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EJERCICIOS DE SERIES NUMERICAS
1. Series de terminos no negativos
1. Estudiar el caracter de la serie∑an de termino general an =
n(n+ 1)
n2 + 2n.
Solucion
Como lımn(n+ 1)
n2 + 2n= 1 6= 0, la serie es divergente.
2. Sabiendo que la suma de los n primeros terminos de una serie es
Sn =5n2 − 3n+ 2
n2 − 1,
hallar el termino general y estudiar su naturaleza.
Solucion
Aplicamos la formula an = Sn − Sn−1 y obtenemos:
an =5n2 − 3n+ 2
n2 − 1− 5(n− 1)2 − 3(n− 1) + 2
(n− 1)2 − 1=
3n2 − 17n+ 10
n4 − 2n3 − n2 + 2n.
Como ademas lımSn = lım5n2 − 3n+ 2
n2 − 1= 5, la serie es convergente.
Observacion: No confundir con la condicion necesaria de convergencia en la que debe ser cero ellımite del termino general de la serie an, no del termino general de la sucesion de sumas parcialesSn. En este caso, como lımSn = 5, quiere decir que la suma de la serie es precisamente 5.
3. Hallar el mayor valor entero que debe tomar k para que la serie∑an de termino general
an =nk
(n+ 1)(n+ 2)(n+ 3)sea convergente.
Solucion
1
Aplicando el criterio logarıtmico,
lımlog(1/an)
log n= lım
log (n+1)(n+2)(n+3)nk
log n= lım
log(n+ 1)(n+ 2)(n+ 3)− log nk
log n
= lımlog(n3 + 6n2 + 11n+ 6)− k log n
log n
= lımlog(n3)(1 + 6/n+ 11/n2 + 6/n3)− k log n
log n
= lım3 log n+ log(1 + 6/n+ 11/n2 + 6/n3)− k log n
log n
= lım
[3− k +
log(1 + 6/n+ 11/n2 + 6/n3)
log n
]= 3− k.
Para que sea convergente, debe ser 3− k > 1, y como k debe ser entero, el mayor valor que hacela serie convergente es k = 1.
4. Estudiar el caracter de la serie∑an de termino general
an =1√n− 1
− 1√n+ 1
.
Solucion
Tenemos que1√n− 1
− 1√n+ 1
=
√n+ 1−
√n+ 1
n− 1=
2
n− 1.
Por el criterio de comparacion, como lım2/(n− 1)
1/n= 2 y la serie
∑1/n es divergente, la serie
dada es divergente.
5. Estudiar el caracter de la serie∑an de termino general
an =n√
2n3 + 1.
Solucion
Aplicamos el criterio de Prinsgheim, y tenemos:
lımnαn√
2n3 + 1= lım
nα+1
√2n3 + 1
.
Para que dicho lımite sea real debe ser el grado del numerador igual al grado del denominador.En este caso α+ 1 = 3/2 =⇒ α = 1/2. Como α < 1, la serie es divergente.
6. Estudiar el caracter de la serie∑an de termino general
an =
√n
n4 + 1.
Solucion
Aplicando el criterio de Pringsheim, tenemos:
lımnα√
n
n4 + 1= lım
nα+1/2
√n4 + 1
.
2
Dicho lımite es un numero real no nulo cuando α = 3/2. Como es mayor que uno, la serie esconvergente.
7. Estudiar el caracter de la serie∑an de termino general
an =1
1 + np.
Solucion
Segun el criterio de Pringsheim, si α = p, lımnα1
1 + np= 1. De este modo, cuando p > 1, la
serie es convergente y cuando p ≤ 1, la serie es divergente.
8. Estudiar el caracter de la serie∑an de termino general
an =
√x+ n− 1√x2 + n2 + 1
.
Solucion
Aplicamos nuevamente el criterio de Pringsheim y debemos determinar el valor de α para quelımnαan sea un numero real no nulo. Tenemos que
lımnα√x+ n− 1√x2 + n2 + 1
= 1 cuando α = 1/2.
Como es un valor menor que uno, se deduce que la serie es divergente.
9. Estudiar el caracter de la serie∑an de termino general
an =√n+ 1−
√n.
Solucion
Aplicamos en este caso el criterio de Pringsheim:
lımnα(√n+ 1−
√n) = lım
nα√n+ 1 +
√n.
Este lımite es finito cuando α = 1/2 por lo que la serie es divergente.
10. Estudiar el caracter de la serie∑an de termino general
an =1
n√n+ 1
.
Solucion
Como
lım an = lım1
n√n+ 1
= lım1n+1n
= lımn
n+ 1= 1 6= 0,
la serie es divergente.
3
11. Estudiar el caracter de la serie∑an de termino general
an = lnn+ 1
n.
Solucion
Debido a la equivalencia de los infinitesimos lnn+ 1
n∼ n+ 1
n− 1 =
1
ny como la serie
∑1/n es
divergente, la serie dada tambien diverge.
12. Estudiar el caracter de la serie∑an de termino general
an =n!
n2.
Solucion
Si calculamos el lımite del termino general se obtiene que lımn!
n2=∞ por lo que la serie es
divergente.
13. Estudiar el caracter de la serie∑an de termino general
an =5 · loga n
3 · logb n.
Solucion
Aplicando la formula del cambio de base de logaritmos, podemos escribir
an =5 · (lnn/ ln a)
3 · (lnn/ ln b)=
5
3· ln b
ln a.
Como el termino general es constante, no tiende a cero, por lo que la serie es divergente.
14. Estudiar el caracter de la serie∑an de termino general
an =lnn
n.
Solucion
Por el criterio de comparacion, comolnn
n>
1
ny la serie armonica
∑1/n es divergente, la serie
dada tambien es divergente.
15. Demostrar que las series u1+u2+ · · ·+un+ . . . y ln(1+u1)+ln(1+u2)+ · · ·+ln(1+un)+ . . .tienen el mismo caracter si un > 0 y lım
n→∞un = 0.
Solucion
Utilizando el criterio de comparacion tenemos:
lımln(1 + un)
un= lım ln(1 + un)1/un = ln lım(1 + un)1/un = ln e = 1 6= 0.
Esto asegura que ambas series tienen el mismo caracter.
4
16. Estudiar el caracter de la serie∑an de termino general
an = arc sen(1/√n).
Solucion
Debido a que lımarc sen(1/
√n)
1/√n
= 1, la serie dada es equivalente a la serie armonica∑
1/√n,
la cual es divergente.
17. Estudiar el caracter de la serie∑an de termino general
an =1 + sen2 n
n2.
Solucion
Como 0 ≤ 1 + sen2 n
n2≤ 2
n2y la serie
∑2/n2 es convergente, por el criterio de comparacion se
deduce la convergencia de la serie dada.
18. Estudiar el caracter de la serie∑an de termino general
an =n!
nn.
Solucion
Aplicamos el criterio del cociente de D’Alembert:
lımn!/nn
(n− 1)!/(n− 1)n−1= lım
n!(n− 1)n−1
nn(n− 1)!= lım
(n− 1
n
)n−1= e−1.
Como el lımite es menor que uno, la serie es convergente.
19. Estudiar el caracter de la serie∑an de termino general
an =nn
3n · n!.
Solucion
Aplicando el criterio del cociente:
lımanan−1
= lımnn
3n · n!· 3n−1 · (n− 1)!
(n− 1)n−1= lım
1
3· nn−1
(n− 1)n−1
=1
3lım
(n
n− 1
)n−1=
1
3lım
(1 +
1
n− 1
)n−1=e
3< 1.
Por tanto la serie dada es convergente.
20. Estudiar el caracter de la serie∑an de termino general
an =1
2ntg
a
2n.
Solucion
5
Aplicando el criterio de D’Alembert:
lıman+1
an= lım
tg(a/2n+1)
2n+1· 2n
tg(a/2n)=
1
2lım tg
a
2n+1· cotg
a
2n
=1
2lım
a
2n+1· 2n
a=
1
4< 1.
Esto prueba que la serie es convergente.
21. Estudiar el caracter de la serie∑an de termino general
an =2nx2n
1 + x2nrespecto a los diversos valores de x.
Solucion
En primer lugar, si x2 = 1 =⇒ an =2n
1 + 1→∞ y la serie sera divergente.
Si x2 > 1 =⇒ lım an = lım 2n · lım x2n
1 + x2n=∞ · 1 =∞. La serie es divergente.
Para x2 < 1 aplicamos el criterio de D’Alembert:
lımanan−1
= lım2nx2n
1 + x2n· 1 + x2(n−1)
2n−1x2(n−1)= lım
2x2(1 + x2n−2)
1 + x2n= 2x2,
pues x2n → 0 y x2n−2 → 0 cuando x2 < 1.
La serie es convergente cuando 2x2 < 1, es decir cuando |x| <√
2/2 y divergente cuando 2x2 > 1,es decir cuando |x| >
√2/2.
Para el caso en que 2x2 = 1 tenemos x2 = 1/2, de donde:
an =2n(1/2n)
1 + (1/2n)=
1
1 + (1/2n)→ 1
con lo que la serie es tambien es divergente cuando |x| =√
2/2.
