ejercicios nivelacion matematicas up

8/18/2019 Ejercicios Nivelacion matematicas UP

1/5U P N i v e e

n M a t e

a t e

U P

N i v e a

t

Ejercicios de la semana 2

Nivelación en Matemáticas Lunes 28 de marzo de 2016

1. Determine por extensíon cada uno de los siguientes conjuntos:

A = {x ∈ R : − x ≤ x ≤ −x}, B = {x ∈ N : x2


2/5

U P N i v e

e n M a t e

U P

a t e

U P

N i v e a t

11. En la Universidad del Paćıfico, se requiere que todos los estudiantes de primer ciclo cursen Ma-temáticas I, Lenguaje I e Informatica I. Si se sabe que de 600 alumnos de primer ciclo: 400 cursanMatemáticas I, 300 Lengua je I y 250 Informatica I. También se sabe, que 90 cursan Matemáticas Iy Informatica I, 240 Lenguaje I y Matemáticas I y 50 Lenguaje I e Informatica I. ¿Cuántos cursanlas tres materias?

12. Un club deportivo tiene 48 jugadores de fútbol, 25 de básquet y 30 de tenis. Si el total de jugadoreses 68, y solo 6 de ellos figuran en los tres deportes. ¿Cuántos participan solo en un deporte y cuántosexactamente en dos?

13. En una encuesta realizada a 150 personas, sobre sus preferencias de tres productos A, B y C, seobtuvieron los siguientes resultados: 82 personas consumen el producto A, 54 el producto B, 50consumen únicamente el producto A, 30 sólo el producto B, el número de personas que consumensólo B y C es la mitad del número de personas que consumen sólo A y C, el número de personas queconsumen sólo A y B es el tripe del número de las que consumen los tres productos y hay tantaspersonas que no consumen los productos mencionados como las que consumen sólo C. Determineel número de personas que consumen sólo dos de los productos y el nÃomero de personas que no

consumen ninguno de los tres productos.

14. En una encuesta realizada a los estudiantes de la Universidad del Paćıfico sobre sus deportes pre-feridos, se obtuvo la información siguiente:

69 prefieren fútbol.

46 prefieren tenis.

33 prefieren karate.

18 prefieren fútbol y karate.

9 prefieren tenis y fútbol.

12 prefieren tenis y karate.

3 prefieren los tres deportes.

19 no les gusta esos tres deportes.

Considerando la base anterior, responda a cada una de las preguntas siguientes

a ) ¿Cuántos estudiantes fueron encuestados?

b) ¿Cuántos estudiantes prefieren unicamente karate?

c ) ¿Cuántos estudiantes prefieren tenis y karate pero no fútbol?

d ) ¿Cuántos estudiantes prefieren exactamente uno de los tres deportes?

15. Calcule 3 × 32 × 33 × · · · × 315

940 .

16. Dé un ejemplo de números a, b ∈ N distintos tales que ab = ba.

17. Calcule el valor de n en la siguiente igualdad

83n+1

×43n−2

162n+1 = 4096 × 16.18. Sean a, b ∈ R cumpliendo que (0.1)a(0.2)b = 20.250.3, calcule el valor de ab.19. Sean x, y ∈ R tales que x + y + 2 = 3 − xy. Determine el valor de

4x+1y+1

4y+1x+1

1(3−xy)(x−y)

.

20. Reduzca la expresión 3 √

12 +√

48 − √ 754

√ 25 + √ 45 − 4

√ 400− 1

2

4

.

2

aplicando formula Sn


3/5U P N i v e e

n M a t e U

P

a t e

U P N

i v e e n M

a t e U

P

a t e U P

N i v e

e n M a t e

U P

a t e

U P

N i v e a t

21. Sean a, b ∈ R+ tales que a =

3√

5a y b =

5√

3b. Calcule el valor de ab.

22. Justifique por qué son falsas las siguientes proposiciones:

a ) ∀a ∈ R, [√

a2 = a].

b)−273−1 + 3(−2)0−20+20 = 1.

23. Determine el valor de k = 40 × 2x−3 + 3 × 2x+1 + 12 × 2x−2

22 × 2x−1 − 2x+2 .

24. Determine el valor de x si se cumple: 9−8−9−x−1

= 1

3.

25. Calcule el valor de

x

2 − 1

2

, si x = 1 y (x veces

x × x × x × · · · × x)(

xx veces xx + xx + · · · + xx)

(xx)240

×x24

×x(−2)4

×x−24

= 1.

26. Sea x ∈ R tal que 22x = 5 × 2x, calcule el valor de 210x

222x+1 .

27. Si x > 0 y x√ x = 4, determine el valor de x

√ x√ x+1

.

28. Determine el valor de x que satisface la siguiente igualdad1

2

−4−

1

9

−2−1x−7= 1692x+4.

29. Si a − b = 31 y b > 0, calcule el valor de x, si además:961x = [a2(31 + b)]3

−1 − 4

(a − 31)3b

30. Si bx−y = a, con b = 0, calcule el valor de:

S =

3a−1b2x + ab2y

bx+y

31. Sea n ∈N

− {1}. Determine el valor de J =n

52n × 2n+1 + 50n5n

×23

−5n+1

5−1 × (5−1)n ×

n×(n+1) 5n2−1.32. Sea x un número natural y

J =

x√

x × x2 × x3 × · · · × xx2

xx + xx + xx + · · · + xx x sumandos

.

Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

a ) Si x = 1 entonces J = 1.b) Si x = 1 entonces J = x.c ) Si x = 1 entonces J = xx+1.

3


4/5U P N i v e e

n M a t e U

P

a t e

U P N

i v e e n M

a t e U

P

a t e U P

N i v e

e n M a t e

U P

a t e

U P

N i v e a t


a ) ∀x ∈ R, [ x0 = 1 ].b) ∀n ∈ Z, [ 0n = 0 ].

34. Si a,b, c son números naturales. Determine el valor de

a+b+c

135a+b.147b+c.175c+a

32a+3b.5c+2a.7b+2c

35. Calcule [(−8)−3−1 + (−16)−2−2 ]23 + log8 (

log4 (

log2 (16) ) )

36. Determine el valor de 3x+2 + 3x+3

3x + 3x+1

37. Sea x un número natural, simplifique

x+3 4x.16 328.2x

38. Reduzca log

75

16

+ log

81

25

+ log

32

243

.

39. Si 2logx(2) + 4 logx(4) = 5, calcule √

x.

40. Si a = log(3) y b = log(2). Determine el valor de log30(16) en función de a y b.

41. Determine los valores reales de x que satisfacen:

ln(x) =

3

8 ln √ 2 + 1

8 ln 2 − 1

4 ln 4

√ 2 + 1

8 ln 8 − 1

4 ln 2

42. Calcule el valor de

J = 1

log8(15) + 1 +

1

log3(40) + 1 +

1

log5(24) + 1

43. Determine todos los valores de x que satisfacen ex+1 = 3√

e.

44. Determine todos los valores de x que satisfacen 3x+3 = 21−2x.

45. Determine todos los valores de x que satisfacen log(16) − 2log(x) = ln(e1+(25)0).46. Justifique por qué son falsas las siguientes proposiciones:

a ) ∀x ∈ R, [ log3(x2) = 2 log3(x) ].b) ∀b ∈ R+ [ logb(b) = 1 ].c ) ∀x ∈ R+, [ log2(x) = log(x2) ].

47. Sean M , N ∈ R+, x, y ∈ R y b ∈ R+ − {1}. Demuestre que

logb

M x

N y

= x logb(M ) − y logb(N ).

48. Sea x ∈ R− {1/3}. Reduzca la expresión:B = log2(3x) · log5 8 · log7 9 · log3 2 · log3x 7 · log2 5.

4


5/5U PN i v e e

n M a t e U

P

a t e

U P N

i v e e n M

a t e U

P

a t e U P

N i v e

e n M a t e

U P

a t e

U P

N i v e a t

49. Sea a ∈ R+ − {1}. Si x = 2log3(a) calcule el valor de

3loga(x) + 7xloga(3).

50. Sean a, b ∈ R+ − {1}. Pruebe que b1+logb(a)

1+loga(b) = a.

51. Dados a, b, c ∈ R+ − {1}. Pruebe que alogc(b) = blogc(a).52. Determine el valor de x que satisface la siguiente igualdad

log4(log2 x) + log2(log4 x) = 2

53. Sean x > 0 e y > 0; si log4 y = 2 y log4

x2y3

16

= 3, calcule el valor de x.

54. Sea a, b ∈ R+ − {1}, determine el valor de:

E = 1

1 + loga(e) + logb(e) +

1

1 + ln(a) + logb(a) +

1

1 + ln(b) + loga(b)


a ) ∀x, y ∈ R+, [ log(x + y) = log(x) + log(y) ].b) ∀x, y ∈ R+, [ log(xy) = log(x)log(y) ].

56. Sean x > 0, y > 0, b > 0 y b = 1. Demuestre que logx(y) = logb(y)logb(x)

57. Sean A, B ∈ R+. Si log( log(A)√ B) + log( log(B)√ A) = 2. Calcule log2(A)−log2(B)log2(A)log2(B)

58. Si x, y son números enteros positivos tal que xayb = 2a y xbya = 2b . Calcule xxy

59. Si a3−x.b5x = ax+5.b3x. Calcule x loga (ab )

60. Sean a, b, c las longitudes de los lados de un triángulo. Determine el valor de verdad de la siguienteproposición:Si c > b, c−b = 1 y logc+b (a) + logc−b (a) = 2 logc+b (a)logc−b (a) entonces el triángulo es rectángu-lo.

61. Sean a, b ∈ R− {1} y loga(x)logb(x)loga(x) + logb(x)

= logab(a + b). Determine x en términos de a y b.

62. Si 5x+y = 12 y 5x−y = 3. Calcule log3(2) en términos de x y y .

63. Si log8 [ 2 + log

2[ log

4 (x

−4)

− 3

2 ] ] = 0. Calcule (x2)log20 (x−15)

64. Si ln(28) = a, ln(21) = b y ln(25) = c. Determine ln(27) en términos de a, b y c.

65. Sean a, b ∈ R− {1}. Determine el valor de loga [ (logab (a))(logab (b))(loga (b) + logb (a) + 2) ]

5

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