el campo eléctrico y la materia - universitat de valència · 2005-01-31 · electrostática y...
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El campo eléctrico y la materia
Tema 9Curso 2004-2005
Electrostática y dieléctricosEl átomo como un dipolo eléctricoLos dieléctricos como distribución de dipolos. El vector polarización P. Susceptibilidad dieléctrica. Permitividad dieléctricaCampo creado por un medio dieléctrico polarizadoEl vector desplazamiento DCondiciones de frontera entre dieléctricosAlgunos efectos eléctricos y mecánicos entre dieléctricosMedios conductores. Conductividad eléctrica.
Electrostática y dieléctricosFaraday acuñó la palabra dieléctrico para describir el efecto de un aislante en un condensadorFaraday observó que al situar un aislante entre las placas de un condensador, la capacidad del sistema, la energía almacenada y la carga aumentan un factor κκ es una característica del medioEn un dieléctrico las cargas no son libres como en un metal, están ligadas a los átomos o moléculasCuando se aplica un campo eléctrico, el átomo o molécula se polariza (se desplaza la carga negativa respecto de la positiva y se forma un dipolo)
Dipolo atómico inducido
~p
Átomo sin polarizar Átomo polarizado
núcleo
nube electrónica
~p = αε0 ~Eloc
da
~E0
MODELO
qe = ρ4πd3 = −Zed3
a3ρe = −
Ze
4πa3
F = ZeE0 =Zeqe4πε0d2
= − Z2e2d
4πε0a3d =
4πε0a3
ZeE0
α = 4πε0a3
59.6Cs
4.04Xe47.3Rb
2.48Kr43.4K
1.64Ar23.6Na
0.396Ne24.3Li
0.205He0.667H
en unidades de 10-30 m3α/4πε0
Polarizabilidades atómicas
Teoría cuántica
− ~2
2m∇2ψ − e2
4πε0rψ + eE0zψ = Eψ
~p = hψ|− e~r|ψi = 9
2(4πε0a
3B)E0~uz
α
4πε0=9
2a3B = 0.667× 10−30m3
Ecuación de Schrödinger:
Momento dipolar:
Polarizabilidad atómica:
Moléculas polares
Hay moléculas con momento dipolarpermanenteLa unidad que caracteriza el momento dipolar es el debye: 1 D=3.34 10-30 C m.Moléculas grandes, mayor momento dipolarMateriales compuestos por moléculas polares: campos internos cuya magnitud depende de T
2.5eaB
1.48NH3
1.83H2O0.83HI0.80HBr1.04HCl1.75HF
Molécula m. dip. (D)
Momentos dipolaresmoleculares
Si tomamos el eje z como la dirección de ~E = E0~uz
h~pi =Re−U/kT ~pdΩRe−U/kT dΩ
~τ = ~p× ~E
U = −~p · ~E = −pE0 cos θ
hpzi =pR +1−1 e
−(pE0/kT ) cos θ cos θd cos θR +1−1 e
−(pE0/kT ) cos θd cos θ= p
∙coth
µpE0kT
¶− kT
pE0
¸
coth z ≈ 1z+z
3
llegamos a la fórmula de Langevin-Debye
Dipolo en un campo eléctrico
Momento dipolar promedio
0 1 2 3 4 5 60.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
<pz>/
p
pE/kT
pE/3kT
Esta es la fórmula de Langevin.Si se hace la aproximación
α = α0 +p2
3kT
Polarización y carga de polarización
Para incluir el efecto de la polarizabilidadatómica es necesario introducir un nuevo campo, el campo de polarización La polarización es una vectorial de la posición en el dieléctrico
se define como la densidad media de momentos dipolares~P (~r)
~P (~r)
~P (~r)d3~r =NXi=1
~pi
V (~r) =1
4πε0
∙IσbdS
0
|~r − ~r0| +Z
ρbd3~r0
|~r − ~r0|
¸
Potencial de un dipolo
