el conjunto z de numeros enteros

7/28/2019 El conjunto Z de numeros enteros

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2013Antonio Garca MegaEL CONJUNTO Z DE NMEROS ENTEROSAngarmegia: Ciencia, Cultura y Educacin. Portal de Investigacin y docenciahttp://[email protected]
http://angarmegia.com/http://angarmegia.com/mailto:[email protected]:[email protected]:[email protected]://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.5/es/legalcode.eshttp://www.safecreative.org/work/1305295178946mailto:[email protected]://angarmegia.com/


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el conjunto Z de

nmeros enteros

Notas y recursos didcticos para las clases de

Una propuesta deAntonio Garca Mega


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El presente documento forma parte del proyecto del Portal de Educacin yDocencia Angarmegia, Ciencia, Cultura y Educacin (http://angarmegia.com).Propone algo ms que unos apuntes para orientar a nuestros alumnos deEducacin Secundaria en sus estudios sobre el tema.

Junto a un el texto muy simplificado y centrado en aspectos esenciales paracompletar, o diversificar, los contenidos recogidos en su libro base, el proyectodispone de vdeos relacionados y de actividades interactivas para mejorar yreforzar las adquisiciones.

Los vdeos estn localizables en la seccin Vdeos del Portal o en elCanal Angarmegia de YouTube. Las direcciones son:

Vdeos en el Portal:http://angarmegia.com/videos.htm

Angarmegia en YouTube:http://www.youtube.com/user/angarmegia

Las actividades interactivas se encuentran en la seccin Refuerzo alestudio.http://angarmegia.com/refuerzoestudio.htm

Esta misma informacin en formato html est accesible desde la seccinMatemticas fciles que recoge, adems las fichas esquemticas detodos los contenidos de la Educacin Secundaria obligatoria realizadas

por el Profesor Bienvenido Ayala:http://angarmegia.com/menumatematicas.htm

Agradecemos cualquier crtica o sugerencia que tengan a bien hacernos. Nuestra

mayor satisfaccin estriba en conocer que nuestro trabajo puede contribuir amejorar el nivel educativo de las generaciones que habrn de sustituirnos.

Antonio Garca MegaMaestro, Diplomado en Geografa e Historia, Licenciado en Filosofa y Letras,

Doctor en Filologa Hispnica.
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CONTENIDO

Introduccin ________________________________________________________________________ 9

Representacin grfica del conjunto Z ____________________________________________________ 9

Ordenacin de nmeros enteros ________________________________________________________ 10

Operaciones con nmeros enteros _______________________________________________________ 10

SUMA___________________________________________________________________________ 10PROPIEDADES DE LA SUMA________________________________________________________ 11

RESTA __________________________________________________________________________ 11

SUMAS Y RESTAS COMBINADAS (REALIZACIN PRCTICA) __________________________________ 11

MULTIPLICACIN__________________________________________________________________ 12PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIN_______________________________________________ 12

DIVISIN ________________________________________________________________________ 12

POTENCIA _______________________________________________________________________ 13PROPIEDADES DE LA POTENCIA ____________________________________________________ 13

OPERACIONES CON POTENCIAS_____________________________________________________ 13

Coordenadas Cartesianas ______________________________________________________ 14


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DR.D. ANTONIO GARCA MEGASERIE APOYOS DIDCTICOS EL CONJUNTO Z DE NMEROS ENTEROS

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EL CONJUNTO Z DE NMEROS ENTEROS

INTRODUCCIN

El conjunto de los nmeros enteros, conocido como conjunto Z, est constituido por losnmeros naturales (0, 1, 2, 3...), y los nmerosnaturales con signo negativo (-1, -2, -3).

Z = {, -11, -10,, -2, -1, -0, 1, 2,, 10, 11,}Escrito de otro modo:

Z = {, -11, -10,, -2, -1, -0, +1,+2,, +10, +11,}

Los nmeros enteros permiten contar nuevos tipos de cantidades, como los ingresos y los gastosde una contabilidad, y ordenar medidas o niveles por encima o por debajo de un elemento dereferencia, temperaturas superiores o inferiores a 0 grados, altitud sobre, o bajo, el nivel delmar Son utilizados desde la antigedad por chinos e hindes siendo utilizados por primeravez en la Europa medieval por los rabes.

REPRESENTACIN GRFICA DEL CONJUNTOZ

VALORES ABSOLUTO Y OPUESTO

Se denomina valor absoluto de un nmero entero a la distancia a la que se encuentra del ceroindependientemente de que se posicione a su derecha o su izquierda. En otras palabras, el valorde la cifra que lo representa aislada del signo que la acompaa. Se representa entre barras |n|.

Valor absoluto de -3 es |3|

Valor absoluto de +7 es |7|

El valor absoluto de un nmero es siempre positivo.

