“Año de la consolidación del Mar de Grau”

• INTEGRANTES:• Gálvez Arévalo, Esther• De la Cruz Carranza, Robert• Milla Sarango, Abraham• Olivares Gonzales, Zamir• Paz Olivo, Guianella• Rojo Ballena, Wendy• Ulloa Castillo, Anthony

• CURSO: ESTADÍSTICA APLICADA

• PROFESOR: CALDERON YARLEQUÉ,

ERNESTO

PROBLEMAS PROPUESTOS1° Determinar la probabilidad de que:a) A lo más uno prefiere ADATOS:

n: 6 p: 0.5 q: 0.5 x: P(x ≤ 1) RESOLUCIÓN: P (x ≤ 1) = p (x = 0) + p( x = 1)P = ( )(0.5) + ( ) (0.5) (0.5)P= 0.1094

60

61

6 1 5

b) Por lo menos 3 prefieren ADATOS:n: 6 p: 0.5 q: 0.5 X: P(x> 3)

RESOLUCIÓN:P(x ≥ 3) = p(x=3) + p(x=4) + p(x=5) + p(x=6)

P= ( )(0.5) (0.5) + ( )(0.5) (0.5) + ( )(0.5) (0.5) + ( )(0.5)

P= 0.6563

6 6 6 6 63

3 3

44 2

55

6

2° Cuando se prueban tarjetas de circuito empleadas en la manufactura de reproductores de discos compactos, a la larga el porcentaje de partes defectuosas es de 5%. Sea X: un número de tarjetas defectuosas en una muestra n = 25, entonces X → B(25, 0.05)

a) determine p(x ≤ 2)DATOS:n: 25 p: 0.05 q: 0.95 x: P( x≤ 2)

RESOLUCIÓN:P( x ≤ 2) = p(x = 0) + p (x = 1) + p (x = 2) P = ( )(0.05) (0.95) + ( )(0.05) (0.95) + ( )(0.05) (0.95)P = 0.8729

b) determine P (x ≥ 5)

DATOS:n: 25 p: 0.05 q: 0.95 x: P(x > 5) 

25 25 251

10

0 252

224 23

RESOLUCIÓN:

P( X ≥ 5) = 1 [ P (X = 4) + P (X =3) + P( X=2) + P (X= 1) + P( x =0 )

P= 1 – [ (25) (0.05) (0.95) + (25) (0.05) (0.95) + (25) (0.05) (0.95) +

(25) (0.05) (0.95) + ( 25 ) (0.95)

P = 0.0071649

4 3 2

1

21

24 25

0

4 3 2

1

c) Determinar P (1 ≤ x ≤ 4)

DATOS: n: 25 p: 0.05 q: 0.95 x: P(1 ≤ x ≤ 4)

RESOLUCIÓN: P(1 ≤ x ≤ 4) = [ P(x=1) + P( x= 2) + P(x= 3) + P(x =4)

P= (25) (0.05) (0.95) + (25) (0.05) (0.95) +(25) (0.05) (0.95) + (25) (0.05) (9.95)

P = 0.7154

1

12

23

34

424 23 22 21

d) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguna de las 25 tarjetas esté defectuosa¿

P( x= 0)

P= ( 25 )(0.95) → P = 0.2773

e) Calcule el valor esperado y la desviación estándar

µ = np σ = 25 x 0.05 σ = µ = 1.25 σ = 1.0897

3. Veinte por ciento de todos los teléfonos de cierto tipo se remiten para repararse cuando todavía esta vigente su garantía. De éstos, 60% puede ser reparado y el otro 40% debe sustituirse por aparatos nuevos. Si una compañía compra 10 de estos teléfonos, ¿cuál es la probabilidad de que exactamente se cambien 2 dentro del periodo de garantía?

n = 10p = 0,4q = 0,6x = 2 Aplicamos a la fórmula:

10 !2! (10−2 ) !

