1. Tarea 1

1. Sean ~A y ~B campos vectoriales. Qu signica la expresin ( ~A) ~B?, es decir, cuales son las componentescartesianas de esa expresin en trminos de las componentes de ~A y ~B?

Solucin:Sea ~A = (Ax, Ay, Az) y ~B = (Bx, By, Bz)

ahora hagamos el producto punto de ~A

~A = (Ax, Ay, Az) (

x,

y,

z

)= ~A = Ax

x+ Ay

y+ Az

z

~A es un operador que ahora aplicamos al vetor ~B

( ~A ) ~B =(Ax

x+ Ay

y+ Az

z

)(Bx, By, bz)

Desarrollando lo anterior:

(Ax

xBx + Ay

yBx + Az

zBx, Ax

xBy + Ay

yBy + Az

zBy, Ax

xBz + Ay

yBz + Az

zBz

)Podemos ver el resultado anterior como:

( ~A ) ~B =(Ai

xiB1, Ai

xiB2, Ai

xiB3

)2. Si ~A = (x2, 3xz2,2xz) y ~B = (xy, 2yz, 3xz), evale ( ~A ) ~B

Solucin:Utilizando el problema anterior obtenemos:

( ~A ) ~B = (x2y 6xz2, x3 + 6xz3, 6xyz2 6x2z)

3. El movimiento de un uido est dado por

x(t) = (21 + 22)

1/2 cos

[t

21 + 22

+ tan1(2/1)

](1.1)

y(t) = (21 + 22)

1/2 sin

[t

21 + 22

+ tan1(2/1)

](1.2)

A) Cul es la trayectoria del elemento de uido? Demuestre que ~x(t = 0) = (1,2).B) Calcule las componentes de la velocidad vi(j, t) y de la aceleracin ai(j, t).

C) Determine el campo de velocidad y de aceleracin ~v(~x, t) y ~a(~x, t).

1

Solucin A)(A) La trayectoria se obtiene en forma implicita elevando al cuadrado las expresiones (1.1) y (1.2) yluego sumndolas

x2 + y2 = 21 + 22 (1.3)

Dadas las condiciones iniciales de posicin, la partcula de uido segura trayectorias circulares con radio21 +

22 = R

2. Debemos mostrar ahora que ~x(t = 0) = (1,2). Para esto, dividimos las expresiones(1.2) entre (1.1) evaluadas al tiempo t = 0. Esto es

y(0)

x(0)= tan (tan1 (

21

)) =21

(1.4)

Re-escribimos (1.3), en dos formas, la primera es

x2(

1 +y2

x2

)= 21

(1 +

2221

)(1.5)

y la segunda como

y2(

1 +x2

y2

)= 22

(1 +

2122

)(1.6)

Si ahora usamos (1.4) que est evaluado al tiempo t = 0, en (1.5) se tendr que x2 = 21 y por tantox(0) = 1. Analogamente, si usamos (1.4) en (1.6) se llega a que y(0) = 2, es decir, las 's son enefecto, las condiciones iniciales, que es lo que se nos peda demostrar.

(B) Calculo de la componente x de la velocidad

vx(t) =

(x

t

)i

= R

sin

[t

R2+ tan1(2/1)

](1.7)

Calculo de la componente x de la velocidad

vy(t) =

(y

t

)i

=

Rcos

[t

R2+ tan1(2/1)

](1.8)

Calculo de la componente x de la aceleracin

ax(t) =

(vxt

)i

= 2

R3cos

[t

R2+ tan1(2/1)

](1.9)

Calculo de la componente y de la aceleracin

ay(t) =

(vyt

)i

= 2

R3sin

[t

R2+ tan1(2/1)

](1.10)

2

(C) La velocidad y aceleracin en coordenadas espaciales, es decir ~v(~x, t) y ~a(~x, t), se obtienen reem-

plazando las condiciones iniciales ~(~x, t) en ~v(~xi, t) y en ~a(~xi, t). En las expresiones de la velocidad (1.7)y (1.8) aparecen las funciones seno y coseno respectivamente, tal y como aparecen en (1.1) y (1.2), porsimplicidad usamos estas dos ultimas expresiones reescritas como

sin

[t

R2+ tan1(2/1)

]=y

R(1.11)

cos

[t

R2+ tan1(2/1)

]=x

R(1.12)

en las expresiones de la velocidad (1.7) y (1.8) lo cual conduce a

~v(~x) =

( yx2 + y2

,x

x2 + y2

)(1.13)

De un modo similar se obtiene la aceleracin

~a(~x) =

(

2x

(x2 + y2)2,

2y

(x2 + y2)2

)(1.14)

Pudo haberse usado la derivada material para obtener ai =DviDt

y se hubiera obtenido la misma acel-eracin (veriquen esta armacin).