22. Estudiar el caracter de la serie∑an de termino general
an = lnn2 + 2n+ 2
n2 − 2n+ 2.
Solucion
Si aplicamos el criterio de Pringsheim resulta:
lımnα lnn2 + 2n+ 2
n2 − 2n+ 2= lımnα
(n2 + 2n+ 2
n2 − 2n+ 2− 1
)= lımnα
4n
n2 − 2n+ 2.
Si hacemos α = 1, el lımite da como resultado 4. De aquı se concluye que la serie es divergente.
23. Estudiar el caracter de la serie∑an de termino general
an =2n− 1
(√
2)n.
6
Solucion
Por el criterio de la raız:
lım n
√2n− 1
(√
2)n= lım
1√2
n√
2n− 1 =1√2
lım2n− 1
2n− 3=
1√2.
Como el lımite es menor que uno, la serie es convergente.
24. Estudiar el caracter de la serie∑an de termino general
an =1
(lnn)lnn.
Solucion
Aplicando el criterio logarıtmico tenemos:
lımln(1/an)
lnn= lım
ln((lnn)lnn
)lnn
= lımlnn ln(lnn)
lnn= lım ln(lnn) =∞ > 1.
Esto indica que la serie es convergente.
25. Estudiar el caracter de la serie∑an de termino general
an =
(lnn+ 1
n− 1
)a.
Solucion
Comparamos esta serie con la de termino general bn =
(2
n− 1
)a, con lo que tenemos:
lımanbn
= lım
[ln(
1 + 2n−1
)]a(2
n−1
)a = lım
ln(
1 + 2n−1
)2
n−1
a
= lım
[ln
(1 +
2
n− 1
)n−12
]a= (ln e)a = 1a = 1.
Esto quiere decir que las dos series tienen el mismo caracter y como la serie de termino general
bn =
(2
n− 1
)aes una serie armonica, es convergente cuando a > 1 y divergente cuando a ≤ 1.
26. Estudiar el caracter de la serie∑an de termino general
an =logn a
loga n.
Solucion
Aplicando la formula del cambio de base en los logaritmos podemos escribir
an =ln a/ lnn
lnn/ ln a=
(ln a
lnn
)2
.
7
Aplicando el criterio logarıtmico:
lımln(1/an)
lnn= lım
ln(lnnln a
)2lnn
= lım2 ln(lnn)− 2 ln(ln a)
lnn
= 2 lımln(lnn)
lnn− 2 lım
ln(ln a)
lnn.
El segundo lımite da como resultado cero y para calcular el primero, aplicamos el criterio deStolz:
lımln(lnn)
lnn= lım
ln(lnn)− ln[ln(n− 1)]
lnn− ln(n− 1)= lım
ln lnnln(n−1)
ln(
nn−1
)= lım
1
ln(
nn−1
) [ lnn
ln(n− 1)− 1
]
= lım1
ln(
nn−1
) · lnn− ln(n− 1)
ln(n− 1)
= lım1
ln(
nn−1
) · ln(
nn−1
)ln(n− 1)
= lım1
ln(n− 1)= 0.
Como el lımite es menor que uno, la serie es divergente.
27. Estudiar el caracter de la serie∑an de termino general
an =
(n
3n− 1
)2n−1.
Solucion
Por el criterio de la raız de Cauchy:
lımn
√(n
3n− 1
)2n−1= lım
(n
3n− 1
) 2n−1n
= (1/3)2 = 1/9.
Como el lımite es menor que uno, la serie es convergente.
28. Estudiar el caracter de la serie∑an de termino general
an =
(n+ 1
2n− 1
)n.
Solucion
Aplicamos nuevamente el criterio de la raız:
lım n
√(n+ 1
2n− 1
)n= lım
n+ 1
2n− 1=
1
2< 1.
Se deduce que la serie es convergente.
8
29. Estudiar el caracter de la serie∑an de termino general
an =(sen a
n
)n(a fijo).
Solucion
Por el criterio de Raabe,
lımn
1−(sen an
)n(sen an−1
)n−1 = lımn
(1− (n− 1)n sen a
nn(n− 1)
)
= lımn
[1−
(n− 1
n
)n sen a
n− 1
]=∞ · 1 =∞.
Como el lımite es mayor que uno, la serie es convergente.
30. Estudiar el caracter de la serie∑an de termino general
an = tg n(a+
b
n
)con 0 < a < π/2.
Solucion
Aplicamos el criterio de la raız:
lım n√an = lım tg
(a+
b
n
)= tg a.
De aquı se deduce que si 0 < a < π/4, la serie es convergente pues el lımite anterior es menorque uno.
Si π/4 < a < π/2, el citado lımite es mayor que uno por lo que la serie es divergente.
Para a = π/4 se tiene:
lım an = lım tgn(π
4+b
n
)= lım
(tg(π/4) + tg(b/n)
1− tg(π/4) tg(b/n)
)n= lım
(1 + tg(b/n)
1− tg(b/n)
)n= eL,
donde
L = lımn
(1 + tg(b/n)
1− tg(b/n)− 1
)= lımn · 2 tg(b/n)
1− tg(b/n)
= lımn tg(b/n) · lım 2
1− tg(b/n)= 2b.
Por lo tanto, lım an = e2b 6= 0 y la serie es divergente.
31. Estudiar el caracter de la serie∑an de termino general
an =nlnn
(lnn)n.
Solucion
9
Aplicamos el criterio de Cauchy o de la raız:
lım n√an = lım
nlnn/n
lnn.
Tomando logaritmos resulta:
lım ln n√an = lım
[lnn
nlnn− ln(lnn)
]= lım
[(lnn)2
n− ln(lnn)
].
Utilizamos el criterio de Stolz para calcular el lımite del primer sumando:
lım(lnn)2
n= lım
(lnn)2 − [ln(n− 1)]2
n− (n− 1)
= lım[lnn+ ln(n− 1)][lnn− ln(n− 1)]
= lım lnn(n− 1) lnn
n− 1
= lım ln(n2 − n)
(n
n− 1− 1
)= lım
ln(n2 − n)
n− 1
= lımln(n2 − n)− ln[(n− 1)2 − (n− 1)]
n− 1− (n− 1− 1)
= lım lnn2 − n
n2 − 3n+ 2= ln 1 = 0.
Como el lımite del segundo sumando es lım ln(lnn) = +∞, resulta que
lım ln n√an = −∞ =⇒ lım n
√an = 0 < 1,
de modo que la serie es convergente.
32. Estudiar el caracter de la serie∑an de termino general
an =1
(1 + 1/√n)n .
Solucion
Aplicamos el criterio logarıtmico:
lımln(1/an)
lnn= lım
ln(
1 + 1√n
)nlnn
= lım
ln
[(1 + 1√
n
)√n]√nlnn
= lım
√n ln
(1 + 1√
n
)√nlnn
= lım
√n
lnnlım ln
(1 +
1√n
)√n.
Es evidente que el lımite del segundo factor es 1. Utilizaremos el criterio de Stolz para calcularel lımite del primer factor:
lım
√n
lnn= lım
√n−√n− 1
lnn− ln(n− 1)= lım
n− (n− 1)√n+√n− 1
· 1
ln nn−1
= lım1
(√n+√n− 1)
(nn−1 − 1
) = lımn− 1
√n+√n− 1
= +∞.
En definitiva, lımln(1/an)
lnn= +∞ > 1 y la serie es convergente.
10
33. Estudiar el caracter de la serie∑an de termino general
an =
[(n+ 1
n
)n+1
− n+ 1
n
]−n.
Solucion
Por el criterio de la raız:
lımn
√√√√[(n+ 1
n
)n+1
− n+ 1
n
]−n= lım
1(n+1n
)n+1 − n+1n
=1
e− 1< 1.
Esto muestra que la serie es convergente.
34. Estudiar el caracter de la serie∑an de termino general
an =
[(n+ 1
n
)n+
2n+ 1
n
]−n.
Solucion
Aplicando el criterio de la raız:
lım n√an = lım
1(n+1n
)n+ 2n+1
n
= lım1(
1 + 1n
)n+ 2n+1
n
=1
e+ 2< 1.
La serie es convergente.
35. Estudiar el caracter de la serie∑an de termino general
an =nn
1 · 3 · 5 · . . . (2n− 3)(2n− 1).
Solucion
Aplicando el criterio del cociente de D’Alembert:
lımanan−1
= lımnn
1 · 3 · 5 · . . . (2n− 3)(2n− 1)· 1 · 3 · 5 · . . . (2n− 3)
(n− 1)n−1
= lım1
2n− 1· nn
(n− 1)n−1= lım
n
2n− 1· nn−1
(n− 1)n−1
= lımn
2n− 1lım
(n
n− 1
)n−1=
1
2· e > 1.
Por tanto la serie es divergente.
36. Estudiar el caracter de la serie∑an de termino general
an =ln 2 · ln 3 . . . lnn
n!.
Solucion
Aplicando el criterio del cociente de D’Alembert:
lımanan−1
= lımln 2 · ln 3 . . . lnn
n!· (n− 1)!
ln 2 · ln 3 . . . ln(n− 1)
= lımlnn
n= 0 < 1.
11
Entonces se trata de una serie convergente.
