EJERCICIOS

PRUEBA DE HIPOTESIS PARA UNA MEDIA

1.- Un Ingeniero en alimentos que trabaja en el departamento de control de calidad de una empresa productora de jugos de fruta, tomo una muestra de 15 envases y determino por una prueba de laboratorio que el producto contena 29 UI de vitamina C en promedio, con una desviacin estndar de 3.98 UI. El Ingeniero en alimentos desea saber con una confiabilidad del 95% si es diferente la media que encontr al valor de 18.5 UI de vitamina C que indica el producto en su etiqueta.

2.- Un mdico encontr en los anlisis bioqumicos de sangre de sus 20 pacientes que tenan en promedio 117mg/dl de glucosa en sangre con una desviacin estndar de 4.4 mg/dl. El mdico desea saber con una confiabilidad del 95% si el promedio que encontr en sus pacientes es menor que el promedio normal de 120 mg/dl.

3.- Un nutrilogo evala el promedio de caloras de una muestra de 10 pizzas, y encuentra que en promedio tienen 2500 caloras con una desviacin de 100 caloras. Desea saber con una confiabilidad del 95 % si es mayor la media que encontr a la que seala el producto en su publicidad y que es de 1000 caloras.

4.- Una enfermera toma una muestra de 25 nios y determina que en promedio miden 120 cm. con una desviacin estndar de 15 cm. Desea saber con una confiabilidad del 95% si esta estatura es mayor al indicador nacional que seala que es de 115 cm.

5.- Un administrador de un hospital hizo un estudio de 25 pacientes enfermos crnicos atendidos como pacientes externos. El nmero promedio de consultas por pacientes fue de 5 con una desviacin estndar de 2. El administrador desea saber si el promedio de consultas que encontr es mayor a 4 visitas por paciente como indica la unidad de atencin mdica con un nivel de confianza del 95 %.

6.- Un nutrilogo obtiene la ingesta promedio de calcio de sus 18 pacientes, que es de 850 microgramos con una desviacin estndar de 57. El desea saber con una confiabilidad del 95 % si la ingesta promedio de sus pacientes es menor a la reportada en un estudio nacional que asciende a una ingesta promedio de 1150 microgramos.

7.- Un mdico pediatra determina en sus 21 pacientes que atiende de obesidad infantil que el promedio de edad es de 10 aos con una desviacin estndar de 2.5 aos. El desea saber con una confiabilidad del 95 % si la edad promedio de sus pacientes con obesidad infantil es diferente a otro estudio similar en que la edad promedio fue de 12 aos.

8.- Un bilogo toma el tiempo de crecimiento de una cepa de hongos imperfectos sobre la superficie de 23 alimentos en una prueba de control de calidad, y encuentra que el tiempo promedio de crecimiento es de 37 horas con una desviacin estndar de 5 horas. El desea saber con una confiabilidad del 95 % si el tiempo que encontr es menor al indicado por el manual de calidad que refiere que debe ser de 35 horas.

EJERCICIOS

PRUEBA DE HIPOTESIS PARA DOS MEDIAS

1. Las calificaciones finales de estadstica de 80 estudiantes figuran en la tabla adjunta

TURNO MATUTINO TURNO VESPERTINO

68 84 75 82 68 90 62

73 79 88 73 63 93 71

61 88 73 60 60 71 59

66 78 87 75 94 77 69

96 78 89 61 75 95 60

79 62 67 97 78 85 76

65 80 73 57 88 79 62

86 67 73 81 72 63 76

a) Determine si existe mayor rendimiento acadmico en el turno matutino con respecto al vespertino con un nivel de confianza del 95 %.

2. Se tomaron dos muestras de poblaciones de una Ciudad para determinar el nivel de plomo en sangre (mg/dl).

Poblacin que vive lejos de la Zona Industrial

6.3 8.8 9.2 7.5 4.0 7.5 7.6 6.6 6.5 5.6 8.0 8.5 7.2 7.7 7.5 9.4 6.3 8.0 8.1 8.8

Poblacin que vive cercan de la Zona Industrial

27.4 45.7 24.7 24.7 27.2 23.0 11.8 34.3 40.1 16.4 20.0 16.9 44.0 13.5 35.0 19.1 33.5 48.8 31.0 19.2

a) Determine si existe diferencia entre los valores medios de plomo en sangre de la poblacin que vive cerca y que vive lejos. Trabaje con un 95 % de confiabilidad

3. El fabricante de una llanta especial para camiones(X-15) afirma que la duracin media de la parte rodante de agarre es de 60 000 mi. La desviacin estndar de los millajes es de 5 000 mi. Una empresa de transportes compro 48 llantas y hallo que la duracin media para sus vehculos fue de 59 500 mi. Es la experiencia distinta de la expresada por el fabricante en al nivel de significacin de 0.05?

a) Enuncie la hiptesis nula y alternativa. b) Explique la regla de decisin. c) Determine el valor estadstico de prueba. d) Cul es su decisin acerca de H0? Interprete el resultado. Cunto vale el valor P?

