta proporción es lo

que se indica con la segmentación de colores de la circunferencia en la siguiente figura 6.5.2:

Figura 6.5.2: Representación de las proporciones de aparición de acordes

Y finalmente, para simplificar y no requerir de leyenda alguna, así como para aportar al

observador el tipo y características (según se deducen de su morfología poligonal) de los acordes

más habituales de la pieza, se indican estos tres acordes encuadrados según correspondería a su

representación en el círculo cromático o la circunferencia interior del espiropentagrama -donde

do, si viéramos su posición como en un reloj, tendría la posición de las 12; si, a las 11; re,

las 2, etc.-. También, dibujado mediante una línea doble de puntos, se muestra el acorde más

disonante de la pieza, el (VII)II31. De esta forma, podemos concluir que el mapa armónico de lapieza quedaría expresado con la figura 6.5.3 que vemos a continuación en su forma policrómica

y en una versión en escala de grises32:

31Así como explicábamos al final del primer párrafo de este apartado, habiendo dos acordes disminuidosejerciendo su papel de dominantes secundarias, escogemos el del II (una alteración menos) por ser un tono máslejano que el VI, que es el relativo menor y comparte las mismas alteraciones.

32La idea es que, convertido el gráfico a escala de grises, sea más cómoda su distribución reprográfica y puedanseguirse reconociendo las correspondencias entre los polígonos y su índice de participación, indicado como en laversión en color, por cada segmento de circunferencia.




Figura 6.5.3: Mapa armónico del coral nº 20 de J. S. Bach (en color y en blanco y negro)

Finalmente, la idea sería adjuntar este esquema simbólico -probablemente, por comodidad,

en su versión en escala de grises- en las piezas revisadas, para así agilizar la comparación y la

deducción de sus características. De este modo podíamos observarlo en una versión monocró-

mica, en la esquina superior derecha de la partitura de este coral, que veíamos en la figura 6.5.1

en la página 162.

6.5.1. Comparación de mapas armónicos

Es indudable que la finalidad principal de esta utilidad del Espiropentagrama es poder

comparar diversas piezas (o incluso autores o estilos, si estuvieran ya sintetizados) de formarápida y sencilla, para poder, de esta forma, obtener conclusiones de índole armónica sobre

la evolución de un autor, o el carácter contrastante de dos pasajes, sustentándose siempre en

hechos objetivos y estadísticos, y no en vagas apreciaciones con mayor o menor fundamento.

De esta forma, vamos a comparar el Coral nº 20 “Ein Feste Burg ist unser Gott” de J.

S. Bach, que tomamos como ejemplo en el apartado anterior, con el Walze op. 18 nº 2 de F.

Schubert. Podemos ver la partitura, con los grados ya indicados, en la figura 6.5.4 en la página

siguiente.

Así, obtenemos la tabla mostrada en el cuadro 6.13, en que se indica los acordes que apareceny el número de veces que lo hacen.




Figura 6.5.4: Walze op. 18 nº

2 de F. Schubert




Acorde Veces que apareceI 9V 3IV 2V7 2

II 2III 2

VII6 2VI 1

(V7)III 1(V7)VI 1(V7)V 1

(VIIº)II 1

Cuadro 6.13: Acordes presentes en el Walze op. 18 nº 2 de F. Schubert

Concluimos pues que, de 25 acordes en total que hay en este vals, nueve veces aparece el I,

tres el V y dos el IV, el V con 7ª, el II y el III -escogeremos el IV para nuestro mapa armónico

de esta pieza, por ser el de mayor trascendencia armónica-. De esta forma, si convirtiéramos

estos índices de aparición en porcentajes, nos encontraríamos con que el I tiene una presencia

de un 36 %, el V un 12 % y tanto IV como V con 7ª como II como III estarían igualados con un

8 %. Por otro lado, el acorde más disonante del conjunto, parece evidente que es una dominante

secundaria, el acorde de séptima disminuida del II, que aparece en el compás 21 (véase partitura

en la página anterior). El mapa armónico de esta pieza podemos verlo en la siguiente figura6.5.5, en las dos versiones, la policrómica y la de escala de grises (que se mostraba ya en la

esquina superior derecha de la partitura ofrecida anteriormente).

Figura 6.5.5: Mapa armónico del Walze op. 18 nº 2 de F. Schubert (en color y en blanco ynegro)

Si ahora procedemos a comparar los dos mapas armónicos (el del Coral nº 20 de J. S. Bach




y el de este vals) como se muestra en la figura 6.5.6 que vemos a continuación, podemos obtener

varias conclusiones:

Coral nº 20 de J. S. Bach Walze op. 18, nº 2 de F. Schubert

Figura 6.5.6: Comparación de dos mapas armónicos

Ambas son obras de marcada influencia tonal y de notable simplicidad armónica. En el

caso del segundo mapa, dada la presencia mayoritaria del I, IV y V, tríadas, podríamos

pensar que con probabilidad pertenece al Clasicismo33.

Predominancia de acordes tríadas en ambos casos, si bien, observando el mapa de la

izquierda podemos deducir que no hay ningún cuatríada, ya que el acorde más disonante

es un tríada disminuido.

La pieza representada por el mapa de la izquierda es más tendente a la variedad de sonori-

dades, puesto que los tres acordes mayoritarios tienen una presencia bastante equiparada,

a diferencia de lo que sucede en el caso de la derecha, que la tónica ocupa más de un

tercio de la pieza (como ayuda a la rápida comprensión de este detalle, hago notar que

un tercio sería desde las 12 hasta las 4). Ésta es una de las características que singulariza

al Barroco frente al Clasicismo.La pieza de la izquierda es menos disonante en general. Los tres acordes más frecuentes,

siendo tríadas, sólo ocupan 6 de los 9 vértices posibles; e incluso contando lo aportado

al esquema por el acorde más disonante, sólo suma un vértice más. Sin embargo, en el

caso de la derecha, también tres tríadas, ocupan 7 de los 9, y el cuatríada representado,

aporta dos vértices más. Así tenemso una figura global de 7 vértices frente a una de 9, que

obviamente tendrá un área mayor (recordemos lo dicho a este respecto en el apartado 5.1.4

en la página 64, sobre el área como indicativo del nivel de disonancia de una sonoridad).