Si n > 0, |n| = n; si n es 8, |8| = 8

Si n < 0, |n| = n; si n es -8, |8| = 8

Se denomina opuestode un nmero entero al mismo nmero con el signo cambiado:

Nmero Opuesto Val. absoluto

+6 -6 |6|

-12 +12 |12|

-300 +300 |300|


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ORDENACIN DE NMEROS ENTEROS

Para ordenar nmeros enteros es preciso tomar en consideracin los siguientes criterios:1. Todo nmero negativo es menor que cero.

-n < 0

2. Todo nmero positivo es mayor que cero.

+n > 0

3. De dos enteros negativos es mayor el que tiene menorvalor absoluto.

-8; -10 |-8| < |-10| -8 > -10

4. De los enteros positivos, es mayor el que tiene mayor valor absoluto.

+8; +10 |+8| < |+10| +10 > +8

5. Para ordenar nmeros enteros de mayor a menor valor, se colocan primero todos lospositivos y luego los negativos:

> +5 > +4 > +3 > +2 > +1 > 0 > -1 > -2 > -3 > -4 > -5 >

OPERACIONES CON NMEROS ENTEROS

SUMA

Caso 1: Todos los sumandos tienen el mismo signo.Se suman los valores absolutos y se aplica el signo comn al resultado.

(+3) + (+4) = 7

(-3) + (-4) = -7

Caso 2: Los sumandos son de distinto signo.Slo dos sumandos: Se restan los valores absolutos (el mayor menos el menor), y seaplica el signo del nmero con mayor valor absoluto.

(-3) + (+8) = +5

(+3) + (-8) = -5

Ms de dos sumandos: Se realizan dos sumas parciales. Una con los valores absolutosde todos los positivos y otra con los valores absolutos de todos los negativos. Se restanambos resultados y se atribuye el signo de la suma mayor.

(+4) + (-6) + (+5) + (- 7)


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Suma de positivos: (+4) + (+5) = |4| + |5| = |9|

Suma de negativos: (-6) + (-7) = |6| + |7| = |13|

(Mayor valor absoluto: Suma de negativos)

Resta de sumas parciales: 139 = 4Resultado final:

(+4) + (-6) + (+5) + (- 7) = -4

PROPIEDADES DE LA SUMA

La suma de nmeros enteros tiene las propiedades siguientes: Asociativa:

(a + b) + c = a + (b + c)

Conmutativa:a + b = b + a

Elemento neutro: el cero,a + 0 = a

RESTA

La resta en los nmeros enteros se transforma en una suma. Para ello, se suma al minuendo elopuesto del sustraendosustituyendo el signo - de la resta porel + de la suma, cambiandotambin el signo del sustraendo.

(+9)- (+5) = (+9) + (-5) = +4

(+3) - (-6)(+4)= (+3) + (+6) + (-4) = +5

(Los signos cambiados aparecen en rojo)

SUMAS Y RESTAS COMBINADAS (REALIZACIN PRCTICA)

Paso 1: Eliminar de todos los signos de restar convirtindolos en sumas (cambiar signo delsustraendo).

(+8) - (-6) + (-3) - (+9) (+8) + (+6) + (-3) + (-9)

(Los signos cambiados aparecen en rojo)

Paso 2: Efectuar dos sumas parciales de valores absolutos: positivos por un lado y negativospor otro. Restar ambos resultados y atribuirle el signo de la suma mayor.

(+8) + (+6) + (-3) + (-9)

Suma de positivos: (+8) + (+6) = |8| + |6| = |14|

Suma de negativos: (-3) + (-9) = |3| + |9| = |12|

(Mayor valor absoluto: Suma de positivos)

Resta de sumas parciales: |14||12| = |2|

Resultado final:(+8) - (-6) + (-3) - (+9) = +2


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IMPORTANTE: Con objeto de facilitar la comprensin de los procesos se han encerrado siempre dentrode un parntesis cada uno de los elementos que intervienen en la operacin con el signo que loacompaa. La presentacin habitual de las operaciones con nmeros enteros no suele ajustarse aeste modelo, sino que los signos de asocian o asimilan. Cuando no se especifica signo sesobreentiende que la cantidad es positiva. Si entre dos nmeros hay un solo signo es el de la

operacin que hay que realizar, por consiguiente el segundo nmero, al no llevar signo, espositivo

MULTIPLICACIN

Para multiplicar dos nmeros enteros se multiplican los valores absolutos. El signo queacompaa al producto espositivo si ambos factores son del mismo signo independientemente deque sea + o -, y negativo si los factores son de signos distintos. Este procedimiento paraobtener el signo de un producto se denomina regla de los signos.La regla de los signos para multiplicaciones con tres o ms factores queda ms de dos factoresqueda as:

SITUACIN RESULTADOTodos los factores son + + , +, +, , + Positivo (+)

