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MATEMATICA 2013Ejercitación de matemática Segundo Año

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PRIMER TRIMESTRE

Alumna/o:

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Números Enteros

Operaciones con números enteros

1) Calcula las siguientes sumasa) (+9)+(+5)+(2)=b) (-6)+(-10)+(-1)=c) (-4)+(-12)+(+15)+(-8)=

2) Calcula las siguientes diferenciasa) (-2)-(-23)=b) (+9)-(-11)=c) (-28)-(-16)=

3) Resuelvea) (-7)+(-5)-(-1)+(+2)=b) (+2)-(-13)-(+20)+(-7)=c) (-4)+(-7)-(-19)+(-5)=

4) Multiplica

a) (-7).(-12)=b) (+5).(-16)=c) (+9).(+11)=

5) Calcula

a) (-3).(-2).(+5)=b) (-9).(-2).(-7)=c) (-4).(-1).(+8).(-5)=

6) Divide

a) (+24): (-6)=b) (-72): (-9)=c) (-100): (+25)=

7) Calcula las siguientes potencias

a) (+3)4=b) (-1)7=c) (-1)10=d)(-2)3 =e) (-2)5=

RECORDAR

Si dos sumandos tienen signos iguales se suman entre ellos y mantienen su signo.

Si dos sumandos tiene signos distintos se restan entre ellos y mantiene el signo del mayor el resultado.

REGLA DE LOS SIGNOS

+.+=+-.-=+.-=--.+=-

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f) (-10)4=g) -24=

8) Resuelve

a) (-5) +3 - [4+ (-5)]+2=b) (-2).5 + 4. [8+(-2)-1]=c)[(-5).(-3).(-4):(-10)]: (-2)-5=d) (-3)2+(-2)3-33=

9) Calcula las siguientes raíces

a) √36=b)3√27=c)4√81=d)3√-125=e)5√-32=f)√10000=

10) Resuelve

a)√(4-5)4+5-(-1)2-12=b) (√(4-3) + 3√(-2).(-4).(-1))2=c)[(3√(-1).(-3)+5)-(-6)]: (-5)=d)4√(-2).(+5)+43+(+3)3=

11) Calcula el área del cuadrado de lado 3 cm

12) Calcula el volumen del cubo de lado 2 cm

Autoevaluación

Resolver las siguientes operaciones combinadas

a) (-12+7)+ 3√8-(-19)=b) [36: (-9)]+(-8)+20=c) 39+15.(-2)+18: (-3) + √100=d) 153: (-3) + (+124) - √64=e) 3√(-27) – 43-(+48)+ (-28+54)-(-39)=

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Propiedades de la potenciación

A) Potencia de exponente 0 (cero) : todo número elevado a la potencia 0 (cero) da como resultado 1 (uno).Ej: (-3)0=1 100000=1

B) Potencia de exponente 1 (uno) : todo número elevado a la potencia 1 (uno) da el mismo número.Ej: (-32)1= -32 300000001=30000000

C) Producto de potencia de igual base : si tengo una multiplicación de números iguales (bases iguales) sus exponentes se suman y se coloca la misma base. Ej: 23.24 =27=128

D) Cociente de potencia de igual base : si tengo un cociente de números iguales (bases iguales) sus exponentes se restan y se coloca la misma base. Ej: 37:35=32=9

E) Potencia de otra potencia : si tengo un número o base elevado a un exponente y eso a la vez esta elevado a otro exponente, se pone la misma base y se multiplican los exponentes. Ej: (22)3=26=64

F) Propiedad distributiva: (solo es válida para la multiplicación y división) si tengo un producto o un cociente de dos o más números elevado a un exponente se puede distribuir el exponente a cada miembro de la operación. Ej: (2.3)4=24.34=16.81=1296 (8:4)2=82:42=64:16=4

1) Resuelve aplicando propiedades de la potenciaa) 51=b) 14=c) 03=d) (-7)0=e) 45:43=f) 52.5 =g) (-2)3. (-2)2=h) (-3)2: (-3)=i) (32)2=j) [(-1)5]2=

2) Resuelve, cuando sea posible aplica la propiedad distributiva.a) (3+2)2=b) (5-4)2=c) (2.3)3=d)(6:2)2=

3) Resuelvea) (7+2.6)2=b) (6:2-2)3=c) 2.22.23 – 2=d) 37:33 – 5.(-1)=e) 4.45:44+ 23.2=

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Propiedades de la radicación

A) Producto de Raíces de igual índice: si tengo el producto de dos raíces con igual índice puedo escribir una sola vez la raíz con el índice común y el producto de los radicandos dentro de ella. Ej: √8.√2 =√8.2=√16=4

B) Cociente de raíces de igual índice: si tengo un cociente entre dos raíces con igual índice puedo escribir una sola vez la raíz con el índice común y el cociente de los radicandos dentro de ella. Ej:3 √81: 3 √3=3 √81:3=3 √27=3

C) Raiz de otra raíz: si dos o más raíces están afectando a un mismo radicando se coloca una sola raíz cuyo índice sea el producto de todos los índices anteriores. Ej: 3√√64=6√64=2

D) Distributiva de la raíz: sólo es aplicable si hay multiplicación y división, en el caso de la suma o resta no se la puede usar. Se coloca la misma raíz para cada radicando y se resuelve por separado cada raíz y los resultados se multiplican o dividen según corresponda.

