50°70º+x

XR

S

Q

140°

2X

X + (X+70) + 50° = 180°

X = 30°

Por ángulo semi-inscrito PQS

Problema Nº 01

RESOLUCIÓN

P

xº702

x2º140PQSm

Reemplazando:

En el triángulo PQS:

Resolviendo la ecuación:

PSQ = xSe traza la cuerda SQ

2

mQRSPQSm

Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se trazan latangente PQ y la secante PRS, si el arco RS mide 140º y elángulo QPS mide 50º. Calcule la medida del ángulo PSQ.

20°

70°

X

X = 40°R

Q

En el triángulo rectángulo RHS

140° Es propiedad, que:

140° + X = 180°

Por ángulo inscrito

Problema Nº 02

RESOLUCIÓN

P

S

m S = 70º

Resolviendo:

PSQ = x

2

mQRº70 mQR = 140°

Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se trazan latangentes PQ y PR, luego en el mayor arco QR se ubica unpunto “S”, se traza RH perpendicular a la cuerda QS, simHRS=20º; calcule la mQPR.

x130°

A

C

B

DX = 40°

2

50 130X

50°

Problema Nº 03

RESOLUCIÓN

PResolviendo:

APD = xMedida del ángulo interior

Medida del ángulo exterior

902

mBC130mBC = 50°

Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se trazan lassecantes PBA y PCD tal que las cuerdas AC y BD seanperpendiculares entre sí; calcule la medida del ángulo APD, siel arco AD mide 130º.

Calcular la medida del ángulo “x”

Problema Nº 07

B

A

X P130º

Resolución

RESOLUCIÓN

B

A

X P130º C

Medida del ángulo inscrito:

En la circunferencia:

260º

Por la propiedad del ángulo exterior formado por dos tangentes:

X = 80º

2

mABº130 mAB = 260º

mACB = 100º

mACB + x = 100º

260º + mACB = 360º

Calcule el perímetro del triángulo ABC.

Problema Nº 08

2

5 5

A

B

C

Resolución

Teorema de Poncelet: a + b = 10 + 2(2)

Luego el perímetro: (2p) = a + b + 10 = 14 + 10

(2p) = 24

RESOLUCIÓN

2

5 5A

B

C

a b

a + b = 14 (1)

(2)

Reemplazando (1) en (2) (2p) = 14 + 10

X

PLANTEAMIENTO

Q

R

S

80º Pa

a

Problema Nº 09

Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se trazan la tangente PQ y la secante PRS de modo que los arcos SQ y SR sean congruentes. Si el arco QR mide 80º, calcular mQPR .

Resolución

2a + 80º = 360ºa = 140º

Medida del ángulo exterior:

Xa

80

2

140 80

2

º º ºX = 30º

En la circunferencia:

RESOLUCIÓN

X

Q

R

S

80º Pa

a

P

Q

R

S

2

3

PLANTEAMIENTO

Problema Nº 10En un cuadrilátero ABCD mQ = mS = 90º se traza ladiagonal PR. Los inradios de los triángulos PQR y PRS miden3cm y 2cm respectivamente. Si el perímetro del cuadriláteroPQRS es 22cm. Calcule la longitud de PR

Resolución

Teorema de Poncelet:

a b

cd

PQR a + b = PR+2(3) +

a +b + c + d = 2PR + 10

PR = 6cm

Dato:

a + b + c + d = 22cm

PSR c + d = PR+2(2)

22 = 2PR + 10

RESOLUCIÓN

P

Q

R

S

2

3