El Currículo de Matemáticas El Currículo de Matemáticas en la enseñanza no en la enseñanza no

universitariauniversitaria

José Luis ÁlvarezJosé Luis Álvarez

IES Nº5 de Avilés IES Nº5 de Avilés (Asturias)(Asturias)

Antecedentes IAntecedentes I► Ley de Instrucción Pública (Ley Moyano). 1857Ley de Instrucción Pública (Ley Moyano). 1857

Vigente, con modificaciones, hasta 1970.Vigente, con modificaciones, hasta 1970. Introduce la escolarización obligatoria.Introduce la escolarización obligatoria. Enseñanza Primaria y Enseñanza Secundaria.Enseñanza Primaria y Enseñanza Secundaria. Varios planes de estudios:Varios planes de estudios:

► 1857 (Moyano).1857 (Moyano).► 1901 (Romanones).1901 (Romanones).► 1926 (Primo de Rivera).1926 (Primo de Rivera).► 1934 (República).1934 (República).► 1945 – 1953 – 1957 – 1965 – 1967 (Franquismo).1945 – 1953 – 1957 – 1965 – 1967 (Franquismo).

Matemáticas en Primaria y en Secundaria.Matemáticas en Primaria y en Secundaria.

Primaria

Secundaria1857

1. Para la enseñanza elemental: Principios de Aritmética con el sistema legal de pesas y monedas.

2. Para la enseñanza superior: Principios de Geometría, de Dibujo Lineal y de Agrimensura.

1. En los dos primeros años: Aritmética.

2. En cuarto año: Aritmética y Álgebra.

3. En quinto año: Geometría y principios de Trigonometría y de Geometría matemática.

Matemáticas

Primaria

Secundaria1967

1. Incluyen Aritmética, Geometría y Medida y se hace énfasis en la resolución de problemas.

2. En los programas de 1964 se hace la distinción entre Ejercicios y Adquisiciones.

1. Matemática moderna desde el primer curso de Bachillerato.

2. Geometría Analítica (plano afín en 5º y plano euclídeo en 6º).

3. Horario: 6+6+6+6 (elemental); 6+3 (superior).

Matemáticas

El Florido PensilEl Florido Pensil

► Dos caminantes se dirigen el uno al otro. La Dos caminantes se dirigen el uno al otro. La distancia que los separa es de 300 km. El uno va a distancia que los separa es de 300 km. El uno va a 8 km/h y el otro a 7 km/h. ¿Cuántas horas tardan en 8 km/h y el otro a 7 km/h. ¿Cuántas horas tardan en encontrarse?encontrarse? Sopeña al maestro: Si es que faltan datos! No dice cuanto Sopeña al maestro: Si es que faltan datos! No dice cuanto

tiempo paran para comer, ni para dormir, ni para tiempo paran para comer, ni para dormir, ni para evacuar…evacuar…

► Un andarín gana 614,50 por cada kilómetro que Un andarín gana 614,50 por cada kilómetro que recorre, ¿cuánto vendrá a ganar por cada recorre, ¿cuánto vendrá a ganar por cada hectómetro, decímetro y metro recorridos? hectómetro, decímetro y metro recorridos? El padre: ¿Le pagan por andar? ¿Y por qué no va en bici?El padre: ¿Le pagan por andar? ¿Y por qué no va en bici?

► En un cesto hay 36584 huevos, ¿cuántos pares de En un cesto hay 36584 huevos, ¿cuántos pares de huevos contiene?huevos contiene? Sopeña al maestro: Es imposible señor. Por los huevos de Sopeña al maestro: Es imposible señor. Por los huevos de

abajo. Además, no hay cesto para tantos huevos. Y si lo abajo. Además, no hay cesto para tantos huevos. Y si lo hubiera los de abajo reventarían…hubiera los de abajo reventarían…

Antecedentes IIAntecedentes II

► Ley General de Educación. 1970Ley General de Educación. 1970 EGB: escolarización obligatoria hasta los 14 años.EGB: escolarización obligatoria hasta los 14 años. Influencia Piagetiana en la organización de la Influencia Piagetiana en la organización de la

etapa: ciclo inicial, medio y superior de EGB.etapa: ciclo inicial, medio y superior de EGB. BUP – FP: doble vía en la Educación Secundaria, BUP – FP: doble vía en la Educación Secundaria,

en función de la titulación obtenida.en función de la titulación obtenida. Organización de la enseñanza por objetivos Organización de la enseñanza por objetivos

operativos.operativos. Se realza el papel formativo de las Matemáticas, Se realza el papel formativo de las Matemáticas,

que tienen la consideración de materia de que tienen la consideración de materia de expresión.expresión.

EGB

BUP1970

1. Énfasis en la Teoría de Conjuntos y el dominio de los aspectos numéricos y formales, frente a los geométricos e intuitivos.

2. Contenidos: Conjuntos: Relaciones y Aplicaciones; Operaciones con números naturales, números decimales e introducción a las fracciones; Magnitudes y su medida. Geometría elemental del plano, con algunos ejemplos de Topología.