Ej: 3√64. (-27)= 3√64.3√(-27)=4.(-3)=-12

1) Resuelve aplicando propiedadesa) √100.36.4=b) √3.√3=c) 4√16.81=d) 3√4 . 3√(-2)=e) 3√64: (-8)=f) √√16=g) 3√√64=

2) Resuelve los ejercicios combinados utilizando todas las estrategias aprendidas a) (-25): (-3-2) +√22+12 –(-5)2=b) (-3)3.1000+√25.(-2)2-72=c) √2.√8 – 32 +12: (-1-2)=d) 3√-1000.(-3)2 +(3+5)2.(-2)=

Autoevaluación

Resuelve los siguientes ejercicios combinados aplicando propiedades en los casos que sean posibles

a) -5.(-1) - 3√3. 3√9 +8.(-2)3=b) -24: (-3).(-1)+√144 – 2. (-3)2=c) (-2)3:(-2) +3.5√32-18: √81 + (-5)0=d) (-8+3.2+1)3+√2.√2+(-1)2=e) -20: (3-5)2+3√(-1)+ √(-1+37)-(5-2.3)2=

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Ecuaciones

Una ecuación es una igualdad en la que hay por lo menos un dato desconocido, es decir una incógnita, y resolverla significa encontrar el o los valores de la incógnita que hacen verdadera la igualdad

¿Cómo se resuelve una ecuación? En toda ecuación se distinguen dos miembros en la igualdad

2x+7+x-1=12-x+2

1°miembro 2°miembro

Para resolver una ecuación hay que realizar los siguientes pasos:

1) Separar en términos en cada miembro2) Operar en cada miembro siempre que sea posible3) Agrupar en el mismo miembro todos los términos semejantes4) Operar en cada miembro5) Obtener el valor de la incógnita 6) Verificar que el resultado

Ejemplos:

3x+2=5x-83x-5x=-8-2 -2x=-10

X=-10: (-2) X=5

-6x+2=20+3x -6x-3x=20-2 -9x=18 X=18:-9 X= -2

7x+10-4-5x=x+30-3x 2x+6=-2x+30 2x+2x= 30-6 4x = 24 X = 24:4 X=6

1) Resuelve las siguientes ecuacionesa) 6x+30-5x=25b) x-4-3x=-10+6c) 3x+2x=8x-15d) 5x-15=4x+16e) -14+3x=4x+21+4xf) -8x-10+2x=5x-3x+62) Plantee la ecuación que corresponde y resuelve

a) ¿Cuál es el número cuyo siguiente es igual a 18? b) ¿Cuál es el número cuyo duplo aumentado en 3 es igual a 25?

Autoevaluación

Resuelvea) 3x+9=-3+2x-8b) –x-3-5x=-27c) 2x-6=3x-36+xd) 7x-12-12x=-x+12

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Ecuaciones con propiedad distributiva

7.(x-1) = 147.x+7.(-1)=14 7x -7=14 7x =14+7 X =21:7 X =3

2.(x+6) = 3.(x-5)2.x+2.6 =3.x+3.(-5) 2x +12 = 3x-15 2x-3x = -15-12 -1x = -27 X = -27: (-1) X = 27

1) Resuelve las siguientes ecuacionesa) 6.(x+2)=2xb) 3x+2(x-5)=4c) 1+3x=5. (4+3x)d) 5.(x-3)=4.(x-4)

2) Plantee la ecuación y resuelva el problemaa) La suma entre un numero y el doble de su consecutivo es igual a 35 ¿Cuál es el numero?b) El doble de la edad que Guillermo tendrá dentro de 6 años es igual al triple de la edad que tenia hace 5 años ¿Qué edad tiene Guillermo?

