ejercicios resueltos de competencia perfecta

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Si necesita repasar los conceptos manejados en este ejercicio, puede ver los vídeos

correspondientes donde se explica la teoría en mi página:

http://microeconomiajuancarlosaguado.blogspot.com.es/p/videos.html

1.- Una empresa que trabaja en un mercado de competencia perfecta tiene

una función de costes totales: CT =2Q3 – 75Q

2 + 1000Q + 361.

Las funciones de oferta y demanda en ese mercado son:

Qo = 20P – 2000

Qd = 10000 – 10P

a) Calcule qué cantidad producirá para maximizar beneficios.

b) Halle qué beneficio obtendrá.

Suponga que la demanda varía pasando a ser Qd = 17328 – 12P

c) Calcule qué cantidad producirá para maximizar beneficios.

d) Halle qué beneficio obtendrá.

e) Represente gráficamente los equilibrios del mercado y de la

empresa calculados en los apartados anteriores.

f) Calcule y represente gráficamente el mínimo de explotación.

g) Calcule y represente gráficamente el punto de nivelación.




a) La condición de primer orden de maximización de beneficios de una

empresa competitiva nos dice que ésta habrá de producir una cantidad tal que haga

igualar sus costes marginales con el precio de equilibrio del mercado.

Necesitamos por tanto conocer dicho precio de equilibrio. Lo obtendremos

igualando la función de oferta con la de demanda:

Qo = Qd

20P – 2000 = 10000 – 10P

30P = 12000

P = 400 u.m.

Obtenemos la cantidad de equilibrio sustituyendo este valor en la oferta o en la

demanda:

Qo = 20·400 – 2000 = 6000

A continuación, calcularemos los costes marginales, que son la derivada de los

costes totales respecto de Q:

C’ =

= 6Q

2 – 150Q + 1000

Para maximizar beneficios, se ha de cumplir la siguiente igualdad:

P = C’

400 = 6Q2 – 150Q + 1000

6Q2 – 150Q + 600 = 0

Q2 – 25Q + 100 = 0

A simple vista se puede apreciar que las dos raíces de esta ecuación son 5 y 20,

pues el término independiente es el producto de ambas raíces y el que acompaña a la Q

es la suma de ambas con signo negativo.

Resolvemos no obstante de la forma más tradicional por si alguien no lo había

visto aún de esa manera inmediata:

;

; las dos posibles soluciones por

consiguiente son Q = 5 y Q = 20.

Aunque matemáticamente obtengamos dos resultados, sólo uno es el que nos

hará maximizar beneficios –el otro, por el contrario, es el que nos haría minimizar

beneficios-.

La condición de segundo orden de maximización de beneficios de una empresa

competitiva nos dice que los costes marginales han de estar en su tramo creciente. Esto

matemáticamente implica que sustituyendo en la derivada del coste marginal el valor de



la Q que hemos hallado, nos ha de dar un valor positivo. Lo comprobamos a

continuación para los dos valores calculados.

= 12Q – 150

12·5 – 150 = – 90 < 0

12·20 – 150 = 90 > 0

Estaremos por tanto en el tramo creciente de la curva de costes marginales para

una cantidad Q = 20.

b) Ahora que ya sabemos que va a producir 20 unidades y que las va a

vender a un precio de 400 u.m., podemos conocer el beneficio de la empresa como la

diferencia entre los ingresos totales y los costes totales:

B = IT – CT = 400·20 – 2·203 + 75·20

2 – 1000·20 – 361 = 1639 u.m.

c) Si la demanda varía, tenemos que encontrar el nuevo equilibrio del

mercado igualando la función de oferta con la nueva función de demanda:

Qo = Qd

20P – 2000 = 17328 – 12P

32P = 19328

P = 604 u.m.


demanda:

Qo = 20·604 – 2000 = 10080

a) Ya hemos calculado anteriormente la función de costes marginales de la

empresa, lo que nos servirá para conocer cuál es la cantidad que maximizará sus

beneficios dado el nuevo precio de equilibrio calculado.

Para maximizar beneficios, se ha de cumplir la siguiente igualdad:

P = C’

604 = 6Q2 – 150Q + 1000

6Q2 – 150Q + 396 = 0

Q2 – 25Q + 66 = 0

Se puede apreciar a simple vista que las dos raíces de esta ecuación son 3 y 22,

pues el término independiente es el producto de ambas raíces y el que acompaña a la Q

es la suma de ambas con signo negativo.