33Como sabemos, Schubert es para muchos teóricos un punto intermedio entre el Clasicismo y el Romanticis-mo.



Capítulo 7

Propuesta de aplicación de esta

didáctica

En este capítulo vamos a plasmar lo que podría ser un plan de actuación con el que poner

en práctica la metodología aquí esbozada. La idea de estas páginas no es, en modo alguno,

ofrecer una detallada planificación sino apenas un apunte; sin lugar a dudas, tratar de llevar a la

realidad las directrices que aquí se proponen exigiría un estudio mucho más pormenorizado y un

replanteamiento de las programaciones didácticas, e incluso quizá también la propia legislación

vigente.

Esta propuesta de aplicación es sólo un boceto elaborado tras mucha reflexión e investigaciónpor una sola persona; no cabe la menor duda de que, pese a su mejor intención, un equipo de

personas especialistas en los diferentes niveles educativos, así como en pedagogía y psicología,

podrían -y ojalá así suceda- realizar muchas mejoras sobre este ambicioso diseño que abarca

todos los niveles educativos en que está presente la música1.

7.1. En la enseñanza general

El método aquí propuesto basa sus argumentaciones en establecer conexiones entre sonori-

dades y formas geométricas y colores. Así, estas conexiones pueden empezarse a plantear desde

un período incluso anterior a que el niño sea capaz de reconocer con precisión ambos aparta-

dos de la realidad, con el fin de que la asimilación de la solidaridad acústico-visual de estos

elementos, se produzca con total naturalidad más adelante.

1En estas páginas se contempla tanto la enseñanza general, como las enseñanzas artísticas. Ha quedado sin

tratar, sin embargo, en parcelas en los que no es materia propiamente, como la danza; ahora bien, el método detrabajo para estas secciones de la enseñanza que hemos omitido, pueden deducirse fácilmente a partir de estecapítulo según cuál sean los contenidos tratados y la finalidad de los mismos.

169



170 CAPÍTULO 7. PROPUESTA DE APLICACIÓN DE ESTA DIDÁCTICA

7.1.1. En el ámbito de Preescolar

Este período educacional se dirige a los niños desde los 0 hasta los 6 años y va a ser de una

enorme trascendencia para los posteriores progresos educativos. Así pues, respecto de lo que

nos concierne podemos afirmar que según los estudios de la psicología evolutiva, desde los 2 a

los 3 años de edad, el niño ya es capaz de identificar y nombrar las formas geométricas básicas

y los colores primarios y algunos de los secundarios. Sería, por lo tanto, un buen momento para

trabajar la vinculación de figuras, colores y sonoridades. No obstante, aunque es probable que

apenas pueda aspirarse a la asimilación cognitiva del niño desde sólo la vertiente sonora, de las

equivalencias visuales, no sería descabellado empezar a trabajar también hacia ese objetivo y

evaluar la evolución.

Trabajaríamos únicamente con los tres colores básicos: azul, verde y rojo; y las tres formas

básicas: triángulo, cuadrado y círculo. Tal y como se describía en los apartados correspon-

dientes2

, estos tres colores y estas tres figuras remitirían a diferentes realidades sonoras (véasecuadro 7.1), que, para una mayor diferenciación por parte del niño, sería recomendable que

estuvieran practicadas por timbres lo menos semejantes posible. Una sugerencia sería que cada

figura estuviera interpretada por una familia de instrumentos diferente, por ejemplo, el círculo

(el glissando) por la cuerda, el triángulo (el acorde mayor ) por el viento y el cuadrado (el acorde

disminuido) por la percusión.

2Las vinculaciones propuestas de las sonoridades con los colores se explicaban en el apartado 5.5 en lapágina 102 y de éstas con las figuras geométricas triangulares en el apartado 5.4.1 en la página 83 y con loscuadriláteros en el 5.4.2 en la página 88.



7.1. EN LA ENSEÑANZA GENERAL 171

Azul

Verde

Rojo

Cuadro 7.1: Tres colores, tres figuras, tres sonoridades

Una manera de trabajar con estas formas podría ser unirlas a movimientos, a modo de

juego. Por ejemplo, colocando estas figuras, con un tamaño grande, dibujadas en el suelo y que

al reproducirse la sonoridad propia a cada representación, los niños deban ir y colocarse sobre

la figura adecuada. Otra manera de vincular las sonoridades, figuras y movimiento, sería que,

al mismo tiempo que se reproduce la sonoridad y se muestra la figura, se deba colocar el cuerpo

de una manera concreta; por ejemplo, con el azul: sentado, con el verde: andando y con el rojo:

en cuclillas.

Como otra posible aplicación de esta vinculación, no sería difícil imaginar una especie de

teclado de tres teclas, que tuvieran la formas y colores que acabamos de describir, y que remi-

tieran al ser pulsadas, a las sonoridades previstas (de forma similar a como pueden funcionar

los botones de la mano izquierda del acordeón). El teclado contaría con una pantalla electrónica

pequeña en la que se le indicaría al niño una serie de secuencias con estas figuras, graduadas

en dificultad creciente, para que el niño las fuera realizando pulsando las teclas. Este juguete

podría ser perfectamente apto desde los 18 hasta los 36 meses.

Una versión más desarrollada para niños desde los 3 años hasta los 6, contaría con más teclasampliando el número de colores y repitiendo figuras con diferentes colores, o una versión de




tipo xilófono3. De hecho no es en absoluto imposible, imaginar su aplicación en acordeones de

juguete -como los que ya hay en el mercado- que permitiera acompañar una serie de canciones

pregrabadas en el aparato o incluso, para los niños más mayores (5 y 6 años) contemplar la

posibilidad de enseñarlos a tocar una melodía con la mano derecha y a acompañarse ellos

mismos con botones con estas figuras y colores, en la izquierda. También podría plantearse laposibilidad de usar otros instrumentos de juguete, como guitarras o teclados elementales.