4. La densidad de masa de un uido 2-dimensional estacionario est dada por = kxy, con k constantepositiva. Determine el campo de velocidad ~v(~x) para el cual el ujo es incompresible.Solucin:

Partimos de la ecuacin de continuidad

t+ (~v) =

t+ ~v + ~v = 0, (1.15)

es decir, DDt

= ~v. Por otra parte, por denicin de incompresibilidad, la derivada material (llamadatambin hidrodinmica) de la densidad debe anularse

D

Dt=

t+ (~v ) = 0. (1.16)

de modo que incompresibilidad es equivalente a ~v = 0. Como = (~x) es independiente del tiempo,entonces (1.16) se simplica

(~v ) == vx

x+ vy

y= vxky + vykx (1.17)

de donde

3

vy = x

yvx (1.18)

Como dijimos, (1.16) es equivalente a que la divergencia de la velocidad se anule, si usamos (1.18) en ~v = 0 se tendr

vxx

+

y

(yxvx

)=vxx yx

vxy vx

x= 0 (1.19)

de donde resulta una ecuacin diferencial parcial de primer orden en terminos de vx

vxx yx

vxy

=vxx

(1.20)

As que es menester resolver esta ecuacin para encontrar primero vx y despus, vy con ayuda de(1.18). Como es independiente del tiempo, la condicin de incompresibilidad sugiere que la velocidadno depender del tiempo explicitamente, asi que en particular vx = vx(x, y). Introduciendo un nuevoparmetro s y escribiendo vx en terminos de ese parmetro, en la forma vx(s) = vx(x(s), y(s)), laderivada dvx/ds es

dvxds

=vxx

dx

ds+vxy

dy

ds, (1.21)

que al comparar con (1.20) resulta en un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias

dx

ds= 1,

dy

ds= y

x,

dvxds

=vxx. (1.22)

Dividiendo la primera y tercera de estas ecuaciones, se llega a

dvxdx

=vxx

(1.23)

cuya solucin es vx = Cx con C constante de integracin. De (1.18) se encuentra vy = Cy. En resumen~v = C(x,y).

5. Verique que la derivada material cumple la regla de Leibniz y la regla de la cadena, esto es

a) DDt

(f g) = f DgDt

+ gDfDt

(regla de Leibniz).

b) DDt

(f g) = (f g)DgDt

(regla de la cadena).

donde f y g son funciones de ~x y de t.

Solucin a):Por denicin sabemos que

D

Dt=

(

t

)x

+ (v ) (1.24)

4

Usando 1.24 en la ecuacin a)

D

Dt(f g) =

((f g)t

)x

+ (v )(f g)

Trabajaremos del lado izquierdo de la ecuacin, en el primer trmino usamos regla de la cadena, mientras queen el segundo desarrollamos (~v ) y lo aplicamos a (f g)

= g

(f

t

)x

+ f

(g

t

)x

+

(vx

x(f g) + vy

y(f g) + vz

z(f g)

)nuevamente usamos regla de la cadena, est vez(

vx

x(f g) + vy

y(f g) + vz

z(f g)

)est experesin la podemos simplicar y as obtener:

= g

(f

t

)x

+ f

(g

t

)x

+

(vxif

xig + vxig

xif

)podemos notar que vxi

xi

= (~v ), ordenamos de la siguiente manera:

= g

(f

t

)x

+ f

(g

t

)x

+ f(v )g + g(v )f

reagrupemos trminos:

= g

[(f

t

)x

+ (v )f]

+ f

[(g

t

)x

+ (v )g]

nalmente usamos 1.24 y obtendremos

= gDf

Dt+ f

Dg

Dtcomo se quera demostrar.

Solucin b)Trabajaremos del lado derecho d ela igualdad de b) y nuevamente usamos 1.24, de est manera tendremos:

tf(g) +

(vx

x+ vy

y+ vz

z)

)f(g)

en el primer trmino usaremos la notacin de Leibinz y en el segundo solo desarrollaremos

g

t

f(g)

g+

(vxi

xi

)f(g)

ahora en desarrollamos vxixif(g) y usamos notacin de Leibinz

g

t

f(g)

g+ vx

g

x

f(g)

g+ vy

g

x

f(g)

g+ vz

g

x

f(g)

g

reagrupamos trminos

=f(g)

g

[(g

t

)x

+ vxi

xi

]= f (g)

Dg

Dt= (f g)Dg

Dt

Como se quera demostrar.

5

Tarea 1