(0,4)2(0,6)8=0,1209

4. La producción de cuatro maquinas es recogida en cajas de 5 unidades. La experiencia permitió establecer la siguiente distribución de las cajas, según el numero de unidades defectuosas que contienen:

Nº de unidades defectuosas 0 1 2 3 4 5

Porcentaje de cajas 0,70 0,15 0,08 0,05 0,02 0,00

La inspección diaria consiste en examinar las 5 unidades de cada caja. Se acepta una caja cuando contiene de dos unidades defectuosas. En caso contrario se rechaza.

a) ¿Cuál es la probabilidad de rechazar una caja que no contenga unidades defectuosas?

n = 5p = 15% = 0,15q = 85% = 0,85Para a) x = 0

50 ! (5−0 )!

¿

a) ¿Cuál es la probabilidad de aceptar una caja que contenga unidades tres unidades defectuosas?

n = 5p = 85% = 0,85q = 15% = 0,15Para a) x = 3

53 ! (5−3 )!

¿

5. Una compañía telefónica emplea cinco operadoras que reciben solicitudes de información independientemente una de otra, cada una según un proceso de Poisson con tasa ƛ =2 por minuto.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que durante un período de un minuto la primera operadora no reciba solicitudes?

DATOS: ƛ=2/ minuto P(X)=ƛ˟ е ͪ⁻n=5 X!

P(X=1)= 2⁵(2.71828)¯² = 0.0361= 3.61% 5!

b) ¿Cuál es la probabilidad de que durante un período de un minuto exactamente cuatro de las cinco operadoras no reciban solicitudes?

P(X=4)= 2⁴(2.71828)¯² = 0.0902= 9.02% 4!

c) Escriba una expresión para la probabilidad de que durante un periodo de un minuto todas las operadoras reciban exactamente el mismo número de solicitudes.

P(X=5)= 2⁵(2.71828)¯² = 0.0361= 3.61% 5!

6)Un puesto de periódicos ha solicitado cinco ejemplares de cierta edición de una revista de fotografía , Sea X: numero de individuos que entran a comprar esta revista . Si X tiene una distribución de Poisson con parámetro λ = 4. ¿Cuál es el numero esperado de ejemplares que se venderán ?

Usamos una distribución de Poisson con parámetro λ = 4Un puesto de periódicos ha solicitado 5 ejemplares

P ( X < 5)

DATOS

7. Una universidad procesa 100 000 calificaciones en determinado semestre. En ocasiones anteriores se ha descubierto que 0.1% de todas las calificaciones estaban equivocadas. Suponer que una persona estudia cinco materias en esta universidad en un semestre. ¿Cuál es la probabilidad de que todas las calificaciones estén correctas?

np = (100 000/5)*0,001 = 20λ = 20x = 5 e = 2,71828P = ₍ₓ₎ =

8° en cada página de una enciclopedia caben 3000 letras. La editorial estima que se comete una errata en cada 5000 letras. Suponiendo que el número de erratas por página sigue aproximadamente una distribución de Poisson, se pide:

DATOS: Cada página = 3000 letrasErrores = cada 5000 letras

A) Calcular la probabilidad de que en una página haya exactamente dos erratas.

P( X = 1) = 3678. 80

UNA PÁGINA = 2 ERRATAS 5000 PÁGINAS = 2 ERRATAS EN CADA

UNO10000 = 1 ERRATA EN CADA UNA

B) SI SE VAN REVISANDO LAS PÁGINAS UNA A UNA, CALCULAR LA PROBABILIDADA DE QE LA PRIMERA ERRATA QUE SE ENCUENTRE APAREZCA EN LA QUINTA PÁGINA REVISADA