Resolvemos no obstante de la forma más tradicional por si alguien no lo había

visto aún de esa manera inmediata:

;





Aunque matemáticamente obtengamos dos resultados, sólo uno es el que nos

hará maximizar beneficios –el otro, por el contrario, es el que nos haría minimizar

beneficios-.

La condición de segundo orden de maximización de beneficios de una empresa

competitiva nos dice que los costes marginales han de estar en su tramo creciente. Esto

matemáticamente implica que sustituyendo en la derivada del coste marginal el valor de

la Q que hemos hallado, nos ha de dar un valor positivo. Lo comprobamos a

continuación para los dos valores calculados.

= 12Q – 150

12·3 – 150 = – 114 < 0

12·22 – 150 = 114 > 0

Estaremos por tanto en el tramo creciente de la curva de costes marginales para

una cantidad Q = 22.

b) Ahora que ya sabemos que va a producir 22 unidades y que las va a

vender a un precio de 604 u.m., podemos calcular el beneficio de la empresa como la

diferencia entre los ingresos totales y los costes totales:

B = IT – CT = 604·22 – 2·223 + 75·22

2 – 1000·22 – 361 = 5931 u.m.

La representación gráfica del equilibrio del mercado y de la empresa serían los

siguientes:

Empresa Mercado

D

6000

400 400

P

P1

P2

604

10080

Q

CTMe

P

P1

P2

C’

Q

604

P1

3 5

20 22

O

D’



c) El mínimo de explotación viene dado por ese precio a partir del cual la

empresa comienza a producir pues ahí ya cubre sus costes variables en su totalidad, y

por encima de ese precio empieza a recuperar los costes fijos –obviamente, si ese precio

es aún mayor empezará a tener beneficios, pero eso lo calcularemos en otro apartado,

cuando hallemos el punto de nivelación-.

El mínimo de explotación, o punto de cierre, se produce en el mínimo de los

costes variables medios, que es el punto en el que los costes marginales cortan con

dichos costes variables medios. Por eso, podemos calcularlo matemáticamente de

cualquiera de las dos formas:

ó bien

C’ = CVMe

Lo haremos a continuación de las dos formas posibles.

Para ello, necesitamos en primer lugar conocer quiénes son los costes variables

medios. Por su propia definición serán el resultado de dividir los costes variables –todos

aquellos que dependen de la cantidad, Q- entre Q:

CVMe =

=

–

2Q

2 – 75Q + 1000

Para minimizar esta función, su derivada respecto de Q deberá ser igual a cero:

; 4Q – 75 = 0; Q = 18’75

Si la cantidad asociada al mínimo de explotación es Q = 18’75, sustituyendo este

valor ya sea en el coste marginal ya sea en el coste variable medio, obtenemos el precio

mínimo a partir del cual la empresa comenzará a producir:

CVMe(Q = 18’75) = 2·18’752 – 75·18’75 + 1000 = 296’875 u.m.

El mínimo de explotación se produce por tanto para esta empresa cuando el

precio alcanza las 296’875 u.m., y comienza a producir 18’75 unidades.



La representación gráfica sería la siguiente:

e) El punto de nivelación es aquel en el que el precio es lo suficientemente alto como

para que la empresa deje de tener pérdidas, es decir, aquel en el que el beneficio es B =

0. Si el precio es mayor que este, la empresa comenzará a presentar beneficios positivos.

Tenemos dos posibilidades para su cálculo: hallar el mínimo de los costes totales

medios, o bien calcular el punto de corte entre los costes marginales y los costes totales

medios. Esto es así porque el coste marginal corta a los costes totales medios en el

mínimo de éstos.

Los costes totales medios son el resultado de dividir los costes totales entre Q:

CTMe =

=

–

2Q

2 – 75Q + 1000 +

Para calcular su mínimo, hallamos la derivada respecto de Q de esta función y la

igualamos a cero:

;

4Q – 75 –

= 0;

4Q3 – 75Q

2 – 361 = 0

El único divisor –además del 1, y de 361, lógicamente- del término

independiente es 19, pues 361 es 19 elevado al cuadrado.