1. Se mantiene la influencia de la matemática moderna.

2. Análisis matemático y Geometría analítica a partir de segundo curso.

3. Se crea una nueva asignatura en COU: Matemáticas II

4. Horario: 5+4+4 (BUP)

Matemáticas

Antecedentes IIIAntecedentes III

► Ley de Ordenación General del Sistema Educativo Ley de Ordenación General del Sistema Educativo (LOGSE). 1990(LOGSE). 1990 Escolarización obligatoria hasta los 16 años.Escolarización obligatoria hasta los 16 años. Tres etapas: Educación Infantil, Primaria y Secundaria.Tres etapas: Educación Infantil, Primaria y Secundaria. Educación Secundaria: ESO y Bachillerato. FP.Educación Secundaria: ESO y Bachillerato. FP. Currículo abierto con 3 niveles de concreción.Currículo abierto con 3 niveles de concreción. Competencias autonómicas en materia educativa.Competencias autonómicas en materia educativa. Elementos del currículo: objetivos, contenidos, criterios de Elementos del currículo: objetivos, contenidos, criterios de

evaluación. Orientaciones metodológicas. evaluación. Orientaciones metodológicas. Matemáticas: presentes en todos los cursos de la etapa Matemáticas: presentes en todos los cursos de la etapa

obligatoria. Menor carga horaria.obligatoria. Menor carga horaria. Desaparece la matemática moderna y se intenta evitar Desaparece la matemática moderna y se intenta evitar

que en la etapa obligatoria el peso recaiga en los aspectos que en la etapa obligatoria el peso recaiga en los aspectos formales. Integración de calculadora y uso de las NNTT. formales. Integración de calculadora y uso de las NNTT. Énfasis en la resolución de problemas.Énfasis en la resolución de problemas.

Primaria

ESOMatemáticas

1990

1. Fines: formativo e instrumental.

2. Contenidos organizados en 4 bloques: Números y operaciones; La Medida; Formas geométricas y situación en el espacio; Organización de la información.

3. Calculadoras y cálculo mental. Estimación. Resolución de problemas

1. Fines: formativo, funcional e instrumental.

2. Contenidos organizados en 5 bloques: Números y operaciones: significados, estrategias y simbolización; Medida, estimación y cálculo de magnitudes; Representación y organización en el espacio; Interpretación, representación y tratamiento de la información; Tratamiento del azar.

3. Dos opciones en cuarto curso.

Bachillerato

1. Fines: formativo, instrumental y fundamentación teórica.

2. Matemáticas I y II: Aritmética y Álgebra, Geometría, Funciones, Estadística y Probabilidad y Resolución de Problemas, en 1º curso; Álgebra Lineal, Análisis y Geometría, en 2º curso.

3. Matemáticas aplicadas a las ciencias sociales I y II: Aritmética y Álgebra, Funciones, Estadística y Probabilidad y Resolución de Problemas, en 1º curso; Álgebra, Análisis y Estadística y Probabilidad, en 2º curso.

Antecedentes IVAntecedentes IV

► Ley Orgánica de Ley Orgánica de Calidad de la Educación Calidad de la Educación (LOCE). 2002. (LOCE). 2002.

► Currículos autonómicos: Currículos autonómicos: una oportunidad que una oportunidad que aprovechan las aprovechan las comunidades comunidades autónomas para autónomas para establecer diferencias.establecer diferencias.

Ley Orgánica de Educación (LOE). 2006.Ley Orgánica de Educación (LOE). 2006.

► La enseñanza básica comprende diez años de escolaridad y se La enseñanza básica comprende diez años de escolaridad y se desarrolla, de forma regular, entre los seis y los dieciséis años de desarrolla, de forma regular, entre los seis y los dieciséis años de edad. Incluye la educación primaria y la educación secundaria edad. Incluye la educación primaria y la educación secundaria obligatoria y es obligatoria y gratuita para todas las personas.obligatoria y es obligatoria y gratuita para todas las personas.

► Se garantizará una educación común para los alumnos y se Se garantizará una educación común para los alumnos y se adoptará la atención a la diversidad como principio fundamental. adoptará la atención a la diversidad como principio fundamental.

► Tiempo para la lectura en la etapas obligatorias.Tiempo para la lectura en la etapas obligatorias.► Dos opciones de Matemáticas en el último curso de la ESO.Dos opciones de Matemáticas en el último curso de la ESO.► El Bachillerato comprende dos cursos con tres modalidades El Bachillerato comprende dos cursos con tres modalidades

diferentes: Artes, Ciencias y Tecnología, y Humanidades y diferentes: Artes, Ciencias y Tecnología, y Humanidades y Ciencias Sociales. Se organiza en materias comunes, de Ciencias Sociales. Se organiza en materias comunes, de modalidad y optativas.modalidad y optativas.

► Integración de las TIC en los currículos de las materias.Integración de las TIC en los currículos de las materias.

Los elementos del currículoLos elementos del currículo

► Las Las competencias básicascompetencias básicas: : directiva de la Unión Europea directiva de la Unión Europea a sus estados miembrosa sus estados miembros

► Objetivos, contenidos, Objetivos, contenidos, criterios de evaluacióncriterios de evaluación (65/55%)(65/55%)

► Orientaciones Orientaciones metodológicasmetodológicas: son : son competencia de las competencia de las comunidades autónomas.comunidades autónomas.

Competencias básicas

► Son aquellas competencias que Son aquellas competencias que debe haber desarrollado un joven debe haber desarrollado un joven o una joven al finalizar la o una joven al finalizar la enseñanza obligatoria para poder enseñanza obligatoria para poder lograr su realización personal, lograr su realización personal, ejercer la ciudadanía activa, ejercer la ciudadanía activa, incorporarse a la vida adulta de incorporarse a la vida adulta de manera satisfactoria y ser capaz manera satisfactoria y ser capaz de desarrollar un aprendizaje de desarrollar un aprendizaje permanente a lo largo de la vida permanente a lo largo de la vida (LOE, 2006).(LOE, 2006).