4. La gerencia de White Industries est considerando un nuevo mtodo de armado o ensamblaje de su carro de golf de res ruedas. El mtodo actual requiere 42.3 min. En promedio para armar un carro. Se incorpor el nuevo mtodo y se realiz un estudio de tiempos y movimientos con una muestra aleatoria de 24 vehculos. Se calcul que el tiempo medio de armado es de 40.6 min. La desviacin estndar de la muestra es 2.7 min. Si se utiliza un nivel de 0.10, puede decirse que el tiempo de armado con el nuevo mtodo es significativamente menor que antes?

5. El Kentucky Highway Department est considerando construir una nueva autopista de cuatro carriles. Han surgido varias preguntas. Una de ellas se refiere a la velocidad de los camiones en una autopista de cuatro carriles con un carril central de ms de 50 pies, en comparacin con una autopista con un carril central de menos de 50 pies. Para investigar con ms detalle este aspecto, se midi la velocidad de los camiones que circulan en dos tipos de autopistas (las velocidades se dan en millas por hora)

Menos de 50 pie55 64 6570 68 7568 70 6367 70 6670 65 49

Mas de 50 pie

Con base a esta informacin muestral preliminar y utilizando el nivel 0.01 Es posible decir que hay una diferencia significativa en las velocidades de los camiones en las dos autopistas? Qu accin, si existe alguna, sugerira que adoptara ese departamento de vialidad?

6. Se realiza un estudio en una universidad para medir el efecto del cambio ambiental en los estudiantes extranjeros. Uno de los temas de este estudio es una comparacin del peso de los alumnos al llegar a la universidad, con su peso un ao ms tarde. Se plantea la hiptesis de que los alimentos, mas nutritivos que se ingieren en Estados Unidos, provocan incremento de peso. La hiptesis alternativa es que hay un aumento de peso. Se utiliza un nivel del 0.01, y se selecciona una muestra aleatoria de 11 estudiantes extranjeros para el estudio. Cul es la conclusin?

Apellido Peso al llegar Peso 1 ao despuesNassar 124 142O'Toole 157 157Obie 98 96Siolverman 190 212Kim 103 116Gross 135 134Farouk 149 150Tharcher 176 184Sambul 200 209Onassis 180 180Pierre 256 269

EJERCICIOS

ANALISIS DE VARIANZA

1.El porcentaje de la concentracin de madera dura en la pulpa bruta, la presin de la cuba y el tiempo de coccin de la pulpa se investigan en cuanto a sus efectos sobre la resistencia del papel. Se seleccionan tres niveles de la concentracin de madera dura, tres niveles de la presin y dos tiempos de coccin. Se lleva a cabo un experimento factorial con dos rplicas, obtenindose los siguientes datos:

Porcentaje de la Tiempo de coccin 3.0 horas Tiempo de coccin 4.0 horas Concentracin de Presin Presin Madera dura 400 500 600 400 500 650

2 196.6 197.7 199.8 198.4 199.6 200.6 196.0 196.0 199.4 198.6 200.4 200.9

4 198.5 196.0 198.4 197.5 198.7 199.6 197.2 196.9 197.6 198.1 198.0 199.0

8 197.5 195.6 197.4 197.6 197.0 198.5 196.6 196.2 198.1 198.4 197.8 199.8

Analizar los datos y sacar conclusiones. Utilizar = 0.05. Construir las grficas de los residuales apropiadas y comentar la adecuacin del modelo. Bajo qu conjunto de condiciones debera operarse este proceso? Por qu?

2. El departamento de control de calidad de una planta de acabados textiles estudia el efecto de varios factores sobre el teido de una tela de algodn y fibras sintticas utilizadas para fabricar camisas para caballero. Se seleccionaron tres operadores, tres duraciones del ciclo y dos temperaturas, y se tieron tres ejemplares pequeos de la tela bajo cada conjunto de condiciones. La tela terminada se compar con un patrn, y se le asign una evaluacin numrica. Los datos se presentan enseguida. Analizar los datos y sacar conclusiones. Comentar la adecuacin del modelo.

