El descubrimiento de la Ley de la Gravitacin UniversalDinmica celeste

Leyes de KeplerEl descubrimiento de la ley de la gravitacinFuerza central yconservativaEcuacin de la trayectoriaSolucin numrica delas ecuacionesTrayectorias hiperblicasrbita de transferenciaEncuentros espacialesTrayectoria espiralEncuentro de una sondaespacial con JpiterOrbitas de la mismaenergaTrayectoria de un proyectil (I)Trayectoria de un proyectil (II)Movimiento relativoCada de un satlite enrbita hacia la Tierra.Los anillos de un planetaMovimiento bajo unafuerza central y unaperturbacinEl problema de EulerViaje a la LunaDescripcinActividadesReferencias

Un momento culminante en la historia de la Fsica fue el descubrimiento realizado por Isaac Newton de la Ley de la Gravitacin Universal: todos los objetos se atraen unos a otros con una fuerza directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que separa sus centros. Al someter a una sola ley matemtica los fenmenos fsicos ms importantes del universo observable, Newton demostr que la fsica terrestre y la fsica celeste son una misma cosa. El concepto de gravitacin lograba de un solo golpe: Revelar el significado fsico de las tres leyes de Kepler sobre el movimiento planetario. Resolver el intrincado problema del origen de las mareas Dar cuenta de la curiosa e inexplicable observacin de Galileo Galilei de que el movimiento de un objeto en cada libre es independiente de su peso.La naturaleza cuadrtico inversa de la fuerza centrpetra para el caso de rbitas circulares, puede deducirse fcilmente de latercera ley de Keplersobre el movimiento planetario y de la dinmica del movimiento circular uniforme:1. Segn la tercera ley de Kepler el cuadrado del periodoPes proporcional al cubo del semieje mayor de la elipse, que en el caso de la circunferencia es su propio radior,P2=kr3.2. Ladinmica del movimiento circular uniforme, nos dice que en una trayectoria circular, la fuerza que hay que aplicar al cuerpo es igual al producto de su masa por la aceleracin normal,F=mv2/r.3. El tiempo que tarda un planeta en dar una vuelta completa es el cociente entre la longitud de la circunferencia y la velocidad,P=2r/v.Combinando estas expresiones, obtenemos

Vemos que la fuerzaFque acta sobre el planeta en movimiento circular uniforme es inversamente proporcional al cuadrado de la distanciardesde el centro de fuerzas al centro del planeta.

Newton compar la aceleracin centrpeta de la Luna con la aceleracin de la gravedadg=9.8 m/s2. La aceleracin centrpeta de la Luna esac=v2/r=42r/P2, conr=3.84108m yP=28 das=2.36106s, se obtieneac=2.7210-3m/s2. Por consiguiente,

Como el radio de la Tierra es 6.37106m, y el radio de la rbita de la Luna es 3.84108m, tenemos que

Por tanto,

Las aceleraciones de ambos cuerpos estn en razn inversa del cuadrado de las distancias medidas desde el centro de la Tierra.DescripcinEn la fsica anterior a Newton una manzana cae verticalmente hacia la Tierra en una trayectoria rectilnea, mientras que la Luna describe una rbita casi circular, que es una trayectoria cerrada.Cmo estas dos categoras de movimientos pueden estar relacionadas?Si la manzana que caa verticalmente es empujada por la fuerza del aire, su trayectoria ya no ser rectilnea sino el arco de una curva. Por ejemplo un proyectil disparado desde un can describe una trayectoria parablica tal como se observaba en el siglo XVII en el que vivi Newton . El salto conceptual que llev a cabo Newton fue el de imaginar que los proyectiles podran ser disparados desde lo alto de una montaa describiendo trayectorias elpticas (siendo la parbola una aproximacin de la elipse).Por tanto, la manzana y la Luna estn cayendo, la diferencia es que la Luna tiene un movimiento de cada permanente, mientras que la manzana choca con la superficie de la Tierra.Una misma causa produce, por tanto, los movimientos de los cuerpos celestes y terrestres. Un dibujo que aparece en muchos libros de texto, tomado del libro de Newton "El sistema del mundo", ilustra esta unificacin.