La contribución al potencial de un conjunto de dipolos
Potencial de un medio polarizado
V (~r) =1
4πε0
~r · ~pr3
V (~r) =1
4πε0
(~r − ~ri) · ~pi|~r − ~ri|3
dV (~r) =1
4πε0
NXi=1
(~r − ~ri) · ~pi|~r − ~ri|3
' 1
4πε0
(~r − ~r0) · ~P (~r0)d3~r0|~r − ~r0|3
V (~r) =1
4πε0
"I ~P · ~ndS0|~r − ~r0| −
Z ~∇0 · ~P (~r0)d3~r0|~r − ~r0|
#V (~r) =
1
4πε0
Z(~r − ~r0) · ~P (~r0)d3~r0
|~r − ~r0|3
Potencial en términos de las cargas de polarización
σb = ~P · ~n ρb = −~∇ · ~PDensidades de carga de polarización
σb = ~P · ~n ρb = −~∇ · ~P
Densidades de carga de polarización
El vector desplazamientoLas ecuaciones fundamentales de la electrostática son yEstas ecuaciones son correctas en el vacío y en un medio dieléctrico Al analizar un medio dieléctrico es conveniente separarPeroLa combinación es un nuevo vector denominado campo desplazamientoSe cumple la ley de Gauss con las cargas libres
~∇× ~E = 0 ~∇ · ~E = ρ/ε0
ρ(~r) = ρf (~r) + ρb(~r)
ρ(~r) = ε0~∇ · ~E = ρf (~r)− ~∇ · ~P~D = ε0 ~E + ~P
~∇ · ~D = ρf
I~D · d~S = (qf )enc
Dieléctricos lineales
Un aislante con P proporcional a E es un medio lineal dieléctricoSe utilizan diversos parámetros que relacionan E, P y D:
Constante dieléctrica
Permitividad
Susceptibilidad
Ecuación constitutivasímboloParámetro
χe
ε
κ
~P = χeε0 ~E
~D = ε~E
κ = ε/ε0
Dos relaciones adicionales de interés son:
es siempre positivo ya que los dipolos atómicos se alinean con E de forma que P apunta en la dirección de E. Así, y para cualquier material dieléctrico.
En el vacío,
En la materia, los parámetros macroscópicos están determinados finalmente por las propiedades atómicas.
χe
ε = ε0(1 + χe) κ = 1 + χe
ε > ε0 κ > 1
χe = 0, ε = ε0 y κ = 1
Piroelectricidad: al aumentar la temperatura, aparece un campo eléctrico en la superficie del cristal (turmalina, el “iman Ceylon”, 1703)Ferroeléctricos: materiales en los que la polarización espontáneapuede alterarse mediante un campo eléctrico aplicadoFerroelásticos: materiales en los que tensiones mecánicas alteranla polarización espontáneaPiezoeléctrico: material en los que la aplicación de una tensióngenera cargas eléctricas en su superficie (efecto piezoeléctricodirecto, Pierre Currie, 1880)Electrostricción: acoplamiento secundario en el que la tensión esproporcional al cuadrado del campo eléctrico; frecuentementeimplica un “efecto piezoeléctrico inverso” (energía eléctrica se convierte en mecánica; Lippman, a partir de principiostermodinámicos, Currie experimentalmente en 1881)
Otras propiedades dieléctricas
¿Qué es la ferroelectricidad?¿Qué es la ferroelectricidad?
Los ferroeléctricos presentan dos estadosestables, base de aplicaciones de memoria
Los ferroeléctricos presentan dos estadosestables, base de aplicaciones de memoria
“0”
“1”
Polarización
Voltaje
Energía
Z
Campoeléctrico
Los materiales ferroeléctricosmuestran una polarizaciónespontánea con el campo eléctrico aplicado debido al desplazamiento atómico del átomo “centrado en cuerpo”en la estructura de la perovskita (ABO3).