37. Estudiar el caracter de la serie∑an de termino general
an =n!
(a+ 1)(a+ 2) . . . (a+ n).
Solucion
Aplicamos el criterio del cociente:
lımn!
(a+ 1)(a+ 2) . . . (a+ n)· (a+ 1)(a+ 2) . . . (a+ n− 1)
(n− 1)!= lım
n
a+ n= 1.
El criterio no permite decidir sobre la convergencia de la serie por lo que aplicamos el criteriode Raabe:
lımn
[1− n
a+ n
]= lım
an
a+ n= a.
Resulta que si a < 1, la serie es divergente; si a > 1, la serie es convergente.
Cuando a = 1, sustituimos este valor en la serie y obtenemos∑ n!
2 · 3 · · · · · (n+ 1)=∑ 1
n+ 1
la cual es evidentemente divergente.
38. Estudiar el caracter de la serie∑an de termino general
an =1 · 3 · 5 · · · · · (2n− 1)
2 · 4 · 6 · · · · · (2n+ 2).
Solucion
Aplicaremos el criterio de D’Alembert:
lımanan−1
= lım
1·3·5·····(2n−1)2·4·6·····(2n+2)
1·3·5·····(2n−3)2·4·6·····(2n)
= lım2n− 1
2n+ 2= 1.
Como este criterio no decide el caracter de la serie, aplicamos el criterio de Raabe:
lımn
(1− an
an−1
)= lımn
(1− 2n− 1
2n+ 2
)= lım
3n
2n+ 2=
3
2.
Como el lımite es mayor que uno, la serie es convergente.
39. Estudiar el caracter de la serie∑an de termino general
an = e−n2x segun los valores de x.
Solucion
Por el criterio de Raabe, tenemos:
lımn
(1− e−n
2x
e−(n−1)2x
)= lımn
(1− e−n2x+n2x+x−2nx
)= lımn
(1− ex(1−2n)
).
12
Cuando x = 0, la serie dada es∑
1 que es evidentemente divergente.
Cuando x < 0, lımn(1− ex(1−2n)
)= −∞ < 1 por lo que la serie es divergente.
Cuando x > 0, lımn(1− ex(1−2n)
)= +∞ > 1 por lo que la serie es convergente.
40. Estudiar el caracter de la serie∑an de termino general
an =
√α(α+ 1) . . . (α+ n− 1)
β(β + 1) . . . (β + n− 1)segun los valores de α y β.
Solucion
Por el criterio de Raabe:
lımn
[1− an
an−1
]= lımn
1−
√α(α+1)...(α+n−1)β(β+1)...(β+n−1)√α(α+1)...(α+n−2)β(β+1)...(β+n−2)
= lımn
(1−
√α+ n− 1
β + n− 1
)
= lımn
(√β + n− 1−
√α+ n− 1√
β + n− 1
)= lımn · β + n− 1− α− n+ 1√
β + n− 1(√β + n− 1 +
√α+ n− 1)
= lımn(β − α)
β + n− 1 +√n2 + . . .
=β − α
2.
De aquı se deduce que si β − α > 2, la serie es convergente. Si β − α < 2, la serie es divergente.
En el caso en que β − α = 2, es decir β = α + 2, al sustituir en la serie original resulta∑√α(α+ 1)
(α+ n)(α+ n+ 1). Aplicando ahora el criterio de Pringsheim, resulta que
lımnp
√α(α+ 1)
(α+ n)(α+ n+ 1)es finito y no nulo cuando p = 1 lo que hace que la serie sea diver-
gente.
En definitiva, la serie es convergente si y solo si β − α > 2.
41. Calcular la suma de la serie∞∑n=1
1
n2 − 2√
2n+ 1.
Solucion
Si descomponemos el termino general en fracciones simples, obtenemos:
1
n2 − 2√
2n+ 1=
A
n−√
2− 1+
B
n−√
2 + 1.
Esto implica que 1 = A(n−√
2 + 1) +B(n−√
2− 1) por lo que A = 1/2 y B = −1/2.
13
Sumando ahora los n primeros terminos de la sucesion tenemos:
an =1/2
n−√
2− 1− 1/2
n−√
2 + 1
an−1 =1/2
n−√
2− 2− 1/2
n−√
2
an−2 =1/2
n−√
2− 3− 1/2
n−√
2− 1. . .
a2 =1/2
1−√
2− 1/2
3−√
2
a1 =1/2
−√
2− 1/2
2−√
2
Sn =1
2
[1
1−√
2+
1
−√
2− 1
n−√
2 + 1− 1
n−√
2
].
En definitiva, S =∑
an = lımSn =1
2
[1
1−√
2+
1
−√
2
].
42. Dada la serie de termino general an =n+ 12
n3 + 5n2 + 6n, demostrar que es convergente y
sumarla.
Solucion
Por el criterio de Pringsheim, lımnpan = lımnp(n+ 12)
n3 + 5n2 + 6n= 1 cuando p = 2 > 1, por lo que
la serie es convergente.
Para sumar la serie descomponemos el termino general en fracciones simples:
an =n+ 12
n3 + 5n2 + 6n=A
n+
B
n+ 2+
C
n+ 3
=A(n+ 2)(n+ 3) +Bn(n+ 3) + Cn(n+ 2)
n(n+ 2)(n+ 3)
=⇒ n+ 12 = A(n+ 2)(n+ 3) +Bn(n+ 3) + Cn(n+ 2).
Para n = 0, 12 = 6A =⇒ A = 2.
Para n = −2, 10 = −2B =⇒ B = −5.
Para n = −3, 9 = 3C =⇒ C = 3.
14
De aquı obtenemos:
an =2
n− 5
n+ 2+
3
n+ 3
an−1 =2
n− 1− 5
n+ 1+
3
n+ 2
an−2 =2
n− 2− 5
n+
3
n+ 1
an−3 =2
n− 3− 5
n− 1+
3
n. . .
a4 =2
4− 5
6+
3
7
a3 =2
3− 5
5+
3
6
a2 =2
2− 5
4+
3
5
a1 =2
1− 5
3+
3
4
Sn = − 2
n+ 1− 2
n+ 2+
3
n+ 3− 3
3+
2
2+
2
1=⇒ S = lımSn = −1 + 1 + 2 = 2.
43. Sumar la serie1
1 · 3 · 5+
1
3 · 5 · 7+
1
5 · 7 · 9+ . . ..
Solucion
El termino general de la serie es an =1
(2n− 1)(2n+ 1)(2n+ 3). Al descomponerlo en fracciones
simples resulta:
an =A
2n− 1+
B
2n+ 1+
C
2n+ 3
=A(2n+ 1)(2n+ 3) +B(2n− 1)(2n+ 3) + C(2n− 1)(2n+ 1)
(2n− 1)(2n+ 1)(2n+ 3)
=⇒ A(2n+ 1)(2n+ 3) +B(2n− 1)(2n+ 3) + C(2n− 1)(2n+ 1) = 1
=⇒ A = 1/8, B = −1/4, C = 1/8.
Por tanto,
an =1
8
(1
2n− 1− 2
2n+ 1+
1
2n+ 3
)an−1 =
1
8
(1
2n− 3− 2
2n− 1+
1
2n+ 1
)an−2 =
1
8
(1
2n− 5− 2
2n− 3+
1
2n− 1
). . .
a2 =1
8
(1
3− 2
5+
1
7
)a1 =
1
8
(1
1− 2
3+
1
5
)Sn =
1
8
(1
2n+ 3− 1
2n+ 1+ 1− 1
3
).
15
Tenemos entonces que S = lımSn =1
8
(1− 1
3
)=
1
12.
44. Sumar la serie∞∑n=1
1(n+33
) .
Solucion
Escribimos el termino general en la forma an =3!
(n+ 3)(n+ 2)(n+ 1)y lo descomponemos en
fracciones simples:6
(n+ 3)(n+ 2)(n+ 1)=
A
n+ 3+
B
n+ 2+
C
n+ 1.
Esto implica que 6 = A(n+2)(n+1)+B(n+3)(n+1)+C(n+3)(n+2) lo que al resolver producelos valores A = 3, B = −6, C = 3. Sumando ahora los n primeros terminos de la sucesion:
an =3
n+ 3− 6
n+ 2+
3
n+ 1
an−1 =3
n+ 2− 6
n+ 1+
3
n
an−2 =3
n+ 1− 6
n+
3
n− 1. . .
a2 =3
5− 6
4+
3
3
a1 =3
4− 6
3+
3
2
Sn =3
n+ 3− 6
n+ 2+
3
n+ 2+
3
3− 6
3+
3
2.
Entonces S = lımSn = 1/2.
45. Sumar la serie∞∑n=2
ln n+1n
lnn ln(n+ 1).
Solucion
Escribimos el termino general como
an =ln(n+ 1)− lnn
lnn · ln(n+ 1)=
1
lnn− 1
ln(n+ 1).
Sumando los primeros terminos de la sucesion resulta:
an =1
lnn− 1
ln(n+ 1)
an−1 =1
ln(n− 1)− 1
lnn. . .
a3 =1
ln 3− 1
ln 4
a2 =1
ln 2− 1
ln 3
Sn =1
ln 2− 1
ln(n+ 1).
