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TEMA 6: Cuerpos geométricos Repaso examen

1.- Estoy construyendo una piscina de 25 metros de largo, 15 metros de ancho y 2 metros de alto. Quiero cubrir las paredes y el fondo con azulejos de forma cuadrada de 3 cm de lado. ¿Cuántos azulejos necesitaré? (Sol: 594445 azulejos)

2m 15m 25m

− Primero hay que calcular la superficie que queremos cubrir:

Como se trata de un prisma, baseÁreaalturabasePerímetroA +⋅= (solamente se cuenta una vez el área de la base porque solamente se recubre el suelo de la piscina, ya que por arriba está abierta).

BASE:

=+=⋅+⋅= 3050215225Perímetro m80 15m

alturabaseAbase ⋅= → =⋅= 1525baseA 2375 m

25m Así:

baseÁreaalturabasePerímetroA +⋅= → 375280 +⋅=A → 375160+=A → 2535 mA =

− Ahora calculamos la superficie que tienen los azulejos:

3cm

3cm 2ladoA = → 33⋅=A → =A 29 cm

− Por último se calcula el número de azulejos que se necesitan para cubrir la piscina:

Para ello basta dividir la superficie que se quiere cubrir entre la superficie de los azulejos con los lo vamos a hacer. Antes, como la superficie de la piscina está en metros cuadrados y la de los azulejos en centímetros cuadrados, tenemos que hacer un cambio de unidades para que haya concordancia.

Matemáticas – 3º E.S.O.

2013/14

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2535 mApiscina = → 25350000cmApiscina =

29 cmAazulejo =

Número de azulejos: =9

5350000azulejos44,444.594 , pero como los azulejos se compran

enteros, podríamos decir que necesitaríamos azulejos445.594 2.- Una madre compra a su hija una caja de sus bombones favoritos. La caja tiene forma de prisma triangular de 20 cm de larga y 4 cm de lado de la base. ¿Cuál es la cantidad de papel mínima que se necesita para envolverla? (Sol: 253,84 cm2)

20cm

4cm

Lo que hay que calcular es la superficie de la caja de bombones.

baseÁreaalturabasePerímetroAprisma ⋅+⋅= 2

BASE: =⋅= 34Perímetro cm12

4cm 4cm 2

alturabaseAbase

⋅= → 2

46,34 ⋅=baseA → 2

84,13=baseA →

4cm → =baseA 292,6 cm

Como no tenemos la altura del triángulo, hay que calcularla. Para ello se aplica el teorema de Pitágoras:

222 24 −=x → 4162 −=x → 122 =x → 12=x →

x 4cm → =x cm46,3 2cm

Así: baseÁreaalturabasePerímetroA ⋅+⋅= 2 → 92,622012 ⋅+⋅=A → 84,13240+=A →

→ =A 284,253 cm

3

3.- Se va a restaurar el lateral y la parte superior de una torre con forma de prisma octogonal de 20 m de alta. La base es un octógono regular de 6 m de lado y 2 metros de apotema. Si la empresa de restauración cobra 75 euros por cada metro cuadrado, ¿cuál será el precio de la restauración? (3600€)

20m

2m

6m

− Primero calculamos los metros cuadrados que hay que restaurar:

baseÁreaalturabasePerímetroAprisma +⋅= (solamente ponemos el área de una base porque

se va a restaurar, además del lateral la torre, la parte superior de la misma). BASE: =⋅= 86Perímetro m48

6m 2

apotemaperímetroAbase

⋅= → 2

248⋅=baseA →

2m → =baseA 248 m

− Como sabemos lo que cuesta restaurar un metro cuadrado (75€), para calcular el precio de la

restauración basta multiplicar el precio del metro cuadrado por el área que hay que restaurar:

Precio restauración = =⋅ 4875 euros3600

4.- Una pizzería hace pizzas de varios tamaños y las vende en cajas hexagonales de 30 cm de lado y 4 cm de alto. ¿Qué cantidad de cartón se necesita para cada caja? (Sol: 5396,40 cm2)

4cm

30cm

Habría que calcular el área de la caja: baseÁreaalturabasePerímetroAprisma ⋅+⋅= 2

4

BASE: =⋅= 630Perímetro cm180

2

apotemaperímetroAbase

⋅= → 2

98,25180⋅=baseA →

x 30cm

30cm →2

40,4676=baseA → =baseA 220,2338 cm

15cm

Como no tenemos la apotema de la base, hay que calcularla, y para ello aplicamos el teorema de Pitágoras. Recordar también que en el hexágono el radio mide lo mismo que el lado:

