ejercicios resueltos de cálculo vectorial e integrales de
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Ejercicios Resueltos de Cálculo Vectorial e Integrales de línea.
1.- Determine el valor de , si y .
Solución:
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2.-Obtenga el trabajo realizado por la fuerza , para mover una
partícula desde el punto al a lo largo de la curva .
Solución:
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3.- Sea . Demuestre que es independiente de
la trayectoria que pasa por dos puntos dados.
Solución:
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4.- Verifique el Teorema de Green para , donde es la frontera,
tomada con orientación positiva, de la región acotada por las gráficas y .
Solución:
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5.- Demuestre que:
Solución:
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6.- Sea , donde y . Determinar
el valor de la integral.
Solución:
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7.- Utilice el Teorema de Green para evaluar la integral de línea a lo largo de la curva orientada de manera positiva:
Donde consiste del segmento de recta que va desde a y de la curva con .
Solución:
Se tiene, usando el Teorema de Green en el plano:
Aquí:
Se tiene:
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8.- Demuestre que la integral de línea dada es independiente de la trayectoria y evalúe la integral.
Donde es cualquier trayectoria que va desde – hasta .
Solución:
Es decir, existe con . Así, la integral es independiente de la trayectoria se tiene:
Integrando con respecto a se tiene:
Se tiene:
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9.- Sea un campo escalar y un campo vectorial dado por
. Suponga que existen las derivadas parciales y que éstas son
continuas. Demuestre que:
Solución:
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10.- Sea
a) Demuestre que es un campo conservativo
Solución:
b) Encuentran el potencial escalar
Solución:
c) Calcule donde está dada por:
Solución:
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11.- Calcule , donde es la frontera de la región situada entre las
gráficas de y .
Solución:
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12.- Determinar el exponente constante λ, de modo que:
Sea independiente de la trayectoria, si la función está definida en una región simple convexa.
Solución:
Para que la integral sea independiente de su trayectoria es necesario que:
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13.- Calcule la integral de línea ∫ +C
xyxy dyxedxye , donde C es la curva formada por los
siguientes segmentos de rectas:
Punto Inicial )1,2()2,1()2,1()1,2()1,2()2,1()2,1()1,2( −→−→−−→−−→−→−→→Punto Final
Solución:
Como el campo asociado al diferencial es conservador, ya que
),()( xyxyxyxy yey
xyeexex ∂
∂=+=
∂∂
se tiene que la integral de línea es independiente de la
trayectoria, y por lo tanto:
22
1
1
2 12e
edte
dyxedxyedyxedxye
t
xy
C
xy
C
xyxy
+−=−=
+=+
∫
∫∫
−
+
Donde 11),,2()(:* ≤≤−= tttC γ
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14.- Dado el campo vectorial . ¿Es posible
afirmar que es nula si , definida por es una curva simple cerrada?
Solución:
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15.- Si calcule el trabajo realizado por al desplazar una particula a
lo largo del segmento de recta que va desde el punto al punto . Evalúe sin utilizar una función de potencial.
Solución: