ejercitacion algebra

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EXPRESIONES ENTERAS. POLINOMIOSActividades de ampliacion

1 2 3 4 5 6

Saca dos veces factor comun en las expresiones: a) ac ad bc bd b) 2a2 4ac 3ab 6bc c) 2x4 2x2y2 x2z y2z Escribe los siguientes trinomios en la forma a(x a) x2 2x 7 b) 2x2 4x 7 c) 3x2 5x 1 b)2 c:

A ambos margenes de un r de tres metros de anchura, existen dos arboles de alturas 2 m y 5 m. Escribe, mediante una expresion o, algebraica, la distancia que debe recorrer un pajaro para ir de la copa de un arbol a la del otro pasando por el r para beber o agua. Un pintor pinta una pared de 15 metros cuadrados en 2 horas. Otro realiza el mismo trabajo en 3 horas. Escribe, mediante una expresion algebraica, la cantidad de metros cuadrados que seran capaces de pintar juntos en x horas. Escribe mediante una expresion algebraica el area de un rectangulo inscrito en un triangulo isosceles de base 2b metros y de altura a metros. Sabiendo que un lado del rectangulo se apoya sobre el lado desigual. Recortando un cuadrado en cada una de las cuatro esquinas de una plancha de hojalata rectangular, de dimensiones a y b metros, se quiere construir una caja sin tapa. Escribe, mediante expresiones algebraicas, la superficie total de la caja as como su volumen.

Solucionario

1 2

a) a(c d) b(c d) (a b) (c d) b) 2a(a 2c) 3b(a 2c) (2a 3b) (a 2c) c) 2x2(x2 y2) z(x2 y2) (2x2 z) (x2 y2) a) (x 1)2 1 7 (x 2x] 7 2 [(x b) 2[x2 5 c) 3 x2 1 3 x x 3 2 5 25 3 x 1 6 12 1)2 6 1)2 1] 7 2(x 5 2 25 6 36 5 2 13 3 x 6 12

4 51)2

El primer pintor hace en una hora 7,5 metros cuadrados. El segundo pintor hace en una hora 5 metros cuadrados. Juntos hacen en una hora 12,5 metros cuadrados. En x horas haran juntos 12,5 x metros cuadrados. Suponiendo que las dimensiones del rectangulo son 2x e y res pectivamente y aplicando el teorema de Tales a los dos trian a y gulos rectangulos semejantes, se tendr a . Sustitub b x b x yendo, S 2xy 2xa b Suponiendo que el lado de los cuadrados mide x metros, el area total sera el resultado de restar cuatro veces el area del cuadra do al area del rectangulo, y por tanto: S ab 4x2. Por otra parte y dado que las dimensiones del ortoedro formado son a 2x, b 2x y x respectivamente, se tiene: V (a 2x) (b 2x)x, que es el volumen de la caja.

5

3

Suponiendo que toma agua a x metros de una orilla, y por tanto a 3 x de la otra, y aplicando dos veces el teorema de Pita goras se obtiene: x2 22 (3 x)2 52 x2 4 x2 6x 34

6

EXPRESIONES ENTERAS. POLINOMIOSActividades de refuerzo

1

Calcula el valor numerico de las siguientes expresiones algebraicas para los valores que se indican: a) 4x2 y2 4xy para x 3, y 4 b) (2x y)2 para x 3, y 4 4 3 1 c) r , para r 2, r 3 2 Dados los polinomios P(x) a) P(x) Q(x) R(x) b) P(x) Q(x) R(x) c) P(x) Q(x) d) P(x) Q(x) R(x) 3x3 2x 3, Q(x) 2x2 3x 2, R(x) x3, calcula:

2

3 4 5 6 7

Realiza las siguientes operaciones: a) (2a b) (a b) (3b a) (b 2a) b) (a b) (b c) (a b c) a2 (b c) Realiza las siguientes operaciones: a) (2x2 3y2)2 (2x2 3y2)2 b) (2x 1)2 (2x 2)2 (2x 3)2 3 3 c) (2x 3y) (2x 3y)

b3

Saca factor comun en las siguientes operaciones algebraicas: a) 4y3 8y5 b) 12x2y3 8x3y2 c) 3a2 6ab 9ac Calcula el valor de la expresion algebraica a) a 1, b 5, c 6 b) a 1, b 1, c 12 c) a 2, b 20, c 50 El a) b) c) b2 4ac para los siguientes valores:

numero 625 se divide en dos partes (sumandos). Escribe, mediante una expresion algebraica, el resultado de: Multiplicar dichos sumandos. Sumar los cuadrados de los sumandos. Sumar el cociente de los sumandos con el doble de su producto.

Solucionario

1 2 3 4

a) 4; a) b) c) d) 4x3 2x3 6x5 6x8

b) 4; 2x2 2x2 9x4 9x7 4b2 ac2

c)

32 , 3 6

56 6x3

a) 4y3(1 2y2) 2 2 b) 4x y (3y 2x) c) 3a(a 2b 3c)

x 1 5x 5 10x3 13x 10x6 13x4

6 7

a) 6ab b) abc

a) b) c)

25 24 1 1 48 7 400 400 0

bc2 3y2))((2x2 3y2) (2x2 3y2)) a) x(625 x) b) x2 (625 x)2 x c) 2x(625 625 x

a) ((2x2 3y2) (2x2 24x2y2 4x2 6y2 b) 12x2 24x 14 c) 72x2y 54y3

x)

DIVISION DE POLINOMIOS. RAICESActividades de refuerzo

1

Efectua las siguientes divisiones: a) (6x4 16x3 11x2 6x 4) : (3x2 5x 1) b) (4x5 24x4 37x3 16x2 16x 4) : (x3 4x2 6x6 10x5 23x4 11x3 9x2 7x 4 c) 2x3 2x2 3x 1

2x

3)

2 3 4 5 6

Utiliza la regla de Ruffini para realizar las siguientes divisiones: a) (x4 x3 10x2 3x 3) : (x 3) 5 4 b) (6x 4x 21x3 16x2 8x 8) : (x 2) c) ( 3x4 17x3 15x2 21x 2) : (x 5) Utilizando el valor numerico, halla el resto de las siguientes divisiones: a) (3x6 12x5 2x4 8x3 x2 6x 5) : (x 4) b) ( 5x5 62x4 27x3 36x2 7x 74) : (x 12) c) (2x5 7x4 16x3 7x2 41x 96) : (x 5) Calcula el valor a) El polinomio b) El polinomio c) El polinomio de m (3x5 (2x5 (5x6 en los siguientes casos: 6x4 2x3 x2 3mx 2m) es divisible por (x 2) 4 3 9x 9x 2x2 mx m) tiene al numero 3 como ra entera. z 10x5 2x4 4x3 mx2 x 5m) es divisible por (x 2).

Calcula las ra ces enteras de los siguientes polinomios: a) 2x3 4x2 22x 24 b) 3x3 54x2 321x 630 c) 2x4 20x2 18 Factoriza los siguientes polinomios: a) 2x3 4x2 22x 24 b) 3x3 9x2 219x 945 c) 2x4 20x2 18

Solucionario

1 2 3

a) Cociente b) Cociente c) Cociente

2x2 2x 1. Resto 3x 5 4x2 8x 3. Resto 2x 5 3x3 2x2 5x 4. Resto 0

4

a) Hallando el obtiene m b) Hallando el obtiene m c) Hallando el obtiene m

valor numerico en x 3. valor numerico en x 9. valor numerico en x 2.

