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EL CONOCIMIENTO DIDÁCTICO-MATEMÁTICO DE LOS PROFESORES: PAUTAS Y CRITERIOS PARA SU EVALUACIÓN Y DESARROLLO

Luis R. Pino-Fan1, Vicenç Font2, Juan D. Godino1

1Universidad de Granada, 2Universitat de Barcelona, España

Resumen

El conocimiento del profesor de matemáticas ha sido ampliamente estudiado y recientemente se ha logrado un notable avance con la propuesta del “Mathematical Knowledge for Teaching” (MKT), entre otros modelos, para la determinación del complejo de conocimientos que un profesor debería tener para la enseñanza de un tópico matemático concreto. Sin embargo, aún existen cuestiones por responder; por ejemplo, ¿Cómo o bajo qué criterios puede ser evaluado el MKT? ¿Cómo los formadores de profesores pueden ayudar a los futuros profesores a desarrollar los distintos componentes del MKT? ¿Cómo se relacionan los distintos componentes del MKT? En este capítulo, se responde de manera parcial a dichas preguntas mediante la propuesta del modelo “Conocimiento Didáctico-Matemático” (CDM) el cual proporciona pautas y criterios que permiten explorar y potenciar dichos conocimientos.

Palabras clave: Conocimiento del profesor, Enfoque Ontosemiótico, Derivada.

Abstract

Mathematics teacher knowledge has been widely studied, and recently a remarkable advancement has been reach with the proposal of the “Mathematical Knowledge for Teaching” (MKT) for describing the complex of knowledge that a teacher should have to teach a specific mathematics topic. Nonetheless there are still questions to be addressed, such as, how or under what criteria can the MKT be assessed? How the teacher educators can help the prospective teacher to develop the different components of the MKT? How are related the different components of

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MKT? In this chapter, we have tackled, though partially, such questions, by the proposed “Didactic-Mathematical Knowledge” (DMK) model, which provides guidelines and criteria to explore and enhance such knowledge.

Key words: Teacher’s knowledge, Onto-semiotic approach, Derivative.

1. Antecedentes

Desde hace aproximadamente tres décadas, una de las problemáticas que más ha interesado tanto a la comunidad de investigadores en matemática educativa como a las administraciones educativas, es determinar y caracterizar los componentes del complejo de conocimientos que un profesor de matemáticas debería tener para llevar a cabo eficazmente su práctica docente y facilitar el aprendizaje de sus alumnos sobre tópicos específicos de matemáticas.

Al respecto, una gran cantidad de investigaciones han sido orientadas a la identificación de los componentes del complejo de conocimientos que un profesor debería tener con el fin de desarrollar eficientemente su práctica y así, facilitar el aprendizaje de sus estudiantes. Por ejemplo, los trabajos de Shulman (1986, 1987), Fennema y Franke (1992) y Ball (2000), muestran una visión multifacética sobre la identificación de los conocimientos requeridos para la enseñanza. Investigaciones más recientes tales como las de Ball, Lubienski y Mewborn (2001), Rowland, Huckstep y Thwaites (2005), Llinares y Krainer (2006), Ponte y Chapman (2006), Philipp (2007), Sowder (2007), Ball, Thames y Phelps (2008), Hill, Ball y Schilling (2008), Schoenfeld y Kilpatrick (2008) y Sullivan y Wood (2008), nos muestran que no existe un acuerdo universal sobre un marco teórico para describir el conocimiento de los profesores de matemáticas (Rowland y Ruthven, 2011).