16
Entonces S = lımSn = 1/ ln 2.
46. Sumar la serie∑n≥2
ln
(1− 1
n2
).
Solucion
Escribimos el termino general de la forma:
an = lnn2 − 1
n2= ln
(n+ 1)(n− 1)
n2= ln(n+ 1)− 2 lnn+ ln(n− 1).
Dando valores decrecientes a n tenemos:
an = ln(n+ 1)− 2 lnn+ ln(n− 1)
an−1 = lnn− 2 ln(n− 1) + ln(n− 2)
an−2 = ln(n− 1)− 2 ln(n− 2) + ln(n− 3)
. . .
a4 = ln 5− 2 ln 4 + ln 3
a3 = ln 4− 2 ln 3 + ln 2
a2 = ln 3− 2 ln 2 + ln 1.
Sn = ln(n+ 1)− lnn− ln 2 = lnn+ 1
n− ln 2.
La suma de la serie es S = lımSn = ln 1− ln 2 = − ln 2.
47. Estudiar el caracter y hallar la suma de la serie∑n≥1
2n+ 1
7n.
Solucion
Aplicando el criterio de D’Alembert,
lımanan−1
= lım2n+ 1
7n· 7n−1
2(n− 1) + 1= lım
1
7· 2n+ 1
2n− 1=
1
7< 1.
La serie es convergente.
Para hallar su suma escribimos Sn =3
7+
5
72+ · · ·+ 2n+ 1
7n. Los terminos de la serie resultan
de multiplicar los terminos de la progresion aritmetica 3, 5, . . . 2n + 1 por los correspondientesde la progresion geometrica 1/7, 1/72, . . . 1/7n. Estas series, llamadas aritmetico-geometricas, sesuman de la siguiente forma:
Sn =3
7+
5
72+ · · ·+ 2n− 1
7n−1+
2n+ 1
7n
1
7Sn =
3
72+
5
73+ · · ·+ 2n− 1
7n+
2n+ 1
7n+1
17
Restando:
6
7Sn =
3
7+
2
72+
2
73+ · · ·+ 2
7n− 2n+ 1
7n+1
=3
7+
27n+1 − 2
72
17 − 1
− 2n+ 1
7n+1.
Como lım2n+ 1
7n+1= 0, resulta que la suma de la serie es:
6
7S =
3
7+
2/49
6/7=
10
21=⇒ S =
5
9.
48. Sumar la serie∑n≥1
n2xn, 0 < x < 1.
Solucion
El proceso que seguiremos es el siguiente:
Sn = x+ 4x2 + 9x3 + · · ·+ (n− 1)2xn−1 + n2xn
xSn = x2 + 4x3 + · · ·+ (n− 2)2xn−1 + (n− 1)2xn + n2xn+1.
Restando miembro a miembro:
(1− x)Sn = x+ 3x2 + 5x3 + · · ·+ (2n− 1)xn − n2xn+1
x(1− x)Sn = x2 + 3x3 + · · ·+ (2n− 3)xn + (2n− 1)xn+1 − n2xn+2.
Restando nuevamente las dos ultimas igualdades:
(1− x)2Sn = x+ 2x2 + 2x3 + · · ·+ 2xn − (n2 + 2n− 1)xn+1 + n2xn+2
= x+ 2 · xn+1 − x2
x− 1− (n2 + 2n− 1)xn+1 + n2xn+2.
Como 0 < x < 1, (n2 + 2n− 1)xn+1 → 0 y n2xn+2 → 0 cuando n→∞. Resulta entonces que sillamamos S = lımSn a la suma de la serie, tenemos:
(1− x)2S = x− 2x2
x− 1=⇒ S =
x2 + x
(1− x)3.
2. Series de terminos de signo variable
1. Estudiar el caracter de la serie∑an de termino general an = (−1)n[
√n2 − 1−n] y hallar
una cota del error cometido al tomar como suma la de los cuatro primeros terminos.
Solucion
18
Si escribimos an = (−1)n−1√
n2 − 1 + n=
(−1)n+1
√n2 − 1 + n
, vemos que se trata de una serie alternada.
Aplicaremos el criterio de Leibnitz:
1√n2 − 1 + n
<1√
(n− 1)2 + 1 + (n− 1)=⇒ |an| < |an−1|.
lım an = lım1√
n2 − 1 + n= 0.
Como la sucesion es en valor absoluto decreciente y convergente a cero, la serie es convergente.
Por otra parte, es sabido que al tomar la suma parcial sn como valor de la serie, el error cometidoes menor que el valor absoluto del primer termino despreciado |an+1|.
La cota del error pedida en este caso es |a5| = |√
52 − 1− 5| = 5−√
24.
2. Probar que la serie
1− ln 2 +1
2− ln
3
2+
1
3− ln
4
3+ · · ·+ 1
n− ln
n+ 1
n+ . . .
es convergente.
Solucion
A partir de la desigualdad evidente
(1 +
1
n
)n< e <
(1 +
1
n
)n+1
, se obtiene que
n ln
(1 +
1
n
)< 1 < (n+ 1) ln
(1 +
1
n
)=⇒ n <
1
ln(n+1n
) < n+ 1
=⇒ 1
n+ 1< ln
(n+ 1
n
)<
1
n,
lo que quiere decir que la sucesion de valores absolutos es decreciente.
Ademas es evidente que dicha sucesion tiende a cero pues
lımn→∞
1
n= 0 y lım
n→∞lnn+ 1
n= 0.
Por el criterio de Leibnitz, la serie es convergente.
Observacion. A la suma de la serie anterior se le llama constante de Euler γ = 0,577215 . . . lacual no se sabe aun si se trata de un numero racional o irracional.
3. Considerando que 1 +1
2+
1
3+ · · ·+ 1
n= lnn+ γ + εn, donde γ es la constante de Euler y
lımn→∞
εn = 0, hallar la suma de la serie
1 +1
3+
1
5+
1
7− 1
2− 1
4− 1
6+
1
9+
1
11+
1
13+
1
15− 1
8− 1
10− 1
12+ . . .
formada a partir de la serie alternada
1− 1
2+
1
3− 1
4+
1
5− 1
6+ · · ·+ (−1)n+1 1
n+ . . .
tomando cuatro terminos positivos, despues tres terminos negativos, despues cuatro po-sitivos, etc.
19
Solucion
Calculamos la suma de los (4 + 3)n primeros terminos de la serie. Tenemos ası:
S(4+3)n = 1 +1
3+
1
5+
1
7− 1
2− 1
4− 1
6+ . . .
+1
8n− 7+
1
8n− 5+
1
8n− 3+
1
8n− 1− 1
6n− 4− 1
6n− 2− 1
6n
= 1 +1
3+
1
5+
1
7+ · · ·+ 1
8n− 7+
1
8n− 5+
1
8n− 3+
1
8n− 1
−[
1
2+
1
4+
1
6+ · · ·+ 1
6n− 4+
1
6n− 2+
1
6n
]= 1 +
1
2+
1
3+
1
4+ · · ·+ 1
8n− 6+
1
8n− 5+
1
8n− 4+
1
8n− 3+
1
8n− 2
+1
8n− 1+
1
8n−[
1
2+
1
4+
1
6+ · · ·+ 1
8n− 4+
1
8n− 2+
1
8n
]−[
1
2+
1
4+
1
6+ · · ·+ 1
6n− 4+
1
6n− 2+
1
6n
]= ln 8n+ γ + ε8n −
1
2
[1 +
1
2+
1
3+
1
4+ · · ·+ 1
4n− 3+
1
4n− 2
+1
4n− 1+
1
4n
]− 1
2
[1 +
1
2+
1
3+ · · ·+ 1
3n− 2+
1
3n− 1+
1
3n
]= ln 8n+ γ + ε8n −
1
2(ln 4n+ γ + ε4n)− 1
2(ln 3n+ cγ + ε3n)
= ln 8n− 1
2ln 4n− 1
2ln 3n+ ε8n −
1
2ε4n −
1
2ε3n
= ln 8 + lnn− 1
2ln 4− 1
2lnn− 1
2ln 3− 1
2lnn+ ε8n −
1
2ε4n −
1
2ε3n
= 3 ln 2 + lnn− ln 2− 1
2lnn− 1
2ln 3− 1
2lnn+ ε8n −
1
2ε4n −
1
2ε3n
= 2 ln 2− 1
2ln 3 + ε8n −
1
2ε4n −
1
2ε3n.
Entonces S = lımS(4+3)n = 2 ln 2− 1
2ln 3 = ln
4√3.
4. Estudiar la convergencia (absoluta y condicional) de la serie∑n≥1
(−1)nn
lnn.
Solucion
Aplicaremos la regla de L’Hopital para calcular el lımite del termino general. Ası:
lım |an| = lımn
lnn= lım
1
1/n=∞.
Por el criterio del resto se deduce que la serie es divergente.
20
5. Estudiar la convergencia (absoluta y condicional) de la serie∑n≥1
(−1)n1
2n+ 1.
Solucion
Como se trata de una serie alternada podemos aplicar el criterio de Leibnitz.