2 e igualando a 0, se 3 e igualando a 0, se 2 e igualando a 0, se

a) Cociente b) Cociente c) Cociente

x3 4x2 2x 3. Resto 12 6x4 16x3 11x2 6x 4. Resto 3x3 2x2 5x 4. Resto 18

0.

5 6

a) Ra ces: 1, 3, 4 b) Ra ces: 5, 6, 7 c) Ra ces: 1, 1, 3, 3 a) 2(x 1) (x 3) (x 4) b) 3(x 5) (x 7) (x 9) c) 2(x 1) (x 1) (x 3) (x

a) Resto b) Resto c) Resto

13 10 1

3)

DIVISION DE POLINOMIOS. RAICESActividades de ampliacion

1 2 3 4 5 6

Determina el polinomio P(x) tal que verifica las siguientes condiciones (todas a la vez): a) El divisible por (x 2)2 y el cociente que se obtiene es de la forma ax b. b) El resto al dividirlo por x 1 es 18. c) El resto al dividirlo por x es 4. Considera los polinomios P(x) para cualquier k. 3x3 (k 1)x2 kx 2 para cualquier valor real k. Prueba que P(x) 6 es divisible por x 1

Factoriza los siguientes polinomios: a) x3 x 2. b) 5x4 5x3 25x2 35x 70 c) x4 8x2 16 Estudia en que casos el polinomio xn an es divisible por x (x a. 3)2n (x 2)n 1 es siempre divisible por x2 5x 6.

Demuestra que para cualquier valor de n el polinomio P(x)

Considera un cuadrado con 16 casillas en las que se colocan, en el orden natural, los numeros comprendidos entre el 1 y el 16. Invierte el orden en cada una de las diagonales, que obtienes?

Solucionario

1 2 3

P(x) (ax b) (x 2)2. Pero: 9(b a) 18 P( 1) 18 P(0) 4 4b 4 b 1 Por tanto, P(x) ( x 1) (x 2)2 P( 1) 6 3 k 1 P(x) 6 es divisible por (x que se de a k.

4a 1

k 2 6 0, y por tanto 1) independientemente del valor

Ya que P(a) an an 0, P(x) xn an es divisible por x a. Ya que P( a) ( a)n an, P(x) xn an sera divisible por x a cuando n sea par pero no cuando n sea impar. n n n n n a 2a 0, P(x) x a no es divisible Ya que P(a) a por x-a. an, P(x) xn an sera divisible por Ya que P( a) ( a)n x a cuando n sea impar pero no cuando n sea par. x2 5x 6 (x 2) (x 3) P(2) (2 3)2n 1 [( 1)2]n 1 1n 1 1 1 0, por tanto P(x) es divisible por x 2. 1 0, por tanto P(x) es divisible por x-3. Ademas, P(3) 1n En consecuencia, el polinomio es divisible por x2 5x 6 Un cuadrado magico de orden 4, en el que los numeros quedan ordenados de la siguiente forma (de izquierda a derecha y de arriba a abajo): 16, 2, 3, 13, 5, 11, 10, 8, 9, 7, 6, 12, 4, 14, 15 y 1.

a) P( 1) 0 x3 x 2 (x 1) (x2 x 2) es la descomposicion factorial, pues: 1 2 1 1 2 7 x2 x 2 x 2 x 2 4 2 4 que nunca puede anularse y por tanto es irreducible. b) 5(x 1) (x 2) (x2 7) 4 2 c) x 8x 16 [(x2 4)2 16] 16 (x2 4)2

5 6

EXPRESIONES FRACCIONARIAS Y RADICALESActividades de ampliacion

1 2

Calcula y simplifica: a2 (b c)2 a) a b c b) b c 2 bc b c 2 bc

Racionaliza los denominadores: 1 a) x y 1 b) 3 1 x Demuestra que las expresiones u2 v2, 2uv y u2 v2 verifican que la suma de los cuadrados de las dos primeras es igual al cuadrado de la tercera. Observa que dando valores a u y v (u v) obtendras todas las ternas pitagoricas que quieras. Calcula el per metro de un rombo si sus diagonales miden d y 2d cm. Calcula la diagonal de un ortoedro de dimensiones 2, 3 y 4 cm. Cual sera su superficie total? Una hormiga se encuentra situada en el vertice de un cubo de lado 2 m. En el vertice opuesto hay una miga de pan. Que distancia debera recorrer como m nimo la hormiga para comerse el pan si no puede salirse de la superficie del cubo?

3 4 5 6

Solucionario

1

a)

(a b b ( (

b a

c) (a b b c c)2 c)2

c) c c ( b 2 2 b

a

b bc

c

4

b) ( (

b b c) c) (2

bc. Por tanto, c)2

Suponiendo que el lado del rombo vale x: d 2 5d2 x2 d2 2 4 d 5 P 4 2 5 d cm 2 Hallando primero la diagonal de la base: 32 22 13 d Aplicando otra vez el teorema de Pitagoras: D ( 13)2 42 2(2 4) 13 16 29 cm 52 cm2

b b x

c) x y y) (x x

b

c y y y) x2

5

2

a) x x (x3

y x y (x y) (x

y

x y x)2 x

y

ST

2(4 3)

2(3 2)

y) x)23

6x)

b)

(1 x3

(1 1

Si suponemos la tapa del cubo abierta, nos damos cuenta que el camino m nimo, la l nea recta, es igual a la diagonal de un triangulo rectangulo de catetos 2 y 4 cm. Entonces: C 22 42 20 m

3

13

(1

x)2 x) x)3

(1

x)2 (1 x) (1

(1 1

x)2 (1 x

(1

3

(u2 v2)2 4u2v2 u4 v4 2u2v2 (u2 v2)2 Consideramos por ejemplo u 7, v 5. Se tiene la una 72 52 24, 2 7 5 70, 72 52

74

EXPRESIONES FRACCIONARIAS Y RADICALESActividades de refuerzo

1

Simplifica las siguientes fracciones: 10a2b5c6 a) 12a2 b3c5 xy xz b) 2 xy x2z Simplifica sacando previamente factor comun: ax a 2x 2 a) 2ax a 4x 2 x2 x 2 b) 2x2 2 Opera y simplifica las siguientes sumas y restas: a) b)3

2

3 4

a2b x3

4b x43

9b x7

Opera y simplifica los siguientes productos y cocientes: (x y)2 2x2 a) 2 2 x x y2 b) xy x y y x

5 6

Halla el valor numerico de las siguientes expresiones: a) b)3

x 2ab6

x para x3 7

2 2 yb 1

2a para a

Racionaliza los denominadores: a) b) 2 a a 2 a a

Solucionario

1

a)

5 2 bc 6 x(y z) b) 2 x (y z)

4x x2 1 x

a) b)

(x x2(x x2y y 23

y)2 2x2 y) (x y) xy2 x 23

2(x x x2

y) y y2

2x x x

2y y y

2 3

a(x 1) 2(x a) a(2x 1) 2(2x (x 1) (x 2) b) 2(x 1) (x 1)

1) 1) x 2x

(a (a 2 2

2) (x 2) (2x

1) 1)

x 2x

1 1

5 6

a) b)

8 4 2 a a a) a)6 3

82 4 a a 2

1

1 2

843

1

4

8 4

4

4 a

4

5

3

a) b)

(2 a

a) a(2

2

a) a b)3

b x x

23

b x x2

33

b x

(a (1 x

1) x2)

b3

a 4 a

a

x

(2

a) (2

ECUACIONES DE PRIMER GRADOActividades de ampliacion

1 2 3 4 5

Un deposito tiene un primer grifo que tarda en llenarlo 5 horas y otro segundo que tarda 8 horas. Ademas existe un desague que tarda en vaciar el deposito 20 horas. Calcula el tiempo que se tardara en llenar el deposito completo si se mantienen los dos grifos abiertos pero se ha olvidado cerrar el desague. Calcula un numero de tres cifras sabiendo que cumple las siguientes condiciones: 1.a) la suma de sus cifras es 13. 2.a) las cifras correspondientes a las centenas y unidades suman 10. 3.a) Si se invierte el orden de las cifras se obtiene un numero 594 unidades mas pequeno que el inicial. La hierba de un prado crece por todo el con igual rapidez y espesura. Se sabe que en 18 d 8 vacas se comer toda la hierba as an y que en 8 d 10 vacas tambien acabar con ella. Evalua el crecimiento diario de la hierba. as an Resuelve la ecuacion de primer grado 7x 4y 80, y halla una formula general que te permita encontrar los pares de valores solucion con mas facilidad. Sugerencia: despeja la incognita que tiene menor coeficiente y busca valores enteros de la otra incognita que sustituidos te den division entera. Halla todos los numeros de tres cifras que verifiquen que su cifra central sea 9 y que valgan exactamente 13 veces la suma de sus cifras.

Solucionario

1

El primer grifo llena en una hora llena en una hora

1 de deposito. El segundo grifo 5

4

1 de deposito. El desague vac en una hora a 8

1 de deposito. Suponiendo que se tarda en llenar x horas. 20 1 1 1 1 x 5 8 20 Resolviendo la ecuacion se obtiene un tiempo aproximado de 3 horas, 38 minutos y 11 segundos.

2 3

Unidades: x, Decenas: 13 x 10 x 3; Centenas: 10 x. Por tanto, [x 3 10 (10 x) 100] [10 x 3 10 100x] 594 x 2. El numero buscado es 832. Sea x la cantidad de hierba que crece al d (en unidades de a cantidad de hierba que hab en el prado al comienzo). En el a primer caso: Las 8 vacas han comido un total de 1 18x uni1 18x 1 18x dades. Cada vaca habra comido al d a 18 8 144 En el segundo caso: Las 10 vacas habran comido un total de 1 8x 1 8x 1 8x. Cada vaca habra comido al d a 8 10 80 1 18x 1 8x 2 Por tanto, igualando: x 144 80 9 2 Lo que quiere decir que la hierba crece diariamente de la 9 cantidad que hab inicialmente. a

7x ; basta 4 dar a la incognita x valores multiplos de 4, con ello obtenemos valores enteros de y. Si x 4, y 13. En general: x 4t y 20 7t Generalizando el metodo: si ( , ) es una solucion general de la ecuacion, se cumple: 7x 4y 80 Restando, 7x 7 4 (y ) 0. 7 4 80 4 Despejando x: x (y ). 7 Por ser primos 4 y 7 y 7t; y 7t. Luego x 4t. Obtenemos: x 4t y 7t 7x 4y 80. Despejamos la variable y: y Suponiendo que las cifras son a, 9 y b, se debe verificar: 100a 90 b 13(a 9 b), o sea: 29a 4b 9. Utilizando el resultado general obtenido en el ejercicio anterior, y buscando una solucion particular (5, 34), se obtiene: a 5 ( 4) que solo tiene sentido para t 1. El unico b 34 29t numero que cumple las condiciones es el 195.

80

5

ECUACIONES DE PRIMER GRADOActividades de refuerzo

1 2

Resuelve las siguientes ecuaciones quitando previamente los parentesis: a) 7(x 3) 2x 3(x 1) b) 4(x x x x d) 2 c) 4(2x 1) 3 1 30 2 3 2

3) 1

5(2x x 3 4

6) 2

3(3x 2x

1) 1

2x

2

Resuelve las siguientes ecuaciones quitando previamente los denominadores: 5x 2 2x 4 x 2 2x 1 3 b) a) 2x 3 4 4 3 4 3 4x 2x 1 3x 3 2x 2 35 5x 5 d) c) 4 3 3 2 2 4

2x 1 3

x 2 x

1 25 4 7x

3 4 5 6 7 8

Un trapecio isosceles verifica que cada uno de sus lados iguales mide las dos terceras partes de su base menor, y que esta mide exactamente la mitad que su base mayor. Calcula la longitud de los cuatro lados sabiendo que el per metro es de 26 cm. Descompon el numero 25 en dos sumandos tales que la tercera parte del primero mas la quinta parte del segundo sea igual a 7 Javier tiene 4 anos mas que su hermana Elena. Hace seis anos Javier ten el doble de edad que entonces ten Elena. Calcula la a a edad actual de cada uno. Lola ha recorrido una cuarta parte de un camino y le faltan 3 kilometros para llegar a la mitad. Que longitud tiene el camino? Ana compra dos discos por 3 600 pesetas en total y, al cabo de un corto tiempo, los consigue vender por la misma cantidad total. Calcula cuanto le costo cada uno de ellos sabiendo que en la venta del primero gano un 12 % y en la del segundo perdio un 15 % Un tren sale de Par hacia Roma a las diez de la manana y con una velocidad uniforme de 130 km/h. Dos horas despues sale s otro tren detras de el pero con una velocidad uniforme de 195 km/h. A que hora y a que distancia de Par dara alcance el s segundo tren al primero?

Solucionario

1 2 3

a) 7x 6x b) x a) 4x

21 2x 3x 3 24 x 4 1; c) x 6; d) x 8 3 24x 12 12 x 1 14 1; c) x 3; d) x 6x

54 9 12 2

Actual: Javier x 4; Elena x. Hace 6 anos: Javier x 2; Elena x 6 x 2 2(x 6) Entonces x 10. Por tanto Javier tiene 14 anos y Elena 10. Camino x km; x 4 3 x 2 x 12 km

12 14x

6 7 8

b) x

2 Base menor x; lados iguales x; base mayor 2x. 3 2 2 x x x 2x 26 x 6 3 3 Base menor 6 cm; lados iguales 4 cm cada uno y base mayor 12 cm. x 25 x 3 5 Solucion: 15 y 10. x; 25 x 7 x 15

Precios x; 3 600 x x 2 000 1,12x 0,85(3 600 x) 3 600 Por tanto los discos costaron 2 000 y 1 600 pesetas. En las dos primeras horas el primer tren ha recorrido 260 km. Si el segundo tren tarda x horas, desde que sale, en dar alcance al primero: 260 130x 195x entonces x 4. El segundo tren da alcance al primero a las 16 horas y a 780 km de Par s.