7.1.2. En el ámbito de Primaria

En este período educativo, que en nuestro país abarca desde los 6 hasta los 12 años, la música

es una disciplina que se estudia académicamente a nivel general en las escuelas de enseñanza

básica. Cierto es que en la actualidad cuenta con un presupuesto temporal semanal muy bajo4,

que apenas permite una introducción somera del niño a la compleja teoría y práctica musical.

7.1.2.1. Primer ciclo

Contemplando la posibilidad de que haya habido algún tipo de formación musical en el jardín

de infancia, según se propone aquí, la idea sería que durante los primeros cursos pudiera seguir

empleándose actividades similares a las que planteábamos antes en el apartado de preescolar (

en la página 170), para vincular las sonoridades con las figuras. Va a ser muy importante que

durante esta etapa inicial de la educación del niño, se le aporte un nexo y se le introduzca en el

mundo armónico, puesto que esta iniciación va a ser fundamental para las etapas posteriores.Una manera de continuar creando esta conexión, y reelaborando propuestas que hacíamos

antes, podría tratarse de aprender canciones sencillas con coreografías elementales, que tengan

como localización espacial el colocarse en determinada postura sobre una parte de la clase en la

que estuviera esta forma geométrica o, mejor aún, formando en grupos, creando filas que serían

los lados, estas formas geométricas (triángulo, cuadrado, círculo).

7.1.2.2. Segundo ciclo

Siguiendo con lo que se trabajaba en el ciclo anterior, se llevarían a cabo adaptaciones de

actividades, para ofrecer una mayor variedad y continuar asentando el reconocimiento de estas

sonoridades sencillas.

3Podemos observar que ya existen xilófonos de juguete que utilizan láminas de colores para niños de cortaedad, sin embargo, los colores suelen ser diferentes a los que proponemos en este método, porque atiendenúnicamente a sonidos individuales y no a sonoridades de varios sonidos. Así, los colores que podemos ver enellos son do: rojo, re : naranja, mi : amarillo, fa : verde, sol : azul o verde oscuro, la : azul oscuro o morado, y si : lilao rosa. Se aprecia cómo esta relación se aproxima bastante a la secuenciación que hiciera Newton, que veíamosen el apartado 2.2 en la página 28.

4Dado que la estipulación de los currícula educativos ya no depende de la administración estatal, sino que

queda a discreción de las administraciones autonómicas, la situación que describimos es la que nos es conocidaen la región en la que nace este trabajo, la Región de Murcia. Aquí, en el nivel de Primaria, la asignatura deMúsica sólo cuenta con una hora semanal.




Por otra parte, dado que en esta etapa ya se hará uso con toda probabilidad de los musi-

cogramas, podría ser de especial utilidad el insertar los dibujitos (instrumentos musicales, que

normalmente se utilizan para ir marcando las partes y/o compases) en un marco poligonal que

corresponda con lo que se está trabajando (véase fig. 7.1.1 de abajo); de este modo se estaría

indicando, aunque no tenga por qué hacerse explícito para los alumnos, el tipo de acorde y lafunción que tiene, y así ir contribuyendo al asentamiento de los conceptos.

Figura 7.1.1: Elemento de musicograma enmarcado

7.1.2.3. Tercer ciclo

En este ciclo podríamos dar ya un paso más y tratar de que traten de reconocer los grados

tonales (I, IV y V) e identificarlos con los colores básicos (azul, verde y rojo, respectivamente).

Para ello podría utilizarse canciones básicas, a ser posible que les sean cercanas al alumnado 5,

así se logrará interesarlos y hacerles ver que puede ser útil para entender cómo se estructura el

fraseo de la música, cómo se construye la tensión y la relajación dentro de la sintaxis musical.

7.1.3. En el ámbito de Secundaria

Esta etapa abarca, de forma obligatoria, desde los 12 hasta los 16 años, con lo que se llama la

ESO (Enseñanza Secundaria Obligatoria). Terminada esta fase educativa, el estudiante puede

escoger si seguir cursando el Bachillerato (de los 17 a los 18 años) o comenzar las enseñanzas

de índole profesional. Ésta es por lo tanto, la última parte de la enseñanza que se ofrece a

todos los escolares de nuestro país, y ha de servir, en el ámbito de las enseñanzas musicales,para consolidar los aprendizajes y para completar el desarrollo de las habilidades y destrezas

que se iniciaban en primaria. Es por esta razón que será relevante que se continúe con la labor

armónica que se venía haciendo e incluso se evolucione dentro del mismo.

7.1.3.1. Primer ciclo

En el primer ciclo, al menos en el entorno desde el que nace este trabajo, sólo se imparte

música en uno de los dos niveles que lo componen, después de una leve cesura de un año, que

5Secuencias basadas exclusivamente en estos tres acordes son muy populares dentro del pop y el rock , yespecialmente en el conocido punk rock, así que no será difícil encontrar una canción entre este género. Comogrupo emblemático de este tipo de música habría que señalar sin dudas a “Los Ramones”.




puede llegar a ser fatal para la asunción de todos los conceptos y destrezas, por parte de los

jóvenes. No obstante, en este curso lo más recomendable sería intentar recuperar el nivel que

se había alcanzado en el último ciclo de primaria y dotarlo de una base teórica más fuerte que

lo fundamentara y le sirviera para darle mayor consistencia.

Quizá, si el alumnado tuviera posibilidad y la destreza suficiente, se podría ampliar elcorpus de acordes con el que se trabaja con el acorde de séptima de dominante (cf. fig. 7.2.1 en

la página 178) y algún acorde menor, como el II y el VI, con sus respectivas formas y colores

(recordemos el cuadro 5.4 en la página 104).

7.1.3.2. Segundo ciclo

En este período, además de existir un curso en el que la música se imparte como asigna-tura obligatoria, se ofrecen diversas posibilidades optativas, que permitirán hacer interesantes

progresos en la práctica interpretativa y auditiva armónica. En asignaturas como “El taller de

creatividad” en el que se potenciará la expresividad instrumental y vocal del alumno, podrá

avanzarse en el sentido que propone esta didáctica si se inicia al alumnado en instrumentos

polifónicos como los teclados o la guitarra. Esto, fuera de ser muy llamativo para los estudian-

tes de estas edades, servirá como extraordinario acicate para llevar a la práctica el trabajo de

conexión que hemos llevado a cabo desde las primeras etapas de la enseñanza. Como propuesta

presentamos el próximo párrafo que explica una forma de usar las formas poligonales a modo

de cifrado acórdico.

