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UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS

FACULTAD DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA Y ELECTRICA

PROCESAMIENTO DIGITAL

3ER TRABAJO – 2015 – II

1. La convolución tiene varias propiedades:

Conmutativa: 1 2 2 1* *x n x n x n x n

Asociativa: 1 2 3 1 2 3* * * *x n x n x n x n x n x n

Distributiva: 1 2 3 1 2 1 3* * *x n x n x n x n x n x n x n

Identidad: *x n n k x n k

Utilizando las siguientes tres secuencias, verificar cada una de las propiedades arriba mencionadas.

1 2 6x n n u n u n

2 0.1 9x n sen n u n u n

3 1.2 3 5n

x n u n u n

2. 9. De acuerdo al diagrama de bloques mostrada en la Fig. y considerando que interconexión de los bloque de

sistemas discretos lineales e invariantes en el tiempo.

(a) Determinar la respuesta impulsional h[n] en función de h1[n], h2[n], h3[n] y h4[n].

(b) Calcular h[n] cuando:

h1[n] = {1/2, 1/4, 1/2}

h2[n] = h3[n] = (n+1)u[n]

h4[n] = δ[n-2]

(c) Hallar la respuesta impulsional del sistema discreto calculado en (b), si:

x[n] = u[n+5] – u[n - 10]

h4[n]

h2[n] h3[n]

h1[n]

x[n]

y[n]

2

3. Considerando el sistema descrito por la ecuación de diferencias:

1

1 2 6 7 1 5 2 , 2 1 02

y n y n y n x n x n x n y y

(a) Determinar la respuesta impulsional del sistema.

(b) Calcular la respuesta al escalón unitario de este sistema discreto.

(c) Hallar la respuesta del sistema discreto para x[n] = cos(π/5n){u[n] - u[n-10]}

4. Para el sistema SDLIT propuesto, descrito por la ecuación de diferencias:

1 1

1 2 2 1 3 , 1 2 04 2

y n y n y n x n x n x n y y

(a) Determine la estabilidad del sistema.

(b) Determine y grafique la respuesta impulsional del sistema para 0 ≤ n ≤ 10. Determine la estabilidad

del sistema a partir de esta respuesta impulsional.

5. Para el sistema SDLIT propuesto, descrito por la ecuación de diferencias:

y[n] = 4/5 y[n-1] + x[n]

Analice y demuestre si dicho sistema discreto es lineal, invariante en el tiempo y estable, para las siguientes

condiciones iniciales:

(a) y[-1]=0 (b) y[-1] = 1

6. Considere al sistema discreto lineal e invariante en el tiempo mostrado como causal caracterizado por la

siguiente ecuación diferencia. Determine y grafique la respuesta impulsional h[n].

y[n] = -x[n] + x[n - 1] + x[n - 2] + x[n - 3]

Luego, calcule la convolución y[n] = x[n] * h[n] para la secuencia de x[n] mostrada a continuación, graficando

seguidamente y[n].

x[n] = δ[n] + δ[n - 1] + δ[n - 2] - δ[n - 3]

7. La siguiente ecuación en diferencia define a un “derivador digital”:

0.5 1y n x n x n

El cual calcula la diferencia de primer orden hacia atrás de la secuencia de entrada x[n]. Hallar y[n] para cada

uno de las secuencias siguientes y luego comentar sobre la conveniencia de utilizar este derivador.

(a) 5 10x n u n u n : pulso rectangular muestreado.

(b) 5 10 10x n n u n u n n u n u n : pulso triangular muestreado

(b) cos 248

x n n u n u n

: sinusoide muestreada truncada.

8. Considere el filtro digital expresado por la siguiente secuencia: 0

12

2

k

k

y n x n k

3

(a) Grafique las primeras ocho muestras de la respuesta impulsional de este filtro.

(b) Hallar la ecuación en diferencia de un filtro recursivo equivalente tal que pueda ser implementado con

no más de dos elementos de retardo.

(c) Ahora, operando este filtro digital con una frecuencia de muestreo fm= 1 MHz y alimentado con una

secuencia de entrada cos 2m

fx n n

f

. Para que valores de f (0 ≤ f ≤ fm/2) la amplitud pico de

la secuencia de salida y[n] será el más alto, y para que rango de frecuencias tendrá este valor

alto?

9. A partir del diagrama de bloques mostrado en la figura, para a = ½, b = 0.2 y c = 0.4

(a) Determine la ecuación en diferencia que describa al modelo.

(b) Hallar la respuesta impulsional de dicho sistema.

(c) Calcular la secuencia de salida y[n] cuando x[n]=cos(Ωon). Luego con el resultado obtenido evalúe y[n]

para Ωo = π/8, π/4, π/3, π/2.

10. Hallar la correlación rxy[k], y la autocorrelación rxx[k] y ryy[k] para las siguientes secuencias:

0.9 , 0 20n

x n n 0.8 , -20 0n

y n n

¿Qué observaciones puede usted comentar acerca del proceso de cálculo realizado?

11.En un cierto ambiente de un concierto, los ecos de la señal de audio original x[n] se han generado debido a las

reflexiones de la señal en las paredes y techo de dicho ambiente. La señal de audio experimentada por los

usuarios y[n] es una combinación de x[n] y sus ecos. Sea:

y n x n x n

Donde τ es el tiempo de retardo de las muestras y α es la atenuación relativa de la muestra retardada.

Queremos determinar el retardo utilizando correlación.

(a) Determinar analíticamente la autocorrelación ryy[k] en términos de la autocorrelación rxx[k].

(b) Sea x[n]=cos(0.2πn)+ 0.5cos(0.6πn), α = 0.1, y τ = 40. Genere 60 muestras de y[n] y determine su

autocorrelación. ¿Se puede obtener α y τ por medio de la observación de ryy[k]?

+ +

b

c

+ a

Z-1

x[n] y[n]

Z-1

+ +

+

c

b a

Z-1