► Triple finalidad:Triple finalidad: Integrar los aprendizajes, tanto Integrar los aprendizajes, tanto

formales como no formales.formales como no formales. Utilizarlos de manera efectiva Utilizarlos de manera efectiva

en diferentes situaciones y en diferentes situaciones y contextos.contextos.

Orientar la enseñanza.Orientar la enseñanza.

Las competencias: algo más que una Las competencias: algo más que una moda y mucho menos que un remedio.moda y mucho menos que un remedio.

►Situar en primer lugar a la Situar en primer lugar a la transferencia de lo aprendido: se transferencia de lo aprendido: se refiere a la movilización de los refiere a la movilización de los conocimientos y a su uso en conocimientos y a su uso en situaciones problemáticas.situaciones problemáticas.

► Integración de distintos tipos de Integración de distintos tipos de contenidos.contenidos.

► Importancia del contextoImportancia del contexto..

►Situar en primer lugar a la Situar en primer lugar a la transferencia de lo aprendido: se transferencia de lo aprendido: se refiere a la movilización de los refiere a la movilización de los conocimientos y a su uso en conocimientos y a su uso en situaciones problemáticas.situaciones problemáticas.

► Integración de distintos tipos de Integración de distintos tipos de contenidos.contenidos.

► Importancia del contextoImportancia del contexto.. C.Coll, 2007

Evolución de definición de currículo en la legislación española

CONTENIDOS: CAPACIDADES: CONTEXTOS:

Epistemología: Psicología: Sociología:

Antes de 1970 Entre 1970 y 2006 A partir de 2006

- Evolución de la relevancia en el curriculum de los componentes de una competencia

Contenidos Contenidos +

Capacidades

Contenidos +

Capacidades +

Contextos

“Cuando creíamos que teníamos todas las

respuestas, de pronto, cambiaron todas las

preguntas” Mario Benedetti

COMPETENCIA MATEMÁTICACOMPETENCIA MATEMÁTICACOMPETENCIA MATEMÁTICACOMPETENCIA MATEMÁTICA

LA HABILIDAD LA HABILIDAD

SÍMBOLOS Y FORMAS DE EXPRESIÓN

NÚMEROS Y SUS OPERACIONES

UTILIZAR Y RELACIONAR

AMPLIAR EL CONOCIMIENTO

PRODUCIR E INTERPRETAR

DISTINTOS TIPOS DE INFORMACIÓN

ASPECTOS CUANTITATIVOS Y ESPACIALES DE LA REALIDAD

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

RESOLVER PROBLEMAS

LA VIDA COTIDIANA

EL MUNDO LABORAL

es

de

parasobr

e

relacionados con

Matemáticas en Educación Primaria

► Preponderancia de la componente intuitiva frente a la abstracción y formalización.

► Utilización de estrategias personales frente a las “más académicas”

► Preponderancia del razonamiento inductivo► Utilización de distintos ámbitos de

experiencias del alumnado como fuente de actividades matemáticas.

► Utilización de materiales manipulables e instrumentos de medida.

Uso racional de la calculadora y el ordenador.

Importancia del trabajo en grupo como base del aprendizaje.

Desarrollo de todos los contenidos desde el primer curso, incidiendo especialmente en la Resolución de Problemas y los contenidos geométricos en consonancia con el desarrollo de los sentidos.

Fomentar el gusto y la necesidad de un lenguaje claro y adecuado para comunicar sus ideas, razonamientos, argumentos, etc.

ESTRUCTURA DE CICLOS

Los Bloques de Contenidos no son compartimentos estancos: en todos los bloques se utilizan técnicas numéricas, se aplica el método de resolución de problemas y, en cualquiera de ellos, puede ser útil confeccionar una tabla, generar una gráfica, utilizar la calculadora y medios informáticos, ajustar el lenguaje matemático...

A diferencia del currículo LOGSE no hay una clasificación según la tipología de contenidos (conceptuales, procedimentales y actitudinales), aunque es evidentemente que están presentes.

CONTENIDOS- Números y operaciones

- La Medida: estimación y cálculo de magnitudes

- Geometría

- Tratamiento de la información, azar y probabilidad

CRITERIOS DE EVALUACIÓN

Números y operacionesNúmeros y operaciones

► Alfabetización numérica y operacional: comprensión de los procesos y significados de números y operaciones básicas.

► Sentido numérico: desarrollo de estrategias de cálculo mental, de estimación y de cálculo aproximado.

► Dominio funcional de los números y su utilización en diferentes contextos

► Habilidad para el cálculo con diferentes procedimientos

► Decisión en cada caso sobre el procedimiento más adecuado de resolución (incluida la calculadora), y su expresión matemática.  

La medida: estimación y cálculo de La medida: estimación y cálculo de magnitudesmagnitudes

- Utilización de instrumentos de medida

- Medición en situaciones reales (objetivo prioritario a conseguir)

- Utilización en cada ciclo de las medidas más comunes de uso cotidiano

- Estrategias de aproximación y estimación de medidas

GeometríaGeometría

• Orientación y representación espacial: sistemas de referencia y modelos de representación.

• Localización, la descripción y el conocimiento de objetos en el espacio

• El entorno cotidiano como fuente de estudio de diversas situaciones físicas reales, trabajando los elementos, propiedades, ... de las formas planas y tridimensionales

• Relevancia de la manipulación, el uso de materiales, modelos reales y programas informáticos.

Tratamiento de la información, azar y Tratamiento de la información, azar y probabilidadprobabilidad

- Conexión con actividades que implican a otras áreas de conocimiento y con informaciones que aparecen en la vida cotidiana: datos estadísticos de poblaciones, encuestas, superficies de países, ...