El cifrado poligonal. Desde bastante antiguo en nuestra tradición, se ha buscado medios

para representar sonoridades o acordes, de forma que fuera más rápido de escribirlas y además,

no requiriera de un conocimiento profundo a su receptor, del lenguaje musical, para su ejecución.

La mayoría de estos cifrados se basaban en principios conceptuales y no buscaban la solidaridad

del signo con su atribución6; como ejemplo sencillo y vigente, tendríamos el extendido cifrado

americano que recoge con letras y números el tipo de sonoridad con que se debe acompañar unfragmento de una melodía, ésta sí, escrita sobre un pentagrama. La propuesta que se lanza en

este apartado de utilizar las figuras poligonales y colores con los que se venía trabajando, según

está recogido aquí el proyecto, desde prescolar, como método de cifrado para el acompañamiento

de piezas que, instrumentos polifónicos como el teclado o la guitarra, podrían leer y servirles,

también, como método facilitado de introducción al instrumento. Podemos ver una ilustración

que refleja cómo resultaría, llevada a un caso práctico, esta propuesta de cifrado, a continuación

en la figura 7.1.2.

6Una excepción destacable es el cifrado de guitarra que en sí mismo, indica la posición de qué trastes hayque pisar sobre el mástil para reproducir el acorde.




Figura 7.1.2: Imagine , de John Lennon, en cifrado americano y poligonal




7.2. Dentro de las enseñanzas artísticas

Será éste el ámbito más apropiado y con mayores posibilidades de desarrollo para aplicar

por entero, el máximo potencial que este método didáctico ofrece. Al contar con un alumnado

que va a tener una formación específica y una continuidad, se puede trabajar con los mediosaquí propuestos desde una temprana edad y con la suficiente profundidad para alcanzar unos

resultados evidentes, en estadíos de estudio más avanzados.

7.2.1. En las Enseñanzas Elementales

En este nivel, con alumnos de una corta edad, es fácil crear estímulos y conexiones que

puedan tener una resonancia útil posterior. De este modo, pudiendo haber trabajado o estarlo

haciendo, ya en la educación general de prescolar y de primaria, con los elementos básicos,

en la asignatura de Lenguaje Musical se profundizará en éstos y se buscará desarrollar una

integración de los mismos aún más consumada, dentro del corpus teórico-conceptual adquirido

por los niños.

7.2.1.1. Primer curso de Lenguaje Musical

En el primero los cuatro cursos, se insistirá sobre la imbricación de símbolos poligonales y

policrómicos elementales7; mi propuesta sería incluir progresivamente una mayor cantidad de

figuras y colores, pero para empezar partir apenas de los 3 colores básicos de los tres gradostonales (I = azul; IV = verde y V = rojo) y el triángulo escaleno creciente propio del acorde

perfecto mayor. Así, primeramente sería un trabajo exclusivamente con colores, con la finalidad

de asentar auditivamente los tres grados principales y las funciones básicas del lenguaje tonal. En

el segundo trimestre, si ha habido una buena evolución, se añadiría un color más correspondiente

a otro grado, la supertónica (II = amarillo), junto con la figura propia del acorde menor: el

triángulo escaleno decreciente; semanas más tarde se introduiría también la submediante o

superdominante (VI = lila), que tendría la misma forma pero otro color. En el último trimestre,

se incorporaría los dos grados que faltan, primero la mediante (III = marrón) que sólo sumaría

un color más al corpus conceptual; y por último, la sensible (VII = naranja) que supondría no

sólo un nuevo color, sino también una forma nueva: el triángulo rectángulo isósceles. Con esto

habríamos introducido al alumno a todas las sonoridades tríadas propias de la escala Mayor,

siempre en discursos armónicos breves y elementales (apenas tres acordes). Sería aconsejable

que, además de vincular puramente los acordes con las figuras y colores mencionados, a la

manera tradicional de dictado, se practicara de manera lúdica con movimientos en danzas

y juegos, que pudieran servir para redundar en las características funcionales de tensión y

distensión, propias de estas sonoridades según el contexto del discurso.

7Recordamos que existe una tabla ilustrativa de la representación poligonal de los tríadas de la escala Mayoren la página 104.



7.2. DENTRO DE LAS ENSEÑANZAS ARTÍSTICAS 177

Es probable que para el mejor reconocimiento de los acordes, sea conveniente reproducir

los acordes arpegiándolos un poco, para facilitar la escucha de todas sus notas a estos alumnos

nóveles.

7.2.1.2. Segundo curso de Lenguaje Musical

En segudo se repasaría y profundizaría en lo aprendido en primero haciendo uso de estruc-

turas armónicas con mayor complejidad (utilizando más de tres acordes diferentes) y longitud

(alcanzando desde el segundo trimestre, la frase de ocho compases). Si fuera posible, se añadiría

al final, en el tercer trimestre, la sonoridad de un cuatríada con una representación y sonoridad

muy características: el acorde de séptima disminuida, que en este nivel inicial, mantendría elcolor naranja8 de su tríada base, pero estaría representado por una figura nueva, el cuadrado

(tratábamos este acorde en el apartado 5.4.2.7 en la página 95).

Además, dado que se empieza a iniciar a los alumnos en este curso9 en los intervalos básicos

(mayores, menores y justos) y la escala de Do Mayor y de la menor, parece que sería un

buen momento para apoyar la explicación de estos elementos de la teoría musical mediante su

proyección sobre el Espiropentagrama (que recordemos se trató en el capítulo 4 en la página 43);

un utensilio de fácil fabricación que podrán hacerse ellos mismos (aportándoles las plantillas

para que únicamente tengan que recortar) y que, probablemente, será recibido como un juguete.Con bastante certeza será más fácil para los niños contar los intervalos como si fueran horas del

reloj, y al mismo tiempo, este mecanismo servirá como cimiento nemotécnico que les ayudará

a retener y a realizar mentalmente una visualización de la escala y de los intervalos.

