ELEL ÁLGEBRAÁLGEBRA

Jennifer Morales ClarkeJennifer Morales Clarke

2º Bach. A2º Bach. A

1. ¿ Qué es ?1. ¿ Qué es ? Rama de las matemáticas en Rama de las matemáticas en

la que se utilizan letras para la que se utilizan letras para representar relaciones representar relaciones aritméticasaritméticas

Sus operaciones Sus operaciones fundamentales son adición, fundamentales son adición, sustracción, multiplicación, sustracción, multiplicación, división y calculo de raíces.división y calculo de raíces.

El Álgebra es el idioma de El Álgebra es el idioma de las matemáticas.las matemáticas.

2. Un poco de historia2. Un poco de historia

ÁLGEBRAÁLGEBRA

EGIPTO Y

BABILONIA

AL-JWARIZMI(s. IX)

MATEMÁTICOS ÁRABES

(Edad Media)

Resolvían ecuaciones

linealesEcuaciones cuadráticasEcuaciones

indeterminadasCon varias incógnitas

ABU KAMIL( finales s. IX)

Teoría fundamental de ecuaciones

Leyes fundamentales

del álgebra

DESCARTES

Desarrollaron el álgebra

fundamental de los polinomios

MATEMÁTICOSITALIANOS

(s. XVI)

Resolvieron la Ecuación de

Tercer y cuartogrado

Descubrió laGeometría

analítica

Algunos matemáticos Algunos matemáticos históricoshistóricos

Al-Jwarizmi

René Descartes François Viete

Giroldano CardanoRobert Recorde

3. Símbolos3. Símbolos

SÍMBOLOS

LETRAS NÚMEROS SIGNOS

Representan constantesy variables

Son Constantes S. de agrupaciónS. De operaciones

básicas

Paréntesis ( ) , corchetes [ ]

Llaves, y rayas horizontales

Adición +Sustración –

Multiplicación XDivisión :

4. Otras definiciones4. Otras definiciones

Ecuación:Ecuación: cualquier expresión que incluya la cualquier expresión que incluya la relación de igualdad.relación de igualdad.

- identidad- identidad

- condicional- condicional Término:Término: expresión algebraica que solo

contiene productos de constantes y variables

2x, -a, 5zy...2x, -a, 5zy...

coeficiente

Ecuación lineal:Ecuación lineal: en una variable, es una ecuación en una variable, es una ecuación polinómica de primer grado.polinómica de primer grado.

aX + b = caX + b = c Ecuación cuadrática:Ecuación cuadrática: en una variable, es una ecuación en una variable, es una ecuación

de segundo grado.de segundo grado.

aXaX22 + bX + c = 0 + bX + c = 0 Nº primo: Nº primo: un entero que solo se puede dividir un entero que solo se puede dividir

exactamente por mismo y por 1.exactamente por mismo y por 1. Factores primos de un nºFactores primos de un nº: son aquellos factores: son aquellos factores

en los que este se puede descomponer de maneraen los que este se puede descomponer de manera

que el nº se expresa como producto de números primosque el nº se expresa como producto de números primos

5. Operaciones con polinomios5. Operaciones con polinomios

Cumplen las mismas propiedades que para la Cumplen las mismas propiedades que para la aritmética numérica aunque el álgebra incluye aritmética numérica aunque el álgebra incluye números irracionales y números complejos.números irracionales y números complejos.

A este conjunto de números se le llama A este conjunto de números se le llama NÚMEROS REALES. NÚMEROS REALES.

Los números reales son uniformes para la Los números reales son uniformes para la adición, sustracción, multiplicación y divisiónadición, sustracción, multiplicación y división

5.1 5.1 propiedades de la adiciónpropiedades de la adición

1.1. La suma de dos números reales La suma de dos números reales a a yy b b otro número otro número real que se escribe real que se escribe a + b.a + b.

2.2. Propiedad asociativa: cualquiera que sea la forma en Propiedad asociativa: cualquiera que sea la forma en que se agrupan los términos de la adición el que se agrupan los términos de la adición el resultado es siempre el mismo. resultado es siempre el mismo. (a + b) + c = a + (b + c)(a + b) + c = a + (b + c)

3.3. Dado un nº real Dado un nº real aa existe otro nº real cero (0) existe otro nº real cero (0) conocido como elemento neutro de la suma tal que conocido como elemento neutro de la suma tal que a + 0 = 0 + a = aa + 0 = 0 + a = a

4.4. Dado un nº real Dado un nº real a, a, existe otro nº real (existe otro nº real (-a-a) llamado ) llamado elemento simétrico de elemento simétrico de aa , tal que , tal que a + (-a) = 0a + (-a) = 0

5.2. propiedades de la 5.2. propiedades de la multiplicaciónmultiplicación

1.1. El producto de dos números reales El producto de dos números reales aa y b y b es otro nº es otro nº real, que se escribe real, que se escribe a·ba·b o o abab..

2.2. Propiedad asociativa: Cualquiera que sea la forma Propiedad asociativa: Cualquiera que sea la forma de agrupar los términos de la multiplicación, el de agrupar los términos de la multiplicación, el producto es siempre el mismo: producto es siempre el mismo: (ab)c = a(bc).(ab)c = a(bc).