Temperatura 300 350 Operador Operador Duracin del ciclo 1 2 3 1 2 3 23 27 31 24 38 34 40 24 28 32 23 36 36 25 26 29 28 35 39

36 34 33 37 34 34 50 35 38 34 39 38 36 36 39 35 35 36 31

28 35 26 26 36 28 60 24 35 27 29 37 26 27 34 25 25 34 24

3. Suponga que en problema 1 de los ejercicios de Diseo Factorial quiere rechazarse la hiptesis nula con una alta probabilidad si la diferencia entre el verdadero rendimiento promedio con dos presiones cualesquiera es mayor que 0.5. Si una estimacin previa razonable de la desviacin estndar del rendimiento es 0.1, Cuntas rplicas debern correrse?

EJERCICIOS

DISEO FACTORIAL 2K

1.-Un ingeniero est interesado en los efectos de la velocidad de corte (A), la geometra de la herramienta (B) y el ngulo de corte (C) sobre la vida (en horas) de una mquina herramienta. Se eligen dos niveles de cada factor y se corren tres rplicas de un diseo factorial 2 a la 3. Los resultados fueron los siguientes:

Rplica

A B C Combinaciones de tratamientos

I II III

- - - (1) 22 31 25 + - - a 32 43 29 - + - b 35 34 50 + + - ab 55 47 46 - - + c 44 45 38 + - + ac 40 37 36 - + + bc 60 50 54 + + + abc 39 41 47

a) Estimar los efectos de los factores. Qu efectos parecen ser grandes? b) Usar el anlisis de varianza para confirmar las conclusin del inciso a. c) Escribir un modelo de regresin para predecir la vida de la herramienta (en horas)

con base en los resultados de este experimento. d) Analizar los residuales. (Hay algn problema evidente? e) Con base en el anlisis de las grficas de los efectos principales y las interacciones.

Cules seran los niveles de A, B y C que se recomendaran utilizar?

2. Considere nuevamente el inciso c del problema anterior. Utilizar el modelo de regresin para generar las grficas de la superficie de respuesta y de contorno de la respuesta, la vida de la herramienta. Interpretar estas grficas. Ofrecen alguna idea al respecto de las condiciones de operacin deseables para este proceso.

3. Encontrar los efectos de los factores y aproximar los lmites de confianza de 95% para los efectos de los factores en el problema 1. Los resultados de este anlisis concuerdan con las conclusiones del anlisis de varianza?

4. Representar los efectos de los factores del problema (1) en una grfica relativa a una distribucin t escalada apropiadamente. En esta representacin grfica con los resultados del anlisis de varianza.

5. Considere nuevamente el experimento descrito en el problema #1. Suponga que el experimentador efectu nicamente ocho ensayos de la rplica 1. Adems, corri cuatro puntos centrales y obtuvo los siguientes valores de las respuesta: 36, 40 , 43, 45.

a) Estimar los efectos de los factores. Qu efectos son grandes? b) Efectuar un anlisis de varianza, incluyendo una verificacin de la curvatura cuadrtica

pura. A qu conclusiones se llega? c) Escribir un modelo apropiado para predecir la vida de la herramienta, con base en los

resultados de este experimento. Este modelo difiere en alguna forma sustancial del modelo del problema # 1 inciso c?

d) Analizar los residuales. e) A qu conclusiones se llegara acerca de las condiciones de operacin apropiadas para

este proceso?

6. Se llev a cabo un experimento para mejorar el rendimiento de un proceso qumico. Se seleccionaron cuatro factores y se corrieron dos rplicas de un experimento completamente aleatorizado. Los resultados se presentan en la tabla siguiente:

Rplica Rplica

Combinaciones de Tratamientos

I II Combinacin de tratamientos

I II

(1) 90 93 d 98 95 a 74 78 ad 72 76 b 81 85 bd 87 83 ab 83 80 abd 85 86 c 77 78 cd 99 90 ac 81 80 acd 79 75 bc 88 82 bcd 87 84 abc 73 70 abcd 80 80

a) Estimar los efectos de los factores. b) Construir la tabla del anlisis de varianza y determine cules factores son

importantes para explicar el rendimiento. c) Escribir un modelo de regresin para predecir el rendimiento, suponiendo que los

cuatro factores se hicieron variar en el rango de -1 a +1 ( en unidades codificadas). d) Graficar los residuales contra el rendimiento predicho y en una escala de

probabilidad normal. El anlisis residual parece ser satisfactorio? e) Dos interacciones de tres factores ABC Y ABD , aparentemente tienen efectos

grandes. Trazar una grfica en cubo en los factores A, B y C con los rendimientos promedio indicados en cada vrtice. Repetir lo anterior utilizando los factores A, B y D. Estas dos grficas ayudan en la interpretacin de los datos? Dnde se recomendara que se corriera el proceso con respecto a las cuatro variables?