Si llamamos an =1
2n+ 1, es evidente que la sucesion {an} es decreciente y tiene lımite cero, por
lo que la serie es convergente. Sin embargo, la serie∑ 1
2n+ 1es divergente (basta compararla
con la serie∑
1/n) lo que indica que la serie dada es condicionalmente convergente.
6. Estudiar la convergencia (absoluta y condicional) de la serie∑n≥1
(−1)nn
2n.
Solucion
Aplicaremos el criterio del cociente. Como
lım
∣∣∣∣an+1
an
∣∣∣∣ = lımn+12n+1
n2n
= lımn+ 1
2n=
1
2< 1,
la serie es absolutamente convergente.
7. Estudiar la convergencia (absoluta y condicional) de la serie∑n≥1
(−1)n−11√n.
Solucion
Aplicaremos el criterio de Leibnitz a la serie alternada.
La sucesion de termino general an = 1/√n es decreciente (pues an+1 < an, ∀n) y lım an = 0 lo
que indica que la serie es convergente.
Sin embargo, dicha convergencia es condicional porque la serie de valores absolutos∑ 1√
nes
divergente (caso particular de∑
1/nα con α ≤ 1).
8. Estudiar la convergencia (absoluta y condicional) de la serie∑n≥1
(−1)n−1n
6n− 5.
Solucion
Como
lım |an| = lımn
6n− 5=
1
66= 0,
por el criterio del resto se deduce que la serie es divergente.
21
9. Estudiar la convergencia (absoluta y condicional) de la serie∑n≥1
(−1)n−12n+ 1
n(n+ 1).
Solucion
Del criterio de Leibnitz se obtiene que la serie es convergente pues la sucesion de termino general
an =2n+ 1
n(n+ 1)es decreciente y lım an = 0. Efectivamente:
an+1 − an =2n+ 3
(n+ 1)(n+ 2)− 2n+ 1
n(n+ 1)=n(2n+ 3)− (n+ 2)(2n+ 1)
n(n+ 1)(n+ 2)
=−2n− 2
n(n+ 1)(n+ 2)< 0 =⇒ an+1 < an, ∀n;
lım an = lım2n+ 1
n2 + n= 0.
La convergencia es condicional pues la serie∑ 2n+ 1
n(n+ 1)es divergente (basta aplicar el criterio
de comparacion con la serie∑
1/n).
10. Estudiar la convergencia (absoluta y condicional) de la serie∑n≥1
(−1)nn2 + 2
(n+ 2)2.
Solucion
Como
lım |an| = lımn2 + 2
(n+ 2)2= 1 6= 0,
la serie es divergente (criterio del resto).
11. Estudiar la convergencia (absoluta y condicional) de la serie∑n≥1
(−1)n1
lnn.
Solucion
Por el criterio de Leibnitz, como lım1
lnn= 0 y la sucesion {1/ lnn} es decreciente, la serie es
convergente.
Por otra parte, la serie de valores absolutos∑ 1
lnnes divergente como se comprueba aplicando
el criterio de comparacion con∑ 1
n.
En definitiva, la serie propuesta es condicionalmente convergente.
12. Estudiar la convergencia (absoluta y condicional) de la serie∑n≥1
(−1)n(
2n+ 1
3n+ 1
)n.
22
Solucion
Aplicaremos el criterio de la raız. Como
lım n√|an| = lım
2n+ 1
3n+ 1=
2
3< 1,
la serie es absolutamente convergente.
13. Estudiar la convergencia (absoluta y condicional) de la serie∑n≥1
(−1)n1 + sen2 n
n2.
Solucion
Estudiaremos la convergencia de la serie de valores absolutos∑ 1 + sen2 n
n2.
Por el criterio de comparacion, como1 + sen2 n
n2≤ 2
n2y la serie
∑ 2
n2es convergente, la serie
propuesta es absolutamente convergente.
14. Estudiar la convergencia (absoluta y condicional) de la serie∑n≥1
(−1)n sen2 n · (2n)!
n2n.
Solucion
Si llamamos an al termino general de la serie, debido a que |an| ≤(2n)!
n2n, la serie dada sera ab-
solutamente convergente si es convergente la serie∑ (2n)!
n2n. Por el criterio del cociente,
lımbn+1
bn= lım
(2n+2)!(n+1)2n+2
(2n)!n2n
= lım(2n+ 2)(2n+ 1)n2n
(n+ 1)2(n+ 1)2n
= lım(2n+ 2)(2n+ 1)
(n+ 1)2· lım
(n
n+ 1
)2n
= 4e−2 < 1.
Esto indica que la serie original es absolutamente convergente.
15. Estudiar la convergencia (absoluta y condicional) de la serie∑n≥1
1 · 5 · 9 . . . (4n− 3)
(3n)! + 1cos(nπ).
Solucion
En primer lugar acotamos en valor absoluto el termino general de la serie:
|an| <1 · 5 · 9 . . . (4n− 3)
(3n)!,
debido a que | cos(nπ)| = 1 y (3n)! + 1 > (3n)!
23
A continuacion probaremos que la serie mayorante∑ 1 · 5 · 9 . . . (4n− 3)
(3n)!es convergente apli-
cando el criterio del cociente:
lımbn+1
bn= lım
1·5·····(4n−3)(4n+1)(3n+3)!
1·5·····(4n−3)(3n)!
= lım4n+ 1
(3n+ 3)(3n+ 2)(3n+ 1)= 0.
De lo anterior, y aplicando el criterio de comparacion, se deduce que la serie original es absolu-tamente convergente.
16. Estudiar la convergencia (absoluta y condicional) de la serie∑n≥1
(2n)!
n2n + ncos(nπ).
Solucion
Se trata de una serie alternada ya que cos(nπ) = (−1)n. Como n2n + n > n2n, se verifica que
|an| <(2n)!
n2n. En el problema 14.14 se probo que la serie mayorante
∑ (2n)!
n2nes convergente.
Esto indica que la serie propuesta es absolutamente convergente.
17. Estudiar la convergencia (absoluta y condicional) de la serie∑n≥1
(−3)2n
(n+ 1) ln2(n+ 1).
Solucion
Por el criterio del cociente,
lım
∣∣∣∣an+1
an
∣∣∣∣ = lım
32n+2
(n+2) ln2(n+2)
32n
(n+1) ln2(n+1)
= lım32(n+ 1) ln2(n+ 1)
(n+ 2) ln2(n+ 2)= 9 > 1,
con lo que la serie diverge.
18. Estudiar la convergencia (absoluta y condicional) de la serie∑n≥1
2n sen(nπ/2)√(3n− 2) · 5n
.
Solucion
Como sennπ
2= (−1)n+1, tenemos una serie alternada. Si aplicamos el criterio del cociente,
resulta:
lım
∣∣∣∣an+1
an
∣∣∣∣ = lım
2n+1√(3n+1)·5n+1
2n√(3n−2)·5n
= lım2√5·√
3n− 2√3n+ 1
=2√5< 1
y la serie es absolutamente convergente.
24
19. Estudiar la convergencia (absoluta y condicional) de la serie∑n≥1
(−1)n√n+√n+ 1
.
Solucion
Aplicaremos el criterio de Leibnitz al tratarse de una serie alternada. Para ello debemos com-
probar que la sucesion de termino general an =1
√n+√n+ 1
converge a cero y es decreciente.
Es evidente que lım an = 0. Ademas,an+1
an=
√n+√n+ 1√
n+ 1 +√n+ 2
< 1, por lo que la sucesion es
decreciente.
Sin embargo, la serie de valores absolutos∑ 1√n+√n+ 1
es divergente, como se deduce al
aplicar el criterio de comparacion con∑ 1√
n.
En definitiva, la serie propuesta es condicionalmente convergente.
20. Estudiar la convergencia (absoluta y condicional) de la serie∑n≥1
sen√n√
n3 + 1.
Solucion
Estudiamos la serie de valores absolutos aplicando el criterio de comparacion. Como
∣∣∣∣ sen√n√
n3 + 1
∣∣∣∣ ≤ 1
n3/2
y la serie∑ 1
n3/2es convergente, se deduce que la serie original es absolutamente convergente.
21. Sea∑n≥1
an una serie hipergeometrica, es decir que verifica la relacionan+1
an=αn+ β
αn+ γ, ∀n,
donde α, β, γ son constantes fijas y α, γ no nulas a la vez.
a) Probar que la serie es convergente siγ − βα
> 1.
b) Probar que Sn =an(nα+ β)− a1γ
α+ β − γ, ∀n.
c) Probar que, en caso de convergencia, la suma de la serie es−a1γ
α+ β − γ.
Solucion
a) Aplicaremos el criterio de Raabe (observamos que, desde un cierto n en adelante,an+1
an> 0,
pues α, β, γ son constantes fijas):
lımn
(1− an+1
an
)= lımn · αn+ γ − αn− β
αn+ γ=γ − βα
,
lo que indica que la serie converge siγ − βα
> 1.
25
b) Probaremos por induccion que Sn =an(nα+ β)− a1γ
α+ β − γ, siendo Sn = a1 + a2 + · · ·+ an.
- Para n = 1,a1(α+ β)− a1γ
α+ β − γ= a1 = S1.