3.3. Dado un nº real Dado un nº real aa existe otro nº real uno (1) llamado existe otro nº real uno (1) llamado elemento neutro de la multiplicación, tal que elemento neutro de la multiplicación, tal que a(1)=1(a)=a.a(1)=1(a)=a.

4.4. Dado un nº real Dado un nº real aa distinto de cero, existe otro nº distinto de cero, existe otro nº ((a-a-1 1 o 1/ao 1/a ),), llamado elemento inverso para el que llamado elemento inverso para el que a(a-a(a-11) = (a-) = (a-11 )a = 1 )a = 1

5.3 propiedad distributiva5.3 propiedad distributiva

Otra propiedad importante del conjunto de loa números Otra propiedad importante del conjunto de loa números reales relaciona la adición y la multiplicación de la reales relaciona la adición y la multiplicación de la

forma siguiente:forma siguiente:

a(b+c) = ab + aca(b+c) = ab + ac

(b + c)a = ba + ca(b + c)a = ba + ca

6. Multiplicación de polinomios6. Multiplicación de polinomios

Multiplicar cada término del primer polinomio por Multiplicar cada término del primer polinomio por cada término del segundo polinomiocada término del segundo polinomio

Una vez hechas estas operaciones, todos los términos Una vez hechas estas operaciones, todos los términos del mismo grado se han de agrupar para simplificar la del mismo grado se han de agrupar para simplificar la expresiónexpresión

7. Factorización de polinomios7. Factorización de polinomios

Dada una expresión algebraica complicada, resulta Dada una expresión algebraica complicada, resulta útil el descomponer en un producto de varios útil el descomponer en un producto de varios términos más sencillos.términos más sencillos.

TRINOMIOSTRINOMIOS

xx22 + 2xy + y + 2xy + y22 (x + y)(x + y)22

xx22 – 2xy + y – 2xy + y22 (x – y)(x – y)22

DIFERENCIA DE CUADRADOSDIFERENCIA DE CUADRADOS

xx22 – y – y22 (x + y) (x – y )(x + y) (x – y )

TRINOMIOS DE LA FORMATRINOMIOS DE LA FORMA

XX22 + (a + b)x + ab + (a + b)x + ab (x + a) (x + b)(x + a) (x + b)

8. Máximo común divisor y mínimo 8. Máximo común divisor y mínimo común múltiplocomún múltiplo

M.C.D.:M.C.D.:

Dado un polinomio suele ser Dado un polinomio suele ser importante determinar el importante determinar el mayor factor común a todos mayor factor común a todos los términos del polinomio.los términos del polinomio.

9x9x33 + 18 x + 18 x2 2 = 9x= 9x22 (x + 2) (x + 2)

9x2 es el m.c.d.9x2 es el m.c.d.

M.C.M.:M.C.M.:

Encontrar el m.c.m. puede ser Encontrar el m.c.m. puede ser útil para poder hacer ciertas útil para poder hacer ciertas operaciones con fracciones operaciones con fracciones algebraicas.algebraicas.

Dadas varias expresiones, su Dadas varias expresiones, su m.c.m. es aquella expresión m.c.m. es aquella expresión con el menor grado y los con el menor grado y los menores coeficientes que se menores coeficientes que se puede dividir exactamente puede dividir exactamente por cada una de ellaspor cada una de ellas

9. Resolución de ecuaciones9. Resolución de ecuaciones

Dada una ecuación , el álgebraDada una ecuación , el álgebra se ocupa de se ocupa de encontrar soluciones siguiendo el concepto encontrar soluciones siguiendo el concepto general de identidad a = a.general de identidad a = a.

Siempre que se apliquen las mismas Siempre que se apliquen las mismas operaciones a ambos lados de la ecuación, la operaciones a ambos lados de la ecuación, la igualdad se mantiene inalterada.igualdad se mantiene inalterada.

Se despeja la incógnita a un lado de la Se despeja la incógnita a un lado de la igualdad y la solución será a otro lado.igualdad y la solución será a otro lado.

9.2. Resolución de ecuaciones 9.2. Resolución de ecuaciones cuadráticascuadráticas

Si la ecuación se pude Si la ecuación se pude factorizar, el resultado factorizar, el resultado es inmediato. Por es inmediato. Por ejemplo:ejemplo:

xx22 - 3x – 10 = 0 - 3x – 10 = 0

(x – 5) (x + 2) = 0(x – 5) (x + 2) = 0

x = 5 y x = -2x = 5 y x = -2

En general, cualquier En general, cualquier ecuación cuadrática de ecuación cuadrática de la siguiente formala siguiente forma

axax22 + bx + c = 0 + bx + c = 0 se puede resolver se puede resolver

utilizando la siguiente utilizando la siguiente fórmula:fórmula:

x = -b +/- b2 – 4acx = -b +/- b2 – 4ac 2a2a

9.3. sistemas de ecuaciones9.3. sistemas de ecuaciones

Para resolver los sistemas de ecuaciones se Para resolver los sistemas de ecuaciones se pueden usar diferentes técnicas:pueden usar diferentes técnicas:

Despejando una de la variables en una Despejando una de la variables en una ecuación y sustituyendo el resultado en la otra ecuación y sustituyendo el resultado en la otra ecuación.ecuación.

Realizar las operaciones necesarias a ambos Realizar las operaciones necesarias a ambos lados de la ecuación hasta poder reducir lados de la ecuación hasta poder reducir alguna de ellas.alguna de ellas.