EL EMPUJE: PRINCIPIO DE ARQUIMEDES Resulta evidente que cada vez que un cuerpo se sumerge en un líquido es empujado de alguna manera por el fluido. A veces esa fuerza es capaz de sacarlo a flote y otras sólo logra provocar una aparente pérdida de peso. Pero, ¿cuál es el origen de esa fuerza de empuje? ¿De qué depende su intensidad? Sabemos que la presión hidrostática aumenta con la profundidad y conocemos también que se manifiesta mediante fuerzas perpendiculares a las superficies sólidas que contacta. Esas fuerzas no sólo se ejercen sobre las paredes del contenedor del líquido sino también sobre las paredes de cualquier cuerpo sumergido en él. 152

Distribución de las fuerzas sobre un cuerpo sumergido Imaginemos diferentes cuerpos sumergidos en agua y representemos la distribución de fuerzas sobre sus superficies teniendo en cuenta el teorema general de la hidrostática. La simetría de la distribución de las fuerzas permite deducir que la resultante de todas ellas en la dirección horizontal será cero. Pero en la dirección vertical las fuerzas no se compensan: sobre la parte superior de los cuerpos actúa una fuerza neta hacia abajo, mientras que sobre la parte inferior, una fuerza neta hacia arriba. Como la presión crece con la profundidad, resulta más intensa la fuerza sobre la superficie inferior. Concluimos entonces que: sobre el cuerpo actúa una resultante vertical hacia arriba que llamamos empuje.

¿Cuál es el valor de dicho empuje?

Tomemos el caso del cubo: la fuerza es el peso de la columna de agua ubicada por arriba de la cara superior (de altura h1). Análogamente, F2 corresponde al peso de la columna que va hasta la cara inferior del cubo (h2). El empuje resulta ser la diferencia de peso entre estas dos columnas, es decir el peso de una columna de líquido idéntica en volumen al cubo sumergido. Concluimos entonces que el módulo del empuje es igual al peso del líquido desplazado por el cuerpo sumergido. Con un ejercicio de abstracción podremos generalizar este concepto para un cuerpo cualquiera. Concentremos nuestra atención en una porción de agua en reposo dentro de una pileta llena. ¿Por qué nuestra porción de agua no cae al fondo de la pileta bajo la acción de su propio peso? Evidentemente su entorno la está sosteniendo ejerciéndole una fuerza equilibrante hacia arriba igual a su propio peso (el empuje). 153

Ahora imaginemos que “sacamos” nuestra porción de agua para hacerle lugar a un cuerpo sólido que ocupa exactamente el mismo volumen. El entorno no se ha modificado en absoluto, por lo tanto, ejercerá sobre el cuerpo intruso la misma fuerza que recibía la porción de agua desalojada. Es decir: Un cuerpo sumergido recibe un empuje vertical y hacia arriba igual al peso del volumen de líquido desplazado. E = Peso del líquido desplazado = dlíq . g . Vliq desplazado = dliq . g . Vcuerpo

Es importante señalar que es el volumen del cuerpo, y no su peso, lo que determina el empuje cuando está totalmente sumergido. Un cuerpo grande sumergido recibirá un gran empuje; un cuerpo pequeño, un empuje pequeño.

Como hace un barco para flotar? Pues bien, el mismo está diseñado de tal manera para que la parte sumergida desplace un volumen de agua igual al peso del barco, a la vez, el barco es hueco (no macizo), por lo que se logra una densidad media pequeña. En el caso de los submarinos, tienen un sistema que le permite incorporar agua y de esta manera consiguen regular a sus necesidades la densidad media de la nave. EL PROBLEMA DE LA CORONA DEL REY El rey Hierón le entregó 2,5 kg de oro a su joyero para la construcción de la corona real. Si bien ése fue el peso de la corona terminada, el rey sospechó que el artesano lo había estafado sustituyendo oro por plata en el oculto interior de la corona. Le encomendó entonces a Arquímedes que dilucidara la cuestión sin dañar la corona. Con sólo tres experiencias el sabio pudo determinar que al monarca le habían robado casi un kilo de oro. Veamos cómo lo hizo. 154

En primer lugar, Arquímedes sumergió una barra de medio kilo de oro puro y comprobó que desplazaba 25,9 cm3. Por lo tanto, el peso específico del oro es: Poro = 500 g/25.3 cm3 =19.3 g/cm3

Si el joyero hubiera hecho las cosas como le habían indicado, el volumen de líquido desplazado por la corona real, que pesaba 2,5 kilogramos, debería haber sido: Vcorona = 2.500 g/19.3 g/cm3 =129.5 cm3

A continuación, sumergió la corona real y midió que el volumen de agua desplazado era de 166 cm3, o sea, mayor del esperado. ¡Hierón había sido estafado! ¿En cuánto? Para saber qué cantidad de oro había sido reemplazado por plata, Arquímedes repitió la primera experiencia sumergiendo una barra de un kilo de plata para conocer su peso específico. Como el volumen desplazado resultó 95,2 cm3, se tiene que: P plata =1000 g/95.2 g/cm3 =10.5 g/cm3

Sabemos que el peso total de la corona es 2.500 gr. (el joyero tuvo la precaución de que así fuera) y su volumen total, de 166 cm3. Entonces: Vcorona = V oro +V plata =166 cm3