- Si suponemos que Sn−1 =an−1[(n− 1)α+ β)− a1γ
α+ β − γ, debemos comprobar que Sn =
an(nα+ β)− a1γα+ β − γ
.
Por ser una serie hipergeometrica, se verifica la relacion an[α(n−1)+γ] = an−1[α(n−1)+β].Utilizando esta igualdad, tenemos:
Sn = Sn−1 + an =an−1[(n− 1)α+ β)− a1γ
α+ β − γ+ an
=⇒ Sn =an[α(n− 1) + γ]− a1γ
α+ β − γ+ an
=an[α(n− 1) + γ + α+ β − γ]− a1γ
α+ β − γ=an(αn+ β)− a1γ
α+ β − γ,
como querıamos demostrar.
c) Si la serie es convergente, entonces∑n≥1
an = lımSn = lımα · nan + βan − γa1
α+ β − γ. Ahora bien,
recordando que, en una serie convergente, lım an = 0 y lımnan = 0, dicho lımite queda−γa1
α+ β − γ.
22. Probar que, si a+ b = c, entonces∑n≥0
an
n!
·∑n≥0
bn
n!
=∑n≥0
cn
n!.
Solucion
Por definicion de producto de series, si an =an
n!y bn =
bn
n!, el termino general de la serie producto
es
pn = a0 · bn + a1 · bn−1 + a2 · bn−2 + · · ·+ an · b0
=bn
n!+ a · bn−1
(n− 1)!+a2
2!· bn−2
(n− 2)!+ · · ·+ an
n!
=1
n!
[bn + nabn−1 +
n(n− 1)
2!a2 · bn−2 + · · ·+ an
]=
1
n!(a+ b)n =
cn
n!,
como querıamos probar.
Observacion. Si llamamos f(x) =∑n≥0
xn
n!, hemos probado que f(a) · f(b) = f(a + b) lo que
sugiere llamar a f funcion exponencial (ver capıtulo siguiente).
23. Probar que
∑n≥0
1
2n · n!
2
=∑n≥0
1
n!.
Solucion
26
El termino n-esimo del producto es
pn =n∑i=0
1
2i · i!· 1
2n−i · (n− i)!=
n∑i=0
n!
2n · n!(n− i)! · i!=
1
2n · n!
n∑i=0
(n
i
)=
1
n!,
debido a que 2n =n∑i=0
(n
i
).
3. Series dependientes de parametros
1. Estudiar el caracter de la serie∑ 1 · 5 · 10 . . . (n2 + 1)
(2n− 1)!· 1
a2nsegun los diferentes valores
de a.
Solucion
Si aplicamos el criterio del cociente, tenemos:
lım
∣∣∣∣an+1
an
∣∣∣∣ = lım
∣∣∣∣∣∣1·5·10...(n2+1)[(n+1)2+1]
(2n+1)! · 1a2n+2
1·5·10...(n2+1)(2n−1)! · 1
a2n
∣∣∣∣∣∣ = lım(n+ 1)2 + 1
(2n+ 1) · 2n· 1
a2=
1
4|a|2.
La serie es absolutamente convergente cuando1
4|a|2< 1, es decir cuando |a| > 1
2y divergente
cuando |a| < 1
2.
Cuando a =1
2, aplicamos el criterio de Raabe y resulta:
lımn
(1− an+1
an
)= lımn
(1− (n+ 1)2 + 1
(2n+ 1) · 2n· 4)
= lımn · −6n− 8
4n2 + 2n= −6
4< 1,
de modo que la serie es divergente.
Cuando a = −1
2, la serie coincide con la anterior de modo que tambien es divergente.
2. Estudiar el caracter de la serie∑n≥1
an√3n− 2
sennπ
2segun los diferentes valores de a.
Solucion
Como sennπ
2=
{0 si n = 2k es par
(−1)k+1 si n = 2k − 1 es impar,si aplicamos el criterio de la raız, resulta:
lım sup n√|an| = lım
|a|n√√
3n− 2= |a|,
27
de modo que la serie converge absolutamente si |a| < 1 y diverge si |a| > 1.
Cuando a = 1, sustituyendo los valores de sennπ/2 antes indicados, tenemos la serie∑n≥1
1√3n− 2
· sennπ
2=∑k≥1
1√3(2k − 1)− 2
· (−1)k+1 =∑k≥1
(−1)k+1
√6k − 5
,
que es una serie alternada condicionalmente convergente (ver problema 14.7).
Cuando a = −1, resulta la serie∑n≥1
(−1)n√3n− 2
· sennπ
2=∑k≥1
(−1)2k−1√6k − 5
· (−1)k+1 =∑k≥1
(−1)k√6k − 5
,
que es tambien condicionalmente convergente.
3. Estudiar la convergencia de la serie∑n≥1
(−1)nen
nenasegun los diferentes valores de a.
Solucion
Por el criterio de la raız,
lım n√|an| = lım
en√n · ea
= e1−a.
La serie es absolutamente convergente cuando e1−a < 1, es decir a > 1 y divergente cuandoa < 1.
Cuando a = 1, queda la serie∑ (−1)n
nque es condicionalmente convergente.
4. Estudiar el caracter de la serie∑ 1
1 + a2nsegun los diferentes valores de a.
Solucion
La serie es de terminos positivos, por lo que podemos aplicar el criterio de comparacion. Como
lım1
1+a2n
1(a2)n
= 1, las series∑ 1
(a2)ny∑ 1
1 + a2ntienen el mismo caracter. Ahora bien, la serie∑ 1
(a2)nes convergente cuando a2 > 1, es decir |a| > 1, y divergente cuando |a| < 1. De aquı se
deduce que la serie dada es tambien convergente cuando |a| > 1 y divergente cuando |a| < 1.
Cuando |a| = 1, queda la serie∑
1/2 que es claramente divergente.
5. Estudiar el caracter de la serie∑ nan
ensegun los diferentes valores de a.
Solucion
Por el criterio del cociente:
lım
∣∣∣∣an+1
an
∣∣∣∣ = lım
∣∣∣∣∣(n+1)an+1
en+1
nan
en
∣∣∣∣∣ = lım|a|(n+ 1)
en=|a|e.
Resulta que la serie es absolutamente convergente cuando |a| < e y divergente cuando |a| > e.
Cuando a = e, la serie queda∑n que es divergente y cuando a = −e, la serie es
∑(−1)nn que
tambien es divergente.
28
6. Estudiar el caracter de la serie∑
anna segun los diferentes valores de a.
Solucion
Por el criterio del cociente,
lım
∣∣∣∣an+1
an
∣∣∣∣ = lım
∣∣∣∣an+1(n+ 1)a
an · na
∣∣∣∣ = |a|.
La serie es absolutamente convergente cuando |a| < 1 y divergente cuando |a| > 1.
Cuando a = 1 obtenemos la serie∑n que es divergente; cuando a = −1, la serie es
∑ (−1)n
nque, como sabemos, es condicionalmente convergente.
7. Estudiar el caracter de la serie∑(
a+1
n
)nsegun los diferentes valores de a.
Solucion
Debido al criterio de la raız tenemos:
lım n√|an| = lım
∣∣∣∣a+1
n
∣∣∣∣ = |a|.
La serie es absolutamente convergente cuando |a| < 1 y divergente cuando |a| > 1.
Cuando a = 1, tenemos la serie∑(
1 +1
n
)n. Como lım
(1 +
1
n
)n= e 6= 0, dicha serie es
divergente.
Cuando a = −1, la serie es∑(
−1 +1
n
)nque tambien es divergente debido a que lım
(−1 +
1
n
)nno existe.
8. Estudiar el caracter de la serie∑ an
√n+ 1
2n(n+ 2)segun los diferentes valores de a.
Solucion
Aplicamos tambien en este caso el criterio del cociente. Tenemos ası:
lım
∣∣∣∣an+1
an
∣∣∣∣ = lım
∣∣∣∣∣∣an+1
√n+2
2n+1(n+3)
an√n+1
2n(n+2)
∣∣∣∣∣∣ = lım|a|(n+ 2)
√n+ 2
2(n+ 3)√n+ 1
=|a|2.
La serie es pues absolutamente convergente cuando |a| < 2 y divergente cuando |a| > 2.
Si a = 2, la serie es∑ √
n+ 1
n+ 2que es divergente, como se comprueba al aplicar el criterio de
comparacion con∑ 1√
n.
Si a = −2, la serie es ahora∑
(−1)n√n+ 1
n+ 2: dicha serie es condicionalmente convergente
pues, segun el criterio de Leibnitz, la sucesion de termino general an =
√n+ 1
n+ 2es decreciente y
converge a cero pero la serie de valores absolutos, como ya hemos indicado, es divergente.
29
9. Estudiar el caracter de la serie∑ (n2 + 1)an
(n+ 1)!segun los diferentes valores de a.
Solucion
Por el criterio del cociente,
lım
∣∣∣∣an+1
an
∣∣∣∣ = lım
∣∣∣∣∣∣[(n+1)2+1]an+1
(n+2)!
(n2+1)an
(n+1)!
∣∣∣∣∣∣ = lım(n2 + 2n+ 2)|a|(n+ 2)(n2 + 1)
= 0.