7. Un bacterilogo est interesado en los efectos de dos medios de cultivo diferentes y dos tiempos diferentes sobre el crecimiento de un virus particular. Realiza seis rplicas de un diseo 2 a la 2, hacienda las corridas de manera aleatoria. Analizar los datos del crecimiento viral que se presentan enseguida y sacar las conclusiones apropiadas. Analizar los residuals y comentar la adecuacin del modelo.

Medio Cultivo Tiempo, h 1 2

21 22 25 26 12 23 28 24 25 20 26 29 27

37 39 31 34 18 38 38 29 33 35 36 30 35

EJERCICIOS

DISEO DE EXPERIMENTOS CON DOS O MAS NIVELES

1. Se estudia el rendimiento de un proceso qumico. Se piensa que las dos variables ms importantes son la precisin y la temperatura. Se seleccionan tres niveles de cada factor y se lleva a cabo un experimento factorial con dos rplicas. Los datos del rendimiento son:

Precisin Temperatura (centgrados) 200 215 230

150 90.4 90.7 90.2 90.2 90.6 90.4

160 90.1 90.5 89.9 90.3 90.6 90.1

170 90.5 90.8 90.4 90.7 90.9 90.1

a) Analizar los datos y sacar conclusiones. Utilizar = 0.05. b) Construir las grficas de los residuales apropiadas y comentar la adecuacin del

modelo. c) Bajo qu condiciones debera operarse este proceso?

2. Un ingeniero sospecha que el acabado superficial de una pieza metlica se afecta por la velocidad de alimentacin y la profundidad de corte. Selecciona tres velocidades de alimentacin y cuatro profundidades de corte. Despus realiza un experimento factorial y obtiene los siguientes datos:

Velocidad de alimentacin Profundidad de corte (pulg) (pulg/min)

0.15 0.18 0.20 0.25

74 79 82 99 0.20 64 68 88 104 60 73 92 96

92 98 99 104 0.25 86 104 108 110

88 88 95 99

99 104 108 114 0.30 98 99 110 111 105 95 99 107

a) Analizar los datos y sacar conclusiones. Utilizar = 0.05.

b) Construir la grficas de los residuales apropiadas y comentar la adecuacin del modelo.

c) Obtener estimaciones puntuales del acabado superficial promedio con cada velocidad de alimentacin. d) Encontrar los valores P para las pruebas del inciso a. e) Calcular estimacin de un intervalo de confianza de 95% de la diferencia media en la respuesta para velocidades de alimentacin de 0.20 y 0.25 pulg/min.

3. En un artculo de Industrial Quality Control se describe un experimento para investigar el efecto del tipo de cristal y del tipo de fsforo sobre la brillantez de un cinescopio. La variable de respuesta es la corriente (en microamperes) necesaria para obtener un nivel de brillantez especifico. Los datos son los siguientes:

Tipo de cristal Tipo de Fsforo 1 2 3 280 300 290 1 290 310 285 285 295 290

2 230 260 220 235 240 225 240 235 230

a) Existe algn indicio de que alguno de los dos factores influye en la brillantez? Utilizar = 0.05.

b) los dos factores interactan? Utilizar = 0.05. c) Analizar los residuales de este experimento.

4. Johnson y Leone (Statistics and Experimental Design in Engineering and the Physical Sciences, John Wiley) describen un experimento realizado para investigar la torcedura de placas de cobre. Los dos factores estudiados fueron la temperatura y el contenido de cobre de las placas. La variable de respuesta fue una medida de la cantidad de torcedura. Los datos fueron los siguientes:

Contenido de cobre (%) Temperatura (C) 40 60 80 100 50 17,20 16,21 24,22 28,27 75 12,9 18,13 17,12 27,31 100 16,12 18,21 25,23 30,23 125 21,17 23,21 23,22 29,31

a) Existe algn indicio de que alguno de los dos factores afecta la cantidad de torcedura? Hay alguna interaccin entre los factores? Utilizar = 0.05.

b) Analizar los residuales de este experimento. c) Graficar la torcedura promedio con cada nivel del contenido de cobre y compararlas

con una distribucin t con la escala apropiada. Describir las diferencias en los efectos de los diversos niveles del contenido de cobre sobre la torcedura. Si es

deseable una torcedura baja, qu nivel del contenido de cobre debera especificarse?

d) Suponga que no es sencillo controlar la temperatura en el medio ambiente donde van a usarse las placas de cobre. Este hecho modifica la respuesta que se dio en el inciso c?

