Matemticas para Ingenieros Rectas y Planos en el espacio (Calculo de Stewart sptima edicin )Matemticas para Ingenieros Rectas y Planos en el espacio (Calculo de Stewart sptima edicin )

Ejemplo 1 Cuando una recta pasa por dos puntos dados.Halle las ecuaciones paramtricas y las ecuaciones simtricas para la linea que pasa a

travs de los puntos P ( 2,4,-3) y Q (3,-1,1).

solucin: Hay que buscar el vector que pasa por estos puntos as:

PQ=32,14,1(3)=1,5,4

Recordando las ecuaciones paramtricas generales :

x= x0 + at ; y= y0 + bt ; Z= Z0 + ct

por lo tanto tenemos que PQ=1,5,4 = a ,b , c que son los nmeros direccionales,

y tomando como P0 al punto P ( 2,4,-3) = x0 , y0 , z0 , reemplazamos en las formulas

paramtricas y obtenemos

x= 2 + t ; y= 4 -5t ; Z= -3 + 4t

para hallar las ecuaciones simtricas usamos las frmulas

xx0a

=y y0b

=zz0c

y nos quedan x21

= y45

= z+34

por supuesto para el taller tenemos que los puntos a) y b) se realizan de esta forma ,

desarrollar el punto b) se deja como ejercicio el punto a)

Encuentre la ecuacin de la recta que cumplen las condiciones dadas:

b) Pasa por los puntos P( -5,6,6) y el punto Q ( 4, 7, -8)

solucin:

como esta en el ejemplo del comienzo tenemos

PQ=4(5) ,76,86 =9,1,14

por lo tanto tenemos que PQ=9,1,14 = a ,b , c que son los nmeros direccionales,

y tomando como P0 al punto P ( -5,6,6) = x0 , y0 , z0 , reemplazamos en las formulas

paramtricas y obtenemos

x= -5 + 9t ; y= 6 +t ; Z= 6 -14tSi nos piden hallar las ecuaciones simtricas usamos las frmulas

xx0a

=y y0b

=zz0c

y nos quedan x+59

= y61

= z614

Ejemplo 2 Cuando una recta pasa por un punto y es paralela a un vectorEjemplo 2

Encuentre una ecuacin vectorial y las ecuaciones paramtricas para la recta que pasa por

el punto (5,1,3) y es paralela al vector i + 4j -2k

Solucin La forma vectorial transformada en terna del vector es 1,4,2

la ecuacin que usamos aqu es la ecuacin vectorial paramtrica

r= r0 + tv, las negrillas nos dicen su naturaleza vectorial

de aqu simplemente identificamos, r0 = 5,1,3 = 5i +j +3k , y el vector V= i + 4j -2k, reemplazando en la ecuacin tenemos

r= (5i +j +3) + t( i + 4j -2k)o de otra forma : r= (5+t )i + (1+4t)j +(3-2t)k

reemplazamos en las formulas paramtricas y obtenemos

x= 5 + t ; y = 1 + 4t ; Z= 3 -2t

Con esta informacin se puede desarrollar los puntos c) y d) del Taller