Variable aleatoria continua

PAGE Estadstica Inferencial-Clase 2 Cusco 2015

II. Variable aleatoria continua y su funcin de densidad de probabilidad

Aquellas variables aleatorias cuyo recorrido no est conformado por un nmero contable de puntos sino que es un intervalo o unin de intervalos se dice que son variables aleatorias del tipo continuo. La distribucin de probabilidad de una variable aleatoria continua, X, es el conjunto de pares ; donde:

, representa a un valor observado de la variable aleatoria X y,

, la correspondiente funcin de densidad de probabilidad.

La funcin de densidad de probabilidad , es una funcin definida en todos los nmeros reales que satisface las siguientes condiciones:

(i) .

(ii) .

(iii)

Una consecuencia de que X sea una variable aleatoria continua es que, para cualquier valor dentro en el rango de X, por ejemplo x, .

Este resultado se desprende de inmediato del hecho de que

Definicin La funcin de distribucin de una variable aleatoria continua X es

.Si X es una variable aleatoria continua, entonces, para cualquier y ,

Ejemplo En los ltimos 50 aos, el instituto Geofsico registra informacin relacionada a las erupciones volcnicas, las que nos indican que X, el tiempo (en segundos) transcurrido entre los temblores y la erupcin del volcn, tiene la funcin de densidad de probabilidad siguiente.

Se demostrar que esta funcin de densidad de probabilidad (fdp), cumple la condicin de que el rea total bajo f(x) es igual a 1. es decir,

La funcin de distribucin es la siguiente

As,

Se determinar la probabilidad de que el tiempo transcurrido entre los temblores y la erupcin del volcn sea inferior a 2 segundos; de dos formas: primero usando la funcin de densidad de probabilidad y luego haciendo uso de la funcin de distribucin. Ambos procedimientos nos conducen al mismo resultado.

(i) Haciendo uso de la funcin de densidad de probabilidad:

(ii) Haciendo uso de la funcin de distribucin:

La probabilidad de que de que el tiempo transcurrido entre los temblores y la erupcin del volcn sea inferior a 2 segundos es de 0.8647. La funcin de densidad de probabilidad de una variable aleatoria continua puede obtenerse a partir de la funcin de distribucin mediante la operacin de derivacin. Esto es, dada la funcin de distribucin F(x), entonces

,

siempre y cuando exista la derivada.

Media, varianza y desviacin estndar La media y la varianza de una variable aleatoria continua se definen de manera similar al caso de la variable aleatoria discreta. En las definiciones, la integracin remplaza a la sumatoria.Definicin Para una variable aleatoria continua X, con funcin de densidad de probabilidad , la media o valor esperado de X denotada por o E(X), es

Definicin Suponga que la media de X es y que la funcin de densidad de probabilidad de X es . La varianza de una variable aleatoria continua X, denotada por, es

Definicin La desviacin estndar de la variable aleatoria X, Suponga que la media de X es y que la funcin de densidad de probabilidad de X es . La varianza de una variable aleatoria discreta X, denotada por, es

Ejemplo Con el ejemplo anterior se obtendr la media, la varianza y la desviacin estndar. Media:

Varianza:

Desviacin estndar La desviacin estndar es la raz cuadrada positiva de la varianza. .Distribucin normal

Una de las distribuciones tericas ms estudiadas en los textos de estadstica y ms utilizada en la prctica es la distribucin normal, tambin llamada distribucin gaussiana. Su importancia se debe fundamentalmente a la frecuencia con la que distintas variables asociadas a fenmenos naturales y cotidianos siguen, aproximadamente, esta distribucin. Caracteres morfolgicos (como la talla o el peso), o psicolgicos (como el cociente intelectual) son ejemplos de variables de las que frecuentemente se asume que siguen una distribucin normal. El uso extendido de la distribucin normal en las aplicaciones estadsticas puede explicarse, adems, por otras razones. Muchos de los procedimientos estadsticos habitualmente utilizados suponen normalidad de los datos observados. La simple exploracin visual de los datos puede sugerir la forma de su distribucin. No obstante, existen otras medidas, grficos de normalidad y contrastes de hiptesis que pueden ayudarnos a decidir, de un modo ms riguroso, si la muestra de la que se dispone procede o no de una distribucin normal. Cuando los datos no siguen una distribucin normal, pueden ser transformados o emplear mtodos estadsticos como los no paramtricos.