Algn factor es -Si el nmero de factores - es impar Negativo (-)

Si el nmero de factores - es par Positivo (+)

(+3) x (+4) = |3| x |4| = 12 (los dos factores tienen el mismo signo)

(-3) x (-5) = |3| x |5| = 15 (los dos factores tienen el mismo signo)(+3) x (-4) = |3| x |4|= -12 (nmero impar de factores negativos: resultado negativo)

(-3) x (-4) = |3| x |4|= 12 (nmero par de factores negativos: resultado positivo)

(-2) x (+6) x (+4) = |2| x |6| x |4|= -48 (nmero impar de factores negativos: resultado negativo)

(-2) x (-6) x (+4) = |2| x |6| x |4|= 48 (nmero par de factores negativos: resultado positivo)

PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIN

La multiplicacin de nmeros enteros tiene las propiedades siguientes: Asociativa:

(a b) c = a (b c)

Conmutativa:a b = b a

Distributiva de la multiplicacin respecto de la suma:a (b + c) = a b + a c

Elemento neutro: el 1.a 1 = a

DIVISIN

Para dividir dos nmeros enteros se calcula el cociente de sus valores absolutos. El signo queacompaa al resultado, igual que ocurre con el producto, espositivo si dividendo y divisor sondel mismo signo, independientemente de que este sea + o -, y negativo si tienen signodistinto.

(+12) : (+4) = |12| : |4|= 3

(-12) : (-4) = |12| : |4|= 3

(+12) : (-4) = |12| : |4|= -3

(-12) : (+4) = |12| : |4|= -3


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POTENCIA

Una potencia es siempre un producto de factores iguales.

Caso 1: El exponente es un nmero naturalEs un nmero entero cuyo valor absoluto es el valor absoluto de la potencia y cuyo

signo es el que se deduce de la aplicacin de las siguientes reglas:

Las potencias de exponente par son siempre positivas.

+npar

= +p +52= +25

-npar

= +p -52

= +25

Las potencias de exponente impar tienen el mismo signo de la base.

+nimpar

= +p +53= +125

-nimpar

= -p -53= -125

Caso 2: El exponente es un nmero entero negativoEs la inversa de la potencia con el mismo exponente, pero positivo:

=1

52 =

1

52

PROPIEDADES DE LA POTENCIA

La potencia de 0 es igual a 1

n0

= 1 40

= 1 -80

= 1

La potencia de 1 de un nmero es igual a ese mismo nmero

n1

= n 61

= 6 -61

= -6

OPERACIONES CON POTENCIAS

Producto de potencias con la misma base: Otra potencia con la misma base ycuyo exponente es la suma de los exponentes.

nx

x ny= n

x+y3

2x 3

3= 3

2+3= 3

5

Divisin de potencias con la misma base: Otra potencia con la misma base ycuyo exponente es la diferencia de los exponentes.

nx

: ny= n

x-y4

5x 4

2= 4

5-2= 4

3

Potencia de una potencia: Otra potencia con la misma base y cuyo exponente esel producto de los exponentes.

(nx)

y= n

xy(4

3)

2= 4

32= 4

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Producto de potencias con el mismo exponente: Otra potencia con el mismoexponente y cuya base es el producto de las bases.

nx

x zx= (n x z)

x

32

x 42= 12

2

Cociente de potencias con el mismo exponente: Otra potencia con el mismoexponente y cuya base es el cociente entre las bases.

nx

: zx= (n : z)

x

-62

x 32= -2

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COORDENADAS CARTESIANAS

Una de las aplicaciones prcticas ms habituales de los nmeros enteros en el mundo de laciencia es su uso en representaciones grficas sobre ejes de coordenadas.


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Vdeos relacionados en:http://angarmegia.com/videos.htmhttp://www.youtube.com/user/angarmegia

Actividades interactivas en:http://angarmegia.com/refuerzoestudio.htm

Informacin en formato html, y fichas resumen del profesor Bienvenido Ayala, en:http://angarmegia.com/menumatematicas.htm

2013Antonio Garca MegaEL CONJUNTO Z DE NMEROS ENTEROSAngarmegia: Ciencia, Cultura y Educacin. Portal de Investigacin y docenciahttp://[email protected]
http://angarmegia.com/videos.htmhttp://www.youtube.com/user/angarmegiahttp://angarmegia.com/refuerzoestudio.htmhttp://angarmegia.com/menumatematicas.htmhttp://angarmegia.com/http://angarmegia.com/mailto:[email protected]:[email protected]:[email protected]://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.5/es/legalcode.eshttp://www.safecreative.org/work/1305295178946mailto:[email protected]://angarmegia.com/http://angarmegia.com/menumatematicas.htmhttp://angarmegia.com/refuerzoestudio.htmhttp://www.youtube.com/user/angarmegiahttp://angarmegia.com/videos.htm


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