- Recogida y tratamiento matemático de información, haciendo especial hincapié en su representación gráfica

- Un primer acercamiento a los fenómenos aleatorios. Uso de distintos juegos de azar.

- Contenidos muy adecuados para potenciar el trabajo en equipo y el desarrollo del sentido crítico.

ESO: contenidosESO: contenidosESO: contenidosESO: contenidos

► Bloque de contenidos comunes: Resolución de Resolución de problemasproblemas, , utilización de herramientas utilización de herramientas tecnológicastecnológicas.. Tiene carácter transversal.

► El resto de contenidos está organizado en cinco bloques: Números, Álgebra, Geometría, Números, Álgebra, Geometría, Funciones y gráficas y Estadística y Funciones y gráficas y Estadística y probabilidadprobabilidad..

► Los bloques de contenidos no son no son compartimentos estancoscompartimentos estancos:: en todos se utilizan técnicas numéricas y algebraicas, puede ser útil confeccionar una tabla, generar una gráfica o suscitar una situación de incertidumbre probabilística.

Resolución de problemasResolución de problemas

► Tratamiento transversal, Tratamiento transversal, en cada curso y a lo largo en cada curso y a lo largo de toda la etapade toda la etapa..

► Centro sobre el que ha de Centro sobre el que ha de gravitar la actividad gravitar la actividad matemática en el aula.matemática en el aula.

► Contribución a la adquisición Contribución a la adquisición de competencias básicas.de competencias básicas.

NúmerosNúmeros► Desarrollo del sentido numérico a lo Desarrollo del sentido numérico a lo

largo de toda la etapalargo de toda la etapa..► Énfasis en la verdadera Énfasis en la verdadera comprensión de comprensión de

las operacioneslas operaciones que permita un uso que permita un uso razonable de las mismas, más que en las razonable de las mismas, más que en las destrezas de cálculo o en los algoritmos destrezas de cálculo o en los algoritmos de lápiz y papel.de lápiz y papel.

► Desarrollo de estrategias personales que Desarrollo de estrategias personales que permitan la permitan la utilización de la forma de utilización de la forma de cálculocálculo (mental, escrito o con (mental, escrito o con calculadora) calculadora) y la estrategia para y la estrategia para contar o estimarcontar o estimar cantidades cantidades más más apropiadas a la precisión exigida en apropiadas a la precisión exigida en el resultado y la naturaleza de los el resultado y la naturaleza de los datosdatos..

► Resolución de problemas en múltiples Resolución de problemas en múltiples contextos de la vida diariacontextos de la vida diaria..

ÁlgebraÁlgebra► Está presente en los cuatro Está presente en los cuatro

cursos de la etapa.cursos de la etapa.► Partir de la representación y Partir de la representación y

transformación de transformación de cantidadescantidades: trabajo con : trabajo con patrones y relaciones patrones y relaciones (secuencias numéricas, (secuencias numéricas, geométricas, …), traducciones geométricas, …), traducciones del lenguaje natural al del lenguaje natural al algebraico y viceversa.algebraico y viceversa.

► Las destrezas algebraicas Las destrezas algebraicas se se desarrollan a lo largo de desarrollan a lo largo de toda la etapatoda la etapa, a través de un , a través de un aumento progresivo en el uso aumento progresivo en el uso de símbolos y expresiones.de símbolos y expresiones.

GeometríaGeometría► Se trata sobre todo de Se trata sobre todo de describir describir

y analizar propiedades y y analizar propiedades y relaciones y clasificar y relaciones y clasificar y razonar sobre formas y razonar sobre formas y estructuras geométricasestructuras geométricas..

► Marco propicio para establecer Marco propicio para establecer relaciones con otros relaciones con otros ámbitosámbitos, como la naturaleza o , como la naturaleza o el mundo del arte.el mundo del arte.

► Utilización de Utilización de recursos recursos manipulativosmanipulativos como como catalizador del pensamiento del catalizador del pensamiento del alumno.alumno.

► Programas de Programas de geometría geometría dinámicadinámica para analizar para analizar propiedades, explorar relaciones, propiedades, explorar relaciones, formular conjeturas y validarlas.formular conjeturas y validarlas.

FuncionesFunciones

► Las Las distintas formas de distintas formas de representarrepresentar una una situación (verbal, situación (verbal, numérica, geométrica o numérica, geométrica o algebraica) y las distintas algebraica) y las distintas formas de traducir una formas de traducir una expresión de uno a otro expresión de uno a otro lenguaje.lenguaje.

► Resolución de problemas: Resolución de problemas: modelizar situaciones modelizar situaciones realesreales

► Uso de las Uso de las herramientas herramientas tecnológicastecnológicas para el para el estudio de las funciones.estudio de las funciones.

Estadística y probabilidadEstadística y probabilidad► Formular preguntasFormular preguntas que puedan que puedan

abordarse con datos y abordarse con datos y recoger, recoger, organizar y presentarorganizar y presentar datos datos relevantes para responderlas, relevantes para responderlas, seleccionando y utilizando los métodos seleccionando y utilizando los métodos estadísticos apropiados para analizar estadísticos apropiados para analizar dichos datos. dichos datos.

► Desarrollar y evaluar Desarrollar y evaluar inferencias y inferencias y prediccionespredicciones basadas en datos. basadas en datos.

► Comprender y aplicarComprender y aplicar conceptos conceptos básicos de probabilidadbásicos de probabilidad..

► Capacitar a los alumnos para Capacitar a los alumnos para analizar analizar de forma críticade forma crítica las presentaciones las presentaciones falaces, interpretaciones sesgadas y falaces, interpretaciones sesgadas y abusos que a veces contiene la abusos que a veces contiene la información de naturaleza estadística.información de naturaleza estadística.