5. Se estudian los factores que influyen en la resistencia a la ruptura de una fibra sinttica. Se eligen cuatro mquinas de produccin y tres operadores y se corre un experimento factorial utilizando fibra del mismo lote de produccin. Los resultados son los siguientes:

Mquina Operador 1 2 3 4 1 109 110 108 110 110 115 109 108

2 110 110 111 114 112 111 109 112

3 116 112 114 120 114 115 119 117

a) Analizar los datos y sacar conclusiones. Utilizar = 0.05. b) Construir las grficas de los residuales apropiadas y comentar la adecuacin del

modelo.

6. Un ingeniero mecnico estudia la fuerza de empuje desarrollada por una taladradora. Sospecha que la velocidad de taladro y la velocidad de alimentacin del material son los factores ms importantes. Selecciona cuatro velocidades de alimentacin y usa una velocidad de taladro alta y otra baja elegidas para representar las condiciones de operacin extremas. Obtiene los siguientes resultados. Analizar los datos y sacar conclusiones. Utilizar = 0.05.

Velocidad de alimentacin Velocidad de taladro 0.015 0.030 0.045 0.060

125 2.70 2.45 2.60 2.75 2.78 2.49 2.72 2.86

200 2.83 2.85 2.86 2.94 2.86 2.80 2.87 2.88

7. Se realiza un experimento para estudiar la influencia de la temperatura de operacin y tres tipos de placas de recubrimiento de cristal, en la salida luminosa de un tubo de osciloscopio. Se registraron los siguientes datos:

Temperatura Tipo de cristal 100 125 150 580 1090 1392 1 568 1087 1380 570 1085 1386

550 1070 1328 2 530 1035 1312 579 1000 1299

3 546 1045 867 575 1053 904

599 1066 889

a) Utilizar = 0.05 en el anlisis. Existe un efecto de interaccin significativo? El tipo de cristal o la temperatura afectan la respuesta? A qu conclusiones se llega?

b) Ajustar un modelo apropiado que relacionen la salida luminosa con el tipo de cristal y la temperatura.

c) Analizar los residuales de este experimento. Comentar la adecuacin de los modelos que se hayan considerado.

8. Considere el experimento del problema 1. Ajustar un modelo apropiado a los datos de la respuesta. Usar este modelo como gua para las condiciones de operacin del proceso.

9. Usar la prueba de Turkey para determinar los niveles del factor presin que son significativamente diferentes para los datos del problema 1.

10. Se llev a cabo un experimento para determinar si la temperatura de coccin o la posicin en el horno afectaban el espesor del endurecimiento de un nodo de carbono. Los datos se presentan a continuacin.

Temperatura (C) Posicin 800 825 850 570 1063 565 1 565 1080 510 583 1043 590

528 988 526 2 547 1026 538 521 1004 532

Suponga que se considera que no existe ninguna interaccin. Desarrollar el modelo estadstico. Realizar el anlisis de varianza y probar las hiptesis sobre los efectos principales. Qu conclusiones pueden sacarse? Comentar la adecuacin del modelo.

11. Deducir los cuadrados medios esperados para un anlisis de varianza de dos factores con una observacin por celda, suponiendo que ambos factores son fijos.

12. Considere los siguientes datos de un experimento factorial de dos factores. Analizar los datos y sacar conclusiones. Realizar una prueba de no aditividad. Utilizar = 0.05.

Factor de la columna Factor del rengln 1 2 3 4 1 36 39 36 32 2 18 20 22 20 3 30 37 33 34

13. Se piensa que la resistencia al corte de un adhesivo se afecta por la presin de aplicacin y la temperatura. Se realiza un experimento factorial en el que ambos factores se suponen fijos. Analizar los datos y sacar conclusiones. Realizar una prueba de no aditividad.

Temperatura (F) Presin (lb/pulg) 250 260 270 120 9.60 11.28 9.00 130 9.69 10.10 9.57 140 8.43 11.01 9.03 150 9.98 10.44 9.80