4

SISTEMAS DE ECUACIONESActividades de refuerzo

1

Resuelve 2x a) 3x 2(x b) 5x c) 3x 4x x

los sistemas: 3y 5 4y 18 1) 3(y 2) 3y 2y y 2y 5z 3z 3z 8 3 6

19 17

2 3 4 5 6 7

Resuelve el sistema de segundo grado:

xy 2x

x y

4 5 2, 1, 0, 1 y 3. Calcula los correspondientes valores de y para que

Considera la ecuacion 3x 2y 4 y los valores de x: completen soluciones a la ecuacion dada.

Escribe un ejemplo en cada uno de los siguientes casos: a) sistema con ninguna solucion; b) sistema con muchas soluciones. Halla dos numeros tales que su suma sea 31 y su diferencia 3. La edad de Javier era exactamente hace 3 anos el triple que la de Elena pero dentro de 4 anos sera solamente el doble. Halla las edades actuales de Javier y Elena. Las edades de tres hermanos sumadas dos a dos son 7, 10 y 13 anos. Hallalas.

Solucionario

1

a)

8x 9x

12y 12y 1 2; z

20 54 34 3

x

34 17

2

x

2; y

3

6Javier Elena

Edad actual x y

Hace 3 anos x y 3 3

Dentro de 4 anos x y 4 4

17x b) x 4; y c) x 1; y

2

4 x(y 1) 4 x 2x y 5 y 1 4 2 y 5 8 y2 y 1 y2 4y 3 0 Tiene dos soluciones: x 2; y x: y: a) 2 5 x 2x 1 3,5 2y 4y 3 5 0 2 b)

y 1

5y o 3 2,5 2y 4y 3 6 x

5 1; y 3

Por lo tanto, podemos plantear el siguiente sistema: x 3 3(y 3) y entonces x 24 e y 10. x 4 2(y 4) Edades actuales: 24 anos Javier y 10 anos Elena.

7

Sean x, y, z las edades de cada uno de los hermanos. Podemos plantear el siguiente sistema: x x y y z z 7 10 13 x y z 2 anos 5 anos 8 anos

3 4 5

1 0,5 x 2x

Sean los numeros x e y. Se puede plantear el sistema de ecua x y 31 ciones que da la solucion x 17; y 14. x y 3

SISTEMAS DE ECUACIONESActividades de ampliacion x xy x2 y xz y2 z yz z2 2 1 4

1 2 3 4 5 6

Resuelve el sistema:

Los gastos de transporte de trigo ascienden a 60 pesetas por tonelada y kilometro. Dos poblaciones A y B, situadas a 100 km una de otra, venden el mencionado cereal a 6 000 y 7 500 pesetas cada tonelada. Por otra parte, cierta fabrica de pan esta situada entre las dos poblaciones y se produce el hecho de que le es indiferente comprar el trigo en A o en B. A que distancia esta situada de cada una de las poblaciones? Un piraguista, yendo a favor de la corriente, tarda 3 horas en recorrer el trayecto comprendido entre los puntos A y B de un r A o. la vuelta, y cuando va en contra de la corriente pero a su marcha normal, tarda en regresar 5 horas. Cansado por el esfuerzo, decide dejarse llevar por la corriente. Cuanto tardara en volver a llegar al punto B? A un estanque de riego llegan tres riachuelos. Los dos primeros tardan 4 d en llenar el estanque, los dos ultimos tardan 5 d as as en realizar la misma tarea y, por ultimo, el primero y el tercero juntos tardan 6 d as. Cuanto tardar cada uno por separado? a Cuanto tardar si afluyeran los tres juntos? an Los lados de un triangulo miden 5, 6 y 7 cm. Se trazan tres circunferencias de tal modo que sus centros son cada uno de los vertices del triangulo dado y ademas son tangentes dos a dos. Calcula los radios de cada una de las tres circunferencias. Halla los coeficientes a, b y c del polinomio x3 dividirlo por x 1 y x 3 respectivamente. ax2 bx c para que sea divisible por x 2 y tenga por restos 9 y 1 al

Solucionario

1

De la igualdad algebraica: (x y z)2 x2 y2 z2 2(xy y2 z2 6 y sumando esta yz xz) se deduce que x2 ecuacion a la tercera se obtiene directamente x2 1. Sustituyendo, se obtiene las soluciones: (1, 2, 1); (1, 1, 2); ( 1, 2, 1) y ( 1, 1, 2)

4

Supongamos que el primero tarda x d as, el segundo y, el ter1 1 1 cero z. En un d cada uno de ellos llenar , y del estana a x y z que. En consecuencia, podemos plantear el sistema: 1 1 y 4 1 1 z 5 1 1 que da las soluciones aproximadas z 6 x 9 d 5 horas 32 minutos; y as 7 d 1 h 25 min; z 17 d 3 h 26 min. Todos juntos tardar en llenarlo 3 d 5 h y 50 min. an 1 x 1 y 1 x

2

Supongamos que las poblaciones distan de la fabrica x km e y km respectivamente. Entonces: x y 100 6 000 60x 7 500 60y resolviendo el sistema se obtiene la solucion: A dista de la fa brica 62,5 km y B 37,5 km.

3

Llamamos x al numero de horas que tardar en ir de A a B con a el agua parada (solo con la velocidad que corresponde a sus fuerzas) y llamamos y al numero de horas que tardar dejan a dose llevar por la corriente (solo con la velocidad que corres ponde al movimiento del agua). Hallando la cantidad de recorrido que realizar en una hora para los casos de que fuese a remando hacia abajo, remando hacia arriba, remando hacia abajo pero con el agua parada y, por ultimo, sin remar, pode mos escribir el sistema: 1 1 1 x 3 horas 45 minutos. x y 3 Entonces: 1 1 1 y 15 horas. x y 5

5 6

Llamando r, s y t a los radios, se ve que cada uno de los lados del triangulo es igual a la suma de dos de los radios. Por tanto, r r s s t t 5 6 7 r s t 2 cm 3 cm 4 cm

Hallando los valores numericos del polinomio en los puntos 2, 1 y 3 e igualando a 0, 9 y 1 respectivamente, se obtiene el siguiente sistema de tres ecuaciones lineales con tres incognitas: 8 4a 2b c 1 a b c 27 9a 3b c Resolviendolo se obtiene 0 9 1 la solucion: x3

11x2

35x

34.

INECUACIONES

Actividades de refuerzo

1

Resuelve las inecuaciones: 2 5x a) 4 3 2 5x b) 6 3 Resuelve las inecuaciones: 2x 1 1 5 a) 4 3 12 x 1 x 73 b) 4x 5 2 10 10 Resuelve las inecuaciones: 2x 3x 5 x a) 3 15 20 5 3x 11 5x 1 x 7 b) 20 14 10 Resuelve las inecuaciones: a) 2x2 8 b) 3x2 12

2(2 6 3(2 x) d) 5 c)

2

x) 1

1 2

2

3 d) 3 (2x

c)

2x

1 1)

x 6

5 2(x

2x 3 5)

4 7

3

5x 21

6

4 5 6 7 8

c) 2x2 d) x2

50 x 0

e) 2x2 f) x2

8 3x

0 2

0

Se consideran los rectangulos cuya base es el doble que la altura. Indica que valores puede tomar la base para que el per metro sea mayor que 12 cm. Se consideran los rectangulos cuya base es el doble que la altura. Indica que valores puede tomar la base para que el area sea mayor que 32 cm2. Que rectangulos tienen el doble de base que de altura y el area es inferior a 72 cm2 y superior a 8 cm2? Resuelve la inecuacion: x3 4x 0.

Solucionario

1 2 3 4 5

a) x b) x a) x b) x a) x b) x a) 2 b) 2 c) x

2 4 1 2 15 3 x 2 x 2 5ox

c) x d) x c) x d) x

2 1 5 0

6

Supongamos que las medidas son 2x de base y x de altura. El area sera: S 2x x 2x2 32 x2 16 x 4. La medida de la base ha de ser un numero mayor que 8 cm. (Las soluciones negativas no tienen sentido.)

75 d) 1 x 0 e) 0 / f) 1 x 2

Supongamos que las medidas son 2x de base y x de altura. El area sera: S 2x x 2x2 8 2x2 72 4 x2 36 2 x 6. La medida de la altura ha de ser un numero comprendido entre 2 y 6 cm.

Supongamos que las medidas son 2x de base y x de altura. El per metro sera: P 2(2x x) 6x 12 x 2. La medida de la base ha de ser un numero mayor que 4 cm.

8

x3 4x 0 x(x 2)(x 2) 0 La solucion sera: [ 2, 0] [2, )

K

INECUACIONES

Actividades de ampliacion

1 2 3

Intenta encontrar los valores maximo y m nimo de la expresion W x Resuelve la inecuacion: x3 4x2 5x 2 0 Teniendo en cuenta que: 1 1 1 1 ... n 1 n 2 n 3 2n siendo n un numero natural, prueba que: 1 1 1 1 1 ... n 1 n 2 n 3 2n 2

2W

1 cuando 2

5

x

3.

4 5 6

a) Partiendo de la desigualdad (n 1)2 0, prueba que la suma de un numero positivo con su inverso es mayor o igual que 2. b) Con ayuda de la propiedad anterior, prueba que si a 1 entonces log a loga10 2. x2 1 c) Prueba que . 1 x4 2 Halla la condicion que tienen que verificar los coeficientes de la ecuacion x2 ra ces reales. Halla la condicion que tienen que verificar los coeficientes de la parabola y en ningun punto al eje de abscisas. 2(m 1)x m2 m 2 0, para que tenga las

(m

1)x2

6x

1 para que su grafica no corte

Solucionario

1

Supongamos que

5

x

2

Wx

2W 3 2

1 2

3 2

x,

4

que tomara el valor maximo en x m nimo en x 2 y sera x 1 . 2 3 Wx

5 y sera

5 y el

Por otro lado, en 2

2W

1 2

x

5 , que 2

tomara el valor maximo en x x 2 y sera 1 . 2

3 y sera

1 y el m nimo en 2

En definitiva, el valor maximo sera

3 2 2) (x

nimo 5 y el m 1)2 0

1 . 2

a) (n 1)2 0 n2 1 2n 0 Como n es positivo: n2 1 1 2n n 2 n n n log 10 b) log a loga 10 log a log a x2 1 c) 1 x4 1 x2 x2 1 1 Pero como 2 x2 2 x 1 x2 x2

n2

1

2n

log a

1 log a

2

1 2

2 3

x3 x 1 n 1 n

4x2 5x 2 0 1 1 n n ...

K2 n

2 x

0 2 1 n

K (x3 1 n 2n ...

K1 n n

5 6

[2(m 1)]2 4(m2 m 2) 0 4m 4 0 m 1 Para m 1 la ecuacion tendra dos soluciones reales (iguales si m 1).

1 2n 1 2

1 n n

1 n

Debe ocurrir que no tenga solucion real: 62 4(m 1) ( 1) 0 36 4m 4 0 m 8 Para valores de m inferiores a 8 la parabola no corta al eje X.

LA ECUACION DE SEGUNDO GRADOActividades de ampliacion

1 2 3 4 5 6

Escribe una ecuacion de segundo grado que verifique que sus soluciones son las inversas de las de la ecuacion x2 5x bx c 0 y cx2 bx a 0 son inversas una de otras? Sera verdad que las soluciones de las ecuaciones ax2

6

0.

Halla cinco numeros enteros consecutivos tales que la suma de los cuadrados de los tres primeros sea igual a la suma de los cuadrados de los dos ultimos. Un numero de dos cifras verifica que la suma de ellas es 10 y que si al cuadrado de ese numero se le resta el numero que resulta de invertir sus cifras se obtiene 2 052. Hallalo. Halla las dimensiones de un rectangulo de per metro 20 cm tal que los volumenes obtenidos al hacer girar dicho rectangulo alrededor de cada uno de sus dos lados diferentes esten en la proporcion de 2 a 3. Calcula los lados de un triangulo isosceles de per metro 16 cm, sabiendo que su area es de 12 cm2 y que las medidas de sus lados son numeros enteros. Se quiere construir una caja sin tapa de 4 232 cm3 de volumen con un carton cuadrado de 50 cm de lado y al que se debe quitar cuatro cuadrados iguales en las cuatro esquinas. Que longitud deben medir los lados de estos cuadrados?

Solucionario

1

Las soluciones de la ecuacion dada en el primer apartado son 2 y 3, luego tendremos que escribir una ecuacion que tenga por 1 1 soluciones y . Entonces: 2 3 x2 1 2 1 x 3 1 1 2 3 0, o sea 6x2 5x 1 0.

3 4 5

Sean las cifras del numero: x(decenas) y 10 x (unidades) [10(10 x) x] 2 052 (10x 10 x)2 Resolviendo, se obtiene x 4 y el numero buscado sera el 46. Suponiendo que el rectangulo tiene por dimensiones x y 10 x y escribiendo los correspondientes volumenes, se obtendra: x2 (10 x) 2 x 4, y por tanto las dimensiones seran (10 x)2x 3 4 y 6 cm Suponemos que los lados del triangulo son x, x y 16 2x. Podemos escribir el valor de la altura h relativa al lado desigual, h 4 x 4 y, por tanto, el area sera: (16 2x) 4 x 4 12 , lo que da lugar a la ecuacion 2 3 2 20x 128x 265 0, que tiene como unica solucion x entera x 5. Las medidas de los lados del triangulo seran 5, 5 y 6 cm. Siendo x la medida del lado de los cuadrados a quitar, el ortoedro que resulta tendra por dimensiones 50 2x, 50 2x y x. (50 2x)2 x 4 232 47; x 47 x 2; x 24 24 Se puede observar que las dos ultimas soluciones lo son de la ecuacion, pero no del problema. No son validas. Luego la medida pedida son 2 cm.

Por otra parte y en relacion al segundo apartado, queremos ver si las soluciones de las dos ecuaciones dadas son inversas unas de otras: b b2 2a ( b)2 ( b2 4ac 4ac 4ac)2 b b2 2c 4ac 4ac 1 4ac

y por tanto, efectivamente son inversas. (Para el caso de las otras dos se demuestra de la misma manera)

6

2

Sean los numeros x (x 2)2

2, x x2

1, x, x (x 1)2

1 yx (x 2)2

2.

(x

1)

2

Las soluciones son: x 0yx 12, y por tanto las colecciones de numeros seran: ( 2, 1, 0, 1, 2) y (10, 11, 12, 13, 14).