232 1530 −=x → 2259002 −=x → 6752 =x → 675=x → =x cm98,25

Así el área de la caja es: baseÁreaalturabasePerímetroAprisma ⋅+⋅= 2 →

→ 220,233824180 cmA ⋅+⋅= → 40,4676720+=A → =A 240,5396 cm

5.- Sabiendo que la arista lateral de una pirámide mide 13 cm y cuya base es un hexágono regular de 10 cm de lado, calcula:

a) La altura de la cara de la pirámide. (Sol: 12 cm) El triángulo rojo es un triángulo rectángulo en el que los catetos y la hipotenusa son: 13cm x Altura cara lateral Arista lateral x 13cm Mitad lado base 5cm 10cm Aplicando el teorema de Pitágoras obtenemos lo que estamos buscando:

222 513 −=x → 251692 −=x → 1442 =x → 144=x → =x cm12

b) La altura de la pirámide. (Sol: 8,31 cm)

Para calcular la altura de la pirámide tenemos otro triángulo rectángulo dentro de ella en el que uno de los catetos es lo que queremos calcular:

5

Altura pirámide Arista lateral x 13cm x 13cm Radio base 10cm (recordar que en un hexágono el radio mide lo mismo que un lado)

10cm 10cm Aplicando el teorema de Pitágoras obtenemos lo que estamos buscando:

222 1013 −=x → 1001692 −=x → 692 =x → 69=x → =x cm31,8

6.- Considera una pirámide de base cuadrada cuya arista de la base mide 40 cm y cuya arista lateral mide 56 cm. Calcula:

a) La apotema de la pirámide. (Sol: 52,31 cm) Recordar que la apotema de la pirámide es lo que hemos 56cm llamado en clase altura de la cara. Podemos calcularla aplicando el teorema de Pitágoras en el siguiente triángulo: Altura cara lateral Arista lateral x 56cm 40cm Mitad lado base 20cm

222 2056 −=x → 40031362 −=x → 27362 =x → 2736=x → =x cm31,52

b) La altura de la pirámide. (Sol: 48,34 cm) De la misma manera, aplicándole el teorema de Pitágoras al siguiente teorema obtenemos lo que buscamos: Altura pirámide Altura cara lateral x 52,31cm Apotema base: 20cm

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222 2031,52 −=x → 40034,27362 −=x → 34,23362 =x → 34,2336=x →

→ =x cm34,48

7.- Hallar el área lateral de una pirámide pentagonal que tiene de lado de la base 6 cm y tal que la arista lateral de la pirámide es de 9 cm. (Sol: 127,20 cm2)

2

caraalturabasePerímetroAlateral

⋅=

9cm Para calcular el área lateral nos hace falta el perímetro de la base que se puede calcular fácilmente y la altura de la cara que tampoco nos la dan. 6cm

− Cálculo del perímetro de la base:

=⋅= 56baseP cm30

− Cálculo de la altura de la cara: para calcular la altura de la cara, al igual que hemos hecho en los

ejercicios anteriores, vamos a aplicarle el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo que he dibujado en rojo dentro de la pirámide cuyos lados son los siguientes elementos de la pirámide:

Altura cara lateral Arista lateral x 9cm Mitad lado base 3cm

222 39 −=x → 9812 −=x → 722 =x → 72=x → =x cm48,8 Ya tenemos toda la información que nos hace falta para calcular el área lateral:

2

caraalturabasePerímetroAlateral

⋅= → 2

48,830⋅=lateralA → 2

40,254=lateralA →

→ =lateralA 220,127 cm

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8.- Se quiere levantar un monumento en forma de pirámide. Su base será cuadrada, y la altura prevista, de 30 metros. Si se necesitan 811,2 m3 de piedra, ¿cuál es la medida de la arista de la base? (Sol: 9,01 m)

Acordaros que cuando el problema os dé como dato el área o el volumen de la figura, debéis escribir la fórmula, ya que con ella podréis calcular alguno de los elementos que os hagan falta para resolver el ejercicio. En este caso nos dan el volumen:

3

pirámidealturaAV base ⋅

=

Sustituyendo los datos nos queda la siguiente ecuación:

