UNIVERSIDAD DE CUENCA

FACULTAD

CIENCIAS QUMICAS

ESCUELA

INGENIERA AMBIENTAL

CICLO

CUARTO (TERCER NIVEL)

MATERIA

ECUACIONES DIFERENCIALESPROFESOR

ING. LILIAN SARANGOESTUDIANTESDANIELA PINOS

JENSY ORDOEZ

IVN VIDAL

GNESIS VELECELA

FRANK VEGA

TRABAJO FINAL

SEPTIEMBRE 2014 ENERO2015

OBJETIVO GENERAL Aplicar conocimientos de estudio en base a los temas que se nos ha impartido en clase.OBJETIVOS ESPECFICOS

Profundizar en la materia, tanto terica como la prctica. Reforzar nuestros conocimientos. Poner en prctica nuestro aprendizaje.MARCO TERICO

Transformada de Laplace

Es una ecuacin en derivadas parciales de segundo orden de tipo elptico la transformada de Laplace recibe su nombre en honor del matemtico francs Pierre-Simn Laplace, que la present dentro de su teora de la probabilidadLa transformada de Laplace de una funcin f(t) definida (en ecuaciones diferenciales, en anlisis matemtico o en anlisis funcional) para todos los nmeros positivos t 0, es la funcin F(s), definida por:

siempre y cuando la integral est definida. Cuando f(t) no es una funcin, sino una distribucin con una singularidad en 0, la definicin es

Cuando se habla de la transformada de Laplace, generalmente se refiere a la versin unilateral. Tambin existe la transformada de Laplace bilateral, que se define como sigue:

La transformada de Laplace F(s) tpicamente existe para todos los nmeros reales s > a, donde a es una constante que depende del comportamiento de crecimiento de f(t).es llamado el operador de la transformada de Laplace.

La transformada inversa de Laplace Al aplicar la transformada de Laplace a una ecuacin diferencial la convertimos en una ecuacin algebraica, la cual podemos resolver para, es decir,. Ahora, como si pudiramos devolvernos obtendramos la solucin que buscamos. Es decir, necesitamos de la transformada inversa, para hallar la funcin

Entonces definamos la transformada inversa.

Si es la transformada de Laplace de una funcin continua , es decir, , entonces la transformada inversa de Laplace de , escrita es , es decir,

Sistemas de ecuaciones utilizando Laplace El siguiente ejemplo muestra el uso de la transformada de Laplace en la solucin de sistemas de ecuaciones diferenciales.

Ejemplo Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales

Con las condiciones, .

Solucin Si y, entonces

Ahora usemos la regla de Cramer para resolver el sistema anterior

De donde obtenemos que

Valores PropiosEl valor propio de un vector propio es el factor de escala por el que ha sido multiplicado.

Clculo de los valores propios

Una herramienta importante para encontrar valores propios de matrices cuadradas es el polinomio caracterstico: decir que es un valor propio de A es equivalente a decir que el sistema de ecuaciones lineales A v = v A v - v = 0 (factor izando por v queda) (A - I) v = 0 (donde I es la matriz identidad) tiene una solucin no nula v (un vector propio), y de esta forma es equivalente al determinante:

La funcin p() = det(A - I) es un polinomio de pues los determinantes se definen como sumas de productos. ste es el polinomio caracterstico de A: los valores propios de una matriz son los ceros de su polinomio caracterstico.

Todos los valores propios de una matriz A pueden calcularse resolviendo la ecuacin.

Si A es una matriz nn, entonces tiene grado n y A tiene como mximo n valores propios.

Ecuaciones Diferenciales ParcialesSon ecuaciones donde las funciones y sus derivadas dependen de ms de una variable independiente, es decir: z = f(x,y)

Ecuaciones diferenciales parciales:

Estas ecuaciones tienen ms de una variable independiente.

Dada la ecuacin diferencial, verificar que es solucin

En este caso se toma la otra variable como una constante y solamente se deriva.

Siendo

Entonces:

es una identidad; por lo tanto, es solucin.

EJERCICIOS RESUELTOS

CONCLUSIONES

Los conocimientos obtenidos durante las clases han sido reforzados y retroalimentados con este trabajo. Las transformadas de Laplace son de una importantsima utilidad y una gran aplicacin en la resolucin de ecuaciones diferenciales.RECOMENDACIONES

Analice bien cada ejercicio, para posteriormente darle solucin de la manera ms ptima, y de esta manera llegar a la respuesta precisa. Practique con calma cada uno de los procedimientos (no debe saltarse ningn paso), para que de esta manera le resulte ms entendible lo que ha realizado.