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Desarrollando ecuaciones lineales

ara cualquier practicante de matemáticas na-

cido en los últimos 400 años es difícil, si no

imposible, concebir cuánto el invento de gráficos y

del álgebra simplificó la tarea de sus predeceso-

res, por posibilitar que “se hiciera visible” las rela-

ciones entre cantidades que intervinieron en los

problemas que trabajaron. Estas herramientas nos

ayudarán en este capítulo.

Supongamos que tuviéramos una empresa que vende cacahuates

orgánicas en mayoreo en 20 pesos por kilogramo, vendiendo en prome-

dio 30 kg por día. Algún día, decidimos variar el precio para investigar

cómo el precio afecta la venta. El primer día, bajamos el precio hasta 19

pesos, y vendemos 32 kg. El segundo día, bajamos el precio hasta 18

pesos, y vendemos 34 kg. El tercer día, incrementamos el precio hasta

21 pesos, vendiendo 28 kg. El tercer día, vendimos los cacahuates en

22 pesos, vendiendo 26 kg. Probamos unos cuantos precios más, y

procuramos, al final, a los siguientes resultados (Tabla 1).

Precio

(Pesos para cada kg)

Venta diaria

(kg)

15 38

16 37

17 36

18 34

19 32

20 30

21 28

22 26

23 24

24 23

25 22

Tabla 1 La venta diaria de cacahuates orgánicas, para precios

desde 15 hasta 25 pesos por cada kg. La combinación inicial, de

precio y venta, fue Precio = 20 peos/kg, Venta diaria = 30 kg.

Vamos a suponer que las ventas diarias en la Tabla 1 son ventas diarias

promedias, a pesar de que son ventas realizadas en un solo día para

cada precio. Para ayudarnos a entender esta relación entre el precio y la

venta, construyamos un gráfico que nos permitirá sacar provecho de

nuestras capacidades visuales (Figura 1).

P

11-2

Fig. 1. Venta diaria promedia de cacahuates orgánicas, para precios

de venta desde 15 pesos por kg hasta 25 pesos por kg. La combina-

ción “roja” (Precio=20 pesos por kg, Venta=30 kg) es aquella que

usamos como punto de partida para este ejemplo.

Se nota que partiendo del precio inicial (20 pesos para cada kg), un

incremento de 1 peso por kg en el precio causó un descenso de 2 kg en

la venta diaria (Figura 2).

Fig. 2. Partiendo del precio inicial de 20 pesos por kg, un incremento

de 1 peso por kg causó un descenso de 2 kg en la venta diaria.

Otro incremento de 1 peso (de 21 a 22 pesos cada kg) causó-otra

vez-un descenso de 2 kg en la venta diaria (Figura 3).

11-3

Fig. 3 Un segundo incremento de 1 peso por kg provocó, otra vez, un

descenso de 2 kg en la venta diaria promedia.

Examinando la Figura 3, vemos que un tercer incremento de 1 peso

(de 22 a 23 pesos cada kg) tuvo el mismo efecto. En contraste, un cuar-

to incremento de 1 peso (de 23 a 24 pesos cada kg) en el precio ocasio-

nó un descenso de solamente 1 kg (en vez de 2). Amén del quinto in-

cremento en el precio (a saber, de 24 a 25 pesos cada kg).

Por otro lado, si se disminuye el precio, partiendo del precio inicial de

20 pesos por kg, inicialmente la venta diaria se aumenta en 2 kg cada

vez que se disminuye el precio en 1 peso por kg (Figura 4).

11-4

Fig. 4 Partiendo del precio inicial de 20 pesos por kg, inicialmente la

venta diaria se aumenta en 2 kg cada vez que se disminuye el precio

en 1 peso por kg. Pero al disminuir el precio de 17 pesos por kg a 16

pesos por kg, la venta diaria se incrementa en solamente 1 kg.

Para precios entre 17 pesos por kg y 23 pesos por kg, lo arriba dicho

puede expresarse en la siguiente forma:

Cada vez que el precio se incrementa en 1 peso por kg, la venta dia-ria se disminuye en 2 kg.

En un caso tal-es decir, cuando hay una región en un gráfico donde

cambios iguales en una de las dos variables causan cambios iguales en

la otra-hay una recta que pasa por los puntos de datos en dicha región

(Figura 5).

11-5

Fig. 5. La recta que pasa por los puntos de datos en la región del grá-

fico donde un incremento de 1 peso por cada kg en el precio causa un

descenso de 2 kg en la venta diaria.

Gracias a nuestros trabajos en cursos previos, sabemos que hay una

ecuación que relaciona el precio y la venta para puntos de datos por los

que la recta pasa. En vez de consultar algún libro de texto para obtener

la ecuación, desarrollémosla aquí.

Primero, notemos que

Al disminuir el precio, partiendo del punto de datos (Precio = 20,

Venta = 30), el número de kg en el que la venta se incrementa es el doble del número de pesos en el que el precio se disminuye.

También,

Al incrementar el precio, partiendo del punto de datos (Precio = 20, Venta = 30), el número de kg en el que la venta se disminuye es el

doble del número de pesos en el que el precio se incrementa.