► Utilización de la Utilización de la hoja de cálculohoja de cálculo para organizar la información.para organizar la información.

Las matemáticas en el Las matemáticas en el bachilleratobachillerato

► Matemáticas aplicadas a las CCSS I Matemáticas aplicadas a las CCSS I y IIy II

► Matemáticas I y IIMatemáticas I y II► Hay pocos cambios con respecto al Hay pocos cambios con respecto al

currículo anterior.currículo anterior.► Dos aspectos a destacar:Dos aspectos a destacar:

Integración de las nuevas tecnologías.Integración de las nuevas tecnologías. El papel de la resolución de problemas.El papel de la resolución de problemas.

Bachillerato de CCSSBachillerato de CCSS► Análisis de la realidad social desde una perspectiva matemática.Análisis de la realidad social desde una perspectiva matemática.► Resolución de problemas.Resolución de problemas.► Rigor, abstracción, demostraciones, fórmulas.Rigor, abstracción, demostraciones, fórmulas.► Uso de herramientas tecnológicas.Uso de herramientas tecnológicas.► Valor formativo de las matemáticas.Valor formativo de las matemáticas.► No circunscrita exclusivamente al ámbito de la economía o la sociología.No circunscrita exclusivamente al ámbito de la economía o la sociología.

Los contenidos del BCSLos contenidos del BCSPRIMER CURSO:PRIMER CURSO:

Aritmética y ÁlgebraAritmética y Álgebra

AnálisisAnálisis

Probabilidad y EstadísticaProbabilidad y Estadística

Aritmética y ÁlgebraAritmética y Álgebra

1. Aproximación decimal de un número real. Estimación, redondeo y errores.

2. Resolución de problemas de matemática financiera en los que intervienen el Interés simple y compuesto y se utilizan tasas, amortizaciones, capitalizaciones y números índice. Parámetros económicos y sociales.

3. Resolución de problemas del ámbito de las ciencias sociales mediante la utilización de ecuaciones o sistemas

de ecuaciones lineales. Método de Gauss.

AnálisisAnálisis

1. Expresión de una función en forma algebraica, por medio de tablas o de gráficas. Aspectos globales de una función. Utilización de las funciones como herramienta para la resolución de problemas y la interpretación de fenómenos sociales y económicos.

2. Interpolación y extrapolación lineal. Aplicación a problemas reales.

3. Identificación de la expresión analítica y gráfica de las funciones polinómicas, exponencial y logarítmica, valor absoluto, parte entera y racionales sencillas a partir de sus características. Las funciones definidas a trozos.

4. Tasa de variación. Tendencias.

Probabilidad y EstadísticaProbabilidad y Estadística

1. Estadística descriptiva unidimensional. Tipos de variables. Métodos estadísticos. Tablas y gráficos. Parámetros estadísticos de localización, de dispersión y de posición.

2. Distribuciones bidimensionales. Interpretación de fenómenos sociales y económicos en los que intervienen dos variables a partir de la representación gráfica de una nube de puntos. Grado de relación entre dos variables estadísticas. Regresión lineal. Extrapolación de resultados.

3. Asignación de probabilidades a sucesos. Distribuciones de probabilidad binomial y normal.

SEGUNDO CURSOSEGUNDO CURSO

ÁlgebraÁlgebra

AnálisisAnálisis

Probabilidad y EstadísticaProbabilidad y Estadística

ÁlgebraÁlgebra

1. Las matrices como expresión de tablas y grafos. Suma y producto de matrices. Interpretación del significado de las operaciones con matrices en la resolución de problemas extraídos de las ciencias sociales.

2. Inecuaciones lineales con una o dos incógnitas. Sistemas de inecuaciones. Programación lineal. Aplicaciones a la resolución de problemas sociales, económicos y demográficos. Interpretación de las soluciones.

AnálisisAnálisis

1. Aproximación al concepto de límite a partir de la interpretación de la tendencia de una función. Concepto de continuidad. Interpretación de los diferentes tipos de discontinuidad y de las tendencias asintóticas en el tratamiento de la información.

2. Derivada de una función en un punto. Aproximación al concepto e interpretación geométrica.

3. Aplicación de las derivadas al estudio de las propiedades locales de funciones habituales y a la resolución de problemas de optimización relacionados con las ciencias sociales y la economía.

4. Estudio y representación gráfica de una función polinómica o racional sencilla a partir de sus propiedades globales.

Probabilidad y EstadísticaProbabilidad y Estadística1. Profundización en los conceptos de probabilidades a priori y a

posteriori, probabilidad compuesta, condicionada y total. Teorema de Bayes.

2. Implicaciones prácticas de los teoremas: Central del Límite, de aproximación de la Binomial a la Normal y Ley de los Grandes Números.

3. Problemas relacionados con la elección de las muestras. Condiciones de representatividad. Parámetros de una población.

4. Distribuciones de probabilidad de las medias y proporciones muestrales.

5. Intervalo de confianza para el parámetro p de una distribución binomial y para la media de una distribución normal de desviación típica conocida.

6. Contraste de hipótesis para la proporción de una distribución binomial y para la media o diferencias de medias de distribuciones normales con desviación típica conocida.

Matemáticas I y IIMatemáticas I y II

► ““Saber hacer matemáticas”.Saber hacer matemáticas”.► Dos ejes fundamentales: Geometría y Dos ejes fundamentales: Geometría y

Análisis.Análisis.► Los instrumentos: Aritmética, Álgebra y las Los instrumentos: Aritmética, Álgebra y las

estrategias propias de la Resolución de estrategias propias de la Resolución de Problemas.Problemas.