El estado de polarización se mantiene al desaparecer el campo aplicado.
A O
BEstructura ABO3
Fotografía de una memoria FRAM de 64MbFotografía de una memoria FRAM de 64Mb
En un gas diluido (moléculas sin interacción),
de donde la susceptibilidad adquiere la expresión (fórmula de Langevin-Debye):
Moléculas polares
~P = nα ~E, χe = nα/ε0 y κ = 1+ nα/ε0
χe =np2
3kTε0
Moléculas no polares
A partir de un modelo de oscilador clásico
La susceptibilidad es
Para el hidrógeno, en condiciones normales de presión y temperatura
ω0 = 1.8× 1016 s−1 (λ ' 100 nm) y n = 2.69× 1025 m−3
χe = 2.64 × 10−4
χe =nq2
ε0mω20
~p = ~qδ~r =q2 ~E
mω20
Materia condensada
El campo responsable de la polarización de una molécula en un medio denso no es el campo macroscópico aplicado A este campo se le denomina campo local o campo molecularLa forma de calcular es dividir el dieléctrico en dos regiones: una esfera de radio alrededor del punto donde queremos calcular el campo y el resto del dieléctrico (que puede tratarse como un continuo). Finalmente se aplica el principio de superposición.
~E0
~Eloc~Eloc
El campo local puede descomponerse en las siguientes contribuciones (figura):
Ec = V/d ~Ed = − ~P/ε0
~E = ~Ec + ~Ed
~Es(0) =1
4πε0
Zσb~rd
3~r
r3=
1
4πε0
2πa3 ~P
a3
Z +1
−1cos2 θd cos θ =
1
3ε0~P
Campo macroscópico Campo local de Lorentz
~Eloc = ~Ec + ~Ed + ~Es + ~Ei
~Eloc = ~E +1
3ε0~P
El campo de polarización en un medio polarizado vale
De la relación entre P y E podemos deducir el valor de la susceptibilidad macroscópica
Por tanto, la polarizabilidad atómica vale, en función de la susceptibilidad:
~P = n~p = nα
Ã~E +
~P
3ε0
!
χe =nα/ε0
1− nα/3ε0
α =ε0n
χe1 + χe/3
=3ε0n
κ− 1κ+ 2
Ecuación de Clausius-Mossotti
El condensador con un dieléctrico
condensadoresel condensador “plano”
El campo en el dieléctricoTensión o carga constante
D = σf =Q
A
V =Qd
εA
C =Q
V=κε0A
d
8332Titanato de estroncio80Agua
144 a 6Pyrex3.8 a 4.1Cuarzo fundido
163.7Papel3.1Mylar
602.1Teflón403.4Plexiglás202.8Lucita202.5Poliestireno31.00059Aire
Tensión dieléctricaConstante dieléctricaMaterialEmax 10
6 V/mκ
Propiedades dieléctricas de algunos aislantes
Condiciones de contorno
δ/2δ/2
δ/2δ/2
A A
ε2
ε1 ε1ε2
I~D · d~S = q
~D
(D1n −D2
n)A+
ZSδ
~D · d~S = σfA+
ZδSδ
ρd3~r
D1n −D2
n = σf
δ/2δ/2
ll
~Eδ/2
δ/2I~E · d~l = (E1t −E2t )l +
ZΓδ
~E · d~l = 0 E1t = E2t
ε1 ε2
ε1ε2
Un condensador plano de área ab y separación d se conecta a una batería y se carga con una ddp V. Posteriormente, lo desconectamos de la batería e introducimos un dieléctrico de constante dieléctrica κ (ver figura).Determinar:
a) La energía almacenada en el condensador antes y después de insertar el dieléctrico
b) ¿Cuál es la energía almacenada si solamente hay una proporción de dieléctrico (x sobre a) entre las placas?
c) ¿Qué ocurre si mantenemos conectada la batería?