LA ECUACION DE SEGUNDO GRADOActividades de refuerzo

1 2 3 4 5 6 7

Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado por el metodo general: a) x2 2x 15 0 3x 6 0 c) 3x2 b) x2 d) 2x2 13x 42 0 30x 100 0 Resuelve las siguientes ecuaciones incompletas: a) 3x2 6x 8x2 c) 3 4x2 b) 4x2 d) 10x2 5 4 5x Resuelve las ecuaciones: 2 3 1 a) x 1 x 2 70 Resuelve las siguientes ecuaciones: a) 2x4 40x2 128 0 b) 1 x 2 x 1 4 c) x 8 x 2

9

b)

2 x 2 (x

3 2)2

11 16

c) x

2 x

1

Las medidas de los lados de un rectangulo son dos numeros naturales consecutivos. Calcula el area de dicho rectangulo sabiendo que su diagonal mide 5 cm. El cateto menor de un triangulo mide 11 m y la hipotenusa 1 metro mas que el otro cateto. Halla los lados. Escribe ecuaciones de segundo grado que tengan por soluciones las siguientes: a) x1 2 x2 3 b) x1 5 x2 6 c) x1 1 2 x2 2 3

Solucionario

1

a) x x1 b) x1 c) x1 d) x1 a) 3x2 b) x1 c) x1 d) x1

2 5; x2 6; x2 1; x2 5; x2 6x 3 ; x2 2 1; x2 0; x2

( 2)2 2 3 7 2 10 0 3 2 1 1 2

(4 1 ( 15))

2 2

64

2 2

8

4 5

a) x b) x c) x

2 7 1

x (x

2 x 2 falsa)

4

x

4

Sean las dimensiones x y x 1. Entonces, (x 1)2 25 x 3. La superficie sera de 12 cm2 x2 Los catetos seran 11 y x, y la hipotenusa x 1. Entonces: 112 x2 (x 1)2 x 60. Los lados del trian gulo miden 11 m, 60 m y 61 m. a) x2 x2 b) x2 c) 6x2 ( 2 3) x (( 2)( 3)) 5x 6 0 x 30 0 x 2 0 0

2

3x(x

2)

0

x1

0; x2

2

6 7

3

a) Quitando denominadores se llega a la ecuacion: x2 69x 488 0. Resolviendola se tiene: x1 8; x2 61 34 b) x1 2; x2 11 c) x1 1; x2 2

ECUACIONES LOGARITMICAS Y EXPONENCIALES

Actividades de ampliacion

1 2 3 4 5 6

Considera el polinomio: P(x) x4 5x3 5x2 5x 6. a) Comprueba que 1 y 1 son ra ces del polinomio y descomponlo en producto de factores de primer grado. b) Resuelve la ecuacion: e4x 5e3x 5e2x 5ex 6 0. Resuelve el sistema de ecuaciones logar tmicas: x y 3x 2x(x y) 7 776 Encuentra una solucion del sistema de ecuaciones: logx(y 7) 2 logy(x 5) 3 Resuelve la ecuacion exponencial: x2 8 Prueba la siguiente identidad: logbxx

9 2

3x

0.

logax logba.

Resuelve el sistema de ecuaciones exponenciales: 2x 4x 2x 3y 3y 9y 4z 4z 4z 23 35 29

Solucionario

1

a) Efectivamente, P(1) P( 1) 0 P(x) x4 5x3 5x2 5x 6 (x 1)(x 1)(x 2)(x 3) b) e4x 5e3x 5e2x 5ex 6 0 Haciendo el cambio de variable ex u, se obtiene: u4 5u3 5u2 5u 6 (u 1)(u 1)(u 2)(u 0 x u 1 e 1 x 0 u 1 ex 1 (no existe solucion real) ex 2 x ln 2 u 2 u 3 ex 3 x ln 3 x y 3 2x 3x 2x(x y) 7 776 6x 65 x 5 5 y 35 y 238 Solucion: x 5, y 238.x

43)

x2 2 3x 9 2 3x 0 2 2 3x 0 (no da solucion) x2 9 x 3 o x 3 logax logba

3x

[x2

9]

0

5 6

logbx logba logbx logba Por lo tanto no se trata de una ecuacion; es una identidad que se verifica para todos los valores de a, b y x positivos, siendo a y b distintos de 1. Realizando los cambios de variable u obtiene: u u2 u u v w v v v2 w w w 23 35 29 3 2 v u2 v2 w x y z 2 1 2 u v 23 12 6 u 2x, v 3y, w 4z, se

2 3

7 776

6x

7 776

v

logx(y 7) 2 x2 y 7 x y3 5 logy(x 5) 3 y3 x 5 3 2 6 3 (y 5) y 7 y 10y y 18 0 Mediante el valor numerico se comprueba que y 2 es una de las soluciones de esta ecuacion de sexto grado. Una de las soluciones al sistema sera: x 3, y 2.

4 o u 3 o v 23 u

ECUACIONES LOGARITMICAS Y EXPONENCIALES

Actividades de refuerzo

1

Expresa las siguientes igualdades en forma algebraica: a) log x 2 log y 2 b) 2 log x 3 log y 4 c) 3 log x 5 log y 1 d) 1 log x log y Expresa en forma logar tmica las siguientes expresiones: x2 1 x c) 100 a) 2 1 000 y y3 2 2 x xy 1 b) 4 10 d) y a 100 Resuelve las ecuaciones exponenciales: a) 3x 9 81 d) 3x 1 1 1 x 1 x2 b) 3 e) 2 9 8 c) 32x 27 63 x f) 62 Resuelve las ecuaciones exponenciales: a) 22x 2x 72 2x b) 2 9 2x 400 0 Resuelve las ecuaciones logar tmicas: a) log x 4 d) log(x 2) 1 2x 2 b) log 3x 4 e) log 2 3 2x f) log 2 c) log 2 2x 3

6

Resuelve las ecuaciones logar tmicas: a) log 2 b) log(10 log(x x) 1 1) log 6 log 2x 37 5

2

7

Resuelve los sistemas de ecuaciones logar tmicas: a) b) c) d) log x log y 4x 3y 37 log x log x2 1

log y 5 log y3 13

3

3 log x 2 log y 1 1 3 log x 2 4 log y log x 3 log y 5 x2 log 3 y

42

4 5

8

Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones exponenciales: a) b) c) d) 2x 2y 12 x 3 2 2y 28 3 2x 4 2x 2x 1 3 2x 3 2x 4 2x 2y 4 3 2y 2y 2y1 1 1

8

18 28 4 8

2y 2 3 2y

Solucionario

1 2 3 4

x y2 x2 b) 3 y a) a) b) c) d)

100 10 000

x3 y5 10 d) x c)