Definicin Una variable aleatoria continua , tiene una distribucin normal si su funcin de densidad de probabilidad est dada por:

que determina la curva en forma de campana As, se dice que una variable aleatoria sigue una distribucin normal con media ( y varianza (2 . , . En la Figura 13 se muestra la representacin grfica de la distribucin de probabilidad normal. Figura 13. Representacin grfica de la distribucin

Normal

Notacin : , se lee tiene una distribucin Normal con parmetros y . La distribucin normal posee ciertas propiedades importantes destacando las siguientes:

El rea total bajo la curva es igual a 1.

La distribucin es simtrica respecto de su media.

La media, mediana y moda son iguales, que es el punto ms alto de la curva normal.

La distancia entre la recta y el punto de inflexin de la curva es igual a ( .

La distribucin normal constituye realmente una familia de distribuciones, puesto que para cada valor de ( y ( existe una distribucin de probabilidad diferente.

La curva de la distribucin normal se extiende de -( hasta +(.

Si levantamos perpendiculares entre :

( - ( y ( + (Corresponde aproximadamente al 68.3% del rea total.

( - 2( y ( +2(Corresponde aproximadamente 95.4% del rea total.

( - 3( y ( +3(Corresponde aproximadamente 99.7% del rea total.

Figura 14. reas bajo la curva de la distribucin normalEn la Figura 14 se representan grficamente las propiedades anteriores.

Si una variable aleatoria tiene una distribucin normal, pueden calcularse las probabilidades de que tome valores entre a y b, P(a ( X ( b). Puesto que es una variable aleatoria continua se cumple que , P(a ( X ( b) = P(a < X < b).

Distribucin normal estndar Corresponde a una variable aleatoria con distribucin normal con media 0 y varianza 1.

y cuyas probabilidades estn tabuladas en la denominada tabla normal.

Estandarizacin de una variable con distribucin normal

Una variable aleatoria con distribucin normal con media ( y varianza (2 puede

ser transformada en una variable normal estndar:

,se lee tiene una distribucin Normal con media 0 y varianza 1.

Ejemplo El peso de una poblacin de personas de tercera edad que practican natacin sigue una distribucin normal, con una media de 63 Kg y una desviacin estndar de 10 Kg.si se elige aleatoriamente una persona, responda las siguientes preguntas.

a) Cul es la probabilidad de que tenga ms de 69 Kg de peso?.

b) Cul es la probabilidad de que tenga menos de 58 Kg de peso?.

c) Cul es la probabilidad de que una persona elegida al azar, tenga entre 60 y 65 Kg. inclusive?

a)

b)

c)

Para resolver usando el SPSS procedemos de la siguiente manera:

a) Ingresar al EDITOR DATA y acceder a TRANSFORM / COMPUTE

Muestra la pantalla COMPUTE VARIABLE y se escoge la funcin CDF.NORMAL (q, mean, stddev) con parmetros , para resolver el ejercicio anterior se realiza la siguiente operacin: :

b) Ingresar al EDITOR DATA y acceder a TRANSFORM /COMPUTE

Muestra la pantalla COMPUTE VARIABLE y se escoge la funcin CDF.NORMAL (q, mean, stddev) con parmetros , para resolver el ejercicio anterior se realiza la siguiente operacin: :

OK.

Se obtiene la probabilidad requerida

c)

Ingresar al EDITOR DATA y acceder a TRANSFORM / COMPUTE

Muestra la pantalla COMPUTE VARIABLE y se escoge la funcin CDF.NORMAL (q, mean, stddev) con parmetros , para resolver el ejercicio anterior se realiza la siguiente operacin:

Distribucin Ji cuadrado

La distribucin ji cuadrado juega un papel importante en la inferencia estadstica. Tiene una aplicacin considerable en la metodologa y en la teora.

Si una variable aleatoria tiene distribucin gamma con parmetros , entero positivo, y se dice que sigue la distribucin ji cuadrados con n grados de libertad. En la estadstica, se usa mucho el trmino grados de libertad, que significa el nmero de observaciones independientes menos el nmero de parmetros desconocidos que se tratan de estimar sobre la base de dichas observaciones.