7.2.1.3. Tercer curso de Lenguaje Musical

En el siguiente curso, el tercero de grado elemental, se partiría de frases de ocho compasescon al menos cuatro acordes diferentes, y se insistiría en el manejo de las sonoridades vistas

hasta el momento, incluyendo especialmente el acorde de séptima disminuida. Una evolución

respecto del curso anterior, sería empezar a trabajar el reconocimiento de la inversión en que

están los acordes; la manera de simbolizar esto, que colaboraría sería muy sencillo mediante la

rotación de las figuras poligonales que se venía usando hasta ahora.

8Si fuera posible, se distinguiría entre dos naranjas diferentes, aunque sólo a nivel visual y sin ninguna

referencia explícita para el alumnado; el naranja del tríada sería más apagado y el del cuatríada disminuido,más brillante (como si se mezclara el naranja propio del VII con el amarillo propio del II).

9Según he podido constatar consultando las programaciones docentes de varios conservatorios.




Estado Fundamental 1ª inversión 2ª inversión

Acorde Perfecto Mayor

Acorde perfecto menor

Cuadro 7.2: Representación de las inversiones de los acordes perfectos Mayor y menor

A mediados del segundo trimestre, como novedad, se comenzaría a aplicar un dictado mix-

to que incluyera alturas melódicas sencillas con una rítmica elemental, junto al uso de estas

sonoridades. Y en el tercero, si todo se desarrollara con éxito, se podría incorporar un nuevoacorde, el cuatríada principal de la tonalidad: el acorde de séptima de dominante, representado

por un trapezoide10 con un ángulo recto de color rojo11 (puede verse en la fig. 7.2.1).

Figura 7.2.1: Trapezoide que representa el acorde de Dominante con séptima

Por otra parte, sería recomendable que en este curso se empezara a usar timbres diferentes

al del piano, que presumimos sea el único que se haya utilizado hasta el momento, para no

restringir su capacidad a un solo timbre y para incorporarlo también al vasto mundo de la

identificación de otros instrumentos polifónicos o de conjuntos de instrumentos, a través de la

audición.Asimismo, continuando con el uso del Espiropentagrama que comenzamos en el curso an-

terior, en éste añadiríamos su propuesta como soporte para la comprensión de la transposición

de las escalas Mayores y menores, próximas, así como de intervalos más complejos (incluyendo

los aumentados y disminuidos) y la inversión12 de todos ellos. Por otro lado, colaborará en la

explicación de los conceptos de unísono cromático y diatónico, y en el de enarmonía.

10Recordemos que, según nos define el DRAE, un trapezoide sería un “cuadrilátero irregular que no tieneningún lado paralelo a otro”.

11En caso de poder matizarse, el rojo de este cuadrilátero sería un rojo anaranjado cercano al conocido naranja

butano, consecuencia de una visión del mismo como suma del rojo del V grado y el naranja del VII.12La inversión de intervalos en el Espiropentagrama es tan sencilla como contar semitonos en el sentido de

las agujas del reloj o en el contrario.




7.2.1.4. Cuarto curso de Lenguaje Musical

Por último, en cuarto, el alumno debería poder hacer frente a un dictado que contara con una

melodía y un acompañamiento básico con los acordes que conoce, añadiéndose el reconocimiento

de las cadencias básicas (suspensivas o finales). Si se ve el grupo con un progreso adecuado,podría incluirse en el segundo o tercer trimestre dos sonoridades de cuatríada nuevas: el acorde

menor con séptima menor y el acorde mayor con séptima mayor, construidas sobre el II y el

IV con 7ª, respectivamente. Su representación poligonal sería la de dos trapecios13, tal como se

muestra en la figura 7.2.2 de abajo, el II en un color amarillo (si es posible matizar, un amarillo

oscurecido casi verde, consecuencia de la mezcla de estos dos colores que simbolizaban el II y

el IV) y el IV en verde (de nuevo, de ser posible matizar sería un verde turquesa, producto de

la mezcla de los colores respectivos del IV y el VI, el verde y el morado). Primeramente sólo en

estos dos grados cada una de ellas y de estar perfectamente asumidas, podría ampliarse hastacompletar todos los cuatríadas posibles de la escala Mayor, en el tercer trimestre. O sea, tratar

y usar también la sonoridad de perfecto menor con séptima menor sobre el III y el VII, cuyos

polígonos representativos serían el mismo trapecio que servía para el II7, pero con diferentes

colores, el III en su marrón (ahora, si se puede escoger gama, sería un marrón rojizo) y el VI

en su color morado (en caso de poderse graduar, sería un color malva cercano al azul).

Figura 7.2.2: Representación del II y IV con 7ª de una escala Mayor

En caso de introducir al alumnado en el campo de la armonía, sería un buen momento parahacerlo explicando las tendencias, funciones y jerarquías de la tonalidad haciendo uso, a modo de

esquema y resumen, de los árboles armónicos (de ellos hablamos en el capítulo 3 en la página 33)

en una versión elemental, ya que las grafías con que se simbolizan los diferentes papeles de cada

sonido dentro de cada sonoridad pueden ser muy útiles para su mejor comprensión.

Se evidenciará en el Espiropentagrama la motivación de las representaciones de todos los

acordes aprendidos hasta este curso y se mostrará su inclusión dentro del heptágono diatónico

de diferentes tonalidades (hasta 5 alteraciones en más y en menos).

13Atendiendo a la definición aportada por el Diccionario de la RAE, un trapecio en geometría es un “cuadri-látero irregular que tiene paralelos solamente dos de sus lados”.




7.2.2. En las Enseñanzas Profesionales

Este nivel educativo14 conducirá a la obtención de un título profesional de música y requerirá

de la adquisición de unas destrezas y de todo un compendio de conceptos teóricos, que el alumno

deberá poder manejar con soltura. Entre ellos, se iniciará en esta etapa de las enseñanzas

artísticas, propiamente en el mundo de la Armonía, debiendo ser capaz de reconocer (tanto

teóricamente como en la práctica) y utilizar en ejercicios de diferentes tipos, las principales

sonoridades de la ortodoxia tonal. Desde luego, éste será el momento en el que se podrá empezar

a hacer uso, verdaderamente, del núcleo fundamental del material que aquí se aporta; para ello,

los usos propuestos para la enseñanza general y el nivel elemental de las enseñanzas artísticas,

han sido apenas un preludio, una preparación para que ahora no resulte brusca y, al mismo

tiempo, pueda aprovecharse con plenitud, al tener ya asimiladas la manera de esquematizar y

las analogías de representación.