3

pirámidealturaAV base ⋅

= → 3

302,811

⋅= baseA

→ baseA⋅= 102,811 → 10

2,811=baseA →

→ =baseA 212,81 m

Pero la base es un cuadrado, y sabemos que el área del cuadrado es 2lA = . Sustituyendo el área que acabamos calcular el esta fórmula nos vuelve a quedar una ecuación con la que podemos calcular el lado de la base, o lo que es lo mismo, la arista de la base que es lo que nos piden:

2lA = → 212,81 l= → 12,81=l → =l m01,9

9.- El diámetro de la base y la generatriz de un cono miden 13 cm. Halla la altura del cono. (Sol: 11,26 cm) La altura del cono se puede calcular aplicándole el teorema de Pitágoras al siguiente triángulo rectángulo que hay dentro del Altura 13cm cono (dibujado en rojo): Altura cono Generatriz x 13cm 13cm Radio base 6,5cm (recuerda que el radio de una circunferencia es la mitad del diámetro)

222 5,613 −=x → 25,421692 −=x → 75,1262 =x → 75,126=x →

→ =x cm26,11

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10.- Una copa tiene forma de cono de 10,2 cm de generatriz y 9,5 cm de diámetro de la circunferencia superior.

a) Cada vez que se limpia, ¿qué superficie de cristal hay que limpiar? (Sol: 152,13 cm2) Hay que calcular el área lateral del cono. No hace falta calcular el área total porque la copa está abierta, por lo tanto no tiene base: generatrizradioAlateral ⋅⋅= π → 2,1075,414,3 ⋅⋅=lateralA →

→ =lateralA 213,152 cm

b) ¿Qué cantidad de líquido cabe en la copa? (Sol: 213,25 cm3)

3

2 alturaradioV

⋅⋅= π Pero la altura no nos la da el problema, así que habrá que calcularla, y

para ello se aplica el teorema de Pitágoras en el mismo triángulo rectángulo que antes: - Cálculo de la altura: Altura cono Generatriz x 10,2cm 222 75,42,10 −=x → 56,2204,1042 −=x → → 48,812 =x → 48,81=x → =x cm03,9

Radio base 4,75cm (recuerda que el radio de una circunferencia es la mitad del diámetro)

Ahora ya tenemos toda la información que necesitamos para calcular el volumen:

3

2 alturaradioV

⋅⋅= π →

3

03,975,414,3 2 ⋅⋅=V → 3

74,639=V → =V 325,213 cm

11.- Una esfera tiene un área de 435 cm2. Calcular el radio y el volumen de la esfera. (Sol: 5,88 cm y 851,14 cm3)

− Cálculo del radio:

24 radioA ⋅⋅= π → 214,34435 r⋅⋅= → 256,12435 r⋅= → 56,12

4352 =r → 63,342 =r →

→ 63,34=r → =r cm88,5

− Cálculo del volumen:

3

4 3radioV

⋅⋅= π →

3

88,514,34 3⋅⋅=V → 3

42,2553=V → =V 314,851 cm

9

12.- Una esfera tiene un volumen de 10 dm3. Calcula el área de la esfera. (Sol: 1,34 cm3) Para calcular el área necesitamos el radio. Para calcularlo utilizamos la fórmula del volumen de una esfera:

3

4 3radioV

⋅⋅= π→

3

14,3410

3r⋅⋅= →3

56,12

3

30 3r⋅= →356,1230 r⋅= →

56,12

303 =r →

→ 39,23 =r → 3 39,2=r → =r 334,1 cm

13.- El volumen de un cilindro es 24033,18 dm3 y su altura mide 34 dm. ¿Cuál es su radio? (Sol: 15 dm)

alturaradioV ⋅⋅= 2π → 3414,318,24033 2 ⋅⋅= r → 276,10618,24033 r⋅= →

76,106

18,240332 =r

11,2252 =r → 11,225=r → =r dm15

14.- Una lata de conservas tiene 16,6 cm de altura y 8,4 cm de radio de la base.

a) ¿Qué cantidad de metal se necesita para su construcción? (Sol: 1318,8 cm2)

222 radioalturaradioA ⋅⋅+⋅⋅⋅= ππ → 24,814,326,164,814,32 ⋅⋅+⋅⋅⋅=A →

→ 12,44368,875 +=A → =A 28,1318 cm

b) ¿Cuál es el volumen de la lata? (Sol: 3677,87 cm3)

alturaradioV ⋅⋅= 2π → 6,164,814,3 2 ⋅⋅=V → =V 387,3677 cm