1 10 y

5 6

a) x b) x c) x

10 000 10 000 3 150 6 2x x 37 5 2 x

d) x e) x f) x

2,1 1,015 5 000

log x 2 log y 3 2 log x 4 log y 1 log(x2 1) 3 log y 2 log x 2 log y log a 2 2 3 2 2x u2 x 3. u2 2x x 4. u 9u 72 400 0

a) 2(x 1) 10 x b) 10 a) b) c) d) a) b) c) d) x x x x x x x x

4

2 d) x e) x f) x u 0 u 3 2 2 8 o 16 u o u 9 25

a) x b) x c) x a) u b) u

7o x 2

10, y 100, y 10, y 100, y 3, 2, 3, 2, y y y y

1 1 000 10 10 2 3 2 3

8

ACTIVIDADES DE SINTESIS: NUMEROS Y ALGEBRAActividades de refuerzo

1 2 3 4 5

Calcula las aproximaciones con dos cifras decimales por defecto, por exceso y por redondeo del numero irracional 5 . 2 Juan emprende un viaje en coche; por la manana realiza del recorrido; por la tarde 2 3

6 7 8 9

Resuelve la ecuacion logar tmica: log(x 5) 1 log(x 1) Pasa a forma algebraica la siguiente expresion: log A 2 log x log y log (5x 1) Pasa a forma logar tmica la siguiente expresion: A x 2y3z Se consideran los segmentos de longitudes 2 y 3 cm. a) Que longitud debe tener otro segmento para que pue da formar con los dados un triangulo? b) Que longitud debe tener otro segmento para que los tres sean las dimensiones de un ortoedro cuyo volumen sea menor que 12 cm3? c) Que longitud debe tener otro segmento para que los tres sean las dimensiones de un ortoedro de area total mayor que 22 cm2? Javier consigue una velocidad media comprendida entre 20 y 30 km/h cuando pasea en bicicleta. Que tiempo como m nimo y como maximo debe emplear si quiere re correr una distancia de 40 km?

1 y por la noche recorre los 20 km 6 que le restan. Cuantos kilometros ha recorrido en total? Compara los siguientes numeros racionales: 2 235 y 3 351 Calcula el valor de las siguientes potencias: 2 10 23 6 3 a) b) 2 8 9 1 Indica entre que numeros enteros consecutivos se encuen tran los valores de los siguientes logaritmos: a) log 2,5 c) log 250 e) log 0,25 25 b) log 25 d) log 2 500 f) log 1 000

10

Solucionario

1 2 3 4 5

Por defecto 1,11; por exceso 1,12 y por redondeo 1,12. 2 3 2 3 a) 1 6 235 351 5 6 el recorrido mide 6 1 351 235 351 2 3 20 120 km.

6 7 8 9

10(x

5)

x

1

x

49 9

A

x2 (5x y

1)

2 10 1 8 2 16 23 6 3 1 b) 9 1 3 a) b) c) d) e) f) 0 1 2 3 log 2,5 1 log 25 2 log 250 3 log 2 500 4 1 log 0,25 0 25 2 log 1 1 000

log A

2 log x

3 log y

log z

Sea x el tercer valor implicado. a) 3 b) 6x c) 12 2 12 6x x x 4x 3 2 12 10x 22 x 1 2 1 x 5

10

20 t

40

30 t t 2 h

1 h 20 min

ACTIVIDADES DE SINTESIS: ALGEBRA (I)Actividades de refuerzo

1 2 3

Desarrolla los siguientes productos notables: a) (x2 b) (2x2 c) (x2

3x)2 3x) (2x2 3x)2 3x)

6

Sin efectuar la division, calcula el resto de los siguientes co cientes: a) (2x3 b) (2x3 3x2 3x2 1) : (x 1) : (x 3) 3)

Saca factor comun en las siguientes expresiones: a) 10a3 b) 4m n c) 2a2x22

20a2 16mn 10ax22

10a 4a2x 2ax

7

Factoriza los siguientes polinomios: a) x2 x 3x2 6 4x 12

Las dimensiones de un rectangulo estan en la proporcion de 1 a 2. Escribe, mediante expresiones algebraicas, las siguientes medidas: a) El per metro del rectangulo. b) El area del rectangulo. c) La diagonal del rectangulo.

b) x3

85x 3, 1, calcula:

Opera y simplifica las siguientes fracciones algebraicas: a) 4 x2 2x x y 1 : x 4 x2 y2 3 1

4

Dados los polinomios A(x) B(x) 2x3 x2 1 y C(x) a) A b) A c) A B B (B C C C)

3x2 2x2

b)

d) A B e) B : C

97x3 10x3

Opera las siguientes expresiones radicales: a) 3 b) 2x a 6 3

5

Aplica la regla de Ruffini para calcular las siguientes divisiones: a) (2x4 b) (4x4

2x3 a

8x

x

2x

x2 9x2

20x 16x

23) : (x 9) : (x

2) 2)

a5

Solucionario

1 2 3 4

a) (x2 b) (2x c) (x2 a) 10a3 b) 4m n c) 2a2x22 2

3x)2 3x)2 20a2

x42

6x3 3x) 6x3 10a

9x2 4x4

3x) (2x

9x

2

51) 5x 2a 1)

a) Cociente: 2x3 Resto: 3 b) Cociente: 4x3 Resto: 3

3x2 2x2

5x 5x

10 6

x4

9x2 10a(a2 4n) 2ax(ax 2ax 2a

16mn 10ax2

2

4mn(m 4a2x

6 7

a) 28 b) a) (x b) (x 80 2) (x 2) (x 3) 2) (x 3)

Sean x y 2x las dimensiones del rectangulo. a) P b) S c) D a) 2x3 b) c) 2x5 3

6x 2x2 4x2 4x2 6x2 2x2 13x4 5x 5x 5x 11x3 1 2 3 2 x2 5 3 1 5x 3 5x2 x 5

8

a) b)

3x x2 x2 2

7 1 yx

2x3

d) 6x

e) Cociente: x Resto: x

9

a) 5 b) 1

2x

ACTIVIDADES DE SINTESIS: ALGEBRA (II)Actividades de refuerzo

1

Resuelve las ecuaciones de primer grado: a) b) 2x 15 5 2 3x 20 x x 6 3 5 x 5 9 4 3 x 6x 16 2

2

Resuelve las ecuaciones: a) (2x 4 8 5 x 9 1)2 (3x 9 12 x 1)2 1 6 9

b) 15

3 4 5 6 7 8

Descompon el numero 4 371 en tres sumandos inversamente proporcionales a los numeros 3, 4 y 5. a) Calcula el 12 % de 3 600 b) Aumenta en un 2 % la cantidad de 3 600 c) Disminuye en un 2 % la cantidad de 3 600 Halla dos numeros positivos y consecutivos cuyo producto sea igual a 1122. Tres solares tienen una extension de 10 250, 22 400 y 30 500 m2 respectivamente y deben contribuir, de forma proporcional a su extension, al pago de 3 536 400 pesetas destinadas a la instalacion de un sistema de regad Cuanto debera pagar cada uno de o. ellos? Elena tiene 18 anos y su madre 38. Cuanto hace que la edad de la madre era exactamente el triple que la de la hija? Resuelve el sistema de ecuaciones lineales: 2(x 5x y) 4y 3(2x 13 y) 14

9 Que angulo forman las agujas del reloj a las 12 h 20 min? tardan en llenar una banera 288 segundos. Calcula 10 Dos grifossabiendo que el primeroempleara 240 segundos maels tiempo que tardara en llenar la banera cada uno de los grifos por separado que el segundo.