Las dos observaciones pueden ser comunicadas juntas en la siguien-

te forma:

Al variar el precio, partiendo del punto de datos (Precio = 20, Venta = 30), el cambio en el número de kg vendidos es el negativo del doble del número de pesos en el que el precio se incrementa.

O sea,

(𝐸𝑙 𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜

𝑑𝑒 𝑘𝑔 𝑣𝑒𝑛𝑑𝑖𝑑𝑜𝑠) = −2 (

𝐸𝑙 𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑑𝑒 𝑝𝑒𝑠𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑘𝑔 𝑐𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎

).

La venta es una función

lineal, del precio: su gráfica

es una recta.

11-6

Por ejemplo, consideremos el cambio en el precio de 20 pesos/kg a

24 pesos/kg, y el cambio en la venta que resultó: el cambio en el precio

fue de +2 pesos/kg, y el cambio en la venta fue de

-4 kg/día (un descen-

so de 4 kg/día). Entonces,

(𝐸𝑙 𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜

𝑑𝑒 𝑘𝑔 𝑣𝑒𝑛𝑑𝑖𝑑𝑜𝑠) = 2− (

𝐸𝑙 𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑑𝑒 𝑝𝑒𝑠𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑘𝑔 𝑐𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎

).

4− = 2− ( 2+ ).

Ahora, consideremos algún precio específico (pero arbitrario) P, y la

venta V para el mismo. Los “cambios” que usaremos en el nuestra

ecuación pueden ser aquellos con respecto a cualquier sobre la recta en

la región entre “Precio = 17 pesos/kg” and “Precio = 23 pesos/kg”. Sin

embargo, para nuestra propia conveniencia, usaremos el punto (Precio =

20, Venta = 30). Con esta elección de “punto de referencia”, la ecuación

genérica

(𝐸𝑙 𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜

𝑑𝑒 𝑘𝑔 𝑣𝑒𝑛𝑑𝑖𝑑𝑜𝑠) = 2− (

𝐸𝑙 𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑑𝑒 𝑝𝑒𝑠𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑘𝑔 𝑐𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎

)

toma la forma concreta

𝑉 − 30 𝑘𝑔 = 2(𝑃 − 20 𝑝𝑒𝑠𝑜𝑠/𝑘𝑔),−

con 𝑉 en kg y 𝑃 en pesos/kg. Esta ecuación, en su forma presente, es

satisfactoria en cuanto expresa la relaciona entre el precio y la venta

para precios desde 17 pesos/kg hasta 23 pesos/kg. Sin embargo, se la

puede transformar en dos versiones más útiles.

La primera versión se obtiene a través de dividir ambos lados por

(P − 20 pesos/kg):

𝑉−30 𝑘𝑔

𝑃−20 𝑝𝑒𝑠𝑜𝑠/𝑘𝑔= 2− .

Esta versión enfatiza que el valor absoluto de la razón

(𝐶𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑣𝑒𝑛𝑡𝑎)/(𝐶𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑒𝑐𝑖𝑜)

es de 2, y (por el signo negativo) que un aumento del precio disminuye

la venta. (Y, claro, que cuando el precio se disminuye, la venta se in-

crementa.)

Seguramente reconoces que “ 2− ” es la pendiente de la recta que tra-

zamos. Y en verdad, sería 2− kg

pesos por kg (Figura 6), la cual podría ser

escrita como 2− kg2

peso.

11-7

Fig. 6 La recta presentada en la Figura 5, más el cálculo de su pen-

diente.

La segunda versión de la ecuación

𝑉 − 30 𝑘𝑔 = 2(𝑃 − 20 𝑝𝑒𝑠𝑜𝑠/𝑘𝑔),−

se obtiene desarrollando el producto en el lado derecho, para luego

despejar al símbolo 𝑉:

𝑉 = 2𝑃 + 70 𝑘𝑔− .

Otra vez, el 2− ” es la pendiente de la recta que trazamos, y en ver-

dad sería 2− kg

pesos por kg. Es más, el “70 kg” es el “intercepto”; o sea, el

valor de V donde la recta cruza el eje vertical, del gráfico (Figura 7).

11-8

Fig. 7 La misma recta que en las Figuras 5 y 6, y con su ecuación

escrita en la forma

Una Pregunta:

Según la ecuación que acabamos de desarrollar,

𝑉 = 2𝑃 + 70 𝑘𝑔− .

¿Quiere decir ésta, que si se bajara el precio (𝑃) hasta cero, entonces la

venta (o mejor decir, la cantidad regalada) promedia (𝑉) cada día sería

de 70 kg?

No. La relación entre el precio y la venta diaria a partir de la cual desa-

rrollamos la ecuación 𝑉 = 2𝑃 + 70 𝑘𝑔− , fue

Al variar el precio, partiendo del punto de datos (Precio = 20, Venta = 30), el cambio en el número de kg vendidos es el negativo del doble del número de pesos en el que el precio se incrementa.

Así fue la relación para precios desde 17 pesos/kg hasta 23 pe-

sos/kg, pero la relación fue distinta afuera de dicha región de la gráfica.

Entonces, nuestros datos no nos proporcionan elementos para predecir

cómo sería la venta diaria si el precio fue cero. Por lo mismo, no se pue-

de sostener, con base en la intersección de la recta con el eje horizontal,

que si el precio fuera de 35 pesos/kg, entonces la venta diaria sería ce-

ro.