Definicin. Si la variable aleatoria tiene una distribucin ji cuadrado su funcin de densidad de probabilidad es dada por,

La distribucin ji cuadrado es una distribucin asimtrica y su representacin grfica se muestra en la figura 16.

Notacin: , se lee tiene una distribucin j cuadrado con n grados de libertad.

Figura 16. Funcin de densidad de probabilidad

de la distribucin ji cuadrado

Esperanza matemtica. La media de una variable aleatoria con distribucin ji cuadrado est definida por:

Varianza. La varianza de una variable aleatoria con distribucin ji cuadrado est definida por

La distribucin ji cuadrado y su relacin con la distribucin normal

Si,

es la varianza de una muestra aleatoria de tamao , seleccionada de una poblacin distribuida normalmente con media ( y (2 , entonces

tiene distribucin ji cuadrado con grados de libertad.

El nmero de grados de libertad en toda operacin estadstica es igual al nmero de observaciones menos toda restriccin impuesta a tales observaciones. Una restriccin es cualquier valor que deba calcularse en base a dichas observaciones.

La variable que sigue una distribucin ji cuadrado se representa por la letra griega y toma solamente valores no negativos.

Ejemplo. Un grupo de investigadores conoce que los coeficientes intelectuales de una poblacin de nios sigue una distribucin normal con varianza igual a 4. Seleccionan una muestra aleatoria de tamao 17 de esta poblacin y desean conocer la probabilidad de que la varianza muestral sea a lo ms 4.85.

Solucin

Consideremos la variable aleatoria como , donde

: Coeficiente intelectual de nios de una poblacin especfica

~ , (2 = 4, =17 .

.Para resolver usando el SPSS procedemos de la siguiente manera

Ingresar al EDITOR DATA y acceder a TRANSFORM / COMPUTE

Muestra la pantalla COMPUTE VARIABLE y se escoge la funcin CDF.CHISQ(q, df) con parmetro grados de libertad, para resolver el ejercicio anterior se realiza la siguiente operacin:

OK.

Se obtiene la informacin requerida

Propiedades

Si una variable aleatoria con distribucin N(0,1), Z, se eleva al cuadrado se genera una variable ji cuadrado con un grado de libertad, es decir:

. Si se tiene n variables aleatorias independientes con distribucin normal estndar, N(0,1), la suma de los cuadrados de dichas variables tiene distribucin ji cuadrado con n grados de libertad.

Distribucin t de Student

Esta distribucin es muy importante en estadstica y fue propuesta por el cientfico ingls W. Gosset (1876 1937), quien trabajaba en la compaa productora de cerveza Guinness, en Dubln, Irlanda, y escriba sus trabajos bajo el seudnimo Student (el estudiante).

Definicin

Si la variable aleatoria tiene una funcin de densidad dada por:

se dice que tiene distribucin t de Student con n grados de libertad. La representacin grfica se muestra en la siguiente figura.

Notacin: ~ , se lee tiene una distribucin t de Student con n grados de libertad

Figura. Funcin de densidad de probabilidad

de la distribucin de Student. Esperanza. La media de una variable aleatoria con distribucin t de Student est definida por

Varianza. La varianza de una variable aleatoria con distribucin de Student est definida por

, .

En 1908, W.S. Goset, quien escriba bajo el seudnimo de Student, describi la distribucin de la variable

como una variable con distribucin con grados de libertad, cuando la muestra es seleccionada desde una poblacin normal con media ( y varianza (2 . Esta distribucin permitir realizar inferencias relacionadas a la medias poblacionales cuando la varianza es desconocida. Se debe notar que el denominador de la variable , contiene la desviacin estndar muestral S en lugar de (.