Ecuaciones con potenciación y radicación

x2= 9 x= √9 x= 3

3√x= 4 x = 43

x =64

√3x-2 =53x-2 = 52

3x-2 = 25 3x = 25+2 X = 27:3 X = 9

(2x-3)2= 49 2x-3 = √49 2x = 7+3 X = 10:2 X = 5

3) Resuelve las siguientes ecuaciones con potencias y raícesa) x2-25=0b) √x-12=0c) 5√1-11x=-2d) (x2+3):2=14e) 2.3√x+2=-4f) 4x2-7=29

Autoevaluación

Resuelve las siguientes ecuaciones como crea conveniente

a)3-2x2=-5b) √2x – 1 =-7c) 3.(x3-1)=-27d) 6.(x+5)-5x=25

9

e)-3.(x-1)+4=6(x-1)-5

Inecuaciones

Las inecuaciones se resuelven de la misma manera que una ecuación. Resolver una inecuación significa encontrar los valores de la incógnita que verifican dicha desigualdad.

En las inecuaciones ya no nos acompaña el signo igual, sino que los signos que utilizamos son > ; < ; ≤ ; ≥

Al resolver una inecuación se encuentra un conjunto de valores que la verifican; este conjunto se llama conjunto solución. En este tipo de ejercicios la solución se la marca en la recta numérica.

Para marcar en la recta numérica los valores solución utilizamos ( ) (paréntesis) cuando el conjunto solución es mayor o menor que un numero (sin incluirlo al número del resultado) y [ ] (corchetes) cuando el conjunto solución es mayor igual o menor igual que un numero.

Ejemplos:

x+12>8 x>8-12 x> -4El conjunto solución son todos los valores mayores que -4 (sin incluirlo al -4)

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2

x-6<10 x< 10+6 x< 16El conjunto solución son todos los valores menores a 16 (sin incluirlo al 16)

17 16 15 14 13 12 11 10

x+4≤0 x ≤-4El conjunto solución son todos los valores menores que -4, incluyéndolo al -4

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1

x-9≥-20 x≥-20+9 x ≥-11El conjunto solución son todos los valores mayores que -11, incluyéndolo al -11

-12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5

Particularidad

Si la incógnita esta multiplicada por un número negativo, cuando a ese número se lo pasa al otro miembro se da vuelta el signo de la desigualdad.

Ejemplo: -2.(x-3)>12-2x -2.(-3)>12 -2x+6>12 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 -2x>12-6 x< 6: (-2) x<-3

1) Resuelve las siguientes inecuaciones y grafica el conjunto solucióna) X+11≤8b) X-5<-7c) 2x+1≤5x-8d) X+18>3x-6e) 3.(x-2)<4x+1

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2) Resuelva los problemas siguientes planteando la inecuación que corresponde en cada casoa) ¿Cuáles son los números que aumentados en 7 unidades son menores que el doble de 5?b) El peso de dos bolsas de manzanas no supera los 15kg . Una de las bolsas pesa 4kg¿Cuáles son los posibles

pesos de la otra bolsa?

Autoevaluación

1) Resuelve las siguientes inecuaciones y grafica el conjunto solucióna) 1-x≥5x+14b) -2.(4x+5)<-5x+142) Plantee la inecuación y resuelva el problema

¿Cuáles son los números que disminuidos en 12 unidades son mayores que el triple de 16?

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Proporcionalidad

Proporcionalidad Directa

Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando al aumentar una de ellas, la otra también aumenta en la misma proporción; y si una disminuye, la otra también disminuye en la misma proporción.

Para resolver problemas de magnitudes directamente proporcionales se utiliza regla de tres simple DIRECTA.

Ejemplo: Si tres pasajes a córdoba cuestan $450 ¿Cuánto costaran 5 pasajes?

3pasajes $4505pasajes x= 5.450

3 x=$750

1) Plantee y resuelva cada uno de los siguientes problemasa) Un avión tarda 1h 20 min en realizar un trayecto entre dos ciudades que distan 720 km ¿Cuánto tardara el

mismo avión en recorrer 1260 km a la misma velocidad?b) Si 200g de leche entera tienen aproximadamente 116 calorías. ¿Cuántas calorías tienen 375g de la misma

leche?c) Tres botellas de gaseosa cuestan $24 y tengo que comprar 27 botellas ¿ Si tengo $500, me alcanza para

comprar lo que quiero?d) Una pista de ciclismo circular tiene un radio de 50 m. ¿Cuántos km recorren en 35 vueltas?e) En la tienda de ropa hay un cartel que dice HOY 25% DE DESCUENTO. ¿Cuánto me saldría entonces un

pantalón de $200 y una remera de $100?f) En el bazar aceptan tarjeta pero tiene un 15% de recargo el precio de lo que se compra cuando se paga de

esta forma. ¿Si compro una licuadora de $220, cuánto pagaría de recargo? y si compro una multiprocesadora porque tiene más funciones que la licuadora y sale $450. ¿Cuánto pagaría de recargo?.

Proporcionalidad Inversa

Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando al aumentar una de ellas, la otra disminuye en la misma proporción y viceversa.