La serie es pues absolutamente convergente para cualquier valor del parametro a.
10. Estudiar el caracter de la serie∑
(a/n)n segun los diferentes valores de a.
Solucion
Aplicando el criterio de la raız, resulta:
lım n√|an| = lım |a/n| = 0.
Esto indica que la serie es siempre absolutamente convergente.
11. Estudiar el caracter de la serie∑ n2 + 1
nansegun los diferentes valores de a.
Solucion
Si aplicamos el criterio del cociente, tenemos:
lım
∣∣∣∣an+1
an
∣∣∣∣ = lım
∣∣∣∣∣∣(n+1)2+1(n+1)an+1
n2+1n·an
∣∣∣∣∣∣ = lım(n2 + 2n+ 2) · n
(n+ 1)(n2 + 1) · |a|=
1
|a|.
De aquı se deduce que la serie es absolutamente convergente cuando |a| > 1 y divergente cuando|a| < 1. En los casos extremos tenemos:
- Si a = 1, queda la serie∑ n2 + 1
nque es divergente porque el termino general no tiende a
cero.
- Si a = −1, la serie es∑
(−1)nn2 + 1
nque tambien es divergente por la misma razon que en el
caso anterior.
12. Estudiar el caracter de la serie∑ an
n!segun los diferentes valores de a.
Solucion
Por el criterio del cociente,
lım
∣∣∣∣an+1
an
∣∣∣∣ = lım
∣∣∣∣∣∣an+1
(n+1)!an
n!
∣∣∣∣∣∣ = lım|a|n+ 1
= 0,
por lo que la serie es absolutamente convergente para cualquier a ∈ R.
30
13. Estudiar el caracter de la serie∑ n!
(2 + a)(2 + 2a) . . . (2 + na)segun los diferentes valores
de a.
Solucion
De la definicion se observa que la serie no tiene sentido cuando a = −2/n, ∀n ∈ N. Para el restode valores de a utilizamos el criterio del cociente y obtenemos:
lım
∣∣∣∣an+1
an
∣∣∣∣ = lım
∣∣∣∣∣∣(n+1)!
(2+a)(2+2a)...[2+(n+1)a]
n!(2+a)(2+2a)...(2+na)
∣∣∣∣∣∣ = lım
∣∣∣∣ n+ 1
2 + (n+ 1)a
∣∣∣∣ =1
|a|.
Resulta entonces que la serie es absolutamente convergente cuando |a| > 1 y divergente cuando|a| < 1.
Con respecto a los valores extremos, para a = −1, como hemos indicado, la serie no tiene sentido,y para a = 1 queda la serie∑ n!
3 · 4 . . . (n+ 2)=∑ 2 · n!
(n+ 2)!=∑ 2
(n+ 2)(n+ 1).
Esta serie es convergente como se comprueba al aplicar el criterio de comparacion con∑ 1
n2.
14. Estudiar el caracter de la serie∑ 2n
n2sen2n a segun los diferentes valores de a.
Solucion
Observamos que se trata de una serie de terminos no negativos por lo que no hay distincionentre convergencia y convergencia absoluta. Si aplicamos el criterio de la raız, resulta:
lım n√an = lım
2n√n2· sen2 a = 2 sen2 a.
La serie es pues absolutamente convergente cuando sen2 a < 1/2, es decir | sen a| <√
2/2. Esto
ocurre cuando(4n− 1)π
4< a <
(4n+ 1)π
4, n ∈ Z. Ademas, en los extremos de cada intervalo,
es decir en los puntos en que sen2 a = 1/2, la serie queda de la forma∑ 1
n2que, como sabemos,
es convergente.
En el resto de valores de a la serie es divergente.
15. Estudiar el caracter de la serie∑ n!
(a+ b)(a+ 2b) . . . (a+ nb)segun los diferentes valores
de a y b, con a, b > 0.
Solucion
Tenemos en este caso una serie de terminos no negativos.
Si aplicamos el criterio del cociente, resulta:
lıman+1
an= lım
(n+1)!(a+b)(a+2b)...(a+nb)[a+(n+1)b]
n!(a+b)(a+2b)...(a+nb)
= lımn+ 1
a+ (n+ 1)b=
1
b.
31
La serie es pues convergente cuando b > 1 y divergente cuando b < 1.
Cuando b = 1 tenemos la serie∑ n!
(a+ 1)(a+ 2) . . . (a+ n). Para estudiar su convergencia
aplicamos el criterio de Raabe:
lımn
(1− an+1
an
)= lımn ·
(1− n+ 1
a+ n+ 1
)= lım
an
a+ n+ 1= a.
Ası pues, si a < 1, la serie es divergente y si a > 1, convergente.
Por ultimo, si a = b = 1, tenemos la serie∑ n!
(n+ 1)!=∑ 1
n+ 1que sabemos es divergente.
16. Estudiar el caracter de la serie∑ a(a+ 1) . . . (a+ n− 1)
n! nbsegun los diferentes valores de
a y b, con a 6= b.
Solucion
Podemos suponer que se trata de una serie de terminos no negativos porque, desde un cierto Nen adelante, a+ n− 1 > 0, ∀n ≥ N y el numerador no cambia de signo.
Si aplicamos el criterio del cociente, obtenemos:
lım
∣∣∣∣an+1
an
∣∣∣∣ = lım
∣∣∣∣∣∣a(a+1)...(a+n−1)(a+n)
(n+1)!(n+1)b
a(a+1)...(a+n−1)n!nb
∣∣∣∣∣∣ = lım
∣∣∣∣∣n+ a
n+ 1·(
n
n+ 1
)b∣∣∣∣∣ = 1.
Como no podemos decidir la convergencia de la serie con este criterio, aplicamos el criterio deRaabe:
lımn ·(
1− an+1
an
)= lımn · (n+ 1)b+1 − (n+ a) · nb
(n+ 1)b+1
= lımn · nb+1 + (b+ 1)nb + · · · − nb+1 − anb
(n+ 1)b+1= b+ 1− a.
Cuando b+ 1− a > 1, o bien b > a, la serie sera convergente, y divergente cuando b < a.
17. Estudiar el caracter de la serie∑ a(a+ 1) . . . (a+ n− 1)
b(b+ 1) . . . (b+ n− 1)segun los diferentes valores de
a y b.
Solucion
En primer lugar observamos que debe ser b 6= 0,−1,−2, . . . para que el denominador no se anule.
Si aplicamos el criterio del cociente, tenemos:
lım
∣∣∣∣an+1
an
∣∣∣∣ = lım
∣∣∣∣∣∣a(a+1)...(a+n−1)(a+n)b(b+1)...(b+n−1)(b+n)a(a+1)...(a+n−1)b(b+1)...(b+n−1)
∣∣∣∣∣∣ = lım
∣∣∣∣a+ n
b+ n
∣∣∣∣ = 1,
por lo que este criterio no es concluyente.
Aplicamos pues el criterio de Raabe:
lımn
(1−
∣∣∣∣an+1
an
∣∣∣∣) = lımn · b+ n− (a+ n)
b+ n= b− a.
32
Se deduce que la serie es absolutamente convergente cuando b > a + 1 y divergente cuandob < a+ 1.
Cuando b = a+ 1, queda la serie∑ a
a+ nque es divergente.
18. Estudiar el caracter de la serie∑ an
nbsegun los diferentes valores de a y b.
Solucion
Aplicando el criterio del cociente, tenemos:
lım
∣∣∣∣an+1
an
∣∣∣∣ = lım
∣∣∣∣∣∣an+1
(n+1)b
an
nb
∣∣∣∣∣∣ = lım
∣∣∣∣∣a ·(
n
n+ 1
)b∣∣∣∣∣ = |a|.
La serie sera pues absolutamente convergente cuando |a| < 1 y divergente cuando |a| > 1.
Si a = 1, queda la serie∑ 1
nb(serie de Riemann), que sabemos es convergente cuando b > 1 y
divergente cuando b ≤ 1.
En el caso a = −1, la serie es de la forma∑ (−1)n
nb; dicha serie es absolutamente convergente
cuando b > 1 (por ser convergente la serie de sus valores absolutos), es condicionalmente conver-gente cuando 0 < b ≤ 1 (pues, segun el criterio de Leibnitz, el termino general en valor absolutoforma una sucesion decreciente y convergente a cero), y es divergente cuando b ≤ 0 porque eltermino general no tiende a cero.
19. Probar que la sucesion {an} de termino general
an = (1− 1/4)(1− 1/9) . . . (1− 1/n2)
es convergente y que su lımite es estrictamente positivo.
Solucion
Si llamamos bn al logaritmo del termino general, obtenemos:
bn = ln an = ln
(1− 1
4
)+ ln
(1− 1
9
)+ · · ·+ ln
(1− 1
n2
).
Esto quiere decir que bn es el termino general de la sucesion de sumas parciales de ln
(1− 1
n2
),
con lo que lım bn =
∞∑n=2
ln
(1− 1
n2
).
Debido a la igualdad
ln
(1− 1
n2
)= ln(n2 − 1)− lnn2 = ln(n− 1)− 2 lnn+ ln(n+ 1),
33
tenemos:
bn = ln 1− 2 ln 2 + ln 3
+ ln 2− 2 ln 3 + ln 4
+ ln 3− 2 ln 4 + ln 5. . .
+ ln(n− 1)− 2 lnn+ ln(n+ 1)
= − ln 2− lnn+ ln(n+ 1) = − ln 2 + lnn+ 1
n.
Esto implica que lım bn = − ln 2 = ln 1/2 y, como bn = ln an, resulta en definitiva que lım an =1/2.
4. Ejercicios propuestos
1.- Estudiar la convergencia de las siguientes series:
a)∑ nn
(2n+ 1)n.
Resp.: Convergente (raız).
b)∑ 24n−3
(4n− 3)!.
Resp.: Convergente (cociente).
c)∑ n
en.
Resp.: Convergente (cociente).
d)∑ 2n
1 · 3 · 5 . . . (2n+ 1).
Resp.: Convergente (cociente).
e)∑ cos2 n
n2.
Resp.: Convergente (comparacion con∑
1/n2).
f)∑ 3√n+ 2
n3 + 1.
Resp.: Convergente (comparacion con∑
1/n8/3).
g)∑ n2
n!.
34
Resp.: Convergente (cociente).
h)∑ nn · n!
(3n)!.
Resp.: Convergente (cociente).
i)∑ (2n)!
(n!)2.
Resp.: Divergente (cociente).
j)∑ 1
(lnn!) + n2.
Resp.: Convergente (comparacion con∑
1/n2).
k)1
3+
1 · 33 · 6
+1 · 3 · 53 · 6 · 9
+ . . .
Resp.: Convergente (cociente).
l)∑ 1 · 3 . . . (2n− 1)
2 · 4 . . . 2n.
Resp.: Divergente (Raabe).
m)∑ 1√
n(n+ 1).
Resp.: Divergente (comparacion con∑
1/n).
n)∑ 2n
n.
Resp.: Divergente (cociente).
o)∑ 2 · 5 · 8 . . . (3n− 1)
1 · 5 · 9 . . . (4n− 3).
Resp.: Convergente (cociente).
p)∑ nn/2 · 5n
n!.
Resp.: Convergente (raız).
q)∑ 1
(3n− 2)(3n+ 1).
Resp.: Convergente (comparacion con∑
1/n2).
r)∑ 1
n ln(1 + 1
n
) .
35
Resp.: Divergente (lım an 6= 0).
s)∑ 1 · 11 · 21 . . . (10n− 9)
(2n− 1)!.
Resp.: Divergente (cociente).
t)∑ n!
nn.
Resp.: Convergente (raız).
u)∑ 2n senn
√3
enn2.
Resp.: Convergente (raız).
v)∑ 1
n lnn.
Resp.: Divergente (integral).
2.- Calcular la suma de las siguientes series:
a)∑n≥1
3n+ 5
2n.
Resp.: S = 11.
b)∑n≥1
n(n− 1)xn para |x| < 1.
Resp.: S =2x2
(1− x)3.
c)∑n≥1
√n+ 1−
√n√
n2 + n.
Resp.: S = 1.
d)∑n≥1
1
(3n+ 2)(3n+ 8).
Resp.: S = 13/240.
e)∑n≥2
(n− 1
en
)2
.
Resp.: S =e2 + 1
(e2 − 1)3.
36
f)∑n≥2
2n+ 3
(n− 1)n(n+ 2).
Resp.: S = 65/36.
g)∑n≥1
n
(4n2 − 1)2.
Resp.: S = 1/8.
h)∑n≥1
nen.
Resp.: S =∞.
i)∑n≥1
2n2 + n− 1
en.
Resp.: S =2e2 − 2e+ 9
(e− 1)3.
3. Contestar razonadamente si cada uno de los siguientes enunciados es verdadero o falso:
a) Si A es la suma de la serie∑n≥1
an, entonces la sucesion (an)n∈N converge a A.
Resp.: Falso si A 6= 0 pues an → 0.
b) Si A es la suma de la serie∑n≥1
an, entonces la serie∑n≥1|an| converge a |A|.
Resp.: Falso (ejemplo an =(−1)n
n).
c) Si lımn→∞
an+1
an= −2, entonces
∑n≥1
an converge.
Resp.: Falso (ejemplo an = (−2)n).
d) Si lımn→∞
an+1
an< 1, entonces
∑n≥1
an converge.
Resp.: Falso (mismo ejemplo anterior).
e) Si∑n≥1
an converge, entonces la sucesion (an+1/an)n∈N tiene lımite.
Resp.: Falso (ejemplo a2n =1
2n, a2n+1 =
1
2n).
f) Si∑n≥1
an converge, entonces lımn→∞
a2n = 0.
Resp.: Verdadero por el criterio del resto.
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g) Si∑n≥1
an converge, entonces∑n≥1
a2n converge.
Resp.: Falso (ejemplo an =(−1)n√
n).
h) Si∑n≥1
an converge, entonces( ∑n≥1
an
)2converge.
Resp.: Falso (mismo ejemplo anterior).
i) Si∑n≥1
an converge absolutamente, tambien lo hace∑n≥1
a2n1 + a2n
.
Resp.: Verdadero puesa2n
1 + a2n< a2n < |an|, desde un cierto n (recordemos que an → 0).
j) Si {xn} es una sucesion positiva, la serie∑ xn
1 + n2xnes convergente.
Resp.: Verdadero (aplicar el criterio de comparacion con∑
1/n2).
k) Si∑n≥1
an y∑n≥1
bn son divergentes, entonces∑n≥1
anbn es divergente.
Resp.: Falso (ejemplo an = 1/n y bn = 1/n).
l) Si lımn→∞
an = 0 y el signo de an es alternativamente positivo y negativo, entonces∑n≥1
an
converge.
Resp.: Falso (ejemplo an = (−1)n · 2 + (−1)n
n).
m) Si an < 1/n para todo n, entonces∑n≥1
an diverge.
Resp.: Falso (ejemplo an = −1/n2).
n) Si an < 1/n2 para todo n, entonces∑n≥1
an converge.
Resp.: Falso (ejemplo an = −1/n).
4. Probar que, si la serie∑an es absolutamente convergente, tambien lo es la serie
∑ n+ 1
nan.
Sugerencia: Aplicar el criterio de comparacion.
5. Estudiar el caracter de la serie∞∑n=1
(−1)n+1 1
n+ 1
(1 +
1
2+ · · ·+ 1
2n
).
Resp.: Convergente (aplicar el criterio de Leibnitz).
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6. Estudiar la convergencia de la serie∞∑n=1
(−1)n(n14 + 5) ln(n2 + 2)
en(n4 + 2).
Resp.: Absolutamente convergente (aplicar el criterio del cociente).
7. Estudiar el caracter de la serie∑
(−1)nlnn
2n.
Resp.: Absolutamente convergente (criterio del cociente).
8. Estudiar el caracter de la serie∑
(−1)n√n
n− 1.
Resp.: Condicionalmente convergente (criterios de Leibnitz y comparacion con∑
1/√n).
9. Estudiar el caracter de la serie∑
(−1)n1√
n+ (−1)n.
Resp.: Condicionalmente convergente (criterios de Leibnitz y de comparacion con∑
1/√n).
10. Estudiar el caracter de la serie∑
(−1)n(n− 3
√n3 − n
).
Resp.: Converge condicionalmente (usar el criterio de Leibnitz y el de comparacion con∑
1/n).
11. Estudiar la convergencia (absoluta y condicional) de la serie∑n≥1
sen
(πn2
2
). Resp.: Di-
vergente (se trata de la serie 1 + 0 + 1 + 0 + . . . ).
12. Estudiar el caracter de la serie∑n≥1
√n · an
(n+ 1) 2nsegun los distintos valores de a ∈ R.
Resp.: Absolutamente convergente si |a| < 2; condicionalmente convergente si a = −2; divergentesi a = 2 o |a| > 2.
13. Estudiar el caracter de la serie∑ (a− 1)n
n(n+ 1)segun los valores de a ∈ R.
Resp.: Absolutamente convergente cuando a ∈ [0, 2]; diverge en el resto.
14. Estudiar el caracter de la serie∑ an
n√n+ 1 + (n+ 1)
√n
.
Resp.: Absolutamente convergente cuando a ∈ [−1, 1]; diverge en el resto.
15. Estudiar el caracter de la serie∑ (a− 5)n
(2n+ 1) · 5nsegun los valores de a ∈ R.
Resp.: Converge absolutamente cuando a ∈ (0, 10); converge condicionalmente cuando a = 0;diverge en el resto.
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16. Estudiar el caracter de la serie∑(
a(a+ n)
n
)n, con a ∈ R.
Resp.: Converge absolutamente cuando a ∈ (−1, 1); diverge en el resto.
17. Estudiar el caracter de la serie∑
n3an segun los diferentes valores de a. Resp.: Absolu-
tamente convergente cuando |a| < 1; divergente en el resto.
18. Calcular la suma de la serie∞∑n=1
(−1)nn
5n.
Resp.: S = 5/36.
19. Calcular la suma de la serie∑n≥1
(−1)n+1n2
5n.
Resp.: S = 5/54.
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