a) Al conectar el condensador a la batería, éste se carga con una carga Q=CV, siendo C la capacidad del condensador y V la ddp. Dado que la capacidad del condensador plano es ,
Obviamente el campo eléctrico es igual a la densidad superficial de carga dividida por . La energía electrostática es
y puede definirse una densidad de energía almacenada en términos del campo eléctrico:
que puede generalizarse a cualquier volumen en el que exista un campo eléctrico. Si el condensador contiene un dieléctrico, como sabemos, su capacidad aumenta. En nuestro caso, y puesto que el condensador está aislado de la batería, i.e. la carga se conserva, la tensión ahora es:
y la energía potencial es κ veces más pequeña:
ε0
C = κε0ab/d
V =Q
C=V0κ
Q = C0V0 = ε0abV0/d = ε0abE0
U0 =1
2C0V
20 =
1
2QV0 =
1
2ε0abdE
20
U = U0/κ
C0 = ε0ab/d
uE =1
2ε0E
20
b) Si solo hay una parte del dieléctrico dentro del condensador, el campo eléctrico sería distinto en la región del dieléctrico y fuera del dieléctrico. Pero esto no es posible, ya que una superficie metálica es equipotencial. El vector desplazamiento (densidad decargas reales) será por tanto distinto:
D1 =Q1xb
C = ε0[a+ (κ− 1)x]b
d
La carga total sobre el dieléctrico es Q, luego
Entre 0 y x, D1 = κε0E = ε0E + P , mientras que entre x y a D2 = ε0E.
La capacidad del dieléctrico será por tanto
La energía almacenada,
Q = Q1+Q2 = D1xb+D2(a−x)b = [xκ+ (a− x)] bε0E = [a+ (κ− 1)x] ε0bV/d
D2 =Q2
(a− x)b
U =1
2QV =
1
2
Q2
C=1
2
Q2d
ε0[a+ (κ− 1)x]b
Si tomamos como densidad de energía eléctrica, en presencia de un dieléctrico,
la energía potencial será
U =1
2
ZuEd
3~r =1
2Ebd
∙Z x
0
D1dx+
Z a
x
D2dx
¸uE =
1
2κε0E
2 =1
2~D · ~E
Integrando, obtenemos la misma expresión que antes:
Hemos visto que al introducir el dieléctrico, la energía almacenada disminuye en un factor κ. Esto implica que el condensador hace un trabajo en polarizar el dieléctrico. ¿Cómo podemos calcular ese trabajo? La forma trivial es a través de la diferencia de energía potencial. Una forma más académica sería calcular la fuerza sobre el dieléctrico e integrar entre x=0 y x=a. Hemos de poner U en términos de Q, que es constante, ¡el potencial V depende de x!
U =1
2ε0E
2bd[xκ+ (a− x)] = 1
2
Q2d
ε0[a+ (κ− 1)x]b
La fuerza vale:
El trabajo que cuesta introducir el dieléctrico en el condensador es:
F = −dUdx
=Q2d
2ε0b
κ− 1[a+ (κ− 1)x]2 > 0
U =1
2CV 2 =
1
2ε0[a+ (κ− 1)x]b
dV 2
F = −dUdx
= −ε0(κ− 1)bV2
2d< 0
W =
Z a
0
F (x)dx = −Z a
0
dU = U(0)−U(a) = ε0V2b
2d[a− κa] = −1
2C0V
2(κ−1)
W =
Z a
0
F (x)dx = −Z a
0
dU = U(0)− U(a) = Q2d
2ε0b
∙1
a− 1
κa
¸=1
2
Q2
C0
κ− 1κ
La fuerza es positiva (no nos cuesta trabajo introducir el dieléctrico) y por tanto eltrabajo es positivo.c) Si la batería permanece conectada, dado que la capacidad varía y V permanece constante, Q irá variando. Luego conviene expresar U en función de V:
En este caso la fuerza es:
y el trabajo también es negativo. El trabajo es suministrado por la batería: