1. El vector de posición de una partícula viene dad o por ������ = ����− �����. Halla:

a. La ecuación de la trayectoria, ����. b. La rapidez con la que se mueve para � = ��. c. ������� para � = ��. d. �������� y ��������� para � = ��. e. El radio de curvatura para � = ��.

a. La ecuación de la trayectoria se haya despejando ���� y sustituyendo esta expresión

en ����. Es decir:

����� = ����� = 2������ = −��� ⇒ ���� = �2 ⇒ ���� = �!����" = −# �2$� = − ���2√2

b. La rapidez de una partícula viene dada por el módulo de su velocidad, |'����|. Puesto

que

'���� = ��( = )�����)� = )�2��*�− ��+��)� = 4�*�− 3��+�./0 Por tanto, |'����| = 116�� + 9�6 ⇒ |'��10�| = 5./0

c. El vector aceleración es la derivada de la velocidad, es decir:

8���� = )'����)� = )������)�� = �4*�− 6�+�� .0� ⇒ 8��10� = �4*�− 6+�� .0�

d. La aceleración tangencial es la derivada respecto del tiempo del módulo de la aceleración, es decir:

|8�9���| = )|'����|)� = 16� + 18��√16�� + 9�6 = 16 + 18��

√16 + 9�� ./0� ⇒ 8�9�10� = 345 ./0�;��9 Por lo tanto, como

|8�|� = |8�9|� + <8�=><� ⇒ <8�=><� = |8�|� − |8�9|� ⇒ <8�=>�10�< = ?52 − 34�5� .0� ⇒

⇒ 8�=> = −125 ;��@.0� = −2,4./0�;��@

e. El radio de curvatura, para terminar, viene dado por:

<8�=>< = '�B ⇒ B = '�<8�=>< =12512 . = 10,4.

2. Un besugo se dispone a cruzar una corriente mari na que discurre con una velocidad de 2 m/s. Si es capaz de nadar con una ra pidez de 3 m/s, ¿con qué ángulo deberá nadar si quiere acabar justo enfrente de donde empezó?. Haz un dibujo.

Si '�D es la velocidad inicial que puede alcanzar del besugo, y '�= es la velocidad de la corriente, la suma de estos dos vectores dará la velocidad final que obtendrá dicho pez, cumpliéndose el esquema del dibujo. Por lo tanto,

sin H = |'�=||'�D| ⇒ H = arcsin #|'�=||'�D|$ == 41,8L El ángulo con que el besugo debe atravesar la corriente respecto a la vertical (en el dibujo) es de 41,8o.

3. La siguiente tabla muestra la posición de un cue rpo que se mueve con aceleración constante en función del tiempo. ���� M, M M, N �, M O, N P, M���� M, M M, N �, M �, N � A partir de ella deduce: a.a.a.a. ���� b.b.b.b. La velocidad media en el intervalo de tiempo consi derado.

c. La velocidad instantánea para � = ��. a. Como se mueve con aceleración constante la ecuación que rige su movimiento será:

� = �S + 'S� + 128�� De los valores iniciales, ��00� = 0. obtenemos que �S = 0. Además, si sustituimos en la ecuación precedente los valores que nos dan, obtenemos:

2. = 'S T 10 + 128 T 10�8. = 'S T 20 + 128 T 40�

⇒ 4 = 2'S + 8�U. V. �4 = 'S + 8�U. V. � ⇒ 'S = 08 = 4./0� Por lo tanto,

���� = 128�� = 2.0� ��

b. La velocidad media se calcula como 'W = Δ�Δ� ⇒ 'W = 8.20 = 4./0

c. La velocidad instantánea se halla a partir de la derivada temporal de ����, es decir: '��� = �(��� = 8� ⇒ '�10� = 4 .0� T 10 = 4./0

H '�D '�=

'� =+'� D

4. A la entrada del parque nacional de Pendjari, en Benín, hay un pozo que sirve para saciar la sed de los habitantes de la zona. Al dejar caer una piedra, el choque de ésta con el agua se escucha 1,8 s después de haberla soltado.

a. ¿Cuál es la profundidad del pozo?

b. Haz un dibujo explicativo del problema donde se muestren todos los datos relevantes.

Dato: Y�Z[\]Z = �OM�/�. La ecuación que rige el recorrido de la piedra viene dada por:

�> = �S + 'S>� + 12^���1� donde �S es la altura inicial de la piedra, que coincide con la profundidad del pozo; 'S> = 0 por tratarse de una caída libre; � el tiempo pasado desde que se suelta la piedra y ^ la aceleración de la gravedad, ^ = −9,8./0�.

Cuando la piedra choque contra el agua se dará que �>��� = 0, y, por tanto:

0 = �S + 12^���2� Por otro lado, para el sonido que sube a velocidad constante tenemos que: �_ = '_�`�3� donde '_ = '_L@abL = 340./0 y �′ el tiempo transcurrido desde que la piedra choca contra el agua. Cuando el sonido nos llegue, entonces �_ = �S = '_�`�4� El enunciado del problema nos dice que entre que baja la piedra y nos llega el sonido pasan 1,80, por lo tanto, tenemos nuestra tercera ecuación: � + �` = 1,80 ⇒ �` = 1,80 − ��5� Sustituyendo la ecuación (5) en (4) y ésta en (3), llegamos a: 12^�� + '_�1,80 − �� = 0 ⇒ 12^�� − '_� + 1,80 T '_ = 0 ⇒

⇒ −4,9 .0� �� − 340.0 � + 612.�6� Si resolvemos la ecuación de segundo grado, obtenemos:

� = 340./0 d 1340�.�/0� + 4 T 4,9 T 612.�/0�−9,8./0� ⇒ �e f 1,75560�� f −35,50

Sustituyendo 1,80 − �e en la ecuación (4) obtenemos que la profundidad del pozo es de �N, ��

¡ ij80!

� = �S

� = 0

'_ = l�m

�

�′ � + �` = 1,80

5. Viajando en un coche a NO, Mn�/o, bajo un aguacero y en ausencia de viento, Juan observa que las gotas de lluvia dejan una traz a en las ventanillas laterales que forma 60º con la vertical. ¿Cuál es la velocida d de caída de las gotas de agua? (1,25 p.). Haz un dibujo

En el esquema adjunto H = 60L.La velocidad observada es la suma de la velocidad de caída de la gota ('�p) y la velocidad de las gotas respecto del coche ('�=). Por lo tanto, tenemos que: tanH = '='p

Y 'p = '=tanH = 31,2r./s

Las gotas de lluvia caen con una velocidad de 31,2 km/h.

6. Un móvil empieza a desplazarse a 5 m del origen con una aceleración

���� = ��/�� − t� donde t = u�/��.

a. Halla la ecuación de la velocidad del móvil en f unción del tiempo. b. Halla la ecuación de su posición.

a. Lo que se nos pide es que integremos las ecuaciones de la velocidad. Como

estamos en una dimensión, tenemos que:

8��� = )'���)� ⇒ )'��� = 8���)� = v2 .0� − w�x)� Integrando a ambos lados, obtenemos:

y)'��� = yv2 .0� − w�x)� ⇒ '��� = 2 .0� � − w��2 + z

Como el móvil empieza a desplazarse en ese instante, tenemos que '�0� = 0 y, por lo tanto, z = 0. Es decir, la ecuación de la velocidad del móvil en función del tiempo es: '��� = 2./0� T � − 3./0� T ��

b. Para hallar la ecuación de la posición en función del tiempo, ����, tenemos que volver a integrar, puesto que '��� = �(��� debemos hacer

'��� = )����)� ⇒ )���� = '���)� = �2./0� T � − 3./0� T ���)� ⇒

⇒ y)���� = y�2./0� T � − 3./0� T ���)� ⇒ ���� = 1./0� T �� − 1./0� T �� + z′ Como en el instante inicial se encuentra a 5 m del origen, ��0� = 5. ⇒ z′ = 5. Es decir, la ecuación de la posición de la partícula en función del tiempo nos queda: ���� = 5. + 1./0� T �� − 1./0� T ��

7. Un estudiante de Física (suicida y algo idiota), decidido a comprobar por sí mismo las leyes de la gravedad, se arroja cronómetr o en mano desde un rascacielos de 300 m e inicia su caída libre. Cinco segundos más tarde, aparece en escena Superman ® y se lanza desde la azotea en busca del suicida. a) ¿Cuál es la velocidad inicial mínima del superh éroe para que pueda salvar al suicida? b) ¿Cuál ha de ser la altura del rascacielos para que ni Superman pueda salvarlo? NOTA: Superman está sujeto a la aceleración de la g ravedad; lo único que puede hacer es lanzarse con cierta velocidad inicial. El último instante que tiene para recoger en el aire al avezado estudiante de física es justo antes de cuando éste golpee el suelo. Las ecuaciones que gobernarán dicha caída son

�1�� = �S + 'S� + 12^�� Si igualamos a cero la ecuación (1), como la velocidad inicial del estudiante es 'S{ = 0, obtenemos:

�=| = ?−2�S ^}

Como Superman empieza a caer 5 segundos más tarde, el tiempo que tiene para salvarlo será �` = �=| − 50. Por lo tanto, necesitará una velocidad tal que le permita recorrer los 300 m de altura en ese tiempo. Igualando nuevamente la Ec. (1) a cero y despejando la velocidad inicial del superhombre, 'S~, obtenemos:

'S~ = − ��S� + 12^��=| − 50�� = −92,4./0 La altura mínima del edificio coincidirá con la altura que caerá el pobre (y estúpido) estudiante antes de que el superhombre le pueda coger. Es decir, utilizando la Ec. (1) tenemos que el espacio recorrido en 5 s es:

∆� = 12^�� = −122,5.

Por lo tanto, la altura del edificio a partir de la cual el superhombre pueda salvar al estudiante (aunque se tenga que mover a la velocidad de la luz para ello) es de 122,5.. (A la velocidad de la luz, “c”, el tiempo que tardaría Supermán en recorrer los 300. sería de una millonésima de segundo, 10-6 s).