7.2.2.1. Lenguaje musical

Esta asignatura se daría en los dos primeros cursos de las Enseñanzas Profesionales, y

teniendo en cuenta lo trabajado en el último curso de las Enseñanzas Elementales, habría de

continuar afirmando y profundizando en los contenidos armónicos que, desde estas páginas,

se proponían para ese curso, en el apartado 7.2.1.4 en la página anterior. Es decir, trabajar

con todos los acordes tríadas (perfecto Mayor y menor, disminuido) y añadir el de quinta

aumentada -que estaría representado por un triángulo equilátero, de color marrón (que si se

pudiera matizar, sería más bien marrón rojizo)- que de manera natural se da sobre el III<

del menor melódico (fig. 7.2.3); así como con los acordes cuatríadas que se habían visto hasta

ahora (séptima disminuida, Mayor con séptima menor y mayor, menor con séptima menor) y

añadiéndose uno: el de séptima de sensible, propio del VII grado del mayor -simbolizado por

un trapezoide naranja (y de poder matizarse, amarillo huevo), como podemos ver también en

la figura 7.2.3 de abajo-.

Figura 7.2.3: III< de la escala menor melódica y el VII7 propio del modo Mayor

Del mismo modo que ya se comenzaba a hacer en el último curso de las Enseñanzas Elemen-

tales, estos polígonos se harán visibles partiendo de su fundamentación en el Espiropentagrama,

14El currículo de las Enseñanzas Profesionales en el que se basa este apartado es el propio de la Región deMurcia, acorde con lo publicado en el BORM de 7 de Mayo de 2008.




así como se trabajará en estos dos cursos sobre él, tanto en las explicaciones como en la resolu-

ción de ejercicios propuestos para el alumnado (un ejemplo de este tipo de ejercicios propuesto

lo tenemos en la figura 7.2.4 en la página siguiente), en los que haya que deducir sonidos o

construir representaciones geométricas a partir de unos sonidos dados que bien podría servir,

para trabajar y repasar armaduras, grados y funciones de tonalidades diferentes; alcanzandoahora sí, todos los sostenidos y bemoles posibles e incluso, las alteraciones accidentales dobles de

sostenido y bemol. Este trabajo colaborará notablemente para la interiorización y comprensión

teórica de las sonoridades con enarmonías, que de manera aislada habíamos propuesto trabajar

ya desde el tercer curso de Elemental.




Figura 7.2.4: Trabajando con las figuras derivadas de la representación en el Espiropentagrama




7.2.2.2. Armonía

Esta asignatura aparece en nuestro currículo en los dos cursos centrales de las Enseñanzas

Profesionales, una vez concluidos los dos cursos de Lenguaje Elemental de los dos primeros

años. Es evidente que será al alcanzar esta asignatura, donde mayor provecho podrá obtenersede las ideas aquí expuestas, especialmente si, como aquí se sugiere, se ha venido trabajando con

los árboles armónicos desde final de las Enseñanzas Elementales, en la asignatura de Lenguaje

Musical, y si las proyecciones de sonoridades sobre el Espiropentagrama, como analogías de su

esencia sonora, están no sólo entendidas sino perfectamente incorporadas a la realidad teórica

musical del alumno. Así pues, se podrá trabajar partiendo de un conocimiento sólido de las

propiedades de las sonoridades más habituales del lenguaje tonal, tanto en su dimensión teórica

como en la acústica, y esto permitirá que el alumno maneje las realidades sonoras en sus

ejercicios de Armonía siendo plenamente consciente de cómo suenan y de sus grados de tensión,

y escogiendo conscientemente las progresiones y enlaces que quiere realizar, en función de loque le es permitido y lo que tiene perfectamente asimilado como producto de su bagaje musical.

La asignatura, por lo tanto, a lo largo de los dos cursos que abarca, tratará de desarrollar el

oído interno sintáctico-armónico del alumno, haciéndole comprender y valorar las progresiones y

enlaces más aconsejables u ortodoxos de nuestro sistema musical occidental en su variante tonal

de la práctica común; además, no sería inoportuno completar esta enseñanza introduciéndolo

a otras posibilidades de otros períodos históricos y de otros sistemas diferentes al tonal. Para

ello, como es lógico, se haría uso de los árboles armónicos (que veíamos en el capítulo que

dedicábamos al respecto) y así se podría ir mostrando la evolución de la Armonía tonal ysu comparación con la Armonía modal o la atonal, por citar algún ejemplo. Como es lógico,

conforme el alumno vaya aumentando sus conocimientos, sus árboles armónicos irán creciendo,

así como la figura resultante de su proyección en el Espiropentagrama.

De este modo, como ejemplo práctico y significativo de la incidencia de este material en

esta asignatura, podríamos citar una aplicación del Espiropentagrama que se explicaba en

el capítulo anterior; hablamos pues de la modulación diatónica, una forma de modular que

suele estar incluida en los contenidos del segundo curso de este nivel, y que se explicaría en

este momento haciendo uso de unos árboles armónicos sin las notas alteradas -que es como lohicimos nosotros-, o sea, en su estado elemental o medio15, pero siguiendo el proceso descrito

para este tipo de modulación en el apartado 6.3.3 en la página 124.

7.2.2.3. Análisis

Análisis se estudiará en los dos últimos cursos de los seis que integran las Enseñanzas

Profesionales, si bien el alumnado tendrá que escoger entre esta materia o Fundamentos de

Composición. La aportación que los árboles armónicos pueden hacer dentro del campo del

15En caso de no entender a qué forma de los árboles armónicos nos referimos, recomendamos acudir a lapágina 35 en la que se explicaba este asunto.




análisis es más que notable ya que, siendo una manera de esquematizar jerarquías, funciones y

tendencias de unos sonidos dentro de un conjunto, van a servir fructíferamente para resumir las

características de autores o de obras y compararlas entre sí. Podría de esa manera apreciarse, en

apenas unos escasos centímetros de papel, las conclusiones armónicas de una pieza comparadas

con el resto de la obra de un autor, o simplemente esquematizarse las cualidades de índolearmónica que sobresalen en ella.