P( X = 5) = 1.7546 x

C) CALCULAR LA PROBABILIDAD DE QUE EN LAS CINCO PRIMERAS PÁGINAS HAYA AL MENOS DOS ERRATAS

P( X = 5) = 5.6149 x

9. Si X→ n(0.1); hallar:

a) P[Z ≤ 1,57] = 0,9418

b) P[Z ≥ 1,84] = 1 – P[Z ≤ 1,84] = 1 – 0,9671 = 0,0329

c) P[1,57 ≤ Z ≤ 1,84] = P[Z ≤ 1,84] - P[Z ≤ 1,57] = 0,9671 – 0,9418 = 0,0253

d) P[-1,84 ≤ Z ≤ 1,84] = P[Z ≤ 1,84] – (1 - P[Z ≤ 1,84]) = 0,9671 – (1 – 0,9671) = 0,9342

e) P[Z ≥ -2,08] = P[Z ≤ 2,08] = 0,9812

10. Si P[Z ≥ Ζ₀] = 0.50 ; hallar Ζ₀.

P[Z ≥ Ζ₀] = 0.50Aplicamos la propiedad:P (Z ≥ Ζ₀) → 1 – P(Z ≤ Ζ₀) = 0,50 1 - P(Z ≤ Ζ₀) = 0,50 P(Z ≤ Ζ₀) = 0,50 Por lo tanto: Ζ₀= 0,00

11° Si P[Z ≥Z○] =0.025. Hallar Z○

Resolución:

1- P (Z ≤ Z○) = 0.025P (Z ≤ Z○) = 1 – 0.025P (Z ≤ Z○) = 0.975

Buscamos Z○ = 1,96

12. ¿Entre que dos valores de Z (simétricos alrededor de la media) estará contenido el 68.26% de todos los valores posibles de Z?

1- 0.6826 = 0.3174 … (a este valor lo dividimos entre dos porque se distribuye en ambas colas)

0.3174/ 2 = 0.1587…(lo buscamos en la tabla)

VALORES DE “Z” PARA= 0.1587 (está entre)

Valor Z -1.00 0.15866Valor Z -0.99 0.16109

13) Si x X → n(100.100). Hallar

X n(100.100). u= 100 o= 100

a) P(X < 75 ) = ( < 75) ( z < ) =(z < -0.25) P(z < -0.25) = 1-P ( z < -0.25) 1 – 0.4013 = 0.5987

b) P(X < 70 ) = ( < 70) ( z < ) = (z < -0.30) P(z < -0.30) = 1-P ( z < -0.30) 1 – 0.3821 = 0.6179

c) P(75 < X < 85 ) =( < z < ) (-0.25 < z < -0.15) 0.5987 – 0.5596 = 0.0391

e) P( X < 110 o X > 110 ) =(z <) o ( z > ) (z < 0.10 ) o ( z > 0.10) 0.5398 o 1- 0.5398 0.5398 o 0.4602

d) P(X < 112) = ( > 112) ( z > ) (z > 0.12) P(z > 0.12) = 1-P ( z < -0.12) 1 – 0.5478 = 0.4522

G) Hallar los dos valores de X ( simétricos alrededor de la media de 80% de los valores )

𝑝 (𝑥>𝑥1 )=0 .10

1−𝑃 (𝑋<𝑋 1)

P= 0.90

F) El valor mínimo de X para el 10% de los valores

P( X < 80% o X > 80%) = (z < 0.80) o ( z > 0.80) 0.7881 o 1- 0.7881 0.5398 o 0.2119

14. Los gastos mensuales en alimentación para familias de cuatro miembros en una ciudad grande son en promedio de 420 dólares con una desviación estándar de 80 dólares. Suponga que los gastos mensuales por alimentación tiene distribución normal.

a) ¿Qué porcentaje de gastos es menor que 350 dólares?

Z =

0,18943 (100%) = 18,94 %

b) ¿Qué porcentaje de estos gastos está entre 250 y 350 dólares?

Z =

Z =

0,18943 – 0,01659 = 0,17284 (100%) = 17,28%

c) ¿Qué porcentaje de estos gastos está entre 250 y 450 dólares?

Z =

Z =

0,64803 – 0,01659 = 0,63144 (100%) = 63,14%d) ¿Qué porcentaje de estos gastos es menor 250 o mayor que 450 dólares?

Z =

Z =

e) ¿Cuál es el gasto mínimo del 10% de familias con mayores gastos?