► Fórmulas e identidades: no memorización.Fórmulas e identidades: no memorización.► Uso de herramientas tecnológicas.Uso de herramientas tecnológicas.► El formalismo: equilibrado y gradual.El formalismo: equilibrado y gradual.► Carácter transversal de la resolución de Carácter transversal de la resolución de

problemasproblemas

Los contenidosLos contenidosPRIMER CURSO:PRIMER CURSO:

- Aritmética y Álgebra.- Aritmética y Álgebra.

- Geometría.- Geometría.

- Análisis.- Análisis.

- Estadística y Probabilidad- Estadística y Probabilidad

Aritmética y ÁlgebraAritmética y Álgebra

1. Números reales. Valor absoluto. Desigualdades. Distancias en la recta real. Intervalos y entornos.

2. Resolución e interpretación gráfica de ecuaciones e inecuaciones.

3. Utilización de las herramientas algebraicas en la resolución de problemas

GeometríaGeometría

1. Medida de un ángulo en radianes. Razones trigonométricas de un ángulo. Uso de fórmulas y transformaciones trigonométricas en la resolución de triángulos y problemas geométricos diversos.

2. Vectores libres en el plano. Operaciones. Producto escalar. Módulo de un vector.

3. Ecuaciones de la recta. Posiciones relativas de rectas. Distancias y ángulos. Resolución de problemas.

4. Idea de lugar geométrico en el plano. Cónicas.

AnálisisAnálisis

1. Funciones reales de variable real: clasificación y características básicas de las funciones polinómicas, racionales sencillas, valor absoluto, parte entera, trigonométricas, exponenciales y logarítmicas.

2. Dominio, recorrido y extremos de una función.

3. Operaciones y composición de funciones.

4. Aproximación al concepto de límite de una función, tendencia y continuidad.

5. Aproximación al concepto de derivada. Extremos relativos en un intervalo.

6. Interpretación y análisis de funciones sencillas, expresadas de manera analítica o gráfica, que describen situaciones reales.

Estadística y ProbabilidadEstadística y Probabilidad

1. Distribuciones bidimensionales. Relaciones entre dos variables estadísticas. Regresión lineal.

2. Estudio de la probabilidad compuesta, condicionada, total y a posteriori.

3. Distribuciones binomial y normal como herramienta para asignar probabilidades a sucesos.

SEGUNDO CURSOSEGUNDO CURSO

►Álgebra lineal.Álgebra lineal.

►Geometría.Geometría.

►Análisis.Análisis.

Álgebra LinealÁlgebra Lineal

1. Estudio de las matrices como herramienta para manejar y operar con datos estructurados en tablas y grafos.

2. Operaciones con matrices. Aplicación de las operaciones y de sus propiedades en la resolución de problemas extraídos de contextos reales.

3. Determinantes. Propiedades elementales de los determinantes. Rango de una matriz.

4. Discusión y resolución de sistemas de ecuaciones lineales.

GeometríaGeometría

1. Vectores en el espacio tridimensional. Producto escalar, vectorial y mixto. Significado geométrico.

2. Ecuaciones de la recta y el plano en el espacio. Resolución de problemas de posiciones relativas. Resolución de problemas métricos relacionados con el cálculo de ángulos, distancias, áreas y volúmenes.

AnálisisAnálisis

1. Concepto de límite de una función. Cálculo de límites.

2. Continuidad de una función. Tipos de discontinuidad.

3. Interpretación geométrica y física del concepto de derivada de una función en un punto.

4. Función derivada. Cálculo de derivadas. Derivada de la suma, el producto y el cociente de funciones y de la función compuesta. Aplicación de la derivada al estudio de las propiedades locales de una función. Problemas de optimización.

5. Introducción al concepto de integral definida a partir del cálculo de áreas encerradas bajo una curva. Técnicas elementales para el cálculo de primitivas. Aplicación al cálculo de áreas de regiones planas.

Posibilidad y límites.Posibilidad y límites.¿Legitimar las diferencias?¿Legitimar las diferencias?

Las matemáticas son una materia tan importante que todo alumno la cursa al menos una hora al día … pero son muchos los que llegan al final de la secundaria sin haber alcanzado el nivel apropiado para el final de la educación primaria …Esta materia justifica de una manera sutil y legitima la diferenciación entre el alumnado que alcanza el nivel y el resto…

J. Eggleston. Sociología del currículum escolar.

Las matemáticas son una materia tan importante que todo alumno la cursa al menos una hora al día … pero son muchos los que llegan al final de la secundaria sin haber alcanzado el nivel apropiado para el final de la educación primaria …Esta materia justifica de una manera sutil y legitima la diferenciación entre el alumnado que alcanza el nivel y el resto…

J. Eggleston. Sociología del currículum escolar.

En este mundo cambiante, aquellos que entiendan y puedan utilizar matemáticas, tendrán oportunidades y opciones significativamente mejores para enfrentar su futuro. Las competencias matemáticas abren puertas hacia futuros productivos. La falta de competencias matemáticas, mantiene esas puertas cerradas ( . ) todos necesitan matemáticas y los estudiantes deben tener la oportunidad y la ayuda necesarias para aprender contenidos matemáticos que sean relevantes con profundidad y comprensión.

NCTM, 2000

Si queremos cambiar la forma de aprender

de nuestro alumnado, debemos modificar también la forma en la que les

enseñamos.

J. I. Pozo

… dedique la mayor parte del tiempo matemático a hacer sumas, restas…y luego no sepa cuando utilizarlas?