En cualquier caso, dentro de este campo, quizá la mayor aportación que estas páginas

pueden realizar serían las que ofrecen los mapas armónicos de los que hablábamos como una de

las aplicaciones del Espiropentagrama en el apartado 6.5 en la página 161; entonces poníamos

como ejemplo los resultados de su empleo en un coral de Bach y una pieza de Schubert.

7.2.2.4. Fundamentos de Composición

Esta asignatura, como alternativa a Análisis, se estudiará en los últimos dos cursos de lasEnseñanzas Profesionales y tratará de iniciar a los estudiantes que la elijan, en métodos com-

positivos elementales. De esta forma, nuevamente, los árboles armónicos y los mapas armónicos

que mencionábamos como instrumentos de utilidad de Análisis, van a ser de un destacado pro-

vecho para esta otra asignatura. Van a aportar y proponer esquemas de modelos armónicos

de los que partir para realizar por ejemplo una sonatina a la manera de Beethoven, o unas

variaciones en el estilo de Mozart.

Entre los contenidos que suele incluir esta materia, se suele incorporar la modulación cromá-

tica, que bien podría hacerse (aunque trabajando con árboles simplificados, como ya decíamosantes) siguiendo el método de comparación de la proyección de árboles sobre el Espiropenta-

grama, tal y como hacíamos en el apartado 6.3.3 en la página 124.

Por otra parte, el Espiropentagrama puede colaborar a realizar análisis o mostrar propieda-

des de los motivos melódicos o armónicos que se escojan o a crear otras formas de composición

a partir de otros principios.

7.2.3. En las Enseñanzas Superiores

El currículo de las Enseñanzas Superiores de música de nuestra región está aún por confor-marse mientras redactamos estas páginas, tras la implantación de un nuevo plan educativo de

enseñanzas superiores por este motivo cabe la posibilidad de que lo que aquí se recoja no sea

exactamente la manera en que se desarrolle en la práctica estas enseñanzas, una vez alcancen

las aulas.

7.2.3.1. Análisis

La asignatura de Análisis en las Enseñanzas Superiores va a ser de una enorme importancia

y va a abarcar todos los períodos de la historia de la música occidental. De esta forma, losmétodos que se describían para esta asignatura en las Enseñanzas Profesionales, en el apartado




7.2.2.3 en la página 183. Obviamente, se tratará con mayor profundidad y se intentará enseñar

al alumno a elaborar y comparar los mapas y árboles armónicos, que representarán las piezas

analizadas y a sacar conclusiones de ellos.

Evidentemente estos métodos resultarán muy útiles para comparar y comprender mejor

diferentes estilos, sistemas compositivos de diferentes corrientes, etc.

7.2.3.2. Armonía

De forma similar a como se proponía trabajar en las Enseñanzas Profesionales, en el apar-

tado 7.2.2.2 en la página 183, se haría ahora en las Enseñanzas Superiores, pero obviamente,

trabajando con mayor exhaustividad y profundidad todas las posibilidades tanto del sistema

tonal, como de otros que puedan ser interesantes para completar su formación.

Continuando el ejemplo que citábamos antes, en el apartado que trataba el estudio de esta

asignatura en las Enseñanzas Profesionales, sería un buen momento para introducir al alumnoen los árboles con notas alteradas (progresivamente, según fueran incluyéndose a lo largo de

los dos cursos) y en los otros dos métodos de modulación que desarrollábamos, la modulación

enarmónica (en el apartado 6.3.4 en la página 132) y la modulación cromática (apartado 6.3.5

en la página 142).

7.2.3.3. Contrapunto

Contrapunto va a ser una asignatura nueva para los estudiantes de música de este nivel, ya

que aunque hayan cursado los estudios profesionales, no se van a haber enfrentado a ninguna

materia que tratara estos contenidos; únicamente, aquéllos que hubieran elegido Fundamentos

de Composición, podrían haber tenido algún contacto con consideraciones melódicas que se

tratarán con mayor profundidad en esta asignatura de Grado Superior.

Respecto de las aportaciones que la propuesta didáctica que se ha desarrollado en estas

páginas, puede hacer a la enseñanza de Contrapunto, fuera de lo ya comentado que no dejaría

de ser útil, de las asignaturas de Armonía y de Análisis, estarían la elaboración de árboles que

tuvieran como finalidad explicar mejor el comportamiento melódico de determinados estilos y

autores, o de árboles que ayudaran al alumno a asimilar las posibilidades de realización melódicaque posee para un tipo de ejercicio en concreto (como el árbol que ofrecíamos en el apartado 3.4.1

en la página 41). Asimismo, haciendo uso del Espiropentagrama, podría analizarse la interválica

constituyente de un motivo cualquiera, o trabajarse los diferentes tipos de imitación como se

proponía en la sección 6.2 en la página 107, en el capítulo dedicado a las aplicaciones de esta

herramienta.

7.2.3.4. Otras asignaturas que podrían beneficiarse

Sin lugar a duda, lograr que el alumno posea una mayor capacidad a la hora de analizar,utilizar y reconocer sonoridades va a poder ser útil para todas las disciplinas del mundo mu-




sical; no obstante, por mencionar aquí otras que van a poder beneficiarse más directamente,

señalaremos aquí las que parecen más señaladas en este sentido.

Tal vez la asignatura que primero venga a la mente sea, inevitablemente, la de Educación

Auditiva. Una asignatura que suele causar bastantes quebraderos de cabeza entre el alumnado

que llega a este nivel, y que consequentemente al ingente incremento de la educación del oídoarmónico que se propone en estas páginas, iniciándose desde el nivel de preescolar, encontraría

mucho menor fracaso y podría, sin lugar a dudas, afrontar niveles de enseñanza mucho más

altos si la propuesta realizada en estas páginas, se llevara a la práctica.

