EL ÁLGEBRA

1. ¿ Qué es ?

Rama de las matemáticas en

la que se utilizan letras para

representar relaciones

aritméticas

Sus operaciones

fundamentales son adición,

sustracción, multiplicación,

división y calculo de raíces.

El Álgebra es el idioma de

las matemáticas.

2. Un poco de historia

ÁLGEBRA

EGIPTO

Y

BABILONIA

AL-JWARIZMI

(s. IX)

MATEMÁTICOS

ÁRABES

(Edad Media)

Resolvían

ecuaciones

lineales

Ecuaciones

cuadráticas

Ecuaciones

indeterminadas

Con varias incógnitas

ABU KAMIL

( finales s. IX)

Teoría

fundamental

de ecuaciones

Leyes

fundamentales

del álgebra

DESCARTES

Desarrollaron

el álgebra

fundamental

de los polinomios

MATEMÁTICOS

ITALIANOS

(s. XVI)

Resolvieron la

Ecuación de

Tercer y cuarto

grado

Descubrió la

Geometría

analítica

Algunos matemáticos históricos

Al-Jwarizmi

René Descartes François Viete

Giroldano CardanoRobert Recorde

3. Símbolos

SÍMBOLOS

LETRAS NÚMEROS SIGNOS

Representan constantes

y variablesSon Constantes S. de agrupación

S. De operaciones

básicas

Paréntesis ( ) ,

corchetes [ ]

Llaves,

y rayas horizontales

Adición +

Sustración –

Multiplicación X

División :

4. Otras definiciones

Ecuación: cualquier expresión que incluya la

relación de igualdad.

- identidad

- condicional

Término: expresión algebraica que solo

contiene productos de constantes y variables

2x, -a, 5zy...

coeficiente

Ecuación lineal: en una variable, es una ecuación

polinómica de primer grado.

aX + b = c

Ecuación cuadrática: en una variable, es una ecuación

de segundo grado.

aX2 + bX + c = 0

Nº primo: un entero que solo se puede dividir

exactamente por mismo y por 1.

Factores primos de un nº: son aquellos factores

en los que este se puede descomponer de manera

que el nº se expresa como producto de números primos

5. Operaciones con polinomios

Cumplen las mismas propiedades que para la aritmética numérica aunque el álgebra incluye números irracionales y números complejos.

A este conjunto de números se le llama NÚMEROS REALES.

Los números reales son uniformes para la adición, sustracción, multiplicación y división

5.1 propiedades de la adición

1. La suma de dos números reales a y b otro número real que se escribe a + b.

2. Propiedad asociativa: cualquiera que sea la forma en que se agrupan los términos de la adición el resultado es siempre el mismo. (a + b) + c = a + (b + c)

3. Dado un nº real a existe otro nº real cero (0) conocido como elemento neutro de la suma tal que a + 0 = 0 + a = a

4. Dado un nº real a, existe otro nº real (-a) llamado elemento simétrico de a , tal que a + (-a) = 0

5.2. propiedades de la multiplicación

1. El producto de dos números reales a y b es otro nº real, que se escribe a·b o ab.

2. Propiedad asociativa: Cualquiera que sea la forma de agrupar los términos de la multiplicación, el producto es siempre el mismo: (ab)c = a(bc).

3. Dado un nº real a existe otro nº real uno (1) llamado elemento neutro de la multiplicación, tal que a(1)=1(a)=a.

4. Dado un nº real a distinto de cero, existe otro nº (a-1 o 1/a), llamado elemento inverso para el que a(a-1) = (a-1 )a = 1

5.3 propiedad distributiva

Otra propiedad importante del conjunto de loa números

reales relaciona la adición y la multiplicación de la

forma siguiente:

a(b+c) = ab + ac

(b + c)a = ba + ca

6. Multiplicación de polinomios

Multiplicar cada término del primer polinomio por

cada término del segundo polinomio

Una vez hechas estas operaciones, todos los términos

del mismo grado se han de agrupar para simplificar la

expresión

7. Factorización de polinomios

Dada una expresión algebraica complicada, resulta útil el descomponer en un producto de varios términos más sencillos.

TRINOMIOS

x2 + 2xy + y2 (x + y)2

x2 – 2xy + y2 (x – y)2

DIFERENCIA DE CUADRADOS

x2 – y2 (x + y) (x – y )

TRINOMIOS DE LA FORMA

X2 + (a + b)x + ab (x + a) (x + b)

8. Máximo común divisor y mínimo común múltiplo

M.C.D.:

Dado un polinomio suele ser

importante determinar el

mayor factor común a todos

los términos del polinomio.

9x3 + 18 x2 = 9x2 (x + 2)

9x2 es el m.c.d.

M.C.M.:

Encontrar el m.c.m. puede ser

útil para poder hacer ciertas

operaciones con fracciones

algebraicas.

Dadas varias expresiones, su

m.c.m. es aquella expresión

con el menor grado y los

menores coeficientes que se

puede dividir exactamente

por cada una de ellas

9. Resolución de ecuaciones

Dada una ecuación , el álgebra se ocupa de

encontrar soluciones siguiendo el concepto

general de identidad a = a.

Siempre que se apliquen las mismas

operaciones a ambos lados de la ecuación, la

igualdad se mantiene inalterada.

Se despeja la incógnita a un lado de la

igualdad y la solución será a otro lado.

9.2. Resolución de ecuaciones cuadráticas

Si la ecuación se pude factorizar, el resultado es inmediato. Por ejemplo:

x2 - 3x – 10 = 0

(x – 5) (x + 2) = 0

x = 5 y x = -2

En general, cualquier ecuación cuadrática de la siguiente forma

ax2 + bx + c = 0

se puede resolver utilizando la siguiente fórmula:

x = -b +/- b2 – 4ac

2a

9.3. sistemas de ecuaciones

Para resolver los sistemas de ecuaciones se

pueden usar diferentes técnicas:

Despejando una de la variables en una

ecuación y sustituyendo el resultado en la otra

ecuación.

Realizar las operaciones necesarias a ambos

lados de la ecuación hasta poder reducir alguna

de ellas.