En la actualidad, una de las propuestas sobre el conocimiento de los profesores que ha tenido mayor impacto, es la denominada “Mathematical Knowledge for Teaching (MKT)”, desarrollada por Ball y colaboradores (Ball, et al, 2001; Hill, et al, 2008; Ball, et al, 2008), la cual supone avances en la caracterización de los componentes del conocimiento que debe tener un profesor para enseñar matemáticas. Sin embargo, a pesar de los avances que supone dicho modelo, aún quedan cuestiones fundamentales por responder, por ejemplo, ¿Cómo determinar el conocimiento didáctico-matemático de los profesores con modelos que incluyen categorías demasiado globales? Concretamente, ¿De qué forma o bajo qué criterios se puede evaluar o medir el MKT? ¿Cómo se puede


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ayudar a los profesores a adquirir o desarrollar los distintos componentes de MKT? En palabras de Silverman y Thompson (2008): “Aunque el conocimiento matemático para la enseñanza ha comenzado a ganar atención como un concepto importante en la comunidad de investigación sobre formación de profesores, hay una comprensión limitada de lo que sea, cómo se puede reconocer, y cómo se puede desarrollar en la mente de los profesores” (p. 499).

En general, como señala Godino (2009), tanto el modelo MKT de Ball como los diversos modelos propuestos desde el campo de investigación en educación matemática, incluyen categorías demasiado globales y disjuntas, por lo que sería útil disponer de modelos que permitan un análisis más detallado de cada uno de los tipos de conocimiento que se ponen en juego en una enseñanza efectiva de las matemáticas. Además, esto permitiría orientar el diseño de acciones formativas y la elaboración de instrumentos de evaluación de los conocimientos del profesor de matemáticas.

En este trabajo, con base en los desarrollos del Enfoque Ontosemiótico del conocimiento y la instrucción matemática (EOS) (Godino, Batanero y Font, 2007; Godino, 2012) y las aportaciones realizadas por Godino (2009) referentes a las categorías de análisis del conocimiento didáctico-matemático de los profesores, se presenta una propuesta que hemos denominado modelo del “Conocimiento Didáctico-Matemático (CDM)”, que responde a la necesidad de encontrar y proporcionar pautas y criterios que permitan analizar y caracterizar el conocimiento didáctico-matemático requerido por los profesores para la enseñanza de temas específicos de matemáticas.

2. El modelo del Conocimiento Didáctico-Matemático (CDM)

En el marco del EOS, y teniendo en cuenta los aportes de los diversos modelos que han sido propuestos para la caracterización y análisis de los conocimientos de los profesores, Godino (2009) propone un modelo denominado “modelo del conocimiento didáctico–matemático (CDM)”. Este modelo incluye seis facetas o dimensiones para el conocimiento didáctico–matemático, las cuales están involucradas en el proceso de enseñanza y aprendizaje de tópicos específicos de matemáticas. Estas facetas o dimensiones del CDM son:

1. Epistémica: Distribución, a lo largo del tiempo de enseñanza aprendizaje, de los componentes del significado institucional


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implementado (problemas, lenguajes, procedimientos, definiciones, propiedades, argumentos).

2. Cognitiva: Desarrollo de los significados personales (aprendizajes).

3. Afectiva: Distribución temporal de los estados afectivos (actitudes, emociones, afectos, motivaciones) de cada alumno con relación a los objetos matemáticos y al proceso de estudio seguido.

4. Interaccional: Secuencia de interacciones entre el profesor y los estudiantes orientadas a la fijación y negociación de significados.

5. Mediacional: Distribución de los recursos tecnológicos utilizados y asignación del tiempo a las distintas acciones y procesos.

6. Ecológica: Sistema de relaciones con el entorno social, político, económico,… que soporta y condiciona el proceso de estudio.

Para cada una de estas facetas o dimensiones se contemplan, a su vez, diversos niveles que permiten el análisis del CDM del profesor de acuerdo con el tipo de información requerida para la toma de decisiones instruccionales. Estos niveles de análisis son:

1. Prácticas matemáticas y didácticas. Descripción de las acciones realizadas para resolver las tareas matemáticas propuestas para contextualizar los contenidos y promover el aprendizaje. También se describen las líneas generales de actuación del docente y discentes.

2. Configuraciones de objetos y procesos (matemáticos y didácticos). Descripción de objetos y procesos matemáticos que intervienen en la realización de las prácticas, así como los que emergen de ellas. La finalidad de este nivel es describir la complejidad de objetos y significados de las prácticas matemáticas y didácticas como factor explicativo de los conflictos en su realización y de la progresión del aprendizaje.

3. Normas y metanormas. Identificación de la trama de reglas, hábitos, normas que condicionan y hacen posible el proceso de estudio, y que afectan a cada faceta y sus interacciones.

4. Idoneidad. Identificación de potenciales mejoras del proceso de estudio que incrementen la idoneidad didáctica.

En la Figura 1 se puede observar cómo interactúan las facetas y los niveles del conocimiento del profesor que acabamos de describir.


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Figura 1. Facetas y niveles del conocimiento didáctico-matemático del profesor.

El modelo CDM, además de las facetas y niveles de análisis que refieren a categorías de análisis más “finas” de los conocimientos didáctico–matemáticos del profesor, propone una serie de pautas para la formulación de consignas (ítems de evaluación) que permitan evaluar dicho conocimiento didáctico-matemático en los profesores. Así, la propuesta es que la faceta epistémica (Tabla 1), del modelo CDM, incluye y refina al conocimiento del contenido (conocimiento común, especializado y en el horizonte matemático).

Tabla 1. Conocimiento del Contenido (común, especializado y ampliado).

FACETA EPISTÉMICA CONSIGNA Conocimiento común Resuelve la tarea. Conocimiento especializado:

Elabora la configuración de objetos y procesos puesta en juego en las soluciones plausibles de la tarea y otras relacionadas:

- Tipos de problemas Identifica las variables de la tarea; generaliza (particulariza) el enunciado.

- Lenguajes (representaciones)

Resuelve las tareas usando diferentes representaciones.

- Procedimientos Resuelve las tareas usando diferentes procedimientos (intuitivos; formales).

- Conceptos/propiedades

Identifica los conceptos y propiedades puestas en juego en las soluciones.

- Argumentos Explica y justifica las soluciones. Conocimiento ampliado: - Conexiones -Identifica posibles generalizaciones de la tarea

y conexiones con otros temas más avanzados.

Fuente: Godino, 2009, p. 25.

La unión de las facetas cognitiva y afectiva refinan el conocimiento del contenido en relación a los estudiantes (Tabla 2). La unión de las facetas


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interaccional y mediacional refinan la noción de conocimiento del contenido en relación con la enseñanza (Tabla 3).

Tabla 2. Conocimiento del contenido en relación con los estudiantes.

FACETA COGNITIVA + AFECTIVA

CONSIGNA

Configuraciones cognitivas (estrategias, representaciones, enunciados, argumentaciones, …)

Describe los tipos de configuraciones cognitivas que los alumnos han desarrollado al resolver la tarea (o tareas) propuesta.

Errores, dificultades, conflictos de aprendizaje, concepciones

Describe los principales tipos de conflictos de aprendizaje en la resolución de este tipo de tareas por los alumnos.

Evaluación de aprendizajes

Formular cuestiones que permitan explicitar los significados personales de los alumnos al resolver este tipo de tareas (o contenidos).

Actitudes, emociones, creencias, valores

Describe estrategias que se pueden implementar para promover que los alumnos se involucren en la solución de estas tareas (o el estudio del tema).


Tabla 3. Conocimiento del contenido en relación con la enseñanza.

FACETA INSTRUCCIONAL (INTERACCIONAL +

MEDIACIONAL)

CONSIGNA

Configuración didáctica: - Roles del profesor y de los estudiantes con relación a la tarea o contenido - Modos de interacción profesor – alumnos; alumnos – alumnos; - Recursos materiales - Tiempo asignado

Describe la configuración didáctica que implementarías usando la tarea matemática dada.

Trayectoria didáctica (secuencia de configuraciones didácticas)

Describe otras tareas relacionadas con la dada y el modo de gestionar la trayectoria didáctica correspondiente.



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Finalmente, la faceta ecológica refina y se vincula con el conocimiento del currículo y las conexiones intra e interdisciplinares (Tabla 5).

Tabla 4. Conocimiento del currículo y conexiones intra e interdisciplinares.

FACETA ECOLÓGICA

CONSIGNA

Orientaciones curriculares

Identifica los elementos del currículo que son abordados mediante la realización de la tarea(s) propuesta (fines, objetivos).

Conexiones intra-disciplinares

Explica las conexiones que se pueden establecer con otros temas del programa de estudio mediante la realización de la tarea o de variantes de la misma.

Conexiones interdisciplinares

Explica las conexiones que se pueden establecer con otras materias del programa de estudio mediante la realización de la tarea o de variantes de la misma.

Otros factores condicionantes

Identifica factores de índole social, material, o de otro tipo, que condicionan la realización de la tarea o el desarrollo del proyecto educativo pretendido o implementado. Fuente: Godino, 2009, p. 27.

En diversos trabajos (Pino-Fan, 2010; Pino-Fan, Godino y Font, 2010; Pino-Fan, Godino y Font, 2011; Pino-Fan, 2011); hemos puesto de manifiesto que, en nuestros desarrollos enmarcados dentro del EOS, usamos la expresión “Conocimiento Didáctico-Matemático (CDM)” del profesor, para referir a la fusión de las conceptualizaciones del MKT (Mathematical Knowledge for Teaching) y PCK (Pedagogical Content Knowledge; Shulman, 1987), al considerar que la expresión “conocimiento matemático para la enseñanza” no refleja adecuadamente los diversos componentes o facetas que se deben tener en cuenta, como ocurre también con la expresión “conocimiento pedagógico del contenido”.

Entendemos que la didáctica de la matemática es la disciplina académica y el área de conocimiento cuyo objetivo específico es la articulación coherente de las distintas facetas o dimensiones que se ponen en juego en el estudio de los procesos de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas. Además, el término “conocimiento” lo utilizamos en el sentido de constructo epistémico–cognitivo–afectivo general que incluye comprensión, competencia y disposición (Pino-Fan, Godino y Font, 2010, p. 209). La disposición se relaciona con la noción de objeto matemático y didáctico personal, es decir, con aquello que posibilita la práctica. La competencia se relaciona con la activación de la configuración cognitiva adecuada, e idóneamente acoplada a la configuración epistémica de


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referencia, al contexto en el que se desarrolla la práctica. La comprensión tiene que ver con la relaciones que se deben establecer entre todos los elementos que intervienen en la implementación de una configuración epistémica (o cognitiva) idónea para un contexto determinado. De esta forma, para nosotros,

el CDM viene a ser la trama de relaciones que se establecen entre los distintos objetos matemáticos primarios [y los procesos de significación], que se ponen en juego en las prácticas operativas y discursivas del profesor, realizadas con el fin de resolver un determinado campo de situaciones problemáticas para implementar procesos de instrucción eficaces (idóneos) que faciliten el aprendizaje de los estudiantes (Pino-Fan, Godino y Font, 2010, p. 209).

El modelo CDM trata de seguir avanzando en la caracterización de los conocimientos de los profesores de matemáticas mediante el planteamiento teórico de pautas y “algunos criterios” para medir el conocimiento didáctico-matemático del profesorado. Al final de su estudio, Godino (2009) introduce con el modelo CDM una reestructuración del MKT pero ésta queda algo implícita (ver Tablas 1, 2, 3 y 4). Además no se ve claramente la relación e interacción entre cada una de las facetas o dimensiones incluidas en el modelo CDM. Aunado a lo anterior, se encuentra el hecho de que la sugerencia de pautas para la creación de ítems para evaluar y analizar cada una de las facetas del CDM son “genéricas” y éstas deberían atender a la relatividad de un tema matemático determinado.

