UNIVERSIDAD DE LA SERENA FACULTAD DE CIENCIAS INGENIERA DE EJECUCIN EN MINAS I SEMESTRE 2011. PROF. HUGO PIZARRO MUOZ.Ejercicios Resueltos de Induccin y Sumatoria 1.Induccin Matemtica: Demostrar las siguientes relaciones en IN utilizando el axioma de induccin matemtica. a.32n 1 es divisible por 8 n e IN. Demostracin: i)Si n = 1, entonces: 32 1 1 = 9 1 = 8 = 8 1 Se cumple para n = 1.ii)Supongamos que para n = k se cumple, por demostrar para n = k + 1. Hiptesis de Induccin:32k 1 = 8p, con p e Z. Tesis:32k + 2 1 = 8p, con p e Z. 32k + 2 1/ aplicando prop. de las potencias. =9 32k 1 / factorizando por 9. = ( )2199 3k / sumando y restando 1 dentro del parntesis. = ( )2199 3 1 1k + = ( )2899 3 1k +/ H.I.= ( )899 8p +/ desarrollando el parntesis.=72p + 8 / factorizando por 8. =8(9p + 1)/ pero 9p + 1 e Z =8pQ.E.D. b.5n 6n 1 n e IN. Demostracin: i)Si n = 1, entonces: 5n = 51 = 5 ; 6n 1 = 6 1 1 = 5; y 5 5 es cierto.Por lo tanto se cumple para n = 1. ii)Supongamos que para n = k se cumple, por demostrar para n = k + 1. Hiptesis de Induccin:5k 6k 1Tesis:5k + 1 6(k + 1) 1 5k + 1 6k + 5 En el caso de las desigualdades no se puede demostrar partiendo de un lado para llegar al otro. En este caso se modificara la hiptesis para demostrar la tesis por transitividad. 5k 6k 1 / 5 5k + 1 30k 5 / Esta ser la nueva H.I. Entonces por hiptesis de induccin se sabe que 5k + 1 30k 5, si se demuestra que 30k 5 6k + 5 entonces se demuestra la tesis por transitividad. Demostraremos que 30k 5 6k + 5 k e IN. 30k 5 6k + 5 / + (6k + 5) 24k 10 / : 24 5120 k > > , notemos que k > 0 k 1, por lo tanto es k e IN. Luegosesabeque5k + 1 30k 5 y que30k 5 6k + 5, por transitividad se deduce que 5k + 1 6k + 5. Q.E.D. UNIVERSIDAD DE LA SERENA FACULTAD DE CIENCIAS INGENIERA DE EJECUCIN EN MINAS I SEMESTRE 2011. PROF. HUGO PIZARRO MUOZ.c. ( )( ) ( )1 1 1...4 7 7 10 3 1 3 4 4 3 4nn n n+ + + = + + + Demostracin: i)Si n = 1, entonces: ( )( )1 1 1 1 1...4 7 7 10 3 1 3 4 4 7 28 n n+ + + = = + + ( ) ( )1 1 14 3 4 4 3 4 4 7 28nn= = =+ + Por lo tanto se cumple para n = 1. ii)Supongamos que para n = k se cumple, por demostrar para n = k + 1. Hiptesis de Induccin:( )( ) ( )1 1 1...4 7 7 10 3 1 3 4 4 3 4kk k k+ + + = + + +

Tesis: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1...4 7 7 10 3 1 1 3 1 4 4 3 1 4kk k k++ + + = + + + + + + ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1...4 7 7 10 3 1 1 3 1 4 k k+ + + + + + + = ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1...4 7 7 10 3 1 3 4 3 1 1 3 1 4 k k k k (+ + + + ( + + + + + + / H.I.= ( ) ( ) ( ) ( ) ( )14 3 4 3 1 1 3 1 4kk k k++ + + + + = ( ) ( )( )14 3 4 3 4 3 7kk k k++ + + / sumando las fracciones. = ( )( )( )3 7 44 3 4 3 7k kk k+ ++ + = ( )( )23 7 44 3 4 3 7k kk k+ ++ + = ( )( )( )( )1 3 44 3 4 3 7k kk k+ ++ + = ( ) ( ) ( )1 14 3 7 4 3 1 4k kk k+ +=+ + + 2.Sumatoria: Calcular las siguientes sumas. a.1 2 + 4 3 + 9 4 + 16 5 + (n sumandos) 1 2 + 4 3 + 9 4 + 16 5 + (n sumandos) = 12 (1 + 1) + 22 (2 + 1) + 32 (3 + 1) + 42 (4 + 1) + + n2 (n + 1)=( )211nkk k=+ = ( )3 21nkk k=+ / Prop. Suma. = 3 21 1n nk kk k= =+ / recordar que ( )223114nkn nk=+= y ( )( )212 1 16nkn n nk=+ += UNIVERSIDAD DE LA SERENA FACULTAD DE CIENCIAS INGENIERA DE EJECUCIN EN MINAS I SEMESTRE 2011. PROF. HUGO PIZARRO MUOZ.= ( ) ( )( ) ( ) ( )( )2 22 21 2 1 1 3 1 2 2 1 14 6 12n n n n n n n n n n + + + + + + ++ == ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )21 3 7 2 1 3 1 2 2 1 1 2 3 112 12 12n n n n n n n n n n n n n+ + + + + + +( + + + = = b. ( )( )613 2 3 1nkk k= + Primero calcularemos ( )( )113 2 3 1nkk k= +. ( )( )113 2 3 1nkk k= + / Expresar la fraccin como una resta de fracciones para aplicar la prop. telescpica. = 13 2 3 1nkA Bk k=| | | +\ . Sin embargo se desconocen los numeradores, por lo cual se utilizan las incgnitasAyBy debe resolver la siguiente ecuacin: ( )( )13 2 3 1 3 2 3 1A Bk k k k = + + ( ) ( )( )( ) ( )( )3 1 3 213 2 3 1 3 2 3 1A k B kk k k k+ = + + / como los denominadores son iguales, entonces:A(3k + 1) B(3k 2) = 1 3Ak 3Bk + A + 2B = 1 3(A B)k + (A + 2B) = 1 / como no aparece ningn trmino con k en el segundo miembro, entonces A B = 0.(1)0(2)2 1A BA B =+ = Despejando (1) se obtiene A = B, si se reemplaza esto en (2) se obtiene A + 2A = 1 3A = 1 13A = . Por lo tanto 13B = . As: = 1 13 313 2 3 1nkk k=| | | +\ . / Prop. Escalar.= 11 1 13 3 2 3 1nkk k=| | | +\ . / Prop. Telescpica.= 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 ...3 4 4 7 7 10 3 5 3 2 3 2 3 1 n n n n ( | | | | | | | | | | + + + + + |||||( +\ . \ . \ . \ . \ . = 1 1 1 313 3 1 3 3 1 3 1n nn n n ( | | = = | (+ + + \ . Luego ( )( )613 2 3 1nkk k= + = ( )( ) ( )( )51 11 13 2 3 1 3 2 3 1nk kk k k k= = + + = 53 1 3 5 1nn+ + = 53 1 16nn+ = ( )( ) ( )16 5 3 1516 3 1 16 3 1n nnn n +=+ +