ejercicios resueltos de programación lineal_clase_ii
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7/29/2019 Ejercicios resueltos de programacin lineal_clase_II
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Ejercicios resueltos de programacin l ineal
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Una compaa fabr ica y venden dos mode los de lmpara L 1 y L 2 .
Para su fabr icac in se neces i ta un t rabajo manua l de 20 minutos para
e l mode lo L 1 y de 30 minutos para e l L 2; y un t rabajo de mquina para
L 1 y de 10 minutos para L 2 . Se d ispone para e l t rabajo manua l de 100
horas a l mes y para la mquina 80 horas a l mes . Sab iendo que e l
bene f ic io por un idad es de 15 y 10 euros para L 1 y L 2 , respec t ivamente ,
p lan i f i car la producc in para obtener e l mximo bene f ic io .
1E lecc in de las incgnitas .
x = n de lmparas L 1
y = n de lmparas L 2
2Funcin objet ivo
f(x, y) = 15x + 10y
3Restr icc iones
Pasamos los t iempos a horas
20 min = 1/3 h
30 min = 1/2 h
10 min = 1/6 h
Para esc r ib i r las res t r i cc iones vamos a ayudarnos de una tab la:
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L1 L2 Tiempo
Manual 1/3 1/2 100
Mquina 1/3 1/6 80
1/3x + 1/2y 100
1/3x + 1/6y 80
Como e l nmero de lmparas son nmeros natura les , tendremos
dos res t r i cc iones ms:
x 0
y 0
4 Hal la r e l conjunto de soluciones fact ibles
Tenemos que representar gr f i camente las res t r i cc iones .
Al ser x 0 e y 0, t rabajaremos en e l pr imer cuadrante .
Representamos las rec tas , a part i r de sus puntos de corte con los
e jes .
Reso lvemos gr f i camente la inecuac in: 1/3 x + 1/2 y 100;
para e l lo tomamos un punto de l p lano, por e jemplo e l (0,0) .
1/30 + 1/20 100
1/30 + 1/60 80
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La zona de in te rsecc in de las so luc iones de las inecuac iones ser a
la so luc in a l s i s tema de inecuac iones , que cons t i tuye e l conjunto de
las so luc iones fac t ib les .
5 Calcu lar las coordenadas de los vrt i ces de l rec in to de las
so luc iones fac t ib les .
La so luc in pt ima s i es n ica se encuentra en un vrt i ce de l
rec in to. s tos son las so luc iones a los s is temas:
1/3x + 1/2y = 100; x = 0 (0, 200)
1/3x + 1/6y = 80; y = 0(240, 0)
1/3x + 1/2y = 100; 1/3x + 1/6y = 80(210, 60)
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6 Calcu lar e l valor de la funcin objet ivo
En la func in obje t ivo sus t i tu imos cada uno de los vrt i ces .
f (x , y) = 15x + 10y
f (0 , 200) = 150 + 10200 = 2 000
f (240, 0 ) = 15240 + 100 = 3 600
f (210, 60) = 15210 + 1060 = 3 750 Mximo
La so luc in pt ima es fabr icar 210 del modelo L 1 y 60 del
modelo L 1 para obtener un bene f ic io de 3 750 .
2
Con e l comienzo de l curso se va a lanzar unas ofe r tas de mater ia l
esco lar . Unos a lmacenes qu ie ren of recer 600 cuadernos , 500 carpetas y
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400 bo l gra fos para la o fe r ta , empaquetndolo de dos formas d is t in tas;
en e l pr imer b loque pondr 2 cuadernos , 1 carpeta y 2 bo l gra fos; en e l
segundo, pondrn 3 cuadernos , 1 carpeta y 1 bo l gra fo. Los prec ios de
cada paquete sern 6.5 y 7 , respec t ivamente . Cuntos paquetes le
conv iene poner de cada t ipo para obtener e l mximo bene f ic io?
1E lecc in de las incgnitas .
x = P1
y = P2
2Funcin objet ivo
f(x, y) = 6.5x + 7y
3Restr icc iones
P1 P2 Disponibles
Cuadernos 2 3 600
Carpetas 1 1 500
Bolgrafos 2 1 400
2x + 3y 600
x + y 500
2x + y 400
x 0
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y 0
4 Hal la r e l conjunto de soluciones fact ibles
5 Calcu lar las coordenadas de los vrt i ces de l rec in to de las
so luc iones fac t ib les .
6 Calcu lar e l valor de la funcin objet ivo
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f (x ,y)= 6.5 200 + 7 0 = 1300
f (x ,y)= 6.5 0 + 7 200 = 1 400
f (x ,y)= 6.5 150 + 7 100 = 1 675 Mximo
La so luc in pt ima son 150 P1 y 100 P2 con la que se obt ienen 1
675
3
En una granja de po l los se da una d ie ta , para engordar , con una
compos ic in mn ima de 15 un idades de una sus tanc ia A y ot ras 15 de
una sus tanc ia B. En e l mercado s lo se encuentra dos c lases de
compuestos: e l t ipo X con una compos ic in de una un idad de A y 5 de
B, y e l ot ro t ipo, Y , con una compos ic in de c inco un idades de A y una
de B. E l prec io de l t ipo X es de 10 euros y de l t ipo Y es de 30 . Qu
cant idades se han de comprar de cada t ipo para cubr i r las neces idades
con un cos te mn imo?
1E lecc in de las incgnitas .
x = X
y = Y
2Funcin objet ivo
f(x,y) = 10x + 30y
3Restr icc iones
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X Y Mnimo
A 1 5 15
B 5 1 15
x + 5y 15
5x + y 15
x 0
y 0
4 Hal la r e l conjunto de soluciones fact ibles
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5 Calcu lar las coordenadas de los vrt i ces de l rec in to de las
so luc iones fac t ib les .
6 Calcu lar e l valor de la funcin objet ivo
f (0 , 15) = 10 0 + 30 15 = 450
f(15, 0) = 10 15 + 30 0 = 150
f(5/2, 5/2) = 10 5/2 + 30 5/2 = 100 Mnimo
El coste mnimo son 1 00 para X = 5/2 e Y = 5/2.
4
Se d ispone de 600 g de un determinado frmaco para e laborar
pas t i l las grandes y pequeas . Las grandes pesan 40 g y las pequeas
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30 g. Se neces i tan a l menos t res pas t i l las grandes , y a l menos e l dob le
de pequeas que de las grandes . Cada pas t i l la grande proporc iona un
benef ic io de 2 y la pequea de 1 . Cuntas pas t i l las se han de
e laborar de cada c lase para que e l bene f ic io sea mximo?
1E lecc in de las incgnitas .
x = Pas t i l las grandes
y = Pas t i l las pequeas
2Funcin objet ivo
f(x, y) = 2x + y
3Restr icc iones
40x + 30y 600
x 3
y 2x
x 0
y 0
4 Hal la r e l conjunto de soluciones fact ibles
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5 Calcu lar las coordenadas de los vrt i ces de l rec in to de las
so luc iones fac t ib les .
6 Calcu lar e l valor de la funcin objet ivo
f (x , y)= 2 3 + 16 = 22
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f (x , y)= 2 3 + 6 = 12
f (x , y)= 2 6 + 12 = 24 Mximo
El mximo bene f ic io es de 24 , y se obt iene fabr icando 6
pasti l las grandes y 12 pequeas .
5
Unos grandes a lmacenes desean l i qu idar 200 camisas y 100 panta lones
de l a temporada anter i or . Para e l l o l anzan , dos ofertas , A y B . La oferta A
cons i s te en un l ote de una cam isa y un panta ln , que se venden a 30 ; l a
oferta B cons iste en un lote de tres camisas y un panta ln , que se vende a
50 . No se desea ofrecer menos de 20 lotes de la oferta A n i menos de 10
de l a B . Cuntos l otes ha de vender de cada t i po para max im izar l a
gananc i a?
1E lecc i n de l as i ncgnitas .
x = n de l otes de A
y = n de l otes de B
2Funcin objet ivo
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f(x, y) = 30x + 50y
3Restr i cc i ones
A B Mnimo
Camisas 1 3 200
Pantalones 1 1 100
x + 3y 200
x + y 100
x 20
y 10
4 Hal lar e l con junto de so luc i ones fact ib les
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5 Ca lcu lar l as coordenadas de l os vrt i ces de l rec i nto de l as
so luc i ones fact ib les .
6 Ca lcu lar e l valor de la funcin objet ivo
f (x , y ) = 30 20 + 50 10 = 1 100
f (x , y ) = 30 90 + 50 10 = 3200
f (x , y ) = 30 20 + 50 60 = 3600
f (x , y ) = 30 50 + 50 50 = 4000 Mximo
Con 50 lotes de cada t ipo se obtiene una ganancia mxima de 4000
.