Con base en los resultados obtenidos en diversas investigaciones (Pino-Fan, Godino y Font, 2011; Pino-Fan, 2011, Pino-Fan, Godino, Font y Castro, 2012, Pino-Fan, Godino, Font y Castro 2013) hemos podido ir un paso más allá respecto del modelo inicial del CDM. Primeramente, atendiendo a la necesidad de concretar los conocimientos en tópicos matemáticos específicos, en nuestro caso tomamos como ejemplo la noción derivada. Además, al centrarnos en la exploración y descripción de la faceta epistémica del CDM, los aspectos teóricos que teníamos como base aunados a los aspectos empíricos que arrojaron nuestros análisis, nos hicieron replantearnos el conocimiento especializado del contenido.

Para Ball, Thames y Phelps (2008) el conocimiento especializado del contenido es “conocimiento y habilidades matemáticas únicas para la enseñanza” (p. 400). Este conocimiento incluye “cómo representar con precisión ideas matemáticas, proporcionar explicaciones matemáticas de reglas y procedimientos comunes y examinar y comprender los métodos


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poco usuales para la resolución de problemas” (Hill, et al, 2008, p. 377-378). Nosotros estamos de acuerdo con este enfoque (o definición) del conocimiento especializado del contenido. Sin embargo, la pregunta que surge es: qué criterios específicos nos permiten analizar y potenciar dicho conocimiento especializado.

Lo anterior nos ha llevado a un replanteamiento del conocimiento especializado en nuestro modelo de CDM, el cual radica en la consideración de dos niveles del conocimiento especializado. Un primer nivel, de aplicación, en el que los futuros profesores deben hacer uso de diversas representaciones, conceptos, proposiciones, procedimientos y argumentos, así como usar diversos significados parciales de un objeto matemático, para resolver tareas, en nuestro caso, sobre derivadas. El segundo nivel, identificación, se refiere a la competencia de los profesores para identificar conocimientos (elementos lingüísticos, conceptos, propiedades, procedimientos y argumentos) puestos en juego en la resolución de una tarea sobre derivadas.

Con estas características, es obvio que el conocimiento especializado

implique conocimiento común y parte del conocimiento ampliado. Por

ejemplo, la tarea que se presenta en la Figura 6 es evaluadora tanto del

conocimiento común –ítem a), en tanto que el futuro profesor debe resolver

este ítem sin necesidad de dar justificaciones o utilizar diversas

representaciones, etc.– y el conocimiento ampliado –ítem d), que implica la

generalización de la tarea inicial sobre la derivabilidad de la función valor

absoluto en x=0, a partir de justificaciones válidas para la proposición, “la gráfica de una función derivable no puede tener picos”, mediante la definición de derivada como límite del cociente de incrementos–, como de

ambos niveles del conocimiento especializado.

Por un lado los ítems b) y c) refieren al primer nivel del conocimiento

especializado, en tanto que los futuros profesores deben resolverlos

haciendo uso de distintas representaciones (gráficas, simbólicas y

verbales), y argumentaciones válidas que justifiquen sus procedimientos.

Por otro lado, el ítem e) explora el segundo nivel del conocimiento

especializado, en tanto que el profesor debe resolver los ítems anteriores e

identificar el entramado de conocimientos que se ponen en juego en sus

resoluciones.


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Figura 2. Tarea 2 de un cuestionario para evaluar el CDM sobre la derivada en futuros profesores.

Debemos señalar que, dadas sus características, estos dos niveles que proponemos del conocimiento especializado están íntimamente vinculados, dentro del modelo CDM, con las otras facetas del conocimiento de los profesores. Por un lado, el nivel uno, de aplicación, se relaciona con las facetas interaccional y mediacional (Knowledge of content and teaching), puesto que un buen dominio de este nivel del conocimiento especializado sobre un tópico específico, como lo es el de derivada, proporciona al profesor los medios para un desempeño idóneo de su práctica de enseñanza. Por su parte, el nivel dos, de identificación, está vinculado con las facetas cognitiva y afectiva (knowledge of content and students), puesto que faculta al profesor para detectar de manera previa, durante y posterior a la implementación de una actividad de enseñanza, conocimientos matemáticos involucrados, significados de los objetos matemáticos, así como conflictos y errores que se pueden presentar a sus alumnos, gestionando así, los aprendizajes de sus alumnos de una manera más eficaz.