P (Z ≥ Z )= 0,10 ₁Estandarizando obtenemos: P (Z ≥ Z ) = 0,10 ₁

Aplicamos la propiedad: P ( Z ≥ Z ) = (1 – P (Z < Z ) = 0,10 ₁ ₁1 - P (Z ≤ Z ) = 0,10 ₁P ( Z < Z ) = 0,90 ₁Z = 1.282 = 1,282 ₁Por lo tanto: = 522,56

Respuesta: El gasto mínimo del 10% de familias con mayores gastos es de 522,6

A) ENTRE 60 Y 70 Kg Z= x-u oP ( 60 < x < 70 )

P (60-65.3 < x < 70-65.8) 5.51 5.51

P (-0.9619 < x < 0.8529 )

P (z<0.85) - P(z<-0.96)

0.80234 – 0.16853 0.6338

Rpta. 380

B) MÁS DE 63.2 Kg Z= x-u oP ( x > 63.2 )

P ( z > 63.2-65.8 ) 5.51

P ( z > 0.3811 )

P = 1 – P (Z > 0.3811)P = 1 – 0.64803P =0.35197

Rpta. 3211

15° los pesos de 600 paquetes están normalmente distribuidos con medias 65.3 kg. Y deviación estándar 5.51 kg. Encuentre el número de paquetes que pesan:

16. Las calificaciones de una prueba final de Estadística tienen distribución normal con una media de 12. Si el 95,44% de los examinados obtuvo calificaciones entre 8 y 16.

a)Calcular la desviación estándar de la distribución.

µ = 12σ = ?

σ =

del 8 al 16σ =

σ = 2,58

b) Si la nota aprobatoria es 11, ¿qué porcentaje de alumnos aprobaron el curso?

x = 11

Z = Z =

Z = -0,39

Probabilidad: 0,3483 ( 100%) = 34,83%

Respuesta: Aprobaron el 34,83% de alumnos

17. El tiempo de acceso al disco duro en un cierto modelo de ordenadores se distribuye normalmente con media 15 milisegundos y una desviación estándar de 3 milisegundos.

a. ¿Qué porcentaje de ordenadores acceden al disco duro entre 10 y 20 milisegundos?

b. ¿Qué porcentaje de ordenadores acceden al disco duro en más de 20 milisegundos?

μ = 15 milisegundos σ = 3 milisegundos

Z =

Z =

0,95254 – 0,04746 = 0,90508 (100%) = 90,50%

c. ¿Cuál es el tiempo de acceso máximo del 10% de ordenadores con menor tiempo de acceso al disco duro?

Z =

P (Z ≤ Z )= 0,10 ₁Z = 4,00₁

Por lo tanto: =27

Respuesta: El tiempo de acceso máximo del 10% de ordenadores con menor tiempo de acceso al disco duro es de 27

18° Si T → t Hallar: Resolución:

a) P[T < -1.796] =1 - P (T<-1.796)1- 0.950.5

b) P[T > 1.363 ] =1 - P (t ≤ 1.363)1 - 0.900.10

c) P[T<3,497] =0,995

d) P[-2,718 ≤T≤ 2,718] =P( T ≤ 2.718) – ( 1 – P( T ≤ 2. 718))0.99 – ( 1 – 0.99)0.98

11

19. SI T → t . Hallar:

a) P(T≥-1.7089) =P(T≤1.7089)= 0.95

b) P(T≤2.485) = 0.99

c) P(T ≥3.450) =1- P(T≤ 3.450) = 1- 0.999 =0.001

d) P(T<-1.316) = 1- P(T≤1.316) = 1- 0.90 = 0.10

25

20) Si X → X . hallar a) P(X < 32.8) = 0.995 b) P( X > 25.0) = 1-P ( X < 25.0) 1 – 0.95 = 0.05 c) P ( 11.0 < X < 30.8) = ( 11.0 < X < 30 . 8 ) ( X < 11.0 ) –P ( X < 308) 0.25 - 0.99 = -074 d) P( X > 30.6)= 1 - P ( X < 30.6) 1 – 0.99 = 0.01

2

15

21. Si X→ X²₂₀. Hallar:

a) P[ 12.4 ≤ X ≤ 40.0] = P(X ≤ 40.0) - P(X ≤ 12.4) = 0.995 – 0.10 = 0.895b) P[X > 15.5] = 1 – P(X ≤ 15.5) = 1- 0.25 = 0.75

c) P[X < 9.59] = 0.025d) P[X ≥ 28.4] = 1 - P(X ≤ 28.4) = 1 - 0.90 = 0.10