Ejemplo

La administradora de una Universidad privada de prestigio quiere investigar el coeficiente intelectual de los profesores que laboran en esa institucin. Como es muy costoso hacer una prueba a todos los profesores, se extrae una muestra aleatoria de 20 profesores de toda la poblacin. Cada profesor recibe un examen diseado para medir el coeficiente intelectual; los resultados proporcionan una desviacin estndar de 8. Por informaciones pasadas se sabe que el coeficiente intelectual tiene una distribucin normal con media 135. Ella desea saber lo siguiente:

a) Cul es la probabilidad de que el promedio muestral del coeficiente intelectual de profesores sea inferior a 160 puntos?

b) Cul es la probabilidad de que el promedio muestral del coeficiente intelectual de profesores sea superior a 150 puntos?

c) Cul es la probabilidad de que el promedio muestral del coeficiente intelectual se profesores se encuentre entre 155 y 165 puntos?

Solucin

Consideremos la variable aleatoria como , donde

: Coeficiente intelectual de profesores

~

Se conoce que: tiene una distribucin t con n-1 grados de libertad, a) La probabilidad de que el promedio muestral del coeficiente intelectual de los profesores sea inferior a 110 es

La representacin grfica de esta probabilidad est representada en la siguiente figura.

b) La probabilidad de que el promedio muestral del coeficiente intelectual de profesores sea superior a 120 es

La representacin grfica de esta probabilidad est representada en la siguiente figura

c) La probabilidad de que el promedio muestral del coeficiente intelectual de profesores se encuentre entre 155 y 165 puntos es,

La representacin grfica de esta probabilidad est representada en la siguiente figura

Distribucin F

La distribucin F, la cual fue denominad as en 1924 en honor a Sir Ronald A. Fisher (1890 1962). Esta distribucin se utiliza en Inferencia Estadstica, cuando estamos interesados en comparar varianzas de dos variables aleatorias independientes distribuidas normalmente.

Si la variable aleatoria tiene funcin de densidad por,

se dice que tiene distribucin F con y grados de libertad. La Figura 17 muestra la

representacin grfica de la funcin de densidad de la distribucin F.

Notacin: ~ F(, ) se lee tiene distribucin F con y grados de libertad.

Figura. Funcin de densidad de probabilidad

de la distribucin F

Propiedades de la Distribucin F

Si X e Y son variables aleatorias independientes con distribuciones ji cuadrado de parmetros y , respectivamente; la variable aleatoria

,

tiene distribucin F con parmetros y . EL primer parmetro es el nmero de grados de libertad en el numerador y el segundo es el nmero de grados de libertad en el denominador.

La distribucin F y su relacin con la distribucin normal

Sean , , ..., una muestra aleatoria seleccionadada de una poblacin normal con media y varianza , y , ,..., una muestra aleatoria extrada de una poblacin normal con media y varianza . Adems ambas poblaciones son independientes, entonces la variable aleatoria

tiene distribucin F con y grados de libertad, donde y .

Esperanza matemtica. La media de una variable aleatoria con distribucin F est definida por,

,

Varianza

La varianza de una variable aleatoria con distribucin F est definida por,

,

Ejemplo.La consistencia en el sabor del vino es una cualidad importante para mantener la lealtad de la clientela. La variabilidad en el sabor de un vino dado puede verse afectado por la longinutd del perodo de fermentacin, variacin en los ingredientes y diferenciales en el equipo de fermentacin . El fabricante del vino Queirolo con dos lneas de produccin, 1 y 2, ha hecho ligeros cambios a la lnea 2 buscando reducir la variabilidad. Se toman al azar muestras de 21 vasos de vino de cada lnea de produccin y se determina el ndice de sabor con un instrumento apropiado. Cul es la probabilidad de que la razn de las variabilidades de las lneas 1 y 2 sea inferior a 0.56? Se sabe que por informacin pasada que el ndice de sabor para cada lnea de produccin, sigue una distribucin normal con varianzas desconocidas e iguales.

Solucin.Se consideran las variables aleatorias

: Indice de sabor del vino para la lnea 1 de produccin e

: Indice de sabor del vino para la lnea 2 de produccin

tal que : e

, esto es porque y el valor 0.1017 es hallado en la tabla de la distribucin F, para grados de libertad y el quantil 0.56.

Luego, la probabilidad de que la razn de las variabilidades de las lnea 1 y 2 sea inferior a 56% es 0.1017.

Funcin de densidad de probabilidad

f(x).

Probabilidad obtenida a partir del rea bajo f(x).

Funcin de distribucin del ejemplo

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