Así, nuestro modelo del Conocimiento Didáctico-Matemático (CDM) propone una reestructuración de los componentes del modelo Mathematical Knowledge for Teaching (MKT), y una vinculación e


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interacción entre las dimensiones del CDM, tal y como se indica en la Figura 3.

Figura 3. Relación entre las categorías del conocimiento del MKT y el CDM.

Además, el EOS proporciona herramientas que permiten un desglose operativo de cada una de las facetas del CDM (Godino y Pino-Fan, 2013). En nuestro caso particular, la noción de configuración de objetos y procesos matemáticos permitió describir con detalle los conocimientos institucionales que se espera poner en juego en la solución experta de una tarea (configuración epistémica) y también los conocimientos personales que los futuros profesores efectivamente usan (configuración cognitiva). Así, el análisis de las prácticas matemáticas, objetos y procesos de significación, se muestra como una herramienta potente para la identificación y caracterización de los conocimientos especializado y ampliado, en tanto que proporciona pautas y criterios para analizar dichos tipos de conocimientos manifestados por los futuros profesores.

3. Reflexiones finales

La cuestión inmediata que surge a partir de la diversidad de modelos del conocimiento del profesor es, ¿cómo determinar tal conocimiento didáctico-matemático sobre la derivada tomando como referencia modelos que incluyen categorías demasiado “globales” y hasta cierto punto disjuntas? Y es que a pesar de los avances que suponen los modelos


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propuestos para la caracterización de los conocimientos que requieren los profesores de matemáticas para la enseñanza efectiva de tópicos concretos como el de la derivada, éstos no aportaban criterios que permitan analizar y reconocer con profundidad dichos conocimientos, criterios que posteriormente sirvan y orienten a los investigadores mediante pautas para el desarrollo y potenciación de estos conocimientos.

En este sentido, el modelo del CDM propuesto por Godino (2009), con los refinamientos y adaptaciones que hemos realizado en diversos trabajos (Pino-Fan, Godino y Font, 2011; Pino-Fan, 2011; Pino-Fan, Godino, Font y Castro, 2012; Pino-Fan, Godino, Font y Castro, 2013; Godino y Pino-Fan, 2013) avanza y aporta nuevas ideas en relación a la problemática de los modelos del conocimiento de los profesores, proporcionando pautas y criterios que permiten evaluar y desarrollar el conocimiento didáctico-matemático de los futuros profesores. Concretamente, en este trabajo nos hemos centrado en el conocimiento especializado, eje del modelo CDM, en cómo analizarlo y sugerencias para potenciarlo.

Así, se proponen dos niveles del conocimiento especializado los cuales deberán tenerse en cuenta en el diseño de acciones formativas, en su nivel de aplicación (uso de diversos elementos lingüísticos, conceptos/definiciones, propiedades/proposiciones, procedimientos y argumentos, así como el uso de distintos significados parciales de la derivada, para la resolución de una tarea), como en su nivel de detección, que refiere al desarrollo de competencias para la identificación de objetos matemáticos, sus significados y vínculos entre ellos, lo que permitirá una futura gestión idónea de los aprendizajes de sus estudiantes.

El modelo CDM descrito en este trabajo, con sus herramientas teóricas y metodológicas, puede aplicarse a la enseñanza de diversos temas matemáticos. Sin embargo, cada tema matemático conlleva especificidades vinculadas a la faceta epistémica que deberán ser analizadas previamente para ser usadas como referencia institucional.

Reconocimiento

Este trabajo ha sido desarrollado en el marco de dos proyectos sobre formación de profesores: EDU2012-32644 (Universidad de Barcelona, España) y EDU2012-31869 (Universidad de Granada, España).


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