Solucionario

1 2 3 4 5

a) x b) x a) x b) x

15 3 1 60 3 x 23 3 5 580

6

Constante de proporcionalidad, k Solar de extension 10 250 Solar de extension 22 400 Solar de extension 30 500

56. 574 000 pesetas

1 254 400 pesetas 1 708 000 pesetas.

7 8

Supongamos que hace x anos que la edad de la madre era el triple que la de Elena: 38 x 3(18 x) x 8 anos

Sea k la constante de proporcionalidad inversa: k

Los sumandos seran: 1 860, 1 395 y 1 116 respectivamente. a) 432 b) 3 672 c) 3 528 Sean x y x Entonces: x(x 1 los numeros buscados. 1) 1 122 x2 x 1 122 0 x 33 (x 34 no valida) Simplificando el sistema se obtiene: 4x 5y 5x 4y 14 13 20x 20x 25y 16y 9y 70 52 18 x 1; y 2

Los numeros son: 33 y 34.

9 110 10 El primero tardara 720 segundos, el segundo 480.

SUCESIONES DE NUMEROS REALES. PROGRESIONES

Actividades de ampliacion

1 2 3

1 1 1 , , estan en progresion aritmetica. Comprueba entonces que los numeros x2, y2, y z x z x y 2 z tambien estan en progresion aritmetica. Supongamos que los numeros Calcula las sumas: 5 1 10 a) 12 122 123

5 124

1 125

10 126

...

b) 1

1 3

1 9

1 27

1 81

1 243

...

Progresiones aritmeticas de segundo orden. Son aquellas sucesiones de numeros reales que verifican que las primeras diferencias de sus terminos consecutivos forman una progresion aritmetica. Por ejemplo, la sucesion 3, 4, 7, 12, 19, ... es una de ellas, ya que restando a cada termino el anterior se obtiene la nueva sucesion 1, 3, 5, 7, ..., que es una progresion aritmetica. As como las progresiones aritmeticas tienen por termino general un polinomio de primer grado en n, las progresiones aritmeticas de segundo orden tienen por termino general un polinomio de segundo grado. Calcula el termino general de las sucesiones: a) 3, 4, 7, 12, 19, ... b) 3, 2, 2, 9, 19, ... Se consideran las circunferencias que aparecen en la figura. Todas son tangentes interiores en P y el radio de cada una de ellas es la mitad del de la inmediatamente anterior. La mayor tiene de radio 5 cm. Calcula: a) La suma de las longitudes de las infinitas circunferencias que as se pueden construir. b) La suma de las areas de los infinitos c rculos que encierran las circunferencias anteriores.

4 5

P

Consideramos una circunferencia de radio 1 cm y un punto P de ella. Consideramos, asimismo, todas las circunferencias tangentes interiores en P cuyos radios van creciendo de forma geometrica y con razon 2. Consideramos, por ultimo, las porciones de plano limitadas por dos circunferencias consecutivas. Halla el termino general de la sucesion formada por las areas de dichas porciones de plano.

Solucionario

1

Por estar en progresion aritmetica: 1 x (y2 (y2

32y2 x2 z2

1 z x2) x)2

1 z x y x

1 z

a) an An2 Bn C. Para calcular A, B y C podemos sustituir los tres primeros terminos de la sucesion: A B C 3 4A 2B C 4 9A 3B C 7 2A 2 A 1, B 3A 5A B B 2yC 1 3 4 3n2

y

Para comprobar la propiedad pedida, debemos ver si: (z2 (z2

y2) es nulo. Pero: y2) 2y2 x2 z2 x2 z2 z2 x2 0.

an 7n 2

n2 2

2n

4

b) De la misma forma se obtiene: an

2

a) Se puede considerar como la suma de los infinitos terminos de una progresion geometrica cuyo primer termino es 5 12 1 122 10 123 1 742 1 y la razon 3 . 123 12 a1 r 742 1 727

4

a) Longitudes: 10 , 5 , 2,5 , ... SL b) Areas: 25 , 6,25 , 1,5625 , ... 25 100 SA cm2 1 3 1 4

10 1 1 2

20

cm

La suma es: S

b) Se puede considerar como la suma de los infinitos terminos de una progresion geometrica cuyo primer termino es 1 1 3 1 9 11 1 33 y la razon . El resultado es: . 9 27 26

5

Sucesion de las areas de los c rculos: , 4 , 16 , 64 , ... Sucesion de las porciones consideradas: 3 , 12 , 48 , ... Es una progresion geometrica de razon 4 y primer termino 3 . Por tanto, an 3 4n 1 .

SUCESIONES DE NUMEROS REALES. PROGRESIONES

Actividades de refuerzo

1

Halla el termino general de las siguientes sucesiones de numeros reales: 4 5 6 7 8 a) 3, 0, 3, 6, 9, ... c) , , , , , ... 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 b) 1; 0,1; 0,01; 0,001; ... d) , , , , , ... 3 5 7 9 11 Halla los terminos que se indican en las siguientes sucesiones de numeros reales: 4 5 6 7 8 b) Decimosegundo en 28, 14, 7, ... c) Trigesimo en a) Decimo en , , , , , ... 5 6 7 8 9

2 3 4 5 6 7

243,

191,

139,

87, ...

Estudia si son monotonas crecientes o monotonas decrecientes o ninguna de las dos cosas las siguientes sucesiones: 16 16 16 8 11 14 17 20 b) 16, , , , ... c) 2, 2, 2, 2, 2, ... a) , , , , , ... 3 7 11 15 19 3 9 27 Estudia tambien su posible acotacion. 5 7 9 3 5 7 Dadas las sucesiones an, cuyos primeros terminos son 3, , , , ..., y bn, cuyos primeros terminos son 1, , , , ..., calcula: 2 3 4 2 3 4 an bn; an bn y an bn. Halla la suma de los diez primeros terminos de las siguientes sucesiones: a) 5, 10, 15, 20, ... b) 1 000, 500, 250, 125, ... Halla la suma de los primeros 30 multiplos de 3. Halla la suma de las 10 primeras potencias de 3.

Solucionario

1 2

a) an b) an

3n 1 10n n n 1 28 2 52n

6

c) an d) an

n n n 2n

3 4 1

5

a) Es una progresion aritmetica: a1 d n 5 5 10 a10 S10 5 (5 9 5 50 50) 10 275 2

1

a) an b) an c) an

3 4n 1

a10 a12 243

13 14 0,0137 1 265

b) Es una progresion geometrica: a1 1 000 r 0,5 n 10 a10 S10 1 000 0,59 1,953 1,953 0,5 1 000 0,5

1 998,047

a30

3

3n 5 , a10 0,897, a100 0,764 y a1000 0,751 4n 1 Monotona decreciente y acotada superior e inferiormente. b) an 16 31 n a5 0,1975, a10 0,0008 Es monotona decreciente y acotada superior e inferiormente. c) No es ni monotona creciente ni monotona decreciente. Es acotada superior e inferiormente. a) an an bn 2n n 2n n 1 1 an bn 4; an bn 2 ; an bn n 4n2 1 n2

6

Es una progresion aritmetica: a1 d n 3 3 30 a30 S30 3 (3 29 3 90) 30 2 90 1 395

4

7

Es una progresion geometrica: a1 r n 3 3 10 a10 S10 3 39 310 59 049 59 049 3 3 88 572 2