Quizá otra de las más destacadas, en cuanto a poder utilizar lo expuesto en este trabajo,

sería propia asignatura de Composición (o su variante de Composición aplicada), que va a

poder gozar de un sistema de esquemas y de análisis nuevo y extremadamente útil, al tiempo

que va a poder usar estas herramientas para proponerse nuevos métodos y nuevas organizaciones

sonoras.Otro caso relevante sería el de Acústica, que va a contar con un clarificador medio para

mostrar las diferencias entre diversos sistemas de afinación y sus propiedades con el Espiropen-

tagrama (así lo demostrábamos en la sección 6.1 en la página 105, que comparaba el sistema

de afinación temperado con el sistema pitagórico).



Conclusiones

La investigación que aquí se ha ofrecido perseguía contribuir a la teorética y a la enseñan-

za general de la música de diversas maneras. La primera sería incentivar la ampliación de los

marcos de aprendizaje de la Armonía mucho más allá de lo que hasta ahora han tenido, al

menos dentro de nuestra región y por extensión, de nuestro país. La ampliación propuesta en

estas páginas tiene dos sentidos, en un primer término, extender la posibilidad de educar atodo el conjunto de la sociedad, en el reconocimiento de sonoridades, en su valoración y en

su disfrute. Y en segundo, hacerlo desde el mismo comienzo de su educación, no esperando

a que puedan poseer los complejos conocimientos teóricos que el manejo de los conjuntos de

sonidos implica, que requeriría desde luego (y así se venía haciendo hasta ahora) una ense-

ñanza específica continuada, sino simplemente ofreciéndole instrumentos para distinguir estas

sonoridades y someterlas a una taxonomía elemental; especialmente iniciándose en el período

infantil que es cuando mayor capacidad de aprendizaje existe en la persona. Éste sería, por

lo tanto, el doble marco de actuación, abarcar las enseñanzas generales y disminuir la edadde iniciación, en consecuencia también en las enseñanzas artísticas específicas, de los alumnos

a las posibilidades expresivas y artísticas de las combinaciones de sonidos. Al respecto de los

medios que van a usarse para alcanzar este fin, tal y como enunciábamos líneas más arriba, la

propuesta que realizamos estribaría en utilizar como signo de las realidades sonoras armónicas,

figuras poligonales policrómicas. Unos signos gráficos que son perfectamente accesibles para los

niños desde las edades más tempranas y que permitirán dejar sembradas las semillas de una

prometedora educación musical futura, sobre todo apuntando a considerable mayor evolución

de su capacidad auditiva musical.

Al respecto de cómo se ha hecho para elaborar estas figuras policrómicas, apuntaremos

que éstas son producto en cuanto a su dimensión policrómica, de los estudios psicológicos que

vinculan ciertos colores con ciertas emociones y en cuanto a su dimensión geométrica, a la pro-

yección de los sonidos posibles dentro de un ámbito de octava sobre un soporte gráfico circular.

Esta manera de representar los sonidos sobre lo que normalmente se llamaba diagrama de reloj

musical, en este trabajo se ha tomado como base para construir una nueva herramienta en la

que los puntos representativos de los sonidos sobre la circunferencia no se indican haciendo uso

de sus nombres sino de su representación musical sobre un pentagrama que, con una particular

forma de espiral irregular, lo permite; a esta herramienta se le ha llamado “Espiropentagrama”.La segunda de las contribuciones que vamos a señalar es su búsqueda de una explicación

187



188

más completa, más profunda y más exhaustiva de cualquier sistema musical, pero dado el

contexto en que ha nacido, especialmente del occidental tonal. Para ello, esta propuesta observa,

analiza y clasifica los comportamientos de determinados sonidos y/o conjuntos de sonidos, y

se propone sintetizarlos en esquemas que reflejen lo observado con la suficiente precisión en

todas sus dimensiones, como para permitir un más fácil acercamiento de otras personas, o suuso para la comparación con otros conjuntos o la práctica de cualesquiera estudios ulteriores.

La consecución de este objetivo se intenta llevar a cabo mediante un sistema de grafías y una

organización que, una vez explicadas y entendidas, permiten a sus usuarios acceder, profundizar

y contrastar las características de un determinado orden sonoro. A este tipo de esquemas, no

sólo por su aspecto sino también por su conexión con la Graph Theory de la Matemática actual,

le hemos llamado “árboles”.

Asimismo, otra aportación que debemos reconocer a la propuesta que resulta del estudio que

pergeñábamos a lo largo de nuestro discurso, sería la coherencia que posee en su totalidad y lacapacidad de adaptación a diferentes grados de conocimiento; este hecho le permite tener una

proyección que no se restringe a un único nivel educativo y que no experimenta contradicción

alguna en todas sus extensiones, desde su versión simplificada con que se ofrecerá a los más

noveles, hasta su pormenorizada expansión en los niveles más superiores. Al mismo tiempo,

estas mismas cualidades la hacen posible y conveniente en otras disciplinas prácticas y teóricas

del arte musical, y no la confinan exclusivamente dentro de las parcelas de la Armonía, o por

extensión, de la teoría compositiva. Respecto de cómo se ha logrado esto, es sencillo; el punto

de partida fueron analogías que servían de ayuda en los niveles más avanzados de la instrucción

musical, de esta forma, estas analogías pronto se vieron que eran muy sencillas de simplificar

para explicar cuestiones de niveles inferiores, hasta llegar finalmente a comprobarse, tras un

meditado examen, su extraordinaria utilidad incluso en los niveles más básicos, puesto que

permitía alcanzar un alumnado mucho más joven. De esta forma nació la idea de que si se

lograba asociar estas analogías en este alumnado desde corta edad, se lograría que el sistema

fuera aún más productivo, puesto que estaría mucho más asimilado y requeriría mucho menor

esfuerzo para la abstracción y el análisis de las mismas.

Por último, parece imprescindible reparar en las manifiestas conexiones que esta propuesta

esboza e incita a desarrollar, entre la música y otras tantas disciplinas como la psicología de lapercepción, la geometría o la pintura. Disciplinas que en este trabajo han encontrado un lugar

elevado al servir como fuentes de recursos para construir un método pedagógico que sirviera

para poder explicar y entender mejor el arte más abstracto de todos, quizá por eso el más

extraordinario, la música.

CONCLUSIONES



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