V plata =166-V oro

P corona =P oro +P plata =2500 g. Si reescribimos la última ecuación en función del peso específico y el volumen, nos queda que: 19.3 g/cm3 . V oro + 10.5 g/cm3 . V plata = 2500 g Tenemos dos ecuaciones con dos incógnitas (V oro y Vplata). Sustituyendo una ecuación con la otra, se tiene que: 19,3 g/cm3. V oro + 10.5 g/cm3. (166 cm3 -V oro) = 2.500 g de donde se despeja la incógnita: V oro = 86cm3

con lo que se deduce que: Poro =Poro V oro = 19,3 g/cm3 . 86 cm3 = 1.660 g 155

Pplata =Pcorona - Poro =2.500gr -1.660 g =840 g De esta manera, Arquímedes pudo comprobar que al rey le habían cambiado 840 g de oro por plata. Cuenta la leyenda que el joyero no pudo disfrutar del oro mal habido. Ejemplos de aplicación: 1) Un elevador hidráulico está formado por un émbolo mayor de radio r1 = 500 cm y por un émbolo menor de radio r2 = 20 cm. ¿ Qué fuerza debe aplicarse al émbolo menor para elevar una masa de 1000 kg? ( considere los émbolos de forma cilíndrica )

Solución: Según el principio de Pascal se tiene que esto significa que la fuerza buscada es F1 , que al despejarla de la fórmula anterior se obtiene : 22 11 AF AF 2 2 1 1 AF A F Se puede calcular el valor de F2 que corresponde al peso de la masa de 1000kg, así se tiene que N sm kgmg F 9800 ) 8 .9)(1000(2 2 Ahora bien , como los émbolos son cilíndricos las áreas respectivas corresponden a secciones circulares, por lo que se puede expresar : , , luego la ecuación para encontrar el valor de F1 se expresa como , que al simplificarse se reduce a , sustituyendo valores se obtiene que el valor de F1 es: 2 1 1 r A 2 2 2 r A 2 2 2 2 1 1 rF r F 2 2 21 1 F rr F N N cm cm F 6125000 ) 9800 (20 500 2 1 2) Calcular el empuje que sufre una bola esférica de 1 cm de radio cuando se sumerge en: a) Alcohol de densidad d = 0,7 g/cm3.

b) Agua, d = 1,0 g/cm3.

c) Tetracloruro de carbono, d = 1,7 g/cm3.

Solución 156

Según el Principio de Arquímedes el empuje es igual al peso del líquido desalojado. O sea: Según el Principio de Arquímedes el empuje es igual al peso del líquido desalojado. O sea: El volumen de una esfera es: V = 4/3 r 3, luego para este caso: 3 3 3 3 6 3 4 4 V r 1 cm 4,19 cm 4,19.10 m 3 3 a) EAlcohol= 4,19. 10 - 6 m3 0,7 10 3 kg/m 3 10 m/s2 = 0,03 N

b) EAgua= 4,19. 10 - 6 m3 10 3 kg/m 3 10 m/s2 = 0,04 N

c) ETetrClo= 4,19. 10 - 6 m3 1,7 10 3 kg/m 3 10 m/s2 = 0,07 N

Como se observa el empuje aumenta con la densidad del líquido. . 3) Mediante un dinamómetro se determina el peso de un objeto de 10 cm3 de volumen obteniéndose 0,72 N. A continuación se introduce en un líquido de densidad desconocida y se vuelve a leer el dinamómetro (peso aparente) que marca ahora 0,60 N. ¿Cuál es la densidad del líquido en el que se ha sumergido el objeto? Solución: El dinamómetro marca menos cuando se introduce el objeto en el líquido debido a que éste ejerce una fuerza (empuje) hacia arriba. El empuje lo podemos calcular estableciendo la diferencia entre el peso en el aire y lo que marca el dinamómetro cuando el objeto se encuentra sumergido en el líquido (peso aparente) E = Paire – Paparente = (0,72 – 0,60) N = 0,12 N cuerpo liq E V d g Utilizando ahora la ecuación: , despejamos la densidad del líquido: 3 liq 3 3 6 3 cuerpo 2 E 0,12N kg g d 1,2.10 1,2 m V g m cm 10.10 m 10 s Como se puede observar, uno de los métodos utilizados en el laboratorio para determinar la densidad de líquidos está basada en el Principio de Arquímedes. 157

Ejercicios Propuestos 1) Un cuerpo se sumerge en agua y sufre un empuje de 55 gf, ¿cuál será el empuje que sufrirá en éter? (δ = 0,72 g/cm³).

Respuesta: 39,69 gf 2) Un cuerpo pesa en el aire 289 gf, en agua 190 gf y en alcohol 210 gf. ¿Cuál será el peso específico del cuerpo y del alcohol?.

Respuesta: a) 3,11 g/cm³ b) 0,77 g/cm³ 3) Un cubo de aluminio (δ = 2,7 g/cm³) de 3 cm de lado se coloca en agua de mar (δ = 1,025 g/cm³), ¿flota ó se hunde?.

Respuesta: se hunde 4) El cuerpo del problema anterior se coloca en mercurio (δ = 13,56 g/cm³), ¿flotará?.

5) Sobre el émbolo de 12 cm ² de un prensa hidráulica se aplica una fuerza de 40 N, en el otro se obtiene una fuerza de 150 N ,las secciones de los émbolos de una prensa hidráulica son de 8 cm ² y de 20 cm ² respectivamente. Si sobre el primero se aplica una fuerza de 70 N, ¿cuál será la fuerza obtenida por el otro émbolo?.

6) El radio del émbolo menor de una prensa es de 4 cm, si sobre él se aplica una fuerza de 60 N se obtiene en el otro émbolo una de 300 N, ¿cuál es el radio de émbolo mayor

Respuesta: 10,9 cm 7) Sobre el émbolo menor de una prensa se aplica una fuerza de 50 N, si en el otro se obtiene una de 1000 N, ¿cuál es la relación entre los radios de los émbolos?.