13/04/2023Elaborado por: Ing. Marcela Tejada

EJERCICIO RESUELTO

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICASCON

IDENTIDADES PITAGÓRICAS (FUNDAMENTALES)

13/04/2023Elaborado por: Ing. Marcela Tejada

Para demostrar identidades trigonométricas debes tener en cuenta algunos consejos:1. Escoge el miembro más complejo de la identidad para

verificar el miembro más sencillo.2. Realiza operaciones de sumas, restas y multiplicación de

fracciones trigonométricas.3. Factoriza o realiza los productos notables según convenga (a

veces es mejor dejar expresada en producto notable, sobre todo en el denominador de una fracción).

4. Algunas veces ayuda escribir un miembro de la identidad en términos de senos y cosenos.

5. A veces puedes operar ambos miembros de la identidad, pero úsalo como último recurso.

6. Recuerda siempre que tu objetivo es siempre llegar al miembro más sencillo.

Antes de comenzar:

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38.

Como puedes observar, el miembro más complejo es el que está a la izquierda, así que comenzaremos por éste y nuestro objetivo será llegar al termino de la derecha…

Ejercicio resuelto

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Primero cambiaremos todos los términos de y en términos de seno y coseno.Recuerda que:

y

Por lo tanto, la nueva expresión será….

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Antes de aplicar «La ley de la oreja» en cada fracción, recuerda realizar primero la suma de fraccionarios en cada denominador.Si corres el riesgo de equivocarte, agrega un 1 para completar las fracciones de la siguiente manera:

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Sumando las fracciones, nos queda:

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Ahora si, aplicamos la «Ley de la oreja», es decir, producto de extremos sobre producto de medios:

Notemos que en el denominador tenemos dos expresiones «parecidas» pero no iguales. Estas son: y

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Para que la suma de las fracciones sea más sencilla, debemos convertir las expresiones dentro del paréntesis en fracciones equivalentes. Si observamos bien, lo único diferente son los signos, así que multiplicaremos a una de ellas por (-1) y cambiaremos el orden de los términos, así:

=

En la expresión, quedará:

Segundo paréntesis

Queda igual que el primero

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Nótese que el signo menos lo anteponemos al , pues si lo ponemos después, parecerá una resta.De este modo hemos obtenido dos paréntesis idénticos en el denominador, pero antes de realizar operaciones con las fracciones aplicamos la «Ley de los signos».

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Para realizar la resta de fracciones, debes hallar el M.C.M de los denominadores. Este es:

Luego la resta queda:

(Tú ya debes ser competente en la resta de fracciones algebraicas)

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En el denominador ha quedado una expresión factorizable como una diferencia de cubos.

Recuerda que:

Y aplicándola en el numerador, queda:

Así que la fracción es:

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Simplificando los términos semejantes:

Resulta:

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Para cada expresión del numerador, distribuiremos el denominador, así:

Simplificamos términos semejantes:

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Y resultará…

Aplicando nuevamente las relaciones de funciones trigonométricas:

Y en orden:

Si es Identidad