Para resolver problemas de magnitudes inversamente proporcionales utilizamos regla de tres simple INVERSA.

Ejemplo: Si 6 operarios realizan un trabajo en 15 días. ¿Cuanto tardaran 9 operarios en realizar el mismo trabajo, si trabajan a la misma velocidad?

6operarios 15 d9operarios x= 6.15 9

x=10 días

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2) Plantee y resuelva cada uno de los siguientes problemas

a) Para realizar una excursión se alquila un micro, cuyo costo es independiente de la cantidad de pasajeros. Si viajan 35 personas cada una deberá pagar $12. ¿Cuánto pagara cada una si el número de pasajeros aumenta en 7? ¿Cuál es el costo del micro?

b) Una tarjeta de teléfono permite efectuar 50 llamadas de $1,2 cada una. ¿Cuál es el costo de la tarjeta? ¿Cuántas llamadas podrá realizar con la misma tarjeta si el costo de la llamada es de $2?

c) Para cubrir un patio son necesarias 60 baldosas de 20 cm de lado ¿Cuántas baldosas de 25 cm de lado se necesitaran para cubrir el mismo patio?

Repartición proporcional

Reparto proporcional directo

Ejemplo: Mariela hizo tres llamadas del locutorio y gasto $16,80. Si las llamadas tuvieron una duración de 3, 6 y 12 minutos, respectivamente ¿Cuánto costó cada una?

El total de minutos es 3+6+12= 21 minutosEntonces: 21min $16,8 3 min x= 3.16,8 21

x= 2,4 21min $16,8 6 min x= 6.16,8 21

x= 4,8 21min $16,8 12 min x= 12.16,8 21

x= 9,6Respuesta: La llamada de 3 min costo $2,4; la de 6min costo $4,8 y la de 12min $9,6

1) Plantee y resuelva cada uno de los siguientes problemasa) Valeria, Ana y Flavia compraron una caja de discos compactos por $120. Valeria se quedo con 25 CD,

Ana con 30 CD y Flavia con 54. ¿Cuánto dinero le corresponde aportar a cada una de ellas?b) Tres hermanos compran un automóvil en cuotas. El mayor pagó 12, el del medio pagó 10 y el menor 18

cuotas. Años más tarde venden el auto a $16000. ¿Cuánto dinero le corresponde a cada uno?c) Los Rodriguez tiene tres gatos que pesan 2,4 kg; 3,2 kg y 2,8 kg. Si entre los tres reciben 168 gotas de

vitaminas por día. ¿Cuántas le toca a cada uno si la cantidad de gotas es proporcional al peso?

Reparto proporcional inverso

Ejemplo: Tres hermanos ayudan al mantenimiento familiar entregando anualmente $5900. Si sus edades son de 20, 24 y 32 años y las aportaciones son inversamente proporcionales a la edad, ¿cuánto aporta cada uno?

En el problema existe una función de proporcionalidad directa entre la cantidad de minutos que habla y el precio que paga las llamadas

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1º Tomamos los inversos:

2º Ponemos a común denominador:

3º Realizamos un reparto directamente proporcional a los numeradores: 24, 20 y 15.

Sumamos 24+20+15=59Entonces: 59 $5900 24 x= 24.5900 59

X= $2400 59 $5900

20 x= 20.5900 59

X= $2000 59 $5900

15 x= 15.5900 59

X= $1500Respuesta: Al de 20 años le corresponde $2400 de aportes, al de 20 $2000 y al de 32 $1500

2) Plantee y resuelva cada uno de los siguientes problemasa) En una competencia se repartirá un premio de $3700 entre los 3 primeros participantes que resuelvan un

problema. Los Ganadores tardaron 4, 5 y 6 minutos ¿Cuánto dinero recibió cada uno?b) Ezequiel recorrió un circuito de bicicletas en dos etapas, la primera a 10 km/h y la segunda a 12km/h. Si en total

tardo 11 hs. ¿Cuánto tiempo tardo en cada etapa?c) Una empresa reparte un premio por presentismo de $620 entre 3 empleados que faltaron 2 días, 3, y 5 días.

¿Cuánto le corresponde cobrar a cada uno?

Autoevaluación

Plantee y resuelva los siguientes problemas

a) Un abuelo reparte $450 entre sus tres nietos de 8, 12 y 16 años de edad; proporcionalmente a sus edades. ¿Cuánto corresponde a cada uno?

b) Repartir $420, entre tres niños en partes inversamente proporcionales a sus edades, que son 3, 5 y 6.

En este problema existe una función de proporcional inversa entre la edad de los tres hermanos y los aportes

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Cuerpos Geometricos

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Angulos

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Triangulos

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Numeros Racionales

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Ecuaciones con números racionales

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Ecuaciones