… haga operaciones con fracciones y no sepa explicar qué significa 3: 1/2? ¡Ni por qué da 6!

… haga operaciones con % y no sepa interpretar lo que calcula?

… tenga un dominio tan pobre de las estrategias de cálculo mental, estimación, … ?

… crea que hay una única manera “válida” de multiplicar en el mundo?… crea que lo importante de los problema es dar una solución? (aunque sea absurda)?

… siga mirando a los ojos del profesor después de decir “¿dividir”?

… crea que hay una única manera “válida” de resolver un problema?

…no pueda utilizar la calculadora para resolver problemas?

… apenas dedique tiempo en la escuela a pensar y discutir cómo resolver los problemas?

… apruebe con nota las operaciones de primaria y sea en la práctica un analfabeto funcional?

… dedique la mayor parte del tiempo matemático a hacer sumas, restas…y luego no sepa cuando utilizarlas?

… haga operaciones con fracciones y no sepa explicar qué significa 3: 1/2? ¡Ni por qué da 6!

… haga operaciones con % y no sepa interpretar lo que calcula?

… tenga un dominio tan pobre de las estrategias de cálculo mental, estimación, … ?

… crea que hay una única manera “válida” de multiplicar en el mundo?… crea que lo importante de los problema es dar una solución? (aunque sea absurda)?

… siga mirando a los ojos del profesor después de decir “¿dividir”?

… crea que hay una única manera “válida” de resolver un problema?

…no pueda utilizar la calculadora para resolver problemas?

… apenas dedique tiempo en la escuela a pensar y discutir cómo resolver los problemas?

… apruebe con nota las operaciones de primaria y sea en la práctica un analfabeto funcional?

¿ES LÓGICO QUE UN ALUMNO/A…

FraccionesFraccionesUtilizar los números racionales, sus operaciones y propiedades, para recoger, transformar e intercambiar información y resolver problemas relacionados con la vida diaria (3º ESO).

¿Fracciones y decimales en entornos cotidianos?

En un desierto, un legendario aventurero cansado y al borde de la muerte ha enterrado un tesoro. En el plano que ha dejado, solamente está señalada una roca y un gran árbol. También ha anotado que la roca, el árbol y el punto donde está enterrado el tesoro son 3 vértices de un rombo. Del cuarto vértice solamente sabemos que está sobre la pista rectilínea cercana.¿Dónde habría que cavar para encontrar el tesoro?

El tesoro del romboEl tesoro del rombo

Plegando un triánguloPlegando un triángulo

Supón que hemos recortado un triángulo de cartulina. Ahora vamos doblándolo hasta hacer coincidir uno de los vértices sobre el punto medio del lado opuesto. Cuando completamos el doblado, es decir, cuando el vértice coincide con el punto medio del lado opuesto, según como sea el triángulo de partida, la figura que nos queda puede ser un triángulo, un cuadrilátero o un pentágono.

¿De qué depende que la figura final sea un triángulo, un cuadrilátero o un pentágono? ¿Qué relación tiene el polígono obtenido con la forma del triángulo del que partimos?

El caballo situado en g1 puede alcanzar la posición del caballo situado en g8 en sólo cinco saltos. Suponiendo que el tablero está vacío de otras piezas, ¿cuántas formas distintas hay de lograrlo? Ojo, hay más de las que parece.

AjedrezAjedrez

L,TRTNPEHVZ,.ZN Matrices y criptografíaMatrices y criptografía

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

A B C D E F G H I J

 

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

K L M N Ñ O P Q R S

 

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

T U V W X Y Z esp . ,

► Vamos a utilizar un sistema de cifrado en dos pasos, empleando Vamos a utilizar un sistema de cifrado en dos pasos, empleando matrices: asignación numérica de caracteres y tratamiento matrices: asignación numérica de caracteres y tratamiento matricial del mensaje obtenido, empleando como clave una matriz matricial del mensaje obtenido, empleando como clave una matriz de codificación.de codificación.

► Para la asignación numérica utilizamos la siguiente tabla:Para la asignación numérica utilizamos la siguiente tabla:

La clave para la codificación La clave para la codificación será la matriz C:será la matriz C:

0 1 1

3 7 8

4 2 3

C

Vamos a codificar la palabra MATEMÁTICAS:Vamos a codificar la palabra MATEMÁTICAS:► Asignamos a cada letra el valor numérico que le Asignamos a cada letra el valor numérico que le

corresponde: 13 1 21 5 13 1 21 9 3 1 20corresponde: 13 1 21 5 13 1 21 9 3 1 20

13 5 21 1

1 13 9 20

21 1 3 28

M

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

A B C D E F G H I J

 

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

K L M N Ñ O P Q R S

 

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

T U V W X Y Z esp . ,

► Organizamos matricialmente estos números: Organizamos matricialmente estos números: formamos una matriz de 3 filas, escribiendo formamos una matriz de 3 filas, escribiendo ordenadamente los números por columnas, ordenadamente los números por columnas, completando con el código del espacio en blanco completando con el código del espacio en blanco (28) si fuera necesario. Se obtiene así la matriz:(28) si fuera necesario. Se obtiene así la matriz:

Hacemos ahora el producto de C por M:Hacemos ahora el producto de C por M:

0 1 1 13 5 21 1 22 14 12 48

· 3 7 8 · 1 13 9 20 214 114 150 367

4 2 3 21 1 3 28 117 49 111 128

C M

Si alguno de los elementos de la matriz resultante es mayor de 30, Si alguno de los elementos de la matriz resultante es mayor de 30, como ocurre en este caso, lo sustituimos por el resto de su división como ocurre en este caso, lo sustituimos por el resto de su división entre 30 (trabajaremos con restos módulo 30):entre 30 (trabajaremos con restos módulo 30):

22 14 12 48 22 14 12 18

mod( 214 114 150 367 ,30) 4 24 0 7

117 49 111 128 27 19 21 8

Ahora nos queda el proceso inverso: los elementos de esta matriz, por Ahora nos queda el proceso inverso: los elementos de esta matriz, por columnas, los escribimos en una sola línea, sustituyéndolos por los columnas, los escribimos en una sola línea, sustituyéndolos por los

caracteres correspondientes: caracteres correspondientes: UDZNWRL,TQGHUDZNWRL,TQGH

¿Qué hacer para descifrar el mensaje?¿Qué hacer para descifrar el mensaje?