"Si consideramos los movimientos de los proyectiles podremos entender fcilmente que los planetas pueden ser retenidos en ciertas rbitas mediante fuerzas centrpetas; pues una piedra proyectada se va apartando de su senda rectilnea por la presin de su propio peso y obligada a describir en el aire una curva, cuando en virtud de la sola proyeccin inicial habra debido continuar dicha senda recta, en vez de ser finalmente atrada al suelo; y cuanto mayor es la velocidad con la cual resulta ser proyectada ms lejos llega, antes de caer a tierra. Podemos por eso suponer que la velocidad se incremente hasta que la piedra describa un arco de 1, 2, 5, 10, 100, 1000 millas antes de caer, de forma que al final, superando los lmites de la Tierra, pasar al espacio sin tocarla...En la figura, se representa las curvas que un cuerpo describira si fuese proyectado en direccin horizontal desde la cima de una alta montaa a ms y ms velocidad. Puesto que los movimientos celestes no son prcticamente retardados por la pequea o nula resistencia de los espacios donde tienen lugar, supongamos, para conservar la analoga de los casos, que en la Tierra no hubiera aire, o al menos que ste est dotado de un poder de resistencia nulo o muy pequeo.Entonces, por la misma razn que un cuerpo proyectado con menos velocidad describe el arco menor y, proyectado con ms velocidad, un arco mayor, al aumentar la velocidad, terminar por llegar bastante ms all de la circunferencia de la Tierra, retornando a la montaa desde la que fue proyectada.Y puesto que las reas descritas por el movimiento del radio trazado desde el centro de la Tierra son proporcionales a su tiempo de descripcin, su velocidad al retornar a la montaa no ser menor que al principio, por lo que reteniendo la misma velocidad, describir la misma curva una y otra vez, obedeciendo a la misma ley".Vamos ahora a cambiar, la imagen esttica por un programa interactivo o applet, que nos ilustre la unificacin de las causas de los movimientos que ocurren en el espacio exterior y en la superficie de la Tierra.ActividadesSe introduce La altura en kilmetros sobre la superficie de la Tierra desde la que lanzamos el objeto, perpendicularmente a la direccin radial, en el control de edicin tituladoAltura (km) La velocidad con que se lanza el objeto, en el control tituladoVelocidad (m/s).Se pulsa el botn tituladoDispararSe representa la trayectoria seguida por el objeto. Si su trayectoria se interseca con la superficie de la Tierra, se calcula el alcance o longitud del arco del meridiano terrestre comprendido entre la direccin radial de disparo, y la direccin radial de impacto.Cambiamos la velocidad de disparo sin cambiar la altura, comparando las distintas trayectorias. Cuando se hayan acumulado varias trayectorias se puede limpiar el rea de trabajo de applet pulsando en el botn tituladoBorrar.Ejemplos:Comprobamos que un proyectil disparado horizontalmente en lo alto de una montaa situada en el polo Norte, no puede caer ms all del polo Sur, como mximo hasta el punto G marcado en el dibujo de Newton. Si se le proporciona una velocidad adicional el proyectil rodear la Tierra.Para comprobarlo, introducir los siguientes datosen los respectivos controles de edicin Altura 30000 km Velocidad de disparo 1808 y 1809 m/sCuando ponemos una altura grande como 20000 km o ms se ve una gran parte de la Tierra, podemos entonces representar las distintas trayectorias y reproducir una imagen anloga al dibujo de Newton que se muestra en esta pgina.Calcular la velocidad de disparo para que el proyectil describa unatrayectoria circularDatos: Masa de la TierraM=5.981024kg Radio de la Tierra,R=6.37106m ConstanteG=6.6710-11Nm2/kg2

Cuando la altura es pequea, por ejemplo 20 km o menos, la superficie de la Tierra aparece plana, la trayectoria elptica se aproxima a la parbola que describe un cuerpo bajo la aceleracin constante de la gravedad. Calculamos el alcance aplicando lasecuaciones del tiro parablico.Un proyectil se dispara desde una altura deh=20 km, con una velocidad dev=30 m/s, calcular el alcance. Tmeseg=9.8 m/s2