296’9

P1

P2

18’75

CTMe

P

P1

P2

C’

CVMe

Q

P1

P2

P1

P2

P1

P2

Mínimo de explotación o

punto de cierre

P1

P2



Sabíamos ya por los apartados anteriores del ejercicio que habíamos calculado,

que el mínimo de explotación se alcanzaba para 18’75 unidades producidas, y que

fabricando 20 unidades tenía beneficios, por lo que el valor de la cantidad que

buscábamos correspondiente al punto de nivelación estaba comprendido entre estos dos

valores.

Comprobamos utilizando el método de Ruffini que 19 es la solución de la

ecuación:

4 75 0 – 361

19

76

–19

361

4 – 1 19 0

Si la cantidad para la que el coste total medio es mínimo es de 19 unidades, el

precio correspondiente al punto de nivelación lo obtendremos sustituyendo dicho valor

ya sea en el coste marginal, ya sea en el coste total medio. Elegimos hacerlo en éste

último:

CTMe (Q = 19) = 2Q2 – 75Q + 1000 +

= 2·19

2 – 75·19 + 1000 +

;

CTMe (Q = 19) = 316 u.m.

La representación gráfica sería la siguiente:

19

316

296’9

P1

18’75

CTMe

P

P1

C’

CVMe

Q

Punto de nivelación

P1



a) Obtenemos el precio de equilibrio al que va a vender su producto esta

empresa igualando la función de oferta con la de demanda:

Qo = Qd

30P – 900 = 1200 – 5P

35P = 2100

P = 60 u.m.


demanda:

Qo = 30·60 – 900 = 900

Si la empresa actuara con racionalidad económica buscaría maximizar

beneficios. Sin embargo, en este caso el enunciado del ejercicio nos dice que lo que

pretende es maximizar los ingresos, con la limitación de que al menos obtenga un

beneficio B = 390 u.m. No podemos proceder por tanto como acostumbramos igualando

el precio al coste marginal.

Como ya conocemos, una empresa competitiva puede vender todo lo que quiera

al precio de equilibrio, pues la función de demanda a la que se enfrenta es totalmente

elástica. Así, si pretendiera maximizar ingresos vendería infinitas unidades de producto

–o, al menos, tantas unidades como los consumidores estén dispuestos a adquirir a ese

2.- Una empresa que opera en un mercado de competencia perfecta

maximiza ingresos en lugar de beneficios, con la restricción de obtener un

beneficio mínimo de 390 u.m. Su función de costes totales es: CT = 2Q2 + 10.

La oferta y la demanda de ese mercado responden a las funciones:

Qo = 30P – 900

Qd = 1200 – 5P

a) Calcule el equilibrio del mercado, así como la cantidad que decidirá

producir esa empresa y los beneficios que obtendrá.

b) Represente gráficamente la decisión de la empresa.



precio, que en este caso concreto hemos calculado al hallar el equilibrio del mercado,

que son 900-.

De hecho, si maximizamos la función de ingresos totales derivando esta función

respecto de Q e igualando a cero, vamos a encontrar una incongruencia en línea con lo

descrito:

IT = P · Q = 60Q

60 = 0

Esto es normal; no podemos hallar el máximo de una función que es siempre

creciente como vemos en el gráfico siguiente:

Lógicamente, en una función siempre creciente, el máximo se produciría para

una Q = ∞.

Debemos abordar el problema por consiguiente de otra manera; tendremos que

encontrar cuál es la cantidad máxima vendida que nos asegure tener al menos ese

beneficio.

B = 390 = IT – CT = 60Q – 2Q2 – 10;

2Q2 – 60Q + 400 = 0

;



La empresa obtendrá beneficios mayores o iguales a 390 u.m. en todo el

intervalo [10,20] de Q. Su decisión, lógicamente, será la de producir 20 unidades si lo

que pretende es maximizar ingresos.

IT

Q

IT



b) La representación gráfica correspondiente al problema de decisión de esta

empresa sería la siguiente:

Si necesita repasar los conceptos manejados en este ejercicio, puede ver los

vídeos correspondientes donde se explica la teoría en mi página:


20

P1

P2

390

P1

P2

10

Bº

P1

P2

Q

P1

P2

Decisión de la empresa: producir 20

unidades obteniendo un beneficio de

390 u.m.


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