1

133 65 81 91

· ' · ' 571 283 339 410

549 269 327 392

C M M M C M

► El receptor del mensaje necesita conocer la clave asignada a cada letra (equivalencias de la El receptor del mensaje necesita conocer la clave asignada a cada letra (equivalencias de la tabla) y la matriz de codificación.tabla) y la matriz de codificación.

► Lo primero que debe hacer es escribir matricialmente el mensaje recibido, siguiendo las Lo primero que debe hacer es escribir matricialmente el mensaje recibido, siguiendo las mismas pautas que quien lo escribió:mismas pautas que quien lo escribió:

22 14 12 18

' 4 24 0 7

27 19 21 8

M

► Ahora tendrá que multiplicar la inversa de la matriz de codificación Ahora tendrá que multiplicar la inversa de la matriz de codificación por la matriz M’:por la matriz M’:

► Algunos elementos de la matriz obtenida son mayores que 30, Algunos elementos de la matriz obtenida son mayores que 30, por lo que habrá que buscar la matriz mod(M,30):por lo que habrá que buscar la matriz mod(M,30):

133 65 81 91 13 5 21 1

mod( 571 283 339 410 ,30) 1 13 9 20

549 269 327 392 21 1 3 28

► Solamente queda escribir nuevamente en una sola línea Solamente queda escribir nuevamente en una sola línea los elementos de la matriz, por columnas, y buscar en la los elementos de la matriz, por columnas, y buscar en la tabla el significado de cada uno de los números. tabla el significado de cada uno de los números.

► ¿Qué significa el mensaje siguiente? ¿Qué significa el mensaje siguiente?

L,TRTNPEHVZ,.ZN

Grandes matemáticosGrandes matemáticos

► En Julio de 2002 Aznar declaraba: En Julio de 2002 Aznar declaraba: ""Primero, Bush coloca Primero, Bush coloca los pies encima de la mesa, se vuelve hacia mí y me los pies encima de la mesa, se vuelve hacia mí y me dice: yo corro 4 Km en 6 minutos y 45 segundos. dice: yo corro 4 Km en 6 minutos y 45 segundos. Entonces, yo levanto mis pies, los pongo también encima Entonces, yo levanto mis pies, los pongo también encima de la mesa, me giro y le contesto: pues yo hago 10 Km de la mesa, me giro y le contesto: pues yo hago 10 Km en 5 minutos y 20 segundosen 5 minutos y 20 segundos".".

► Evidentemente se trataba de una fanfarronada, tanto Evidentemente se trataba de una fanfarronada, tanto política como aritméticapolítica como aritmética. .

► Una rápida cuenta nos permite calcular que la velocidad Una rápida cuenta nos permite calcular que la velocidad de Bush debía ser por tanto de 35,5 Km/h, esto es más o de Bush debía ser por tanto de 35,5 Km/h, esto es más o menos lo mismo que correr 100 metros en 10 segundos, menos lo mismo que correr 100 metros en 10 segundos, ¡¡pero manteniendo esa velocidad los 4 Km!!. La ¡¡pero manteniendo esa velocidad los 4 Km!!. La velocidad y potencia de Bush nos dejan impresionados, velocidad y potencia de Bush nos dejan impresionados, pero cuando calculamos la velocidad de la carrera de pero cuando calculamos la velocidad de la carrera de Aznar, obtenemos 112,5 Km/h, ¡increíble! corre a la Aznar, obtenemos 112,5 Km/h, ¡increíble! corre a la velocidad límite de un guepardo, el animal terrestre más velocidad límite de un guepardo, el animal terrestre más veloz del mundo.veloz del mundo.

De una caja de bombones Santi ha comido un tercio; si quedan 12 bombones, ¿cuántos había en la caja?

(¿Sabes más que un niño de primaria? Antena 3)

Ramón Jáuregui contestó que 36. Los diputados del PP contestaron a la gallega; Martínez Pujalte con un “¿se ha comido un tercio sólo un niño?” y Soraya Saénz de Santamaría con “¿los que había al principio eran 12?”. Emilio Olabarría escapó a la pregunta con un “yo soy de letras puras; ahí si que tenemos un problema muy serio”. (El Intermedio, Wyoming)

LA CLASE DE LA CLASE DE MATEMÁTICASMATEMÁTICAS

► Los diseños para la clase de matemáticas, Los diseños para la clase de matemáticas,

como en pintura o poesía, han de ser como en pintura o poesía, han de ser

bellos, las ideas como los colores o las bellos, las ideas como los colores o las

palabras, deben relacionarse de manera palabras, deben relacionarse de manera

armoniosa. La belleza es la primera armoniosa. La belleza es la primera

prueba: no hay lugar en el mundo para prueba: no hay lugar en el mundo para

una clase de Matemáticas feas.una clase de Matemáticas feas.G.H. HardyG.H. Hardy